ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία Θεώρημα σελ. 145 σχολικού βιβλίου. Α2. Θεωρία Ορισμός σελ. 15 σχολικού βιβλίου

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία Θεώρημα σελ. 145 σχολικού βιβλίου. Α2. Θεωρία Ορισμός σελ. 15 σχολικού βιβλίου"

ῬαΧάβ Καλογιάννης
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Σελίδα αό ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φροντιστήρια Ρούλα Μακρή Τομέας Μαθηματικών Υεύθυνος τομέα: Φάνης Μαργαρώνης Συνεργάστηκαν: Μαργαρίτα Πιεράκη Φαίη Οικονομοούλου Παναγιώτης Ατζέμης ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία Θεώρημα σελ. 45 σχολικού βιβλίου Α. Θεωρία Ορισμός σελ. 5 σχολικού βιβλίου Α3. Παράγωγος της f μορεί να είναι η Τ. Παράγωγος της g μορεί να είναι η Η. Α4. α) Ψευδής β) Αντιαράδειγμα σελ. 6 σχολικού βιβλίου. Α4. α) ΣΩΣΤΟ β) ΣΩΣΤΟ γ) ΛΑΘΟΣ

2 Σελίδα αό ΘΕΜΑ Β Β. Εφόσον η f είναι συνεχής στο εδίο ορισμού της, θα είναι και στο o =. Εομένως θα ισχύει: + lim f () = f () lim = +α = +α α=. + + Πράγματι, για α= η f είναι συνεχής στο o = στα (,) και (, + ). limf() = f() = limf() αλλά και + Έτσι έχουμε: +, > f() = +,. Β. Η f είναι συνεχής στο,4. Είσης η f είναι αραγωγίσιμη στο, με f '() = και στο (, 4 ], με f '() =. Εξετάζουμε αν είναι αραγωγίσιμη στο o =. f () f () + ( )( + ) lim = lim = lim = lim( + ) = και + f() f() + lim = lim = lim lim = ( ). Εομένως η f δεν είναι αραγωγίσιμη στο o = κι έτσι δεν ικανοοιούνται οι ροϋοθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα,4. Β3. Αναζητούμε τα σημεία όου ισχύει: f' ( ) =. 4,> Η αράγωγος της f είναι: f '() =., <

3 Σελίδα 3 αό Για > έχουμε: 4 4 =, δεκτ ή ή = <, αορρί τεται. f '() = = = Είναι f () = και f '() =, οότε η εφατομένη στο σημείο A, 4 είναι η : 3 ( ε) : y f () = f '()( ) y = ( ) 4y 6 = + + 4y = 8. 4 Για < έχουμε: f '() = = =, δεκτ ή Είναι f = και η εφατομένη στο σημείο B, 8 64 είναι η : 65 ( ε): y f = f' + y = y 65 = y = 63. Β4. Η f είναι συνεχής στο, οότε δεν αρουσιάζει κατακόρυφες ασύμτωτες. Παρατηρούμε ότι lim f () = lim + =, άρα η f αρουσιάζει οριζόντια + + ασύμτωτη στο + την ευθεία με εξίσωση y=. Στο - η f δεν έχει ασύμτωτες, εειδή είναι ολυώνυμο ου βαθμού. Θεωρούμε τους κλάδους της f γνωστές συναρτήσεις και με μετατοίσεις : της y= κατά μία μονάδα ρος τα άνω στο (,] της y = κατά μία μονάδα ρος τα άνω στο (, + ), καταλήγουμε στην εξής γραφική αράσταση:

4 Σελίδα 4 αό ΘΕΜΑ Γ Γ. Η f είναι συνεχής και αραγωγίσιμη στο [, ] ως αοτέλεσμα ράξεων συνεχών και αραγωγίσιμων συναρτήσεων. Είναι f '() = συν, συνεχής στο [, ], ενώ η εξίσωση [, ] f '() = συν = = (μοναδική ρίζα). 3 3 Είναι, είσης, f' = = 3 > και f' συνεχής στο, 6, άρα αό 3 συνέειες θεωρήματος Bolzano θα είναι f '() > για κάθε, 3. Αντίστοιχα είναι f' = = < και f' συνεχής στο, 3, άρα αό συνέειες θεωρήματος Bolzano θα είναι f '() < για κάθε, 3. Έτσι ροκύτει ο ίνακας:

5 Σελίδα 5 αό Συμεραίνουμε ότι η f αρουσιάζει: Ολικό μέγιστο για =, το f = Ολικό ελάχιστο για =, το f () =. Τοικό ελάχιστο για =, το f( ) =.. Γ. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές αραγωγίσιμη στο (, ) με f ''() = ηµ < για κάθε (, ) και f συνεχής στο [, ]. Εομένως η f είναι κοίλη στο [ ],. Άρα θα βρίσκεται κάτω αό οοιαδήοτε εφατομένη της, με εξαίρεση το σημείο εαφής., η γραφική αράσταση της f και η εφατομένη της στο Έτσι για οοιοδήοτε o [ ] σημείο (,f( )) Α θα έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, το σημείο εαφής. o o Γ3. α τρόος. I = f () συν d = f () ηµ 'd = f () ηµ f '() ηµ d Είναι: ( ) [ ] Έχουμε: f() ηµ = f( ) ηµ f() ηµ = Και : [ ] ( ) f '() ηµ d = συν ηµ d = συν ηµ d ηµ d συν( ) ( ) d [ ] = ηµ + συν = + συν συν = + =. Έτσι το ζητούμενο ολοκλήρωμα θα είναι: Ι= ( ) =.

6 β τρόος Είναι: [ ] Σελίδα 6 αό I = f () συν d = (ηµ ) συν d = ηµ συνd συνd συν() = ( )'d [ ] d ηµ = + ηµ + ηµ = + + συν = ( ) + =. γ τρόος (υολογισμός του ηµ συν d χωρίς χρήση του τύου ηµ συν = ηµ ( ) ) ηµ ηµ συν d = ηµ συν d = ηµ ηµ 'd = 'd Είναι: ( ) = ηµ = ηµ ηµ = =. δ τρόος (υολογισμός του ηµ συν d με αλλαγή μεταβλητής ) d d 'd Είναι: ηµ συν = ηµ συν = ηµ ( ηµ ) Θέτουμε: = ηµ, άρα d = σν d. Για = είναι =, ενώ για = είναι = Άρα το ολοκλήρωμα γίνεται: d =. Γ4. α) f() ηm ηm lim = lim = lim = =. εειδή: > f() f() lim f () f () ln lim ln = + β) ( ) = ( ) =, f() lim =, αό (α) ερώτημα. f () = f () lim = lim =.

7 Σελίδα 7 αό + ln lim ln = lim = lim + + DLH + =. ( ) ( ) ΘΕΜΑ Δ Δ. Αρκεί να αοδείξω ότι: ln( + ) > + για κάθε >. α τρόος Ισχύει ln για κάθε > με την ισότητα να ισχύει μόνο για =. Θέτω = > +, άρα ρέει >, ενώ η ισότητα ισχύει μόνο για =. Τότε για > και με το = να ισχύει μόνο για =, έχουμε: ln ln( + ) ln( + ) Εομένως για κάθε > θα ισχύει: ln( + ) >, το οοίο είναι το ζητούμενο. + β τρόος Θέτω στη ζητούμενη σχέση όου + = =. Έτσι αρκεί να αοδείξω ότι Ισοδύναμα, αρκεί: ln >, για κάθε >. ln > ln + >, για κάθε >. Θεωρώ τη συνάρτηση g() = ln +, >. Αρκεί να δείξω ότι ισχύει g() >, για κάθε >. Η g είναι συνεχής και αραγωγίσιμη στο ( ) κάθε, +, με g '() = = >, για, +. >. Εομένως η g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο ( ) Συμεραίνουμε ότι θα έχει εδίο τιμών:

8 Σελίδα 8 αό g ( + ) = ( ) = ( + ) g (, ) lim g(), lim g(), + +, αφού: lim g() = lim ln = + = και + + lim g() = lim ln + = Οότε, ράγματι, θα ισχύει g() >, για κάθε >. Δ. Η f είναι συνεχής και αραγωγίσιμη στο Α = (, + ) ως αοτέλεσμα ράξεων μεταξύ συνεχών και αραγωγίσιμων συναρτήσεων. ln( + ) Είναι f '() = + <, λόγω του Δ ερωτήματος. Οότε η f θα είναι γνησίως φθίνουσα στο (, + ), άρα και - και έτσι θα αντιστρέφεται. Το εδίο ορισμού της f είναι το εδίο τιμών της f. Όμως αφού η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, θα ισχύει: f ( Α ) = ( + ) = ( ) = ( ) f f (, ) lim f (), lim f (), + +, εειδή: ln( + ) + lim f () = lim = lim = και ln( + ) lim f () = lim = lim = f() f() Δ3. Αρκεί: ( ) Δ4. Έχουμε: f() > f() + > ln f() + > f()ln ( ) ln f () > ln f( f() ) > f() f() <, ου ισχύει. f() < f() < + f f( α) f ( α) ηµ ( α) + + = ( )f( α ) + ( )f ( α ) + ( )( ) ηµ ( α ) = () Έστω, λοιόν, συνάρτηση h() = ( )f( α ) + ( )f ( α ) + ( )( ) hµ ( α ),

9 Σελίδα 9 αό ορισμένη στα διαστήματα [,] και [, ], σε καθένα αό τα οοία είναι συνεχής ως ολυωνυμική. Τότε η () h() =. Παρατηρούμε ότι: h() = hµ ( α ) >, εειδή > <α< <α<, άρα ηµ ( α ) >. h() = f ( α ) <, εειδή f ( A) = (,). Εομένως αό το θεώρημα Bolzano θα υάρχει τουλάχιστον ένα (,) ώστε να ισχύει: h( ) = και άρα το θα είναι ρίζα της αρχικής εξίσωσης. Αντίστοιχα έχουμε: h() = f ( α ) < h() = f ( α ) >, αφού εδίο τιμών της f () > για κάθε (,). f, τέτοιο, είναι το εδίο ορισμού της f, θα ισχύει Οότε αό το θεώρημα Bolzano θα υάρχει τουλάχιστον ένα (, ) h( ) = και άρα το θα είναι ρίζα της αρχικής εξίσωσης. τέτοιο, ώστε Εομένως η h() έχει τουλάχιστον δύο ρίζες, ενώ είναι ολυώνυμο το ολύ ου βαθμού, εομένως θα έχει το ολύ δύο ρίζες. Συμεραίνουμε, λοιόν, ότι θα έχει ακριβώς δύο ρίζες. Εομένως και η αρχική εξίσωση θα έχει ακριβώς δύο ρίζες, μία στο,. διάστημα (,) και μία στο ( ) Δ5. Η συνάρτηση F είναι συνεχής στο [, e ] και αραγωγίσιμη στο (, e ), εομένως ισχύουν οι ροϋοθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής. Έτσι θα υάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, e) τέτοιο, ώστε: Είσης είναι F'() = f() και F''() = f '() < (αό Δ ερώτημα). F(e) F() F'( ξ ) = f( ξ ) = (). e Εειδή η F' είναι συνεχής, θα έχουμε ότι η F' είναι γνησίως φθίνουσα στο (, + ). Οότε ισχύουν: F' ln(e + ) F(e) F() <ξ< e F'(e) < F'( ξ ) < F'() f (e) < f ( ξ ) < f () < < ln e e (). Τότε αό τη (): F(e) F() F(e) = e ln < ln (e ) ln > e ln F() ln < F(). e

10 Σελίδα αό Μένει να δείξουμε ότι Αό τη () έχουμε: e+ F() < ln e +. ln(e + ) F(e) F() e(e ) > < (e ) ln(e + ) < e F(e) F() e e ( ) F(e) = e ln e (e ) ln(e + ) < e ln ef() F() < eln ln(e + ). e e+ e Εομένως αρκεί να δείξουμε ότι: eln ln(e + ) < ln e e+ e eln ln(e + ) < (e + ) ln ln(e + ) e e ln(e + ) < ln ln(e + ) e e ln(e + ) < ln e + ln(e + ) < ln e e ln(e+ ) < ln e+ <, ου ισχύ eι. e β τρόος για την αόδειξη της e+ F() < ln e + Θα δείξουμε ότι: e+ F() < ln F() < (e + ) ln ln(e + ) e+ F() < e ln + ln ln(e + ) F() < F(e) + ln ln(e + ) F() f () < F(e) e f (e). Θεωρώ συνάρτηση w() = F() f(), >, η οοία είναι αραγωγίσιμη στο (, + ) ως αοτέλεσμα ράξεων μεταξύ αραγωγίσιμων συναρτήσεων, άρα είναι και συνεχής στο (, + ). Αρκεί, λοιόν, να δείξουμε ότι w() < w(e). Είναι: w'() = f() f() f '() = f '() >,

11 Σελίδα αό αφού f '() < αό Δ ερώτημα. Έτσι συμεραίνουμε ότι η w είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο (, + ). Οότε: w < e w() < w(e). Σημειώσεις των καθηγητών:. Στο Α4 θα μορούσαμε, αντί του αραδείγματος ου υάρχει στο σχολικό βιβλίο, να αρουσιάσουμε οοιοδήοτε άλλο ζεύγος συναρτήσεων ή ακόμα και αρόμοιες συναρτήσεις με αυτές του σχολικού βιβλίου, αρκεί να λειτουργούν ως αντιαράδειγμα του ισχυρισμού. Φερ ειείν για τις συναρτήσεις: f() g() = + 8, έχουμε: = και 4 4 ενώ [ ] limf () = + και lim f () + g() = lim + 8 = lim 8 = 8. lim g() =,. Στο Β, για να βρούμε το α, θα μορούσαμε να άρουμε την ισότητα lim f () = lim f () Στο Β θα μορούσαμε να μην αναφέρουμε τη συνέχεια. Εφόσον η f δεν είναι αραγωγίσιμη στο,4 δεν ισχύουν οι ροϋοθέσεις του θεωρήματος Rolle, αρόλο ου είναι συνεχής. Εμείς ακολουθήσαμε την αναμενόμενη σειρά ενεργειών του υοψηφίου. Στο ίδιο ερώτημα, αντίστοιχα, δε χρειάζεται να συνεχίσουμε εξετάζοντας αν ισχύει η ισότητα f = f (4), η οοία βέβαια ισχύει. 4. Στο Β4 θα μορούσαμε να άρουμε αναλυτικά το θεώρημα με τα δύο όρια για την εύρεση της ασύμτωτης στο +, όμως η αρατήρηση ότι lim f () = μας + ειτρέει να τη βρούμε ιο γρήγορα. Ομοίως και για το -, όμως η θεωρία (ο σχόλιο, σελ. 63 σχολικού βιβλίου) εξασφαλίζει ότι η f δεν θα έχει ασύμτωτες στο Στο Β4, ροκειμένου να σχεδιάσουμε τη γραφική αράσταση της f, θα μορούσαμε να άρουμε την f '' για εύρεση της κυρτότητας της f, να βρούμε τα ακρότατα μέσω της f', καθώς και τα σημεία τομής με τους άξονες. Αλλά με δεδομένο ότι οι συναρτήσεις είναι γνωστές αό τη θεωρία δεν κρίνεται σκόιμο.

12 Σελίδα αό 6. Στο Δ, στον β τρόο, η ανισότητα ln > για >, μορεί να αοδειχτεί χωρίς βοηθητική συνάρτηση, ακολουθώντας τη λογική του α τρόου, δηλαδή θέτωντας =, με > και το = να ισχύει μόνο για =, άρα τελικά για κάθε > θα είναι : ln < ln < ln >. 7. Στο Δ4 το ολυώνυμο h() είναι σίγουρα ου βαθμού, αφού γράφεται στη μορφή: ( ) ( ) h() = f( α ) + f ( α ) +hµ ( α) f( α ) + f ( α ) + 3 hµ ( α) + hµ ( α ), με συντελεστή του το: f( α ) + f ( α ) +ηµ ( α ) >, ως άθροισμα θετικών όρων. Παρ όλα αυτά δε χρειάζεται να γραφτεί, καθώς η h() είναι σίγουρα ολυώνυμο το ολύ ου βαθμού, εομένως δεν μορεί να έχει ερισσότερες αό ρίζες.

Σχετικά έγγραφα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ. A1. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ. A1. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω f μια