Αριθµητική προσέγγιση

Transcript

1 Γραµµικά και µη γραµµικά συστήµατα Αριθµητική προσέγγιση k c m Θέση ισορροπίας x F(t)=F o cos(ωt) K=σταθερά ή όχι Ιδιοσυχνότητα του συστήµατος ω 0 Συχνότητα εξωτερικής διέγερσης ω 1

2 Παραδείγµατα (γραµµικά & µη γραµµικά)

3 Παραδείγµατα (µη γραµµικά) Μετεωρολογία, Καρδιολογία, το πρόβληµα των τριών σωµάτων, κ.α 3

4 Eξισώσεις γραµµικών συστηµάτων m dx + c dx + kx = Ft () dt dt Εξωτερική διέγερση F(t), π.χ F(t)=Acos(ωt) Iδιοσυχνότητα συστήµατος ~k/m Xαρακτηριστική απόσβεσης του συστήµατος c/m 4

5 Απόκριση συστήµατος αδρανειακών µαζών στροφικών ελατηρίων Γραµµικό δυναµικό σύστηµα I d θ 1 ( ) 1 = k 1 θ θ1 dt d θ I = k 1 θ1 θ + k θ3 θ dt ( ) ( ) I d θ dt 3 3 = k θ3 ( θ ) 5

6 Αδιαστατοποίηση Ανεξάρτητες µεταβλητές: χρόνος t Εξαρτηµένη µεταβλητή x Κλίµακα αδιαστατοποίησης χρόνου T n Κλίµακα αδιαστατοποίσης απόκλισης x 0 d x dt ct dx kt n n Tn + [ ] + x = F(πωΤ m dt m mx0 n t) ktn m T n = =1 m k d x dt ζ = k c dx Tn ω + ζ Τn + x = F( t) dt mx ω 0 n 6

7 Μέθοδοι επίλυσης Πεπερασµένες διαφορές-runge Kutta Oé üñïé ôçò áä. Ä.Å. êßíçóçò äéáêñéôïðïéïýíôáé ìå áêñßâåéá çò ôüîçò: d x xi 1 xi + x dx x + i 1 i+ 1 x i 1 = êáé = dt t dt t Ìáæß ìå ôéò Ï.Ó. x 0 =1 êáé (dx /dt ) t=0 =(T n /x 0 ).(dx/dt) t=0 (1çò ôüîçò äéáêñ.) ç Å.Ð.Ä. êßíçóçò åßíáé: P x + Q x + R x = f[( i ) t] i+ 1 i i 1 Ãéá åëåýèåñç ôáëüíôùóç ôï Ä.Ì. ãßíåôáé 0. ÌÝóù Ï.Ó. åßíáé ãíùóôü ôá x 1, x. Må ãíùóôþ ôç óõíüñôçóç ôçò åîùôåñéêþ äýíáìçò, ìðïñåß êáíåßò íá õðïëïãßóåé üëåò ôéò Üëëåò ôéìýò ôçò óõíüñôçóçò x(t). 7

8 Μετασχηµατισµός δ.ε. ης ΤΑΞΗΣ σε ισοδύναµο σύστηµα δ.ε. 1ης ΤΑΞΗΣ µεταβλητές αντικατάστασης: g f g = f 1 =, ισοδύναµο σύστηµα δ.ε.: g 1 dg dt dg dt = x 1 = g + ζω 0 g + ω 0 g1 = H ( t) Οριακές συνθήκες: για t = : g = 1, g = 8

9 9 ΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ RUNGE - KUTTA 4ης ΤΑΞΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ δ.ε. ( ) h k k k k 6 1 y y i 1 i = + ), ( ) 1, 1 ( ) 1, 1 ( ), ( k h y h x f k k h y h x f k k h y h x f k y x f k i i i i i i i i + + = + + = + + = = x i x i h = +1

10 Ταλάντωση εκκρεµούς x F = G*sin φ = m* g*sinφ R y φ l m a = l d dt φ F R φ G F l m l d dt φ = m g sinφ d φ + ω 0 sinφ = dt 0 ω ο = g l 10

11 Εξίσωση ταλάντωσης εκκρεµούς φ 3 φ 5 sin φ = φ ! 5! d dt φ + *( φ + φ...) = 0 3! 5! 3 5 ωο φ Προσοχή: Μη γραµµικό δυναµικό σύστηµα Γραµµικός όρος ω 0 φ Μη γραµµικός όρος ω 0 φ 3 Για µικρές αποκλίσεις φ, το δυναµικό σύστηµα είναιγραµµικό...αλλά για µεγάλες αποκλίσεις φ, µη γραµµικό! 11

12 Χαρακτηριστικά δυναµικών συστηµάτων Τα δυναµικά συστήµατα εξελίσσονται στον χρόνο ιακρίνονται σε γραµµικά και µηγραµµικά Έχουν µια παράµετρο ελέγχου (π.χ εξωτερική συχνότητα διέγερσης, αριθµός Reynolds ροής, παράµετρος µη γραµµικότητας, κ.λπ) Η συνήθης µέχρι σήµερα διερεύνηση των ήταν «ως γραµµικά» Η κατάσταση ισορροπίας είναι µη συνήθης κατάσταση, ενώ η κατάσταση µακράν της ισορροπίας είναι ο κανόνας (Prigogine) 1

13 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση (ζ=0, Η(t)=0 ) 1,5 1 0,5 0 t -0,5-1 -1,5 13

14 Εξαναγκασµένη ταλάντωση χωρίς απόσβεση (Η(t)=Hcos(ωt),ζ=0) 1,5 1 0,5 0 t -0,5-1 -1,5 14

15 Εξαναγκασµένη ταλάντωση χωρίς απόσβεση-διακροτήµατα (Η(t)=Hcos(ωt),ζ=0, ) \

16 Εξαναγκασµένη ταλάντωση χωρίς απόσβεση-συντονισµός (Η(t)=Hcos(ωt),ζ=0,ω=ω0 ) Φαινόµενο συντονισµού (ω=ω 0 )

17 Ελεύθερη ταλάντωση µε απόσβεση(η(t)=0, (περίπτωση υποαπόσβεσης ζ<1) 1, 1 0,8 0,6 0,4 0, 0 ζ=0,5 ζ=0,15-0, -0,4-0,6-0,8 17

18 Ελεύθερη ταλάντωση µε απόσβεση(η(t)=0,ζ>1) (περίπτωση υπεραπόσβεσης) 1 Ελεύθερη κίνηση εκρεµούς µε απόσβεση για ζ>1 ζ=1 ζ= ζ=5 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,

19 Χώρος φάσεων Ελεύθερη ταλάντωση µε απόσβεση dx/dt 19

20 Μελέτη επίδρασης αριθµητικής παραµέτρου και για άλλες περιπτώσεις.π.χ. Εξαναγκασµένη ταλάντωση µε απόσβεση(h(t)=hcost) 1, 1 0,8 0,6 0,4 0, 0-0, -0,4 Στο παραπάνω διάγραµµα εικονίζονται οι αριθµητικές λύσεις της εξίσωσης x``+x`+x=cos(3t).ηκίτρινηγραµµή αντιστοιχεί σε χρονικό βήµα dt=0.5sec,η ροζ σε χρονικό βήµα dt=0.1sec και η µπλε σε χρονικό βήµα dt=0.01sec.προφανώς και εδώ καταλήγουµεστοσυµπέρασµα ότιηαριθµητικήλύσητηςδ.ε. δεν επηρεάζεται από τι χρονικό βήµα ότανdt<0.1sec ενώ για dt>0.5sec µέθοδος δίνει αποτελέσµατα εκτός πραγµατικότητας 0

21 Εξαναγκασµένη(αρµονική διέγερση) ταλάντωση µε απόσβεση (H(t)=Hcos(ωt),ω 0 =1,ω=3,Η=1,ζ=1) διάγραµµα φάσεων u(m/sec) x(m) Οριακός κύκλος ισορροπίας 1

22 ΜΕΡΟΣ Β ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΧΑΟΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΤΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ d x m + kx µ kx dt = 0 Εξίσωση Duffing µ παράµετρος µη γραµµικότητας

23 Χαοτική απόκριση -διάγραµµαφάσεωνσυστήµατος Duffing (εξαναγκασµένη ταλάντωση µε µηγραµµικό όρο). Αρχικές συνθήκες:x(0)=3,v(0)=

24 Χαοτική απόκριση -διάγραµµαφάσεωνσυστήµατος Duffing µε εξίσωση: x``+0.1x`+0.5x+x 3 =10cost+5sint Αρχικές συνθήκες:x(0)=3,v(0)=

25 Μεταβολή απόκρισης για µικρές αλλαγές των αρχικών συνθηκών σε χαοτική απόκριση συστήµατος Duffing. H µπλε γραµµή αντιστοιχεί σε αρχικές συνθήκες x(0)=3,v(0)=4. H ροζ γραµµή αντιστοιχεί σε αρχικές συνθήκες x(0)=3.01,v(0)= Αποκλιση τροχιών, Χαοτικός χρόνος Τ, ε Τ =10 ε 0 5

26 Ευαίσθητη εξάρτηση από αρχικές συνθήκες Τα µη γραµµικά συστήµατα έχουν ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες Θετικούς εκθέτες Lyapunov δε=δε 0 e λt 6

27 Επίδραση µη γραµµικής δύναµης Όσο µεγαλύτερη η µη γραµµικότητα, τόσο µικρότερος ο χαοτικός χρόνος 7

28 Τάξη µέσα σε αταξία 8

29 Χώρος φάσεων µη γραµµικού συστήµατος 9

30 Χώρος φάσεων- Παράξενος ελκυστής 30

31 Πόσο καλά γνωρίζουµε τις αρχικές συνθήκες του προβλήµατος x + 4x 3 = 0 x = ± 7 Με πόσο πλήθος δεκαδικών ψηφίων γνωρίζω τη λύση; Πόσο καλά γνωρίζω τις αρχικές συνθήκες ροής σε σωλήνα; Πόσο καλά γνωρίζω τις θέσεις των πλανητών; Πόσο καλά γνωρίζω τον καιρό τώρα; 31

32 Τοµές Poincare Οι τοµές Poincare είναι ένας τρόπος ποσοτικοποίησης της χαοτικής απόκρισης. Μια τοµή Poincare αντιστοιχεί σε ένα διάγραµµαφάσεωνµόνο που δεν εικονίζονται όλα τα σηµεία των τροχιών σε αυτό,αλλά αυτά που αντιστοιχούν σε ακέραιο πολλαπλάσιο µιας χρονικής σταθεράς, Οι ελκυστές είναι είτε σηµεία ισορροπίας είτε οριακοί κύκλοι στους οποίους συγκλίνουν οι τροχιές των αποκρίσεων των συστηµάτων. Όταν,όµως,οι τροχιές ενός συστήµατος δεν είναι περιοδικές όπως συµβαίνει στα χαοτικά συστήµατα τότε οι ελκυστές δεν συγκλίνουν κάπου και εµφανίζονται να έχουν πιο σύνθετη γεωµετρική Στροβοσκοπική παρουσίαση τροχιών 3

33 Τοµή Poincare 33

34 Αλεπούδες και Λαγοί-Μη γραµµικό δυναµικό σύστηµα Lotka-Volterra dr dt r t = αr βrf i+1 i = αri βri fi r df dt = f f γ f + δrf i+1 i = γ f + δr f i i t i ri + = ri + ( αri β 1 ri fi ) t f i + 1 = fi + ( γfi + δri fi ) t 34

35 Αποτελέσµατα Λαγοί Αλεπόυδες Πληθυσµός t (έτη) 35

36 ιάγραµµα φάσεων ιασπορά των Πληθυσµών για βήµα διακριτοποίησης DT=1./64. και διάφορες αρχικές συνθήκες για 100 Χρόνια Λαγοί Αλεπούδες-199 Λαγοί 05 Αλεπούδες-195 Λαγοί 10 Αλεπούδες-190 Λαγοί 50 Αλεπούδες-150 Λαγοί 151 Αλεπούδες-99 Λαγοί 156 Αλεπούδες-318 Λαγοί 150 Αλεπούδες-150 Λαγοί Αλεπούδες 36

37 Σύστηµα πρόβλεψηςκαιρού-lorenz (, ) ( x, z) ( Ψ, θ) ( x, z) T Η Ψ Ψ Ψ = t θ t ν α θ 4 + Ψ + g x Ψ = + + κ x θ Ø = ñïúêþ óõíüñôçóç, è = äéáöïñü èåñìïêñáóßáò áðü ôç èåñìïêñáóßá ôïõ óõóôþìáôïò ãéá ôçí ðåñßðôùóç ìç óõíáãùãþò, g = åðéôü õíóç ôçò âáñýôçôáò, á = óõíôåëåóôþò èåñìéêþò äéáóôïëþò, í = êéíçìáôéêþ óõíåêôéêüôçôá, ê = èåñìéêþ áãùãéìüôçôá. 37

38 Ανάπτυξη κατά Fourier-Aποκοπή όρων dx dτ dy dτ dz dτ = σ X + σ Y = X Z + r X Y = X Y b Z ô = ð Ç - (1+á )êt åßíáé ï áäéüóôáôïò ñüíïò, ó = ê -1 í åßíáé ï áñéèìüò Prandtl, r = Ra/R c êáé b = 4(1+á ) -1 Óå áõôýò ôéò åîéóþóåéò ôï X åßíáé áíüëïãï ðñïò ôçí Ýíôáóç ôçò óõíáãùãþò, ôï Y åßíáé áíüëïãï ðñïò ôçí äéáöïñü èåñìïêñáóßáò áíüìåóá óôá áíåñ üìåíá êáé êáôåñ üìåíá ñåýìáôá êáé ôï Z åßíáé áíüëïãï ðñïò ôçí äéáôáñá Þ ôïõ êüèåôïõ ðñïößë èåñìïêñáóéþí áðü ôç ãñáììéêüôçôá. Z > 0 óçìáßíåé üôé ïé éó õñüôåñåò êëßóåéò èåñìïêñáóßáò ëáìâüíïõí þñá êïíôü óôá óýíïñá. 38

39 Αποτελέσµατα- Παράξενοι ελκυστές Τοµές X-Y και X-Z 39

40 Ο παράξενος ελκυστής 40

41 8 Χαρακτηριστικά µη γραµµικών δυναµικών συστηµάτων Åõáéóèçóßá óôéò Áñ éêýò ÓõíèÞêåò: Ôá áïôéêü óõóôþìáôá ìïëïíüôé íôåôåñìéíéóôéêü äåí åßíáé ðñïâëýøéìá, êáèþò ìéá ìçäáìéíþ äéáöïñïðïßçóç óôéò áñ éêýò óõíèþêåò ìðïñåß íá äþóåé åíôåëþò äéáöïñåôéêþ áðüêñéóç. Ôï ãåãïíüò áõôü ãßíåôáé áêüìá ðéï áéóèçôü óå óõóôþìáôá ìå ðïëëïýò â.å. (ð.. Ìåôåùñïëïãßá). Áíáöåñüìåíïò óôç áäõíáìßá ðëþñïõò ðñüâëåøçò ôùí êáéñéêþí óõíèçêþí ï Lorenz åßðå ïôß ôï ìç ãñáììéêü óýóôçìá ôïõ êáéñïý åßíáé ôüóï åõáßóèçôï óå áñ éêýò óõíèþêåò þóôå ôï öôåñïýãéóìá ìéáò ðåôáëïýäáò óôç Âñáæéëßá íá ðñïêáëåß êáôáéãßäá óôç Í. Õüñêç!! ÊñõììÝíç ÔÜîç: ÐáñÜ ôçí áêáíüíéóôç áðüêñéóç ôïõò, ïöåéëüìåíç óôï ìç ãñáììéêü áñáêôþñá ôïõò, ôá áïôéêü óõóôþìáôá ðáñïõóéüæïõí êüðïéá ïñãáíùìýíç äïìþ ç ïðïßá ãßíåôáé Ýêäçëç ìå ôç Üñáîç åëêõóôþí óôï ðåäßï ôùí öüóåùí, ôïí õðïëïãéóìü fractal äéáóôüóåùí, ôç ëþøç ôïìþí Poincare. 41

42 Τα πειράµατα του Osborne Reynolds (Manchester, 1850) Ροή σε σωλήνα κυκλικής διατοµής Παράλληλη ροή για Re µέχρι και Στατιστικά µετάβαση στρωτής ροής σε τυρβώδη σε Re 300 Μείωση του Re από τυρβώδη σε στρωτή 300 4

43 Ροή Couette-Taylor Ροή µεταξύ δύο στρεφοµένων κυλίνδρων 43

44 Ροή σε κοίλη επιφάνεια (στρόβιλοι Gotler) 44

45 Γραµµές ροής σε απότοµη διεύρυνση (διδιάστατος αγωγός) RE=

46 ιακλαδώσεις (παράµετρος ελέγχου Re) X X3 X4 X1 L 46

47 Θερµική συναγωγή 47

48 Αυτο-οµοιότητα Πόσο είναι το µήκος των ακτών της Ελλάδας; 48

49 Κλασµατοµορφή (fractal) ΠροέρχεταιαπότοΛατινικόfractus που σηµαίνει σπασµένο και προτάθηκε από τον Mandelbrot Εκφράζει εξαιρετικά ανώµαλες καµπύλες ή σχήµατα που επαναλαµβάνουν τον εαυτό τους σε κάθε κλίµακα που εξετάζονται (αυτο-οµοιότητα σε όλες τις κλίµακες) Κάθε µορφή µε διάσταση µη ακέραια τιµή (0,1,,3) αποτελεί κλασµατοµορφή. Ηκλασµατική διάσταση εισήχθη το 1918 από τον Μαθηµατικό Hausdorf Tαβουνά, οι ποταµοί, οι βρόγχοι, οι πνεύµονες είναι κλασµατοµορφές 49

50 Αυτο-οµοιότητα 50

51 Πως υπολογίζεται η κλασµατική διάσταση Ν=4 D=1 Ν=64 D= D=3 Ν=16 Ν=S^D D=logN/logS 51

52 Καµπύλη του Koch Ν=4, ε=1/3 Aυτο-οµοιότητα Κλασµατική διάσταση Ν=16, ε=1/9 Ν n =4 n, ε n =1/3 n D=log(N n )/log(1/ε n ) D=-log4/log3=1,618 L=lim N n.ε n =άπειρο 5

53 Αυτο-οµοιότητα Τρίγωνα Seirpinski Ν=3, S= N=7, S=8 D=logN/logS D=1,58 53

54 Aυτο-οµοιότητα N=5,S=3 D=log5/log3=1,46 N=5, S=9 N=S^1,46 54

55 Εκθέτης Lyapunov ΟεκθέτηςLyapunov χαρακτηριστικός εκθέτης δυναµικών συστηµάτων χαρακτηρίζει τον ρυθµό αποµάκρυνσης δύο αρχικά απειροστά πλησίον τροχιών. Θετική τιµήδείχνειοτιυπάρχειευαίσθητηεξάρτησηαπό αρχικές συνθήκες. Θετική τιµή τουεκθέτηlyapunov δείχνει αδυναµία να προβλέψουµε το δυναµικό σύστηµα. Στα χαοτικά συστήµατα, ποιοτικά δύο τροχιές µε µικρή απόκλιση στο χώρο των φάσεων αποκλίνουν. Οι παράξενοι ελκυστές έχουν ένα τουλάχιστον θετικό εκθέτη Lyapunov. ε= ε 0 e λt 55

56 Ελκυστής υναµικά συστήµατα γραµµικά µε απόσβεση έχουν ελκυστές είτε σηµείο (ισορροπία), είτε οριακό κύκλο. Χαοτικά δυναµικά συστήµατα έχουν παράξενους ελκυστές στο χώρο των φάσεων, όπου τα σηµεία δεν επαναλαµβάνονται (οι τροχιές δεν τέµνονται), αλλά παραµένουν στη ίδια περιοχή. Οι παράξενοι ελκυστές έχουν κλασµατική διάσταση 56

57 Χάος-Ι Ο αρχαιότερος των θεών Κατάσταση εξαιρετικής σύγχυσης και αταξίας υναµικό σύστηµα που είναι εξαιρετικά ευαίσθητο στις αρχικές του συνθήκες Φαινοµενική τυχαιότητα της οποίας η αρχή είναι εξ ολοκλήρου ντετερµινιστική. Κατάσταση αταξίας και ανωµαλίας της οποίας η εξέλιξη στον χρόνο αν και υπακούει σε απλούς νόµους είναι ιδιαίτερα ευαίσθητη στις αρχικές συνθήκες. Μικρή αλλαγή αρχικών συνθηκών δηµιουργεί εξαιρετικά διαφορετικές καταστάσεις, έτσι ώστε η µακροχρόνια πρόβλεψη να µην είναι δυνατή. Προσπάθειες γίνονται για την ανακάλυψη της στατιστικής οµοιοµορφίας που είναι κρυµµένη στο χάος Η χαοτική κίνηση είναι απεριοδική και προέρχεται από δυναµικά συστήµατα-ντετερµινιστικά µεευαίσθητηεξάρτησηαπότιςαρχικές συνθήκες. 57

58 Χάος-ΙΙ Ο Νεύτωνας και η εποχή του, µε τουςνόµους τους, υπήρξαν οι θεµελιωτές του ντετερµινισµού, παρουσιάζοντας την εξέλιξη του κόσµου ως κινηµατογραφική ταινία που παίζεται και µπρός και πίσω(συµµετρίαωςπροςτονχρόνο). Ο Prigogine έδειξε οτι σύνθετες καταστάσεις προκύπτουν ως εξέλιξη απλών, χωρίς αναστρεψιµότητα. Ο Poincare θεωρείταιοπατέραςτουχάουςανκαιαπέτυχενα πάρει το βραβείο του King Oscar της Φιλανδίας αποδεικνύοντας το το ηλιακό σύστηµα είναι ευσταθές!. Ευτυχώς γιατί δεν είναι!! Ο Lorenz (1960) είδε το χάος στη µετεωρολογία Τα δυναµικά συστήµατα της φύσης είναι χαοτικά. ιαφέρουν στο µέγεθος του χαοτικού χρόνου, δηλαδή στη µη γραµµικότητά τους. 58

59 Χαρακτηριστικά δυναµικών συστηµάτων Τα δυναµικά συστήµατα εξελίσσονται στον χρόνο ιακρίνονται σε γραµµικά και µη γραµµικά Έχουν µια παράµετρο ελέγχου (π.χ εξωτερική συχνότητα διέγερσης, αριθµός Reynolds ροής, παράµετρος µη γραµµικότητας, κ.λπ) Η συνήθης µέχρι σήµερα διερεύνηση των ήταν «ως γραµµικά» Στηφύσηήταµηχανικά συστήµατα γενικά, η κατάσταση ισορροπίας είναι µη συνήθης κατάσταση, ενώ η κατάσταση µακράν της ισορροπίας είναι ο κανόνας (Prigogine) Τα χαοτικά συστήµατα έχουν θετικούς εκθέτες Lyapunov, κλασµατική διάσταση παράξενων ελκυστών και χαοτικούς χρόνους... µικρούς ή µεγάλους. Στόχος µας ο έλεγχος του χάους µέσω ανάδρασης 59