Γ ε ω μ ε τ ρ ι α. Β Λ υ κ ε ι ο υ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γ ε ω μ ε τ ρ ι α. Β Λ υ κ ε ι ο υ"

Transcript

1 ε ω μ ε τ ρ ι Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι : Τ κ η ς Τ σ κ λ κ ο ς

2 ε ω μ ε τ ρ ι Λ υ κ ε ι ο υ

3 ε ω μ ε τ ρ ι Λ υ κ ε ι ο υ νλογιες Ομοιοτητ Μετρικες Σχεσεις Εμβδ Μετρηση Κυκλου Με πολυ μερκι ι τους κλους φιλους μου Κερκυρ 15 H δικη μου ποψη γι την βοηθει των μθητων

4 ε ω μ ε τ ρ ι Λ υ κ ε ι ο υ ν λ ο γ ι ε ς

5 ν λ ο γ ι ε ς 1. Ο ρ ι σ μ ο ι Μεγεθος γενικ λεγετι οτιδηποτε επιδεχετι υξηση η ελττωση εωμετρικ μεγεθη λεγοντι τ μεγεθη που εξετζοντι πο τη εωμετρι. Τετοι εινι τ ευθυγρμμ τμημτ, οι γωνιες, τ τοξ, οι επιφνειες επιπεδων σχημ- των, οι ογκοι των στερεων κτλ. ι ι ρ ε σ η ε υ θ υ γ ρ μ μ ο υ τ μ η μ τ ο ς σ ε ν ι σ τ μ η μ τ Πιρνουμε εν ευθυγρμμο τμημ, με μηκος που δεν διιρειτι με το 3 κι θελουμε ν το διιρεσουμε σε τρι ισ τμημτ. Μπορουμε ν διιρεσουμε το ευθυγρμμο y τμημ σε τρι ισ τμημτ με κριβει, Ε με τη βοηθει κνον κι διβητη ως εξης: πο το σημειο φερουμε μι τυχι ημιευθει x Ζ κι πνω σ υτην πιρνουμε με το διβητη τρι δι- x Η δοχικ ισ ευθυγρμμ τμημτ Ε, ΕΖ, ΖΗ. Ενωνουμε τ σημει, Η π τ σημει Ζ, Ε, φερνουμε Ζ, Ε, y πρλληλες προς τη Η. Οι πρλληλες υτες οριζουν στην x ισ τμημτ, οποτε θ οριζουν ισ τμημτ κι στην. ρ εχουμε = =. Με τον ιδιο τροπο μπορουμε ν διιρεσουμε το ευθυγρμμο σε 4, 5, 6,..., ν ισ τμημτ. ινομενο ευθυγρμμου τμημτος με ριθμο ν = ευθυγρμμο τμημ κι ν φυσικος ριθμος, ονομζουμε γινομενο του τμημτος επι το φυσικο ριθμο ν το ευθυγρμμο τμημ, το οποιο εινι το θροισμ ν ευθυγρμμων τμην φορες μτων ισων προς το =. ρφουμε = ν. ν χωρισουμε, οπως πρπνω, το ευθυγρμμο τμημ = σε ν ισ μερη κθεν πο τ ν ιστμημτ τ πριστνουμε με η 1 ν ν. Το ευθυγρμμο τμημ ΕΖ λεγετι υ π ο δ ι ι ρ ε σ η (υ π ο π ο λ λ π λ σ ι ο) του ευθυγρμμου τμημτος ν υπρχει φυσικος ριθμος ν ωστε : ΕΖ ν ν μ εινι ενς θετικος κεριος κι προσθεσουμε μ τμημτ ΕΖ προκυπτει το μ q = ν μ τμημ μ ΕΖ μ ν ν q. θετικος ρητος Ονομζουμεγ ι ν ο μ ε ν ο του ευθυγρμμου τμημτος επι το θ ε τ ι κ ο ρ η - τ ο q, το ευθυγρμμο τμημ.

6 ν λ ο γ ι ε ς Μ η δ ε ν ι κ ο ε υ θ υ γ ρ μ μ ο τ μ η μ Οριζουμε το γινομενο ευθυγρμμου τμημτος επι τον ριθμο q =. Σ υ μ μ ε τ ρ ε υ θ υ γ ρ μ μ τ μ η μ τ Εινι δυο ευθυγρμμ μη μηδενικ τμημτ,, τετοι ωστε, ν υπρχει ευθυγρμμο τμημ ΚΛ κι φυσικοι ριθμοι μ, ν κι ν ισχυει : = ν ΚΛ κι = μ ΚΛ Το ΚΛ λεγετι κ ο ι ν ο μ ε τ ρ ο των ευθυγρμμων τμημτων κι. Λ ο γ ο ς ε υ θ υ γ ρ μ μ ω νσ υ μ μ ε τ ρ ω ν τ μ η μ τ ω ν Εινι ο ριθμος q, γι τον οποιο εινι : = q q =.. ν λ ο γ ε υ θ υ γ ρ μ μ τ μ η μ τ - ν λ ο γ ι ε ς ν λ ο γ Ε υ θ υ γ ρ μ μ Τ μ η μ τ Λεγοντι δυο ευθυγρμμ τμημτ, γ προς δυο λλ ευθυγρμμ τμημτ β, δ οτν ο λογος του προς το β ισουτι με το λογο του γ προς το δ, δηλδη οτν ισχυ- ει : = β γ δ Η ισοτητ των λογων γ = β δ λεγετι ν λ ο γ ι. Τ τμημτ, βλεγοντι ο μ ο λ ο γ η ν τ ι σ τ ο ι χ των τμημτων γ, δ κι ντιστροφ., δ : λεγοντι κ ρ ο ι ο ρ ο ι β, γ : λεγοντι μ ε σ ο ι ο ρ ο ι δ : λεγετι τ ε τ ρ τ η ν λ ο γ ο ς των, β κι γ. β : λεγετι μ ε σ η ν λ ο γ ο ς η γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ο ς μ ε σ ο ς των, δ, ν β = γ ( η νλογι σ υ ν ε χ η ς ) Ι δ ι ο τ η τ ε ς ν λ ο γ ι ω ν Σε κθε νλογι το γινομενο των κ ρ ω ν των μ ε σ ω ν ο ρ ω ν. γ ν = τοτε δ = βγ β δ ο ρ ω ν εινι ισο με το γινομενο Σε κθε νλογι μπορουμε ν ενλλξουμε τους μ ε σ ο υ ς η κ ρ ο υ ς ο ρ ο υ ς κι ν προκυψει πλι νλογι. γ β δ γ ν = τοτε = η = β δ γ δ β Λογοι ισοι μετξυ τους εινι κι ισοι με το λογο που εχει ριθμητη το θροισμ των ριθμητων κι προνομστη το θροισμ των προνομστων. γ γ + γ γ κ + γ κ ν = τοτε = = γενικ = =... = = β δ β δ β + δ β δ λ β + δ λ

7 ν λ ο γ ι ε ς Σε κθε νλογι μπορουμε ν προσθεσουμε (φιρεσουμε) τους προνομστες στους ριθμητες η τους ριθμητες στους προνομστες. γ β γ δ γ ν = τοτε = η = β δ β δ β γ δ 3. Μ η κ ο ς ε υ θ υ γ ρ μ μ ο υ τ μ η μ τ ο ς Ο ρ ι σ μ ο ς Μετρο η μηκος ενος ευθυγρμμου τμημτος εινι ο λογος του προς εν λλο ευθυγρμμο τμημ, που πιρνουμε ως μονδ μετρησης. Π ρ τ η ρ η σ ε ι ς υο ισ τμημτ εχουν ισ μετρ κι ντιστροφ, ως προς οποιδηποτε μονδ μετρησης. Ο λογος των μετρων δυο τμημτων, που μετρωντι με την ιδι μονδ μετρησης, ισουτι με το λογο των δυο τμημτων κι εινι νεξρτητος πο τη μονδ μετρησης. Το μετρο του τμημτος εινι μη ρνητικος ριθμος κι συμβολιζετι οπως κι το τμημ. Οσ νφερμε γι το λογο κι το μετρο τμημτος ισχυουν γενικ κι γι λλ γεωμετρικ μεγεθη, οπως η γωνι, το τοξο κτλ. 4. ι ι ρ ε σ η τ μ η μ τ ο ς σ ε δ ο σ μ ε ν ο λ ο γ ο ν το Μ εινι εσωτερικο σημειο του ευθυγρμμου τμημτος τοτε λεμε οτι το Μ διιρει εσωτερικ το σε λ ο γ ο λ ν : Μ = λ Μ ν το Μ εινι εξωτερικο σημειο του ευθυγρμμου τμημτος τοτε λεμε οτι το Μ δ ι ι ρ ε ι ε ξ ω τ ε ρ ι κ τ ο σ ε λ ο γ ο λ ν : Μ = λ Μ Το σημειο Μ στις πρπνω περιπτωσεις εινι μ ο ν δ ι κ ο. Π ρ τ η ρ η σ η Λεμε οτι το Μ χωριζει σε λογο λ το, ν Μ = λ Μ το, ν Μ = λ Μ Τ σημει, λεγοντι συζυγη ρμονικ ως προς τ, ν διιρουν εσωτε- = ρικ κι εξωτερικ το τμημ στον ιδιο λιγο. ηλδη Το εινι το ρμονικο συζυγες του ως προς τ κι. Το εινι το ρμονικο συζυγες του ως προς τ κι. Τ σημει, κι, ποτελουν ρ μ ο ν ι κ η τ ε τ ρ δ.

8 5. Θ ε ω ρ η μ τ ο υ Θ λ η Θ ε ω ρ η μ τ ο υ Θ λ η ν λ ο γ ι ε ς ν τρεις πρλληλες ευθειες τεμνουν λλες δυο ευθειες, θ οριζουν πνω σ υτες τμημτ νλογ. ηλδη ν ε1 // ε // ε3 θ εινι: (σχημ 1, ) = = Ε ΕΖ Ζ Π ρ τ η ρ η σ η λλες διτυπωσεις του θεωρημτος : Ε Ε = κι = ΕΖ Ζ Το θεωρημ του Θλη ισχυει κι γι περισσοτερες πο τρεις πρλληλες ευθειες που τεμνουν λλες δυο. ν τ ι σ τ ρ ο φ ο θ ε ω ρ η μ τ ο ς τ ο υ Θ λ η ν δυο πρλληλες ευθειες ε1, ε τεμνουν δυο λλες ευθειες δ1, δ στ σημει, κι, Ε ντιστοιχ κι μι τριτη ευθει τις τεμνει στ, Ζ ετσι ωστε = Ε ΕΖ (σχημ 1) τοτε η Ζ εινι πρλληλη στις ε1, ε. Ε υ θ ε ι π ρ λ λ η λ η σ ε π λ ε υ ρ τ ρ ι γ ω ν ο υ δ1 δ δ1 δ Ε Ε ε1 Ζ Ζ ε Η Η ε3 Σχημ 1 Σχημ ν πρλληλη ευθει σε μι πλευρ τριγωνου τεμνει τις λλες δυο πλευρες του, τοτε οριζει πνω σ υτες τμημτ νλογ. ηλδη ν Ε // τοτε θ ισχυει Ε = Ε η ισοδυνμ Ε = Η προτση ισχυει κι οτν η ευθει τεμνει τις προεκτσεις των δυο πλευρων. Ε Ε Κθε ευθει πρλληλη σε μι πλευρ τριγωνου οριζει με τις λλες δυο πλευρες τριγωνο που εχει πλευρες νλογες προς τις πλευρες του ρχικου τριγωνου. ηλδη ν Ε // τοτε θ ισχυει Ε = Ε η ισοδυνμ Ε = Η προτση ισχυει κι οτν η ευθει τεμνει τις προεκτσεις των δυο πλευρων. Ε Ε

9 Κ τ σ κ ε υ η τ ε τ ρ τ η ς ν λ ο γ ο υ ν δοθουν τρι ευθυγρμμ τμημτ, β, γ, ν κτσκευσθει τμημ x (τετρ- τη νλογος) τετοιο ωστε = β ν λ ο γ ι ε ς Λ υ σ η Εστω μι γωνι zoy. Πνω στη μι πλευρ της Οz πιρνουμε διδοχικ τ τμημτ Ο =, = β κι πνω στην Oy το τμημ Ο = y. πο το φερουμε την πρλληλη προς την, που τεμνει την Oy στο Ο Ο Ο γ. Τοτε = x γιτι = η = β x Με τον ιδιο τροπο κτσκευζουμε το τμημ xν : γ x. x β β γ = η = η = γ x γ β x ρκει κθε φορ ν γρφουμε το x σν τετρτο ορο της νλογις. 6. Θ ε ω ρ η μ τ τ ω ν δ ι χ ο τ ο μ ω ν τ ρ ι γ ω ν ο υ γ x β y z Ε σ ω τ ε ρ ι κ η ς δ ι χ ο τ ο μ ο υ τ ρ ι γ ω ν ο υ Η διχοτομος μις γωνις τριγωνου διιρει την πενντι πλευρ εσωτερικ σε λογο ισο με το λογο των προσκειμενων πλευρων. ηλδη ν διχοτομος του ισχυει : = Τ τμημτ κι υπολογιζοντι πο τους τυπους γ = β + γ κι β = β + γ 1 Ισχυει κι το ντιστροφο. Ε ξ ω τ ε ρ ι κ η ς δ ι χ ο τ ο μ ο υ τ ρ ι γ ω ν ο υ Η διχοτομος μις εξωτερικης γωνις τριγωνου διιρει την πενντι πλευρ εξωτερικ σε λογο ισο με το λογο των προσκειμενων πλευρων. 1 ηλδη ν Ε εξωτερικη διχοτομος του θ ισχυει : Ε = Ε Ε Τ τμημτ κι υπολογιζοντι πο τους τυπους γ Ε = β - γ κι β Ε = β - γ με β > γ. Ισχυει κι το ντιστροφο.

10 ν λ ο γ ι ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Λογος ευθυγρμμων τμημτων Ζ η τ ο υ μ ε ν : Λογος ευθυγρμμων τμημτων. ο σ μ ε ν : Μηκος τμημτων η σχεση γι την ευρεση τους. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : ρισκουμε το μηκος κθενος π τ τμημτ τον λογο των οποιων ζητουμε (μεγλη βοηθει το Πυθγορειο θεωρημ). Προσδιοριζουμε το κλσμ των τμημτων των οποιων ζητουμε το λογο. Π ρ δ ε ι γ μ Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ο ) εινι = 3cm κι = 4cm. Ν υπολογισετε τους λογους. πο το Πυθγορειο θεωρημ : = + = = = 5 οποτε = 5 cm Ετσι = = = cm 3 cm Μ ε θ ο δ ο ς : νλογ ευθυγρμμ τμημτ Ζ η τ ο υ μ ε ν : ποδειξη νλογις τμημτων η ευρεση τμημτων πο νλογι. ο σ μ ε ν : Μηκος τμημτων κι πρλληλι τμημτων. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προκειμενου ν δειξουμε οτι τ τμημτ, β εινι νλογ των γ, δ : β βρισκουμε τους λογους, γ δ δειχνουμε οτι β = γ δ. Προκειμενου ν βρουμε τ τμημτ, β που εινι νλογ των ριθμων, εστω, 3 : β βρισκουμε τους λογους, 3 β πο την ισοτητ = κι πο σχεση μετξυ των, β (χρησιμοποιωντς ιδιοτηγ δ τες νλογιων) τ προσδιοριζουμε.

11 ν λ ο γ ι ε ς Π ρ δ ε ι γ μ π το μεσο Μ της πλευρς τριγωνου φερουμε πρλληλες στις λλες δυο πλευρες του. ν Κ το σημειο τομης με την κι Λ το σημειο τομης με την, ν δειξετε οτι : τ τμημτ, εινι νλογ των τμημτων Μ, ΜΚ. Οι πλευρες, β, γ ενος τριγωνου εινι νλογες προς τους ριθμους 5, 4, 3 ντιστοιχ ενω η περιμετρος του τριγωνου εινι 48 cm. Ν βρεθει το μηκος των πλευρων, β κι γ. ΜΚ ρ Κ μεσο της κι ΚΛ, ρ Λ μεσο της. Ετσι = Μ κι = ΜΚ Οποτε Μ ΜΚ = = κι = = οποτε = Μ Μ ΜΚ ΜΚ Μ ΜΚ που σημινει οτι, εινι νλογ των Μ, ΜΚ. Μ Κ Λ φου οι πλευρες, β, γ εινι νλογες των ριθμων 5, 4, 3 τοτε ισχυει : ιδιοτητ +β+γ = 48 β γ +β + γ +β + γ 48 = = = = = = νλογιων Ετσι = 4 η = 4 5 = cm 5 β = 4 η β = 4 4 = 16 cm 4 γ = 4 η γ = 3 4 = 1 cm 3 γ β Μ ε θ ο δ ο ς : Υπολογισμος ευθυγρμμου τμημτος Ζ η τ ο υ μ ε ν : Υπολογισμος ευθυγρμμου τμημτος ο σ μ ε ν : πρλληλι ευθειων. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προκειμενου ν υπολογισουμε ευθυγρμμο τμημ (τμημτ) που οριζετι ν τουλχιστον τρεις πρλληλες ευθειες τεμνουν δυο λλες: προσδιοριζουμε την ισοτητ των λογων, συμφων με το θεωρημ Θλη. ντικθιστουμε τ γνωστ τμημτ στ κλσμτ που προκυπτουν. προσδιοριζουμε το ζητουμενο, με τη βοηθει των ιδιοτητων των νλογιων.

12 ν λ ο γ ι ε ς Π ρ δ ε ι γ μ Στο διπλνο σχημ, γι το τριγωνο ισχυουν : Ε = x + Ε = 5x - Ε = x =3 ν ο x εινι κεριος, ν τον υπολογισετε. x+ 5x- Ε 3 x π το θεωρημ Θλη στο τριγωνο (Ε ) : x + 3 Ε Ε 5x - x = η = η x(x + ) = 3(5x - ) η 4x + 4x = 15x - 6 η =4 = β - 4γ = (- 11) = = 5 > x = = 4x -11x + 6 = = : β = - 11 τοτε 1 - β ± - (- 11) ± 5 11± 5 x = = = 8 1, γ = φου ο x εινι κεριος, δεκτη εινι η τιμη x =. x = = 8 4 Π ρ δ ε ι γ μ Σε τριγωνο πιρνουμε σημει, Η στην, Ε στην κι Ζ στην, τετοι ωστε Ε, ΕΖ κι ΖΗ. ειξτε οτι : Η = Η = Η Ε (θ.θλη) : = Ε Ε Ε Ζ ΕΖ (θ.θλη) : = oποτε Ε Ζ Ζ Η ΖΗ (θ.θλη) : = Ζ Η = Η Η Η Ε Ζ Τ ΕΖΗ, ΕΖ εινι πρλληλογρμμ, οποτε : Η = η + Η = Η + Η η = Η

13 ν λ ο γ ι ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : ποδειξη πρλληλις ευθειων Ζ η τ ο υ μ ε ν : ποδειξη πρλληλις ευθειων. ο σ μ ε ν : Mηκη ευθυγρμμων τμημτων. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προκειμενου ν ποδειξουμε οτι ευθειες εινι πρλληλες : βρισκουμε τμημτ που οριζουν οι πρλληλες σε δυο ευθειες που τεμνουν. βρισκουμε ισους λογους τμημτων. χρησιμοποιουμε το ντιστροφο του θεωρημτος Θλη. Π ρ δ ε ι γ μ ινετι τρπεζιο ( ), με = 9λ κι = 6λ. 9 3 Πνω στις κι πιρνουμε σημει Ε κι Ζ ντιστοιχ, ωστε Ε = λ κι Ζ = λ. 4 ειξτε οτι : ΕΖ. Ε Ζ ρκει ν ισχυει : =. Πργμτι, Ε Ζ 9 3 λ λ Ε Ζ = = = = που ληθευει. 9λ 6λ Μ ε θ ο δ ο ς : Θεωρημ διχοτομων τριγωνου Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση τμημτος, λογου κλπ. ο σ μ ε ν : Η διχοτομος, εσωτερικη η εξωτερικη. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Χρησιμοποιουμε τους τυπους των διχοτομων, Ε του τριγωνου Ε =. Ε Π ρ δ ε ι γ μ Στο τριγωνο οι διχοτομοι του κι Ε τεμνοντι στο Ι κι εινι Ε =. ΕΙ Ι Ν ποδειξετε οτι : = Ι Ι

14 ν λ ο γ ι ε ς Στο τριγωνο Ε πο θεωρημ εσωτερικης διχοτομου : Ε = ΕΙ Ε Ι ΕΙ Στο τριγωνο πο θεωρημ εσωτερικης διχοτομου : Ι Ι Ι = Ι Ι Μ ε θ ο δ ο ς : Θεωρημ διχοτομων τριγωνου Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση τμημτος σε συνρτηση με τις πλευρες του τριγωνου. ο σ μ ε ν : Η διχοτομος, εσωτερικη η εξωτερικη. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Χρησιμοποιουμε τους τυπους των διχοτομων, Ε του τριγωνου γ β =, = β + γ β + γ γ β Ε =, Ε = με β > γ β - γ β - γ Π ρ δ ε ι γ μ Σε τριγωνο η εσωτερικη κι εξωτερικη διχοτομος της γωνις τεμνουν την ευθει της πλευρς στ σημει κι Ε ντιστοιχ. ν = 4, β = 6 κι γ = 3, ν υπολογιστει το μηκος του ευθυγρμμου τμημτος Ε. Εινι γ = = = β + γ β > γ γ 4 3 Ε = = = 4 6 > 3 β - γ 6-3 Οποτε Ε 4 + Ε = + 4 = Ε

15 ν λ ο γ ι ε ς λ υ τ ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 1 η Σε ορθογωνιο τριγωνο ( Ν υπολογισετε τους λογους. = 9 ο ) εινι = 7,5cm κι = 4,5cm. σ κ η σ η η Οι γωνιες ενος τριγωνου εινι νλογες των ριθμων, 3, 4. Ν βρεθουν οι γωνιες του τριγωνου σε μοιρες. σ κ η σ η 3 η Σε τρπεζιο η βση εινι διπλσι της βσης. ειξτε οτι οι διγωνιες, τριχοτομουν τη διμεσο ΜΝ. σ κ η σ η 4 η ειξτε οτι το τετρπλευρο με κορυφες τ μεσ των πλευρων τετρπλευρου, εινι πρλληλογρμμο. Yποδειξη: Ν φερετε μι π τις διμεσους του. σ κ η σ η 5 η ν Ε, Ζ εινι τ μεσ των πλευρων, πρλληλογρμμου ν - τιστοιχ κι η ΕΖ τεμνει την στο Η, δειξτε οτι : 4Η =. Yποδειξη: Ν φερετε κι τη διμεσο. σ κ η σ η 6 η Σε τρπεζιο η διμεσος ΜΝ τεμνει τη διγωνιο στο Ε. Ν δειξετε οτι Ε = Ε (ΜΝ, θ.θλη...) σ κ η σ η 7 η πο τυχιο σημειο Ν της διμεσου Μ τριγωνου, φερνουμε πρλλη - λες προς τις πλευρες, που τεμνουν την στ, Ε. ποδειξτε οτι η ΝΜ εινι διμεσος του τριγωνου ΝΕ. (θ.θλη στ τριγων Μ, Μ... κι ιδιοτητες νλογιων...) σ κ η σ η 8 η Οι μη πρλληλες πλευρες κι τρπεζιου τεμνοντι στο σημειο Ο. Η π - ρλληλη π'το στην τεμνει την στο Ε. Ν δειξετε οτι : Ο = Ο ΟΕ (, Ε, θ.θλη... κι ιδιοτητες νλογιων...)

16 ν λ ο γ ι ε ς λ υ τ ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 9 η π'το σημειο τομης Ε των διγωνιων τρπεζιου ( ) φερουμε πρλληλες προς τις κι που τεμνουν τη στ σημεις Ζ, Η ντιστοιχ. ειξτε οτι Ζ = Η. (, ΕΖ, ΕΗ θ.θλη... κι ιδιοτητες νλογιων...) σ κ η σ η 1 η π τ σημει, Ε της πλευρς τριγωνου φερνουμε πρλληλες στην, που τεμνουν την στ Ζ, Η κι πρλληλες στην που τεμ - νουν την στ Θ, Κ ντιστοιχ. ειξτε οτι: = ΚΘ ΖΗ (Θ ΕΚ... ΕΗ Ζ... θ.θλη...) σ κ η σ η 1 1 η ν μι πρλληλη προς την διμεσο Μ τριγωνου τεμνει τις, κι στ σημει, Ε κι Ζ ντιστοιχ, ν δειξετε οτι Ζ =. (Ε Μ στ τριγων Ε, Μ, θ.θλη... Μ = Μ...) σ κ η σ η 1 η Τ τριγων Ρ, Σ βρισκοντι εκτερωθεν της. Τ σημει Κ, Λ, Μ βρισκοντι πνω στις, Ρ κι Σ ετσι ωστε ΚΛ Ρ κι ΚΜ Σ. ειξτε οτι : Λ Μ = ΛΜ ΡΣ ΛΡ ΜΣ (ΚΛ Ρ, ΚΜ Σ, θ.θλη... ) σ κ η σ η 1 3 η Σε τετρπλευρο, η πρλληλη στην π'το τεμνει τη στο Ε κι η πρλ - ληλη στη π'το Ε τεμνει την στο Ζ. ειξτε οτι ΕΖ. (Ε, Ζ, θ.θλη... κι ιδιοτητες νλογιων...) σ κ η σ η 1 4 η Σε τριγωνο με β > γ η εσωτερικη κι εξωτερικη διχοτομος της γωνις τεμνουν την ευθει της πλευρς στ σημει κι Ε ντιστοιχ. ) Ν δειξετε οτι τ σημει κι Ε εινι ρμονικ συζυγη των κι. β) ν = 13, β = 14 κι γ = 1 ν υπολογιστει το μηκος του ευθυγρμμου τμημτος Ε. (θ. ιχοτομων...)

17 ν λ ο γ ι ε ς λ υ τ ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 1 5 η Οι διχοτομοι των γωνιων κι πρλληλογρμμου τεμνουντη διγωνιο στ Ε κι Ζ. Ν δειξετε οτι ΕΖ //. σ κ η σ η 1 6 η Το τριγωνο εχει την διχοτομο κι το Ι εκκεντρο. Νυπολογιστει ο λογος Ι Ι συνρτησει των, β, γ. σ κ η σ η 1 7 η ινετι τριγωνο κι η διχοτομος του. πο το μεσο Μ της πλευρς του φερνουμε ευθει πρλληλη της διχοτομου που τεμνει την στο σημειο Ζ κι την προεκτση της στο σημειο Ε. Ν ποδειξετε οτι Ζ = Ε. σ κ η σ η 1 8 η ινετι τριγωνο ( > )) κι,ε η εσωτερικη κι η εξωτερικη διχοτομος του ντιστοιχ. ν εινι = 6, = 3, =5κι Ε = 15, ν ποδειξετε οτι: ) = 4 β) Ε = 1 σ κ η σ η 1 9 η ινετι ισοσκελες τριγωνο ( = ), το υψος του κι ημιευθει x, που τεμνει την πλευρ στο σημειο Ε. Ν ποδειξετε οτι: = Ε Ε

18 ε ω μ ε τ ρ ι Λ υ κ ε ι ο υ Ο μ ο ι ο τ η τ

19 Ο μ ο ι ο τ η τ 1. Ο μ ο ι ε υ θ υ γ ρ μ μ σ χ η μ τ Ο ρ ι σ μ ο ι Ομοι ευθυγρμμ σχημτ υο ευθυγρμμ σχημτ λεγοντι ομοι, ν εχουν τις πλευρες τους νλογες κι τις γωνιες που σχημ- τιζοντι πο ομολογες πλευρες τους ισες μι προς μι. Συνεπειες Ο λογος των περιμετρων δυο ομοιων ευθυγρμμων σχημτων ισουτι με το λογο ομοιοτητς τους. Ο λογος των εμβδων δυο ομοιων σχημτων εινι ισος με το τετργωνο του λογου ομοιοητς τους. Ο μ ο ι π ο λ υ γ ω ν υο πολυγων λεγοντι ο μ ο ι, οτν το εν εινι μεγεθυνση η σμικρυνση του λλου, που σημινει οτι εχουν τις γωνιες τους ισες μι προς μι κι τις ντιστοιχες πλευρες τους ν-λογες κι συμβολιζοντι Π Π. Ο μ ο λ ο γ ε ς Π λ ε υ ρ ε ς δυο ομοιων πολυγωνων, λεγοντι δυο οποιεσδηποτε ντιστοιχες πλευρες τους. Λ ο γ ο ς Ο μ ο ι ο τ η τ ς δυο ομοιων πολυγωνων, λεγετι ο λογος δυο ομολογων πλευρων. Σ υ ν ε π ε ι ε ς Ο λογος των περιμετρων δυο ομοιων πολυγωνων εινι ισος με το λογο ομοιοτητς τους υο κνονικ πολυγων με το ιδιο πληθος πλευρων εινι ομοι. υο ισ πολυγων εινι κι ομοι, με λογο ομοιοτητς 1. Κθε πολυγωνο εινι ομοιο με τον ευτο του. υο πολυγων ομοι προς τριτο εινι κι ομοι μετξυ τους.. Ο μ ο ι Τ ρ ι γ ω ν Ο ρ ι σ μ ο ς υο τριγων λεγοντι ο μ ο ι οτν εχουν τις γωνιες τους ισες μι προς μι κι τις ομολογες πλευρες τους νλογες. ηλδη τ τριγων κι ΚΛΜ εινι ισ ν: = K κι = Λ κι = Μ Ισχυει : = = ΚΛ ΛΜ ΚΜ Κ ρ ι τ η ρ ι Ο μ ο ι ο τ η τ ς Τ ρ ι γ ω ν ω ν υο τριγων εινι ομοι, οτν δυο γωνιες του ενος εινι ισες με δυο γωνιες του λλου μιπρος μι (1ο κριτηριο).

20 Ο μ ο ι ο τ η τ Π ο ρ ι σ μ τ υο ορθογωνι τριγων εινι ομοι, οτν εχουν μι οξει γωνι τους ιση. Ολ τ ισοπλευρ τριγων εινι ομοι μετξυ τους. υο ισοσκελη τριγων, τ οποι εχουν μι ντιστοιχη γωνι ιση, εινι ομοι. ν δυο τριγων εχουν δυο πλευρες νλογες μι προς μι κι τις περιεχομενες στις πλευρες υτες γωνιες ισες, τοτε εινι ομοι (ο κριτηριο). ν δυο τριγων εχουν τις πλευρες τους νλογες μι προς μι, τοτε εινι ομοι (3ο κριτηριο). Π ρ τ η ρ η σ ε ι ς Ο λογος ομοιοτητς δυο ομοιων τριγωνων εινι ισος με το λογο δυο ομολογων υ- ψων τους. Ο λογος ομοιοτητς δυο ομοιων τριγωνων εινι ισος με το λογο δυο ομολογων διχοτομων τους. Ο λογος ομοιοτητς δυο ομοιων τριγωνων εινι ισος με το λογο δυο ομολογων διμεσων τους.

21 Ο μ ο ι ο τ η τ Μ ε θ ο δ ο ς : Ομοι πολυγων Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ομοι πολυγων. ο σ μ ε ν : Στοιχει πολυγωνων. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : ι ν ποδειξουμε οτι δυο πολυγων ( με ιδιο πληθος πλευρων) εινι ομοι : δειχνουμε ρχικ οτι εχουν τις γωνιες τους ισες μι προς μι. δειχνουμε οτι οι ομολογες πλευρες τους εινι νλογες. ι ν εντοπισουμε ευκολ την ισοτητ των λογων των ομολογων πλευρων (εστω κι ΚΛΜΝ τ πολυγων) : πιρνουμε δυο ισες γωνιες, εστω τις κι Κ, κι δειχνουμε οτι ο λογος των ΚΛ πλευρων τους εινι ισος, δηλδη = κι ενλλσσοντς τους μεσους ΚΝ ορους = ΚΛ ΚΝ. στη συνεχει πιρνουμε τις πενντι των πιο πνω γωνιων, τις κι Μ, κι ΜΛ δειχνουμε οτι ο λογος των πλευρων τους εινι ισος, δηλδη = κι ενλ- ΜΝ λσσονς τους μεσους ορους = ΜΛ ΜΝ. ουσιστικ εχουμε βρει τους λογους, λλ κνουμε την επληθευση ν κνουμε την ιδι εργσι γι εν κομη ζευγρι ισων γωνιων. Προκειμενου ν βρουμε μηκη πλευρων ομοιων πολυγωνων : βρισκουμε το λογο ομοιοτητς, ν δεν δινετι. βρισκουμε την γνωστη πλευρ, π την ομολογη της με τη βοηθει του λογου ο- μοιοτητς. Π ρ δ ε ι γ μ ινοντι τ πρλληλογρμμ κι ΗΖΕ (διπλνο σχημ) με, μεσ των Ε κι Η ντιστοιχ. Ν δειξετε οτι τ δυο πρλληλογρμμ εινι ομοι κι ν βρειτε κι το λογο ομοιοτητς. Ε Η Ζ Εινι κοινη = Ε εντος εκτος κι επιτυτ ( ΕΖ που τεμνουν την Ε). ρ κι οι λλες γωνιες τους ισες δηλδη = Ζ κι A = Η Ετσι Η κοινη : = η = (1) Ε Η Ε

22 ΖΗ : = η = () ΖΕ ΖΗ ΖΕ ΖΗ A = Η : = η = (3) Η ΖΗ Η πο (1), (), (3) : = = = ρ τ πρλληλογρμμ εινι ομοι. Η Ε ΖΗ ΖΕ Το εινι μεσο Η, οποτε Η =, οποτε ο λογος ομοιοτητς λ =. = Ζ Ο μ ο ι ο τ η τ Π ρ δ ε ι γ μ ινοντι τ ομοι πρλληλογρμμ κι ΗΖΕ (διπλνο σχημ) με = 4 cm κι = 6 cm. ν η περιμετρος του ΗΖΕ εινι Π = 4 cm, ν βρειτε τις πλευρες του. Ε Η Ζ Π = 4 τοτε Ε + Η = 4 η Ε + Η = (1) π την ομοιοτητ : ιδιοτητ (1) Ε Η Ε Η Ε Η Ε + Η Ε Η = η = η = = η = = = Ε = η Ε = 8 cm 4 Η = η Η = 1 cm 6 Π ρ δ ε ι γ μ Στο διπλνο σχημ, τ τρπεζι κι ΕΖ εινι ομοι, με = 9, = x κι ΖΕ = 1. Ν υπολογισετε το x. 9 x Ζ 16 Ε π την ομοιοτητ : 9 x x = - 1 πορριπτετι (μηκος) = η = η x = 9 16 η x = 144 η ΖΕ x 16 x = 1 Aρ x = 1

23 Ο μ ο ι ο τ η τ Μ ε θ ο δ ο ς : Ομοι τριγων Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ομοι τριγων. ο σ μ ε ν : Ο τυπος της συνρτησης. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προκειμενου ν ποδειξουμε οτι δυο τριγων εινι ομοι : δειχνουμε οτι εχουν τις γωνιες τους ισες μι προς μι (ρκουν δυο γωνιες). ν τ τριγων ορθογωνι, ρκει ν εχουν μι οξει γωνι ιση. Προκειμενου ν εντοπισουμε ευκολ την ισοτητ των λογων των ομολογων πλευρων (εστω κι ΚΛΜ τ τριγων) : γρφουμε τρεις ισους λογους κι ριθμητες βζουμε τις πλευρες του ενος τριγωνου (εστω του τις,, ) κι προνομστες τις ομολογες πλευρες του λλου τριγωνου, τις ΚΛ, ΛΜ, ΚΜ. Προκειμενου ν προσδιορισουμε τις ομολογες πλευρες : ν προκειτι ν προσδιορισουμε την ομολογη πλευρ της σκεφτομστε ως εξης : Η πλευρ στο τριγωνο εινι πενντι π τη γωνι (το τριτο γρμμ του τριγωνου που λειπει π την ) η οποι εινι ιση με την γωνι Μ του τριγωνου ΚΛΜ. Οποτε η ομολογη πλευρ της εινι η ΚΛ (τ γρμμτ του τριγωνου ΚΛΜ εκτος της γωνις Μ) που βρισκετι πενντι π τη γωνι Μ. Ομοι κι γι τις λλες πλευρες. Μι νλλκτικη προτση : ρφουμε τ γρμμτ τa ζευγη των ισων γωνιων : = K B = Λ =Μ ρφουμε το λογο των δυο τριγωνων (τρεις φορες με ισοτητ) κι φιρουμε τ γρμμτ των ισων γωνιων στον ριθμητη κι προνομστη των ισων λογων (διφορετικο γρμμ σε κθε λογο). = = ΚΛΜ ΚΛΜ ΚΛΜ η = = η = = Κ ΛΜ ΚΛΜ ΚΛ Μ ΛΜ ΚΜ ΚΛ Προκειμενου ν βρουμε μηκη πλευρων ομοιων τριγωνων : βρισκουμε το λογο ομοιοτητς, ν δεν δινετι βρισκουμε την γνωστη πλευρ, π την ομολογη της με τη βοηθει του λογου ομοιοτητς. χρησιμοποιουμε τους τρεις ισους λογους των ομολογων πλευρων. Π ρ δ ε ι γ μ πο σημειο της υποτεινουσς ορθογωνιου τριγωνου φερουμε κθετη στη που τεμνει την στο Ε. Ν δειξετε οτι τ κι Ε εινι ομοι. Ν γρψετε τους ισους λογους. ν Ε = 3cm, Ε = 5 cm κι Ε = 4 cm, βρειτε τ μηκη των πλε υρων του τριγωνου.

24 Ο μ ο ι ο τ η τ Τ τριγων κι Ε εινι ομοι φου : Εινι ορθογωνι εινι κοινη Προχειρο : =, =, = Ε : Ετσι, = = (1) Ε Ε Πυθγορειο θεωρημ στο τριγωνο Ε : = 5-3 = 5-9 = 16 οποτε = 4 8 = = = 6 Ε 3 4 πο (1): κι 6 = = = 1 Ε Ε 5 3 Ε = Ε = Ε η = = Ε Ε (1) 5 Ε 3 3 Μ ε θ ο δ ο ς : Λογος εμβδων ομοιων σχημτων Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεσηεμβδου σχημτος μετ πο υξηση η μειωση των πλευρων (διστσεων) του. ο σ μ ε ν : Στοιχει πολυγωνου. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : δειχνουμε οτι σχημτ (πριν - μετ) εινι ομοι. βρισκουμε το λογο ομοιοτητς (ο λογος δυο ομολογων πλευρων) εξισωνουμε το λογο του εμβδου μετ προς το εμβδον πριν του σχημτος με το τετργωνο του. λυνουμε την εξισωση που προκυπτει ως προς εμβδον μετ. Π ρ δ ε ι γ μ Εν τριγωνο εχει βση 3 cm κι εμβδον 15 cm. Ν υπολογισετε το εμβδον ενος λλου τριγωνου που εινι ομοιο με το κι εχει βση 9 cm. Oι διστσεις ενος ορθογωνιου μειωθηκν κτ %. Ποσο μειωθηκε το εμβδον του ; Εστω Ε το εμβδον του τριγωνου κι Ε το εμβδον του ομοιου τριγωνου του.

25 Ο μ ο ι ο τ η τ 9 Ο λογος ομοιοτητς εινι : λ = = 3 3 Ε' Ε' = λ η = 3 η Ε' = 9 Ε η Ε' = 9 15 = 135 cm Ε Ε ν, β εινι οι ρχικες διστσεις κι, β οι διστσεις μετ 8 8 ' = =,8 κι β' = β =,8 β 1 1 ',8 λ= = =,8 Ετσι, ν Ε το ρχικο εμβδον κι Ε το εμβδον μετ τη μειωση Ε' Ε' = λ η =,8 η Ε' =,64 Ε = Ε -,36Ε Ε Ε ηλδη το εμβδον μειωθηκε κτ 36 %. τη μειωση %, τοτε :

26 Ο μ ο ι ο τ η τ σ κ η σ η 1 η πο το σημειο τομης Ο των διγωνιων τρπεζιου, φερουμε την πρλληλη προς τις βσεις που τεμνει τις μη πρλληλες πλευρες στ Ε κι Ζ. Ν ποδειξετε οτι ΟΕ = ΟΖ. ν μι γωνι ενος πρλληλογρμμου εινι ιση με μι γωνι ενος λλου πρλληλογρμμου, κι οι λογοι των πλευρων των ισων γωνιων εινι ισοι, τοτε ν δειξετε οτι τ πρλληλογρμμ εινι ομοι. σ κ η σ η η Εστω πρλληλογρμμο με κεντρο Ο. Στις προεκτσεις των Ο, Ο, Ο κι Ο πιρνουμε σημει,, κι ετσι ωστε = Ο, = Ο, = Ο κι = Ο. ειξτε οτι τ πρλληλογρμμ κι εινι ομοι κι ν βρειτε τον λογο ομοιοτητς. σ κ η σ η 3 η ν, Ε, Ζ τ υψη ενος τριγωνου ν ποδειξετε οτι τ τριγων ΗΕ κι Η εινι ομοι ΗΖ κι ΗΕ εινι ομοι σ κ η σ η 4 η ινετι ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ) κι το υψος του. Ν ποδειξετε οτι τ πρκτω ζευγη τριγωνων εινι ομοι,,, Σε κθε περιπτωση ν γρψετε τους ισους λογους των ομολογων πλευρων. σ κ η σ η 5 η Εν τριγωνο εινι εγγεγρμμενο σε κυκλο. Η διχοτομος του προεκτεινομενη τεμνει τον κυκλο στο Ε. ειξτε οτι τ τριγων κι Ε εινι ομοι κι γρψτε ην νλογι των πλευρων τους. ειξτε οτι = Ε σ κ η σ η 6 η Σ εν τριγωνο φερνουμε το υψος του. Εστω Μ, Κ τ μεσ των κι ντιστοιχ. ειξτε οτι τ τριγων κι ΚΜ εινι ομοι κι βρειτε το λογο ομοιοτητς τους. ρψτε τις ισοτητες των γωνιων των δυο τριγωνων που προκυπτουν π την ομοιοτητ τους.

27 Ο μ ο ι ο τ η τ σ κ η σ η 7 η Ισοσκελες τριγωνο ( = ) εινι εγγεγρμμενο σε κυκλο (Ο, ρ). πο την κορυφη φερνουμε μι ευθει η οποι τεμνει την στο κι τον κυκλο στο Ε. Ν ποδειχθει οτι = Ε. σ κ η σ η 8 η ινετι τρπεζιο ( // ), το σημειο τομης Ο των διγωνιων κι η πρλληλη πο το Ο προς τη που τεμνει τις, στ σημει Ε κι Ζ. Ν ποδειξετε οτι: τ τριγων ΟΕ κι εινι ομοι τ τριγων ΟΖ κι εινι ομοι EA = BΖ ΟΕ = ΟΖ A σ κ η σ η 9 η Εστω τριγωνο κι τ μεσ, Ε των, ντιστοιχ. Ν ποδειξετε οτι το τρπεζιο Ε εχει τριπλσιο εμβδον πο το τριγωνο Ε. υο ομοι πολυγων εχουν εμβδ 46 cm κι 55 cm. Ν υπολογισετε το λογο ομοιοτητς τους. σ κ η σ η 1 η Σε τριγωνο εινι B =. Ν προεκτεινετι την κτ τμημ = κι ν δειξετε οτι τ τριγων κι εινι ομοι. Στη συνεχει ν δειξετε οτι β = γ( + γ). Ν ποδειξετε οτι ισχυει κι το ντιστροφο. ηλδη ν σε τριγωνο ισχυει β = γ( + γ) ν ποδειξετε οτι B =. σ κ η σ η 1 1 η π'τη κορυφη πρλληλογρμμου φερνουμε ευθει ε που τεμνει τη στο σημειο Ε, τη στο Ζ κι την προεκτση της στο Η. ειξτε οτι : Ζ = Ε = ΕΖ ΕΗ Η Η σ κ η σ η 1 η ινετι ισοσκελες τριγωνο με =, ) Ν ποδειξετε οτι: i) Τ τριγων κι εινι ομοι. ii) = β) ν = 1, ν υπολογισετε το μηκος του τμημτος. ο = 36 κι η διχοτομος του.

28 Ο μ ο ι ο τ η τ σ κ η σ η 1 3 η Σε οξυγωνιο τριγωνο φερουμε τ υψη του κι Ε. ) ν το τριγωνο εινι κι σκληνο, τοτε: i. Ν ποδειξετε οτι τ τριγων κι Εεινι ομοι. ii. Ν δικιολογησετε γιτι τ τριγων κι Εδεν μπορει ν εινι ομοι. β) ν το τριγωνο εινι κι ισοσκελες με κορυφη το, τοτε μπορουμε ν ισχυριστουμεοτι τ τριγων κι Ε εινι ομοι; Ν ιτιολογησετε την πντηση σς. σ κ η σ η 1 4 η Εστω Κ το σημειο τομης των διγωνιων ενος εγγρψιμου τετρπλευρου. Ν ποδειξετε οτι Κ = Κ σ κ η σ η 1 5 η Στη διχοτομο Οδ της γωνις xοy θεωρουμε τ σημει, τετοι ωστε Ο = Ο. Η κθετος στην Οδ στο σημειο τεμνει την πλευρ Οx στο σημειο Ε κι εστω η προβολη του στην Oy. Ν ποδειξετε οτι: ) Τ τριγων ΟΕ κι Ο εινι ομοι. β) Ο = ΟΟΕ. σ κ η σ η 1 6 η πο εν σημειο Σ που βρισκετι εξω πο ενν δοσμενο κυκλο φερουμε τ εφπτομεν τμημτ Σ κι Σ κι μι τεμνουσ Σ. Ν ποδειξετε οτι: ) i. Τ τριγων Σ κι Σ εινι ομοι. ii. Τ τριγων Σ κι Σ εινι ομοι. β) =

29 ε ω μ ε τ ρ ι Λ υ κ ε ι ο υ Μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς

30 Μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς 1. Ο ρ θ ο γ ω ν ι Τ ρ ι γ ω ν Θ ε ω ρ η μ Σε κθε ορθογωνιο τριγωνο, το τετργωνο μις κθετης πλευρς του εινι ισο με το γινομενο της υποτεινουσς επι την προβολη της πλευρς υτης πνω στην υποτεινουσ. ποδειξη: Εστω ορθογωνιο τριγωνο κι η προβολη του στη. Τ τριγων κι εινι ομοι γιτι: = = 9 = = = κοινη Ομοι ποδεικνυετι: = γ β Π ο ρ ι σ μ Σε κθε ορθογωνιο τριγωνο, ο λογος των τετργωνων των κθετων πλευρων του εινι ισος με το λογο των προβολων τους πνω στην υποτεινουσ. ποδειξη: Εινι = = = Π υ θ γ ο ρ ε ι ο Θ ε ω ρ η μ = Σε κθε ορθογωνιο τριγωνο, το θροισμ των τετργωνων των κθετων πλευρων του εινι ισο με το τετργωνο της υ- ποτεινουσς. ποδειξη: Εινι (+) = = + = ( + ) = γ β γ β ν τ ι σ τ ρ ο φ ο Π υ θ γ ο ρ ε ι ο υ Θ ε ω ρ η μ τ ο ς ν σε τριγωνο ισχυει + = τοτε = 9. ποδειξη: Εστω τριγωνο με + =. Στις πλευρες μις ορθης γωνις xoy πιρνουμε : Ο = κι ΟΕ =.

31 Μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Το τριγωνο ΟΕ εινι ορθογωνιο κι πο Π.Θ. : Ε = Ο + ΟΕ = + = Ε = (1) Τ τριγων κι ΟΕ εινι ισ γιτι : Ο = (υποθεση) ΟΕ = (υποθεση) ΟΕ = = 9 Ε = (1) x y Π ο ρ ι σ μ Σε κθε ορθογωνιο τριγωνο, το τετργωνο του υψους που ντιστοιχει στην υποτεινουσ εινι ισο με το γινομενο των προβολων των κθετων πλευρων του στην υποτεινουσ. ποδειξη: Εστω ορθογωνιο τριγωνο κι το υψος του. Τ τριγων κι εινι ομοι γιτι: = = 9 = = = (συμπληρωμτικες της ) Ε φ ρ μ ο γ η 1 Σε κθε ορθογωνιο τριγωνο ισχυει: υ = β γ. π ο δ ε ι ξ η : Εστω ορθογωνιο τριγωνο κι το υψος του. Τ τριγων κι εινι ομοι γιτι: = = 9 = κοινη υ γ β = = υ = β γ Ε φ ρ μ ο γ η Σε κθε ορθογωνιο τριγωνο ισχυει: + = β γ υ. ποδειξη: Εστω ορθογωνιο τριγωνο κι το υψος του. Π.Θ. 1 1 β + γ + = = β γ (βγ) υ = βγ = = ( υ ) υ 1 = υ γ β

32 Μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς. ε ω μ ε τ ρ ι κ ε ς Κ τ σ κ ε υ ε ς Π ρ ο β λ η μ 1 ν, β εινι γνωστ τμημτ, ν κτσκευσετε το τμημ k, που οριζετι π την ισοτητ : Κτσκευη: k= + β. Σ τις πλευρες μις ορθης γωνις xoy πιρνουμε: Ο = κι Ο = β. Το τριγωνο Ο εινι ορθογωνιο κι πο Π.Θ. : = Ο + Ο = + β = + β. ηλδη k εινι η υποτεινουσ του τριγωνου Ο. Ομοι ποδεικνυετι : k = -β, με τη διφορ οτι k εινι κθετη πλευρ του τριγωνου Ο, με υποτεινουσ κι β η λλη κθετη πλευρ. y β k Ο x Π ρ ο β λ η μ ν,β εινι γνωστ τμημτ, ν κτσκευσετε το τμημ k,που εινι η μεση νλογος των, β. Κ τ σ κ ε υ η : Σε μι ευθει πιρνουμε διδοχικ τμημτ = κι = β. ρφουμε ημικυκλιο διμετρου κι π'το φερνουμε κθετη στην που τεμνει το ημικυκλιο στο. Το τριγωνο εινι ορθογωνιο ( = 9 βινει κλιο) κι υψος. Ετσι εινι : σε ημικυ - = = β = k μεση νλογος των,β. k β Π ρ ο β λ η μ 3 ν εινι γνωστo τμημ, ν κτσκευσετε τμημ ισο με, 3, 5,..., ν, με ν. Κ τ σ κ ε υ η : ν x = x = x = + x = υποτεινουσ ισοσκελους ορθογωνιου τριγωνου με κθετες πλευρες ισες με. ν y = 3 y = 3 y = + y = + x y = υποτεινουσ ορθογωνιου τριγωνου με κθετες πλευ - ρες ισες με κι x. Ομοι, κτσκευζουμε τ τμημτ 5,..., ν. x Ο y 5 Ε

33 Μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς 3. ε ν ι κ ε υ σ η Π υ θ γ ο ρ ε ι ο υ θ ε ω ρ η μ τ ο ς Θ ε ω ρ η μ 1 Το τετργωνο πλευρς τριγωνου, που βρισκετι πενντι πο οξει γωνι, εινι ισο με το θροισμ των τετργωνων των δυο λλων πλευρων του, ελττωμενο κτ το διπλσιο γινομενο της μις πο υτες επι την προβολη της λλης πνω της. π ο δ ε ι ξ η : Εστω τριγωνο κι η προβολη της πλευρς γ π - νω στη πλευρ β. πο Π.Θ. : = + πο Π.Θ. : = γ - (+) = γ - + (1) < 9 : = β - = β - β + > 9 : = -β - + = β - β () πο (1),(): = γ + β - β γ β γ β Θ ε ω ρ η μ Το τετργωνο πλευρς τριγωνου, που βρισκετι πενντι πο μβλει γωνι, εινι ισο με το θροισμ των τετργωνων των δυο λλων πλευρων του, υξημενο κτ το διπλσιο γινομενο της μις πο υτες επι την προβολη της λλης πνω της. π ο δ ε ι ξ η : Εστω τριγωνο κι η προβολη της πλευρς γ π - νω στη πλευρ β. πο Π.Θ. : = + πο Π.Θ. : = γ - φου > 9, εινι : = β = β - (+) = γ - + (1) = β + β + β () πο (1),() : = γ + β + β γ β Π ο ρ ι σ μ Σε κθε τριγωνο ισχυει : > β + γ ν κι μονο ν > 9 = β + γ ν κι μονο ν = 9 < β + γ ν κι μονο ν < 9

34 Μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Ν ο μ ο ς Σ υ ν η μ ι τ ο ν ω ν Σε κθε τριγωνο ισχυει : = β + γ - β γ συν β = + γ - γ συν γ = + β - β συν Ν ο μ ο ς Σ υ ν η μ ι τ ο ν ω ν Σε κθε τριγωνο το υψος υ δινετι πο: υ = τ (τ - ) (τ - β) (τ - γ) + β + γ τ= Ομοι : υ = β β τ (τ - ) (τ - β) (τ - γ) υ = γ γ τ (τ - ) (τ - β) (τ - γ) 4. Θ ε ω ρ η μ τ ι μ ε σ ω ν 1 ο Θ ε ω ρ η μ ι μ ε σ ω ν Το θροισμ των τετργωνων δυοπλευρωντριγωνου ισουτι με το διπλσιο του τετργωνου της διμεσου που περιεχετι μετξυ των πλευρων υτων, υξημενο κτ το μισο τουτετργωνου της τριτης πλευρς. π ο δ ε ι ξ η : Εστω τριγωνο, Μ = μ διμεσος κι υψος. ν < : (+) Μ (Μ > 9 ),.Π.Θ. : = Μ + Μ + Μ Μ Μ (Μ < 9 ),.Π.Θ. : = Μ + Μ - Μ Μ + = Μ + Μ = Μ + = Μ + =μ + β γ Ομοι : + γ = μ +, + β = μ + β γ β + γ Μ=Μ γ β υ μ Μ ι μ ε σ ο ς σ ε σ υ ν ρ τ η σ η τ ω ν π λ ε υ ρ ω ν : β + γ - + γ - γ + β - γ μ = μ = μ = β γ

35 Μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς ο Θ ε ω ρ η μ ι μ ε σ ω ν Η διφορ των τετργωνων δυοπλευρωντριγωνου ισουτιμε το διπλσιο γινομενο της τριτης πλευρς επι την προβολη της ντιστοιχης διμεσου πνω στη πλευρ υτη. π ο δ ε ι ξ η : Εστω τριγωνο, Μ = μ διμεσος κι υψος. ν < : (-) Μ (Μ > 9 ),.Π.Θ. : = Μ + Μ + Μ Μ Μ (Μ < 9 ),.Π.Θ. : = Μ + Μ - Μ Μ - = 4Μ Μ = 4 Μ = Μ β - γ = Μ Μ=Μ γ β υ μ Μ 5. Κ υ κ λ ο ς 1 ο Θ ε ω ρ η μ ( Τ ε μ ν ο υ σ ε ς Κ υ κ λ ο υ ) ν δυο χορδες κυκλου, η οι προεκτσεις τους, τεμνοντι σ εν σημειο Ρ, τοτε ισχυει: Ρ Ρ = Ρ Ρ. π ο δ ε ι ξ η : Ρ εξωτερικο σημειο του κυκλου : Τ τριγων Ρ κι Ρ εινι ομοι γιτι : Ρ Ρ = (εξωτερικη εγγρψιμου ) Ρ = κοινη Ρ Ρ Ρ = Ρ Ρ = Ρ Ρ Ρ Ρ εσωτερικο σημειο του κυκλου : Τ τριγων Ρ κι Ρ εινι ομοι γιτι : = (βινουν στο τοξο ) = (βινουν στο τοξο ) Ρ Ρ = Ρ Ρ = Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ

36 Μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Θ ε ω ρ η μ ( Ε φ π τ ο μ ε ν ο Τ μ η μ ) ν πο εν εξωτερικο σημειο Ρ κυκλου (Ο, R) φερουμε τοεφπτομενο τμημ ΡΕ κι μι ευθει που τεμνει το κυκλο στ σημει,, τοτε ισχυει: ΡΕ = Ρ Ρ. π ο δ ε ι ξ η : Φερνουμε την ευθει ΡΟ που τεμνει τον κυκλου στ σημει,. ν ΟΡ = δ : Ρ Ρ = Ρ Ρ = (δ - R)(δ + R) = δ - R (1) Στο τριγωνο ΡΟΕ π'το Πυθγορειο θεωρημ εινι : ΡΕ = ΡΟ - ΟΕ = δ - R () Ρ Ε R δ+r R δ-r Ο R πο (1), () προκυπτει : ΡΕ = Ρ Ρ υ ν μ η Σ η μ ε ι ο υ ω ς π ρ ο ς Κ υ κ λ ο ν δυο χορδες κυκλου, η οι προεκτσεις τους, τεμνοντι σ εν σημειο Ρ, τοτε ισχυει: Ρ Ρ = Ρ Ρ. υ ν μ η σ η μ ε ι ο υ Ρ ως προς κυκλο (Ο, R) : Εινι η διφορ δ - R Συμβολιζετι: κι ισχυει = δ - R. Ρ Ρ (Ο,R) (Ο,R) ποδεικνυετι οτι ν το Ρ εσωτερικο ισχυει : Ρ Ρ = R - δ. Ετσι: Ρ To Ρ εξωτερικο σημειο του κυκλου ν κι μονο ν >. Ρ To Ρ εσωτερικο σημειο του κυκλου ν κι μονο ν <. Ρ To Ρ σημειο του κυκλου ν κι μονο ν =. (Ο,R) (Ο,R) (Ο,R) Ρ Ρ R δ = R Ο R Ρ

37 Μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Μ ε θ ο δ ο ς : Σχεσεις πλευρων τμημτων ορθογωνιου τριγωνου Ζ η τ ο υ μ ε ν : Σχεσεις πλευρων τμημτων ορθογωνιου τριγωνου. ο σ μ ε ν : Ορθογωνιο τριγωνο. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ) με υψος εινι : = = = + = = - = - = Π ρ δ ε ι γ μ Εστω ημιπεριφερει κεντρου Ο κι διμετρου κι ημιπεριφερει διμετρου Ο μεσ στην πρωτη. πο τυχιο σημειο Μ της Ο φερνουμε κθετη στην, που τεμνει τη μικρο - τερη ημιπεριφερει στο Ν κι τη μεγλυτερη στο Σ. ειξτε οτι Σ = Ν. Τ τριγων Σ, ΝΟ εινι ορθογωνι (Σ = Ν = 9 βινουν σε ημιπεριφερει) κι : = Ο Σ = Μ Σ = Μ Ν = Ο Μ Ν = Μ Σ = Μ Σ = Ν Ν = Μ Σ Ν Μ Ο Π ρ δ ε ι γ μ Το μηκος των πλευρων ορθογωνιου τριγωνου ( = 9 ) εινι νλογο με τρεις διδο - χικους ρτιους ριθμους. Ν υπολογιστουν : οι πλευρες του τριγωνου. οι προβολες των κθετων πλευρων πνω στην υποτεινουσ. το υψος. Εστω γ < β <, τ μηκη των πλευρων του τριγωνου. Τοτε γ = λ, β = λ + με λ Ν = λ + 4

38 Μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς πο Πυθγορειο Θεωρημ στο : β + γ = (λ + ) + (λ) = (λ + 4)... λ - λ - 3 = λ = - 1 η λ = 3 λ = 3. Ετσι = 1, β = 8 κι γ = 6. Στο ορθογωνιο τριγωνο εινι : 64 3 β = = = 1 5 β γ = = = 1 5 Στο ορθογωνιο τριγωνο εινι : = =... = γ Π ρ δ ε ι γ μ Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ) με = δειξτε οτι : = 3. = = 6 κι = 3. Μ διμεσος Μ = Μ = Μ ισοπλευρο = 3 = ρ κι διμεσος στο τριγωνο Μ. Μ = Μ ηλδη = = = = = 3 (1) = (1) = =3 = Μ Μ ε θ ο δ ο ς : ενικευση Πυθγορειου Θεωρημτος Ζ η τ ο υ μ ε ν : ποδειξη ισοτητς (με ορους τετργων) τμημτων πλευρων τριγωνου. ο σ μ ε ν : Σχεση τμημτων, κθετ τμημτ, ιδιοτητ τριγωνου κλπ. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Επιλεγουμε το τριγωνο με πλευρες τμημτ τους ορους της προς ποδειξη ισοτητς κι εξετζουμε τις γωνιες του. ν το πιο πνω τριγωνο εινι οξυγωνιο η μβλυγωνιο χρησιμοποιουμε το θεωρημ ενικευσης Πυθγορειου (εστω το τριγωνο) : = γ +β - β, ν < 9 = γ +β + β, ν > 9

39 Μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Π ρ δ ε ι γ μ Σε ισοσκελες τριγωνο ( = ) η πρλληλη ευθει προς τη τεμνει τις πλευρες, στ σημει, Ε ντιστοιχ. ειξτε οτι : Ε = Ε + Ε = < 9 (γωνιες βσης ισοσκελους τριγωνου). Εστω Λ,Κ οι προβολες στην των, Ε ντιστοιχ κι το ΕΚΛ ορθογωνιο με Ε = ΛΚ (1). Λ = ΚΕ(ορθογωνι, Λ = ΕΚ, = ) Λ = Κ () ενικευμενο Πυθγορειο θεωρημ στο τριγωνο Ε : Ε = Ε + - Κ Ε = Ε + ( - Κ) (1) Ε = Ε + ( - Λ - Κ) Ε = Ε + ΛΚ Ε = Ε + Ε () A Ε Λ Κ Π ρ δ ε ι γ μ ειξτε οτι σε κθε τρπεζιο με βσεις < ισχυει : + = + +. Φερνουμε τ υψη Ε κι Ζ, ρ Ε = Ζ. ΖΕ εινι ορθογωνιο, ρ = ΕΖ. πο θ. οξεις γωνις στ τριγων, : (+) = + - Ε = + - Ζ + = + + ΕΖ + = = + + ( - Ε - Ζ) Ε Ζ Μ ε θ ο δ ο ς : Ευρεση ειδους τριγωνου Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση ειδους τριγωνου. ο σ μ ε ν : Μετρ πλευρων του ζητουμενου τριγωνου η διτξη τους. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : ν, β, γ εινι οι πλευρες του τριγωνου με μεγλυτερη πλευρ (ρ κι η γωνι εινι η μεγλυτερη) τοτε : ν > β + γ τοτε > 9 κι το τριγωνο εινι μβλυγωνιο. ν < β + γ τοτε < 9 κι το τριγωνο εινι οξυγωνιο.

40 Μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Π ρ δ ε ι γ μ Σε τριγωνο εινι = 6, β = 5 κι γ =. Ν βρεθει το ειδος του τριγωνου (ως προς τις γωνιες) Ν υπολογιστει η προβολη της πλευρς στην. φου > β > γ τοτε κι > >. Ετσι = 6 = 36 β + γ = 5 + = 9 το τριγωνο εινι μβλυγωνιο με > 9. > β + γ που σημινει οτι < 9, ετσι : β = + γ - 5 = = 15 5 = 4 Π ρ δ ε ι γ μ ν σε τριγωνο εινι = β + γ, τοτε υτο εινι οξυγωνιο. Εινι = β + γ > β > β η μεγλυτερη πλευρ του τρι = β + β > γ > γ γωνου κι η μεγλυτερη γωνι. Ετσι > β > γ β + γ > β > β.β 3 (+) β + γ > β + γ (β + γ ) >.γ 3 γ > γ < 9 κι μεγλυτερη τριγωνο οξυγωνιο. γ β Μ ε θ ο δ ο ς : Νομος Συνημιτονων Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση μετρου γωνις τριγωνου. ο σ μ ε ν : Σχεσεις πλευρων - γωνιων τριγωνου κλπ. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Χρησιμοποιουμε το νομο συνημιτονων γι τη ζητουμενη γωνι : = β + γ - β γ συν η συν = β = + γ - γ συν η συν = γ = + β - β συν η συν = β + γ - βγ + γ - β γ + β - γ β

41 Μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Π ρ δ ε ι γ μ Σε τριγωνο εγγεγρμμενο σε κυκλο (Ο, ρ), β = + γ + γ (1), = 3. ν η εφπτομενη στο τεμνει τη στο, δειξτε οτι : = 1 = 9 + γ = β 3 (1) : β = + γ + γ β > + γ > 9. (1) Ο < < 18 + γ -β - γ 1 πο νομο συνημιτονων στο τριγωνο εινι : συν = = = - = 1. γ γ εφπτομενη, ρ = = 3 (χορδης κι εφπτομενης) Ετσι, = + = 1-3 = 9. Τ, ορθογωνι κι = 3, οποτε =, =. Στο πο Πυθγορειο Θεωρημ : β γ β γ + = ( ) + ( + ) = β β + ( + γ) = 4β ( + γ) = 3β + γ = β 3. γ β Μ ε θ ο δ ο ς : Θεωρημτ διμεσων τριγωνου Ζ η τ ο υ μ ε ν : Σχεση μετξυ διμεσων η τμημτων (στο τετργωνο). ο σ μ ε ν : Μεσ πλευρων τριγωνου, ισοτητ τμημτων κλπ. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Χρησιμοποιουμε τ θεωρημτ διμεσων τριγωνου : β γ β + γ = μ + + γ = μ + + β = μ + β γ β + γ - + γ - γ + β - γ μ = μ = μ = β γ Εστω τριγωνο, Μ = μ διμεσος κι υψος. ν < : β - γ = Μ Π ρ δ ε ι γ μ Ν δειχτει οτι το θροισμ των τετργωνων των πλευρων ενος τετρπλευρου εινι ισο με το θροισμ των τετργωνων των διγωνιων του υξημενο κτ το τετρπλ - σιο τετργωνο του τμημτος που συνδεει τ μεσ των διγωνιων. (Θεωρημ Euler)

42 Μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Aπο 1ο θ. διμεσων στ τριγων κι : + = Ν + (+) = (Ν + Ν ) + (1) + = Ν + Aπο 1ο θ. διμεσων στο τριγωνο Ν: Ν + Ν = ΜΝ + () πο (1),( ) : = (ΜΝ + ) = 4ΜΝ + + Ν Μ Π ρ δ ε ι γ μ Σε τριγωνο μ κι μ οι διμεσοι του. ειξτε οτι : β + + 4γ = 4(μ + μ ) β 3(β - ) = 4(μ - μ ) β β Εινι : β + γ - μ = β + γ - = 4μ (1) 4 + γ -β μ = + γ -β = 4μ () β β 4 πο (1) + () : β + + 4γ = 4(μ + μ ) β μ μβ Κ πο (1) - () : 3β - 3 = 4μ - 4μ ) 3(β - ) = 4(μ - μ ) β β Μ Π ρ δ ε ι γ μ Σε ισοσκελες τριγωνο ( = ), Μ τυχιο σημειο της. Ν δειχτει οτι : (Μ - Μ ) = Μ. Εστω Κ υψος τριγ. Κ διμεσος Κ = Κ (1),Ε προβολες του Μ στις,κ ΜΚΕ ορθογωνιο Κ = ΜΕ () Τ τριγων ΕΜ, Κ εινι ομοι (ορθογωνι, Κ = κοινη) :

43 Μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Μ ΜΕ = ΜΕ = Μ Κ ΜΕ = Μ Κ ΜΕ = Μ (3) Μ > Μ, πο ο θ. διμεσων στο τριγωνο Μ : () (3) Μ - Μ = Κ (Μ - Μ ) = ΜΕ. (Μ - Μ ) = Μ (Μ - Μ ) = Μ Μ Ε Κ Μ ε θ ο δ ο ς : Τεμνουσες κυκλου Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ισοτητ που περιεχει γινομεν τμημτων η οτι τετρπλευρο εινι εγγρψιμο. ο σ μ ε ν : Κυκλος κι τεμνουσ (ες) του. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : ν δυο χορδες, κυκλου (Ο, ρ) τεμνοντι στο σημειο Ρ (εσωτερικο η εξωτερικο του κυκλου) τοτε ισχυει : Ρ Ρ = Ρ Ρ ν χορδη κυκλου (Ο, ρ) κι Ρ εν σημειο της τοτε ισχυει : Ρ Ρ = ΡΟ - ρ ν Ρ εινι εξωτερικο του κυκλου. Ρ Ρ = ρ - ΡΟ ν Ρ εινι εσωτερικο του κυκλου. Προκειμενου το τετρπλευρο ν εινι εγγρψιμο, ρκει γι τις διγωνιες του, με σημειο τομης Ρ, ν ισχυει : Ρ Ρ = Ρ Ρ. Π ρ δ ε ι γ μ ν Η εινι το ορθοκεντρο οξυγωνιου τριγωνου με υψη, Ε κι Ζ, δειξτε οτι: Η = Ζ = Ε Η Ε + Η Ζ = Εινι Ζ + = 18 ρ ΖΗ, ΗΕ εγγρψιμ : Ε + = 18 πο 1ο θεωρημ τεμνουσων κυκλου με σημειο τομης το (εξωτερικο των κυκλων) ισχυει : Η = Ζ Η = Ζ = Ε Η = Ε Ζ Η Κ Ζ + = 18 Ε + = 18 ρ ΖΗ, ΗΕ εγγρψιμ :

44 Μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς πο 1ο θεωρημ τεμνουσων κυκλου με σημει τομης τ, (γι ΗΕ), (γι ΖΗ) ισχυει : (+) Η Ε = Η Ε + Η Ζ = ( + ) = Η Ζ = Π ρ δ ε ι γ μ Σε ισοσκελες τριγωνο ( = ), Ρ εινι τυχιο σημειο της. ειξτε οτι : - Ρ = Ρ Ρ Εστω ο κυκλος (,ρ) με ρ = =. Το Ρ εινι εσωτερικο σημειο του κυκλου οποτε : ρ = Ρ Ρ = ρ - Ρ ΡΡ = - Ρ Ρ Π ρ δ ε ι γ μ πο εν σημειο Κ της κοινης χορδης δυο τεμνομενων κυκλων φερνουμε δυο ευθειες, που η μι τεμνει τον εν κυκλο στ κι κι η λλη τεμνει τον λλο κυκλο στ Ε κι Ζ. ειξτε οτι το τετρπλευρο ΖΕ εινι εγγρψιμο. Στον 1ο κυκλο πο θεωρημ τεμνουσων : Κ Κ = Κ Κ (1) Κ Ε Στον ο κυκλο πο θεωρημ τεμνουσων : Ζ Κ Κ = ΚΕ ΚΖ () πο (1),() : Κ Κ = ΚΕ ΚΖ που σημινει οτι το τετρπλευρο ΖΕ εινι εγγρψιμο. Μ ε θ ο δ ο ς : Εφπτομενο τμημ κυκλου Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ισοτητ που περιεχει γινομεν τμημτων η τετργωνο τμημτος. ο σ μ ε ν : Κυκλος, τεμνουσ (ες) του κι εφπτομενο τμημ σ υτον. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : πο εν εξωτερικο σημειο Ρ κυκλου (Ο, ρ) φερουμε το εφπτομενο τμημ ΡΕ κι μι ευθει που τεμνει το κυκλο στ σημει,. Τοτε ισχυει: ΡΕ = Ρ Ρ = ΡΟ - ρ ν το εινι ντιδιμετρικο του Ε (Ε διμετρος του κυκλου), τοτε το τμημ ΡΕ εινι κθετη πλευρ στ ορθογωνι τριγων ΡΕ κι ΡΕ.

45 Μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Π ρ δ ε ι γ μ πο σημειο Μ εκτος κυκλου (Ο, ρ) φερνουμε εν εφπτομενο τμημ Μ κι μι τεμνουσ Μ του κυκλου. ειξτε οτι : Μ = Μ Τ τριγων Μ, Μ εινι ομοι (Μ = κοινη, Μ = πο χορδη κι εφπτομενη) : Μ Μ = = (1) Μ Μ Μ Μ εφπτομενο τμημ, οποτε : Μ = Μ Μ () Μ πο (1),() : = Μ Μ Μ = Μ Μ ε θ ο δ ο ς : υνμη σημειου ως προς κυκλο Ζ η τ ο υ μ ε ν : Συνηθως η κτιν του κυκλου. ο σ μ ε ν : Κυκλος κι σημειο. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : ι κυκλο (Ο, R) κι σημειο Ρ ισχυει : = ΡΟ - R Ρ (Ο,R) To Ρ εξωτερικο σημειο του κυκλου ν κι μονο ν >. Ρ (Ο,R) To Ρ εσωτερικο σημειο του κυκλου ν κι μονο ν <. To Ρ σημειο του κυκλου ν κι μονο ν =. Ρ (Ο,R) Ρ (Ο,R) Π ρ δ ε ι γ μ Σε κυκλο (Ο, ρ) Μ εινι το μεσο της κτινς Ο. ν = - 3, υπολογιστε την την κτιν του κυκλου ρ. Μ (Ο,ρ) = - 3 ΜΟ - ρ = - 3 Μ (Ο,ρ) ρ ρ - ρ = ρ = ρ - = - 3 ρ = 4 ρ =. 4 Μ Ο

46 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 1 η Το τριγωνο εινι ορθογωνιο ( = 9 ) με = κι = 5. ν το υψος, ν υπολογιστουν τ μηκη των τμημτων,, κι. 4 Εινι : = = = = 16 5 Εινι : = - = 5-16 = 9 πο Πυθγορειο Θεωρημ : = - = 65-4 = 5 = 15 Εινι : = = 9 16 = 144 = 1 σ κ η σ η η ινετι τετρπλευρο με. Ν ποδειξετε οτι : + = + Εστω Ο το σημειο τομης των διγωνιων κι. Τ τριγων Ο, Ο, Ο, Ο εινι ορθογωνι κι : = Ο + Ο = Ο + Ο (+) = Ο + Ο = Ο + Ο + = + + = Ο + Ο + Ο + Ο (+) + = Ο + Ο + Ο + Ο Ο σ κ η σ η 3 η Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ), Ε τυχι σημει των πλευρων κι ντι - στοιχ. ειξτε οτι : + Ε = + Ε. ι τ ορθογωνι τριγων κι Ε εινι : (+) = + Ε = + Ε ι τ ορθογωνι τριγων κι Ε εινι : = + + Ε = Ε (1) (+) + Ε = Ε = + Ε Ε () πο (1),() : + Ε = + Ε Ε

47 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 4 η Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ) =. ν το υψος ν υπολογισετε τ τμημτ, συνρτησει της πλευρς. Εινι = - = 4 - = 3 = 3 φου = = 3, = 6. Ετσι = 3 =. = () - Ομως = - = - = σ κ η σ η 5 η ν σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ) εινι =, δειξτε οτι β = γ 3. Στο ορθογωνιο τριγωνο ισχυει : + = 9 + = 9 3 = 9 = 3 = γ =γ πο Πυθγορειο θεωρημ προκυπτει : β = - γ β = (γ) - γ β = 4γ - γ β = 3γ β = γ 3. γ 6 3 β σ κ η σ η 6 η Τ μηκη των πλευρων ορθογωνιου εχουν λογο. ειξτε οτι οι προβολες των κορυφων κι στη διγωνιο, την διιρουν σε τρι ισ τμημτ. Εινι = =. Στο τριγωνο εινι : = Ε (1) (1) Ομως = + = + = 3 = 3Ε Ε = 3 Ζ Ε = Στο τριγωνο εινι : = Ζ = Ζ Ε = Ζ Ζ = Ε =, οποτε κι ΕΖ =. 3 3 (1)

48 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 7 η ινετι ισοσκελες τριγωνο με βση κι υψος. Ν ποδειξετε οτι : + + = Τ τριγων, εινι ορθογωνι, = κι πο Πυθγορειο Θεωρημ : = + (+) = + = = σ κ η σ η 8 η Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ) ν δειξετε οτι β + γ. Εστω οτι ισχυει η ζητουμενη. Ετσι β + γ (β + γ) ( ) β + γ + βγ β + γ + βγ (β + γ ) β + γ + βγ β + γ β + γ - βγ (β - γ) που ληθευει. σ κ η σ η 9 η ν σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ), δειξτε οτι μ + μ β = 5μ κι ντιστροφ. β γ Στ ορθογωνι τριγων, Ε ισχυει : β μ = γ + β 4 μ +μ γ 4 4 μ = β + γ 4 β + γ 5 = β + γ + = = 5 = 5μ β γ Ισχυει μ +μ = 5μ, ετσι : β γ + γ -β + β - γ β + γ - + = β - γ = 1β + 1γ γ -β = 9β + 9γ = β + γ ορθογωνιο ( = 9 ). Ε μβ Μ μ μγ

49 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 1 η Σε τριγωνο (γ < β) με μ = βγ, δειξτε οτι : = (β - γ) κι ντιστροφ. Εινι υποθεση β + γ = μ + β + γ = βγ + β + γ - βγ = (β - γ) = = (β - γ) = (β - γ) μβ μ μγ σ κ η σ η 1 1 η ινετι κυκλος (Ο, ρ) κι μι κτιν Ο. ν μι χορδη του εινι κθετη στην κτιν Ο στο σημειο κι Ο = κ, δειξτε οτι : = 4(ρ - κ)(ρ + κ) = ρ(ρ - κ) Ο εινι ποστημ της, ετσι : = = Στο ορθογωνιο τριγωνο ' εινι : = ' = (ρ - κ)(ρ + κ) = 4(ρ - κ)(ρ + κ) Στο ορθογωνιο τριγωνο ' εινι : = ' = (ρ - κ)(ρ) = ρ (ρ - κ) κ Ο σ κ η σ η 1 η Σε τριγωνο ( < ) Κ, Λ τ μεσ των πλευρων, ντιστοιχ κι Μ το μεσο του τμημτος ΚΛ. ειξτε οτι β - γ = (Μ - Μ ). πο 1ο θ.διμεσων στ τριγων Μ, Μ εινι : Μ + Μ = ΜΛ + (-) ΜΚ= ΜΛ Μ + Μ = ΜΚ + Κ Μ Λ Μ - Μ = - β - γ = (Μ - Μ )

50 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 1 3 η Με κεντρο το σημειο τομης των διγωνιων ενος πρλληλογρμμου, γρφουμε κυκλο. ν Μ τυχιο σημειο του κυκλου, δειξτε οτι : Μ + Μ + Μ + Μ εινι στθερο. Η ΜΟ εινι διμεσος στ τριγων Μ, Μ (οι διγωνιοι του διχοτομουντι). πο θεωρημ διμεσων : (+) Ο Μ + Μ = ΜΟ + Μ + Μ = ΜΟ + Μ + Μ + Μ + Μ = 4ΜΟ + +, στθερο. Μ σ κ η σ η 1 4 η ν σε τριγωνο οι πλευρες, β, γ εινι νλογες των ριθμων 6, 5, 4 ντιστοιχ, βρειτε τι ειδος τριγωνου εινι το. ν εινι η προβολη της γ πνω στην β, δειξτε + β + γ οτι =. 3 β γ Εινι, = = = λ = 6λ, β = 5λ, γ = 4λ = 36λ < β + γ < 9 β + γ = 5λ + 16λ = 41λ φου < 9 εινι : που σημινει οτι το τριγωνο οξυγωνιο φου η μεγλυτερη γωνι. = β + γ Ομως -β 36λ = 5λ + 16λ - 1λ 1λ = 5λ = (1) + β + γ 6λ + 5λ + 4λ 15λ λ = = = () λ γ β πο (1), () προκυπτει : = + β + γ 3

51 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 1 5 η Σε τριγωνο εινι = 14, β = 15 κι γ = 13. Ν βρεθει το ειδος του τριγωνου η προβολη της πνω στη το υψος του τριγωνου. Εινι β = 15 = 5 + γ = = = 365 β < + γ < 9, ρ το τριγωνο οξυγωνιο ( μεγλυτερη γωνι). Στο τριγωνο εινι < 9, οποτε β = + γ -... = 5 Στο ορθογωνιο τριγ., πο Πυθγορειο Θεωρημ : = - = = 144 = 1. σ κ η σ η 1 6 η ν τυχιο σημειο της πλευρς τριγωνου, τοτε ισχυει : β + γ = ( + ) (θ. Stewart) Εινι A > 9 β = + + Η (1) A < 9 γ = + - Η () πο (1) + () : β + γ = β. β = + + Η. γ = + - Η + γ = ( + ) + ( + ) = + β + γ = ( + )( + ) β + γ = ( + ) γ β

52 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 1 7 η Σε οξυγωνιο τριγωνο με + = κι + Ε = ν δειξετε οτι Η = Η + Η, οπου Η το ορθοκεντρο του τριγωνου. π'τη γενικευση του Πυθγορειου θεωρημτος στ τρι - γων Η κι Η : (+) Η = + Η - Η = + Η - Ε Η = + + Η + Η = Η = Η + Η + Η - ( Ε) + Η + Η - υποθεση Ε Η Ζ σ κ η σ η 1 8 η Σε τριγωνο εινι β = 6, γ = 8 κι μ = 5. Ν βρεθει το μηκος της πλευρς το ειδος του τριγωνου το μηκος του υψους υ. Εινι : β + γ - μ = = β + γ - 4μ 4 = = = 1 = 1 = 1 = 1 β + γ = = 1 = β + γ που σημινει οτι γ μ β ορθογωνιομε = 9 Εινι : β γ = υ β γ 68 υ = = = 4,8. 1 Μ

53 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 1 9 η Σε οξυγωνιο τριγωνο, κι Ε εινι υψη κι Μ διμεσος. ν Η εινι το ορθο - κεντρο του κι ισχυει Η =, δειξτε οτι : Η = Ε 3 β + γ = Μ = Ε = = 9 Ε + = 18 ΕΗ εγγρψιμο, οποτε : Η = Ε Εινι πο προηγουμενο κι γενικευμενο Π.Θ. στο : υποθεση Η = Ε = Ε = β Ε (1) (1) = β + γ - β Ε = β + γ - = β + γ Η Ε Μ Στο τριγωνο εινι : β + γ - (β + γ ) - ( ) μ = = = = Μ = σ κ η σ η η 5γ Σε τριγωνο με = 3γ κι μ =, δειξτε οτι : γ γ β = γ > 9 μ = β κι μ = β ( + β ) - γ 5γ ((3γ) + β ) - γ 5γ 18γ + β - γ Εινι :μ = ( ) = = γ β = 4γ β = γ = (3γ) = 9γ β + γ = 4γ + γ = 5γ > β + γ > 9 Εινι : β - γ = Μ = 4Μ Μ = 6 ( + γ ) -β (9γ + γ ) - 4γ μ = = β =4γ = (γ) μ = β β 4 4 (β + γ ) - (4γ + γ ) - 9γ γ γ μ = = = μ = β γ

54 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 1 η Στην υποτεινουσ ορθογωνιου τριγωνου πιρνουμε τ σημει κι Ε με 5 9 = Ε = Ε. ειξτε οτι + Ε =. Μ διμεσος στο, οποτε Μ = (1) Μ διμεσος στο Ε, οποτε 1ο θ. διμεσων : (1) Ε 1 + Ε = Μ + + Ε = Ε = + + Ε = Ε = 9 Ε Μ σ κ η σ η η Σε κυκλο (Ο, ρ), μι διμετρος του κι μι χορδη του που εινι πρλληλη στην. ν Ρ εν τυχιο σημειο της, δειξτε οτι Ρ + Ρ = Ρ + Ρ. Στο τριγωνο Ρ η ΡΜ εινι διμεσος, οποτε : ΡΜ = Ρ + Ρ - 4 = Μ 4 ΡΜ = Ρ + Ρ - 4Μ Ρ + Ρ = ( ΡΟ Ρ + Ρ = Ρ + ΜΟ Ο + ( ΜΟ + Μ ) Ρ + Ρ = ΡΟ + Ο ΠΘ : ΡΜ = ΡΟ + ΜΟ ) + Μ Ο = ρ Ρ + Ρ = ΡΟ + ρ (1) πλοποιω με ΠΘ : ΡΜ = ΡΟ + ΜΟ Μ Ρ Ο Ρ + Ρ = (ρ - ΡΟ) + (ρ + ΡΟ) Ρ + Ρ = ρ + ΡΟ - ρ ΡΟ + ρ + ΡΟ + ρ ΡΟ Ρ + Ρ = ΡΟ + ρ () πο (1),() προκυπτει το ζητουμενο.

55 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 3 η Σε οξυγωνιο τριγωνο ( < ) με β + γ = (1) δειξτε οτι μ = γ υπολογιστε τη προβολη της μ στη πλευρ β. β β πο 1ο θ.διμεσων στο τριγωνο εινι : β + γ = μ + β (1) + γ = 4μ + β β β +γ + γ = 4μ + β β 4μ = 4γ β β μ = γ γ μβ πο προηγουμενο ερωτημ το τριγωνο Μ εινι ισοσκελες με υψος, ρ κι διμεσο. Ετσι Μ Μ Μ = = = = 4 4 β 4 Μ σ κ η σ η 4 η Σε εγγεγρμμενο σε κυκλο ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ), το υψος του. Ευθει που διερχετι π'το τεμνει το στο Μ κι τον κυκλο στο Η. ειξτε οτι : Μ Η =. Η = = 9 ΗΜ εγγρψιμο κι ΜΗ, τεμνουσες : Μ Η = (1) Στο ορθογωνιο τριγωνο : = () πο (1),() : Μ Η = Η Μ σ κ η σ η 5 η Σε εγγεγρμμενο σε κυκλο ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ), το υψος του. Ευθει που διερχετι π'το τεμνει το στο Μ κι τον κυκλο στο Η. ειξτε οτι : Μ Η =. Ε, Μ κι Ζ, Μ τεμνουσες του τριγωνου Μ : (:) Ε = Μ Μ=Μ Ε Μ Ε = = Ζ = Μ Ζ Μ Ζ πο θ. εσωτερικης διχοτομου στο τριγωνο : προηγουμενο Ε = Ζ Ε = =1 Ε = Ζ. Ζ Ε Ζ Μ

56 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 6 η Σε τριγωνο η διμεσος Μ τεμνει τον περιγεγρμμενο του κυκλο στο Ε, ενω ισχυει : β + γ = 3. Ν εκφρσετε τη διμεσο Μ σν συνρτηση της πλευρς. 3 Ν δειξετε οτι Μ Ε =. υποθεση 5 Εινι β + γ = μ + 3 = μ + μ = 4 5 μ = κομη : Μ ΜΕ = ΜΜ Μ (Ε - Μ) = Μ Ε - Μ = Μ Ε = + Μ Ε =. γ β Μ Ε σ κ η σ η 7 η Σε κυκλο (Ο, ρ), μι διμετρος του κι, τ μεσ των Ο, Ο ντιστοιχ. ν Μ τυχιο σημειο του κυκλου κι οι ευθειες Μ, Μ τεμνουν τον κυκλο στ σημει Κ, Λ ντιστοιχ, ν δειχτει οτι : Μ Μ + = Κ Λ 1. 3 Μ Κ + Μ Μ Μ = + = Λ Κ Μ Λ Μ Μ Μ Μ + Μ = + = = ρ 3ρ ρ 3ρ 3ρ 4 4 ΜΟ διμεσος = (Μ + Μ ) = 3ρ στο Μ 4 3ρ = (ΜΟ + ) = Κ Μ ρ Ο ρ ρ 4 = (ρ 3ρ ρ + ) = Λ 4 5ρ = = 3ρ = 1 3

57 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 8 η Σε τριγωνο η διμεσος Μ τεμνει τον περιγεγρμμενο του κυκλο στο Ε, ενω ισχυει : β + γ = 3. Ν εκφρσετε τη διμεσο Μ σν συνρτηση της πλευρς. 3 Ν δειξετε οτι Μ Ε =. Ε διμετρος του κυκλου (Ε = 9 ) εφπτομενο τμημ, ρ : = Ε 4 = ( + Ε) 4 = + Ε Ε = 3 πο Πυθγορειο θεωρημ στο τριγωνο Ε : Ε = Ε + 9 = 4ρ ρ = ρ = 4 Ε σ κ η σ η 9 η Σε τριγωνο ισχυει β + γ =. ειξτε οτι: 3 3γ 3β μ =, μ =, μ = β γ μ = μ + μ β γ ν Θ το βρυκεντρο του τριγωνου, τοτε το ΖΘΕ εινι εγγρψιμο. Εινι : υποθεση (β + γ ) μ = = = γ -β β + γ + γ -β 3γ μ = = = β β - γ β + γ + β - γ 3β μ = = = γ υποθεση υποθεση 3γ 3β 3(γ + β ) 3 μ +μ = + = = = μ υποθεση β γ Ζ Θ Ε ι ν εινι το ΖΘΕ εγγρψιμο, ρκει Ζ = Θ Ε. Πργμτι γ 3γ Ζ = Θ Ε γ = μ μ μ =, που ισχυει. β β β 3 4

58 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 3 η Σε ισοσκελες τριγωνο ( = ), Τ εινι τυχιο σημειο της. ν οι περιγεγρμ - μενοι κυκλοι των τριγωνων Τ, Τ τεμνουν τις, στ σημει Μ κι Ν ντι - στοιχ. ειξτε οτι το θροισμ Ν + Μ εινι στθερο. Θετουμε τ στθερ : = = κ κι = λ. Ν, Τ τεμνουσες του κυκλου : Ν = Τ Ν κ = Τ λ (1) Μ, Τ τεμνουσες του κυκλου : Μ = Τ Μ κ = Τ λ () Τ λ πο (1) + () : κ(ν + Μ) = λ(τ + Τ) κ(ν + Μ) = λ Ν + Μ = κ Ν Μ σ κ η σ η 3 1 η Εστω κυκλος (Ο, ρ) κι μι διμετρος του. Πιρνουμε χορδη του κυκλου που τεμνει την στο σημειο Ε, ετσι ωστε Ε = 45. ειξτε οτι : Ε Ε + ΟΖ = ρ, οπου Ζ η προβολη του Ο στη. Ε εσωτερικο του κυκλου, ετσι : Ε Ε = ρ - ΟΕ Ε Ε + ΟΕ = ρ Το τριγωνο ΕΖΟ εινι ορθογωνιο κι ισοσκελες : ΟΕ = ΕΖ + ΟΖ ΕΖ = ΟΖ ρ Ε Ε + ΟΖ = ρ ΟΕ = ΟΖ + ΟΖ ΟΕ = ΟΖ Ε Ο Ζ σ κ η σ η 3 η πο σημειο εκτος κυκλου (Ο, ρ) φερνουμε τεμνουσ κι εφπτομενο τμημ. ν η διχοτομος της γωνις τεμνει τις, στ Ε κι Ζ ντιστοιχ, δειξτε οτι Ε Ζ = ΕΖ. πο θεωρημ τεμνουσς - εφπτομενης στο κυκλο : Ε διχοτομος : = (1) Ε Ζ Ε = Ε Ζ Ζ Ζ διχοτομος : = ΕΖ = Ε Ζ Ζ = = (1) Ε Ζ

59 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 3 3 η Εστω τριγωνο εγγεγρμμενο σε κυκλο (Ο, ρ) κι Θ το βρυκεντρο του. Θ 1 ειξτε οτι : = - ( + β + γ ) (Ο,ρ) 9 Εστω οτι η Μ τεμνει τον κυκλο στο Ε. Τοτε Μ ΜΕ = Μ Μ = = (1) 4 Θ Ο = ΘΟ - ρ = -Θ ΘΕ = - Θ(ΘΜ + ΜΕ) = Θ (Ο,ρ) 1 = - Θ ΘΜ - Θ ΜΕ = - μ μ - Μ ΜΕ = β + γ - = - μ - Μ ΜΕ = - - Μ ΜΕ = (1) β + γ - β + γ - = - - Μ ΜΕ =- - = β + γ - 3 (β + γ + ) β + γ + = - - = - = Μ Ε σ κ η σ η 3 4 η Σε οξυγωνιο τριγωνο εγγεγρμμενο σε κυκλο, ' εινι το συμμετρικο του ως προς την. ν η ' τεμνει το κυκλο στο Θ, δειξτε οτι : 'Θ ' = β + γ - Εστω Η το ορθοκεντρο του τριγωνου. Θ = Θ (βινουν στο Θ) Θ = Η Η = Θ (πλευρες κθετες) Κ κι διχοτομος ΘΗ ισοσκελες ΚΗ = ΚΘ Κ - Η = Κ' - Θ' Κ διμεσος Η = Θ' (1) < 9 : = β + γ - βλ βλ = β + γ - () Το ΗΚΛ εγγρψιμο (Κ + Λ = 18 ). Ετσι (1) ' Η Κ = Λ Η = Λ () Θ' ' = Λ β Θ' ' = β + γ - Κ = Κ' Λ Κ Θ

60 Μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς λ υ τ ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 1η Το μηκος της κοινης εξωτερικης εφπτομενης δυο κυκλων (Κ,R) κι (Λ, ρ) που εφ - πτοντι εξωτερικ, εινι ιση με Rρ. σ κ η σ η η 5 Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ), = 5 κι =. 13 ν το υψος, ν υπολογιστουν τ μηκη των τμημτων,, κι. σ κ η σ η 3 η Ν δειξετε οτι η διφορ των τετργωνων δυο πλευρων τριγωνου ισουτι με τη δι - φορ των τετργωνων των ντιστοιχων προβολων τους στη τριτη πλευρ. σ κ η σ η 4 η Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ) με μ = λ κι β = λ 3, ν υπολογισετε τις γωνιες, κι το υψος υ. σ κ η σ η 5 η ν σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ) εινι =, δειξτε οτι β = γ 3. σ κ η σ η 6 η ν Ε, Ζ εινι ντιστοιχ οι προβολες δυο χορδων κι ενος κυκλου σε μι διμετρο του, δειξτε οτι : Ζ = Ε. σ κ η σ η 7 η Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ) με υψος, Ε κι Ζ εινι οι προβολες του στις 3, ντιστοιχ. Ν δειξετε οτι = Ζ Ε. σ κ η σ η 8 η Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ) το εινι το μεσο της κι το Ε η προβολη του στη. ειξτε οτι : Ε + = Ε. σ κ η σ η 9 η Σε τρπεζιο εινι = = 9. ν Ε Ζ τ μεσ των διγωνιων κι ντιστοι - χ, δειξτε οτι : = + 4ΕΖ. σ κ η σ η 1 η Σε τρπεζιο εινι =. ειξτε οτι + = + +.

61 Μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς λ υ τ ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 1 1 η ινετι ρομβος με κεντρο Ο κι εν σημειο Ε της διγωνιου. Ν δειξετε οτι : - Ε = Ε Ε. σ κ η σ η 1 η ν Ν εινι εσωτερικο σημειο ορθογωνιου δειξτε οτι : Ν + Ν = Ν + Ν. σ κ η σ η 1 3 η Σε τριγωνο εινι - = 9 κι υψος. ειξτε οτι =. σ κ η σ η 1 4 η Σε τριγωνο εινι = β + γ + βγ 3 (1). Ν υπολογιστει η γωνι. σ κ η σ η 1 5 η Σε τριγωνο εινι = 7, = 5 κι + = 45. Ν υπολογισετε το μηκος της πλευρς. σ κ η σ η 1 6 η Σε κθε οξυγωνιο τριγωνο εγγεγρμμενο σε κυκλο (Ο,ρ) ισχυει : + β + γ > 8ρ. σ κ η σ η 1 7 η Σε ισοσκελες τριγωνο ( = ), Ν σημειο της κι Ν = 3, Ν = 7 κι = 11. Ν υπολογιστει το Ν. σ κ η σ η 1 8 η Σε τριγωνο με = 135 κι = 15, δειξτε οτι : = (1+ 3) β. σ κ η σ η 1 9 η Σε τριγωνο η Μ εινι διμεσος, το υψος κι = 8, β = 46 κι γ = 6. Ν υπολογιστουν τ μηκη των Μ κι Μ. σ κ η σ η η Σε τριγωνο η Μ εινι διμεσος, το υψος κι = 8, β = 46 κι γ = 6. Ν υπολογιστουν τ μηκη των Μ κι Μ. σ κ η σ η 1 η Σε τριγωνο γι τις πλευρες, β, γ εινι : γ = + β + β. Ν υπολογιστει η γωνι.

62 Μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς λ υ τ ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η η Σε τριγωνο με = 6, β = 4 κι γ = 3 : δειξτε οτι το τριγωνο εινι μβλυγωνιο. υπολογιστε το υψος του τριγωνου. υπολογιστε τη διμεσο Μ του τριγωνου. σ κ η σ η 3 η ινετι ισοσκελες τριγωνο ( = ). Στη προεκτση της ημιευθεις πιρνου - με τμημ =. ειξτε οτι = +. σ κ η σ η 4 η Σε τριγωνο με < <, οι Κ, ΛΕ κι ΜΖ εινι προβολες των διμεσων μ, μ, μ πνω στις πλευρες, β κι γ ντιστοιχ. β γ Ν δειχτει οτι : Κ = ΛΕ + ΜΖ. σ κ η σ η 5 η Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ), εινι =3. ειξτε οτι : β - γ = βγ. σ κ η σ η 6 η Στην υποτεινουσ ορθογωνιου τριγωνου πιρνουμε τ σημει κι Ε με 3 = Ε = Ε. ειξτε οτι + Ε + Ε =. σ κ η σ η 7 η λ λ * Σε τριγωνο εινι = λ, β =, γ = με λ R. + 3 ειξτε οτι > 9. ρειτε τη προβολη της πλευρς στην. ρειτε τη προβολη ΕΜ της διμεσου Μ στην. ειξτε οτι = Ε. σ κ η σ η 8 η Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ) δειξτε οτι : β + γ = 4μ. σ κ η σ η 9 η Εκτερωθεν της πλευρς τριγωνου κτσκευζουμε ισοπλευρ τριγων Κ κι Λ. ειξτε οτι : Κ + Λ = + β + γ.

63 Μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς λ υ τ ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 3 η Σε τριγωνο εινι μ - βγ =. ειξτε οτι = β + γ - βγ Υπολογιστε τη γωνι. σ κ η σ η 3 1 η Σε τριγωνο με = 1, β = 8 κι γ = 6 : δειξτε οτι το τριγωνο εινι μβλυγωνιο. υπολογιστε το μηκος της διμεσου Μ. υπολογιστε το μηκος της προβολης της διμεσου Μ σ κ η σ η 3 η ν σε κυρτο τετρπλευρο ισχυει = +,τοτε υτο εινι πρλληλογρμμο. σ κ η σ η 3 3 η Σε τριγωνο ισχυει = +. Εκτερωθεν της πλευρς κτσκευζου - με ισοπλευρ τριγων Κ κι Λ. ειξτε οτι : Κ Λ = 9. σ κ η σ η 3 4 η Σε τριγωνο φερνουμε ημιευθει x πρλληλη στην κι π'το ευθει π - ρλληλη στην διμεσο Μ, οι οποιες τεμνοντι στο σημειο. ν ισχυει + = ( + ), δειξτε οτι το τριγωνο εινι ισοσκελες. σ κ η σ η 3 5 η ν η διμεσος Μ τριγωνου τεμνει τον περιγεγρμμενο κυκλο στο Ε δειξτε : Μ ΜΕ = + = Μ Ε 4 σ κ η σ η 3 6 η Σε τριγωνο ο κυκλος με διμετρο τεμνει τις πλευρες, στ σημει, Ε ντιστοιχ. ειξτε οτι : = β Ε + γ. σ κ η σ η 3 7 η ρ Σημειο πεχει ποστση π'το κεντρο Ο κυκλου κτινς ρ. Μι χορδη διερχε- 1 τι π'το, που την διιρει σε λογο. Ν βρεθει το μηκος της χορδης. 4

64 Μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς λ υ τ ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 3 8 η ινετι κυκλος (Ο,) κι μι διμετρος του. ρφουμε τον κυκλο (, ). Προεκτεινουμε την κτ = κι φερνουμε εφπτομενη του (Ο,) που τεμ - νει τον (, ) στ Ε κι Ζ. ειξτε οτι 3 = Ε Ζ. σ κ η σ η 3 9 η 5 Σε τριγωνο με υψος ισχυει μ =. ειξτε οτι : β + γ = 3 Η =, οπου Η το ορθοκεντρο του τριγωνου. σ κ η σ η 4 η Η προεκτση της διμεσου Μ τριγωνου τεμνει τον περιγεγρμμενο κυκλο στο ση - μειο. Υπολογιστε το μηκος του ευθυγρμμου τμημτος Μ συνρτησει των πλευρων του τριγωνου. σ κ η σ η 4 1 η Σε τριγωνο εινι = β + γ. ν Θ το βρυκεντρο του τριγωνου, δειξτε οτι ο κυ - κλος που διερχετι π'τ σημει,θ, εφπτετι της στο σημειο. σ κ η σ η 4 η π'το σημειο Μ εκτος κυκλου (Ο, ρ) φερνουμε εν εφπτομενο τμημ Μ κι την τε - μνουσ του κυκλου Μ, που διερχετι π'το κεντρο του. ν η κθετη πο το Μ στην Μ τεμνει την στο σημειο, δειξτε οτι : Μ - Μ =. σ κ η σ η 4 3 η Σε τριγωνο, εινι Μ η διμεσος κι σημειο της, ωστε Μ =. πο τυχιο σημειο Ρ της Μ φερνουμε πρλληλη στη που τεμνει τις κι στ σημει κι ντιστοιχ. ειξτε οτι Ρ ΡΜ = Ρ. σ κ η σ η 4 4 η Εστω κυκλος (Ο, ρ), η διμετρος κι το τυχιο σημειο του. ν η προβολη του στην κι Μ,Ν τ σημει τομης του κυκλου (Ο, ρ) με τον κυκλο (, ), δειξτε οτι η ευθει ΜΝ διερχετι π'το μεσο του. σ κ η σ η 4 5 η Εστω κυκλος (Ο, ρ), μι διμετρος του κι δυο χορδες, που τεμνοντι στο εσωτερικο σημειο του κυκλου Ε. ειξτε οτι : Ε + Ε =.

65 Μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς λ υ τ ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 4 6 η ν σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ), Μ εινι μεσο της κι Μ, δειξτε οτι : = 4 Μ Μ Μ Μ = - ΜΝ, οπου Ν το μεσο της. 4 σ κ η σ η 4 7 η Εστω οι ομοκεντροι κυκλοι (Ο, ρ ),(Ο, ρ ) με ρ < ρ κι οι διμετροι Ζ κι Ε του κυκλου 1 1 (Ο, ρ ). ν οι προεκτσεις των Ζ, Ε προς τ Ζ κι Ε τεμνουν τον κυκλο (Ο, ρ ) στ 1 κι ντιστοιχ, δειξτε οτι : Ζ = Ε + = (Ο,ρ ) (Ο,ρ ) 1 σ κ η σ η 4 8 η Εστω Σ κι Σ δυο τεμνουσες κυκλου (Ο,R) με = 9, Σ = 4 κι = 5. Υπολογιστε το τμημ Σ. ν Ε εφπτομενο τμημ, ν βρειτε το μηκος του. ν R = 13 η κτιν του κυκλου, υπολογιστε το ΣΟ. σ κ η σ η 4 9 η ν σε τριγωνο ισχυει = γ 3, β = γ 5 κι η προβολη της στη κι (Ο, ρ) ο περιγεγρμμενος κυκλος του, δειξτε οτι : > 9 = 6 Η δεν εινι εφπτομενη του κυκλου (Ο, ρ) στο. σ κ η σ η 5 η Εστω κυκλος (Ο, ρ), μι διμετρος του κι σημει κι της τετοι ωστε Ο = Ο = δ. ν Ρ τυχιο σημειο του κυκλου (Ο, ρ) κι Ε, Ζ τ σημει τομης των Ρ κι Ρ με τον κυκλο, ντιστοιχ, δειξτε οτι : ρ - δ ρ - δ Ρ Ρ Ζ = κι Ε = + = στθερο Ρ Ρ Ε Ζ σ κ η σ η 5 1 η Σε τριγωνο εγγεγρμμενο σε κυκλο (Ο, ρ) με = 4, = 3, υψος κι Μ διμε - σο, που τεμνει το κυκλο στο σημειο Ε, η Μ = 7 / 8. Ν βρεθει : η πλευρ το μηκος ΜΕ σ κ η σ η 5 η ινετι κυκλος (Κ,6) κι σημειο, ωστε Κ = 14. ν π'το σημειο φερουμε τεμνουσ που τεμνει κτ χορδη = 6, ν υπολογισετε το.

66 Μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς λ υ τ ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 5 3 η Εστω τριγωνο με = 11, = 9, = 1 κι Η το υψος του. Ν υπολογιστει η δυνμη του σημειου ως προς τον περιγεγρμμενο κυκλο του τριγωνου Η. σ κ η σ η 5 4 η ινετι κυκλος (O,R) κι μι διμετρος του. πο σημειο Μ του κυκλου, διφορετικο των κι, φερνουμε κθετη στην, που τεμνει τον κυκλο στο Ζ κι την στο. Στην θεωρουμε ευθ.τμημ Ο = Ο κι φερνουμε την Μ που τεμνει τον κυκλο στο Ε. ειξτε οτι : Μ = Μ Ε = ΜΖ = R Μ + Μ = (R +Ο Μ Ε Μ R +Ο + = Ζ R - Ο - Ο ) σ κ η σ η 5 5 η ν Μ εινι το μεσο της πλευρς οξυγωνιου τριγωνου κι το υψος του, δειξτε οτι Μ = Μ +.

67 ε ω μ ε τ ρ ι Λ υ κ ε ι ο υ Ε μ β δ

68 Ε μ β δ 1. Ε μ β δ Ο ρ ι σ μ ο ι Π ο λ υ γ ω ν ι κ ο χ ω ρ ι ο λεγετι το πολυγωνο μζι με τ εσωτερικ του σημει. Το πολυγωνικο χωριο που οριζετι πο τριγωνο, τετρπλευρο,..., ν-γωνο, λεγετι ντιστοιχ τριγωνικο, τετρπλευρικο,..., ν-γωνικο. Π ο λ υ γ ω ν ι κ η ε π ι φ ν ε ι λεγετι το σχημ πουποτελειτι πο πεπερσμενο πληθος πολυγωνικων χωριων, που ν δυο δεν εχουν κοιν εσωτερικ σημει. Ε Ε μ β δ ο ν Λεγετι ο λογος ενος πολυγωνικου χωριου S προς το πολυγωνικο χωριο μονδ σ. Συμβολιζετι με : (S) η Ε. υο σχημτ που εχουν το ιδιο εμβδον λεγοντι ι σ ο δ υ ν μ η ι σ ε μ β δ ι κ. S σ A ξ ι ω μ τ Ισ πολυγωνικ χωρι εχουν ισ εμβδ (το ντιστροφο δεν ισχυει). ν εν πολυγωνικο χωριο χωριζετι σε πεπερσμενου πληθους πολυγωνικ χωρι, που δεν εχουν κοιν εσωτερικ σημει, τοτε το εμβδον του ισουτι με το θροισμ των εμβδων των επιμερους πολυγωνικων χωριων. (Ε) = (Ε) + () + () Ε Το εμβδον ενος τετργωνου πλευρς 1 ισουτι με 1. 1 Το εμβδον πολυγωνου που περιεχετι στο εσωτερικο λλου πολυγωνου, εινι μικροτερο π το εμβδον του πολυγωνου που το περιεχει. 1 Ε=1 Θ ε ω ρ η μ Το εμβδον Ε ενος τετργωνου πλευρς εινι ισο με δηλδη Ε =. Ε=

69 Ε μ β δ Θ ε ω ρ η μ Το εμβδον Ε ενος ορθογωνιου εινι ισο με με το γινομενο των πλευρων του. (Ε = β, οπου, β οι πλευρες του) ποδειξη Εστω ορθογωνιο με = κι = β. Προεκτεινουμε την κτ τμημ Ε = κι την κτ Ι = β. Ετσι (ΙΗΕ) = ( + β) () + (ΘΗΖ) + (ΙΘ) + (ΖΕ) = ( + β) () + + β = + β + β () = β Ε Ζ Η Θ β β Ι Θ ε ω ρ η μ Το εμβδον Ε ενος πρλληλογρμμου με πλευρες, β κι ντιστοιχ υψη υ, υβ, εινι ισο με το γινομενο της μι πλευρς επι το ντιστοιχο υψος. ηλδη Ε = υ = β υβ. ποδειξη Εστω πρλληλογρμμο κι Ζ, Η τ υψη του π τις κορυφες κι. Τ τριγων Ζ κι Η ισ γιτι: Ζ = Η = 9 ΖΗ = (1) = (Ζ) = (Η) () Ζ = Η = υ Ετσι (1) () () = (Ζ) + (Ζ) =(Ζ) + (Η) = (ΖΗ) = = ΖΗ Η = υ β υ υ Ζ Η Θ ε ω ρ η μ Το εμβδον Ε ενος τριγωνου εινι ισο με το ημιγινομενο μιςπλευρς επι το ντιστοιχο υψος ηλδη Ε = υ = β υ = γ υ β γ. ποδειξη Με πλευρες, σχημτιζουμε πρλληλογρμμο κι () = () () = υ () + () = υ 1 () = υ () = υ υ Η

70 Ε μ β δ Θ ε ω ρ η μ Το εμβδον Ε ενος τρaπεζιου εινι ισο με το ημιθροισμ των βσεων του το υψος. ( + β) ηλδη Ε = υ (, β οι βσεις κι υ το υψος) ποδειξη Θεωρουμε τρπεζιο ( ) κι υ το υψος του. Εινι () =() + () = 1 1 = υ + υ = 1 = ( + ) υ = 1 = ( + β) υ Π ο ρ ι σ μ Το εμβδον τρπεζιου εινι ισο με το γινομενο της διμεσου επι το υψος του. β υ Μ υ Ε = ΜΝ υ Ν υ Ε φ ρ μ ο γ η 1 η Το εμβδον Ε ενος ισοπλευρου τριγωνου πλευρς, εινι ισο με : ποδειξη Εστω το υψος (κι διμεσος). πο Πυθγορειο θεωρημ στο ορθογωνιο τριγωνο 3 3 εινι : = - υ = - υ = υ = Ετσι : Ε = υ = = 4 3 Ε =. 4 υ Ε φ ρ μ ο γ η η Το εμβδον ρομβου ισουτι με το ημιγινομενο των διγωνιων του. ποδειξη Οι διγωνιες του ρομβου δ, δ εινι κθετες κι διχοτομουντι. Ετσι () = () + () = Ο + Ο = 1 δ 1 δ 1 δ δ 1 = δ + δ = δ + = δ δ Πρτηρηση : Ο τυπος ισχυει γι κθε κυρτο η μη κυρτο τετρπλευρο που εχει κθετες διγωνιες. δ1 δ Ο

71 Ε μ β δ Ε φ ρ μ ο γ η 3 η ν Μ εινι διμεσος του τριγωνου, δειξτε οτι:(μ) = (Μ). ποδειξη Φερνουμε το υψος. Ετσι Μ = Μ 1 1 (Μ) = Μ = Μ = (Μ) Πρτηρηση : ν φερουμε τις διμεσους Κ, Λ στ τριγων Μ, Μ ντιστοιχ, τοτε το τριγωνο χωριζετι σε τεσσερ ισο - δυνμ τριγων. ηλδη, (Κ) = (ΚΜ) = (ΜΛ) = (Λ) Κ Μ Λ λ λ ο ι Τ υ π ο ι Ε μ β δ ο υ Τ ρ ι γ ω ν ο υ Το εμβδον τριγωνου δινετι κι πο : Ε = τ(τ -)(τ - β)(τ - γ) (τυπος Ηρων) ποδειξη υ = τ(τ - )(τ -β)(τ - γ) + β + γ τ= 1 Ε = υ 1 Ε = τ(τ - )(τ -β)(τ - γ) Ε = τ(τ - )(τ - β)(τ - γ) γ υ β Ε = τ ρ (ρ η κτιν εγγεγρμμενου κυκλου στο τριγωνο) ποδειξη Εστω Ι = ΙΖ = ΙΕ = ρ, κτινες του εγγεγρμμενου κυκλου (Ι,ρ) στο τριγωνο. Ετσι Ε =() = (Ι) + (Ι) + (Ι) = = Ι + ΙΕ + ΙΖ = = ρ + βρ + γρ = + β + γ = τ 1 = ( + β + γ)ρ = 1 = τ ρ = τ ρ Ζ ρ Ι ρ Ε ρ

72 Ε μ β δ βγ Ε = (R η κτιν περιγεγρμμενου κυκλου στο τριγωνο) 4R ποδειξη: βγ βγ = Rυ υ = R 1 βγ βγ 1 Ε = = Ε = υ 1 R Ε = υ 4R γ R β υ Ο Ε = βγημ = γημ = βημ ποδειξη: > 9 : υ = γ ημ = γ ημ(18 - ) = γ ημ β εξ < 9 : υ = γ ημ β υ = γ ημ β Ετσι 1 1 Ε = β υ = β γ ημ β Ν ο μ ο ς Η μ ι τ ο ν ω ν γ β υβ γ υβ β Σε κθε τριγωνο ισχυει : β γ = = = R ημ ημ ημ ποδειξη βγ 1 (Ε =) = β γ ημ = R. 4R ημ Oμοι : β γ = = R. ημ ημ Ετσι, β γ = = = R ημ ημ ημ γ R β O B

73 . Ε μ β δ κ ι Ο μ ο ι ο τ η τ Θ ε ω ρ η μ Ε μ β δ ν δυο τριγων εχουν ισες βσεις, τοτε ο λογος των εμβδων τους ισουτι με τον λογο των ντιστοιχων υψων τους. π ο δ ε ι ξ η 1 Ε = Ε' 1 ' υ υ ' υ = υ = ' ' ν δυο τριγων εχουν ισ υψη, τοτε ο λογος των εμβδωντους ισουτι με τον λογο των ντιστοιχων βσεων τους. π ο δ ε ι ξ η 1 Ε = Ε' υ 1 ' υ ' υ = υ ' = ' ν δυο τριγων εινι ομοι, τοτε ο λογος των εμβδων τους ισουτι με το τετργωνο του λογου ομοιοτητς. π ο δ ε ι ξ η φου τ τριγων εινι ομοι : υ = ' υ ' = λ (1) (λ λογος ομοιοτητς) 1 υ Ε (1) υ = = = λ λ = λ ' Ε' 1 ' ' υ ' υ Θ ε ω ρ η μ ν δυο πολυγων εινι ομοι, τοτε ο λογος των εμβδων τους ισουτι με το τετργωνο του λογου ομοιοτητς τους. ποδειξη φου τ πολυγων εινι ομοι : Ε =... = = = λ (οπου λ ο λογος ομοιοτητς) ' ' '' 'Ε' υ υ υ υ υ υ Ε1 Ε3 Ε Ε

74 Ε μ β δ Εινι Ε Ε Ε Ε = = λ, = = λ, = = λ Ε ' '' Ε ' '' Ε ' 'Ε' 1 3 Ετσι 1 3 Ε Ε Ε Ε + Ε + Ε Ε (Ε) λ = = = = = = λ Ε ' Ε ' Ε ' Ε ' + Ε ' + Ε ' Ε' (''''Ε') Ε 1 Ε 3 Ε Ε Θ ε ω ρ η μ ν μι γωνι ενος τριγωνου εινι ιση με μι γωνι ενος λλουτριγωνου, τοτε ο λογος των εμβδων των δυο τριγωνων εινιισος με το λογο των γινομενων των πλευρων που περιεχουν τις γωνιες υτες. ποδειξη Εστω = ' 1 Ε = 1 β γ ημ (:) Ε' = β' γ' ημ' 1 Ε = Ε' 1 β γ ημ β' γ' ημ' = β γ β' γ' Θ ε ω ρ η μ ν μι γωνι ενος τριγωνου εινι πρπληρωμτικη με μιγωνι ενος λλου τριγωνου, τοτε ο λογος των εμβδων τωνδυο τριγωνων εινι ισος με το λογο των γινομενων των πλευρων που περιεχουν τις γωνιες υτες ποδειξη Εστω + ' = 18 ημ = ημ(18 - ') = ημ' (1) 1 Ε = 1 Ε' = β' γ' ημ' 1 Ε = Ε' β γ ημ (:) 1 β γ ημ β' γ' ημ' (1) = β γ β' γ'

75 Ε μ β δ Μ ε θ ο δ ο ς : Εμβδον τριγωνου ( μεση εφρμογη τυπων) Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εμβδου τριγωνου η ποδειξη σχεσης εμβδων τριγωνου. ο σ μ ε ν : Σχεσεις τμημτων (πλευρων) η ιδιοτητ τους. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Φτιχνουμε σχημ που ντποκρινετι στ δοσμεν, εμφνιζουμε υψη ν χρειζετι κι χρησιμοποιουμε τους τυπους : Ισοπλευρο τριγωνο Ε = υ = β υ = γ υ Ε = τ(τ - )(τ -β)(τ - γ) β γ Ε = τ ρ (ρ η κτιν εγγεγρμμενου κυκλου στο τριγωνο) βγ Ε = (R η κτιν περιγεγρμμενου κυκλου στο τριγωνο) 4R Ε = βγημ = γημ = βημ 3 Ε = 4 Π ρ δ ε ι γ μ Σ'εν τριγωνο εινι =. ν κι Ε τ υψη, ν ποδειξετε οτι = Ε. Εινι () = () = Ε = = Ε = Ε = Ε Ε Π ρ δ ε ι γ μ Σε τριγωνο η διμεσος Μ εινι ιση με την πλευρ. ν R, ρ εινι ντιστοιχ οι κτινες των περιγεγρμμενων κυκλων στ τριγων κι Μ, ν δειξετε οτι R = ρ. () Εινι (Μ) =. Ετσι βγ βγ () = R = (1) 4R 4() Μ = γ γ β Μ Μ () βγ (M) = = ρ = () 4ρ 4ρ 4() πο (1),() προκυπτει : R=ρ. βγ () = 4R Μ

76 Ε μ β δ Π ρ δ ε ι γ μ Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ), φερνουμε την διχοτομο δ =. 1 1 ειξτε οτι : + =. β γ δ Εινι () = () + () 1 () = βγημ βγημ9 = δ γημ45 + δ βημ45 δ βγ δ γ + β βγ = δ γ + δ β βγ = (γ + β) = β δ γ + β = ( ) + = + = βγ δ β γ δ β γ δ Π ρ δ ε ι γ μ Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ), φερνουμε την διχοτομο δ =. 1 1 ειξτε οτι : + =. β γ δ Εινι Ε = τ(τ - ) τ(τ - )(τ -β)(τ - γ) = τ(τ - ) τ(τ - ) (τ -β)(τ - γ) = [τ(τ - )] τ - τγ - τβ + βγ = τ (τ -β)(τ - γ) = τ(τ - ) - τ βγ = τ(β + γ - ) Ε = τ(τ - )(τ -β)(τ - γ) τ=+β+γ βγ = (β + γ + )(β + γ - ) βγ = (β + γ) - βγ = β + γ + βγ β γ - = β + γ = 9 Π ρ δ ε ι γ μ βγ Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ), ν δειξετε οτι ρ =, οπου ρ εινι η κτιν + β + γ του εγγεγρμμενου κυκλου. Εινι () = τ ρ τ = + β + γ β γ () = τ ρ τ ρ = τ ρ = β γ β γ () = β γ ( + β + γ) ρ = β γ ρ = + β + γ β ρ γ

77 Π ρ δ ε ι γ μ Ε μ β δ Μ ε θ ο δ ο ς : Εμβδον τριγωνου (πο δοσμενες γωνιες - πλευρες) Ζ η τ ο υ μ ε ν : Εμβδον τριγωνου. ο σ μ ε ν : Πλευρες κι γωνι τριγωνου. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Επιλεγουμε τη βση του τριγωνου. π την λλη δοσμενη πλευρ κι τη γωνι υπολογιζουμε το υψος που ντιστοιχει στη βση. Χρησιμοποιουμε τον τυπο : Ε = 1 υ = 1 βυ = 1 γ υ β γ Ν βρεθει το εμβδον τριγωνου ν = 8, = 1 κι = 15. Εινι ορθογωνιο = 15 = 3 = = Ε = = 1 4 = 4 τ.μ. 15 Μ ε θ ο δ ο ς : ποδειξη ισοτητς (πλευρων, υψων κλπ) Ζ η τ ο υ μ ε ν : ποδειξη ισοτητς. ο σ μ ε ν : Ισοτητ πλευρων η γωνιων η ιδιοτητ. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Μεσω του τυπου του εμβδου τριγωνου, ντικθιστουμε το εν μελος της προς ποδειξη ισοτητς κι σε συνδισμο με τις δοσμενες σχεσεις κτληγουμε στο δευτερο μελος της ισοτητς. Π ρ δ ε ι γ μ Σε τριγωνο υ, υ, υ εινι τ υψη του κι ισχυει β = + γ, οπου, β, γ οι πλευρες του. β γ 1 1 Ν δειξετε οτι : + = υ υ υ γ β. Εινι γνωστο οτι : υ = βυ = γυ = Ε (Ε = εμβδον τριγωνου) β γ Ετσι

78 Ε μ β δ 1 υ + = + = = 1 γ υ υ Ε Ε Ε = γ β υ υ γ Ε = (+) β = + γ Ε 1 1 γ β β β = υ β Π ρ δ ε ι γ μ ειξτε οτι το θροισμ των ποστσεων τυχιου σημειου της βσης ισοσκελους τριγωνου π'τις ισες πλευρες εινι στθερο. ν Μ τυχιο σημειο της, ΜΕ κι ΜΖ οι ποστσεις του πο τις, ντιστοιχ κι το υψος του τριγωνου, τοτε : () = (Μ) + (Μ) = = ΜΕ + ΜΖ = ΜΕ + ΜΖ ΜΕ + ΜΖ = υ = στθερο. β Ε Ζ Μ Μ ε θ ο δ ο ς : Εμβδον κυρτου (μη κυρτου) τετρπλευρου Ζ η τ ο υ μ ε ν : Εμβδον τετρπλευρου. ο σ μ ε ν : Κυρτο η μη κυρτο τετρπλευρο. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προκειμενου γι κυρτο τετρπλευρο : Θεωρουμε τη διγωνιο, εστω κι τις ποστσεις των κορυφων, π τη διγωνιο. Το ζητουμενο εμβδον εινι ισο με το θροισμ των εμβδων των τριγωνων που χωριζει η διγωνιος το τετρπλευρο (, ). Προκειμενου γι μη κυρτο τετρπλευρο (εστω η διγωνιος φηνει ολο το τετρπλευρο στο ιδιο ημιεπιπεδο) : Θεωρουμε τη διγωνιο, εστω κι τις ποστσεις των κορυφων, π τη διγωνιο. Το ζητουμενο εμβδον εινι ισο με τη διφορ των εμβδων των τριγωνων που εχουν γι βση τη διγωνιο (, ). Π ρ δ ε ι γ μ Ν δειξετε οτι το εμβδον τυχοντος τετρπλευρου ισουτι με το γινομενο της μις διγωνιου επι το ημιθροισμ των ποστσεων Ζ, Ε των δυο λλων κορυφων π' τη διγωνιο υτη.

79 Ε μ β δ Εινι Ε () = (+) Ζ () = Ε Ζ () + () = + Ε + Ζ () = Ε + Ζ () = Ζ Ε Μ ε θ ο δ ο ς : ποδειξη νισοτικης σχεσης Ζ η τ ο υ μ ε ν : ποδειξη νισοτητς. ο σ μ ε ν : Τριγωνο κι υψος του. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Σε τριγωνο το υψος (ντιστοιχ κθε υψος του) εινι μικροτερο πο τις πλευρες που το περιεχουν, δηλδη τις κι. Ισχυει η τριγωνικη νισοτητ ( < β + γ ). Εμφνιζουμε (με κτλληλες πρξεις) τον τυπο του εμβδου τριγωνου. Π ρ δ ε ι γ μ Σε κθε τριγωνο ν δειξετε οτι ισχυει : (β + γ) Ε < 4 < β + γ (τριγ.νισοτητ) (+) υ < β υ < β + γ υ < γ υ < (β + γ) 1 (β + γ) υ < 4 (β + γ) Ε < 4 (.) A γ υ β

80 Ε μ β δ Μ ε θ ο δ ο ς : Πρλληλογρμμο Ρομβος - Τετργωνο Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εμβδου η ποδειξη σχεσης. ο σ μ ε ν : Πρλληλογρμμο, ρομβος η τετργωνο. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Χρησιμοποιουμε τους τυπους : ι το πρλληλογρμμο : Ε = υ ( μι πλευρ κι υ το ντιστοιχο υψος του πρλληλογρμμου) ι το ρομβο : Εκτος του τυπου Ε = υ μπορουμε ν χρησιμοποιησουμε κι τον τυπο δ δ 1 1 Ε = (δ1, δ οι διγωνιες του ρομβου) ι το τετργωνο : Ε = ( μι πλευρ του τετργωνου ) Π ρ δ ε ι γ μ ινετι πρλληλογρμμο με = 1 κι ντιστοιχο προς υτην υψος υ = 5. Πνω στις πλευρες κι πιρνουμε τ σημει Ε κι Ζ ντιστοιχ, ωστε Ε = Ζ. i) Ν βρειτε το εμβδον του. ii) φου πρωτ συγκρινετε τ εμβδ των τρπεζιων ΕΖ κι ΕΖ ν βρειτε το εμβδον κθενος πο υτ. i) () = 1 5 = 5 ii) (ΕΖ) = (ΕΖ) φου εχουν ισες βσεις κι ιδιο υψος. Eτσι (ΕΖ) = (ΕΖ) = () 5 5 A Ε υ Ζ Π ρ δ ε ι γ μ ν η πλευρ τετργωνου υξηθει κτ 4 το εμβδον υξνετι κτ 136. ρειτε τη πλευρ του τετργωνου. Ε = Ε' = ( + 4) ( + 4) - = = 136 =

81 Ε μ β δ Π ρ δ ε ι γ μ ν εινι τετργωνο κι ΚΛΜΝ ρομβος, πλευρς κι τ δυο, δειξτε οτι : () (ΚΛΜΝ). Εστω δ, δ οι διγωνιες του ρομβου. Εινι 1 δ δ δ δ 1 1 ν δ < δ δ - δ > - > - > 1 1 Π.Θ. δ δ δ δ 1 1 δ δ 1 δ δ > - > > 4 4 () > (ΚΛΜΝ) ν δ = δ Τελικ 1 Κ Ο Λ (ΚΛΜΝ) τετργωνο () = (ΚΛΜΝ) () (ΚΛΜΝ) Λ Κ δ δ1 Ν Μ Μ ε θ ο δ ο ς : Εμβδον τρπεζιου Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εμβδου η ποδειξη σχεσης. ο σ μ ε ν : Τρπεζιο κι ιδιοτητ η βσεις. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Χρησιμοποιουμε ενν π τους τυπους : +β Ε = υ (, β μεγλη κι μικρη βση ντιστοιχ κι υ το υψος τρπεζιου) Ε = ΜΝ υ (ΜΝ η διμεσος υ το υψος τρπεζιου) Π ρ δ ε ι γ μ ινετι τρπεζιο ( ). ν Μ το μεσο της πλευρς του, ν ποδειξετε οτι () = (Μ). Εστω ΚΜΛ το υψος του τρπεζιου 1 1 () ( ) ΚΛ 4 1 ΚΛ ΚΛ ( ) 1 1 ΜΚ ΜΛ (Μ) (Μ) 1 ρ κι () (Μ) () = (Μ) Λ Μ Ν Κ

82 Ε μ β δ λ λ ι ω ς ΛΜ, ΜΚ υψη των τριγωνων ΜΝ, ΜΝ ντιστοιχ. Ετσι ΜΝ ΛΜ ΜΝ ΜΚ () = ΜΝ ΛΚ = ΜΝ (ΛΜ + ΜΚ) = ΜΝ ΛΜ + ΜΝ ΜΚ = ( + ) = (ΜΝ) + (ΜΝ) = (Μ) = [(ΜΝ) + (ΜΝ)] = (Μ) Μ ε θ ο δ ο ς : Σχεση εμβδων (διμεσος) Ζ η τ ο υ μ ε ν : Σχεση εμβδων. ο σ μ ε ν : Πολυγωνο κι μεσ τμημτων - πλευρων. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Χρησιμοποιουμε την ιδιοτητ της διμεσου τριγωνου που : Η διμεσος Μ τριγωνου το χωριζει σε δυο ισοδυνμ τριγων: (Μ) = (Μ). Π ρ δ ε ι γ μ Σε πρλληλογρμμο τ Κ, Λ εινι μεσ των πλευρων κι ντιστοιχ. Ν δειξετε οτι : () = (ΚΛ). νωριζουμε οτι : () = () ( διγωνιος πρλληλογρμμου) (Λ) = (Λ), (Κ) = (Κ) (Κ, Λ διμεσοι) Ετσι : (+) (Λ) = (Λ) (Λ) = () (Κ) = (Κ) (Κ) = () [(Λ) + (Κ)] = () + () (ΚΛ) = () Κ Λ Π ρ δ ε ι γ μ Σε κυρτο τετρπλευρο, Μ κι Ν εινι τ μεσ των διγωνιων, ντιστοιχ. 1 ειξτε οτι : (ΜΝ) = (). 4 Ν, Ν διμεσοι των τριγωνων, ντιστοιχ. Ετσι : 1 1 (Ν) = () (+) (Ν) + (Ν) = [() + ()] 1 1 (Ν) = () (Ν) = () (1) Μ Ν

83 Μ, ΝΜ διμεσοι των τριγωνων, Ν ντιστοιχ. Ετσι : Ε μ β δ 1 (Μ) = () (+) (1) (Μ) + (ΜΝ) = [() + (Ν)] (ΜΝ) = (Ν) = () 1 (ΜΝ) = (Ν) 4 Μ ε θ ο δ ο ς : Ισοτητ εμβδων Ζ η τ ο υ μ ε ν : ποδειξη ισοτητς δυο εμβδων. ο σ μ ε ν : Πολυγωνο (συνηθως πρλληλογρμμο). Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προκειμενου ν δειξουμε την ισοτητ των δυο εμβδων (Ε1 = Ε) κι με τη προυποθεση οτι το θροισμ τους ισουτι με το εμβδον πολυγωνου (Ε1 + Ε = Ε), ποδεικνυουμε οτι εν π τ δυο εμβδ εινι ισο με το μισο του εμβδου του πο λυγωνου Ε Ε ( Ε = η Ε = 1 ). Π ρ δ ε ι γ μ Θεωρουμε πρλληλογρμμο κι σημειο Ο στο εσωτερικο του τριγωνου. Ν ποδειξετε οτι : (Ο) + (Ο) = (Ο) + (Ο). Φερνουμε το υψος ΚΟΛ. (Ο) + (Ο) = = 1 Εινι () (1) 1 ΟΚ + 1 ΟΛ = (Ο) + (Ο) + (Ο) + (Ο) = () 1 () + (Ο) + (Ο) = () (Ο) + (Ο) = () - 1 () 1 (1 ) (ΟΚ + ΟΛ) = 1 ΚΛ = Κ Ο (Ο) + (Ο) = 1 () () πο (1), () προκυπτει : (Ο) + (Ο) = (Ο) + (Ο) Λ

84 Ε μ β δ Μ ε θ ο δ ο ς : Ευρεση γωνιων ορθογωνιου Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση γωνιων. ο σ μ ε ν : Εμβδον ορθογωνιου σε συνρτηση με διγωνιο του. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Η μι διγωνιος χωριζει σε δυο ισ (ρ κι ισοδυνμ) ορθογωνι τριγων το ορθογωνιο ενω η λλη ποτελει τις διμεσους των τριγωνων υτων. Συνεπει του προηγουμενο εινι οι διγωνιες του ορθογωνιου ν το χωριζουν σε τεσσερ ισοδυνμ τριγων. Υπενθυμιση : Οι διγωνιες του ορθογωνιου εινι ισες κι διχοτομουντι. Π ρ δ ε ι γ μ Το εμβδον οροθογωνιου εινι ισο με 4 Ν δειχτει οτι η οξει γωνι Ο των διγωνιων του ισουτι με 3. ( διγωνιος του). () () = (), φου τ τριγων ισ κι () = (1) () (Ο) =, φου Ο διμεσος στο. Ετσι λογω (1) () 1 (Ο) = Ο Ο ημο = ημο = ημο = Ο = υποθεση Ο = Ο = ορθογωνιο 3 Ο Π ρ δ ε ι γ μ Σε ορθογωνιο το εμβδον του εινι ( διγωνιος). 4 Ν βρεθουν οι γωνιες που σχημτιζουν οι πλευρες με τις διγωνιες του. Εστω Ε το υψος του π'το. Ετσι υποθεση Ε () = () = = 4Ε Ο Ε ορθογωνιο Ο ισοσκελες Ο = Ο = Ο = 4Ε Ο = Ε ΕΟ = 3 Ο = 75 κι Ο = Ο = 9-75 = 15. Ε

85 Ε μ β δ Μ ε θ ο δ ο ς : Λογος εμβδων Ζ η τ ο υ μ ε ν : ποδειξη σχεσης μετξυ εμβδων. ο σ μ ε ν : Ισοτητ η ιδιοτητ τμημτων. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Ε ι ομοι πολυγων με εμβδ Ε1, Ε ισχυει : 1 = λ Ε ι τ τριγων κι ισχυει : () υ β υ β γ υγ = = = (''') ' υ β' υ γ' υ ' β' γ' οπου λ ο λογος ομοιοτητς. = ' = ' = ' () β γ γ β = = = ν η η - η (''') β' γ' ' γ' ' β' + ' = 18 + ' = 18 + ' = 18 Π ρ δ ε ι γ μ Προεκτεινουμε τις πλευρες,, τριγωνου ντιστοιχ κτ τμημτ =, Ε =, Ζ =. ειξτε οτι : (ΖΕ) = () κι (ΕΖ) = 7(). Ζ Εινι + ΖΕ = 19. Ετσι γι τ τριγων κι ΖΕ : () 1 = = (ΖΕ) = () (ΖΕ) Ζ Ε Ομοι με πιο πνω : (Ζ) = (), (Ε) = () Ετσι (ΕΖ) = (ΖΕ) + (Ζ) + (Ε) + () = = () + () + () + () = 7() Ε Π ρ δ ε ι γ μ πο τυχιο εσωτερικο σημειο Σ τριγωνου με εμβδον Ε, φερνουμε πρλληλες στις πλευρες σχημτιζοντς ετσι τρι τριγων με εμβδ Ε, Ε κι Ε. ειξτε οτι : Ε + Ε + Ε = Ε Τ τριγων που σχημτιζοντι εινι ομοι με το τριγωνο, φου οι πλευρες τους εινι πρλληλες με τις πλευρες του τριγωνου.

86 Ετσι Ε Ε1 Ε 1 Ε = = Ε Ε Ε μ β δ ΙΡ, ΡΖΕ πρλ / μ ρ : ΙΡ = κι ΡΖ = Ε (+) Ε ΡΖ Ε ΡΖ Ε Ε Ε 1 3 Ε ΡΖ ΡΙ = = + + = + + Ε Ε Ε Ε Ε Θ Η Ε Ε3 ΡΙ 3 ΡΙ = = Ε Ε Ι Ε3 Ρ Ε Ζ Ε + Ε + Ε 1 3 Ε + Ε + = Ε Ε + Ε + Ε 1 3 = Ε Ε1 Ε

87 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 1 η ν οι διμεσοι, Ε τριγωνου τεμνοντι στο σημειο Θ, δειξτε οτι : (Ε) = () = (Ε) (Θ) = (ΕΘ) (Θ) = (ΘΕ), Ε διμεσοι του τριγωνου. Ετσι : Ε (Ε) = () () = () (Ε) = () = (Ε) (Ε) = () (Θ) = (Ε) - (ΘΕ) = () - (ΘΕ) = (ΕΘ) (Ε) = (Ε) (Θ) + (ΕΘ) =(ΘΕ) + (ΕΘ) (Θ) = (ΘΕ) σ κ η σ η η Σε τριγωνο με = 1, η διμεσος Μ εινι κθετη στην κι ιση με υτη. Ν βρεθει το εμβδον του τριγωνου. Το τριγωνο Μ εινι ισοσκελες ορθογωνιο κι : πο Π.Θ. : Μ = + Μ γ = 1 γ = 7 Μ γ 7 (Μ) = = = = 36 τ.μ. (Μ) = (Μ) = 36 Ετσι () = (Μ) + (Μ) = 7 τ.μ. γ γ Μ σ κ η σ η 3 η Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ), εστω Μ το μεσο της πλευρς κι σημειο Ν () της πλευρς τετοιο, ωστε Ν =. ειξτε οτι : (ΜΝ) =. 3 3 Εινι : Μ = κι Ν = 3 Ετσι 1 ΜΝ 3 = = = = () (ΜΝ) = Ν Μ

88 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 4 η Σε τρπεζιο ( ), Μ εινι το μεσο της. ειξτε οτι : () = (Μ). Εστω Ε το σημειο που τεμνει η Μ την. Ετσι Τ τριγων ΜΕ κι Μ εινι ισ γιτι : Ε Μ = Μ (Μ μεσο ) ΜΕ = (εντος ενλλξ) ΜΕ = Μ (κτκορυφην) Μ (ΜΕ) = (Μ) κι ΜΕ = Μ () = (Μ) + (Μ) = (Μ) + (ΜΕ) = (Ε) Στο τριγωνο Ε η Μ διμεσος. Ετσι : (Ε) = (Μ) () = (Μ) σ κ η σ η 5 η Σε τριγωνο, Μ η διμεσος. ειξτε οτι οι ποστσεις του Μ π'τις πλευρες, εινι ντιστροφ νλογες με τις πλευρες υτες. φου Μ διμεσος τοτε (Μ) = (Μ). Ετσι (Μ) = (Μ) ΜΕ = Μ 1 1 Μ = ΜΕ Μ Ε σ κ η σ η 6 η Τετργωνο πλευρς κι ισοπλευρο τριγωνο πλευρς β εχουν την ιδι περιμετρο. ειξτε οτι το εμβδον του τετργωνου ισουτι με 9β 16. Περιμετρος τετργωνου = 4 3β = Περιμετρος τριγωνου = 3β 4 Ετσι, το εμβδον του τετργωνου : Ε 3β = = = 4 9β 16 β

89 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 7 η Σε κυρτο τετρπλευρο η γωνι των διγωνιων του εινι 3. Ν βρεθει το εμβδον του σε συνρτηση με τις διγωνιες του. Ρ Ρ ΚΡ = ΡΛ = 3 Κ = κι Λ = (1) 1 1 () = () + () = Λ + Κ = (1) 1 Ρ Ρ 1 Ρ + Ρ 1 = ( + ) = = 4 Κ Ρ 3 Λ σ κ η σ η 8 η ειξτε οτι η διγωνιος ενος πρλληλογρμμου το χωριζει σε δυο ισοδυνμ τριγων. π'τις κορυφες τετρπλευρου φερνουμε πρλληλες στις διγωνιες του. ειξτε οτι το περιγεγρμμενο στο τετρπλευρο πρλληλογρμμο που σχημτιζετι εχει εμβδον διπλσιο του εμβδου του τετρπλευρου. Τ τριγων που σχημτιζοντι εινι ισ (τρεις πλευρες ισες). ρ εινι ισοδυνμ. Τ ΚΟ, ΝΟ, ΜΟ, ΛΟ πρλληλογρμμ (πλευρες πρλληλες) κι οι πλευρες του τετρπλευρου διγωνιες τους. Κ Λ Σε συνδισμο με το προηγουμενο ερωτημ, εινι : Ο (ΚΟ) = (Ο) (+) (ΝΟ) = (Ο)... (ΚΛΜΝ) = () (ΜΟ) = (Ο) Ν Μ (ΛΟ) = (Ο) σ κ η σ η 9 η Ν δειχτει οτι το εμβδον ενος τρπεζιου εινι τετρπλσιο του εμβδου του τριγω - νου που εχει κορυφες τ μεσ των διγωνιων του κι το σημειο τομης των μη πρλ - ληλων πλευρων του. Εστω τρπεζιο ΚΛΜΝ (ΚΛ ΜΝ), Ο το σημειο τομης των ΝΚ κι ΜΛ, Η κι Ζ τ μεσ των ΚΜ, ΛΝ ντιστοιχ κι ΟΘ ΜΝ (που τεμνει κθετ τις ΚΛ, ΖΗ στ Ι, ντιστοιχ). κομη, ΚΛ = β, ΜΝ = κι ΙΘ = υ.

90 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς Φερνουμε ΛΕ ΚΝ, ετσι τ τριγων ΟΚΛ κι ΟΜΝ εινι ομοι. Ο ρ ΟΙ ΚΛ βυ υ βυ υ = ΟΙ = ΟΙ + = + ΙΘ ΕΜ -β -β βυ + υ( -β) υ( + β) (ΚΛΜΝ) Ο = Ο = Ο = (1) ( -β) ( -β) -β Κ Ι Λ (1) Ο ΖΗ (ΟΖΗ) = = (ΚΛΜΝ) -β -β () = 4 Ζ Η Ν Θ Ε Μ σ κ η σ η 1 η Εστω σημει κι Ε της πλευρς τριγωνου με = Ε. π'το φερνουμε πρλληλη στην που τεμνει την στο Ζ. ν η Ζ τεμνει την Ε στο Η δειξτε οτι (ΗΖΕ) = (Η). φου Ζ τοτε (Ζ) = () (1) ( = βση, ιδιο υψος). Ομως () = (Ε) () ( = Ε = βση, ιδιο υψος) πο (1),() : (Ζ) = (Ε) (Η) + (ΗΖ) =(ΗΖΕ) + (ΗΖ) (Η) = (ΗΖΕ) Ζ Η Ε σ κ η σ η 1 1 η Σε τριγωνο εινι β + γ =. ειξτε οτι βγ = 6Rρ, οπου R η κτιν του περιγεγρμ - μενου κι ρ η κτιν του εγγεγρμμενου κυκλου. βγ βγ R= () Ε= 4Ε βγ Ε 4R Rρ= Ε Ε = τρ 4 Ε ρ= τ τ τ = + β + γ = β + γ 3βγ 3βγ 3βγ 6Rρ = 6Rρ = 6Rρ = τ + β + γ + 6Rρ= 3βγ 3 6Rρ = βγ A R γ ρ β B

91 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 1 η ν οι μη πρλληλες πλευρες, τρπεζιου τεμνοντι στο Κ, ν δειξετε οτι τ τριγων Κ κι Κ εινι ισοδυνμ. Κ υ B () = () = () υ () = () + (Κ) = () + (Κ) (Κ) = (Κ) σ κ η σ η 1 3 η ν Μ η διμεσος τριγωνου κι Κ, Ρ, Ν τ μεσ των Μ, Μ κι Μ ντιστοιχ, δειξτε οτι () = 4(ΚΡΝ). 1 1 π'την υποθεση : = ΡΝ υ = υ ΡΝ () = (ΡΝ) (1) ΡΚ διμεσος στορμ : (ΡΜ) = (ΚΡΜ) ΝΚ διμεσος στο ΝΜ : (ΝΜ) = (ΚΝΜ) (1) (+) (ΡΜ) + (ΝΜ) = [(ΚΡΜ) + (ΚΝΜ)] (ΡΝ) = (ΚΡΝ) (ΡΝ) = 4(ΚΡΝ) () = 4(ΚΡΝ) Κ Ρ Μ Ν σ κ η σ η 1 4 η Ν δειχτει οτι κθε ευθει που διερχετι π'το κεντρο ενος πρλληλογρμμου, χωριζει το πρλληλογρμμο σε ισοδυνμες πολυγωνικες επιφνειες. Τ τριγων ΟΚ κι ΟΛ εινι ισ (Ο = Ο, ΟΚ = ΟΛ κι ΟΚ = ΟΛ). Ετσι, Κ = Λ (1), Λ = Κ () (διφορες ισων) Τ τρπεζι ΚΛ κι ΛΚ, λογω των (1),() εχουν ισες βσεις κι κοινο υψος (το υψος του πρλληλογρμμου). Ετσι, (ΚΛ) = (ΛΚ) Κ Ο Λ

92 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 1 5 η Εστω σημει κι Ε της πλευρς τριγωνου με = Ε. π'το φερνουμε πρλληλη στην που τεμνει την στο Ζ. ν η Ζ τεμνει την Ε στο Η δειξτε οτι (ΗΖΕ) = (Η). (+) Κ διμεσος στο (Κ) = () Λ διμεσος στο (Λ) = () [(Λ) + (Κ)] = () + () (ΚΛ) = () (1) 4(ΚΛ) = () (Κ Λ εχει μιση βση κι ντιστοιχο υψος πο το ) () (ΚΛ) = () 8 () () () () = (1) : (ΚΛ) + (ΚΛ) = () () (ΚΛ) + = 8 4() () 3() (ΚΛ) = - (ΚΛ) = Κ Λ σ κ η σ η 1 6 η ν Ε, Ζ, Η, Θ εινι τ μεσ των πλευρων,,, ενος τετργωνου ντιστοιχ, ν βρεθει το εμβδον του τετρπλευρου που σχημτιζουν οι Ζ, Η, Θ κι Ε. ΗΕ πρλληλογρμμο ΚΝ ΛΜ ΚΛΜΝ εινι ΖΘ πρλληλογρμμο ΚΛ ΝΜ πρλληλογρμμο Τ τριγων Θ κι Ε εινι ισ γιτι : Ορθογωνι, = κι Θ = Ε. Ετσι ΘΝ = Θ ΝΘ = 9 ΚΛΜΝ εινι ορθογωνιο. Τ τριγων ΘΝ κι ΗΜ εινι ισ γιτι : Ορθογωνι, Θ = Η ΘΝ = Θ Μ = Ν Η ΘΝ Κ, Θ μεσο Ν = ΝΚ Μ = Ν Μ ΝΚ = ΜΝ ΗΜ Ν, Η μεσο Μ = ΜΝ ΚΛΜΝ εινι τετργωνο Ν Στο ορθογωνιο τριγωνο Ν πο Π.Θ. : Θ Ζ ΝΜ = Ν Λ Ν + Ν = ΝΜ + (ΝΜ) = () Κ () () 5ΝΜ = () ΝΜ = (ΚΛΜΝ) =. Ε 5 5

93 σ κ η σ η 1 7 η Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς Ισοσκελες τρπεζιο εχει βσεις κι 3, υψος Ε = κι Κ, Λ τ μεσ των διγωνιων του. ρειτε το εμβδον του τριγωνου ΚΛ. ειξτε οτι : (ΚΛ) = (ΚΛ) = (ΚΛ) = (ΚΛ). Ε = (ευκολ ν φερεις κι το υψος Ζ), οποτε το Ε ει - νι πρλληλογρμμο. ρ η διγωνιος του Ε διερχετι πο το Κ κι τεμνει κθετ την ΚΛ με Κ = ΚΕ =. Ετσι (ΚΛ) = ΚΛ Κ = = = (ΚΛ) = (ΚΛ) = (φου ΛΚ ορθογωνιο) (ΚΛ) = (ΚΛ) = ΚΛ ΚΕ = = = Τελικ : (ΚΛ) =(ΚΛ) = (ΚΛ) = (ΚΛ) = Κ Λ Ε Ζ σ κ η σ η 1 8 η Σε ορθογωνιο εινι =, = β, Ο το κεντρο κι Μ το μεσο της. Ν υπολογιστουν οι πλευρες του τριγωνου ΜΟ σε συνρτηση με τ, β. ειξτε οτι τ τριγων ΜΟ κι ΜΟ εινι ισοδυνμ. Εινι β ΟΜ = Ο = = + β Λ Ο Μ Στο τριγωνο Μ πο Πυθγορειο θεωρημ : 4β + 4β + Μ = β + Μ = Μ = 4 4 β Λ = Μ ΟΜΛ ΟΜ Μ = = = = β (ΟΜ) (ΟΜ) = 8

94 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 1 9 η Ν δειξετε οτι σε ρομβο, που το εμβδον του εινι ισο με το ημιγινομενο μις διγωνι - ου του επι την πλευρ, μι γωνι του εινι 6. Εινι υποθεση () = = = το τριγωνο εινι ισοπλευρο ( = = ), οποτε = 6 σ κ η σ η η ινετι τριγωνο με πλευρες, β,γ κι κυκλος (Κ,R) που εχει το κεντρο του στη πλευρ κι εφπτετι στις πλευρες κι. ειξτε οτι R(β + γ) = Ε. Εστω Ε το εμβδον του τριγωνου. Εινι Κ ΚΖ () = (Κ) + (Κ) Ε = + Ε = γ R + β R Ε = R (β + γ). Κ Ζ σ κ η σ η 1 η Σε τριγωνο με πλευρες, β,γ ν δειξετε οτι + + =, οπου ρ η κτιν β βγ γ ρr του εγγεγρμμενου κι R η κτιν του περιγεγρμμενου κυκλου. Εινι γ β + β + γ + + = + + = = β βγ γ βγ βγ βγ βγ τ = + β + γ Ε τ ρ 1 Ε 1 4Ε = = = = = βγ βγ ρ βγ ρ βγ 1 = ρ Ε τ= βγ ρ Ε = 4R βγ 4 4R βγ = = ρ R ρr A R γ ρ β B

95 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η η Aν Κ το σημειο τομης των διγωνιων τρπεζιου ( ), ν δειξετε οτι (Κ) = (Κ). Κ = Κ (κτκορυφην), ετσι γι τ Κ κι Κ εινι : (Κ) Κ Κ = (1) (Κ) ΚΚ Κ Κ Κ Κ ( τρπεζιο), ετσι : = = 1 () Κ Κ Κ Κ (Κ) πο (1),() : = 1 (Κ) = (Κ) (Κ) Κ σ κ η σ η 3 η Aν Κ, Λ, Μ τ μεσ των πλευρων τριγωνου, ν δειξετε οτι () = 4 (ΚΛΜ). Κ,Λ,Μ μεσ, ετσι : ΚΛ =, ΛΜ =, ΚΜ =. ρ τ τριγων κι ΚΛΜ εινι ομοι με λογο 1 ομοιοτητς λ = (1). = λ = () () (1) (ΚΛΜ) (ΚΛΜ) 1 (ΚΛΜ) 1 = () 4 Μ Λ Κ σ κ η σ η 4 η Ευθει πρλληλη στη βση τριγωνου τεμνει τις, στ σημει κι Ε ντιστοιχ. ειξτε οτι : (Ε) = (Ε)(). Ε, οποτε πο Θ.Θλη εινι : = (1) Ε Ε Τ τριγων, Ε κι Ε εχουν κοινη την. Ετσι () = = (1) (Ε) Ε Ε () (Ε) = ( Ε) = (Ε)() (Ε) Ε (Ε) (Ε) = = (Ε) Ε

96 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 5 η ν Η το ορθοκεντρο ισοπλευρου τριγωνου πλευρς, δειξτε οτι : (Η) 1 3 = (Η) = () 3 1 Το Η εινι κι βρυκεντρο, φου το τριγωνο ισοπλευρο. Τ τριγων Η, εχουν κοινη βση, οποτε : Η βρυκεντρο (Η) Η Η 1 = = = () 3Η 3 (Η) = (Η) = () = = () Η Ε σ κ η σ η 6 η Στη προεκτση της πλευρς πρλληλογρμμου πιρνουμε τμημ Ε =. () ειξτε οτι : (Ε) =. 4 Ε Εινι, Ε + = 18, οποτε στ τριγων Ε κι : () () = (Ε) Ε Ε 1 (Ε) 1 = = = = () Ε () (Ε) 1 () = (Ε) = () 4 σ κ η σ η 7 η Σε κυκλο (Ο,ρ), κι εινι κθετες χορδες. ειξτε οτι : (Ο) = (Ο)., εγγεγρμμενες που βινουν στ τοξ, ντιστοιχ κι Ο, Ο οι ντιστοιχες επικεντρες. Ετσι : (+) Ο = Ο + Ο = ( + ) = 9 = 18 Ο = ι τ τριγων Ο, Ο εινι : (Ο) ΟΟ = κτινες = 1 (Ο) = (Ο) (Ο) Ο Ο Ο Ε

97 σ κ η σ η 8 η Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ν σε τριγωνο με διχοτομο, Μ διμεσο κι β = γ, δειξτε οτι : (Μ) 1 (Μ) 1 = = (Μ) () 3 Τ Μ, Μ εχουν κοινο υψος (πο Μ) κι διχοτομος : (Μ) υ = = (Μ) υ γ γ 1 θ. διχοτομου : = = = = β γ (Μ) 1 = (Μ) γ Η γ Μ Μ = ( κοινη, =, = Μ = γ) : () = (Μ) (1) γ Μ διμεσος στο : (Μ) = (Μ) () πο (1),() : (Μ) = () = (Μ) (Μ) 1 = () 3 σ κ η σ η 9 η β υο τριγων, ''' εχουν = ', + ' = 18. ειξτε οτι : =. ' β' () βγ = ' : = (''') β'γ' () (''') + ' = 18 : = γ 'γ' βγ β' γ' γ = β = ' γ' β' ' σ κ η σ η 3 η Στη προεκτση της πλευρς ενος τριγωνου πιρνουμε σημειο Κ τετοιο ωστε = 3Κ. ειξτε οτι () = 3(Κ). + Κ = 18, οποτε γι τ τριγων, Κ εινι : () υποθεση 3 Κ = = (Κ) Κ Κ =3 ρ, () = 3(Κ) Κ

98 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 3 1 η ινετι γωνι xoy κι εν σημειο Σ εκτος υτης. π'το Σ φερνουμε δυο ευθειες που τεμνουν τις πλευρες της γωνις στ σημει, ' Oy κι,' Ox ειξτε οτι : - = - (ΣΟ) (ΣΟ) (ΣΟ') (ΣΟ') Ο (ΣΟ) Ο = (κοινο υψος) = (ΣΟ) Ο (ΣΟ') (ΣΟ') Ο' Ο' = (κοινο υψος) (ΣΟ') Ο' () (ΣΟ') Ο' (ΣΟ) (ΣΟ) Ο Ο Τ τριγων Ο, Ο'' εχουν κοινη την xoy ετσι: (Ο) Ο Ο (Ο) (ΣΟ) (ΣΟ) = = ('Ο') Ο' Ο' ('Ο') (ΣΟ') (ΣΟ') x (ΣΟ) - (ΣΟ) (ΣΟ) (ΣΟ) = (ΣΟ') - (ΣΟ') (ΣΟ') (ΣΟ') (ΣΟ) - (ΣΟ) (ΣΟ') - (ΣΟ') = - = - (ΣΟ) (ΣΟ) (ΣΟ') (ΣΟ') (ΣΟ) (ΣΟ) (ΣΟ') (ΣΟ') Σ y σ κ η σ η 3 η Στις πλευρες,, τριγωνου πιρνουμε ντιστοιχ τ σημει, Ε, Ζ τετοι 3 ωστε =, Ε = κι Ζ =. Ν υπολογισετε το εμβδον του τριγωνου 3 4 ΕΖ σν συνρτηση του εμβδου του τριγωνου. Τ τριγων Ζ κι εχουν κοινη τη γωνι. Ετσι : (Ζ) Ε 4 1 () = = = (Ζ) = (1) () 8 8 Τ τριγων Ε κι εχουν κοινη τη γωνι. Ετσι : (Ε) Ε = = 3 1 () = (Ε) = () () 6 6 Τ τριγων Ζ κι εχουν κοινη τη γωνι. Ετσι : 3 (ΕΖ) Ζ Ε () = = = (ΕΖ) = (3) () Ετσι :(ΕΖ) = () - (Ζ) - (Ε) - (ΕΖ) = () () () = () = () 4 Ζ Ε

99 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 3 3 η πο τυχιο εσωτερικο σημειο Κ τριγωνου φερνουμε Κ, ΚΕ, ΚΖ κθετες στις,, ντιστοιχ, ετσι ωστε Κ =, ΚΕ = κι ΚΖ =. ειξτε οτι (ΕΖ) = 3(). + ΚΕ = 18, φου στο τετρπλευρο ΛΚΜ : Λ + Μ = 18. Ετσι, γι τ τριγων, ΚΖ εινι : Ζ () = (ΚΖ) Ομοι, Κ ΚΖ υποθεση = 1 (ΚΖ) = () (1) Λ Κ Μ (ΚΕ) = () () (ΚΕΖ) = () (3) πο (1) + () + (3) : (ΚΖ) + (ΚΕ) + (ΚΕΖ) = 3() (ΕΖ) = 3() Ε σ κ η σ η 3 4 η Σε τριγωνο τ Ε,Ζ εινι σημει της τετοι ωστε Ε = Ζ. ν ΕΘ (Θ ) κι Κ το σημειο τομης των Θ, Ζ ν δειξετε οτι : (ΚΘΖ) = (Κ). Εινι (Θ) = (Ε) (κοινη βση, ιδιο υψος) (Ε) = (Ζ) (βσεις Ε = Ζ, ιδιο υψος) (Θ) = (Ζ) (Κ) + (ΚΘ) =(ΚΘΖ) + (ΚΘ) (Κ) = (ΚΘΖ) Ε Ζ Κ Θ

100 σ κ η σ η 1 η Ε μ β δ λ υ τ ε ς σ κ η σ ε ι ς ν Θ το βρυκεντρο τριγωνου, δειξτε οτι : (Θ) = (Θ) = (Θ) σ κ η σ η η Το εμβδον τρπεζιου ισουτι με το γινομενο της μις των μη πρλληλων πλευρων επι την ποστση του μεσου της λλης π'υτην. σ κ η σ η 3 η Ν υπολογιστει το εμβδον κυρτου τετρπλευρου ν, = 8, = 1, = 6, = 6 3 κι = 1. σ κ η σ η 4 η πο εν σημειο Ε της διγωνιου πρλληλογρμμου φερνουμε πρλληλες στις πλευρες του. ειξτε οτι τ πρλληλογρμμ που βρισκοντι εκτερωθεν της εινι ισοδυνμ. σ κ η σ η 5 η 1 Ν δειξετε οτι εν τριγωνο, εμβδου ισου με δ, οπου δ εινι η διχοτομος της γωνις, εινι ισοσκελες η ισοπλευρο. σ κ η σ η 6 η Ν ποδειχτει οτι κθε τετρπλευρο εχει διπλσιο εμβδον π'το πρλληλογρμμο που εχει γι κορυφες τ μεσ των πλευρων του. σ κ η σ η 7 η Η μεσοκθετη της υποτεινουσς ορθογωνιου τριγωνου ( = 9 ), τεμνει την στο Κ. ν 3(ΚΜ) = () ν βρεθει η γωνι. σ κ η σ η 8 η Σε τριγωνο εινι υ = 3ρ, οπου ρ η κτιν του εγγεγρμμενου κυκλου στο τριγωνο. ειξτε οτι : = β + γ. σ κ η σ η 9 η Εστω ισοπλευρο τριγωνο πλευρς κι τριγωνο ΚΛΜ με Κ = 1. (ΚΛΜ) ΚΛΚΜ ειξτε οτι : =. ()

101 σ κ η σ η 1 η Ε μ β δ λ υ τ ε ς σ κ η σ ε ι ς Εν τριγωνο με = 6, = 3 κι β = 1, εινι ισοδυνμο με ισοπλευρο τριγωνο. Ν υπολογιστει η πλευρ του ισοπλευρου τριγωνου. σ κ η σ η 1 1 η Εν τριγωνο με = 6, = 3 κι β = 1, εινι ισοδυνμο με ισοπλευρο τριγωνο. Ν υπολογιστει η πλευρ του ισοπλευρου τριγωνου. σ κ η σ η 1 η ν Μ εινι εσωτερικο σημειο πρλληλογρμμου, δειξτε οτι : 1 (Μ) +(Μ) = () σ κ η σ η 1 3 η π'το μεσο Μ της πλευρς ενος τριγωνου φερνουμε ευθει ε που τεμνει την στο κι την προεκτση της στο Ε. ν η πρλληλη της ε τεμνει την στο Ζ, τοτε (Ζ) = (ΕΖ). σ κ η σ η 1 4 η Σε ορθογωνιο κι ισοσκελες τριγωνο ( = 9 ) πιρνουμε τ σημει, Ε των, ντιστοιχ, ωστε = Ε = β ενω = = κι Ο σημειο τομης των, Ε. Υπολογιστε το εμβδον (Ο). σ κ η σ η 1 5 η ινετι τριγωνο, η διμεσος του κι τυχιο σημειο Ο. Ν δειχτει οτι το εμβδον του τριγωνου Ο εινι ισο με το ημιθροισμ η την ημιδιφορ των εμβδων των τριγωνων Ο κι Ο, εφοσον οι κορυφες κι βρισκοντι προς το υτο μερος της ευθεις Ο η εκτερωθεν. σ κ η σ η 1 6 η π'τη κορυφη τριγωνου φερνουμε μι οποιδηποτε ευθει που συνντ την προεκτση της, προς το μερος του σε εν σημειο '. π'τη κορυφη φερνουμε πρλληλη στην ' που συνντ την προεκτση της στο σημειο '. Ν δειχτει οτι τ τριγων κι '' εινι ισεμβδικ. σ κ η σ η 1 7 η Στο εσωτερικο τριγωνου πιρνουμε σημειο Κ ετσι ωστε Κ = Κ = 1 κι Κ =, Κ = 6, Κ = 1. Ν υπολογιστουν τ (Κ) κι ().

102 Ε μ β δ λ υ τ ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 1 8 η Σ'εν πρλληλογρμμο μι γωνι του εινι πεντπλσι μις λλης κι κι η περιμετρος του δωδεκπλσι μις πλευρς. ν το εμβδον του εινι 4cm, υπολογιστε πλευρες κι υψη του. σ κ η σ η 1 9 η Ν ποδειχτει, οτι κθε ευθει που διερχετι π'το μεσο της διμεσου ενος τρπεζιου κι τεμνει τις βσεις του, χωριζει το τρπεζιο σε δυο ισοδυνμ τρπεζι. σ κ η σ η η Σε τριγωνο, εινι το μεσο της διμεσου Μ, Ε το μεσο της κι Ζ το μεσο της. Ν βρεθει το εμβδον του ΕΖΜ σε συνρτηση με το εμβδον του τριγωνου. σ κ η σ η 1 η Στο εσωτερικο τριγωνου θεωρουμε τυχιο σημειο Μ. Φερνουμε τις ευθειες Μ, Μ, Μ που τεμνουν τις πλευρες,, στ σημει ', ', ' ντιστοιχ. ειξτε οτι : (Μ')(Μ')(Μ') = (Μ')(Μ')(Μ '). σ κ η σ η η Στη πλευρ Oy γωνις xoy = 45 πιρνουμε τ σημει,, ωστε =. π'τ σημει, φερνουμε τις κθετες κι Ε στην Ox κι π'το σημειο την Ζ κ - θετη στην Oy. ειξτε οτι : (Ζ) = (Ε). σ κ η σ η 3 η Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ), κτσκευζουμε τετργων στις πλευρες του, εξω π'υτο, Ε, ΘΙ, ΚΛ. ν = γ, = β, = υπολογιστε τ εμβδ (ΚΕ), Ι), (ΛΘ) το εμβδον του εξγωνου ΕΚΛΘΙ. σ κ η σ η 4 η Σε τριγωνο με = γ, = β κι = 3, κτσκευζουμε στις πλευρες κι κι εξω π'το τριγωνο, τετργων Ε κι ΖΗ. ειξτε οτι (ΕΗ) = () Υπολογιστε το εμβδον (ΖΗΕ). σ κ η σ η 5 η ινετι πρλληλογρμμο κι σημειο Ο που δεν βρισκετι εντος των γωνιων κι. ειξτε οτι (Ο) = (Ο) +(Ο).

103 Ε μ β δ λ υ τ ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 6 η Σε τριγωνο πιρνουμε το μεσο Μ της διμεσου, το μεσο Ν του Μ κι το μεσο () Ρ του Ν. ειξτε οτι (ΜΝΡ) =. 8 σ κ η σ η 7 η ειξτε οτι το εμβδον τετρπλευρου εινι τετρπλσιο του εμβδου του τριγωνου που εχει κορυφες τ μεσ των διγωνιων του κι το σημειο τομης δυο πενντι πλευρων του. σ κ η σ η 8 η Το συμμετρικο του ορθοκεντρου ενος τριγωνου ως προς κθε πλευρ του, βρισκετι πνω στο περιγεγρμμενο κυκλο του. ινετι τριγωνο, Η το ορθοκεντρο του κι ενς κυκλος διμετρου, που τεμνει το υψος ' στο. ειξτε οτι : () = ()(Η). σ κ η σ η 9 η Ν δειχτει οτι το εμβδον ενος τετρπλευρου εινι ισο με το μισο του γινομενου μις διγωνιου του επι την προβολη της λλης σε μι ευθει κθετη της πρωτης. σ κ η σ η 3 η π'τις κορυφες ενος τριγωνου φερνουμε πρλληλες προς δοσμενη ευθει ε που τεμνουν τις πενντι πλευρες του στ σημει ', ', ' ντιστοιχ. ειξτε οτι : (''') = (). σ κ η σ η 3 1 η ν, Ε, Ζ εινι τ μεσ των πλευρων τριγωνου, δειξτε οτι 4(ΕΖ) = (). σ κ η σ η 3 η ν Κ, Λ, Μ,Ν εινι τ μεσ των πλευρων τετρπλευρου, δειξτε οτι : (ΚΛΜΝ) = (). σ κ η σ η 3 3η ν ω εινι η γωνι των διγωνιων δ, δ τετρπλευρου, δειξτε οτι : 1 () = δ δ ημω. 1 1

104 Ε μ β δ λ υ τ ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 3 4 η υ υ υ Ν δειξετε οτι σε κθε τριγωνο ισχυει : Ε = R β γ β γ σ κ η σ η 3 5 η Εν τετρπλευρο εινι περιγεγρμμενο στον κυκλο (Ο, ρ). Ν δειξετε οτι ισχυει : (Ο) +(Ο) = (Ο) +(Ο). σ κ η σ η 3 6 η Σε τριγωνο δειξτε οτι : 8RΕ = βγ( + β + γ)ρ, οπου, β,γ οι πλευρες του κι R, ρ οι κτινες του περιγεγρμμενου κι εγγεγρμμενου κυκλου ντιστοιχ. σ κ η σ η 3 7 η Σε πρλληλογρμμο πιρνουμε δυο τυχι σημει Ε κι στις πλευρες κι ντιστοιχ. Οι ευθειες Ε κι Θ τεμνοντι στο Ζ, ενω οι ευθειες Ε κι Θ τε - μνοντι στο Η. Ν δειξετε οτι : (ΕΖΘ) = (Ζ) (ΕΗΘΖ) = (Η) +(Ζ) σ κ η σ η 3 8 η Σε τρπεζιο, =, = β εινι οι βσεις του κι υ το υψος του. ν η διμεσος ΕΖ τεμνει τις διγωνιες, στ Θ κι Η ντιστοιχ, δειξτε οτι : ( - β) υ (Η) = (ΖΕ) -(ΕΖ) = (Η) σ κ η σ η 3 9 η Σε τρπεζιο, Λ εινι το σημειο που τεμνοντι οι μη πρλληλες πλευρες του κι Κ το σημειο τομης των διγωνιων του. ειξτε οτι : (Λ) = (Λ) (Κ) = (Κ) σ κ η σ η 4 η Εν τριγωνο εχει εμβδον 9 cm. πο εν σημειο Μ του υψους, που το διι - ρει σε δυο τμημτ Μ, Μ με λογο, φερνουμε πρλληλη στη που τεμνει τις 1 κι στ σημει Ε κι Ζ ντιστοιχ. Υπολογιστε το εμβδον (ΕΖ). σ κ η σ η 4 1 η Προεκτεινουμε τις πλευρες ενος πρλληλογρμμου κτ τμημτ ' =, ' =, ' = κι ' =. ειξτε οτι το '''' εινι πρλληλογρμμο κι εκφρστε το εμβδον του σε συνρτηση με το εμβδον Ε του.

105 Ε μ β δ λ υ τ ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 4 η Εστω τρπεζιο ( ) που οι διγωνιες του κι τεμνοντι στο σημειο Κ. ειξτε οτι : (Κ) = (Κ) (Κ). σ κ η σ η 4 3 η ινετι ισοσκελες τρπεζιο με βσεις, κι υψος Ζ. ειξτε οτι το εμβδον του τρπεζιου υτου εινι διπλσιο του εμβδου του τριγωνου Ζ. σ κ η σ η 4 4 η ειξτε οτι δυο τριγων που εχουν κορυφη εν τυχιο σημειο της περιμετρου ενος π - ρλληλογρμμου κι βσεις τις διγωνιες του, εχουν στθερο θροισμ εμβδων. σ κ η σ η σ κ η σ η 4 5 η Εστω εν τετρπλευρο εγγρψιμο σε κυκλο (Ο,R) με =, = β, = γ κι γ + βγ = δ. ειξτε οτι : =. β + γδ (ο θεωρημ Πτολεμιου) 4 6 η Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ), φερνουμε το υψος. πο τυχιο σημειο Ε του φερνουμε πρλληλη στη που τεμνει την στο σημειο Ζ κι την στο σημειο Θ. Επισης π'το Ε φερνουμε κθετη στην Ε που τεμνει την στο σημειο Η. ειξτε οτι (Ζ) = (Η). σ κ η σ η 4 7 η Στη πλευρ ενος ορθογωνιου τριγωνου ( = 9 ) κι εξω π'υτο, κτσκευ - ζουμε ισοπλευρο τριγωνο. ειξτε οτι () = () -(). σ κ η σ η 4 8 η εινι η διχοτομος τριγωνου. ειξτε οτι =. σ κ η σ η 4 9 η ν εινι το σημειο επφης της πλευρς τριγωνου με τον εγγεγρμμενο του Ι Ι κυκλο (Ι, ρ), δειξτε οτι : =. Ι Ι σ κ η σ η 5 η ν Κ, Κ, Κ εινι η προβολες του βρυκεντρου Κ τριγωνου στις πλευρες, β, γ 1 3 ντιστοιχ, ν βρεθει το εμβδον του τριγωνου Κ Κ Κ. 1 3

106 ε ω μ ε τ ρ ι Λ υ κ ε ι ο υ Κ ν ο ν ι κ Π ο λ υ γ ω ν

107 Κ ν ο ν ι κ Π ο λ υ γ ω ν 1. Ο ρ ι σ μ ο ι Κ ν ο ν ι κ ο Π ο λ υ γ ω ν ο : λεγετι υτο που εχει ολες τις πλευρες του ισες κι ολες τις γωνιες του ισες. ν Σ τ ο ι χ ε ι Κ ν ο ν ι κ ο υ Π ο λ υ γ ω ν ο υ : Κ ε ν τ ρ ο : λεγετι το κοινο κεντρο του εγγεγρμμενου κι περιγεγρμμενου κυκλου στο πολυγωνο. ν 3 κ τ ι ν : λεγετι κθε κτιν του περιγεγρμμενου κυκλου στο πολυγωνο που κτληγει σε κο - ρυφη του. Σμβ : R ν. π ο σ τ η μ : λεγετι η κτιν του εγγεεγρμμενου κυκλου στο πολυγωνο. Σμβ : ν. ω ν ι : λεγετι κθε μι π τις ισες γωνιες του πολυ - γωνου, που σχημτιζετι πο δυο διδοχικες πλευρες του. Σμβ :. φ ν 36 Ισχυει: φ = 18 - ν ν ποδειξη: Το θροισμ των γωνιων κθε κυρτου ν -γωνου εινι ισο με ν-4 ορθες. Ετσι: 36 νφ = (ν - 4) 9 ν φ = 18 ν - 36 φ = 18 - ν ν ν ν Κ ε ν τ ρ ι κ η ω ν ι : λεγετι κθε μι π τις ισες γωνιες του πολυγωνου, που σχημτιζετι πο δυο διδοχικες κτινες του. Σμβ : 36 Ισχυει: ω ν = (φου νω ν = 36 ). ν Πρτηρηση : φ + ω ν ν = 18 ω ν. Συμβολιζουμε με λ ν, Ρ ν, Ε ν την πλευρ, την περιμετρο κι το εμβδον ντιστοιχ κνονικου πολυγωνου. ν λ ν λ ν 1 ν φ ν Ο ν λ ν ω ν R R 4 λ ν λ ν 3

108 Κ ν ο ν ι κ Π ο λ υ γ ω ν. Ο μ ο ι ο τ η τ υο κνονικ πολυγων με τον ιδιο ριθμο πλευρων X E εινι ομοι. ποδειξη : Εστω δυο κνονικ πολυγων...χ κι...χ με ν πλευρες το κθεν. Εινι : 36 = =...' =... = Χ' = 18 ν = =... = Χ κι '' = '' =... = Χ'' = ', = ',..., Χ = Χ' Χ = =... = '' '' Χ'' τ πολυγων...χ κι '''...Χ' εινι ομοι. Χ Ε 3. Θ ε ω ρ η μ τ Kaθε κνονικο πολυγωνο εγγρφετι κι περιγρφετι σε δυο ομοκεντρους κυκλους. ποδειξη : Εστω κυκλος (Ο,R) που διερχετι π τις κορυφες,, κνονικου πολυγωνου...χ. Το τριγωνο Ο εινι ισοσκελες (Ο=Ο=R), οποτε Χ Ο = Ο κι - Ο = - Ο Ο = Ο (1). Τ τριγων Ο κι Ο εινι ισ γιτι : Ο = Ο = R = = λ Ο = Ο = R. ν Ο = Ο (1) Oμοι κι οι υπολοιπες κορυφες του πολυγωνου νηκουν στο κυκλο, δηλδη εινι εγγρψιμο στο κυκλο. Οι χορδες του κυκλου (Ο,R) εινι ισες (λ ) ρ κι τ ποστημτ τους εινι ισ, εστω ρ. ν ρ υπρχει κυκλος (Ο,ρ) που εφπτετι στο πολυγωνο η το πολυγωνο περιγρφε - τι στον (Ο,ρ). R Ο λ ν ρ R R λ ν λ ν Kaθε κνονικο ν-γωνο κτινς R ισχυουν οι εξης σχεσεις : λ ν = R Ρ = ν λ ω = Ε = Ρ ν ν ν ν ν ν ν 4 ν ποδειξη :

109 Κ ν ο ν ι κ Π ο λ υ γ ω ν πο Πυθγορειο θεωρημ στο τριγωνο ΟΣ εινι : λ ν λ ΟΣ + Σ = Ο + = R ν + ν 4 φου = =... = Ρ = λ τοτε Ρ = ν λ AB = B =... = Ρ Ο = Ο =... = ΡΟ = ω. Ομως ν ν ν ν = R 36 Ο + Ο ΡΟ = 36 ρ : ν ω = 36 ω = ν ν ν Τ τριγων Ο, Ο,...,ΟΡ εινι ισ (πλευρες R,R, λ ) ρ εινι κι ισοδυνμ, οποτε : ν ν Ρ R Ο ω ν ν R R Σ λ ν λ ν ΟΣ λ 1 1 Ε Ρ Ρ ν= ν λν ν ν = ν(ο) = ν = ν = (ν λ ) = ν ν ν ν ν Π ρ τ η ρ η σ η : ν τ σημει 1,,..., ν διιρουν εν κυκλο σε ν ισ τοξ, τοτε το πολυγωνο 1...ν εινι κνονικο. Οι εφπτομενες του κυκλου στ πιο πνω σημει 1,,..., ν σχημτιζουν κνονικο πολυγωνο με ν πλευρες. 4. Π ο ρ ι σ μ Σε δυο κνονικ ν-γων ο λογος των πλευρων τους εινι ι- σος με το λογο των κτινων κι το λογο των ποστημτων. ποδειξη: Εστω δυο κνονικ ν - γων (ν 3)...Ρ κι '''...Ρ' με Ρ Ο κεντρ Ο, Ο' κι ΟΣ, Ο'Σ' τ υψη των τριγωνων Ο, Ο'''. Τ τριγων Ο, Ο''' εινι ομοι γιτι : εινι ισοσκελη (Ο = Ο = R, Ο'' = Ο'' = R') 36 Ο = 'Ο'' = ν Ο ΟΣ Ετσι : = = '' Ο'' Ο'Σ' λ R ν = = ν λ ' R' ' 5. Ε γ γ ρ φ η σ ε κ υ κ λ ο Τ ε τ ρ γ ω ν ο υ ν ν Φερνουμε δυο κθετες διμετρους κι σε κυκλο (Ο,R). Ετσι Ο = Ο = Ο = Ο = 9 που σημινει οτι κι = = = = = =, δηλδη το τετρπλευρο εινι τετργωνο. Σ Ρ Ο Σ

110 Κ ν ο ν ι κ Π ο λ υ γ ω ν πο Πυθγορειο θεωρημ στο ορθογωνιο τριγωνο Ο : = Ο + Ο λ = R + R λ 4 = R 4 λ = R 4 λ 4 λ ν π'τη βσικη σχεση + = R γι ν = 4 ν 4 προκυπτει : 4 Ο λ 4 = R λ4 (R ) R + = R + = R + = R R R R = R - = = = R 4 Κ ν ο ν ι κ ο υ Ε ξ γ ω ν ο υ Το κνονικο εξγωνο ποτελειτι πο 6 ισοπλευρ τριγων φου η κεντρικη του γωνι εινι 6. Ετσι πνω σε κυκλο (Ο,R) πιρνουμε 6 διδοχικ τοξ,,,ε,εζ,ζ χορδης το κθεν ισης με R. Το ΕΖ εινι κνονικο εξγωνο. Το ισοσκελες τριγωνο Ο εχει Ο = 6, οποτε το τριγωνο εινι ισοπλευρο πλευρς R. ηλδη εινι εινι λ 6 = R λ ν π'τη βσικη σχεση + = R γι ν = 6 προκυπτει : ν 4 λ 6 = R λ6 R 3R R 3 + = R + = R = = Ζ Ε R Ο λ 6 6 R Ι σ ο π λ ε υ ρ ο υ Τ ρ ι γ ω ν ο υ Πνω σε κυκλο (Ο,R) πιρνουμε εξι διδοχικ τοξ,,,ε,εζ,ζ χορδης το κθεν ισης με R. Τ σημει, κι Ε ποτελουν κορυφες ισο - Ε λ 6 πλευρου τριγωνου φου τ τοξ, Ε κι Ε εινι ισ με 1. Η εινι διμετρος του κυκλου ( = 18 ) οποτε το τριγωνο εινι ορθογωνιο ( = 9 ) κι πο Πυθγορειο θεωρημ : Ζ 3 R Ο λ 6 λ 3 λ 6 = R = - λ = (R) - λ λ = 4R - R

111 Κ ν ο ν ι κ Π ο λ υ γ ω ν λ = 3R 3 λ = R 3 3 λ ν π'τη βσικη σχεση + = R γι ν = 3 προκυπτει : ν 4 λ 3 = R 3 λ3 3R R R + = R + = R = = Σ υ γ κ ε ν τ ρ ω τ ι κ ο ς Π ι ν κ ς Σ τ ο ι χ ε ι ω ν ωνι Κεντρικη γωνι Πλευρ λν ποστημ ν Τετργωνο φ = 9 4 ω 4 = 9 λ = R 4 = 4 R Κνονικο εξγωνο φ = 1 6 ω 6 = 6 λ 6 = R = 6 R 3 Ισοπλευρο τριγωνο φ = 6 3 ω 3 = 1 3 λ = R 3 R = 3 Κνονικο δεκγωνο Κνονικο πεντγωνο Κνονικο οκτγωνο φ = φ = φ = R ω = 36 λ = ( 5-1) 1 R ω = 7 λ = R = R = ( 5 + 1) 5 4 R ω = 45 λ = R - = Μ ε τ ρ η σ η Κ υ κ λ ο υ Μ η κ ο ς Κ υ κ λ ο υ Εστω λν η πλευρ κνονικου ν-γωνου περιγεγρμμενου σε κυκλο (Ο,R) κι λ ν η πλευρ κνονικου ν-γωνου εγγεγρμμενου στον ιδιο κυκλο με ν. Υπρχει θετικος ριθμος L = ν k ωστε λ ν < k < λν. Ο ριθμος L λεγετι μ η κ ο ς του κυκλου (Ο,R). L Εχει ποδειχτει οτι ο λογος εινι στθερος R (Ιπποκρτης ο Χιος) κι συμβολιζετι με το γρμμ π. Ετσι L = π L = π R R

112 Κ ν ο ν ι κ Π ο λ υ γ ω ν Ε μ β δ ο ν Κ υ κ λ ι κ ο υ Τ ο μ ε Επειδη ο κυκλικος δισκος εινι ενς κυκλικος τομες 36 συμφων κι με τ πιο πνω, ενς κυκλικος τομες 1 (μονδ) θ εχει εμβδον μες μ θ εχει εμβδον πr 36. Ετσι τυχιος κυκλικος το- π R μ E = κ.τ. 36 Ο κυκλικος δισκος (Ο, R) εινι κ.τομες π rad κι εμβδου πr. Eνς κ.τομες rad κι κτινς R, εχει εμβδον: πr 1 Ε = Ε = R κ.τ. κ.τ. π.. Ο μ λλος συμβολισμος εμβδου : Ε κι (Ο.) (Ο.) Ε μ β δ ο ν Κ υ κ λ ι κ ο υ Τ μ η μ τ ο ς Κ υ κ λ ι κ ο Τ μ η μ : εινι κθεν π τ δυο μερη που χωριζει τον κυκλικο δισκο μι χορδη. Προκειμενου ν βρουμε το εμβδον Ε ενος κυκλικου τμημτος χορδης, κυκλου (Ο,R), φιρουμε το εμβδον του τρι- Ε μ γωνου Ο π το εμβδον του κυκλικου τομε (Ο). ηλδη Ε = (Ο)-(Ο). Ε μ β δ ο ν Μ η ν ι σ κ ο υ Μ η ν ι σ κ ο ς : εινι το χωριο που περικλειετι πο δυο τοξ που εχουν κοινη χορδη κι βρισκοντι προς το ιδιο μερος της. Προκειμενου ν βρουμε το εμβδον Ε ενος μηνισκου χορδης, κυκλου (Ο,R), φιρουμε το εμβδον του κυκλικου τμημτος (Ο) π το εμβδον του κυκλι- κου τμημτος (Κ). ηλδη Ο Κ Ε Ε = [(Κ )-(Κ)] - [(Ο)-(Ο)].

113 Κ ν ο ν ι κ Π ο λ υ γ ω ν Μ ε θ ο δ ο ς : Ευρεση στοιχειων κνονικου πολυγωνου (πο γωνιες του) Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εμβδου, πλευρς, σχεσης μετξυ στοιχειων κνονικου πολυγωνου κλπ. ο σ μ ε ν : Κνονικο πολυγωνο. Τ ρ ο π ος Λ υ σ η ς : Χρησιμοποιουμε τους τυπους των γωνιων κνονικου πολυγωνου : 36 ω = ν 3 36 φ + φ = 18 φ = 18 - ν(εξ) ν ν ν Π ρ δ ε ι γ μ Σε κυκλο κτινς R = 5 cm εινι περιγεγρμμενο ισοπλευρο τριγωνο. Υπολογιστε : την πλευρ του το εμβδον του. Εινι 36 ω = = 1 Ο = 6 Ο = 3 Ο = Ο 3 Ο = R (φου O = R) Στο ορθογωνιο τριγωνο Ο, πο Πυθγορειο θεωρημ : = Ο - Ο = (R) - R = 3R = 3 5 = 5 3 = = = 1 3 cm Ο () = 3(Ο) = 3 = 3 = 75 3 cm Π ρ δ ε ι γ μ Σε κθε κνονικο πολυγωνο ν δειχτει οτι κθε μι π'τις εξωτερικες του γωνιες εινι ιση με την κεντρικη του γωνι. Ο Εστω φ εινι η εξωτερικη γωνι του πολυγωνου που ντι - ν(εξ) ν(εξ) στοιχει στην γωνι του φ. Ετσι φ + φ = 18 ν φ = 18 - ν φν(εξ) 36 ν ν 36 ν ν 36 - = 18 ν φ + 18 ν(εξ) 36 ω = = = ν ω ν Ο ω ν φ φ ν ν ( ε ξ )

114 Κ ν ο ν ι κ Π ο λ υ γ ω ν Μ ε θ ο δ ο ς : ποδειξη σχεσης πο ιδιοτητ κνονικου πολυγωνου Ζ η τ ο υ μ ε ν : ποδειξη σχεσης. ο σ μ ε ν : Κνονικο πολυγωνο. Τ ρ ο π ος Λ υ σ η ς : Με βση τις ιδιοτητες του κνονικου πολυγωνου : Εινι εγγρψιμο Εχει ισες πλευρες κι γωνιες Οι κορυφες του χωριζουν τον περιγεγρμμενο κυκλο σε ισ τοξ κι σε συνδυσμο με προηγουμενες γνωσεις, κτληγουμε στο ζητουμενο. Π ρ δ ε ι γ μ Σε κθε κνονικο πεντγωνο Ε δειξτε οτι : Κθε διγωνιος το χωριζει σε εν ισσοκελες τρπεζιο κι εν ισοσκελες τριγωνο. Οι διγωνιες, Ε (με σημειο τομης Ζ), σχημτιζουν τον ρομβο Ζ. Ζ = Ε ΖΕ Ε εγγρψιμο (φου εινι κνονικο) : = Ε, = Ε Ε = (βινουν στ,ε) Ε Το Ε = Ε = Ε = Ε τρπεζιο = Ε, τοτε το τριγωνο Ε εινι ισοσκελες. Συμφων με το προηγουμενο : Ε κι ομοι, οποτε το Ζ εινι πρλληλογρμμο κι επειδη = Ε Ζ το τετρπλευρο εινι ρομβος κι Ζ = Ζ = Ε (1) Τ τριγων Ε, ΖΕ εινι ομοι (Ε = κοινη, ΖΕ = Ζ βι - νουν στ Ε = Ε). (1) Ε Ε Ζ Ε ρ = = ΖΕ Ε ΖΕ Ζ Π ρ δ ε ι γ μ Ζ = Ε ΖΕ Ν δειχτει οτι το εμβδον Ε ενος κνονικου ν - γωνου εγγεγρμμενου σε κυκλο (O,R) ν 1 εινι Ε = Ρ R, οπου Ρ εινι η περιμετρος του κνονικου ν - γωνου κτινς R. ν ν ν

115 Κ ν ο ν ι κ Π ο λ υ γ ω ν ν μι πλευρ του εγγεγρμμενου κνονικου ν - γωνου στο κυκλο (O,R), τοτε = λ. ν ν φερουμε ΟΜ, οπου Μ εινι το μεσο του,θ εινι Μ = Μ = λ ν, φου το κνονικο ν - γωνο εινι εγγεγρμμενο στον ιδιο κυκλο (O,R). Η ΟΜ εινι κθετη στην κι διερχε - τι π'το μεσο της Κ. Ε ν 1 1 = ν (ΟΜ) = ν ΟΜ = ν ΟΜ = = ν R λ = (ν λ ) R = ν ν Ρ ν R Ο Μ Μ ε θ ο δ ο ς : Κνονικο τριγωνο - τετργωνο - εξγωνο Ζ η τ ο υ μ ε ν : ποδειξη σχεσης η ευρεση στοιχειου των πιο πνω πολυγωνων. ο σ μ ε ν : Κνονικο τριγωνο τετργωνο - εξγωνο. Τ ρ ο π ος Λ υ σ η ς : Χρησιμοποιουμε τους τυπους των πολυγωνων σε σχεση με την κτιν R του περιγεγρμμενου κυκλου : ι το ισοπλευρο τριγωνο : R λ = R 3 = φ = 6 ω = 1 ι το τετργωνο : R λ = R = φ = ω = 9 ι το κνονικο εξγωνο : 4 R 3 λ = R = φ = 1 ω = Π ρ δ ε ι γ μ ν λ + λ = 96 cm, οπου λ,λ οι πλευρες των εγγεγρμμενων σε κυκλο (Ο,R) τετργωνου κι ισοπλευρου τριγωνου, ν υπολογιστουν : Η κτιν του κυκλου τ ποστημτ, των κνονικων πολυγωνων. Εινι 4 3 λ = R 4 λ = R λ + λ = 96 R + R 3 = 96 R( + 3) = 96

116 Κ ν ο ν ι κ Π ο λ υ γ ω ν 96 96( 3 - ) R = R = R = 96( 3 - ) cm 3 + ( 3 + )( 3 - ) R 96( 3 - ) = = = 48( 6 - ) cm 4 R 96( 3 - ) = = = 48( 3 - ) cm 3 λ 4 4 R Ο 3 λ 3 Π ρ δ ε ι γ μ Σε τριγωνο εγγεγρμμενο σε κυκλο (Ο,R), εινι = λ κι = λ. Υπολογιστε 6 3 σε συνρτηση με την κτιν R : την πλευρ το εμβδον () τ υψη του τριγωνου = λ = R A = 6 6 = 18 διμετρος B = λ = R 3 = 1 3 Ετσι = R λ 6 = υ υ β λ 3 = υ β R R 3 = 18 = 9 κι () = = = R 3 υ = = R κι υ = B = R 3. γ κομη R 3 β υ β () β () = υ = = = β R R 3 Μ ε θ ο δ ο ς : Κνονικο 8-γωνο, 1-γωνο, 16-γωνο, 4-γωνο κλπ Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση στοιχειων κνονικου 8-γωνου, 1-γωνου, 16-γωνου, 4-γωνου κλπ. ο σ μ ε ν : Κνονικο πολυγωνο. Τ ρ ο π ος Λ υ σ η ς : Χρησιμοποιουμε τους τυπους των πολυγωνων σε σχεση με την κτιν R του περιγεγρμμενου κυκλου : ιπλσιζουμε τις πλευρες κνονικου τετργωνου η εξγωνου (πιρνοντς τ μεσ των ντιστοιχων τοξων των πλευρων) οσες φορες χρειστει, κι με τη βοηθει των τυπων (ποστημτος πλευρων) των κνονικων εξγωνων τετργωνων υπολογιζουμε τ στοιχει του ζητουμενου πολυγωνου σε συνρτηση με την κτιν του περιγεγρμμενου κυκλου. Οι πλευρες του ζητουμενου κνονικου πολυγωνου εινι πλσιες η 4πλσιες η 8πλσιες κλπ, των πλευρων του τετργωνου (4) η κνονικου εξγωνου (6).

117 Κ ν ο ν ι κ Π ο λ υ γ ω ν Π ρ δ ε ι γ μ Na υπολογισετε συνρτησει της κτινς R την πλευρ κι το ποστημ ενος κνονικου 1 - γωνου εγγεγρμμενου σε κυκλο (O,R). ν κι δυο διδοχικες κορυφες κνονικου 6 - γωνου εγγε - γρμμενου στον κυκλο (Ο,R), τοτε = λ = R. 6 Μ ν M το μεσο του τοξου τοτε Μ = Μ = λ. 1 ν MΜ' διμετρος τοτε ΜΜ' = 9 (βινει σε ημικυκλ ΟΗ εινι ποστημ της χορδης, ετσι Η ΜΜ'. Στο ορθογωνιο τριγωνο ΜΜ' εινι : Μ = ΜΜ' ΜΗ Μ = ΜΜ' (ΟΜ - ΟΗ) ιο). R 3 λ = R (R - ) λ = R (R - )... λ = R λ1 R ( - 3) R = R - = R = + 3 Ο Η Μ Μ ε θ ο δ ο ς : Ευρεση μηκους κυκλου τοξου Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση μηκους κυκλου τοξου. ο σ μ ε ν : Κυκλος. Τ ρ ο π ος Λ υ σ η ς : Χρησιμοποιουμε τους τυπους του μηκους γι κυκλο η τοξο σε σχεση με την κτιν R του : ι το κυκλο : L = π R π R μ ι το τοξο μ : = = R σε κτινι 18 Π ρ δ ε ι γ μ R Mε διμετρο μι κτιν Ο ενος κυκλου (Ο,R) γρφουμε κυκλο (Ο, ) κι π'το Ο R φερνουμε ημιευθει που τεμνει τον (Ο,R) στο κι τον (Ο, ) στο. ειξτε οτι τ τοξ κι εχουν ισ μηκη. Εινι R Στο κυκλο (Ο, ) η Ο εινι εγγεγρμμενη (με ντιστοιχη επικεντρη την Κ), ενω στο

118 Κ ν ο ν ι κ Π ο λ υ γ ω ν κυκλο (O,R) εινι επικεντρη. Ετσι ν Ο = κ rd τοτε Κ = κ rd. Εινι K Ο =κ R = κ R = κ R = κ R = Μ Π ρ δ ε ι γ μ ινετι ενς κυκλος (Ο,R) κι διδοχικ τ σημει του,,, ωστε = R κι = R 3. Ν βρεθουν τ μηκη των τοξων,, σε συνρτηση του R. π R 9 π R AB = R = λ ρ ω = 9 κι = = π R 1 π R AB = R 3 = λ ρ ω = 1 κι = = Εινι : = = = 15. Ετσι π R 15 5π R = = 18 6 Μ ε θ ο δ ο ς : Εμβδον κυκλου κυκλικου τομε - μηνισκου Ζ η τ ο υ μ ε ν : Εμβδον κυκλου κυκλικου τομε. ο σ μ ε ν : Κυκλος - τοξο. Τ ρ ο π ος Λ υ σ η ς : Χρησιμοποιουμε τους τυπους του εμβδου : Ε κυκλου = π R (R κτιν του κυκλου) π R μ 1 Ε = = R κυκλ.τομε 36 ( R κτιν του κυκλου κι, μ το ντιστοιχο τοξο σε κτινι - μοιρες ) Κυκλικο Τμημ : εινι κθεν π τ δυο μερη που χωριζει τον κυκλικο δισκο μι χορδη. Σε κυκλο (O, R) με χορδη : Ε κυκλικου τμημτος = (Ο) -(Ο) Μηνισκος : εινι το χωριο που περικλειετι πο δυο τοξ που εχουν κοινη χορδη κι βρισκοντι προς το ιδιο μερος της. Ε =διφορ των εμβδων των δυο κυκλικων τμημτων που προκυπτουν. μηνισκου

119 Κ ν ο ν ι κ Π ο λ υ γ ω ν Π ρ δ ε ι γ μ ινετι κυκλος (Ο,R) κι ισοπλευρο τριγωνο εγγεγρμμενο σ'υτον. Ν υπολογιστει το εμβδον του εγγεγρμμενου κυκλου του τριγωνου. Στο ορθογωνιο τριγωνο π'το Πυθγωριο θεωρημ : λ 3 = - (3Ο) = λ λ 3λ 3(R 3) λ = R Ο = λ - 9 Ο = 9 Ο = R R 9 Ο = Ο = (1) 4 4 Μ Ο Ο εινι η κτιν του εγγεγρμμενου κυκλου στο τριγωνο. Ετσι, (1) π R Ε = π Ο = 4 Π ρ δ ε ι γ μ Κυκλος (Ο,R) διιρειτι σε δυο κυκλικ τμημτ π'την πλευρ ισοπλευρου τριγωνου που εινι εγγεγρμμενο σ'υτον. Ν υπολογιστουν : το μηκος του μικροτερου τοξου. το εμβδον του κυκλικου τομε Ο. φου πλευρ ισοπλευρου τριγωνου εγγεγρμμενου στο κυκλο (Ο,R) τοτε η Ο = 1. Ετσι π R 1 = = π R 18 3 Ο 1 ι το εμβδον του κυκλικου τομε Ο εινι : Ε κ.τ. π R 1 π R = = 36 3

120 Κ ν ο ν ι κ Π ο λ υ γ ω ν Π ρ δ ε ι γ μ Σε κυκλο (Ο,R) η χορδη ντιστοιχει στη πλευρ λ εγγεγρμμενου τετργωνου κι 4 χωριζει τον κυκλο σε δυο κυκλικ τμημτ. Ν βρεθουν : το εμβδον του μικροτερου κυκλικου τμημτος του κυκλου. το εμβδον του μεγλυτερου κυκλικου τμημτος του κυκλου. Υπολογισμος εμβδου μικροτερου κυκλικου τμημτος ΟAB : Ο = 9 π R 9 Ο Ο π R R Ε = Ε - Ε = - = - = 1 κ. τομε Ο 36 4 R = (π - ) 4 Υπολογισμος εμβδου μεγλυτερου κυκλικου τμημτος ΟAB : Ε = Ε R 4 - Ε = π R - (π - ) = κυκλου 1 R (3π + ) 4 Ο Ε 1 Ε Π ρ δ ε ι γ μ ινετι τετρτοκυκλιο με κεντρο κι χορδη που μζι με το ημικυκλιο διμετρου σχημτιζουν εν μηνισκο με εμβδον Ε. ειξτε οτι Ε = (). 1 1 π'το Πυθγορειο θεωρημ στο τριγωνο : = Ε (Κ,Κ) π π 9 Ε = - (Ε - ()) = - - () = 1 (,) 36 = π π = - - () = 8 4 π π = () = () Κ Ε 1 Μ ε θ ο δ ο ς : Εμβδον μικτογρμμων σχημτων Ζ η τ ο υ μ ε ν : Εμβδον μικτογρμμου σχημτος. ο σ μ ε ν : Κυκλος - τοξο κλπ. Τ ρ ο π ος Λ υ σ η ς : Προκειμενου ν βρουμε το εμβδον ενος μικτογρμμου σχημτος (που δεν υπρχει τυπος γιυτο), το μετσχημτιζουμε (πρξεις συνηθως προσθεση η φιρεση ) σε εμβδ σχημτων γι τ οποι γνωριζουμε τον τυπο.

121 Κ ν ο ν ι κ Π ο λ υ γ ω ν Π ρ δ ε ι γ μ Σε κυκλο (Ο,R), Ο μι κτιν του που στην προεκτση της πιρνουμε τμημ = Ο = R. π'το φερνουμε την εφπτομενη του κυκλου. Ν υπολογισετε το εμβδον του μικτογρμμου τριγωνου σε συνρτηση με το R. Το τριγωνο Ο εινι oρθογωνιο με Ο = R κι Ο = R. ρ = 3 κι Ο = 6. Eτσι π R 6 π R Ε = = (1) (Ο,) 36 6 = (R) - R = 4R - R = 3R = R 3 Ο R 3 R R 3 (Ο) = = = () (1,) R 3 π R R (μ) =(Ο) - Ε = - = (3 3 - π) (Ο,) 6 6 Ο Π ρ δ ε ι γ μ Με διμετρο τη πλευρ = ισοπλευρου τριγωνου γρφουμε ημικυκλιο που τε - μνει τις πλευρες του τριγωνου στ σημει κι Ε. ειξτε οτι τ τριγων Ο κι ΟΕ εινι ισοπλευρ. Ν υπολογιστει το εμβδον του κυκλικου τομε Ο. Ν υπολογιστουν τ εμβδ των χωριων του ημικυκλιου που βρικοντ εκτος του τρι - γωνου. Τ τριγων Ο κι ΟΕ εινι ισοσκελη (Ο = Ο = ΟΕ = Ο) κι εχουν = = 6. ρ εινι ισοπλευρ. π πο 6 π Ε = = = (Ο,) Το ζητουμενο εμβδον εινι : Ε 3 π Ε = (Ε - (Ο)) = - = (Ο,) 4 4 π 3 π 3 = - = Ο

122 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 1 η Ν δειξετε οτι, ν εν πολυγωνο εινι εγγρψιμο κι περιγρψιμο σε δυο ομοκεντρους κυκλους, τοτε το πολυγωνο εινι κνονικο. Εστω το πολυγωνο... που εινι εγγεγρμενο στο κυκλο 1 ν (O,R) κι περιγεγρμμενο στο κυκλο (Ο,ρ). Οι κτινες του κυκλου (Ο,ρ) που ντιστοιχουν στ σημει επ - φης με το πολυγωνο εινι κθετες στις πλευρες του που εινι χορδες στον λλο κυκλο (O,R). ηλδη οι κτινες υτες εινι ποστημτ των χορδων,,..., κι επειδη εινι ισες τοτε ισες θ εινι κι οι χορδες. 1 3 ν 1 Ετσι = =... = 1 3 ν ν 1 νο εινι κνονικο. 4 ν οποτε = =... =, που σημινει οτι το πολυγω - 1 Ο R ρ 3 σ κ η σ η η Τετργωνο εινι εγγεγρμμενο σε κυκλο (O,R) κι η ημιπεριμετρος του εινι 8 cm. Ν υπολογιστει η κτιν του κυκλου R κι ο λογος των εμβδων τετργωνου, κυκλου. ν + = 8 = = 4 cm. Στο ορθογωνιο τριγωνο π'το Πυθγορειο θεωρημ: A B = + (R) = 4R = R = 4 R = R = R = cm. Ε τετργωνου 4 16 Εκυκλου πr π ( ) 8π π λ = = = = = R Ο σ κ η σ η 3 η ν, εινι τ ποστημτ δυο κνονικων πολυγωνων με ν κι ν πλευρες ντι - ν ν στοιχ που εινι εγγεγρμμεν σε κυκλο (Ο, R), δειξτε οτι : = ν R (R + ) ν. ν μι πλευρ του εγγεγρμμενου κνονικου ν - γωνου στο κυκλο (O,R), τοτε = λ. ν ν Μ εινι το μεσο του,θ εινι Μ = Μ = λ. ν

123 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς Ετσι, Ο = κι ΟΕ =. ν ν Η Μ εινι διμετρος, οποτε το τριγωνο Μ ορθο - γωνιο κι : Ο,Ε μεσ = ΟΕ 4ΟΕ = R (Ο + Ο) = Ο + Ο = Μ (ΟΕ) = Μ Μ = R Ο = R R (R + ) ν = ν Ε Ο Μ σ κ η σ η 4 η Σε κυκλο κτινς R εινι εγγεγρμμεν δυο κνονικ πολυγων με πλευρες μ κι ν, 1 1R + λ ν οπου μ > ν. ν =, δειξτε οτι : λ = ν μ μ λ 4R - λ + = R = ν ν ν ν (:) 4 4 4R - λ ν ν = λ 4R - λ μ μ μ 4R - λ μ μ μ + = R = R - λ 1R + λ μ = R - λ μ = 16R - 4λ ν λ ν = 4 4R - λ 4 λ = ν ν μ 1R + λ μ R μ Ο ν λ μ λ ν σ κ η σ η 5 η N aποδειξετε οτι τ μεσ των πλευρων ενος κνονικου εξγωνου εινι κορυφες κ - νονικου εξγωνου. Εστω ΗΘΙΚΛΜ το εξγωνο που σχημτιζετι π'τ μεσ των Ε Κ πλευρων του κνονικου εξγωνου ΕΖ. Τ τριγων ΗΘ κι ΘΙ εινι ισ γιτι : Λ Ι λ ΗΘ = ΘΙ 6 Η = Θ + Θ = Ι = ΗΘΙ = 1 Ζ = = 1 (γωνι κνονικου εξγωνου) Ομοι κι γι τις λλες πλευρες κι γωνιες, δηλδη : ΗΘ = ΘΙ = ΙΚ = ΚΛ = ΛΜ = ΜΗ κι Θ = Ι = Κ = Λ = Μ = Η = 1 που σημινει πως το εξγωνο ΗΘΙΚΛΜ εινι κνονικο. Μ Η Θ

124 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 6 η ινετι κυκλος (O, R) κι μι χορδη του = λ. Σε μι διμετρο του κυκλου κι εκτερωθεν του Ο, πιρνουμε τ σημει κι ετσι ωστε Ο = Ο =. ν Μ εινι το μεσο της, δειξτε οτι : Μ + Μ = λ 6 = 3 R 3 = 6 R = 6 4 π'το 1ο θεωρημ διμεσου στο τριγωνο Μ εινι : Μ + Μ ΟΜ = 6 ( ) 3 =ΟΜ + = + = R 3 R = + = + = R R = + R = λ 4 = R = (R ) = λ 4. 3 Μ Ο σ κ η σ η 7 η ινετι ενς κυκλος (Ο,R) κι μι χορδη του ιση με την πλευρ τετργωνου εγγε - γρμμενου στον κυκλο. Στην ημιευθει πιρνουμε σημειο ετσι ωστε = R. ν εινι εφπτομενο τμημ του κυκλου (Ο,R), ν δειξετε οτι : = λ, οπου λ η πλευρ κνονικου οκτγωνου εγγεγρμμενου στον (Ο,R). 8 8 (ινετι : λ = R - ). 8 Στο κυκλο (O,R) εινι, = λ = R. εφπτομενο τμημ κι τεμνουσ στο κυκλο (O,R) : = = ( - ) = R = - = (R) - R R = R = 4R - R = R ( - ) = σ κ η σ η 8 η 4 λ 8 = R - R ( - ) = (R - ) = λ. ινετι κνονικο εξγωνο ΕΖ κι ισοπλευρο τριγωνο Ε. Ν υπολογισετε (ΕΖ) τη πλευρ, ν = 6cm το λογο. (Ε) Ο A B 8 Εινι, = λ = R = 6 cm (ABΕΖ κνονικο εξγωνο). 3 6 Ετσι, = λ = R 3 = 6 3 cm

125 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς Εινι, R 3 R ΟΗ = = = 3 3 cm κι ΟΘ = = = 3 cm 6 3 Ετσι, 1 ΟΗ (ABΕΖ) 6 (ΟAB) λ = = = = = (Ε) 3 (Ο) 1 ΟΘ Ζ Ε Ο Η Θ σ κ η σ η 9 η Σε κυκλο (Ο,R) πιρνουμε τ διδοχικ τοξ = 6, = 9, = 1. ειξτε οτι το εινι ισοσκελες τρπεζιο. Ν υπολογισετε τις πλευρες κι το εμβδον του. π'τ δοσμεν προκυπτει : = 9 =. Ετσι = = + = 18. π'τ πιο πνω, το εινι ισοσκελες τρπεζιο. = = 9 = = λ = R, A = 6 B = λ = R = 1 = λ = R R 3 R R( 3 + 1) κομη, ΗΘ = ΟΗ + ΟΘ = + = + = R ( 3 + 1) R ( 3 + 1) Ε = ( + ) ΗΘ = (R + R 3) = 4 Θ Ο Η σ κ η σ η 1 η Σε κυκλο (Ο,R) εγγρφουμε κνονικο πολυγωνο με κεντρικη γωνι ιση με τ της ορ - 3 θης. Ποιο εινι το κνονικο πολυγωνο κι ποιο το εμβδον του σε συνρτηση με το R. 36 Εινι, ω ν = 9 = 9... ν = 6 3 ν 3 ρ το κνονικο πολυγωνο εινι εξγωνο Ε = 6(Ο) = 6 ΟΗ = 6 λ = 1 R 3 3R 3 = 6 R = λ = R 6 6 R 3 6 = Η ω ν Ο

126 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 1 1 η υο ισ κνονικ εξγων εχουν μι πλευρ κοινη μηκους λ (τ εξγων δεν τυτι - ζοντι). Ν υπολογισετε την ποστση των κεντρων τους συνρτησει του λ. λ λ Εινι, 6 R 3 6 = R 3 ΚΛ = ΚΗ + ΗΛ = + = = = R Ομως, λ = R = λ Ετσι, ΚΛ = λ 3 Κ Η Λ σ κ η σ η 1 η Ν υπολογιστει η πλευρ λ κι το ποστημ κνονικου ν - γωνου σε συνρτηση με ν την κετρικη του γωνι κι την κτιν του περιγεγρμμενου κυκλου. ν Εστω = λ, ΟΚ = η πλευρ κι το ποστημ του ν - γωνου. ν Στο ορθογωνιο τριγωνο ΟΚ εινι : λ ν ω Κ λ ν ω ημ = = = λ = Rημ ν Ο R R ω ΟΚ ν ω συν = = = Rσυν ν Ο R ν A Ο ω Κ B σ κ η σ η 1 3 η ινετι εν κνονικο εξγωνο πλευρς λ κι εν εσωτερικο του σημειο Σ. Ν υπολογισετε το θροισμ των ποστσεων του Σ π'τις πλευρες του εξγωνου, σε συνρτηση με το λ. Ε Ε στω ΕΖ το κνονικο εξγωνο, Ο το κεντρο του κι Σ, Σ, Σ, Σ, Σ, Σ οι προβολες του Σ πνω στις πλευ - Ε ΕΖ Ζ ρες,,, Ε, ΕΖ, Ζ ντιστοιχ. Εινι (Σ) + (Σ) + (Σ) + (ΣΕ) + (ΣΕΖ) + (ΣΖ) = (ΕΖ) λσ λσ λσ λσ λσ λσ Ε ΕΖ Ζ = 6(Ο) λ 3 (Ο) = 4 λ λ 3 (Σ + Σ + Σ + Σ + Σ + Σ ) = 6 Σ + Σ + Σ + Σ + Σ + Σ = 3 λ 3 Ε ΕΖ Ζ Ε ΕΖ Ζ 4 Σ ΕΖ Ζ A Σ Ε Σ Ο Σ Σ Ζ Σ Σ

127 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 1 4 η ινετι εν κνονικο εξγωνο κι εν ισοπλευρο τριγωνο εγγεγρμμεν σε κυκλο κτινς R = 3 cm. Ν υπολογισετε το εμβδον των τμημτων του εξγωνου που βρισκοντι εκτος του τριγωνου. Εινι, = λ = R = 3 cm (ABΕΖ κνονικο εξγωνο). Ετσι, 6 Ε = λ = R 3 = 3 3 cm 3 Εινι, R R 3 ΟΗ = = = cm κι ΟΘ = = = cm 6 3 Ετσι, ν Ε το ζητουμενο εμβδον : Ε = (ABΕΖ) - (Ε) = 6(ΟAB) - 3(Ο) = Ζ Ο Η Θ = 6 ΟΗ - 3 ΟΘ = = cm σ κ η σ η 1 5 η ινετι κνονικο εξγωνο εγγεγρμμενο σε κυκλο (Ο, R). ν Μ ει νι το μεσο της χορδης κι η ευθει Μ τεμνει τον κυκλο στο σημειο Ρ, ν δει - ξετε οτι Μ = 7ΜΡ. 3 1 Το τριγωνο ΟΜ εινι ορθογωνιο, φου Κ = 9,οποτε 1 1 κι ΟΜ = 9 (επικεντρη στο Κ). 1 1 Ετσι πο Πυθγορειο Θεωρημ εινι : R 3 3R R Μ = Ο + ΟΜ = R + = R + = R + = R Μ 1 δηλδη = (1) 4 7 Ρ, εινι τεμνουσες του κυκλου, οποτε : 1 3 (1) R R R Μ ΜΡ = Μ Μ Μ ΜΡ = Μ ΜΡ = Μ 1 Μ ΜΡ = Μ = 7ΜΡ Ο Μ 3 Ρ Κ 3 1 6

128 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 1 6 η Σε κυκλο (Ο,R) εινι εγγεγρμμεν, ισοπλευρο τριγωνο, τετργωνο κι κνονικο εξγωνο με ποστημτ,, ντιστοιχ ειξτε οτι : = ( - )( + ) Εινι R 3 R ( - )( + ) = - = - = = R 3 R 4 = R = 3R R R R = - = = = Ε 4 6 Ο 3 σ κ η σ η 1 7 η ινετι τετργωνο πλευρς. Με κεντρ τις δυο πενντι κορυφες κι κτιν, σχεδιζουμε στο εσωτερικο του δυο τετρτοκυκλι. ρειτε το εμβδον του κοινου με - ρους των δυο τετρτοκυκλιων. Φερνουμε τη διγωνιο του τετργωνου, που χωριζει το ζητουμενο εμβδον σε δυο ισεμβδικ κυκλικ τμημτ. Το εμβδον κθε κυκλικου τμημτος ισουτι με τη διφο - ρ του εμβδου του τριγωνου π'το εμβδον του κυκλικου τομε. Ετσι π 9 π (π - ) Ε = (Ε - Ε ) = ( - ) = ( - ) = (Ο,) 36 4 σ κ η σ η 1 8 η ινετι τετρτοκυκλιο Ο κτινς Ο = R κι ημικυκλιο διμετρου Ο στο εσωτερικο του τετρτοκυκλιου. Ν υπολογισετε το εμβδον κι την περιμετρο του μικτογρμμου τριγωνου Ο. Ε (Κ,ΚO) = Ε - = - = - = (Ο,) Ε π R 9 π R π R π R π R π R 9 π R 18 π R Π = l + l + OA = + + R = + π R + R = O πR ( + 3π) R = + R = Ο Κ

129 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 1 9 η ινετι κυκλος (Ο,R) κι χορδη = R. Στο σημειο φερνουμε την εφπτομενη x του κυκλου κι x. Υπολογιστε το εμβδον του μικτογρμμου τριγωνου. x, Ο x, ρ Ο, δηλδη Ο τρπεζιο. Το τριγωνο Ο εινι ισοπλευρο, δηλδη Ο = 6 R R 3 = 3 = =. κομη = = 6 Ο + π R 6 (ABμ) = (Ο) - Ε = - = (Ο,) 36 R R+ R 3 π R 3R 3 π R = - = - = R 3-4πR R = = (9 3-4π) 4 4 Ο 6 σ κ η σ η η Σε κυκλο (Ο,R) θεωρουμε χορδη του = λ. ν Μ εινι σημειο του κυρτογωνιου τοξου 3, ωστε Μ = κι Μ = 5, υπολογιστε την κτιν R κι το θροισμ των εμβδων των κυκλικων τμημτων που οριζοντι π'τις χορδες Μ κι Μ. = λ = R 3 Ο = 1. 3 Ετσι το μη κυρτογωνιο τοξο = 4 Μ = 1. Φερνω Μ, οποτε : Μ Μ = 6 κι Μ = 3 Μ = = = 1. Στο Μ : = Μ - Μ = 4-1 = 3, ενω στο : = + (R 3) = R = 39 R = 13 1 Ο Μ Ε = Εκ.τμ. + Εκ.τμ = Ε - (Ο) - (Μ) = (Ο,Μ) (Ο,Μ) (Ο,) π R = - Ο Ο ημ1 - Μ Μ ημ1 = 36 π = = 3 13π

130 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 1 η ειξτε οτι το εμβδον κυκλικου δκτυλιου ισουτι με το εμβδον του κυκλου που εχει διμετρο τη χορδη του μεγλυτερου κυκλου, που εφπτετι του μικροτερου. Εστω R, R οι κτινες των ομοκεντρων κυκλων με R > R. 1 1 Η χορδη εφπτετι του μικροτερου κυκλου στο σημειο Μ. Ετσι : Ε = π R - π R = π (R - R ) (1) 1 1 Στο ορθογωνιο τριγωνο ΟΜ π'το Πυθγορειο θεωρημ : R 1 Ο R (1) R - R =.Ε = π που εινι το ζητουμενο. 1 M σ κ η σ η η Εστω τετργωνο εγγεγρμμενο σε κυκλο (Ο,R) κι τ ημικυκλι με διμετρους τις πλευρες του που βρισκοντι εκτος του. ειξτε οτι το θροισμ των εμβδων των - τεσσρων σχημτιζομενων μηνισκων ισουτι με το εμβδον του. Εστω Ε το θροισμ των εμβδων των τεσσρων μηνι - σκων κι Ε, Ε, Ε, Ε τ εμβδ των ημικυκλιων. Εινι : λ 4 R Ε + Ε + Ε + Ε = 4 π = π = π R (1) E = Ε + Ε + Ε + Ε -[E (O,R) = πr - π R (1) - (AB)]= +() = () B σ κ η σ η 3 η Σε ορθογωνιο ισοσκελες τριγωνο ( = 9 ) με = λ, φερνουμε κυκλο με κεντρο κι κτιν το μισο του υψους, που τεμνει τις, στ σημει Η,Θ ντιστοιχ. Υπολογιστε το εμβδον κυκλικου τομε ΗΘ σε συνρτηση με το λ. Το εινι κι διμεσος στο τριγωνο. λ A λ ρ = = = λ κι R = = λ π 9 π λ Ετσι, = = 4 π λ Ε = (,ΗΘ) Θ Η B

131 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 4 η Εστω ορθογωνιο με = ρ, = ρ κι Ε μεσο του. Στο εσωτερικο του ορθο - γωνιου γρφουμε ημικυκλιο διμετρου κι τ τετρτοκυκλι (, ρ) κι (, ρ) που τεμνουν το ημικυκλιο στ σημει Η κι Κ ντιστοιχ. Ν υπολογισετε το εμβδον του μικτογρμμου τριγωνου ΕΗΚ. Το τριγωνο ΕΗ εινι ισοπλευρο (Ε = ΕΗ = Η = ρ) κι ρ ΕΗ = ΕΗ = 6. Ετσι ρ Η ημικυκλιου πρ 6 πρ 6 ρ 3 (ΕΗ ) = Ε + Ε - (ΕΗ) = + - = μ (Ε,Η) (,ΕΗ) πρ ρ 3 ρ = - = (4π ) (1) (EΗΚ ) =Ε κ μ 6 μ μ (ΕΗ ) = (ΚΕ ) -(ΕΗ ) - (ΚΕ ) = (1) πρ πρ ρ = - (ΕΗ ) = - (4π - 3 3) = μ μ ρ (3 3 - π) 6 Ε ρ Κ σ κ η σ η 5 η Σε κυκλο (Ο,R) θεωρουμε δυο πρλληλες χορδες = λ κι = λ. 4 6 Υπολογιστε τη περιμετρο κι το εμβδον του μικτογρμμου τρπεζου. Ο = 9, Ο = 6. φου Ο = Ο = 15. Το τριγωνο Ο εινι ισοπλευρο ( = Ο = Ο = R) κι R 3 (Ο) = (1), ενω το τριγωνο Ο εινι ισοσκελες 4 R (). ορθογωνιο (Ο = Ο = R, Ο = 9 ) κι (Ο) = Ο πr 15 πr Ε = Ε = = (3) (Ο,) (Ο,) 36 4 (Ο,) (Ο,) (1,,3) ( ) = Ε + Ε + (Ο) - (Ο) = μ πr πr R 3 R R = =... = (π ) π R 15 π R π Π = λ + λ + = R + R + = R( )

132 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 6 η ινετι ημικυκλιο διμετρου κι στο εσωτερικο του τ ημικυκλι διμετρων κι, οπου σημειο της. Η κθετη της στο τεμνει το ρχικο ημικυκλιο στο. ειξτε οτι το εμβδον του χωριου που περικλειετι μετξυ των τριων ημικυκλιων εινι ισο με το εμβδον κυκλου διμετρου. Εστω Ε, Ε, Ε τ εμβδ των ημικυκλιων διμετρων,, 1 3 ντιστοιχ. κομη, = 9, ετσι στο : =. π π π Ε 3 Ε Ε = Ε - Ε - Ε = - - = 1 3 π π = [ - ( + )] = [ - ( + ) + ] = 8 8 π = ( 8 - π + ) = = π = ζητουμενο 4 Ε 1 σ κ η σ η 7 η ινετι κυκλος με διμετρο = 6. Πιρνουμε τ σημει, της ετσι ωστε = = κι γρφουμε τρεις ισους κυκλους διμετρων,,. Ν υπολογισετε το εμβδον του χωριου που βρισκετι εκτος των τριων κυκλων κι εντος του ρχικου. 6 Ο κυκλος διμετρου εχει κτιν ρ = = = 3. Ετσι Ε = π (3) = 9 π (1) (Ο,ρ) 3 6 Ο κυκλος διμετρου εχει κτιν ρ' = = =. 6 Ετσι Ε = π () (Κ,ρ') Οποτε, Ε = Ε - 3Ε (Ο,ρ) (1,) =9π - 3 π = (Κ,ρ') 6 π Κ Ο

133 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 8 η υο κυκλοι (Κ,) κι (Λ,) εφπτοντι εξωτερικ στο σημειο Μ. Με διμετρο το κοινο εφπτομενο τμημ τους γρφουμε ημικυκλιο εκτος του κυκλου. ειξτε : Το εμβδον τοy τετρπλευρου ΛΚ εινι 8. Το εμβδον του μικτογρμμου τριγωνου Μ εινι 8 - π. Το εμβδον του χωριου που σχημτιζετι π'το ημικυκλιο κι τ κυρτογωνι τοξ Μ κι Μ. Κ Λ (κθετες στην ) κι Κ = Λ =. ρ το ΚΛ εινι ορθογωνιο κι (ΚΛ) = ΚΛ Κ = 4 = 8 Εμ (Μ) Ε = Ε = (ΚΛ) - Ε - Ε = ημικυκλιου() (Κ,Μ) (Λ,Μ) π 9 π 9 = = 8 - π - π = 8 - π Εμ = π (Μ) + (8 - π) = π π = 8 Κ Μ Λ σ κ η σ η 9 η υο κυκλοι (Κ,) κι (Λ,3) εφπτοντι εξωτερικ στο σημειο Μ κι το κοινο εφπτομενο τμημ τους. Ν βρεθει το εμβδον του μικτογρμμου τριγωνου Μ σν συν - ρτηση του. Φερνουμε Κ Λ. Το ΚΛ εινι ορθογωνιο κι Κ = =. ΚΛ = 4, Λ =, οποτε ΚΛ = 3 ΚΛ = 1, ΛΚ = 6. Στο τριγωνο ΚΛ (Πυθγορειο θεωρημ) : Κ = ΚΛ - Λ = 16-4 = 1 Κ = 3. Το ΚΛ τρπεζιο φου Κ Λ (κθετες στην ). Κ Μ 3 Λ Εμ (Μ) = (ΚΛ) - Ε - Ε = (Κ,Μ) (Λ,Μ) (3 + ) 3 π 1 π (3) 6 = - - = π 3π 3 = = π 6

134 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 3 η ειξτε οτι ο λογος των εμβδων του περιγεγρμμενου κι εγγεγρμμενου ισοπλευρου τριγωνου στο κυκλο (Ο,R) εινι 4. Το ποστημ του περιγεγρμμενου ισοπλευρου τριγωνου εινι R = R, ενω του εγγεγρμμενου ' =. 3 3 R ' R 3 Επεριγεγρμμενου Ετσι : = λ = = 4 Ε 3 Ο λογος ομοιοτητς εινι λ = = = εγγεγρμμενου 3 3 σ κ η σ η 3 1 η ινετι τετργωνο με πλευρ. Με κεντρ τις κορυφες του τετργωνου κι - κτιν ιση με το μισο της διγωνιου του γρφουμε τ τοξ που βρισκοντι στο εσωτερι - κο του τετργωνου. ρειτε το εμβδον του τμημτος του τετργωνου που δεν εινι κοι - ν τμημτ των τετρτοκυκλιων. = = κι η κτιν των τετρτοκυκλιων εινι ρ = Ε το σημειο τομης του τετρτοκυκλιου με κεντρο κι της. () 4 4 κομη Ο = = 45 κι (Ο) = =. π π ρ 45 Εμ = (Ο) - Ε = - = - = (ΟΕ) (,ΟΕ) π (4 - π) = - = (4 - π) (4 - π) Το ζητουμενο εμβδον εινι : Ε = 8 = 16 Ε 45 Ο σ κ η σ η 3 η Θεωρουμε τετρτοκυκλιο Κ κτινς R. Με κεντρο το κι κτιν το R γρφουμε το - ξο στο εσωτερικο του τετρτοκυκλιου που τεμνει το στο σημειο. Ν υπολογιστε το εμβδον του μικτογρμμου τριγωνου Κ.

135 Κ π ο ι ε ς Λ υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς Εινι Κ = Κ = = R κι Κ ισοπλευρο με: Κ = Κ = 6. Εμ (Κ) = Ε - Ε - (Ε - (Κ)) = (Κ,) (Κ,) (,Κ) π R π R 6 π R 6 R = = π R π R π R R 3 3R 3 = = πr - = 1 R (3 3 - π) 1 Κ σ κ η σ η 3 3 η Σε κυκλο (Ο,R) θεωρουμε δυο κθετες διμετρους,. Με κεντρο το κι κτιν γρφουμε το τοξο στο εσωτερικο του κυκλου που τεμνει την διμετρο στο ση- μειο Ε. ειξτε οτι το εμβδον του μην ισκου Ε ισουτι με R. φου AB τοτε τετργωνο με = = λ = R κομη = 9. π 9 Ο Ε = Ε - () = - = κ.τμημτος (Ε) (,) 36 π (R ) R R π R = - = - R (1) 4 Το ζητουμενο εμβδον εινι : Ε = Ε ημικυκλιου - Ε π R π R π R π R Ε = - - R = - + R = R 4 κ.τμημτος (Ε) (1) R Ο Ε σ κ η σ η 3 3 η Τρεις ισοι κυκλοι κτινς R εφπτοντι εξωτερικ ν δυο στ σημει, κι. Ν βρειτε την περιμετρο κι το εμβδον του κμπυλογρμμου τριγωνου, σν συνρ - τηση του R. ν Κ,Λ,Μ τ κεντρ των κυκλων τοτε ΚΛ = ΛΜ = ΜΚ = R. (R) 3 4R 3 Ετσι (ΚΛΜ) = = = R 3 (1) 4 4 π R 6 π R Ε = = () (Κ,) 36 6 (1,) π R π R (κ) = (ΚΛΜ) - 3Ε = R 3-3 = R 3 - = (Κ,) 6 R = ( 3 - π) Λ Κ Μ

136 Κ ν ο ν ι κ Π ο λ υ γ ω ν λ υ τ ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 1 η Τ πληθη ν, ν των πλευρων δυο κνονικων πολυγωνων εινι ντιστοιχ ριζες των 1 3 εξισωσεων : ν - 3ν -7ν - 15 =, ν - 9 = ν - 4. Ν ποδειξετε οτι τ πολυγων εινι ομοι. σ κ η σ η η Ν βρεθει η γωνι, η κεντρικη γωνι κι η εξωτερικη γωνι ενος κνονικου : πεντγωνου δεκγωνου δωδεκγωνου σ κ η σ η 3 η Θεωρουμε κυκλο (Ο,R) κι δυο κεθετες διμετρους,. ν Μ εινι το μεσο του Ο κι Ν σημειου του Ο ετσι ωστε ΜΝ = Μ, δειξτε οτι Ν = λ, ΟΝ = λ, οπου λ, λ (Ο, ρ) κι το ποστημ κνονικου ν - γωνου εγγρψιμου στον κυκλο (Ο, ρ), δειξτε οτι: R = ρ. ν ν πλευρες κνονικου πεντγωνου κι δεκγωνου με κτιν R. R R (ινετι : λ = 1-5, λ = ( 5-1)) 5 1 σ κ η σ η 4 η ν εν κνονικο ν - γωνο εινι εγγρψιμο σε κυκλο (Ο,R) κι περιγρψιμο σε κυκλο σ κ η σ η 5 η Τετργωνο εινι εγγεγρμμενο σε κυκλο (O,R). ν - = 1 cm ν υπολογιστει : η κτιν R του κυκλου. το εμβδον του κυκλου. σ κ η σ η 6 η ν,,, εινι διδοχικες κορυφες ενος κνονικου ν - γωνου (ν 4), ν ποδει - ξετε οτι : - =. σ κ η σ η 7 η Κνονικου πολυγωνου η κτιν εινι R = 8 cm κι το ποστημ = 4 3 cm. Ν υπολο - γιστει η πλευρ του λ, η κεντρικη του γωνι ω κι το πληθος ν των πλευρων του. σ κ η σ η 8 η Εστω ισοπλευρο τριγωνο πλευρς κι τριγωνο ΚΛΜ με Κ = 1. (ΚΛΜ) ΚΛΚΜ ειξτε οτι : =. ()

137 Κ ν ο ν ι κ Π ο λ υ γ ω ν λ υ τ ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 9 η N βρεθει ο λογος των εμβδων δυο κνονικων εξγωνων, πο τ οποι το εν εινι εγγεγρμμενο κι το λλο περιγεγρμμενων στον ιδιο κυκλο (Ο, R). σ κ η σ η 1 η Ν υπολογισθουν ως συνρτηση του R, η πλευρ λ κι το ποστημ ενος κνο - νικου 1 - γωνου εγγεγρμμενου σε κυκλο (Ο,R). 1 1 σ κ η σ η 1 1 η π'το σημειο εκτος κυκλου (Ο,R) φερνουμε τεμνουσ, ωστε =. ν Ο = R 7 3, δειξτε οτι = λ κι μετ υπολογιστε το εμβδον του τριγωνου Ο. σ κ η σ η 1 η ινετι τετργωνο πλευρς. Με κεντρο το μεσο Μ μις πλευρς του τετργω - νου κι κτιν γρφουμε κυκλο (Ο,R), που τεμνει το τετργωνο στ Κ, Λ. ρειτε το μη - κος του τοξου ΚΛ κι του ντιστοιχου τομε σε συνρτηση του. σ κ η σ η 1 3 η Σε κυκλο (Ο,R) το εινι περιγεγρμμενο τετργωνο κι '''' εγγεγρμμενο τετργωνο. Ν εκφρστουν οι πλευρες λ, λ ' των τετργωνων σε συνρτηση με την 4 4 κτιν R κι ν βρεθει ο λογος των εμβδων των τετργωνων. σ κ η σ η 1 4 η Κυκλος εινι εγγεγρμμενος σε τετργωνο πλευρς. Ν υπολογισετε το εμβδον του κυκλου σε συνρτηση του κι του μερους του τετργωνου, που βρισκετι εκτος του κυκλου. σ κ η σ η 1 5 η Ν περιγρφει κνονικο εξγωνο σε κυκλο (Ο, R). Στη συνεχει ν υπολογιστει η πλευρ του κι το εμβδον του σε συνρτηση με την κτιν R. σ κ η σ η 1 6 η Σε κυκλο (Ο,R), εκτερωθεν του κεντρου του, θεωρουμε δυο πρλληλες χορδες του κι, ωστε = R κι = R 3. Ν υπολογισθουν οι πλευρες κι του τρπεζιου, το υψος του κι το εμβδον του ως συνρτηση του R. σ κ η σ η 1 7 η Το θροισμ των γωνιων ενος κνονικου πολυγωνου εινι 8 ορθες κι το εμβδον του 6 3 cm. Na βρεθει η κτιν του.

138 Κ ν ο ν ι κ Π ο λ υ γ ω ν λ υ τ ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 1 8 η Σε κυκλο (Ο,R) εγγρφουμε ισοπλευρο τριγωνο πλευρς λ κι τετργωνο πλευρς λ. ν λ + λ 3 4 σ κ η σ η 3 4 = 1, υπολογιστε την κτιν του κυκλου κι τ ποστημτ τους. 1 9 η Το εμβδον του τετργωνου εγγεγρμμενου σε κυκλο (Ο,R) εινι κτ (8-3 3 ) cm μεγλυτερο του εμβδου του εγγεγρμμενου ισοπλευρου τριγωνου. Ν βρεθει η κτιν του κυκλου κι τ εμβδ των πολυγωνων. σ κ η σ η η ινετι κνονικο εξγωνο με λ = 4 cm κι ισοπλευρο τριγωνο εγγεγρμμεν σε κυκλο 6 (Ο, R). Ν υπολογισετε την πλευρ του ισοπλευρου τριγωνου κι το εμβδον των τμημτων του εξγωνου που βρισκοντι εκτος του τριγωνου. σ κ η σ η 1 η Ισοπλευρο τριγωνο εινι εγγεγρμμενο σε κυκλο (Ο, R). Προεκτεινουμε την κ - τ Κ = κι π'το Κ φερνουμε εφπτομενο τμημ ΚΖ στον κυκλο. Ν δειξετε οτι ΚΖ = 3 λ. 4 σ κ η σ η η ινετι κνονικο εξγωνο ΕΖ εγγεγρμμενο σε κυκλο (Ο,R). ν Κ, Μ εινι τ με - σ των πλευρων, Ε ντιστοιχ, ν υπολογισετε το εμβδον του τριγωνου ΚΜ. σ κ η σ η 3 η Ν υπολογισετε τ εμβδ των δυο τμημτων που χωριζετι κυκλος (Ο,R) πο μι χορδη του = λ 8. σ κ η σ η 4 η Σε κυκλο (Ο,R) θεωρουμε δυο πρλληλες χορδες = λ κι = λ που βρισκοντι 4 6 στο ιδιο ημικυκλιο. Ν υπολογιστει το εμβδον του τετρπλευρου σε συνρτηση με την κτιν R. σ κ η σ η 5 η Σε ημικυκλιο διμετρου Ο = 4R γρφουμε ημικυκλι διμετρων Ο κι Ο. Ν υπολο - γιστει το μηκος του κυκλου που εφπτετι των τριων ημικυκλιων σε συνρτηση με το R. σ κ η σ η 6 η Πνω σε ευθει ε πιρνουμε διδοχικ τ σημει,,,. ν L, L, L, L εινι τ μηκη 1 3 των κυκλων με διμετρους,, κι ντιστοιχ, ν δειξετε οτι : L + L + L = L. 1 3

139 Κ ν ο ν ι κ Π ο λ υ γ ω ν λ υ τ ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 7 η Na aποδειξετε οτι το μηκος του κυκλου, που εφπτετι σε δυο ομοκεντρους κυκλους ισουτι με το ημιθροισμ η την ημιδιφορ των μηκων υτων, οτν ντιστοιχ ο κυ - κλος υτος περιεχει στο εσωτερικο του η οχι τον μικροτερο κυκλο. σ κ η σ η 8 η ινετι τριγωνο με = 5 cm, β = 4 cm, γ = 3 cm. Ν βρειτε το μηκος του εγγεγρμμε - νου κι περιγεγρμμενου κυκλου του τριγωνου. σ κ η σ η 9 η Με διμετρο Ο γρφουμε ημικυκλιο στο εσωτερικο τετρτοκυκλιο Ο. Στη συνεχει γρφουμε κυκλο (Κ, ρ) που εφπτετι στο ημικυκλιο, στη πλευρ κι στο τοξο. ειξτε οτι ο κυκλος (Κ, ρ) κι το τοξο εχουν το ιδιο μηκος. σ κ η σ η 3 η ινετι κυκλος (Ο,R) κι μι κτιν Ο, που στη προεκτση της πιρνουμε τμημ = Ο. ν εινι εφπτομενη στο κυκλο, βρειτε το μηκος του τοξου κι τη περιμετρο του μικτογρμμου τριγωνου. σ κ η σ η 3 1 η ινετι κυκλος (Ο,R) κι μι κτιν Ο, που στη προεκτση της πιρνουμε τμημ = Ο. ν εινι εφπτομενη στο κυκλο, βρειτε το εμβδον του μικτογρμμου τριγωνου σε συνρτηση με την κτιν R. σ κ η σ η 3 η ινετι ισοπλευρο τριγωνο πλευρς. Με κεντρ τις κορυφες του κι κτιν γρφουμε τοξ στο εσωτερικο του τριγωνου που τεμνουν τις πλευρες του στ σημει Κ, Λ, Μ. Υπολογιστε το εμβδον του κμπυλογρμμου τριγωνου ΚΛΜ. σ κ η σ η 3 3 η Κνονικο εξγωνο Ε εινι εγγεγρμμενο σε κυκλο (Ο,R). Με κεντρο το κι κτιν R γρφουμε τοξο στο εσωτερικο του εξγωνου. ρειτε το εμβδον του μικτογρμμου πεντγωνου ΖΕ. σ κ η σ η 3 4 η Σε κυκλο (Ο, R) η χορδη ντιστοιχει στη πλευρ λ εγγεγρμμενου ισοπλευρου τρι - γωνου κι χωριζει τον κυκλο σε δυο κυκλικ τμημτ. Ν βρεθουν : το εμβδον του μικροτερου κυκλικου τμημτος του κυκλου. το εμβδον του μεγλυτερου κυκλικου τμημτος του κυκλου. 3

140 Κ ν ο ν ι κ Π ο λ υ γ ω ν λ υ τ ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 3 5 η ινετι τετργωνο πλευρς. Με κεντρ τις κορυφες του κι κτιν γρ - φουμε τοξ στο εσωτερικο του τετργωνου που τεμνουν τις πλευρες του στ σημει Κ, Λ, Μ, Ν. ρειτε το εμβδον του κμπυλογρμμου τετργωνου ΚΛΜΝ. σ κ η σ η 3 6 η ινετι τετργωνο πλευρς κι στο εσωτερικο του γρφουμε τοξ με κεντρ τις κορυφες, κι κτιν κθως κι ημικυκλιο διμετρου. ρειτε το εμβδον του τμημτος του τετργωνου που εινι εκτος των τετρτοκυκλιων κι ημικυκλιου. σ κ η σ η 3 7 η Εστω τετργωνο κι τ ημικυκλι με διμετρους δυο πενντι πλευρες του που βρισκοντι στο εσωτερικο του. ρειτε το εμβδον του τμημτος του τετργωνου που βρισκετι εκτος των ημικυκλιων. σ κ η σ η 3 8 η Εστω τετργωνο, η διγωνος του κι τ ημικυκλι με διμετρους κι που βρισκοντι στο εσωτερικο του. ρειτε το εμβδον του θροισμτος των κυκλικων τμημτων εκτερωθεν της διγωνιου. σ κ η σ η 3 9 η Εστω τετργωνο κι τ ημικυκλι με διμετρους τις πλευρες του που βρισκοντι στο εσωτερικο του. ρειτε το εμβδον του σχημτος που ποτελειτι πο τις τομες των ημικυκλιων. σ κ η σ η 4 η ινετι τετργωνο πλευρς κι δυο εφπτομεν τετρτοκυκλι με κεντρ τις κορυφες κι που το εν εχει κτιν κι βρισκοντι στο εσωτερικο του. ρειτε το εμβδον του τμημτος του τετργωνου που βρισκετι εκτος των τετρτοκυκλιων. σ κ η σ η 4 1 η ινετι τετργωνο πλευρς 4, τετρτοκυκλι με κεντρ τις κορυφες του κτι - νς κι κυκλος με κεντρο το κεντρο του τετργωνου κι κτινς, που βρισκοντι στο εσωτερικο του. ρειτε το εμβδον του τμημτος του τετργωνου που βρισκετι εκτος των τετρτοκυ - κλιων κι του κυκλου.

141 Κ ν ο ν ι κ Π ο λ υ γ ω ν λ υ τ ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 4 η ινετι τετρτοκυκλιο Ο. κτινς κι το μεσο Μ της Ο. ρειτε το εμβδον του τμημτος του τετρτοκυκλιου που βρισκετι εκτος του τριγωνου ΟΜ. σ κ η σ η 4 3 η π'το μεσο Μ του τοξου ενος τετρτοκυκλιου Ο κτινς φερνουμε κθετες στις Ο κι Ο που τις τεμνουν στ σημει Κ, Λ ντιστοιχ. ρειτε το εμβδον του τμη - μτος του τετρτοκυκλιου που βρισκετι εκτος του τετρπλευρου ΟΚΜΛ. σ κ η σ η 4 4 η ινετι τετργωνο εγγεγρμμενο σε κυκλο (Ο,R). π'τη κορυφη του κι με - κτιν φερνουμε τοξο. ειξτε οτι το εμβδον του κυκλικου τμημτος με χορδη εινι ισο με το θροισμ δυο κυκλικων τμημτων πο τ τεσσερ του κυκλου που εινι εκτος τετργωνου. σ κ η σ η 4 5 η ινετι κυκλος (Ο,R) κι ισοπλευρο τριγωνο πλευρς R κι μις κορυφης του το Ο. ρειτε το εμβδον του χωριου που σχημτιζουν τ δυο σχημτ. σ κ η σ η 4 6 η Σε κυκλο (Ο,R) θεωρουμε δυο πρλληλες χορδες = λ κι = λ. 3 6 Υπολογιστε τη περιμετρο κι το εμβδον του μικτογρμμου τρπεζου. σ κ η σ η 4 7 η ινετι εν τετρτοκυκλιο Ο, κτινς R κι το ημικυκλιο διμετρου Ο, κεντρου Κ. π'το Κ φερνουμε κθετη στην Ο, που τεμνει το ημικυκλιο στο Ν κι το τετρτοκυκλιο στο Μ. Υπολογιστε εμβδον του μικτογρμμου τριγωνου ΜΝ. σ κ η σ η 4 8 η Θεωρουμε τετρτοκυκλιο Κ κτινς R. Με κεντρο το κι κτιν το R γρφουμε τοξο στο εσωτερικο του τετρτοκυκλιου που τεμνει το στο σημειο. Ν υπολογιστε το εμβδον του μικτογρμμου τριγωνου. σ κ η σ η 4 9 η Σε κυκλο (Ο,R) θεωρουμε δυο κθετες διμετρους,. Με κεντρο το κι κτιν γρφουμε το τοξο στο εσωτερικο του κυκλου που τεμνει την διμετρο στο Ε. ειξτε οτι το εμβδον του μηνισκου Ε ισουτι με με το εμβδον του τριγωνου.

142 Κ ν ο ν ι κ Π ο λ υ γ ω ν λ υ τ ε ς σ κ η σ ε ι ς σ κ η σ η 5 η Τεσσερεις ισοι κυκλοι κτινς R εφπτοντι εξωτερικ ν δυο στ σημει,, κι. Ν βρειτε την περιμετρο κι το εμβδον του κμπυλογρμμου τετργωνου, σν συνρτηση του R.

143

144

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδ θεµάτων επνάληψης 1. Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν κάθε τριγώνου δίνετι πό τον τύπο Ε τρ, όπου τ η ηµιπερίµετρος του τριγώνου κι ρ η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου και λόγος εµβαδών

Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου και λόγος εµβαδών 0. 0.5 Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου κι λόγος εµβδών ΘΕΩΡΙ. Ε= τ( τ )( τ β)( τ γ ) Ε = τ ρ Ε = β γ R Ε = β γ ηµ = γ ηµ = β ηµ ηµ = β ηµ = γ ηµ = R. ν δύο τρίγων έχουν ίσες βάσεις, τότε ο λόγος των

Διαβάστε περισσότερα

Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα.

Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα. 1 9.1 9. Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο ΘΕΩΡΙ 1. προβολή του στην ε προβολή του στην ε προβολή του στην ε ε. Τρίγωνο ορθογώνιο στο κι ύψος. Τότε = = = = β + γ κι ντίστροφ = 1 υ = 1 β + 1 γ ν δίνοντι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ε ω μ ε τ ρ ί AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ=Α) προεκτείνουμε τη βάση Β κτά ίσ τμήμτ Β=Ε. Ν δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕ είνι ισοσκελές. 2. Ν κτσκευάσετε σε ισοσκελές τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου Λόγος εµβαδών οµοίων τριγώνων - πολυγώνων

Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου Λόγος εµβαδών οµοίων τριγώνων - πολυγώνων 8 Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου Λόγος εµβδών οµοίων τριγώνων - πολυγώνων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΣ ΓΝΩΣΙΣ ΘΩΡΙΑΣ Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου Με τη βοήθει του βσικού τύπου γι το εµβδόν τριγώνου, µε µήκη πλευρών,

Διαβάστε περισσότερα

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη 255 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣΣ Α! ΤΑΞΗΣΣ Ο Ρωµίος που µχίρωσσε ε τον Αρχιµήδη Μ' έν κλά µελετηµένο κτύπηµ, σκότωσε τον κύκλο, την εφπτόµενη κι το σηµείο τοµής στο άπειρο. "'Επί ποινή" διµελισµού εξόρισε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµα 7 ο. Τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ). Φέρνουµε Ε // ΒΓ ( ΒΓ, Ε ΑΓ). Να δειχθεί ότι: ΒΕ 2 = ΕΓ Ε

Θέµα 7 ο. Τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ). Φέρνουµε Ε // ΒΓ ( ΒΓ, Ε ΑΓ). Να δειχθεί ότι: ΒΕ 2 = ΕΓ Ε 0 ΓΕΝΙΚΕΣ Θέµ ο Τρίγωνο ΑΒΓ είνι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ). Φέρνουµε Ε // ΒΓ ( ΒΓ, Ε ΑΓ). Ν δειχθεί ότι: ΒΕ = ΕΓ Ε Θέµ ο Στη διγώνιο Β τετργώνου ΑΒΓ πίρνουµε τυχίο σηµείο Ο. Ν δειχθεί ότι: Γ - ΓΟ = Ο Ο Θέµ ο

Διαβάστε περισσότερα

i) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 ii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2Α 2 iii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΒΓ Μ iν) ΑΒ 2 ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 = 2ΑΜ 2 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2

i) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 ii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2Α 2 iii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΒΓ Μ iν) ΑΒ 2 ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 = 2ΑΜ 2 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 1 9.5 9.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 198 199 Ερωτήσεις κτνόησης 1. Στο πρκάτω σχήµ η Μ είνι διάµεσος κι ύψος. Ποι πό τις πρκάτω σχέσεις είνι σωστή. ιτιολογήστε την πάντηση σς. A i) Μ Μ ii) Μ iii)

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν. 367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000 Ζήτηµ 1ο Θέµτ Γεωµετρίς Γενικής Πιδείς Β Λυκείου 000 Α.1. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ µε διάµεσο ΑΜ ν ποδείξετε ότι το άθροισµ των τετργώνων δύο πλευρών του ισούτι µε το διπλάσιο του τετργώνου της διµέσου που

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000 Θέµτ Γεωµετρίς Γενικής Πιδείς Β Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµ 1ο Α.1. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ µε διάµεσο ΑΜ ν ποδείξετε ότι το άθροισµ των τετργώνων δύο πλευρών του ισούτι µε το διπλάσιο του τετργώνου της διµέσου

Διαβάστε περισσότερα

ύο θεµελιώδεις ισοδυναµίες. 2. Ιδιότητες αναλογιών. 3. Πρόβληµα Σηµείο Μ διαιρεί εσωτερικά τµήµα ΑΒ = α σε λόγο λ. Να υπολογιστούν τα

ύο θεµελιώδεις ισοδυναµίες. 2. Ιδιότητες αναλογιών. 3. Πρόβληµα Σηµείο Μ διαιρεί εσωτερικά τµήµα ΑΒ = α σε λόγο λ. Να υπολογιστούν τα 1 7.1 7.7 ΘΩΡΙ 1. ύο θεµελιώδεις ισοδυνµίες ν, β 0 ευθ.τµήµτ κι x > 0 τότε = β x β = x = xβ = xβ 2. Ιδιότητες νλογιών β = γ δ δ = βγ (γινόµενο άκρων = γινόµενο µέσων) β = γ δ γ = β δ (ενλλγή των µέσων)

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕ ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 015 Θέμ 1 ο Α) Ν διτυπώσετε τ κριτήρι γι ν είνι δύο τρίγων όμοι Β) Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε το ο θεώρημ διμέσων Γ) Ν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 1ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν τρπεζίου ισούτι µε το γινόµενο του ηµιθροίσµτος των βάσεών του επί το ύψος του. Μονάδες 10 Α. Ν χρκτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -10 ο. 2_19005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο )

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -10 ο. 2_19005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο ) 0 05 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -0 ο _9005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο ) Σε τρίγωνο ΑΒΓ η διχοτόµος της γωνίς Αˆ τέµνει την πλευρά ΒΓ σε σηµείο, τέτοιο ώστε Β 3 =

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Από τη κορυφή Β τριγώνου Γ φέρουµε ευθεί κάθετη στη διχοτόµο της Aεξ, η οποί τέµνει τη διχοτόµο υτή στο κι την προέκτση της ΓΑ στο Ε. Αν Μ µέσον της ΒΓ ν δειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Ο Μ. Γ α Γ Κ. σκαληνό. ισοσκελές. οξυγώνιο Β >90. ισογώνιο. αμβλυγώνιο. δ α. ισόπλευρο. ορθογώνιο. μ α. μ β

Ο Μ. Γ α Γ Κ. σκαληνό. ισοσκελές. οξυγώνιο Β >90. ισογώνιο. αμβλυγώνιο. δ α. ισόπλευρο. ορθογώνιο. μ α. μ β 17 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ ΤΞΗΣ ((ΩΜΤΡΙΙ --ΤΡΙΙΩΝΟΜΤΡΙΙ)) ΚΦΛΙΙΟ 1 οο εεωμεετίί. 1. 1 68. Τι ονομάζετι Τίγωνο κι ποι τ κύι στοιχεί του; Ονομάζετι τίγωνο το επίπεδο σχήμ που οίζετι πό τί μη συνευθεικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Παρουσίασα τις αποδείξεις κάπως αναλυτικά ώστε να γίνουν πιο κατανοητές.εσείς μπορείτε να τις παρουσιάσετε πιο λιτά.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Παρουσίασα τις αποδείξεις κάπως αναλυτικά ώστε να γίνουν πιο κατανοητές.εσείς μπορείτε να τις παρουσιάσετε πιο λιτά. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Προυσίσ τις ποδείξεις κάπως νλυτικά ώστε ν γίνουν πιο κτνοητές.εσείς μπορείτε ν τις προυσιάσετε πιο λιτά. Δίνετι τυχόν ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( ˆΑ=1 =1 ορθή) κι Δ η προβολή της κορυφής Α στην υποτείνουσ.ν

Διαβάστε περισσότερα

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για 3.0 3. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 57-58 Ερωτήσεις Κτνόησης. Χρκτηρίστε ( Σ ) σωστή ή λάθος ( ) κάθε µί πό τις επόµενες προτάσεις i) Η εξωτερική γωνί ˆ εξ τριγώνου είνι µεγλύτερη πό την ˆ ii) Η εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. ** Αν η εξίσωση µε δύο γνώστους f (, ) = 0 (1) είνι εξίσωση µις γρµµής C, τότε Α. οι συντετγµένες µόνο µερικών σηµείων της C επληθεύουν την (1) Β. οι συντετγµένες των σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβδά ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β. Κορτίκη Β. Κουτσογούλ Μ. Ρούσσ Γ. Ευθυμίου Μ. Ζφείρη ΕΜΕ Πράρτημ Τρικάλων ΑΣΚΗΣΗ η i. Ν υπολογιστούν οι πλευρές, β, γ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά γεωμετρικά σχήματα- Μέτρηση γωνίας μέτρηση μήκους - κατασκευές ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Βασικά γεωμετρικά σχήματα- Μέτρηση γωνίας μέτρηση μήκους - κατασκευές ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙ: Κεφάλιο 1 ο σικά γεωμετρικά σχήμτ- Μέτρηση γωνίς μέτρηση μήκους - κτσκευές ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Πάνω στο ευθύγρμμο τμήμ = 6cm, ν πάρετε έν σημείο Γ, τέτοιο ώστε Γ = 2cm κι έν σημείο Δ, τέτοιο ώστε Δ =

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ 78 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 1. Τι ονοµάζετε δύνµη ν ; Ονοµάζετι δύνµη ν µε άση τον ριθµό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινό- µενο πό ν πράγοντες ίσους µε. Ορίζουµε κόµ ότι: 1 0 1 µε 0 - ν. Ποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ όγος δύο ευθυγράµµων τµηµάτων ΑΒ κι Γ ονοµάζετι ο θετικός ριθµός λ γι τον οποίο ΑΒ ισχύει : AB = λ Γ = λ. Γ Μέτρο ενός ευθυγράµµου τµήµτος είνι ο λόγος του προς έν άλλο ευθύγρµµο

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ Σχεδίση µε τη χρήση Η/Υ Κ Ε Φ Λ Ι 1 Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Κ Τ Σ Κ Ε Υ Ε Σ Ρ Λ Ε Ω Ν Ι Σ Ν Θ Π Υ Λ Σ, Ε Π Ι Κ Υ Ρ Σ Κ Θ Η Γ Η Τ Η Σ Τ Μ Η Μ Ι Ι Κ Η Σ Η Σ Κ Ι Ι Χ Ε Ι Ρ Ι Σ Η Σ Ε Ρ Γ Ω Ν Τ Ε Ι Λ Ρ Ι Σ Σ

Διαβάστε περισσότερα

9.7. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογιστούν οι τιµές των x και ψ.

9.7. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογιστούν οι τιµές των x και ψ. 1 9.7 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 03 0 ρωτήσεις κτνόησης 1. Στ πρκάτω σχήµτ ν υπολογιστούν οι τιµές των x κι ψ. () O x Ρ 3 Θ x 6 Κ Τ Ν Σ O 1 ψ Λ (β) Ζ O (γ) Στο σχήµ () Στο σχήµ (β) Στο σχήµ (γ) Ρ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Στο διπλνό ορθοώνιο τρίωνο, έχουμε φέρει πλά το ύψος που κτλήει στην υποτείνουσ. Είνι προφνές ότι, με υτό τον τρόπο, το μεάλο ορθοώνιο τρίωνο χωρίστηκε σε δύο μικρότερ ορθοώνι, τ κι. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ENA ΣΧΗΜΑ ΜΕ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ. Κόσυβας Γιώργος. 1ο Πειραματικό Γυμνάσιο Αθηνών

ENA ΣΧΗΜΑ ΜΕ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ. Κόσυβας Γιώργος. 1ο Πειραματικό Γυμνάσιο Αθηνών Σ ENA ΣΧΗΜ ΜΕ ΕΝΙΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΣΕΙΣ Κόσυβς ιώργος ο Πειρμτικό υμνάσιο θηνών ε υτή την εργσί προυσιάζοντι ορισμένες ξιοσημείωτες πρτηρήσεις πάνω σε έν πλούσιο σχήμ, το οποίο επιτρέπει ποικίλες προσεγγίσεις

Διαβάστε περισσότερα

2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0.

2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0. Ερωτήσεις νάπτυξης 1. ** Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-,

Διαβάστε περισσότερα

Α ν α λ υ τ ι κ η Γ ε ω μ ε τ ρ ι α. K ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς. Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

Α ν α λ υ τ ι κ η Γ ε ω μ ε τ ρ ι α. K ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς. Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α ν λ υ τ ι κ η Γ ε ω μ ε τ ρ ι K ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Ε π ι μ ε λ ε ι : Τ κ η ς Τ σ κ λ κ ο ς Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Κ υ κ λ ο ς Π ρ β ο λ η Ε λ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα

Συνηµίτονο µιας οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου λέγεται:

Συνηµίτονο µιας οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου λέγεται: Λόγος ευθυγράµµων τµηµάτων Ότν θέλουµε ν συγκρίνουµε δύο ευθύγρµµ τµήµτ, υπολογίζουµε τη διάφορ ή το λόγο των µηκών τους. Στην περίπτωση του λόγου υπολογίζουµε πόσες Φορές το έν τµήµ είνι µεγλύτερο πό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

για την εισαγωγή στο Λύκειο

για την εισαγωγή στο Λύκειο Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β)

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β) Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ν 0 ν = 1 = β β ν 1= ν µ = ν + µ ν ν µ 1 µ = ν = ν ( ν ) µ ν ν = ν µ β = β ( β) ν = ν βν ν > 0 τότε 2 = β = β β = β Ιδιότητες υνάµεων ν > β τότε + γ > β+ γ. ν > β κι γ > δ τότε + γ > β+ δ.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης 4. -4.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 8 83 ρωτήσεις Κτνόησης. i) Πώς ονοµάζοντι οι γωνίες κι β του πρκάτω σχήµτος κι τι σχέση έχουν µετξύ τους; ii) Tι ισχύει γι τις γωνίες γ κι δ ; ε δ ε ε ε γ β ε πάντηση

Διαβάστε περισσότερα

1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα.

1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα. 1 1.5. ΟΜΟΙ ΤΡΙΩΝ ΘΩΡΙ 1. Όµοια τρίγωνα : ια τα όµοια τρίγωνα ισχύουν όλα όσα αναφέραµε στα όµοια πολύγωνα. 2. ποκλειστικά για τα τρίγωνα : ύο τρίγωνα είναι όµοια όταν έχουν δύο γωνίες ίσες ΣΧΟΛΙ 1. Οµόλογες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α YΠΡΒΛΗ ρισμός: Υπερολή με εστίες κι λέγετι ο γεωμ. τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ κι είνι στθερή κι μικρότερη του Έ. Τη στθερή υτή διφορά τη συμολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ακτίνα του τέλους του µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής του. 19. Ποια ανισοτική σχέση ισχύει για το µέτρο του αθροίσµατος δυο διανυσµάτων;

ακτίνα του τέλους του µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής του. 19. Ποια ανισοτική σχέση ισχύει για το µέτρο του αθροίσµατος δυο διανυσµάτων; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ (Α) Ν πντήσετε στις πρκάτω ερωτήσεις 1. Τι ονοµάζετι διάνυσµ κι πώς συµβολίζετι;. Ποιο διάνυσµ ονοµάζετι µηδενικό; 3. Τι ονοµάζετι µέτρο ενός δινύσµτος κι πώς συµβολίζετι; 4. Ποιο διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2.

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2. Ευθεί Ενότητ 7. Απόστση σημείου πό ευθεί Εμβδόν τριγώνου Εφρμογές 7.1 Ν βρεθεί η πόστση: i) του σημείου Μ(1,3) πό την ευθεί (ε) με εξίσωση 3x-4y- 11=0, ii) του σημείου Ρ(,-3) πό την (η) με εξίσωση 5x+1y-=0.

Διαβάστε περισσότερα

= ΑΓ, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Σ Λ 2. * Αν. = (- 2, 2) είναι παράλληλο με το

= ΑΓ, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Σ Λ 2. * Αν. = (- 2, 2) είναι παράλληλο με το Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» * Αν ΑΒ ΒΓ ΑΓ τότε τ σημεί Α Β Γ είνι συνευθεικά Σ Λ * Αν * Αν ΑΒ ΒΓ τότε ΓΔ 4 * Αν λ τότε // Σ Λ 5 * Αν ΑΒ ΒΑ τότε ΑΒ τότε ΑΔ Σ Λ Σ Λ Σ Λ 6 * Τ δινύσμτ ΑΒ κι ΟΑ - ΟΒ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Άρα ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν 2. Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξονα χ χ και κέντρο την αρχή Ο

Ορισμός: Άρα ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν 2. Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξονα χ χ και κέντρο την αρχή Ο Μθημτικά Β Κτ/νσης ΕΛΛΕΙΨΗ Ορισμός: Έλλειψη με εστίες Ε κι Ε λέγετι ο γεωμ τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων πό τ Ε κι Ε είνι στθερό κι μεγλύτερο του ΕΈ Το στθερό υτό άθροισμ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

Αν ο λόγος των καθέτων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 4, τότε ο λόγος των προβολών τους στην υποτείνουσα είναι α.2 β.4 γ. 16 δ.

Αν ο λόγος των καθέτων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 4, τότε ο λόγος των προβολών τους στην υποτείνουσα είναι α.2 β.4 γ. 16 δ. 1 9.1 9. σκήσεις σχολικού ιλίου σελίδς 185-186 ρωτήσεις κτνόησης 1. Έν ορθοώνιο τρίωνο ( ˆ ο 90 ) έχει 6 κι 8. Ποιο είνι το µήκος της διµέσου Μ ; + 6 + 6 100 10 κι Μ 5. ν ο λόος των κθέτων πλευρών ενός

Διαβάστε περισσότερα

Μετρικές σχέσεις σε τυχαίο τρίγωνο

Μετρικές σχέσεις σε τυχαίο τρίγωνο 5 Μετρικές σχέσεις σε τυχί τρίγων Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµ I (Γενίκευση τυ Πυθγρείυ θεωρήµτς γι πλευρά πυ βρίσκετι πένντι πό ξεί γωνί) Τ τετράγων πλευράς τριγώνυ, πυ βρίσκετι πένντι πό ξεί

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης Τάξη Β Θετική κι Τεχνολογική Κτεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίς κι πντήσεις πό το σχολικό ιλίο Κθηγητής: ΝΣ Μυρογιάννης Πότε δύο µη µηδενικά δινύσµτ AB κι Γ λέγοντι πράλληλ ή συγγρµµικά; Απάντηση: Ότν έχουν τον

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

7. Κωνικές τομές Τύποι - Βσικές έννοιες ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ: Τύποι - Βσικές έννοιες Α. ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο( 0, 0 ) κι κτίν ρ : + =ρ Εξίσωση εφ

7. Κωνικές τομές Τύποι - Βσικές έννοιες ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ: Τύποι - Βσικές έννοιες Α. ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο( 0, 0 ) κι κτίν ρ : + =ρ Εξίσωση εφ Ο μθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλιο των κονικών τομών θ πρέπει ν είνι σε θέση: Ν προσδιορίζει την εξίσωση του κύκλου με κέντρο την ρχή των ξόνων. Με τη μέθοδο της συμπλήρωσης τετργώνου υπολογίζοντι

Διαβάστε περισσότερα

Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Μ α θ η μ α τ ι κ α Κ α τ ε υ θ υ ν σ η ς B Λ υ κ ε ι ο υ

Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Μ α θ η μ α τ ι κ α Κ α τ ε υ θ υ ν σ η ς B Λ υ κ ε ι ο υ Κ Κ ι ι τ τ ο ο Λ Λ υ υ σ σ ρ ρ ι ι Α Α λ λ λ λ ι ι ω ς ς!!!!!! Α λ γ ε ρ Α Λ υ κ ε ι ο υ Μ θ η μ τ ι κ Κ τ ε υ θ υ ν σ η ς B Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι Τ κ η ς Τ σ κ λ κ ο ς w w w d r m a t h s 5 8

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 1 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνρτήσεις Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f 1 είνι συμμετρικές

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ ε ω μ ε τ ρ ι α - Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Μ α θ η μ α τ ι κ α υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς ε ω μ ε τ ρ ι α Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής 6 3. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισμός Υπερολής Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. Ονομάζετι υπερολή με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 0 Υπερολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Oρισµός Υπερολή ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων η διφορά των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερή κι µικρότερη πο

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 9 Έλλειψη Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Έλλειψη ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων το άθροισµ των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερό κι µεγλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ω μ ε τ ρ ι α. A Λ υ κ ε ι ο υ. Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

Γ ε ω μ ε τ ρ ι α. A Λ υ κ ε ι ο υ. Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς ε ω μ ε τ ρ ι α A Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς ε ω μ ε τ ρ ι α A Λ υ κ ε ι ο υ ασικα εωμετρικα Σχηματα Τριγωνα Παραλληλες Ευθειες Παραλληλογραμμα - Τραπεζια Εγγεγραμμενα

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 79 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 19 Ιανουαρίου 2019 Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 79 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 19 Ιανουαρίου 2019 Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πνεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 76 Κεφάλιο 3ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Απντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό - Λάθος. Σ 0. Σ 39. Λ 58. Σ. Σ. Λ 40. Σ 59. Σ 3. Σ. Σ 4. Σ 60. Λ 4. Λ 3. Λ 4. Σ 6. Λ 5. Σ 4.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Έννοιες

Επαναληπτικές Έννοιες Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc ) ΣΥΝΟΛΑ 0,,,, Φυσικοί,,,0,,, Ακέριοι,, 0 Ρητοί \ Άρρητοι Πργμτικοί ) ΔΥΝΑΜΕΙΣ Ορισμοί Επνληπτικές Έννοιες, ν 0. ν, ν, ν, ν πράγοντες.., 0 Ιδιότητες Κοινής Βάσης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. β γ α β. α γ β δ. Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. β γ α β. α γ β δ. Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ε Ω Ρ Ι Α. Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης

Θ Ε Ω Ρ Ι Α. Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης 1 Θ Ε Ω Ρ Ι Α Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Ι Τ Υ Π Ο Ι Ι Ι Ο Τ Η Τ Ε Σ Ι Α Ν Υ Σ Μ Α Τ Α Μηδενικό διάνυσµ: AA= 0 µε οποιδήποτε κτεύθυνση Μονδιίο διάνυσµ: AB = 1 Αντίθετ δινύσµτ: ντίθετη

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μθημτικά Γ Γυμνσίου Μθημτικά Γ Γυμνσίου Περιεχόμεν ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προλήμτ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Αλγερικές Πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής,

με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής, Μθημτικά κτεύθυνσης Γ Λυκείου ο Διγώνισμ διάρκεις ωρών στις Συνρτήσεις κι τ Όρι Οκτώβριος Θέμ Α Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το (0,0); ρ (0,0) M(,) C Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Ω Ν

ΣΤΟΙΧΕΙΑ Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Ω Ν ΣΤΟΙΧΕΙ Τ Ρ Ι Ω Ν Ω Ν Θυμάμι ότι... ˆ + ˆ + ˆ = 180 ο ντί ν ράφουμε συνέχει «το τρίωνο» μπορούμε ν ράφουμε Δ. ΠΛΕΥΡΕΣ = = = ΩΝΙΕΣ = = = ν χωρίσουμε τ τρίων σε κτηορίες, με κριτήριο τ κύρι στοιχεί τους,

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. Ορισμός Έλλειψης

3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. Ορισμός Έλλειψης 0 33 Η ΕΛΛΕΙΨΗ Ορισμός Έλλειψης Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου Ονομάζετι έλλειψη με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων πό τ E κι

Διαβάστε περισσότερα

3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 3ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 17-18 Θέμ A Α1 Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ β ν ποδείξετε ότι: f t dt G β G Α Πότε μι συνάρτηση λέγετι 1-1; Α3 Πότε μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. Μετρικές σχέσεις στα τρίγωνα. Μετρικές σχέσεις στα ορθογώνια τρίγωνα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. Μετρικές σχέσεις στα τρίγωνα. Μετρικές σχέσεις στα ορθογώνια τρίγωνα ΚΕΦΛΙΟ 9ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Μετρικές σχέσεις στα τρίγωνα Μετρικές σχέσεις στα ορθογώνια τρίγωνα 1. Τι καλούμαι ορθή προβολή ενός σημείου πάνω σε μία ευθεία και ποια είναι η προβολή ενός ευθυγράμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές ασκήσεις σελίδας

Γενικές ασκήσεις σελίδας Γενικές σκσεις σελίδς 9 3. ίνετι η εξίσωση + λ 0 (), όπου λ R. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε τιµ του λ, η () πριστάνει κύκλο, του οποίου ζητείτι ν ρεθεί το κέντρο κι η κτίν. (ii) Ν ποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. γ < ΟΑ + ΟΒ ΜΓ< ΟΜ + ΟΓ γ + ΜΓ < ΟΑ + ΟΒ + ΟΜ + ΟΓ γ + ΜΓ < (ΟΑ + ΟΓ) + (ΟΜ + ΟΒ) γ + ΜΓ < ΑΓ + ΜΒ γ + ΜΓ < β + ΜΒ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. γ < ΟΑ + ΟΒ ΜΓ< ΟΜ + ΟΓ γ + ΜΓ < ΟΑ + ΟΒ + ΟΜ + ΟΓ γ + ΜΓ < (ΟΑ + ΟΓ) + (ΟΜ + ΟΒ) γ + ΜΓ < ΑΓ + ΜΒ γ + ΜΓ < β + ΜΒ 3.0 3. ΘΕΩΡΙ. νισοτικές σχέσεις σε τρίωνο Κάθε εξωτερική ωνί τριώνου είνι µελύτερη πό τις πένντι εσωτερικές. πένντι πό άνισες πλευρές βρίσκοντι άνισες ωνίες κι ντίστροφ. Τριωνική νισότητ : β < < β + (υποτίθετι

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A 1 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A Οξυγώνιο τρίγωνο, όλες οι γωνίες οξείες B A µβλυγώνιο τρίγωνο,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κωνικές Τοµές. Ασκήσεις Παραβολή

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κωνικές Τοµές. Ασκήσεις Παραβολή Μθηµτικά Κτεύθυνσης Β Λυκείου Κωνικές Τοµές Ασκήσεις Προλή 1. Ν ρεθεί η εστί κι η διευθετούσ των προλών: i) = - ii) = 8 iii) = 1 (Απ.: i) E(-1, 0), = 1 ii) E(, 0), = - iii) E(0, 3), = -3). Ν ρεθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 81 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 8 Α. Ν ποδείξετε ότι ν συν( + β) 0, συν 0 κι συνβ 0 ισχύει: εφ + εφβ εφ( + β) = 1 εφ εφβ Β. Ν χρκτηρίσετε με Σ(σωστό) ή Λ(λάθος)κάθε μι πό τις πρκάτω προτάσεις:. Αν

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

Γενίκευση Πυθαγόρειου ϑεωρήµατος

Γενίκευση Πυθαγόρειου ϑεωρήµατος Γενίκευση Πυθγόρειου ϑεωρήµτος Λυγάτσικς Ζήνων Πρότυπο Πειρµτικό Γ.Ε.Λ. Βρβκείου Σχολής 11 εκεµβρίου 01 Εισγωγή ίνουµε δύο σκήσεις που έχουν σν φετηρί το ϑεώρηµ του συνηµιτόνου. Αρχίζουµε µε έν γνωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται το ισοσκελές τραπέζιο µε ɵ = = 45 ο. Έστω Ε, Ζ τα µέσα των και αντίστοιχα και Η. πό το Z φέρνουµε παράλληλη στην που τέµνει την στο Θ. Να δείξετε ότι Το τετράπλευρο

Διαβάστε περισσότερα