ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α) Να αοδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f() = ln, [,] αντιστρέφεται και να ορίσετε την f. β) ln d + d =. Β) Δίνεται η συνάρτηση α) h() h(), για κάθε [, + ). = d. Να αοδείξετε ότι: β) h()d =. Α) α) Για κάθε (,) είναι f() = > και εειδή η f είναι συνεχής στο ln [,] συμεραίνουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο [,], άρα είναι και -, οότε αντιστρέφεται. Το σύνολο τιμών της f είναι f([,])=[f(),f()]=[,]. Είναι y=f() και με, y έχουμε y y = = = =. y ln ln y f (y) Άρα β) Αν f :[,] με f () = με [ ] f (,) = [,]. I= lnd και θέσουμε ln = u τότε έχουμε u u = =. d ( ) du d u du Για = είναι u = ln= και για = είναι u = ln =. Έχουμε οότε u =, οότε u u u u u, I= uu du = u( )du = [u ] u du = du = d ln d + d = Β) α) Θεωρούμε τη συνάρτηση d+ συνεχής στο, το, άρα η ( d) = d=. φ()=h()- + = d +,. Η είναι d είναι αραγωγίσιμη στο με. Άρα η φ είναι αραγωγίσιμη στο ως άθροισμα αραγωγισίμων. Για κάθε είναι φ ()=. Είναι φ ()= = = = ( ) = = ή =. φ ()> > > > ( ) > < ή >.

2 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Ο ίνακας μεταβολών της φ είναι αφού - + φ () φ() φ() + =. φ()= d Στο διάστημα [, + ) η φ αρουσιάζει ελάχιστο στο = με ελάχιστη τιμή φ()=. Άρα για κάθε [, + ) είναι φ() φ() h()- + h() -. β) Είναι h()d = () h()d = [h()] h ()d = h() d = ( ) d = = [ ] = ( ) =. ΘΕΜΑ Έστω συνεχής συνάρτηση f στο (, + ), με f()> για κάθε >, f()=, f()= και f ()d f ()d. α) Να αοδείξετε ότι f(u)du f()d. β) Να υολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό τη γραφική αράσταση της f τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις = και =. α) Έστω I= f()d. > Θέτουμε =u άρα d=du d= du. Για = είναι u=. Για = είναι u=. Είναι I = f (u) du = f (u)du f(u)du f()d. β) Θεωρούμε τη συνάρτηση άρα η δοθείσα σχέση γίνεται: Για κάθε (, + ) ισχύει h() = f(u)du f()d, >. f(u)du f()d f(u)du f()d h() h() h() άρα η h αρουσιάζει ελάχιστο στο εσωτερικό σημείο = του εδίου ορισμού της.

3 Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 h() = f(u)du f(u)du f()d είναι αραγωγίσιμη στο (, ) h () = f(u)du f() () f(u)du f() + + h () = ( f(u)du f(u)du) f() f() +. Άρα είναι αραγωγίσιμη και στο = με λοιόν το Θ.Frma. Εομένως + με: h () = f (u)du + f () f (). Ισχύει h() = f(u)du+ f() f() = f(u)du= f() f() f(u)du= f(u)du= 5τ.μ. α) Να αοδείξετε ότι ΘΕΜΑ ημ-συν β) Δίνεται η συνάρτηση f()=, ημ ημ +-ημ για κάθε [, + ).. Να βρείτε: i) Την οριζόντια ασύμτωτη της γραφικής αράστασης της f. ii) Τους αριθμούς α, β ώστε ημ-συν=α( ημ)+β( ημ) για κάθε [, + ). iii) Το εμβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό τη γραφική αράσταση της f, τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις = και =. α) Ισχύει ότι ημ άρα και +-ημ. Είσης θέλουμε να δείξουμε ότι ημ +-ημ. Αρκεί λοιόν να δείξουμε ότι +. Θεωρούμε τη συνάρτηση h()=, [, + ). Είναι h()=. Η h είναι συνεχής στο [, + ), h()> στο (, + ). Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ) οότε για είναι h() h() +. ημ-συν β) i) lim f () = lim + + ημ ημ-συν f() = = ημ-συν ημ ημ αλλά. Για κάθε (, + ) είναι ημ-συν ημ + συν + = = ημ ημ ημ ημ ημ υοερωτήματος. Οότε, f() για κάθε (, + ). λόγω και του α)

4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Είναι lim ( ) + = και lim = οότε αό το Κριτήριο Παρεμβολής lim f () =, + + εομένως η y= είναι οριζόντια ασύμτωτη της C f στο +. ii) Έχουμε για κάθε [, + ) ημ-συν=α( ημ)+β( ημ) ημ-συν=α( ημ)+β( συν) (α+β) (α + )ημ-(β-)συν= για κάθε [, + ). Για = έχουμε (α+β) (α + )ημ-(β-)συν= α+ β β+ = α =. Για = έχουμε (α+β) (α + )ημ -(β-)συν = (α+ β) = α+ β= β =. Εαληθεύουμε ότι ημ-συν=-( ημ)+( ημ), για κάθε [, + ). iii) ημ-συν ημ-συν ( ημ) ( ημ) ημ ημ ημ ημ ( ημ) [ ]d [ln( ημ)] ln( ). ημ E= f() d = d = d = [ + ]d = = + = = Σημείωση Για κάθε [, ] είναι ημ συν ημ-συν εομένως ημ >.

5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ 5 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο η οοία ικανοοιεί τις σχέσεις f() και f()d για κάθε. Να αοδείξετε ότι: α) f() =. β) f() > για κάθε. γ) Η εξίσωση f()= έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,). δ) Αό τους μιγαδικούς αριθμούς z ου ικανοοιούν την ισότητα z f() + i = 5 να βρείτε εκείνον ου έχει το μεγαλύτερο και εκείνον ου έχει το μικρότερο μέτρο. α) Θεωρούμε τη συνάρτηση g() = f()d + f()d f()d + g() g() g(). σημείο,. Για κάθε ισχύει Δείξαμε ότι g() g() για κάθε, άρα η g αρουσιάζει στο εσωτερικό = του εδίου ορισμού της ελάχιστο. f()d Η f() είναι συνεχής στο, το άρα η είναι αραγωγίσιμη στο. Είσης η + είναι αραγωγίσιμη στο ως ολυωνυμική άρα και η g είναι αραγωγίσιμη στο ως άθροισμα αραγωγισίμων με g() ( f()d ) g() = f(). Άρα η g είναι αραγωγίσιμη και στο = με = =. g() f() g() f() Ισχύει λοιόν το Θ.Frma, οότε g() = f() = f() =. = + β) Αό υόθεση η f είναι συνεχής στο και ψ για κάθε, άρα η f διατηρεί σταθερό ρόσημο. Εειδή f() = > συμεραίνουμε ότι f() > για κάθε. γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = f(), [,]. Η h είναι συνεχής στο [,] ως διαφορά συνεχών h() h() = [f () ] [f () ] = f () [f () ] = f () ( ) < αφού f()> και <. Ισχύει λοιόν το Θ.Bolzano άρα η h() = f() = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (,). 5

6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 δ) Έχουμε z f() + i = z + i = z + i = z ( i) =. Άρα ο γεωμετρικός τόος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι κύκλος με 5 5 κέντρο το σημείο Κ(,-) και ακτίνα ρ = ου έχει εξίσωση ( ) + (y+) =. Βρίσκουμε την ευθεία ε ου διέρχεται αό τα σημεία Ο(,) και Κ(,-). Είναι yk yo - λε = = = άρα ε: y = λε y=. Λύνουμε το σύστημα K c: ( ) + (y+) = O ε :y= ( ) 5 + = + = + = Είναι ( ) ( +) ( ) ( ) ( ) 5 5 ( ) = ( ) = =± = ή =. Για = έχουμε y = και για = έχουμε y =. Εομένως ο μιγαδικός ου έχει το μεγαλύτερο μέτρο είναι ο z = i με 5 z = + ( ) = και ο μιγαδικός ου έχει το μικρότερο μέτρο είναι ο 5 z = i με z = + ( ) =. ΘΕΜΑ 6 Δίνεται η συνάρτηση f() = 6 + +,. α) Να μελετήσετε την f ως ρος την μονοτονία και τα ακρότατα. β) Να βρείτε το λήθος των ριζών της εξίσωσης f() = α για τις διάφορες τιμές του α. + f ()d γ) Να βρείτε το όριο lim +. 6

7 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 α) Για κάθε είναι f () = ( + ) = [(+ ) + ] = (+ ) (+ ) = = 6 = ( + ) ( + ) + Είναι f() = = και f() > <, οότε έχουμε - + f + - f ΜΕΓ Είναι f συνεχής στο (,] και f() > στο (,), οότε η είναι f γνησίως αύξουσα στο (,]. Είναι f συνεχής στο [, + ) και f() < στο (, + ), οότε η είναι f γνησίως φθίνουσα [, + ). Η f αρουσιάζει μέγιστο στη θέση = με μέγιστη τιμή f() =. β) Θα βρούμε το σύνολο τιμών της f. Είναι lim f () = lim ( + ) = και lim f () = lim ( + ) = Είναι f( ) = (lim f(),f()] (lim f(),f()] = (,]. + Διακρίνουμε εριτώσεις: Αν α (,] (, + ), η εξίσωση f() = α είναι αδύνατη, αφού α f( ). Αν α = η εξίσωση f() = α έχει μία ακριβώς ρίζα την =. Αν α (,) η εξίσωση f() = α έχει ακριβώς ρίζες, μία εκ των οοίων είναι αρνητική και μία θετική. γ) Η f είναι γνησίως φθίνουσα σε κάθε διάστημα της μορφής [, + ] με >, οότε για + ισχύει f() f() f(+ ). Εειδή η f είναι συνεχής στο ισχύει f()d f()d f(+ )d f() d f()d f(+ ) d + + f()( + ) f()d f( + )( + ) f() f()d f( + ), > Είναι + lim f () = και + u + + lim f ( + ) = (θέτοντας +=u έχουμε lim f ( + ) = lim f (u) = ) οότε αό Κριτήριο Παρεμβολής έχουμε ότι και + lim f ()d =. + 7

8 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ 7 Αν f συνεχής στο, f() για κάθε, f() f()=f() f() να αοδείξετε ότι α) υάρχει ξ ώστε f(ξ)= β) υάρχει [,] ώστε f ( )= f()f() γ) η f δεν αντιστρέφεται. α) Η f είναι συνεχής στο [5,7] f(5)=, f(7)= και =f(5) f(7)= Ο αριθμός είναι μεταξύ των f(5) και f(7) άρα ισχύει το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών, οότε θα υάρχει ξ (5,7) ώστε f(ξ)=. β) Θεωρούμε τη συνάρτηση g()=f ()- f()f(), [,]. Η g είναι συνεχής στο [,] g()g()=[f ()- f()f()][f ()- f()f()]=- f()f() [f()- f()] γιατί η f είναι < συνεχής και δεν μηδενίζεται στο άρα διατηρεί σταθερό ρόσημο οότε f()f()> f()f()<. Είσης είναι [f()- f()]. Διακρίνουμε εριτώσεις i) αν g()g()= τότε g()= ή g()=. ii) αν g()g()< τότε ισχύει θεώρημα Βolzano, οότε θα υάρχει (,) έτσι ώστε g( )= f ( )- f()f()= f ( )= f()f() (). Εομένως υάρχει [,] ώστε g()= f()= f()f(). γ) Εειδή f() f()=f() f() η συνάρτηση g γράφεται g()=f ()- f()f(),. Η g είναι συνεχής στο [,]. g()g()=[f ()- f()f()][f ()- f()f()]=- f()f() [f()- f()]. Άρα θα < υάρχει [,] έτσι ώστε g( )= f ( )- f()f()= f ( )= f()f() (). Αό τις () και () έχω f ( )= f ( ) και εειδή η f διατηρεί σταθερό ρόσημο στο είναι f( )= f( ) οότε η f δεν είναι - και εομένως δεν αντιστρέφεται. 8

9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ 8 Αν f συνεχής στο, f ( ) = 6 και ισχύει f ( ) συν ημ ( α) * κάθε Α) ι) Να αοδείξετε ότι f συνεχής στο ιι) Να βρείτε το α. Β) ι) Να βρείτε τα όρια lim f ( ) και lim f ( ) + + =, α για ιι) Να αοδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο. ( ) ημ α Α) ι) Για είναι f ( ) = συν, η f είναι συνεχής στο * ως ράξεις συνεχών και εειδή η f είναι συνεχής στο τότε η f είναι συνεχής στο. ιι) Κοντά στο = έχουμε ημ ( α) lim f ( ) = lim συν = α. Είναι lim( συν ) =, γιατί για κάθε έχουμε συν ή συν άρα lim( συν ) =. lim = lim = ημ ( α) ημ ( α) Είσης έχουμε lim = lim[α ] = α = α. α lim f = α f()=α α=6, γιατί f συνεχής στο. Άρα ( ) ι) Κοντά στο έχουμε ημ ( α) lim = (κριτήριο αρεμβολής) ημ ( α) Πράγματι ( ) ημ ( α) ημ α ημ ( α) άρα lim = lim = lim = και lim συν = γιατί lim = και lim συν lim(συν)= =. f γ >. Άρα ( ) lim f =+, οότε κοντά στο, υάρχει γ<, ώστε ( ) 9

10 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ιι) Κοντά στο + έχουμε ημ ( α) lim = (κριτήριο αρεμβολής) και + lim συν =. + Συνεώς ( ) lim f + lim ( συν ) + = + γιατί lim + =, οότε κοντά στο +, υάρχει δ>, ώστε f ( δ) <. =+, Έχουμε f συνεχής στο [γ,δ] και f ( γ) f ( δ) < οότε αό Θεώρημα Bolzano η εξίσωση f ( ) = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ( γ,δ). ΘΕΜΑ 9 Α) Αν f συνεχής στο [,α] να αοδείξετε ότι ( ) = ( ) Β) Αν f ( ) = ln( + εφ), α α f d f α d, ι) Να αοδειξετε ότι f ( ) + f = ln για κάθε, ιι) Να υολογίσετε το εμβαδόν του ειέδου χωρίου ου ορίζεται αό την γραφική αράσταση της συνάρτησης f και τις ευθείες y=, = και =. Α) Θέτουμε α = u, οότε du=-d. Για = α είναι u = και για = είναι u = α άρα α α α ( ) = ( ) = ( ) = ( ) f α- d f u du f u du f d α Β) Είναι f ( ) = ln( + εφ),,. Για, είναι. ι) ι) ι) Εειδή f συνεχής στο, έχουμε εφ εφ εφ f = ln εφ ln ln + = + = + + εφ εφ + εφ + εφ+ εφ = ln = ln = ln ln ( + εφ) + εφ + εφ Άρα f( ) + f = ln( + εφ) + ln ln( + εφ) ή

11 f( ) + f = ln ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Β ιι) Αν Ε το ζητούμενο εμβαδόν, τότε έχουμε ( ) ( ) E= f d = ln + εφ d γν.αύξουσα Αλλά εφ εφ εφ εφ + εφ ln ln( + εφ) ln ln( + εφ) ln Άρα = ( + ) = ( ) E ln εφ d f d Αό Β ι) ερώτημα έχω: f ( ) + f = ln. Άρα f ( ) d + f d = lnd f d f d Αό Α) Ερώτημα για α= έχουμε = ( ) Άρα ( ) [ ] f d = ln = ln. Εομένως ΘΕΜΑ Ε = ln τ. μ. 8 γν.αύξουσα α Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( ) = ( ) + (α ) + 6, α. i) Να βρεθεί ο α αν γνωρίζουμε ότι η f αρουσιάζει ακρότατο στο = ii) Για α= α) Να βρεθεί το λήθος των ριζών της εξίσωσης f()=. β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό τη C f, τον άξονα και τις ευθείες = και =. ii) Αναγκαία συνθήκη είναι: f () =. Έχουμε ότι: f ( ) = ( α) + (α ) οότε () f ( α) (α ) α α (α )(α ) = + = + = δηλαδή f() = αν α= ή α=.

12 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Για α= είναι f ( ) = και έχουμε - + f f τ.μ τ.ε Για α= είναι f ( ) = + = ( ) οότε Δεκτή είναι η τιμή α=. - + f + + f f = + 6. α) Αό το θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών βρίσκουμε: f ((,]) = (, 6] 67 f ([,]) = [,6] 67 f([, + )) = [, + ) εομένως η f έχει μοναδική ραγματική ρίζα ξ <. β) Ε = f()d = ( + 6)d = iii) Για α= έχουμε ( ) + 5 = + = [ 6] ΘΕΜΑ Θεωρούμε συνάρτηση f: για την οοία ισχύουν: Η γραφική αράσταση της f διέρχεται αό την αρχή των αξόνων και στο σημείο A,f() ( ) δέχεται οριζόντια εφατομένη. Η f είναι δύο φορές αραγωγίσιμη στο και για κάθε ισχύει f() f ( ) =. α) Να αοδείξετε ότι ( ) f = +. f και f(). γ) Αν η συνάρτηση g είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο, να αοδείξετε ότι g() g(f()) g( ). β) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ( )

13 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 * α) Αό υόθεση έχουμε f()= και f() =. Για κάθε είναι f () f () f () f () = ( ) = ( ) = + c, (,) ή (, + ) + c, < Άρα f() = α, =, α >. + c, > Έχουμε f συνεχής στο = άρα lim f () = lim f () = f () α = + f() = + c = c = f αραγωγίσιμη στο = άρα f() f() f() f() + c + c lim = lim lim = lim + + lim ( + c ) = lim ( + c ) + c = + c c = c. + Άρα c = c = και α=, οότε f() =,. Είναι f()= ( )d = d d = ( ) d d = = () d d = d d = + k Όμως f()= + k = k =. Άρα f() = +,. β) Είναι >. Πράγματι = ( + ( ) ) > + ( ) > χρησιμοοιώντας την ανισότητα Brnoulli. ος τρόος : Για κάθε είναι f() = (. ) Ο ίνακας μεταβολών της f είναι: - + f () f () H f είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ), οότε έχουμε ( ) f ( ) f <. < < άρα ος τρόος : Η f ικανοοιεί τις ροϋοθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο τέτοιο, ώστε τουλάχιστον ξ (, ), f( )-f() = f(ξ) f( )-f()=( )f (ξ), οότε θα υάρχει ένα

14 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ξ f( )-f()= ( ) ξ ( ) > για κάθε ξ (, ) > > > Άρα f ( ) > f ( ).. γ) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [,] και η g είναι γνησίως φθίνουσα στο,, έχουμε οότε για κάθε [ ] f γν.φθίνουσα g γν.φθίνουσα ( ) ( ) ( ) f() f() f() g f() g f() g f() g( ) g( f() ) g - σύνθεση συνεχών έχουμε ( ) για κάθε [,]. Εειδή η g f είναι συνεχής, ως g()d g f () d g d g()( ) g ( f ()) d g ( ) g() g ( f ()) d g. ΘΕΜΑ Α) Δίνεται συνάρτηση h αραγωγίσιμη στο για την οοία ισχύει h() για κάθε. α) Να αοδείξετε ότι i) Η συνάρτηση h είναι - ii) Η εξίσωση h()= έχει το ολύ μια ρίζα. β) Αν για τη συνάρτηση h ισχύει και h() +h(λ-)= για κάθε, όου λ, να αοδείξετε ότι i) Η εξίσωση h()= έχει μοναδική ρίζα. ii) λ h()d =. Β) Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο για την οοία ισχύει f() για κάθε. α) Να βρείτε το εδίο ορισμού και την αράγωγο της συνάρτησης g() = f(-)d. β) Να αοδείξετε ότι οι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων και = + έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. κ() g() = f(-)d

15 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Α) α) i) Έστω, με και έστω <. Η h είναι αραγωγίσιμη στο διάστημα [, ], άρα ισχύει το Θ.Μ.Τ. του διαφορικού λογισμού, οότε θα h( ) h( ) υάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε h(ξ) =. h( ) h( ) Εειδή h(ξ) θα είναι και h( ) h( ). Άρα για κάθε, με είναι h( ) h( ), οότε η h είναι -. ii) Έστω ότι η εξίσωση h()= έχει δύο ρίζες ρ,ρ με ρ ρ. Άρα h(ρ ) = h(ρ ) =. Εειδή η h είναι - έχουμε ρ = ρ άτοο. Άρα η εξίσωση h()= έχει το ολύ μια ρίζα. λ λ λ λ λ β) i) Για = έχουμε h + h λ- = h = h =. Άρα λ = ρίζα της εξίσωσης h()= και μάλιστα μοναδική αφού η h είναι -. ii) Για κάθε είναι h()=-h(λ-). Οότε έχουμε: λ Ι = h()d = h(λ )d= Ι λ (), όου Θέτουμε u=λ-, οότε du=-d. Για = είναι u=λ και για =λ είναι u=. Άρα λ Ι = h(u)du = h()d=ι (). λ 5 Ι λ = h(λ-)d. Αό () και () έχουμε Ι = Ι Ι = Ι = h()d =. Β) α) Η συνάρτηση f(-) είναι συνεχής στο ως σύνθεση συνεχών, οότε η συνάρτηση g() = f(-)d έχει εδίο ορισμού το. Θέτουμε u=- οότε du=-d. Για = είναι u= και για = είναι u=. Άρα. g() = f(u)du = f()d H g είναι αραγωγίσιμη στο με g() = f(),. β) Τα κοινά σημεία των C g, C κ έχουν συντεταγμένες τις λύσεις του συστήματος y = g() g() κ() = ( Σ ):. y = κ() y = g() Το σύστημα (Σ) έχει μία μόνο λύση, αν και μόνο αν η εξίσωση g() κ() = έχει μία μόνο ρίζα. Όμως g() κ() = f()d +,. λ

16 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Θεωρούμε τη συνάρτηση h()= g() κ(),, οότε h() = f()d +,. Για κάθε είναι h () = f() + h () = f() για κάθε, αφού αό υόθεση f() για κάθε. Αφού h() για κάθε αό Α)α)ii) έχουμε ότι η εξίσωση h()= έχει το ολύ μία ρίζα. Παρατηρούμε όμως ότι h() = f()d + = =. Εομένως το είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης h()= ου σημαίνει ότι οι έχουν ένα μόνο κοινό σημείο το Ο(,g()) δηλαδή το Ο(,). C g, C κ 6