Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a

Transcript

1 Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a VII-a. Fie în exteriorul triunghiului ascuţitunghic ABC, triunghiurile dreptunghice ABP şi ACT cu ipotenuzele (AB) şi (AC). Dacă unghiurile PAB şi TCA sunt complementare iar M este mijlocul lui (BC), să se arate că (PM) (MT).. Arătați că ecuația x 67 y 00 are o infinitate de soluții în mulțimea numerelor întregi. (G.M.) 3. Fie A o mulțime cu 0 elemente. Să se arate că există B {x, x,..., x00 } A, astfel 005 încât: 005! ( x x ) ( x3 x4 )...( x009 x00 ). (*) Notă Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 0 la 7. În situație de egalitate problema notată cu (*) este considerată de departajare.

2 Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a VIII-a. Fie trapezul ABCD cu AB CD şi AB CD. Dacă M este mijlocul lui [AB], N este mijlocul lui [BC], AN DM { P} şi AN CM { T }, determinaţi valoarea raportului dintre aria triunghiului MPT şi a trapezului ABCD.. Determinați n pentru care numărul 4n este rațional. n 5 (*) 3. Să se arate că: xy x y 5 > 0, oricare ar fi x, y (,3). (G.M.) Notă Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 0 la 7. În situație de egalitate problema notată cu (*) este considerată de departajare.

3 Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a IX-a. Fie dreptunghiurile ABCD şi ABEF în plane diferite cu FB BC şi triunghiul AEC este echilateral cu AC a. Să se determine: a) măsura unghiului dintre dreptele FB şi EC; b) distanţa de la punctul B la planul AEC.. Să se demonstreze inegalitatea: oricare ar fi x, y, z > 0. x y z, ( x y )( x z ) ( y z )( y x) ( z x)( z y) 3 (G.M.) 3. Să se rezolve ecuația: x x x x x x x x [ ] partea întreagă, {} partea fracționară Notă Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 0 la 7. În situație de egalitate problema notată cu (*) este considerată de departajare. (*)

4 Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a X-a. Fie z cu z. Arătați că 0z 0z z Fie numerele a, b, c (0,) și x, y, z (0, ) astfel încât a (bc ) x, b (ca) y, și c (ab) z. Să se arate că: x y y z z x (G.M.) 3. Fie numerele reale t, t, t3, t4 4 i astfel încât 0 t < t < t3 < t4 < π 4 și i sin ti 0, cos ti 0. Să se demonstreze că t3 t t4 t π. (*) Notă Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 0 la 7. În situație de egalitate problema notată cu (*) este considerată de departajare.

5 Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a XI-a 0. Fie matricea A M 3 ( ). Rezolvați ecuația X n A, n * Fie α și (an )n, un șir de numere reale pozitive ce verifică simultan următoarele condiții: (i) a (0,) ; * (ii) a n a n a n, ( ) n ; a n, ( ) n *. (iii) a n α a n Să se determine α astfel încât șirul (an ) n să fie convergent. (G.M.)(*) 3. Fie șirul (an ) n, an [ ( p ) x ] [ ( p ) x ]... [ (np ) x ] [ (q ) x ] [ (q ) x ]... [ (nq ) x ] unde x *, an. p, q *, p q iar [ ] reprezintă partea întreagă. Să se calculeze lim n Notă Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 0 la 7. În situație de egalitate problema notată cu (*) este considerată de departajare.

6 Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a XII-a. a) Calculaţi I b) Fie I n In. x n x( x 0 ) dx, unde x > 0. x 0dx, n N, x R. Calculaţi I 0 şi determinaţi o relaţie de recurenţă pentru 6( x y ) 7 xy. Fie G (, ) şi legea de compoziţie x y. Să se arate că : ( x y ) 9 6 xy a) ( ) x, y G x y G. b) (G, ) este grup abelian. 3.Fie ABC, C centrul cercului înscris în ABC, C centrul cercului înscris în ABC. Se continuă procedeul astfel încât Cn este centrul cercului înscris în ABCn. Să se arate că şirul ( Cn ) n este convergent şi să se determine limita sa. (*) Notă Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 0 la 7. În situație de egalitate problema notată cu (*) este considerată de departajare.

7 SOLUȚII CLASA a VII-a. Dacă E şi F sunt mijloacele laturilor (AB) respectiv (AC), avem că AEMF este paralelogram. Întrucât [PE] este mediană în VAPB, (p) atunci ( PE ) ( EA ) ( FM ), la fel [TF] este mediană în VACT şi ( TF ) ( FA ) ( EM ). (p) Dacă unghiurile PAB şi TCA sunt complementare, atunci ( PAB ) ( TAC ). (p) Atunci m ( PEB ) m ( PAB ) m ( CFT ) şi m ( BEM ) m ( BAC ) m ( CFM ). Deci m ( PEM ) m ( TFM ), de unde VPEM VMFT şi (PM) (MT).. Din relația dată rezultă că x M 67 x M 67 Deci x 67 k, k 67 k 67 y k y 30, k deci ecuația are o infinitate de soluții întregi. (p) (p) (p) (p) (p) 3. Din principiul cutiei observăm că printre cele 0 elemente ale lui A există două care aceleși rest la împărțirea prin 00; fie x, x aceste elemente. Deducem că 00 ( x x ) (p) Pe același principiu, printre cele 009 elemente ale mulțimii A {x, x } există două care același rest la împărțirea prin 008; fie x3, x4 aceste elemente. Deducem că 008 ( x3 x4 ) dau (). dau (). (p) Similar, la ultimul pas avem că printre cele 3 elemente ale mulțimii A {x, x,..., x008 } există două cu diferența divizibilă cu, deci ( x009 x00 ) (005). (p) Astfel, înmulțind relațiile (), (), ( ) ( x x ) ( x3 x4 )...( x009 x00 )..,(005) (p) obținem că

8 CLASA a VIII-a. Pentru că M este mijlocul lui [AB] şi AB CD, patrulaterele AMCD şi MBCD sunt paralelograme, (p) cu A[ AMD ] A[ DMC ] A[ MBC ] A[ ABCD]. (p) 3 AM MP Pentru că MP BN avem AMP ~ ABN AB BN BN MP şi DP 3x. (p) MP MT TC MT. Pentru că MP NC avem MTP ~ CTN CN TC MP MT sin ( PMT ) MD MC sin ( PMT ) MD MC sin ( PMT ) A[ MPT ] A A A. (p) [ DMC ] 3 [ ABCD ] 36 [ ABCD ]. Fie a, b cu b nenul și (a,b), astfel încât 4n a. n 5 b (p) b. (p) 4b a Cum n, trebuie ca (4b a ) b, ceea ce împreună cu faptul că (b, 4b a ), implică Atunci a n 5a 4b n b de unde rezultă că : n 5 (4b a ). Mai mult, 4b a este un număr de forma 4k sau 4k3, deci 4b a {,}. (p) Dacă 4b a, obținem b0, ceea ce este imposibil. Deci 4b a, de unde a5, b3, iar n3. (p) 3. Relația dată se scrie ( x )( y ) > 0. (p) Din x (,3) rezultă că < x < x <. Din y (,3) rezultă că < y < y <. (p) Deci 0 < x y <. (p) 0 < ( x ) ( y ) < de unde rezultă concluzia. (p)

9 CLASA a IX-a. Întrucât FB BC şi AB BC avem BC ( ABE ), de unde BC BE. (p) Pentru că triunghiul AEC este echilateral avem AB BE BE BC BC AB AB BC BE a, de unde ABCD şi ABEF sunt pătrate. (p) Pentru că DC FE şi DC EF a, atunci DCEF este dreptunghi şi FD EC. (p) Măsura unghiului m ( FB, EC ) m ( DFB ). 0 Întrucât triunghiul FBD este echilateral m ( FB, EC ) m ( DFB ) 60. (p) Dacă P este mijlocul segmentului [EC] avem EC BP şi EC AB, atunci EC ( ABP ) şi ( AEC ) ( ABP ). (p) Dacă BT AP BT ( AEC ). Pentru că AB BE şi AB BC rezultă AB BP. a a AB BP a 3 (p) Din triunghiul dreptunghic ABP, avem BT AP 3 a 6 x ( x y z ). Aplicând Titu Andriescu:. (3p) ( x y )( x z ) x y z 8( xy yz zx) ( x y z ) Este suficient să demonstrăm că: (p) calcule x y z 8( xy yz zx ) 3 x y z xy yz zx (p) ( x y ) ( y z ) ( z x) 0 (A) (p) x x x 3. x x x x x x x x x x y, [ y ] { y} y x [ y ] ( y [ y ] ) y,, ([ y ] ) ( y [ y ] ) 0, ([ y ] ) ({ y} ) 0, y { y} [0,) Deci [ y ]. x <, x x < x, x x și x x > 0 x Deci x [0, ] (p) (p) (p) (p) (p)

10 CLASA a X-a. 0z 0z (p) z 0z z 0z (p) Se aplică u v u v, ( ) u, v (p) 0z 0z z 0 z 0z 0z z 0 z 0z 0z z 0 0 (3p) logα a logα b logα c, y, z logα b logα c logα c logα a logα a logα b logα a logα b x y logα b logα c logα c logα a. Fie α (0,). Atunci: x (logα a logα b logα c) logα b logα c logα c logα a x y logα a logα b logα c logα b logα c logα c logα a x y logα a logα b logα c (p) (p) (p) logα b logα c logα c logα a a b a b ( ) a, b > 0 Dar: (p) 4 a b a b Avem: log b logα c logα a logα a logα b logα c x y log a log b log c α 4 4 α α α logα a logα b logα c 4 3. Fie Ai (cos ti,sin ti ), i, 4 și vectorii vi OAi. 4 Din ipoteză rezultă că i vi 0 iar vi, i, 4 Fie v v OM 0 și v3 v4 ON 0 cu OM ON 0 (p) [ OAMA ] și [ OA3 NA4 ] sunt romburi cu latura și diagonalele OM și ON în prelungire OA M OA4 N ( L.L.L.) S MOA S NOA4 Cum M-O-N coliniare rezultă A O A4 coliniare deci t4 t π Analog t3 t π v v 0 reducere la (p) (p) (p) (p) (p) (p)

11 absurd. Presupunem v v 0 v3 v4 0 t t π > π, t4 t3 π, t3 > t > π t4 > π contradicție.

12 CLASA a XI-a. X A AX n a b c XA X 0 a 3b 0 0 a b c 0 3b ai 3 B ; I 3 comută cu B 0 0 (p) 0 Dar X ai3 0 0 n X (ai 3 B ) n Cn0 (ai 3 ) n Cn ( ai 3 ) n B Cn (ai 3 ) n B, deoarece B k O3, ( )k 3 n(n ) 3b an 3a n b n 0 a 0 0 3b 0 b c a n 0 a 0 X 0 0 3b X Deci ecuația are soluții dacă și numai dacă n, deci XA. n a Xn 0 0 na n b na n c (p) (p) (p). Din (i) avem 0 < a < Din (ii) pentru n avem a3 a a (a ) < și a3 a ( a ) > 0, a3 > 0 a3 (0,) Prin inducție se demonstrează că (a n ) n șir mărginit( (0,) ) și (p) (p) an an a n an a n ( a n ) > 0 (a n ) n crescător (p) a n l deci (a n ) n convergent deci există lim n l l l l (șir crescător) (ii) a n a n a n a n ( a n ) a n a n relația (iii) obținem a n α a n (an ) convergent lim a n lim a n l α n 3. an n (p) a n și cu (p) α (p) [ ( p ) x ] [ ( p ) x ]... [ (np ) x ] [ (q ) x ] [ (q ) x ]... [ (nq ) x ] Notăm bn [ ( p ) x ] [ ( p ) x ]... [ (np ) x ] și cn [ (q ) x ] [ (q ) x ]... [ ( nq ) x ] ( p ) x < [( p ) x] ( p ) x (np ) x < [( np ) x] (np ) x (p) Se adună relațiile: n(np p ) n(np p ) x n bn x, b np p b np p p x n x lim n (p) n n n n n n

13 cn q n n p an Deci lim n q Analog lim (3p) (p)

14 CLASA A XII A

15

16