Ο Νικόλαος Ραβδάς και το βασιλικὸν χρυσουργίίον Προβλήµατα αριθµητικά και ζητήµατα κοπής νοµισµάτων στην υστεροβυζαντινή περίοδο

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ο Νικόλαος Ραβδάς και το βασιλικὸν χρυσουργίίον Προβλήµατα αριθµητικά και ζητήµατα κοπής νοµισµάτων στην υστεροβυζαντινή περίοδο"

Transcript

1 Ο Νικόλαος Ραβδάς και το βασιλικὸν χρυσουργίίον Προβλήµατα αριθµητικά και ζητήµατα κοπής νοµισµάτων στην υστεροβυζαντινή περίοδο Γιάάννης Στόόγιας Αρχαιολόγος-νοµισµατολόγος Κοινωφελές Ίδρυµα Κοινωνικού & Πολιτιστικού Έργου Σε µια επιστολή 1 που χρονολογείται µε ασφάλεια στο έτος και απευθύνει ο Νικόλαος Ραβδάς 3 προς τον Θεόδωρο Τζαβούχη 4 από τις Κλαζοµενές τίθεται µεταξύ άλλων ένα πρόβληµα, που σηµειώνεται ότι απασχολούσε το βασιλικὸν χρυσουργίίον 5 και το οποίο είχε ιδιαίτερη απήχηση, ενώ η επίλυσή του δεν ήταν γνωστή στους πολλούς 6 εικ. 1. Κάποιος είχε 50 ἐξάάγια χρυσού, 15 κοκκίίων (ή κερατίων) το καθένα, και έναν απροσδιόριστο αριθµό από ἐξάάγια των 21 κερατίων, δηλ. υπέρπυρα κανονικού τίτλου, και * Ευχαριστίες για επιµέρους χρήσιµες παρατηρήσεις οφείλονται στη Βάσω Πέννα (Επικ. Καθ. Πανεπιστηµίου Πελοποννήσου). Είµαι επίσης υπόχρεως κατά περίπτωση για διευκολύνσεις στον Γεράσιµο Μέριανο (ερευνητή, ΙΒΕ/ΕΙΕ), στον Χρύσανθο Βαλασιάδη (νοµισµατολόγο) και στον Γιώργο Μακρίδη (µαθηµατικό), καθώς και στην Κωνσταντίνα Λέντζιου για την αρωγή στη µετάφραση ενός άρθρου από τα ιταλικά. 1 P. Tannery, Notices sur les deux lettres arithmétiques de Nicolas Rhabdas, στο Mémoires scientifiques (εκδ. J.-L. Heiberg), τ. IV: Sciences exactes chez les Byzantins, , Toulouse - Paris 1920 [στο εξής Tannery 1920], Βλ. Tannery 1920, 72, βάσει του υπολογισµού του Πάσχα (8 Απριλίου) του τρέχοντος έτους (από κτίσεως κόσµου 6849) και των συµφραζοµένων, η επιστολή προς τον Τζαβούχη πρέπει να γράφηκε µεταξύ 7 και 11 Φεβρουαρίου του Για τον Νικόλαο Αρτάβασδο τον Ραβδά βλ. ενδεικτικά The Oxford Dictionary of Byzantium, γεν. επιµ. A. P. Kazhdan, New York - Oxford 1991 [στο εξής ODB], τ. 3, Prosopographisches Lexikon der Palaiologenzeit, CD Rom-Version, Wien 2001 [στο εξής PLP], αρ Σ. Θεοδοσίου Μ. Δανέζης, Στα χρόνια του Βυζαντίου. Οι θετικοί επιστήµονες, ιατροί, χρονολόγοι και αστρονόµοι, Αθήνα 2010 [στο εξής Θεοδοσίου Δανέζης 2010], PLP, αρ Πρόκειται για το αυτοκρατορικό νοµισµατοκοπείο, για το οποίο χρησιµοποιούνται επίσης όροι όπως χρυσεψητεῖον, χαραγήή, βασιλικοὶ θησαυρόότυποι κ.ά. βλ. K.-P. Matschke, Münzstätten, Münzer und Münzprägung im späten Byzanz, Revue Numismatique 152 (1997), , Tannery 1920, 154: «ζήήτησις λόόγου ἐνεργουµμέένη παρὰ τῷ βασιλικῷ χρυσουργίίῳ πάάνυ ἀζιοζήήτητος καὶ τοῖς πολλοῖς οὐκ εὔγνωστος ἐκφεύύγει δὲ πάάλιν τοὺς πολλοὺς διὰ τὸ ποικίίλον αὐτῆς». 1

2 θέλησε να φτιάξει κράµα 18 κοκκίίων τι ποσό έπρεπε να πάρει από το δεύτερο σύνολο για να παραχθούν 50 νοµίσµατα των 18 κερατίων; 7 Ο Νικόλαος Αρτάβασδος ο Ραβδάς 8 καταγόταν από τη Σµύρνη αυτή του η επιστολή και µία άλλη παρόµοια αποστέλλονται από την Κωνσταντινούπολη. Στη δεύτερη επιστολή 9, που απευθύνεται στον ἐπὶ τῶν δεήήσεων Γεώργιο Χατζύκη 10, ο αποστολέας αυτοχαρακτηρίζεται «ἀριθµμητικὸς καὶ γεωµμέέτρης» 11 και πραγµατεύεται την ψηφοφορικὴν ἐπιστήήµμην, δηλ. την επιστήµη των αριθµών και των υπολογισµών. Στην επιστολή προς τον Χατζύκη περιλαµβάνεται µια µικρή µελέτη περί δακτυλοµετρίας (Ἔκφρασις τοῦ δακτυλικοῦ µμέέτρου) 12, ενώ αναλύονται οι τέσσερις πράξεις καθώς και άλλα θέµατα µαθηµατικών 13. Στην εκτενέστερη και περισσότερο ενδιαφέρουσα επιστολή του 1341 προς τον Τζαβούχη ο Ραβδάς ασχολείται µε µια σειρά από µαθηµατικά ζητήµατα 14 αφιερώνοντας ένα µεγάλο τµήµα στην µμέέθοδον πολιτικῶν λογαριασµμῶν, δηλ. στην µέθοδο των τριών, την απλή, ευθεία και αντίστροφη, και τη σύνθετη 15. Είναι ενδιαφέρον ότι ο Ραβδάς στην πραγµάτευσή του ως προς την επίλυση προβληµάτων αυτού του είδους χρησιµοποιεί τον όρο λόόγοι ακολουθώντας την παράδοση των Ελλήνων µαθηµατικών 16. Στη συνέχεια, αφού κλείσει την επισκόπησή του για τους πολιτικοὺς λογαριασµμούύς, ο συγγραφέας θέτει το πρόβληµα που αναφέρθηκε στην αρχή και το οποίο ανήκει στην κατηγορία των προβληµάτων µε κράµατα. Κατόπιν προχωρεί σε ένα απάνθισµα προβληµάτων όπου γίνεται αναφορά σε «ὑψηλοτέέρων καὶ θαυµμασιωτέέρων προβληµμάάτων µμεθόόδους» Tannery 1920, Βλ. επίσης M. F. Hendy, Studies in the Byzantine Monetary Economy c , Cambridge 1985 [στο εξής Hendy 1985], Cécile Morrisson J.-N. Barrandon J. Poirier, L or monnayé. I. Purification et altérations. De Rome à Byzance, Cahiers Ernest Babelon, 2, Valbonne 1985, , 186, σηµ Το παρωνύµιο Ραβδ ς ίσως προέκυψε από την ενασχόλησή του, εκτός από τα µαθηµατικά, και µε την αστρονοµία. Πρβλ. την αναφορά σε ῥάάβδους καὶ παρηλίίους στην Ἠθοποιΐα ὡς ἀπὸ τινος µμαθηµματικοῦ µμετὰ τὴν τῆς Κωνσταντινουπόόλεως ἄλωσιν του Νικολάου Μεσαρίτου (στ ) βλ. σχετικά B. Flusin, Nicolas Mésaritès. Éthopée d un astrologue qui ne put devenir patriarche, στο Μélanges Gilbert Dagron. Travaux et Mémoires 14 (2002), Tannery 1920, PLP, αρ Για τον Γεώργιο Χατζύκη (ή Χατζίκη) υπάρχει η πληροφορία ότι ήταν ἐπὶ τῶν δεήήσεων στην Κωνσταντινούπολη το 1321 (Reg. 4, no. 2450). Δεν είναι σαφές εάν η επιστολή του Ραβδά προς αυτόν είναι προγενέστερη ή σχεδόν σύγχρονη (βλ. Tannery 1920, 72) µε εκείνη που έγραψε προς τον Θ. Τζαβούχη. 11 Με τον ίδιο τρόπο απευθύνεται και ο Μανουήλ Μοσχόπουλος (PLP, αρ ) προς τον Ραβδά Tannery 1920, 2, Tannery 1920, 9, 74, Σύστηµα µέτρησης µε τα δάκτυλα των αριθµών έως το Περὶ τετραγωνικῆς πλευρᾶς, περὶ τῆς τῶν ἀριθµμῶν ἀναλογίίας καὶ τάάξεως κ.ά. Για µια άλλη οπτική στη µαθηµατική παράδοση που διασώζει ο Ραβδάς, διαφορετική από αυτή του Tannery, βλ. A. Schärlig, Compter avec des cailloux. Le calcul élémentaire sur l abaque chez les anciens Grecs, Lausanne 2001, Π.χ. Περὶ εὐρέέσεως τῆς τετραγωνικῆς πλευρᾶς τῶν µμὴ ρητῶν τετραγώώνων (Tannery 1920, ). 15 Tannery 1920, 13, 140 κ.ε. 16 Tannery 1920, 13, Tannery 1920,

3 Επιπλέον, είναι γνωστό ότι ο Νικόλαος Ραβδάς έκανε προσθήκες στην Ψηφοφορίίαν κατ Ἰνδούύς που είχε συγγράψει ο Μάξιµος Πλανούδης 18. Από τα γραπτά του Ραβδά είναι προφανές ότι ασχολήθηκε ακόµη µε πίνακες πολλαπλασιασµού, µε ρίζες 19 και πιθανότατα µε «µαγικά» τετράγωνα 20. Ας αναφερθεί προς τούτοις ότι για το ζήτηµα της γραφής µεγάλων αριθµών, που στο αλφαβητικό σύστηµα αρίθµησης παρουσιάζει δυσκολίες, πρότεινε µια ιδιότυπη µέθοδο συµβολισµού των διαδοχικών δυνάµεων του Με ένα ζευγάρι τελείες πάνω από τα γνωστά ελληνικά ψηφία συµβολιζόταν η µυριάδα, µε δύο επάλληλα ζεύγη από τελείες δηλωνόταν η διπλή µυριάδα, µε τρία ζεύγη η τριπλή µυριάδα κ.ο.κ. 21 Επιστρέφοντας στο πρόβληµα του Ραβδά µε το κράµα 21 και 15 κοκκίίων, µπορούµε πλέον να δούµε και τη λύση που δίδει εικ. 2. Παίρνει τη διαφορά από το ζητούµενο των 18 κερατίων προς τα 15 κόόκκια του γνωστού αριθµού νοµισµάτων, που είναι 3. Πολλαπλασιάζει το 3 µε το 50 (ο αριθµός νοµισµάτων των 15 κερατίων) και διαιρεί το γινόµενο µε το 21 (τα κεράτια του άγνωστου αριθµού υπερπύρων). 22 Το αποτέλεσµα είναι 7 1/7, εποµένως προσµειγνύοντας 7 1/7 από τα 18 Tannery 1920, 6, Σχετικά µε τη διάδοση των ινδοαραβικών ψηφίων στο Βυζάντιο βλ. K. Vogel, Εγγράµµατος λογισµός και ινδικά ψηφία στο Βυζάντιο, Νεύσις 5 (1996), [µτφρ. Κ. Ν. Σιδηρόπουλος άρθρο δηµοσιευθέν αρχικώς στα Akten des XI. Internationalen Byzantinistenkongresses 1958, München 1960, ]. Για τη συµβολή του Μ. Πλανούδη στη διάδοση των ινδοαραβικών ψηφίων (και του µηδενός) στο Βυζάντιο βλ. Θεοδοσίου Δανέζης 2010, Μαρία Δ. Χάλκου, «Η ελληνική µαθηµατική εγκυκλοπαίδεια των Βυζαντινών», Αφιέρωµα στη µνήµη της Έλλης Πελεκανίδου. Βυζαντινά 27 (2007) [στο εξής Χάλκου 2007], 102, Με παρότρυνση του Ραβδά έγραψε µια πραγµατεία για «µαγικά» τετράγωνα ο Μανουήλ Μοσχόπουλος Tannery 1920, 32 κ.ε. Θεοδοσίου Δανέζης 2010, Γ. Η. Μπαραλής, Η γραφή των αριθµών στο Ιωνικό αλφαβητικό σύστηµα αρίθµησης και η χρήση τους σε κείµενα αρχαίων Ελλήνων µαθηµατικών, Επιστηµονικό Βήµα 13 (Ιούνιος 2010) [στο εξής Μπαραλής 2010], = 150, 150/21= 7 1/7. 3

4 «καλά» χρυσά νοµίσµατα µε τα υπόλοιπα 50 χαµηλότερου τίτλου, µπορούν να κατασκευαστούν 50 νοµίσµατα των 18 κερατίων. Στη µέθοδο αυτή της εποχής του Ραβδά µπορεί να αντιπαραβληθεί και ένας νεώτερος τρόπος επίλυσης του συγκεκριµένου προβλήµατος. 23 Είναι αξιοπρόσεκτο ότι από την εν λόγω περίοδο σώζονται και άλλες συναγωγές υπολογισµών που περιλαµβάνουν ανάλογα προβλήµατα κραµάτων µε εφαρµογή σε τρέχοντα νοµισµατικά ζητήµατα. Από έναν Παρισινό κώδικα που χρονολογείται µάλλον στον πρώιµο 14ο αι. 24 µπορεί να αναφερθεί ένα λίγο διαφορετικό παράδειγµα εικ. 3. Εδώ τα κουκίία του ενός συνόλου υπερπύρων είναι 21 ½, ενώ του άλλου συνόλου νοµισµάτων είναι 13 και ως ζητούµενο πρέπει να προκύψει κράµα 15 ½ κερατίων 25. Χωρίς ιδιαίτερη αναφορά στις λεπτοµέρειες, στον τρόπο επίλυσης 26 και στην επαλήθευση, 27 αυτές οι τρεις βαθµίδες διαφορετικής περιεκτικότητας σε ευγενές µέταλλο χρήζουν περαιτέρω σχολιασµού στη συνέχεια. Ο Βιενναίος Ελληνικός φιλολογικός κώδικας 65 του 15ου αι. περιέχει δύο µαθηµατικά έργα. Η συγγραφή Ανωνύµου των φύλλων χρονολογείται γύρω στο 1436 και µπορεί να αποτελούσε διδακτέα ύλη για µαθητές 28. Σε αυτήν την «Ελληνική Βιενναία Μαθηµατική Πραγµατεία», όπως είναι γνωστή, υπάρχουν µεταξύ άλλων προβλήµατα x= 18.50, 21x= , 21x= 3.50, 7x= 50, x= 50/7= 7 1/7. 24 Aνώνυµος του Cod. Par. Suppl. Gr. 387 βλ. K. Vogel, Ein byzantinisches Rechenbuch des frühen 14. Jahrhunderts, Wien 1968 [στο εξής Vogel 1968]. 25 Vogel 1968, 20-21, αρ ½ - 15½ = 6, 15½ - 13 = 2½, 100.6= 600, 600/2.5= ½.100= 2150, = 3120, = 5270, 5270/15.5= 340, = Μαρία Δ. Χάλκου, Το µαθηµατικό περιεχόµενο του Codex Vindobonensis Phil. Graecus 65 (φφ ). Εισαγωγή, έκδοση και σχόλια, Θεσσαλονίκη 2006 [στο εξής Χάλκου 2006], 17, Χάλκου 2007, 91. 4

5 κραµάτων, όπως ενδεικτικά το υπ. αρ. 110, 29 στο οποίο ζητείται η πρόσµειξη χαλκού (ἐπιβολὴ χαλκώώµματος) σε καθαρό ασήµι, που οι Λατίνοι ονόµαζαν φίίνον 30 εικ. 4. Είναι γνωστό ότι την περίοδο αυτή στο Βυζάντιο έχουν παύσει να κόβονται χρυσά νοµίσµατα, ωστόσο µάλλον δεν είναι αξιοπερίεργο ότι στο επόµενο πρόβληµα, το υπ. αρ. 111, 31 τίθεται ως ανάλογο ζητούµενο η ἐπιβολὴ ασηµιού σε χρυσάφι 24 καράάτων (τέέλειον µμάάλαγµμαν) ώστε να γίνει χρυσός 22 καράάτων 32 εικ. 5. Τα φύλλα 126v-140r του Cod. Vindob. Phil. Gr. 65 αποτελούν έργο άλλου Ανωνύµου, που ανήκει πιθανότατα στα έτη περ και εστιάζει κατεξοχήν σε πρακτικά ζητήµατα εµπορίου και συναλλαγών Χάλκου 2006, 250, κεφ. ρι, Χάλκου 2006, 24, 250. O υπολογισµός που γίνεται είναι ο εξής: 30.12= 360, 360/9= 40, 40-30= Χάλκου 2006, , κεφ. ρια. 32 Η επίλυση έχει ως εξής: = 2400, 2400/22= 109 1/11, 109 1/11-100= 9 1/ H. Hunger K. Vogel, Ein byzantinisches Rechenbuch des 15. Jahrhunderts, Wien 1963 Χάλκου 2006, 17, 18, 20. 5

6 Η εµφάνιση στο Βυζάντιο, πάντως, τέτοιων µαθηµατικών πονηµάτων µε συγκεκριµένες εφαρµογές επηρεάστηκε µάλλον από την έκδοση αντίστοιχων δυτικών συγγραµµάτων, τηρουµένων των αναλογιών, αρχής γενοµένης από το κοµβικό έργο του Leonardo Pisano Fibonacci που εισήγαγε τους ινδοαραβικούς αριθµούς στην Ευρώπη (Liber abaci, 1202). Από τα τέλη του 13ου αι. είχαν αρχίσει να εµφανίζονται στη Δύση µαθηµατικές πραγµατείες, ενώ την ίδια εποχή και λίγο αργότερα κάνουν την εµφάνισή τους πρακτικά εγχειρίδια για εµπόρους (Libri di mercatura) 34. Οι αναφορές των µαθηµατικών προβληµάτων της εποχής σε νοµίσµατα διαφορετικού τίτλου 35 υποδηλώνουν τις ανάγκες των ανθρώπων να χρησιµοποιούν κέρµατα µε περιεκτική (intrinsic) ή παραστατική (nominal) αξία που εν γένει παρουσίαζε ποικίλες αποκλίσεις. Θεµέλιο του υστεροβυζαντινού νοµισµατικού συστήµατος έως και τους χρόνους του Ραβδά αποτελούσε το ὑπέέρπυρον, ένα χρυσό νόµισµα 20 ½ κερατίων που είχε εισαχθεί µε τη νοµισµατική µεταρρύθµιση του Αλεξίου Α Κοµνηνού το , βάζοντας τυπικό τέλος στη µακραίωνη ιστορία του βυζαντινού σολίδου των 24 κερατίων. Δύο βασικές υποδιαιρέσεις του συστήµατος ήταν το ἄσπρον τραχὺ από ήλεκτρο (κράµα χρυσού-αργύρου) και το τραχὺ από κράµα χαλκού-αργύρου. Στους δύο ταραγµένους αιώνες που ακολούθησαν η απαξίωση των νοµισµάτων κλόνισε εκ βάθρων τη βυζαντινή νοµισµατοκοπία. Στις αρχές του 14ου αι. η κατάσταση των νοµισµατικών πραγµάτων έχει διαµορφωθεί µε τον τρόπο που εικονίζει ο πίνακας εικ. 6. Παράλληλα, η σταδιακή υποβάθµιση του ευγενούς µετάλλου του υπερπύρου αποτυπώνεται τόσο από την ίδια την παρουσία του και την αξιοπιστία του στις αγορές όσο και στις γραπτές πηγές. 34 Bλ. Lucia Travaini, Monete, mercanti e matematica, Roma 2003 [στο εξής Travaini 2003], 86, 87, Τίτλος (γαλλ. titre) του νοµίσµατος ονοµάζεται η αναλογία του χρησιµοποιούµενου κράµατος, ιδίως όσον αφορά στην περιεκτικότητά του σε πολύτιµο µέταλλο. 36 Ph. Grierson, Byzantine Coins, London - Berkeley - Los Angeles 1982,

7 Μια πρώιµη µαρτυρία που ανάγεται περί το 1290 ανιχνεύεται σε ένα δυτικό µαθηµατικό σύγγραµµα που φυλάσσεται στο Columbia University της Νέας Υόρκης 37, όπου µεταξύ άλλων γίνεται µνεία σε perperi boctazati των 17 καρατίων. 38 Πολύ διαφωτιστικές είναι δύο µαρτυρίες του πρώιµου 14ου αι., τόσο αυτή του Γεωργίου Παχυµέρη όσο και εκείνη του Φλωρεντινού Francesco Balducci Pegolotti. O Παχυµέρης γράφει γύρω στα και σηµειώνει χαρακτηριστικά ότι ο Ανδρόνικος Β Παλαιολόγος «τὸ νόόµμισµμα διὰ τὴν χρείίαν ἐκιβδηλεύύετο». Αναφέρεται ότι πρώτα ο Ιωάννης Γ Βατάτζης είχε προσαρµόσει την αξία του καθαρού χρυσού των νοµισµάτων στα 16 κεράτια 39 στη συνέχεια ο Μιχαήλ Η Παλαιολόγος, µετά την ανακατάληψη της Πόλεως το 1261, εισήγαγε έναν νέο νοµισµατικό τύπο, κόβοντας ταυτόχρονα λόγω οικονοµικής στενότητας χρυσά νοµίσµατα µειωµένης αξίας κατά ένα καράτι (παρὰ κεράάτιον). Ο Ανδρόνικος Β, όταν τον διαδέχθηκε, µε τη σειρά του κατέβασε αρχικά τον τίτλο από τα 15 στα 14 κεράτια, για να φθάσει γύρω στο 1308 η περιεκτικότητα του υπερπύρου τα 12 κεράτια, δηλ. το ήµισυ της αρχικής αξίας του βυζαντινού χρυσού νοµίσµατος 40. Επικυρωτική εν πολλοίς στα παραπάνω έρχεται η λίγο µεταγενέστερη µαρτυρία του Balducci Pegolotti 41 (µάλλον γύρω στα ), που περιγράφει αναλυτικά τα διαφορετικού τίτλου υπέρπυρα που κυκλοφορούσαν στον καιρό του 43 εικ Κώδικας X511 AL 3. Βλ. Travaini 2003, 86, 87 κ.ε. Hendy 1985, Travaini 2003, 95, 289. Κατά πάσα πιθανότητα η ονοµασία συνδέεται µε υπέρπυρα του Ιωάννου Γ Βατάτζη στο κείµενο γίνεται επίσης αναφορά και σε perperi µικρότερου τίτλου (chomunali 16 ½ καρατίων και palgliolati 15 καρατίων). 39 Γεώργιος Παχυµέρης, έκδ. Βόννης 1835, τ. ΙΙ, : «τὸ δίίµμοιρον τοῦ ταλάάντου τῶν νοµμισµμάάτων χρυσὸς ἦν ἄπεφθος», δηλ. τα 2/3 των 24 κερατίων. 40 Γεώργιος Παχυµέρης, έκδ. Βόννης 1835, τ. ΙΙ, Francesco Balducci Pegolotti, Libro di divisamenti di paesi e di misuri di mercatanzie e daltre cose bisognevoli di sapere a mercatanti [γνωστό ως Pratica della mercatura ], επιµ. A. Evans, Cambridge, MA 1936, Travaini 2003, 86, Hendy 1985, 527, πίν. 23 Travaini 2003, 124 κ.ε. βλ. επίσης Angeliki E. Laiou Cécile Morrisson, The Byzantine Economy, Cambridge 2007, 217, 220, εικ. 2. 7

8 Έτσι όπως διαµορφώνεται ανάγλυφα η πτωτική πορεία των υπερπύρων γίνεται µάλλον εύλογη η ενασχόληση λίγο µεταγενέστερων κειµένων µε νοµίσµατα διαφορετικής αξίας και προβλήµατα κραµάτων. Μάλιστα στον Παρισινό κώδικα του πρώιµου 14ου αι. που προαναφέρθηκε απαντά στα προβλήµατα όλη η γκάµα των κερατίων από τα 11 έως τα 18, ενώ ως χρυσὸς ἀργὸς υπολογίζεται τόσο αυτός των 24 καρατίων όσο και αυτός των 21 ½. 44 Ας σηµειωθεί ωστόσο ότι ως ἀργὸς χρυσὸς θα πρέπει να θεωρηθεί ο ακατέργαστος, καθαρός και µαλακός 45 και όχι ο «λευκός» 46. Επιπροσθέτως, η προσπάθεια των αρχών να ξεχωρίζουν τις διάφορες εκδόσεις επιβεβαιώνεται µέσω της νοµισµατικής έρευνας µε την αναγνώριση «µυστικών» συµβόλων πάνω στα νοµίσµατα καθεαυτά, τα οποία προφανώς χρησιµοποιούνταν ως διακριτικά 47. Μελέτες προς την κατεύθυνση αυτή, όπως εκείνη της δηµοσίευσης από τον Oberländer-Târnoveanu ενός «θησαυρού» µε ικανό αριθµό υπερπύρων του Βατάτζη 48 αποκαλύπτουν µια πολύ ενδιαφέρουσα εικόνα για τη διαβάθµιση των κοπών. Στους πρώτους δύο πίνακες αναλύεται η σύσταση των υπερπύρων του Ιωάννου Γ σε δύο φάσεις: κατά την πρώτη τα υπέρπυρα προσεγγίζουν τα 18 κεράτια, ενώ κατά τη δεύτερη κυµαίνονται µεταξύ 16 1/3 και 16 2/3 49. Ακολούθως, στην 3η φάση του Βατάτζη ο τίτλος πέφτει στα 16 κεράτια 50 εικ Vogel 1968, Ανάλογοι όροι: χρυσὸς ἄπεφθος, τέέλειον µμάάλαγµμα. Υπό αυτό το πρίσµα της ερµηνείας της λέξης ἀργόός, τηρουµένων των αναλογιών, πρβλ. τον όρο ἀϝεργὸν (ακατέργαστο) για ἀργύύριον ή χρυσίίον και την αναφορά του Παυσανίου για ἀργὸν ἄργυρον καὶ χρυσὸν (Λακωνικά, 12.3) Χ. Β. Κριτζάς, Οβολοί Αργολικοί, στο Κερµάτια Φιλίας. Τιµητικός τόµος για τον Ιωάννη Τουράτσογλου, Αθήνα 2009, τ. Α, σ. 13, σηµ Vogel 1968, 162. Πρβλ. Ηρόδοτος, 1.50, για τη σαφή διαφοροποίηση του ἀπέέφθου και του λευκοῦ χρυσού. 47 Bλ. M. F. Hendy, Catalogue of the Byzantine Coins in the Dumbarton Oaks Collection and in the Whittemore Collection. Vol. 4. Part 1: Alexius I to Alexius V ( ), Washington, D.C [στο εξής DOC 4.1], E. Oberländer-Târnoveanu, Les hyperpères de type Jean III Vatatzès classification, chronologie et évolution du titre (à la lumière du trésor d Uzun Baïr, dép. de Tulcea), στο Istro-Pontica. Muzeul Tulcean la a 50-a aniversare Omagiu lui Simion Gavrilă, Tulcea 2000 [στο εξής Oberländer-Târnoveanu 2000], Το «εύρηµα» Uzun Baïr/ (Tulcea, Δοβρουτσά, Ρουµανία) περιείχε 174 νοµίσµατα Ιωάννου Γ Βατάτζη ή αποµιµήσεις του τύπου αυτού (Oberländer-Târnoveanu 2000, 501, ). 49 Oberländer-Târnoveanu 2000, Oberländer-Târnoveanu 2000,

9 Όσον αφορά στις λατινικές αποµιµήσεις 51 του «θησαυρού» πολλά από τα νοµίσµατα αυτά κυµαίνονται γύρω στα 16 καράτια 52 εικ. 9. Σε σχέση µε το ζήτηµα αυτό, και όχι µόνον, θα πρέπει να εξεταστεί πιο επισταµένα η τυχόν ανάµειξη ιδιωτών για κατά περίπτωση κοπές στη moneta publica (ή και στη moneta sacra ίσως;) της Κωνσταντινουπόλεως, ιδιαιτέρως δε ο καθοριστικός παράγοντας των Λατίνων και δη των Ενετών Για τις λατινικές αποµιµήσεις (perperi latini εν γένει στον Balducci Pegolotti) βλ. ενδεικτικά Βασιλική Πέννα, Βυζαντινό νόµισµα και λατινικές αποµιµήσεις, στο Τεχνογνωσία στη λατινοκρατούµενη Ελλάδα. Hµερίδα / 8 Φεβρουαρίου 1997, Αθήνα 2000 [στο εξής Πέννα 2000], Oberländer-Târnoveanu 2000, Hendy 1985, Πέννα 2000, (όπου γίνεται ιδιαίτερη αναφορά στον ρόλο των Βενετών). Σε κάθε περίπτωση η µαρτυρία του Ραβδά σηµειώνεται σε ένα οριακό a posteriori χρονικό σηµείο, καθώς λίγα έτη αργότερα η κοπή υπερπύρων θα παύσει ( ) και το υπέρπυρον θα αποτελέσει πλέον λογιστική µονάδα ή/και αργυρό νόµισµα βλ. Cécile Morrisson, Το βυζαντινό νόµισµα: Παραγωγή και κυκλοφορία, στο 9

10 Στο πλαίσιο που µόλις εξετάσαµε αναφαίνεται ένα ακόµη ζήτηµα που επηρεάζει εµµέσως πλην σαφώς τη νοµισµατική παραγωγή, αυτό της ιδιότυπης τεχνικής κοπής των περισσότερων νοµισµάτων της περιόδου. Καταρχάς, από καιρό έχει διευκρινιστεί στην έρευνα ότι η ονοµασία «σκυφωτά» αποτελεί έναν µάλλον αδόκιµο νεολογισµό ο όρος scyphati που απαντά σε διάφορες παραλλαγές σε δυτικές πηγές δεν ετυµολογείται από την ελληνική λέξη σκύφος, 54 αλλά πιθανώς από τον αραβικό επιθετικό προσδιορισµό shiffi που µε τη σειρά του µάλλον προέρχεται από την αραβική λέξη shafah (χείλος, περιφέρεια) 55. Κατά την πειστικότερη προσέγγιση ο όρος αναφέρεται στην ευρύτερη περιφέρεια και τον χαρακτηριστικό τριπλό στικτό κύκλο που απέκτησαν τα βυζαντινά χρυσά (ἱστάάµμενα) νοµίσµατα στις αρχές του 11ου αι. 56 Είναι προτιµητέα αντί της λέξης «σκυφωτό» η χρήση του όρου τραχύ, µε την έννοια του µη επιπεδικού, καθώς προέρχεται από γραπτές µαρτυρίες και αποδίδει την κοιλόκυρτη µορφή των νοµισµάτων αυτών 57. Σε κάθε περίπτωση, η κατανόηση του raison d être για την αλλαγή αυτή απέχει από το να είναι πλήρης, αλλά είναι πιθανότερο να προέκυψε λόγω τεχνικών και πρακτικών λόγων 58, παρά να οφείλεται σε κάποια περίτεχνη ιδεολογική επαναθεώρηση των νοµισµάτων 59. Την προσέγγιση της τεχνικής δυσκολεύει η έλλειψη σηµαντικών υλικών τεκµηρίων για την κοπή βυζαντινών νοµισµάτων, όπως είναι οι νοµισµατικές µήτρες. Βάσει των γνωστών και δηµοσιευµένων δεδοµένων έχει βρεθεί µόλις µία νοµισµατική µήτρα που χρονολογείται στους χρόνους του Βυζαντίου: πρόκειται για µια άνω σφραγίδα (χαρακτῆρα) για κοπή φόλλεων Ιουστίνου Α έχει µάλιστα εκφραστεί η υπόνοια µήπως πρόκειται για µήτρα παραχαράκτη 60 εικ. 10. Οικονοµική ιστορία του Βυζαντίου από τον 7ο έως τον 15ο αιώνα (γεν. εποπτ. Αγγελική E. Λαΐου), τ. Γ, 2006, Ph. Grierson, Nummi scyphati. The story of a misunderstanding, Numismatic Chronicle 11 7 (1971) [στο εξής Grierson 1971], Grierson 1971, Grierson 1971, 259 βλ. επίσης K. Weber, Erkenntnisse zur Herstellung byzantinischer Elektrum-Skyphaten, Jahrbuch für Numismatik und Geldgeschichte 53/54 (2003/2004) [στο εξής Weber 2003/2004], Grierson 1971, 260. Βλ. επίσης για τον όρο ὁλόότραχον, DOC 4.1, Weber 2003/2004, 28-31, 47, 52, 70 Cécile Morrisson, Coins monétaires byzantins, στο Conii e scene di coniazione, επιµ. Lucia Travaini Alessia Bolis, Roma 2007 [στο εξής Morrisson 2007], Η θεωρητική προσέγγιση του M. Labouret (M. Labouret, Monnaies «scyphates»: de l analogie structurale à l hypothèse idéologique, Bulletin de la Société Française de Numismatique, 65 e année N o 5 (mai 2010), ), που διαβλέπει στην κυρτή επιφάνεια των νοµισµάτων την προβολή ενός τρούλλου, µάλλον συνιστά υπερερµηνεία και κρίνεται εν πολλοίς αβάσιµη. 60 M. D. O Hara, A unique Byzantine coin die of Justin I (AD ), Minerva. The International Review of Ancient Art & Archaeology 12/5 (September/October 2001), 54 M. Metlich, Nachträge zu Money of the Incipient Byzantine Empire, Institut für Numismatik und Geldgeschichte. Mitteilungsblatt 24/02 (2002), 5, 7. 10

11 Ούτως ή άλλως τέτοια ευρήµατα, όπως µία άνω σφραγίδα (χαρακτήρ) για κοπή νοµισµάτων Γουλιέλµου Α Αγγλίας ( ), 61 είναι σπάνια εικ. 11. Για να καταστεί όµως κατανοητός ο modus operandi ενός µεσαιωνικού νοµισµατοκοπείου θα πρέπει επιπλέον να λάβουµε υπ όψιν τη θεωρία που διατύπωσαν οι S. Bendall και D. Sellwood για την κοπή των κοιλόκυρτων υστεροβυζαντινών νοµισµάτων, 62 η οποία έχει γίνει εν συνόλω ή εν µέρει αποδεκτή 63. Σύµφωνα µε την άποψη αυτή αµφισβητήθηκε για πρώτη φορά η αναµενόµενη πρακτική τοποθέτησης των µητρών για την κοπή παιστών νοµισµάτων προτάθηκε ότι στην πραγµατικότητα η κοπή πρέπει να γινόταν µε τις θέσεις αντεστραµµένες: την κυρτή µήτρα κάτω και την κοίλη µήτρα πάνω Βρετανικό Μουσείο, Λονδίνο, αρ. ευρ. CM Μία από τις 4 νοµισµατικές µήτρες που είχαν εντοπιστεί σε σηµεία της προκυµαίας του Τάµεση (δεκαετία 1980) M. M. Archibald J. R. S. Lang G. Milne, Four Early Medieval coin dies from the London waterfront, Numismatic Chronicle 155 (1995), S. Bendall D. Sellwood, The method of striking scyphate coins using two obverse dies in the light of an early thirteenth century hoard, Numismatic Chronicle 18 7 (1978) [στο εξής Bendall Sellwood 1978], Έκτοτε ο Bendall επανήλθε µε ένα άρθρο παρόµοιου περιεχοµένου: S. Bendall, The double striking of the late Byzantine scyphate coins, The Celator 12/6 (June 1998), DOC 4.1, 124 Weber 2003/2004, Morrisson 2007, Bendall Sellwood 1978, 94-95, Fig. 3-4,

12 Παρατηρήθηκε επίσης ότι πλέον µια κατακόρυφη κρούση του νοµισµατικού «πετάλου» δεν θα επαρκούσε για να χαράξει την παράσταση, παρά µόνον στο κέντρο του εικ. 12. Βάσει παρατηρήσεων που έγιναν προτάθηκε ότι η ευχερής χάραξη των νοµισµατικών τύπων θα µπορούσε να γίνει µε δύο λοξά επάλληλα χτυπήµατα εικ. 13. Νεώτερη µελέτη, του K. Weber, τεκµηρίωσε διεξοδικά τη διαδικασία της νοµισµατικής παραγωγής 65. Τα συµπεράσµατα αυτής της έρευνας διαφωτίζουν επιµέρους ειδικά τεχνικά θέµατα και αναιρούν ορισµένες εικασίες. Το ενδεχόµενο που είχε προταθεί να γινόταν η κοπή µε δύο µισές µήτρες δεν φαίνεται να τεκµηριώνεται 66. Οι µεταλλουργικές αναλύσεις δίνουν στοιχεία για τη διαµόρφωση των «πετάλων» και η σύσταση των κραµάτων συνιστά καθοριστική παράµετρο για το σχήµα των κερµάτων εικ Weber 2003/2004, 34 κ.ε., Weber 2003/2004, 58, 70 βλ. επίσης DOC 4.1,

13 Αποσαφηνίζεται ότι το «πέταλο» δεν το ακουµπούσαν στην κάτω σφραγίδα (ακµονίσκος) αφού πρώτα του είχαν δώσει κοιλόκυρτη µορφή ένα απλό χτύπηµα στο κέντρο του «πετάλου» ήταν αρκετό για να σταθεί στη θέση του 67. Πολύ πρόσφατα δηµοσιεύτηκε µια διαφορετική άποψη για το όλο θέµα: Ο A. Trivero Rivera υποστήριξε σε γενικές γραµµές πειστικά ότι τα δεδοµένα της µελέτης του σε τραχέα του Αλεξίου Γ δεν δικαιολογούν η πάνω µήτρα να είναι κοίλη 68. Σε ένα ικανό δείγµα κατέδειξε ότι οι δύο κρούσεις γίνονται µε άνω µήτρα (χαρακτῆρα) που έχει κυρτή κεφαλή κατά τον Rivera πρώτα αποτυπώνεται η αριστερή πλευρά (εν προκειµένω µε τον αυτοκράτορα) και κατόπιν η δεξιά (µε τον άγ. Κωνσταντίνο) 69 εικ. 15. Σηµαντική παρατήρηση που δείχνει να ενισχύει την άποψη αυτή είναι ότι στην πλευρά του νοµίσµατος που βαθουλώνεται πολύ συχνά οι δύο µορφές παρουσιάζουν απόκλιση, λόγω της ροπής ταλάντωσης του χτυπήµατος αντιθέτως η όψη µε τον Χριστό κατά κανόνα δεν µετακινείται, προφανώς λόγω της θέσης της στην κοιλότητα του ακµονίσκου εικ Weber 2003/2004, Βλ. επίσης D. Sellwood, The production of flans for Byzantine trachy issues, στο Metallurgy in Numismatics, Vol. 1, επιµ. D. M. Metcalf W. A. Oddy, London 1980, A. Trivero Rivera, Ipotesi circa la tecnica di coniazione dei trachy, Monete Antiche 43 (gennaio/febbraio 2009) [στο εξής Trivero Rivera 2009], 26-27, Trivero Rivera 2009, 26 βλ. επίσης DOC 4.1, 124, όπου εικάζεται παρόµοια αλληλουχία των χτυπηµάτων. 13

14 Επίσης, προς επίρρωσιν των παραπάνω παρουσιάστηκε στο διαδίκτυο από τον Rivera µισό νόµισµα του Μανουήλ Κοµνηνού Δούκα, δεσπότη της Θεσσαλονίκης ( ), το οποίο κατά τα φαινόµενα φέρει πάνω του αποτύπωση άλλου νοµίσµατος (brockage) που προφανώς δεν πρόλαβε να βγει από την κάτω κοίλη µήτρα εικ. 17. Στην προσπάθεια να διασαφηνιστούν περαιτέρω τα πράγµατα εξετάστηκε από τον οµιλούντα ένας «θησαυρός» (Θήρα/1910) 70 µε τραχέα 71 και προέκυψαν ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις. Σε αρκετές περιπτώσεις φαίνεται να ακολουθείται κοινή πρακτική, π.χ. κατά κανόνα στις κοπές του Αλεξίου Γ και στις λεγόµενες «πιστές» αποµιµήσεις 72 οι µετακινήσεις των δύο µορφών στη βαθουλωµένη πλευρά δίνουν την εντύπωση ότι έχουν κοπεί µε χαρακτῆρα που έχει κυρτή κεφαλή. Ενίοτε µετατοπίσεις παρουσιάζονται και στις δύο πλευρές, περιπλέκοντας κάπως τα πράγµατα και δηµιουργώντας κάποια ερωτήµατα για την παραµετροποίηση της µεθόδου (σύσταση κράµατος, χρονική συγκυρία, απειρία τεχνιτών κλπ.). Το ενδεχόµενο κατά διαστήµατα να χρησιµοποιήθηκαν και οι δύο τεχνικές δεν µπορεί επί του παρόντος να αποκλειστεί. Ένα επιπλέον κέρδος που αποκοµίστηκε είναι η παρατήρηση ότι σε ορισµένες περιπτώσεις η αριστερή µορφή, εκτός από απόκλιση µε τη δεξιά, εµφανίζεται ευκρινώς να την επικαλύπτει εικ Ι. Ν. Σβορώνος, Διεθνής Εφηµερίς της Νοµισµατικής Αρχαιολογίας 15 (1913), D. M. Metcalf, The value of the Amorgos and Thira Hoards as a test case for the interpretation of sub-byzantine trachea in the years around 1204, Noµισµατικά Χρονικά 8 (1989), Σύνταγµα Βυζαντινών «Θησαυρών» του Νοµισµατικού Μουσείου, Αθήνα 2002, αρ. 107 Βάσω Πέννα, O «θησαυρός» Θήρα/1910: Συµβολή στην ιστορία της Mέσα Γωνιάς Σαντορίνης, στο Ο Βυζαντινός Ναός της Παναγίας Επισκοπής Θήρας, Ιστορία - Αρχιτεκτονική - Μνηµειακή Ζωγραφική (Σαντορίνη, 9 Αυγούστου 2008), υπό δηµοσίευση. 71 Τα νοµίσµατα έχουν συντηρηθεί και η υφή τους φαίνεται να είναι σχεδόν εξ ολοκλήρου από χαλκό έως τη βασιλεία του Αλεξίου Γ ( ) η περιεκτικότητα του χαλκάργυρου κράµατος σε άργυρο πέφτει από περ. 7% (τέλη 11ου αι.) σε περ. 2%. Βλ. Weber 2003/2004, Για τις «πιστές» αποµιµήσεις βλ. ενδεικτικά Πέννα 2000,

15 Το γεγονός αυτό σηµαίνει ότι συχνά, αν όχι γενικώς η δεξιά µορφή χαρασσόταν πρώτη και ακολουθούσε η αριστερή εικ. 19. Ακόµη, µερικές φορές διαπιστώνονται αποκλίσεις µεγάλης γωνίας µεταξύ των δύο µορφών, ενώ οι µετακινήσεις αυτές δεν είναι πάντα δεξιόστροφες εικ

16 Μια πρώτη σκέψη που θα µπορούσε να γίνει ως προσπάθεια εξήγησης είναι να έχει δώσει το χτύπηµα ένας αριστερόχειρας µε αντίρροπη κλίση και ανάλογα αποτελέσµατα. Θα άξιζε τέλος να διερευνηθούν περαιτέρω ενδεχόµενα για τη διενέργεια της κοπής µε συµµετοχή δύο τεχνιτών 73 ή/και δύο σταθερών κάτω µητρών 74. Αντί επιλόγου, αξίζει τον κόπο να επιστρέψουµε στον Νικόλαο Ραβδά για ένα θέµα που άπτεται της ονοµασίας ενός ειδικού συµβόλου. Είναι γνωστό ότι κατά τους αρχαίους και µεσαιωνικούς χρόνους είχαν χρησιµοποιηθεί ως αριθµητικά και τα εξής «εµβόλιµα» ψηφία: το ϝ (βαυ ή δίγαµµα ή στίγµα = 6), το É (κόππα = 90) και το ϡ (=900). 75 Η ονοµασία «σαµπί» του τελευταίου είναι στην πραγµατικότητα ένας νεολογισµός του 17ου αι. 76 Γραπτή µαρτυρία διασώζει και µια εναλλακτική ονοµασία του συµβόλου: παρακύισµα 77 η ετυµολόγηση («γκαστρωµένο» ή «παραπαίδι») παραµένει εν αµφιβόλω. Είναι επίσης γνωστό ότι το κόππα µε τη µορφή u χρησιµοποιήθηκε όψιµα από τους Βυζαντινούς για να δηλώσει και το µηδέν (οὐδέέν) 78. Η µαρτυρία του Ραβδά για τα τρία αυτά ψηφία διαφέρει: ονοµάζει το 6 (ϛ) ως το ἐπίίσηµμον, το 90 (u) ως το ἀνώώνυµμον σηµμεῖον υπαινισσόµενος και τη χρήση του ως µηδέν και για το 900 (ϡ) λέει ότι χρησιµοποιείται ο λεγόόµμενος χαρακτήήρ, 79 µια κάπως περίεργη ονοµασία. Εάν αποµονώσουµε όµως το σύµβολο και το ξαναδούµε εκ παραλλήλου µε τις νοµισµατικές άνω µήτρες ίσως τελικά να µην είναι καθόλου περίεργο! εικ Mutatis mutandis, πρβλ. την υπόθεση για την ενεργή παρουσία (τουλάχιστον) δύο τεχνιτών-χαρακτών για να εντυπωθούν τα ζεύγη των «µυστικών» συµβόλων στα νοµίσµατα DOC 4.1, Πιθανώς εφαρµόζοντας µια µέθοδο όσον αφορά στις άνω µήτρες που ίσως συνδύαζε ένα είδος die hubbing βλ. σχετικά R. G. Doty, The Macmillan Encyclopedic Dictionary of Numismatics, New York - London 1982 [στο εξής Doty 1982], , στο λήµµα hub. 75 Ενδεικτικά βλ. Μπαραλής 2010, Βλ. B. Einarson, Notes on the development of the Greek alphabet, Classical Philology 62/1 (January 1967) [στο εξής Einarson 1967], 13, 22, σηµ Einarson 1967, 13, 22, σηµ Χάλκου 2006, 28, σηµ Tannery 1920, Η ονοµασία πρέπει να οφείλεται στο σχήµα του συµβόλου ϡ που παραπέµπει σε έναν λοξά τοποθετηµένο νοµισµατικό χαρακτῆρα. Για το χαρακτηριστικό σχήµα της άνω µήτρας, που φέρει ένα «περιχείλωµα» στην πλευρά όπου δέχεται τα χτυπήµατα του σφυριού, βλ. επίσης Doty 1982, 334, στο λήµµα trussell για τις πλάγιες καµπυλώσεις της άνω πλευράς του χαρακτῆρος χρησιµοποιείται ο όρος beard («γένι»). 16

Νομισματοκοπείο Αυτοκρατορίας Τραπεζούντας

Νομισματοκοπείο Αυτοκρατορίας Τραπεζούντας Περίληψη : Το νομισματοκοπείο Τραπεζούντας γνώρισε τρεις φάσεις λειτουργίας. Υπό τους Γαβράδες με αποκλειστικά χάλκινες κοπές, από τη β δεκαετία ύπαρξης της Αυτοκρατορίας της Τραπεζούντας και εξής με κοπές

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ 1. Τα πολύ παλιά χρόνια, όταν οι άνθρωποι δημιούργησαν οικισμούς, άρχισαν να καλλιεργούν τη γη και να εκτρέφουν ζώα. Επειδή τα μέταλλα δεν είχαν ανακαλυφθεί ακόμα, οι συναλλαγές τους

Διαβάστε περισσότερα

Αρχαιολογία των κλασικών και ελληνιστικών χρόνων (480 π.χ. - 1ος αι. π.χ.). Δημήτρης Πλάντζος

Αρχαιολογία των κλασικών και ελληνιστικών χρόνων (480 π.χ. - 1ος αι. π.χ.). Δημήτρης Πλάντζος [IA12] ΚΛΑΣΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΛΟΓΙΑ Β Αρχαιολογία των κλασικών και ελληνιστικών χρόνων (480 π.χ. - 1ος αι. π.χ.). Δημήτρης Πλάντζος Τι είναι Aρχαιολογία; Η επιστήμη της αρχαιολογίας: Ασχολείται με την περισυλλογή,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. Διεύθυνση αλληλογραφίας: Τμήμα Ιστορίας και Αρχαιολογίας/Φιλοσοφική Σχολή/ Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων/ Τ.Κ. 45110.

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. Διεύθυνση αλληλογραφίας: Τμήμα Ιστορίας και Αρχαιολογίας/Φιλοσοφική Σχολή/ Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων/ Τ.Κ. 45110. ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Ονοματεπώνυμο: Αγγελική Παναγοπούλου Πατρώνυμο: Γεώργιος Τόπος γέννησης: Αθήνα Οικογενειακή κατάσταση: Άγαμη Θέση: Λέκτορας Γνωστικό Αντικείμενο: Βυζαντινή Ιστορία Διεύθυνση αλληλογραφίας:

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ ΚΑΙ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ. Διαβάζουµε από το βιβλίο «Liber Abaci» κεφάλαιο 5ο «Για την διαίρεση των ακεραίων», ανάµεσα σε άλλα, και τα παρακάτω:

Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ ΚΑΙ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ. Διαβάζουµε από το βιβλίο «Liber Abaci» κεφάλαιο 5ο «Για την διαίρεση των ακεραίων», ανάµεσα σε άλλα, και τα παρακάτω: Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ ΚΑΙ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ Διαβάζουµε από το βιβλίο «Liber Abaci» κεφάλαιο 5ο «Για την διαίρεση των ακεραίων», ανάµεσα σε άλλα, και τα παρακάτω: - «Όταν κανείς επιθυµεί να ξέρει να διαιρεί οποιονδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci»

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Μάθημα: Άλγεβρα Υπεύθυνος καθηγητής: κ. Σκοτίδας Τάξη: Β Λυκείου Τμήμα Β2 Ονοματεπώνυμο: Λαμπρινή Μαρίνα Λάππα Σχολικό έτος: 2010 2011 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) Ποιο πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional). 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΜΟΥΣΕΙΑ ΠΑΙΔΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΜΟΥΣΕΙΑ ΠΑΙΔΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Τίτλος μαθήματος ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΜΟΥΣΕΙΑ ΠΑΙΔΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΥΠΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Επιλογής / Ενότητα Τεχνών (ΤΕ) ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΑ: ΕΙΡΗΝΗ ΝΑΚΟΥ ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΚΤ1121 ΜΟΝΑΔΕΣ ECTS:

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 5: Οι διαδοχικές επεκτάσεις της έννοιας του αριθμού: ακέραιος, κλάσμα, ρητός και πραγματικός αριθμός Δημήτρης Χασάπης

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μελέτη Επίδρασης Επεξηγηματικών Μεταβλητών

4.2 Μελέτη Επίδρασης Επεξηγηματικών Μεταβλητών 4.2 Μελέτη Επίδρασης Επεξηγηματικών Μεταβλητών Στο προηγούμενο κεφάλαιο (4.1) παρουσιάστηκαν τα βασικά αποτελέσματα της έρευνάς μας σχετικά με την άποψη, στάση και αντίληψη των μαθητών γύρω από θέματα

Διαβάστε περισσότερα

Η απόφαση θα εφαρµοστεί* εντός τριών µηνών από την ηµεροµηνία δηµοσίευσης της παρούσας κοινής ανακοίνωσης.

Η απόφαση θα εφαρµοστεί* εντός τριών µηνών από την ηµεροµηνία δηµοσίευσης της παρούσας κοινής ανακοίνωσης. Κοινή ανακοίνωση σχετικά µε την κοινή πρακτική όσον αφορά τις γενικές ενδείξεις των επικεφαλίδων των κλάσεων της ταξινόµησης της Νίκαιας v1.0, 20 Νοεµβρίου 2013 Στις 19/06/2012 το ικαστήριο εξέδωσε την

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

Τα αυτοκρατορικά εγκώμια στην παλαιολόγεια περίοδο

Τα αυτοκρατορικά εγκώμια στην παλαιολόγεια περίοδο Τα αυτοκρατορικά εγκώμια στην παλαιολόγεια περίοδο Οι προϋποθέσεις για την άνθηση του είδους Οι εκπρόσωποι Οι περιστάσεις συγγραφής και εκφώνησης Η παράδοση των κειμένων Α. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Το είδος του αυτοκρατορικού

Διαβάστε περισσότερα

Αρχαιολογία των γεωμετρικών και αρχαϊκών χρόνων ( π.χ.). Δημήτρης Πλάντζος

Αρχαιολογία των γεωμετρικών και αρχαϊκών χρόνων ( π.χ.). Δημήτρης Πλάντζος [IA11] ΚΛΑΣΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΛΟΓΙΑ Α Αρχαιολογία των γεωμετρικών και αρχαϊκών χρόνων (1100-480 π.χ.). Δημήτρης Πλάντζος ΕΚΠΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΑΡΧΑΙΟΛΟΓΙΑΣ ΑΡΧΑΙΑ ΙΣΤΟΡΙΑ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗ ΚΑΙ ΜΕΣΑΙΩΝΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

Στέλλα ρένη. Τεχνολογία παραγωγής νοµισµάτων κατά την αρχαιότητα 1

Στέλλα ρένη. Τεχνολογία παραγωγής νοµισµάτων κατά την αρχαιότητα 1 Στέλλα ρένη Τεχνολογία παραγωγής νοµισµάτων κατά την αρχαιότητα 1 Στην καθηγήτρια Κλασικής Αρχαιολογίας του Α.Π.Θ. κα. Αλίκη Μουστάκα Στην παρούσα µελέτη επιχειρείται µία προσπάθεια κατανόησης και «αποκατάστασης»

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΝΘΡΩΠΙΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΖΩΗΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΝΘΡΩΠΙΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΖΩΗΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΝΘΡΩΠΙΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΖΩΗΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ Οδηγός Εκπόνησης Διπλωματικής Εργασίας ΣΠΑΡΤΗ 2010-11 Περιεχόμενα 1.ΔΟΜΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ Της ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. 4.1 Σύνολο νοµού Αργολίδας. 4.1.1 Γενικές παρατηρήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. 4.1 Σύνολο νοµού Αργολίδας. 4.1.1 Γενικές παρατηρήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. Σύνολο νοµού Αργολίδας.. Γενικές παρατηρήσεις Γίνεται φανερό από την ανάλυση, που προηγήθηκε, πως η επίδοση των υποψηφίων του νοµού Αργολίδας, αλλά και η κατανοµή της βαθµολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ «ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ»

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ «ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ» 31 ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ «ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ» Η ΑΣΚΗΣΗ «Β1» ΣΤΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 1 Γιάννης Ι. Πασσάς, M.Ed. Φιλόλογος Η άσκηση «Β1» αποτελεί το τρίτο σε βαρύτητα θέµα (µετά την Παραγωγή Λόγου και την Περίληψη)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 17: Το μοντέλο των κουάρκ

Διάλεξη 17: Το μοντέλο των κουάρκ Διάλεξη 17: Το μοντέλο των κουάρκ Από την επιτυχία της αναπαράστασης των σωματιδίων σε οκταπλέτες ή δεκαπλέτες προκύπτει ένα πολύ εύλογο ερώτημα. Τι συμβαίνει και οι ιδιότητες των σωματιδίων που έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός και Στόχοι των. Επιστηµονικών Εργασιών υπό Εξέλιξη. (Working paper series)

Σκοπός και Στόχοι των. Επιστηµονικών Εργασιών υπό Εξέλιξη. (Working paper series) Σκοπός και Στόχοι Σκοπός και Στόχοι των Επιστηµονικών Εργασιών υπό Εξέλιξη (Working paper series) Η µηνιαία Σειρά Επιστηµονικών Εργασιών υπό Εξέλιξη (ΣΕΕΕ), αποτελεί την επίσηµη έκδοση επιστηµονικών και

Διαβάστε περισσότερα

Η ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΗΣ ALPHA BANK

Η ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΗΣ ALPHA BANK Η ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΗΣ ALPHA BANK Η σηµερινή φυσιογνωµία της Βιβλιοθήκης της Alpha Βank διαµορφώθηκε µετά το 2000 µε τη συγχώνευση της Alpha Τραπέζης Πίστεως µε την Ιονική Τράπεζα. Τότε και οι Βιβλιοθήκες των

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία στο εκπαιδευτικό λογισµικό Function Probe

Εργασία στο εκπαιδευτικό λογισµικό Function Probe Γιάννης Π. Πλατάρος -1-20/10/2003 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΕΚΦΡΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΙΑΤΡΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Εργασία στο εκπαιδευτικό λογισµικό Function Probe Περίληψη: ίνεται στους µαθητές η διαπραγµάτευση ενός προβλήµατος

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τομέας Ρευστών Εργαστήριο Θερμικών Στροβιλομηχανών

ΣΧΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τομέας Ρευστών Εργαστήριο Θερμικών Στροβιλομηχανών ΣΧΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τομέας Ρευστών Εργαστήριο Θερμικών Στροβιλομηχανών Αλγόριθμος προσαρμογής διδιάστατων υβριδικών πλεγμάτων στην υπό εξέλιξη λύση ενός πεδίου ροής και πιστοποίηση Διπλωματική Εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογίες Παραγωγής Λογισµικού

Μεθοδολογίες Παραγωγής Λογισµικού Μεθοδολογίες Παραγωγής Λογισµικού Βασικά Γενικά Μοντέλα Μοντέλο καταρράκτη (waterfall model) Ξεχωριστές φάσεις καθορισµού απαιτήσεων και ανάπτυξης, επικύρωσης, εξέλιξης Εξελικτική ανάπτυξη (evolutionary

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

1.6.3 Ιατρικές και βιολογικές θεωρίες στον Πλάτωνα και στον Αριστοτέλη Η αρχαία ελληνική ιατρική µετά τον Ιπποκράτη

1.6.3 Ιατρικές και βιολογικές θεωρίες στον Πλάτωνα και στον Αριστοτέλη Η αρχαία ελληνική ιατρική µετά τον Ιπποκράτη 1 2 Περιεχόµενα Πρόλογος...5 Εισαγωγή: Οι Απαρχές της Ελληνικής Επιστήµης...8 Κεφάλαιο 1: Η Αρχαία Ελληνική Επιστήµη...24 1.1 Οι φυσικές θεωρίες των Προσωκρατικών φιλοσόφων...25 1.1.1 H πρώιµη ιωνική φιλοσοφική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΑΤΑΓΡΑΦΗΣ ΑΝΑΦΟΡΩΝ ΚΕΙΜΕΝΩΝ ΕΚΔΟΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ

ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΑΤΑΓΡΑΦΗΣ ΑΝΑΦΟΡΩΝ ΚΕΙΜΕΝΩΝ ΕΚΔΟΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΑΤΑΓΡΑΦΗΣ ΑΝΑΦΟΡΩΝ ΚΕΙΜΕΝΩΝ ΕΚΔΟΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ Γενικές Παρατηρήσεις: Η παραπομπή θα γίνεται με τη μορφή υποσημείωσης στο κάτω μέρος της σελίδας (footnote) και με την αντίστοιχη αρίθμηση. Εκεί

Διαβάστε περισσότερα

Περί Μελαγχολίας. Διδάσκων: Αναπλ. Καθηγητής Δημήτριος Καργιώτης. 2 η ενότητα: «Η μελαγχολία στην αρχαιότητα»

Περί Μελαγχολίας. Διδάσκων: Αναπλ. Καθηγητής Δημήτριος Καργιώτης. 2 η ενότητα: «Η μελαγχολία στην αρχαιότητα» Περί Μελαγχολίας Διδάσκων: Αναπλ. Καθηγητής Δημήτριος Καργιώτης 2 η ενότητα: «Η μελαγχολία στην αρχαιότητα» Περιγραφή θεματικής ενότητας: Το σύστημα των τεσσάρων χυμών και η αρχή της μίμησης. Σύντομη αναφορά

Διαβάστε περισσότερα

9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές

9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές 9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές Εστω ότι η y = f x είναι παραγωγίσιµη σε κάποιο διάστηµα το οποίο περιέχει τον x 0 και ότι η f x η οποία ορίζεται στο διάστηµα αυτό έχει µε την σειρά της παράγωγο στο x

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφίδες για τη Νεοελληνική Γλώσσα

Ψηφίδες για τη Νεοελληνική Γλώσσα [1] Ψηφίδες για τη Νεοελληνική Γλώσσα Παρουσίαση και ενδεικτικά παραδείγματα εκπαιδευτικής αξιοποίησης Συντάκτρια: Μαρία Αλεξίου (εκπαιδευτικός ΠΕ02, ΜΔΕ Θεωρητικής Γλωσσολογίας, συντονίστρια του ψηφιακού

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties

Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties Κατά την καταγραφή δεδοµένων, σε κάθε εγγραφή δεδοµένου θα πρέπει να δίδεται µαζί και το αντίστοιχο εκτιµώµενο σφάλµα ή αβεβαιότητα. Ο όρος σφάλµα

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΔΗΜΟΣ ΜΑΣ. Γιώργος Ε 1

Ο ΔΗΜΟΣ ΜΑΣ. Γιώργος Ε 1 Ο ΔΗΜΟΣ ΜΑΣ Γιώργος Ε 1 ΣΩΤΗΡΑ ΑΜΜΟΧΩΣΤΟΥ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ Η Σωτήρα έχει Αγιολογική ονομασία: φέρει το όνομα του Σωτήρος Χριστού. Εξάλλου στις 6 Αυγούστου τελείται μεγάλο πανηγύρι κατά τη γιορτή της Μεταμορφώσεως

Διαβάστε περισσότερα

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Οι τεχνικές επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων εμφανίζονται τουλάχιστον πριν 4000 χρόνια, στην αρχαία Μεσοποταμία, σημερινό Ιράκ. Οι μέθοδοι πιθανόν προήλθαν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. 1. Στρογγυλοποίηση Γενικά Κανόνες Στρογγυλοποίησης... 2

ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. 1. Στρογγυλοποίηση Γενικά Κανόνες Στρογγυλοποίησης... 2 ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Περιεχόμενα 1. Στρογγυλοποίηση.... 2 1.1 Γενικά.... 2 1.2 Κανόνες Στρογγυλοποίησης.... 2 2. Σημαντικά ψηφία.... 2 2.1 Γενικά.... 2 2.2 Κανόνες για την

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕΔΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΜΙΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

ΒΕΔΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΜΙΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΒΕΔΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΜΙΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Συχνά τα Μαθηματικά χρησιμοποιούνται ως ένα «εργαλείο» προκειμένου να ανιχνευθεί η «εξυπνάδα» του κάθε ανθρώπου, να διαφοροποιηθούν οι μαθητές μεταξύ τους σε

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Δ. Ε. ΧΙΩΤΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΖΕΡΒΟΥ ΦΕΒΡΩΝΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Δ. Ε. ΧΙΩΤΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΖΕΡΒΟΥ ΦΕΒΡΩΝΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Δ. Ε. ΧΙΩΤΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΖΕΡΒΟΥ ΦΕΒΡΩΝΙΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 2005 Μαγικά Τετράγωνα: ανακαλύπτοντας την ιστορία και την μαγεία τους. Τα μαγικά τετράγωνα από καιρό θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής Πανεπιστήµιο Κύπρου Χρήστος Παντσίδης Παναγιώτης Σπύρου Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

8 Το εισόδημα και το επιτόκιο

8 Το εισόδημα και το επιτόκιο 8 Το εισόδημα και το επιτόκιο Σκοπός Σκοπός αυτού του κεφαλαίου είναι να συνδέσει τις αγορές προϊόντος και χρήματος, τις οποίες εξετάσαμε σε προηγούμενα κεφάλαια. Η ταυτόχρονη ανάλυση αυτών των δύο αγορών

Διαβάστε περισσότερα

Παραδοτέο Π.1 (Π.1.1) Εκθέσεις για προµήθεια εκπαιδευτικού υλικού

Παραδοτέο Π.1 (Π.1.1) Εκθέσεις για προµήθεια εκπαιδευτικού υλικού 1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΠΕΑΕΚ ΙΙ Μέτρο 2.2 Αναµόρφωση Προγραµµάτων Προπτυχιακών Σπουδών ιεύρυνση Τριτοβάθµιας Κατ. Πράξης 2.2.2.α Αναµόρφωση Προγραµµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

Eκπαίδευση» ΠΡΟΤΑΣΗ ΝΟΜΟΥ. «Νέο Λύκειο και σύστημα πρόσβασης στην Tριτοβάθμια. Άρθρο 1. Νέο Λύκειο

Eκπαίδευση» ΠΡΟΤΑΣΗ ΝΟΜΟΥ. «Νέο Λύκειο και σύστημα πρόσβασης στην Tριτοβάθμια. Άρθρο 1. Νέο Λύκειο ΠΡΟΤΑΣΗ ΝΟΜΟΥ «Νέο Λύκειο και σύστημα πρόσβασης στην Tριτοβάθμια Eκπαίδευση» Άρθρο 1 Νέο Λύκειο 1. Από το σχολικό έτος 2013-2014 καθιερώνεται ο θεσμός του Νέου Λυκείου και αρχίζει σταδιακά η εφαρμογή του

Διαβάστε περισσότερα

Χριστιανική Γραμματεία ΙIΙ

Χριστιανική Γραμματεία ΙIΙ Χριστιανική Γραμματεία ΙIΙ Ενότητα 2-Δ Α1-2: Υστεροβυζαντινοί θεολόγοι Αναστάσιος Γ. Μαράς, Δρ Θ. Πρόγραμμα Ιερατικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ ΕΝΔΕΚΑΤΗ ΚΕΙΜΕΝΑ ΥΣΤΕΡΗΣ ΜΕΣΑΙΩΝΙΚΗΣ

ΔΙΑΛΕΞΗ ΕΝΔΕΚΑΤΗ ΚΕΙΜΕΝΑ ΥΣΤΕΡΗΣ ΜΕΣΑΙΩΝΙΚΗΣ ΔΙΑΛΕΞΗ ΕΝΔΕΚΑΤΗ ΚΕΙΜΕΝΑ ΥΣΤΕΡΗΣ ΜΕΣΑΙΩΝΙΚΗΣ 1. Πτωχοπρόδρομος - Το κείμενο έχει πολλές διαφορετικές γραφές στα χειρόγραφα που διασώζεται, λόγω του σχετικά δημώδους αλλά και σκωπτικού του χαρακτήρα. Δυσχεραίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. Αρκετές φορές τα πειραματικά δεδομένα πρέπει να απεικονίζονται υπό μορφή γραφικών παραστάσεων σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων καρτεσιανών συντεταγμένων. Με τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Διοίκηση Εργοταξίου

ΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Διοίκηση Εργοταξίου ΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Διοίκηση Εργοταξίου Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Χρονικός προγραμματισμός κατασκευής τεχνικών έργων. Μέθοδος Gantt, Μέθοδος κρίσιμης όδευσης (CPM). Επίλυση ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Χάρτινα χειροποίητα κουτιά Περίληψη: Χάρτινα κουτιά

Χάρτινα χειροποίητα κουτιά Περίληψη: Χάρτινα κουτιά Χάρτινα χειροποίητα κουτιά Περίληψη: Στη δραστηριότητα αυτή οι μαθητές διερευνούν τη χωρητικότητα κουτιών σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου που προκύπτουν από ένα χαρτόνι συγκεκριμένων διαστάσεων. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ Μία από τις πιο σηµαντικές διαδικασίες που χαρακτηρίζουν τη συγγραφή και δηµοσίευση µιας ερευνητικής εργασίας, είναι η αξιολόγησή της από έµπειρους επιστήµονες του χώρου

Διαβάστε περισσότερα

«ράσεις διατήρησης και ψηφιοποίησης στις Ελληνικές ηµοτικές Βιβλιοθήκες»

«ράσεις διατήρησης και ψηφιοποίησης στις Ελληνικές ηµοτικές Βιβλιοθήκες» «ράσεις διατήρησης και ψηφιοποίησης στις Ελληνικές ηµοτικές Βιβλιοθήκες» Γκιννή Ζωίτσα, Συντηρήτρια αρχειακού και βιβλιακού υλικού,υπ. ιδ. Πανεπιστήµιου Αιγαίου, Υπουργείο Πολιτισµού, ιεύθυνση Συντήρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΚΕΦΑΛΑΙΑΓΟΡΑΣ. Πρόληψη και Καταστολή της νοµιµοποίησης εσόδων από εγκληµατικές δραστηριότητες

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΚΕΦΑΛΑΙΑΓΟΡΑΣ. Πρόληψη και Καταστολή της νοµιµοποίησης εσόδων από εγκληµατικές δραστηριότητες ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΚΕΦΑΛΑΙΑΓΟΡΑΣ Πρόληψη και Καταστολή της νοµιµοποίησης εσόδων από εγκληµατικές δραστηριότητες Από τον Φεβρουάριο του 2006, που ιδρύθηκε στην Επιτροπή Κεφαλαιαγοράς η Ειδική Υπηρεσιακή Μονάδα για

Διαβάστε περισσότερα

Τευχος δευτερο. αρχεία. Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Τα αρχεία στους αρχαϊκούς και κλασικούς χρόνους. Ασκήσεις επί λίθου

Τευχος δευτερο. αρχεία. Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Τα αρχεία στους αρχαϊκούς και κλασικούς χρόνους. Ασκήσεις επί λίθου Τευχος δευτερο αρχεία Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Τα αρχεία στους αρχαϊκούς και κλασικούς χρόνους Ασκήσεις επί λίθου Άσκηση 1η Οι θησαυροί του ιερού Οι ιερείς της Βραυρωνίας Αρτέμιδος κάνουν απογραφή των

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

Διάρκεια: 2Χ80 Προτεινόμενη τάξη: Δ -Στ Εισηγήτρια: Χάρις Πολυκάρπου

Διάρκεια: 2Χ80 Προτεινόμενη τάξη: Δ -Στ Εισηγήτρια: Χάρις Πολυκάρπου ΘΕΑΤΡΙΚΗ ΑΓΩΓΗ Θεατρικό Εργαστήρι: Δημιουργία δραματικών πλαισίων με αφορμή μαθηματικές έννοιες. Ανάπτυξη ικανοτήτων για επικοινωνία μέσω του θεάτρου και του δράματος. Ειδικότερα αναφορικά με τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it.

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it. Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού Νοέμβρης 2012 Χρύσω Αθανασίου (Σύμβουλος Μαθηματικών ) Ελένη Δεληγιάννη (Συγγραφική Ομάδα) Άντρη Μάρκου (Σύμβουλος Μαθηματικών) Ελένη Μιχαηλίδου (Σύμβουλος Μαθηματικών)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα

ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα Σκοπός ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα Σκοπός της άσκησης αυτής είναι ο σπουδαστής να μπορέσει να παρουσιάζει τα αποτελέσματα πειραματικών μετρήσεων σε μορφή καμπυλών και να μπορέσει εν τέλει

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη : Χρονολόγηση 5ος-12ος/13ος αιώνας. Γεωγραφικός εντοπισμός IΔΡΥΜA ΜΕΙΖΟΝΟΣ ΕΛΛΗΝΙΣΜΟΥ. 1. Εισαγωγή

Περίληψη : Χρονολόγηση 5ος-12ος/13ος αιώνας. Γεωγραφικός εντοπισμός IΔΡΥΜA ΜΕΙΖΟΝΟΣ ΕΛΛΗΝΙΣΜΟΥ. 1. Εισαγωγή Περίληψη : Το νομισματοκοπείο της Χερσώνος λειτούργησε με διακοπές κατά τη διάρκεια της Πρώιμης, Μέσης και πιθανόν της Ύστερης Βυζαντινής περιόδου. Η λειτουργία του μπορεί να συνδυαστεί με το ρόλο που

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό Ενότητα 3 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Χ. Κυτάγιας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Λογισµικό για το µάθηµα της βιολογίας Α και Γ Γυµνασίου. Τεχνικό Εγχειρίδιο Χρήσης για τον Μαθητή

Λογισµικό για το µάθηµα της βιολογίας Α και Γ Γυµνασίου. Τεχνικό Εγχειρίδιο Χρήσης για τον Μαθητή Λογισµικό για το µάθηµα της βιολογίας Α και Γ Γυµνασίου Τεχνικό Εγχειρίδιο Χρήσης για τον Μαθητή Περιεχόµενα Πρόλογος για τον µαθητή...2 1. Το µενού πλοήγησης...3 2. Κουµπιά / εντολές πλοήγησης...4 3.

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισμός ημερομηνίας εορτασμού του Πάσχα

Καθορισμός ημερομηνίας εορτασμού του Πάσχα ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ Σχολικό έτος 2013-14 Καθορισμός ημερομηνίας εορτασμού του Πάσχα ΚΑΡΑΜΠΕΛΑΣ ΜΑΡΙΟΣ-ΔΗΜΗΤΡΗΣ Τάξη : Α1 ΤΟ ΑΓΙΟ ΠΑΣΧΑ: Η γιορτή και ο υπολογισμός της ημερομηνίας

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΣ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗΣ.Π.Θ. (OPAC) Ο ΗΓΙΕΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΣ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗΣ.Π.Θ. (OPAC) Ο ΗΓΙΕΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΣ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗΣ.Π.Θ. (OPAC) Ο ΗΓΙΕΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ ΤΙ ΕΙΝΑΙ Ο ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΣ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ OPAC - Online Public Access Catalogue Είναι µία ηλεκτρονική βάση δεδοµένων, στην οποία καταγράφεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ στη «ΝΑΥΤΙΛΙΑ»

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ στη «ΝΑΥΤΙΛΙΑ» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ στη «ΝΑΥΤΙΛΙΑ» ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Α. ΓΕΝΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΕΚΠΟΝΗΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Στάμη Τσικοπούλου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/1

Στάμη Τσικοπούλου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/1 Πίνακες πολλαπλασιασμού Το Βεδικό τετράγωνο Στάμη Τσικοπούλου Σ τα μαθηματικά και ιδιαίτερα στην αριθμητική ένας πίνακας πολλαπλασιασμού (ή αλλιώς ένας πυθαγόρειος πίνακας) είναι ένας πίνακας που χρησιμοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΝΩΜΗ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ. της 15ης Ιανουαρίου 2007

ΓΝΩΜΗ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ. της 15ης Ιανουαρίου 2007 EL ΓΝΩΜΗ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ της 15ης Ιανουαρίου 2007 κατόπιν αιτήµατος του Υπουργείου Οικονοµικών Κύπρου σχετικά µε νοµοσχέδιο που ρυθµίζει την υιοθέτηση του ευρώ και τη µετάβαση από το

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Αδαμαντίου Κοραή. De morborum haereditariorum: existentia, natura, prophylaxi et cura

Αδαμαντίου Κοραή. De morborum haereditariorum: existentia, natura, prophylaxi et cura ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΩΝ ΜΕΛΕΤΩΝ 2013 Αδαμαντίου Κοραή De morborum haereditariorum: existentia, natura, prophylaxi et cura Κωνσταντίνος Ηροδότου (Συντονιστής, Δρ. Φιλοσοφίας, Πανεπιστήμιο Paris VIII) Διονύσιος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Η μεταβλητή "χρόνος" στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis

Η μεταβλητή χρόνος στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis Η μεταβλητή "χρόνος" στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis Η αναφορά στο χρόνο Αναφερόμενοι στο χρόνο, θα πρέπει κατ αρχάς να τονίσουμε ότι αυτός μπορεί να είναι είτε το ημερολογιακό έτος, είτε

Διαβάστε περισσότερα

ηµόσια ιαβούλευση επί των συντελεστών απωλειών εγχύσεως του Ελληνικού Συστήµατος Μεταφοράς

ηµόσια ιαβούλευση επί των συντελεστών απωλειών εγχύσεως του Ελληνικού Συστήµατος Μεταφοράς ηµόσια ιαβούλευση επί των συντελεστών απωλειών εγχύσεως του Ελληνικού Συστήµατος Μεταφοράς ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ - Επί της Μελέτης 1. Προκαθορισµένα επίπεδα φόρτισης Σύµφωνα µε το Άρθρο 50 - Μελέτη προσδιορισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΟ ΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΑ

ΔΥΟ ΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΑ ΔΥΟ ΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΑ Η διαγνωστική δοκιμασία θα είναι επώνυμη όχι ανώνυμη. Ο μαθητής αναλαμβάνει την ευθύνη του τι γράφει. Επίσης είναι χωρίς προειδοποίηση, ωστόσο οι μαθητές είναι ενήμεροι του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Βυζαντινή Λογοτεχνία. Επιλογή Βιβλιογραφίας Μαρίνα Λουκάκη Φιλοσοφική Σχολή Τμήμα Φιλολογίας Τομέας Βυζαντινής Φιλολογίας και Λαογραφίας

Εισαγωγή στη Βυζαντινή Λογοτεχνία. Επιλογή Βιβλιογραφίας Μαρίνα Λουκάκη Φιλοσοφική Σχολή Τμήμα Φιλολογίας Τομέας Βυζαντινής Φιλολογίας και Λαογραφίας Εισαγωγή στη Βυζαντινή Λογοτεχνία Επιλογή Βιβλιογραφίας Μαρίνα Λουκάκη Φιλοσοφική Σχολή Τμήμα Φιλολογίας Τομέας Βυζαντινής Φιλολογίας και Λαογραφίας Ο κόσμος του Βυζαντίου G. Ostrogorsky, Ιστορία του Βυζαντινού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Case Study. Η διαδικασία μέτρησης ικανοποίησης πελατών στο πρότυπο ISO 9001: Εφαρμογή σε εταιρεία Πληροφορικής II

Case Study. Η διαδικασία μέτρησης ικανοποίησης πελατών στο πρότυπο ISO 9001: Εφαρμογή σε εταιρεία Πληροφορικής II Case Study Η διαδικασία μέτρησης ικανοποίησης πελατών στο πρότυπο ISO 9001: Εφαρμογή σε εταιρεία Πληροφορικής II ΕΡΕΥΝΑ Η έρευνα ικανοποίησης που πραγματοποιήθηκε αφορά µία εταιρεία πληροφορικής. Η έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

Χάρτινες Ιστορίες. «...ανέφερα εγγράφως...» Διάρκεια Έκθεσης:

Χάρτινες Ιστορίες. «...ανέφερα εγγράφως...» Διάρκεια Έκθεσης: Χάρτινες Ιστορίες Ένα εκπαιδευτικό πρόγραµµα για µαθητές και µαθήτριες του γυµνασίου µε αφορµή την έκθεση «...ανέφερα εγγράφως...» «...ανέφερα εγγράφως...» ΘΗΣΑΥΡΟΙ ΤΟΥ ΙΣΤΟΡΙΚΟΥ ΑΡΧΕΙΟΥ ΤΗΣ ΑΡΧΑΙΟΛΟΓΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ.

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ. 2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες Έχει παρατηρηθεί ότι δεν υπάρχει σαφής αντίληψη της σηµασίας του όρου "διοίκηση ή management επιχειρήσεων", ακόµη κι από άτοµα που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Αναστασία Πέτρου Κωνσταντίνος Χρήστου Β 3 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, υπήρξε σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεω μέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Ενότητα 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα α. Θέση και προσανατολισμός της μορφής Η θέση της κάθε μορφής στο σκηνικό προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΥΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Α ΚΥΚΛΟΥ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ

ΥΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Α ΚΥΚΛΟΥ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΚΛΑΣΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΥΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014-15 Α ΚΥΚΛΟΥ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 1. Πλάτων, Πολιτεία, βιβλία 1-4 και 7-10. 2. Ομήρου Ιλιάδα, ραψ. Α, Ι, Σ, Ω, Οδύσσεια, ραψ. α, ζ,

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΒΙΟΣ & ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ

ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΒΙΟΣ & ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ Μαθητικό Συνέδριο Ιστορίας "Το Βυζάντιο ανάμεσα στην αρχαιότητα και τη σύγχρονη Ελλάδα" ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΒΙΟΣ & ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ Η επίδραση της αρχαίας ελληνικής φιλοσοφίας στο Βυζαντινό Πολιτισμό Μαθητική Κοινότητα

Διαβάστε περισσότερα