Iskazna logika. 1 Semantika iskazne logike

Transcript

1 Iskazna logika 1 Semantika iskazne logike Iskazna formula je niz simbola odredjenog alfabeta (skupa simbola). Postoje razni alfabeti u kojima se definišu iskazne formula, a razlikuju ih simboli logički veznika. Tako, u nekima se (osnovnim) simbolima smatraju samo i, dok se ostali izražavaju preko niih; na primer, (A B) je skraćeni zapis formule ( A B). Najširi alfabet čine sledeći simboli: Skup iskaznih slova P rop = {p, p 0,..., q, q 0,..., r, r 0,...}. Logičke konstante Simboli logičkih veznika: Leva i desna zagrada: ( ) Iskazna slova imaju ulogu promenljivih, jer su njihove istinitosne vrednosti medjusobno nezavisne: vrednost promenljive ne zavisi od vrednosti svih ostalih promenljivih. Skup iskaznih formula F or je najmanji skup reči ovog alfabeta takav da: Iskazna slova, simboli i su iskazne formule; Ako su φ i ψ iskazne formule, tada su i φ (φ ψ) (φ ψ) (φ ψ) (φ ψ) i (φ ψ) iskazne formule. Izgradnju formule predstavljamo drvetom potformula. Na primer: q r (q r) q (q r) p p q ( (q r) p) (p q) (( (q r) p) (p q)) Formule ćemo označavati velikim slovima A, B, C,... a ponekad i grčkim slovima φ, ψ, θ,... Primenjivaćemo konvenciju o brisanju spoljašnjih zagrada u izgradjenoj formuli. Na priner, niz simbola (p (p q)) jeste, a niz p (p q) nije formula u smislu definicije; uprkos tome, mi ćemo koristiti oba oblika. Unutrašnje zagrade formula ne izostavljamo. 1

2 1.1 Značenje formula Valuacija je preslikavanje skupa iskaznih slova u skup {0, 1}. Tumačimo je kao dodeljivanje istinitosnih vrednosti iskaznim slovima, 1 za tačno i 0 za netačno. Svaka valuacija v : P rop {0, 1} se produžava do preslikavanja ˆv : F or {0, 1}, koje svakoj formuli iskaznog računa dodeljuje vrednost 0 (za netačno) ili 1 (za tačno) koristeći pravila: ˆv( ) = 1, ˆv( ) = 0, ˆv(p) = v(p) za p P rop i: ˆv(A) ˆv(A) ˆv(A) ˆv(B) ˆv(A B) ˆv(A) ˆv(B) ˆv(A B) ˆv(A) ˆv(B) ˆv(A B) ˆv(A) ˆv(B) ˆv(A B) ˆv(A) ˆv(B) ˆv(A B) Značenje formule iz svake od tablica možemo objasniti i govornim jezikom. Na primer, A B prevodimo kao i A i B u smislu: A B je tačan iskaz ako i samo ako su tačni i iskaz A i iskaz B. To se da pročitati iz tablice: A B ima vrednost 1 isključivo u prvoj vrsti tablice, a to je kada su tačni i iskaz A i iskaz B. Slično, A B prevodimo bar jedan od A i B... Iskazna formula je tautologija ako pri svakoj valuaciji ima vrednost 1. Iskazne formule A i B iskaznog računa su logički ekvivalentne ako pri svakoj valuaciji imaju istu vrednost; ekvivalentno, ako je A B tautologija. 1. Dokaži da su sledeći parovi formula logički ekvivalentni: A i A, A i, A i, A i A, A i, A i A, A i A, A i A 2. Zameni formulu (A (( A) ( A ))) (A ( A A)) jednostavnijom, a logički ekvivalentnom. 3. Pronadji što jednostavniju formulu A kojoj odgovara tablica (a) p q r A (b) p q r A (c) p q r A (d) p q r ϕ

3 1.2 Modeli, teorije i logičke posledice teorije Teorija je bilo koji skup iskaznih formula. Valuacija v je model teorije T ako svaka formula teorije ima vrednost 1 pri valuaciji ˆv; oznaka v = T. Teorija je zadovoljiva ako ima bar jedan model. Formula φ je logička posledica teorije T, u oznaci T = φ, ako je svaka valuacija v koja je model za T ujedno i model za φ. Ako teorija T nema model, tada (direktno iz definicije sledi da) za svaku formulu φ važi T = φ, pa važi i T =. Obrnuto, iz T = sledi da T nema model (nije zadovoljiva teorija). Teorija je skup formula, ali je shvatamo i kao listu. Tako, umesto {A} = B pišemo A = B i umesto T {A} = C pišemo T, A = C. 4. (a) Ako T = A i T = A, tada T =. (b) Ako T, A =, tada T = A. (c) Ako T, A =, tada T = A; ako T = A i T = A, tada T =. (e) Ako T = A B i T = A, tada T = B. (f) Ako T, A = B, tada T = A B. (g) Ako T = A B, T = A C i T = B C, tada T = C. (h) Ako su formule A i B logički ekvivalentne, tada za svaku teoriju T važi T = A ako i samo ako važi T = B. 5. Ako je teorija T dobijena iz teorije T zamenom nekih njenih formula logički im ekvivalentnim formulama, tada teorije T i T imaju iste logičke posledice. 6. Ispitati da li su sledeće teorije zadovoljive. (a) p q, q r, (r s) q, p s. (b) ( q p), p r, q r. (c) r q, p q, (r p), r. Najznačajnija generalna činjenica semantike iskazne logike je teorema kompaktnosti. Navodimo je bez dokaza, a njen dokaz odlažemo za kasnije. Teorema kompaktnosti. zadovoljiva. Teorija je zadovoljiva ako i samo ako je svaka njena konačna podteorija 1.3 Govorni jezik i iskazni račun P Q je tačan iskaz ako i samo ako su tačni i iskaz P i iskaz Q. P Q P i Q ili i P i Q (gde su P i Q iskazi). je prevod rečenica oblika P Q je tačan iskaz ako i samo ako je tačan bar jedan od iskaza P i Q. P Q oblika P ili Q ili bar jedan od P i Q. je prevod rečenica P Q je tačan iskaz ako i samo ako iz tačnosti iskaza P sledi tačnost iskaza Q; drugim rečima netačan je ako i samo ako je P tačan a Q netačan. P Q je prevod rečenica oblika Iz P sledi Q ili Ako P onda Q ili P je dovoljan uslov za Q ili Q je neophodan uslov za P. 3

4 P Q je tačan iskaz ako i samo ako su iskazi P i Q istovremeno tačni ili netaačni. P Q prevod rečenica oblika P ako i samo ako Q ili P tada i samo tada Q. je P Q je prevod rečenica oblika Tačno jedan od P i Q ili Ili P ili Q 1. U kojim od sledećih primera je zaključak logička posledica pretpostavki? (a) Ako je John komunista, onda je on ateista; John je ateista. Prema tome, John je komunista. (b) Ako temperatura i pritisak ostanu na trenutnim vrednostima, neće padati kiša; tempreatura se neće promeniti. Prema tome, ako padne kiša, pritisak će se promeniti. (c) Ako Desa pobedi na izborima, tada će porezi biti smanjeni ako se smanji budžetski deficit. Prema tome: ako Desa pobedi na izborima, porezi će biti smanjeni. (d) Ugovor će biti ispunjen ako i samo ako objekat bude završen do 30. marta. Objekat će biti završen do 30. marta ako i samo ako električari završe svoj deo posla do 10. marta. Banka će imati gubitak ako ugovor ne bude ispunjen. Prema tome, električari će završiti svoj deo posla do 10. marta ako banka ne bude imala gubitak. (e) Dovoljan uslov da bi funkcija f bila integrabilna je da je funkcija g ograničena; Da bi funkcija h bila neprekidna, neophodno je da je f integrabilna. Prema tome, ako je g ograničena ili h neprekidna, tada je f integrabilna. (f) Ako je A vozio tada je B krivac; Ako je C pucao tada B nije krivac. Prema tome, ako je C pucao tada A nije vozio. 2. Ili je svedok bio zastrašen ili, ako je D izvršio samoubistvo tada je pronadjeno oproštajno pismo. Ako je svedok bio zastrašen, tada D nije izvršio samoubistvo. Ako je pronadjeno oproštajno pismo, tada je D izvršio samoubistvo. Da li je ovo moguće? 1.4 Ostrvo Vernika i Nevernika Stanovništvo ovog ostrva se deli na vernike i nevernike. Vernici uvek govore istinu dok nevernici uvek lažu. Na ostrvo dolazi inspektor Gedel koji ima odličnu moć rasudjivanja. 1. Jednom prilikom Gedel sretnu dvojicu stanovnika A i B. Postoje tri verzije ovog dogadjaja: (a) A je izjavio: Mi smo nevernici. (b) Prema drugoj verziji, A je izjavio: Bar jedan od nas dvojice je nevernik. (c) Prema trećoj verziji, A je izjavio da su ili obojica vernici ili obojica nevernici. Šta je Gedel mogao da zaključi u svakoj od verzija? 2. Inspektor Gedel sreće stanovnike A, B i C i upita A: Da li si ti vernik? A odgovori nešto što Gedel nije razumeo. Zatim B reče: Rekao je da je nevernik. Na to će C: Ne verujte, B je slagao. Šta je Gedel mogao da zaključi? 3. Prema drugoj verziji Gedel nije pitao osobu A da li je vernik, nego koliko je medju njima nevernika. Gedel opet nije razumeo njegov odgovor. Tada B reče: Rekao je da su tačno dva nevernika medju nama. C opet reče da je B slagao. Šta je Gedel mogao da zaključi? 4. Jedan od stanovnika je dao sledeće izjave: 1. Na ostrvu ima zlata. 2. Ako na ostrvu ima zlata, onda ima i srebra. Šta je Gedel mogao da zaključi? 5. Jedan od stanovnika je izjavio Na ostrvu ima zlata i, ako ima zlata onda ima i srebra. Šta je Gedel mogao da zaključi? 4

5 6. U sledećoj situaciji Gedel sreće osobe A, B i C. Oni izjavljuju: A: Tačno jedan od nas trojice je nevernik. B: Tačno dvojica od nas su nevernici. C: Sva trojica smo nevernici. Šta je Gedel mogao da zaključi? 7. Na ostrvu se desilo ubistvo. Gedel je znao da je počinilac jedan od braće A i B. Oni izjaviše: A: B je nevernik i on je ubica. B: A je vernik i nije ubica. Šta je Gedel mogao da zaključi? 8. Jedan od stanovnika je dao izjavu inspektoru. Postoji više verzija o tom dogadjaju: (a) Ako sam ja vernik onda na ostrvu ima zlata. (b) Ili sam nevernik ili na ostrvu ima zlata. (c) Ja sam nevernik i na ostrvu nema zlata. Šta je Gedel mogao da zaključi u svakoj od verzija? 9. Na sudjenju na ostrvu pojave se svedoci A i B. Prema različitim verzijama dali su sledeće izjave: (a) A: Ako smo i B i ja nevernici tada je optuženi kriv. B: A je nevernik. (b) A: Ako je B vernik onda je optuženi nevin. (c) A: Ako je bar neko od nas dvojice vernik tada je optuženi kriv. B: Ako je bar jedan od nas dvojice nevernik onda je optuženi kriv. (d) A: Ako sam ja vernik a B nevernik tada je optuženi kriv. Šta je Gedel mogao da zaključi u svakoj od verzija? B: Ako je A nevernik onda je optuženi nevin. B: A laže. 10. Na trci su učestvovala četiri takmičara A, B, C i D. Poznato je da je pobedio vernik. Oni su dali sledeće izjave: A: D je pobednik a B nevernik B: Ako A nije pobedio onda je C vernik. C: Pobednik je B ili D. D: Ako su i B i C vernici, onda je A pobednik. Šta možemo da zaključimo: ko je vernik, ko nevernik, a ko pobednik? Rešenje: B je pobednik, C vernik, D i A nevernici 11. Jedan od braće A, B i C je poglavica. Oni su dali sledeće izjave: A: Ako sam ja poglavica onda je C vernik. B: Ako C nije poglavica onda je A nevernik. C: Poglavica je nevernik. Šta možemo da zaključimo: ko je vernik, ko nevernik, a ko poglavica? Rešenje: A i C vernici, B poglavica i nevernik. 12. Na trci su učestvovala četiri takmičara A, B, C i D. Poznato je da je pobedio vernik. Oni su dali sledeće izjave: A: Ni ja ni C nismo pobedili. B: Ako je bar jedan od C i D nevernik, onda je A pobednik. C: B je pobednik a D nevernik D: Ako je A nevernik onda je C pobednik. Šta možemo da zaključimo: ko je vernik, ko nevernik, a ko pobednik? Rešenje: D je pobednik, A vernik, B i C nevernici 5

6 13. Na ostrvu vernika i nevernika, jedan od stanovnika A i B je muzučar. Poznato je da svira ili violinu ili gitaru. A: Ja sam vernik ili je C nevernik. B: Ja sam vernik ili muzičar svira gitaru. C: B je nevernik i muzičar. D: Ako sam ja vernik, onda je A nevernik. Šta možemo iz ovih izjava da zaključimo? Rešenje: A i B nevernici, C i D vernici, B svira gitaru. 14. Na ostrvu u toku je veliki festival piva. Tradicionalno na festivalu su organizovana takmičenja u dve discipline: Brzo ispijanje krigle i Ko više popije u minuti. Takmichar A se takmiči u tačno jednoj disciplini. On i njegovi prijatelji B, C, D i E su dali sledeće izjave: A: Ako je B vernik, onda je i C vernik. B: Ako je C vernik, onda se A takmiči u Brzom ispijanju krigle. C: A je nevernik ili se takmiči u Ko više popije u minuti. D: A se takmiči u Brzom ispijanju krigle a B je nevernik. E: Ako se A takmiči u Brzom ispijanju krigle, onda je D nevernik. Šta možemo da zaključimo? Rešenje: A,C i E vernici, B,D nevernici; Ko više popije u minuti. 15. Na trci su učestvovala četiri takmičara A, B, C i D. Poznato je da je pobedio vernik. Oni su dali sledeće izjave: A: Ni ja ni C nismo pobedili. B: Ako je bar jedan od C i D nevernik, onda je A pobednik. C: B je pobednik a D nevernik D: Ako je A nevernik onda je C pobednik. Šta možemo da zaključimo: ko je vernik, ko nevernik, a ko pobednik? Rešenje: D je pobednik, A vernik, B i C nevernici 16. Koje da/ne pitanje Gedel treba da postavi stanovniku ostrva da bi iz njegovog odgovora mogao sa sigurnišću da zaključi da li se radi o verniku ili neverniku? ( (A (A ϕ)) ϕ je tautologija). 17. Na ostrvu su živela braća A, B i C. Gedel ih po izgledu nije razlikovao, ali je znao da su A i B nevernici i da je C vernik. Jednog dana Gedel sretnu jednog od njih. Koje da/ne pitanje treba da mu postavi da bi iz odgovora mogao sa sigurnošću da zaključi da li je to A ili nije? 18. Koje da/ne pitanje Gedel treba da postavi stanovniku ostrva tako da ovaj na njega ne može da odgovori? 19. Na ostrvu su živela braća A i B. Jednog dana Gedel sretnu jednog od njih. Može li postaviti samo jedno da/ne pitanje tako da iz odgovora zaključi o kom bratu se radi, kao i da li je vernik ili nevernik? 2 Formalni sistemi za klasičnu iskaznu logiku 2.1 Formalni sistemi Formalni sistem S čine sledeći skupovi: Neprazan skup L simbola, ili jezik formalne teorije; reč jezika je bilo koji konačan niz njegovih simbola; 6

7 Skup formula (kaže se i dobro formiranih formula) F, koji je podskup skupa svih reči. Obično postoji efektivna procedura kojom možemo proveriti da li je data reč jezika L formula ili ne; Skup aksioma, koji je podskup skupa formula. Obično postoji efektivna procedura kojom možemo proveriti da li je data formula aksioma ili ne; Skup pravila izvodjenja. Pravilo izvodjenja je relacija dužine 2 na skupu F. Ako je R F n+1 (n + 1)-arno pravilo izvodjenja i (φ 1,..., φ n, ψ) R, tada za formulu ψ kažemo da je direktna φ 1,..., φ n posledica formula φ 1,..., φ n po pravilu R. To označavamo i sa (R). ψ Formalni sistemi nazivaju se i formalnim teorijama. Fiksirajmo formalni sistem S. Dokaz formule ψ u formalnom sistemu S je konačan niz formula φ 1,..., φ n, ψ takav da je svaki član niza ili aksioma formalne teorije, ili je direktna posledica nekih od članova niza po nekom od pravila. Ukoliko formula ψ ima dokaz, tada kažemo da je ona teorema formalnog sistema S; oznaka je S ψ. Neka je Γ neki skup formula fomalnog sistema S. Formula ψ je deduktivna posledica skupa Γ (u formalnom sistemu S), u oznaci Γ S ψ, ako postoji konačan niz formula φ 1,..., φ n takav da je φ n = ψ i svaki član niza je ili aksioma formalne teorije, ili pripada skupu Γ, ili je dobijen iz prethodnih članova niza primenom nekog od pravila. Za niz φ 1,..., φ n iz prethodne stavke kažemo da je dokaz formule ψ iz pretpostavki skupa Γ u formalnom sistemu S. Proizvoljan skup formula formalnog sistema S je teorija, a T S ψ se izgovara i kao ψ je teorema teorije T u formalnom sistemu S ; reč teorema ćemo izbegavati da koristimo u ovom kontekstu, zato što je koristimo za tvrdjenja na meta nivou, kao što je slučaj sa sledećim. Teorema 2.1. Neka je S formalni sistem i T, T F teorije. (a) Ako je T T i T S A, tada T S A. (b) Ako važi T S A, tada za neki konačan podskup T 0 T važi T 0 S A. (c) Ako je φ 1,..., φ n dokaz (formule φ n ) koji koristi pretpostavke teorije T, tada za svaki k n niz φ 1,..., φ k svedoči da važi T S φ k. (d) Ako važi T S A i T, A S B, tada važi i T S B. (e) Ako važi T S A i za svaku formulu B T važi T S B, tada važi T S A. Dokaz. (a)-(c) sledi iz definicije. Skicirajmo dokaz dela (e). Pretpostavimo da važi T S A i da za svaku formulu B T važi T S B. Neka je φ 1,..., φ m dokaz formule A koji koristi pretpostavke teorije T. Umetnimo u njega umesto svake formule ψ i niz koji je njen dokaz iz pretpostavki teorije T. Novodobijeni niz je dokaz formule A koji koristi samo pretpostavke teorije T. (d) sledi iz (e): uzmimo T = T {A}. 7

8 2.2 Formalni sistem L Obično je skup aksioma formalnog sistema zadat shemom aksioma; na primer, pod shemom A (B A) podrazumevamo (beskonačan) skup aksioma koji sadrži sve formule dobijene iz iskazne formule p (q p) zamenom iskaznih slova p i q svim mogućim parovima formula A i B. Lukašijevičev formalni sistem L za klasičnu iskaznu logiku čine sledeći delovi: Jezik: sadrži simbole ( ) kao i simbole iskaznih slova. Formule: Sheme aksioma su: sve iskazne formule u ovom jeziku. (A1) A (B A) (A2) (A (B C)) ((A B) (A C)) (A3) ( B A) (A B) A, A B Pravilo izvodjenja: MP (modus ponens). B Prema tome, formulama u ovom odeljku smatramo samo iskazne formule koje od logičkih veznika sadrže samo i. Zbog logičke ekvivalentnosti parova odgovarajućih formula, ostale veznike možemo uvesti kao skraćene zapise: A B je kraći zapis za A B; A B je kraći zapis za (A B); A B je kraći zapis za (A B) (B A); Osim ovih skraćenica mogu se uvesti i skraćenice za (p p) i za (p p), ali to na ovom mestu niji ni neophodno ni zgodno. Dokazaćemo da je formula tautologija ako i samo ako je teorema formalnog sistema L. Teorema slabe potpunosti sistema L. = φ ako i samo ako L φ. Jedan smer ekvivalencije se jednostavno dokazuje: Teorema saglasnosti. Svaka teorema formalnog sistema L je tautologija. Dokaz. Dokažimo indukcijom po n da je svaka formula koja ima dokaz dužine n tautologija. Pretpostavimo da tvrdjenje važi za sve formule koje imaju dokaz dužine < n. Neka je φ 1,..., φ n dokaz formule A = φ n dužine n. Imamo dve mogućnosti: (1) A je aksioma. Nije teško proveriti da je svaka aksioma tautologija. (2) A je dobijena iz prethodnih članova niza primenom pravila MP. Tada postoje indeksi k, m < n takvi da je φ k obilka φ m A. Prema induktivnoj hipotezi, formule φ m i φ m RiA su tautologije, pa za svaku valuaciju v važi ˆv(φ m ) = 1 i ˆv(φ m A) = 1. Odatle sledi da važi i ˆv(A) = 1. Prema tome, za svaku valuaciju v važi ˆv(A) = 1, pa je formula A tautologija. Lema 2.2. (a) A C, A (C B) L A B. (b) L A A. Dokaz. (a) 1. A (C B) (pretp.) 2. (A (C B)) ((A C) (A B)) (A2) 3. (A C) (A B) (1,2, MP) 4. A C (pretp.) 5. A B (3,4, MP) 8

9 (b) Ako u dokazu dela (a) uzmemo B = A i C = A A, tada pretpostavke u linijama 1. i 4. postaju instance shema (A2) i (A1): 1. (A ((A A) A)) ((A (A A)) (A A)) (A2) 2. A ((A A) A) (A1) 3. (A (A A)) (A A) (1,2, MP) 4. A (A A) (A1) 5. A A (3,4, MP) Lema 2.3. Ako T L A C i T L A (C B), tada T L A B. Dokaz. Neka je T = {A C, A (C B)}. Tada za svaku formulu φ T važi T L φ pa, prema teoremi 2.1(e), važi i T L A B. Tvrdjenja u matematici su često formulisana u formi implikacije: ako P onda Q; tako je u prethodnoj lemi. Tvrdjenja tog tipa obično dokazujemo na sledeći način: pretpostavimo da važi P i dokazujemo da važi Q (kao u prethodnoj lemi). Sledeća (meta) teorema opravdava takav način rasudjivanja. Teorema dedukcije za sistem L. Za svaku teoriju T i formule A, B važi: T, A L B ako i samo ako T A B. Dokaz. Prvo pretpostavimo da važi T L A B i dokažimo T, A B. Neka je φ 1,..., φ n dokaz za A B koji koristi pretpostavke teorije T ; tada je φ n formula A B. Posmatrajmo niz: 1. φ 1 2. φ 2... n. A B (n+1). A (pretp.) (n+2). B (n,n+1, MP) Ovaj niz je dokaz formule B koji koristi pretpostavke teorije T {A}. Prema tome, T, A L B. U drugom smeru, indukcijom po n dokažimo da za svaku formulu C takvu da važi T, A L C i formula C ima dokaz dužine n koji koristi pretpostavke teorije T {A}, važi T L A C. Za n = 0 tvrdjenje važi. Pretpostavimo da tvrdjenje važi za sve formule koje imaju dokaz dužine manje od n i dokažimo da ono važi i za formulu B (čiji je dokaz φ 1,..., φ n ). Imamo tri moguńosti: (1) B T. U ovom slučaju niz 1. B (A B) (A1) 2. B (pretp.) 3. A B (1,2, MP) je dokaz formule A B iz pretpostavki teorije T, pa važi T L A B. (2) B = A. Prema Lemi 2.2 važi L A A, pa važi i T L A A, odnosno T L A B. (3) Formula φ n = B dobijena primenom pravila MP na prethodne članove niza; recimo da su to φ k i φ m, gde je φ m formula oblika (φ k B). Niz φ 1,..., φ k je dokaz dužine k < n formule φ k iz pretpostavki teorije T {A} pa, prema induktivnoj pretpostavci, važi T L A φ k. Rezonujući na sličan način u slučaju formule φ k B, dobijamo T L A (φ k B). Iz T L A φ k i T L A (φ k B), prema lemi 2.3, dobijamo T L A B. Napomena 2.4. Primetimo da smo do sada koristili isključivo sheme (A1) i (A2). Prema tome, sva dosadašnja tvrdjenja će važiti u ma kom formalnom sistemu za siakznu logiku u kome važe sheme (A1) i (A2) i u kome je modus ponens pravilo izvodjenja. 9

10 Za razliku od dokaza leme 2.2, niz u dokazu naredne leme nije formalan dokaz u sistemu L. Njime pokazujemo da postoji dokaz formule A (A B), ali ne dajemo eksplicitan formalan dokaz. Formalan dokaz bi bio znatno duži. Takodje, umesto modus ponensa primenjujemo njegovu posledicu: ako T 1 L A B i T 2 l A, tada T 1, T 2 l B. Lema 2.5. (a) L A ( A B). (b) A, A L B. (c) L A (A B). Dokaz. 1. L A ( B A) (A1) 2. A L A (pretp.) 3. A L B A (1,2, MP) 4. L ( B A) (A B) (A3) 5. A L A B (3,4,MP) 6. A L A (pretp.) 7. A, A L B (5,6, MP) 8. A L A B (7,TD) 9. L A ( A B) (8,TD) 10. L A (A B) (5, TD) Ovim smo dokazali deo (c). Dokaz dela (b) čini prvih sedam linija ovog dokaza, a dokaz dela (a) prvih devet linija. Lema 2.6. A L A. Dokaz. 1. A L A (pretp.) 2. L A ( A A) (lema 2.5(c)) 3. A L A A (1,2,MP) 4. L ( A A) ( A A) (A3) 5. A L A A (3,4,MP) 6. A L A (1,5,MP) Lema 2.7. L (A A) A. Dokaz. 1. A L A (lema 2.6) 2. A A L A A (pretp.) 3. A A, A L A (1,2, MP) 4. L A ( A (A A)) (lema 2.5(a)) 5. A L A (A A) (1,4, MP) 6. A A, A L (A A) (3,5, MP) 7. A A L A (A A) (6,TD) 8. L ( A (A A)) ((A A) A) (A3) 9. A A L (A A) A (7,8,MP) 10. L A A (lema 2.2) 11. A A L A (9,10,MP) 12. L (A A) A (11,TD) Teorija T je protivrečna (inconsistent) ako za svaku iskaznu formulu A važi T L A. Teorija je neprotivrečna (consistent) ako nije protivrečna. Drugim rečima, teorija T je protivrečna ako je svaka formula njena deduktivna posledica. 10

11 Lema 2.8. Ako za neku formulu A važi i T L A i T L A, tada je teorija T protivrečna. Dokaz. Pretpostavimo da za neku formulu A važi T L A i T L A. Prema lemi 2.5(b) za svaku formulu B važi A, A B pa, prema teoremi 2.1, važi i T L B. T je protivrečna teorija. Lema 2.9. Teorija T je protivrečna ako i samo ako za bar jednu formulu A važi T L (A A). Dokaz. Jedan smer je trivijalan: ako je T protivrečna teorija, tada je svaka formula njena deduktivna posledica, pa je to i formula (A A). U drugom smeru, pretpostavimo da T L (A A) važi za neku formulu A. Tada, prema lemi 2.2, važi T L A A, pa prema lemi 2.8 zaključujemo da je T protivrečna teorija. Lema Teorija je protivrečna ako i samo ako ima konačnu protivrečnu podteoriju. Dokaz. Pretpostavimo da je teorija T protivrečna. Prema lemi 2.9, važi T L (A A) za neku formulu A. Prema teoremi 2.1(b) postoji konačna teorije T 0 T takva da važi T 0 L (A A). Prema lemi 2.9, T 0 je protivrečna teorija. Time smo dokazali jedan smer tvrdjene ekvivalencije. Drugi smer je trivijalan. Lema Ako je T neprotivrečna teorija i A formula, tada je bar jedna od teorija T {A} i T { A} neprotivrečna. Dokaz. Pretpostavimo da je teorija T {A} protivrečna i dokažimo da je teorija T { A} neprotivrečna. Iz protivrečnosti teorije T {A} imamo T, A L A, pa prema teoremi dedukcije, važi i T L A A. Prema lemi 2.7 imamo T L (A A) A, pa zaključujemo T L A. Neka je T = T { A}. Tada za svaku formulu B T važi T L B pa, prema teoremi 2.1, teorije T i T imaju iste deduktivne posledice. Kako teorija T nije protivrečna, postoji formula koja nije njena deduktivna posledica, pa ta formula nije ni deduktivna posledica teorije T { A}. Teorija T { A} je neprotivrečna. Teorija T je maksimalna ako za svaku formulu A važi tačno jedan od uslova A T i A T. Lindenbaumova lema Svaka neprotivrečna teorija je sadržana u maksimalnoj, neprotivrečnoj teoriji. Dokaz. Pretpostavimo da je T neprotivrečna teorija. Skup svih iskaznih formula je prebrojiv, zato što je skup svih simbola jezika prebrojiv. Neka je φ 0, φ 1,..., φ n,... (n ω) njegova numeracija. Konstruišimo niz teorija {T n n ω} takav da je T 0 = T i da za svaki n ω važi: { Tn {φ T n+1 = n } ako je T n {φ n } neprotivrečna teorija T n { φ n } ako je T n {φ n } protivrečna teorija. Dobili smo rastući niz T = T 0 T 1... T n T n+1... teorija. Prema lemi 2.11 svaka teorija T n je neprotivrečna, jer ako je T n {φ n } protivrečna teorija, tada je T n { φ n } neprotivrečna teorija. Neka je T = n ω T n. Dokažimo da je T maksimalna neprotivrečna teorija. Svaka njena konačna podteorija je sadržana u nekoj teoriji T n pa je, prema lemi 2.10, T neprotivrečna teorija. Neka je A formula. Tada za neki indeks n važi A = φ n pa, prema konstrukciji, važi bar jedno od A T i A T. Oba ne mogu važiti, jer bi u tom slučaju važilo T L A T L A i teorija T bi bila protivrečna prema lemi 2.8. T je maksimalna teorija. Lema Neka je T maksimalna neprotivrečna teorija. (a) Za svaku formulu A važi: A T akko A T. (b) T je deduktivno zatvoren skup: T L A ako i samo ako A T. Dokaz. (a) T je maksimalna ako i samo ako su za svaku formulu B su uslovi B / T i ekvivalentni. Primenom ovog uslova na formule A i A dobijamo: lnotb T 11

12 A T akko A / T akko A T. (b) Pretpostavimo prvo da važi T L A i dokažimo A T. U suprotnom, iz A / T zbog maksimalnosti imamo A T odakle sledi T L A. Tada važi T L A i T l A pa je, prema lemi 2.8, T pritivrečan teorija, što je suprotno pretpostavci. Prema tome A T. time je dokazan jedan smer ekvivalencije. Drugi smer je trivijalan: ako A T tada T L A. Teorema o postojanju modela Svaka neprotivrečna teorija ima model. Dokaz. Pretpostavimo da je T neprotivrečna teorija. Prema Lindenbaumovoj lemi, postoji maksimalna neprotivrečna teorija T T. Za svako iskazno slovo p P rop definišimo: { 1 ako p T v(p) = 0 ako p / T Na ovaj način imamo definisanu valuaciju v : P rop {0, 1}. Dokazaćemo da je ona model teorije T. Prethodno dokažimo sledeće tvrdjenje. (1) Za svaku formulu A važi: ˆv(A) = 1 ako i samo ako A T. Neka je n broj pojavljivanja simbola i u formuli A. Tvrdjenje dokazujemo indukcijom po n. Za n = 0 formula A je iskazno slovo i za nju tvrdjenje važi prema definiciji valuacije v. Pretpostavimo da tvrdjenje važi za sve formule u kojima se pojavljuje manje od n simbola i. Imamo dva slučaja. Slučaj 1. A je B. Tada induktivna pretpostavka važi za formulu B. Imamo niz ekvivalencija: ˆv(A) = 1 akko ˆv(B) = 0 akko B / T akko B T ; Prva ekvivalencija sledi iz definicije proširenja valuacije ˆv, druga iz induktivne pretpostavke, dok je treća posledica maksimalnosti teorije T. Prema tome, važi ˆv(A) = 1 ako i samo ako A T. Slučaj 2. A je formula B C. Formule B i C zadovoljavaju induktivnu pretpostavku. Pretpostavimo prvo (B C) T i dokažimo ˆv(B C) = 1, odnosno da je ispunjen bar jedan od uslova ˆv(B) = 0 i ˆv(C) = 1. Ako nijedan od ova dva uslova nije ispunjen, tada prema induktivnoj hipotezi iz ˆv(B) = 1 imamo B T, a iz ˆv(C) = 0 imamo C / T, što je zbog maksimalnosti ekvivalentno sa C T ; zaključujemo T L C. S druge strane, iz T l B C i T L B imamo T L C. Prema tome, važi i T L C i T L C pa je, prema lemi 2.8, T protivrečna teorija, što je suprotno pretpostavci. Zaključujemo da je bar jedan od uslova ˆv(B) = 0 i ˆv(C) = 1 ispunjen, pa važi ˆv(B C) = 1. Time je dokazan jedan smer ekvivalencije. Da dokažemo drugi smer, pretpostavimmo ˆv(B C) = 1. Tada važi bar jedan od uslova ˆv(B) = 0 i ˆv(C) = ˆv(B) = 0. Prema induktivnoj hipotezi i maksimalnosti teorije T imamo B T, pa iz T L B i L B (B C) (lema 2.5) imamo T L B C. Zbog deduktivne zatvorenosti teorije T imamo (B C) T ˆv(C) = 1. Tada C T, pa iz T L C i L C (B C) (A1) imamo T L B C. Zbog deduktivne zatvorenosti teorije T imamo (B C) T. U oba podslučaja smo zaključili da važi (B C) T, čime smo dokazali drugi smer ekvivalencije u slučaju 2, čime je dokaz tvrdjenja (1) završen. Primetimo da iz tvrdjenja (1) sledi da za svaku formulu A T važi ˆv(A) = 1. Prema tome, valuacija v je model teorije T, pa je ona i model teorije T T. Teorema jake potpunosti sistema L Za svaku teoriju T i formulu A važi: T L A ako i samo ako T = A. Dokaz. Pretpostavimo da važi T L A. Da dokažemo T = A, pretpostavimo da je valuacija v model teorije T. Indukcijom po dužini dokaza formule A, kao u dokazu teoreme saglasnosti, nije teško proveriti da važi v = A. Time je dokazan jedan smer ekvivalencije. 12

13 Pretpostavimo sada da važi T = A. Tada je svaki model teorije T ujedno i model formule A, pa teorija T { A} nije zadovoljiva (nema model). Prema teoremi o postojanju modela, ona je protivrečna; posebno, važi T, A l A. Imamo: 1. T, A L A 2. T L A A TD 3. T L ( A A) A lema T L A (2,3, MP) Time smo dokazali T L A, čime je dokaz teoreme završen. Lagana posledica teoreme jake potpunosti je verzija teorema kompaktnosti za teorije čije su sve formule u jeziku Lukašijevičevog iskaznog računa; takve ne sadrže logičke veznike i. Teorema Neka je T teorija čije su sve formule u jeziku Lukašijevičevog iskaznog računa. Tada T ima model ako i samo ako svaka njena konačna podteorija ima model. Dokaz. Jedan smer je trivijalan: ako je teorija zadovoljiva, tada je svaki njen model ujedno i model svake njene podteorije. Drugi smer dokazujemo u kontrapoziciji. Pretpostavimo da teorija T nije zadovoljiva i dokažimo da neka njena konačna podteorija nije zadovoljiva. Kako T nije zadovoljiva važi T = (A A) pa, prema teoremi potpunosti, važi i T L (A A). Prema teoremi 2.1(b), postoji konačna podteorija T 0 T takva da je T 0 L (A A). Prema teoremi potpunosti važi T 0 = (A A). Kako formula (A A) nema model, ne može ga imati ni teorija T 0. T 0 nije zadovoljiva teorija. Skicirajmo dokaz pune teoreme kompaktnosti. Jedan smer je i dalje trivijalan. Drugi smer dokazujemo opet u kontrapoziciji. Pretpostavimo da je T skup iskaznih formula u širem jeziku koji nije zadovoljiv i dokažimo da neki njen konačan podskup nije zadovoljiv. Prvo prevedemo svaku iskaznu formulu φ u logički joj ekvivalentnu formulu φ jezika Lukašijevičevog formalnog sistema. Tada teorija T = {φ φ T } nije zadovoljiva, pa prema teoremi 2.13, neki njen konačan podskup T0 = {φ φ T 0 } nije zadovoljiv. Zbog logičke ekvivalentnosti formula φ i φ, ni T 0 nije zadovoljiva teorija. 3 Kompaktnost Primetimo da smo u dokazu teoreme kompaktnosti koristili Lukašijevičev formalni sistem, a da se tvrdjenje teoreme ne odnosi ni na jedan formalni sistem (tj. na sintaksu iskazne logike), već samo na značenje formula (semantiku). Postoje drugi dokazi koji se ne oslanjaju na sintaksu. Parcijalno uredjenje je par (P, R) gde je R binarna relazija na skupu P (R P 2 ) takva da za sve a, b, c P važe sledeći uslovi: 1. Refleksivnost. ara 2. Antisimetrija. arb i bra povlači a = b. 3. Tranzitivnost. arb i brc povlači arc. Relacija R koja zadovoljava ove uslove je relacija poretka (uredjenja) i obično se označava sa i. Uredjenje (kaže se i striktno uredjenje) je par (P, R) gde je R binarna relacija na skupu P koja je tranzitivna i irefleksivna: ara ne važi ni za jedan a P. Relacija R koja zadovoljava ova dva uslova je relacija striktnog uredjenja (poretka); označava se obično sa <. 13

14 U svakom parcijalnom uredjenju (P, ) uvek smatramo da je definisana i relacija < na sledeći način: za a, b P definišimo a < b ako i samo ako a b i a b. Lako se proverava da je (P, <) striktno uredjenje. Obrnuto, u svakom striktnom uredjenju (P, <) uvek smatramo da je definisana i relacija na sledeći način: za a, b P definišimo a b ako i samo ako a < b ili a = b. Lako se proverava da je (P, ) parcijalno uredjenje. Neka su a, b P elementi (parcijalno) uredjenog skupa. a je prethodnik elementa b ako važi a < b, a u tom slučaju kažemo i da je b sledbenik elementa a. a je neposredni prethodnik elementa b ako je a < b i ne postoji element c D takav da važi a < c < b. U tom slučaju, b je neposredni sledbenik elementa a. Ako je a < b tada je [a, b] = {x P a x b} zatvoreni interval sa krajevima a i b; analogno se definiše i otvoreni interval (a, b) i poluotvoreni intervali (a, b] i [a, b). Početni (inicijalni) otvoreni interval sa krajem a je skup (, a) = {x P x < a}; čine ga svi prethodnici elementa a. Početni zatvoren interval sa krajem a je (, a] = {x P x a}. Analogno se definiše i završni (finalni) otvoreni intervali (a, ) i [a, ). Za elemente a, b P parcijalnog uredjenja sledeći uslovi su ekvivalentni: (1) a b; (2) (, a] (, b]; i (3) [b, ) [a, ). a i b su uporedivi ako važi a b ili b a; u suprotnom, oni su neuporedivi, što označavamo sa a b. Uredjenje (P, <) je linearno ako su svaka dva njegova elementa uporediva. Ako je (P, <) uredjenje i A P, tada sa < A označavamo relaciju < A 2 (koja je restrikcija relacije < na skup A). (A, < A ) je takodje uredjenje. Neprazan skup L P je lanac ako je svaki par njegovih elemenata uporediv; ekvivalentno: ako je (L, < L ) linearno uredjenje. Lanac L je maksimalan ako ne postoji lanac čiji je on pravi podskup. Neprazan skup A P je antilanac ako je svaki par njegovih različitih elemenata neuporediv. Hausdorfov princip maksimalnosti: Svaki lanac uredjenog skupa je sadržan u nekom maksimalnom lancu. 3.1 Kenigova lema U ovom delu pod pojmom drvo podrazumevamo uredjenje (D, <) koje zadovoljava sledeće uslove: (1) D ima najmanji element (minimum) koji je koren drveta. (2) Svaki element ima konačno mnogo prethodnika i svi oni su medjusobno uporedivi, tj.čine lanac. Napomena 3.1. Termin drvo se u matematici koristi u znatno širem kontekstu. Obično je uslov (2) definicije zamenjen uslovom (2) Za svaki element a D skup (, a] je lanac koji ne sadrži beskonačan opadajući niz. U toj terminologiji drvo u našem smislu odgovara pojmu drveta visine ω. 14

15 Visina elementa a, u oznaci ht(a, D), je broj elemenata intervala (, p). Koren drveta jedini ima visinu 0. n-ti nivo ili n-ti sloj drveta D je Lev n (D) = {a D ht(a, D) = n}. ht(d) označava visinu drveta: to je najmanji prirodan broj n takav da svaki njegov element ima visinu n a, ukoliko takav prirodan broj ne postoji, ht(d) = ω. Grana je maksimalan lanac drveta List je maksimalan element drveta. Drvo je konačno ako je skup D konačan. Konačno drvo obično predstavljamo dijagramom nivoa i grana; na primer: 3. nivo j k l m n p 2. nivo e f g h i 1. nivo a b c d 0. nivo 0 Podrazumevamo da je uredjenje drveta predstavljenog dijagramom takvo da x < y važi ako i samo ako se od elementa x možemo penjati dužima dok ne dodjemo do elementa y; to je opravdano tvrdjenjem (b) naredne leme. Na primer, u gornjem drvetu 0 je koren i važi b < e < j, 0 < c < f, a h, f b,... Listovi drveta su a, j, k, l, f, m, n, h i p. Svaka grana pocinje iz korena i penje se duž linija nivo po nivo dok god je to moguće; u drvetu konačne visine grana se završava u maksimalnom elementu (listu), pa je broj grana jednak broju maksimalnih elemenata. Lema 3.2. Neka je D drvo. (a) Svaki element, sem korena, ima tačno jednog neposrednog prethodnika. neposredni prethodnik elementa b, tada je ht(b, D) = n + 1. Ako je a Lev n (D) (b) b je sledbenik elementa a ako i samo ako postoji prirodan broj m i niz a = c 0 < c 1 <... < c m = b u kome je element c i+1 neposredni sledbenik elementa c i za svaki indeks i < m. Važi ht(c i, D) = ht(a, D) + i za sve indekse 0 i n. (c) Svaki element koji nije maksimalan ima bar jednog neposrednog sledbenika. Dokaz. Označimo sa 0 koren drveta. (a) Ako je b 0, tada je (, b) neprazan skup jer sadrži koren. Pošto je (, b] lanac, možemo pretpostaviti da ga čine elementi 0 < c 1 <... < c n ; prema definiciji je ht(b, D) = n + 1. Prema tome, c n je najveći prethodnik elementa b, pa je on njegov jedini neposredni prethodnik; a je neposredni sledbenik elementa c n. Iz (, c n ) = {0, c 1,..., c n 1 } sledi ht(c n, D) = n. (b) Pretpostavimo prvo da je a < b. Neka interval (, b) čine elementi 0 < b 1 < b 2 <... < b n. Rezonujući kao u dokazu dela (a) zaključujemo da je (, b i+1 = {0, b 0,..., b i }, pa je b i+1 neposredni 15

16 sledbenik elementa b i za svaki i < n, dok je b neposredni sledbenik elementa b n. Zbog a (, b) postoji indeks k n takav da je a = b k. Svaki prethodnik elementa a je i prethodnik elementa b pa važi (, a) = {0, b 1,... b k 1 }. a = c k < c k+1 <... < c n < b je lanac u kome je svaki član neposredni sledbenik prethodnog. Time je dokazan jedan smer ekvivalencije. Drugi smer je trivijalan: ako postoji lanac neposrednih sledbenika koji počinje u a i završava se u b, tada važi a < b. Preostaje da primetimo da, prema delu (a), u svakom lancu neposrednih sledbenika c 0 < c 1 <... < c n važi ht(c i+1, D) = ht(c i, D). (c) Ako a nije maksimalan element, tada postoji b < a. Prema delu (b) 1. Neka je D drvo. (a) Elementi a, b D su neuporedivi akko ne postoji element koji je sledbenik svakog od njih. (b) Svaki nivo je antilanac. (c) Ako je ht(a, D) = n tada a ima tačno jednog prethodnika na svakom nižem nivou. (d) Konačne grane su skupovi oblika (, a] gde je a maksimalan element. (e) Svaka beskonačna grana sadrži tačno jedan element svakog nivoa. Visina konačnog drveta je prirodan broj. Beskonačno drvo može imati konačnu visinu; na primer, drvo koje ima samo koren i prvi nivo koji je beskonačan. Kenigova lema. Svako drvo koje ima konačne nivoe ima beskonačnu granu. Dokaz. Indukcijom konstruišemo rastući niz (a n n ω} takav da za svaki n ω važe sledeći uslovi: (1) ht(a n, D) = n; (2) a n ima beskonačno mnogo sledbenika. Primetimo prvo da iz ovih uslova sledi da je a n+1 neposredni sledbenik elementa a n. Neka je a 0 koren drveta. Pretpostavimo da element a n D zadovoljava uslove (1) i (2). Uslov (2) povlači da a n nije maksimalan element, pa prema lemi 3.2(c), on ima bar jednog neposrednog sledbenika; neka je Succ(a n ) skup svih njegovih neposrednih sledbenika. Prema lemi 3.2(a) važi Succ(a n ) Lev n+1 (D). Prema pretpostavci Lev n+1 (D) je konačan skup, pa je Succ(a n ) konačan, neprazan skup. Svaki sledbenik elementa a n je veći ili jednak od bar jednog njegovog neposrednog sledbenika pa, kako ima beskonačno mnogo sledbenika, zaključujemo da je bar jedan njegov neposredni sledbenik manji od beskonačno mnogo sledbenika; neka je to element a n+1 Succ(a n ). Prema tome, element a n+1 zadovoljava uslov (2), a zadovoljava i uslov (1) zbog Succ(a n ) Lev n+1 (D). Prema konstrukciji, skup A = {a n n ω} je lanac i sadrži tačno jedan element sa svakog nivoa. Svaki element b / A je neuporediv sa bar jednim elementom lanca A, onim sa istog nivoa. Prema tome, A je maksimalan lanac, odnosno grana. 3.2 Binarno drvo Drvo (D, <) je izomorfno drvetu (D, < ) ako postoji bijekcija f : D D takva da za sve a, b D važi: a < b ako i samo ako f(a) < f(b ). Drvo je binarno ako svaki element ima tačno dva neposredna sledbenika. Primetimo da binarno drvo nema maksimalnih elemenata, pa je svaka njegova grana beskonačna. Svaki nivo binarnog drveta ima dva puta više elemenata nego prethodni; n-ti nivo ima 2 n elemenata. Lema 3.3. Svaka dva binarna drveta su izomorfna. 16

17 Dokaz. Neka su (D, <) i (D, < ) dva binarna drveta. Indukcijom po nivoima opisujemo preslikavanje f : D D koje je izomorfizam. Prvo preslikamo koren drveta D u koren drveta D. Prvi nivo binarnog drveta ima dva elementa, recimo da je {a 0, a 1 } prvi nivo drveta D, a {b 0, b 1 } prvi nivo drveta D ; definišimo f(a i ) = b i za i = 0, 1. Prelazimo na drugi nivo. Element a 0 ima dva neposredna sledbenika {a 00, a 01 }; oni pripadaju drugom nivou drveta D. Element b 0 ima dva neposredna sledbenika {b 00, b 01 }; oni pripadaju drugom nivou drveta D. Definišimo f(a 0i ) = b 0i za i = 0, 1. Ponovimo isti postupak i za neposredne sledbenike elemenata a 1 i b 1. Na taj način dobijamo bijekciju skupa elemenata prva dva nivoa drveta D u skup elemenata prva dva nivoa drveta D. Na isti način produžavamo po svim nivoima i dobijamo bijekciju f : D D ; nije teško proveriti da je to izomorfizam. Tipično binarno drvo je (2 <ω, <). Pre definicije podsetimo: Za prirodne brojeve važi 0 = i n + 1 = {0, 1,..., n}; na primer, 1 = {0}, 2 = {0, 1},... ; A B označava skup svih funkcija iz skupa B u skup A. Definišemo 2 <ω = {0} n ω 2 n ; to je skup svih funkcija koje neki prirodan broj preslikava u skup {0, 1} sa pridodatim praznim skupom. Na skupu 2 <ω definišemo uredjenje: x y ako i samo ako x y; gde funkciju izjednačavamo sa njenim grafom. Drugim rečima, za f 2 n i g 2 m važi f < g ako i samo ako je n < m i g n = f. Svaku funkciju f : n 2 možemo interpretirati kao niz nula i jedinica f = f(0)f(1)... f(n 1). Pri ovoj interpretaciji za funkcije f, g važi f < g ako i samo ako je niz f početni deo niza ḡ. g je neposredni sledbenik elementa f ako se niz ḡ dobija iz niza f dopisivanjem nule ili jedinice zdesna. Ovo koristimo da binarno drvo predstavimo kao drvo čiji je koren prazan niz (odgovara praznom skupu) a ostali elementi su svi konačni nizovi nula i jedinica. Pri tome, grananjem ulevo dopisujemo nulu, a grananjem udesno jedinicu. Predstavljanje prva četiri nivoa binarnog drveta je: Koristeći ovu interpretaciju, nije teško dokazati i formalno da je (2 <ω, <) binarno drvo. Za n > 1 njegov n-ti nivo čine sve funkcije f : n 2; ima ih 2 n. Grane drveta (2 <ω, <) odgovaraju funkcijama f : ω 2 na sledeći način. Neka je {f n n ω} grana drveta (2 <ω, <). Kako ona sadrži tačno jedan element sa svakog nivoa, možemo pretpostaviti da je f n 2 n za svaki n ω. Za sve j < k važi f j < f k, pa za sve i < j važi f j (i) = f k (i). Prema tome, sa f(n) = f n+1 (n) definišemo funkciju f : ω 2 takvu da za sve prirodne brojeve va v zi f = f n. Važi i obrnuto: svakoj funkciji f : ω 2 odgovara grana {f n n ω}. Prema tome, možemo identifikovati skup svih grana binarnog drveta sa skupom 2 ω. Drvo (D, < ) je poddrvo drveta (D, <) ako važe sledeći uslovi: (1) D je početni deo uredjenja (D, <): D D i iz a D, b D i b < a sledi b D. (2) a < b ako i samo ako a, b D i a < b; formalno, < = (D D ) <. 17

18 Ako je L grana drveta D i D njegovo poddrvo, tada je skup L sadržan u nekoj grani L drveta D i pri tome je svaki element a L L sledbenik svakog elementa lanca L. Gledajući L kao podskup drveta D, možemo ga tumačiti kao skraćenu granu. Prema tome, poddrvo D dobijamo tako što skratimo neke grane drveta D. 2. Ako svaki element drveta ima najviše dva neposredna sledbenika, tada je to drvo izomorfno nekom poddrvetu drveta (2 <ω, <). 3. Neka je k > 1 prirodan broj. k-arno drvo je drvo u kome svaki element ima tačno k neposrednih sledbenika. (a) Dokazati da je svako k-arno drvo izomorfno drvetu k <ω = { } n ω k n funkcija uredjenog inkluzijom. (b) Dokazati da je svako drvo u kome svaki element ima najviše k neposrednih sledbenika izomorfno poddrvetu drveta k <ω. 3.3 Teorema kompaktnosti Neka je P rop = {p i i ω} skup iskaznih slova. Valuacije predstavljamo kao grane binarnog drveta (2 <ω, <) na sledeći način. Neka je v : P rop {0, 1} valuacija. Ona je jedinstveno odredjena nizom nula i jedinica v(p 0 )v(p 1 )v(p 2 )..., odnosno funkcijom f v : ω {0, 1} definisanom sa f v (i) = v(p i ). Iz prethodnog odeljka, ovaj niz (ili funkcija) odgovara grani binarnog drveta (2 <ω, <). Pri tome, element n-tog nivoa drveta tumačimo kao niz v(p 0 )v(p 1 )... v(p n 1 ). v(p 0 )v(p 1 )v(p 2 ) v(p 0 )v(p 1 ) v(p 0 ) Neka je φ iskazna formula u kojoj su sva iskazna slova koja se pojavljuju neka od p 0,..., p n 1. Neka je V φ skup svih valuacija koje su model formule φ. Skupu V φ odgovara neki skup grana binarnog drveta. Pokažimo da je to skup svih grana nekog poddrveta koje dobijamo sa konačno mnogo rezova ispod n-tog nivoa. Da li je ili ne, data valuaciju v model formule φ zavisi isključivo od vrednosti v(p 0 ), v(p 1 ),..., v(p n 1 ); ovaj niz je element n-tog nivoa binarnog drveta. Ispod svakog čvora n-tog nivoa koji nije model formule φ odsecimo granu. Beskonačne grane dobijenog poddrveta odgovaraju skupu V φ. Prikažimo ovo na primeru formule zadate istinitosnom tablicom p 0 p 1 φ

19 Iz binarnog drveta treba odseći samo granu ispod elementa 01 drugog nivoa: Skicirajmo dokaz teoreme kompaktnosti. Neka je T ma koja teorija. Posmatrajmo binarno drvo i njegove grane kao valuacije. Za svaku formulu φ konačnim brojem rezova možemo odstraniti sve grane koje nisu njen model. Učinimo to za sve formule φ T, pa posmatrajmo dobijeno poddrvo D. Skup svih beskonačnih grana tog poddrveta odgovara skupu modela teorije T : odstranjene su tačno one beskonačne grane koje nisu model neke formule φ T. Imamo dve mogućnosti: 1. D je beskonačno drvo. Kako su mu nivoi konačni, prema Kenigovoj lemi postoji beskonačna grana. Valuacija koja odgovara toj grani je model svake formule teorije T. 2. D je konačno drvo. U tom slučaju, postoji prirodan broj n takav da D ne sadrži ni jedan element n-tog nivoa binarnog drveta. Taj nivo je konačan, pa je odstranjen konačnim brojem rezova, Zaključujemo da postoji konačan skup formula T 0 T zbog kojih smo te rezove pravili. T 0 nema model. Zaključujemo da teorija T ima model ako i samo ako svaki njen konačan podskup ima model, što teorema kompaktnosti i tvrdi. Formalno, ovaj dokaz možemo zapisati na sledeći način. Dokaz teoreme kompaktnosti. Pretpostavimo da je teorija T konačno zadovoljiva (svaki konačan podskup ima model) i dokažimo da je zadovoljiva (ima model). Posmatrajmo binarno drvo (2 <ω, <). Za formulu φ T definišimo skup S φ na slede ci način. Neka je p n iskazno slovo sa najvećim indeksom koje se pojavljuje u formuli φ. S φ je skup svih f 2 <ω takvih da je dom(f) n + 1 i da za svaku valuaciju v : P rop 2 za koju je v (n + 1) = f važi i v = φ; Intuitivno, skup S φ odgovara čvorovima drveta koje treba odstraniti iz binarnog drveta da bi preostale tačno one beskonačne grane čije su odgovarajuće valuacije modeli formule φ. Primetimo da iz definicije sledi da je skup S φ finalni deo drveta: ako f S φ i f g 2 <ω, tada g S φ. Komplement finalnog dela drveta je njegov početni deo, odnosno poddrvo. Takodje, unija finalnih delova je finalni deo, pa je D = 2 <ω φ T S φ poddrvo drveta 2 <ω, zato što je dobijeno odstranjivanjem njegovih finalnih delova. Njegove beskonačne grane su tačno one čije odgovarajuće valuacije su modeli (svake formule) teorije T. Pokažimo da D nije konačno drvo. U suprotnom, za neki prirodan broj n n-ti nivo binarnog drveta je podskup skupa φ T S φ. Kako je nivo konačan, postoji konačna podteorija T 0 T takva da je on podskup skupa φ T0 S φ. φ T0 S φ je finalni deo binarnog drveta i sadrži njegov n-ti nivo, pa je njegov komplement 2 <ω φ T0 S φ konačan. Samim tim on ne sadrži beskonačnu granu, pa teorija T 0 nema model; kontradikcija. Time smo dokazali da je D beskonačno drvo. Prema Kenigovoj lemi drvo D ima beskonačnu granu. Ta grana je model teorije T. 19