(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου"

Λαύρα Βενιζέλος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) (Ενδεικτικές Ααντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α1. Βλέε αόδειξη Σελ. 6, σχολικού βιβλίου Α. Βλέε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου Α.Βλέε διατύωση θεωρήματος Σελ. 46 και γεωμετρική ερμηνεία Σελ. 47 σχολικού βιβλίου Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ 1

2 ΘΕΜΑ Β B1. Η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη στο με ( ) ( + 1) ( )( + 1 ) ( + 1) f = = = Λύνουμε την εξίσωση f = = =. Το ρόσημο της f φαίνεται στον ίνακα ου ακολουθεί.. Εομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] και γνησίως αύξουσα στο [, + ) και αρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση ίσο με f ( ) =. B. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές αραγωγίσιμη στο με f = = = ( + 1) ( + 1 ) ( + 1) ( + 1)( + 1) 4 ( + 1) ( + 1) ( + ) ( + ) ( + ) = = = 4 ( + 1) ( + 1) ( + 1) ( + 1) Λύνουμε την εξίσωση, f = + 1 = + 1= =. 1 1 = ή = = ή = 1 Το ρόσημο της f φαίνεται στον ίνακα ου ακολουθεί

3 Εομένως η f είναι κυρτή στο διάστημα, και στο διάστημα συνάρτησης είναι τα B. Α, 1, 4 και,, κοίλη στο διάστημα +. Τα σημεία καμής της Β 1, 4 Εειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής και ορισμένη στο, δεν έχει κατακόρυφες ασύμτωτες. Θα μελετήσουμε αν η f έχει οριζόντιες ασύμτωτες.. Είναι lim = lim = 1. Εομένως η f έχει οριζόντια ασύμτωτη στο την y = 1. Είναι lim = lim = 1. Εομένως η f έχει οριζόντια ασύμτωτη στο + 1 την y = 1.

4 B4. Φτιάχνουμε τον ίνακα μεταβολών της f Με βάση τις ααντήσεις στα ερωτήματα B1,B,B η γραφική αράσταση της f είναι 4

5 ΘΕΜΑ Γ Γ1. Θεωρούμε τη συνάρτηση f με = 1,. f e. Η f είναι αραγωγίσιμη στο με f = e = ( e 1) Λύνουμε την εξίσωση = = ή e 1= =. f Είναι για κ θε ά οότε e e = 1 e 1 Άρα τo ρόσημο της f εξαρτάται αό το ρόσημο του και φαίνεται στον ακόλουθο ίνακα Εειδή η f έχει ολικό ελάχιστο στο, το f() = έχουμε f() για κάθε με την ισότητα να ισχύει μόνο για = άρα η εξίσωση f() = έχει μοναδική ρίζα το =. Γ. Αό τη σχέση f ( e 1) = έχουμε ισοδύναμα = f e Εειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (,) και δε μηδενίζεται σε αυτό, θα διατηρεί σταθερό ρόσημο. Εομένως Αν (,) και f ( ) < τότε στο διάστημα αυτό είναι = ( 1) = ( 1) f e f e 1 5

6 Αν (,) και f ( ) > τότε στο διάστημα αυτό είναι f = e 1 f = e 1 Εειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (, + ) και δε μηδενίζεται σε αυτό, θα διατηρεί σταθερό ρόσημο. Εομένως, Αν (, + ) και f ( ) < τότε στο διάστημα αυτό είναι = ( 1) = ( 1) f e f e Αν (, + ) και f ( ) > τότε στο διάστημα αυτό είναι f = e 1 f = e 1 Συνεώς ροκύτουν οι εξής συνδυασμοί για τον τύο της f = 1, ή f e f = e 1, ή f e + + < = e 1, 1, ή f e 1, < = + + e 1, Γ. Αό το Γ1 αραγωγίζοντας τη ρώτη αράγωγο της f έχουμε f '' = 4e + e, Ισχύει ότι e e e 1 και 4e ( 1) Ο ότε α ό(1) + () ροκύτει 4e + e f ' με την ισότητα να ισχύει μόνο για =, οότε η f κυρτή στο. 6

7 Γ4. Για την εξίσωση f ( ηµ + ) f ( ηµ ) = f ( + ) f ( 1) Θεωρούμε συνάρτηση g με g = f ( + ) f στο [, + ) Η g είναι αραγωγίσιμη συνάρτηση ως διαφορά και σύνθεση αραγωγίσιμων συναρτήσεων στο [, + ), με g' = f '( + ) ( + )' f ' = f '( + ) f ' Για τη μονοτονία της f έχουμε ότι για [, ) f + < + f < f + f + f > οότε g > και συνεώς η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση άρα και 1 1 οότε η εξίσωση (1) γράφεται: g ''1 ηµ = 1'' ηµ = = g g Αφού αό τη θεωρία έχουμε ότι ηµ και για ισχύει ηµ με την ισότητα να ισχύει για =. 7

8 ΘΕΜΑ Δ Δ1. Αό τη σχέση f f '' + ηµ d = ισοδύναμα έχουμε, f f '' f f ' ( ) ( ) f ηµ d + f ( ) f ( ) f ηµ d + ηµ d = ηµ d + ηµ d = f ηµ d + f ηµ f ηµ d = f ηµ d + f ηµ f ηµ f συν d = f ηµ d f συν f συν f συν + d = f ( ) = ( 1) f ηµ d = Εειδή η f είναι αραγωγίσιμη στο, είναι και συνεχής στο άρα και στο =. οότε lim f = f ( ) Aό τη δεδομένη σχέση =, θέτουμε g f lim 1 ηµ =. Oότε f = g ηµ και lim g 1 όου λόγω της () έχουμε f ( ) = (). f = με ηµ ( ηµ ) lim f = lim g = 1 Aό τις σχέσεις (1) και () και () αίρνουμε τελικά f = Για το f () έχουμε ( ) f f f f ηµ f ηµ lim = lim = lim = lim lim = 1 1 = 1 ηµ ηµ Άρα f () = 1 8

9 Δ α. Παραγωγίζοντας τη σχέση ( ) + = + για κάθε η οοία f e f f e αοτελείται αό αραγωγίσιμες συναρτήσεις έχουμε + 1 = ( ) + ( 1) f e f f f f e Έστω ότι η f έχει ακρότατο στη θέση. Εειδή η f είναι αραγωγίσιμη στο εσωτερικό σημείο, αό το Θεώρημα Fermat έχουμε f ( ) = (). οότε η σχέση (1) για = γίνεται ( ) f e f + 1= f f f + e 1= e = οότε f ( ) = ΑΤΟΠΟ, αφού Άρα η f δεν έχει ακρότατα στο. Δ Β. Εειδή f = 1 η f δεν έχει ακρότατα στο θα ισχύει f για κάθε η f είναι συνεχής, ως αραγωγίσιμη στο, αφού η f είναι φορές αραγωγίσιμη στο εομένως η f θα διατηρεί το ρόσημο της. Ειλέον f () = 1 >, άρα f () > οότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Εειδή η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο =, +. ( ) = lim, lim =, +. Άρα lim f f f f + + = +. 9

10 Ισχύει ότι ηµ + συν ηµ + συν 1+ 1= Άρα ηµ + συν ηµ + συν f f f f f Εειδή lim = = lim + f f ηµ + συν lim = + f +. Άρα αό κριτήριο αρεμβολής Δ4. Για το e 1 ( ln ) f d θέτουμε ln = u. Άρα 1 d = du. Για =1 είναι u = ln1 = ενώ, για = e είναι u = lne =, οότε το ζητούμενο ολοκλήρωμα γίνεται e ( ln ) f d = f ( u ) du = f ( ) d Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,] και γνησίως αύξουσα άρα f f f f. Άρα f και η ισότητα ισχύει μόνο για =, οότε f Είσης f και η συνάρτηση f > (1). είναι συνεχής στο [,] και δεν μηδενίζεται αντού, αλλά μόνο στο =. f d f d f d Άρα ( ) > > < ( ) = (). f d. Εομένως αό (1),() ροκύτει < < 1

Σχετικά έγγραφα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 MAΪΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Γκύζη -Αθήνα Τηλ :.6.5.777 ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 MAΪΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα 6-6