ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ"

Transcript

1 ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η χρονική απόκριση μπορεί να ληφθεί από αναλυτικά μέσα όπως η μέθοδος μετασχηματισμού Laplace, εναλλακτικά δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί εξομοίωση από Η/Υ. Η προσέγγιση που προσπαθούμε να αναπτύξουμε, γίνεται για να κατανοήσουμε τη σχέση μεταξύ της Σ.Μ. και της χρονικής απόκρισης χρησιμοποιώντας μία απλή ομάδα αναλυτικών σχέσεων. Η εξομοίωση μέσω Η/Υ μπορεί να μας δώσει την απόκριση ενός δεδομένου συστήματος μόνο, δεν μπορεί όμως να μας πεί πως να τροποποιήσουμε το σύστημα ώστε να πετύχουμε μία συγκεκριμένη απόκριση. Γι αυτό το λόγο η εξομοίοωση μεμονωμένα δεν αποτελεί εργαλείο σχεδίασης και η γνώση της σχέσης μεταξύ των παραμέτρων μίας συνάρτησης μεταφοράς και των χαρακτηριστικών της απόκρικσής της είναι απαραίτητη. Μέχρι προσφάτως χρησιμοποιούνταν ευρέως αναλογικοί Υπολογιστές για να επιλύσουν διαφορικές εξισώσεις και δυναμικά συστήματα εξομοίωσης. Τώρα πλέον έχουν αντικατασταθεί από τους ψηφιακούς Υπολογιστές οι οποίοι μας παρέχουν γρήγορα, ευέλικτα και ακριβή εργαλεία εξομοίωσης. 1. Δοκιμαστικά σήματα Συστήματος ( System test sigals). Η απόκριση ενός δυναμικού συστήματος εξαρτάται όχι μόνο από την Σ.Μ. αλλά και από το σήμα εισόδου και τις αρχικές συνθήκες.η ακριβής είσοδος του Συστήματος δεν είναι γνωστή εκ των προτέρων, παρ όλα αυτά αν η απόδοση του συστήματος με συγκεκριμένα καλώς επιλεγμένα δοκιμαστικά σύματα είναι ευνοική τότε μπορεί να επιτευχθεί όταν υπόκεοται σε ακριβείς εισόδους λειτουργίας. α. Μονάδες Μετρήσεως. Η συνάρτηση μεταφοράς αντιπροσωπεύει την δυναμική ευαισθησία ενός συστήματος, οπότε ε χει μονάδες του συστήματος εξόδου που διανέμονται από το σύστημα εισόδου. Οι μονάδες που σχετίζονται με τα σήματα εισόδου εξόδου αντιπροσωπεύουν μετατόπιση, τάση, πίεση, θερμοκρασία και άλλες ποσότητες. Για να απλοποιήσουμε την κατάσταση, τα σήματα συχνά κανονικοποιούνται και τα χρησιμοποιούμε σαν να ήταν χωρίς διάσταση. Συνήθως η μονάδα του χρόνου εκφράζεται σε sec ενώ η μονάδα του συντελεστή Laplace S πρέπει να καθορίζεται κάθε φορά. β. Διαβαθμίσεις χρόνου. Τα πρακτικά συστήματα έχουν ένα ευρύ φάσμα κλίμακας χρόνου, πράγμα που σημαίνει ότι οι χρόνοι απόκρισης εκφράζονται σε μία κλίμακα από microsec έως hour. Αυτό μπορεί να δημιουργήσει προβλήματα ανακρίβειας στην εξομοίωση, οπότε η εξομοίωση μπορεί

2 να επιβραδυνθεί με έναν παράγοντα α εάν κάθε συντελεστής του s μέσα στην Σ.Μ. πολλαπλασιασθεί με το α. Η απόκριση μπορεί να επιταχυνθεί εάν το α είναι μικρότερο της μονάδος. γ. Βασικά σήματα εισόδου. Το πιό διαδεδομένο σήμα για τις δοκιμές των δυναμικών συστημάτων είναι η βηματική είσοδος. Μία βηματική είσοδος επιτυγχάνεται με ξαφνική αλλαγή από μία σταθερή τιμή σε μία άλλη. Εάν το εύρος του βήματος κανονικοποιηθεί στη μονάδα τότε έχουμε μοναδιαία βηματική είσοδο. Εάν η είσοδος μεταβάλεται σταδιακά τότε ένα χρήσιμο δοκιμαστικό σήμα είναι η αναρριχητική είσοδος ( ramp iput ).. Σταθερή Κατάσταση και Απόκριση Ταλάντωσης Η συνολική απόκριση ενός δυναμικού συστήματος θα αποτελείται από δύο ξεχωριστά τμήματα. Το πρώτο είναι το τμήμα της ταλάντωσης το οποίο, όπως δηλώνει και το όνομά του, πεθαίνει όσο ο χρόνος περνά και το δεύετρο είναι αυτό της σταθερής κατάστασης το οποίο παραμένει όταν μακριά από το μηδέν το τμήμα της ταλάντωσης έχει τελείωσει (Σχ. 1.). Συνολική Απόκριση = Απόκριση Σταθερής Κατάστασης + Απόκριση Ταλάντωσης Και τα δύο τμήματα απόκρισης, σταθερής κατάστασης και ταλάντωσης, εξαρτώνται σύμφωνα με τα σήματα εισόδου τα οποία εφαρμόζωνται στο σύστημα. Όπως και να έχει η δόμη ή το σχήμα της ταλάντωσης εξαρτάται μόνο από την εξίσωση του συστήματος και είναι ανεξάρτητη από το σήμα εισόδου. 3. Ταξινόμηση Συστήματος Οι Συναρτήσεις Μεταφοράς μπορούν να ταξινομηθούν με διάφορους τρόπους.έχουμε ήδη δει ότι ο βαθμός ενός συστήματος είναι η υψηλότερη δύναμη του s στη συνάρτηση μεταφοράς.ο βαθμός του συστήματος είναι πολύ σημαντικός στον καθορισμό του τύπου απόκρισης που τελικώς θα πάρουμε.η μελέτη σταθερών και στιγμιαίων αποκρίσεων διαφόρων συστημάτων θα μας οδηγήσει σε χρήσιμους διαχωρισμούς. α. Όταν η είσοδος ενός συστήματος κρατείται σταθερή σε κάποια τιμή, η έξοδος που θα προκύψει θα έχει και αυτή κάποια σταθερή τιμή.η σχέση μεταξύ αυτής της σταθερής κατάστασης εισόδου-εξόδουονομάζεται στατική ευαισθησία συστήματος ή κέρδος σταθερής κατάστασης. Σε αυτή την περίπτωση όπου η είσοδος-έξοδος είναι σταθερές σε συγκεκριμένες τιμές μεταβλητών, οι παράγωγοι των σημάτων εισόδου-εξόδου θα είναι μηδέν. Σε μία Σ.Μ. ο συντελεστής Laplace αντιπροσωπεύει τη διάκριση, οπότε το σατθερό κέρδος τουν συστήματος μπορεί να προκύψει αφήνοντας το συντελεστή Laplace να τείνει προς το μηδέν, ενώ οι σταθερές εισόδου-εξόδου

3 d/dt=0 ισούται με s=0, οπότε Κέρδος σταθερής κατάστασης =G(s) s->0 =G(0). Η σταθερή απόκριση ενός συστήματος σε μία σταθερή είσοδο μπορεί να παραχθεί πολλαπλασιάζοντας την είσοδο με το σταθερό κέρδος, π.χ. y = G(0) x Πρέπει να θυμόμαστε πάντα ότι σωστή τιμή θα πάρουμε μόνο στην περίπτωση που η είσοδος είναι σταθερή ή αμετάβλητη. β. Στιγμιαία Απόκριση Συστήματος. Η στιγμιαία απόκριση ενός συστήματος περιγράφει πως η έξοδος αλλάζει στιγμιαία όταν η είσοδος αλλάξει ξαφνικά. Για παράδειγμα, κατά τη διάρκεια της ανόδου μίας βηματικής εισόδου, ο ρυθμός της αλλαγής είναι πολύ μεγάλος, ενώ για ιδεατό βήμα προσεγγίζει το άπειρο.μερικές Σ.Μ. θα δείξουν μία στιγμιαία απόκριση όταν εφαρμοστεί ένα βήμα. Λόγω του ότι ο ρυθμός των αλλαγών των μεταβλητών κατά τη διάρκεια τόσο γρήγορων μεταβολών αγγίζει το άπειρο, η σχέση μεταξύ εισόδου-εξόδου προκύπτει από τη Σ.Μ. αν θέσουμε το συντελεστή s να τείνει στο άπειρο. Στιγμιαίο Κέρδος = G(s) s-> = G( ). Η στιγμιαία απόκριση στην άνοδο του παλμού μίας βηματικής εισόδου προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τη μεταβολή της εισόδου με το στιγμιαίο κέρδος. Σημειώστε ότι το στιγμιαίο κέρδος ενός συστήματος αντιπροσωπεύει τη σχέση ανάμεσα στη μεταβολή της εισόδου και τη μεταβολή της εξόδου. γ. Διαγράμματα Bode Σ.Μ. Συχνά οι Σ.Μ. εκφράζονται σε μία τυποποιημένη μορφή ώστε τα βασικά χαρακτηριστικά να είναι ξεκάθαρα. Οι Σ.Μ. μπορούν να εκφραστούν σε μία τυποποιημένη μορφή που ονομάζεται διάγραμμα Bode, από τον H.W. Bode ο οποίος συνείσφερε πολλά στη θεωρία της απόκρισης συχνότητας. Μία Σ.Μ. σε μορφή Bode εκφράζεται ως ακολούθως : G(s) = K B G (s) S όπου η συνάρτηση G (s) έχει σταθερό μοναδιαίο κέρδος G (0) = 1 Ο όρος S στον παρονομαστή εκπροσωπεί το πλήθος των ελευθέρων ολοκληρωτών (itegrators) στο σύστημα. Ο αριθμός ονομάζεται Αριθμητικός τύπος (Type umber) του συστήματος. Η σταθερά, K B, ονομάζεται κέρδος Bode και για ένα σύστημα τύπου 0 (δηλαδή καθόλου ελεύθεροι ολοκληρωτές ) είναι η ίδια όπως και στο σταθερό κέρδος. Τα

4 συστήματα τύπου 1 και άνω έχουν κέρδος σταθερής κατάστασης άπειρο εφόσον Lim s 0 1/s = Το άπειρο, σταθερής κατάστασης, κέρδος μπορεί να γίνει αντιληπτό αν φανταστούμε έναν ελεύθερο ολοκληρωτή με μία σταθερή είσοδο. Η έξοδος θα αναρριχηθεί αόριστα και ουσιαστικά δεν θα φθάσει ποτέ σε μία σταθερή κατάσταση. 4. Η Χαρακτιριστική Εξίσωση και η Απόκριση Μετάδοσης (Trasiet Respose) Ας θεωρήσουμε μία γενική Σ.Μ. Y / X (s) = G(s) = N(s) / D(s) όπου D(s) είναι ο παρονομαστής της Σ.Μ. και N(s) ο αριθμητής. Πολλαπλασιάζοντας ( χιαστά ) έχουμε : Y(s) * D(s) = X(s) * N(s) (3.7) Εάν η είσοδος του συστήματος είναι 0 τότε η απόκριση που προκύπτει πρέπει να περιέχει ένα μόνο στοιχείο μετάδοσης (εφόσον η απόκριση σταθερής κατάστασης θα ήταν μηδέν). Η μορφή της απόκρισης μετάδοσης οποιουδήποτε συστήματος πρέπει να υπολογισθεί αν θέσουμε X(s) = 0 στη σχέση (3.7), οπότε : Y(s) * D(s) = 0 (3.8) Αποκλείοντας την περίπτωση Y(s) = 0, βρίσκουμε ότι η απόκριση μετάδοσης για ένα γενικό σύστημα καθορίζεται από την ισότητα : D(s) = 0 (3.9) Η παραπάνω σημαντική εξίσωση ονομάζεται Χαρακτηριστική Εξίσωση και η επίλυσή της καθορίζει την μορφή της απόκρισης μετάδοσης για οποιαδήποτε είσοδο. Σημειώσατε ότι μόνο ο παρονομαστής της Σ.Μ. εμφανίζεται στη Χ.Ε.. Επιλύοντας την Χ.Ε. βρίσκουμε τις τιμές του S για τις οποίες μηδενίζεται η D(s). Αυτές οι ρίζες της Χ.Ε. σχετίζονται άμεσα με την τελική απόκριση μετάδοσης. Για να δούμε την συσχέτιση των ριζών της Χ.Ε. με την απόκριση μετάδοσης ας θεωρήσουμε την εξίσωση (3.8) σε μία γενική μορφή όπου η D(s) είναι ένα πολυώνυμο - βαθμού και η Y(s) η μετατροπή κατά Laplace της μετάδοσης ( L { Y (t) } = Y (s) ) : Y(s) (α 0 +a 1 s + +a s )=0 ή α 0 Y(s)+ a 1 s Y(s)+ + a s Y(s) =0 Θεωρώντας ότι ο πολλαπλασιασμός με s στο πεδί του s, ισοδυναμεί με τη

5 διάκρισηστο πεδίο του χρόνου, βλέπουμε ότι η απόκριση μετάδοσης είναι της ακόλουθης μορφής: α 0 Y(t)+ a 1 d y /dt (t) + + a d y /dt (t) = 0 (3.10) Η μετάδοση, y, πρέπει να είναι τέτοια ώστε συνδυαζόμενη με τις παραγώγους στην σχέση (3.10), οι όροι αθροιζόμενοι να ισούνται με το μηδέν (0). Η εκθετική συνάρτηση, e xt, είναι υποψήφια για την επίλυση της σχέσης (3.10) εφόσον η διαφοροποίηση μίας εκθετικής συνάρτησης οδηγεί πάλι σε μία άλλη εκθετική συνάρτηση, οπότε μία πιθανή συνάρτηση για την απόκριση μετάδοσης είναι η εξής: y (t) = C * e xt (3.11) όπου C : είναι μία αυθαίρετη σταθερά. d y / dt (t) = a*c*e at = a* y(t) d y / dt (t) = a *C*e at = a * y(t) και κλπ. Οπότε τελικά η σχέση (3.10) παίρνει την εξής μορφή : a 0 * C * e at + a 1 * a * C * e at +.+ a * a * C * e at = 0 και όταν τελικώς διαιρεθεί με τον όρο C * e at προκύπτει : a 0 + a 1 * a +.+ a * a = 0 ή D(a) = 0 (3.1) Η εξίσωση (3.1) είναι η Χ.Ε. όπου το S αντικαταστάθηκε από το a. Όποτε η τιμή του a στην προτεινόμενη απόκριση μετάδοσης (σχέση 3.11) θα είναι μία ρίζα της Χ.Ε. Ο συντελεστής C μπορεί να έχει οποιαδήποτε τιμή η οποία ουσιαστικά καθορίζεται από το σύστημα εισόδου, τις αρχικές συνθήκες και τον αριθμητή της Σ.Μ. α. Σχέση Μεταξύ Χ.Ε. και Μοντέλων Μεταβλητών Καταστάσεων. Οι εξισώσεις : dx / dt (t) = A X(t) + B*u(t) και y(t) = C*X(t) + D*u(t) δίνουν την γενική μορφή μεταβλητής κατάστασης για ένα δυναμικό σύστημα. Η Σ.Μ. αυτού του συστήματος δίνεται από την εξής σχέση: Y/u (s) = C*[s*I-A] -1 *B + D. την ορίζουσα: Ο ανάστροφος ενός πίνακα προκύπτει αν διαιρέσουμε τον adj πίνακα με

6 [s*i A] -1 = adj (s*i A) / s*i A. Οπότε ο παρονομαστής της Σ.Μ. καθορίζεται από την ορίζουσα του πίνακα [s*i-a]. Η Χ.Ε. του συστήματος προκύπτει αν εξισώσουμε την ορίζουσα με μηδέν (0): s*i A = 0 (3.14) Σ ένα τέτοιο μοντέλο, τα χαρακτηριστικά μετάδοσης του συστήματος καθορίζονται από τον πίνακα Α. Οι ρίζες της Χ.Ε. αυτής της μορφής τιμές χαρακτηριστικής συνάρτησης του πίνακα Α. β. Στιγμιαία Απόκριση Συστήματος. Η στιγμιαία απόκριση ενός συστήματος έχει θεωρητικό μόνο ενδιαφέρον, αφού ο Μ/Σ Laplace ενός μοναδιαίου παλμού είναι ένα (1): L { δ (t) } = 1. Ο Μ/Σ Laplace της στιγμιαίας απόκρισης θα είναι : Y(s) = G(s) * 1. Δηλαδή η στιγμιαία απόκριση ενός συστήματος είναι απλά ο αντίστροφος Μ/Σ Laplace της Σ.Μ. του: Στιγμιαία Απόκριση = L -1 {G(s)} = g(t) (3.15) Οπότε η στιγμιαία απόκριση και η Σ.Μ. είναι το ίδιο αν τις δούμε από το πεδίο του χρόνουκαι το πεδίο του -s αντίστοιχα. Για παράδειγγμα ο Μ/Σ Laplace της εκθετικής συνάρτησης είναι: L { e -at }= 1 / s+a. Τροποποιώντας την Σ.Μ. ενός συστήματος πρώτου βαθμού βλέπουμε ότι: 1/τ 1 / τ+s = L { 1/τ *e -t / τ }. Οπότε η στιγμιαία απόκριση είναι : g(t) = 1/ τ * e -t / τ την Χ.Ε. Το παραπάνω αποτέλεσμα συμφωνεί με την μετάδοση που προκύπτει από 6. Το Πεδίο S Μία Χαρακτηριστική Εξίσωση - βαθμού έχει - ρίζες που η κάθε μία αντιστοιχεί σ ένα όρο της μεταβατικής απόκρισης. Το άθροισμα αυτών των όρων είναι η συνολική μετάβαση.

7 Προκειμένου ν αναπτύξουμε τη σχέση ανάμεσα στις ρίζες της Χ.Ε. και στη μετάβαση πρέπει να παραστήσουμε γραφικά τις ρίζες, οι οποίες μπορεί να είναι είτε πραγματικές ή μιγαδικές. Μία τέτοια παράσταση ονομάζεται διάγραμμα στο πεδίο S. Οι άξονες του πεδίου -S είναι τα πραγματικά και φανταστικά μέρη δηλαδή : S = σ + j*ω (3.16) 7. Σχέσεις μεταξύ θέσης πόλων και μετάδοσης. Μέχρι εδώ είδαμε ότι κάθε πόλος δίνει έναν όρο στην ολική απόκριση μετάδοσης. Οι πόλοι μπορεί να είναι ευκρινείς ή απλοί, εναλλακτικά μπορεί να είναι επαναλαμβανόμενοι ή πολλαπλοί.μια πιο σύνθετη μορφή είναι επίσης και οι μιγαδικοί πόλοι. α. Ευκρινείς Πραγματικοί Πόλοι. Κάθε ευκρινής πόλος αντιστοιχεί σε ένα εκθετικό όρο της απόκρισης μετάδοσης, όπου ο καθένας σχετίζεται με μία αυθαίρετη σταθερά., Πεδίο Πόλων Όρος μετάδοσης s=σ y (t) = C e σt Για να εξασθενήσει η απόκριση συναρτήσει του χρόνου, πρέπει το σ να είανι αρνητικό, οπότε ο πόλος θα βρίσκεται στον αρνητικό πραγματικό άξονα.όσο πιο αριστερά βρίσκονται οι πόλοι τόσο μεγαλύτερη εξασθένηση έχουμε, ενώ οι πόλοι που είναι στον πραγματικό θετικό άξονα αντιστοιχούν σε εκθετικούς όρους που αυξάνονται με το χρόνο.συστήματα στα οποία ο όρος μετάδοσης αυξάνεται αόριστα με το χρόνο, ονομάζονται ασταθή συστήματα.αντιθέτως συστήματα στα οποία οι όροι μετάδοσης εξασθενολυν συναρτήσει του χρόνου ονομάζονται σταθερά συστήματα.ένας απλός πραγματικός πόλος αφορά συστήμτα πρώτου βαθμού. β. Ευκρινείς Μιγαδικοί Πόλοι Οι ρίζες χαρακτηριστικών εξισώσεων δευτέρου και άνω βαθμού μπορεί να έιναι μιγαδικές.για παραγματικά συστήματα οι μιγαδικοί πόλοι δίνονται από τις ακόλουθες συζυγείς εξισώσεις s 1 = σ + j ω, s = σ - j ω Οι όροι μετάδοσης που προκύπτουν από τους παραπάνω πόλους θα είναι y (t) = C 1 e (σ+jω)t + C e (σ-jω)t

8 Προκειμένου το y να έχει πραγματική τιμή, οι σταθερές C 1 και C πρέπει επίσης να είναι συζυγείς μιγαδικοί, δηλ. C 1, C = α ±jb = R e ±jθ Οπότε y (t) = R e jθ e (σ+jω)t + R e -jθ e (σ-jω)t R e σ t e j(ωt+θ) + e -j(ωt+θ) y (t) = R e σ t cos (ωt+θ) (3.17) Οπότε ο όρος μετάδοσης είναι μία ημιτονοειδής συνάρτηση της συχνότητας ω (rad per sec) η οποία πολλαπλασιάζεται με μία εκθετική συνάρτηση φθίνουσα (ή αθξανόμενη) με ρυθμό που καθορίζεται από το σ.οι αυθαίρετες σταθερές C 1, C έχουν αντικατασταθεί από δύο άλλες,r, οι οποίες σχετίζονατι με το εύρος του ημιτόνου καθώσ και γωνία θ, που σχετίζεται με τη φάση.εφόσον η τιμή του R είναι αυθαίρετη, η εξίσωση 3.17 μπορεί να γραφεί: Πεδίο Πόλων s = σ ± j ω Όρος μετάδοσης y (t) = R e σ t cos (ωt+θ) Για να είναι ένα σύστημα σταθερό πρέπει οι μιγαδικοί πόλοι να βρίσκονατι στο αριστερό μισό τμήμα του πεδίου s. γ. Επαναλαμβανόμενοι Πόλοι Όταν έχουμε επαναλαμβανόμενες ρίζες στη χαρακτηριστική εξίσωση τότε οι όροι μετάδοσης είναι της μορφής y (t) = (C 1 + C t + C 3 t + + C m t m ) e αt (3.18) όπου ο όρος m είναι ο βαθμός των επαναλαμβανόμενων ριζών. Οι τιμές των αυθαίρετων σταθερών C 1 και C εξαρτώνται από τα μηδενικά, την είσοδο και τις αρχικές συνθήκες, ενώ η τιμή του α εξαρτάται μόνο απο τη θέση του επαναλαμβανόμενου πόλου.όταν ο πόλος έχει ένα αρνητικό πραγματικό τμήμα, ο όρος θα εξασθενήσει προς το μηδέν. δ. Γενική Ευστάθεια στο Πεδίο s. Οποιοσδήποτε πόλος ευκρινής ή επαναλαμβανόμενος, πραγματικός ή μιγαδικός, που έχει ένα θετικό πραγματικό μέρος οδηγεί σε ένα όρο μετάδοσης που αυξάνεται με το χρόνο.οπότε για ένα σύστημα το οποίο βρίσκεται σε σταθερή κατάσταση μετά από οποιαδήποτε είσοδο ή διαταραχή, θε πρέπει όλοι οι όροι της απόκρισης μετάδοσης να τείνουν στο μηδέν.έτσι, για να είναι σταθερό ένα σύστημα πρέπει όλοι οι πόλοι του συστήματος να βρίσκονται στο αρνητικό (αριστερό) μισό του πεδίου s.η θέση των μηδενικών δεν επηρεάζει την ευστάθεια του συστήματος.

9 Συστήματα τα οποία δεν έχουν πόλους στο δεξί μισό τμήμα του πεδίου, έχουν όμως έναν ή περισσότερους πόλους πάνω στον άξονα των φανταστικών ονομάζονται οριακά ευσταθή. Ένας ελεύθερος ολοκληρωτής (με πόλο στην αρχή των συντεταγμένων) είναι ένα παράδειγμα συστήματος κρισίμου ευστάθειας με μηδενική συχνότητα. 8 Σύστημα Δευτέρου Βαθμού. Θα ήταν πολύ χρήσιμο να εισάγουμε μία τυποποιημένη συνάρτηση μεταφοράς δευτέρου βαθμού με όλες τις σχετικές της παραμέτρους. Ας θεωρήσουμε την ακόλουθη συνάρτηση Y k ( s) = X k + Cs+ ms όπου k είναι συντελεστής ψυχρότητας, C ο συντελεστής απόσβεσης του πλάτους ταλάντωσης και m η μάζα. Διαιρώντας με το k προκύπτει η Σ.Μ. σε μορφή Bode, η οποία είναι: Y X ( s) = 1+ ( C 1 k) s + ( m k) s (3.0) Οι σχετικές παράμετροι οι οποίες χρησιμοποιούνται είναι: (α). (β). Η κυκλική ιδιοσυχνότητα (φυσική συχνότητα), ω, η οποία σχετίζεται με την ταχύτητα ταλάντωσης της μετάδοσης. Ο συντελεστής απόσβεσης, ζ, ο οποίος δεν έχει διαστάσεις και αντιπροσωπεύει το ποσοστό απόσβεσης του συστήματος. Με τη χρήση των παραπάνω παραμέτρων, η βασική μορφή μίας Σ.Μ. δευτέρου βαθμού είναι Y X 1 ( s) = 1+ ζ s ω + ( s ω ) (3.1) Συγκρίνοντας τις εξισώσεις 3.0 και 3.1 προκύπτουν οι εξής ισότητες συντελεστών: m/k = 1/ω από την οποία προκύπτει ότι ω = k / m (3.) C/k = ζ/ω από την οποία προκύπτει ότι ζ = C ω C = (3.3) k km Σχέση μεταξύ ζ και ω και θέσης πόλων Οι πόλοι του βασικού συστήματος δευτέρου βαθμού όπως προκύπτουν από την εξίσωση 3.1 είναι οι ακόλουθοι:

10 s = η οποία αν απλοποιηθεί γίνεται ζ ω ± (ζ ω ) 4 ω s = -ζ ω ± ω ω ζ 1 (3.4) Έχουμε τέσσερις περιπτώσεις να μελετήσουμε: Συστήματα χωρίς απόσβεση, (ζ=0). Αν το σύστημα δεν έχει καθόλου απόσβεση τότε οι πόλοι βρίσκονται στον άξονα των φανταστικών και έχουν τιμή s = ± j ω Η μετάδοση είναι ένα συνεχές ημίτονο της ιδιοσυχνότητας ω η οποία δεν αυξομειώνεται με το χρόνο. Η μηδενική απόσβεση δηλαδή παράγει μία απλή αρμονική κίνηση. Σ αυτή την περίπτωση η κυκλική ιδιοσυχνότητα είναι η συχνότητα στην οποία το σύστημα εκτελεί ταλάντωση. Συστήματα με απόσβεση, (0<ζ<1). Εξετάζοντας την εξ.(3.4) βλέπουμε ότι όταν η απόσβεση έχει τιμές μικρότερες της μονάδος τότε όλοι οι πόλοι είναι μιγαδικοί. Τα πραγματικά και φανταστικά μέρη των πόλων δίνονται από τις ακόλουθες ισότητες αντίστοιχα, σ = -ζ ω (3.5) jω = j ω 1 ζ (3.6) Η συχνότητα στην οποία έχουμε ταλάντωση προκύπτει από τη σχέση, ω d = ω 1 ζ (3.7) και ονομάζεται φυσική συχνότητα με απόσβεση και είναι πάντοτε μικρότερη της ιδιοσυχνότητας ω. Κρίσιμα συστήματα απόσβεσης, ζ=1. Όταν ο συντελεστής απόσβεσης ισούται με τη μονάδα, το φανταστικό μέρος μηδενίζεται οπότε έχουμε ένα διλπό πόλο στο s = - ω Σ αυτή την περίπτωση δεν έχουμνε καθόλου ταλάντωση και η απόσβεση ονομάζεται κρίσιμη απόσβεση. Συστήματα πλήρους απόσβεσης, ζ>1. Εάν η τιμή της απόσβεσης ξεπεράσει την κρίσιμη τιμή, τότε οι πόλοι είναι πραγματικοί και η μετάδοση αποτελείται από δύο πραγματικές εκθετικές συναρτήσεις, ως ακολούθως y(t) = C 1 e a1t + C e at όπου α 1 = -ζ ω + ω ζ 1 α = -ζ ω - ω ζ 1 9. Λεπτομερής παρουσίαση της παράστασης του πεδίου ορισμού του χρόνου.

11 α. Κριτήρια Βηματικής Απόκρισης Τα σχήματα 3.11 (α) και (β) απεικονίζουν τη γενική βηματική απόκριση δύο συστημάτων, ενός με ταλάντωση και ενός άλλου με μονοτονική απόκριση χωρίς καθόλου ταλάντωση.για τα συστήματα ταλάντωσης, το ποσοστό ταλάντωσης μπορεί να καθοριστεί από την επι τοις εκατό υπερύψωση (peak overshoot) η οποία δίνεται από τον τύπο % υπερύψωση = 100 m 1 /m 0 (3.30) Ο ρυθμός εξασθένησης καθορίζεται από δύο επιτυχείς υπερυψώσεις, οπότε ρυθμός εξασθένησης = m 3 /m 1 (3.31) Ο χρόνος αποκατάστασης, t s, εκφράζει το χρόνο που χρειάζεται για την εξασθένηση της μετάδοσης μέσα σε κάποια προκαθορισμένη ζώνη, η οποία συνήθως κυμαίνεται από ±% και ±5%. Για τα συστήματα ταλάντωσης η ταχύτητα της ταλάντωσης εκφράζεται σε όρους όπως ο χρόνος έως την πρώτη κορύφωση ή περίοδος ταλάντωσης. Ο χρόνος απόκρισης καθορίζεται από το χρόνο ανύψωσης, t r, o οποίος για μία απόκριση ταλάντωσης είναι ο χρόνος που χρειάζεται για να φτάσει από την αρχική στην τελική τιμή.συνήθως ο χρόνος ανύψωσης για συστήματα χωρίς ταλάντωση καθορίζεται σαν ο χρόνος ανύψωσης από το 10% στο 90% της τελικής τιμής. β. Συστήματα Πρώτου Βαθμού. Ένα σύστημα Α βαθμού έχει μία μονοτονική βηματική απόκιση, η μετάδοση της οποίας εκφράζεται από μία απλή εκθετική συνάρτηση, y (t) = Ce -t/τ Μετά από μία σταθερά χρόνου (π.χ. t=τ) η μετάδοση εξασθενεί οπότε έχουμε y /C (τ) = e -1 =0.37 Αυτό σημαίνει ότι η απόκριση βρίσκεται εντός των ορίων (1-0.37) ή στο 63% της σταθερής τιμής.το ποσοστό 63% του χρόνου ανύψωσης αντιστοιχεί σε μία σταθερά χρόνου για ένα σύστημα Α βαθμού. Ο χρόνος αποκατάστασης 5%, t s μπορεί εύκολα να υπολογιστεί από τη σχέση 0.05= e -t s /τ, οπότε t s = -τ l(0.05) 3τ Δηλαδή ο χρόνος αποκατάστασης ενός συστήματος Α βαθμού είναι περίπου τρεις σταθερές χρόνου. γ. Συστήματα Δευτέρου Βαθμού, Λογαριθμική μείωση και Ρυθμός Απόσβεσης.

12 Η βηματική απόκριση ενός συστήματος εξασθένησης β βαθμού, φτάνει στην πρώτη κορυφή (peak) μέσα στη μισή περίοδο ταλάντωσης. Η μετάδοση ταλαντούται στην εξασθενημένη φυσική συχνότητα και είναι ίση με το φανταστικό τμήμα των πόλων. Οπότε ο χρόνος για την πρώτη κορύφωση είναι 1 π π t p = = (3.3) ω d ω d Ο χρόνος ανύψωσης είναι το μισό αυτής της τιμής και μικραίνει όταν η φυσική συχνότητα εξασθένησης αυξάνεται. Η απόκριση μετάδοσης εκφράζεται από τη σχέση (3.17), ενώ τα πραγματικά και φανατστικά μέρη των πόλων δίνονται από τις Εξ. (3.5) και (3.6) αντίστοιχα. y (t) = R e -ζω t cos (ω d t+θ) (3.33) Το Σχέδιο 3.1 δείχει τη γενική μορφή αυτής της συνάρτησης. Οι θετικές και αρνητικές αιχμές της ταλάντωσης πραγματοποιούνται σε χρόνους οι οποίοι διαχωρίζονται από τη μισή ημιτονοειδή περίοδο, π/ω d. Τα πλάτη αυτών των αιχμών έχουν ορισθεί ως m 1, m, κλπ. Η κάθε αιχμή λαμβάνει χώρα κατά τη χρονική στιγμή που το συνημίτονο παίρνει τη μέγιστη τιμή στο ±1. Το απόλυτο μέγεθος κάθε κορυφής, m k, δίνεται από τη σχέση m k = Re -ζω t k και ο ρυθμός μεταξύ δύο κορυφών διαχωρισμένος σε μισές περιόδους ταλάντωσης θα είναι m m k + k = Re ζω ( t + π ω ) Re k ζω t k d e = ζω t k e e ζω π ω ζω t k d = e ζω π / ω δ όπου αν χρησιμοποιήσουμε τη σχέση (3.7) γίνεται m k + m k = e πζ / 1 ζ (3.34) Το αποτέλεσμα της πααρπάνω σχέσης είναι απλά μία συνάρτηση ρυθμού εξασθένησης, οπότε και εξάγεται το συμπέρασμα ότι μόνο αυτό καθορίζει το σχήμα της μετάδοσης. Για ένα σύστημα β βαθμού, η αναλογία εξασθένησης δίνεται από την αναλογία δύο επιτυχών υπερυψώσεων που χωρίζονατι από ένα ολοκληρωμένο κύκλο, δηλ. Ποσοστό εξασθένησης = m k + πζ / 1 ζ = e (3.35) mk Ο εκθέτης αυτής της συνάρτησης (χωρίς το αρνητικό πρόσημο), ονομάζεται λογαριθμική μείωση και εκφράζεται Λογαριθμική μείωση = l mκ πζ = (3.36) m κ + 1 ζ

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ 7 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο: j j j Έτσι το μέτρο: ιαγράμματα χρήση ασυμπτώτων τομή τους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) Άσκηση 1. Α) Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος την χρονική στιγμή t=0 sec ο διακόπτης κλείνει. Βρείτε τα v c και i c. Οι πυκνωτές είναι αρχικά αφόρτιστοι. Β)

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα:

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα: ΦΙΛΤΡΑ 6.. ΦΙΛΤΡΑ Το φίλτρο είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας παίρνει σημαντικές τιμές μόνο για συγκεκριμένες ζώνες του άξονα συχνοτήτων. Στο Σχήμα 6.6 δείχνουμε την απόκριση συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι. Σημειώσεις Εργαστηριακών Ασκήσεων

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι. Σημειώσεις Εργαστηριακών Ασκήσεων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Ηλεκτρικών Βιομηχανικών Διατάξεων και Συστημάτων Αποφάσεων ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι Σημειώσεις Εργαστηριακών

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών. Τμήμα Αυτοματισμού. Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακού Ελέγχου. Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου με χρήση MATLAB

Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών. Τμήμα Αυτοματισμού. Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακού Ελέγχου. Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου με χρήση MATLAB Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Αυτοματισμού Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακού Ελέγχου Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου με χρήση MATLAB Επιμέλεια: Ξανθή Παπαγεωργίου E-mail: xanthi.papageorgiou@gmail.com Τμήματα:

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο Μετασχηματισμός Z

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο Μετασχηματισμός Z ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο Μετασχηματισμός Z ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ Ποιός είναι ο DTFT της u(n)?? u(n) e πδ(ω πk) j ω k ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-

Διαβάστε περισσότερα

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ένα σύστηµα εκκρεµούς όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα: Πάνω στη µάζα Μ επιδρά µια οριζόντια δύναµη F l την οποία και θεωρούµε σαν είσοδο στο σύστηµα. Έξοδος του συστήµατος θεωρείται η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Τρέχοντα Κύματα.

2.1. Τρέχοντα Κύματα. 2.1. Τρέχοντα Κύματα. 2.1.1. Στιγμιότυπο κύματος Στη θέση x=0 ενός γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου υπάρχει πηγή κύματος η οποία αρχίζει να ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση y= 0,2ημπt (μονάδες στο

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΦΑΣΗΣ ΔΥΟ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΦΑΣΗΣ ΔΥΟ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 05 ΜΕΤΡΗΣΗ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΦΑΣΗΣ ΔΥΟ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Αντικείμενο της άσκησης αυτής είναι η μέτρηση της διαφοράς φάσης μεταξύ δύο κυματομορφών τάσης σε ένα κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

1. Πειραματική διάταξη

1. Πειραματική διάταξη 1. Πειραματική διάταξη 1.1 Περιγραφή της διάταξης Η διάταξη του πειράματος αποτελείται από έναν αερόδρομο και ένα ή δύο κινητά τα οποία είναι συζευγμένα μέσω ελατήριου. Η κίνηση των ταλαντωτών καταγράφεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

i C + i R i C + i R = 0 C du dt + u R = 0 du dt + u RC = 0 0 RC dt ln u = t du u = 1 RC dt i C = i R = u R = U 0 t > 0.

i C + i R i C + i R = 0 C du dt + u R = 0 du dt + u RC = 0 0 RC dt ln u = t du u = 1 RC dt i C = i R = u R = U 0 t > 0. Α. Δροσόπουλος 6 Ιανουαρίου 2010 Περιεχόμενα 1 Κυκλώματα πρώτης τάξης 2 1.1 Εκφόρτιση κυκλωμάτων RC πρώτης τάξης.................................. 2 1.2 Εκφόρτιση κυκλωμάτων RL πρώτης τάξης...................................

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τις πιο κάτω οδηγίες:

Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τις πιο κάτω οδηγίες: Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τις πιο κάτω οδηγίες:. Η εξέταση διαρκεί 5 h (πέντε ώρες). Υπάρχουν τρεις ερωτήσεις και κάθε μια από αυτές βαθμολογείται με 0 βαθμούς.. Χρησιμοποιήστε μόνο το στυλό που υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακά Φίλτρα. Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα 20/5/2005 1 20/5/2005 2

Ψηφιακά Φίλτρα. Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα 20/5/2005 1 20/5/2005 2 Ψηφιακά Φίλτρα Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα 20/5/2005 1 Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα Στην επεξεργασία σήματος, η λειτουργία ενός φίλτρου είναι να απομακρύνει τα ανεπιθύμητα μέρη ενός σήματος, όπως ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη Αναφορά σε Βασικές Έννοιες Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων

Σύντομη Αναφορά σε Βασικές Έννοιες Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών: «Τεχνολογίες και Συστήματα Ευρυζωνικών Εφαρμογών και Υπηρεσιών» Μάθημα: «Επεξεργασία Ψηφιακού Σήματος και Σχεδιασμός Υλικού» Σύντομη Αναφορά σε Βασικές Έννοιες Ψηφιακής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΠΡΟΣΗΜΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ. 4.1 Τι ονομάζουμε σύνθεση αρμονικών ταλαντώσεων;

ΟΠΡΟΣΗΜΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ. 4.1 Τι ονομάζουμε σύνθεση αρμονικών ταλαντώσεων; Σύνθεση ταλαντώσεων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 4.1 Τι ονομάζουμε σύνθεση αρμονικών ταλαντώσεων; 4.2 Να γίνει η σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας συχνότητας, ίδιας διεύθυνσης, διαφοράς φάσης μεταξύ τους φ,

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1

ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 ΘΕΜΑ 1 0 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

γ. Για την απώλεια της ενέργειας αφαιρούμε την ενέργεια που είχε το σώμα τη χρονική στιγμή t 1, αυτή της

γ. Για την απώλεια της ενέργειας αφαιρούμε την ενέργεια που είχε το σώμα τη χρονική στιγμή t 1, αυτή της Βασικές ασκήσεις στις φθίνουσες ταλαντώσεις.. Μικρό σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με πλάτος που μειώνεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση =,8e,t (S.I.). Να υπολογίσετε: α. το πλάτος της ταλάντωσης τη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική Ενέργεια. Ηλεκτρικό Ρεύμα

Ηλεκτρική Ενέργεια. Ηλεκτρικό Ρεύμα Ηλεκτρική Ενέργεια Σημαντικές ιδιότητες: Μετατροπή από/προς προς άλλες μορφές ενέργειας Μεταφορά σε μεγάλες αποστάσεις με μικρές απώλειες Σημαντικότερες εφαρμογές: Θέρμανση μέσου διάδοσης Μαγνητικό πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ.

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ. 2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ. 2.2.21. σε γραμμικό ελαστικό μέσο. Δύο σύγχρονες πηγές Ο 1 και Ο 2 παράγουν αρμονικά κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ=2m/s κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό διατίθεται με του όρους χρήσης Creative Commons (CC) Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα.

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό διατίθεται με του όρους χρήσης Creative Commons (CC) Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα. 2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό διατίθεται με του όρους χρήσης Creative Commons (CC) Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, διαγράμματα,

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR.

Αναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR. Τα IIR φίλτρα είναι επαναληπτικά ή αναδροµικά, µε την έννοια ότι δείγµατα της εξόδου χρησιµοποιούνται από το σύστηµα για τον υπολογισµό τν νέν τιµών της εξόδου σε επόµενες χρονικές στιγµές. Για να επιτύχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε κίνηση ενός κινητού; 2. Τι ονομάζουμε τροχιά ενός κινητού; 3. Τι ονομάζουμε υλικό σημείο; 4. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

1. Κατά μήκος μιας χορδής μεγάλου μήκους, η οποία ταυτίζεται με τον άξονα x Ox, διαδίδονται ταυτόχρονα

1. Κατά μήκος μιας χορδής μεγάλου μήκους, η οποία ταυτίζεται με τον άξονα x Ox, διαδίδονται ταυτόχρονα ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ 1. Κατά μήκος μιας χορδής μεγάλου μήκους, η οποία ταυτίζεται με τον άξονα x Ox, διαδίδονται ταυτόχρονα δύο αρμονικά κύματα που έχουν εξισώσεις y 1 = 0,1ημπ(5t,5x) (S.I.) και y = 0,1ημπ(5t

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Α ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Α ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 7 Ιανουαρίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α Α4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ 1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ Το διάγραμμα κυκλικής ροής της οικονομίας (κεφ. 3, σελ. 100 Mankiw) Εισόδημα Υ Ιδιωτική αποταμίευση S Αγορά συντελεστών Αγορά χρήματος Πληρωμές συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. παθητικά: προκαλούν την απώλεια ισχύος ενός. ενεργά: όταν τροφοδοτηθούν µε σήµα, αυξάνουν

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. παθητικά: προκαλούν την απώλεια ισχύος ενός. ενεργά: όταν τροφοδοτηθούν µε σήµα, αυξάνουν 1. Εισαγωγικά στοιχεία ηλεκτρονικών - Ι.Σ. ΧΑΛΚΙΑ ΗΣ διαφάνεια 1 1. ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ Ηλεκτρικό στοιχείο: Κάθε στοιχείο που προσφέρει, αποθηκεύει και καταναλώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Όπως θα δούμε και παρακάτω το φίλτρο είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας παίρνει σημαντικές τιμές μόνο για συγκεκριμένες ζώνες του άξονα συχνοτήτων, δηλαδή «κόβουν» κάποιες ανεπιθύμητες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

(η συντριπτική πλειοψηφία των κυμάτων που μελετάμε), είτε θα κινηθεί προς τα κάτω με -υ max.

(η συντριπτική πλειοψηφία των κυμάτων που μελετάμε), είτε θα κινηθεί προς τα κάτω με -υ max. Η βασική αρχή που πρέπει όλοι να κατανοούμε όταν συζητάμε για την αρχική φάση στο κύμα, είναι ότι όλα τα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου ηρεμούν στη θέση ισορροπίας τους (y = 0) πριν φτάσει σε αυτά το

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Στις ερωτήσεις 4 να σημειώσετε την σωστή. ) Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η συνολική δύναμη που δέχεται: (α) είναι σταθερή.

Διαβάστε περισσότερα

H Ελαστικότητα και οι Εφαρμογές της

H Ελαστικότητα και οι Εφαρμογές της H Ελαστικότητα και οι Εφαρμογές της (1) Ελαστικότητα της Ζήτησης 1A. Ελαστικότητα της Ζήτησης ως προς την Τιμή - Γιαναμετρήσουμετηνευαισθησίατηςζητούμενηςποσότητας( ) στις μεταβολές της τιμής (), μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια:

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια: ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια (όπως ορίζεται στη μελέτη της μηχανικής τέτοιων σωμάτων): Η ενέργεια που οφείλεται σε αλληλεπιδράσεις και κινήσεις ολόκληρου του μακροσκοπικού σώματος, όπως η μετατόπιση

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 2 Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Γραμμικές Εξισώσεις Διαφορών με Σταθερούς Συντελεστές (Linear Constant- Coefficient

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΣΗΣΗ 5

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΣΗΣΗ 5 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΣΗΣΗ 5 Προσδιορισµός του ύψους του οραικού στρώµατος µε τη διάταξη lidar. Μπαλής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 Ν. ΠΑΝΤΕΛΗ ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2012 1 ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 ΚΟΣΤΗ Ν.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ένα σώμα εκτελεί κίνηση που οφείλεται στη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης, που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο, με το ίδιο πλάτος A και συχνότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο T3. Ηχητικά κύµατα

Κεφάλαιο T3. Ηχητικά κύµατα Κεφάλαιο T3 Ηχητικά κύµατα Εισαγωγή στα ηχητικά κύµατα Τα κύµατα µπορούν να διαδίδονται σε µέσα τριών διαστάσεων. Τα ηχητικά κύµατα είναι διαµήκη κύµατα. Διαδίδονται σε οποιοδήποτε υλικό. Είναι µηχανικά

Διαβάστε περισσότερα

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη Σελήνη

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη Σελήνη Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης χολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη - - - - - - - - Διπλωματική Εργασία Αντωνιάδης Παναγιώτης Δημήτριος

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Τι είναι αέριο; Λέμε ότι μία ουσία βρίσκεται στην αέρια κατάσταση όταν αυθόρμητα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 03-01-11 ΘΕΡΙΝΑ ΣΕΙΡΑ Α ΘΕΜΑ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Α ΛΥΚΕΙΟΥ: ΦΥΣΙΚΗ. Ημερομηνία 16 Νοεμβρίου 2014

Α ΛΥΚΕΙΟΥ: ΦΥΣΙΚΗ. Ημερομηνία 16 Νοεμβρίου 2014 Α ΛΥΚΕΙΥ: ΦΥΣΙΚΗ Διαγωνίσματα 13-14 Θεματικό πεδίο: 1 ο Διαγώνισμα Ευθύγραμμη κίνηση Ημερομηνία 16 Νοεμβρίου 14 Διάρκεια Ώρες ΘΕΜΑ 1 5 μονάδες Α. Ερωτήσεις κλειστού τύπου (4x5= Μονάδες) 1. Αν το πουλί-δρομέας

Διαβάστε περισσότερα

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση.

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. 12ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. Το όργανο μέτρησης του βάρους ενός σώματος είναι : α) το βαρόμετρο, β) η ζυγαριά, γ) το δυναμόμετρο, δ) ο αδρανειακός ζυγός.

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exchangers)

1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exchangers) 1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exangers) Οι εναλλάκτες θερµότητας είναι συσκευές µε τις οποίες επιτυγχάνεται η µεταφορά ενέργειας από ένα ρευστό υψηλής θερµοκρασίας σε ένα άλλο ρευστό χαµηλότερης θερµοκρασίας.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΟΥ ΑΡΓΟΤΕΡΑ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΚΑΤΑΡΓΗΘΕΙ.

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΟΥ ΑΡΓΟΤΕΡΑ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΚΑΤΑΡΓΗΘΕΙ. ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΟΥ ΑΡΓΟΤΕΡΑ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΚΑΤΑΡΓΗΘΕΙ. Θα μελετήσουμε τώρα συστήματα που διεγείρονται σε ταλάντωση μέσω εξωτερικής ς που μπορεί να είναι (όπως θα δούμε παρακάτω) σταθερή, μεταβλητού

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ-2: ΚΥΚΛΩΜΑ RC

ΑΣΚΗΣΗ-2: ΚΥΚΛΩΜΑ RC ΑΣΚΗΣΗ-2: ΚΥΚΛΩΜΑ RC Ημερομηνία:. ΤΜΗΜΑ:.. ΟΜΑΔΑ:. Ονομ/νυμο: Α.Μ. Συνεργάτες Ονομ/νυμο: Α.Μ. Ονομ/νυμο: Α.Μ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ (καθένας με δικά του λόγια, σε όλες τις γραμμές) ΒΑΘΜΟΣ#1: ΥΠΟΓΡΑΦΗ: ΣΤΟΧΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας

Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας ΔΥΝΑΜΗ ΕΡΓΟ ΕΝΕΡΓΕΙΑ µηχανική, χηµική, θερµότητα, βαρυτική, ηλεκτρική, µαγνητική, πυρηνική, ραδιοενέργεια, τριβής, κινητική, δυναµική Περιεχόµενα Κεφαλαίου 8 Συντηρητικές

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ η εξεταστική ερίοδος 05 Σελίδα ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ημερομηνία: 700 Διάρκεια: ώρες Ύλη: Ταλαντώσεις Καθηγητής: Ονοματεώνυμο: ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ...3

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ- ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ...3 ΕΝΟΤΗΤΑ 3.. Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ-Z...4 3... ΟΡΙΣΜΌΣ...4 3... ΎΠΑΡΞΗ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΎ-Z...5 3..3. ΙΔΙΌΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΎ-Z... ΕΝΟΤΗΤΑ 3..

Διαβάστε περισσότερα