ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ"

Δείμος Ἀκύλας Μαγγίνας
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΚΩΛΕΤΤΗ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) Ε Ν Δ Ε Ι Κ Τ Ι Κ Ε Σ Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σχολικό βιβλίο σελ. 6 Α. Ορισμός σχολικό βιβλίο σελ. 4 Α. Θεώρημα σχολικό βιβλίο σελ. 46 Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β. Η έχει εδίο ορισμού το A και είναι αραγωγίσιμη, ως ηλίκο αραγωγίσιμων, με Είναι για κάθε., άρα: και Η είναι συνεχής στο, άρα είναι γνησίως φθίνουσα στο, στο, και έχει ελάχιστο το Β. Η με:., γνησίως αύξουσα, είναι αραγωγίσιμη στο ως ηλίκο αραγωγίσιμων, 4 8, για κάθε Το, άρα:

2 ΚΩΛΕΤΤΗ ή και Η είναι συνεχής στο και κυρτή στο διάστημα καμής τα: B,. 4, άρα είναι κοίλη στα διαστήματα:, και,,. Ειλέον, η γραφική αράσταση της έχει σημεία A, και B,, δηλαδή τα: Β. Η είναι συνεχής στο ως ρητή, άρα δεν έχει κατακόρυφες ασύμτωτες. Άρα, η λ C έχει οριζόντια ασύμτωτη στο λ και β, την ευθεία y. Όμοια, ροκύτει ότι η y είναι οριζόντια ασύμτωτη της C και στο A, και 4. Β4. Πίνακας μεταβολών της

3 ΚΩΛΕΤΤΗ ΘΕΜΑ Γ Γ. Προφανής ρίζα της εξίσωσης (Ε): είναι η. Μελετούμε τη συνάρτηση g,. Με, έχουμε: g g διότι: g Έτσι, το ρόσημο της g και η μονοτονία της g φαίνονται στον ίνακα: Δηλαδή, η g :, A είναι, A και είναι αρουσιάζει μοναδικό ολικό ελάχιστο στο, το g Εομένως, για είναι g g. Άρα, η εξίσωση g (Ε) έχει μια μοναδική ρίζα το. Γ. Για κάθε έχουμε:

4 ΚΩΛΕΤΤΗ g, με g g, διότι g για κάθε αό το Γ ερώτημα Όμως, έχουμε ότι g, για κάθε,, Οότε στο,, και συνεχής. Άρα, η διατηρεί ρόσημο σε κάθε ένα αό τα διαστήματα,και,, και όχι ααραίτητα το ίδιο. Είσης είναι. Εομένως διακρίνουμε εριτώσεις:. Αν στο,,, τότε είναι g.. Αν στο,,, τότε είναι g. Αν στο, στο,, τότε 4. Αν στο, Γ. Με στο,, τότε έχουμε: g g g g.,,,, Το ρόσημο της 4 4 και η μονοτονία της φαίνονται στον ίνακα: Άρα, για κάθε,, Άρα: κυρτή στο και συνεχής στο. Γ4. Η εξίσωση ορίζεται στο, και γράφεται: 4

5 ΚΩΛΕΤΤΗ ημ ημ (Ε) Θεωρούμε τη συνάρτηση: Φ, η οοία είναι αραγωγίσιμη στο, με: Φ και για κάθε, είναι:, αφού,, Φ και Φ συνεχής στο,. Άρα: Φ, και έχουμε: (Ε) Φ ημ Φ, ημ, διότι Φ, ως, και ημ,, διότι: ημ ημ, για και η ισότητα ισχύει μόνο για ος τρόος για το Γ4 (Ε): ημ ημ,, Μια ροφανής ρίζα είναι η Έστω ότι έχει και άλλη ρίζα, Διακρίνουμε τις εριτώσεις:. Αν ημ, τότε έχουμε τη διάταξη ου για κάθε >, ισχύει: ημ < φαίνεται στο διλανό άξονα. Στα διαστήματα ημ, ημ και,, ισχύουν οι ροϋοθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής, άρα υάρχουν: ξ ξ ημ, ημ, τέτοια, ώστε: ξ ξ ημ ημ () Όμως, ξ ξ ξ, διότι, ως κυρτή ξ ημ ημ ημ ημ διότι ρίζα της (Ε) και ισχύει η ισότητα., λόγω της (), ου είναι ΑΤΟΠΟ, 5

6 ΚΩΛΕΤΤΗ Αν ημ, τότε έχουμε τη διάταξη ου φαίνεται στον διλανό άξονα. Τότε στα διαστήματα: ημ, και ημ, ισχύουν οι ροϋοθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής για την, οότε υάρχουν: ημ, τέτοια, ώστε: ημ, Όμως,, διότι ημ ημ ημ ημ ημ ημ ημ διότι ρίζα της (Ε) και ισχύει η ισότητα. ημ ημ ημ ημ ημ Εομένως η εξίσωση (Ε) δεν έχει άλλη ρίζα. Έτσι, (Ε). (), λόγω της (), ου είναι άλι ΑΤΟΠΟ, Αυτός ο τρόος λύσης, ροτάθηκε αό το μαθητή: Γκανά Γιώργο ΘΕΜΑ Δ Δ. ημd ημd συν d ημd ημd συν συνd ημ συν συν Άρα () συνd 6

7 ΚΩΛΕΤΤΗ Έστω g (), με κοντά στο, τότε: ημ g και gημ, οότε g ημ συνεχής στο ως αραγωγίσιμη στο Και αό την ισότητα Με έχουμε: Άρα g. ημ gημ g, λόγω της () ημ, αφού, διότι g Δ. α) Έστω ότι η αρουσιάζει ακρότατο στο o. Δηλαδή, η αρουσιάζει τοικό ακρότατο σε εσωτερικό σημείο o του D και είναι αραγωγίσιμη στο o, ως (). αραγωγίσιμη στο, οότε, αό θεώρημα Frmat είναι o Τα δυο μέλη της ισότητας: ράξεις αραγωγίσιμων συναρτήσεων στο Και για είναι αραγωγίσιμες συναρτήσεις, ως. Οότε, ροκύτει:, για κάθε o, έχουμε: o o o o o o, λόγω της () o o, διότι είναι Όμως, o, διότι Άρα, η δεν αρουσιάζει ακρότατο στο.. Άτοο. β) Έχουμε ότι, για κάθε, λόγω του ερωτήματος (Δ. α). Είσης, η είναι συνεχής στο ως αραγωγίσιμη στο. Άρα, η διατηρεί ρόσημο στο και εειδή είναι, είναι γνησίως αύξουσα στο. για κάθε. Εομένως, η ως συνεχής στο 7

8 ΚΩΛΕΤΤΗ Δ. Η ως συνεχής και έχει σύνολο τιμών: ( ), Άρα, Όμως, έχουμε: ( ) =,, οότε υάρχει κ, τέτοιος ώστε, για κάθε κ,. Με κ είναι: ημ συν ημ συν ημ συν ημ συν ημ συν Και εειδή Εομένως, σύμφωνα με το Κριτήριο Παρεμβολής, είναι: ημ συν. Δ4. Για κάθε, έχουμε: ln ln ln ln ln, διότι ln ln Και η ισότητα ισχύει μόνο για αριστερά και για Οότε: ln d ln d ln d δεξιά. * ln d 8

9 ΚΩΛΕΤΤΗ *Σημείωση: Αν:, g συνεχείς στο α,β g για κάθε α,β Άρα g και όχι άντοτε μηδέν β β g d α β d g α α, και η ισότητα δεν ισχύει άντα. d. 9

Σχετικά έγγραφα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 86 8767 www.iraklits.gr ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ε Ν Δ Ε Ι Κ Τ Ι Κ Ε Σ Α Π Α Ν Τ