Analiza i prikazivanje podataka prof.dr.sc. Sanja Varošanec
|
|
|
- Ζαχαρίας Καψής
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Analiza i prikazivanje podataka prof.dr.sc. Sanja Varošanec
2 HNOS (iz 2006.) Ključni pojmovi: obilježje skupa podataka, frekvencija i relativna frekvencija, tablični prikaz, stupčasti dijagram, kružni dijagram Obrazovna postignuća: prepoznati obilježje skupa podataka odredivati vrijednosti tog obilježja, prikazivati prikupljene podatke pomoću tablice frekvencije i relativne frekvencije, grafički pomoću stupčastog i kružnog dijagrama izračunavati aritmetičku sredinu interpretirati rezultate. 2
3 NOK 1. ciklus Učenici će: prikupiti, razvrstati i organizirati podatke koji proizlaze iz svakodnevnoga života te ih prikazati jednostavnim tablicama, piktogramima (slikovnim dijagramima) i stupčastim dijagramima pročitati i protumačiti podatke prikazane jednostavnim tablicama, piktogramima i stupčastim dijagramima 3
4 NOK 2. ciklus Učenici će: prikupiti, razvrstati i organizirati podatke te ih na prikladan način prikazati tablicom, tablicom frekvencija, piktogramom, stupčastim i kružnim dijagramom te sustavnom listom pročitati i protumačiti podatke prikazane tablicama, slikama, listama te različitim grafovima i dijagramima odrediti i primijeniti aritmetičku sredinu, raspon i medijan niza numeričkih podataka 4
5 NOK 3. ciklus Učenici će: prikupiti, klasificirati i organizirati podatke te ih na prikladan način, pomoću računala i bez njega, prikazati sustavnom listom, tablicom, tablicom frekvencija, linijskim, stupčastim i kružnim dijagramom, grafikonom, brkatom kutijom (box and whiskers dijagram) i grafom pročitati, tumačiti i analizirati podatke prikazane na različite načine odrediti i primijeniti frekvenciju i relativnu frekvenciju za dane podatke te aritmetičku sredinu, medijan, kvartile, mod, raspon i interkvartilni raspon niza numeričkih podataka 5
6 Učenička postignuća na kraju četvrtog odgojno-obrazovnog ciklusa (srednjoškolsko strukovno obrazovanje) Učenici će: J1. prikupiti, klasificirati i organizirati podatke, te ih na prikladan način, pomoću računala i bez njega, prikazati za potrebe statističke analize, J2. pročitati, tumačiti i analizirati podatke prikazane na različite načine, J3. odrediti i primijeniti srednje vrijednosti (aritmetička sredina, medijan, mod) i raspršenost (raspon, interkvartilni raspon) niza numeričkih podataka, J4. rabiti jednostavne računalne programe za statističku obradu podataka. 6
7 Učenička postignuća na kraju četvrtog odgojno-obrazovnog ciklusa (srednjoškolsko gimnazijsko obrazovanje) Učenici će: J1. sustavno prikupiti, klasificirati i organizirati podatke, te ih prikazati i analizirati pomoću srednjih vrijednosti (aritmetička sredina, medijan, mod) i raspršenosti (raspon, interkvartilni raspon, standardna devijacija), J2. procijeniti parametar srednje vrijednosti uz zadani pouzdani interval J3. prepoznati približnu linearnu vezu dviju varijabli, odrediti njezine koeficijente, te ju rabiti pri modeliranju, J4. interpretirati složene dogadaje pomoću skupovnih operacija te izračunati njihovu vjerojatnost, J5. primijeniti normalnu razdiobu. 7
8 Medicinske škole - novi program od razred Učenici će: - prikupiti podatke iz primarnih izvora pomoću upitnika i eksperimenta, bilježeći opažanja, mjerenja i/ili rezultate, te raspraviti je li metoda prikupljanja podataka valjana - prikupiti podatke iz sekundarnih izvora (tzv. sekundarni podatci) - razvstati i organizirati diskretne (npr. krvna grupa, spol, boja očiju) i kontinuirane (npr. visina, tjelesna masa, temperatura) primarne i sekundarne podatke - prikazati podatke na primjeran način pomoću tablice i kružnog dijagrama te stupčastog dijagrama i histograma s pravilno označenim osima, nazivima, skalama te razredima jednake širine - pročitati, protumačiti i donijeti zaključke o primarnim i sekundarnim podatcima prikazanima tablicom, dijagramom (uključujući stupčasti dijagram, višestruki stupčasti dijagram, kružni dijagram) i drugim grafičkim prikazima - odrediti i primijeniti srednje vrijednosti (aritmetička sredina, medijan, mod) niza numeričkih podataka - prikupiti, organizirati, prikazati i protumačiti podatke iz svakodnevnog života, drugih nastavnih predmeta i zdravstvene struke - rabiti džepno računalo i primjenski program za izradu proračunskih tablica za organizaciju i prikazivanje podataka. 8
9 2. razred Učenici će: - radeći timski, isplanirati, organizirati i provesti statističko istraživanje - prikazati podatke pomoću tablice, kružnog i stupčastog dijagrama, histograma i linijskog dijagrama (razlomljenog - diskretni podatci na x-osi, a kontinuirani na y-osi; kontinuirani podatci na obje osi) -pročitati, protumačiti i donijeti zaključke o primarnim i sekundarnim podatcima prikazanim tablicom, dijagramom (uključujući stupčasti dijagram, dvostruki stupčasti dijagram, kružni dijagram, linijski dijagram, percentilnu krivulju) i drugim grafičkim prikazima - odrediti, usporediti i protumačiti srednje vrijednosti (aritmetička sredina, medijan, mod, kvartili, percentili) i mjere raspršenosti (raspon, interkvartilni raspon) niza numeričkih podataka 9
10 - protumačiti utjecaj dodavanja ili uklanjanja jednog ili više podataka na srednje vrijednosti niza numeričkih podataka - usporediti sličnosti i razlike izmedu dva srodna skupa podataka rabeći razne strategije (npr. prikazivanjem podataka pomoću tablica crtica ili višestrukog stupčastog dijagrama; usporedbom srednjih vrijednosti i mjera raspršenosti; opisujući oblik grafičkog prikaza podataka) - prepoznati grafove u kojima se manipulira podatcima (npr. grafove koji prenaglašuju promjenu počinjući na vertikalnoj osi od točke pridružene broju većem od nule) - razlikovati reprezentativni uzorak, slučajni uzorak i populaciju - protumačiti trendove u podatcima - rabiti džepno računalo i primjenski program za izradu proračunskih tablica za organizaciju i prikazivanje podataka. 10
11 Statistički skup ili populacija je skup istovrsnih elemenata. Primjeri: skup svih učenika jednog razrednog odjela, skup svih zaposlenih stanovnika RH na dan Statističko obilježje je ono svojstvo elemenata populacije po kojem se ti elementi razlikuju i nalikuju. Primjeri: spol, stručna sprema, mjesto rodenja, način studiranja, ocjena na ispitu, površina stana Vrijednosti obilježja - stanja koja to obilježje može imati 11
12 Vrste podataka: primarni i sekundarni Klasifikacija obilježja: - kategorijalna obilježja - nominalna i redoslijedna (ordinalna, rangirana) - numerička - diskretna i kontinuirana 12
13 Faze statističke djelatnosti - statističko promatranje (mjerenje, brojenje, ocjenjivanje, opažanje, evidencija, anketiranje) - klasificiranje (grupiranje) - analiza 13
14 Vrste podataka Primjer 1.1. (kategorijsko nominalno obilježje) Prošli tjedan u Zavodu za transfuziju 50 je osoba dobrovoljno dalo krv. Svakom je davatelju odredena krvna grupa i dobiven je ovaj niz podataka A A B 0 B AB B AB AB 0 0 B A A A B 0 0 A A A B B 0 A 0 A A B B 0 tip krvne grupe broja osoba koje imaju taj tip grupe (frekvencija) 0 27 A 11 B 9 AB 3 14
15 Primjer 1.2. (kategorijsko rangirano (redoslijedno) obilježje) Na ispitu znanja iz matematike učenici 1.b razreda postigli su sljedeće rezultate: ocjenu odličan dobilo je 3 učenika, ocjenu vrlo dobar 9 učenika, ocjenu dobar 9 učenika, ocjenu dovoljan 5 učenika, a ocjenu nedovoljan 4 učenika. Prikažimo te podatke u tablici i odredimo frekvenciju pojedine ocjene. Što je obilježje, a što vrijednost obilježja? ocjena broj učenika odličan 3 vrlo dobar 9 dobar 9 dovoljan 5 nedovoljan 4 15
16 Primjer 1.3. (numeričko diskretno obilježje) Bolnički je administrator pregledavajući kartone pacijenata primljenih na bolničko liječenje u rujnu dobio sljedeći niz podataka koji sadrži broj dana provedenih na bolničkom liječenju: broj dana broj pacijenata koji su bolničkog liječenja proveli u bolnici taj broj dana
17 Primjer 1.4. (numeričko kontinuirano obilježje) Učenicima 1.a razreda izmjerena je visina i dobiveni su ovi podatci (iskazani u centimetrima):
18 Razredi Grupiranje u 6 razreda jednake širine. Vrijednosti ima = : 6 = 8.3, broj 8.3 zaokružimo na 9. Širina razreda je 9. visina x učenika (u cm) frekvencija 152 x x x x x x
19 precizne granice razreda visina učenika (u cm) precizne granice frekvencija razreda
20 peteljka-list dijagram ( stem-leaf dijagram ili ST dijagram) Legenda: 15 2=152 cm 20
21 Grafički prikaz pomoću piktograma: Primjer 1.1. tip krvne grupe broja osoba koje imaju taj tip grupe (frekvencija) 0 27 A 11 B 9 AB 3 SLIKA 21
22 Primjer 2.1. Učenici 1a razreda anketirani su o najomiljenijoj vrsti voća. Njihovi odgovori i frekvencije svakog od voća dani su u ovoj tablici: najomiljenija broj učenika kojima vrsta voća je to voće najomiljenije jabuke 6 kruške 2 naranče 4 banane 9 šljive 4 Prikažimo ove podatke grafički. 22
23 Stupci mogu biti polegnuti i vodoravno. 23
24 najomiljenija broj učenika relativna relativna vrsta voća kojima je to voće frekvencija frekvencija (frekvencija) najomiljenije u% jabuke % kruške % naranče % banane % šljive % Stupčasti dijagram relativnih frekvencija Korelacija: proporcionalnost, postotci 24
25 Primjer 2.2. Podatke o dobrovoljnim davateljima krvi iznesenima u Primjeru 1.1 pomoću kružnog dijagrama. tip krvne grupe frekvencija 0 27 A 11 B 9 AB 3 zbroj: : 50 = α : 360 α = α =
26 Korelacija: proporcionalnost, krug, kut 26
27 Histogram - spojeni stupci čija je površina proporcionalna frekvencijama, odnosno relativnim frekvencijama. Primjer 2.3. Ispitujući količinu lijekova koje dnevno uzimaju pacijenti, došlo se do sljedećih podataka o broju lijekova u obliku tableta koje svaki dan uzimaju pacijenti bolničkog odjela: broj tableta broj pacijenata koje se uzimaju svakodnevno koji uzimaju taj broj lijekova a) Izračunajmo relativne frekvencije danih podataka. b) Prikažimo ih grafički. 27
28 broj tableta broj pacijenata (f i ) relativne frekvencije =29.3% =52.4% =14.6% =2.4% =1.2% 82 28
29 broj precizne granice sredina frekvencije tableta razreda razreda
30 30
31 31
32 Primjer 2.4. Prikažimo stupčastim i linijskim dijagramom, te histogramom podatke dane u primjeru 1.4. visina precizne granice frekvencija sredina učenika razreda razreda
33 Za histogram su potrebne i korigirane relativne frekvencije (gustoća). To je kvocijent relativne frekvencije i širine razreda. Dodamo još dva stupca. visina precizne granice frek. sredina rel. korig. učenika razreda razreda frek. rel. frekv
34 34
35 Višestruki stupčasti dijagrami 35
36 Aritmetička sredina, medijan i mod Aritmetička sredina x = x 1 + x x n. n Težinska (vagana, ponderirana) aritmetička sredina x = f 1x 1 + f 2 x f k x k n Zaokružuje se na jedno decimalno mjesto više od onoga kako su dani podaci. Primjer 3.4. Mjereno je vrijeme (u satima) trajanja baterija tipa AA. Dobiveni su podatci grupirani u 7 razreda i dani su u tablici frekvencija. Izračunajmo prosječno vrijeme trajanja baterija. vrijeme trajanja u satima Broj baterija precizne granice razreda (frekvencija)
37 precizne granice broj baterija sredina razreda x i f i razreda (frekvencija) f i x i Ukupno: x = x 1f x n f n n = x =
38 Medijan je broj koji se u nizu podataka poredanih po veličini nalazi u sredini. Primjer 3.5. Odredimo medijan nizova a) 35, 38, 47, 49, 52, 56, 60; b) 35, 38, 47, 49, 52, 56. Rješenje. a) Niz ima 7 brojeva. Sredina niza je četvrti broj. M = 49. b) Niz ima 6 članova i sredina se nalazi izmedu trećeg i četvrtog člana. M = =48. 38
39 Kada imamo neparan broj podataka, tj. kad ih ima 2k 1, tada je medijan jednak k-tom podatku, tj. M = x k. Kada imamo paran broj podataka, tj. kad ih ima 2k, tada je medijan jednak aritmetičkoj sredini k-tog i (k + 1)-ovog podatka, tj. M = x k + x k
40 Mod je jednak podatku koji se javlja najveći broj puta (ali više od jedanput). Primjer 3.6. Odredite mod niza podataka danih peteljka-list dijagramom: Legenda: 2 0 = 20. Broj 42 se u dijagramu pojavljuje 4 puta, a svi ostali brojevi se pojavljuju manje puta. M o = 42. unimodalna, bimodalna, višemodalna razdioba 40
41 Primjer 3.8. Učenici 1.a razreda su na pitanje koliko imaju braće i sestara dali ove odgovore broj braće i sestara broj učenika koji imaju toliki broj braće i sestara (f i ) x = = M o = 0, tj. u 1.a razredu najviše učenika nema ni brata ni sestru. 41
42 Mjere varijabilnosti ili raspršenja - raspon, varijanca i standardna devijacija σ 2 = (x 1 x) 2 +(x 2 x) (x n x) 2 n. σ = (x 1 x) 2 +(x 2 x) (x n x) 2 n. Unutar dvije standardne devijacije oko aritmetičke sredine nalazi se 75% podataka. Barem 88.89% podataka se nalazi unutra 3 standardne devijacije oko aritmetičke sredine. 42
43 Standardna vrijednost ili z-vrijednost podatka x i je broj z 1 definiran kao z i = x i x σ Taj nam broj kazuje za koliko standardnih devijacija je podatak x i udaljen od aritmetičke sredine niza. 43
44 Primjer 4.1 Učenici 1a razreda pisali su test iz hrvatskog jezika i iz matematike. Test iz hrvatskog jezika imao je aritmetičku sredinu 40 i standardnu devijaciju 10, dok je test iz matematike imao aritmetičku sredinu 25 i standardnu devijaciju 5. Marko je na testu iz hrvatskog osvojio 50 bodova, dok je na testu iz matematike osvojio 35 bodova. Na kojem je testu postigao bolji uspjeh? Rješenje. z H = x i x σ = =1, Markov se rezultat iz testa iz hrvatskog nalazi 1 standardnu devijaciju od aritmetičke sredine. z M = x i x = =2, σ 5 Markov se rezultat iz matematike nalazi 2 standardne devijacije od aritmetičke sredine. 44
45 Kvartili i percentili Donji kvartil (u oznaci Q 1 ) je ona vrijednost numeričkog obilježja koja sve podatke dijeli na jednu četvrtinu podataka i oni su jednaki ili manji od donjeg kvartila, i na tri četvrtine podataka, koji su jednaki ili veći od donjeg kvartila. Gornji kvartil (u oznaci Q 3 ) je ona vrijednost numeričkog obilježja koja sve podatke dijeli na tri četvrtine podataka i oni su jednaki ili manji od gornjeg kvartila, i na četvrtinu podataka, koji su jednaki ili veći od gornjeg kvartila. Interkvartilni raspon ili kraće interkvartil (u oznaci IQR) je razlika izmedu gornjeg i donjeg kvartila. 45
46 Primjer 5.1. Odredimo medijan, kvartile i interkvartilni raspon nizova podataka: a) 51, 62, 78, 94, 96, 99, 105 b) 4, 6, 12, 13, 15, 17, 22, 45. a) n =7,M = 94. Donji je kvartil medijan niza 51, 62, 78. Medijan tog podniza je 62, tj. Q 1 = 62. Gornji kvartil je medijan niza onih brojeva koji su veći od medijana, tj. Q 3 = 99. Interkvartilni je raspon jednak IQR =99 62 = 37. b) n =8,M = = 14. Donji kvartil je medijan niza 4,6,12,13, Q 1 = 6+12 = 2 9. Gornji kvartil je medijan niza 15,17,22,45, a to je Q 3 = = Interkvartilni je raspon jednak IQR = =
47 Q 1 = Q 3 = x k+1 ako n nije cijeli i k je cijeli dio broja n 4 4 x k + x k+1 ako je n 4 2 cijeli i k = n 4 x k+1 ako 3n nije cijeli i k je cijeli dio broja 3n 4 4 x k + x k+1 ako je 3n 4 2 cijeli i k = 3n 4 47
48 Dijagram pravokutnika (eng. box-plot diagram, eng. box and whisker diagram, brkata kutija). 51, 62, 78, 94, 96, 99, Q 1 =62,M=94,Q 3 =99,IQR= Q 3 Q 1 = IQR = =55.6, 2 Q 1 3 IQR = =6.5 2 Q IQR = = Granice (6.5, 154.5) - brkovi. 48
49 4,6,12,13,15,17,22,45, Q 1 =9,M=14,Q 3 =19.5, IQR= Q 3 Q 1 =10.5. Granice brkova su Q 1 3 IQR = = i Q IQR = > outlier. 49
50 Percentili P p = x k+1 x k + x k+1 2 ako pn 100 nije cijeli i k je cijeli dio broja pn 100 ako je pn 100 cijeli i k = pn 100 Q 1 = P 25,M= P 50,Q 3 = P 75 Primjer 5.2. Odredimo 40. percentil ovog niza podataka 51, 62, 78, 94, 96, 99, Podataka ima 7. Broj pn = 40 7 =2.8 nije cijeli broj Njegov cijeli dio je 2, a uvećamo li ga za 1 dobivamo P 40 =
51 Primjer 5.4. Promotrimo podatke dane u Primjeru 3.4. i odredimo medijan, kvartile i 15. percentil tih podataka. vrijeme trajanja u satima Broj baterija precizne granice razreda (frekvencija)
52 precizne granice razreda broj baterija kumulativne (frekvencija) relativne frekvencije =2.08% =12.74% = =81.1% =93.92% = 100% 52
53 Kumulativne relativne frekvencije - Baterije 120 kum. rel. frekv. u % trajanje baterija u satima 53
54 T 1 (205.5, 47.96) i T 2 (265.5, 81.1). y y 1 = y 2 y 1 (x x 1 ) x 2 x y = (x 205.5) y = (x 205.5) 60 y = x Za y =50x = =M Za y =75x = 254.5, tj. Q 3 =
2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je
4. MJERE DISPERZIJE. Josipa Perkov, prof., pred. 1
4. MJERE DISPERZIJE Josipa Perkov, prof., pred. 1 Kod mnogih mjerenja se može opaziti da se rezultati grupiraju i skupljaju oko jedne srednje vrijednosti Srednja vrijednost dobro reprezentira rezultate
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
UVOD DEFINICIJA: Statistika planiranje i provođenje pokusa skupljanje podataka interpretacija
OSNOVE STATISTIKE UVOD DEFINICIJA: Statistika je grana matematike koja obuhvaća sakupljanje, analizu, interpretaciju i prezentaciju podataka te izradu predviđanja koja se temelje na tim podacima. Smatra
PISMENI ISPIT IZ STATISTIKE
1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila
Aritmetička sredina Medijan Mod. Harmonijska sredina
MJERE CENTRALNE TENDENCIJE Aritmetička sredina Medijan Mod Geometrijska sredina Harmonijska sredina MJERA CENTRALNE TENDENCIJE ili središnja vrijednost jest brojčana vrijednost koja reprezentira skupinu
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Uvod u matematičku statistiku
Uvod u matematičku statistiku Pojam matematičke statistike. Pojednostavljeno rečeno, matematička statistika je znanstvena disciplina koja iz poznavanja određenih svojstava uzorka donosi zaključke o svojstvima
GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.
GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
STATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA
Fakultet za menadžment u turizmu i ugotiteljtvu, Opatija Sveučilišni preddiplomki tudij Polovna ekonomija u turizmu i ugotiteljtvu Noitelj kolegija: Prof. dr. c. Suzana Marković Aitentica: Jelena Komšić
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1
χ 2 test (Hi-kvadrat test) Jedan od prvih statističkih testova je χ 2 -test. Predložio ga je K. Pearson 900. godine, pa je poznat i pod nazivom Pearsonov test. χ 2 test je neparametarski test. Pomoću χ
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Vjerojatnost i statistika
Outline Vjerojatnost i statistika dr. sc. Martin Lazar Sveučilište u Dubrovniku Preddiplomski studij primijenjenog/poslovnog računarstva 2011/2012 Organizacija kolegija Predavanja: dr. sc. Martin Lazar,
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Statistika. 1. Uvodna razmatranja o statistici
Statistika 1. Uvodna razmatranja o statistici ZAŠTO STATISTIKA? Statistički način mišljenja jednog će dana za svakodnevni život građana postati jednako neophodan kao znanje čitanja i pisanja. H. G. Wells(1866-1946).
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Dobna starost = godina
STATISTIKA prof.dr.sc. Jasna Horvat Josipa Mijoč, univ.spec.oec. STATISTIČKI NIZ I NJEGOVA ANALIZA Statistike imaju samo jednu vrlinu. Ne slažu se. Imre Forbath Postoje tri vrste laži: laž, besramna laž
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Osnovni pojmovi iz kombinatorike, vjerojatnosti i statistike I. Kombinatorika
Osnovni pojmovi iz kombinatorike, vjerojatnosti i statistike I. Kombinatorika Teorem o uzastopnom prebrojavanju (TUP) Ako x 1 možemo birati na n 1 načina, ako x 2 možemo birati na n 2 načina,..... ako
Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Slikovni prikaz podataka
2 broj studenata 6 7 8 Slikovni prikaz podataka Ponovimo jere središnjice Nora Nikolac Klinički zavod za kemiju KB Sestre milosrdnice jere rasapa Normalnost razdiobe Farmaceutsko-biokemijski fakultet Sveučilišta
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
STATISTIKA I OSNOVE FIZIKALNIH MJERENJA
STATISTIKA I OSNOVE FIZIKALNIH MJERENJA ŽELJKO SKOKO PREDAVANJA: ČETVRTAK, 12-14 h, F25 VJEŽBE: ČETVRTAK, 14-15 h, F25 MIRKO BAĆANI KONZULTACIJE: PETAK, 11-12.30 h ili prema dogovoru e-mail: zskoko@phy.hr
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa
Slučajne varijable Statistički podaci su distribuirani po odredenoj zakonitosti. Za matematičko (apstraktno) opisivanje te zakonitosti potrebno je definirati slučajnu varijablu kojoj pripada odredena razdioba
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
(BIO)STATISTIKA. skripta. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija. doc. dr. sc. Iva Franjić 2012.
(BIO)STATISTIKA skripta studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija doc. dr. sc. Iva Franjić 2012. 2 Sadržaj 1 DESKRIPTIVNA STATISTIKA 5 1.1 Grafički prikaz podataka.................. 6 1.2 Srednje
10. domaća zadaća. 3. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od odredite:
Napomena: U svim zadacima treba koristiti tablicu standardne normalne razdiobe. 1. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od 10 5 odredite: a) P(X 1.16), b) P(X 0.59);
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike
Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 1 Slučajna varijabla Slučajna varijabla je funkcija X koja elementarnim dogadajima pridružuje
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Sadrˇzaj. Sadrˇzaj MATEMATIČKA STATISTIKA DESKRIPTIVNA STATISTIKA Ponovimo... 15
Sadrˇzaj Sadrˇzaj 1 11 MATEMATIČKA STATISTIKA 3 11.1 DESKRIPTIVNA STATISTIKA..................... 5 11. Poovimo................................. 15 1 Radi materijal Poglavlje 11 MATEMATIČKA STATISTIKA