ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ"

Transcript

1 ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η χρονική απόκριση μπορεί να ληφθεί από αναλυτικά μέσα όπως η μέθοδος μετασχηματισμού Laplace, εναλλακτικά δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί εξομοίωση από Η/Υ. Η προσέγγιση που προσπαθούμε να αναπτύξουμε, γίνεται για να κατανοήσουμε τη σχέση μεταξύ της Σ.Μ. και της χρονικής απόκρισης χρησιμοποιώντας μία απλή ομάδα αναλυτικών σχέσεων. Η εξομοίωση μέσω Η/Υ μπορεί να μας δώσει την απόκριση ενός δεδομένου συστήματος μόνο, δεν μπορεί όμως να μας πεί πως να τροποποιήσουμε το σύστημα ώστε να πετύχουμε μία συγκεκριμένη απόκριση. Γι αυτό το λόγο η εξομοίοωση μεμονωμένα δεν αποτελεί εργαλείο σχεδίασης και η γνώση της σχέσης μεταξύ των παραμέτρων μίας συνάρτησης μεταφοράς και των χαρακτηριστικών της απόκρικσής της είναι απαραίτητη. Μέχρι προσφάτως χρησιμοποιούνταν ευρέως αναλογικοί Υπολογιστές για να επιλύσουν διαφορικές εξισώσεις και δυναμικά συστήματα εξομοίωσης. Τώρα πλέον έχουν αντικατασταθεί από τους ψηφιακούς Υπολογιστές οι οποίοι μας παρέχουν γρήγορα, ευέλικτα και ακριβή εργαλεία εξομοίωσης. 1. Δοκιμαστικά σήματα Συστήματος ( System test sigals). Η απόκριση ενός δυναμικού συστήματος εξαρτάται όχι μόνο από την Σ.Μ. αλλά και από το σήμα εισόδου και τις αρχικές συνθήκες.η ακριβής είσοδος του Συστήματος δεν είναι γνωστή εκ των προτέρων, παρ όλα αυτά αν η απόδοση του συστήματος με συγκεκριμένα καλώς επιλεγμένα δοκιμαστικά σύματα είναι ευνοική τότε μπορεί να επιτευχθεί όταν υπόκεοται σε ακριβείς εισόδους λειτουργίας. α. Μονάδες Μετρήσεως. Η συνάρτηση μεταφοράς αντιπροσωπεύει την δυναμική ευαισθησία ενός συστήματος, οπότε ε χει μονάδες του συστήματος εξόδου που διανέμονται από το σύστημα εισόδου. Οι μονάδες που σχετίζονται με τα σήματα εισόδου εξόδου αντιπροσωπεύουν μετατόπιση, τάση, πίεση, θερμοκρασία και άλλες ποσότητες. Για να απλοποιήσουμε την κατάσταση, τα σήματα συχνά κανονικοποιούνται και τα χρησιμοποιούμε σαν να ήταν χωρίς διάσταση. Συνήθως η μονάδα του χρόνου εκφράζεται σε sec ενώ η μονάδα του συντελεστή Laplace S πρέπει να καθορίζεται κάθε φορά. β. Διαβαθμίσεις χρόνου. Τα πρακτικά συστήματα έχουν ένα ευρύ φάσμα κλίμακας χρόνου, πράγμα που σημαίνει ότι οι χρόνοι απόκρισης εκφράζονται σε μία κλίμακα από microsec έως hour. Αυτό μπορεί να δημιουργήσει προβλήματα ανακρίβειας στην εξομοίωση, οπότε η εξομοίωση μπορεί

2 να επιβραδυνθεί με έναν παράγοντα α εάν κάθε συντελεστής του s μέσα στην Σ.Μ. πολλαπλασιασθεί με το α. Η απόκριση μπορεί να επιταχυνθεί εάν το α είναι μικρότερο της μονάδος. γ. Βασικά σήματα εισόδου. Το πιό διαδεδομένο σήμα για τις δοκιμές των δυναμικών συστημάτων είναι η βηματική είσοδος. Μία βηματική είσοδος επιτυγχάνεται με ξαφνική αλλαγή από μία σταθερή τιμή σε μία άλλη. Εάν το εύρος του βήματος κανονικοποιηθεί στη μονάδα τότε έχουμε μοναδιαία βηματική είσοδο. Εάν η είσοδος μεταβάλεται σταδιακά τότε ένα χρήσιμο δοκιμαστικό σήμα είναι η αναρριχητική είσοδος ( ramp iput ).. Σταθερή Κατάσταση και Απόκριση Ταλάντωσης Η συνολική απόκριση ενός δυναμικού συστήματος θα αποτελείται από δύο ξεχωριστά τμήματα. Το πρώτο είναι το τμήμα της ταλάντωσης το οποίο, όπως δηλώνει και το όνομά του, πεθαίνει όσο ο χρόνος περνά και το δεύετρο είναι αυτό της σταθερής κατάστασης το οποίο παραμένει όταν μακριά από το μηδέν το τμήμα της ταλάντωσης έχει τελείωσει (Σχ. 1.). Συνολική Απόκριση = Απόκριση Σταθερής Κατάστασης + Απόκριση Ταλάντωσης Και τα δύο τμήματα απόκρισης, σταθερής κατάστασης και ταλάντωσης, εξαρτώνται σύμφωνα με τα σήματα εισόδου τα οποία εφαρμόζωνται στο σύστημα. Όπως και να έχει η δόμη ή το σχήμα της ταλάντωσης εξαρτάται μόνο από την εξίσωση του συστήματος και είναι ανεξάρτητη από το σήμα εισόδου. 3. Ταξινόμηση Συστήματος Οι Συναρτήσεις Μεταφοράς μπορούν να ταξινομηθούν με διάφορους τρόπους.έχουμε ήδη δει ότι ο βαθμός ενός συστήματος είναι η υψηλότερη δύναμη του s στη συνάρτηση μεταφοράς.ο βαθμός του συστήματος είναι πολύ σημαντικός στον καθορισμό του τύπου απόκρισης που τελικώς θα πάρουμε.η μελέτη σταθερών και στιγμιαίων αποκρίσεων διαφόρων συστημάτων θα μας οδηγήσει σε χρήσιμους διαχωρισμούς. α. Όταν η είσοδος ενός συστήματος κρατείται σταθερή σε κάποια τιμή, η έξοδος που θα προκύψει θα έχει και αυτή κάποια σταθερή τιμή.η σχέση μεταξύ αυτής της σταθερής κατάστασης εισόδου-εξόδουονομάζεται στατική ευαισθησία συστήματος ή κέρδος σταθερής κατάστασης. Σε αυτή την περίπτωση όπου η είσοδος-έξοδος είναι σταθερές σε συγκεκριμένες τιμές μεταβλητών, οι παράγωγοι των σημάτων εισόδου-εξόδου θα είναι μηδέν. Σε μία Σ.Μ. ο συντελεστής Laplace αντιπροσωπεύει τη διάκριση, οπότε το σατθερό κέρδος τουν συστήματος μπορεί να προκύψει αφήνοντας το συντελεστή Laplace να τείνει προς το μηδέν, ενώ οι σταθερές εισόδου-εξόδου

3 d/dt=0 ισούται με s=0, οπότε Κέρδος σταθερής κατάστασης =G(s) s->0 =G(0). Η σταθερή απόκριση ενός συστήματος σε μία σταθερή είσοδο μπορεί να παραχθεί πολλαπλασιάζοντας την είσοδο με το σταθερό κέρδος, π.χ. y = G(0) x Πρέπει να θυμόμαστε πάντα ότι σωστή τιμή θα πάρουμε μόνο στην περίπτωση που η είσοδος είναι σταθερή ή αμετάβλητη. β. Στιγμιαία Απόκριση Συστήματος. Η στιγμιαία απόκριση ενός συστήματος περιγράφει πως η έξοδος αλλάζει στιγμιαία όταν η είσοδος αλλάξει ξαφνικά. Για παράδειγμα, κατά τη διάρκεια της ανόδου μίας βηματικής εισόδου, ο ρυθμός της αλλαγής είναι πολύ μεγάλος, ενώ για ιδεατό βήμα προσεγγίζει το άπειρο.μερικές Σ.Μ. θα δείξουν μία στιγμιαία απόκριση όταν εφαρμοστεί ένα βήμα. Λόγω του ότι ο ρυθμός των αλλαγών των μεταβλητών κατά τη διάρκεια τόσο γρήγορων μεταβολών αγγίζει το άπειρο, η σχέση μεταξύ εισόδου-εξόδου προκύπτει από τη Σ.Μ. αν θέσουμε το συντελεστή s να τείνει στο άπειρο. Στιγμιαίο Κέρδος = G(s) s-> = G( ). Η στιγμιαία απόκριση στην άνοδο του παλμού μίας βηματικής εισόδου προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τη μεταβολή της εισόδου με το στιγμιαίο κέρδος. Σημειώστε ότι το στιγμιαίο κέρδος ενός συστήματος αντιπροσωπεύει τη σχέση ανάμεσα στη μεταβολή της εισόδου και τη μεταβολή της εξόδου. γ. Διαγράμματα Bode Σ.Μ. Συχνά οι Σ.Μ. εκφράζονται σε μία τυποποιημένη μορφή ώστε τα βασικά χαρακτηριστικά να είναι ξεκάθαρα. Οι Σ.Μ. μπορούν να εκφραστούν σε μία τυποποιημένη μορφή που ονομάζεται διάγραμμα Bode, από τον H.W. Bode ο οποίος συνείσφερε πολλά στη θεωρία της απόκρισης συχνότητας. Μία Σ.Μ. σε μορφή Bode εκφράζεται ως ακολούθως : G(s) = K B G (s) S όπου η συνάρτηση G (s) έχει σταθερό μοναδιαίο κέρδος G (0) = 1 Ο όρος S στον παρονομαστή εκπροσωπεί το πλήθος των ελευθέρων ολοκληρωτών (itegrators) στο σύστημα. Ο αριθμός ονομάζεται Αριθμητικός τύπος (Type umber) του συστήματος. Η σταθερά, K B, ονομάζεται κέρδος Bode και για ένα σύστημα τύπου 0 (δηλαδή καθόλου ελεύθεροι ολοκληρωτές ) είναι η ίδια όπως και στο σταθερό κέρδος. Τα

4 συστήματα τύπου 1 και άνω έχουν κέρδος σταθερής κατάστασης άπειρο εφόσον Lim s 0 1/s = Το άπειρο, σταθερής κατάστασης, κέρδος μπορεί να γίνει αντιληπτό αν φανταστούμε έναν ελεύθερο ολοκληρωτή με μία σταθερή είσοδο. Η έξοδος θα αναρριχηθεί αόριστα και ουσιαστικά δεν θα φθάσει ποτέ σε μία σταθερή κατάσταση. 4. Η Χαρακτιριστική Εξίσωση και η Απόκριση Μετάδοσης (Trasiet Respose) Ας θεωρήσουμε μία γενική Σ.Μ. Y / X (s) = G(s) = N(s) / D(s) όπου D(s) είναι ο παρονομαστής της Σ.Μ. και N(s) ο αριθμητής. Πολλαπλασιάζοντας ( χιαστά ) έχουμε : Y(s) * D(s) = X(s) * N(s) (3.7) Εάν η είσοδος του συστήματος είναι 0 τότε η απόκριση που προκύπτει πρέπει να περιέχει ένα μόνο στοιχείο μετάδοσης (εφόσον η απόκριση σταθερής κατάστασης θα ήταν μηδέν). Η μορφή της απόκρισης μετάδοσης οποιουδήποτε συστήματος πρέπει να υπολογισθεί αν θέσουμε X(s) = 0 στη σχέση (3.7), οπότε : Y(s) * D(s) = 0 (3.8) Αποκλείοντας την περίπτωση Y(s) = 0, βρίσκουμε ότι η απόκριση μετάδοσης για ένα γενικό σύστημα καθορίζεται από την ισότητα : D(s) = 0 (3.9) Η παραπάνω σημαντική εξίσωση ονομάζεται Χαρακτηριστική Εξίσωση και η επίλυσή της καθορίζει την μορφή της απόκρισης μετάδοσης για οποιαδήποτε είσοδο. Σημειώσατε ότι μόνο ο παρονομαστής της Σ.Μ. εμφανίζεται στη Χ.Ε.. Επιλύοντας την Χ.Ε. βρίσκουμε τις τιμές του S για τις οποίες μηδενίζεται η D(s). Αυτές οι ρίζες της Χ.Ε. σχετίζονται άμεσα με την τελική απόκριση μετάδοσης. Για να δούμε την συσχέτιση των ριζών της Χ.Ε. με την απόκριση μετάδοσης ας θεωρήσουμε την εξίσωση (3.8) σε μία γενική μορφή όπου η D(s) είναι ένα πολυώνυμο - βαθμού και η Y(s) η μετατροπή κατά Laplace της μετάδοσης ( L { Y (t) } = Y (s) ) : Y(s) (α 0 +a 1 s + +a s )=0 ή α 0 Y(s)+ a 1 s Y(s)+ + a s Y(s) =0 Θεωρώντας ότι ο πολλαπλασιασμός με s στο πεδί του s, ισοδυναμεί με τη

5 διάκρισηστο πεδίο του χρόνου, βλέπουμε ότι η απόκριση μετάδοσης είναι της ακόλουθης μορφής: α 0 Y(t)+ a 1 d y /dt (t) + + a d y /dt (t) = 0 (3.10) Η μετάδοση, y, πρέπει να είναι τέτοια ώστε συνδυαζόμενη με τις παραγώγους στην σχέση (3.10), οι όροι αθροιζόμενοι να ισούνται με το μηδέν (0). Η εκθετική συνάρτηση, e xt, είναι υποψήφια για την επίλυση της σχέσης (3.10) εφόσον η διαφοροποίηση μίας εκθετικής συνάρτησης οδηγεί πάλι σε μία άλλη εκθετική συνάρτηση, οπότε μία πιθανή συνάρτηση για την απόκριση μετάδοσης είναι η εξής: y (t) = C * e xt (3.11) όπου C : είναι μία αυθαίρετη σταθερά. d y / dt (t) = a*c*e at = a* y(t) d y / dt (t) = a *C*e at = a * y(t) και κλπ. Οπότε τελικά η σχέση (3.10) παίρνει την εξής μορφή : a 0 * C * e at + a 1 * a * C * e at +.+ a * a * C * e at = 0 και όταν τελικώς διαιρεθεί με τον όρο C * e at προκύπτει : a 0 + a 1 * a +.+ a * a = 0 ή D(a) = 0 (3.1) Η εξίσωση (3.1) είναι η Χ.Ε. όπου το S αντικαταστάθηκε από το a. Όποτε η τιμή του a στην προτεινόμενη απόκριση μετάδοσης (σχέση 3.11) θα είναι μία ρίζα της Χ.Ε. Ο συντελεστής C μπορεί να έχει οποιαδήποτε τιμή η οποία ουσιαστικά καθορίζεται από το σύστημα εισόδου, τις αρχικές συνθήκες και τον αριθμητή της Σ.Μ. α. Σχέση Μεταξύ Χ.Ε. και Μοντέλων Μεταβλητών Καταστάσεων. Οι εξισώσεις : dx / dt (t) = A X(t) + B*u(t) και y(t) = C*X(t) + D*u(t) δίνουν την γενική μορφή μεταβλητής κατάστασης για ένα δυναμικό σύστημα. Η Σ.Μ. αυτού του συστήματος δίνεται από την εξής σχέση: Y/u (s) = C*[s*I-A] -1 *B + D. την ορίζουσα: Ο ανάστροφος ενός πίνακα προκύπτει αν διαιρέσουμε τον adj πίνακα με

6 [s*i A] -1 = adj (s*i A) / s*i A. Οπότε ο παρονομαστής της Σ.Μ. καθορίζεται από την ορίζουσα του πίνακα [s*i-a]. Η Χ.Ε. του συστήματος προκύπτει αν εξισώσουμε την ορίζουσα με μηδέν (0): s*i A = 0 (3.14) Σ ένα τέτοιο μοντέλο, τα χαρακτηριστικά μετάδοσης του συστήματος καθορίζονται από τον πίνακα Α. Οι ρίζες της Χ.Ε. αυτής της μορφής τιμές χαρακτηριστικής συνάρτησης του πίνακα Α. β. Στιγμιαία Απόκριση Συστήματος. Η στιγμιαία απόκριση ενός συστήματος έχει θεωρητικό μόνο ενδιαφέρον, αφού ο Μ/Σ Laplace ενός μοναδιαίου παλμού είναι ένα (1): L { δ (t) } = 1. Ο Μ/Σ Laplace της στιγμιαίας απόκρισης θα είναι : Y(s) = G(s) * 1. Δηλαδή η στιγμιαία απόκριση ενός συστήματος είναι απλά ο αντίστροφος Μ/Σ Laplace της Σ.Μ. του: Στιγμιαία Απόκριση = L -1 {G(s)} = g(t) (3.15) Οπότε η στιγμιαία απόκριση και η Σ.Μ. είναι το ίδιο αν τις δούμε από το πεδίο του χρόνουκαι το πεδίο του -s αντίστοιχα. Για παράδειγγμα ο Μ/Σ Laplace της εκθετικής συνάρτησης είναι: L { e -at }= 1 / s+a. Τροποποιώντας την Σ.Μ. ενός συστήματος πρώτου βαθμού βλέπουμε ότι: 1/τ 1 / τ+s = L { 1/τ *e -t / τ }. Οπότε η στιγμιαία απόκριση είναι : g(t) = 1/ τ * e -t / τ την Χ.Ε. Το παραπάνω αποτέλεσμα συμφωνεί με την μετάδοση που προκύπτει από 6. Το Πεδίο S Μία Χαρακτηριστική Εξίσωση - βαθμού έχει - ρίζες που η κάθε μία αντιστοιχεί σ ένα όρο της μεταβατικής απόκρισης. Το άθροισμα αυτών των όρων είναι η συνολική μετάβαση.

7 Προκειμένου ν αναπτύξουμε τη σχέση ανάμεσα στις ρίζες της Χ.Ε. και στη μετάβαση πρέπει να παραστήσουμε γραφικά τις ρίζες, οι οποίες μπορεί να είναι είτε πραγματικές ή μιγαδικές. Μία τέτοια παράσταση ονομάζεται διάγραμμα στο πεδίο S. Οι άξονες του πεδίου -S είναι τα πραγματικά και φανταστικά μέρη δηλαδή : S = σ + j*ω (3.16) 7. Σχέσεις μεταξύ θέσης πόλων και μετάδοσης. Μέχρι εδώ είδαμε ότι κάθε πόλος δίνει έναν όρο στην ολική απόκριση μετάδοσης. Οι πόλοι μπορεί να είναι ευκρινείς ή απλοί, εναλλακτικά μπορεί να είναι επαναλαμβανόμενοι ή πολλαπλοί.μια πιο σύνθετη μορφή είναι επίσης και οι μιγαδικοί πόλοι. α. Ευκρινείς Πραγματικοί Πόλοι. Κάθε ευκρινής πόλος αντιστοιχεί σε ένα εκθετικό όρο της απόκρισης μετάδοσης, όπου ο καθένας σχετίζεται με μία αυθαίρετη σταθερά., Πεδίο Πόλων Όρος μετάδοσης s=σ y (t) = C e σt Για να εξασθενήσει η απόκριση συναρτήσει του χρόνου, πρέπει το σ να είανι αρνητικό, οπότε ο πόλος θα βρίσκεται στον αρνητικό πραγματικό άξονα.όσο πιο αριστερά βρίσκονται οι πόλοι τόσο μεγαλύτερη εξασθένηση έχουμε, ενώ οι πόλοι που είναι στον πραγματικό θετικό άξονα αντιστοιχούν σε εκθετικούς όρους που αυξάνονται με το χρόνο.συστήματα στα οποία ο όρος μετάδοσης αυξάνεται αόριστα με το χρόνο, ονομάζονται ασταθή συστήματα.αντιθέτως συστήματα στα οποία οι όροι μετάδοσης εξασθενολυν συναρτήσει του χρόνου ονομάζονται σταθερά συστήματα.ένας απλός πραγματικός πόλος αφορά συστήμτα πρώτου βαθμού. β. Ευκρινείς Μιγαδικοί Πόλοι Οι ρίζες χαρακτηριστικών εξισώσεων δευτέρου και άνω βαθμού μπορεί να έιναι μιγαδικές.για παραγματικά συστήματα οι μιγαδικοί πόλοι δίνονται από τις ακόλουθες συζυγείς εξισώσεις s 1 = σ + j ω, s = σ - j ω Οι όροι μετάδοσης που προκύπτουν από τους παραπάνω πόλους θα είναι y (t) = C 1 e (σ+jω)t + C e (σ-jω)t

8 Προκειμένου το y να έχει πραγματική τιμή, οι σταθερές C 1 και C πρέπει επίσης να είναι συζυγείς μιγαδικοί, δηλ. C 1, C = α ±jb = R e ±jθ Οπότε y (t) = R e jθ e (σ+jω)t + R e -jθ e (σ-jω)t R e σ t e j(ωt+θ) + e -j(ωt+θ) y (t) = R e σ t cos (ωt+θ) (3.17) Οπότε ο όρος μετάδοσης είναι μία ημιτονοειδής συνάρτηση της συχνότητας ω (rad per sec) η οποία πολλαπλασιάζεται με μία εκθετική συνάρτηση φθίνουσα (ή αθξανόμενη) με ρυθμό που καθορίζεται από το σ.οι αυθαίρετες σταθερές C 1, C έχουν αντικατασταθεί από δύο άλλες,r, οι οποίες σχετίζονατι με το εύρος του ημιτόνου καθώσ και γωνία θ, που σχετίζεται με τη φάση.εφόσον η τιμή του R είναι αυθαίρετη, η εξίσωση 3.17 μπορεί να γραφεί: Πεδίο Πόλων s = σ ± j ω Όρος μετάδοσης y (t) = R e σ t cos (ωt+θ) Για να είναι ένα σύστημα σταθερό πρέπει οι μιγαδικοί πόλοι να βρίσκονατι στο αριστερό μισό τμήμα του πεδίου s. γ. Επαναλαμβανόμενοι Πόλοι Όταν έχουμε επαναλαμβανόμενες ρίζες στη χαρακτηριστική εξίσωση τότε οι όροι μετάδοσης είναι της μορφής y (t) = (C 1 + C t + C 3 t + + C m t m ) e αt (3.18) όπου ο όρος m είναι ο βαθμός των επαναλαμβανόμενων ριζών. Οι τιμές των αυθαίρετων σταθερών C 1 και C εξαρτώνται από τα μηδενικά, την είσοδο και τις αρχικές συνθήκες, ενώ η τιμή του α εξαρτάται μόνο απο τη θέση του επαναλαμβανόμενου πόλου.όταν ο πόλος έχει ένα αρνητικό πραγματικό τμήμα, ο όρος θα εξασθενήσει προς το μηδέν. δ. Γενική Ευστάθεια στο Πεδίο s. Οποιοσδήποτε πόλος ευκρινής ή επαναλαμβανόμενος, πραγματικός ή μιγαδικός, που έχει ένα θετικό πραγματικό μέρος οδηγεί σε ένα όρο μετάδοσης που αυξάνεται με το χρόνο.οπότε για ένα σύστημα το οποίο βρίσκεται σε σταθερή κατάσταση μετά από οποιαδήποτε είσοδο ή διαταραχή, θε πρέπει όλοι οι όροι της απόκρισης μετάδοσης να τείνουν στο μηδέν.έτσι, για να είναι σταθερό ένα σύστημα πρέπει όλοι οι πόλοι του συστήματος να βρίσκονται στο αρνητικό (αριστερό) μισό του πεδίου s.η θέση των μηδενικών δεν επηρεάζει την ευστάθεια του συστήματος.

9 Συστήματα τα οποία δεν έχουν πόλους στο δεξί μισό τμήμα του πεδίου, έχουν όμως έναν ή περισσότερους πόλους πάνω στον άξονα των φανταστικών ονομάζονται οριακά ευσταθή. Ένας ελεύθερος ολοκληρωτής (με πόλο στην αρχή των συντεταγμένων) είναι ένα παράδειγμα συστήματος κρισίμου ευστάθειας με μηδενική συχνότητα. 8 Σύστημα Δευτέρου Βαθμού. Θα ήταν πολύ χρήσιμο να εισάγουμε μία τυποποιημένη συνάρτηση μεταφοράς δευτέρου βαθμού με όλες τις σχετικές της παραμέτρους. Ας θεωρήσουμε την ακόλουθη συνάρτηση Y k ( s) = X k + Cs+ ms όπου k είναι συντελεστής ψυχρότητας, C ο συντελεστής απόσβεσης του πλάτους ταλάντωσης και m η μάζα. Διαιρώντας με το k προκύπτει η Σ.Μ. σε μορφή Bode, η οποία είναι: Y X ( s) = 1+ ( C 1 k) s + ( m k) s (3.0) Οι σχετικές παράμετροι οι οποίες χρησιμοποιούνται είναι: (α). (β). Η κυκλική ιδιοσυχνότητα (φυσική συχνότητα), ω, η οποία σχετίζεται με την ταχύτητα ταλάντωσης της μετάδοσης. Ο συντελεστής απόσβεσης, ζ, ο οποίος δεν έχει διαστάσεις και αντιπροσωπεύει το ποσοστό απόσβεσης του συστήματος. Με τη χρήση των παραπάνω παραμέτρων, η βασική μορφή μίας Σ.Μ. δευτέρου βαθμού είναι Y X 1 ( s) = 1+ ζ s ω + ( s ω ) (3.1) Συγκρίνοντας τις εξισώσεις 3.0 και 3.1 προκύπτουν οι εξής ισότητες συντελεστών: m/k = 1/ω από την οποία προκύπτει ότι ω = k / m (3.) C/k = ζ/ω από την οποία προκύπτει ότι ζ = C ω C = (3.3) k km Σχέση μεταξύ ζ και ω και θέσης πόλων Οι πόλοι του βασικού συστήματος δευτέρου βαθμού όπως προκύπτουν από την εξίσωση 3.1 είναι οι ακόλουθοι:

10 s = η οποία αν απλοποιηθεί γίνεται ζ ω ± (ζ ω ) 4 ω s = -ζ ω ± ω ω ζ 1 (3.4) Έχουμε τέσσερις περιπτώσεις να μελετήσουμε: Συστήματα χωρίς απόσβεση, (ζ=0). Αν το σύστημα δεν έχει καθόλου απόσβεση τότε οι πόλοι βρίσκονται στον άξονα των φανταστικών και έχουν τιμή s = ± j ω Η μετάδοση είναι ένα συνεχές ημίτονο της ιδιοσυχνότητας ω η οποία δεν αυξομειώνεται με το χρόνο. Η μηδενική απόσβεση δηλαδή παράγει μία απλή αρμονική κίνηση. Σ αυτή την περίπτωση η κυκλική ιδιοσυχνότητα είναι η συχνότητα στην οποία το σύστημα εκτελεί ταλάντωση. Συστήματα με απόσβεση, (0<ζ<1). Εξετάζοντας την εξ.(3.4) βλέπουμε ότι όταν η απόσβεση έχει τιμές μικρότερες της μονάδος τότε όλοι οι πόλοι είναι μιγαδικοί. Τα πραγματικά και φανταστικά μέρη των πόλων δίνονται από τις ακόλουθες ισότητες αντίστοιχα, σ = -ζ ω (3.5) jω = j ω 1 ζ (3.6) Η συχνότητα στην οποία έχουμε ταλάντωση προκύπτει από τη σχέση, ω d = ω 1 ζ (3.7) και ονομάζεται φυσική συχνότητα με απόσβεση και είναι πάντοτε μικρότερη της ιδιοσυχνότητας ω. Κρίσιμα συστήματα απόσβεσης, ζ=1. Όταν ο συντελεστής απόσβεσης ισούται με τη μονάδα, το φανταστικό μέρος μηδενίζεται οπότε έχουμε ένα διλπό πόλο στο s = - ω Σ αυτή την περίπτωση δεν έχουμνε καθόλου ταλάντωση και η απόσβεση ονομάζεται κρίσιμη απόσβεση. Συστήματα πλήρους απόσβεσης, ζ>1. Εάν η τιμή της απόσβεσης ξεπεράσει την κρίσιμη τιμή, τότε οι πόλοι είναι πραγματικοί και η μετάδοση αποτελείται από δύο πραγματικές εκθετικές συναρτήσεις, ως ακολούθως y(t) = C 1 e a1t + C e at όπου α 1 = -ζ ω + ω ζ 1 α = -ζ ω - ω ζ 1 9. Λεπτομερής παρουσίαση της παράστασης του πεδίου ορισμού του χρόνου.

11 α. Κριτήρια Βηματικής Απόκρισης Τα σχήματα 3.11 (α) και (β) απεικονίζουν τη γενική βηματική απόκριση δύο συστημάτων, ενός με ταλάντωση και ενός άλλου με μονοτονική απόκριση χωρίς καθόλου ταλάντωση.για τα συστήματα ταλάντωσης, το ποσοστό ταλάντωσης μπορεί να καθοριστεί από την επι τοις εκατό υπερύψωση (peak overshoot) η οποία δίνεται από τον τύπο % υπερύψωση = 100 m 1 /m 0 (3.30) Ο ρυθμός εξασθένησης καθορίζεται από δύο επιτυχείς υπερυψώσεις, οπότε ρυθμός εξασθένησης = m 3 /m 1 (3.31) Ο χρόνος αποκατάστασης, t s, εκφράζει το χρόνο που χρειάζεται για την εξασθένηση της μετάδοσης μέσα σε κάποια προκαθορισμένη ζώνη, η οποία συνήθως κυμαίνεται από ±% και ±5%. Για τα συστήματα ταλάντωσης η ταχύτητα της ταλάντωσης εκφράζεται σε όρους όπως ο χρόνος έως την πρώτη κορύφωση ή περίοδος ταλάντωσης. Ο χρόνος απόκρισης καθορίζεται από το χρόνο ανύψωσης, t r, o οποίος για μία απόκριση ταλάντωσης είναι ο χρόνος που χρειάζεται για να φτάσει από την αρχική στην τελική τιμή.συνήθως ο χρόνος ανύψωσης για συστήματα χωρίς ταλάντωση καθορίζεται σαν ο χρόνος ανύψωσης από το 10% στο 90% της τελικής τιμής. β. Συστήματα Πρώτου Βαθμού. Ένα σύστημα Α βαθμού έχει μία μονοτονική βηματική απόκιση, η μετάδοση της οποίας εκφράζεται από μία απλή εκθετική συνάρτηση, y (t) = Ce -t/τ Μετά από μία σταθερά χρόνου (π.χ. t=τ) η μετάδοση εξασθενεί οπότε έχουμε y /C (τ) = e -1 =0.37 Αυτό σημαίνει ότι η απόκριση βρίσκεται εντός των ορίων (1-0.37) ή στο 63% της σταθερής τιμής.το ποσοστό 63% του χρόνου ανύψωσης αντιστοιχεί σε μία σταθερά χρόνου για ένα σύστημα Α βαθμού. Ο χρόνος αποκατάστασης 5%, t s μπορεί εύκολα να υπολογιστεί από τη σχέση 0.05= e -t s /τ, οπότε t s = -τ l(0.05) 3τ Δηλαδή ο χρόνος αποκατάστασης ενός συστήματος Α βαθμού είναι περίπου τρεις σταθερές χρόνου. γ. Συστήματα Δευτέρου Βαθμού, Λογαριθμική μείωση και Ρυθμός Απόσβεσης.

12 Η βηματική απόκριση ενός συστήματος εξασθένησης β βαθμού, φτάνει στην πρώτη κορυφή (peak) μέσα στη μισή περίοδο ταλάντωσης. Η μετάδοση ταλαντούται στην εξασθενημένη φυσική συχνότητα και είναι ίση με το φανταστικό τμήμα των πόλων. Οπότε ο χρόνος για την πρώτη κορύφωση είναι 1 π π t p = = (3.3) ω d ω d Ο χρόνος ανύψωσης είναι το μισό αυτής της τιμής και μικραίνει όταν η φυσική συχνότητα εξασθένησης αυξάνεται. Η απόκριση μετάδοσης εκφράζεται από τη σχέση (3.17), ενώ τα πραγματικά και φανατστικά μέρη των πόλων δίνονται από τις Εξ. (3.5) και (3.6) αντίστοιχα. y (t) = R e -ζω t cos (ω d t+θ) (3.33) Το Σχέδιο 3.1 δείχει τη γενική μορφή αυτής της συνάρτησης. Οι θετικές και αρνητικές αιχμές της ταλάντωσης πραγματοποιούνται σε χρόνους οι οποίοι διαχωρίζονται από τη μισή ημιτονοειδή περίοδο, π/ω d. Τα πλάτη αυτών των αιχμών έχουν ορισθεί ως m 1, m, κλπ. Η κάθε αιχμή λαμβάνει χώρα κατά τη χρονική στιγμή που το συνημίτονο παίρνει τη μέγιστη τιμή στο ±1. Το απόλυτο μέγεθος κάθε κορυφής, m k, δίνεται από τη σχέση m k = Re -ζω t k και ο ρυθμός μεταξύ δύο κορυφών διαχωρισμένος σε μισές περιόδους ταλάντωσης θα είναι m m k + k = Re ζω ( t + π ω ) Re k ζω t k d e = ζω t k e e ζω π ω ζω t k d = e ζω π / ω δ όπου αν χρησιμοποιήσουμε τη σχέση (3.7) γίνεται m k + m k = e πζ / 1 ζ (3.34) Το αποτέλεσμα της πααρπάνω σχέσης είναι απλά μία συνάρτηση ρυθμού εξασθένησης, οπότε και εξάγεται το συμπέρασμα ότι μόνο αυτό καθορίζει το σχήμα της μετάδοσης. Για ένα σύστημα β βαθμού, η αναλογία εξασθένησης δίνεται από την αναλογία δύο επιτυχών υπερυψώσεων που χωρίζονατι από ένα ολοκληρωμένο κύκλο, δηλ. Ποσοστό εξασθένησης = m k + πζ / 1 ζ = e (3.35) mk Ο εκθέτης αυτής της συνάρτησης (χωρίς το αρνητικό πρόσημο), ονομάζεται λογαριθμική μείωση και εκφράζεται Λογαριθμική μείωση = l mκ πζ = (3.36) m κ + 1 ζ

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΝΩΡΙΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΣΕ ΕΙΣΟΔΟ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑΣ ΒΑΘΜΙΔΑΣ

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΝΩΡΙΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΣΕ ΕΙΣΟΔΟ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑΣ ΒΑΘΜΙΔΑΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) 1 Πόλος στην αρχή των αξόνων: 2 Πόλος στον αρνητικό πραγματικό ημιάξονα: 3 Πόλος στον θετικό πραγματικό ημιάξονα: 4 Συζυγείς πόλοι πάνω

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 5 η : ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transfer function) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace

Μετασχηματισμοί Laplace Μετασχηματισμοί Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμών Laplace Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f(t) F(s) δ(t) 1 u(t) 1 / s t 1 / s 2 t n n! / s n1 e αt, α>0 1 / (s α) te αt, α>0 1 / (s α) 2 ημωt ω / (s

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE

ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Δρ Γιώργος Μαϊστρος, Χημικός Μηχανικός

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης Δυναμική Μηχανών I 5 5 Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ευστάθεια Συστημάτων Ελέγχου Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Οκτώβριος 011 MATLAB

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Α Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Βηµατική απόκριση ενός γενικού συστήµατος δευτέρας τάξεως

Βηµατική απόκριση ενός γενικού συστήµατος δευτέρας τάξεως Βηµατική απόκριση ενός γενικού συστήµατος δευτέρας τάξεως Έστω σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς = (1) όπου ω 0 >0. (Το ω 0 συχνά λέγεται κυκλική (φυσική) ιδιοσυχνότητα του συστήµατος) Ισχύει = = + +. 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Σημαντική πληροφορία για τη συμπεριφορά και την ευστάθεια ενός γραμμικού συστήματος, παίρνεται, μελετώντας την απόκρισή του

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

Τελεστικοί Ενισχυτές. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής

Τελεστικοί Ενισχυτές. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής Τελεστικοί Ενισχυτές Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής Ο ιδανικός τελεστικός ενισχυτής Είσοδος αντιστροφής Ισοδύναμα Είσοδος μη αντιστροφής A( ) A d 2 1 2 1

Διαβάστε περισσότερα

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ . ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να δώσει μια γενική εικόνα του τι είναι σήμα και να κατατάξει τα διάφορα σήματα σε κατηγορίες ανάλογα με τις βασικές ιδιότητες τους. Επίσης,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Ανάλυση Κυκλωμάτων Σήματα Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Εισαγωγή Για την ανάλυση των ηλεκτρικών κυκλωμάτων μαζί με την μαθηματική περιγραφή των

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

Επικοινωνίες στη Ναυτιλία

Επικοινωνίες στη Ναυτιλία Επικοινωνίες στη Ναυτιλία Εισαγωγή Α. Παπαδάκης, Αναπλ. Καθ. ΑΣΠΑΙΤΕ Δρ. ΗΜΜΥ Μηχ. ΕΜΠ Βασικά Αντικείμενα Μαθήματος Σήματα Κατηγοριοποίηση, ψηφιοποίηση, δειγματοληψία, κβαντισμός Βασικά σήματα ήχος, εικόνα,

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3) Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω

Διαβάστε περισσότερα

Υποθέστε ότι ο ρυθμός ροής από ένα ακροφύσιο είναι γραμμική συνάρτηση της διαφοράς στάθμης στα δύο άκρα του ακροφυσίου.

Υποθέστε ότι ο ρυθμός ροής από ένα ακροφύσιο είναι γραμμική συνάρτηση της διαφοράς στάθμης στα δύο άκρα του ακροφυσίου. ΕΡΩΤΗΜΑ Δίνεται το σύστημα δεξαμενών του διπλανού σχήματος, όπου: q,q : h,h : Α : R : οι παροχές υγρού στις δύο δεξαμενές, τα ύψη του υγρού στις δύο δεξαμενές, η διατομή των δεξαμενών και η αντίσταση ροής

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Ε. Μ. Πολυτεχνείο Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Γ. ΠΑΠΑΝΑΝΟΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : Συναρτήσεις Δικτύων Βασικοί ορισμοί Ας θεωρήσουμε ένα γραμμικό, χρονικά

Διαβάστε περισσότερα

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Σύστημα ονομάζουμε ένα σύνολο στοιχείων κατάλληλα συνδεδεμένων μεταξύ τους για να επιτελέσουν κάποιο έργο Είσοδο ονομάζουμε τη διέγερση, εντολή ή αιτία η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 7 η : ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Εργαστηριακοί Συνεργάτες: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ, Α. ΟΙΚΟΝΟΜΙΔΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ 7 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο: j j j Έτσι το μέτρο: ιαγράμματα χρήση ασυμπτώτων τομή τους

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας 6 Ncola Tapaoul Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 4 Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος

Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος Εισαγωγή Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ05-2 Μία κατασκευή λέγεται ότι εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση όταν μετακινηθεί από τη θέση στατικής ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Αρμονική Φόρτιση

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Αρμονική Φόρτιση Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Αρμονική Φόρτιση Αρμονική Ταλάντωση Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση: Δ8- Η αρμονική διέγερση αποτελεί θεμελιώδη μορφή διέγερσης στη Δυναμική των Κατασκευών λόγω της μαθηματικής

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Απόκριση Συχνότητας Αναλογικών Σ.Α.Ε Διαγράμματα BODE Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Συστηµάτν Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα:

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: 1 Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: Όπου Κ R α) Να βρεθεί η περιγραφή στο χώρο κατάστασης και η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429. 4. Σήματα

3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429. 4. Σήματα 3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429 4. Σήματα 1 Σήματα Σήματα είναι: σχήματα αλλαγών που αντιπροσωπεύουν ή κωδικοποιούν πληροφορίες σύνολο πληροφορίας ή δεδομένων σχήματα αλλαγών στο χρόνο, π.χ. ήχος, ηλεκτρικό σήμα εγκεφάλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας.

Διαβάστε περισσότερα

5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα

5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα 5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα Γενικά, ένα λειτουργικό δομικό διάγραμμα έχει συγκεκριμένη δομή που περιλαμβάνει: Τις δομικές μονάδες (λειτουργικά τμήματα ή βαθμίδες) που συμβολίζουν συγκεκριμένες

Διαβάστε περισσότερα

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο Μετασχηματισμός Ζ Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο μετασχηματισμός Z (Ζ-Τransform: ZT) χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο για την ανάλυση των διακριτών σημάτων και συστημάτων αποτελεί ό,τι ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΥΠΟΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Δρ Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #20 Πόλοι και μηδενικά Διάγραμμα πόλων και μηδενικών Ιδιότητες της περιοχής σύγκλισης Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Μετασχηματισμός Laplace Αμφίπλευρος μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016 ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 2013-14 (Ιούνιος 2014)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 2013-14 (Ιούνιος 2014) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 201314 (Ιούνιος 2014) ΘΕΜΑ 1 Ο (3,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό λειτουργικό διάγραμμα που περιγράφει ένα αναγνωριστικό αυτοκινούμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 6//0 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ Σωματίδιο μάζας m = Kg κινείται ευθύγραμμα και ομαλά στον

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου (Ιούνιος 2014)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου (Ιούνιος 2014) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικς περιόδου χειμερινού εξαμνου 201314 (Ιούνιος 2014) ΘΕΜΑ 1 Ο (2,0 μονάδες) Να σχεδιαστεί το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα του για τον ηλεκτρικό θερμοσίφωνα του σχματος. Είσοδος

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής

ΧΡΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής ΧΡΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Τα κυκλώματα που θεωρούμε εδώ είναι γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

Οι Μιγαδικοί Αριθμοί

Οι Μιγαδικοί Αριθμοί Οι Μιγαδικοί Αριθμοί Οι μιγαδικοί αριθμοί αρχικά βοήθησαν στην επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων των οποίων η διακρίνουσα είναι αρνητική Το γενικότερο πρόβλημα βέβαια είναι ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014 ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://wwwstudy4examsgr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z 7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων 1 1. Είδη γενικευμένων μονοβαθμίων συστημάτων xu

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Σήματα και Συστήματα στο Πεδίο της Επιμέλεια: Αθανάσιος N. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ασκήσεις Πράξης

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ασκήσεις Πράξης ΑΝΩΤΑΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Καθηγητς: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθ. Εφαρμ: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΗΜΕΘΟΔΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Κίνησης

Έλεγχος Κίνησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 1501 - Έλεγχος Κίνησης Ενότητα: Συστήματα Ελέγχου Κίνησης Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Επομένως το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος είναι 2.

Επομένως το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος είναι 2. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΛΗ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Το φέρον σε ένα σύστημα DSB διαμόρφωσης είναι c t A t μηνύματος είναι το m( t) sin c( t) sin c ( t) ( ) cos 4 c και το σήμα. Το διαμορφωμένο σήμα διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο.

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο. Υπενθυμίζουμε ότι αν ένα σύστημα είναι ευσταθές, τότε η απόκριση είναι άθροισμα μίας μεταβατικής και μίας μόνιμης. Δηλαδή, αν το σύστημα είναι ευσταθές όπου και Είθισται, σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα:

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα: ΦΙΛΤΡΑ 6.. ΦΙΛΤΡΑ Το φίλτρο είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας παίρνει σημαντικές τιμές μόνο για συγκεκριμένες ζώνες του άξονα συχνοτήτων. Στο Σχήμα 6.6 δείχνουμε την απόκριση συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + +

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + + Μετασχηματισμός aplace ορίζεται ως εξής : t X() [x( t)] xte () dt = = Ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : t x(t) = [ X()] = X() e dt π j c C είναι μία καμπύλη που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) Άσκηση 1. Α) Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος την χρονική στιγμή t=0 sec ο διακόπτης κλείνει. Βρείτε τα v c και i c. Οι πυκνωτές είναι αρχικά αφόρτιστοι. Β)

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΙV. ΤΜΗΜΑ ΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι Μονοβασίλης Θεόδωρος

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΙV. ΤΜΗΜΑ ΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι Μονοβασίλης Θεόδωρος ΤΜΗΜΑ ΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι Μονοβασίλης Θεόδωρος ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΙV Συναρτήσεις στο Mathematica Στο Mathematica υπάρχουν ορισμένες πολλές βασικές συναρτήσεις όπως ημίτονο, συνημίτονο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Γ.Π. ΠΑΠΑΒΑΣΙΛΟΠΟΥΛΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 2

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Γ.Π. ΠΑΠΑΒΑΣΙΛΟΠΟΥΛΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΑΙ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Γ.Π. ΠΑΠΑΒΑΣΙΛΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

6-Μαρτ-2009 ΗΜΥ Μετασχηματισμός z

6-Μαρτ-2009 ΗΜΥ Μετασχηματισμός z 6-Μαρτ-29 ΗΜΥ 429. Μετασχηματισμός . Μετασχηματισμός 6-Μαρτ-29 Μετασχηματισμός Μέθοδος εκπροσώπησης, ανάλυσης και σχεδιασμού συστημάτων και σημάτων διακριτού χρόνου. Ό,τι είναι η μέθοδος Lplce στο συνεχή

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID. Ελεγκτής τριών όρων Η συνάρτηση μεταφοράς του PID ελεγκτή είναι η ακόλουθη:

ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID. Ελεγκτής τριών όρων Η συνάρτηση μεταφοράς του PID ελεγκτή είναι η ακόλουθη: ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID Εισαγωγή Αυτό το βοήθημα θα σας δείξει τα χαρακτηριστικά καθενός από τους τρεις ελέγχους ενός PID ελεγκτή, του αναλογικού (P), του ολοκληρωτικού (I) και του διαφορικού (D) ελέγχου, καθώς και

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέματα Ηλεκτρονικών 1

Ειδικά Θέματα Ηλεκτρονικών 1 Ειδικά Θέματα Ηλεκτρονικών 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3...2 ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΕΝΙΣΧΥΤΩΝ...2 3.1 Απόκριση συχνότητας ενισχυτών...2 3.1.1 Παραμόρφωση στους ενισχυτές...5 3.1.2 Πιστότητα των ενισχυτών...6 3.1.3

Διαβάστε περισσότερα

1. Μεταβατικά φαινόμενα Κύκλωμα RC

1. Μεταβατικά φαινόμενα Κύκλωμα RC . Μεταβατικά φαινόμενα.. Κύκλωμα RC Το κύκλωμα του Σχήματος είναι το απλούστερο κύκλωμα Α τάξης και αποτελείται από μια πηγή συνεχούς τάσης, που είναι η διέγερσή του, εν σειρά με μια αντίσταση και έναν

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κίνηση σε μία διάσταση

Κεφάλαιο 1. Κίνηση σε μία διάσταση Κεφάλαιο 1 Κίνηση σε μία διάσταση Κινηματική Περιγράφει την κίνηση, αγνοώντας τις αλληλεπιδράσεις με εξωτερικούς παράγοντες που ενδέχεται να προκαλούν ή να μεταβάλλουν την κίνηση. Προς το παρόν, θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Τοποθετήστε τη δισκέτα στο drive B και σε περιβάλλον MS-DOS πληκτρολογήστε: B:

Τοποθετήστε τη δισκέτα στο drive B και σε περιβάλλον MS-DOS πληκτρολογήστε: B: Συστήματα floppy disk Τοποθετήστε τη δισκέτα στο drive B και σε περιβάλλον MS-DOS πληκτρολογήστε: B: Συστήματα σκληρού δίσκου Οι χρήστες σκληρού δίσκου θα πρέπει να δημιουργήσουν ένα directory με το όνομα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥMΟ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 15/11/2015

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥMΟ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 15/11/2015 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 0-06 ΜΑΘΗΜΑ /ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥMΟ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: //0 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΚΥΜΑ ΘΕΜΑ Α Α. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση η συχνότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Συνάρτηση Μεταφοράς Σ.Δ.Δ. Διακριτοποίηση Συν. Μεταφοράς Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΘΕΜΑ 1 Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ με περίοδο Τ και πλάτος Α. Αν διπλασιάσουμε το πλάτος της ταλάντωσης τότε η περίοδος της θα : α. παραμείνει

Διαβάστε περισσότερα