PRILOЖENIE 3 RAZDEL WIE REXENI I OTNOXENIE POR DKA

Transcript

1 PRILOЖENIE 3 RAZDEL WIE REXENI I OTNOXENIE POR DKA 1. Formulirovka rezulьtatov My budem rassmatrivatь raspredeleni s osobennost mi koorientirovannyh giperploskoste i na mnogoobrazii M n. Po opredeleni takoe raspredelenie zadaets uravneniem Pfaffa α = 0, v kotorom 1-forma α opredelena s toqnostь do umnoжeni na poloжitelьnu funkci. Mnoжestvom O osobyh toqek raspredeleni nazyvaets mnoжestvo toqek, v kotoryh forma α obrawaets v toжdestvenny i nolь. Opredelenie. Mnoжestvo A M n \ O obladaet svo istvom Roll dl raspredeleni α = 0, esli dl vs ko i gladko i krivo i γ : [0, 1] M n, koncy γ(0), γ(1) kotoro i leжat v mnoжestve A, a vektora skorosti v naqalьny i i koneqny i moment transversalьny raspredeleni, to estь α( γ(0)) 0 i α( γ(1)) 0, na idets toqka kontakta s raspredeleniem, to estь na idets qislo ξ, 0 ξ 1, takoe, qto α( γ(ξ)) = 0. Osnovnym rezulьtatom nasto wego priloжeni vl ets sledu wa Teorema 1. Mnoжestvo A obladaet svo istvom Roll otnositelьno raspredeleni α = 0, esli i tolьko esli na mnogoobrazii M n \ O suwestvuet razdel wee rexenie uravneni α = 0, soderжawee mnoжestvo A. V odnu storonu nuжny i rezulьtat poqti sovpadaet so sledu we i teoremo i: gladka kriva, transversalьna k razdel wemu rexeni, meжdu dvum posledovatelьnymi pereseqeni mi s зtim rexeniem imeet toqku kontakta. (Зta teorema teperь stala nazyvatьs teoremo i Roll -Hovanskogo.) De istvitelьno, pustь mnoжestvo A prinadleжit nekotoromu razdel wemu rexeni na mnogoobrazii M n \ O. Esli rassmatrivaema gladka kriva celikom leжit v mnoжestve M n \ O, to ona imeet toqku kontakta s raspredeleniem po privedenno i vyxe teoreme. Esli жe зta kriva peresekaet mnoжestvo O, to v kaqestve toqki kontakta moжno vz tь l bu toqku зtogo pereseqeni. V drugu storonu nuжny i rezulьtat predstavl et sobo i obrawenie teoremy Roll -Hovanskogo. S зto i obratno i teoremo i sv zana sledu- wa istori. Francuzskie matematiki R. Mus i K. Rox prixli k ubeжdeni, qto ona ne moжet bytь spravedliva. Poзtomu oni nazvali mnogoobrazi mi Roll integralьnye mnogoobrazi raspredeleni α = 0, dl kotoryh vypolneno svo istvo Roll, i povtorili [44**] dl takih mnogoobrazi i moi ocenki. Priloжenie 3, v osnovnom, posv weno dokazatelьstvu obratno i teoremy. Dokazatelьstvo zakanqivaets v sledstvii 1 paragrafa 4. 1 Typeset by AMS-TEX

2 2 PRILOЖENIE 3 Izlagaemye niжe rezulьtaty, v osnovnom, byli poluqeny mae 1991 goda vo vrem moego vizita v Diжon. V obsuжdeni h prin li aktivnoe uqastie R. Mus, K. Rox, S. Bonatti. K soжaleni, my tak i ne napisali sovmestno i statьi na зtu temu, a izloжenie K. Roxa [52**] зtih rezulьtatov daleko ne polno. 2. Otnoxenie por dka V dalьne ixem my budem imetь delo s raspredeleniem α = 0 bez osobennoste i. Naqina s зtogo mesta my budem predpolagatь, qto forma α nigde ne obrawaets toжdestvenno v nolь. V зtom paragrafe obsuжdaets otnoxenie por dka na mnogoobrazi h, snabжennyh koorientirovannym raspredeleniem giperploskosti. Ono bylo vvedeno S.P. Novikovym v sluqae, kogda raspredelenie vl ets sloeniem. S.P. Novikov ispolьzoval зto otnoxenie pri rexenii problemy o suwestvovanii zamknutogo slo u l bogo sloeni na trehmerno i sfere. V зtom paragrafe prover ets, qto r d svo istv podobnogo otnoxeni sohran ets i dl raspredeleni. Proverka osnovana na tom, qto na poverhnost h l boe raspredelenie vl ets sloeniem i qto lokalьno kusoqno gladka kriva pomewets na gladku poverhnostь. Kusoqnoimmersirovno i krivo i γ : [0, 1] M n nazyvaets kusoqno gladka kriva, vektor proizvodno i kotoro i nigde ne obrawaets v nolь. (V toqkah razryva pervo i pervo i proizvodno i suwestvuet kak leva proizvodna γ, tak i prava proizvodna γ +. Predpolagaets, qto oni obe otliqny ot nul.) Opredelenie. Toqka a bolьxe, qem toqka b, a b, esli suwestvuet kusoqnoimmersirovanna kriva γ : [0, 1] M n taka, qto γ(0) = b, γ(1) = a i α( γ(t)) > 0. V toqkah razryva proizvodno i vypolneny oba neravenstva α( γ + (t)) > 0 i α( γ (t)) > 0. Preжde vsego otmetim, qto otnoxeni a b i b a ne protivoreqat drug drugu. Bolee togo, dl dostatoqno obwego raspredeleni α = 0 na sv znom mnogoobrazii dl l byh dvuh toqek a i b vypolneny oba зtih otnoxeni. Kak budet pokazano niжe, edinstvennym prep tstviem k зtomu vl ets suwestvovanie razdel wih rexeni i uravneni α = 0. sno, qto sootnoxenie por dka tranzitivno, to estь esli a b i b c, to a c. Legko videtь, qto sootnoxenie otkryto, to estь esli a b, to u toqek a i b suwestvu t okrestnosti U i V takie, qto esli c U i d V, to c d. Opredelenie. Toqka a зkvivalentna toqke b, a b, esli suwestvuet kusoqno-immersirovanna kriva γ : [0, 1] M n taka, qto γ(0) = a, γ(1) = b i α( γ(t)) = 0. sno, qto sootnoxenie de istvitelьno vl ets sootnoxeniem зkvivalentnosti, to estь a a; esli a b, to b a, i esli a b, b c, to a c. Utverжdenie 1. Esli a b, to suwestvuet gladka immersirovanna kriva γ : [0, 1] M n taka, qto γ(0) = b, γ(1) = a i α( γ(t)) > 0.

3 2. OTNOXENIE POR DKA 3 Dokazatelьstvo. Nam nado dokazatь, qto v toqkah razryva pervo i proizvodno i krivu γ moжno sgladitь s sohraneniem uslovi poloжitelьnosti α( γ + ) > 0 i α( γ ) > 0. Naqnem s prostogo qastnogo sluqa. Pustь mnogoobrazie M n estь ploskostь (u, v), i forma α ravna dv. Uslovie poloжitelьnosti oznaqaet, qto v(t) vl ets kusoqno gladko i i strogo monotonno i vozrasta we i fukcie i, to estь v + > 0 i v > 0. sno, qto taku funkci na otrezke moжno sgladitь, ne men ee v okrestnosti koncov, s sohraneniem uslovi strogo i monotonnosti. Funkci u(t) toжe moжno sgladitь, na men ee v okrestnosti koncov. Qto i dokazyvaet utverжdenie v rassmatrivaemom qastnom sluqae. Pokaжem, qto obwi i sluqa i svodits k зtomu qastnomu sluqa. 1. Po uslovi suwestvuet kusoqno immersirovanna kriva, soedin - wa toqki b i a taka, qto α( γ + (t)) > 0 i α( γ ) > 0. Moжno sqitatь, qto kaжdoe C 1 -gladkoe zveno immersirovanno i krivo i γ vl ets C - gladkim. De istvitelьno, v protivnom sluqae krivu γ moжno zamenitь immersirovanno i krivo i γ s gladkimi zvenь mi tako i, qto sootvetstvu wie zvenь krivyh γ i γ budut C 1 -blizki. Pri зtom, po-preжnemu, budut vypoln tьs sootnoxeni α( γ + ) > 0 i α( γ ) > Esli v toqke razryva pervo i proizvodno i leva i prava proizvodnye kollinearny, to estь esli γ + (t 0 ) = λ γ (t 0 ) (pri зtom avtomatiqeski λ > 0, tak kak α( γ + ) > 0 i α( γ + ) > 0), to kusoqno line ino i pereparametrizacie i otrezka [0, 1] moжno dobitьs, qto зti proizvodnye budut sovpadatь. Posle зtogo dl sglaжivani krivo i v toqke t 0 moжno vospolьzovatьs punktom Pustь prava i leva proizvodnye v toqke t 0 ne kollinearny. Pokaжem, kak lokalьno sgladitь taku krivu. Rassmotrim otdelьno ploskostь s koordinatami x, y i na зto i ploskosti ugol, to estь dvuhzvennu lomanu, pervoe zveno kotoro i raspoloжeno na vertikalьnom luqe 0 y, x = 0, vtoroe zveno na gorizontalьnom luqe 0 x, y = 0. Krivu γ okolo toqki t 0 moжno rassmatrivatь kak gladki i obraz зtogo ugla. Dl зtogo nado otoжdestvitь toqki t t 0 s kuskom gorizontalьnogo luqa, toqki t t 0 s kuskom vertikalьnogo luqa i rassmatrivatь otobraжenie γ kak otobraжenie ugla. Prodolжim gladko otobraжenie γ s ugla na okrestnostь toqki 0 na ploskosti (x, y). Differencial зtogo prodolжennogo otobraжeni F v naqale koordinat nevyroжden, tak kak vektora γ + i γ ne kollinearny. Poзtomu forma F α ne obrawaets v nolь v okrestnosti naqala koordinat. Vvedem novye koordinaty u, v tak, qtoby pr mye F α = 0 stali by gorizontalьnymi (suwestvovanie tako i zameny vytekaet iz teoremy o suwestvovanii i edinstvennosti rexeni i differencialьnyh uravneni i). Uravnenie F α = 0 pri зtom budet зkvivalentno uravneni dv = 0 (ili uravneni dv = 0). Zadaqa o lokalьnom sglaжivanii krivo i svedets k proste ixemu sluqa, rassmotrennomu v naqale dokazatelьstva. Zametim, qto utverжdenie 1 moжno dokazatь i ne ssyla sь na teoremu o suwestvovanii i edinstvennosti differencialьnyh uravneni i (i qto, sledovatelьno, ono spravedlivo i dl nepreryvnyh raspredeleni i). Utverжdenie Esli a b i c a, to c b. 2. Esli a b i c b, to a c.

4 4 PRILOЖENIE 3 Dokazatelьstvo. Punkty 1 i 2 analogiqny, poзtomu my dokaжem lixь pervy i iz nih. Rassmotrim snaqala sledu wi i prosto i qastny i sluqa i. Pustь mnogoobrazie M n зto oblastь U na ploskosti (u, v), soderжawa otrezok I, opredelenny i uslovi mi 0 u 1, v = 0, forma α v nekotoro i okrestnosti U 0 otrezka I sovpadaet s formo i dv, toqka c naqalo koordinat, vl wees levym koncom otrezka I, toqka a pravy i konec зtogo otrezka, i b nekotora toqka v oblasti U. Tak kak toqka a bolьxe, qem toqka b, to suwestvuet gladka kriva γ(t), γ(0) = b, γ(1) = a, taka, qto α( γ) > 0. Tak kak okolo otrezka I forma α sovpadaet s formo i dv, to na krivo i γ(t) = (u(t), v(t)) funkci v(t) strogo monotonno vozrastaet v okrestnosti toqki t = 1. Znaqit, pri dostatoqno blizkom k 1 znaqenii parametra t 0 toqka γ(t 0 ) budet imetь otricatelьnu koordinatu v. Pri t 0 blizkom k 1 otrezok J, soedin wi i toqku γ(t 0 ) s naqalom koordinat, budet leжatь v oblasti U 0. Dl dokazatelьstva sootnoxeni c b dostatoqno rassmotretь krivu γ, sovpada wu s krivo i γ pri 0 t t 0 i vl wu s line ino i parametrizacie i otrezka J pri t 0 t 1. Pokaжem, qto obwi i sluqa i svodits k rassmotrennomu. Predpoloжim snaqala, qto toqku a moжno soedinitь s toqko i c gladko i immersirovanno i krivo i γ 2 tako i, qto α( γ 2 (t)) 0. Soglasno utverжdeni 1 toqku b moжno soedinitь s toqko i a gladko i immersirovanno i krivo i γ 1 tako i, qto α( γ 1 (t)) > 0. Prodolжim vektor γ 1, priloжenny i v toqke a, do gladkogo vektornogo pol m vdolь krivo i γ 2 takim obrazom, qto m(a) = γ 1 i α(m) > 0. Krivu, sosto wu iz dvuh gladkih zvenьev γ 1 i γ 2, moжno rassmatrivatь kak gladki i obraz ugla na ploskosti (x, y), sosto wego iz dvuh zvenьev 1 y 0, x = 1 i 0 x 1, y = 0. Prodolжim otobraжenie зtogo ugla do otobraжeni F : U M n ego okrestnosti U tak, qtoby v toqkah vtorogo zvena vypoln losь ravenstvo ( ) F = m. v Rassmotrim formu F α v okrestnosti U. Ona ne obrawaets v nolь v okrestnosti ugla, tak kak α(m) > 0 i α( γ 1 ) > 0. Gorizontalьny i otrezok 0 x 1, y = 0 vl ets rexeniem uravneni F α = 0. Teperь, umnoжa formu F α na podhod wi i integriru wi i somnoжitelь i dela zamenu koordinat, pridem k situacii proste ixego sluqa, rassmotrennogo v naqale dokazatelьstva. Esli integralьna kriva raspredeleni α = 0, soedin wa toqki a i c, vl ets lixь kusoqno immersirovanno i, to privedennoe vyxe postroenie nado povtoritь neskolьko raz dl kaжdogo gladkogo zvena, naqina so zvena, soderжawego toqku a. 3. Lokalьny i sluqa i Opredelenie. Skaжem, qto toqka a obladaet lokalьnym svo istvom Roll otnositelьno kootientirovannogo raspredeleni giperploskostie i na mnogoobrazii M n, esli mnoжestvo, sosto wee iz toqki a, obladaet svo istvom Roll dl ograniqeni raspredeleni na nekotoru okrestnostь toqki a.

5 3. LOKALЬNY i SLUQA i 5 Teorema 2. Toqka obladaet lokalьnym svo istvom Roll otnositelьno koorientirovannogo raspredeleni giperploskoste i na mnogoobrazii, esli i tolьko esli u raspredeleni suwestvuet rostok integralьno i giperpoverhnosti, prohod wi i qerez зtu toqku. Dokazatelьstvo. Pustь toqka obladaet lokalьnym svo istvom Roll. Poskolьku vopros lokalьny i, moжno sqitatь, qto mnogoobrazie vl ets line inym prostranstvom R n s koordinatami x 1,..., x n 1, y, qto toqka зto naqalo koordinat i qto raspredelenie zadano uravneniem Pfaffa dy a i (x, y)dx i = 0. Oboznaqim qerez C maksimalьnu dlinu vektora a 1 (x, y),..., a n 1 (x, y), 1 v xare B r radiusa r. Rassmotrim proizvolьnu kusoqno immersirovannu krivu x(t) = x 1 (t),..., x n (t) v giperploskosti y = 0 taku, qto x(0) = 0. Esli dlina l krivo i ne prevoshodit qisla r/c, to kriva x(t) odnoznaqno podnimaets do integralьno i krivo i (x(t), y(t)) raspredeleni, naqina we is v toqke 0 i leжawe i v xare B r. De istvitelьno, nad kaжdym gladkim zvenom krivo i x(t) imeem differencialьnoe uravnenie ẏ = a i (x(t), y)ẋ i dl opredeleni komponenty y(t). Kriva (x(t), y(t)) pri 0 t t 0 imeet dlinu, menьxu qem Cl(t 0 ), gde l(t 0 ) dlina proekcii зto i krivo i na giperploskostь y = 0. Pri t 0 1 ona ne vy idet iz xara B r, tak kak po uslovi l < r/c. Pere idem k centralьnomu mestu dokazatelьstva. Pokaжem, qto pri vypolnenii svo istva Roll podn tie zamknuto i krivo i x(t), x(0) = x(1) = 0, budet zamknuto i krivo i. De istvitelьno, pustь integralьna kriva (x(t), y(t)) imeet svoim pravym koncom toqku b = (0, y((1)), i pustь dl opredelennosti y(1) > 0. Rassmotrim sootnoxenie por dka v xare B r, sv zannoe s raspredeleniem dy = a i (x, y)dx i. Imeem b 0, tak kak po postroeni toqka b soedin ets s naqalom koordinat integralьno i krivo i raspredeleni. Dalee, b 0, tak kak toqka b imeet poloжitelьnu posledn koordinatu y(1), i ona soedin ets s naqalom koordinat vertikalьnym otrezkom, ograniqenie na kotory i formy α ravno dy. Itak, 0 b 0. Znaqit, po utverжdeni 2 imeem 0 0. Soglasno utverжdeni 1 зto oznaqaet, qto v xare B r suwestvuet gladka kriva s naqalom i koncom v nule, kotora ne imeet kontakta s raspredeleniem, qto protivoreqit lokalьnomu svo istvu Roll. Protivoreqie dokazyvaet, qto podn tie krivo i x(t) budet zamknuto. Teperь prosto okonqitь dokazatelьstvo suwestvovani integralьno i giperpoverhnosti, prohod we i qerez toqku 0. Legko videtь, qto tako i giperpoverhnostь budet grafik funkcii y(x), opredelenno i vo vnutrennosti xara x < r/2c sledu wim usloviem. Rassmotrim l bu gladku krivu x(t), soedin wu naqalo koordinat s toqko i x, dlina

6 6 PRILOЖENIE 3 kotoro i menьxe, qem r/2c. Rassmotrim podn tie (x(t), y(t)) зto i krivo i do integralьno i krivo i raspredeleni. Funkci y(x) opredel ets kak znaqenie y(1) posledne i koordinaty toqki зtogo podn ti, leжawe i nad toqko i x. Iz dokazannogo vyxe vytekaet, qto qislo y(x) opredeleno korrektno (ne zavisit ot vybora krivo i x(t)). Oqevidno, qto grafik postroenno i funkcii y(x) de istvitelьno vl ets integralьno i giperpoverhnostь. V obratnu storonu teorema vytekaet iz teoremy Roll - Hovanskogo, tak kak integralьna giperpoverhnostь, prohod wa qerez toqku a, razdel et okrestnostь зto i toqki. Sledstvie. Pustь toqka a obladaet lokalьnym svo istvom Roll. Togda suwestvuet okrestnostь U toqki a i prohod wa qerez toqku a giperpoverhnostь Γ U takie, qto 1) giperpoverhnostь Γ integralьnoe mnogoobrazie raspredeleni, dl vs ko i toqki c Γ vypolneno sootnoxenie c a; 2) dopolnenie U \ Γ k giperpoverhnosti sostoit iz dvuh komponent sv znosti U + i U ; 3) dl kaжdo i toqki b U + vypolneno sootnoxenie b a; 4) dl kaжdo i toqki d U vypolneno sootnoxenie d a. Dokazatelьstvo. De istvitelьno, soglasno teoreme 2 suwestvuet rostok integralьnogo mnogoobrazi, prohod wego qerez toqku a. Moжno sqitatь, qto toqka a naqalo koordinat, qto integralьnoe mnogoobrazie zadaets uravneniem y = 0, a raspredelenie zadaets uravneniem dy a i (x, y)dx i = 0, gde a i (0, y) 0. Lokalьno oblasti U + i U zada ts, sootvetstvenno, neravenstvami y > 0 i y < 0. Proverim, qto dl kaжdo i toqki b U + vypolneno sootnoxenie b a. Pustь b = (x, y), y > 0. Oqevidno, qto b c, gde c = (x, 0), i qto c a = 0. Otkuda vytekaet, qto b a. 4. Globalьny i sluqa i Skaжem, qto mnoжestvo S zapolneno snizu, esli vypolneno sledu wee uslovie: esli a S i b a, to b S. Skaжem, qto mnoжestvo S zapolneno sverhu, esli iz togo, qto a S i neravenstva b a vytekaet, qto b S. sno, qto dopolnenie do mnoжestva, zapolnennogo sverhu, zapolneno snizu i naooborot. Зti pon ti okazyva ts tesno sv zannymi s koncepcie i razdel wih rexeni i. Imenno, spravedliva sledu wa Teorema 3. Pustь mnoжestvo S zapolneno snizu. Togda mnoжestvo toqek L, ne vl wihs vnutrennimi ni dl mnoжestva S, ni dl ego dopolneni, vl ets razdel wim rexeniem raspredeleni α = 0. Pri зtom mnoжestvo U = S L vl ets mnogoobraziem s kraem, koorientirovanna granica kotorogo sovpadaet s L. Obratno, dl vs kogo razdel wego rexeni L mnoжestvo S, sosto wee iz l bogo podmnoжestva Γ 0 mnoжestva L i vseh vnutrennih toqek zat giva we i L plenki U, U = L, vl ets zapolnennym snizu mnoжestvom. Zameqanie. Razumeets, tako i жe rezulьtat veren i dl mnoжestv, zapolnennyh sverhu. On formalьno vytekaet iz teoremy pri smene koorientacii raspredeleni.

7 4. GLOBALЬNY i SLUQA i 7 Lemma. Pustь mnoжestvo S zapolneno snizu (sverhu), i toqka a, a S, vl ets graniqno i toqko i зtogo mnoжestva. Togda toqka a obladaet svo istvom Roll. Dokazatelьstvo. De istvitelьno, esli toqka a ne obladaet svo istvom Roll, to a a. No sootnoxenie otkryto. Poзtomu suwestvuet okrestnostь V toqki a taka, qto a v, gde v V. Mnoжestvo S vmeste s toqko i a soderжit i ee okrestnostь V. To estь a vnutrenn toqka mnoжestva S. Dl zapolnennyh sverhu mnoжestv dokazatelьstvo takoe жe. Pere idem k dokazatelьstvu teoremy. Dokazatelьstvo. Vozьmem l bu toqku mnoжestva L. Ona prinadleжit libo mnoжestvu S, libo mnoжestvu S. Зti sluqai soverxenno simmetriqny, i my ostanovims dl opredelennosti na sluqae a S. Soglasno lemme toqka a obladaet lokalьnym svo istvom Roll. Soglasno sledstvi iz paragrafa 3 u toqki a estь okrestnostь U = U + Γ U, priqem Γ integralьnoe podmnogoobrazie raspredeleni, dl vs ko i toqki b U +, b a, i dl vs ko i toqki d U, a d. Mnoжestvo S soderжit vse toqki okrestnosti U +, tak kak ono zapolneno sverhu i soderжit toqku a. Mnoжestvo S ne soderжit ni odno i toqki okrestnosti U. De istvitelьno, esli ono soderжit toqku d U, to ono ob zano soderжatь celu okrestnostь toqki a, tak kak a d i sootnoxenie otkryto. Toqka a v зtom sluqae vnutrenn dl S. Itak, U + S, U S. Poзtomu mnoжestvo graniqnyh toqek L lokalьno sovpadaet s mnoжestvom Γ. Sledovatelьno, L integralьnoe mnogoobrazie, vl wees granice i mnogoobrazi s kraem S L. Teorema dokazana v odnu storonu. Obratnoe utverжdenie vytekaet iz teoremy Roll -Hovanskogo. Sledstvie 1. Dl vs kogo mnoжestva A, oblada wego svo istvom Roll, suwestvuet soderжawee ego razdel wee rexenie. Dokazatelьstvo. Oboznaqim qerez S mnoжestvo vseh toqek b, dl kotoryh na idets toqka a A taka, qto b a. sno, qto mnoжestvo S zapolneno snizu. Toqki mnoжestva A ne mogut bytь vnutrennimi toqkami mnoжestva S. De istvitelьno, dl vs ko i vnutrenne i toqki mnoжestva S suwestvuet bolьxa toqka iz mnoжestva S. To estь esli a 1 A i a 1 vl ets vnutrenne i toqko i mnoжestva S, to na idets toqka s a 1, to estь suwestvuet a 2 A, a 2 s a 1. Inaqe govor, na iduts dve toqki a 1 i a 2 mnoжestva A takie, qto a 2 a 1. Qto protivoreqit svo istvu Roll dl mnoжestva A. Sledstvie teperь vytekaet iz teoremy 3. Zameqanie. Teorema 3 imeet sledu wu interpretaci v optimalьnom upravlenii. Rassmotrim na mnogoobrazii M n 1-formu α, ne ime wu osobyh toqek. Naloжim ograniqeni na dviжenie po mnogoobrazi M n. Skaжem, qto dviжenie γ : [0, 1] M n dopustimo, esli α( γ(t)) > 0. Nazovem oblastь dostiжimosti D X mnoжestvo toqek, do kotoryh moжno do iti iz nepustogo podmnoжestva X M n dopustimym dviжeniem za nenulevoe vrem. Iz teoremy vytekaet, qto granica oblasti dostiжimosti D X vl ets gladkim podmnogoobraziem, vl wims razdel wim rexeniem uravneni α = 0. V qastnosti, esli mnogoobrazie sv zno, a uravnenie α = 0 ne imeet razdel wih rexeni i, to vs ka oblastь dostiжimosti sovpadaet so vsem mnogoobraziem.

8 8 PRILOЖENIE 3 Sledstvie 2. Pustь 1-forma α ne imeet osobyh toqek na sv znom mnogoobrazii. Togda spravedlivo rovno odno iz sledu wih dvuh utverжdeni i: 1) dl l byh dvuh toqek mnogoobrazi suwestvuet prohod wa qerez nih zamknuta gladka kriva, transversalьna raspredeleni α = 0; 2) suwestvuet razdel wee rexenie uravneni α = 0. Dokazatelьstvo. De istvitelьno, esli ne suwestvuet tako i zamknuto i krivo i dl toqek a i b, to libo mnoжestvo S(b) toqek c b ne soderжit toqki a, libo mnoжestvo S(a) toqek c a ne soderжit toqki b. V l bom sluqae odno iz зtih mnoжestv ne sovpadaet so vsem mnogoobraziem. Granica зtogo mnoжestva budet razdel wim rexeniem uravneni α = 0.