ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5. Μέρος Α

Transcript

1 Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5 1. (4 μονάδες) α). Θεωρούμε τη σχέση = 3. Να εκτιμηθεί η ποσοστιαία μεταβολή του που θα προκαλέσει μείωση του κατά 1% από την αρχική τιμή =. β). Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση () = είναι κυρτή και να βρεθεί η μέγιστη τιμή της στο διάστημα 0 1. γ). Για το ζεύγος συναρτήσεων {() =,g() = 1/ }, να γίνει το γράφημα και να υπολογιστεί το γεωμετρικό εμβαδόν της περιοχής που βρίσκεται μεταξύ των καμπύλων και του άξονα, στη θετική περιοχή: { 0, 0}. δ). Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης / = 1, για > 0.. (4 μονάδες) α). Θεωρούμε τη σχέση z =. Αν από κάποιες αρχικές τιμές (,), το αυξηθεί κατά 1%, να εκτιμηθεί πόσο πρέπει να μεταβληθεί το ώστε να μην αλλάξει η τιμή του z β). Το παρακάτω σύστημα ορίζει πλεγμένα τα {,} ως συναρτήσεις των {u,w,} : w+ u=, = Να βρεθεί η μερική παράγωγος της ως προς, χρησιμοποιώντας τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης. γ). Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση (, ) = + είναι αύξουσα με φθίνοντα ρυθμό υποκατάστασης, και να γίνει το γράφημα των ισοσταθμικών της. δ). Να βρεθεί γραφικά και υπολογιστικά η λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης ma{ + }, στη θετική περιοχή 0, 0. Μέρος Β 3. (1 μονάδα) Ένας καταθέτης θέλει να εξασφαλίσει το ποσό των 100 χιλιάδων ευρώ μετά από 10 έτη. Υποθέτοντας συνεχή ανατοκισμό με ετήσιο ονομαστικό επιτόκιο 4% τα πρώτα 5 έτη και 6% τα επόμενα 5 έτη, να βρεθεί το ποσό της αρχικής κατάθεσης. 4. (1 μονάδα) 1/ 1/ 4 Θεωρούμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης: ma{ = w v}, στη θετική περιοχή { 0, 0}, με παραμέτρους: {w > 0, v> 0}. Να ερμηνευτεί το πρόβλημα, και να βρεθεί η μέγιστη τιμή ως συνάρτηση των παραμέτρων. Επίσης να διερευνηθούν οι ιδιότητες μονοτονίας και ομογένειας αυτής της συνάρτησης.

2 Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5. Λύσεις 1. (4 μονάδες) α). Θεωρούμε τη σχέση = 3. Να εκτιμηθεί η ποσοστιαία μεταβολή του που θα προκαλέσει μείωση του κατά 1% από την αρχική τιμή =. β). Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση () = είναι κυρτή και να βρεθεί η μέγιστη τιμή της στο διάστημα 0 1. γ). Για το ζεύγος συναρτήσεων {() =,g() = 1/ } να γίνει το γράφημα και να υπολογιστεί το εμβαδόν της περιοχής που βρίσκεται στη θετική περιοχή: { 0, 0}, μεταξύ των καμπύλων τους. δ). Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης / = 1, για > 0. Λύση α) = = 1 και E= / = 1( 1) / = 1/ = 0.5. Επομένως %d = (%d) / %Δ %d= (%d) = ( 1) = %. Δηλαδή το θα πρέπει να αυξηθεί περίπου %. β) Για την κυρτότητα δίνουμε δύο λύσεις: Λύση 1. Η είναι κυρτή ως αρνητική της κοίλης. Η () είναι κυρτή ως άθροισμα της κυρτής και της γραμμικής κυρτής. 1 1/ 1 3 / Λύση. Η δεύτερη παράγωγος είναι θετική: = 1 = > 0. 4 Το μέγιστο κυρτής συνάρτησης είναι πάντοτε συνοριακό: (0) = 0 ή (1) = 0. Η μέγιστη τιμή της είναι = 0. 11/ γ) Είναι γενικευμένο ολοκλήρωμα E= d 0 = 1 = ( 1+ ) =+ Το ολοκλήρωμα δεν συγκλίνει. 0 0 δ) Θα δώσουμε τρεις λύσεις: Λύση 1.Ικανοποιείται από τις συναρτήσεις με σταθερή ελαστικότητα ε 1, δηλαδή τις ομογενείς βαθμού 1 =. Λύση. Είναι γραμμική ομογενής: 1 (1/ )d ln = e = = e = Λύση 3. Είναι χωριζομένων μεταβλητών: d = d = d ln = ln + d Λύνουμε ως προς : ln( / ) = = e =± e = α

3 . (4 μονάδες) α). Θεωρούμε τη σχέση z=. Αν από κάποιες αρχικές τιμές (, ), το αυξηθεί κατά 1%, να εκτιμηθεί πόσο πρέπει να μεταβληθεί το ώστε να μην αλλάξει η τιμή του z. β). Το παρακάτω σύστημα ορίζει πλεγμένα τα {,} ως συναρτήσεις των {u,w,} : w+ u=, = Να βρεθεί η μερική παράγωγος της ως προς, χρησιμοποιώντας τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης. γ). Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση (, ) = + είναι αύξουσα με φθίνοντα ρυθμό υποκατάστασης, και να γίνει το γράφημα των ισοσταθμικών της. δ). Να βρεθεί γραφικά και υπολογιστικά η λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης: ma{ + }, στη θετική περιοχή 0, 0. Λύση α) Η εξίσωση υποκατάστασης είναι: z= = = 1/ = /, με E= Η απαιτούμενη μεταβολή του είναι: %Δ %d = (1%) = % Δηλαδή το πρέπει να μειωθεί περίπου %, ανεξάρτητα των αρχικών τιμών. Σημείωση. Η ελαστικότητα μπορεί να υπολογιστεί και από τον τύπο: 3 1 d z ( ) E= = = = : σταθερή διότι είναι συνάρτηση C-D. d z ( ) Η παραπάνω ελαστικότητα δεν είναι η καλούμενη: «ελαστικότητα υποκατάστασης» β) (,,u, w,) = w+ u = 0 = (u, w,) g(,,u, w,) = = 0 = (u, w,) (,g) w u (,g) 0 u = = = w u, = = = u (,) g g (,) g g 1 Επομένως: (,g) (,g) u = / = (, ) (, ) w u γ) Είναι αύξουσα διότι αμφότερες οι μερικές παράγωγοι είναι θετικές: 1/ = (1/ ) 0, = 1> 0 Ο ρυθμός υποκατάστασης είναι φθίνων, διότι η απόλυτη τιμή του είναι φθίνουσα: d 1 d = = Εξίσωση ισοσταθμικών: + = = δ) Οι εξισώσεις Lagrange μας δίνουν τη λύση: (, ) = λg = λ = λ = / 3 = λg = λ = λ = / 3 g= + = 3 λ = λ = 4 / 9

4 Μέρος Β 3. (1 μονάδα) Ένας καταθέτης θέλει να εξασφαλίσει το ποσό των 100 χιλιάδων ευρώ μετά από 10 έτη. Να βρεθεί το ποσό της αρχικής κατάθεσης, υποθέτοντας συνεχή ανατοκισμό με ετήσιο ονομαστικό επιτόκιο: 4% τα πρώτα 5 έτη και 6% τα επόμενα 5 έτη. Λύση. Έστω K 0 το αρχικό ποσό. (0.04)5 0. Μετά από έτη θα είναι: K = K e = K e (0.06) Μετά από άλλα 5 έτη θα είναι: K10 = K5e = K0e = K0e = K0 e Η αρχική κατάθεση θα είναι: K0 e = 100 K0 = 100 / e 100 /.7 χιλιάδες ευρώ 4. (1 μονάδα) 1/ 1/ 4 Θεωρούμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης: ma{ = w v}, στη θετική περιοχή { 0, 0}, με παραμέτρους: {w > 0, v> 0}. Να ερμηνευτεί και να βρεθεί η μέγιστη τιμή ως συνάρτηση των παραμέτρων. Επίσης να διερευνηθούν οι ιδιότητες μονοτονίας και ομογένειας αυτής της συνάρτησης. Λύση. 1/ 1/ 4 1/ 1/ 4 = (1/ ) w = 0 = w (1/ )ln + (1/ 4)ln = lnw 1/ 3 / 4 1/ 3 / 4 = (1/ 4) v= 0 = 4v (1/ )ln (3 / 4)ln = ln 4v 3 3 ln = 3lnw+ ln 4v ln = ln3w v = 1/ 3w v (1/ )ln = lnw+ ln 4v ln = ln8w v = 1/ 64w v 1/ 1/ 4 1 w v = w v = 5 / 3/ 1/ 6/ 4 1/ 1/ w v w v w v w v = = w v w v w v w v Είναι φθίνουσα και ομογενής βαθμού ε= 1= 3

5