ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι. Πρόχειρο ιαγώνισµα: 11 Νοεµβρίου 2008 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 1 ώρα.

Transcript

1 Μάθηµα 6 ο, Νοεµβρίου 8 (9:-:). ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Πρόχειρο ιαγώνισµα: Νοεµβρίου 8 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης ώρα. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΗΤΡΩΟΥ: ΕΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΘΕΜΑ [4] Σωµάτιο εριγράφεται αό την κυµατοσυνάρτηση / iet/. ψ ( t, ) Ne e (α) Προσδιορίστε την µέση θέση και την αβεβαιότητα θέσης του σωµατιδίου. (β) Να υοογιστεί η µέση ενέργεια του συστήµατος. (γ) Να εκτιµηθούν οι ιθανότητες P (, t ), P (, t / E) και P ( /, t 3 / E). Θα σας χρειαστεί η ταυτότητα 35 (n ) In e d ( ) n, όου n /. I e d ΘΕΜΑ [3] Ηεκτρόνιο βρίσκεται στις δύο ρώτες ενεργειακές του καταστάσεις σε δυναµικό αειρόβαθου ηγαδιού εύρους δίνεται ότι έχει µέση θέση 5 h /6m. (α) Προσδιορίστε ήρως αυτή την κατάσταση αν στο µέσο του ηγαδιού και η µέση ενεργειά του είναι. (β) Να υοογιστεί η µέση ορµή του συστήµατος. ΘΕΜΑ 3[3] Για ηεκτρόνιο ου βρίσκεται σε δυναµικό αειρόβαθου ηγαδιού ου εκτείνεται στην εριοχή [ /, + /], να βρεθούν οι ιδιοκαταστάσεις του τεεστή της Χαµιτονιανής (δηαδή οι ιδιοτιµές και οι ιδιοσυναρτήσεις της ενέργειας).

2 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ [4] / iet/ Σωµάτιο εριγράφεται αό την κυµατοσυνάρτηση ψ ( t, ) Ne e. (α) Προσδιορίστε την µέση θέση και την αβεβαιότητα θέσης του σωµατιδίου. (β) Να υοογιστεί η µέση ενέργεια του συστήµατος. (γ) Να εκτιµηθούν οι ιθανότητες P (, t ), P (, t / E) και P ( /, t 3 / E). Θα σας χρειαστεί η ταυτότητα 35 (n ) In e d ( ) n, όου n /. I e d ΛΥΣΗ Εργαζόµαστε όως στην Άσκηση 6 του 6 ου κεφααίου, καθώς έχουµε µια στάσιµη κατάσταση καθώς η ιθανότητα δεν εξαρτάται αό τον χρόνο, ( ψ ) ψ ( ) ( ) ( ψ ) * * / iet/ / iet/ / iet/ iet/ Ptd (, ) ( t, ) ( td, ) Ne e Ne e d Ne e e d Ptd (, ) ( ) ψ( d ), όου ψ ( ) Ne * / Αρχικά κανονικοοιούµε την κυµατοσυνάρτηση, δηαδή + * ψ ( ) ψ ( ) d + / 3/4 N N e d N. /4 (α) Προφανώς συνάρτησης. + + * 3, ως οοκήρωµα εριττής ψψd N e d Ενώ για την εκτίµηση της αβεβαιότητας χρειάζοµαι την µέση τετραγωνική αόσταση, / 3/4 + + * + 4 ψ ψ /4 3 ( ) ( )d N e d e d. Άρα (β) Στάσιµη κατάσταση, έχω µια ενεργειακή στάθµη, δηαδή η µέση ενέργεια ίση µε Ε.,, t / (γ) Έχουµε P(, t) d ( Ne ) d,, t / E e / d, /, t / E 3

3 ΘΕΜΑ [3] Ηεκτρόνιο βρίσκεται στις δύο ρώτες ενεργειακές του καταστάσεις σε δυναµικό αειρόβαθου ηγαδιού εύρους. (α) Προσδιορίστε ήρως αυτή την κατάσταση αν δίνεται ότι έχει µέση θέση στο µέσο του ηγαδιού και η µέση ενεργειά του είναι ΛΥΣΗ 5 h /6m. (β) Να υοογιστεί η µέση ορµή του συστήµατος. Αντιγράφουµε αό την άσκηση του ροηγούµενου µαθήµατος (5 ο ). Έχουµε ( t ) c + c + c c cos( ϕ ), Όου, καθώς ψ sin Θ( ) Θ( ), ψ sin Θ( ) Θ( ), έχουµε d ψ sin d cos d d cos d καθώς cos d d sin sin sin d cos ανάογα βρίσκουµε ότι, και 3 dψ ψ sin sin d cos cos d καθώς n n n n cos d d sin sin sin d n n n n, n,3,5,... cos n n, n, 4,6,... Έτσι αό το δεδοµένο ότι ( t ) / c + c + c c cos( ϕ ) c / + c / + c c cos( ϕ ) 6 9 /( c + c ) + c c cos( ϕ ) /+ c c cos( ϕ ) c c cos( ϕ ) cos( ϕ ) ϕ ± /. Ακόµα έχουµε

4 ( ) h 5h E c E + c E c + c c + c m m 8m 6m 4 c + 4 c 5/, και καθώς c c +, βρίσκουµε ότι c c /. E E i t i t iϕ (α) Άρα ψ( t, ) cψ ( e ) + c e ψ ( e ), δηαδή i ψ ( t, ) sin ± sin sin icos. ± (β) Για την µέση ορµή χρησιµοοιούµε την σχέση p ( t ) c c p cos( ϕ + ϕ), όου ψ i p ˆ ψ pψ d ψ i d i ψ dψ sin dsin 4 i i 3 sin cos d sin d sin d + i 8 i 8 i / e καθώς n n n, n,3,5,... sin d d cos cos + n n n, n, 4,6,... ηαδή 8 8 p ( t ) c c p cos( ϕ + ϕ) cos( ± / + / ) ±. 3 3

5 ΘΕΜΑ 3[3] Για ηεκτρόνιο ου βρίσκεται σε δυναµικό αειρόβαθου ηγαδιού ου εκτείνεται στην εριοχή [ /, + /], να βρεθούν οι ιδιοκαταστάσεις του τεεστή της Χαµιτονιανής (δηαδή οι ιδιοτιµές και οι ιδιοσυναρτήσεις της ενέργειας). ΛΥΣΗ + V() + Ψ I Ψ II Ψ III Α Μέθοδος. ik ik Για την εριοχή ΙΙ, θεωρώ ύση της µορφής, ψ ΙΙ ( ) Ae + Be ( ο µάθηµα). Συνοριακές συνθήκες - + ik : ΨI ( )Ψ II ( ) A e ik +B e + ik ik + : Ψ II ( + )Ψ III ( ) A e +B e ηαδή υό µορφή ίνακα ik ik e e A ik ik B e e Έχουµε ένα οµογενές σύστηµα εξισώσεων µε δύο αγνώστους, Α και Β. Για να έχει το σύστηµα µη µηδενική ύση, ρέει η ορίζουσα των συντεεστών να είναι µηδέν, ik ik e e ik det ( e ) ik -( e ) ik e ik - e -isink kn ik ik e e n k. Όου n, είναι ένας θετικός ακέραιος. ηαδή βρίσκουµε την ίδια συνθήκη ου βρήκαµε και στο µάθηµα για το αειρόβαθο ηγάδι δυναµικού. Αό την οοία βρίσκω ροφανώς τις ίδιες ιδιοτιµές ενέργειας, k n E. m m

6 Τώρα ισχύει αό τις συνοριακές συνθήκες ότι A e +B e in A Be Παρατηρούµε ότι η σχέση µεταξύ των Α και Β εξαρτάται αό το n. Αν nάρτιος nm τότε A B Αν nεριττός nm+ τότε A B Συνεώς, Αν n m (άρτιος) ik ik Ψ Ae e Ψ Asin i k ( ) n i n i Αν n m+ (εριττός) ik ik ΨΑ( e + e ) Ψ Α cos k Άρα η ύση είναι, > n Ψ n( ) cos, n,3,5 n sin, n,4,6 E, Ψ sin E, Ψ cos + Β Μέθοδος. Μορώ αό τα αοτεέσµατα του ηγαδιού ου εκτείνεται αό έως να άω στα αοτεέσµατα για ηγάδι αό έως, µε ού γρήγορο τρόο. Αρκεί να σρώξω το σύστηµα κατά, δηαδή να µετακινήσω τον άξονα κατά.

7 / Κάθε συνάρτηση στο καινούργιο σύστηµα, µορεί να ροέρθει αό την συνάρτηση στο αιό σύστηµα µε την αντικατάσταση του αό το + /. Έτσι έχουµε τις ιδιοσυναρτήσεις να γίνονται, n sin, n m n n n sin + sin +. n cos, n m+ ηαδή οι ύσεις είναι τις µορφής, > n Ψ n( ) cos, n,3,5 n sin, n,4,6 Με ροφανώς ίδιες ιδιοτιµές της ενέργειας: En n m