E5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ II

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "E5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ II"

Transcript

1 E5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ II 1.Εισροές-Συντελεστές παραγωγής.εκροές-παραγόμενα προιόντα 3.Εξωτερικότητες 4.Εισροές-Καταναλωτικά αγαθά 5.Καμπύλες αδιαφορίας 6.Βελτιστοποίηση Σε μια παραγωγική διαδικασία διακρίνουμε τις εισροές (input) που αφορούν τους συντελεστές παραγωγής (factors of production), και τις εκροές (output) που αφορούν τα παραγόμενα προϊόντα (products). Στα προηγούμενα κεφάλαια ασχοληθήκαμε με προβλήματα στα οποία εμφανίζονταν μόνο μια εισροή που ήταν η δαπάνη Cκαι μόνο μια εκροή που ήταν η παραγόμενη ποσότητα Q. Σε πιο πρωταρχικό στάδιο ως εισροές εμφανίζονται οι διάφοροι συντελεστές που χρησιμοποιούνται στην παραγωγή. Αντίστοιχα ως εκροές μπορεί να εμφανίζονται περισσότερα του ενός παραγόμενα προιόντα. Εδώ θα ασχοληθούμε με προβλήματα στα οποία εμφανίζονται περισσότερες εισροές ή περισσότερες εκροές, οπότε μπορούμε να έχουμε υποκατάσταση (substitution) μεταξύ συντελεστών ή μεταξύ παραγόμενων προϊόντων. Ειδικά θα μελετήσουμε τις ιδιότητες μονοτονίας και κυρτότητας για συναρτήσεις: α) παραγωγής με δύο συντελεστές παραγωγής ως εισροές: Q(,) β) κόστους με δύο παραγόμενα προιόντα ως εκροές: C(,) γ) χρησιμότητας στην κατανάλωση δύο αγαθών: U(,) 1. Εισροές-Συντελεστές παραγωγής Θεωρούμε την παραγωγή Q ως συνάρτηση δύο συντελεστών παραγωγής, τούς οποίους συμβατικά θα αποκαλούμε κεφάλαιο (capital) και εργασία (labor) αντίστοιχα: Q= Q(,) με, με αντίστοιχες μερικές παραγώγους: Q Q =, οριακό προϊόν κεφαλαίου (marginal product of capital) Q Q =, οριακό προϊόν εργασίας (marginal product of labor) Οι εξισώσεις υποκατάστασης τις οποίες ορίζουν οι ισοσταθμικές της συνάρτησης παραγωγής καλούνται εξισώσεις ισοπαραγωγής (isoquant): Q(,) = q Είναι οι συνδυασμοί κεφαλαίου και εργασίας που δίνουν την ίδια παραγωγή q. Ιδιότητες της συνάρτησης παραγωγής Q(,) Μια συνάρτηση παραγωγής έχει συνήθως τις παρακάτω ιδιότητες μονοτονίας και κυρτότητας. 1. Είναι γνήσια αύξουσα με γνήσια θετικά οριακά προϊόντα, δηλαδή κάθε αύξηση στη συμμετοχή ενός συντελεστή οδηγεί σε γνήσια μεγαλύτερη παραγωγή: Q >, Q >. Ορίζει αρνητικό και φθίνοντα ρυθμό υποκατάστασης μεταξύ των δύο συντελεστών, δηλαδή για σταθερή παραγωγή, κάθε αύξηση στη συμμετοχή του ενός συντελεστή υποκαθιστά όλο και μικρότερη μείωση στη συμμετοχή του άλλου. Η συνάρτηση υποκατάστασης είναι φθίνουσα κυρτή: = () με (), () Q(,) = q = () με (), () 3. Είναι οιονεί κοίλη, με κυρτές τις πάνω σταθμικές, δηλαδή οι ενδιάμεσοι συνδυασμοί των συντελεστών παραγωγής είναι περισσότερο παραγωγικοί από τους ακραίους συνδυασμούς. 4. Είναι κοίλη, με συνολικά φθίνον οριακό προϊόν. Ειδικότερα: Q, Q Παρατήρηση. Αναλυτικά, η ιδιότητα 3 της οιονεί κοιλότητας εκφράζεται με πλαισιωμένο Εσσιανό πίνακα, δηλαδή θετική πλαισιωμένη Εσσιανή ορίζουσα: Hɶ Δɶ = Hɶ = Q Q + Q Q Q Q Q Q Q Q 1 αρνητικά ημιορισμένο Αντίστοιχα, η ισχυρότερη ιδιότητα 4 της κοιλότητας εκφράζεται με αρνητικά ημιορισμένο Εσσιανό πίνακα: H Q, Q, Δ = H = Q Q Q Q Q Q Πολλές από τις παραπάνω ιδιότητες σχετίζονται μεταξύ τους. Π.χ. {1,} {1,3}, μια αύξουσα συνάρτηση έχει φθίνοντα ρυθμό υποκατάστασης είναι οιονεί κοίλη. 4 3, μια κοίλη συνάρτηση είναι και οιονεί κοίλη.

2 Συναρτήσεις παραγωγής με τις παραπάνω ιδιότητες θα καλούνται κανονικές. Ειδικότερα οι γραμμικές, με επίπεδα γραφήματα και ευθείες ισοσταθμικές, θεωρούνται κανονικές. Στη γενική περίπτωση τα γραφήματα έχουν την παρακάτω μορφή: Q Q= q Q Q(,) q Q= Q(,) Q(,) q συνάρτηση παραγωγής καμπύλη ισοπαραγωγής Δίνουμε παρακάτω τις καμπύλες ισοπαραγωγής τριών βασικών τύπων: Γραμμική: Q= α+ β. Π.χ. ενέργεια παράγεται με πετρέλαιο ή με λιγνίτη. Αν μια μονάδα πετρελαίου παράγει α μονάδες ενέργειας και μια μονάδα λιγνίτη παράγει β μονάδες ενέργειας, τότε με {,} μονάδες αντίστοιχα θα παράγονται Q= α+ β μονάδες ενέργειας. Λέμε ότι οι εισροές είναι πλήρως υποκατάστατες, με καμπύλες ισοπαραγωγής ευθείες και ρυθμό υποκατάστασης σταθερό: d α Q = α + β = q αd + βd = d = β 1 επιπλέον μονάδες πετρελαίου είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) α /β μονάδες λιγνίτη. Πράγματι: 1/α επιπλέον μονάδες πετρελαίου είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) 1/β μονάδες λιγνίτη, διότι αμφότερες δίνουν την ίδια, 1 μονάδα αύξησης, στην παραγόμενη ενέργεια. β επιπλέον μονάδες πετρελαίου είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) α μονάδες λιγνίτη, διότι αμφότερες δίνουν την ίδια, αβ μονάδες αύξησης, στην παραγόμενη ενέργεια. eontief min: Q = min{ /α, /β} Π.χ. αν για την παραγωγή μιας μονάδας χάλυβα απαιτούνται α μονάδες σιδήρου και β μονάδες άνθρακα, τότε με {,} μονάδες σιδήρου και άνθρακα αντίστοιχα θα παράγονται Q= min{ / α, / β} μονάδες χάλυβα. Λέμε ότι οι δύο εισροές είναι πλήρως συμπληρωματικές, με την έννοια ότι χρησιμοποιούνται σε σταθερή αναλογία με ρυθμό υποκατάστασης μηδενικό ή άπειρο, δηλαδή χωρίς δυνατότητα υποκατάστασης: /α αν /α /β d αν /α /β Q= min, = = α β /β αν /β /α d αν /β /α α β Cobb-Douglas (C-D): Q=. Τώρα {α,β} είναι οι ελαστικότητες του κεφαλαίου και της εργασίας στην παραγωγή. Δηλαδή: 1% αύξηση του κεφαλαίου προκαλεί αύξηση της παραγωγής κατά α%, 1% αύξηση της εργασίας προκαλεί αύξηση της παραγωγής κατά β%. Για τον ρυθμό υποκατάστασης των συντελεστών βρίσκουμε: d Q α d / α %d α = = = = d Q β d / β %d β 1% επιπλέον μονάδες κεφαλαίου είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) (α /β)% μονάδες εργασίας. Πράγματι: (1/α)% επιπλέον μονάδες κεφαλαίου είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) (1/β)% μονάδες εργασίας, διότι αμφότερες δίνουν την ίδια, 1% αύξηση, στην παραγόμενη ενέργεια. /α= /β

3 β% επιπλέον μονάδες κεφαλαίου είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) α% μονάδες εργασίας, διότι αμφότερες δίνουν την ίδια, αβ% αύξηση, στην παραγόμενη ενέργεια. Καμπύλες Ισοπαραγωγής (CES). Δίνουμε παρακάτω τις καμπύλες ισοπαραγωγής κάποιων βασικών συναρτήσεων παραγωγής, με χαρακτηριστικές ιδιότητες. Αρχίζουμε με πλήρως συμπληρωματικούς συντελεστές παραγωγής (eontief min) και καταλήγουμε σε πλήρως υποκατάστατους (γραμμικές), περνώντας από ενδιάμεσους βαθμούς συμπληρώματικότητας και υποκατάστασης. eontief Cobb-Douglas Γραμμική min{ /α, /β} ρ ρ 1 (α + β ) :ρ< 3 α β + < < α+ β ρ ρ α β, ρ 1 Είναι όλες ομογενείς και ανήκουν στην ειδική κατηγορία των συναρτήσεων με Σταθερή Ελαστικότητα Υποκατάστασης (CES) Παράδειγμα. Δίνουμε και ένα παράδειγμα μη κανονικής συνάρτησης παραγωγής. Υποθέτουμε ότι η παραγωγή ενός προϊόντος μπορεί να γίνει με δύο διαφορετικές διαδικασίες και αντίστοιχες συναρτήσεις παραγωγής: Q = (1,3) Q1 = +, Q = + 3 Αν για κάθε συνδυασμό (,) χρησιμοποιείται η διαδικασία που δίνει = / την μεγαλύτερη παραγωγή, τότε η συνάρτηση παραγωγής θα είναι: Q 1= (,1) Q1 = + αν Κ / Q= max{q 1,Q } = Q = + 3 αν / Η συνάρτηση είναι κανονική ως προς την μονοτονία αλλά όχι ως προς την κυρτότητα. Τώρα οι κάτω σταθμικές, αντί των πάνω, είναι κυρτές και επομένως ακραίοι συνδυασμοί των συντελεστών είναι περισσότερο παραγωγικοί, όπως διαπιστώνουμε και γραφικά στο παραπάνω γράφημα.. Εκροές-Παραγόμενα προϊόντα Θεωρούμε μια σύνθετη παραγωγική διαδικασία με δύο παραγόμενα προϊόντα σε ποσότητες {,} με κόστος παραγωγής: C= C(, ) όπου, και με αντίστοιχα οριακά κόστη (marginal cost): C C {C =, C = } Οι εξισώσεις υποκατάστασης που ορίζουν οι ισοσταθμικές της συνάρτησης κόστους καλούνται εξισώσεις ισοκόστους (isocost): C(, ) = c Αποτελούνται από τους συνδυασμούς των δύο προϊόντων που έχουν σταθερό κόστος παραγωγής c. Ιδιότητες της συνάρτησης κόστους C(,) Μια συνάρτηση κόστους έχει συνήθως τις παρακάτω ιδιότητες μονοτονίας και κυρτότητας: 1. Είναι γνήσια αύξουσα με γνήσια θετικά οριακά κόστη, δηλαδή κάθε επιπλέον παραγωγή ενός προιόντος κοστίζει γνήσια περισσότερο: C >, C >. Ορίζει αρνητικό και αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης, δηλαδή για σταθερό κόστος, κάθε αύξηση στην παραγωγή ενός προϊόντος απαιτεί όλο και μεγαλύτερη μείωση στην παραγωγή του άλλου. Αναλυτικά, η συνάρτηση υποκατάστασης μεταξύ των δύο προιόντων θα είναι φθίνουσα κοίλη: Υ= Υ(Χ) με () <, () C(, ) = c Χ= Χ(Υ) με () <, () 3. Είναι οιονεί κυρτή, με κυρτές τις κάτω σταθμικές, δηλαδή οι ενδιάμεσοι συνδυασμοί των παραγόμενων προϊόντων έχουν μικρότερο κόστος από τους ακραίους 4. Είναι κυρτή με συνολικά αύξοντα οριακά κόστη. Ειδικότερα: C, C Παρατήρηση. Αναλυτικά, η ιδιότητα 3 της οιονεί κυρτότητας εκφράζεται με θετικά ημιορισμένο πλαισιωμένο Εσσιανό πίνακα, δηλαδή αρνητική πλαισιωμένη Εσσιανή ορίζουσα:

4 Hɶ Δɶ = Hɶ = C C + C C C C C C C C Αντίστοιχα, η ισχυρότερη ιδιότητα 4 της κυρτότητας εκφράζεται με θετικά ημιορισμένo Εσσιανό πίνακα: H C, C, Δ = H = C C C C C C Πολλές από τις παραπάνω ιδιότητες συνδέονται μεταξύ τους όπως ακριβώς για τις συναρτήσεις παραγωγής. Για συναρτήσεις κόστους με τις παραπάνω ιδιότητες θα λέμε ότι είναι κανονικές. Ειδικότερα οι γραμμικές με επίπεδα γραφήματα και ευθείες ισοκόστους θεωρούνται κανονικές. Στη γενική περίπτωση η συνάρτηση κόστους και οι καμπύλες ισοκόστους έχουν την παρακάτω μορφή. C C= c C C c C= C(, ) C(, ) = c συνάρτηση κόστους καμπύλη ισοκόστους Στη συνέχεια δίνουμε και τις καμπύλες ισοκόστους για κάποιες ειδικές συναρτήσεις κόστους. Γραμμική: C= α+ β Π.χ. μια έκταση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για παραγωγή γεωργικού προιόντος ή κτηνοτροφικού προιόντος. Αν μια μονάδα γεωργικού προιόντος χρειάζεται α μονάδες έκτασης και μια μονάδα κτηνοτροφικού προιόντος χρειάζεται β μονάδες έκτασης, τότε για παραγωγή {,} μονάδων αντίστοιχα χρειάζονται C= α+ β μονάδες έκτασης. Παρατηρούμε ότι το κόστος αναφέρεται γενικά σε πόρους που δεν είναι απαραίτητα χρήμα. Λέμε ότι οι δύο εκροές είναι πλήρως υποκατάστατες, με καμπύλες ισοκόστους ευθείες και ρυθμό υποκατάστασης σταθερό: d α C = α + β = c αd + βd = d = β 1 επιπλέον μονάδα κτηνοτροφίας είναι ισοδύναμη με (υποκαθιστά) α /β μονάδες γεωργίας. 1/α επιπλέον μονάδες κτηνοτροφίας είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) 1/β μονάδες γεωργίας. Ισοδύναμες σημαίνει ότι απαιτούν την ίδια επιπλέον έκταση. eontief max:c = max{ /α, /β}. Π.χ. αν μια μονάδα κάποιας τροφής παρέχει στον οργανισμό α μονάδες θερμίδων και β μονάδες βιταμινών, τότε για την πρόσληψη {,} μονάδων θερμίδων και βιταμινών αντίστοιχα απαιτούνται C= max{ /α, /β} μονάδες της τροφής. Λέμε ότι οι δύο εκροές είναι πλήρως συμπληρωματικές, με την έννοια ότι παράγονται σε σταθερή αναλογία με ρυθμό υποκατάστασης μηδενικό ή άπειρο, δηλαδή χωρίς δυνατότητα υποκατάστασης: /α αν /α /β d αν /α /β Q= max, = = α β /β αν /β /α d αν /β /α Παρατήρηση. Δίνουμε παρακάτω τις καμπύλες ισοκόστους κάποιων βασικών συναρτήσεων κόστους. Αρχίζουμε με πλήρως υποκατάστατα προιόντα (γραμμική) και καταλήγουμε σε πλήρως συμπληρωματικά (eontief max), περνώντας από ενδιάμεσους βαθμούς υποκατάστασης και συμπληρωματικότητας. Είναι όλες ομογενείς και ανήκουν στην κατηγορία των συναρτήσεων με Σταθερή Ελαστικότητα Υποκατάστασης (CES) γραμμική τετραγωνική eontief α+ β ρ ρ α + β,1< ρ< + ρ ρ α β,ρ + > max{ /α, /β} 4

5 Παράδειγμα. Δίνουμε και ένα παράδειγμα μη κανονικής συνάρτησης κόστους. Δύο προϊόντα παράγονται σε ποσότητες {,} με δύο διαφορετικές διαδικασίες, και αντίστοιχο κόστος: C1 = +, C = + 3 C 1= (,1) Αν χρησιμοποιείται κάθε φορά η διαδικασία με το μικρότερο κόστος, η τελική C = (1,3) συνάρτηση κόστους θα είναι : C1 = + αν / C= min{c 1,C } = / = C = + 3 αν / Η συνάρτηση είναι κανονική ως προς την μονοτονία αλλά όχι ως προς την κυρτότητα. Οι πάνω σταθμικές, αντί των κάτω, είναι κυρτές και επομένως ενδιάμεσοι συνδυασμοί των {,} έχουν μεγαλύτερο κόστος από τους ακραίους, όπως διαπιστώνουμε στο γράφημα. 3. Εξωτερικότητες Τα παραγόμενα προϊόντα δεν είναι πάντοτε «αγαθά». Π.χ. στη διαδικασία παραγωγής ενός προϊόντος, εκτός από το παραγόμενο αγαθό {} μπορεί να έχουμε και παραγωγή ρύπου {} που είναι «μη αγαθό». Αύξηση του ρύπου συνοδεύεται από μείωση του κόστους, π.χ. λόγω μη χρήσης αντιρρυπαντικής τεχνολογίας. Σαυτή την περίπτωση η συνάρτηση κόστους: C= C(, ), θα έχει γενικά τις παρακάτω ιδιότητες, όπως φαίνεται και στο πρώτο γράφημα του παρακάτω σχήματος. 1. Είναι μη κανονική ως προς την μονοτονία, και η καμπύλη ισοκόστους θα έχει θετική κλίση: {C >, C < } d C d = C > Αντί υποκατάστασης έχουμε αντιστάθμιση. Αυξάνοντας την παραγωγή αλλά και τον παραγόμενο ρύπο, μπορεί να κρατηθεί το κόστος σταθερό.. Είναι κανονική ως προς την κυρτότητα. Είναι και οιονεί κυρτή, με την κάτω σταθμική C c κυρτή, οπότε ενδιάμεσοι συνδυασμοί παραγωγής και εκπομπής ρύπων έχουν μικρότερο κόστος από τους αντίστοιχους ακραίους συνδυασμούς. Έχει συνήθως αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης (αντιστάθμισης) της παραγωγής από τον ρύπο, με την έννοια ότι για σταθερό κόστος κάθε επιπλέον αύξηση της παραγωγής συνοδεύεται από όλο και μεγαλύτερη αύξηση του παραγόμενου ρύπου. Παρατήρηση 1. Η αύξηση της παραγωγής ρύπου συνεπάγεται μείωση κόστους στην παραγωγή αλλά συνήθως συνοδεύεται από αυξημένο κόστος σε άλλες «γειτονικές» δραστηριότητες. Οι αλληλοεπιδράσεις αυτές ονομάζονται εξωτερικότητες (externalities).. Αν αντικαταστήσουμε τη μεταβλητή του ρύπου που είναι μη αγαθό με το αρνητικό του Z= = Z που είναι αγαθό, τότε η συνάρτηση κόστους θα είναι κανονική και ως προς τη μονοτονία και ως προς την κυρτότητα, αλλά τώρα θα ορίζεται στο αρνητικό του κατακόρυφου ημιάξονα, όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα παρακάτω. Π.χ. C= C= + Z με, Z C c Z C C c C C= = c, {C >, C < } μη κανονικές καμπύλες ισοκόστους C= + Z= c, Z, {C >, CZ > } 5

6 4. Εισροές-Καταναλωτικά αγαθά Η απλή συνάρτηση χρησιμότητας U= U(C) που μελετήσαμε σε προηγούμενη ενότητα προκύπτει στην πραγματικότητα ως αποτέλεσμα βέλτιστης κατανάλωσης αγαθών που μπορούν να αποκτηθούν για το συγκεκριμένο επίπεδο δαπάνης C. Σε πρωταρχικό στάδιο η χρησιμότητα εκφράζεται ως συνάρτηση των ποσοτήτων κατανάλωσης διαφόρων αγαθών, σε αντιστοιχία με τους συντελεστές στην παραγωγή. Στη θεωρία κατανάλωσης τον βασικό ρόλο παίζει η έννοια της «προτίμησης». Έτσι για δύο αγαθά θεωρούμε ότι μεταξύ των διαφόρων συνδυασμών κατανάλωσης {,} υπάρχει μια σχέση προτίμησης, για την οποία υποθέτουμε ότι εκφράζεται μέσω μιας συνάρτησης χρησιμότητας (utility function) που «μετράει» το παραγόμενο όφελος: U= U(, ) Η συνάρτηση χρησιμότητας καθορίζει μια σχέση προτίμησης (preference relation) μεταξύ των συνδυασμών αγαθών {,}. Οι ισοσταθμικές της συνάρτησης χρησιμότητας καλούνται εξισώσεις αδιαφορίας (indifference): U(, ) = u Ο καταναλωτής είναι αδιάφορος (indifferent) μεταξύ συνδυασμών που βρίσκονται στην ίδια ισοσταθμική, ενώ προτιμάει (prefers) τους συνδυασμούς που βρίσκονται στη αντίστοιχη πάνω σταθμική. Γράφουμε: (x,y ) (x,y ) U(x,y ) = U(x,y ), συνδυασμοί με την ίδια προτίμηση (x 1,y 1) (x,y ) U(x 1,y 1) > U(x,y ), ο πρώτος συνδυασμός είναι (γνήσια) προτιμότερος Γενικά η συνάρτηση χρησιμότητας έχει ιδιότητες αντίστοιχες της συνάρτησης παραγωγής όπου τα δύο αγαθά αντιστοιχούν στους συντελεστές παραγωγής. Υπάρχουν όμως και διαφορές που οφείλονται κυρίως στο γεγονός ότι η συνάρτηση χρησιμότητας μπορεί να μην εκφράζει κάποιο άμεσα μετρήσιμο μέγεθος. Μάλιστα, αν ο μοναδικός ρόλος της είναι να εκφράζει τη σχέση προτίμησης μεταξύ διαφόρων συνδυασμών, τότε λέμε ότι δύο συναρτήσεις χρησιμότητας U(,) και V(,), είναι μονότονα ή διατακτικά ισοδύναμες (order equivalent), με την έννοια ότι ορίζουν την ίδια σχέση προτίμησης, αν η κάθε μια είναι γνήσια αύξων μετασχηματισμός της άλλης: V= V(U) με V (U) > Έτσι: δύο συναρτήσεις χρησιμότητας είναι ισοδύναμες ως προς τη σχέση προτίμησης αν έχουν τις ίδιες ισοσταθμικές, με την ίδια διάταξη, ανεξάρτητα των τιμών τους. Στο παραπάνω πλαίσιο βασικές θεωρούνται μόνο οι ιδιότητες που διατηρούνται όταν πάρουμε έναν γνήσια αύξοντα μετασχηματισμό της συνάρτησης χρησιμότητας, δηλαδή βασικές θεωρούνται οι ιδιότητες των καμπύλων αδιαφορίας και όχι της ίδιας της συνάρτησης χρησιμότητας. Ειδικότερα: 1. Οι τιμές της χρησιμότητας U, και ειδικά τα πρόσημα της δεν είναι βασικά μεγέθη. Γενικά η συνάρτηση χρησιμότητας μπορεί να έχει και αρνητικές τιμές.. Οι οριακές χρησιμότητες {U,U } είναι βασικές μόνο ως προς τα πρόσημά τους και όχι ως προς τις συγκεκριμένες τιμές τους. Αλλά ο λόγος τους αφορά τον ρυθμό υποκατάστασης μεταξύ των αγαθών και ισούται με την κλίση της ισοσταθμικής που είναι βασικό μέγεθος. Έτσι δύο διατακτικά ισοδύναμες συναρτήσεις χρησιμότητας ορίζουν τον ίδιο ρυθμό υποκατάστασης: V U V= V(U) με V (U) > {Vx = V U x,v = V U } με = V U 3. Οι ιδιότητες κυρτότητας των σταθμικών περιοχών είναι βασικά μεγέθη. Στο παραπάνω πλαίσιο, μια συνάρτηση χρησιμότητας θα λέγεται κανονική ως προς τη σχέση προτίμησης, αν έχει τις παρακάτω ιδιότητες: 1. Είναι αύξουσα, με θετικά οριακά προϊόντα: U, U. Έχει αρνητικό και φθίνοντα ρυθμό υποκατάστασης: U(,) = u { (), () } & { (), () } 3. Είναι οιονεί κοίλη, με κυρτές τις πάνω σταθμικές, δηλαδή υπάρχει προτίμηση για ενδιάμεσους συνδυασμούς ποσοτήτων κατανάλωσης παρά για ακραίους. Σε πολλές περιπτώσεις η χρησιμότητα ποσοτικοποιείται. Συνήθως ποσοτικοποιείται όχι η ίδια η χρησιμότητα αλλά η διαφορά της από κάποια κατανάλωση αναφοράς: {, }. Σαυτή την περίπτωση η κατανάλωση αναφοράς και η μονάδα μέτρησης της χρησιμότητας συνήθως ορίζονται συμβατικά, οπότε λέμε ότι δύο συναρτήσεις χρησιμότητας U(,) και V(,) είναι γραμμικά ισοδύναμες (linearly equivalent) αν η μια είναι αύξων γραμμικός μετασχηματισμός της άλλης: 6

7 V= αu+ β με α> Σε κάθε περίπτωση, σε αντίθεση με τις συναρτήσεις παραγωγής, μια συνάρτησης χρησιμότητας μπορεί να έχει και αρνητικές τιμές. Επίσης μπορεί να εμφανίζει και φαινόμενα κορεσμού ενώ μετά από ένα επίπεδο κατανάλωσης το αγαθό μπορεί να γίνεται και βλαβερό με αρνητική οριακή χρησιμότητα. Παρατήρηση. Μια συνάρτηση χρησιμότητας θα είναι μη κανονική ως προς την κυρτότητα, οιονεί κυρτή αντί οιονεί κοίλη, δηλαδή με τις κάτω σταθμικές κυρτές, όταν δύο αγαθά είναι ασυμβίβαστα και δεν συνδυάζονται. Σαυτή την περίπτωση υπάρχει προτίμηση για ακραίους συνδυασμούς, παρά για ενδιάμεσους, δηλαδή υπάρχει προτίμηση για κατανάλωση μόνο του ενός ή μόνο του άλλου. Σαν συνέπεια η συνάρτηση χρησιμότητας θα έχει χαμηλότερες τιμές στους ενδιάμεσους συνδυασμούς, δηλαδή θα είναι οιονεί κυρτή αντί να είναι οιονεί κοίλη. Παράδειγμα 1. Οι συναρτήσεις χρησιμότητας: α β α β U=, V= ln( ) = αln + βln με α>,β> είναι διατακτικά ισοδύναμες ως προς την σχέση προτίμησης, με την έννοια ότι η κάθε μια είναι αύξων μετασχηματισμός της άλλης. Έχουν τις γνωστές ισοσταθμικές των συναρτήσεων τύπου C-D και είναι αμφότερες οιονεί κοίλες, δηλαδή έχουν τις πάνω σταθμικές κυρτές. Αλλά η πρώτη παίρνει μόνο θετικές τιμές ενώ η δεύτερη παίρνει και αρνητικές τιμές.. Θεωρούμε τη συνάρτηση χρησιμότητας: U U = ( 1) + με τις παραβολικές ισοσταθμικές του παραπλεύρως σχήματος: U = ( 1) + = u = u + ( 1) και μερικές παραγώγους: 1 U = 1>, U = (Χ 1) : { < αν Χ> 1, > αν < 1} Το = 1 είναι ποσότητα κορεσμού και γίνεται «μη αγαθό» για > 1. Για 1οι ισοσταθμικές έχουν την συνηθισμένη αρνητική κλίση, ενώ για 1 έχουν θετική κλίση, και αν αυξηθεί η μία κατανάλωση πρέπει να αυξηθεί και η άλλη για αντιστάθμιση. Είναι όμως κανονική ως προς την κυρτότητα, και είναι οιονεί κοίλη με τις πάνω σταθμικές κυρτές. Δηλαδή, υπάρχει προτίμηση για ενδιάμεσους συνδυασμούς κατανάλωσης παρά για ακραίους. Παρατηρούμε επίσης ότι παίρνει και αρνητικές τιμές, με μηδενική ισοσταθμική την παραβολή. U = ( 1) + = = ( 1) Στην πραγματικότητα ένας ορθολογικός καταναλωτής θα καταναλώνει μόνο στην περιοχή: 1, όπου η συνάρτηση είναι κανονική. Παράδειγμα. Ένας εργαζόμενος εργάζεται ώρες ημερησίως, και έχει διαθέσιμο για C κατανάλωση ποσό C ημερησίως, με συνάρτηση χρησιμότητας: U U = 1/(16 ) < U= ln[(16 )C] = ln(16 ) + lnc με 16 UC = 1/ C> Καλείται λογαριθμική χρησιμότητα τύπου Stone-Geary, και έχει τις εξής ιδιότητες 16 μονοτονίας και κυρτότητας, όπως φαίνεται και στο γράφημα: 1. Είναι φθίνουσα (μη αγαθό), αλλά C αύξουσα (αγαθό), με καμπύλες αδιαφορίας: C(16 ) α C α = =, { C, 16 } 16,α> Έχουν θετική κλίση και ορίζουν αντιστάθμιση. Η αύξηση της εργασίας αντισταθμίζεται με αύξηση της κατανάλωσης.. Είναι οιονεί κοίλη με τις πάνω σταθμικές κυρτές, οπότε ενδιάμεσοι συνδυασμοί κατανάλωσης-εργασίας είναι προτιμότεροι από ακραίους όπου η εργασία και η κατανάλωση είναι αμφότερα πολύ μικρά ή αμφότερα πολύ μεγάλα. 3. Καθώς η εργασία αυξάνει πλησιάζοντας ασυμπτωτικά το πάνω όριο 16, όλο και περισσότερη κατανάλωση απαιτείται για να αντισταθμίσει επιπλέον εργασία. Δηλαδή έχει αύξοντα ρυθμό αντιστάθμισης της εργασίας με κατανάλωση. Κάθε επιπλέον αύξηση της εργασίας αντισταθμίζεται με όλο και μεγαλύτερη αύξηση της κατανάλωσης. C Παρατήρηση. Αν αντί της εργασίας που είναι μη αγαθό, χρησιμοποιήσουμε την U σχόλη: T= 16, T 16 T που είναι αγαθό, τότε η συνάρτηση χρησιμότητας παίρνει κανονική μορφή: 16 7

8 U = 1/ T> U= ln[tc] = ln T+ lnc με C, T 16 UC = 1/ C> και οι καμπύλες αδιαφορίας έχουν το γνωστό σχήμα παραπλεύρως. 5. Καμπύλες αδιαφορίας Θα εξετάσουμε ορισμένες χαρακτηριστικές ιδιότητες των καμπύλων αδιαφορίας που αφορούν κυρίως τον ρυθμό υποκατάστασης μεταξύ των αγαθών: d Ux U(, ) = u d = U y Υποθέτουμε κανονική συνάρτηση χρησιμότητας, αύξουσα με φθίνοντα ρυθμό υποκατάστασης. Εξετάζουμε παρακάτω τρεις περιπτώσεις με τα αντίστοιχα γραφήματα όσον αφορά τον τρόπο που η καμπύλη αδιαφορίας πλησιάζει τον άξονα καθώς μειώνεται η συμμετοχή του αγαθού. 1. Η καμπύλη αδιαφορίας τέμνει τον άξονα, που σημαίνει ότι το αγαθό μπορεί να υποκατασταθεί πλήρως από το αγαθό. Ο ρυθμός υποκατάστασης μπορεί να τείνει στο μηδέν όπως στο πρώτο γράφημα ή να παραμένει φραγμένος από κάτω όπως στο δεύτερο γράφημα.. Η καμπύλη αδιαφορίας δεν τέμνει τον άξονα, οπότε το αγαθό δεν μπορεί να υποκαταστήσει πλήρως το αγαθό. Καθώς το μειώνεται η διατήρηση της χρησιμότητας απαιτεί απεριόριστη αύξηση της συμμετοχής του. Σαυτή την περίπτωση μπορεί η συμμετοχή του να τείνει οριακά στο μηδέν όπως στο τρίτο γράφημα ή να απαιτείται πάντοτε μια ελάχιστη ποσότητα yόπως στο τέταρτο γράφημα. Υ Υ Υ Υ Χ Χ Χ y Χ καμπύλες αδιαφορίας Παράδειγμα6. Θεωρούμε τις καμπύλες αδιαφορίας των παρακάτω συναρτήσεων χρησιμότητας στη θετική περιοχή: {, }. 1. U= +. Έχει καμπύλες αδιαφορίας όπως στο πρώτο γράφημα ως προς αμφότερα τα αγαθά U = ( + ). Έχει καμπύλες αδιαφορίας όπως στο τέταρτο γράφημα, ως προς αμφότερα τα αγαθά. α β 3. U= ln( x ) ( y ) = αln( x ) + βln( y ). Έχει καμπύλες αδιαφορίας τις υπερβολές: α β ( x ) ( y ) = c, με ασύμπτωτες τις ευθείες: = y, = x Με κατάλληλη επιλογή του πρόσημου των {x,y }, μπορούμε να πετύχουμε οιαδήποτε από τις συμπεριφορές στα παραπάνω τελευταία τρία γραφήματα. 6. Βελτιστοποίηση Στην παραγωγή και στην κατανάλωση εμφανίζονται διάφορα προβλήματα βελτιστοποίησης, ως εξής: 1. Σε μια απλή παραγωγική διαδικασία χρησιμοποιούνται δύο συντελεστές παραγωγής {,} με κόστος C(,) και παράγεται ένα προϊόν σε ποσότητα Q(,) που διατίθεται με μοναδιαία τιμή P(Q) και αποφέρει έσοδο R(,) = P(Q)Q. Εμφανίζονται τα προβλήματα: min{c= C(,) R= R(,) r}, ελάχιστο κόστος για έσοδο r max{r = R(,) C= C(,) c}, μέγιστο έσοδο για κόστος c max{π= R(,) C(,)}, μέγιστο κέρδος Ειδικά στην περίπτωση που τα μοναδιαία κόστη των συντελεστών {v,w} καθώς και η μοναδιαία τιμή του προϊόντος p είναι εξωγενώς καθορισμένα, όπως συμβαίνει σε συνθήκες πλήρους ανταγωνισμού στην αγορά των συντελεστών και των προϊόντων, τότε τα προβλήματα αυτά παίρνουν την μορφή: min{c= v+ w Q= Q(,) q},ελάχιστο κόστος για παραγωγή q max{q(,) C= v+ w c}, μέγιστη παραγωγή για κόστος c max{π= pq(,) v w}, μέγιστο κέρδος Στο δεύτερο πρόβλημα αντικαταστήσαμε την συνάρτηση εσόδου με την συνάρτηση παραγωγής: 8

9 R= pq(,) Q= Q(,) Οι δύο συναρτήσεις είναι μονότονα εξαρτημένες και επομένως δίνουν την ίδια λύση.. Σε μια σύνθετη παραγωγική διαδικασία παράγονται δύο προϊόντα {,} με κόστος C(,) και αποφέρουν έσοδο R(,). Εμφανίζονται τα προβλήματα: max{r = R(, ) C(, ) c}, μέγιστο έσοδο για κόστος c min{c= C(, ) R= R(, ) r} max{π= R(, ) C(, )}, μέγιστο κέρδος, ελάχιστο κόστος για έσοδο r Ειδικά στην περίπτωση που οι μοναδιαίες τιμές των προϊόντων {v,w} είναι εξωγενώς καθορισμένες, όπως συμβαίνει σε συνθήκες πλήρους ανταγωνισμού στην αγορά των προϊόντων, τότε τα προβλήματα αυτά παίρνουν την παρακάτω μορφή: max{r = v+ w C(, ) c}, μέγιστο έσοδο για κόστος c min{c= C(, ) R= v+ w r}, ελάχιστο κόστος για έσοδο r max{π= v+ w C(, )}, μέγιστο κέρδος 3. Στην κατανάλωση δύο αγαθών {,} με συνάρτηση χρησιμότητας U(,) και συνάρτηση κόστους γραμμική C= v+ w, εμφανίζονται τα παρακάτω προβλήματα. min{c= v+ w U(, ) u} : ελάχιστη δαπάνη για χρησιμότητα u max{u= U(, ) C= v+ w c} :μέγιστη χρησιμότητα γα δαπάνη c Παρατήρηση. Υπάρχει αντιστοιχία μεταξύ προβλημάτων βελτιστοποίησης στην κατανάλωση και προβλημάτων βελτιστοποίησης στην παραγωγή όπου τα καταναλωτικά αγαθά αντιστοιχούν στους συντελεστές παραγωγής και η συνάρτηση χρησιμότητας στην συνάρτηση παραγωγής ή εσόδου. Αναφέρουμε επίσης ότι στα προβλήματα περιορισμένης βελτιστοποίησης η λύση δεν αλλάζει αν χρησιμοποιήσουμε άλλες ισοδύναμες συναρτήσεις που προκύπτουν με γνήσια αύξοντες μετασχηματισμούς. Ειδικά στο πρόβλημα 3 μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οιαδήποτε άλλη διατακτικά ισοδύναμη συνάρτηση χρησιμότητας διότι θα έχει τις ίδιες ισοσταθμικές ως καμπύλες αδιαφορίας. Παρατήρηση. Σε όλα τα παραπάνω προβλήματα περιορισμένης βελτιστοποίησης μπορούμε να αντικαταστήσουμε τις ανισότητες στους περιορισμούς με τις αντίστοιχες ισότητες. Π.χ. min{c= C(,) R= R(,) r} min{c= C(,) R= R(,) = r} Αυτό ισχύει εφόσον οι συναρτήσεις είναι γνήσια αύξουσες ή γενικότερα μονότονες, οπότε στη βέλτιστη λύση εξαντλείται ο περιορισμός. Σε ειδικές περιπτώσεις αυτό μπορεί να μην ισχύει. Π.χ. στην κατανάλωση αν υπάρχει κορεσμός τότε μπορεί να μην εξαντληθεί η δυνατότητα δαπάνης και το βέλτιστο να είναι εσωτερικό. 9

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11. (δ). Να βρεθεί η λύση της διαφορικής εξίσωσης: y = xy, που έχει θετικές τιμές: y 0 και ικανοποιεί: y(0) = 1. 2.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11. (δ). Να βρεθεί η λύση της διαφορικής εξίσωσης: y = xy, που έχει θετικές τιμές: y 0 και ικανοποιεί: y(0) = 1. 2. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11 Μέρος Α 1. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης () στο διάστημα, της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. (β). Οι μεταβλητές {,} συνδέονται με την

Διαβάστε περισσότερα

E1. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ Ι

E1. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ Ι E. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ Ι.Κόστος.Παραγωγή 3.Χρησιµότητα 4.Ζήτηση-Προσφορά 5.Φόρος. Κόστος Θεωρούµε ότι το κόστος παραγωγής (cost) ενός προιόντος είναι συνάρτηση της ποσότητας παραγωγής (production)

Διαβάστε περισσότερα

Ε7 Βελτιστοποίηση στην Κατανάλωση

Ε7 Βελτιστοποίηση στην Κατανάλωση 217 Ε7 Βελτιστοποίηση στην Κατανάλωση Θεωρούµε ότι η χρησιµότητα που αποφέρει η κατανάλωση αγαθών είναι κάποια συνάρτηση των ποσοτήτων κατανάλωσης. Θα αναφερθούµε σε ορισµένες απλές συναρτήσεις χρησιµότητας

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A)

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A) Προσφορά Εργασίας - Έστω ότι υπάρχουν δύο αγαθά Α και Χ στην οικονομία. Το αγαθό Α παριστάνει τα διάφορα καταναλωτικά αγαθά. Το αγαθό Χ παριστάνει τον ελεύθερο χρόνο. Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

E4. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ

E4. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ E4. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ.Παραδείγματα αναλυτικά.παραδείγματα αριθμητικά 3.Ελαστικότητα ζήτησης 4.Ελαστικότητα προσφοράς 5. Έσοδο 6.Κέρδος μονοπωλίου. Παραδείγματα αναλυτικά Παράδειγμα. Σε μια οικονομία

Διαβάστε περισσότερα

Ατομικές Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας - Έστω x=(x 1,,x n ) ένας καταναλωτικός συνδυασμός, όπου x i η ποσότητα του αγαθού i που καταναλώνει

Ατομικές Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας - Έστω x=(x 1,,x n ) ένας καταναλωτικός συνδυασμός, όπου x i η ποσότητα του αγαθού i που καταναλώνει Ατομικές Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας - Έστω x=(x,,x n ) ένας καταναλωτικός συνδυασμός, όπου x i η ποσότητα του αγαθού i που καταναλώνει το άτομο (i =,,n). - Πρόβλημα καταναλωτή: Κάθε άτομο (καταναλωτής)

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονοµική Θεωρία

Μικροοικονοµική Θεωρία Μικροοικονοµική Θεωρία Θεωρία Χρησιµότητας και Προτιµήσεων. Καταναλωτικές Προτιµήσεις: Βασικά Αξιώµατα. Συνολική και οριακή χρησιµότητα Καµπύλη αδιαφορίας ή ισοϋψής καµπύλη χρησιµότητας. Ιστορική Αναδροµή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ Ένθετο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ Μικροοικονομική Ε. Σαρτζετάκης 1 Καταναλωτική συμπεριφορά Σκοπός αυτής της διάλεξης είναι να εξετάσουμε τον τρόπο με τον οποίο οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

Προτιµήσεις-Υπενθύµιση

Προτιµήσεις-Υπενθύµιση Προτιµήσεις-Υπενθύµιση ιάλεξη 4 Χρησιµότητα x y: To x προτιµάται σαφώς από το y. x y: Το x και το y προτιµούνται εξίσου. y: Το x προτιµάται τουλάχιστο όσο και το y. x f Προτιµήσεις-Υπενθύµιση Προτιµήσεις-Υπενθύµιση

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Τεχνολογία και Συναρτήσεις Παραγωγής παραγωγή εισροές εκροές επιχείρηση παραγωγικοί συντελεστές

ΖΗΤΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Τεχνολογία και Συναρτήσεις Παραγωγής παραγωγή εισροές εκροές επιχείρηση παραγωγικοί συντελεστές ΖΗΤΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Τεχνολογία και Συναρτήσεις Παραγωγής - Η παραγωγή είναι η δραστηριότητα μέσω της οποίας κάποια αγαθά και υπηρεσίες (εισροές) μετατρέπονται σε άλλα αγαθά και υπηρεσίες (εκροές ή προϊόντα).

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ. - ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. Τυπικές Συναρτήσεις Μικροοικονομικής Ανάλυσης Συνάρτηση Παραγωγής Q (production function):

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3. Προτιµήσεις. Ορθολογισµός στην οικονοµική. Σχέσεις προτιµήσεων

Διάλεξη 3. Προτιµήσεις. Ορθολογισµός στην οικονοµική. Σχέσεις προτιµήσεων Ορθολογισµός στην οικονοµική Διάλεξη 3 Προτιµήσεις!1 Υπόθεση συµπεριφοράς: Ένας λήπτης αποφάσεων επιλέγει πάντοτε τον πλέον προτιµώµενο συνδυασµό από το σύνολο των εναλλακτικών συνδυασµών που έχει στη

Διαβάστε περισσότερα

Παραγωγική διαδικασία. Τεχνολογία

Παραγωγική διαδικασία. Τεχνολογία Σκοπός: Η μελέτη της σχέσης εισροών και εκροών Συντελεστές παραγωγής (Εισροές) Παραγωγική διαδικασία Παραγόμενο Προϊόν (Εκροές) Κεφαλαιουχικά αγαθά Εργασία Γή Επιχειρηματικές ή διοικητικές ικανότητες κλπ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις 1. Με τα δεδομένα του παρακάτω πίνακα: Τιμή (Ρ) Ποσότητα (Q D )

Ασκήσεις 1. Με τα δεδομένα του παρακάτω πίνακα: Τιμή (Ρ) Ποσότητα (Q D ) 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Ποια είναι η επιδίωξη του καταναλωτή και ποιοι παράγοντες την περιορίζουν; 2. Ποιος καταναλωτής ονομάζεται ορθολογικός και πότε λέμε ότι βρίσκεται σε ισορροπία; 3. Να διατυπώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 22Νοεμβρίου 2015 ΑΥΞΟΥΣΕΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική Ι. Ενότητα # 3: Θεωρία επιλογών καταναλωτή Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών

Μικροοικονομική Ι. Ενότητα # 3: Θεωρία επιλογών καταναλωτή Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών Μικροοικονομική Ι Ενότητα # 3: Θεωρία επιλογών καταναλωτή Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια

Διαβάστε περισσότερα

από την ποσοστιαία μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας προς την ποσοστιαία Σχέση ελαστικότητας ζήτησης και κλίση της καμπύλης ζήτησης.

από την ποσοστιαία μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας προς την ποσοστιαία Σχέση ελαστικότητας ζήτησης και κλίση της καμπύλης ζήτησης. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΖΗΤΗΣΗΣ Ορισμός: Η ελαστικότητα ζήτησης, ενός αγαθού ως προς την τιμή του δίνεται από την ποσοστιαία μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας προς την ποσοστιαία μεταβολή της τιμής του. Δηλαδή %

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2013-2014 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Πρώτο πακέτο ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης Παρασκευή 28 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά και Ζήτηση Υπηρεσιών Υγείας

Προσφορά και Ζήτηση Υπηρεσιών Υγείας Προσφορά και Ζήτηση Υπηρεσιών Υγείας ΤΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Τι θα παραχθεί Πως θα παραχθεί Σε τι ποσότητα Μέθοδοι και διαδικασίες παραγωγής Μελέτες για τον προσδιορισμό των αναγκών Προσδιορισμός Αναγκών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11. Συναρτήσεις με δύο συντελεστές. Συναρτήσεις παραγωγής. τεχνολογικά σύνολα

Κεφάλαιο 11. Συναρτήσεις με δύο συντελεστές. Συναρτήσεις παραγωγής. τεχνολογικά σύνολα Κεφάλαιο Συναρτήσεις παραγωγής Συναρτήσεις παραγωγής Η συνάρτηση παραγωγής μιας επιχείρησης για ένα προϊόν (q) δείχνει τη μέγιστη ποσότητα του αγαθού που μπορεί να παραχθεί με εναλλακτικούς συνδυασμούς

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3: Έστω η συνάρτηση χρησιμότητας για δύο αγαθά Χ και Υ έχει τη μορφή Cobb- Douglas U (X,Y) = X o,5 Y 0,5

Άσκηση 3: Έστω η συνάρτηση χρησιμότητας για δύο αγαθά Χ και Υ έχει τη μορφή Cobb- Douglas U (X,Y) = X o,5 Y 0,5 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Σημείωση: Κάποιες από τις παρακάτω ασκήσεις θα λυθούν στην 3 η και 4 η διάλεξη του μαθήματος (στις ημερομηνίες που αναγράφονται στο πρόγραμμα) και οι υπόλοιπες θα αποτελέσουν προσωπική

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγοι ανώτερης τάξης

Παράγωγοι ανώτερης τάξης Παράγωγοι ανώτερης τάξης Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Διαφορικά Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglks.gr 2 3 / 1 0 / 2 0 1 6 σε μερικές παραγώγους σε μέγιστα, ελάχιστα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 4 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ι Κεντρική έννοια το μέτρο ή ρυθμός μεταβολής:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΤEΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ΙΑΦΟΡΙΚΟ-ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ)

ΜΑΘΗΜΑ ΤEΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ΙΑΦΟΡΙΚΟ-ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ) ΜΑΘΗΜΑ ΤEΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ΙΑΦΟΡΙΚΟ-ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ) A. Κανόνας de L Hospital (Συνέχεια από το προηγούµενο µάθηµα) Παράδειγµα 1. Να βρεθεί το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΑΛΛΑΓΗ. Οι συναρτήσεις χρησιμότητας των ατόμων Α και Β είναι αντίστοιχα. και. και το αρχικό απόθεμα και.

ΑΝΤΑΛΛΑΓΗ. Οι συναρτήσεις χρησιμότητας των ατόμων Α και Β είναι αντίστοιχα. και. και το αρχικό απόθεμα και. ΑΝΤΑΛΛΑΓΗ Άσκηση 5 Οι συναρτήσεις χρησιμότητας των ατόμων Α και Β είναι αντίστοιχα u ( x, x ) = x + x 1 2 1 2 και u ( x, x ) = x + x 1 2 1 2 Ω = (2,0) Ω = (0,1) και το αρχικό απόθεμα και. Να προσδιοριστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. Κεφάλαιο 5. Οικονομικά των Επιχειρήσεων. Ε. Σαρτζετάκης 1

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. Κεφάλαιο 5. Οικονομικά των Επιχειρήσεων. Ε. Σαρτζετάκης 1 ΘΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Κεφάλαιο 5. Σαρτζετάκης 1 Συνάρτηση παραγωγής Προσδιορίζει τις δυνατότητες παραγωγής ενός αγαθού ή υπηρεσίας (εκροής) ως συνάρτησης των παραγωγικών συντελεστών (εισροών) δεδομένης της τεχνολογίας.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ-ΜΑΘΗΜΑ ΠΕΜΠΤΟ-ΕΚΤΟ ΕΚΤΟ ΘΕΩΡΙΑ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ-ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΤΟΥ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ακαδηµαϊκό Έτος 2011-2012 ΕΠΙΧ Μικροοικονοµική

Διαβάστε περισσότερα

2.0. , κ R, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από το σημείο Ρ=(1,1). Να βρεθεί η τιμή του αριθμού κ.

2.0. , κ R, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από το σημείο Ρ=(1,1). Να βρεθεί η τιμή του αριθμού κ. Άσκηση. α Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία (,y, Α=(, και Β=(0, β Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο B(0, και έχει κλίση -0.. Να βρεθούν τα σημεία που

Διαβάστε περισσότερα

4. Σωστό ή Λάθος (εξηγείστε): Κάποια καταναλωτικά προϊόντα είναι αγαθά επιθυμητά για κάποιες ποσότητες και κακά ανεπιθύμητα για άλλες.

4. Σωστό ή Λάθος (εξηγείστε): Κάποια καταναλωτικά προϊόντα είναι αγαθά επιθυμητά για κάποιες ποσότητες και κακά ανεπιθύμητα για άλλες. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2014-2015 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Πρώτο πακέτο ασκήσεων και λύσεων 1. Σωστό ή Λάθος (εξηγείστε):

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποίηση του Κέρδους

Μεγιστοποίηση του Κέρδους Μεγιστοποίηση του Κέρδους - Έστω η συνάρτηση παραγωγής: q = f ( x,..., x ). - Η τιμή του παραγόμενου προϊόντος είναι και οι τιμές των εισροών είναι w= ( w,..., w ). - Υπόθεση: Η επιχείρηση είναι αποδέκτης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 2 ο : Η Ζήτηση των Αγαθών ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Η ελαστικότητα ζήτησης για το αγαθό "Κ" είναι ίση με 2. Αυτό σημαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Α ΤΟΜΟΣ

ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Α ΤΟΜΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Α ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-516-026-9

Διαβάστε περισσότερα

Οικονοµία. Βασικές έννοιες και ορισµοί. Η οικονοµική επιστήµη εξετάζει τη συµπεριφορά

Οικονοµία. Βασικές έννοιες και ορισµοί. Η οικονοµική επιστήµη εξετάζει τη συµπεριφορά Οικονοµία Βασικές έννοιες και ορισµοί Οικονοµική Η οικονοµική επιστήµη εξετάζει τη συµπεριφορά των ανθρώπινων όντων αναφορικά µε την παραγωγή, κατανοµή και κατανάλωση υλικών αγαθών και υπηρεσιών σε έναν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Δεύτερο πακέτο ασκήσεων και λύσεων

Δεύτερο πακέτο ασκήσεων και λύσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 04-05 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Δεύτερο πακέτο ασκήσεων και λύσεων Αντιστοιχούν τέσσερις μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

8. Η ζήτηση ενός αγαθού µεταβάλλεται προς την αντίθετη κατεύθυνση µε τη µεταβολή της τιµής του υποκατάστατου αγαθού.

8. Η ζήτηση ενός αγαθού µεταβάλλεται προς την αντίθετη κατεύθυνση µε τη µεταβολή της τιµής του υποκατάστατου αγαθού. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 : Η ΖΗΤΗΣΗ Να σηµειώσετε το σωστό ή το λάθος στο τέλος των προτάσεων: 1. Η επιδίωξη της µέγιστης χρησιµότητας αποτελεί βασικό χαρακτηριστικό της συµπεριφοράς του καταναλωτή στη ζήτηση αγαθών.

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

1. Η ερώτηση ίσως δέχεται διαφορετικές ερμηνείες για το τί ακριβώς εννοούμε

1. Η ερώτηση ίσως δέχεται διαφορετικές ερμηνείες για το τί ακριβώς εννοούμε ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Θεωρία Ι 2015-16 Λύσεις Πρώτου Πακέτου Ασκήσεων 1. Η ερώτηση ίσως δέχεται διαφορετικές ερμηνείες για το τί ακριβώς εννοούμε με το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο παρόν είναι συγκεντρωµένες όλες σχεδόν οι ερωτήσεις κλειστού τύπου που

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τοπική μονοτονία Αν μια συνεχής συνάρτηση έχει γνήσια θετική αρνητική παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

Αποτέλεσμα Υποκατάστασης και Αποτέλεσμα Εισοδήματος

Αποτέλεσμα Υποκατάστασης και Αποτέλεσμα Εισοδήματος Αποτέλεσμα Υποκατάστασης και Αποτέλεσμα Εισοδήματος (Επιπτώσεις Μεταβολής της Τιμής στη Ζητούμενη Ποσότητα) () Διαγραμματική Παρουσίαση Α. Επιπτώσεις Μεταβολής της Τιμής στα Κανονικά Αγαθά M x / p (Π)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 3 ο : Η Παραγωγή της Επιχείρησης και το Κόστος ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Το συνολικό προϊόν παίρνει την μέγιστη τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

10. Η επιδίωξη της μέγιστης χρησιμότητας αποτελεί βασικό χαρακτηριστικό της συμπεριφοράς του καταναλωτή στη ζήτηση αγαθών.

10. Η επιδίωξη της μέγιστης χρησιμότητας αποτελεί βασικό χαρακτηριστικό της συμπεριφοράς του καταναλωτή στη ζήτηση αγαθών. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 : Η ΖΗΤΗΣΗ Να σημειώσετε το σωστό ή το λάθος στο τέλος των προτάσεων: 1. Όταν η ζήτηση ενός αγαθού είναι ελαστική, η συνολική δαπάνη των καταναλωτών για το αγαθό αυτό μειώνεται καθώς αυξάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Ιδιότητες καµπυλών ζήτησης

Ιδιότητες καµπυλών ζήτησης Ιδιότητες καµπυλών ζήτησης Διάλεξη 6 ΖΗΤΗΣΗ Συγκριτική στατική ανάλυση των συναρτήσεων της κανονικής ζήτησης είναι η µελέτη του πώς οι συναρτήσεις κανονικής ζήτησης (, 2,) και (, 2,) αλλάζουν όταν οι τιµές,

Διαβάστε περισσότερα

6. Το Υπόδειγμα των Επικαλυπτόμενων Γενεών: Ανταλλαγή I

6. Το Υπόδειγμα των Επικαλυπτόμενων Γενεών: Ανταλλαγή I 6. Το Υπόδειγμα τν Επικαλυπτόμενν Γενεών: Ανταλλαγή I 6.. Ερτήσεις Σχολιάστε την εγκυρότητα τν παρακάτ προτάσεν. Αν πιστεύετε ότι μια πρόταση είναι σστή κάτ από ορισμένες προϋποθέσεις τότε να αναφέρετε

Διαβάστε περισσότερα

/ P, παρά το γεγονός ότι στα διαγράµµατα συνεχίζουν

/ P, παρά το γεγονός ότι στα διαγράµµατα συνεχίζουν ΕΝΟΤΗΤΑ 4 4.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ατοµική καµπύλη προσφοράς Προσδιοριστικοί παράγοντες της προσφοράς Η καµπύλη προσφοράς αποτελεί το γεωµετρικό τόπο όλων των σηµείων που αντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

Δεύτερο πακέτο ασκήσεων. έχει φθίνον τεχνικό λόγο υποκατάστασης (RTS); Απάντηση: Όλες τις τιμές αφού ο RTS = MP 1 MP 2

Δεύτερο πακέτο ασκήσεων. έχει φθίνον τεχνικό λόγο υποκατάστασης (RTS); Απάντηση: Όλες τις τιμές αφού ο RTS = MP 1 MP 2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2013-2014 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Δεύτερο πακέτο ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης Παρασκευή 28 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Σκοπός: Σκοπός του κεφαλαίου είναι αρχικά η υπενθύμιση βασικών εννοιών που αφορούν τον ορισμό, τις πράξεις και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αφ ενός και η μελέτη της

Διαβάστε περισσότερα

Πολιτική Οικονομία Ενότητα

Πολιτική Οικονομία Ενότητα ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 03: Ζήτηση και προσφορά αγαθών Πολυξένη Ράγκου Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μακροοικονομική - Μικροοικονομική

Μακροοικονομική - Μικροοικονομική Μακροοικονομική Μικροοικονομική Η Μακροοικονομική είναι ο κλάδος της Οικονομικής Επιστήμης που ασχολείται με τη μελέτη του οικονομικού συστήματος στο σύνολό του ή μεγάλων επιμέρους τομέων του Η Μικροοικονομική

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

2 ο SET ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ

2 ο SET ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ 2 ο SET ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Σημείωση: Κάποιες από τις παρακάτω ασκήσεις θα λυθούν στην 6 η και 7 η διάλεξη του μαθήματος (στις ημερομηνίες που αναγράφονται στο πρόγραμμα) και οι υπόλοιπες θα αποτελέσουν

Διαβάστε περισσότερα

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 48 49 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Κάθε συνάρτηση : A B με Α R n και Β R ονομάζεται πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Ι Αν Α R n και Β R n τότε έχουμε διανυσματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1)

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 Τηλ:10.93.4.450 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής Ορισμός : Συνάρτηση f μιας πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποίηση του Κέρδους

Μεγιστοποίηση του Κέρδους Μεγιστοποίηση του Κέρδους - Έστω η συνάρτηση παραγωγής: f( K, L). - Η τιμή του παραγόμενου προϊόντος είναι p, ητιμήτηςεργασίας είναι w και η τιμή του κεφαλαίου είναι r. - Υπόθεση: Η επιχείρηση είναι αποδέκτης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

45 Γ. 0 10 Β Χ 2. Η τεχνολογία βελτιώθηκε στην παραγωγή: β) Του Υ µόνο

45 Γ. 0 10 Β Χ 2. Η τεχνολογία βελτιώθηκε στην παραγωγή: β) Του Υ µόνο 3 Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής στην 1 η ενότητα: Παραγωγικές δυνατότητες Χρησιµότητα Ζήτηση 1. Στην Οικονοµική επιστήµη ως οικονοµικό πρόβληµα χαρακτηρίζουµε: α) Την έλλειψη χρηµάτων που αντιµετωπίζει µια

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

Κοινωνικοοικονομική Αξιολόγηση Επενδύσεων Διάλεξη 3 η. Αποτελεσματικότητα και Ευημερία

Κοινωνικοοικονομική Αξιολόγηση Επενδύσεων Διάλεξη 3 η. Αποτελεσματικότητα και Ευημερία Κοινωνικοοικονομική Αξιολόγηση Επενδύσεων Διάλεξη 3 η Αποτελεσματικότητα και Ευημερία Ζητήματα που θα εξεταστούν: Πότε και πως επιτυγχάνεται η οικονομική αποτελεσματικότητα Θεωρήματα των οικονομικών της

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογές του Καταναλωτή και Αποφάσεις Ζήτησης Εκδόσεις Κριτική

Επιλογές του Καταναλωτή και Αποφάσεις Ζήτησης Εκδόσεις Κριτική 5 Επιλογές του Καταναλωτή και Αποφάσεις Ζήτησης Τέσσερα βασικά στοιχεία του υποδείγματος επιλογής του καταναλωτή Το εισόδημα του καταναλωτή. Οι τιμές των αγαθών. Οι προτιμήσεις του καταναλωτή. Η υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Ζήτηση εργασίας στο βραχυχρόνιο διάστημα - Ανταγωνιστικές αγορές

4.1 Ζήτηση εργασίας στο βραχυχρόνιο διάστημα - Ανταγωνιστικές αγορές 4. ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΓΟΡΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ). ΖΗΤΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η ζήτηση εργασίας στο σύνολο της οικονομίας ορίζεται ως ο αριθμός εργαζομένων που οι επιχειρήσεις επιθυμούν να απασχολούν

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Ανεξάρτητες αποφάσεις - Κατανομή χρόνου μεταξύ εργασίας και σχόλης

3.1 Ανεξάρτητες αποφάσεις - Κατανομή χρόνου μεταξύ εργασίας και σχόλης 3. ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΓΟΡΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ). ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ως προσφορά εργασίας ορίζεται το σύνολο των ωρών εργασίας που προσφέρονται προς εκμίσθωση μία δεδομένη χρονική στιγμή.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Έννοια συνάρτησης Παραγώγιση Ακρότατα Ασκήσεις Βασικές έννοιες Στην Οικονομία, τα περισσότερα από τα μετρούμενα μεγέθη, εξαρτώνται από άλλα μεγέθη. Π.χ η ζήτηση από την τιμή,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Εξέταση Φεβρουαρίου 2012 / ιάρκεια: 2 ώρες ιδάσκοντες: Μ. Αθανασίου, Γ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Νίκολσον (κεφ. 6,7,8,14 από Varian) Τα αποτελέσματα εισοδήματος και υποκατάστασης

Κεφάλαιο 5 Νίκολσον (κεφ. 6,7,8,14 από Varian) Τα αποτελέσματα εισοδήματος και υποκατάστασης Συναρτήσεις ζήτησης Κεφάλαιο 5 Νίκολσον (κεφ. 6784 από Varian) Τα αποτελέσματα εισοδήματος και υποκατάστασης Τα άριστα επίπεδα των 2 n ως συναρτήσεις όλων των τιμών και του εισοδήματος n συναρτήσεις ζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 1 2 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 31 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω δύο σύνολα Α και Β ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ του συνόλου Α στο Β είναι η διμελής σχέση f A B για την οποία A αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα y B δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Δεύτερου Πακέτου Ασκήσεων

Λύσεις Δεύτερου Πακέτου Ασκήσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Θεωρία Ι 2015-16 Λύσεις Δεύτερου Πακέτου Ασκήσεων 1. Αν οι προτιμήσεις της Κατερίνας είναι μονοτονικές (προτιμά δηλαδή μεγαλύτερες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. Θεωρία Χρησιµότητας και Συµπεριφοράς του Καταναλωτή

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. Θεωρία Χρησιµότητας και Συµπεριφοράς του Καταναλωτή ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Θεωρία Χρησιµότητας και Συµπεριφοράς του Καταναλωτή Εισαγωγή: Όπως γνωρίζουµε, το οικονοµικό πρόβληµα εστιάζεται στην αποτελεσµατική κατανοµή των ανεπαρκών οικονοµικών πόρων στις εναλλακτικές

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

H Ελαστικότητα και οι Εφαρμογές της

H Ελαστικότητα και οι Εφαρμογές της H Ελαστικότητα και οι Εφαρμογές της (1) Ελαστικότητα της Ζήτησης 1A. Ελαστικότητα της Ζήτησης ως προς την Τιμή - Γιαναμετρήσουμετηνευαισθησίατηςζητούμενηςποσότητας( ) στις μεταβολές της τιμής (), μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Το αποτέλεσμα υποκατάστασης (όσο η τιμή μειώνεται τόσο λιγότερη ποσότητα

Το αποτέλεσμα υποκατάστασης (όσο η τιμή μειώνεται τόσο λιγότερη ποσότητα ΖΗΤΗΣΗ ΓΕΩΡΓΙΚΩΝ ΠΡΟΙΟΝΤΩΝ Γιατί η ζητούμενη ποσότητα ενός αγαθού ή υπηρεσίας αυξάνει όταν η τιμή αυτού του αγαθού ή υπηρεσίας μειώνεται; Υπάρχουν διάφοροι λόγοι. Το αποτέλεσμα εισοδήματος (όσο η τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομία. Ενότητα 4: Θεωρία Χρησιμότητας και Καταναλωτική Συμπεριφορά. Δριτσάκη Χάιδω Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μικροοικονομία. Ενότητα 4: Θεωρία Χρησιμότητας και Καταναλωτική Συμπεριφορά. Δριτσάκη Χάιδω Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μικροοικονομία Ενότητα 4: Θεωρία Χρησιμότητας και Καταναλωτική Συμπεριφορά Δριτσάκη Χάιδω Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι

ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Ενότητα 3: Εργαλεία Κανονιστικής Ανάλυσης Κουτεντάκης Φραγκίσκος Γαληνού Αργυρώ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΚΑΠΟΙΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ Ν = {1,2,3,...} το σύνολο των φυσικών αριθμών Ζ = {0, ±1, ±2, ±3,..

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 2 ο : Η Ζήτηση των Αγαθών ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Οι τιμές των αγαθών προσδιορίζονται στην αγορά από την αλληλεπίδραση της ζήτησης και της προσφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο παρόν είναι συγκεντρωµένες όλες σχεδόν οι ερωτήσεις κλειστού τύπου που

Διαβάστε περισσότερα

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές

Άριστες κατά Pareto Κατανομές Άριστες κατά Pareto Κατανομές - Ορισμός. Μια κατανομή x = (x, x ) = (( 1, )( 1, )) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη κατανομή x = ( x, x ) τέτοια ώστε: U j( x j) U j( xj) για κάθε καταναλωτή

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομία. 1 ο εξάμηνο

Μικροοικονομία. 1 ο εξάμηνο Μικροοικονομία 1 ο εξάμηνο ΘΕΩΡΙΑ ΚΟΣΤΟΥΣ Συνολικό Κόστος (TC): Το χρηματικό ποσό που απαιτείται για την απόκτηση όλων των εισροών. Συνολικό Σταθερό Κόστος (TFC ή πάγια έξοδα): Το χρηματικό ποσό που δαπανά

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Οικονομική Επιστήμη Ι

Εισαγωγή στην Οικονομική Επιστήμη Ι Εισαγωγή στην Οικονομική Επιστήμη Ι Ελαστικότητα και Εφαρμογές Ελαστικότητα... μας επιτρέπει να αναλύσουμε την προσφορά και τη ζήτηση σε βάθος. αποτελεί μια μέτρηση για τον τρόπο με τον οποίο πόσοι παραγωγοί

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Ελαχιστοποίηση του Κόστους

Ελαχιστοποίηση του Κόστους Ελαχιστοποίηση του Κόστους - H ανάλυση του προβλήματος ελαχιστοποίησης του κόστους παρουσιάζει τα εξής πλεονεκτήματα σε σχέση με το πρόβλημα μεγιστοποίησης του κέρδους: (1) Επιτρέπει τη διατύπωση μιας

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ

ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ 1 ΚΦΑΛΑΙΟ 6 ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ Οι καµπύλες ζήτησης και προσφοράς είναι αναγκαίες για να προσδιορίσουν την τιµή στην αγορά. Η εξοµοίωσή τους καθορίζει την τιµή και τη ποσότητα ισορροπίας,

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά για Μη Οικονομολόγους Ενότητα 3: Θεωρία Παραγωγής και Κόστους

Οικονομικά για Μη Οικονομολόγους Ενότητα 3: Θεωρία Παραγωγής και Κόστους Οικονομικά για Μη Οικονομολόγους Ενότητα 3: Καθηγητής: Κώστας Τσεκούρας Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σκοποί ενότητας Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται βασικά στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι:. 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονοµική Θεωρία

Μικροοικονοµική Θεωρία Μικροοικονοµική Θεωρία Ειδικά Θέµατα της Θεωρίας της Συµπεριφοράς του Καταναλωτή Το Συνολικό Αποτέλεσµα. Το Αποτέλεσµα Υποκατάστασης. Το Εισοδηµατικό Αποτέλεσµα. Κανονικά Αγαθά. Κατώτερα Αγαθά. Παράδοξο

Διαβάστε περισσότερα