6. Οι πράξεισ με κλάςματα και θ ςθμαςία των πράξεων

Transcript

1 6. Οι πράξεισ με κλάςματα και θ ςθμαςία των πράξεων Ζρευνεσ δείχνουν ότι ενϊ οι υποψιφιοι δάςκαλοι ζχουν τθν ικανότθτα να χρθςιμοποιοφν αλγορίκμουσ για να πολλαπλαςιάηουν, να διαιροφν και να ςυγκρίνουν κλάςματα, δείχνουν αδυναμία να εξθγιςουν πϊσ λειτουργοφν αυτοί οι αλγόρικμοι. Για παράδειγμα, πολλοί από τουσ υποψιφιουσ εκπαιδευτικοφσ μποροφςαν να εκτελοφν τθ διαδικαςία του να αντιςτρζφουν και να πολλαπλαςιάηουν για να διαιροφν κλάςματα. Δεν μποροφςαν ωςτόςο να εξθγιςουν τθ ςθμαςία αυτισ τθσ διαδικαςίασ (Ball, 1990; Borko et al. 1992; Tirosh, 2000). Οι περιςςότεροι υποψιφιοι δάςκαλοι ιταν πολφ εξαρτθμζνοι με τθ διαδικαςία που λφνεται ζνα πρόβλθμα και όταν τουσ ηθτοφνταν να εξθγιςουν τθν ςτρατθγικι τουσ απλά ανζφεραν αυτι τθ διαδικαςία (π.χ. Caglayan and Olive, 2011; Kajander and Holm, 2011). Οι μακθτζσ εφαρμόηουν καλφτερα τισ υπολογιςτικζσ διαδικαςίεσ όταν καταλαβαίνουν γιατί οι διαδικαςίεσ αυτζσ ζχουν νόθμα. Η εννοιολογικι κατανόθςθ είναι ςθμαντικι για τθ ςωςτι χριςθ των διαδικαςιϊν. Ωςτόςο, οι μακθτζσ ςυχνά διδάςκονται υπολογιςτικζσ διαδικαςίεσ ςτα κλάςματα χωρίσ επαρκι εξιγθςθ για το πϊσ, το γιατί ι το ςε ποιεσ καταςτάςεισ τθσ πραγματικισ ηωισ οι διαδικαςίεσ αυτζσ λειτουργοφν. Οι ζρευνεσ δείχνουν μια κετικι ςχζςθ μεταξφ τθσ διαδικαςτικισ και εννοιολογικισ γνϊςθσ των μακθτϊν ςτα κλάςματα (Forrester, & Chinnappan (2010). Rittle-Johnson and Koedinger (2002, 2009). Rittle-Johnson, Siegler, and Alibali (2001). Για παράδειγμα, γιατί ςτθν πρόςκεςθ και τθν αφαίρεςθ κλαςμάτων κάνουμε τα κλάςματα ομϊνυμα και κρατοφμε τον ίδιο παρονομαςτι; Ενϊ ςτον πολλαπλαςιαςμό πολλαπλαςιάηουμε τουσ παρονομαςτζσ; Ποια είναι θ εννοιολογικι εξιγθςθ για αυτό; Στθν πρόςκεςθ και τθν αφαίρεςθ υπολογίηουμε μζρθ ενόσ ι περιςςότερων όλων, αυτό το όλο ι όλα αλλά και τα μζρθ πρζπει να ζχουν το ίδιο μζγεκοσ για να προςτεκοφν ι να αφαιρεκοφν. Στον πολλαπλαςιαςμό υπολογίηεται ζνα μζροσ ενόσ μζρουσ, ζτςι το μζροσ πρζπει να αλλάξει μζγεκοσ. Μπορείτε να ςυγκρίνετε τισ πράξεισ αυτζσ με αναπαραςτάςεισ κφκλων ι αρικμογραμμϊν για να διαπιςτϊςετε αυτιν τθ διαφορά. Η διδαςκαλία λοιπόν πρζπει να παράςχει εξθγιςεισ ςχετικά με τθ ςθμαςία των υπολογιςτικϊν διαδικαςιϊν ςτα κλάςματα και πρζπει να επικεντρϊςει ταυτόχρονα ςτθν εννοιολογικι κατανόθςθ και τθν διαδικαςτικι ευχζρεια και να δϊςει ζμφαςθ ςτισ ςυνδζςεισ μεταξφ τουσ. Οι Siegler et al. (2010, ςελ ) ςε ζνα οδθγό για τθ διδαςκαλία των κλαςμάτων όπου αναφζρουν πολλά αποτελζςματα ερευνϊν για τθ μάκθςθ των κλαςμάτων, ςτθν 3θ ςφςταςθ με τίτλο «Βοικα τουσ μακθτζσ να καταλάβουν γιατί οι διαδικαςίεσ υπολογιςμοφ με κλάςματα ζχουν ςθμαςία» προτείνουν τζςςερα βαςικά ςθμεία για μια αποτελεςματικι διδαςκαλία των πράξεων με κλάςματα: 1) Χριςθ μοντζλων εμβαδοφ, αρικμογραμμϊν και άλλων οπτικϊν αναπαραςτάςεων γα τθν βελτίωςθ τθσ κατανόθςθσ των τυπικϊν υπολογιςτικϊν διαδικαςιϊν ςτουσ μακθτζσ. 2) Παροχι ευκαιριϊν ςτουσ μακθτζσ για να χρθςιμοποιοφν τθν εκτίμθςθ για τθν πρόβλεψθ ι κρίςθ τθσ λογικότθτασ των απαντιςεων ςε προβλιματα που αφοροφν υπολογιςμοφσ με κλάςματα. 3) Αντιμετϊπιςθ των κοινϊν παρανοιςεων ςχετικά με τισ διαδικαςίεσ υπολογιςμοφ με κλάςματα. 4) Παρουςίαςθ των προβλθμάτων, που αφοροφν ςε υπολογιςμοφσ με κλάςματα, μζςα ςε πλαίςια πραγματικοφ κόςμου με αλθκοφανείσ αρικμοφσ. Αυτά τα τζςςερα ςθμεία προςπακιςαμε να ακολουκιςουμε ςτθ διδαςκαλία των πράξεων ςτα κλάςματα ςτον νζο πρόγραμμα που προτείνεται.

2 Πρόςθεςθ και αφαίρεςθ κλαςμάτων Η παρουςίαςθ των πράξεων τθσ πρόςκεςθσ και τθσ αφαίρεςθσ κλαςμάτων γίνεται προοδευτικά αρχικά με τισ πράξεισ τθσ πρόςκεςθσ και αφαίρεςθσ ομωνφμων κλαςμάτων ςτθν Δ τάξθ και ςτθ ςυνζχεια με τθν πρόςκεςθ και αφαίρεςθ ετερωνφμων κλαςμάτων ςτθν Ε τάξθ. Πρόςθεςη και αφαίρεςη ομωνφμων κλαςμάτων Στο πρόγραμμα αυτό θ κεϊρθςθ του κλάςματοσ με βάςθ τισ κλαςματικζσ μονάδεσ π.χ. = + + ι 3x, θ ανάλυςθ ενόσ κλάςματοσ ςε άκροιςμα ομωνφμων κλαςμάτων με πολλοφσ τρόπουσ και θ αναπαράςταςθ των κλαςμάτων με πολλοφσ τρόπουσ και κυρίωσ με τθν αρικμογραμμι ευνοοφν πολφ και οδθγοφν εφκολα ςτισ πράξεισ τθσ πρόςκεςθσ και αφαίρεςθσ ομωνφμων κλαςμάτων. Οι πράξεισ αυτζσ παρουςιάηονται ςτο 3 ο και 5 ο μάκθμα τθσ Δ τάξθσ ςφμφωνα με τουσ παρακάτω ςτόχουσ: 4.Κ.3. Αναγνωρίηουν το κλάςμα με α >1 ωσ άκροιςμα α κλαςματικϊν μονάδων. 4.Κ.3α. Μποροφν να πραγματοποιοφν και να δικαιολογοφν, με τθ χριςθ οπτικϊν μοντζλων των κλαςμάτων, τθν ανάλυςθ ενόσ κλάςματοσ ςε άκροιςμα ομωνφμων κλαςμάτων με πολλοφσ τρόπουσ. Για παράδειγμα: = + + ι = + = +, 3 = = Κ.3β. Γνωρίηουν ότι θ πρόςκεςθ και θ αφαίρεςθ κλαςμάτων είναι ςυνζνωςθ και διαχωριςμόσ μερϊν από ζνα ίδιο όλο. Προςκζτουν και αφαιροφν ομϊνυμα κλάςματα, με τθ βοικεια τθσ ανάλυςθσ ςε μοναδιαία κλάςματα. Για παράδειγμα, + = =. 4.Κ.3γ1. Μετατρζπουν μεικτοφσ αρικμοφσ ςε κλάςματα και καταχρθςτικά κλάςματα ςε μεικτοφσ αρικμοφσ. Για παράδειγμα: 2 = 2 + = + =. 4.Κ.3γ2. Προςκζτουν και αφαιροφν ομϊνυμουσ μεικτοφσ αρικμοφσ και καταχρθςτικά κλάςματα. Για παράδειγμα: = = 5. 4.Κ.3δ. Λφνουν προβλιματα τα οποία περιλαμβάνουν προςκζςεισ και αφαιρζςεισ ομωνφμων κλαςμάτων που αναφζρονται ςτο ίδιο όλο. Χρθςιμοποιοφν υποβοθκθτικά οπτικά μοντζλα κλαςμάτων.

3 Εικόνα 1: Αναπαράςταςθ τθσ πρόςκεςθσ και αφαίρεςθσ κλαςμάτων με πζταλα λουλουδιϊν. 5 ο μάκθμα Δ τάξθ. Πρόςθεςη και αφαίρεςη ετερωνφμων κλαςμάτων Σε ςυνζχεια των πράξεων τθσ πρόςκεςθσ και αφαίρεςθσ ομωνφμων κλαςμάτων ςτθν Δ τάξθ, ςτθν Ε τάξθ προχωροφμε ςτθν πρόςκεςθ και αφαίρεςθ ετερωνφμων κλαςμάτων ςτο 1 ο και 2 ο μάκθμα. Αρχικά παρουςιάηονται προςκζςεισ και αφαιρζςεισ ετερωνφμων κλαςμάτων με κλάςματα που είναι εφκολα και ζχουν νόθμα και ςχζςθ μεταξφ τουσ όπωσ π.χ. το και το και ςτθ ςυνζχεια παρουςιάηονται ετερϊνυμα κλάςματα και μεικτοί αρικμοί που χρειάηεται να μετατραποφν με ομϊνυμα κλάςματα. Οι ςτόχοι με βάςθ τουσ οποίουσ αναπτφςςεται θ πρόςκεςθ και αφαίρεςθ ετερωνφμων κλαςμάτων είναι οι εξισ: 5.Κ.1. Υπολογίηουν προςκζςεισ και αφαιρζςεισ ετερωνφμων κλαςμάτων με κλάςματα που είναι εφκολα και ζχουν νόθμα και ςχζςθ μεταξφ τουσ όπωσ π.χ. και. Για παράδειγμα, + = 1, επειδι το είναι ίςο με +. Υπολογίηουν ετερϊνυμα κλάςματα των οποίων οι παρονομαςτζσ ο ζνασ είναι πολλαπλάςιοσ του άλλου και είναι εφκολο να γίνουν κοινοί π.χ. + = + = + =. 5.Κ.2. Προςκζτουν και αφαιροφν ετερϊνυμα κλάςματα ι μεικτοφσ αρικμοφσ μετατρζποντάσ τα ςε ιςοδφναμα ομϊνυμα κλάςματα. Για τθν μετατροπι ςε ομϊνυμα πολλαπλαςιάηουν κάκε κλάςμα με τον παρονομαςτι του άλλου ( + = + = ).

4 5.Κ.3. Λφνουν προβλιματα που εμπεριζχουν προςκζςεισ και αφαιρζςεισ ετερωνφμων κλαςμάτων και αναφζρονται ςε ζνα κοινό όλο. Χρθςιμοποιοφν οπτικά μοντζλα κλαςμάτων για να αναπαραςτιςουν το πρόβλθμα. Χρθςιμοποιοφν ςθμεία αναφοράσ το και το 1 και τθν αίςκθςθ των αρικμϊν ςτα κλάςματα για να εκτιμοφν και να αξιολογοφν τθ λογικότθτα των απαντιςεων. Εικόνα 2: Πρόςκεςθ και αφαίρεςθ ετερωνφμων κλαςμάτων με τθ βοικεια τθσ αρικμογραμμισ. 2 ο μάκθμα Ε τάξθ. Πολλαπλαςιαςμόσ κλαςμάτων Πολλζσ φορζσ ο πολλαπλαςιαςμόσ κλάςματοσ με κλάςμα επικεντρϊνεται ςχεδόν αποκλειςτικά ςτθ μάκθςθ του κανόνα, ςφμφωνα με τον οποίο, για να βρεκεί το αποτζλεςμα πολλαπλαςιάηουμε αρικμθτζσ και παρονομαςτζσ (π.χ. x = = ). Το να γνωρίηει κάποιοσ να βρίςκει το αποτζλεςμα τθσ πράξθσ του πολλαπλαςιαςμοφ των κλαςμάτων με τον κανόνα δεν ςθμαίνει απαραίτθτα ότι ξζρει και τθ ςθμαςία τθσ πράξθσ αυτισ. Ζτςι, αν ηθτιςουμε από κάποιον που ξζρει να υπολογίηει το γινόμενο κλαςμάτων, να

5 βρει μια κατάςταςθ ι ζνα πρόβλθμα που ερμθνεφει το γινόμενο των κλαςμάτων είναι πολφ πικανό ότι κα δυςκολευτεί να το κάνει. Για παράδειγμα, βρείτε ζνα πρόβλθμα που να αντιςτοιχεί ςτθν πράξθ x. Η δυςκολία αυτι δείχνει μθ κατανόθςθ τθσ ςθμαςίασ του πολλαπλαςιαςμοφ κλάςματοσ με κλάςμα κακϊσ και ζλλειψθ γνϊςθσ και εμπειρίασ των εφαρμογϊν του πολλαπλαςιαςμοφ κλαςμάτων ςε πραγματικζσ καταςτάςεισ. Ευχζρεια ςτον πολλαπλαςιαςμό κλαςμάτων ςθμαίνει ότι ο μακθτισ δεν είναι μόνο ικανόσ να εκτελεί τον αλγόρικμο αλλά επίςθσ να μοντελοποιεί προβλιματα, να κάνει εκτιμιςεισ και να επιλφει καταςτάςεισ τθσ πραγματικότθτασ που εμπεριζχουν πολλαπλαςιαςμό κλαςμάτων. Για το λόγο αυτό ςτθ διδαςκαλία που προτείνουμε επιδιϊκουμε τθν κατανόθςθ τθσ ςθμαςίασ του πολλαπλαςιαςμοφ κλαςμάτων θ οποία μπορεί να πραγματοποιθκεί μζςω παρουςίαςθσ πλαιςιωμζνων καταςτάςεων ι λεκτικϊν προβλθμάτων πολλαπλαςιαςμοφ κλαςμάτων, μοντζλων που αναπαριςτοφν τον πολλαπλαςιαςμό κλαςμάτων και εκτίμθςθσ του αποτελζςματοσ. Η ςημαςία του πολλαπλαςιαςμοφ κλάςματοσ με κλάςμα. Ζςτω ότι ζχουμε το εξισ πρόβλθμα: Στο ταψί είχαν μείνει τα τησ πίτασ και ο Δήμοσ πήρε από αυτά τα. Πόςο μζροσ τησ αρχικήσ πίτασ πήρε ο Δήμοσ; Η απάντθςθ ςτο πρόβλθμα αυτό προκφπτει από τον πολλαπλαςιαςμοφ κλάςματοσ με κλάςμα x που ςθμαίνει ζνα κλάςμα ενόσ κλάςματοσ ι το μζροσ ενόσ μζρουσ δθλαδι τα των τθσ πίτασ. Εδϊ χρειάηεται αλλαγι μονάδασ για να βρεκεί το τελικό αποτζλεςμα, ςτο ςυγκεκριμζνο παράδειγμα ζχουμε τρίτα και πζμπτα και για να μποροφμε να υπολογίςουμε, θ μονάδα κα πρζπει να είναι δζκατα πζμπτα. Εικόνα 3: Αναπαράςταςθ του πολλαπλαςιαςμοφ του κλάςματοσ επί το κλάςμα. Η εξελικτική ανάπτυξη τησ παρουςίαςησ του πολλαπλαςιαςμοφ κλάςματοσ με κλάςμα Η παρουςίαςθ του πολλαπλαςιαςμοφ κλάςματοσ με κλάςμα ακολουκεί μια εξελικτικι πορεία (βλζπε εικόνα 4) θ οποία ξεκινά από τον πολλαπλαςιαςμό ακεραίου με κλάςμα ςτθν Δ τάξθ και καταλιγει ςτον πολλαπλαςιαςμό μεικτϊν αρικμϊν ι καταχρθςτικϊν κλαςμάτων ςτθν Ε τάξθ.

6 Εικόνα 4: Η εξελικτικι ανάπτυξθ τθσ παρουςίαςθσ του πολλαπλαςιαςμοφ κλάςματοσ με κλάςμα. Πολλαπλαςιαςμόσ κλάςματοσ με ακζραιο αριθμό Ο πολλαπλαςιαςμόσ κλάςματοσ με ακζραιο αρικμό παρουςιάηεται ςτθν Δ τάξθ (6 ο και 7 ο μάκθμα) ςφμφωνα με τουσ παρακάτω ςτόχουσ: 4.K.4. Αναγνωρίηουν ζνα κλάςμα ωσ πολλαπλάςιο του α επί το ( = α x ) 4.K.5. Για να πολλαπλαςιάςουν ζναν ακζραιο αρικμό ν με ζνα κλάςμα κεωροφν το ωσ αx, ιςχφει δθλαδι γενικά θ ςχζςθ (ν x = (ν x α) x ). Για παράδειγμα: 4 x = 4 x 3 x = 12 x =. Συνεχίηεται και επεκτείνεται ο πολλαπλαςιαςμόσ κλάςματοσ με κλάςμα ςτθν Ε τάξθ ωσ μεγζκυνςθ (3 ο μάκθμα) ςφμφωνα με τον παρακάτω ςτόχο. 5.K.5. Πολλαπλαςιάηουν κλάςμα και μεικτό κλάςμα με ακζραιο. Ερμθνεφουν τον πολλαπλαςιαςμό ωσ κλίμακα: Επεκτείνουν τθν προθγοφμενθ γνϊςθ από τθν Δ τάξθ πολλαπλαςιαςμοφ κλάςματοσ με ακζραιο. Ερμθνεφουν το γινόμενο ( ) x κ ωσ μεγζκυνςθ του κλάςματοσ, κ φορζσ ( ). Μεγαλϊνει ο αρικμθτισ κ φορζσ άρα και ολόκλθρο το κλάςμα. Χρθςιμοποιοφν οπτικά μοντζλα κλαςμάτων για να δείξουν π.χ. x 5 = 3 x =.

7 Χρθςιμοποιοφμε δφο βαςικά εποπτικά υλικά, τα πζταλα των λουλουδιϊν και τθν αρικμογραμμι (εικόνα 5), για τθν αναπαράςταςθ του κλάςματοσ ωσ πολλαπλάςιο του αρικμθτι με μοναδιαίο κλάςμα ( = α x ) και τον πολλαπλαςιαςμό κλάςματοσ με ακζραιο αρικμό. Εικόνα 5: Τα πζταλα των λουλουδιϊν και θ αρικμογραμμι χρθςιμοποιοφνται ωσ εποπτικά μζςα. Πολλαπλαςιαςμόσ κλάςματοσ με κλάςμα χωρίσ υποδιαιρζςεισ Στθν Ε τάξθ ο πολλαπλαςιαςμόσ κλαςμάτων επεκτείνεται ςτον πολλαπλαςιαςμό κλάςματοσ με κλάςμα χωρίσ υποδιαιρζςεισ (5 ο μάκθμα) ςφμφωνα με τον παρακάτω ςτόχο: 5.K.6. Πολλαπλαςιάηουν κλάςμα με κλάςμα ςε καταςτάςεισ που δεν χρειάηεται περεταίρω υποδιαιρζςεισ. Για παράδειγμα, ςτο πρόβλθμα «Ζμειναν τα τθσ πίτασ. Ο Γιϊργοσ πιρε το τθσ πίτασ που ζμεινε. Πόςο μζροσ τθσ αρχικισ πίτασ πιρε ο Γιϊργοσ;» για να πάρουμε το από τα δεν χρειάηεται να χωρίςουμε περεταίρω τα, παίρνουμε το ζνα από τα που είναι. Με αυτόν τον τρόπο ερμθνεφεται θ πράξθ x =. Οι μακθτζσ μοντελοποιοφν και λφνουν τα προβλιματα πολλαπλαςιαςμοφ κλαςμάτων με το δικό τουσ τρόπο.

8 Πολλαπλαςιαςμόσ κλάςματοσ με κλάςμα με υποδιαιρζςεισ Στθν ςυνζχεια ςτθν Ε τάξθ παρουςιάηεται ο πολλαπλαςιαςμόσ κλάςματοσ με κλάςμα με υποδιαιρζςεισ (6 ο και 7 ο μάκθμα) ςφμφωνα με τον παρακάτω ςτόχο: 5.Κ.7. Χρθςιμοποιοφμε εκτιμιςεισ, πλαίςια προβλθμάτων και οπτικοποιιςεισ για να κατανοθκεί ο πολλαπλαςιαςμόσ κλαςμάτων. Σταδιακά οδθγοφμε τουσ μακθτζσ να ανακαλφψουν τον κανόνα πολλαπλαςιαςμοφ κλάςματοσ με κλάςμα x =. Για τθν οπτικοποίθςθ του πολλαπλαςιαςμοφ των κλαςμάτων κα χρθςιμοποιιςουμε δφο μοντζλα: 1) Το μοντζλο του εμβαδοφ ορκογωνίου και 2) το μοντζλο των λωρίδων. Το μοντζλο του εμβαδοφ ορθογωνίου: Για να βρουν το εμβαδόν του ορκογωνίου, πολλαπλαςιάηουν τα μικθ των πλευρϊν που είναι κλάςματα και αναπαριςτοφν το γινόμενο κλαςμάτων ωσ εμβαδόν ορκογωνίου. Για παράδειγμα, με το μοντζλο του εμβαδοφ, το γινόμενο x = εμφανίηεται όπωσ παρακάτω: Το μοντζλο των λωρίδων: Στο ίδιο παράδειγμα πολλαπλαςιαςμοφ x, ηθτοφνται τα των. Σχεδιάηουμε τα (βλζπε τθν παρακάτω εικόνα) και από αυτά κζλουμε να πάρουμε τα, για να το πετφχουμε αυτό χωρίηουμε κάκε πζμπτο ςε τρία ίςα μζρθ. Ζτςι το διάςτθμα χωρίςτθκε ςε δζκατα-πζμπτα ( ) δθλαδι θ μονάδα μζτρθςθσ μεταβλικθκε ςε δζκαταπζμπτα. Τα ζγιναν. Τα 12 μζρθ κζλουμε να τα χωρίςουμε ςε τρίτα, δθλαδι να τα χωρίςουμε ςε τρία ίςα μζρθ και από αυτά να πάρουμε δφο. Χωρίηουμε λοιπόν τα 12

9 κομμάτια ςε τρία ίςα μζρθ παίρνοντασ 4 μζρθ μαηί και από αυτά τα τρία ίςα μζρθ παίρνουμε τα δφο για να ςχθματίςουμε τα των που είναι τα. Πολλαπλαςιαςμόσ μεικτϊν και καταχρηςτικϊν κλαςμάτων Μετά ςτθν Ε τάξθ ακολουκεί ο πολλαπλαςιαςμόσ μεικτϊν και καταχρθςτικϊν κλαςμάτων (8 ο μάκθμα) ςφμφωνα με τον παρακάτω ςτόχο: 5.K.8. Χρθςιμοποιείτε θ επίλυςθ προβλθμάτων και οι οπτικοποιιςεισ για να ειςαχκεί ο πολλαπλαςιαςμόσ με μεικτά κλάςματα. Ο πολλαπλαςιαςμόσ με μεικτά κλάςματα οπτικοποιείται με το μοντζλο του εμβαδοφ. Για τθν αναπαράςταςθ του γινομζνου μεικτϊν κλαςμάτων με το μοντζλο του εμβαδοφ μετατρζπουμε τα μεικτά κλάςματα ςε καταχρθςτικά. Για παράδειγμα, το γινόμενο των καταχρθςτικϊν κλαςμάτων x = = 5, αναπαρίςταται με το παρακάτω ςχιμα. Κάκε όροσ του γινομζνου και αποτελεί το μικοσ τθσ κάκε πλευράσ του ορκογωνίου που πολλαπλαςιάηονται μεταξφ τουσ και το γραμμοςκιαςμζνο μζροσ είναι θ επιφάνεια που προκφπτει από τον πολλαπλαςιαςμό. Μοναδιαία επιφάνεια είναι θ επιφάνεια του ορκογωνίου με ζντονθ μαφρθ γραμμι θ οποία προκφπτει από το γινόμενο των παρονομαςτϊν των κλαςμάτων (2x3=6). Όλθ θ ςκιαςμζνθ επιφάνεια αναπαριςτά το αποτζλεςμα του πολλαπλαςιαςμοφ και είναι τα ι 5 φορζσ θ μοναδιαία επιφάνεια. Ερμηνεία του πολλαπλαςιαςμοφ κλάςματοσ με κλάςμα

10 Όπωσ αναφζραμε παραπάνω οι Siegler et al. (2010) ζνα από τα βαςικά ςθμεία για μια αποτελεςματικι διδαςκαλία των πράξεων με κλάςματα που προτείνουν είναι θ αντιμετϊπιςθ των κοινϊν παρανοιςεων ςχετικά με τισ διαδικαςίεσ υπολογιςμοφ με κλάςματα. Μια τζτοια παρανόθςθ των μακθτϊν είναι ότι ο πολλαπλαςιαςμόσ πάντα μεγαλϊνει. Στο 8ο μάκθμα τθσ Ε τάξθσ γίνεται προςπάκεια να αντιμετωπιςτεί αυτι θ παρανόθςθ των μακθτϊν με τθν υλοποίθςθ του παρακάτω ςτόχου: 5.Κ.9. Αναγνωρίηουν γιατί όταν πολλαπλαςιάηουμε ζναν αρικμό με ζνα κλάςμα μεγαλφτερο του 1 το γινόμενο που βρίςκουμε είναι μεγαλφτερο από τον αρικμό. Οι μακθτζσ είναι εξοικειωμζνοι και αναγνωρίηουν τον πολλαπλαςιαςμό με ακεραίουσ αρικμοφσ ο οποίοσ μεγαλϊνει. Αναγνωρίηουν γιατί όταν πολλαπλαςιάηουμε ζναν αρικμό με ζνα κλάςμα μικρότερο του 1 το γινόμενο που βρίςκουμε είναι μικρότερο από τον αρικμό. Συνδζουν επίςθσ, τθ ςχζςθ τθσ ιςοδυναμίασ των κλαςμάτων ( = ) με το αποτζλεςμα του πολλαπλαςιαςμοφ του με το 1. Εικόνα 6: Ο πολλαπλαςιαςμόσ κλαςμάτων μπορεί και να μικραίνει. Παράδειγμα από το 8 ο μάκθμα τθσ Ε τάξθσ.

11 Διαίρεςθ κλαςμάτων Η κατανόθςθ τθσ διαίρεςθσ κλαςμάτων, παρόμοια με τον πολλαπλαςιαςμό, κζτει δυςκολίεσ ςε μακθτζσ και εκπαιδευτικοφσ. Πολλζσ φορζσ θ διδαςκαλία επικεντρϊνεται αποκλειςτικά ςτον κανόνα υπολογιςμοφ αντιςτρζφω τον διαιρζτθ και πολλαπλαςιάηωχωρίσ τθν κατανόθςθ τθσ ςθμαςίασ τθσ διαίρεςθσ κλαςμάτων θ οποία μπορεί να προκφψει από τθν επίλυςθ προβλθμάτων τθσ πραγματικισ ηωισ, οπτικοποίθςθσ και αναπαράςταςθσ τθσ διαίρεςθσ, εκτίμθςθσ του αποτελζςματοσ και αντιμετϊπιςθσ τθσ παρανόθςθσ ότι θ διαίρεςθ πάντα μικραίνει. Η ςημαςία τησ διαίρεςησ κλάςματοσ με κλάςμα Για να γίνει κατανοθτι και να αποδοκεί ςθμαςία ςτθ διαίρεςθ κλάςματοσ με κλάςμα ( : ) μπορεί αυτι να κεωρείτε ωσ θ μζτρθςθ του διαιρετζου πόςεσ φορζσ μετράει το μζτρο το μετροφμενο μζγεκοσ ; Παράδειγμα με μζτρο τον διαιρζτθ. Δθλαδι ι πόςεσ φορζσ χωράει το ςτο Μια κορδζλα των 12/5 μζρων τθν κόβουμε ςε κομμάτια των 2/5 του μζτρου. Πόςα κομμάτια θα δθμιουργθθοφν; Στο πρόβλθμα αυτό, κζλουμε να χωρίςουμε τθν κορδζλα των κομμάτια των αρικμογραμμι όπωσ παρακάτω. μζτρων ςε του μζτρου. Μπορεί να γίνει ζνα ςχζδιο με κλαςματικι λωρίδα ι Η ςυμβολικι πράξθ ςτθν οποία κα καταλιξουν είναι : = 6. Εικόνα 7: Διαίρεςθ ομωνφμων κλαςμάτων. Παράδειγμα από το 11 ο μάκθμα τθσ Ε τάξθσ. Στισ διαιρζςεισ των κλαςμάτων μποροφμε να ζχουμε μεγάλθ ποικιλία προβλθμάτων διαφορετικισ δυςκολίασ θ οποία κακορίηεται από τουσ αρικμοφσ του διαιρετζου και του διαιρζτθ τθσ πράξθσ τθσ διαίρεςθσ. Για παράδειγμα, κάποιεσ εφκολεσ διαιρζςεισ κλαςμάτων είναι οι παρακάτω: 3 : ½ ι 3: 0,5 θ οποία ερμθνεφεται εννοιολογικά ωσ πόςα μιςά χωράνε ςτο 3 ι πόςα μιςά ζχει το 3; Μερικά κλάςματα όπωσ το ½ και 1/4 είναι ειδικά κλάςματα και κατανοοφνται εφκολα. Ζτςι

12 οι διαιρζςεισ ½: ¼ πόςα ¼ χωράνε μζςα ςτο1/2; ι ¾ : ¼ πόςα ¼ χωράνε μζςα ςτο ¾; ι 5/8 : 1/8 είναι εφκολεσ. Όταν ο διαιρετζοσ και ο διαιρζτθσ είναι κλάςματα μθ ομϊνυμα και ο διαιρζτθσ είναι μεγαλφτεροσ από το διαιρετζο π.χ. 2/3 : 4/5 τότε ζχουμε τθν πιο δφςκολθ περίπτωςθ (εξθγείται παρακάτω). Με ζναν πιχθ δφο μζτρων μετράω μια απόςταςθ ενόσ μζτρου. Πόςεσ φορζσ χωράει ο μεγάλοσ πιχθσ ςτον μικρό; Μιςι φορά = ½. 1:2 =1/2 αυτόματοσ ςυμβολιςμόσ όχι και τόςο εφκολθ αναπαράςταςθ και κατανόθςθ. ¾: ½ Πόςα μιςά ζχει μζςα του το 3/4. Ζχει ςίγουρα ζνα και περιςςεφει ¼. Στο ¼ το μιςό χωράει μιςι φορά. Άρα το ½ χωράει 1,5=3/2 φορζσ ςτο ¾. Γιαυτό και θ διδαςκαλία τθσ διαίρεςθσ κλαςμάτων αναπτφςςεται εξελικτικά αρχικά με τθ διαίρεςθ ακεραίου αρικμοφ με μοναδιαίο κλάςμα και τθ διαίρεςθ μοναδιαίου κλάςματοσ με ακζραιο και ςτθ ςυνζχεια διαίρεςθ ομωνφμων κλαςμάτων και τζλοσ διαίρεςθ τυχαίων ετερωνφμων κλαςμάτων. Τα εποπτικά μζςα που χρθςιμοποιοφμε γα τθν αναπαράςταςθ τθσ διαίρεςθσ κλαςμάτων είναι οι κλαςματικζσ λωρίδεσ και οι αρικμογραμμζσ. Διαίρεςη ακεραίου με μοναδιαίο κλάςμα Η πρϊτθ απλι κατάςταςθ διαίρεςθσ κλαςμάτων που παρουςιάηεται (10 ο μάκθμα Ε τάξθσ) είναι θ διαίρεςθ ακεραίου με μοναδιαίο κλάςμα ςφμφωνα με τον παρακάτω ςτόχο: 5.K.10α. Πραγματοποιοφν διαίρεςθ ακζραιου αρικμοφ με μοναδιαίο κλάςμα (π.χ. 3: ) με τθ βοικεια πραγματικϊν καταςτάςεων και οπτικϊν κλαςματικϊν μοντζλων. Χρθςιμοποιοφν τθν διαίρεςθ μζτρθςθσ για να εξθγοφν αυτζσ τισ διαιρζςεισ, π.χ. θ κάκε μονάδα ςυμπεριλαμβάνει 4 φορζσ το ι το χωράει 4 φορζσ ςτο 1, επομζνωσ το χωράει 3x4=12 φορζσ ςτο 3. Χρθςιμοποιοφν τθν αντίςτροφθ ςχζςθ μεταξφ πολλαπλαςιαςμοφ και διαίρεςθσ για να εξθγιςουν ότι 3: = 12 επειδι 12 x = Εικόνα 8: Διαίρεςθ ακεραίου με κλαςματικι μονάδα. Παράδειγμα από το 10 ο μάκθμα τθσ Ε τάξθσ.

13 Διαίρεςη μοναδιαίου κλάςματοσ με ακζραιο Στθ ςυνζχεια παρουςιάηεται (10 ο μάκθμα Ε τάξθ) θ διαίρεςθ μοναδιαίου κλάςματοσ με ακζραιο ςφμφωνα με τον παρακάτω ςτόχο: 5.K.10β. Πραγματοποιοφν διαίρεςθ μοναδιαίου κλάςματοσ με ακζραιο αρικμό διάφορο του μθδενόσ (π.χ. : 5) με τθ βοικεια πραγματικϊν καταςτάςεων και οπτικϊν κλαςματικϊν μοντζλων. Χρθςιμοποιοφν τθν αντίςτροφθ ςχζςθ μεταξφ πολλαπλαςιαςμοφ και διαίρεςθσ για να εξθγιςουν ότι ( ) : 5 = επειδι ( ) x 5 =. Ένα κομμάτι κορδζλασ που είναι 1/3 του μζτρου τθ χωρίηουμε ςε 4 ίςα μικρότερα κομμάτια. Ποιο μζροσ του μζτρου θα είναι το κάθε μικρό κομμάτι τθσ κορδζλασ; Ο χωριςμόσ του 1/3 τθσ κορδζλασ ςε 4 ίςα κομμάτια αντιςτοιχεί ςτθν πράξθ : 4. Αρχικά χωρίηεται θ μονάδα ςε 3 μζρθ για να ζχουμε το και ςτθ ςυνζχεια το κομμάτι του τρίτου το χωρίηουμε ςε 4 μζρθ, το μικρό αυτό κομμάτι κα είναι το του αρχικοφ. Άρα : 4= Εικόνα 9: Διαίρεςθ κλαςματικισ μονάδασ με ακζραιο. Παράδειγμα από το 10 ο μάκθμα τθσ Ε τάξθσ. Διαίρεςη κλάςματοσ με κλάςμα Στο 11 ο μάκθμα τθσ Ε τάξθσ προτείνονται ςτουσ μακθτζσ προβλιματα διαίρεςθσ κλαςμάτων αυξανόμενθσ δυςκολίασ δθλαδι αρχικά προτείνονται προβλιματα με διαιρζςεισ ακζραιου με κλαςματικι μονάδα, κλαςματικισ μονάδασ με ακζραιο αρικμό και προβλιματα διαιρζςεισ ομωνφμων κλαςμάτων. Στθ ςυνζχεια προτείνονται προβλιματα με δυςκολότερεσ διαιρζςεισ όπωσ ετερωνφμων κλαςμάτων. Το μάκθμα αυτό βαςίηεται ςτον παρακάτω ςτόχο: 5.Κ.11. Ερμθνεφουν τθ διαίρεςθ κλάςματοσ με κλάςμα ωσ διαίρεςθ μζτρθςθσ ςε προβλιματα και χρθςιμοποιοφν οπτικά μοντζλα και ςυμβολικζσ ςχζςεισ για να αναπαριςτοφν τα προβλιματα. Για παράδειγμα, θ διαίρεςθ :, ερμθνεφεται ωσ διαίρεςθ μζτρθςθ: Πόςα υπάρχουν μζςα ςτα ; Ή μετρϊ τα με μζτρο το πόςεσ φορζσ χωράει; Ή με ποιον αρικμό κα πολλαπλαςιάςω το για να βρω το ; δθλαδι : και = ; x.

14 Βρίςκουμε κοινι μονάδα για να ςυγκρίνουμε το με το, δθλαδι τον κοινό παρονομαςτι που είναι το 15. Ζτςι το χωρίςτθκε ςε 10 και το ςε 12 ίςα μζρθ, δθλαδι το χωράει φορζσ ςτο, επομζνωσ : =, δθλαδι : = x =. Δθλαδι για να διαιρζςουμε ζνα κλάςμα με ζνα άλλο κλάςμα αρκεί να πολλαπλαςιάςουμε το πρϊτο κλάςμα με το αντίςτροφο του δεφτερου. Αναφορζσ Ball, D. L. (1990). The mathematical understanding that prospective teachers bring to teacher education. Elementary School Journal, 90, Borko, H., Eisenhart, M., Brown, C. A., Underhill, R. G., Jones, D., & Agard, P. C. (1992). Learning to teach hard mathematics: Do novice teachers and their instructors give up too easily? Journal for Research in Mathematics Education, 23 (3), Caglayan, G., & Olive, J. (2011). Referential commutativity: Preservice K 8 teachers visualization of fraction operations using pattern block. In L. R. Wiest & T. Lamberg (Eds.), Proceedings of the 33rd annual meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp ). Reno, NV: University of Nevada, Reno. Forrester, T, & Chinnappan, M. (2010). The predominance of procedural knowledge in fractions. In L. Sparrow, B. Kissane & C. Hurst (Eds.), Shaping the future of mathematics education MERGA33 (pp ). Fremantle, WA: MERGA Inc. Kajander, A., & Holm, J. (2011). Mathematics for teaching and learning: Developing teachers conceptual understanding of elementary mathematics. In L. R. Wiest & T. Lamberg (Eds.), Proceedings of the 33rd annual meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp ). Reno, NV: University of Nevada, Reno. Rittle-Johnson, B., & Koedinger, K. R. (2002). Comparing instructional strategies for integrating conceptual and procedural knowledge. Paper presented at the annual meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Athens, GA.

15 Rittle-Johnson, B., & Koedinger, K. (2009). Iterating between lessons on concepts and procedures can improve mathematics knowledge. British Journal of Educational Psychology, 79, Rittle-Johnson, B., Siegler, R. S., & Alibali, M. W. (2001). Developing conceptual understanding and procedural skill in mathematics: An iterative process. Journal of Educational Psychology, 93, Siegler, R., Carpenter, T., Fennell, F., Geary, D., Lewis, J., Okamoto, Y., Thompson, L., & Wray, J. (2010). Developing effective fractions instruction for kindergarten through 8th grade: A practice guide (NCEE # ). Washington, DC: National Center for Education Evaluation and Regional Assistance, Institute of Education Sciences, U.S. Department of Education. Retrieved from whatworks.ed.gov/ publications/practiceguides. Tirosh, D. (2000). Enhancing prospective teachers' knowledge of children's conceptions: the case of division of fractions. Journal for Research in Mathematics Education, 31, 5-25.