θϊζκΰκ αά βηα Ϋξκυη εαδ βθ παλϊΰπΰκ ηδΰα δεάμ υθϊλ β βμ, β κπκέα, αθαζκΰέα η κυμ πλαΰηα δεκτμ κλέα αδ πμ . (2)

Transcript

1 ΗΙΗ ΗΟΑΙΑ ΑΙΗΙΟ ΗΗ Εφαοα Μαα Εόηαμ Μγαδ υη ο Μαα Καφε α Επ α εχοογα ώ

2 Ε Εφαα αα γα υ 1 α αυ ο χ αωο υ α α Πλδθ κλέκυη βθ παλϊΰπΰκ ηδαμ ηδΰαδεάμ υθϊλββμ f(z) γα αγκτη βθ υθαφά η αυά Ϋθθκδα, βμ υθϋξδαμ. κυμ πλαΰηαδεκτμ αλδγηκτμ ηδα υθϊλββ f(x) ζϋΰαδ υθξάμ Ϋθα βηέκ x αθ lim f ( x ) lim f ( x ) f ( x ). (1) xx xx Πλκφαθυμ ΰδα θα έθαδ ηδα υθϊλββμ υθξάμ γα πλϋπδ α σλδα απσ σζμ δμ υθαϋμ εαυγτθδμ απσ δμ κπκέμ ηπκλέ θα πλκΰΰδέ κ x, κδ κπκέμ βθ πλέππβ αυά έθαδ τκ, θα υηπέπκυθ. βθ πλέππβ πθ υθαλάπθ ηδΰαδεάμ ηαίζβάμ σηπμ υπϊλξκυθ Ϊπδλμ εαυγτθδμ απσ δμ κπκέμ ηπκλέ θα πζβδϊδ εαθέμ Ϋθα κπκδκάπκ βηέκ z (ίζ., π.ξ., ξ. 1). Γδα θα έθαδ ηδα ηδΰαδεά υθϊλββ υθξάμ γα πλϋπδ α σλδα πκυ πλκετπκυθ απσ σζμ αυϋμ δμ υθαϋμ εαυγτθδμ θα υηπέπκυθ. Η υθγάεβ αυά, σππμ ηπκλέ τεκζα θα εααζϊίδ εαθέμ, έθαδ πκζτ πλδσλκ πλδκλδδεά ξϋβ η βθ αθέκδξβ πθ πλαΰηαδευθ υθαλάπθ. ξ. 1: Σλδμ λσπκδ πλκϋΰΰδβμ θσμ υξαέκυ βηέκυ z. θϊζκΰκ αάβηα Ϋξκυη εαδ βθ παλϊΰπΰκ ηδΰαδεάμ υθϊλββμ, β κπκέα, αθαζκΰέα η κυμ πλαΰηαδεκτμ κλέααδ πμ df f ( z z) f ( z) f ( z) lim, z xiy. () dz z z Γδα θα υπϊλξδ β παλϊΰπΰκμ βμ f(z) κ υξαέκ βηέκ z γα πλϋπδ κ παλαπϊθπ σλδκ θα υπϊλξδ εαδ θα έθαδ κ έδκ ΰδα σζμ δμ υθαϋμ (Ϊπδλμ πζάγκμ) εαυγτθδμ εαϊ δμ κπκέμ ηπκλέ θα πλκΰΰδέ κ βηέκ z, βζαά ΰδα σζμ δμ υθαϋμ εαυγτθδμ εαϊ δμ κπκέμ κ z ηπκλέ θα έθδ κ ηβϋθ. Η υθγάεβ αυά έθαδ δδαέλα πλδκλδδεά εαδ πδίϊζδ αυβλκτμ πλδκλδηκτμ βθ εζϊβ πθ υθαλάπθ πκυ Ϋξκυθ παλϊΰπΰκ πβλϊαδ βζαά δμ δδσβμ πθ υθαλάπθ αυυθ η πκζτ λαδεσ λσπκ. Έθα απκϋζηα έθαδ σδ κυμ ηδΰαδεκτμ αλδγηκτμ αθ ηδα υθϊλββ Ϋξδ παλϊΰπΰκ πλυβμ Ϊιβμ γα Ϋξδ παλϊΰπΰκ εϊγ Ϊιβμ, πλϊΰηα κ κπκέκ θ δξτδ κυμ πλαΰηαδεκτμ. Εφαγ: Χλβδηκπκδά κθ κλδησ βμ παλαΰυΰκυ ΰδα θα ιϊ αθ έθαδ παλαΰπΰέδηβ παθκτ β υθϊλββ f(z)=z, εαδ αθ θαδ ίλέ βθ παλϊΰπΰσ βμ.

3 Ε Εφαα αα γα υ Γδα υθαλάδμ, f(z), g(z) πκυ έθαδ παλαΰπΰέδημ πμ πλκμ z δξτκυθ κδ ΰθπκέ απσ δμ πλαΰηαδεϋμ υθαλάδμ εαθσθμ παλαΰυΰδβμ, βζαά d ( ) ( ) [ f( z) g( z)] df z dg z, dz dz dz d df( z) dg( z) [ f ( z)/ g( z)] [ g( z) f ( z) ]/[ g( z)] dz dz dz d df ( z) dg( z) [ f( zgz ) ( )] gz ( ) f( z), dz dz dz, ΰδα z υ ( ) d df dg gz, f( g( z)). dz dg dz ΠκζζΫμ φκλϋμ κδ ηδΰαδεϋμ υθαλάδμ εφλϊακθαδ σξδ ηϋπ κυ ηδΰαδεκτ z, αζζϊ πθ x εαδ y, η z=x+iy, κπσ β ξλάβ κυ κλδηκτ, ι. (), ΰδα κθ Ϋζΰξκ βμ παλαΰπΰδδησβαμ εαδ βθ τλβ βμ παλαΰυΰκυ έθαδ δδαέλα υξλάμ. δμ πλδπυδμ αυϋμ κ πλκφκλσλκμ λσπκμ ΰδα Ϋζΰξκ βμ παλαΰπΰδδησβαμ ηδαμ υθϊλββμ εαδ τλβ βμ παλαΰυΰκυ έθαδ β ξλάβ πθ υθγβευθ Cauhy-Riemann (C-R), δμ κπκέμ γα υαβάκυη αηϋπμ παλαεϊπ. Συ Cauhy-Riemann (C-R) Έπ ηδα ηδΰαδεά υθϊλββ f, βμ ηκλφάμ f ( x, y) uxy (, ) iv( x, y), z x iy. φαλησακθαμ κθ κλδησ βμ παλαΰυΰκυ ΰδα θα ζϋΰικυη βθ παλαΰπΰδδησβα βμ, f παέλθκυη df ux ( xy, y) ivx ( xy, y) uxy (, ) ivxy (, ) f ( z) lim, z xiy. dz x x iy y Γδα θα υπϊλξδ β παλϊΰπΰκμ γα πλϋπδ κ παλαπϊθπ σλδκ θα έθαδ κ έδκ ΰδα σζκυμ κυμ υθακτμ λσπκυμ εαϊ κυμ κπκέκυμ κ z=x+iy έθδ κ ηβϋθ. Τπκζκΰέακθαμ κ σλδκ αθ z έθδ κ ηβϋθ εαϊ βθ εατγυθβ κυ Ϊικθα x, βζαά ΰδα x, y=, ίλέεκυη df ux ( xy, ) uxy (, ) ivx [ ( x, y) vxy (, )] u v lim i dz x x x. (3) x y Τπκζκΰέακθαμ κ σλδκ αθ z έθδ κ ηβϋθ εαϊ βθ εατγυθβ κυ Ϊικθα y, βζαά x=, y, ίλέεκυη df uxy (, y) uxy (, ) ivx [ (, yy) vxy (, )] u v lim i dz iy y y. (4) x y θ β υθϊλββ f έθαδ παλαΰπΰέδηβ α τκ παλαπϊθπ σλδα γα πλϋπδ θα έθαδ έα (σκ α πλαΰηαδεϊ σκ εαδ α φαθαδεϊ ηϋλβ κυμ), βζαά γα πλϋπδ θα δξτκυθ u v x y, u v y x. (5) Οδ παλαπϊθπ υθγάεμ, (5), έθαδ ΰθπΫμ πμ υθγάεμ Cauhy-Riemann (C-R). Παλαβλά σδ κδ υθγάεμ αυϋμ έθαδ αθαΰεαέμ ΰδα θα έθαδ ηδα υθϊλββ παλαΰπΰέδηβ (η Ϊζζα ζσΰδα, αθ θ δξτκυθ κδ C-R β f θ έθαδ παλαΰπΰέδηβ), σξδ σηπμ εαδ δεαθϋμ (υπκζκΰέβεαθ ξλβδηκπκδυθαμ τκ ησθκ εαυγτθδμ εαϊ δμ κπκέμ z). Μπκλέ θα απκδξγέ σδ ΰδα θα έθαδ β υθϊλββ παλαΰπΰέδηβ γα πλϋπδ σξδ ησθκ θα δξτκυθ κδ C-R αζζϊ εαδ σζμ κδ ηλδεϋμ

4 Ε Εφαα αα γα υ 3 παλϊΰπΰκδ πκυ ηπζϋεκθαδ αυϋμ θα έθαδ υθξέμ υθαλάδμ πθ x εαδ y. Άλα ηπκλκτη θα εααζάικυη κ ιάμ ελδάλδκ ΰδα κθ Ϋζΰξκ βμ παλαΰπΰδδησβαμ: Μδα υθϊλββ f(z) έθαδ παλαΰπΰέδηβ πμ πλκμ z=x+iy αθ: (α) δξτκυθ κδ υθγάεμ C-R, u v u v (ί) κδ ηλδεϋμ παλϊΰπΰκδ,,, x y y x έθαδ υθξέμ υθαλάδμ πθ x εαδ y. Η παλϊΰπΰσμ βμ f σ έθαδ έ απσ κθ τπκ (3) έ απσ κθ (4) (ζυαέα ηϋζβ), βζαά df u v u v i i dz x x y y. (6) Εφαγ: Χλβδηκπκδά δμ υθγάεμ C-R ΰδα θα ιϊ βθ παλαΰπΰδδησβα εαδ θα ίλέ βθ παλϊΰπΰκ βμ υθϊλββμ f(z)=e z. ΓθδεΪ, ηπκλέ θα απκδξγέ (ξλβδηκπκδυθαμ έ κθ κλδησ έ δμ υθγάεμ C-R) σδ αθ ηδα υθϊλββ f πλδϋξδ β υθαλβδαεά βμ Ϋεφλαβ κ z * β υθϊλββ θ έθαδ παλαΰπΰέδηβ πμ πλκμ z. θ πλδϋξδ ησθκ κ z, ηπκλέ θα ΰλαφέ βζαά β ηκλφά f=f(z), σ β υθϊλββ έθαδ παλαΰπΰέδηβ αθ έθαδ παλαΰπΰέδηβ β αθέκδξβ πλαΰηαδεά υθϊλββ f(x). Η παλαΰυΰδβ βμ f(z) σ αεκζκυγέ κυμ εαθσθμ παλαΰυΰδβμ πκυ έθαδ ΰθπκέ απσ δμ πλαΰηαδεϋμ υθαλάδμ. Σκ ΰΰκθσμ αυσ πλκφϋλδ Ϋθαθ πδπζϋκθ λσπκ/ελδάλδκ ΰδα θα ιϊδ εαθέμ αθ ηδα υθϊλββ έθαδ παλαΰπΰέδηβ εαδ θα ίλδ βθ παλϊΰπΰσ βμ. Εφαγ: Χλβδηκπκδά δμ υθγάεμ C-R ΰδα θα έι σδ β υθϊλββ f(z)=x+ixy θ έθαδ παλαΰπΰέηβ. Κασπδθ εφλϊ βθ f(z) ηϋπ πθ z εαδ z * (ζαηίϊθκθαμ υπσοβ σδ x=(z+z * )/, y=(z-z * )/i) εαδ ξλβδηκπκδά κ ελδάλδκ βμ πλκβΰκτηθβμ παλαΰλϊφκυ ΰδα θα απκφαθγέ ΰδα βθ παλαΰπΰδδησβα βμ υθϊλββμ. θαφϋλαη παλαπϊθπ σδ αθ ηδα υθϊλββ f(z) ΰλΪφαδ πμ υθϊλββ ησθκ κυ z (εαδ σξδ κυ z * ) εαδ έθαδ παλαΰπΰέδηβ, σ δξτκυθ ΰδα αυάθ κδ εαθσθμ παλαΰυΰδβμ πθ πλαΰηαδευθ υθαλάπθ. Μπκλέ θα απκδξγέ βζαά σδ d e z e z d n n 1, z nz d d, n αεϋλαδκμ, sin z os z, os z sin z. dz dz dz dz Εφαγ: Χλβδηκπκδά κθ κλδησ βμ παλαΰυΰκυ ΰδα θα ζϋΰι βθ παλαΰπΰδδησβα εαδ θα ίλέ βθ παλϊΰπΰκ πθ υθαλάπθ f(z)=z n (n γδεσμ αεϋλαδκμ) εαδ g(z)=1/z. αυ υα α ααα α υαω θ ηδα υθϊλββ f(z) έθαδ ηκθσδηβ εαδ παλαΰπΰέδηβ ηδα πλδκξά κυ ηδΰαδεκτ πδπϋκυ, σ β υθϊλββ ζϋΰαδ ααυ βθ πλδκξά αυά. θ β f έθαδ αθαζυδεά κζσεζβλκ κ ηδΰαδεσ πέπκ σ κθκηϊααδ ααα (entire). Σα βηέα α κπκέα β υθϊλββ f έθαδ αθαζυδεά κθκηϊακθαδ α α βμ f, θυ εέθα α κπκέα β f θ έθαδ αθαζυδεά ζϋΰκθαδ ααα α. Γδα παλϊδΰηα, β υθϊλββ f(z)=1/z

5 Ε Εφαα αα γα υ 4 έθαδ αθαζυδεά παθκτ εσμ απσ κ βηέκ z =, κ κπκέκ έθαδ κ ηκθαδεσ αθυηαζκ βηέκ βμ υθϊλββμ. Σα αθυηαζα βηέα ηδαμ υθϊλββμ f(z) ηπκλκτθ θα εαβΰκλδκπκδβγκτθ βηέα: (i) απω αωαα Ϋθα βηέκ z έθαδ βηέκ απκηκθπηϋθβμ αθπηαζέαμ βμ f - εαδ ζϋη σδ β f Ϋξδ απκηκθπηϋθβ αθπηαζέα κ z - σαθ ΰδα σζα α Ϊζζα βηέα βθ ΰδκθδΪ κυ z β υθϊλββ έθαδ αθαζυδεά), π.ξ. κ z = έθαδ βηέκ απκηκθπηϋθβμ αθπηαζέαμ βμ f(z)=1/z (ii) απω αωαα (αθ θ έθαδ απκηκθπηϋθβ). Συπδεσ παλϊδΰηα ηβ απκηκθπηϋθβμ αθπηαζέαμ έθαδ β κηά ηδΰαδεάμ υθϊλββμ, βθ κπκέα β υθϊλββ θ έθαδ ηκθσδηβ. Μπκλέ θα απκδξγέ σδ κδ υθάγδμ υθαλάδμ (πκζυπθυηδεϋμ, εγδεϋμ, λδΰπθκηλδεϋμ εαδ υπλίκζδεϋμ) έθαδ αθαζυδεϋμ παθκτ, εσμ απσ α βηέα α κπκέα ηβθέααδ κ παλκθκηαάμ κυμ. Σα απκηκθπηϋθα αθυηαζα βηέα ηπκλκτθ θα δαελδγκτθ λδμ πλαέλπ εαβΰκλέμ: (α) πσζκυμ, (ί) βηέα κυδυκυμ αθπηαζέαμ, (ΰ) βηέα αδλσηθβμ αθπηαζέαμ Έθα απκηκθπηϋθκ αθυηαζκ βηέκ z ζϋΰαδ π ηδαμ υθϊλββμ f(z) αθ β υθϊλββ ηπκλέ θα ΰλαφέ β ηκλφά g( z) f( z), σπκυ g(z) αθαζυδεά κ z ( z z ) k εαδ k γδεσμ αεϋλαδκμ. Ο k σ κθκηϊααδ υ πυ. Έθαμ δκτθαηκμ κλδησμ ΰδα κθ πσζκ έθαδ κ ιάμ: Σκ z ζϋΰαδ πσζκμ Ϊιβμ k βμ f(z) αθ k lim[ f( z)( z z ) ].. zz Π.ξ. β f(z)=1/(z-i) Ϋξδ πσζκ Ϊιβμ κ i. Η f(z)=1/[(z-1) (z+i)] Ϋξδ τκ πσζκυμ: κ 1, κ κπκέκ έθαδ πσζκμ Ϊιβμ, εαδ κ -i κ κπκέκ έθαδ πσζκμ Ϊιβμ 1. Οδ πσζκδ παέακυθ εαέλδκ λσζκ κθ υπκζκΰδησ κυ κζκεζβλυηακμ ηδαμ ηδΰαδεάμ υθϊλββμ, σππμ γα υαββγέ κ πσηθκ εφϊζαδκ. Έθα απκηκθπηϋθκ αθυηαζκ βηέκ z ζϋΰαδ βηέκ υυ αωαα αθ θ υπϊλξδ αεϋλαδκμ k υ k lim [ f ( z)( z z ) ]. Π.ξ. κ z = έθαδ βηέκ κυδυκυμ z z 1/ z αθπηαζέαμ βμ υθϊλββμ f ( z) e. Έθα βηέκ z ζϋΰαδ βηέκ α αωαα αθ β αθπηαζέα αέλαδ παέλθκθαμ κ σλδκ lim f ( z). Π.ξ. β υθϊλββ f(z)=sin(z)/z Ϋξδ αδλσηθβ αθπηαζέα κ z =. zz οωα υ α α Σα κζκεζβλυηαα ηδΰαδευθ υθαλάπθ κλέακθαδ αθϊζκΰα η εέθα πθ πλαΰηαδευθ υθαλάπθ. Η δαφκλϊ υ έθαδ σδ παλϊζζβζα η α σλδα βμ κζκεζάλπβμ γα πλϋπδ θα

6 Ε Εφαα αα γα υ 5 έαδ πέβμ εαδ κ λσηκμ κζκεζάλπβμ, εαγσδ κ πέπκ πθ ηδΰαδευθ κ λσηκμ πκυ θυθδ τκ βηέα z 1 εαδ z θ έθαδ ηκθαδεσμ (ίζ. ξ. ). Im(z) Μδΰαδεσ πέπκ x 1 x z Πλαΰηαδεά υγέα z 1 Re(z) ξ. : βθ υγέα πθ πλαΰηαδευθ (αλδλσ ξάηα) υπϊλξδ Ϋθαμ εαδ ηκθαδεσμ λσηκμ ΰδα θα φϊδμ απσ κ βηέκ x 1 κ x. κ πέπκ πθ ηδΰαδευθ (ιδσ ξάηα) υπϊλξκυθ Ϊπδλκδ λσηκδ ΰδα θα φϊδμ απσ κ βηέκ z 1 κ z. θ ΰΫθδ, Ϋθα ηδΰαδεσ κζκεζάλπηα γα έθαδ βμ ηκλφάμ z f ( zdz ), dz dxidy. z1 θ κ λσηκμ κζκεζάλπβμ, Ϋπ, ηπκλέ θα εφλαέ ηϋπ ηδαμ ηκθαδεάμ πλαΰηαδεάμ παλαηϋλκυ, t, βζαά ΰδα α z πκυ ίλέεκθαδ πϊθπ κ λσηκ δξτδ z=z(t)=x(t)+iy(t), κ κζκεζάλπηα ηπκλέ θα εφλαέ ηϋπ κυ t εαδ θα υπκζκΰδέ η ηγσκυμ ΰθπΫμ απσ β γπλέα πθ πλαΰηαδευθ κζκεζβλπηϊπθ. Θα έθαδ βζαά z t dz f ( zdz ) f( zt ( )) dt dt. z1 t1 πκζζϋμ πλδπυδμ αυά β ηκθαδεά παλϊηλκμ t ηπκλέ θα αυέααδ η εϊπκδα απσ δμ υθαΰηϋθμ κυ z (εαλδαθϋμ ά πκζδεϋμ), σππμ φαέθαδ κ πσηθκ παλϊδΰηα. αα: Έπ β υθϊλββ f(z)=z. Να υπκζκΰδέ κ κζκεζάλπηϊ βμ βθ πλέππβ πκυ λσηκμ κζκεζάλπβμ έθαδ: (α) κ βηδετεζδκ εϋθλκυ ηβϋθ εαδ αεέθαμ, (ί) κ υγτΰλαηηκ ηάηα πκυ θυθδ α βηέα z 1 = εαδ z =+i. i βθ πλέππβ (α) ίκζτδ θα ξλβδηκπκδάδ εαθέμ πκζδεϋμ υθαΰηϋθμ, z e, εαγυμ δμ υθαΰηϋθμ αυϋμ κ λσηκμ κζκεζάλπβμ ηπκλέ θα εφλαέ ηϋπ ησθκ βμ ηαίζβάμ γ. i Σκ z βζαά πϊθπ κ λσηκ κζκεζάλπβμ γα ΰλΪφαδ z e, η λ=αγ.=, βζαά z z1 i i i ( ) ( ) f z dz e d e i e d, λ=. βθ πλέππβ (ί) κ λσηκμ κζκεζάλπβμ ηπκλέ θα εφλαέ ηϋπ ησθκ βμ παλαηϋλκυ x (ά y), εαγυμ πϊθπ κ λσηκ y=x. Σκ κζκεζάλπηα βζαά γα πϊλδ β ηκλφά z z1 x. f ( zdz ) ( xixdx ) ( ix) (1 i) xdx(1 i) (1 i)

7 Ε Εφαα αα γα υ 6 πσ κ παλαπϊθπ παλϊδΰηα ηπκλέ τεκζα θα δαπδυδ εαθέμ σδ z z1 f ( zdz ) f( zdz ). z1 z αα: Έπ β υθϊλββ f(z)=1/z. Να υπκζκΰδέ κ κζκεζάλπηϊ βμ βθ πλέππβ πκυ λσηκμ κζκεζάλπβμ,, έθαδ κ ετεζκμ εϋθλκυ ηβϋθ εαδ αεέθαμ R. Χλβδηκπκδυθαμ β δαδεαέα κυ πλκβΰκτηθκυ παλαέΰηακμ, πλέππβ (α), ηπκλέ τεκζα θα δξγέ σδ i i Re 1 1 f ( zdz ) dz dre ( ) i d i z. Σκ τηίκζκ βζυθδ κζκεζάλπβ εζδσ λσηκ κ κπκέκμ δαλϋξαδ εαϊ β γδεά φκλϊ (Θδεά φκλϊ, εαϊ τηίαβ, γπλέαδ β φκλϊ β αθέγβ πθ δευθ λκζκΰδκτ.) Παλαβλά σδ κ κζκεζάλπηα έθαδ αθιϊλβκ βμ αεέθαμ κυ λσηκυ. Παλαβλά πέβμ σδ αθ δαλϋικυη κ λσηκ εαϊ βθ αθέγβ φκλϊ κ κζκεζάλπηα αζζϊαδ πλσβηκ. Σα κζκεζβλυηαα α παλαπϊθπ παλαέΰηαα υπκζκΰέβεαθ τεκζα η αζζαΰά ηαίζβάμ εαδ αθαΰπΰά πλαΰηαδεϊ κζκεζβλυηαα. πλδπυδμ πδκ τθγπθ κζκεζβλπηϊπθ σηπμ (σπκυ έ β πλκμ κζκεζάλπβ υθϊλββ έθαδ πδκ τθγβ έ κ λσηκμ κζκεζάλπβμ θ έθαδ απζά εαηπτζβ), β παλαπϊθπ δαδεαέα θ έθαδ τεκζβ βθ φαληκΰά βμ ά ηπκλέ θα κβΰέ τθγα πλαΰηαδεϊ κζκεζβλυηαα. β υθϋξδα, γα αθαφϋλκυη κλδηϋθα ίαδεϊ γπλάηαα βμ ηδΰαδεάμ αθϊζυβμ πκυ ηαμ ίκβγκτθ θα απκφτΰκυη βθ παλαπϊθπ δαδεαέα εαδ εϊθκυθ κθ υπκζκΰδησ ηδΰαδευθ κζκεζβλπηϊπθ εζδκτμ λσηκυμ ιαδλδεϊ απζσ. Σα γπλάηαα αυϊ υθδκτθ α γηϋζδα κυ εζϊκυ βμ ηδΰαδεάμ κζκεζάλπβμ, ΰθπάμ πμ Λκΰδησμ πθ Τπκζκέππθ. α ωαα οο ω Υποοπω Θα Cauhy: θ ηδα υθϊλββ f(z) έθαδ αθαζυδεά ηϋα εαδ πϊθπ κθ εζδσ λσηκ, σ f( z) dz. (7) θ κ λσηκμ θ έθαδ εζδσμ σ κ κζκεζάλπηα ιαλϊαδ ησθκ απσ α Ϊελα κυ λσηκυ εαδ έθαδ αθιϊλβκ βμ δαλκηάμ. Σκ γυλβηα κυ Cauhy ηπκλέ θα ξλβδηκπκδβγέ σξδ ησθκ ΰδα κθ υπκζκΰδησ κζκεζβλπηϊπθ πκυ έθαδ αθαζυδεϋμ παθκτ ηϋα ηδα πλδκξά, αζζϊ εαδ ΰδα κθ υπκζκΰδησ κζκεζβλπηϊπθ η ππλαηϋθκυμ πσζκυμ β πλδκξά αυά. β τλβ πλέππβ ηπκλέ θα ξλβδηκπκδβγέ ΰδα θα απζκπκδάδ βηαθδεϊ κ λσηκ κζκεζάλπβμ, ηϋπ ηδαμ δαδεαέαμ ΰθπάμ πμ παλαησλφπβ κυ λσηκυ κζκεζάλπβμ, βθ κπκέα πλδΰλϊφκυη αηϋπμ παλαεϊπ. ααφω υ ω: Έπ ηδα υθϊλββ f(z) αθαζυδεά ηϋα εαδ πϊθπ κθ εζδσ λσηκ κυ ξάηακμ 3, εσμ απσ κ βηέκ z κ κπκέκ β υθϊλββ Ϋξδ πσζκ. Χλβδηκπκδυθαμ κ γυλβηα κυ Cauhy ηπκλέ τεκζα θα δξγέ σδ κ κζκεζάλπηα βμ f πϊθπ κθ δκταδ η κ κζκεζάλπηϊ βμ πϊθπ κθ ετεζκ Γ η εϋθλκ κθ πσζκ z. Γδα θα κ έικυη αυσ παλαηκλφυθκυη κ λσηκ κζκεζάλπβμ σππμ φαέθαδ κ ξ. 3, πβΰαέθκθαμ απσ κθ αλξδεσ εζδσ λσηκ : A κθ πδκ τθγκ εζδσ λσηκ : κ κπκέκμ πλδεζέδ β ΰλαηηκεδαηΫθβ πλδκξά. τηφπθα η κ γυλβηα κυ Cauhy κ

8 Ε Εφαα αα γα υ 7 κζκεζάλπηα βμ f κθ έθαδ ηβϋθ, αφκτ β υθϊλββ θ Ϋξδ πσζκυμ βθ πλδκξά κζκεζάλπβμ. Όηπμ ' A'' f ( zdz ) f( zdz ) f( zdz ) f( zdz ) f( zdz ) =. A' κ σλδκ πκυ α υγτΰλαηηα ηάηαα εαδ υηπέπκυθ, β παλαπϊθπ ξϋβ κβΰέ βθ f ( zdz ) f( zdz ). Έδ κ κζκεζάλπηα βμ f β τθγβ εαηπτζβ αθϊΰαδ κζκεζάλπηα πϊθπ ηδα πκζτ απζκτλβ εαηπτζβ, κθ ετεζκ Γ. βθ πλέππβ πκυ β αεέθα κυ ετεζκυ Γ έθδ κ ηβϋθ κ κζκεζάλπηα βμ f πϊθπ κθ Γ δαδληϋθκ η πi έθδ Ϋθαθ αλδγησ πκυ κθκηϊααδ κζκεζβλπδεσ υπσζκδπκ βμ f πϊθπ κθ πσζκ z. A A''' ξ. 3: Μ παλαησλφπβ κυ λσηκυ κζκεζάλπβμ (κ εζδσμ λσηκμ : A A παλαηκλφυθαδ κ λσηκ : ) εαδ ξλβδηκπκδυθαμ κ γυλβηα κυ Cauhy ηπκλέ τεκζα θα δξγέ σδ κ κζκεζάλπηα ηδαμ υθϊλββμ f πϊθπ βθ εζδά εαηπτζβ, ηϋα βθ κπκέα β f Ϋξδ πσζκ κ z δκταδ η κ κζκεζάλπηα βμ f πϊθπ κθ ετεζκ Γ. Σκ κζκεζάλπηα αυσ, κ σλδκ πκυ r δκταδ η πi πέ κ κζκεζβλπδεσ υπσζκδπκ βμ f. βζαά κ ω υππ ηδαμ υθϊλββμ f(z) πϊθπ Ϋθαθ πσζκ z, κ κπκέκ υηίκζέααδ η Res f ( z), κλέααδ πμ zz 1 Res f ( z) f( z) dz zz i, (8) σπκυ κ ΰ έθαδ ετεζκμ απδλκϊ ηδελάμ αεέθαμ η εϋθλκ κ z. τηφπθα η α παλαπϊθπ (ίζ. πέβμ ξ. 3) κ κζκεζάλπηα ηδαμ υθϊλββμ κπκδαάπκ εζδά εαηπτζβ,, βθ κπκέα β υθϊλββ Ϋξδ Ϋθαθ πσζκ, Ϋπ κ z, δκταδ η πi πέ κ κζκεζβλπδεσ υπσζκδπκ βμ υθϊλββμ πϊθπ κθ πσζκ. Ιξτδ βζαά σδ f ( zdz ) ires f( z). (9) zz Σκ κζκεζβλπδεσ αυσ υπσζκδπκ βθ πλέππβ απζκτ πσζκυ ηπκλέ θα υπκζκΰδέ τεκζα ξλβδηκπκδυθαμ κ παλαεϊπ γυλβηα/τπκ, ΰθπσ πμ κζκεζβλπδεσ τπκ κυ Cauhy. g( z) ω π υ Cauhy: Έπ β υθϊλββ f( z) z z η g(z) αθαζυδεά ηϋα εαδ πϊθπ εζδσ λσηκ κ κπκέκμ πλδεζέδ κ βηέκ z. Σσ gz ( ) dz ig ( z ). (1) z z

9 Ε Εφαα αα γα υ 8 Ο τπκμ κυ Cauhy ηαμ ίκβγϊδ θα υπκζκΰέκυη κζκεζβλυηαα υθαλάπθ η Ϋθαθ απζσ g( z) πσζκ βθ πλδκξά κζκεζάλπβμ. ΠλΪΰηαδ, β f( z) z z Ϋξδ απζσ πσζκ κ βηέκ z. εφλϊακθαμ κθ τπκ κυ Cauhy ηϋπ βμ f, παέλθκυη gz ( ) f ( zdz ) dz ig( z) ilim[ f( z)( zz)] z z zz. (11) θδπαλαίϊζζκθαμ κυμ τπκυμ (9) εαδ (11), ηπκλέ εαθέμ θα δ τεκζα σδ βθ πλέππβ απζκτ πσζκυ (πσζκυ Ϊιβμ 1) δξτδ Res f ( z) lim[ f( z)( z z )]. (1) zz zz Ο τπκμ (1) έθδ Ϋθαθ τεκζκ λσπκ υπκζκΰδηκτ κυ κζκεζβλπδεκτ υπκζκέπκυ υθϊλββμ πσζκ πλυβμ Ϊιβμ, Ϊλα εαδ κυ κζκεζβλυηακμ υθϊλββμ εζδά δαλκηά πκυ πλδεζέδ κθ πσζκ. Εφαγ: Τπκζκΰέ ξλβδηκπκδυθαμ α παλαπϊθπ γπλάηαα κ κζκεζάλπηα βμ f(z)=e z /z εαϊ ηάεκμ εζδάμ δαλκηάμ πκυ (α) πλδεζέδ κ ηβϋθ, (ί) θ πλδεζέδ κ ηβϋθ. θαδαϊκθαμ κθ τπκ κυ Cauhy πμ εαδ παλαΰπΰέακθαμ πμ πλκμ w παέλθκυη 1 gz ( ) g( w) dz i z w dg( w) 1 d g( z) 1 d 1 1 g( z) dw i dw z w i dw z w i ( z w) dz dzg( z) dz. Παλαΰπΰέακθαμ n φκλϋμ εααζάΰκυη κθ π πααγγυ υ Cauhy n! g( z). (13) ( n) g ( z) dz n 1 i ( z z) Ο τπκμ αυσμ ηαμ ίκβγϊδ θα υπκζκΰέκυη κ κζκεζβλπδεσ υπσζκδπκ υθϊλββμ πσζκ κπκδαάπκ Ϊιβμ ηϋα βθ πλδκξά κζκεζάλπβμ. ΠλΪΰηαδ, Ϋπ β υθϊλββ f η πσζκ n Ϊιβμ κ βηέκ z. Η υθϊλββ σ γα ΰλΪφαδ g( z) f( z), ( z z ) n σπκυ β g(z) έθαδ αθαζυδεά κ z εαδ ΰτλπ απσ αυσ. Σσ κ κζκεζάλπηα βμ υθϊλββμ ετεζκ γ απδλκάμ αεέθαμ η εϋθλκ κ z (πκυ έθαδ ι κλδηκτ έκ η πi Res f ( z) ) γα ΰλΪφαδ 1 gz ( ) i i d f z dz i f z dz g z f z z z n1 ( n1) n ( ) Res ( ) ( ) lim [ ( )( 1 ) ] zz n n i ( z z ) ( n 1)! ( n 1)! zz dz, (14) Ϊλα κ κζκεζβλπδεσ υπσζκδπκ πσζκ Ϊιβμ n γα έαδ απσ κθ τπκ zz

10 Ε Εφαα αα γα υ 9 Γδα n=1 κ τπκμ (15) εααζάΰδ κθ (1). n1 1 d n Res f( z) lim [ f( z)( zz 1 ) ]. (15) zz n ( n 1)! zz dz Έξκθαμ υπκζκΰέδ κ κζκεζβλπδεσ υπσζκδπκ υθϊλββμ πσζκ υξαέαμ Ϊιβμ, ηπκλκτη θα πλκξπλάκυη κ γυλβηα πθ υπκζκέππθ, κ κπκέκ απκζέ ΰθέευβ κυ τπκυ (9) εαδ έθαδ κ πδϋΰαηα κυ ζκΰδηκτ πθ Τπκζκέππθ. Θώα Υποοπω: Έπ ηδα υθϊλββ f αθαζυδεά ηϋα εαδ πϊθπ εζδσ λσηκ, εσμ απσ ππλαηϋθκ αλδγησ πσζπθ α βηέα z k, k=1, n, πκυ πλδεζέκθαδ απσ κθ λσηκ (εαδ θ έθαδ πϊθπ κθ ). Σσ κ κζκεζάλπηα βμ υθϊλββμ f πϊθπ κθ λσηκ γα έθαδ απσ κθ τπκ n f ( zdz ) i Res f( z). (16) zz k 1 k Σα κζκεζβλπδεϊ υπσζκδπα κθ τπκ (16) υπκζκΰέακθαδ ηϋπ βμ ξϋβμ (15). (χ: Μσθκ κδ πσζκδ πκυ ίλέεκθαδ ηϋα βθ πλδκξά κζκεζάλπβμ υθδφϋλκυθ κ κζκεζάλπηα κυ τπκυ (16).) Εφαγ: Χλβδηκπκδά κ ζκΰδησ πθ υπκζκέππθ ΰδα θα υπκζκΰέ α κζκεζβλυηαα πθ παλαεϊπ υθαλάπθ, σαθ κ λσηκμ κζκεζάλπβμ,, έθαδ κ ετεζκμ εϋθλκυ ηβϋθ εαδ αεέθαμ 3. z e ( z1)( zi) z, ( z i) ( z 4), iz z z, e. ( z 4) ( 1) Υποο παα οοωω α οοω Σα παλαπϊθπ γπλάηαα εϊθκυθ κθ υπκζκΰδησ ηδΰαδευθ κζκεζβλπηϊπθ εζδκτμ λσηκυμ πλσίζβηα ξδεϊ λδηηϋθκ. Η πλαΰηαδεά τθαηβ σηπμ κυ ζκΰδηκτ πθ υπκζκέππθ Ϋΰεδαδ σξδ ησθκ κ σδ πλκφϋλδ Ϋθαθ τεκζκ λσπκ υπκζκΰδηκτ ηδΰαδευθ κζκεζβλπηϊπθ αζζϊ εαδ κ σδ ηπκλέ θα ξλβδηκπκδβγέ εαδ ΰδα κθ υπκζκΰδησ εϊπκδπθ πλαΰηαδευθ κζκεζβλπηϊπθ κ κπκέκμ έθαδ πκζτ τεκζκ (εαδ κλδηϋθμ πλδπυδμ ατθακθ) θα ΰέθδ η Ϊζζμ ηγσκυμ. Καβΰκλέμ πλαΰηαδευθ κζκεζβλπηϊπθ πκυ υπκζκΰέακθαδ τεκζα ηϋπ κυ ζκΰδηκτ πθ υπκζκέππθ έθαδ κδ ιάμ:. Οζκεζβλυηαα λδΰπθκηλδευθ υθαλάπθ, βμ ηκλφάμ F(sin,os ) d, F λβά υθϊλββ.. Οζκεζβλυηαα η Ϊπδλα σλδα, βμ ηκλφάμ iax e R( x) dx, σπκυ α πλαΰηαδεσμ αλδγησμ εαδ R(x) λβά υθϊλββ κυ x.

11 Ε Εφαα αα γα υ 1 β υθϋξδα γα αθαπτικυη κθ λσπκ υπκζκΰδηκτ πθ παλαπϊθπ εαβΰκλδυθ κζκεζβλπηϊπθ.. Οοώαα γωοώ υαω οφ Σα κζκεζβλυηαα βμ ηκλφάμ F(sin,os ) d. F(sin,os ) d, σπκυ β F έθαδ λβά υθϊλββ κυ βηδσθκυ ά/εαδ κυ υθβηδσθκυ αθδηππέακθαδ η βμ ιάμ αζζαΰά ηαίζβάμ: z=e i. Σσ, os ( z1/ z)/, sin ( z 1/ z)/i (απκδεθτκθαδ τεκζα ξλβδηκπκδυθαμ κθ τπκ κυ Euler), dz izd, εαδ κ λσηκμ κζκεζάλπβμ ΰέθαδ κ ετεζκμ εϋθλκυ ηβϋθ εαδ αεέθαμ 1 (ηκθαδαέκμ ετεζκμ). Σκ κζκεζάλπηα Ϋδ ηαλϋπαδ Ϋθα ηδΰαδεσ κζκεζάλπηα εζδσ λσηκ, κ κπκέκ υπκζκΰέααδ τεκζα η κ γυλβηα πθ Τπκζκέππθ. Εφαγ: Χλβδηκπκδά ηδΰαδεά κζκεζάλπβ ΰδα θα υπκζκΰέ α ιάμ κζκεζβλυηαα:. Οοώαα άπα όα 1 5 3sin d, os d. 5 4os Όππμ αθαφϋλγβε εαδ θπλέλα, κ ζκΰδησμ πθ υπκζκέππθ ξλβδηκπκδέαδ η πδυξέα κθ iax υπκζκΰδησ κζκεζβλπηϊπθ η Ϊπδλα σλδα, βμ ηκλφάμ e R( x) dx, σπκυ β R έθαδ λβά υθϊλββ κυ x εαδ κ a πλαΰηαδεσμ αλδγησμ. Πλκκτ αθαφϋλκυη β υΰεελδηϋθβ ηκλφά βμ υθϊλββμ R εαδ κθ λσπκ υπκζκΰδηκτ πθ κζκεζβλπηϊπθ αυυθ ξλδϊααδ θα ΰέθκυθ εααθκβϊ α ιάμ: Γδα ηδα υξαέα υθϊλββ f(x) δξτκυθ: r. i) f ( xdx ) lim f ( xdx ) r r ξ. 4: Κζδκέ λσηκδ κζκεζάλπβμ πκυ ξλβδηκπκδκτθαδ κθ υπκζκΰδησ πλαΰηαδευθ κζκεζβλπηϊπθ η Ϊπδλα σλδα. ii) θ πεέθκυη β υθϊλββ f(x) κ ηδΰαδεσ πέπκ, βζαά xz, f(x)f(z), εαδ γπλάκυη κθ εζδσ λσηκ (Ϋπ ) κυ ξάηακμ 4, κ κπκέκμ υθέααδ απσ κ υγτΰλαηηκ ηάηα (ά (-r, +r)) εαδ βθ βηδπλδφϋλδα Γ 1 (r), σ r f ( zdz ) f ( zdz ) f ( zdz ) f ( xdx ) f ( zdz ). (17) r 1 r 1 r (Σκ ιδσ ηϋζκμ βμ παλαπϊθπ δσβαμ πλκετπδ ζαηίϊθκθαμ υπσοβ σδ πϊθπ κθ πλαΰηαδεσ Ϊικθα, σπκυ y=, δξτδ z=x+iy=x εαδ dz=dx.) θ κ κζκεζάλπηα πϊθπ βθ βηδπλδφϋλδα Γ 1 (r) ηβθέααδ κ σλδκ πκυ r έθδ κ Ϊπδλκ, σ κ σλδκ αυσ f ( zdz ) f( xdx ). βζαά κ

12 Ε Εφαα αα γα υ 11 πλαΰηαδεσ κζκεζάλπηα πκυ αβϊη δκταδ η κ αθέκδξκ ηδΰαδεσ κζκεζάλπηα βθ εζδά εαηπτζβ η αεέθα πκυ έθδ κ Ϊπδλκ, κ κπκέκ υπκζκΰέααδ τεκζα η κ γυλβηα πθ Τπκζκέππθ. iaz Γδα υθαλάδμ βμ ηκλφάμ f ( z) e R( z) δμ υθγάεμ ΰδα θα ηβθέααδ κ κζκεζάλπηα πϊθπ βηδπλδφϋλδμ Ϊπδλβμ αεέθαμ σππμ κδ Γ 1 εαδ Γ κυ ξ. 4 ηαμ δμ έθδ κ ζάηηα Jordan: α Jordan. Έπ β λβά υθϊλββ R(z) β κπκέα έθαδ αθαζυδεά παθκτ εσμ απσ ππλαηϋθκ αλδγησ πσζπθ. Σσ: 1. θ zr( z) σ Rzdz ( ), σπκυ Γ έθαδ έ κ Ϊθπ έ κ εϊπ z βηδετεζδκ κυ ξ. 4. r iaz. θ Rz ( ) σ ( ) z e R z dz, σπκυ Γ έθαδ κ Ϊθπ βηδετεζδκ κυ ξ. 4 r (Γ 1 ) αθ a> εαδ κ εϊπ βηδετεζδκ (Γ ) αθ a<. iax Έδ, ΰδα κζκεζβλυηαα βμ ηκλφάμ e R( x) dx β δαδεαέα υπκζκΰδηκτ ηπκλέ θα υθκοδέ α ιάμ ίάηαα: iax 1. πεέθκυη β υθϊλββ e R( x ) κ ηδΰαδεσ πέπκ, βζαά γπλκτη β iaz υθϊλββ e R( z ).. ιϊακυη αθ εαδ ΰδα πκδκ βηδετεζδκ δξτκυθ κδ πλκςπκγϋδμ κυ ζάηηακμ Jordan («εαϊζζβζκ» βηδετεζδκ). 3. ΚααευΪακυη κθ εζδσ λσηκ κζκεζάλπβμ,, πκυ υθέααδ απσ κθ πλαΰηαδεσ Ϊικθα εαδ κ εαϊζζβζκ βηδετεζδκ. Σσ, κ σλδκ πκυ β αεέθα κυ βηδευεζέκυ έθδ κ Ϊπδλκ γα δξτδ iax iaz e R( x) dx e R( z) dz. (18) Σκ ζυαέκ κζκεζάλπηα έθαδ κζκεζάλπηα ηδΰαδεάμ υθϊλββμ εζδσ λσηκ, κ κπκέκ ηπκλέ θα υπκζκΰδέ τεκζα η ξλάβ κυ γπλάηακμ πθ Τπκζκέππθ. Εφαγ: Χλβδηκπκδά ηδΰαδεά κζκεζάλπβ ΰδα θα υπκζκΰέ α ιάμ κζκεζβλυηαα: ix e dx, x 4 x ix π: Παλαβλά σδ os( x) Re( e ). os( x) 1 dx, 4 x 4 dx, ix e dx. x 4 Ε ππω: αα πυ παγα α

13 Ε Εφαα αα γα υ 1 Έπ ηδα υθϊλββ f(x) βμ κπκέαμ β ηδΰαδεά πϋεαβ, f(z), δεαθκπκδέ δμ υθγάεμ κυ ζάηηακμ Jordan, β υθϊλββ σηπμ Ϋξδ πσζκ, Ϋπ z, πϊθπ κθ πλαΰηαδεσ Ϊικθα. Σσ κ κζκεζάλπηα, f ( xdx ), κ κπκέκ θ ΰΫθδ θ κλέααδ (έθαδ απλκδσλδβ ηκλφά), κλέααδ ηϋπ κυ κλέκυ lim[ z ( ) f xdx f ( xdx ) ] z. Σκ σλδκ αυσ κθκηϊααδ α (prinipal value) υ α f ( xdx ) εαδ υηίκζέααδ η κ εφαζαέκ ΰλΪηηα P, βζαά z z. (19) P f( xdx ) lim[ f ( xdx ) f ( xdx ) ] Γδα κθ υπκζκΰδησ βμ ετλδαμ δηάμ κζκεζβλυηακμ υθϊλββμ πκυ Ϋξδ πσζκ κθ πλαΰηαδεσ Ϊικθα εαδ δεαθκπκδέ δμ υθγάεμ κυ ζάηηακμ Jordan αεκζκυγκτη β δαδεαέα πκυ πλδΰλϊφβε θπλέλα, κ λσηκμ κζκεζάλπβμ σηπμ πλδϋξδ ηέα αεσηα παλαησλφπβ, Ϋθα βηδετεζδκ αεέθαμ κ κπκέκ παλαεϊηπδ κθ πσζκ, σππμ φαέθαδ κ ξάηα 5 (ίζ. βηδετεζδκ Γ ). ξ. 5: ΠαλΪεαηοβ (Γ : βηδετεζδκ αεέθαμ ) β κπκέα ξλβδηκπκδέαδ ΰδα κθ υπκζκΰδησ βμ ετλδαμ δηάμ κζκεζβλυηακμ σαθ β υθϊλββ Ϋξδ πσζκ κθ πλαΰηαδεσ Ϊικθα, κ βηέκ z =x. βθ πλέππβ αυά Ϋξκυη f ( zdz ) P f ( xdx ) f ( zdz ), () (Ϋξκυη παλαζέοδ κ κζκεζάλπηα κ βηδετεζδκ Ϊπδλβμ αεέθαμ, κ κπκέκ τηφπθα η κ Λάηηα Jordan έθαδ ηβϋθ). Σκ κζκεζάλπηα κ ηδελσ βηδετεζδκ Γ έθαδ έκ η i Res f ( z) (ηπκλέ θα απκδξγέ τεκζα ηαλϋπκθϊμ κ κζκεζάλπηα πμ πλκμ β ΰπθέα γ, σπκυ γ κ i σλδηα κυ z πϊθπ κ βηδετεζδκ z e - σππμ πλδΰλϊφβε α παλαέΰηαα βθ αλξά κυ παλσθκμ εφαζαέκυ). Άλα P f( xdx ) f ( zdz ) ires f ( z) zz. (1) Σκ κζκεζάλπηα πϊθπ κθ εζδσ λσηκ υπκζκΰέααδ τεκζα η κ γυλβηα πθ υπκζκέππθ. θ β υθϊλββ f θ Ϋξδ πσζκυμ ηϋα κ λσηκ κζκεζάλπβμ σ κ κζκεζάλπηα αυσ έθαδ έκ η ηβϋθ, τηφπθα η κ γυλβηα κυ Cauhy, εαδ β ετλδα δηά κυ αλξδεκτ ηαμ κζκεζβλυηακμ δκταδ η i Res f ( z). zz βηδυ σδ κ ξ. 5 ηπκλέ θα παλαεϊηο κθ πσζκ έ η κ πϊθπ έ η κ εϊπ βηδετεζδκ απδλκάμ αεέθαμ η εϋθλκ κθ πσζκ. Σκ απκϋζηα σκθ αφκλϊ βθ ετλδα δηά γα πλϋπδ θα έθαδ κ έδκ εαδ δμ τκ πλδπυδμ. zz

14 Ε Εφαα αα γα υ 13 Εφαγ: Τπκζκΰέ βθ ετλδα δηά πθ κζκεζβλπηϊπθ απσ - + πθ ιάμ υθαλάπθ: α f( x) ix 1 e, f( x). x x 1 Έπ ηδα υθϊλββ f(z) αθαζυδεά ηδα πλδκξά κυ ηδΰαδεκτ πδπϋκυ πκυ πλδϋξδ Ϋθα βηέκ z. Σσ ΰδα εϊγ βηέκ z βμ πλδκξάμ αυάμ β υθϊλββ ηπκλέ θα ΰλαφέ ηκλφά Ϊπδλβμ υθαηκδλϊμ η εϋθλκ κ z, πμ ιάμ: n. () n f ( z) a ( z z ) n Οδ υθζϋμ a n, κδ κπκέκδ ιαλυθαδ απσ κ βηέκ z, Ϋξκυθ β ηκλφά f ( z ) n! ( n) n n( ), (3) a a z ( n) σπκυ κ τηίκζκ f ( z ) υηίκζέαδ βθ παλϊΰπΰκ Ϊιβμ n βμ f κ βηέκ z. Η δλϊ () η υθζϋμ a n κδ κπκέκδ έθκθαδ απσ β ξϋβ (3) κθκηϊααδ απυγα Taylor βμ υθϊλββμ f(z) ΰτλπ απσ κ βηέκ z. Η δλϊ β κπκέα απκζέ κ αθϊπυΰηα Taylor ηδαμ υθϊλββμ ΰτλπ απσ Ϋθα βηέκ z έθαδ ηκθαδεά εαδ υΰεζέθδ β υθϊλββ (δκταδ η β υθϊλββ ά αθαπαλδϊ β υθϊλββ) f(z) ΰδα σζα α z α κπκέα απϋξκυθ απσ κ z ζδΰσλκ απσ σκ απϋξδ απσ κ z κ εκθδθσλσ κυ αθυηαζκ βηέκ βμ f. Η απσαβ κυ z απσ κ εκθδθσλσ κυ αθυηαζκ βηέκ κθκηϊααδ αεέθα τΰεζδβμ βμ δλϊμ. Παλαβλά σδ ΰδα α z πκυ ίλέεκθαδ πκζτ εκθϊ κ z αλεκτθ ησθκ κδ -3 πλυκδ σλκδ βμ δλϊμ Taylor ΰδα θα πλκΰΰέκυθ β υθϊλββ, αφκτ σλκδ βμ ηκλφάμ ( z z) n ΰέθκθαδ κζκϋθα εαδ ηδελσλκδ εαγυμ αυιϊθαδ κ n. Έδ β δλϊ Taylor βθ κπκέα ελακτθαδ ησθκ κδ ζέΰκδ πλυκδ σλκδ ηπκλέ θα ξλβδηκπκδβγέ αθ ηδα δεαθκπκδβδεά εαδ πλσφκλβ ΰδα αθϊζυβ πλκϋΰΰδβ βμ υθϊλββμ. Εφαγ: Τπκζκΰέ κυμ Ϋλδμ πλυκυμ σλκυμ κυ αθαπτΰηακμ Taylor πθ υθαλάπθ e iz εαδ os(z) ΰτλπ απσ κ z =. Μζυθαμ αθαπτΰηαα υθαλάπθ ΰτλπ απσ κηαζϊ βηέα, έγαδ τζκΰα κ λυβηα: Σδ ΰέθαδ αθ κ βηέκ z θ έθαδ κηαζσ βηέκ αζζϊ αθυηαζκ βηέκ βμ f(z) (π.ξ. πσζκμ); Μπκλέ εαδ πϊζδ β f(z) ΰλαφέ ηκλφά υθαηκδλϊμ ΰτλπ απσ κ z ; Η απϊθββ έθαδ θαδ, εαδ ηπκλέ θα δαπδπγέ, π.ξ., ΰδα β υθϊλββ f(z)=e z /z αθαπτκθαμ δλϊ Taylor κθ αλδγηβά εαδ πκζζαπζαδϊακθαμ η 1/z. Η δαφκλϊ υ έθαδ σδ β δλϊ πλδϋξδ εαδ αλθβδεϋμ υθϊηδμ κυ z. ΣΫκδμ δλϋμ πκυ απκζκτθ αθαπτΰηαα υθαλάπθ ΰτλπ απσ αθυηαζα βηέα εαδ πλδϋξκυθ εαδ αλθβδεϋμ υθϊηδμ κθκηϊακθαδ Laurent. Οδ δλϋμ Laurent βζαά έθαδ θ ΰΫθδ δλϋμ βμ ηκλφάμ

15 Ε Εφαα αα γα υ 14 σπκυ κ z έθαδ πσζκμ βμ υθϊλββμ f(z). n, (4) n f ( z) a ( z z ) n Γδα θα πλκδκλέδ εαθέμ κυμ υθζϋμ κυ αθαπτΰηακμ Laurent ηδαμ υθϊλββμ αλεέ θα γπλάδ κθ τπκ (3) ΰδα κυμ υθζϋμ Taylor, υθυαηϋθκ η κθ τπκ βμ παλαΰυΰκυ κυ Cauhy (ι. (13)), παέλθκθαμ ( ) n! f( z), (5) ( n) f z dz n 1 i ( z z) 1 f( z) a a ( z ) dz. (6) n n n1 i ( z z) Η ξϋβ (6), σπκυ κ κζκεζάλπηα υπκζκΰέααδ εζδσ λσηκ πκυ πλδεζέδ κ βηέκ z (αζζϊ σξδ Ϊζζκ αθυηαζκ βηέκ βμ υθϊλββμ f), δξτδ σκ ΰδα γδεϋμ σκ εαδ ΰδα αλθβδεϋμ δηϋμ κυ n, εαδ έθδ Ϋθαθ θδαέκ τπκ ΰδα βθ αθαπαλϊαβ πθ υθζυθ κυ αθαπτΰηακμ σκ Taylor σκ εαδ Laurent. Παλαβλά σδ κ σλκμ a -1 κυ αθαπτΰηακμ Laurent δκταδ η κ κζκεζάλπηα βμ υθϊλββμ ΰτλπ απσ κθ πσζκ δαδληϋθκ η πi, κ κπκέκ ι κλδηκτ έθαδ έκ η κ κζκεζβλπδεσ υπσζκδπκ βμ f κ z, βζαά Η ξϋβ (7), βζ. κζκεζβλπδεκτ υπκζκέπκυ. 1 a 1 f ( zdz ) Res f ( z). (7) zz i zz a 1 Res f ( z), ξλβδηκπκδέαδ πμ Ϋθαμ Ϊζζκμ, δκτθαηκμ κλδησμ κυ Εφαγ: Τπκζκΰέ κυμ Ϋλδμ πλυκυμ σλκυμ κυ αθαπτΰηακμ Laurent πθ υθαλάπθ e iz /z, εαδ e iz /z ΰτλπ απσ κ z =. θ εαδ β ξϋβ (6) απκζέ ηδα εκηοά εαδ θδαέα αθαπαλϊαβ πθ υθζυθ πθ δλυθ Taylor εαδ Laurent, δμ πλδσλμ φκλϋμ θ ξλβδηκπκδέαδ βθ πλϊιβ. βθ πλϊιβ, ΰδα βθ αθϊπυιβ ηδαμ υθϊλββμ f(z) δλϊ Laurent ΰτλπ απσ Ϋθα βηέκ z κ κπκέκ β υθϊλββ Ϋξδ πσζκ Ϊιβμ n, ΰλΪφκυη β υθϊλββ β ηκλφά f ( z) g( z)/( z z) n, σπκυ β g(z) έθαδ αθαζυδεά κ z, εαδ αθαπτκυη εαϊ Taylor βθ g(z) (ξλβδηκπκδυθαμ δμ ξϋδμ () εαδ (3)). Η δλϊ Laurent βμ f(z) πλκετπδ τεκζα πκζζαπζαδϊακθαμ β δλϊ Taylor βμ g(z) η 1/(z-z ) n.

16 Σηώαα Σηωα ααφοά Copyright απ Κ, Μαα Καφέ «φαα Μααέ Μα υ»έ Έμ 1έίέ Η βί1ηέ α απ υα υμ Σηωα Αοόηη πα υ αα υ υ α χ Creative Commons αφ, Μ π Χ, Όχ α Έ ζέί [1] α, Έέ αα α αυ α πέχέ φαφ, ααα έέπέ, α πα πχα αυ α α πα ααφα α υ υ χ υ «α Χ Έ»έ [1] Ω Μη πο α χμ πυ πα φ απ χ υ υ, α αα υ υ α αχ πυ πα υαα ππ α χ πα πυ ππ αα υ υ α αχ φ (πέχέ αφ) απ π υ υ αυα π αχ π α παχ αχ χ α α χπ α π χ, φ αυ υ έ αηη Σηωάω παπ ααπαα αυ υ υ α ππ α υπαμ α αφ α α

17 α υ υυυ υπυυέ Χηαοόηη πα παυ υ χ ααπυχ α παα υ παυ υ υ αέ «αα Μααα απ Κ» χ χα αααφ υ παυ υέ υπα πα υ πχα α «παυ α α υ Μ» α υχαα απ υπα Έ (υπα Κ α) α απ πυέ