Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014

Transcript

1 Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach jana.pocsova@tuke.sk

2 Euklidov priestor Každú usporiadanú n-ticu [x 1, x 2,..., x n] reálnych čísel, kde n 1, nazývame bodom n-rozmerného priestoru. Čísla x 1, x 2,..., x n nazývame súradnice tohto bodu. Dva body A = [a 1, a 2,..., a n], B = [b 1, b 2,..., b n] sa rovnajú práve vtedy, ak platí a i = b i, pre všetky i = 1, 2,..., n teda ich zodpovedajúce súradnice sa rovnajú.

3 Euklidov priestor Nech A = [a 1,..., a n] a B = [b 1,..., b n] sú dva body n-rozmerného priestoru. Definujme vzdialenosť medzi týmito bodmi nasledovne: d(a, B) = (a 1 b 1) (a n b n) 2 Množinu všetkých n-tíc reálnych čísel s takto definovanou vziadenosťou d nazývame n-rozmerný Euklidovský priestor a označíme ho E n. Základné vlastnosti vzdialenosti: 1. d(a, B) = d(b, A) pre ľubovoľné A, B (vlastnosť symetrie). 2. d(a, B) = 0 vtedy a len vtedy, ak A = B, inak d(a, B) > Pre ľubovoľné tri body A, B, C platí: d(a, C) d(a, B) + d(b, C) (trojuholníková nerovnosť). Priestory E 1, E 2, E 3 majú svoj geometrický model: 1. E 1 je číselná os, 2. E 2 je rovina, v ktorej je zavedená pravouhlá súradnicová sústava, 3. E 3 je priestor, v ktorom je zavedená pravouhlá súradnicová sústava.

4 Niektoré dôležité pojmy Množinu všetkých bodov X priestoru E n, ktoré majú od daného bodu A vzdialenosť menšiu alebo rovnajúcu sa r, r > 0, budeme nazývať guľou priestoru E n so stredom v bode A a polomerom r. Nech A je bod priestoru E n. Okolím bodu A označujeme vnútro každej gule so stredom v A. Ak polomer tejto gule bude číslo r, budeme to okolie označovať O r(a). Je to množina tých bodov priestoru E n, pre ktoré platí d(a, X) < r. Bod Z je hromadným bodom množiny M vtedy a len vtedy, ak v každom jeho okolí leží nekonečne veľa bodov množiny M. (Pozn. Hromadný bod nemusí patriť do množiny M.) Množinu, ktorá obsahuje všetky hromadné body nazývame uzavretou množinou. Hovoríme, že bod A je vnútorným bodom množiny M, ak existuje r > 0 také, že O r(a) M. Množinu všetkých vnútorných bodov množiny M nazývame vnútro množiny. Množinu, ktorej každý bod je jej vnútorným bodom nazývame otvorenou množinou.

5 Funkcia viac premenných Nech M je množina bodov priestoru E n. Funkcia n-premenných s definičným oborom M je priradenie, ktoré každej n-tici z množiny M priradí práve jedno reálne číslo. Označujeme ju f(x) alebo f(x 1,..., x n). Definičný obor funkcie dvoch premenných f(x, y) je množina všetkých usporiadaných dvojíc [x, y] E 2, pre ktoré funkcia f(x, y) nadobúda reálne hodnoty. Podobne ako pri funkcii jednej premennej môže byť funkčný predpis daný rôznymi spôsobmi, napr. slovami, tabuľkou hodnôt, analyticky pomocou matematického výrazu alebo rovnice.

6 Zložená funkcia viac premenných Nech funkcia f(x 1, x 2,..., x n) je definovaná na množine M E n. Nech x 1 = ϕ 1(t 1,..., t m),..., x n = ϕ n(t 1,..., t m) je n funkcií m premenných, ktoré sú definované na možine M t E m. Nech tieto funkcie sú také, že bod [ϕ 1(T ),..., ϕ n(t )] je z množiny M pre všetky body T = [t 1,..., t m] z množiny M t. Potom možeme utvoriť funkciu f[ϕ 1(T ),..., ϕ n(t )] = F (T ), ktorá bude definovaná na množine M t. Tejto funkcii hovoríme zložená funkcia. Funkcii f(x 1, x 2,..., x n) hovoríme hlavná zložka, funkciám ϕ 1(T )..., ϕ n(t ) vedľajšie zložky.

7 Definičný obor funkcie viac premenných Určte definičný obor nasledujúcich funkcií: 1. f(x, y) = x+y 1 x y 2. f(x, y) = log (x 2 + y 2 4) 3. f(x, y) = arcsin y 1 x 4. f(x, y) = x 2 + y ln (2 x 2 y 2 )

8 Graf funkcie viac premenných Nech funkcia f(x) je funkcia n-premenných definovaná na množine M E n. Grafom funkcie f(x) rozumieme množinu G všetkých bodov [x 1, x 2,..., x n, x n+1] priestoru E n+1, pre ktoré platí: 1. [x 1, x 2,..., x n] M 2. x n+1 = f(x 1,..., x n) Grafom funkcie dvoch premenných f(x, y) definovanej na množine M bodov priestoru E 2 je množina všetkých usporiadaných trojíc [x, y, z] priestoru E 3, pre ktoré platí: 1. [x, y] M 2. z = f(x, y) 3. teda G = {[x, y, z] E 3 : [x, y] M, z = f(x, y)}.

9 Úlohy Vyšetrite graf funkcie: 1. f(x, y) = 2 x y 2. f(x, y) = 1 x 2 y 2 3. f(x, y) = x 2 + y 2 4. f(x, y) = e x2 y 2

10 Postupnosť bodov a jej limita Nech {X 1, X 2,..., X k,... } je postupnosť bodov priestoru E n. Hovoríme, že táto postupnosť konverguje k bodu A, ak postupnosť vzdialeností {d(a, X 1),..., d(a, X k ),... } konverguje k nule. Konvergentná postupnosť má len jeden limitný bod. Postupnosť bodov konverguje k bodu A, vtedy a len vtedy, ak postupnosť prvých súradníc bodov konverguje k prvej súradnici bodu A, až postupnosť n-tých súradníc bodov konverguje k n-tej súradnici bodu A.

11 Úloha 1. Nájdite limitný bod postupnosti {X n} n=1, kde X n = [ ] 2 + 3, 3n 5 n 2 1 n 2. Dokážte, že postupnosť bodov {X n} n=1, kde X n = [ 1 n, n 1 n, 2] konverguje k bodu A = [0, 1, 2]. 3. Nájdite limitný bod postupnosti {X n} n=1, kde X n = [ n 1 n 2, n n, 1 ]. 4. Nájdite limitný bod postupnosti {X n} n=1, kde X n = [ 0, n 2, 1 n 3 ].

12 Limita funkcie dvoch premenných f(x, y) = sin(x2 +y 2 ) x 2 +y 2 D(f) = {[x, y] E 2; x 2 + y 2 0}, teda do definičného oboru funkcie f patria všetky body roviny okrem bodu [0, 0]. Na základe grafu funkcie sa pozrime na to, ako sa vyzerajú funkčné hodnoty funkcie f v okolí tohto bodu.

13 f(x, y) = sin(x2 +y 2 ) x 2 +y 2 Kvôli lepšej predstve numericky vypočítame funkčné hodnoty funkcie f v okoli bodu [0, 0]. Je zjavné, že -1,0-0,5-0,2 0,0 0,2 0,5 1,0-1,0 0,455 0,759 0,829 0,841 0,829 0,759 0,455-0,5 0,759 0,959 0,986 0,990 0,986 0,959 0,759-0,2 0,829 0,986 0,999 1,000 0,999 0,986 0,829 0,0 0,841 0,990 1,000 1,000 0,990 0,841 0,2 0,829 0,986 0,999 1,000 0,999 0,986 0,829 0,5 0,759 0,959 0,986 0,990 0,986 0,959 0,759 1,0 0,455 0,759 0,829 0,841 0,829 0,759 0,455 sin(x 2 + y 2 ) lim = 1. [x,y] [0,0] x 2 + y 2

14 f(x, y) = sin(x2 +y 2 ) x 2 +y 2 Overenie pomocou výpočtov. sin(x 2 + y 2 ) lim [x,y] [0,0] x 2 + y 2 zavedieme substitúciu x 2 + y 2 = t, ak x 0 a y 0, tak aj t 0. Teda sin(x 2 + y 2 ) sin t lim = lim [x,y] [0,0] x 2 + y 2 t 0 t čo je limita funkcie jednej premennej. Pomocou L Hospitalovho pravidla ukážeme, že táto limita sa rovná jednej. sin t cos t lim = lim = 1. t 0 t t 0 1 sin(x 2 + y 2 ) lim = 1 [x,y] [0,0] x 2 + y 2

15 Limita funkcie dvoch premenných g(x, y) = x2 y 2 x 2 +y 2 D(g) = {[x, y] E 2; x 2 + y 2 0}, teda do definičného oboru funkcie g patria všetky body roviny okrem bodu [0, 0]. Na základe grafu funkcie g:

16 g(x, y) = x2 y 2 x 2 +y 2 Kvôli lepšej predstve numericky vypočítame funkčné hodnoty funkcie g v okoli bodu [0, 0]. -1,0-0,5-0,2 0,0 0,2 0,5 1,0-1,0 0,000 0,600 0,923 1,000 0,923 0,600 0,000-0,5-0,600 0,000 0,724 1,000 0,724 0,000-0,600-0,2-0,923-0,724 0,000 1,000 0,000-0,724-0,923 0,0-1,000-1,000-1,000-1,000-1,000-1,000 0,2-0,923-0,724 0,000 1,000 0,000-0,724-0,923 0,5-0,600 0,000 0,724 1,000 0,724 0,000-0,600 1,0 0,000 0,600 0,923 1,000 0,923 0,600 0,000 Zdá sa, že v bode [0, 0] funkcia g nemá limitu.

17 Limita funkcie viac premenných Definícia (Cauchy) Nech funkcia n-premenných f(x) je definovaná v istom okolí bodu A = [a 1, a 2,..., a n], ktorý je hromadným bodom jej oboru definície D(f). Číslo l nazývame limitou funkcie f(x) v bode A, ak pre každé ɛ > 0 existuje také δ > 0, že pre všetky X O δ (A), X A, je f(x) O ɛ(l). Ak je f(x) funkciou dvoch premenných a A = [x 0, y 0], potom môžeme písať aj lim f(x, y) = l. X [x 0,y 0 ] Veta (Heine) Funkcia n-premenných f(x) má v bode A = [a 1, a 2,..., a n] limitu číslo l práve vtedy, ak pre ľubovoľnú postupnosť bodov {X n} n=1, kde X n D(f), X n A konvergujúcu k bodu A je lim f(xn) = l. n

18 Základné vlastnosti limity funkcie viacerých premenných Nech funkcie f a g majú v bode A limitu, lim f(x) = b1, lim g(x) = b2. X A X A Potom má v bode A limitu aj funkcia: c 1 f + c 2 g, kde c 1, c 2 sú ľubovoľné konštanty a platí lim (c1 f + c2 g) = c1 b1 + c2 b2 X A f g a platí lim f(x) g(x) = b1 b2 X A f g f(x) a platí lim = b 1 X A g(x) b2, b 2 0 Vypočítajte limitu funkcie: x lim 3 [x,y] [0,0] x 2 +y 2

19 Dôkaz neexitencie limity - po krivkách Veta Ak existuje lim f(x, y), tak lim f(x, y) existuje po ľubovoľnej krivke X A X A prechádzajúcej cez bod A a je stále rovnaká. Dokážte, že nasledujúce limity neexistujú. x 1. lim 2 y 2 [x,y] [0,0] x 2 +y 2 2. lim [x,y] [0,0] 3. lim [x,y] [0,0] 2xy x 2 +y 2 x 2 y x 4 +y 2

20 Limita funkcie dvoch premenných - Dvojnásobné (opakované) limity Nech funkcia f(x, y) je definovaná na množine M E 2 a nech [x 0, y 0] je hromadným bodom množiny M. Nech pre každé x x 0 také, že [x, y] M existuje lim f(x, y) = g(x) a nech táto funkcia má v bode x 0 limitu, potom y y 0 ( ) lim g(x) = lim lim f(x, y) sa nazýva dvojnásobná (opakovaná) limita x x 0 x x 0 y y 0 funkcie f v bode [x 0, y 0] podľa y a x. Nech existuje limita funkcie f(x, y) v bode [x 0, y 0] a nech existuje ľubovoľná z dvojnásobných limít, potom sa tieto limity rovnajú.

21 Limita funkcie dvoch premenných - Opakované limity Opakované limity sa používajú na dôkaz neexistencie limity 1. ( Ak opakované limity existujú a sú rôzne, tak limita funkcie neexistuje. lim [x,y] [0, ] ) y x 1+y 2x 2. ( Ak opakované limity existujú a sú rovnaké, limita funkcie nemusí existovať. lim [x,y] [0, ] ) x 2 +y 2 1+(x y) 4 3. ( Opakované limity neexitujú, ) ale limita funkcie dvoch premenný existuje. lim x cos x [x,y] [0, ]

22 Spojitosť funkcie viac premenných Nech je funkcia f(x) definovaná na okolí bodu A = [a 1, a 2,..., a n], ktorý je hromadným bodom jej oboru definície D(f). Hovoríme, že funkcia f(x) je spojitá v bode A, ak platí lim f(x) = f(a). X A Hovoríme, že funkcia f(x) je spojitá v A vzhľadom na množinu M ak: ɛ > 0 δ > 0; x O δ A M : f(x) f(a) < ɛ Ak je funkcia f spojitá v každom bode množiny M D(f), hovoríme, že je spojitá na množine M.

23 Spojitosť funkcie viac premenných Nech funkcie f(x) a g(x) spojité v bode A. Potom 1. f(x) je spojitá v A, 2. c 1 f(x) ± c 2 g(x) je spojitá v bode A, kde c i R sú konštanty, 3. f(x) g(x) sú spojité v bode A. 4. Nech platí g(a) 0. Potom f(x) je spojitá v bode A. g(x) 1. Nájdite body nespojitosti funkcie: f : z = x+y x y. 2. Dodefinujte funkciu, ak sa dá, na spojitú v bodoch nespojitosti g : z = arctan y x 2

24 Spojitosť funkcie viac premenných Funkcia viac premenných, ktorá je spojitá na uzavretej oblasti, má podobné vlastnosti ako funkcia jednej premennej spojitá na uzavretom intervale. Ak je funkcia f spojitá na ohraničenej uzavretej oblasti M E n, potom platí: 1. funkcia f je ohraničená na M, teda existuje také číslo K > 0, že f(x) < K pre každý bod X M. 2. funkcia f nadobúda na množine M svoje maximum aj minimum, teda existuje aspoň jeden bod P 1 M a aspoň jeden bod P 2 M taký, že f(x) f(p 1), f(x) f(p 2) pre každý bod X M. 3. ak A, B sú dva rôzne body z oblasti M také, že f(a) f(b), funkcia f nadobudne každú hodnotu medzi f(a) a f(b) aspoň v jednom bode oblasti M, teda existuje aspoň jeden bod C M taký, že f(a) < f(c) < f(b).

25 Spojitosť zloženej funkcie Nech funkcie ϕ 1(X),..., ϕ m(x) sú spojité na množine M E n. Nech funkcia f(y ); kde Y = [y 1,..., y m] je spojitá na množine N E m a nech pre každý bod X M je bod Y = [ϕ 1(X),..., ϕ m(x)] z množiny N. Potom aj zložená funkcia f(ϕ 1(X),..., ϕ m(x)) je spojitá na množine M. Zdôvodnite spojitosť funkcie v E 2 f(x, y) = cos(x 2 + y 2 )

26 Parciálne derivácie Nech f je funkcia n 2 premenných x 1,..., x n definovaná na nejakom okolí bodu A = [a 1,..., a n]. Hovoríme, že funkcia f má v bode A parciálnu deriváciu podla premennej x i, ak existuje limita f(a 1,..., a i 1, x i, a i+1,..., a n) f(a 1,..., a i 1, a i, a i+1,..., a n) lim. x i a i x i a i Hodnotu tejto limity označujeme f(a) x i alebo f x i (A).

27 Výpočet parciálnej derivácie Ak je daná funkcia f n-premenných, tak pri počítaní jej parciálnej derivácie podľa premennej x i postupujeme rovnako, ako pri počítaní derivácie funkcie jednej premennej. (Teda použitím vzorcov pre derivovanie elementárnych funkcií a viet pre derivovanie.) Pri derivovaní funkcie f podľa premennej x i budeme funkciu f považovať za funkciu jednej premennej a to premennej x i, ostatné premenné v predpise funkcie f budeme považovať za konštanty. Parciálna derivácia funkcie f je takisto funkciou n-premenných. 1. Zderivujte nasledujúce funkcie podľa oboch premenných: a) f(x, y) = x 2 + xy + 2y 2 b) g(x, y) = arctan (x 2 + y 2 ) c) h(x, y, z) = x sin (y + z) + e x+y+z 2. Určte parciálne derivácie predchádzajúcich funkcií podľa oboch premenných v bode A = [1, 2].

28 Parciálne derivácie vyšších radov Nech f je funkcia n-premenných, ktorá má na množine M parciálne derivácie f x 1,..., f x n. Parciálna derivácia druhého rádu funkcie f podľa premenných x i ( a x 2 f k je parciálna derivácia podľa x k parciálnej derivácie funkcie f podľa x i. Označenie: x i x k ) 2 f x i x k Ak x i = x k, píšeme 2 f. x 2 i

29 Zameniteľnosť parciálnych derivácií vyšších rádov Veta Nech f je funkcia n premenných, nech parciálne derivácie f x i a f x j podľa niektorých premenných x i, x j existujú na nejakom okolí bodu A a nech parciálna derivácia derivácia 2 f x j x i 2 f x i x j a platí je spojitá v A. Potom v A je definovaná aj parciálna 2 f(a) x i x j = 2 f(a) x j x i Dokážte, že funkcia z = y + e x2 y 2 vyhovuje parciálnym diferenciálnym rovniciam z xx + z xy = 1 a z xy + z yy = 1

30 Dotyková rovina Veta Ak funkcia f(x, y) je v bode A = [x 0, y 0] diferencovateľná, tak jej graf má v bode P = [x 0, y 0, f(x 0, y 0)] dotykovú rovinu. Jej rovnica je: z f(a) = f(a) x f(a) (x x0) + (y y 0) y Nájdite rovnicu dotykovej roviny ku grafu funkcie f(x, y) = x 2 + 2y 2 v bode P 0 = [1, 1, z 0].

31

32 Lokálne extrémy Hovoríme, že funkcia f(x) n-premenných má v bode A = [a 1,..., a n] ostré lokálne maximum (lokálne maximum), ak pre každý bod z okolia bodu A platí f(x) < f(a) (f(x) f(a)). Hovoríme, že funkcia f(x) má v bode A = [a 1,..., a n] ostré lokálne minimum (lokálne minimum), ak pre každý bod z okolia bodu A platí f(x) > f(a) (f(x) f(a)). Veta (Nutná podmienka existencie extrému) Nech funkcia f(x 1,..., x n) n-premenných má v bode A = [a 1,..., a n] lokálny extrém. Nech existujú parciálne derivácie podľa všetkých premenných. Potom f(a) x i = 0 pre každé i = 1,..., n. Bod, v ktorom sa všetky parciálne derivácie rovnajú nule, nazývame stacionárnym bodom.

33 z = x 2 + y 2 V bode [0, 0] je ostré lokálne minimum.

34 z = xy V bode [0, 0] nie je extrém.

35 Lokálne extrémy - Postačujúca podmienka existencie extrému - funkcia dvoch premenných Veta Nech bod A = [a 1, a 2] je stacionárnym bodom funkcie f(x, y). Nech má funkcia v okolí bodu A spojité parciálne derivácie prvého a druhého rádu. Nech determinant 2 f(a) 2 f(a) D = x 2 2 f(a) y x x y 2 f(a) y 2 > 0 Potom má funkcia f(x, y) v bode A lokálny extrém, a to: 1. lokálne minimum, ak súčasne platí 2 f(a) x 2 > 0 2. lokálne maximum, ak súčasne platí 2 f(a) x 2 < 0 Ak determinant je záporny (D < 0), tak funkcia f(x, y) v bode A nemá extrém. Ak determinant rovný nule (D = 0), tak o lokálnom extréme nevieme rozhodnúť. Je potrebné vyšetrovať funkciu f(x, y) v okolí stacionárneho bodu A inými metódami (napríklad: testujeme funkčné hodnoty v okolí bodu A).

36 Lokálne extrémy - Postačujúca podmienka existencie extrému - funkcia troch premenných Nech bod A = [a 1, a 2, a 3] je stacionárnym bodom funkcie f(x, y, z). Nech má funkcia v okolí bodu A spojité parciálne derivácie prvého a druhého rádu. Nech determinant 2 f(a) 2 f(a) D = x 2 2 f(a) y x x y 2 f(a) y 2 > 0 Potom má funkcia f(x, y, z) v bode A lokálny extrém, a to: 1. lokálne minimum, ak platí 2 f(a) x 2 2 f(a) x 2 2 f(a) y x 2 f(a) z x > 0 a zároveň 2 f(a) x z 2 f(a) y z > 0 2 f(a) x y 2 f(a) y 2 2 f(a) z y 2. lokálne maximum, ak súčasne platí 2 f(a) x 2 2 f(a) 2 f(a) x 2 x y 2 f(a) 2 f(a) y x 2 f(a) z x y 2 2 f(a) z y 2 f(a) z 2 < 0 a zároveň < 0 2 f(a) x z 2 f(a) y z 2 f(a) z 2

37 Lokálne extrémy - Algoritmus 1. Nájsť stacionárne body, 2. otestovať stacionárne body na možný extrém, 3. vyšetriť body, v ktorých neexistujú parciálne derivácie podľa všetkých premenných. Nájdite lokálne extrémy funkcie (ak existujú): 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 6x 9y 2. f(x, y) = 2x 3 + xy 2 + 5x 2 + y 2 3. f(x, y) = y 2 2x 2 y + 2x 4 4. g(x, y) = x 3 + 3xy 2 51x 24y

38 Viazané extrémy Nech funkcia f(x, y) je definovaná na M E 2. Nech množina N je definovaná pomocou funkcie dvoch premenných g(x, y) t.j. N = {[x, y] M; g(x, y) = 0}. Lokálne extrémy funkcie f(x, y) na množine N nazývame viazanými lokálnymi extrémami a rovnicu g(x, y) = 0 nazývame väzbou. Funkcia má v bode A viazané lokálne maximum (minimum) vzhľadom na množinu N, N = {[x, y] M; g(x, y) = 0}, ak A N a existuje také okolie bodu A, že pre každý bod X O ɛ(a), ktorého súradnice spĺňajú rovnicu väzby platí f(x) f(a) (f(x) f(a)).

39 Hľadanie viazaných lokálnych extrémov 1. Ak rovnica väzby g(x, y) = 0 určuje jedinú funkciu y = h(x), potom viazané lokálne extrémy môžeme nájsť ako extrémy funkcie jednej premennej z = F (x) = f(x, h(x)) na množine N. 1.1 Nájdite viazané extrémy funkcie: f(x, y) = x 2 + y 2 za podmienky x + y 1 = Zo všetkých obdĺžnikov, ktorých obvod je 10 cm, nájdite ten, ktorého plošný obsah je maximálny. 2. Pomocou Lagrangeovej metódy neurčitých multiplikátorov Veta Nech funkcia F (x, y) = f(x, y) + λg(x, y) má lokálne maximum (minimum) v bode A, pričom A N. Potom funkcia f(x, y) má v bode A viazané lokálne maximum (minimum) vzhľadom na množinu A. Nájdite viazané lokálne extrémy funkcie f(x, y) = x + y pri väzbe x 2 + y 2 1 = 0.

40 Globálne extrémy Nech f(x, y) je funkcia definovaná na množine M. Maximum (minimum) množiny všetkých hodnôt f(x) funkcie f pre X M sa nazýva globálne alebo absolútne maximum (minimum) funkcie na množine M. Ak M je uzavretá ohraničená množina, tak funkcia má na nej globálne extrémy. Hľadáme ich takto: 1. Nájdeme lokálne extrémy funkcie f vo vnútri množiny M. 2. Nájdeme viazané lokálne extrémy funkcie f na hranici množiny M. 3. Potom globálne maximum (minimum) funkcie f na množine M je maximum (minimum) z lokálnych extrémov funkcie f vo vnútri množiny M a z extrémov funkcie f na hranici množiny M. Nájdite globálne extrémy funkcie f(x, y) = x 2 y 2 na množine M = {[x, y] E 2 : x 2 + y 2 4. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie f(x, y) = x 2 2y 2 + 4xy 6x 1 na množine M = {[x, y] E 2 : x 0; y 0; y x + 3}.

41 Derivácia v smere Nech f(x) je funkcia viac premenných, kde X = [x 1, x 2,..., x n], bod A = [a 1, a 2,..., a n] a jednotkový vektor u. Deriváciou funkcie f(x) v bode A f(a + t u) f(a) v smere vektora u nazývame limitu lim a označujeme t 0 + t df(a) d u.

42 Gradient Veta Nech f(x, y, z) je funkcia diferencovateľná v bode A = [a 1, a 2, a 3]. Gradientom funkcie f(x, y, z) v bode A nazývame vektor grad f(a), pre ktorý platí grad f(a) = f(a) x i + f(a) y j + f(a) z k Veta Nech f(x) je funkcia diferencovateľná v bode A. Potom pre deriváciu funkcie f(x) v bode A v smere určenom jednotkovým vektorom u platí: df(a) d u = grad f(a) u Derivácia funkcie v bode A v smere vektora je skalárnym súčinom jednotkového vektora a gradientu funkcie f(a).

43 Úlohy 1. Vypočítajte deriváciu funkcie f(x, y) = 6xy 2 2x 3 + y 2 + 2x 8 v bode A = [1; 2] v smere vektora l, ak ( a) l = 1 ) 3 2 ; 2 b) [ l je určený vektorom B A, kde B = 1 ] 3; 1 c) vektor l zviera s osou o x orientovaný uhol π 4 2. Nech je dané f(x, y) = 6xy 2 2x 3 + y 2 + 2x 8 a A = [1; 2]. a) Nájdite smer, v ktorom má funkcia f(x, y) v bode A najväčšiu deriváciu. b) Nájdite smer, v ktorom má funkcia f(x, y) v bode A najmenšiu deriváciu. c) Nájdite smer, v ktorom má funkcia f(x, y) v bode A nulovú deriváciu.

44 Zoznam použitej literatúry Eliáš J., Horváth J., Kajan J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky 3, Slovenské vydavateľstvo technickej literatúry, Bratislava, Ivan J.: Matematika 2, Alfa, Bratislava, 1989, ISBN: Kluvánek I., Mišík L., Švec M.: Matematika 1, Slovenské vydavateľstvo technickej literatúry, Bratislava, 1959.