ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (09/06/2017)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (09/06/2017)"

Κλεοπάτρα Δουρέντης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (9/6/7) Α. σελ. 35 Α. α. ΨΕΥΔΗΣ, β. σελ. 99 Α3. σελ. 73 Α. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β = ln με D = (, + ) g = με D g = { } Β. D g= { D g/g D} = / > = / = /, =, = { ( ) > } { } και ( g )( ) = ( g ( )) = ln B. h ( ) = ln με (,) Η h είναι αραγωγίσιμη (άρα και συνεχής), ως σύνθεση των αραγωγίσιμων συναρτήσεων g = (ρητή) και = ln (λογαριθμική), με h' = ln = = ( ) = = ( ) = ( ) > Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα, οότε και - (δηλαδή αντιστρέφεται). h = ln = = = ( ) = + = διότι (,), οότε χ> και -χ> ( + ) = =, αφού + για κάθε + Πρέει <χ< < <, ου ισχύει για κάθε + Εομένως, h = με D + h =

2 φ χ =, + Β3. Η συνάρτηση φ είναι αραγωγίσιμη ως ηλίκο αραγωγίσιμων συναρτήσεων ( : εκθετική, + άθροισμα εκθετικής και σταθερής), με ( + ) ( + ) ( + ) + + φ' χ = = = > Άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα στο και δεν έχει ακρότατα. Η φ είναι αραγωγίσιμη, ως ηλίκο αραγωγίσιμων, με φ '' χ ( ) ( + ) ( ) 3 3 ( + ) ( + ) + + = = = φ'' χ = = = χ = φ'' χ > > χ < χ - + φ χ + ϕ () ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) = = =, αφού Σ.K. Η φ είναι κυρτή στο (,, κοίλη στο,+ ) Α,. Β. lim φ χ = lim =, διότι + 3 > και 3 + > για κάθε και έχει σημείο καμής το Α ( ) lim lim + = + = = και Οότε η C έχει οριζόντια ασύμτωτη την = (άξονας χ χ) στο + + ( ) lim φ χ = lim = lim = lim = + + DLH ( + ) = στο +.,φ δηλ. το οότε η C έχει οριζόντια ασύμτωτη την

3 ΘΕΜΑ Γ Η συνάρτηση Γ. Έστω Μ ( ( ) ) = ημχ, χ, είναι αραγωγίσιμη ως τριγωνομετρική, με ' = ( ημχ )' = συνχ χ, σημείο της C στο οοίο δέχεται εφατομένη ου διέρχεται αό το σημείο Α,. Η εξίσωση εφατομένης είναι: ( ε ) : ( ) = '( ) ( ) ημχ = συνχ ( χ χ ) A, ( ε ) : ημχ συνχ χ + = + ημχ = συνχ + χ συνχ συνχ χ ημχ + = g = συνχ χ + ημχ. Η g συνεχής στο [,]. Θεωρώ g( ) = και g = g' = ημχ χ συνχ + συνχ = ημχ χ Για, είναι: g' < Για, είναι: g' > Δηλαδή η g είναι γνησίως φθίνουσα για κάθε,, γνησίως αύξουσα για κάθε, και g' =, οότε έχει ελάχιστο στο και μέγιστο στο και στο. Άρα η g δεν έχει μοναδικές λύσεις τις χ= και χ=. Η εφατομένη της C στο είναι: Η εφατομένη της C στο είναι: ε : = ' = = ε : = ' = = 3

4 Γ. Το εμβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό τη C και τον άξονα χ είναι: ( ) τ.μον. E = d = ημχd = συνχ = Η ε τέμνει τον χ χ στο (,) και η ε τέμνει τον χ χ στο Β(,). OB υ Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι (ΟΑΒ)= = = Άρα τ. μον. Συνεώς Γ3. Ε = = E 8 + ημχ + χ lim = lim = L + ημχ χ + Είναι lim( ημχ + χ) = ημχ + = > και Έστω g ημχ χ, g' = συνχ = ( συνχ + ) = + συνεχής στο, lim ημχ χ + = ημχ + = διότι: άρα συνχ Εομένως η g είναι γνησίως φθίνουσα στο [,] Οότε: g g g g Άρα lim = lim = + ημχ χ + g Συνεώς L = +

5 Γ. Η συνάρτηση είναι κυρτή στο [,], αφού για χ [,]. Έτσι, η γραφική αράσταση της βρίσκεται άνω αό την εφατομένης της, άρα αό Γ έχουμε: και η ισότητα ισχύει για χ=. Για χ> έχουμε: οότε για, για κάθε χ [,], και η ισότητα ισχύει μόνο για χ=, χ έχουμε: > άρα χ d > d = χ ΘΕΜΑ Δ 3,, = ημχ, χ, Δ. Για χ, ) Για (, : η 3 : η 3 lim lim ( ) = ημ = ) = είναι συνεχής ως ράξεις συνεχών χ = ημχ είναι συνεχής ως γινόμενο συνεχών lim = lim ημχ = ημ = + + = =, Δηλαδή lim χ =, άρα η συνεχής στο = οότε η συνεχής στο, Για χ (,] : ' = ημχ + συνχ ' = ημχ + συνχ = ημχ + συνχ =, αφού > Άρα = κ + χ + ή ΑΔΥΝΑΤΗ συνχ = ημχ συνχ = συν χ + = κ χ χ = κ = κ 5 5 < χ < κ < κ < κ Για χ, ) και κ άρα κ=, οότε 3 3 : 3 χ = = = =, αφού χ< ' = = < 3 3 οότε 3 3 5

6 ( ) ( ) ( ) lim = lim = lim = lim ( 3 ) = lim = ημχ ημχ χ χ =, αφού lim = = και + lim = lim = lim ημχ lim = χ + Άρα δεν είναι αραγωγίσιμη στο = 3 Άρα, η συνάρτηση έχει κρίσιμα σημεία: το, και το =, στο οοίο η δεν αραγωγίζεται. Δ. Αό το ερώτημα Δ ροκύτουν τα αρακάτω: ' = = στο οοίο, : ' = < άρα η είναιι γνησίως φθίνουσα 3 για ) 3 3, : ' = = για - στο 3, η ' συνεχής και δε μηδενίζεται, άρα διατηρεί ρόσημο. Αφού ' ημ συν = + = > έχουμε ' > στο 3, Άρα η έχει: 3, : ' = < - στο - τοικό μέγιστο στο - το ( ) = - τοικό ελάχιστο στο το ( ) = - τοικό μέγιστο στο το 3 3 ημ = = Σύνολο τιμών: - τοικό ελάχιστο στο το = ημ = στο [-,] η είναι γν. φθίνουσα και συνεχής, άρα, =, =, στο 3, η είναι γν. αύξουσα και συνεχής, άρα 3 3 3, =, =, 6

7 στο 3, η είναι γν. φθίνουσα και συνεχής, άρα 3 3 3, =, =, είναι 3 3 > > , ισχύει > > > Άρα το σύνολο τιμών της είναι 3 3,, =, 5 Δ3. g =, 5 E Ω = g d = ημχ d ημχ d = Έστω h = ημχ, χ [,] h' = συνχ < διότι: συνχ και χ χ άρα: συνχ και, οότε συνχ 3 < οότε: E( Ω) = ( ημχ) d = ( ) = 5 5 ημχ d d ημχd 5 = Ι 5 όου Ι = ημχd I = ημχd = ημχ συνχd = συνχ ημχ d = + = συν + συν Ι άρα Ι = + I = + οότε: E( Ω) 5 + = 5 Δ χ 3 = 8 = τετρ.μονάδες 5 5 ( ) 6 3 = 8 3 χ = = Προφανής λύση της () το =, αφού: = + 6 7

8 3 3 = + ισχύει 3 Έστω ότι η () έχει και δεύτερη λύση χ τότε θα ρέει: = + ( χ 3 Όμως ) 6 μέγιστο της. 3 >, οότε θα ισχύει ( ) > ου είναι ΑΤΟΠΟ, διότι το 3 είναι το 8

Σχετικά έγγραφα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 17 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Ααντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α1. Αόδειξη σχολικού βιβλίου σελ 135 Α. α. Ψευδής