CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a

Transcript

1 Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 SUBIECTUL CLASA a IV-a Într-o zi de Duminică, la Salina Turda, a venit un grup de vizitatori, băieți și de două ori mai multe fete. Au intrat în Salină 324 băieți și 400 fete. Numărându-i pe cei de afară s-a constatat că sunt de trei ori mai multe fete decât băieți. Câți elevi au fost la Salina Turda în acel grup? Într-o școală sunt 096 elevi. Arătați că cel puțin patru elevi își serbează ziua de naștere în aceeași zi a anului. (Se va considera anul de 365 de zile). Aflați numărul natural n pentru care suma primelor n numere naturale diferite de 0 este cu 400 mai mică decât suma următoarelor n numere naturale. Doi elevi din clasa a IV-a, Ion si Mihai, colegi de bancă, desenează figuri geometrice. Ion desenează doua pătrate, apoi 4 pătrate, apoi 6 pătrate și așa mai departe, de fiecare dată un număr par. Mihai desenează un triunghi, apoi trei triunghiuri, apoi cinci triunghiuri și așa mai departe, de fiecare dată un număr impar. Să se arate că, indiferent după cât timp se vor opri din desenat, numărul pătratelor nu poate fi egal cu numărul triunghiurilor.

2 Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 SUBIECTUL Fie mulțimile CLASA a V-a A = x x = 5 n n2 +2n + 00 n n+4, n ε N B = y y , y N C = z z = n 2, n ε N. Să se calculeze:a C și B C. Determinați ultima cifră a sumei tuturor numerelor naturale de trei cifre care au un număr impar de divizori. Să se rezolve în N xn ecuația 2 x + = 3 y. Arătați că, oricum am alege nouă numere naturale, găsim trei numere dintre ele a căror sumă sau diferență a oricăror doua să dea multiplu a lui 7.

3 SUBIECTUL Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 CLASA a VI-a Fie x, y, z numere raționale pozitive astfel încât 2x 3y + 4z = 3y 2x + 4z = 4z 2x + 3y a) Să se calculeze x + 3y + 2z x + 3y + 2z și x y + y z + z x. b) Arătați că numărul n = 2x + 3y + 2z 3y 4z x e natural. Determinați toate perechile (x,y) de numere întregi astfel încât + 2 x + 2 2x+ = y 2 Pe latura BC a triunghiului obtuzunghic isoscel ABC cu [AB] [AC] se consideră punctul M astfel încât [BM] [AC] iar pe latura AB se consideră punctul N astfel încât *BN+ *MC+. Dacă m( AMN)=40 o, să se afle măsurile unghiurilor ABC. Pentru latura [AC] a triunghiului ascuțitunghic ABC se consideră punctele P,Q astfel [AQ] *CP+. Dacă P aparține mediatoarei segmentului *BC+ și Q aparține mediatoarei segmentului *AB+, să se demonstreze că a) BPQ este isoscel; b) ABC este isoscel.

4 Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 CLASA a VII-a SUBIECTUL Să se demonstreze inegalitatea natural, n. n n n! 2, unde n! = 2 n, n număr Un număr natural n se numește fidel dacă există numerele naturale a < b < c astfel încât a b, b c și a + b + c = n. a) Demonstrați că există un număr finit de numere naturale care nu sunt fidele. b) Aflați suma tuturor numerelor naturale, strict mai mici ca 207, care nu sunt fidele. Să se demonstreze că in orice triunghi dreptunghic are loc relația R + r + m a P+3 2, unde p este semiperimetrul, m a este mediana corespunzătoare ipotenuzei de lungime a, iar R și r sunt razele cercului circumscris respectiv înscris triunghiului dreptunghic. Se construiesc pe rând: pătratul ABCD, BDE echilateral, astfel încât A se găsește în interiorul BDE și pătratul BEFG astfel încât D se găsește în interiorul pătratului BEFG. Notăm cu M = GE DB și cu N = GB AC. a) Arătați că DN FM. b) Știind că AB= 6, arătați că MN 2.

5 Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 CLASA a VIII-a SUBIECTUL Să se rezolve în mulțimea numerelor naturale nenule ecuația x y + y z + x z 5 x 2 + y 2 + z 2 =. Să se demonstreze inegalitatea n! 2 n n+ n 3 n, unde n!= 2 n, n fiind număr natural n. Fie un cub ABCDVB C D cu VA ABC. Dacă A = pr [VB] A, A 2 = pr [VC] A și A 3 = pr [VD] A demonstrați că CV A A 2 A 3 iar punctele A, A 2, A 3 și A sunt vârfurile unui patrulater inscriptibil. Fie ABCD un tetraedru de volum V și o dreaptă d ce trece prin centrul I al cercului înscris în triunghiul ABC. Dacă AB d = P, AC d = Q să se arate că b vol [DAPC ] + unde a,b,c sunt lungimile laturilor triunghiului ABC. c = a+b+c vol [DAQB ] V,

6 Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 CLASA a IX-a SUBIECTUL Fie a, b, c R + astfel încât abc =. Arătați că 2 a 2 + b 2 + c 2 + 3(ab + bc + ca) a b c a b b c c a. Fie (a n ) n șirul definit prin a 2, an, oricare ar fi n N *. a a... a 2 n a) Să se afle termenul general al șirului (a n ) n. b) Să se calculeze suma S n = n k= 2 k 3 + k 2 a 2k+ și să se arate că S n <, oricare ar fi n N *. Să se afle restul împărțirii numărului la 64, unde [x] este partea întreagă a numărului x R. Fie ABC un triunghi oarecare ascuțitunghic, O centrul cercului circumscris triunghiului ABC, A = AO BC, B = BO CA, C = CO AB. Să se demonstreze că segmentele de lungimi (sin 2B + sin 2C) OA, (sin 2C + sin 2A) OB respectiv (sin 2A + sin 2B) OC pot fi laturile unui triunghi.

7 Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 SUBIECTUL Să se arate că CLASA a X-a Fie n N, n 3, și a, a 2,, a n 0, + cu a + a a n =. a 2 + a a n a 2 + a a n n. Există numere prime distincte p, q, r astfel încât progresii aritmetice? p, q, r sunt termeni ai unei Să se arate că pentru orice număr natural n 2 are loc inegalitatea n k=0 C n k + C n k+ 4 C n k C n k+ 6 2 n. Fie ecuația z 4 2αz 3 2αz + = 0, unde αϵr și α < 2. a) Să se arate că ecuația nu are rădăcini reale. b) Să se determine α astfel încât patrulaterul determinat de imaginile rădăcinilor ecuației are aria maximă.

8 Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 SUBIECTUL CLASA a XI-a Există două matrice A, B ϵ M n Z, astfel încât det (A + 3B) = 5 și det (A + 7B) = 3? Să se determine funcțiile continue f: 0, R cu proprietatea f x = e x x4 f x 2, x ϵ 0,. a ij = Fie n ϵ N n k=i fixat și a j ϵr, j =, n. Considerăm A, B ϵ M n R cu A = a ij i n j n k + 2 i a j k iar B = b ij i n j n pentru orice i =, n și orice, j =, n. Arătați că A și B au același rang. cu b ij = i k= a k j și Fie a n n un șir de numere reale pozitive. Dacă șirul este convergent, demonstrați a + a a n n n a 2 lim + a a2 n n n 2 = 0.

9 Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 SUBIECTUL CLASA a XII-a Să se demonstreze că lim n 0 x 2 n dx ln n = e. Fie f: 0, R o funcție derivabilă cu derivata continuă astfel încât Să se arate că f x dx = x f x dx = 2. f (x) 2 dx 20 și să se determine funcția f pentru care are loc egalitatea. Fie p un număr prim și n p un număr natural. Să se determine numărul polinoamelor din Z p X de grad n a căror funcție polinomială asociată este un morfism de grupuri de la grupul Z p, + la el însuși., x (0,] Fie funcția f: 0, R, f x = x., x = 0 Prin,a- întelegem partea fracționară a numărului real a. a) Demonstrați că funcția f este integrabilă. b) Calculați lim n n + n 2 + n n n 2 + n n 2 n 2