Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων"

Σάρρα Μιαούλης
4 χρόνια πριν
Προβολές:

1 7 Μαΐου 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ααντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων ΘΕΜΑ Α Α. Αόδειξη σχολικού βιβλίου σελ.33 Α. Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ.6 Α3. Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ. Α. α) Λάθος β) Σωστό γ) Σωστό δ) Λάθος ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β Β. z z z z z z z αορρίτεται, αφού z z z ή z δεκτή Άρα ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του z στο μιγαδικό είεδο είναι κύκλος με κέντρο Κ, και ακτίνα ρ και εξίσωση C: y

2 y C: (-) + y = Μ(z) A(,) K(,) B(3,) Είναι z z z 3 Άρα: z 3 Β. Οι z,z είναι ρίζες της εξίσωσης w w άρα οι z,z είναι συζυγείς, δηλαδή Re z Re z Im z Im z Ακόμα ισχύει ότι z z β z z γ 3 z z και ισχύουν τα εξής: Im z Im z Im z Im z Im z Im z Im z Im z Αν Ιmz και z yi τότε z i και y εειδή Μ (,y ) ανήκει στον κύκλο C y Άρα Και z i οότε z i και z z 3 z z z z z 5

3 Αν Ιmz με τον ίδιο τρόο καταλήγουμε στο ίδιο συμέρασμα. y Μ (z ) C: (-) + y = A(,) K(,) B(3,) Β3. Μ (z ) Έχουμε: v α v α v α v α v α v α Άρα, v α v α v α α v α v α Λόγω της τριγωνικής ανισότητας είναι: 3 v α v α v α α v α v α α v α v α ό Β είναι: α 3, α 3, α 3, άρα: α v α v α 3v + 3v+3 3 v +v+ Η τελευταία γράφεται: 3 3 v 3 v + v + v 3 v + v + αρκεί να δείξουμε ότι η αραάνω ανίσωση ισχύει όταν v. 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση: f 3 3 3, η οοία ως ολυωνυμική είναι αραγωγίσιμη στο, με f f f

4 o f Στο, η f είναι γνησίως φθίνουσα. Εειδή f 3 και f f Στο, η f είναι γνησίως αύξουσα, άρα και στο,. Όμως η f συνεχής στο, και γνησίως αύξουσα f f 6 63 Άρα, αό θεώρημα Bolzano και λόγω της μονοτονίας υάρχει μια ακριβώς ρίζα της f ου ανήκει στο, και τότε θα ισχύει: f f στο, f f στο, άρα και στο, Εομένως, η f αφού v. Β τρόος: όταν, με, άρα και η ανίσωση ισχύει όταν v Έστω ν. Έχουμε: v α v α v α v α v α v α Άρα, v α v α v α α v α v α Λόγω της τριγωνικής ανισότητας είναι: 3 v α v α v α α v α v α α v α v α ό Β είναι: α 3, α 3, α 3, άρα: α v α v α 3 v + 3 v +3 3 v + v + Η τελευταία γράφεται: 3 είναι v, αφού v 3 v v 3 v v 3 v v v 3 v Όμως, v 3 v άρα v v v ου είναι άτοο. Άρα v.

5 ΘΕΜΑ Γ Γ. f f f f f f f c, για κάθε Για : f c c c αό υόθεση f ό f Όμως άρα άρα f οότε και f, για κάθε Όμως f αρ/μη στο άρα και συνεχής οότε f άρα f f διατηρεί ρόσημο στο. Όμως f άρα f. συνεχής στο και f f f f, Γ. f H f αραγωγίζεται στο με: f Το ρόσημο της f εξαρτάται αό το ρόσημο του αριθμητή h. Aν τότε h ως άθροισμα αρνητικών αριθμών 5

6 Aν τότε h διότι: ου ισχύει. h Άρα h για κάθε οότε f για κάθε Η f είναι συνεχής στο, άρα f γνησίως φθίνουσα στο, οότε είναι και. Εειδή f η εξίσωση f g γίνεται f g f. Όμως η f είναι, άρα αρκεί να βρω το λήθος των ριζών της εξίσωσης 3 3 g g g 3,, - g g Θα βρω το σύνολο τιμών για καθένα αό τα διαστήματα: A, A, A, 3 g, ga lim g,g,,διότι: 3 lim g lim g g,3 g A g,g,, αφού 3 3 g 3 6

7 g 3, ga g, lim g, 3 +, εειδή lim g 3 lim + + Εειδή ga, και ga,, g για κάθε A A 3 3 Όμως, g A,, οότε το εριέχεται στο g A, άρα υάρχει ρίζα της g στο, η οοία είναι μοναδική εειδή η g στο, είναι γνησίως αύξουσα, άρα. Τελικά, η εξίσωση f g έχει μία ακριβώς ρίζα ου ανήκει στο,. Γ3. Θεωρώ t f t dtf εφ και το,. Η f είναι συνεχής στο ως αραγωγίσιμη άρα έχει αρχική την F αραγωγίσιμη στο. φ αραγωγίσιμη στο άρα f t dt f t dt F φ f t dt αραγωγίσιμη ως ράξη αραγωγίσιμων άρα και συνεχής στο οότε και στο, 7

8 f συνεχής στο άρα και στο, ως σύνθεση συνεχών εφ συνεχής στο κ, κ άρα και στο, τελικά η t είναι συνεχής στο, ως ράξη συνεχών t f tdtf εφ f t dt Όμως f για κάθε διότι: Αν τότε Αν τότε ισχύει ως άθροισμα θετικών αριθμών Άρα f στο, άρα f t dt t f t f t dt f εφ f εφ 3,3 t t Άρα ισχύει για την, t το Θ. Bolzano στο τέτοιο ώστε f t dt f εφ, t f t dtf εφ οότε υάρχει ένα τουλάχιστον 8

9 ος τρόος: Θεωρώ συνάρτηση h() f(t)dt ημ στο, Η f είναι συνεχής στο ως αραγωγίσιμη άρα έχει αρχική την F αραγωγίσιμη στο. φ αραγωγίσιμη στο άρα f t dt Fφ f t dt αραγωγίσιμη ως ράξη αραγωγίσιμων άρα και συνεχής στο οότε και στο,, το ίδιο ισχύει για την ημ, οότε η h() είναι συνεχής στο, και αραγωγίσιμη στο, με h () f(t)dt ημ f(t)dt ημ f(t)dt ημ f( )( ) ημ f(t)dt συν f( )ημ f(t)dt συν () Ειλέον: h() f t dt, h( ) f t dt, άρα ισχύει h() h( ) ικανοοιούνται οι ροϋοθέσεις του θεωρ. Rolle., οότε 9

10 Εομένως υάρχει ένα τουλάχιστον o, τέτοιο ώστε () o συνo h( ) f( )ημ f(t)dt συν o o o o o o o o o o o συνo f( )ημ f(t)dt συν o o o o o f( )εφ f(t)dt f( )εφ f(t)dt f( )εφ f(t)dt o

11 ΘΕΜΑ. (i) Εειδή η f είναι αραγωγίσιμη είναι αραγωγίσιμη και στο με f t f f lim t t Για τα h κοντά στο f 5h f h f 5h f f h f f 5h f f h f h h h h f 5hf θέτω 5h w f w f f w f h w 5 w οότε 5 w h 5 h f 5h f f w f f w f lim lim 5 5 lim 5f 3 h h w w w w w θέτω uh f h f f u f h οότε u hu h h u u u f h f f u f f u f lim lim lim f h u u 3 f 5h f h f 5h f f h f lim lim h h h h h 3 f 5h f f h f lim lim 5f f 6f f h h h h (ii) f:, Για τα,, f με ff δηλαδή f στο, f ff δηλαδή f στο, Συνοτικά: f συνεχής στο, ως αραγωγίσιμη, f στο, f στο, άρα η f στο αρουσιάζει ελάχιστο. και

12 . i) g α f t dt t f H είναι συνεχής στο, ως ράξη συνεχών f συνεχής ως αραγωγίσιμη στο, άρα και στο, α f t f α,, άρα η g dt είναι η αρχική της στο, t f t f άρα αραγωγίσιμη με g dt α t Η f αό το Δ αρουσιάζει ελάχιστο στο, το f, άρα ισχύει f f f για κάθε, και η ισότητα ισχύει μόνο για, άρα f f για κάθε f και στο,. Άρα, g στο,, άρα g: γνησίως αύξουσα στο,. (ii) g ft dt είναι αραγωγίσιμη άρα συνεχής στο α t G ορισμένη και αραγωγίσιμη στο, με Θεωρώ: t G g(). t, με t H t g u du G u G t G t Goφ t G t Goφ t D t /t, D D D, H Goφ G Η δοσμένη ανίσωση gudu g u du γράφεται: H8 5H 5 ή H t H t,, οότε έχει αρχική την φ t t

13 H8 5,H 5 ορίζονται στο διότι t 8 5 για κάθε και t 5 για κάθε. H t G t G t G t t G t g t g t διότι t t για κάθε t και g είναι Εομένως H t για κάθε t εομένως η H στο, H H t H t t t ,, 3. (i) f g αραγωγίσιμη ως ηλίκο αραγωγίσιμων f f g f είναι αραγωγίσιμη στο,, αραγωγίσιμη στο άρα και στο, οότε συνεχής στο, και, άρα ισχύει το Θεώρημα Μέσης Τιμής οότε υάρχει, τέτοιο ώστε: f f f f f f f f f f f f f f g Όμως άρα f f f f f για g στο,, g συνεχής στο, άρα g κυρτή στο,. 3

14 (ii) g είναι αραγωγίσιμη στο, και α, άρα είναι αραγωγίσιμη και g α f t στο α, εομένως η C στο Α α, g α δέχεται εφατομένη με κλίση g α και εξίσωση: ε: y g α g α α g α dt α t f f α g, άρα gα 3 α f α fα y α y α α α 3 Όμως η g είναι κυρτή, άρα η C g βρίσκεται άνω αό οοιαδήοτε εφατομένη, f α εκτός αό το σημείο εαφής, άρα λόγω της : g α α Εειδή η C g ταυτίζεται με την εφατομένη μόνο στο σημείο εαφής η ισότητα f α ισχύει μόνο για α. Δηλαδή η g α ισχύει μόνο για α. α Τότε η εξίσωση: f t α α dt fαααg fαα t g α f α α έχει μοναδική λύση, την α. α

Σχετικά έγγραφα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Α.1 βλ. σχολικό βιβλίο σελ Α.2 βλ. σχολικό βιβλίο σελ. 246 Α.3 βλ. σχολικό βιβλίο σελ. 222 Α.4 α Λ, β Σ, γ Σ, δ Λ, ε Σ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Α.1 βλ. σχολικό βιβλίο σελ Α.2 βλ. σχολικό βιβλίο σελ. 246 Α.3 βλ. σχολικό βιβλίο σελ. 222 Α.4 α Λ, β Σ, γ Σ, δ Λ, ε Σ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 3 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. βλ. σχολικό βιβλίο