II.7 ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ

Transcript

1 II.7 ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 5.Σταθμικές περιοχές κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Παραβολική ή τετραγωνική προσέγγιση 7.Περισσότερες μεταβλητές. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 8.Δεύτερο διαφορικό ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Τετραγωνικές μορφές Οι απλούστερες συναρτήσεις δύο μεταβλητών είναι οι γραμμικές συναρτήσεις που όπως διαπιστώσαμε παριστάνουν επίπεδα. Οι γραμμικές συναρτήσεις δεν έχουν στάσιμα σημεία, εκτός αν είναι σταθερές οπότε όλα τα σημεία είναι στάσιμα. Στη συνέχεια θεωρούμε τις τετραγωνικές συναρτήσεις, και ειδικότερα τις ομογενείς τετραγωνικές συναρτήσεις δύο μεταβλητών: Q(, ) = α + β + γ Καλούνται και τετραγωνικές μορφές. Ειδικά μας ενδιαφέρουν τα πρόσημά τους στα διάφορα σημεία του επιπέδου. Παρατηρούμε καταρχήν ότι έχουν μηδενική τιμή στο μηδενικό σημείο: Q(,) = Θεωρώντας λοιπόν τα πρόσημά τους μόνο στα μη μηδενικά σημεία, η τετραγωνική μορφή χαρακτηρίζεται ως: α. Θετικά ορισμένη Q >, τιμές γνήσια θετικές β. Θετικά ημιορισμένη.. Q, τιμές γνήσια θετικές ή μηδενικές α. Αρνητικά ορισμένη Q <, τιμές γνήσια αρνητικές β. Αρνητικά ημιορισμένη.. Q, τιμές γνήσια αρνητικές ή μηδενικές 3. Αόριστη Q ><, τιμές και γνήσια θετικές και γνήσια αρνητικές Η ημιορισμένη είναι ευρύτερη κατηγορία από την ορισμένη. Αν μια ημιορισμένη μορφή δεν είναι ορισμένη, τότε λέμε ότι είναι ημιορισμένη-όχι ορισμένη. Δίνουμε παρακάτω τα γραφήματα των επιφανειών που ορίζονται από τις συναρτήσεις των τετραγωνικών μορφών, καθώς και τις αντίστοιχες ισοσταθμικές τους σε κάποιες απλές περιπτώσεις. Q < Q > + > Q + Q < < Q Q > Q >< α β α β 3 Q < >< Q > Χαρακτηρισμός τετραγωνικής μορφής χωρίς μεικτό όρο: β = α. αγ > με {α >,γ > } Q >, θετικά ορισμένη. β. αγ με {α,γ } Q, θετικά ημιορισμένη α. αγ > με {α <,γ < } Q <, αρνητικά ορισμένη β. αγ με {α,γ } Q, αρνητικά ημιορισμένη 3. αγ < με {α >,γ < } ή {α <,γ > } Q ><, αόριστη Q = α + γ

2 Στην γενική περίπτωση μπορούμε να μελετήσουμε το πρόσημο της τετραγωνικής μορφής, γράφοντάς την ως τριώνυμο: Q = α + β + γ = α + β + γ = (α + βu + γu ) όπου: u = Χρησιμοποιώντας την γνωστή θεωρία για το πρόσημο τριώνυμου, θεωρούμε και την παράσταση: Δ = αγ β, διακρίνουσα Χαρακτηρισμός τετραγωνικών μορφών α. {α >,γ > } και Δ = αγ β > αγ > β, θετικά ορισμένη: Q > β. {α,γ } και α. {α <,γ < } και β. {α,γ } και 3. Δ =, θετικά ημιορισμένη: Q Δ = > >, αρνητικά ορισμένη: Q < Δ =, αρνητικά ημιορισμένη: Q Δ = < <, αόριστη: Q >< Παρατήρηση. Στις περιπτώσεις {β, β}, αν έχουμε Δ = αγ β = αγ = β, τότε η τετραγωνική μορφή είναι ημιορισμένη, όχι ορισμένη. Σαυτή την περίπτωση είναι τέλειο τετράγωνο, και έχει μια ολόκληρη ευθεία με μηδενικές τιμές. Η ευθεία με μηδενικές τιμές βρίσκεται και ως η ευθεία των στάσιμων σημείων. Oι συνθήκες στασιμότητας για ακρότατο μας δίνουν το γραμμικό ομογενές σύστημα: Q = α + β = α β με ορίζουσα: Δ = = αγ β Q = β + γ = β γ που είναι ακριβώς η παραπάνω διακρίνουσα της τετραγωνικής μορφής. Συμπεραίνουμε τα εξής:. Αν Δ, μοναδικό στάσιμο σημείο είναι το μηδενικό:(,). Αν Δ =, τα στάσιμα σημεία σχηματίζουν μια ολόκληρη ευθεία που διέρχεται από το μηδενικό:(,). Στα σημεία της η τετραγωνική μορφή έχει μηδενική τιμή. Παράδειγμα. Q = + {α = >, γ = >,β = Δ = > }, θετικά ορισμένη. Q = {α = <,γ = <,β = Δ = } Αρνητικά ημιορισμένη, όχι ορισμένη. Πράγματι η τετραγωνική μορφή σχηματίζει τέλειο τετράγωνο: Q = ( + ) Έχει μηδενικές τιμές σε ολόκληρη την ευθεία με Q = + =, γνήσια αρνητικές στα υπόλοιπα. 3. Q = {α =, γ =, β = Δ = < } Αόριστη, με Q > όταν <, Q < όταν >, Q = όταν 4. Q = {α =,γ =,β = / Δ = / 4 < } =. Αόριστη, με Q > όταν > δηλαδή στο πρώτο και τρίτο τεταρτημόριο, Q < όταν < δηλαδή στο δεύτερο και τέταρτο τεταρτημόριο, Q = όταν = δηλαδή στους άξονες.. Χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων Θεωρούμε τώρα την παρακάτω αντιστοιχία μεταξύ τετραγωνικών μορφών δύο μεταβλητών και συμμετρικών πινάκων, και μεταφέρουμε τον παραπάνω χαρακτηρισμό στους συμμετρικούς πίνακες: α β α β Q = α + β + γ S = με Δ = S = = αγ β β γ β γ Έτσι, ένας συμμετρικός πίνακας χαρακτηρίζεται ως: α. Θετικά ορισμένος S > Q > : {α >,γ >,Δ > } β. Θετικά ημιορισμένος.. S Q : {α,γ,δ } α. Αρνητικά ορισμένος S < Q < : {α <,γ <,Δ > } β. Αρνητικά ημιορισμένος.. S Q : {α,γ,δ } 3. Αόριστος. S >< Q >< : Δ <

3 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας Οι πρώτες μερικές παράγωγοι μιας συνάρτησης f(,) είναι επίσης συναρτήσεις δύο μεταβλητών και μπορούμε να τις παραγωγίσουμε εκ νέου ως προς την κάθε μεταβλητή. Προκύπτουν έτσι 4 μερικές παράγωγοι ης τάξης, ως εξής: f f f f =, = f f ή σε διάταξη πίνακα: f f f f f f =, = Οι απλές μερικές παράγωγοι ης τάξης: {f,f }, αναφέρονται στην εξάρτηση της συνάρτησης από την κάθε μεταβλητή χωριστά, και έχουν την γνωστή ερμηνεία όπως για συναρτήσεις μιας μεταβλητής. Οι μεικτές μερικές παράγωγοι ης τάξης: {f,f }, αναφέρονται στην μεταβολή αμφοτέρων των μεταβλητών, όπου εξετάζουμε την μεταβολή του f όταν μεταβάλλεται το ή την μεταβολή του f όταν μεταβάλλεται το, αντίστοιχα. Υποθέτοντας ότι είναι συνεχείς, αποδεικνύεται ότι είναι ίσες μεταξύ τους, δηλαδή δεν παίζει ρόλο η σειρά παραγώγισης: f = f, θεώρημα Young Παράδειγμα. Οι γραμμικές συναρτήσεις έχουν όλες τις δεύτερες παραγώγους μηδενικές: f = α f =, f = L = α + β + γ f = β f =, f =. Οι τετραγωνικές (παραβολικές) συναρτήσεις, έχουν σταθερές δεύτερες παραγώγους: f = α + β f = α, f = β Q = α + β + γ + δ + ε + ζ f = β + γ f = β, f = γ f = + f =, f = 3. f = + f = f =, f = / / 4 3/ / 4 / 3/ 4 / / 4 f = / α f = / 4, f = / 8 4. f = α β / 3/ 4 / 3 / 4 / 7/ 4 f = / 4 β f = / 8, f = 3 /6 Τα πρόσημα των δεύτερων παραγώγων αφορούν τις ιδιότητες μονοτονίας των πρώτων παραγώγων όταν μια μεταβλητή μεταβάλλεται. Π.χ. καθώς το αυξάνει,. f αυξάνει αν f >, ελαττώνεται αν f <. f αυξάνει αν f >, ελαττώνεται αν f < Γεωμετρικά, οι δεύτερες μερικές παράγωγοι αφορούν τις ιδιότητες κυρτότητας της αντίστοιχης επιφάνειας. Ειδικά τα πρόσημα των απλών δεύτερων παραγώγων {f,f } αφορούν την κυρτότητα των κατακόρυφων τομών στις κατευθύνσεις των δύο αξόνων. Θεωρούμε τώρα μια συνάρτηση δύο μεταβλητών και με τις δεύτερες παραγώγους ως στοιχεία, σχηματίζουμε έναν συμμετρικό πίνακα τον οποίο παριστάνουμε μένα από τα σύμβολα: f f Ηf ή D f ή f =, όπου: f f f = f Καλείται δεύτερη παράγωγος ή Εσσιανός (Hessian) πίνακας δεύτερων παραγώγων. Η αντίστοιχη ορίζουσα καλείται εσσιανή ορίζουσα: f f Δf ή Hf ή f = = ff f f f Για τον παραπάνω Εσσιανό πίνακα της δεύτερης παραγώγου χρησιμοποιούμε την ορολογία που αναπτύξαμε παραπάνω για συμμετρικούς πίνακες. Έτσι λέμε ότι είναι: θετικά ορισμένος,(ημιορισμένος), αρνητικά ορισμένος (ημιορισμένος), αόριστος 3

4 4. Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις Θεωρούμε μια συνάρτηση f(,) με κυρτή περιοχή ορισμού, και λέμε ότι η συνάρτηση είναι: κυρτή αν ο εσσιανός πίνακας είναι θετικά ημιορισμένος σε όλα τα σημεία στην περιοχή: f = H : {f, f,δ = f f f } f κοίλη αν ο εσσιανός πίνακας είναι αρνητικά ημιορισμένος σε όλα τα σημεία στην περιοχή: f = H : {f, f,δ = f f f } f Επιπλέον θα είναι γνήσια κυρτή/κοίλη αν ο εσσιανός πίνακας είναι ορισμένος θετικά/αρνητικά σε όλα τα σημεία στην περιοχή, εκτός ίσως από ένα διακριτό πλήθος σημείων. Παρατήρηση. Γεωμετρικά, η κυρτότητα της f(,) χαρακτηρίζεται από τις γεωμετρικές ιδιότητες κυρτότητας των κατακόρυφων τομών της επιφάνειας: z = f(,), θεωρούμενες ως συναρτήσεις μιας μεταβλητής. Οι γραμμικές συναρτήσεις θεωρούνται και κυρτές και κοίλες, αλλά όχι γνήσια. f = 6, f 3 3 = Παράδειγμα. f(,) f 3, f 3 } = + = =, Δ = 36 f =, f = 6 Ο εσσιανός πίνακας είναι θετικά ημιορισμένος στη θετική περιοχή: {, }, όπου και η συνάρτηση είναι κυρτή. Επίσης είναι θετικά ορισμένος στη γνήσια θετική περιοχή: { >, > }, όπου και είναι γνήσια κυρτή. r r Παράδειγμα. f(, ) = + με r, στη γνήσια θετική περιοχή: { >, > } Για r = είναι γραμμική. Θα δείξουμε ότι η συνάρτηση είναι:. γνήσια κυρτή αν r > ή r <.. γνήσια κοίλη αν < r < Λύση. Υπολογίζουμε τις παραγώγους: r r f = r f = r(r ), f = r r,δ r r f r (r ) = f = r f =, f = r(r ) Για r > έχουμε: {f >, f >,Δ f > }, οπότε ο εσσιανός πίνακας είναι θετικά ορισμένος και η συνάρτηση γνήσια κυρτή. Με τον ίδιο τρόπο αντιμετωπίζονται και οι άλλες περιπτώσεις. α β Παράδειγμα. Η συνάρτηση C-D: f(,) = με α >, β > στη θετική περιοχή: {, } Θα δείξουμε ότι είναι κοίλη α + β. Λύση. Υπολογίζουμε τις παραγώγους: Δ f = [α(α ) ][β(β ) ] [αβ ] f = α(α ), f = αβ α β α β α β α β α β = α(α )β(β ) αβ f = β f = αβ, f = β(β ) α β = ( α β) Ο εσσιανός πίνακας θα είναι αρνητικά ημιορισμένος οπότε η συνάρτηση θα είναι κοίλη {f :α }, {f :β }, {Δ :α + β } ή ισοδύναμα: α + β, διότι τα {α,β} είναι θετικά α β α α β f = α f Παρατήρηση. Για α + β = η συνάρτηση είναι κοίλη αλλά όχι γνήσια. α β α β α β Για α + β < η συνάρτηση είναι γνήσια κοίλη στην γνήσια θετική περιοχή: { >, > } Παρατήρηση. Οι ιδιότητες κυρτότητας μιας συνάρτησης δεν μεταβάλλονται αν προσθέσουμε μια γραμμική συνάρτηση διότι οι δεύτερες παράγωγοι παραμένουν ίδιες. Επομένως τα παρακάτω ζεύγη συναρτήσεων έχουν τις ίδιες ιδιότητες κυρτότητας: α β α β r r r r {, + γ + δ + ε}, { +, + + γ + δ + ε} 5. Σταθμικές περιοχές κυρτών/κοίλων συναρτήσεων Οι επιφάνειες των κυρτών/κοίλων συναρτήσεων έχουν διάφορες γεωμετρικές ιδιότητες που είναι χρήσιμες στις εφαρμογές, αντίστοιχες με αυτές των συναρτήσεων μιας μεταβλητής, όπως φαίνεται και στα γραφήματα παρακάτω για αύξουσες συναρτήσεις. Γεωμετρικές ιδιότητες κοίλων συναρτήσεων. Η επιφάνεια βρίσκεται κάτω από τα εφαπτόμενα επίπεδα, δηλαδή οι τιμές της συνάρτησης είναι μικρότερες από τις τιμές των γραμμικών της επεκτάσεων. 4

5 . Η επιφάνεια βρίσκεται πάνω από τις χορδές που ενώνουν δύο σημεία της, δηλαδή οι τιμές της συνάρτησης στα ενδιάμεσα σημεία είναι μεγαλύτερες από τα αντίστοιχα ενδιάμεσα των τιμών της στα ακραία σημεία. Λέμε ότι η συνάρτηση βρίσκεται πάνω από τις γραμμικές παρεμβολές των τιμών της. 3. Μια κοίλη συνάρτηση είναι και οιονεί κοίλη, δηλαδή έχει τις πάνω σταθμικές της κυρτές. Έτσι, σύμφωνα και με το, οι τιμές της στα ενδιάμεσα σημεία είναι μεγαλύτερες από τις τιμές της στα ακραία σημεία στην ίδια ισοσταθμική. Αντίστοιχες ιδιότητες ισχύουν για τις κυρτές συναρτήσεις, όπως φαίνεται και στο παρακάτω γράφημα αύξουσας κυρτής συνάρτησης. Τώρα η συνάρτηση έχει μεγαλύτερες τιμές από τις γραμμικές επεκτάσεις της, μικρότερες από τις γραμμικές παρεμβολές της, Επίσης, μια κυρτή συνάρτηση είναι και οιονεί κυρτή, δηλαδή οι κάτω σταθμικές είναι κυρτές. Έτσι οι τιμές της στα ενδιάμεσα σημεία είναι τώρα μικρότερες από τις τιμές της στα ακραία σημεία στην ίδια ισοσταθμική.. z z = c f z z = c f αύξουσας κοίλη αύξουσα κυρτή 6. Παραβολική ή τετραγωνική προσέγγιση μιας συνάρτησης f(, ) σε κάποιο σημείο (, ) καλείται η παραβολική συνάρτηση που έχει την ίδια τιμή και τις ίδιες μερικές παραγώγους μέχρι ης τάξης στο σημείο. Έχει την παράσταση: z = f + [f ( ) + f ( )] + [f ( ) + f ( )( ) + f ( ) ] f = f(, ), f = f (, ), κλπ. όπου: Δηλαδή όλες οι μερικές παράγωγοι υπολογίζονται στο συγκεκριμένο σημείο (, ). Είναι μια συμπλήρωση της γραμμικής που συναντήσαμε σε προηγούμενο κεφάλαιο. Η γραμμική και η παραβολική προσέγγιση είναι οι πρώτες μιας ακολουθίας προσεγγίσεων με πολυώνυμα αυξανόμενου βαθμού, που καλούνται πολυώνυμα Talor. Παράδειγμα. Θα δώσουμε την γραμμική και την παραβολική προσέγγιση της παρακάτω συνάρτησης: 3 f = + +, στο ( =, = ) γραμμική προσέγγιση: f γρ = + [3( ) + ] = f = 3 + = 3 f = 6 = 6,f = f =,, f = + = f =, f = παραβολική προσέγγιση: fπαρ = + [3( ) + ] + [6( ) + ( ) + ] = Περισσότερες μεταβλητές. Μια συνάρτηση τριών μεταβλητών f(,,z) έχει 3 παραγώγους ης τάξης, που σχηματίζουν την διανυσματική ή Ιακωβιανή παράγωγο: Df = J = f = (f, f, f ) f z Στη συνέχεια έχει 3 = 9 παραγώγους ης τάξης, εκ των οποίων μόνο οι 6 μπορεί να είναι διαφορετικές, διότι η σειρά παραγώγισης δεν παίζει ρόλο, υποθέτοντας ότι είναι συνεχείς. Σχηματίζουν έναν συμμετρικό πίνακα διάστασης 3, που καλείται δεύτερη παράγωγος ή Εσσιανός πίνακας δεύτερων παραγώγων: 5

6 f f f z D f = f = Hf = f f fz, όπου: f = f, fz = f z, fz = fz fz fz fzz Οι ιδιότητες κυρτότητας της συνάρτησης χαρακτηρίζονται από το πρόσημο του παραπάνω εσσιανού πίνακα, σύμφωνα με την γενική θεωρία χαρακτηρισμού συμμετρικών πινάκων που παρουσιάζεται σε ειδικό κεφάλαιο της Γραμμικής Άλγεβρας, χρησιμοποιώντας την αντιστοιχία με τις τετραγωνικές μορφές 3 μεταβλητών, και τους αντίστοιχους συμμετρικούς πίνακες 3 3 : α δ ζ Q(,,z) = α + β + γz + δ + εz + ζz S = δ β ε ζ ε γ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 8. Δεύτερο διαφορικό Ο χαρακτηρισμός της κυρτότητας που δώσαμε παραπάνω μπορεί να ερμηνευτεί χρησιμοποιώντας το ο διαφορικό. Θεωρούμε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών: f(,) Αν τα {,} μεταβληθούν κατά {Δ,Δ} τότε η τιμή της συνάρτησης θα μεταβληθεί κατά: Δf = f( + Δ, + Δ) f(, ) Όπως και στις συναρτήσεις μιας μεταβλητής, μπορούμε να προσεγγίσουμε τις μεταβολές με διαφορικά, ιδίως όσον αφορά τα πρόσημα. Για συναρτήσεις δύο μεταβλητών, το πρώτο διαφορικό και το δεύτερο διαφορικό ορίζονται με τις παραστάσεις: df = f d + f d, και d f = f d + f dd + f d όπου: {Δ = d, Δ = d} Σε αντιστοιχία με την γραμμική προσέγγιση βρίσκουμε ότι το πρώτο διαφορικό αφορά την μεταβολή πάνω στο εφαπτόμενο επίπεδο και δίνει μια πρώτη εκτίμηση της μεταβολής στην τιμή της συνάρτησης: Δf df = f d + f d Ειδικότερα, το πρόσημο της μεταβολής Δf συμπίπτει με το πρόσημο του διαφορικού df αν αυτό είναι μη μηδενικό, δηλαδή αν δεν μηδενίζονται αμφότερες οι μερικές παράγωγοι. Σε αντιστοιχία με την παραβολική προσέγγιση, βρίσκουμε ότι μια καλλίτερη εκτίμηση της μεταβολής στην τιμή της συνάρτησης δίνεται αν στο πρώτο διαφορικό προσθέσουμε και το μισό του δεύτερου διαφορικού, οπότε έχουμε:: Δf df + d f = [fd + fd] + [fd + fdd + fd ] Ειδικότερα, ο χαρακτηρισμός της κυρτότητας αφορά το πρόσημο της διαφοράς: Δf df. Γεωμετρικά αφορά την σχέση της επιφάνειας ως προς το εφαπτόμενο επίπεδο στο συγκεκριμένο σημείο, θετικό αν η επιφάνεια βρίσκεται πάνω από το εφαπτόμενο επίπεδο οπότε λέμε ότι είναι κυρτή, αρνητικό αν βρίσκεται από κάτω οπότε λέμε ότι είναι κοίλη. Σύμφωνα με τα παραπάνω το πρόσημο αυτό δίνεται από το πρόσημο του ου διαφορικού που είναι μια τετραγωνική μορφή της οποίας το πρόσημο καθορίζεται από τον εσσιανό πίνακα της συνάρτησης. Βρίσκουμε έτσι τους γνωστούς χαρακτηρισμούς 6

7 II.7 ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Ασκήσεις. Να χαρακτηριστούν οι παρακάτω ελεύθερες τετραγωνικές μορφές Q, ως προς το πρόσημο. Σε κάθε περίπτωση να βρεθεί και ο αντίστοιχος συμμετρικός πίνακας S. + 4, + 4, 3, +, 4 +, + + z, + z, 4 + z +,. Να χαρακτηριστούν οι παρακάτω συμμετρικοί πίνακες S ως προς το πρόσημό τους. Σε κάθε περίπτωση να βρεθεί και η αντίστοιχη τετραγωνική μορφή Q.,,,,,,, 3. Να βρεθούν και να χαρακτηριστούν τα στάσιμα σημεία των παρακάτω συναρτήσεων: , 4 6 +, Θεωρούμε τη συνάρτηση: f(, ) = ep( 4 + ). α) Να βρεθεί και να χαρακτηριστεί το στάσιμο σημείο της. β) Στο στάσιμο σημείο της να βρεθεί η γραμμική και η παραβολική προσέγγιση. γ) Να σκιαγραφηθούν οι ισοσταθμικές της καθώς και το γράφημα της αντίστοιχης επιφάνειας. 5. Να χαρακτηριστούν ως προς την κυρτότητά τους οι παρακάτω συναρτήσεις. Σε κάθε περίπτωση να βρεθεί το ελεύθερο στάσιμο και να χαρακτηριστεί ως τοπικό ή ολικό ακρότατο: 4, / / , +, / / α, 3 4 +,, +, 3 +, z 4 z 6.Θεωρούμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης στη θετική περιοχή: ma{f = p( + ) w v, }, με γνήσια θετικές παραμέτρους: {w,v,p}. ln( + ) + Nα βρεθούν οι βέλτιστες ποσότητες: {, }, και η μέγιστη τιμή: f, ως συναρτήσεις των παραμέτρων, και να διερευνηθούν οι ιδιότητες μονοτονίας, και κυρτότητας αυτών των συναρτήσεων. 7. Να επαναληφθεί η προηγούμενη άσκηση για την συνάρτηση: / / 4 p w v 8. Να βρεθεί ο εσσιανός πίνακας δεύτερης παραγώγου για τις παρακάτω συναρτήσεις f(,,z) : α β γ α + β + γz + δ + ε + ζz, z + δ + ε + ζz, g() + h() + e(z) 9. Ο αριθμητικός μέσος και ο γεωμετρικός μέσος δύο θετικών μεγεθών: { >, > }, ορίζεται ως εξής: f = ( + ), g = Μελετώντας το ολικό μέγιστο της συνάρτησης f g να διαπιστωθεί ότι ο αριθμητικός μέσος είναι μεγαλύτερος από τον γεωμετρικό: f g με ισότητα = 7