Analiza i prikazivanje podataka prof.dr.sc. Sanja Varošanec

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Analiza i prikazivanje podataka prof.dr.sc. Sanja Varošanec"

Transcript

1 Analiza i prikazivanje podataka prof.dr.sc. Sanja Varošanec

2 HNOS (iz 2006.) Ključni pojmovi: obilježje skupa podataka, frekvencija i relativna frekvencija, tablični prikaz, stupčasti dijagram, kružni dijagram Obrazovna postignuća: prepoznati obilježje skupa podataka odredivati vrijednosti tog obilježja, prikazivati prikupljene podatke pomoću tablice frekvencije i relativne frekvencije, grafički pomoću stupčastog i kružnog dijagrama izračunavati aritmetičku sredinu interpretirati rezultate. 2

3 NOK 1. ciklus Učenici će: prikupiti, razvrstati i organizirati podatke koji proizlaze iz svakodnevnoga života te ih prikazati jednostavnim tablicama, piktogramima (slikovnim dijagramima) i stupčastim dijagramima pročitati i protumačiti podatke prikazane jednostavnim tablicama, piktogramima i stupčastim dijagramima 3

4 NOK 2. ciklus Učenici će: prikupiti, razvrstati i organizirati podatke te ih na prikladan način prikazati tablicom, tablicom frekvencija, piktogramom, stupčastim i kružnim dijagramom te sustavnom listom pročitati i protumačiti podatke prikazane tablicama, slikama, listama te različitim grafovima i dijagramima odrediti i primijeniti aritmetičku sredinu, raspon i medijan niza numeričkih podataka 4

5 NOK 3. ciklus Učenici će: prikupiti, klasificirati i organizirati podatke te ih na prikladan način, pomoću računala i bez njega, prikazati sustavnom listom, tablicom, tablicom frekvencija, linijskim, stupčastim i kružnim dijagramom, grafikonom, brkatom kutijom (box and whiskers dijagram) i grafom pročitati, tumačiti i analizirati podatke prikazane na različite načine odrediti i primijeniti frekvenciju i relativnu frekvenciju za dane podatke te aritmetičku sredinu, medijan, kvartile, mod, raspon i interkvartilni raspon niza numeričkih podataka 5

6 Učenička postignuća na kraju četvrtog odgojno-obrazovnog ciklusa (srednjoškolsko strukovno obrazovanje) Učenici će: J1. prikupiti, klasificirati i organizirati podatke, te ih na prikladan način, pomoću računala i bez njega, prikazati za potrebe statističke analize, J2. pročitati, tumačiti i analizirati podatke prikazane na različite načine, J3. odrediti i primijeniti srednje vrijednosti (aritmetička sredina, medijan, mod) i raspršenost (raspon, interkvartilni raspon) niza numeričkih podataka, J4. rabiti jednostavne računalne programe za statističku obradu podataka. 6

7 Učenička postignuća na kraju četvrtog odgojno-obrazovnog ciklusa (srednjoškolsko gimnazijsko obrazovanje) Učenici će: J1. sustavno prikupiti, klasificirati i organizirati podatke, te ih prikazati i analizirati pomoću srednjih vrijednosti (aritmetička sredina, medijan, mod) i raspršenosti (raspon, interkvartilni raspon, standardna devijacija), J2. procijeniti parametar srednje vrijednosti uz zadani pouzdani interval J3. prepoznati približnu linearnu vezu dviju varijabli, odrediti njezine koeficijente, te ju rabiti pri modeliranju, J4. interpretirati složene dogadaje pomoću skupovnih operacija te izračunati njihovu vjerojatnost, J5. primijeniti normalnu razdiobu. 7

8 Medicinske škole - novi program od razred Učenici će: - prikupiti podatke iz primarnih izvora pomoću upitnika i eksperimenta, bilježeći opažanja, mjerenja i/ili rezultate, te raspraviti je li metoda prikupljanja podataka valjana - prikupiti podatke iz sekundarnih izvora (tzv. sekundarni podatci) - razvstati i organizirati diskretne (npr. krvna grupa, spol, boja očiju) i kontinuirane (npr. visina, tjelesna masa, temperatura) primarne i sekundarne podatke - prikazati podatke na primjeran način pomoću tablice i kružnog dijagrama te stupčastog dijagrama i histograma s pravilno označenim osima, nazivima, skalama te razredima jednake širine - pročitati, protumačiti i donijeti zaključke o primarnim i sekundarnim podatcima prikazanima tablicom, dijagramom (uključujući stupčasti dijagram, višestruki stupčasti dijagram, kružni dijagram) i drugim grafičkim prikazima - odrediti i primijeniti srednje vrijednosti (aritmetička sredina, medijan, mod) niza numeričkih podataka - prikupiti, organizirati, prikazati i protumačiti podatke iz svakodnevnog života, drugih nastavnih predmeta i zdravstvene struke - rabiti džepno računalo i primjenski program za izradu proračunskih tablica za organizaciju i prikazivanje podataka. 8

9 2. razred Učenici će: - radeći timski, isplanirati, organizirati i provesti statističko istraživanje - prikazati podatke pomoću tablice, kružnog i stupčastog dijagrama, histograma i linijskog dijagrama (razlomljenog - diskretni podatci na x-osi, a kontinuirani na y-osi; kontinuirani podatci na obje osi) -pročitati, protumačiti i donijeti zaključke o primarnim i sekundarnim podatcima prikazanim tablicom, dijagramom (uključujući stupčasti dijagram, dvostruki stupčasti dijagram, kružni dijagram, linijski dijagram, percentilnu krivulju) i drugim grafičkim prikazima - odrediti, usporediti i protumačiti srednje vrijednosti (aritmetička sredina, medijan, mod, kvartili, percentili) i mjere raspršenosti (raspon, interkvartilni raspon) niza numeričkih podataka 9

10 - protumačiti utjecaj dodavanja ili uklanjanja jednog ili više podataka na srednje vrijednosti niza numeričkih podataka - usporediti sličnosti i razlike izmedu dva srodna skupa podataka rabeći razne strategije (npr. prikazivanjem podataka pomoću tablica crtica ili višestrukog stupčastog dijagrama; usporedbom srednjih vrijednosti i mjera raspršenosti; opisujući oblik grafičkog prikaza podataka) - prepoznati grafove u kojima se manipulira podatcima (npr. grafove koji prenaglašuju promjenu počinjući na vertikalnoj osi od točke pridružene broju većem od nule) - razlikovati reprezentativni uzorak, slučajni uzorak i populaciju - protumačiti trendove u podatcima - rabiti džepno računalo i primjenski program za izradu proračunskih tablica za organizaciju i prikazivanje podataka. 10

11 Statistički skup ili populacija je skup istovrsnih elemenata. Primjeri: skup svih učenika jednog razrednog odjela, skup svih zaposlenih stanovnika RH na dan Statističko obilježje je ono svojstvo elemenata populacije po kojem se ti elementi razlikuju i nalikuju. Primjeri: spol, stručna sprema, mjesto rodenja, način studiranja, ocjena na ispitu, površina stana Vrijednosti obilježja - stanja koja to obilježje može imati 11

12 Vrste podataka: primarni i sekundarni Klasifikacija obilježja: - kategorijalna obilježja - nominalna i redoslijedna (ordinalna, rangirana) - numerička - diskretna i kontinuirana 12

13 Faze statističke djelatnosti - statističko promatranje (mjerenje, brojenje, ocjenjivanje, opažanje, evidencija, anketiranje) - klasificiranje (grupiranje) - analiza 13

14 Vrste podataka Primjer 1.1. (kategorijsko nominalno obilježje) Prošli tjedan u Zavodu za transfuziju 50 je osoba dobrovoljno dalo krv. Svakom je davatelju odredena krvna grupa i dobiven je ovaj niz podataka A A B 0 B AB B AB AB 0 0 B A A A B 0 0 A A A B B 0 A 0 A A B B 0 tip krvne grupe broja osoba koje imaju taj tip grupe (frekvencija) 0 27 A 11 B 9 AB 3 14

15 Primjer 1.2. (kategorijsko rangirano (redoslijedno) obilježje) Na ispitu znanja iz matematike učenici 1.b razreda postigli su sljedeće rezultate: ocjenu odličan dobilo je 3 učenika, ocjenu vrlo dobar 9 učenika, ocjenu dobar 9 učenika, ocjenu dovoljan 5 učenika, a ocjenu nedovoljan 4 učenika. Prikažimo te podatke u tablici i odredimo frekvenciju pojedine ocjene. Što je obilježje, a što vrijednost obilježja? ocjena broj učenika odličan 3 vrlo dobar 9 dobar 9 dovoljan 5 nedovoljan 4 15

16 Primjer 1.3. (numeričko diskretno obilježje) Bolnički je administrator pregledavajući kartone pacijenata primljenih na bolničko liječenje u rujnu dobio sljedeći niz podataka koji sadrži broj dana provedenih na bolničkom liječenju: broj dana broj pacijenata koji su bolničkog liječenja proveli u bolnici taj broj dana

17 Primjer 1.4. (numeričko kontinuirano obilježje) Učenicima 1.a razreda izmjerena je visina i dobiveni su ovi podatci (iskazani u centimetrima):

18 Razredi Grupiranje u 6 razreda jednake širine. Vrijednosti ima = : 6 = 8.3, broj 8.3 zaokružimo na 9. Širina razreda je 9. visina x učenika (u cm) frekvencija 152 x x x x x x

19 precizne granice razreda visina učenika (u cm) precizne granice frekvencija razreda

20 peteljka-list dijagram ( stem-leaf dijagram ili ST dijagram) Legenda: 15 2=152 cm 20

21 Grafički prikaz pomoću piktograma: Primjer 1.1. tip krvne grupe broja osoba koje imaju taj tip grupe (frekvencija) 0 27 A 11 B 9 AB 3 SLIKA 21

22 Primjer 2.1. Učenici 1a razreda anketirani su o najomiljenijoj vrsti voća. Njihovi odgovori i frekvencije svakog od voća dani su u ovoj tablici: najomiljenija broj učenika kojima vrsta voća je to voće najomiljenije jabuke 6 kruške 2 naranče 4 banane 9 šljive 4 Prikažimo ove podatke grafički. 22

23 Stupci mogu biti polegnuti i vodoravno. 23

24 najomiljenija broj učenika relativna relativna vrsta voća kojima je to voće frekvencija frekvencija (frekvencija) najomiljenije u% jabuke % kruške % naranče % banane % šljive % Stupčasti dijagram relativnih frekvencija Korelacija: proporcionalnost, postotci 24

25 Primjer 2.2. Podatke o dobrovoljnim davateljima krvi iznesenima u Primjeru 1.1 pomoću kružnog dijagrama. tip krvne grupe frekvencija 0 27 A 11 B 9 AB 3 zbroj: : 50 = α : 360 α = α =

26 Korelacija: proporcionalnost, krug, kut 26

27 Histogram - spojeni stupci čija je površina proporcionalna frekvencijama, odnosno relativnim frekvencijama. Primjer 2.3. Ispitujući količinu lijekova koje dnevno uzimaju pacijenti, došlo se do sljedećih podataka o broju lijekova u obliku tableta koje svaki dan uzimaju pacijenti bolničkog odjela: broj tableta broj pacijenata koje se uzimaju svakodnevno koji uzimaju taj broj lijekova a) Izračunajmo relativne frekvencije danih podataka. b) Prikažimo ih grafički. 27

28 broj tableta broj pacijenata (f i ) relativne frekvencije =29.3% =52.4% =14.6% =2.4% =1.2% 82 28

29 broj precizne granice sredina frekvencije tableta razreda razreda

30 30

31 31

32 Primjer 2.4. Prikažimo stupčastim i linijskim dijagramom, te histogramom podatke dane u primjeru 1.4. visina precizne granice frekvencija sredina učenika razreda razreda

33 Za histogram su potrebne i korigirane relativne frekvencije (gustoća). To je kvocijent relativne frekvencije i širine razreda. Dodamo još dva stupca. visina precizne granice frek. sredina rel. korig. učenika razreda razreda frek. rel. frekv

34 34

35 Višestruki stupčasti dijagrami 35

36 Aritmetička sredina, medijan i mod Aritmetička sredina x = x 1 + x x n. n Težinska (vagana, ponderirana) aritmetička sredina x = f 1x 1 + f 2 x f k x k n Zaokružuje se na jedno decimalno mjesto više od onoga kako su dani podaci. Primjer 3.4. Mjereno je vrijeme (u satima) trajanja baterija tipa AA. Dobiveni su podatci grupirani u 7 razreda i dani su u tablici frekvencija. Izračunajmo prosječno vrijeme trajanja baterija. vrijeme trajanja u satima Broj baterija precizne granice razreda (frekvencija)

37 precizne granice broj baterija sredina razreda x i f i razreda (frekvencija) f i x i Ukupno: x = x 1f x n f n n = x =

38 Medijan je broj koji se u nizu podataka poredanih po veličini nalazi u sredini. Primjer 3.5. Odredimo medijan nizova a) 35, 38, 47, 49, 52, 56, 60; b) 35, 38, 47, 49, 52, 56. Rješenje. a) Niz ima 7 brojeva. Sredina niza je četvrti broj. M = 49. b) Niz ima 6 članova i sredina se nalazi izmedu trećeg i četvrtog člana. M = =48. 38

39 Kada imamo neparan broj podataka, tj. kad ih ima 2k 1, tada je medijan jednak k-tom podatku, tj. M = x k. Kada imamo paran broj podataka, tj. kad ih ima 2k, tada je medijan jednak aritmetičkoj sredini k-tog i (k + 1)-ovog podatka, tj. M = x k + x k

40 Mod je jednak podatku koji se javlja najveći broj puta (ali više od jedanput). Primjer 3.6. Odredite mod niza podataka danih peteljka-list dijagramom: Legenda: 2 0 = 20. Broj 42 se u dijagramu pojavljuje 4 puta, a svi ostali brojevi se pojavljuju manje puta. M o = 42. unimodalna, bimodalna, višemodalna razdioba 40

41 Primjer 3.8. Učenici 1.a razreda su na pitanje koliko imaju braće i sestara dali ove odgovore broj braće i sestara broj učenika koji imaju toliki broj braće i sestara (f i ) x = = M o = 0, tj. u 1.a razredu najviše učenika nema ni brata ni sestru. 41

42 Mjere varijabilnosti ili raspršenja - raspon, varijanca i standardna devijacija σ 2 = (x 1 x) 2 +(x 2 x) (x n x) 2 n. σ = (x 1 x) 2 +(x 2 x) (x n x) 2 n. Unutar dvije standardne devijacije oko aritmetičke sredine nalazi se 75% podataka. Barem 88.89% podataka se nalazi unutra 3 standardne devijacije oko aritmetičke sredine. 42

43 Standardna vrijednost ili z-vrijednost podatka x i je broj z 1 definiran kao z i = x i x σ Taj nam broj kazuje za koliko standardnih devijacija je podatak x i udaljen od aritmetičke sredine niza. 43

44 Primjer 4.1 Učenici 1a razreda pisali su test iz hrvatskog jezika i iz matematike. Test iz hrvatskog jezika imao je aritmetičku sredinu 40 i standardnu devijaciju 10, dok je test iz matematike imao aritmetičku sredinu 25 i standardnu devijaciju 5. Marko je na testu iz hrvatskog osvojio 50 bodova, dok je na testu iz matematike osvojio 35 bodova. Na kojem je testu postigao bolji uspjeh? Rješenje. z H = x i x σ = =1, Markov se rezultat iz testa iz hrvatskog nalazi 1 standardnu devijaciju od aritmetičke sredine. z M = x i x = =2, σ 5 Markov se rezultat iz matematike nalazi 2 standardne devijacije od aritmetičke sredine. 44

45 Kvartili i percentili Donji kvartil (u oznaci Q 1 ) je ona vrijednost numeričkog obilježja koja sve podatke dijeli na jednu četvrtinu podataka i oni su jednaki ili manji od donjeg kvartila, i na tri četvrtine podataka, koji su jednaki ili veći od donjeg kvartila. Gornji kvartil (u oznaci Q 3 ) je ona vrijednost numeričkog obilježja koja sve podatke dijeli na tri četvrtine podataka i oni su jednaki ili manji od gornjeg kvartila, i na četvrtinu podataka, koji su jednaki ili veći od gornjeg kvartila. Interkvartilni raspon ili kraće interkvartil (u oznaci IQR) je razlika izmedu gornjeg i donjeg kvartila. 45

46 Primjer 5.1. Odredimo medijan, kvartile i interkvartilni raspon nizova podataka: a) 51, 62, 78, 94, 96, 99, 105 b) 4, 6, 12, 13, 15, 17, 22, 45. a) n =7,M = 94. Donji je kvartil medijan niza 51, 62, 78. Medijan tog podniza je 62, tj. Q 1 = 62. Gornji kvartil je medijan niza onih brojeva koji su veći od medijana, tj. Q 3 = 99. Interkvartilni je raspon jednak IQR =99 62 = 37. b) n =8,M = = 14. Donji kvartil je medijan niza 4,6,12,13, Q 1 = 6+12 = 2 9. Gornji kvartil je medijan niza 15,17,22,45, a to je Q 3 = = Interkvartilni je raspon jednak IQR = =

47 Q 1 = Q 3 = x k+1 ako n nije cijeli i k je cijeli dio broja n 4 4 x k + x k+1 ako je n 4 2 cijeli i k = n 4 x k+1 ako 3n nije cijeli i k je cijeli dio broja 3n 4 4 x k + x k+1 ako je 3n 4 2 cijeli i k = 3n 4 47

48 Dijagram pravokutnika (eng. box-plot diagram, eng. box and whisker diagram, brkata kutija). 51, 62, 78, 94, 96, 99, Q 1 =62,M=94,Q 3 =99,IQR= Q 3 Q 1 = IQR = =55.6, 2 Q 1 3 IQR = =6.5 2 Q IQR = = Granice (6.5, 154.5) - brkovi. 48

49 4,6,12,13,15,17,22,45, Q 1 =9,M=14,Q 3 =19.5, IQR= Q 3 Q 1 =10.5. Granice brkova su Q 1 3 IQR = = i Q IQR = > outlier. 49

50 Percentili P p = x k+1 x k + x k+1 2 ako pn 100 nije cijeli i k je cijeli dio broja pn 100 ako je pn 100 cijeli i k = pn 100 Q 1 = P 25,M= P 50,Q 3 = P 75 Primjer 5.2. Odredimo 40. percentil ovog niza podataka 51, 62, 78, 94, 96, 99, Podataka ima 7. Broj pn = 40 7 =2.8 nije cijeli broj Njegov cijeli dio je 2, a uvećamo li ga za 1 dobivamo P 40 =

51 Primjer 5.4. Promotrimo podatke dane u Primjeru 3.4. i odredimo medijan, kvartile i 15. percentil tih podataka. vrijeme trajanja u satima Broj baterija precizne granice razreda (frekvencija)

52 precizne granice razreda broj baterija kumulativne (frekvencija) relativne frekvencije =2.08% =12.74% = =81.1% =93.92% = 100% 52

53 Kumulativne relativne frekvencije - Baterije 120 kum. rel. frekv. u % trajanje baterija u satima 53

54 T 1 (205.5, 47.96) i T 2 (265.5, 81.1). y y 1 = y 2 y 1 (x x 1 ) x 2 x y = (x 205.5) y = (x 205.5) 60 y = x Za y =50x = =M Za y =75x = 254.5, tj. Q 3 =

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

4. MJERE DISPERZIJE. Josipa Perkov, prof., pred. 1

4. MJERE DISPERZIJE. Josipa Perkov, prof., pred. 1 4. MJERE DISPERZIJE Josipa Perkov, prof., pred. 1 Kod mnogih mjerenja se može opaziti da se rezultati grupiraju i skupljaju oko jedne srednje vrijednosti Srednja vrijednost dobro reprezentira rezultate

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

UVOD DEFINICIJA: Statistika planiranje i provođenje pokusa skupljanje podataka interpretacija

UVOD DEFINICIJA: Statistika planiranje i provođenje pokusa skupljanje podataka interpretacija OSNOVE STATISTIKE UVOD DEFINICIJA: Statistika je grana matematike koja obuhvaća sakupljanje, analizu, interpretaciju i prezentaciju podataka te izradu predviđanja koja se temelje na tim podacima. Smatra

Διαβάστε περισσότερα

PISMENI ISPIT IZ STATISTIKE

PISMENI ISPIT IZ STATISTIKE 1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetička sredina Medijan Mod. Harmonijska sredina

Aritmetička sredina Medijan Mod. Harmonijska sredina MJERE CENTRALNE TENDENCIJE Aritmetička sredina Medijan Mod Geometrijska sredina Harmonijska sredina MJERA CENTRALNE TENDENCIJE ili središnja vrijednost jest brojčana vrijednost koja reprezentira skupinu

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

3 Populacija i uzorak

3 Populacija i uzorak 3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u matematičku statistiku

Uvod u matematičku statistiku Uvod u matematičku statistiku Pojam matematičke statistike. Pojednostavljeno rečeno, matematička statistika je znanstvena disciplina koja iz poznavanja određenih svojstava uzorka donosi zaključke o svojstvima

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

STATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA

STATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA Fakultet za menadžment u turizmu i ugotiteljtvu, Opatija Sveučilišni preddiplomki tudij Polovna ekonomija u turizmu i ugotiteljtvu Noitelj kolegija: Prof. dr. c. Suzana Marković Aitentica: Jelena Komšić

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1

(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1 χ 2 test (Hi-kvadrat test) Jedan od prvih statističkih testova je χ 2 -test. Predložio ga je K. Pearson 900. godine, pa je poznat i pod nazivom Pearsonov test. χ 2 test je neparametarski test. Pomoću χ

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Vjerojatnost i statistika

Vjerojatnost i statistika Outline Vjerojatnost i statistika dr. sc. Martin Lazar Sveučilište u Dubrovniku Preddiplomski studij primijenjenog/poslovnog računarstva 2011/2012 Organizacija kolegija Predavanja: dr. sc. Martin Lazar,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Statistika. 1. Uvodna razmatranja o statistici

Statistika. 1. Uvodna razmatranja o statistici Statistika 1. Uvodna razmatranja o statistici ZAŠTO STATISTIKA? Statistički način mišljenja jednog će dana za svakodnevni život građana postati jednako neophodan kao znanje čitanja i pisanja. H. G. Wells(1866-1946).

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

Dobna starost = godina

Dobna starost = godina STATISTIKA prof.dr.sc. Jasna Horvat Josipa Mijoč, univ.spec.oec. STATISTIČKI NIZ I NJEGOVA ANALIZA Statistike imaju samo jednu vrlinu. Ne slažu se. Imre Forbath Postoje tri vrste laži: laž, besramna laž

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni pojmovi iz kombinatorike, vjerojatnosti i statistike I. Kombinatorika

Osnovni pojmovi iz kombinatorike, vjerojatnosti i statistike I. Kombinatorika Osnovni pojmovi iz kombinatorike, vjerojatnosti i statistike I. Kombinatorika Teorem o uzastopnom prebrojavanju (TUP) Ako x 1 možemo birati na n 1 načina, ako x 2 možemo birati na n 2 načina,..... ako

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Slikovni prikaz podataka

Slikovni prikaz podataka 2 broj studenata 6 7 8 Slikovni prikaz podataka Ponovimo jere središnjice Nora Nikolac Klinički zavod za kemiju KB Sestre milosrdnice jere rasapa Normalnost razdiobe Farmaceutsko-biokemijski fakultet Sveučilišta

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele: Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n

Διαβάστε περισσότερα

STATISTIKA I OSNOVE FIZIKALNIH MJERENJA

STATISTIKA I OSNOVE FIZIKALNIH MJERENJA STATISTIKA I OSNOVE FIZIKALNIH MJERENJA ŽELJKO SKOKO PREDAVANJA: ČETVRTAK, 12-14 h, F25 VJEŽBE: ČETVRTAK, 14-15 h, F25 MIRKO BAĆANI KONZULTACIJE: PETAK, 11-12.30 h ili prema dogovoru e-mail: zskoko@phy.hr

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa

Slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa Slučajne varijable Statistički podaci su distribuirani po odredenoj zakonitosti. Za matematičko (apstraktno) opisivanje te zakonitosti potrebno je definirati slučajnu varijablu kojoj pripada odredena razdioba

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan

Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

(BIO)STATISTIKA. skripta. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija. doc. dr. sc. Iva Franjić 2012.

(BIO)STATISTIKA. skripta. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija. doc. dr. sc. Iva Franjić 2012. (BIO)STATISTIKA skripta studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija doc. dr. sc. Iva Franjić 2012. 2 Sadržaj 1 DESKRIPTIVNA STATISTIKA 5 1.1 Grafički prikaz podataka.................. 6 1.2 Srednje

Διαβάστε περισσότερα

10. domaća zadaća. 3. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od odredite:

10. domaća zadaća. 3. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od odredite: Napomena: U svim zadacima treba koristiti tablicu standardne normalne razdiobe. 1. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od 10 5 odredite: a) P(X 1.16), b) P(X 0.59);

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 1 Slučajna varijabla Slučajna varijabla je funkcija X koja elementarnim dogadajima pridružuje

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj MATEMATIČKA STATISTIKA DESKRIPTIVNA STATISTIKA Ponovimo... 15

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj MATEMATIČKA STATISTIKA DESKRIPTIVNA STATISTIKA Ponovimo... 15 Sadrˇzaj Sadrˇzaj 1 11 MATEMATIČKA STATISTIKA 3 11.1 DESKRIPTIVNA STATISTIKA..................... 5 11. Poovimo................................. 15 1 Radi materijal Poglavlje 11 MATEMATIČKA STATISTIKA

Διαβάστε περισσότερα