Lambda calculus. Štruktúra prednášok: úvod do syntaxe, netypovaný λ-kalkul (gramatika + konvencie) sémantika (redukčné pravidlá)
|
|
- Ἡρακλῆς Νικολαΐδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Lambda calculus Štruktúra prednášok: úvod do syntaxe, netypovaný λ-kalkul (gramatika + konvencie) sémantika (redukčné pravidlá) programovací jazyk nad λ-kalkulom domáca úloha: interpreter λ-kalkulu,... rekurzia (pevný bod) vlastnosti teórie de Bruijn-ova notácia typovaný λ-kalkul domáca úloha: typovač λ-kalkulu,...
2 Vznik teórie te roky formalizácia matematiky, logiky 1932 skúmanie funkcií, základy matematiky Alonzo Church Haskell Curry λ-kalkul ako formalizácia výpočtu charakterizácia rekurzívnych funkcií najmenší programovací jazyk iný model pre výpočet Turingovho stroja 60.te roky jazyk Lisp
3 Od Haskellu k λ-kalkulu length [] = 0 length (x:xs) = 1+length xs > length [1,2,3,4,5] let length xs = if (null xs) then 0 else (1+length (tail xs)) in length [1,2,3,4,5] let length xs = (if (null xs) 0 ((+) 1 (length (tail xs)))) in (length ((:) 1 ((:) 2 ((:) 3 ((:) 4 ((:) 5 []))))) ) let length = λys.(if (null xs) 0 ((+) 1 (length (tail ys)))) in (length let length = (λf.λys.(if (null xs) 0 ((+) 1 (f (tail ys)))) ) length in (length let length = Y(λf.λys.(if (null xs) 0 ((+) 1 (f (tail ys)))) ) in (length
4 Syntax Celý program v jazyku pozostáva z jedného λ-termu. L je λ-term: x je premenná (spočítateľná množina premenných) L ::= x (L L) (λx L) L ::= x L L λx.l (L L) je aplikácia (funkcie) (λx L) je λ-abstrakcia definujúca funkciu s argumentom x a telom L Cvičenie (na zamyslenie): syntax jazyka je veľmi jednoduchá, neporovnateľná napr. s Pascalom. Zamyslite sa nad tým, či existuje viac programov v Pascale alebo λ-termov.
5 Príklady λ-termov (λx x) (λx y) (λx (x x)) ((λx (x x)) (λx (x x))) (λy (λx (x x))) z týchto príkladov zatiaľ nie je evidentné, že to bude programovací jazyk.
6 Syntaktické konvencie malé písmená označujú premenné: x, y, x 1, x 2, veľké písmená označujú λ-termy: M, N, vonkajšie zátvorky nepíšeme symbol. nahradzuje (, zodpovedajúca ) chýba (λx x) -> λx.x (λx (x x)) -> λx.xx ale nie (λx.x)x ((λx (x x)) (λx (x x))) -> (λx.xx)(λx.xx) vnorené abstrakcie majú asociativitu vpravo (λy (λx (x x))) -> λy.λx.xx -> λyx.xx vnorené aplikácie majú asociativitu vľavo (((λxyz.yz) a) b) c) -> (λxyz.yz)abc
7 Dôležité príklady termov O ich dôležitosti sa dozvieme neskôr, keď budeme vedieť, ako sa v tejto teórii počíta K = λxy.x = λx.λy.x (funkcia s dvomi argumentami, výsledkom je 1.) I = λx.x (identita) S = λxyz.xz(yz) = λxyz.((x z) (y z)) (S a b c = (a c) (b c) ) ω= λx.xx Ω = ωω = (λx.x x)(λx.x x) ω 3 = λx.xxx = (λx ((x x) x))
8 Výpočet na to, aby sme vedeli počítať v tejto teórii, potrebujeme definovať redukčné pravidlo(á), ktoré simuluje krok výpočtu, redukčné pravidlo je založené na pojme substitúcie, ktorú, ak pochopíme len intuitívne, dostaneme intuitívne zlé výsledky, preto sa vybudovaniu substitúcie treba chvíľku venovať s pomocnými pojmami, ako je voľná premenná,... musíme sa presvedčiť, že redukčné pravidlo má rozumné vlastnosti, zamyslíme sa nad tým, čo je rozumné... výpočet je opakované aplikovanie redukčného pravidla, a to kdekoľvek to v terme ide. Keď to už nejde, máme výsledok (tzv. normálna forma) môže sa stať, že rôznym aplikovaním red.pravidla prídeme k rôznym výsledkom, resp. rôznym výpočtom???
9 Voľná premenná, podterm voľná premenná λ-termu Free(x) = x Free(λx.M) = Free(M) {x} Free(M N) = Free(M) U Free(N) viazaná premenná λ-termu Bound(x) = {} Bound(λx.M) = Bound(M) U {x} Bound(M N) = Bound(M)UBound(N) viazaná premenná a voľná premenná: λx.xy y je voľná, x je viazaná Bound(M) Free(M) =??? podtermy λ-termu Subt(x) = x Subt(λx.M) = Subt(M) U {λx.m} Subt(M N) = Subt(M) U Subt(N) U { (M N) }
10 Príklady λx.λy.(x z) x je viazaná, z voľná, y sa nenachádza v Subt(λx.λy.(x z)) λx.((λy.y) (x (λy.y))) má dva výskyty podtermu (λy.y) (x (y z)) Subt( (w (x (y z))) ) ale (x (y z)) Subt( w x (y z) ) = Subt( ((w x) (y z)) ), lebo Subt( w x (y z) ) obsahuje tieto podtermy: ((w x) (y z)), (w x), (y z), w, x, z, y teda w x (y z) = (w x)(y z)
11 Substitúcia ak sa na to ide naivne (alebo textovo ): (λx.zx)[z:y] -> λx.yx (λy.zy)[z:y] -> λy.yy Problém: rovnaké vstupy, rôzne výsledky výrazy (λx.zx) a (λy.zy) intuitívne predstavujú rovnaké funkcie a po substitúcii [z:y] sú výsledky λx.yx a λy.yy intuitívne rôzne funkcie substitúcia N[x:M] x[x:m] = M y[x:m] = y (A B)[x:M] = (A[x:M] B[x:M]) (λx.b)[x:m] = (λx.b) (λy.b)[x:m] = λ z.(b[y:z][x:m]) ak x Free(B), y Free(M) ak z nie je voľné v B alebo M, z Free((B M)),x y inak (λy.b)[x:m] = λy.b[x:m] x y správne:(λy.zy)[z:y]->(λw.(zy)[y:w])[z:y]->(λw.(z w))[z:y] ->λw.yw
12 Príklady naivne (λx.zx)[z:y] -> λx.yx (λy.zy)[z:y] -> λy.yy (λx.zx)[z:y] = λx.((zx)[z:y]) = λx.(z[z:y]x[z:y]) = λx.(yx) (λy.zy)[z:y] = (λw.(zy)[y:w])[z:y] = treba si vymyslieť novú premennú (λw.(z[y:w]y[y:w]))[z:y] = (λw.(zw))[z:y] = λw.(zw)[z:y] = λw.(z[z:y]w[z:y]) = λw.(yw)
13 Vlastnosti substitúcie Ak premenná x nie je voľná v M, x Free(M), potom M[x:N] = M. Dôkaz indukciou Ak Free(M) =, M nazývame uzavretý výraz. Dosledok: Uzavretý výraz sa aplikáciou substitúcie nezmení. Lemma: x y sú rôzne premenné, x nie je voľná v L, x Free(L), ak každá viazaná premenná v M nie je voľná v (N L) v Bound(M) v Free((N L) ), potom 1. M[x:N] [y:l] = M[y:L][x:N[y:L]] 2. M[y:N] [y:l] = M[y:N[y:L]]
14 1) M[x:N] [y:l] = M[y:L][x:N[y:L]] Indukciou vzhľadom na M: M je premenná M = x, obe strany sú N[y:L] M = y, obe strany sú L, lebo x nie je voľná v L, M = z, rôzna premenná od x,y, potom obe strany sú z. M =(λz.q) z = x, obe strany sú (λx.(q[y:l])) Predpoklady: x y x Free(L), v Bound(M) v Free((N L)) z = y, obe strany sú (λy.(q[x:n])), lebo y nie je voľná v (N L), takže ani N z je rôzne od x,y, potom, podľa predpokladu, z nie je voľná v N ani L (λz.q)[x:n] [y:l] = λz.(q[x:n]) [y:l] = λz.(q[x:n][y:l]) = indukcia λz.(q[y:l][x:n[y:l]]) = (λz.q)[y:l][x:n[y:l]]. M =(Q R), no problem, indukciou na Q a R...
15 2) M[y:N] [y:l] = M[y:N[y:L]] Domáca úloha: podobne dokážte tvrdenie 2) predchádzajúcej lemmy. Domáca úloha: za akých podmienok (najslabších) platí, navrhnite a zdôvodnite, dokážte... M[x:N] [y:l] = M[y:L][x:N] M[x:y] [y:n] = M[x:N] M[x:y] [y:x] = M
16 α-konverzia λx.m = α λy.m[x:y] λx.m je premenovaním viazanej premennej λy.m[x:y], ak y nie je voľná v M = α je relácia ekvivalencie = α kongruencia na λ termoch intuícia: výrazy, ktoré sa odlišujú menom viazanej premennej predstavujú rovnaké funkcie
17 β-redukcia K = λxy.x I = λx.x S = λxyz.xz(yz) Príklad: I M = x (λ x.b) E -> β B[x:E] (λx.x) M -> β x[x:m] = M K M N = M (λxy.x)mn -> β (λy.m)n -> β M S M N P = M P (N P) λxyz.xz(yz) MNP -> 3 β MP(NP) S K K = I λxyz. ((xz)(yz)) (λxy.x) (λxy.x) -> β λyz. ( ((λxy.x)z) (yz) ) (λxy.x) -> β λz. ((λxy.x)z((λxy.x)z) ) -> β λz. ((λy.z)((λxy.x)z) ) -> β λz. ((λy.z)(λy.z)) -> β λz.z = I
18 Vlastnosti β-redukcie ω= λx.xx = λx.(x x) Ω = ωω ω 3 = λx.((x x) x) nekonečná sekvencia Ω -> β Ω -> β Ω -> β puchnúca sekvencia ω 3 ω 3 -> β ω 3 ω 3 ω 3 -> β ω 3 ω 3 ω 3 ω 3 nejednoznačný výsledok pre dva rôzne výpočty KIΩ -> β I ale aj KIΩ -> β KIΩ -> β KIΩ -> β Cvičenie: overte si tieto tvrdenia, Pokúste sa nájsť λ term, ktorý vedie k rôznym výsledkom
19 η-redukcia λ x.(b x) -> η B ak x Free(B) podmienka je podstatná, lebo ak napr. B=x, teda x Free(B), λx.(x x) x βη je uzáver β U η vzhľadom na podtermy, čo znamená ak M β N alebo M η N, potom M βη N, ak M βη N, potom (P M) βη (P N) aj (M Q) βη (N Q), ak M βη N, potom λx.m βη λx.n.
20 Domáca úloha Definujte základné funkcie pre interpreter λ-kalkulu: free - zistí, či premenná je voľná subterm - vráti zoznam podtermov substitute - korektne implementuje substitúciu onestepbetareduce normalform - opakuje redukciu, kým sa dá navrhovaná reprezentácia (kľudne si zvoľte inú): data LExp = LAMBDA String LExp abstrakcia ID String premenná LExp [LExp] aplikácia, zovšeobecnená App LExp LExp aplikácia CON String konštanta, built-in fcia CN Integer int.konštanta deriving(show, Read, Eq)
21 Cvičenie (použite váš tool) 1) určite voľné a viazané premenné: (λx.x y) (λy.y) λx.λy.z (λz.z (λx.y)) (λx.λy.x z (y z)) (λx.y (λy.y)) 2) redukujte: (λx.λy.x (λz.y z)) (((λx. λy.y) 8) (λx.(λy.y) x)) (λh.(λx.h (x x)) (λx.h (x x))) ((λa.λb.a) (+ 1 5)) 3) Nech F = (λt.t t) (λf.λx.f (f x)). Vyhodnoťte F succ 0, succ = λx. (+ x 1)
22 Riešenie (zle) (λx.λy.x (λz.y z)) (((λx. λy.y) 8) (λx.(λy.y) x)) -> β (λx.λy.x (λz.y z)) ((λy.y) (λx.(λy.y) x)) -> β (λx.λy.x (λz.y z)) ((λy.y) (λy.y) ) -> β (λx.λy.x (λz.y z)) (λy.y) -> β (λy.x)[x:(λz.y z)] y Free(λz.y z), x:free(x) λy.(λz.y z) (λy.y) -> β (λz.(λy.y) z) -> β (λz.z) -> β I
23 Riešenie (dobre) Nájdite pomocou vášho nástroja pre vyhodnocovanie λ-výrazov (λx.λy.(x ((λz.y) z))) (((λx. λv.v) 8) (λx.(λw.w) x)) -> β (λx.λy.(x ((λz.y) z))) ((λv.v) (λx.(λw.w) x)) -> β (λx.λy.(x ((λz.y) z))) ((λv.v) (λw.w) ) -> β (λx.λy.(x ((λz.y) z))) (λv.v) -> β λy.((λv.v) ((λz.y) z)) -> β λy.(((λz.y) z)) -> β λy.y
24 Riešenie (λh.(λx.h (x x)) (λx.h (x x))) ((λa.λb.a) (+ 1 5)) -> β (λx.((λa.λb.a) (+ 1 5)) (x x)) (λx.((λa.λb.a) (+ 1 5)) (x x)) -> β ((λa.λb.a) (+ 1 5)) ( (λx.((λa.λb.a) (+ 1 5)) (x x)) (λx.((λa.λb.a) (+ 1 5)) (x x))) -> β (λb.(+ 1 5) ( (λx.((λa.λb.a) (+ 1 5)) (x x)) (λx.((λa.λb.a) (+ 1 5)) (x x))) -> β (+ 1 5) -> β 6
25 Domáca úloha (nepovinná) Pri práci s vašim interpretrom vám bude chýbať: vstup λ termu funkcia fromstring :: String -> LExp, ktorá vám vytvorí vnútornú reprezentáciu z textového reťazca, príklad: fromstring \x.xx = (LAMBDA x (LExp [(Id x ), (Id x )])) takejto funkcii sa hovorí syntaktický analyzátor a musíte sa vysporiadať s problémom, keď je vstupný reťazec nekorektný výstup λ termu funkcia tostring :: LExp -> String, ktorá vám vytvorí textovú (čitateľnú) reprezentáciu pre λ term.
26 čo by Vás mohlo inšpirovať Fold na termoch foldlambda lambda var apl con cn lterm lterm == (LAMBDA str exp) = lambda str (foldlambda lambda var apl con cn exp) lterm == (VAR str) = var str lterm == (APL exp1 exp2) = apl lterm == (CON str) = con str lterm == (CN int) = cn int (foldlambda lambda var apl con cn exp1) (foldlambda lambda var apl con cn exp2) vars = foldlambda (\x y->y) (\x->[x]) (++) (\_->[]) (\_->[]) show :: LExp -> String show = foldlambda (\x y->"(\\"++x++"->"++y++")") (\x->x) (\x y->"("++x++" "++y++")") (\x->x) (\x->x)
27 Od λ-termu k programu Na to, aby sme vedeli v tomto jazyku programovať, potrebujeme: mať v ňom nejaké hodnoty, napr. aspoň int, bool,... základné dátové typy, záznam (record, record-case), zoznam,... if-then-else let, letrec, či where rekurziu V ďalšom obohatíme λ-kalkul syntaktickými cukrovinkami tak, aby sme sa presvedčili, že sa v tom programovať naozaj dá. Rekurzia pomocou operátora pevného bodu bude najnáročnejším klincom v tejto línii.
28 Churchove čísla 0 := λf.λx.x 1 := λf.λx.f x 2 := λf.λx.f (f x) 3 := λf.λx.f (f (f x))..... C (+1) 0 = c succ := λn.λf.λx.f(n f x) plus := λm.λn.λf.λx. m f (n f x) Domáca úloha (povinná): definujte mult, definujte 2 n, m n, definujte n-1
29 Logické hodnoty a operátory TRUE := λx.λy. x := λxy.x FALSE := λx.λy. y := λxy.y AND := λx.λ.y. x y FALSE := λxy.x y FALSE OR := λx.λy. x TRUE y := λxy.x TRUE y NOT := λx. x FALSE TRUE IFTHENELSE := λpxy. p x y AND TRUE FALSE (λ p q. p q FALSE) TRUE FALSE β TRUE FALSE FALSE (λ x y. x) FALSE FALSE β FALSE Cvičenie: definujte XOR
30 Kartézsky súčin typov (pár) PAIR := λx.λy.λc. c x y := λxyc. c x y LEFT := λx.x TRUE RIGHT := λx.x FALSE TRUE := λx.λy.x := λxy.x FALSE := λx.λy.y := λxy.y LEFT (PAIR A B) LEFT ((λxyc. c x y) A B) β LEFT (λc. c A B) β (λx.x TRUE) (λc. c A B) β (λc. c A B) (λxy.x) β ((λxy.x) A B) β A Cvičenie: definujte n-ticu Curry λ(x,y).m -> λp. (λxλy.m) (LEFT p) (RIGHT p)
31 Súčet typov (disjunkcia) A+B reprezentujeme ako pár [Bool x (A B)] 1 st := λx.pair TRUE x konštruktor pre A 2 nd := λy.pair FALSE y B 1 st-1 := λz.right z deštruktor pre A 2 nd-1 := λz.right z B?1 st-1 := λz.left z test, či A 1 st-1 1 st A (λz.right z) ( λx.pair TRUE x ) A β RIGHT (PAIR TRUE A) β A Cvičenie: reprezentujte zoznam s konštruktormi Nil, Cons a funkciami isempty, head a tail
32 where (let, letrec) M where v = N -> (λv.m) N M where v 1 = N 1 -> (λ(v 1, v 2,, v n ).M) (N 1,, N n ) v 2 = N 2 v n = N n zložený where n*(x+n) where -> (λn. (λx.n*(x+n)) (4*n+1)) 3 n = 3 x = 4*n+1
Ekvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 10 Λάμβδα λογισμός
Κεφάλαιο 10 Λάμβδα λογισμός Προπτυχιακό μάθημα Αρχές Γλωσσών Προγραμματισμού Π. Ροντογιάννης 1 Ιστορική εξέλιξη λ-λογισμού - 1 Αναπτύχθηκε αρχικά από τον Alonzo Church στις αρχές της δεκαετίας του 1930,
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραFoundations of Computer Science ENGR 3520 Fall 2013 Thursday, Nov 21, 2013
Foundations of Computer Science Lecture Notes ENGR 3520 Fall 2013 Thursday, Nov 21, 2013 λ-calculus λ-terms. A λ-term is either: A variable x, y, z,... λx.m M N (M) (where x is a variable and M a λ-term)
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραA Lambda Model Characterizing Computational Behaviours of Terms
A Lambda Model Characterizing Computational Behaviours of Terms joint paper with Silvia Ghilezan RPC 01, Sendai, October 26, 2001 1 Plan of the talk normalization properties inverse limit model Stone dualities
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραJán Kollár Funkcionálne programovanie 1
Ján Kollár Funkcionálne programovanie 1 Jazyky procedurálne, objektové, deklaratívne (aplikatívne, popisné) logické, funkcionálne. Čisté funkcionálne jazyky (bez procedurálnych prvkov) Orwell, Gofer, Hugs98,
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραT λx. (λy. x) F λx. (λy. y) if λpca. pca
#,, - Class 32: Computability in Theory and Practice Menu Lambda Calculus Review Computability in Theory and Practice Learning to Count CS50: Computer Science University of Virginia Computer Science David
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότερα{1 x2 }, 1 + x + + xn +
ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΑ Η έννοια της συνάρτησης. Η έννοια της συνάρτησης είναι κεντρική έννοια στα Μαθηματικά και στην Πληροφορική, καθώς και στην εξέλιξη αυτών των δύο επιστημών.
Διαβάστε περισσότεραThe λ-calculus. Lecturer: John Wickerson. Phil Wadler
The λ-calculus Lecturer: John Wickerson Phil Wadler A tiny bit of Java expr ::= expr + expr expr < expr x n block ::= cmd { cmd... cmd } cmd ::= expr; if(cmd) block else block; if(cmd) block; try{cmd}
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραDynamic types, Lambda calculus machines Section and Practice Problems Apr 21 22, 2016
Harvard School of Engineering and Applied Sciences CS 152: Programming Languages Dynamic types, Lambda calculus machines Apr 21 22, 2016 1 Dynamic types and contracts (a) To make sure you understand the
Διαβάστε περισσότεραx E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2
¾ λ¹ ÐÓÒ Ó ÙÖ ½ ¼ º õ ¹ ¹ ÙÖ ¾ ÙÖ º ÃÐ ¹ ½ ¼º ¹ Ð Ñ ÐÙÐÙ µ λ¹ λ¹ ÐÙÐÙ µº λ¹ º ý ½ ¼ ø λ¹ ÃÐ º λ¹ ÌÙÖ Ò ÌÙÖ º ÌÙÖ Ò ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ¹ ÇÊÌÊ Æ Ä Çĺ ý λ¹ ¹ º Ö ÙØ ÓÒ Ñ Ò µ Ø ¹ ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö µ ¹ λ¹ º λ¹ ÙÒØ ÓÒ Ð
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραVybrané partie z logiky
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO Katedra informatiky Vybrané partie z logiky poznámky z prednášok martin florek 22. mája 2004 Predhovor Vďaka nude a oprášeniu vedomostí z
Διαβάστε περισσότερα1.1 Zobrazenia a funkcie
1 Teória vypočítateľnosti poznámky z prednášky #1 1.1 Zobrazenia a funkcie Definícia. Čiastočné (totálne) zobrazenie trojice (A, B, f) pre ktoré platí: f A B Ku každému vstupu a A existuje najviac jeden
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτησιακός Προγραμματισμός 2008 Λύσεις στο Δεύτερο Φύλλο Ασκήσεων
Συναρτησιακός Προγραμματισμός 2008 Λύσεις στο Δεύτερο Φύλλο Ασκήσεων 1. Στις Σημ. 4, είδαμε τη δημιουργία της κλάσης Condition που μας επιτρέπει να χρησιμοποιούμε αριθμούς, λίστες και ζεύγη ως αληθοτιμές
Διαβάστε περισσότεραΚΥΡΙΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΛΩΣΣΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ
ΚΥΡΙΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΛΩΣΣΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 27 Κύρια προγραμματιστικά μοντέλα (1) Προστακτικός προγραμματισμός (imperative programming) FORTRAN, Algol, COBOL, BASIC, C, Pascal, Modula-2, Ada Συναρτησιακός προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραC.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions
C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions Paul Liu November 15, 2007 Note that these are sample solutions only; in many cases there were many acceptable answers. 1 Reynolds Problem 10.1 1.1 Normal-order
Διαβάστε περισσότεραΠΕΤΡΟΣ ΣΤΕΦΑΝΕΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΛΕΤΣΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ
ΠΕΤΡΟΣ ΣΤΕΦΑΝΕΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΛΕΤΣΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΠΕΤΡΟΣ ΣΤΕΦΑΝΕΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΛΕΤΣΟΣ Εφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική Εφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική Συγγραφή Πέτρος
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραRiešenie cvičení z 5. kapitoly
Riešenie cvičení z 5. kapitoly Cvičenie 5.1. Vety prepíšte pomocou jazyka predikátovej logiky, použite symboly uvedené v úlohách. (a Niekto má hudobný sluch (H a niekto ho nemá. ( H( ( H( (b Niektoré dieťa
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραn true false if t then t else t u t t b t emptylist cons t t t t λx.t u ::= head tail isempty
Συναρτησιακός Προγραµµατισµός 2008 Τρίτο Φύλλο Ασκήσεων - Project Το project αυτό µπορεί να γίνει από οµάδες 1-3 ατόµων και αντιστοιχεί στο 15% του ϐαθµού στο µάθηµα. Συνολικό Αθροισµα Βαθµών: 150 Προθεσµία
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραAbout these lecture notes. Simply Typed λ-calculus. Types
About these lecture notes Simply Typed λ-calculus Akim Demaille akim@lrde.epita.fr EPITA École Pour l Informatique et les Techniques Avancées Many of these slides are largely inspired from Andrew D. Ker
Διαβάστε περισσότεραZložené funkcie a substitúcia
3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014
ΤΑΞΗ: 3 η ΤΑΞΗ ΕΠΑ.Λ. (Α Β ΟΜΑ Α) ΜΑΘΗΜΑ: ΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ / ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α Α1. α - Σωστό β - Σωστό γ - Λάθος δ - Λάθος ε Λάθος ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότεραType Theory and Coq. Herman Geuvers. Principal Types and Type Checking
Type Theory and Coq Herman Geuvers Principal Types and Type Checking 1 Overview of todays lecture Simple Type Theory à la Curry (versus Simple Type Theory à la Church) Principal Types algorithm Type checking
Διαβάστε περισσότεραFrom the finite to the transfinite: Λµ-terms and streams
From the finite to the transfinite: Λµ-terms and streams WIR 2014 Fanny He f.he@bath.ac.uk Alexis Saurin alexis.saurin@pps.univ-paris-diderot.fr 12 July 2014 The Λµ-calculus Syntax of Λµ t ::= x λx.t (t)u
Διαβάστε περισσότεραΗ γλώσσα ML σε βάθος. Joan Miró, El Carnaval del Arlequín, Κωστής Σαγώνας Νίκος Παπασπύρου
Η γλώσσα ML σε βάθος Joan Miró, El Carnaval del Arlequín, 1925 Κωστής Σαγώνας Νίκος Παπασπύρου Τι σημαίνουν οι τύποι συναρτήσεων στην ML f : A B σημαίνει: Για
Διαβάστε περισσότεραΑπόδειξη. Η ιδιότητα(vi) του ορισμού δεν ισχύει στην πράξη αυτή. Πράγματι, έχουμε. 1 (x, y, z) =(1 x, 1 y, 2 1 z) =(x, y, 2z)
1 ιανυσματικοί χώροι Άσκηση 1.1 Στο σύνολο R 3 όλων των διατεταγμένων τριάδων διατηρούμε την πρόσθεση, που ορίσαμε στο αντίστοιχο παράδειγμα, και ορίζουμε εξωτερικό πολλαπλασιασμό με τη σχέση λ(a 1,a 2,a
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραKompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017
Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραPodnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %
Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραΤι σημαίνουν οι τύποι συναρτήσεων στην ML. Παράδειγμα επισημειώσεων τύπων στην ML. Επισημειώσεις τύπων (type annotations) f : A B σημαίνει:
Τι σημαίνουν οι τύποι συναρτήσεων στην ML f : A B σημαίνει: Για κάθε x A, f(x) = για κάποιο στοιχείο y = f(x) B ατέρμονη εκτέλεση η εκτέλεση τερματίζει εγείροντας κάποια εξαίρεση Με λόγια: εάν η αποτίμηση
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραιαφάνειες παρουσίασης #11
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/programming/ ιδάσκοντες: Στάθης Ζάχος (zachos@cs.ntua.gr) Νίκος Παπασπύρου (nickie@softlab.ntua.gr) ιαφάνειες παρουσίασης
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013
ΤΑΞΗ: 3 η ΤΑΞΗ ΕΠΑ.Λ. (Α Β ΟΜΑ Α) ΜΑΘΗΜΑ: ΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ / ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή 14 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Να γράψετε στο τετράδιο σας το γράµµα
Διαβάστε περισσότεραΗ γλώσσα ML σε βάθος. Τι σημαίνουν οι τύποι συναρτήσεων στην ML. Παράδειγμα επισημειώσεων τύπων στην ML. Επισημειώσεις τύπων (type annotations)
Η γλώσσα ML σε βάθος Τι σημαίνουν οι τύποι συναρτήσεων στην ML f : A B σημαίνει: Για κάθε x A, f(x) = για κάποιο στοιχείο y=f(x) B ατέρμονη εκτέλεση η εκτέλεση τερματίζει εγείροντας κάποια εξαίρεση Με
Διαβάστε περισσότεραΤι σηµαίνουν οι τύποι συναρτήσεων στην ML. Παράδειγµα επισηµειώσεων τύπων στην ML. Επισηµειώσεις τύπων (type annotations) Σύνταξη ταιριάσµατος
Τι σηµαίνουν οι τύποι συναρτήσεων στην ML f : A B σηµαίνει: Για κάθε x A f(x) = για κάποιο στοιχείο y = f(x) B ατέρµονη εκτέλεση η εκτέλεση τερµατίζει εγείροντας κάποια εξαίρεση Με λόγια: εάν η αποτίμηση
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραSpojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.
Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................
Διαβάστε περισσότεραΗ γλώσσα ML σε βάθος. Γλώσσες Προγραμματισμού Ι. Διδάσκοντες: Νικόλαος Παπασπύρου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής και Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γλώσσες Προγραμματισμού Ι Διδάσκοντες: Νικόλαος Παπασπύρου, Κωστής Σαγώνας
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραΤυποποίηση και Τερματισμός στο λ-λογισμό
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τυποποίηση και Τερματισμός στο λ-λογισμό ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΟΚΚΙΝΗΣ
Διαβάστε περισσότεραFUNKTSIONAALNE PROGRAMMEERIMINE. Skeemid. Eesmärk: esitada riistvara skeeme ja teisi andmevoodiagrammidel baseeruvaid kirjeldusi Haskellis
Skeemid Eesmärk: esitada riistvara skeeme ja teisi andmevoodiagrammidel baseeruvaid kirjeldusi Haskellis VARMO VENE 1 Skeemid Skeemid koosnevad juhtmetest ja komponentidest Läbi juhtmete voolavad etteantud
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότερα- Αναπαράσταση ακέραιας τιµής : - Εύρος ακεραίων : - Ακέραιοι τύποι: - Πράξεις µε ακεραίους (DIV - MOD)
Η Γλώσσα Pascal Χαρακτηριστικά Τύποι Δεδοµένων Δοµή προγράµµατος 1. Βασικές έννοιες Χαρακτηριστικά της γλώσσας Pascal Γλώσσα προγραµµατισµού Συντακτικό Σηµασιολογία Αλφάβητο της γλώσσας Pascal (Σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Γλώσσα ML
Συναρτησιακός και Προστακτικός Προγραμματισμός Εισαγωγή στη Γλώσσα ML Ένας τρόπος διαχωρισμού Ο προστακτικός προγραμματισμός επικεντρώνει στο πως θα υλοποιήσουμε τα συστατικά του προγράμματός μας Ο συναρτησιακός
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγήστουςΗ/Υ. PHP Hypertext Preprocessor
ΕισαγωγήστουςΗ/Υ PHP Hypertext Preprocessor ΤιείναιηPHP; PHP είναιµία server-based scripting language σχεδιασµένη ειδικά για το web. Σε µία html σελίδα µπορούµε να ενσωµατώσουµε php κώδικα που εκτελείται
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Διδάσκουσα Δρ Β. Καβακλή Χειμερινό Εξάμηνο 2001 1 Παράδειγμα Υπολογισμός Μισθού ΑΡΧΗ
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραIntroduction to Type Theory February 2008 Alpha Lernet Summer School Piriapolis, Uruguay. Herman Geuvers Nijmegen & Eindhoven, NL
Introduction to Type Theory February 2008 Alpha Lernet Summer School Piriapolis, Uruguay Herman Geuvers Nijmegen & Eindhoven, NL Lecture 3: Polymorphic Type Theory: Full polymorphism and ML style polymorphism
Διαβάστε περισσότεραThe Simply Typed Lambda Calculus
Type Inference Instead of writing type annotations, can we use an algorithm to infer what the type annotations should be? That depends on the type system. For simple type systems the answer is yes, and
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
Διαβάστε περισσότερα1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Δομή Επιλογής. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Δομή Επιλογής Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Δομή Επιλογής (Απόφασης) Εκτέλεση υπό συνθήκη IF THEN IF THEN ELSE IF THEN
Διαβάστε περισσότεραECE570 Lecture 6: Rewrite Systems
ECE570 Lecture 6: Rewrite Systems Jeffrey Mark Siskind School of Electrical and Computer Engineering Fall 2017 Siskind (Purdue ECE) ECE570 Lecture 6: Rewrite Systems Fall 2017 1 / 18 Simplification Rules
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραSymbolická logika. Stanislav Krajči. Prírodovedecká fakulta
Symbolická logika Stanislav Krajči Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice 2008 Názov diela: Symbolická logika Autor: Doc. RNDr. Stanislav Krajči, PhD. Vydala: c UPJŠ Košice, 2008 Recenzovali: Doc. RNDr. Miroslav
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Σχεδίαση Γλωσσών & Μεταγλωττιστές Ενότητα 14: Συστήματα Τύπων Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι. Α. Υπολογιστικά Προβλήματα. Β. Εισαγωγή στους Αλγόριθμους. Γ. ομή Αλγόριθμων. Δ. ομές εδομένων
Αλγόριθμοι Α. Υπολογιστικά Προβλήματα Β. Εισαγωγή στους Αλγόριθμους Γ. ομή Αλγόριθμων Δ. ομές εδομένων Α. Υπολογιστικά Προβλήματα Πρόβλημα: Μια μη αποδεκτή κατάσταση που χρειάζεται επίλυση. Η διατύπωση
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτησιακός προγραμματισμός : Η άλλη πλευρά του νομίσματος
Συναρτησιακός προγραμματισμός : Η άλλη πλευρά του νομίσματος Απόστολος Συρόπουλος 28ης Οκτωβρίου 366 671 00 ΞΑΝΘΗ apostolo@obelix.ee.duth.gr Οκτώβριος 1999 Δημοσιεύτηκε στο τεύχος Οκτωβρίου 1999 του περιοδικού
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραLR(0) syntaktické analyzátory. doc. RNDr. Ľubomír Dedera
LR0) syntaktické analyzátory doc. RNDr. Ľubomír Dedera Učebné otázky LR0) automat a jeho konštrukcia Konštrukcia tabuliek ACION a GOO LR0) syntaktického analyzátora LR0) syntaktický analyzátor Sám osebe
Διαβάστε περισσότεραΣύντομη Εισαγωγή στην SML/NJ
Σύντομη Εισαγωγή στην SML/NJ Φυλλάδιο σημειώσεων για το 1ο εργαστήριο του μαθήματος 1 Εγκατάσταση και πρώτη γνωριμία Η πιο πρόσφατη έκδοση της SML/NJ τη στιγμή συγγραφής αυτού του κειμένου υπάρχει στο:
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Γλώσσα ML. Juan Miró
Εισαγωγή στη Γλώσσα ML Juan Miró Κωστής Σαγώνας Συναρτησιακός και Προστακτικός Προγραμματισμός Ένας τρόπος διαχωρισμού Ο προστακτικός προγραμματισμός επικεντρώνει στο πώς θα υλοποιήσουμε
Διαβάστε περισσότεραKURZ JAZYKA C učebný text pre kvartu a kvintu osemročného gymnázia
Škola pre Mimoriadne Nadané Deti a Gymnázium, Teplická 7, 831 02 Bratislava Mgr. Anino BELAN KURZ JAZYKA C učebný text pre kvartu a kvintu osemročného gymnázia BRATISLAVA 2003 1 2 Obsah Úvod...4 Totálny
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραVybrané partie z logiky
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO Katedra informatiky Vybrané partie z logiky Eduard Toman Bratislava 2005 Obsah 1 Úvod 3 1.1 Jazyk logiky..................................
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότερα