ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Transcript

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει: F', για κάθε Σχόλια : Αποδεικνύεται ότι κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημα Δ έχει παράγουσα στο διάστημα αυτό 6 Θεώρημα Β,, Β Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, να αποδείξετε ότι : Όλες οι συναρτήσεις της μορφής G F c, c R,είναι παράγουσες της στο Δ Κάθε άλλη παράγουσα G της στο Δ παίρνει τη μορφή G F c, c R Απόδειξη : Κάθε συνάρτηση της μορφής G F c, όπου c R, είναι μια παράγουσα της στο Δ, αφού G' F c' F ', για κάθε Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της στο Δ Τότε, για κάθε ισχύουν οι σχέσεις F και G, οπότε : G' F', για κάθε Άρα υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε G F c, για κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 6 Πίνακας των παραγουσών βασικών συναρτήσεων Απάντηση : Συνάρτηση Παράγουσα F c, c F c, c F ln c, c F c, c, F c, c F c, c F c, c F c, c, c F c, c ln F c Σχόλια : Οι τύποι αυτού του πίνακα ισχύουν σε κάθε διάστημα στο οποίο οι παραστάσεις του που εμφανίζονται έχουν νόημα Αν οι συναρτήσεις F και G είναι παράγουσες των και g αντιστοίχως και ο λ είναι ένας πραγματικός αριθμός, τότε : i Η συνάρτηση F+G είναι μια παράγουσα της συνάρτησης +g ii Η συνάρτηση λf είναι μια παράγουσα της συνάρτησης λ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 66

3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΑΡΧΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει: F', για κάθε ΘΕΩΡΗΜΑ : Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, να αποδείξετε ότι : Όλες οι συναρτήσεις της μορφής G F c, c R,είναι παράγουσες της στο Δ Κάθε άλλη παράγουσα G της στο Δ παίρνει τη μορφή G F c, c R ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ c c c, ln,, lna ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 67

4 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 68 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρείτε τις παράγουσες της συνάρτησης και μετά, να βρείτε εκείνη από τις παράγουσες που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α, Λύση : Είναι : c c c c F,, H F C διέρχεται από το, άρα : c c F Άρα : F, Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : Παράγουσες Βασικών Συναρτήσεων i 6 ii, iii,, g g g g g g g ln v v v πχ

5 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 69 iv, Λύση : i c F 6 c F,, c ii c F ln c F ln, ln c F, c : ή iii c F c F c F 6,, c : ή iv Είναι :, άρα : c F c F ln ln, c Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : Παράγουσες Συναρτήσεων με εφαρμογή κανόνων παραγώγισης i ii, iii ln, Λύση : i Άρα : c F,, c ii Άρα : c F, c

6 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ iii ln ln Άρα : F ln c, c ln ln ln Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : Παράγουσες Σύνθετων Συναρτήσεων i ii 6 iii 7 iv Λύση :, άρα : F c, c i ii iii iv Άρα : F 7 c 7, c 7 ln Άρα : F ln 7 c, c Άρα : F c, c ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να βρείτε τις παράγουσες της συνάρτησης και μετά, να βρείτε εκείνη από τις παράγουσες που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α, 6 Να βρείτε τις παράγουσες της συνάρτησης και μετά, να βρείτε εκείνη από τις παράγουσες που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α, 7 Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : v vi, vii, viii, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

7 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : i ii, iii iv 9 Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : i, ii,, iii, Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : i, ii,, iii,, Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : i, ii, iii,, Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : i ii iii, iv v ln vi ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

8 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : i ii iii iv v vi vii viii i i ii iii iv v vi vii,, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΛΕΤΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ Α ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Δίνεται συνάρτηση :,, με 7 και F μια αρχική της στο,, για την οποία ισχύει : για κάθε F Να βρείτε τον τύπο της Δίνεται συνάρτηση :, με F όπου F μια αρχική της, για την οποία ισχύει : F για κάθε i Να βρείτε τον τύπο της ii Να βρείτε την ασύμπτωτη της C στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

9 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Β ΜΕΛΕΤΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΥΠΑΡΞΗΣ 6 Δίνεται η συνάρτηση και F μια αρχική της στο με F i Να μελετήσετε την F ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να δείξετε ότι η εξίσωση F F έχει μοναδική ρίζα iii Να δείξετε ότι η F είναι κυρτή iv Να δείξετε ότι : F F F για κάθε 7 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : και F μια αρχική της, για την οποία ισχύει : F F για κάθε i Να βρείτε τις τιμές, ii Να αποδείξετε ότι η C τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο,, με, iii Να αποδείξετε ότι υπάρχουν,,, με, ώστε : 8 Έστω : μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής και F μια παράγουσα της F Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : F στο [,] με έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, 9 Έστω :, μια συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής και F μια παράγουσα της στο, με F Αν ισχύει F ln C διέρχεται από το σημείο,, για κάθε, να δείξετε ότι Γ ΟΡΙΑ Έστω : μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής με και Αν F μια παράγουσα της στο με F, να βρείτε τα όρια : F i lim F ii lim F iii lim F iv lim ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

10 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 6 Να υ κθ κλδησ κυ κλδηϋθκυ κζκεζβλυηακμ ηδαμ υθξκτμ υθϊλββμ Ϋθα εζδσ δϊβηα [α,ί] πϊθββ : Έπ ηδα υθϊλββ υ θ ξ ά μ κ [, ] Μ α βηέα ξπλέακυη κ δϊβηα [, ] θ δκηάεβ υπκδαάηαα ηάεκυμ ξk β υθϋξδα O a= ξ ξ πδζϋΰκυη αυγαέλα Ϋθα [, ], ΰδα εϊγ {,,, }, εαδ ξβηαέακυη κ Ϊγλκδηα S κ κπκέκ υηίκζέααδ, τθκηα, πμ ιάμ: S Σκ σλδκ κυ αγλκέηακμ S, βζαά κ lim κ κ Δ υπϊλξδ κ R εαδ έθαδ αθιϊλβκ απσ βθ πδζκΰά πθ θδϊηπθ βηέπθ Σκ παλαπϊθπ σλδκ κθκηϊααδ κλδηϋθκ κζκεζάλωηα βμ υθξκτμ υθϊλββμ απσ κ α κ ί, υηίκζέααδ η d εαδ δαίϊααδ κζκεζάλπηα βμ απσ κ α κ ί βζαά : d lim χσζδκ : Σκ τηίκζκ κφέζαδ κθ Libniz εαδ κθκηϊααδ τηίκζκ κζκεζάλπβμ υσ έθαδ πδηάευθβ κυ αλξδεκτ ΰλΪηηακμ S βμ ζϋιβμ Summa Ϊγλκδηα Οδ αλδγηκέ α εαδ β κθκηϊακθαδ σλδα βμ κζκεζάλπβμ Η Ϋθθκδα σλδα υ θ Ϋξδ βθ έδα Ϋθθκδα κυ κλέκυ κυ κυ εφαζαέκυ y y= v- ξv v βθ Ϋεφλαβ d κ ΰλΪηηα έθαδ ηδα ηαίζβά εαδ ηπκλέ θα αθδεαααγέ η κπκδκάπκ Ϊζζκ ΰλΪηηα Έδ, ΰδα παλϊδΰηα, κδ εφλϊδμ d, t dt υηίκζέακυθ κ έδκ κλδηϋθκ κζκεζάλπηα εαδ έθαδ πλαΰηαδεσμ αλδγησμ Γωηλδεά ληβθέα κλδηϋθκυ κζκεζβλυηακμ : θ ΰδα εϊγ [, ], σ κ κζκεζάλπηα d έθδ κ ηίασθ κυ ξπλέκυ Ω πκυ πλδεζέαδ απσ β ΰλαφδεά παλϊαβ βμ κθ Ϊικθα εαδ δμ υγέμ εαδ ξ βζαά : α β d E Ω πκηϋθπμ, y y= Ω O α β θ, σ d ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 7

11 ΕΑΑ : ΗΩ Γ 6 Να ΰλΪο δμ δδσβμ κυ κζκεζβλυηακμ d πϊθββ : α Ιξτδ σδ : d d d θ ΰδα εϊγ [, ], σ d ί Έπ,g υθχέμ υθαλάδμ κ [, ] εαδ, R Σσ δξτκυθ: d d [ g]d d gd εαδ ΰθδεΪ [ g]d d gd ΰ θ β έθαδ υθχάμ δϊβηα εαδ,,, σ δξτδ : d d d Γδα παλϊδΰηα, αθ d εαδ d 7, σ d d d d d 7 βηέωβ : θ εαδ ξ, β παλαπϊθπ δδσβα βζυθδ σδ: αφκτ εαδ d, d d y O α Ω y= Ω Έπ ηδα υθχάμ υθϊλββ Ϋθα δϊβηα [, ] θ ΰδα εϊγ [, ] εαδ β υθϊλββ θ έθαδ παθκτ ηβϋθ κ δϊβηα αυσ, σ d θ c, σ κ cd εφλϊαδ κ ηίασθ θσμ κλγκΰπθέκυ η ίϊβ εαδ τοκμ c ξ y y=c βζ α β c d c β α O α β ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 7

12 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 6 Έπ F t dt,, σπκυ έθαδ υθξάμ υθϊλββ κ δϊβηα a Πκδα έθαδ β ξϋβ βμ F η βθ ; πϊθββ : Η υθϊλββ F t dt,, έθαδ υθξάμ εαδ έθαδ ηδα παλϊΰκυα βμ κ a 66 ΘΩΡΗΜ Θηζδυβμ γυλβηα κυ κζκεζβλωδεκτ ζκΰδηκτ, 8,, Έπ ηδα υθξάμ υθϊλββ Ϋθα δϊβηα [, ] θ G έθαδ ηδα παλϊΰκυα βμ κ [, ], θα απκέι σδ : tdt G G πσδιβ : τηφπθα η ΰθπσ γυλβηα, β υθϊλββ F tdt έθαδ ηδα παλϊΰκυα βμ κ [, ] πδά εαδ β G έθαδ ηδα παλϊΰκυα βμ κ [, ], γα υπϊλξδ c Ϋκδκ, υ : G F c πσ βθ, ΰδα, Ϋξκυη G F c tdt c c, κπσ c G πκηϋθπμ, G F G, κπσ, ΰδα, Ϋξκυη : G F G tdt G εαδ Ϊλα tdt G G 67 Να ΰλΪο κυμ τπκυμ βμ παλαΰκθδεάμ κζκεζάλπβμ εαδ βμ αθδεαϊαβμ ΰδα κ κλδηϋθκ κζκεζάλπηα πϊθββ : α Ιξτδ σδ : gd [g] gd, σπκυ,g έθαδ υθξέμ υθαλάδμ κ [, ] u ί Ιξτδ σδ: ggd udu, σπκυ,g έθαδ υθξέμ υθαλάδμ, u g, u du gd εαδ u g, u g ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 76

13 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΣ ΙΚΩΝ ΤΝΡΣΗΩΝ υηφυθα η κ Θηζδυμ Θυλβηα κυ Οζκεζβλπδεκτ Λκΰδηκτ ΘΘΟΛ δξτδ : I d II d III d ln IV d V d VI d VII d d VIII F F F d ΛΤΜΝ ΚΗΙ : θ d, d εαδ d, θα ίλέ α κζκεζβλυηαα : i d ii iii iv 7 7 d d d Λτβ : i d d ii iii iv d d d d d d d d 7 d d d d ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 77

14 ΕΑΑ : ΗΩ Γ Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii d iii d iv d Λτβ : i d ii d iii iv d d d d ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : d θ d, d εαδ d, θα ίλέ α κζκεζβλυηαα : 7 i d ii iii d d 7 7 Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii d iii d iv d v d vi d vii d 8 viii d i d d i d ln ii d Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii t dt iii d iv d v d vi d vii d i d d i d viii d ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 78

15 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΠΡΟΙΟΡΙΜΟ ΠΡΜΣΡΩΝ - ΘΩΡΗΣΙΚ ΦΡΜΟΓ ΛΤΜΝ ΚΗΙ : 6 Να ίλέ κθ πλαΰηαδεσ αλδγησ α, υ θα δξτδ : d Λτβ : 9 d ή Άλα 7 έθαδ υθϊλββ Λτβ : I d d * : η υθξά πλυβ παλϊΰπΰκ, ΰδα βθ κπκέα δξτδ Να υπκζκΰέ βθ παλϊαβ : d I d d d d d d ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : 9 8 Να ίλέ κθ πλαΰηαδεσ αλδγησ ε, υ θα δξτδ : d d 9 Να ίλέ κθ πλαΰηαδεσ αλδγησ ε, υ θα δξτδ : d d d Να ίλέ κθ πλαΰηαδεσ αλδγησ α, υ θα δξτδ : d ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 79

16 ΕΑΑ : ΗΩ Γ έθαδ β υθϊλββ η,,, ΰδα βθ κπκέα δξτδ d, θυ β φαπκηϋθβ βμ : y Να ίλέ α α,ί,ΰ C κ βηέκ βμ, Ϋξδ ιέπβ έθαδ υθϊλββ : η υθξά πλυβ παλϊΰπΰκ, ΰδα βθ κπκέα δξτδ : εαδ d Να ίλέ : i βθ δηά ii κ κζκεζάλπηα d έθαδ υθϊλββ : η υθξά τλβ παλϊΰπΰκ, ΰδα βθ κπκέα δξτδ : εαδ d Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ, C κ βηέκ βμ Γ ΟΡΙΜΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜ Μ ΟΡΙΜΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜ Θα πλϋπδ θα γυησηα σδ κ κλδηϋθκ κζκεζάλπηα έθαδ πλαΰηαδεσμ αλδγησμ ΛΤΜΝ ΚΗΙ : έθαδ υθξάμ υθϊλββ : Να ίλέ α κζκεζβλυηαα : i t dt ii t d dt Λτβ : i Έξπ t dt d ii Έπ ΰδα βθ κπκέα δξτδ : t dt d t dt d t dt σ : Η ΰέθαδ : t dt d d βζ t dt t d dt t d dt i t 6t dt t 6 dt ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 8

17 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : έθκθαδ κδ υθξέμ υθαλάδμ, g : i θ δξτδ σδ : d dt ii θ πδπζϋκθ δξτδ σδ d 6 θ δξτδ σδ d t, σ θα ίλέ κ d g, σ θα ίλέ κ : t g dt d, σ θα υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα : I t dt d 7 Να υπκζκΰέ α κζκεζβλυηαα : I dt d εαδ I 6t dt d 8 έθαδ β υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : y dy d 6 d 9 Να ίλέ α κζκεζβλυηαα : i d ii t dt d ΠΡΟΙΟΡΙΜΟ ΣΤΠΟΤ ΤΝΡΣΗΗ Θα πλϋπδ θα γυησηα σδ κ κλδηϋθκ κζκεζάλπηα έθαδ πλαΰηαδεσμ αλδγησμ ΛΤΜΝ ΚΗΙ : 9 Έπ ηδα υθϊλββ υθξάμ κ ΰδα βθ κπκέα δξτδ t dt Να απκέι σδ = +6 κ 8 Λτβ : Έπ t dt, σ Άλα d d 6 9 ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 8 6 Άλα ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : έθαδ β υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : t dt ΰδα εϊγ Να ίλέ κθ τπκ βμ έθαδ β υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 9 t dt ΰδα εϊγ Να ίλέ κθ τπκ βμ

18 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΟΡΙΜΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜ ΤΝΡΣΗΗ ΠΟΛΛΠΛΟΤ ΣΤΠΟΤ Όαθ Ϋξκυη ηδα υθϊλββ βμ ηκλφάμ : ΛΤΜΝ ΚΗΙ :, έθαδ β υθϊλββ Να έι σδ β έθαδ υθξάμ εαδ β, υθϋξδα θα υπκζκΰέ κ d Λτβ : Γδα β έθαδ υθξάμ πμ πκζυπθυηδεά, Γδα β έθαδ υθξάμ πμ λδΰπθκηλδεά, κ έθαδ : lim lim, lim lim εαδ Ϊλα β έθαδ υθξάμ κ Έδ : πκηϋθπμ β έθαδ υθξάμ ΰδα εϊγ Ϊλα εαδ κ [-π,π] d d ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : d d d, έθαδ β υθϊλββ Να έι σδ β έθαδ υθξάμ εαδ, β υθϋξδα θα υπκζκΰέ κ d, έθαδ β υθϊλββ Να έι σδ β έθαδ υθξάμ εαδ 6 8, β υθϋξδα θα υπκζκΰέ κ d,, υπκζκΰέκυη Ϋθα κζκεζάλπηα d η, λΰαασηα πμ ιάμ : σ ΰδα θα ιϊακυη αθ β έθαδ υθξάμ κ, εαγυμ ΰδα θα Ϋξδ θσβηα κ d, πλϋπδ β θα έθαδ υθξάμ κ [α,ί] Ϊλα εαδ κ β υθϋξδα Ϋξκυη : d d d ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 8

19 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 8 ΛΤΜΝ ΚΗΙ : Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα : d Λτβ : d Έξπ : - + Άλα : Ϋπ,, θ ξλδϊααδ θα ιϊκυη αθ β έθαδ υθξάμ, εαγυμ απσ βθ αλξδεά βμ ηκλφά β, έθαδ υθξάμ πμ πλϊιδμ ηαιτ υθξυθ υθαλάπθ Άλα : d d d d d 8 ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : 6 Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii d ii d iv d ln v d Σ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΣ Μ ΠΟΛΤΣ ΣΙΜ υθάγπμ υθαθϊη β ηκλφά d λξδεϊ ζτθπ βθ ιέπβ, ίλέεκυη κ πλσβηκ βμ η πδθαεϊεδ, ίΰϊακυη βθ απσζυβ δηά, αθ έθαδ απαλαέβκ ξπλέακυη κ [α,ί], εαδ υπκζκΰέακυη κ κζκεζάλπηα

20 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 8 ΛΤΜΝ ΚΗΙ : 7 Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii d iii d iv d v d Λτβ : i d d 6 d ii d d d iii d d 7 ln ln ln d iv d d 8 d v d d d ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜ ΤΝΘΣΩΝ ΤΝΡΣΗΩΝ I d II d III ln d IV d V d ΜΘΟΟΛΟΓΙ θ κ κζκεζάλπηα ηαμ γυηέαδ εϊπκδα απσ δμ παλαπϊθπ ηκλφϋμ κζκεζβλπηϊπθ τθγπθ υθαλάπθ, σ φαλησακυη απυγέαμ κθ αθέκδξκ τπκ υθάγπμ σηπμ κδ υθαλάδμ ηκδϊακυθ πκζτ αζζϊ θ έθαδ έδμ Σσ φδϊξθκυη βθ η εϊπκδα απζά πλϊιβ πξ πκζζαπζαδϊακθαμ εαδ δαδλυθαμ η Ϋθα αλδγησ υ θα αθαξγκτη ηδα απσ δμ παλαπϊθπ πλδπυδμ

21 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : 8 Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii d iii d iv d v d vi d vii d viii d i d d 9 i d ii d ΜΘΟΟΛΟΓΙ A : ΠΡΓΟΝΣΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΗ σπκυ εαδ g g g d g d έθαδ υθξάμ υθαλάδμ κ [α,ί] Γδα θα φαλησκυη παλαΰκθδεά κζκεζάλπβ, πλϋπδ κ κζκεζάλπηα θα Ϋξδ β ηκλφά g d ά θα κ φϋλκυη ηέμ β ηκλφά αυά β πλκμ κζκεζάλπβ υθϊλββ θα ηπκλέ θα πϊλδ β ηκλφά ΰδθκηΫθκυ υκ υθαλάπθ εαδ β υθϋξδα β ηδα απσ δμ υκ υθαλάδμ θα ΰλαφέ η β ηκλφά παλαΰυΰκυ ΟυδαδεΪ ξλδαασηα βθ παλϊΰκυα ηδαμ ε πθ υκ υθαλάπθ υ κ κζκεζάλπηα θα πϊλδ βθ πδγυηβά ηκλφά Μ παλαΰκθδεά κζκεζάλπβ υπκζκΰέακθαδ κζκεζβλυηαα βμ ηκλφάμ : β Πλέπωβ : d υ ξλβδηκπκδκτη βθ παλϊΰκυα βμ β Πλέπωβ : d, d παλϊΰκυα βμ εαδ βμ αθέκδξα υ ξλβδηκπκδκτη βθ β Πλέπωβ : ln d υ ξλβδηκπκδκτη βθ παλϊΰκυα βμ β Πλέπωβ : d, d υ ξλβδηκπκδκτη βθ παλϊΰκυα βμ αυά βθ πλέππβ ηφαθέααδ β δδκηκλφέα σδ εαϊ κθ υπκζκΰδησ κυ κζκεζβλυηακμ ηφαθέααδ εϊπκδκ Ϊδκ ιαθϊ κ αλξδεσ κζκεζάλπηα Έδ γϋκυη κ αλξδεσ κζκεζάλπηα η Ϋθα ΰλΪηηα πξ Ι εαδ ζτθκυη βθ ιέπβ πκυ πλκετπδ πμ πλκμ Ι ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 8

22 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΛΤΜΝ ΚΗΙ : 9 Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii d Λτβ : i d d d d ii d d d d d d d d Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα : d Λτβ : d d d d d Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i ln d ii d ln Λτβ : ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 86 i ln d ln d ln ln d ii 8 ln d ln d ln ln ln ln d ln d ln ln d ln ln d d Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα : d Λτβ : Έξπ : I d d d d d d d d I Άλα : I I I I

23 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii d iii d iv d v d vi d vii d viii Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : α d ί d d ΰ d iv d Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : α ln d ί ln d ΰ ln d ln d 6 Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : α d ί d ΰ d d B ΦΡΜΟΓ ΠΡΓΟΝΣΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΗ ΛΤΜΝ ΚΗΙ : 7 έθαδ υθϊλββ : η υθξά τλβ παλϊΰπΰκ ΰδα βθ κπκέα δξτδ : d πέβμ β φαπκηϋθβ βμ Ϋξδ ιέπβ : y Να ίλέ : i δμ δηϋμ, εαδ ii κ κζκεζάλπηα : d C κ βηέκ βμ, Λτβ : i Η υγέα : y : y έθαδ φαπκηϋθβ βμ C κ βηέκ βμ, αθ : πέβμ : κμ λσπκμ : d d d d d d d d d d ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 87

24 ΕΑΑ : ΗΩ Γ d d d d κμ λσπκμ : d d d d d d d d ii d d d 8 Έπ F ηδα παλϊΰκυα κ βμ υθϊλββμ υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα : Λτβ : έθαδ : F, Έξκυη :, η F Να F d οωα αάγουα F F d F d F F d F d d d d ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : 9 έθαδ β υθϊλββ : η υθξά πλυβ παλϊΰπΰκ, ΰδα βθ κπκέα δξτδ εαδ d Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα : d Έπ κδ υθαλάδμ, g, η, g υθξέμ κ [, ] θ g εαδ g, θα απκέι σδ : g g d g g Έπ F ηδα παλϊΰκυα κ βμ υθϊλββμ υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα : F d, η F Να ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 88

25 ΕΑΑ : ΗΩ Γ έθαδ υθϊλββ : η υθξά τλβ παλϊΰπΰκ Οδ φαπκηϋθμ βμ C α βηέα βμ, εαδ,9 Ϋηθκθαδ κ βηέκ Γ, Να ίλέ : i δμ δηϋμ, ii κ κζκεζάλπηα : d έθαδ υθϊλββ : η υθξά τλβ παλϊΰπΰκ ΰδα βθ κπκέα δξτδ : t dtd πέβμ β φαπκηϋθβ βμ ιέπβ : y Να υπκζκΰέ : i δμ δηϋμ, ii κ d iii κ d έθαδ κ κζκεζάλπηα : ln d η ζ> i Να υπκζκΰέ κ ii Να ίλέ κ σλδκ lim Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα : ln d C κ βηέκ βμ, ln 6 έθαδ κ κζκεζάλπηα : d η ζ> i Να υπκζκΰέ κ ii Να ίλέ κ σλδκ lim Ϋξδ Γ ΝΓΩΓΙΚΟΙ ΣΤΠΟΙ ΣΟ ΟΡΙΜΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜ ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : 7 Θπλκτη κ κζκεζάλπηα d, η * v N i Να απκέι σδ ΰδα εϊγ ii Να υπκζκΰέ α κζκεζβλυηαα d εαδ 8 Θπλκτη κ κζκεζάλπηα d, η d * v N i Να απκέι σδ ΰδα εϊγ ii Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα d t 9 θ I dt, Ν, t i Να υπκζκΰέ κ Ϊγλκδηα I, Ν ii Να υπκζκΰέ α κζκεζβλυηαα I, I, I ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 89

26 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΣ ΡΗΣΩΝ ΤΝΡΣΗΩΝ I d Q β πλδπωβ : θ Q σ : I ln Q β πλδπωβ : θ Q σ : θ Q Ϋξκυη : ln I d θ Q η Q εαδ, σ : I d d d d β πλδπωβ : θ Q σ εζκτη βθ υεζέδα δαέλβ : Q εαδ Ϋδ Ϋξκυη : Q ΛΤΜΝ ΚΗΙ : Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii d iiii d iv 6 Λτβ : i d ln ln ln d ln 7 d 6 ii d d d ln ln ln ln iii d 6 Έξπ 6 6 Ϊλα 7 εαδ 7 Άλα d 6 d 7 d ln 7ln ln ln 7ln ln ln ln 7ln ln ln ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 9

27 ΕΑΑ : ΗΩ Γ iv 7 d 6 εζκτη β δαέλβ : 7 : 6 εαδ Ϋξπ : 7 6 Έδ : d d 6 d 6 d 6 i d ln ln ln ln 6 d 6 ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii d iii d iv d Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii d iii d iv ln d Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii d iii d iv d ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 9

28 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΗ Μ ΝΣΙΚΣΣΗ g g d ΛΤΜΝ ΚΗΙ : u u u du, du g d εαδ u g, u g σπκυ εαδ g έθαδ υθξάμ υθαλάδμ, u g Μ β ηϋγκκ αυά υπκζκΰέακυη κζκεζβλυηαα πκυ Ϋξκυθ ά ηπκλκτθ θα πϊλκυθ β ηκλφά g g d ΙΚ ΝΣΙΚΣΣΙ : θ d,, γϋκυη u θ, g d, γϋκυη u g θ,, d, γϋκυη u κπκτ, a θ d γϋκυη a u Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i 6 d ii d iii d Λτβ : iv ln d i d γϋπ u Ϊλα du d Γδα έθαδ u Γδα έθαδ u Άλα : 6 u u 6 uu d u du u u du u u du ii d γϋπ u u Ϊλα udu d Γδα έθαδ u u u Ϊλα u Γδα έθαδ u u Άλα : d udu u du u u u u du u 8 iii 6 d γϋπ u 6 Ϊλα u, Γδα έθαδ u u εαδ u 6 Ϊλα 6 u du d ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 9

29 ΕΑΑ : ΗΩ Γ Γδα 6 έθαδ u Άλα : 6 9 u u 6 9 d u u u 6 8 6u du 6u u u du 6u 6u du iv ln du d γϋπ u Ϊλα du d d Γδα έθαδ u ln Γδα ln έθαδ u ln u du u du u Άλα : d u du u u u u εζυ β δαέλβ : u : u u εαδ ξπ : u u u u u u u u u u u Άλα : I du u u du u u du u u du u u u du du u u u u u du du u u u u u Γδα κ κζκεζάλπηα I du Ϋξπ : u u u u u u u u u u u u u Άλα : I u du u u du du ln u ln u u u u u 9 ln ln ln ln 9 ln ln ln 9 ΣζδεΪ : I I ln υθυαδεσ παλαΰκθδεάμ αζζαΰάμ ηαίζβάμ Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα : Λτβ : ln 9 d γϋπ u Γδα έθαδ u 9 9 Ϊλα ln 9 d du d d du Γδα έθαδ u Ϊλα Ϋξπ : ln 9 d ln u ln udu 9 u ln udu 9 du u ln u uln u du ln 9ln 9 du ln 9ln 9 u ln 9ln ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 9

30 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : 6 Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : 6 i d ii d iii d iv d ln v d vi d vii d viii d 7 Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : 99 i d ii d iii d iv d 6 v d vi 6 d vii d viii Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii d ln iii d iv d v d vi d vii d 6 ln 9 d i d viii d ii ln d iii 6 i d d 9 Να υπκζκΰέ α κζκεζβλυηαα : 6 / i d ii [ησυ η ησυ ] d iii d 6 έθαδ β υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ σδ : d 6 Να υπκζκΰέ κ I d 6 έθαδ υθϊλββ :,, η υθξά πλυβ παλϊΰπΰκ, βμ κπκέαμ β ΰλαφδεά παλϊαβ δϋλξαδ απσ α βηέα, εαδ,9 Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα : I d 6 έθαδ υθϊλββ :, η υθξά τλβ παλϊΰπΰκ, β κπκέα παλκυδϊαδ αελσακ κ εαδ β ΰλαφδεά βμ παλϊαβ δϋλξαδ απσ κ βηέκ, θ δξτδ : d 6 σ : i Να ίλέ βθ δηά ii Να ίλέ κ d iii Να απκέι σδ υπϊλξδ,, υ d 9 ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 9

31 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΝΣΙΚΣΣΗ u θ Ϋξκυη κζκεζάλπηα d κ κπκέκ θ υπκζκΰέααδ η εϊπκδα απσ δμ ΰθπΫμ ηγσκυμ, σ έπμ ηπκλέ θα υπκζκΰδέ η αθδεαϊαβ : u ΛΤΜΝ ΚΗΙ : 6 Να έι σδ d d εαδ β υθϋξδα θα υπκζκΰέ α κζκεζβλυηαα : i I d ii I ln d Λτβ : κ d γϋπ u, Ϊλα d u du d du Γδα Γδα Άλα : έθαδ u u έθαδ u u d u du d i κ I d γϋπ u u, Ϊλα d du Γδα έθαδ u Γδα έθαδ u u u u u Άλα : I d du du du u u d u Έδ : I I d d I d I d I d I I ii κ I ln d γϋπ u u, Ϊλα d du Γδα έθαδ u Γδα έθαδ u u Άλα : u I ln d ln du ln du u u ln d Έδ : I I ln d ln d ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 9

32 ΕΑΑ : ΗΩ Γ I I ln d ln d ln d ln d I I ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : 6 Να υπκζκΰέ α κζκεζβλυηαα : i d ii ln d iii d 6 Γ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜ ΡΣΙ ΠΡΙΣΣΗ ΤΝΡΣΗΗ Χαλαεβλδδεσ ΰθυλδηα βμ υΰεελδηϋθβμ πλέππβμ έθαδ β κζκεζάλπβ υηηλδεσ δϊβηα :,, d, βζ κ κζκεζάλπηα Ϋξδ αθεα άα Θα απκέικυη σδ : θ β έθαδ Ϊλδα, σ : d d θ β έθαδ πλδά, σ : d ΛΤΜΝ ΚΗΙ : 6 Έπ ηδα υθξάμ υθϊλββ κ δϊβηα [, ] i θ β έθαδ πλδά, σ θα έι σδ δξτδ : d ln ii Να υπκζκΰέ α κζκεζβλυηαα : d Λτβ : i H :[, ] έθαδ πλδά, Ϊλα ΰδα εϊγ [, ] δξτδ σδ : κ Γδα Γδα d, γϋπ u, Ϊλα d du έθαδ u έθαδ u Έδ : I d u du a a u du a a u du a a d I ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 96

33 ΕΑΑ : ΗΩ Γ I I d ln ii Έπ, η, Γδα εϊγ, εαδ, ln ln ln ln ln ln, Ϊλα β έθαδ πλδά κπσ απσ i d d 66 Έπ ηδα υθξάμ υθϊλββ κ δϊβηα [, ] i θ β έθαδ Ϊλδα, σ θα έι σδ δξτδ d d ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 97 ii Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα : d Λτβ : i H :[, ] έθαδ Ϊλδα, Ϊλα ΰδα εϊγ [, ] δξτδ σδ : Έδ : κ a a d d d d γϋπ u, Ϊλα d du Γδα έθαδ u Γδα έθαδ u Έδ : d u du u du u du Άλα : a a d d d a a d d d ii έθαδ I d d d Έπ :, η, εαδ,,, Ϊλα β έθαδ πλδά εαδ g, η, εαδ,, g g, Ϊλα β g έθαδ Ϊλδα Έδ : I d d I d g d [,] I d I d I d I ln I ln ln

34 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : 67 Να υπκζκΰέ α κζκεζβλυηαα : i d ii ln d iii d 6 iv d 68 έθαδ παλαΰπΰέδηβ εαδ πλδά υθϊλββ : Η φαπκηϋθβ βμ C κ βηέκ βμ, Ϋξδ ιέπβ y Να ίλέ : i δμ δηϋμ εαδ ii βθ φαπκηϋθβ βμ, C κ βηέκ βμ iii κ κζκεζάλπηα : I d ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΣ ΤΝΜΩΝ ΣΡΙΓΩΝΟΜΣΡΙΚΩΝ ΤΝΡΣΗΩΝ Γδα κθ υπκζκΰδησ κζκεζβλπηϊπθ βμ ηκλφάμ : d, o αθ κ βη έθαδ υοπηϋθκ πλδά τθαηβ σ γϋκυη u o αθ κ υθ έθαδ υοπηϋθκ πλδά τθαηβ σ γϋκυη u o θ εαδ κ βη εαδ κ υθ έθαδ υοπηϋθα Ϊλδα τθαηβ, σ ξλβδηκπκδκτη κυμ τπκυμ απκλαΰπθδηκυ : εαδ ΛΤΜΝ ΚΗΙ : 69 Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d iii Λτβ : d i d, γϋπ u, Ϊλα Γδα έθαδ u Γδα έθαδ u du d d du Έδ : d d d u u du u ii d u du ii d d d ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 98

35 ΕΑΑ : ΗΩ Γ iii d, γϋπ u, Ϊλα Γδα έθαδ u Γδα έθαδ u Έδ : d u u du d du du d d u u du u u d u u du ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : 7 Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii d / 7 θ I η d, J συ d, θα υπκζκΰέ α κζκεζβλυηαα : I J, I J, Ι, J / ΣΡΙΓΩΝΟΜΣΡΙΚΗ ΝΣΙΚΣΣΗ Γδα θα υπκζκΰέκυη Ϋθα κζκεζάλπηα βμ ηκλφάμ :, d γϋκυη u η u, Γδα θα υπκζκΰέκυη Ϋθα κζκεζάλπηα βμ ηκλφάμ :, d γϋκυη u η u, θ κζκεζάλπηα ηφαθέααδ παλαθκηαά β παλϊαβ υθάγπμ γϋκυη : ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : u η u, 7 Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii d ln iii d iv d v d vi d ln, σ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 99

36 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΜΘΟΟΛΟΓΙ 6 : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜ ΝΣΙΣΡΟΦΗ ΤΝΡΣΗΗ Γδα θα υπκζκΰέκυη κζκεζάλπηα βμ ηκλφάμ ίλκτη κθ τπκ βμ, σ λΰαασηα πμ ιάμ : ΛΤΜΝ ΚΗΙ : 7 έθαδ β υθϊλββ :, η τπκ : i Να απκέι σδ β έθαδ αθδλϋοδηβ εαδ θα ίλέ κ πέκ κλδηκτ βμ ii Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα d Λτβ : i D, Ϊλα β έθαδ ΰθβέπμ ατικυα κ D, Ϊλα β έθαδ - εαδ Ϊλα έθαδ εαδ αθδλϋοδηβ Σκ πέκ κλδηκτ βμ, έθαδ κ τθκζκ δηυθ βμ Η έθαδ ΰθβέπμ ατικυα εαδ υθξάμ κ D, Ϊλα lim, lim, lim lim lim, lim Άλα, D lim ii κ κζκεζάλπηα d γϋκυη u u : u Γδα έθαδ u u : u Γδα έθαδ u u Άλα : u u d u u du Ϊλα έθαδ lim u u du u u du ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : d u du 7 έθαδ β υθϊλββ :, η τπκ : i Να απκέι σδ β έθαδ αθδλϋοδηβ εαδ θα ίλέ κ πέκ κλδηκτ βμ ii Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα d 7 έθαδ β υθϊλββ, η 6 i Να απκέι σδ β έθαδ - εαδ θα ίλέ κ πέκ κλδηκτ βμ ii Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα d d, εαδ θ ηπκλκτη θα i ΘΫκυη u u Ϊλα έθαδ d u du ii λέεκυη α θϋα Ϊελα κζκεζάλπβμ εαδ ζδεϊ κ αβκτηθκ κζκεζάλπηα ΰέθαδ : d u u du [ u u] u du ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία

37 ΕΑΑ : ΗΩ Γ 76 Έπ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ :, ΰδα εϊγ Να υπκζκΰέ κ d 77 έθαδ β υθϊλββ :, ΰδα βθ κπκέα δξτδ εαδ : ln ΰδα εϊγ i Να ίλέ κθ τπκ βμ ii Να κλέ βθ iii Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα I d d ln 78 έθαδ β υθϊλββ :[,] η i Να κλέ βθ ii Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα : I d d ln 79 έθαδ β υθϊλββ : η υθξά τλβ παλϊΰπΰκ, ΰδα βθ κπκέα δξτδ ΰδα εϊγ, β C δϋλξαδ απσ α βηέα, εαδ, εαδ δξτδ : d i Να ίλέ βθ φαπκηϋθβ βμ C κ βηέκ βμ ii Να απκέι σδ υπϊλξδ Ϋθα κυζϊξδκθ,, υ iii Να απκέι σδ β έθαδ αθδλϋοδηβ εαδ θα υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα : I d 8 Θπλκτη β υθϊλββ : ln, η, i Να απκέι σδ β έθαδ ΰθβέπμ ατικυα κ δϊβηα, ii ln Να ίλγκτθ α σλδα : lim, lim εαδ lim iii Να απκέι σδ β ιέπβ Ϋξδ ηκθαδεά ζτβ κ, iv Έπ d d Να υπκζκΰέ βθ δηά βμ παλϊαβμ ln κ Οηκΰθέμ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία

38 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΜΘΟΟΛΟΓΙ 7 : ΤΝΡΣΗΙΚΗ ΧΗ ΚΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΣ θ Ϋξκυη ηδα υθαλβδαεά ξϋβ : ΛΤΜΝ ΚΗΙ : 8 έθαδ υθξάμ υθϊλββ :[,] ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 6 ΰδα εϊγ [, ] Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα d Λτβ : Γδα εϊγ [, ] έθαδ : 6 6 Άλα : βζ g h d 6 d d 6 d 6 d 6 d d 6 d Γδα κ 6 d γϋπ 6 u Ϊλα d du d du Όαθ κ u, θυ σαθ κ u Άλα 6 d u du u du d ΣζδεΪ β ΰέθαδ : d d d 6 6 d d ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία d 8 έθαδ υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα d Λτβ : Γδα εϊγ έθαδ ΘΫπ y y Ϊλα β ΰέθαδ : y y y y ά Άλα : βζ εαδ γϋζκυη θα υπκζκΰέκυη κ I d ά θα έικυη ηδα ξϋβ πκυ πλδϋξδ αυσ, σ ζτθκυη βθ πμ πλκμ, κζκεζβλυθκυη εαδ αζζϊακυη ηαίζβά εαδ Ϊελα κζκεζάλπβμ h h h σ γϋκυη y h εαδ β ΰέθαδ y g y h y ά g h d d d d d d d d Γδα κ d γϋπ u Ϊλα d du d du Όαθ κ u, θυ σαθ κ u Άλα d u du u du d ΣζδεΪ β ΰέθαδ : d d ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : πκυ έθαδ β d d d d

39 ΕΑΑ : ΗΩ Γ 8 έθαδ υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα d 8 έθαδ υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα d ΜΘΟΟΛΟΓΙ 8 : ΝΙΟΣΙΚ ΧΙ α κζκεζβλυηαα δξτκυθ κδ παλαεϊπ αθδκδεϋμ ξϋδμ : ΠΡΙΠΣΩΗ : θ, σ d αθ β θ έθαδ παθκτ σ d ΠΡΙΠΣΩΗ : θ g, σ d g d αθ β, g θ έθαδ δμ σ d g d ΠΡΙΠΣΩΗ : m d πσδιβ : Έπ : a, ηδα υθξάμ υθϊλββ εαδ m, M β ζϊξδβ εαδ β ηϋΰδβ δηά αθέκδξα βμ κ a, Σσ δξτδ σδ : m M ΰδα εϊγ a, Οπσ : md d Md βζαά : m d M Γδα θα απκέικυη αθδσβμ α κζκεζβλυηαα, υξθϊ ξλβδηκπκδκτη : Σδμ ίαδεϋμ αθδσβμ : ln,, Σδμ αθδσβμ min ma, [, ] Σδμ αθδσβμ πκυ πλκετπκυθ απσ β ηκθκκθέα βμ εαδ δμ ξϋδμ Σδμ αθδσβμ πκυ πλκετπκυθ απσ κ ΘΜΣ εαδ β ηκθκκθέα βμ Σβθ αθδσβα πκυ πλκετπδ απσ βθ ευλσβα ηδαμ υθϊλββμ εαδ βθ φαπκηϋθβ βμ Ϋθα βηέκ ΛΤΜΝ ΚΗΙ : ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία

40 ΕΑΑ : ΗΩ Γ 8 Θπλκτη β υθϊλββ :, η τπκ Να απκέι σδ : i ΰδα εϊγ Πσ δξτδ β δσβα; ii d Λτβ : i πκυ δξτδ ΰδα εϊγ η βθ δσβα θα δξτδ ησθκ ΰδα ii έθαδ ΰδα εϊγ εαδ κ '' '' δξτδ ησθκ ΰδα Έδ : d d d d d d d d 86 έθαδ β υθϊλββ ln i Να ίλέ β ζϊξδβ δηά βμ ii Να απκέι σδ ln ΰδα εϊγ iii Να απκέι σδ ln d Λτβ : i,,,, Η ιέπβ Ϋξδ ηέα ησθκ λέαα, βθ Η ηκθκκθέα εαδ α αελσαα βμ φαέθκθαδ κθ παλαεϊπ πέθαεα: + + πδά β ΰδα παλκυδϊαδ κζδεσ ζϊξδκ, ΰδα εϊγ, δξτδ: ln ln ίαδεά αθδσβα Η δσβα δξτδ ησθκ σαθ ii βθ αθδσβα ln, αθ γϋπ σπκυ κ ΰδα εϊγ, Ϋξπ ln ln, ΰδα εϊγ iii βθ αθδσβα ln κ '' '' δξτδ ησθκ ΰδα Άλα ΰδα εϊγ [, ], ln εαδ κ '' '' δξτδ ησθκ ΰδα Ϋδ : ln d min d ln d ln d 87 Έπ β υθϊλββ : [, ] η τπκ ln ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία

41 ΕΑΑ : ΗΩ Γ i Να ηζά βθ πμ πλκμ α αελσαα ii Να απκέι σδ ln d Λτβ : ln i H έθαδ υθξάμ κ [, ] εαδ ΰδα εϊγ, Ϊλα β,, κπσ κ β παλκυδϊαδ ζϊξδκ κ, θυ κ β παλκυδϊαδ ηϋΰδκ κ ii Γδα εϊγ [, ], έθαδ : min ma, Ϊλα ln d d d d d d ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : 88 Έπ β υθξάμ υθϊλββ :[,] ΰδα βθ κπκέα δξτδ : d i Να απκέι σδ : ΰδα εϊγ [, ] ii d 89 Έπ β υθξάμ υθϊλββ :[,] ΰδα βθ κπκέα δξτδ : d i Να απκέι σδ : ΰδα εϊγ [, ] ii d 9 Να απκέι σδ : i ΰδα εϊγ [, ] ii d d 9 έθαδ β υθϊλββ : η τπκ : ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία i Να ίλέ βθ ζϊξδβ δηά βμ ii Να απκέι σδ d 9 έθαδ β υθϊλββ :, η τπκ : i Να ηζά βθ πμ πλκμ β ηκθκκθέα ii Να ίλέ βθ ζϊξδβ εαδ β ηϋΰδβ δηά βμ κ [,] iii Να απκέι σδ d 9 έθαδ β υθϊλββ : [,] ln i Να ηζά βθ πμ πλκμ β ηκθκκθέα εαδ α αελσαα ii Να απκέι σδ ln d ln 9 Να απκέι σδ d η τπκ :

42 ΕΑΑ : ΗΩ Γ 9 Μ β ίκάγδα βμ αθδσβαμ εφ ΰδα εϊγ,, θα απκέι σδ β η υθϊλββ,, έθαδ ΰθβέπμ φγέθκυα εαδ β υθϋξδα θα απκέι σδ: η i ΰδα εϊγ, εαδ 6 / η ii d / 6 96 Να απκέι σδ β υθϊλββ β υθϋξδα, η β ίκάγδα βμ αθδσβαμ σδ: i ΰδα εϊγ [,] εαδ ii d έθαδ ΰθβέπμ φγέθκυα κ [, εαδ ΰδα εϊγ, θα απκέι ΠΡΙΠΣΩΗ : θ εαδ d, σ : ΛΤΜΝ ΚΗΙ : 97 Θπλκτη δμ υθξέμ υθαλάδμ, g : [,] ΰδα δμ κπκέμ δξτδ g d g d Να απκέι σδ g ΰδα εϊγ [, ] Λτβ : g d g d g d g d g d g d g g d g d, β υθϊλββ h g δξτδ g έθαδ πσδιβ : Έπ σδ υπϊλξδ κυζϊξδκθ Ϋθα [, ] Ϋκδκ, υ θα έθαδ Σσ πδά β έθαδ υθξάμ κ [, ] εαδ ΰδα εϊγ [, ] έθαδ, πλκετπδ σδ d πκυ έθαδ ατθακ Άλα ΰδα εϊγ [, ] έθαδ έθαδ υθξάμ κ [,] εαδ h ΰδα εϊγ [, ] εαδ h d, Ϊλα ΰδα εϊγ [, ] h g g ΰδα εϊγ [, ] ΤΝΙΣΙΚ ΘΜΣ ΣΙ ΝΙΟΣΙΚ ΧΙ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 6

43 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : v * 98 έθαδ β υθϊλββ,, v N i Να ηζά βθ, πμ πλκμ β ηκθκκθέα εαδ α αελσαα εαδ α βηέα εαηπάμ ii Να απκέι σδ v v v d 99 v 99 Έπ υθϊλββ κλδηϋθβ κ R, υκ φκλϋμ παλαΰπΰδδηβ, η ΰδα εϊγ Έπ, η α<ί Να απκέι σδ : i, ΰδα εϊγ [, ] ii d 997 t έθαδ β υθϊλββ t, t [, ] t i Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα t dt Έπ β υθϊλββ g t dt, > t ii Να απκέι σδ, ΰδα εϊγ t [, ] εαδ > iii Να υπκζκΰέ κ lim g 999 ln Να έι σδ dt ln ln t t, ΰδα εϊγ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 7

44 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε [, ] και η συνάρτηση είναι συνεχής Απάντηση : Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα [, ] και για κάθε [, ], τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα είναι E d y O α y= Ω β 6 69 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των,g τις ευθείες,, όταν g για κάθε [, ] και οι συναρτήσεις, g είναι συνεχείς Απάντηση : Έστω δυο συνεχείς συναρτήσεις και g, στο διάστημα [, ] με g για κάθε [, ] και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των, g και τις ευθείες και Σχ 8α y y y y= y= 8 Ω y=g O α Ω O β y=g Ω O γ Παρατηρούμε ότι d g d g d Επομένως, E g d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

45 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 Να αποδείξετε ότι αν για τις συναρτήσεις,g είναι g για κάθε [, ], τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των,g και τις ευθείες, δίνεται από τον τύπο:e gd Απόδειξη : Επειδή οι συναρτήσεις, g είναι συνεχείς στο [, ], θα υπάρχει αριθμός c R τέτοιος, ώστε c g c, για κάθε [, ] Είναι φανερό ότι το χωρίο Ω Σχ α έχει το ίδιο εμβαδόν με το χωρίο y y y=+c y= Ω Ω α O β α O y=g α y=g+c β Επομένως, θα έχουμε: [ c g c]d gd Άρα E gd β 7 Να αποδείξετε ότι όταν η διαφορά g δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [, ], τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των,g και τις ευθείες και είναι ίσο με E g d Απόδειξη : Όταν η διαφορά g δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [,, ] όπως στο Σχήμα, τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των, g και τις ευθείες και είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων, και Δηλαδή, y O α Ω γ y=g Ω δ y= Ω β g d g d g d g d g d g d Επομένως, Σχόλιο E g d g d Σύμφωνα με τα παραπάνω το d είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα Σχ y Ο a + + β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

46 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τον άξονα, τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g, με g για κάθε [, ] και τις ευθείες και είναι ίσο με: E gd Απόδειξη : Πράγματι, επειδή ο άξονας είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης, έχουμε E gd [ g]d gd Επομένως, αν για μια συνάρτηση g ισχύει g για κάθε [, ], τότε: E gd y O α Ω β y=g ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΜΕΤΑΞΥ d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα C,,, Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν που περικλείεται από τη C, τον άξονα, και τις κατακόρυφες ευθείες,, εργαζόμαστε ως εξής : ον Αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο [α,β] ον Βρίσκουμε το πρόσημο της στο [α,β], λύνοντας την εξίσωση στο [α,β] και σχηματίζοντας πίνακα με το πρόσημο της στο [α,β], με τη βοήθεια του οποίου υπολογίζουμε το αντίστοιχο εμβαδόν Για άκρα ολοκλήρωσης παίρνουμε τα α,β Σε άλλες περιπτώσεις μπορούμε να υπολογίσουμε το πρόσημο της με τη βοήθεια της μονοτονίας της συνάρτησης Αν για κάθε a, Αν για κάθε, τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω ισούται με: d a,, τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω ισούται με: d Αν η δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [α,β], τότε βρίσκουμε τις ρίζες,,, της εξίσωσης στο [α,β], και από τον πίνακα προσήμων το ζητούμενο εμβαδόν είναι : d d d d d d d Αν δεν δίνονται οι κατακόρυφες ευθείες,, τότε υπολογίζω το αντίστοιχο εμβαδόν ανάμεσα στις ρίζες της δηλ για άκρα ολοκλήρωσης παίρνω τις ρίζες Αν δίνεται μόνο μια κατακόρυφη ευθεία, τότε : Αν η μεγαλύτερη ρίζα Αν η μικρότερη ρίζα d d

47 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η συνάρτηση 8 Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C, τον άξονα, και τις ευθείες, Λύση : ή Το ζητούμενο εμβαδόν είναι d d d d 8 d 8 d 8 d Δίνεται η συνάρτηση και F μια παράγουσα της στο με F i Να μελετήσετε την F ως προς τη μονοτονία ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C F, την ευθεία και τους άξονες και y y Εμβαδόν Παράγουσας Λύση : i F παραγωγίσιμη για κάθε με F για κάθε, άρα F FF ii F F F F Για F F F F Για F F F Έτσι : Το ζητούμενο εμβαδόν είναι F d F d F d F F d F d d d d ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : F - + Δίνεται η συνάρτηση Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C, τον άξονα, και τις ευθείες, Δίνεται η συνάρτηση Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C, τον άξονα, και τις ευθείες, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

48 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Δίνεται η συνάρτηση Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C και τον άξονα 6 Δίνεται η συνάρτηση Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C, τον άξονα και τον άξονα y y 7 Δίνεται η συνάρτηση i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C, τον άξονα τις ευθείες, ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 8 Δίνεται η συνάρτηση ln i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C, τον άξονα τις ευθείες, ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ, και, και 9 Δίνεται η συνάρτηση i Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο που τέμνει τον άξονα y y ii Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της iii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C, τον άξονα, και τις ευθείες, ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Δίνεται η συνάρτηση ln i Να αποδείξετε ότι υπάρχει μόνο ένα σημείο της C στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C, τον άξονα, και την ευθεία, όπου είναι θέση τοπικού ακρότατου της ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ, Δίνεται η συνάρτηση : ln, i Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C, τον άξονα τις ευθείες, ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ, και ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

49 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ a, Δίνεται η συνάρτηση :, i Αν η είναι συνεχής να αποδείξετε ότι a 9 ii Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο Μ, iii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C, τον άξονα τις ευθείες, ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ, και ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΜΕΤΑΞΥ C, C g, g d, Έστω,g δυο συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [α,β] Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν που περικλείεται από τις C, C και τις κατακόρυφες ευθείες,, g εργαζόμαστε ως εξής : ον θεωρούμε τη συνάρτηση h g ον λύνουμε την εξίσωση h στο [α,β] ον σχηματίζουμε πίνακα με το πρόσημο της h στο [α,β], με τη βοήθεια του οποίου υπολογίζουμε το αντίστοιχο εμβαδόν Για άκρα ολοκλήρωσης παίρνουμε τα α,β Αν δεν δίνονται οι κατακόρυφες ευθείες,, τότε υπολογίζω το αντίστοιχο εμβαδόν ανάμεσα στις ρίζες της h δηλ για άκρα ολοκλήρωσης παίρνω τις ρίζες ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνονται οι συναρτήσεις χωρίου περικλείεται από τις και g Να υπολογίσετε το εμβαδόν του C, C g και τις ευθείες, Λύση : Έστω h g h, με h άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι το h d Έχω h, παρατηρώ ότι η είναι προφανής ρίζα της εξίσωσης h, και για κάθε, h, άρα η h ά, οπότε και η είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης h h - Τα πρόσημα του παραπάνω πίνακα προκύπτουν ως εξής : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

50 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ h o h h h h o h h h Άρα τελικά : h d h d h d ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : d d Δίνονται οι συναρτήσεις και g Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τις C, C g και τις ευθείες, Δίνονται οι συναρτήσεις ln και g Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τις C, C g και τις ευθείες, 6 Δίνονται οι συναρτήσεις και g Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τις C, C g 7 Να δείξετε ότι για κάθε ισχύει : Στη συνέχεια αν δίνονται τμ και g, να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείετε από τη C, τη C, τον άξονα y y και την ευθεία g 8 Δίνεται η συνάρτηση όπου μια σταθερά με, Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C και την ευθεία με εξίσωση y ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

51 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΜΕΤΑΞΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 9 Δίνεται η συνάρτηση i Να βρείτε την εφαπτομένη ε της C στο σημείο της, ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ε και τον άξονα y y Λύση : i [,, και, άρα Άρα η εφαπτομένη ε της, θα έχει εξίσωση : ii C στο σημείο της : y : y : y C, : y και y y δηλ η ευθεία Έστω h y h, χρειαζόμαστε άλλη μια κατακόρυφη ευθεία η οποία θα προκύψει από τη λύση της εξίσωσης : h y, καθώς η C και η ε έχουν μοναδικό κοινό σημείο το, Έτσι το ζητούμενο εμβαδόν είναι h d Για το πρόσημο της h, θα χρησιμοποιήσουμε την κυρτότητα της Για κάθε είναι και το «=» ισχύει μόνο για, άρα η είναι 9 κοίλη στο [, και άρα η εφαπτομένη της C βρίσκεται πάνω από τη C, με εξαίρεση το σημείο επαφής Δηλαδή για κάθε [, ισχύει ότι : y h Τελικά : C ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ η Αν η συνάρτηση είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε εφαπτομένη : y της C στο, βρίσκεται κάτω από τη C, με εξαίρεση το σημείο επαφής Δηλαδή για κάθε ισχύει ότι : Αν η συνάρτηση είναι κοίλη σε ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε h d h d d d η εφαπτομένη : y της C στο, βρίσκεται πάνω από τη C, με εξαίρεση το σημείο επαφής Δηλαδή για κάθε ισχύει ότι : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

52 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : τμ Δίνεται η συνάρτηση i Να βρείτε την εφαπτομένη ε της C στο σημείο της, ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ε και τον άξονα y y Δίνεται η συνάρτηση 6 i Να βρείτε την εφαπτομένη ε της C που είναι κάθετη στην ευθεία : y ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ε και τον άξονα y y Δίνεται η συνάρτηση με i Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο, ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C και τις ευθείες y= και y= Δίνεται η συνάρτηση, με Αν η εφαπτομένη ε της C στο σημείο τομής της με την ευθεία =, τέμνει τον άξονα y y στο y, τότε : i Να βρείτε το α και την εξίσωση της εφαπτομένης ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ε, τον άξονα και την ευθεία Δίνεται η συνάρτηση i Να βρείτε την εφαπτομένη ε της C στο Μ, ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ε, τους άξονες και y y ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

53 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΕΡΙΚΛΕΙΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΡΕΙΣ Ή ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΕΣ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Για να βρούμε το εμβαδόν του χωρίου Ω που σχηματίζεται από τις γραφικές παραστάσεις τριών ή περισσοτέρων συναρτήσεων, εργαζόμαστε ως εξής : ον βρίσκουμε τα σημεία που τέμνονται ανά δυο οι γραφικές παραστάσεις ον σχεδιάζουμε τις γραφικές παραστάσεις στο ίδιο σύστημα αξόνων ον χωρίζουμε το χωρίο Ω με κατακόρυφες ευθείες σε επιμέρους χωρία τα οποία σχηματίζονται από δυο μόνο γραφικές παραστάσεις ον υπολογίζουμε το εμβαδόν καθενός από τα παραπάνω χωρία και το άθροισμα τους είναι το εμβαδόν του χωρίου Ω ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, ln τον άξονα των και την εφαπτομένη της C στο σημείο, Λύση : Η εξίσωση της εφαπτομένης της Επειδή ln, έχουμε Έχω εμβαδόν ανάμεσα στη ln, g, h Για σημεία τομής C και Για σημεία τομής C και Για σημεία τομής C g και C στο σημείο, είναι : y Επομένως, : y : y C, την C g : h : y και τον δηλ τρεις συναρτήσεις, g δηλ,, C : h ln δηλ,, C h : g h δηλ, g, Σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

54 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ d ln d ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : ln d d d ln d ln d 6 Δίνονται οι συναρτήσεις, g και h Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των τριών συναρτήσεων 7 Δίνονται οι συναρτήσεις, με, g και h Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των τριών συναρτήσεων 8 Nα υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου του διπλανού σχήματος y= y y= y= Ο y 9 Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου του διπλανού σχήματος A y= + Ο y= Δίνεται η συνάρτηση ημ i Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της C στα σημεία, και, ii Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική O, παράσταση της και τις εφαπτόμενες στα σημεία Ο και Α y Aπ, Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ln, g ln και την ευθεία y ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

55 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Έστω μια συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση Η είναι -, οπότε ορίζεται η Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη ευθείες, είναι : d προκύπτει ότι : Επειδή οι d u u du C, τον άξονα, και τις Αν θέσουμε u, u u du C και C είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=, το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται μεταξύ των του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της d d C και C είναι διπλάσιο από το εμβαδόν C και της ευθείας y= Ισχύει λοιπόν ότι : ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η συνάρτηση ln i Να αποδείξετε ότι η είναι - ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, τις ευθείες, και τον άξονα Λύση : i Για κάθε, είναι, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο,, οπότε είναι - άρα και αντιστρέψιμη ii Το ζητούμενο εμβαδόν είναι : d Θέτω u άρα d u du Για είναι u u : u ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

56 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα Για είναι u u u : Άρα τελικά : ] [, u du u u du u u d u u du u du u u du u u τμ Δίνεται η συνάρτηση, : με τύπο i Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C και C Λύση : i Η είναι συνεχής στο,, και για κάθε, είναι : Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο,, άρα είναι και - και άρα αντιστρέψιμη ii Επειδή οι C και C είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=, για να βρω τα κοινά σημεία της των C και C, αρκεί να βρω τα κοινά σημεία των C και y= Έτσι έχουμε : πρέπει Έτσι : ή δεκτές Επειδή οι C και C είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=, το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται μεταξύ των C και C είναι διπλάσιο από το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της C και της ευθείας y= Ισχύει λοιπόν ότι : d, έστω h, είναι h ή h d d h d h d d τμ

57 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδείξετε ότι η είναι - ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ευθεία 6 και τους άξονες και y y Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδείξετε ότι η είναι - ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C και τους άξονες και y y 6 Δίνεται η συνάρτηση 6 6 i Να αποδείξετε ότι η είναι - ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C και C 7 Δίνεται η συνάρτηση ln i Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, τις ευθείες, και τον άξονα 8 Έστω η συνάρτηση = + + i Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία και τα κοίλα και να αποδείξετε ότι η έχει αντίστροφη συνάρτηση ii Να αποδείξετε ότι + για κάθε IR iii Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο, είναι ο άξονας συμμετρίας των γραφικών παραστάσεων της και της iv Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, τον άξονα των και την ευθεία με εξίσωση = ο 9 Θεωρούμε τη συνάρτηση =+- με i Να αποδείξετε ότι η είναι - ii Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση - της και να βρείτε τον τύπο της iii Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και - με την ευθεία y= iv Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και - Θέμα ο Πανελλήνιες 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

58 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΣ ΧΩΡΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται η συνάρτηση, με, και έστω Ω το χωρίο που περικλείεται από τη C, τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις και Να βρείτε ευθεία η οποία να χωρίζει το Ω σε δυο ισεμβαδικά χωρία Δίνεται η συνάρτηση 6 και έστω Ω το χωρίο που περικλείεται από τη C και τον άξονα Να βρείτε ευθεία y a, με, η οποία χωρίζει το Ω σε δυο ισεμβαδικά χωρία Το χωρίο που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης και την ευθεία y χωρίζεται από την ευθεία y,, σε δύο ισεμβαδικά χωρία Να βρείτε την τιμή του α Έστω η συνάρτηση i Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της στα σημεία, που η C τέμνει τον άξονα των ii Αν Γ είναι το σημείο τομής των εφαπτομένων, να αποδείξετε ότι η C χωρίζει το τρίγωνο ΑΒΓ σε δύο χωρία που ο λόγος των εμβαδών ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7: ΟΡΙΟ ΕΜΒΑΔΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται η συνάρτηση, με Να βρείτε : i Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, τον άξονα και τις ευθείες και, με και ii Το όρια lim και lim Δίνονται οι συναρτήσεις :, g ln i Να υπολογίσετε το εμβαδόν,, του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, g, τον άξονα των και την ευθεία, ii Να βρείτε το όριο lim ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

59 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 6 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο = λχ, λ > i Να δείξτε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να δείξτε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, είναι η y = λ Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου επαφής Μ iii Να δείξτε ότι το εμβαδόν Ελ του χωρίου, το οποίο περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της, της εφαπτομένης της στο σημείο Μ και του άξονα y y, είναι λ λ Ελ iv Να υπολογίστε το lim Θέμα ο Πανελλήνιες λ ημλ 6 7 Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδείξετε ότι η C έχει στο και στο ασύμπτωτη την ίδια ευθεία ε, την οποία και να βρείτε ii Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ευθεία ε και τις ευθείες και, με α> iii Να βρείτε το lim Θέμα εξετάσεων 8 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : : για την οποία ισχύει και : για κάθε i Να βρείτε τον τύπο της ii Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα iii Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C iv Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, τους άξονες και y y και την ευθεία, με α> v Να βρείτε το lim ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

60 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται η συνάρτηση :, με ln i Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, τον άξονα και τις ευθείες και με και ii Να βρείτε το lim iii Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της, iv Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την παραπάνω εφαπτομένη, την C και τον άξονα ΘΕΜΑ Β studyams Δίνεται η συνάρτηση i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται iii Να βρείτε το πεδίο ορισμού της C στο σημείο της iv Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I d ΘΕΜΑ Β studyams Δίνεται η συνάρτηση ln, i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να αποδείξετε ότι για κάθε iii Αν ισχύει για κάθε όπου τότε να αποδείξετε ότι iv Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C και τις ευθείες και ΘΕΜΑ Γ studyams Δίνεται η συνάρτηση ln, i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C iii Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον,, τέτοιο ώστε iv Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, τον άξονα και τις ευθείες και ΘΕΜΑ Γ studyams ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

61 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Δίνονται οι συναρτήσεις, g με και g ln με i Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης h g ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, g και τις ευθείες και, με iii Να βρείτε το όριο : lim iv Να βρείτε το όριο : lim ΘΕΜΑ Γ studyams ln 6 Δίνεται η συνάρτηση,, i Αν η εφαπτομένη της C στο, είναι παράλληλη προς την ευθεία : y να υπολογίσετε το λ ii Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα iii Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη ε της C στο iv Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ασύμπτωτη ε του προηγούμενου ερωτήματος και τις ευθείες και ΘΕΜΑ Γ studyams 7 Δίνεται η συνάρτηση ln με i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να βρείτε το σύνολο τιμών της iii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln έχει μοναδική λύση για κάθε iv Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται και να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : I d 8 Έστω δυο συναρτήσεις, g :, οι οποίες είναι δυο φορές παραγωγίσιμες με g για κάθε > Αν οι εφαπτομένες στο κοινό σημείο τους με τετμημενη είναι παράλληλες να βρείτε το εμβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από τη C, την C g και την ευθεία = 9 Δίνεται η συνάρτηση i Να δείξετε ότι η ευθεία : y είναι ασύμπτωτη της C στο ii Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη C, την ε, τον άξονα y y και την ευθεία =α, α< iii Να βρείτε το όριο lim iv Αν το α ελαττώνεται με ρυθμό μον/sc, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Εα τη χρονική στιγμή που είναι α=-ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

62 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Έστω :, με και ln για κάθε i Να δείξετε ότι ln για κάθε ii Αν Ελ το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη C, τον άξονα και τις ευθείες =, =λ, λ>, να αποδείξετε ότι : ln ln και μετά να βρείτε το lim Δίνεται η συνάρτηση i Να βρείτε την ασύμπτωτη ε της C στο ii Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ε και τις ευθείες = και = Δίνεται η συνάρτηση i Να βρείτε την εφαπτομένη ε της C που διέρχεται από την αρχή των αξόνων ii Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ε και τον άξονα Δίνεται η συνάρτηση i Να δείξετε ότι η ευθεία ε:y= είναι ασύμπτωτη της C στο ii Να βρείτε το εμβαδόν Eλ του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ε και τις ευθείες = και =λ, λ> iii Να βρείτε το lim Δίνεται η συνάρτηση i Να βρείτε την εφαπτομένη ε της C που διέρχεται από την αρχή των αξόνων ii Να βρείτε το εμβαδόν Εα του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ε τον άξονα και την ευθεία =α, α> iii Να βρείτε το όριο lim iv a Αν το α ελαττώνεται με ρυθμό μον/sc, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του Εα τη χρονική στιγμή που είναι α= ln Δίνεται η συνάρτηση και η ευθεία ε:y= i Να δείξετε ότι η ευθεία ε είναι πλάγια ασύμπτωτη της C ii Να βρείτε το εμβαδόν Ελ του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ε και την ευθεία =λ, <λ< ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

63 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ln, 6 Δίνεται η συνάρτηση, i Να δείξετε ότι η είναι συνεχής ii Να βρείτε το εμβαδόν Ελ του χωρίου που περικλείεται από τη C, τον άξονα και τις ευθείες =, =λ, λ> iii Να βρείτε το lim ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΠΟ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 7 Αν d, τότε κατ ανάγκη θα είναι για κάθε [α,β] Αν, g είναι δύο συναρτήσεις με συνεχή πρώτη παράγωγο, τότε ισχύει: β α β g d g g d Έστω μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [α,β] Αν G είναι μια παράγουσα της στο [α,β], τότε : t dt G G β α Αν η συνάρτηση έχει παράγουσα σε ένα διάστημα Δ και λ IR *, τότε ισχύει: β λd α Ισχύει η σχέση g d g συναρτήσεις στο [α,β] α β α d g d, όπου, gείναι συνεχείς 6 Έστω μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α,β] Αν G είναι μία παράγουσα της β στο [α,β], τότε tdt Gα Gβ α 7 Αν συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [α,β] και για κάθε [α, β] ισχύει τότε : d με την προϋπόθεση ότι τα χρησιμοποιούμενα σύμβολα έχουν νόημα 8 Αν, g, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [α,β], τότε g d d g d 9 Αν η είναι συνεχής σε διάστημα Δ και α,β,γ Δ τότε ισχύει : β d d α γ α β γ d Το ολοκλήρωμα β d είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που α βρίσκονται πάνω από τον άξονα μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7