Ο Νικόλαος Ραβδάς και το βασιλικὸν χρυσουργίίον Προβλήµατα αριθµητικά και ζητήµατα κοπής νοµισµάτων στην υστεροβυζαντινή περίοδο

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ο Νικόλαος Ραβδάς και το βασιλικὸν χρυσουργίίον Προβλήµατα αριθµητικά και ζητήµατα κοπής νοµισµάτων στην υστεροβυζαντινή περίοδο"

Transcript

1 Ο Νικόλαος Ραβδάς και το βασιλικὸν χρυσουργίίον Προβλήµατα αριθµητικά και ζητήµατα κοπής νοµισµάτων στην υστεροβυζαντινή περίοδο Γιάάννης Στόόγιας Αρχαιολόγος-νοµισµατολόγος Κοινωφελές Ίδρυµα Κοινωνικού & Πολιτιστικού Έργου Σε µια επιστολή 1 που χρονολογείται µε ασφάλεια στο έτος και απευθύνει ο Νικόλαος Ραβδάς 3 προς τον Θεόδωρο Τζαβούχη 4 από τις Κλαζοµενές τίθεται µεταξύ άλλων ένα πρόβληµα, που σηµειώνεται ότι απασχολούσε το βασιλικὸν χρυσουργίίον 5 και το οποίο είχε ιδιαίτερη απήχηση, ενώ η επίλυσή του δεν ήταν γνωστή στους πολλούς 6 εικ. 1. Κάποιος είχε 50 ἐξάάγια χρυσού, 15 κοκκίίων (ή κερατίων) το καθένα, και έναν απροσδιόριστο αριθµό από ἐξάάγια των 21 κερατίων, δηλ. υπέρπυρα κανονικού τίτλου, και * Ευχαριστίες για επιµέρους χρήσιµες παρατηρήσεις οφείλονται στη Βάσω Πέννα (Επικ. Καθ. Πανεπιστηµίου Πελοποννήσου). Είµαι επίσης υπόχρεως κατά περίπτωση για διευκολύνσεις στον Γεράσιµο Μέριανο (ερευνητή, ΙΒΕ/ΕΙΕ), στον Χρύσανθο Βαλασιάδη (νοµισµατολόγο) και στον Γιώργο Μακρίδη (µαθηµατικό), καθώς και στην Κωνσταντίνα Λέντζιου για την αρωγή στη µετάφραση ενός άρθρου από τα ιταλικά. 1 P. Tannery, Notices sur les deux lettres arithmétiques de Nicolas Rhabdas, στο Mémoires scientifiques (εκδ. J.-L. Heiberg), τ. IV: Sciences exactes chez les Byzantins, , Toulouse - Paris 1920 [στο εξής Tannery 1920], Βλ. Tannery 1920, 72, βάσει του υπολογισµού του Πάσχα (8 Απριλίου) του τρέχοντος έτους (από κτίσεως κόσµου 6849) και των συµφραζοµένων, η επιστολή προς τον Τζαβούχη πρέπει να γράφηκε µεταξύ 7 και 11 Φεβρουαρίου του Για τον Νικόλαο Αρτάβασδο τον Ραβδά βλ. ενδεικτικά The Oxford Dictionary of Byzantium, γεν. επιµ. A. P. Kazhdan, New York - Oxford 1991 [στο εξής ODB], τ. 3, Prosopographisches Lexikon der Palaiologenzeit, CD Rom-Version, Wien 2001 [στο εξής PLP], αρ Σ. Θεοδοσίου Μ. Δανέζης, Στα χρόνια του Βυζαντίου. Οι θετικοί επιστήµονες, ιατροί, χρονολόγοι και αστρονόµοι, Αθήνα 2010 [στο εξής Θεοδοσίου Δανέζης 2010], PLP, αρ Πρόκειται για το αυτοκρατορικό νοµισµατοκοπείο, για το οποίο χρησιµοποιούνται επίσης όροι όπως χρυσεψητεῖον, χαραγήή, βασιλικοὶ θησαυρόότυποι κ.ά. βλ. K.-P. Matschke, Münzstätten, Münzer und Münzprägung im späten Byzanz, Revue Numismatique 152 (1997), , Tannery 1920, 154: «ζήήτησις λόόγου ἐνεργουµμέένη παρὰ τῷ βασιλικῷ χρυσουργίίῳ πάάνυ ἀζιοζήήτητος καὶ τοῖς πολλοῖς οὐκ εὔγνωστος ἐκφεύύγει δὲ πάάλιν τοὺς πολλοὺς διὰ τὸ ποικίίλον αὐτῆς». 1

2 θέλησε να φτιάξει κράµα 18 κοκκίίων τι ποσό έπρεπε να πάρει από το δεύτερο σύνολο για να παραχθούν 50 νοµίσµατα των 18 κερατίων; 7 Ο Νικόλαος Αρτάβασδος ο Ραβδάς 8 καταγόταν από τη Σµύρνη αυτή του η επιστολή και µία άλλη παρόµοια αποστέλλονται από την Κωνσταντινούπολη. Στη δεύτερη επιστολή 9, που απευθύνεται στον ἐπὶ τῶν δεήήσεων Γεώργιο Χατζύκη 10, ο αποστολέας αυτοχαρακτηρίζεται «ἀριθµμητικὸς καὶ γεωµμέέτρης» 11 και πραγµατεύεται την ψηφοφορικὴν ἐπιστήήµμην, δηλ. την επιστήµη των αριθµών και των υπολογισµών. Στην επιστολή προς τον Χατζύκη περιλαµβάνεται µια µικρή µελέτη περί δακτυλοµετρίας (Ἔκφρασις τοῦ δακτυλικοῦ µμέέτρου) 12, ενώ αναλύονται οι τέσσερις πράξεις καθώς και άλλα θέµατα µαθηµατικών 13. Στην εκτενέστερη και περισσότερο ενδιαφέρουσα επιστολή του 1341 προς τον Τζαβούχη ο Ραβδάς ασχολείται µε µια σειρά από µαθηµατικά ζητήµατα 14 αφιερώνοντας ένα µεγάλο τµήµα στην µμέέθοδον πολιτικῶν λογαριασµμῶν, δηλ. στην µέθοδο των τριών, την απλή, ευθεία και αντίστροφη, και τη σύνθετη 15. Είναι ενδιαφέρον ότι ο Ραβδάς στην πραγµάτευσή του ως προς την επίλυση προβληµάτων αυτού του είδους χρησιµοποιεί τον όρο λόόγοι ακολουθώντας την παράδοση των Ελλήνων µαθηµατικών 16. Στη συνέχεια, αφού κλείσει την επισκόπησή του για τους πολιτικοὺς λογαριασµμούύς, ο συγγραφέας θέτει το πρόβληµα που αναφέρθηκε στην αρχή και το οποίο ανήκει στην κατηγορία των προβληµάτων µε κράµατα. Κατόπιν προχωρεί σε ένα απάνθισµα προβληµάτων όπου γίνεται αναφορά σε «ὑψηλοτέέρων καὶ θαυµμασιωτέέρων προβληµμάάτων µμεθόόδους» Tannery 1920, Βλ. επίσης M. F. Hendy, Studies in the Byzantine Monetary Economy c , Cambridge 1985 [στο εξής Hendy 1985], Cécile Morrisson J.-N. Barrandon J. Poirier, L or monnayé. I. Purification et altérations. De Rome à Byzance, Cahiers Ernest Babelon, 2, Valbonne 1985, , 186, σηµ Το παρωνύµιο Ραβδ ς ίσως προέκυψε από την ενασχόλησή του, εκτός από τα µαθηµατικά, και µε την αστρονοµία. Πρβλ. την αναφορά σε ῥάάβδους καὶ παρηλίίους στην Ἠθοποιΐα ὡς ἀπὸ τινος µμαθηµματικοῦ µμετὰ τὴν τῆς Κωνσταντινουπόόλεως ἄλωσιν του Νικολάου Μεσαρίτου (στ ) βλ. σχετικά B. Flusin, Nicolas Mésaritès. Éthopée d un astrologue qui ne put devenir patriarche, στο Μélanges Gilbert Dagron. Travaux et Mémoires 14 (2002), Tannery 1920, PLP, αρ Για τον Γεώργιο Χατζύκη (ή Χατζίκη) υπάρχει η πληροφορία ότι ήταν ἐπὶ τῶν δεήήσεων στην Κωνσταντινούπολη το 1321 (Reg. 4, no. 2450). Δεν είναι σαφές εάν η επιστολή του Ραβδά προς αυτόν είναι προγενέστερη ή σχεδόν σύγχρονη (βλ. Tannery 1920, 72) µε εκείνη που έγραψε προς τον Θ. Τζαβούχη. 11 Με τον ίδιο τρόπο απευθύνεται και ο Μανουήλ Μοσχόπουλος (PLP, αρ ) προς τον Ραβδά Tannery 1920, 2, Tannery 1920, 9, 74, Σύστηµα µέτρησης µε τα δάκτυλα των αριθµών έως το Περὶ τετραγωνικῆς πλευρᾶς, περὶ τῆς τῶν ἀριθµμῶν ἀναλογίίας καὶ τάάξεως κ.ά. Για µια άλλη οπτική στη µαθηµατική παράδοση που διασώζει ο Ραβδάς, διαφορετική από αυτή του Tannery, βλ. A. Schärlig, Compter avec des cailloux. Le calcul élémentaire sur l abaque chez les anciens Grecs, Lausanne 2001, Π.χ. Περὶ εὐρέέσεως τῆς τετραγωνικῆς πλευρᾶς τῶν µμὴ ρητῶν τετραγώώνων (Tannery 1920, ). 15 Tannery 1920, 13, 140 κ.ε. 16 Tannery 1920, 13, Tannery 1920,

3 Επιπλέον, είναι γνωστό ότι ο Νικόλαος Ραβδάς έκανε προσθήκες στην Ψηφοφορίίαν κατ Ἰνδούύς που είχε συγγράψει ο Μάξιµος Πλανούδης 18. Από τα γραπτά του Ραβδά είναι προφανές ότι ασχολήθηκε ακόµη µε πίνακες πολλαπλασιασµού, µε ρίζες 19 και πιθανότατα µε «µαγικά» τετράγωνα 20. Ας αναφερθεί προς τούτοις ότι για το ζήτηµα της γραφής µεγάλων αριθµών, που στο αλφαβητικό σύστηµα αρίθµησης παρουσιάζει δυσκολίες, πρότεινε µια ιδιότυπη µέθοδο συµβολισµού των διαδοχικών δυνάµεων του Με ένα ζευγάρι τελείες πάνω από τα γνωστά ελληνικά ψηφία συµβολιζόταν η µυριάδα, µε δύο επάλληλα ζεύγη από τελείες δηλωνόταν η διπλή µυριάδα, µε τρία ζεύγη η τριπλή µυριάδα κ.ο.κ. 21 Επιστρέφοντας στο πρόβληµα του Ραβδά µε το κράµα 21 και 15 κοκκίίων, µπορούµε πλέον να δούµε και τη λύση που δίδει εικ. 2. Παίρνει τη διαφορά από το ζητούµενο των 18 κερατίων προς τα 15 κόόκκια του γνωστού αριθµού νοµισµάτων, που είναι 3. Πολλαπλασιάζει το 3 µε το 50 (ο αριθµός νοµισµάτων των 15 κερατίων) και διαιρεί το γινόµενο µε το 21 (τα κεράτια του άγνωστου αριθµού υπερπύρων). 22 Το αποτέλεσµα είναι 7 1/7, εποµένως προσµειγνύοντας 7 1/7 από τα 18 Tannery 1920, 6, Σχετικά µε τη διάδοση των ινδοαραβικών ψηφίων στο Βυζάντιο βλ. K. Vogel, Εγγράµµατος λογισµός και ινδικά ψηφία στο Βυζάντιο, Νεύσις 5 (1996), [µτφρ. Κ. Ν. Σιδηρόπουλος άρθρο δηµοσιευθέν αρχικώς στα Akten des XI. Internationalen Byzantinistenkongresses 1958, München 1960, ]. Για τη συµβολή του Μ. Πλανούδη στη διάδοση των ινδοαραβικών ψηφίων (και του µηδενός) στο Βυζάντιο βλ. Θεοδοσίου Δανέζης 2010, Μαρία Δ. Χάλκου, «Η ελληνική µαθηµατική εγκυκλοπαίδεια των Βυζαντινών», Αφιέρωµα στη µνήµη της Έλλης Πελεκανίδου. Βυζαντινά 27 (2007) [στο εξής Χάλκου 2007], 102, Με παρότρυνση του Ραβδά έγραψε µια πραγµατεία για «µαγικά» τετράγωνα ο Μανουήλ Μοσχόπουλος Tannery 1920, 32 κ.ε. Θεοδοσίου Δανέζης 2010, Γ. Η. Μπαραλής, Η γραφή των αριθµών στο Ιωνικό αλφαβητικό σύστηµα αρίθµησης και η χρήση τους σε κείµενα αρχαίων Ελλήνων µαθηµατικών, Επιστηµονικό Βήµα 13 (Ιούνιος 2010) [στο εξής Μπαραλής 2010], = 150, 150/21= 7 1/7. 3

4 «καλά» χρυσά νοµίσµατα µε τα υπόλοιπα 50 χαµηλότερου τίτλου, µπορούν να κατασκευαστούν 50 νοµίσµατα των 18 κερατίων. Στη µέθοδο αυτή της εποχής του Ραβδά µπορεί να αντιπαραβληθεί και ένας νεώτερος τρόπος επίλυσης του συγκεκριµένου προβλήµατος. 23 Είναι αξιοπρόσεκτο ότι από την εν λόγω περίοδο σώζονται και άλλες συναγωγές υπολογισµών που περιλαµβάνουν ανάλογα προβλήµατα κραµάτων µε εφαρµογή σε τρέχοντα νοµισµατικά ζητήµατα. Από έναν Παρισινό κώδικα που χρονολογείται µάλλον στον πρώιµο 14ο αι. 24 µπορεί να αναφερθεί ένα λίγο διαφορετικό παράδειγµα εικ. 3. Εδώ τα κουκίία του ενός συνόλου υπερπύρων είναι 21 ½, ενώ του άλλου συνόλου νοµισµάτων είναι 13 και ως ζητούµενο πρέπει να προκύψει κράµα 15 ½ κερατίων 25. Χωρίς ιδιαίτερη αναφορά στις λεπτοµέρειες, στον τρόπο επίλυσης 26 και στην επαλήθευση, 27 αυτές οι τρεις βαθµίδες διαφορετικής περιεκτικότητας σε ευγενές µέταλλο χρήζουν περαιτέρω σχολιασµού στη συνέχεια. Ο Βιενναίος Ελληνικός φιλολογικός κώδικας 65 του 15ου αι. περιέχει δύο µαθηµατικά έργα. Η συγγραφή Ανωνύµου των φύλλων χρονολογείται γύρω στο 1436 και µπορεί να αποτελούσε διδακτέα ύλη για µαθητές 28. Σε αυτήν την «Ελληνική Βιενναία Μαθηµατική Πραγµατεία», όπως είναι γνωστή, υπάρχουν µεταξύ άλλων προβλήµατα x= 18.50, 21x= , 21x= 3.50, 7x= 50, x= 50/7= 7 1/7. 24 Aνώνυµος του Cod. Par. Suppl. Gr. 387 βλ. K. Vogel, Ein byzantinisches Rechenbuch des frühen 14. Jahrhunderts, Wien 1968 [στο εξής Vogel 1968]. 25 Vogel 1968, 20-21, αρ ½ - 15½ = 6, 15½ - 13 = 2½, 100.6= 600, 600/2.5= ½.100= 2150, = 3120, = 5270, 5270/15.5= 340, = Μαρία Δ. Χάλκου, Το µαθηµατικό περιεχόµενο του Codex Vindobonensis Phil. Graecus 65 (φφ ). Εισαγωγή, έκδοση και σχόλια, Θεσσαλονίκη 2006 [στο εξής Χάλκου 2006], 17, Χάλκου 2007, 91. 4

5 κραµάτων, όπως ενδεικτικά το υπ. αρ. 110, 29 στο οποίο ζητείται η πρόσµειξη χαλκού (ἐπιβολὴ χαλκώώµματος) σε καθαρό ασήµι, που οι Λατίνοι ονόµαζαν φίίνον 30 εικ. 4. Είναι γνωστό ότι την περίοδο αυτή στο Βυζάντιο έχουν παύσει να κόβονται χρυσά νοµίσµατα, ωστόσο µάλλον δεν είναι αξιοπερίεργο ότι στο επόµενο πρόβληµα, το υπ. αρ. 111, 31 τίθεται ως ανάλογο ζητούµενο η ἐπιβολὴ ασηµιού σε χρυσάφι 24 καράάτων (τέέλειον µμάάλαγµμαν) ώστε να γίνει χρυσός 22 καράάτων 32 εικ. 5. Τα φύλλα 126v-140r του Cod. Vindob. Phil. Gr. 65 αποτελούν έργο άλλου Ανωνύµου, που ανήκει πιθανότατα στα έτη περ και εστιάζει κατεξοχήν σε πρακτικά ζητήµατα εµπορίου και συναλλαγών Χάλκου 2006, 250, κεφ. ρι, Χάλκου 2006, 24, 250. O υπολογισµός που γίνεται είναι ο εξής: 30.12= 360, 360/9= 40, 40-30= Χάλκου 2006, , κεφ. ρια. 32 Η επίλυση έχει ως εξής: = 2400, 2400/22= 109 1/11, 109 1/11-100= 9 1/ H. Hunger K. Vogel, Ein byzantinisches Rechenbuch des 15. Jahrhunderts, Wien 1963 Χάλκου 2006, 17, 18, 20. 5

6 Η εµφάνιση στο Βυζάντιο, πάντως, τέτοιων µαθηµατικών πονηµάτων µε συγκεκριµένες εφαρµογές επηρεάστηκε µάλλον από την έκδοση αντίστοιχων δυτικών συγγραµµάτων, τηρουµένων των αναλογιών, αρχής γενοµένης από το κοµβικό έργο του Leonardo Pisano Fibonacci που εισήγαγε τους ινδοαραβικούς αριθµούς στην Ευρώπη (Liber abaci, 1202). Από τα τέλη του 13ου αι. είχαν αρχίσει να εµφανίζονται στη Δύση µαθηµατικές πραγµατείες, ενώ την ίδια εποχή και λίγο αργότερα κάνουν την εµφάνισή τους πρακτικά εγχειρίδια για εµπόρους (Libri di mercatura) 34. Οι αναφορές των µαθηµατικών προβληµάτων της εποχής σε νοµίσµατα διαφορετικού τίτλου 35 υποδηλώνουν τις ανάγκες των ανθρώπων να χρησιµοποιούν κέρµατα µε περιεκτική (intrinsic) ή παραστατική (nominal) αξία που εν γένει παρουσίαζε ποικίλες αποκλίσεις. Θεµέλιο του υστεροβυζαντινού νοµισµατικού συστήµατος έως και τους χρόνους του Ραβδά αποτελούσε το ὑπέέρπυρον, ένα χρυσό νόµισµα 20 ½ κερατίων που είχε εισαχθεί µε τη νοµισµατική µεταρρύθµιση του Αλεξίου Α Κοµνηνού το , βάζοντας τυπικό τέλος στη µακραίωνη ιστορία του βυζαντινού σολίδου των 24 κερατίων. Δύο βασικές υποδιαιρέσεις του συστήµατος ήταν το ἄσπρον τραχὺ από ήλεκτρο (κράµα χρυσού-αργύρου) και το τραχὺ από κράµα χαλκού-αργύρου. Στους δύο ταραγµένους αιώνες που ακολούθησαν η απαξίωση των νοµισµάτων κλόνισε εκ βάθρων τη βυζαντινή νοµισµατοκοπία. Στις αρχές του 14ου αι. η κατάσταση των νοµισµατικών πραγµάτων έχει διαµορφωθεί µε τον τρόπο που εικονίζει ο πίνακας εικ. 6. Παράλληλα, η σταδιακή υποβάθµιση του ευγενούς µετάλλου του υπερπύρου αποτυπώνεται τόσο από την ίδια την παρουσία του και την αξιοπιστία του στις αγορές όσο και στις γραπτές πηγές. 34 Bλ. Lucia Travaini, Monete, mercanti e matematica, Roma 2003 [στο εξής Travaini 2003], 86, 87, Τίτλος (γαλλ. titre) του νοµίσµατος ονοµάζεται η αναλογία του χρησιµοποιούµενου κράµατος, ιδίως όσον αφορά στην περιεκτικότητά του σε πολύτιµο µέταλλο. 36 Ph. Grierson, Byzantine Coins, London - Berkeley - Los Angeles 1982,

7 Μια πρώιµη µαρτυρία που ανάγεται περί το 1290 ανιχνεύεται σε ένα δυτικό µαθηµατικό σύγγραµµα που φυλάσσεται στο Columbia University της Νέας Υόρκης 37, όπου µεταξύ άλλων γίνεται µνεία σε perperi boctazati των 17 καρατίων. 38 Πολύ διαφωτιστικές είναι δύο µαρτυρίες του πρώιµου 14ου αι., τόσο αυτή του Γεωργίου Παχυµέρη όσο και εκείνη του Φλωρεντινού Francesco Balducci Pegolotti. O Παχυµέρης γράφει γύρω στα και σηµειώνει χαρακτηριστικά ότι ο Ανδρόνικος Β Παλαιολόγος «τὸ νόόµμισµμα διὰ τὴν χρείίαν ἐκιβδηλεύύετο». Αναφέρεται ότι πρώτα ο Ιωάννης Γ Βατάτζης είχε προσαρµόσει την αξία του καθαρού χρυσού των νοµισµάτων στα 16 κεράτια 39 στη συνέχεια ο Μιχαήλ Η Παλαιολόγος, µετά την ανακατάληψη της Πόλεως το 1261, εισήγαγε έναν νέο νοµισµατικό τύπο, κόβοντας ταυτόχρονα λόγω οικονοµικής στενότητας χρυσά νοµίσµατα µειωµένης αξίας κατά ένα καράτι (παρὰ κεράάτιον). Ο Ανδρόνικος Β, όταν τον διαδέχθηκε, µε τη σειρά του κατέβασε αρχικά τον τίτλο από τα 15 στα 14 κεράτια, για να φθάσει γύρω στο 1308 η περιεκτικότητα του υπερπύρου τα 12 κεράτια, δηλ. το ήµισυ της αρχικής αξίας του βυζαντινού χρυσού νοµίσµατος 40. Επικυρωτική εν πολλοίς στα παραπάνω έρχεται η λίγο µεταγενέστερη µαρτυρία του Balducci Pegolotti 41 (µάλλον γύρω στα ), που περιγράφει αναλυτικά τα διαφορετικού τίτλου υπέρπυρα που κυκλοφορούσαν στον καιρό του 43 εικ Κώδικας X511 AL 3. Βλ. Travaini 2003, 86, 87 κ.ε. Hendy 1985, Travaini 2003, 95, 289. Κατά πάσα πιθανότητα η ονοµασία συνδέεται µε υπέρπυρα του Ιωάννου Γ Βατάτζη στο κείµενο γίνεται επίσης αναφορά και σε perperi µικρότερου τίτλου (chomunali 16 ½ καρατίων και palgliolati 15 καρατίων). 39 Γεώργιος Παχυµέρης, έκδ. Βόννης 1835, τ. ΙΙ, : «τὸ δίίµμοιρον τοῦ ταλάάντου τῶν νοµμισµμάάτων χρυσὸς ἦν ἄπεφθος», δηλ. τα 2/3 των 24 κερατίων. 40 Γεώργιος Παχυµέρης, έκδ. Βόννης 1835, τ. ΙΙ, Francesco Balducci Pegolotti, Libro di divisamenti di paesi e di misuri di mercatanzie e daltre cose bisognevoli di sapere a mercatanti [γνωστό ως Pratica della mercatura ], επιµ. A. Evans, Cambridge, MA 1936, Travaini 2003, 86, Hendy 1985, 527, πίν. 23 Travaini 2003, 124 κ.ε. βλ. επίσης Angeliki E. Laiou Cécile Morrisson, The Byzantine Economy, Cambridge 2007, 217, 220, εικ. 2. 7

8 Έτσι όπως διαµορφώνεται ανάγλυφα η πτωτική πορεία των υπερπύρων γίνεται µάλλον εύλογη η ενασχόληση λίγο µεταγενέστερων κειµένων µε νοµίσµατα διαφορετικής αξίας και προβλήµατα κραµάτων. Μάλιστα στον Παρισινό κώδικα του πρώιµου 14ου αι. που προαναφέρθηκε απαντά στα προβλήµατα όλη η γκάµα των κερατίων από τα 11 έως τα 18, ενώ ως χρυσὸς ἀργὸς υπολογίζεται τόσο αυτός των 24 καρατίων όσο και αυτός των 21 ½. 44 Ας σηµειωθεί ωστόσο ότι ως ἀργὸς χρυσὸς θα πρέπει να θεωρηθεί ο ακατέργαστος, καθαρός και µαλακός 45 και όχι ο «λευκός» 46. Επιπροσθέτως, η προσπάθεια των αρχών να ξεχωρίζουν τις διάφορες εκδόσεις επιβεβαιώνεται µέσω της νοµισµατικής έρευνας µε την αναγνώριση «µυστικών» συµβόλων πάνω στα νοµίσµατα καθεαυτά, τα οποία προφανώς χρησιµοποιούνταν ως διακριτικά 47. Μελέτες προς την κατεύθυνση αυτή, όπως εκείνη της δηµοσίευσης από τον Oberländer-Târnoveanu ενός «θησαυρού» µε ικανό αριθµό υπερπύρων του Βατάτζη 48 αποκαλύπτουν µια πολύ ενδιαφέρουσα εικόνα για τη διαβάθµιση των κοπών. Στους πρώτους δύο πίνακες αναλύεται η σύσταση των υπερπύρων του Ιωάννου Γ σε δύο φάσεις: κατά την πρώτη τα υπέρπυρα προσεγγίζουν τα 18 κεράτια, ενώ κατά τη δεύτερη κυµαίνονται µεταξύ 16 1/3 και 16 2/3 49. Ακολούθως, στην 3η φάση του Βατάτζη ο τίτλος πέφτει στα 16 κεράτια 50 εικ Vogel 1968, Ανάλογοι όροι: χρυσὸς ἄπεφθος, τέέλειον µμάάλαγµμα. Υπό αυτό το πρίσµα της ερµηνείας της λέξης ἀργόός, τηρουµένων των αναλογιών, πρβλ. τον όρο ἀϝεργὸν (ακατέργαστο) για ἀργύύριον ή χρυσίίον και την αναφορά του Παυσανίου για ἀργὸν ἄργυρον καὶ χρυσὸν (Λακωνικά, 12.3) Χ. Β. Κριτζάς, Οβολοί Αργολικοί, στο Κερµάτια Φιλίας. Τιµητικός τόµος για τον Ιωάννη Τουράτσογλου, Αθήνα 2009, τ. Α, σ. 13, σηµ Vogel 1968, 162. Πρβλ. Ηρόδοτος, 1.50, για τη σαφή διαφοροποίηση του ἀπέέφθου και του λευκοῦ χρυσού. 47 Bλ. M. F. Hendy, Catalogue of the Byzantine Coins in the Dumbarton Oaks Collection and in the Whittemore Collection. Vol. 4. Part 1: Alexius I to Alexius V ( ), Washington, D.C [στο εξής DOC 4.1], E. Oberländer-Târnoveanu, Les hyperpères de type Jean III Vatatzès classification, chronologie et évolution du titre (à la lumière du trésor d Uzun Baïr, dép. de Tulcea), στο Istro-Pontica. Muzeul Tulcean la a 50-a aniversare Omagiu lui Simion Gavrilă, Tulcea 2000 [στο εξής Oberländer-Târnoveanu 2000], Το «εύρηµα» Uzun Baïr/ (Tulcea, Δοβρουτσά, Ρουµανία) περιείχε 174 νοµίσµατα Ιωάννου Γ Βατάτζη ή αποµιµήσεις του τύπου αυτού (Oberländer-Târnoveanu 2000, 501, ). 49 Oberländer-Târnoveanu 2000, Oberländer-Târnoveanu 2000,

9 Όσον αφορά στις λατινικές αποµιµήσεις 51 του «θησαυρού» πολλά από τα νοµίσµατα αυτά κυµαίνονται γύρω στα 16 καράτια 52 εικ. 9. Σε σχέση µε το ζήτηµα αυτό, και όχι µόνον, θα πρέπει να εξεταστεί πιο επισταµένα η τυχόν ανάµειξη ιδιωτών για κατά περίπτωση κοπές στη moneta publica (ή και στη moneta sacra ίσως;) της Κωνσταντινουπόλεως, ιδιαιτέρως δε ο καθοριστικός παράγοντας των Λατίνων και δη των Ενετών Για τις λατινικές αποµιµήσεις (perperi latini εν γένει στον Balducci Pegolotti) βλ. ενδεικτικά Βασιλική Πέννα, Βυζαντινό νόµισµα και λατινικές αποµιµήσεις, στο Τεχνογνωσία στη λατινοκρατούµενη Ελλάδα. Hµερίδα / 8 Φεβρουαρίου 1997, Αθήνα 2000 [στο εξής Πέννα 2000], Oberländer-Târnoveanu 2000, Hendy 1985, Πέννα 2000, (όπου γίνεται ιδιαίτερη αναφορά στον ρόλο των Βενετών). Σε κάθε περίπτωση η µαρτυρία του Ραβδά σηµειώνεται σε ένα οριακό a posteriori χρονικό σηµείο, καθώς λίγα έτη αργότερα η κοπή υπερπύρων θα παύσει ( ) και το υπέρπυρον θα αποτελέσει πλέον λογιστική µονάδα ή/και αργυρό νόµισµα βλ. Cécile Morrisson, Το βυζαντινό νόµισµα: Παραγωγή και κυκλοφορία, στο 9

10 Στο πλαίσιο που µόλις εξετάσαµε αναφαίνεται ένα ακόµη ζήτηµα που επηρεάζει εµµέσως πλην σαφώς τη νοµισµατική παραγωγή, αυτό της ιδιότυπης τεχνικής κοπής των περισσότερων νοµισµάτων της περιόδου. Καταρχάς, από καιρό έχει διευκρινιστεί στην έρευνα ότι η ονοµασία «σκυφωτά» αποτελεί έναν µάλλον αδόκιµο νεολογισµό ο όρος scyphati που απαντά σε διάφορες παραλλαγές σε δυτικές πηγές δεν ετυµολογείται από την ελληνική λέξη σκύφος, 54 αλλά πιθανώς από τον αραβικό επιθετικό προσδιορισµό shiffi που µε τη σειρά του µάλλον προέρχεται από την αραβική λέξη shafah (χείλος, περιφέρεια) 55. Κατά την πειστικότερη προσέγγιση ο όρος αναφέρεται στην ευρύτερη περιφέρεια και τον χαρακτηριστικό τριπλό στικτό κύκλο που απέκτησαν τα βυζαντινά χρυσά (ἱστάάµμενα) νοµίσµατα στις αρχές του 11ου αι. 56 Είναι προτιµητέα αντί της λέξης «σκυφωτό» η χρήση του όρου τραχύ, µε την έννοια του µη επιπεδικού, καθώς προέρχεται από γραπτές µαρτυρίες και αποδίδει την κοιλόκυρτη µορφή των νοµισµάτων αυτών 57. Σε κάθε περίπτωση, η κατανόηση του raison d être για την αλλαγή αυτή απέχει από το να είναι πλήρης, αλλά είναι πιθανότερο να προέκυψε λόγω τεχνικών και πρακτικών λόγων 58, παρά να οφείλεται σε κάποια περίτεχνη ιδεολογική επαναθεώρηση των νοµισµάτων 59. Την προσέγγιση της τεχνικής δυσκολεύει η έλλειψη σηµαντικών υλικών τεκµηρίων για την κοπή βυζαντινών νοµισµάτων, όπως είναι οι νοµισµατικές µήτρες. Βάσει των γνωστών και δηµοσιευµένων δεδοµένων έχει βρεθεί µόλις µία νοµισµατική µήτρα που χρονολογείται στους χρόνους του Βυζαντίου: πρόκειται για µια άνω σφραγίδα (χαρακτῆρα) για κοπή φόλλεων Ιουστίνου Α έχει µάλιστα εκφραστεί η υπόνοια µήπως πρόκειται για µήτρα παραχαράκτη 60 εικ. 10. Οικονοµική ιστορία του Βυζαντίου από τον 7ο έως τον 15ο αιώνα (γεν. εποπτ. Αγγελική E. Λαΐου), τ. Γ, 2006, Ph. Grierson, Nummi scyphati. The story of a misunderstanding, Numismatic Chronicle 11 7 (1971) [στο εξής Grierson 1971], Grierson 1971, Grierson 1971, 259 βλ. επίσης K. Weber, Erkenntnisse zur Herstellung byzantinischer Elektrum-Skyphaten, Jahrbuch für Numismatik und Geldgeschichte 53/54 (2003/2004) [στο εξής Weber 2003/2004], Grierson 1971, 260. Βλ. επίσης για τον όρο ὁλόότραχον, DOC 4.1, Weber 2003/2004, 28-31, 47, 52, 70 Cécile Morrisson, Coins monétaires byzantins, στο Conii e scene di coniazione, επιµ. Lucia Travaini Alessia Bolis, Roma 2007 [στο εξής Morrisson 2007], Η θεωρητική προσέγγιση του M. Labouret (M. Labouret, Monnaies «scyphates»: de l analogie structurale à l hypothèse idéologique, Bulletin de la Société Française de Numismatique, 65 e année N o 5 (mai 2010), ), που διαβλέπει στην κυρτή επιφάνεια των νοµισµάτων την προβολή ενός τρούλλου, µάλλον συνιστά υπερερµηνεία και κρίνεται εν πολλοίς αβάσιµη. 60 M. D. O Hara, A unique Byzantine coin die of Justin I (AD ), Minerva. The International Review of Ancient Art & Archaeology 12/5 (September/October 2001), 54 M. Metlich, Nachträge zu Money of the Incipient Byzantine Empire, Institut für Numismatik und Geldgeschichte. Mitteilungsblatt 24/02 (2002), 5, 7. 10

11 Ούτως ή άλλως τέτοια ευρήµατα, όπως µία άνω σφραγίδα (χαρακτήρ) για κοπή νοµισµάτων Γουλιέλµου Α Αγγλίας ( ), 61 είναι σπάνια εικ. 11. Για να καταστεί όµως κατανοητός ο modus operandi ενός µεσαιωνικού νοµισµατοκοπείου θα πρέπει επιπλέον να λάβουµε υπ όψιν τη θεωρία που διατύπωσαν οι S. Bendall και D. Sellwood για την κοπή των κοιλόκυρτων υστεροβυζαντινών νοµισµάτων, 62 η οποία έχει γίνει εν συνόλω ή εν µέρει αποδεκτή 63. Σύµφωνα µε την άποψη αυτή αµφισβητήθηκε για πρώτη φορά η αναµενόµενη πρακτική τοποθέτησης των µητρών για την κοπή παιστών νοµισµάτων προτάθηκε ότι στην πραγµατικότητα η κοπή πρέπει να γινόταν µε τις θέσεις αντεστραµµένες: την κυρτή µήτρα κάτω και την κοίλη µήτρα πάνω Βρετανικό Μουσείο, Λονδίνο, αρ. ευρ. CM Μία από τις 4 νοµισµατικές µήτρες που είχαν εντοπιστεί σε σηµεία της προκυµαίας του Τάµεση (δεκαετία 1980) M. M. Archibald J. R. S. Lang G. Milne, Four Early Medieval coin dies from the London waterfront, Numismatic Chronicle 155 (1995), S. Bendall D. Sellwood, The method of striking scyphate coins using two obverse dies in the light of an early thirteenth century hoard, Numismatic Chronicle 18 7 (1978) [στο εξής Bendall Sellwood 1978], Έκτοτε ο Bendall επανήλθε µε ένα άρθρο παρόµοιου περιεχοµένου: S. Bendall, The double striking of the late Byzantine scyphate coins, The Celator 12/6 (June 1998), DOC 4.1, 124 Weber 2003/2004, Morrisson 2007, Bendall Sellwood 1978, 94-95, Fig. 3-4,

12 Παρατηρήθηκε επίσης ότι πλέον µια κατακόρυφη κρούση του νοµισµατικού «πετάλου» δεν θα επαρκούσε για να χαράξει την παράσταση, παρά µόνον στο κέντρο του εικ. 12. Βάσει παρατηρήσεων που έγιναν προτάθηκε ότι η ευχερής χάραξη των νοµισµατικών τύπων θα µπορούσε να γίνει µε δύο λοξά επάλληλα χτυπήµατα εικ. 13. Νεώτερη µελέτη, του K. Weber, τεκµηρίωσε διεξοδικά τη διαδικασία της νοµισµατικής παραγωγής 65. Τα συµπεράσµατα αυτής της έρευνας διαφωτίζουν επιµέρους ειδικά τεχνικά θέµατα και αναιρούν ορισµένες εικασίες. Το ενδεχόµενο που είχε προταθεί να γινόταν η κοπή µε δύο µισές µήτρες δεν φαίνεται να τεκµηριώνεται 66. Οι µεταλλουργικές αναλύσεις δίνουν στοιχεία για τη διαµόρφωση των «πετάλων» και η σύσταση των κραµάτων συνιστά καθοριστική παράµετρο για το σχήµα των κερµάτων εικ Weber 2003/2004, 34 κ.ε., Weber 2003/2004, 58, 70 βλ. επίσης DOC 4.1,

13 Αποσαφηνίζεται ότι το «πέταλο» δεν το ακουµπούσαν στην κάτω σφραγίδα (ακµονίσκος) αφού πρώτα του είχαν δώσει κοιλόκυρτη µορφή ένα απλό χτύπηµα στο κέντρο του «πετάλου» ήταν αρκετό για να σταθεί στη θέση του 67. Πολύ πρόσφατα δηµοσιεύτηκε µια διαφορετική άποψη για το όλο θέµα: Ο A. Trivero Rivera υποστήριξε σε γενικές γραµµές πειστικά ότι τα δεδοµένα της µελέτης του σε τραχέα του Αλεξίου Γ δεν δικαιολογούν η πάνω µήτρα να είναι κοίλη 68. Σε ένα ικανό δείγµα κατέδειξε ότι οι δύο κρούσεις γίνονται µε άνω µήτρα (χαρακτῆρα) που έχει κυρτή κεφαλή κατά τον Rivera πρώτα αποτυπώνεται η αριστερή πλευρά (εν προκειµένω µε τον αυτοκράτορα) και κατόπιν η δεξιά (µε τον άγ. Κωνσταντίνο) 69 εικ. 15. Σηµαντική παρατήρηση που δείχνει να ενισχύει την άποψη αυτή είναι ότι στην πλευρά του νοµίσµατος που βαθουλώνεται πολύ συχνά οι δύο µορφές παρουσιάζουν απόκλιση, λόγω της ροπής ταλάντωσης του χτυπήµατος αντιθέτως η όψη µε τον Χριστό κατά κανόνα δεν µετακινείται, προφανώς λόγω της θέσης της στην κοιλότητα του ακµονίσκου εικ Weber 2003/2004, Βλ. επίσης D. Sellwood, The production of flans for Byzantine trachy issues, στο Metallurgy in Numismatics, Vol. 1, επιµ. D. M. Metcalf W. A. Oddy, London 1980, A. Trivero Rivera, Ipotesi circa la tecnica di coniazione dei trachy, Monete Antiche 43 (gennaio/febbraio 2009) [στο εξής Trivero Rivera 2009], 26-27, Trivero Rivera 2009, 26 βλ. επίσης DOC 4.1, 124, όπου εικάζεται παρόµοια αλληλουχία των χτυπηµάτων. 13

14 Επίσης, προς επίρρωσιν των παραπάνω παρουσιάστηκε στο διαδίκτυο από τον Rivera µισό νόµισµα του Μανουήλ Κοµνηνού Δούκα, δεσπότη της Θεσσαλονίκης ( ), το οποίο κατά τα φαινόµενα φέρει πάνω του αποτύπωση άλλου νοµίσµατος (brockage) που προφανώς δεν πρόλαβε να βγει από την κάτω κοίλη µήτρα εικ. 17. Στην προσπάθεια να διασαφηνιστούν περαιτέρω τα πράγµατα εξετάστηκε από τον οµιλούντα ένας «θησαυρός» (Θήρα/1910) 70 µε τραχέα 71 και προέκυψαν ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις. Σε αρκετές περιπτώσεις φαίνεται να ακολουθείται κοινή πρακτική, π.χ. κατά κανόνα στις κοπές του Αλεξίου Γ και στις λεγόµενες «πιστές» αποµιµήσεις 72 οι µετακινήσεις των δύο µορφών στη βαθουλωµένη πλευρά δίνουν την εντύπωση ότι έχουν κοπεί µε χαρακτῆρα που έχει κυρτή κεφαλή. Ενίοτε µετατοπίσεις παρουσιάζονται και στις δύο πλευρές, περιπλέκοντας κάπως τα πράγµατα και δηµιουργώντας κάποια ερωτήµατα για την παραµετροποίηση της µεθόδου (σύσταση κράµατος, χρονική συγκυρία, απειρία τεχνιτών κλπ.). Το ενδεχόµενο κατά διαστήµατα να χρησιµοποιήθηκαν και οι δύο τεχνικές δεν µπορεί επί του παρόντος να αποκλειστεί. Ένα επιπλέον κέρδος που αποκοµίστηκε είναι η παρατήρηση ότι σε ορισµένες περιπτώσεις η αριστερή µορφή, εκτός από απόκλιση µε τη δεξιά, εµφανίζεται ευκρινώς να την επικαλύπτει εικ Ι. Ν. Σβορώνος, Διεθνής Εφηµερίς της Νοµισµατικής Αρχαιολογίας 15 (1913), D. M. Metcalf, The value of the Amorgos and Thira Hoards as a test case for the interpretation of sub-byzantine trachea in the years around 1204, Noµισµατικά Χρονικά 8 (1989), Σύνταγµα Βυζαντινών «Θησαυρών» του Νοµισµατικού Μουσείου, Αθήνα 2002, αρ. 107 Βάσω Πέννα, O «θησαυρός» Θήρα/1910: Συµβολή στην ιστορία της Mέσα Γωνιάς Σαντορίνης, στο Ο Βυζαντινός Ναός της Παναγίας Επισκοπής Θήρας, Ιστορία - Αρχιτεκτονική - Μνηµειακή Ζωγραφική (Σαντορίνη, 9 Αυγούστου 2008), υπό δηµοσίευση. 71 Τα νοµίσµατα έχουν συντηρηθεί και η υφή τους φαίνεται να είναι σχεδόν εξ ολοκλήρου από χαλκό έως τη βασιλεία του Αλεξίου Γ ( ) η περιεκτικότητα του χαλκάργυρου κράµατος σε άργυρο πέφτει από περ. 7% (τέλη 11ου αι.) σε περ. 2%. Βλ. Weber 2003/2004, Για τις «πιστές» αποµιµήσεις βλ. ενδεικτικά Πέννα 2000,

15 Το γεγονός αυτό σηµαίνει ότι συχνά, αν όχι γενικώς η δεξιά µορφή χαρασσόταν πρώτη και ακολουθούσε η αριστερή εικ. 19. Ακόµη, µερικές φορές διαπιστώνονται αποκλίσεις µεγάλης γωνίας µεταξύ των δύο µορφών, ενώ οι µετακινήσεις αυτές δεν είναι πάντα δεξιόστροφες εικ

16 Μια πρώτη σκέψη που θα µπορούσε να γίνει ως προσπάθεια εξήγησης είναι να έχει δώσει το χτύπηµα ένας αριστερόχειρας µε αντίρροπη κλίση και ανάλογα αποτελέσµατα. Θα άξιζε τέλος να διερευνηθούν περαιτέρω ενδεχόµενα για τη διενέργεια της κοπής µε συµµετοχή δύο τεχνιτών 73 ή/και δύο σταθερών κάτω µητρών 74. Αντί επιλόγου, αξίζει τον κόπο να επιστρέψουµε στον Νικόλαο Ραβδά για ένα θέµα που άπτεται της ονοµασίας ενός ειδικού συµβόλου. Είναι γνωστό ότι κατά τους αρχαίους και µεσαιωνικούς χρόνους είχαν χρησιµοποιηθεί ως αριθµητικά και τα εξής «εµβόλιµα» ψηφία: το ϝ (βαυ ή δίγαµµα ή στίγµα = 6), το É (κόππα = 90) και το ϡ (=900). 75 Η ονοµασία «σαµπί» του τελευταίου είναι στην πραγµατικότητα ένας νεολογισµός του 17ου αι. 76 Γραπτή µαρτυρία διασώζει και µια εναλλακτική ονοµασία του συµβόλου: παρακύισµα 77 η ετυµολόγηση («γκαστρωµένο» ή «παραπαίδι») παραµένει εν αµφιβόλω. Είναι επίσης γνωστό ότι το κόππα µε τη µορφή u χρησιµοποιήθηκε όψιµα από τους Βυζαντινούς για να δηλώσει και το µηδέν (οὐδέέν) 78. Η µαρτυρία του Ραβδά για τα τρία αυτά ψηφία διαφέρει: ονοµάζει το 6 (ϛ) ως το ἐπίίσηµμον, το 90 (u) ως το ἀνώώνυµμον σηµμεῖον υπαινισσόµενος και τη χρήση του ως µηδέν και για το 900 (ϡ) λέει ότι χρησιµοποιείται ο λεγόόµμενος χαρακτήήρ, 79 µια κάπως περίεργη ονοµασία. Εάν αποµονώσουµε όµως το σύµβολο και το ξαναδούµε εκ παραλλήλου µε τις νοµισµατικές άνω µήτρες ίσως τελικά να µην είναι καθόλου περίεργο! εικ Mutatis mutandis, πρβλ. την υπόθεση για την ενεργή παρουσία (τουλάχιστον) δύο τεχνιτών-χαρακτών για να εντυπωθούν τα ζεύγη των «µυστικών» συµβόλων στα νοµίσµατα DOC 4.1, Πιθανώς εφαρµόζοντας µια µέθοδο όσον αφορά στις άνω µήτρες που ίσως συνδύαζε ένα είδος die hubbing βλ. σχετικά R. G. Doty, The Macmillan Encyclopedic Dictionary of Numismatics, New York - London 1982 [στο εξής Doty 1982], , στο λήµµα hub. 75 Ενδεικτικά βλ. Μπαραλής 2010, Βλ. B. Einarson, Notes on the development of the Greek alphabet, Classical Philology 62/1 (January 1967) [στο εξής Einarson 1967], 13, 22, σηµ Einarson 1967, 13, 22, σηµ Χάλκου 2006, 28, σηµ Tannery 1920, Η ονοµασία πρέπει να οφείλεται στο σχήµα του συµβόλου ϡ που παραπέµπει σε έναν λοξά τοποθετηµένο νοµισµατικό χαρακτῆρα. Για το χαρακτηριστικό σχήµα της άνω µήτρας, που φέρει ένα «περιχείλωµα» στην πλευρά όπου δέχεται τα χτυπήµατα του σφυριού, βλ. επίσης Doty 1982, 334, στο λήµµα trussell για τις πλάγιες καµπυλώσεις της άνω πλευράς του χαρακτῆρος χρησιµοποιείται ο όρος beard («γένι»). 16

Αρχαιολογία των κλασικών και ελληνιστικών χρόνων (480 π.χ. - 1ος αι. π.χ.). Δημήτρης Πλάντζος

Αρχαιολογία των κλασικών και ελληνιστικών χρόνων (480 π.χ. - 1ος αι. π.χ.). Δημήτρης Πλάντζος [IA12] ΚΛΑΣΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΛΟΓΙΑ Β Αρχαιολογία των κλασικών και ελληνιστικών χρόνων (480 π.χ. - 1ος αι. π.χ.). Δημήτρης Πλάντζος Τι είναι Aρχαιολογία; Η επιστήμη της αρχαιολογίας: Ασχολείται με την περισυλλογή,

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci»

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Μάθημα: Άλγεβρα Υπεύθυνος καθηγητής: κ. Σκοτίδας Τάξη: Β Λυκείου Τμήμα Β2 Ονοματεπώνυμο: Λαμπρινή Μαρίνα Λάππα Σχολικό έτος: 2010 2011 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) Ποιο πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Η απόφαση θα εφαρµοστεί* εντός τριών µηνών από την ηµεροµηνία δηµοσίευσης της παρούσας κοινής ανακοίνωσης.

Η απόφαση θα εφαρµοστεί* εντός τριών µηνών από την ηµεροµηνία δηµοσίευσης της παρούσας κοινής ανακοίνωσης. Κοινή ανακοίνωση σχετικά µε την κοινή πρακτική όσον αφορά τις γενικές ενδείξεις των επικεφαλίδων των κλάσεων της ταξινόµησης της Νίκαιας v1.0, 20 Νοεµβρίου 2013 Στις 19/06/2012 το ικαστήριο εξέδωσε την

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ ΚΑΙ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ. Διαβάζουµε από το βιβλίο «Liber Abaci» κεφάλαιο 5ο «Για την διαίρεση των ακεραίων», ανάµεσα σε άλλα, και τα παρακάτω:

Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ ΚΑΙ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ. Διαβάζουµε από το βιβλίο «Liber Abaci» κεφάλαιο 5ο «Για την διαίρεση των ακεραίων», ανάµεσα σε άλλα, και τα παρακάτω: Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ ΚΑΙ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ Διαβάζουµε από το βιβλίο «Liber Abaci» κεφάλαιο 5ο «Για την διαίρεση των ακεραίων», ανάµεσα σε άλλα, και τα παρακάτω: - «Όταν κανείς επιθυµεί να ξέρει να διαιρεί οποιονδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. Διεύθυνση αλληλογραφίας: Τμήμα Ιστορίας και Αρχαιολογίας/Φιλοσοφική Σχολή/ Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων/ Τ.Κ. 45110.

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. Διεύθυνση αλληλογραφίας: Τμήμα Ιστορίας και Αρχαιολογίας/Φιλοσοφική Σχολή/ Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων/ Τ.Κ. 45110. ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Ονοματεπώνυμο: Αγγελική Παναγοπούλου Πατρώνυμο: Γεώργιος Τόπος γέννησης: Αθήνα Οικογενειακή κατάσταση: Άγαμη Θέση: Λέκτορας Γνωστικό Αντικείμενο: Βυζαντινή Ιστορία Διεύθυνση αλληλογραφίας:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΜΟΥΣΕΙΑ ΠΑΙΔΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΜΟΥΣΕΙΑ ΠΑΙΔΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Τίτλος μαθήματος ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΜΟΥΣΕΙΑ ΠΑΙΔΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΥΠΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Επιλογής / Ενότητα Τεχνών (ΤΕ) ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΑ: ΕΙΡΗΝΗ ΝΑΚΟΥ ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΚΤ1121 ΜΟΝΑΔΕΣ ECTS:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΝΘΡΩΠΙΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΖΩΗΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΝΘΡΩΠΙΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΖΩΗΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΝΘΡΩΠΙΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΖΩΗΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ Οδηγός Εκπόνησης Διπλωματικής Εργασίας ΣΠΑΡΤΗ 2010-11 Περιεχόμενα 1.ΔΟΜΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ Της ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στέλλα ρένη. Τεχνολογία παραγωγής νοµισµάτων κατά την αρχαιότητα 1

Στέλλα ρένη. Τεχνολογία παραγωγής νοµισµάτων κατά την αρχαιότητα 1 Στέλλα ρένη Τεχνολογία παραγωγής νοµισµάτων κατά την αρχαιότητα 1 Στην καθηγήτρια Κλασικής Αρχαιολογίας του Α.Π.Θ. κα. Αλίκη Μουστάκα Στην παρούσα µελέτη επιχειρείται µία προσπάθεια κατανόησης και «αποκατάστασης»

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. 4.1 Σύνολο νοµού Αργολίδας. 4.1.1 Γενικές παρατηρήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. 4.1 Σύνολο νοµού Αργολίδας. 4.1.1 Γενικές παρατηρήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. Σύνολο νοµού Αργολίδας.. Γενικές παρατηρήσεις Γίνεται φανερό από την ανάλυση, που προηγήθηκε, πως η επίδοση των υποψηφίων του νοµού Αργολίδας, αλλά και η κατανοµή της βαθµολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ηµόσια ιαβούλευση επί των συντελεστών απωλειών εγχύσεως του Ελληνικού Συστήµατος Μεταφοράς

ηµόσια ιαβούλευση επί των συντελεστών απωλειών εγχύσεως του Ελληνικού Συστήµατος Μεταφοράς ηµόσια ιαβούλευση επί των συντελεστών απωλειών εγχύσεως του Ελληνικού Συστήµατος Μεταφοράς ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ - Επί της Μελέτης 1. Προκαθορισµένα επίπεδα φόρτισης Σύµφωνα µε το Άρθρο 50 - Μελέτη προσδιορισµού

Διαβάστε περισσότερα

Eκπαίδευση» ΠΡΟΤΑΣΗ ΝΟΜΟΥ. «Νέο Λύκειο και σύστημα πρόσβασης στην Tριτοβάθμια. Άρθρο 1. Νέο Λύκειο

Eκπαίδευση» ΠΡΟΤΑΣΗ ΝΟΜΟΥ. «Νέο Λύκειο και σύστημα πρόσβασης στην Tριτοβάθμια. Άρθρο 1. Νέο Λύκειο ΠΡΟΤΑΣΗ ΝΟΜΟΥ «Νέο Λύκειο και σύστημα πρόσβασης στην Tριτοβάθμια Eκπαίδευση» Άρθρο 1 Νέο Λύκειο 1. Από το σχολικό έτος 2013-2014 καθιερώνεται ο θεσμός του Νέου Λυκείου και αρχίζει σταδιακά η εφαρμογή του

Διαβάστε περισσότερα

Παραδοτέο Π.1 (Π.1.1) Εκθέσεις για προµήθεια εκπαιδευτικού υλικού

Παραδοτέο Π.1 (Π.1.1) Εκθέσεις για προµήθεια εκπαιδευτικού υλικού 1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΠΕΑΕΚ ΙΙ Μέτρο 2.2 Αναµόρφωση Προγραµµάτων Προπτυχιακών Σπουδών ιεύρυνση Τριτοβάθµιας Κατ. Πράξης 2.2.2.α Αναµόρφωση Προγραµµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ Ένταξη των Τ.Π.Ε. στην διδασκαλία και τη µάθηση I) ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Παύλος Γ. Σπυράκης (google: Paul Spirakis) Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

and the Archaeology of Everyday Life in the Byzantine Empire, Oxford 2004, 37-52 και ιδιαίτερα για τα σπίτια σε αγροτικές περιοχές 45-47.

and the Archaeology of Everyday Life in the Byzantine Empire, Oxford 2004, 37-52 και ιδιαίτερα για τα σπίτια σε αγροτικές περιοχές 45-47. Διονύσης Μουρελάτος Κυκλοφορία νομισμάτων στην Κω κατά την παλαιοχριστιανική περίοδο. Η συμβολή των νομισμάτων της επιφανειακής έρευνας στο δήμο Αλασαρνιτών. Η μελέτη της κυκλοφορίας των νομισμάτων μας

Διαβάστε περισσότερα

Τευχος δευτερο. αρχεία. Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Τα αρχεία στους αρχαϊκούς και κλασικούς χρόνους. Ασκήσεις επί λίθου

Τευχος δευτερο. αρχεία. Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Τα αρχεία στους αρχαϊκούς και κλασικούς χρόνους. Ασκήσεις επί λίθου Τευχος δευτερο αρχεία Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Τα αρχεία στους αρχαϊκούς και κλασικούς χρόνους Ασκήσεις επί λίθου Άσκηση 1η Οι θησαυροί του ιερού Οι ιερείς της Βραυρωνίας Αρτέμιδος κάνουν απογραφή των

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισμός ημερομηνίας εορτασμού του Πάσχα

Καθορισμός ημερομηνίας εορτασμού του Πάσχα ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ Σχολικό έτος 2013-14 Καθορισμός ημερομηνίας εορτασμού του Πάσχα ΚΑΡΑΜΠΕΛΑΣ ΜΑΡΙΟΣ-ΔΗΜΗΤΡΗΣ Τάξη : Α1 ΤΟ ΑΓΙΟ ΠΑΣΧΑ: Η γιορτή και ο υπολογισμός της ημερομηνίας

Διαβάστε περισσότερα

Λογισµικό για το µάθηµα της βιολογίας Α και Γ Γυµνασίου. Τεχνικό Εγχειρίδιο Χρήσης για τον Μαθητή

Λογισµικό για το µάθηµα της βιολογίας Α και Γ Γυµνασίου. Τεχνικό Εγχειρίδιο Χρήσης για τον Μαθητή Λογισµικό για το µάθηµα της βιολογίας Α και Γ Γυµνασίου Τεχνικό Εγχειρίδιο Χρήσης για τον Μαθητή Περιεχόµενα Πρόλογος για τον µαθητή...2 1. Το µενού πλοήγησης...3 2. Κουµπιά / εντολές πλοήγησης...4 3.

Διαβάστε περισσότερα

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ο έλεγχος της ενότητας αυτής αποτελεί μία επέκταση του μονόπλευρου ελέγχου Smirnov στην περίπτωση περισσοτέρων από δύο δειγμάτων. Ο έλεγχος αυτός

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός και Στόχοι των. Επιστηµονικών Εργασιών υπό Εξέλιξη. (Working paper series)

Σκοπός και Στόχοι των. Επιστηµονικών Εργασιών υπό Εξέλιξη. (Working paper series) Σκοπός και Στόχοι Σκοπός και Στόχοι των Επιστηµονικών Εργασιών υπό Εξέλιξη (Working paper series) Η µηνιαία Σειρά Επιστηµονικών Εργασιών υπό Εξέλιξη (ΣΕΕΕ), αποτελεί την επίσηµη έκδοση επιστηµονικών και

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Η μεταβλητή "χρόνος" στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis

Η μεταβλητή χρόνος στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis Η μεταβλητή "χρόνος" στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis Η αναφορά στο χρόνο Αναφερόμενοι στο χρόνο, θα πρέπει κατ αρχάς να τονίσουμε ότι αυτός μπορεί να είναι είτε το ημερολογιακό έτος, είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ Μία από τις πιο σηµαντικές διαδικασίες που χαρακτηρίζουν τη συγγραφή και δηµοσίευση µιας ερευνητικής εργασίας, είναι η αξιολόγησή της από έµπειρους επιστήµονες του χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Διάρκεια: 2Χ80 Προτεινόμενη τάξη: Δ -Στ Εισηγήτρια: Χάρις Πολυκάρπου

Διάρκεια: 2Χ80 Προτεινόμενη τάξη: Δ -Στ Εισηγήτρια: Χάρις Πολυκάρπου ΘΕΑΤΡΙΚΗ ΑΓΩΓΗ Θεατρικό Εργαστήρι: Δημιουργία δραματικών πλαισίων με αφορμή μαθηματικές έννοιες. Ανάπτυξη ικανοτήτων για επικοινωνία μέσω του θεάτρου και του δράματος. Ειδικότερα αναφορικά με τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση.

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. 1. Εισαγωγή. Κάθε μέτρηση, όσο προσεκτικά και αν έχει γίνει, περικλείει κάποια αβεβαιότητα. Η ανάλυση των σφαλμάτων είναι η μελέτη και ο υπολογισμός αυτής της αβεβαιότητας στη

Διαβάστε περισσότερα

Στάμη Τσικοπούλου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/1

Στάμη Τσικοπούλου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/1 Πίνακες πολλαπλασιασμού Το Βεδικό τετράγωνο Στάμη Τσικοπούλου Σ τα μαθηματικά και ιδιαίτερα στην αριθμητική ένας πίνακας πολλαπλασιασμού (ή αλλιώς ένας πυθαγόρειος πίνακας) είναι ένας πίνακας που χρησιμοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΚΕΦΑΛΑΙΑΓΟΡΑΣ. Πρόληψη και Καταστολή της νοµιµοποίησης εσόδων από εγκληµατικές δραστηριότητες

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΚΕΦΑΛΑΙΑΓΟΡΑΣ. Πρόληψη και Καταστολή της νοµιµοποίησης εσόδων από εγκληµατικές δραστηριότητες ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΚΕΦΑΛΑΙΑΓΟΡΑΣ Πρόληψη και Καταστολή της νοµιµοποίησης εσόδων από εγκληµατικές δραστηριότητες Από τον Φεβρουάριο του 2006, που ιδρύθηκε στην Επιτροπή Κεφαλαιαγοράς η Ειδική Υπηρεσιακή Μονάδα για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΗΣ ALPHA BANK

Η ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΗΣ ALPHA BANK Η ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΗΣ ALPHA BANK Η σηµερινή φυσιογνωµία της Βιβλιοθήκης της Alpha Βank διαµορφώθηκε µετά το 2000 µε τη συγχώνευση της Alpha Τραπέζης Πίστεως µε την Ιονική Τράπεζα. Τότε και οι Βιβλιοθήκες των

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

J. Spier, Late Byzantine Rings. 1204 1453, Reichert Verlag, Wiesbaden 2013, 87 σελ.+ 24 πίν. ISBN 978-3-89500-940-2

J. Spier, Late Byzantine Rings. 1204 1453, Reichert Verlag, Wiesbaden 2013, 87 σελ.+ 24 πίν. ISBN 978-3-89500-940-2 J. Spier, Late Byzantine Rings. 1204 1453, Reichert Verlag, Wiesbaden 2013, 87 σελ.+ 24 πίν. ISBN 978-3-89500-940-2 To βιβλίο εξετάζει 48 δακτυλίδια της υστεροβυζαντινής περιόδου (1204 1453), αποκαλύπτοντας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό Ενότητα 3 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Χ. Κυτάγιας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Τα ερωτήματα που προκύπτουν από την εισαγωγή της Φυσικής στην Α γυμνασίου είναι :

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΔΗΜΟΣ ΜΑΣ. Γιώργος Ε 1

Ο ΔΗΜΟΣ ΜΑΣ. Γιώργος Ε 1 Ο ΔΗΜΟΣ ΜΑΣ Γιώργος Ε 1 ΣΩΤΗΡΑ ΑΜΜΟΧΩΣΤΟΥ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ Η Σωτήρα έχει Αγιολογική ονομασία: φέρει το όνομα του Σωτήρος Χριστού. Εξάλλου στις 6 Αυγούστου τελείται μεγάλο πανηγύρι κατά τη γιορτή της Μεταμορφώσεως

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕΔΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΜΙΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

ΒΕΔΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΜΙΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΒΕΔΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΜΙΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Συχνά τα Μαθηματικά χρησιμοποιούνται ως ένα «εργαλείο» προκειμένου να ανιχνευθεί η «εξυπνάδα» του κάθε ανθρώπου, να διαφοροποιηθούν οι μαθητές μεταξύ τους σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Case Study. Η διαδικασία μέτρησης ικανοποίησης πελατών στο πρότυπο ISO 9001: Εφαρμογή σε εταιρεία Πληροφορικής II

Case Study. Η διαδικασία μέτρησης ικανοποίησης πελατών στο πρότυπο ISO 9001: Εφαρμογή σε εταιρεία Πληροφορικής II Case Study Η διαδικασία μέτρησης ικανοποίησης πελατών στο πρότυπο ISO 9001: Εφαρμογή σε εταιρεία Πληροφορικής II ΕΡΕΥΝΑ Η έρευνα ικανοποίησης που πραγματοποιήθηκε αφορά µία εταιρεία πληροφορικής. Η έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση 1. Εισαγωγή Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια Το εκπαιδευτικό λογισμικό «Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση» δίνει τη δυνατότητα στα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ.

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ. 2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες Έχει παρατηρηθεί ότι δεν υπάρχει σαφής αντίληψη της σηµασίας του όρου "διοίκηση ή management επιχειρήσεων", ακόµη κι από άτοµα που

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ ΕΝΔΕΚΑΤΗ ΚΕΙΜΕΝΑ ΥΣΤΕΡΗΣ ΜΕΣΑΙΩΝΙΚΗΣ

ΔΙΑΛΕΞΗ ΕΝΔΕΚΑΤΗ ΚΕΙΜΕΝΑ ΥΣΤΕΡΗΣ ΜΕΣΑΙΩΝΙΚΗΣ ΔΙΑΛΕΞΗ ΕΝΔΕΚΑΤΗ ΚΕΙΜΕΝΑ ΥΣΤΕΡΗΣ ΜΕΣΑΙΩΝΙΚΗΣ 1. Πτωχοπρόδρομος - Το κείμενο έχει πολλές διαφορετικές γραφές στα χειρόγραφα που διασώζεται, λόγω του σχετικά δημώδους αλλά και σκωπτικού του χαρακτήρα. Δυσχεραίνει

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΥΖΑΝΤΙΝΌ ΝΟΜΙΣΜΑΤΙΚΌ ΣΎΣΤΗΜΑ: ΠΑΡΆΓΩΓΗ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΦΟΡΊΑ

ΒΥΖΑΝΤΙΝΌ ΝΟΜΙΣΜΑΤΙΚΌ ΣΎΣΤΗΜΑ: ΠΑΡΆΓΩΓΗ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΦΟΡΊΑ ΒΥΖΑΝΤΙΝΌ ΝΟΜΙΣΜΑΤΙΚΌ ΣΎΣΤΗΜΑ: ΠΑΡΆΓΩΓΗ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΦΟΡΊΑ ΒΑΣΙΛΙΚΉ ΠΈΝΝΑ Βυζαντινολόγος - Νομισματολόγος 1. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Με την αναγέννηση των βυζαντινών σπουδών, στα τέλη του 19ου αιώνα, η μελέτη των βυζαντινών

Διαβάστε περισσότερα

x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά.

x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά. 1 x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά. Πριν λίγα χρόνια, όταν είχε έρθει στην Ελλάδα ο νομπελίστας χημικός Ilya Prigogine (πέθανε πρόσφατα), είχε

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΣ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗΣ.Π.Θ. (OPAC) Ο ΗΓΙΕΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΣ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗΣ.Π.Θ. (OPAC) Ο ΗΓΙΕΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΣ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗΣ.Π.Θ. (OPAC) Ο ΗΓΙΕΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ ΤΙ ΕΙΝΑΙ Ο ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΣ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ OPAC - Online Public Access Catalogue Είναι µία ηλεκτρονική βάση δεδοµένων, στην οποία καταγράφεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Δ. Ε. ΧΙΩΤΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΖΕΡΒΟΥ ΦΕΒΡΩΝΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Δ. Ε. ΧΙΩΤΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΖΕΡΒΟΥ ΦΕΒΡΩΝΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Δ. Ε. ΧΙΩΤΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΖΕΡΒΟΥ ΦΕΒΡΩΝΙΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 2005 Μαγικά Τετράγωνα: ανακαλύπτοντας την ιστορία και την μαγεία τους. Τα μαγικά τετράγωνα από καιρό θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ευγενία Δρακοπούλου. Διευθύντρια Ερευνών Τομέας Νεοελληνικών Ερευνών

Ευγενία Δρακοπούλου. Διευθύντρια Ερευνών Τομέας Νεοελληνικών Ερευνών Ευγενία Δρακοπούλου Διευθύντρια Ερευνών Τομέας Νεοελληνικών Ερευνών Τηλ. +302107273570 Fax: +302107246212 E-mail: egidrak@eie.gr Website: http://eie.academia.edu/eugeniadrakopoulou http://www.eie.gr/nhrf/institutes/inr/cvs/cv-drakopoulou-gr.html

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία Σλαβικών Λαών

Ιστορία Σλαβικών Λαών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 12 η :Μαυροβούνιο Αγγελική Δεληκάρη Λέκτορας Μεσαιωνικής Ιστορίας των Σλαβικών Λαών Τμήμα Ιστορίας Αρχαιολογίας ΑΠΘ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ στη «ΝΑΥΤΙΛΙΑ»

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ στη «ΝΑΥΤΙΛΙΑ» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ στη «ΝΑΥΤΙΛΙΑ» ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Α. ΓΕΝΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΕΚΠΟΝΗΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

2. Ο ανθρώπινος εγκέφαλος επαναπρογραμματίστηκε ριζικώς.

2. Ο ανθρώπινος εγκέφαλος επαναπρογραμματίστηκε ριζικώς. Σε επιστολή του στην εφημερίδα «Καθημερινή» των Αθηνών (στην έκδοση της 17ης Οκτωβρίου 2010) και υπό τον τίτλο «Τα Αρχαία Ελληνικά και ο εγκέφαλος», ο καθηγητής του Πανεπιστημίου Πατρών και μέλος του Συμβουλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (14/9/2012)

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (14/9/2012) Φτιάξε ένα πρόγραµµα FORTRAN που θα βρίσκει αν ο ακέραιος N που θα εισάγει ο χρήστης είναι άρτιος ή περιττός. Φτιάξε ένα πρόγραµµα FORTRAN που να προσδιορίζει και να τυπώνει την θέση των στοιχείων ενός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Αδαμαντίου Κοραή. De morborum haereditariorum: existentia, natura, prophylaxi et cura

Αδαμαντίου Κοραή. De morborum haereditariorum: existentia, natura, prophylaxi et cura ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΩΝ ΜΕΛΕΤΩΝ 2013 Αδαμαντίου Κοραή De morborum haereditariorum: existentia, natura, prophylaxi et cura Κωνσταντίνος Ηροδότου (Συντονιστής, Δρ. Φιλοσοφίας, Πανεπιστήμιο Paris VIII) Διονύσιος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Πυραμίδες στην Ελλάδα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Πυραμίδες στην Ελλάδα ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Πυραμίδες στην Ελλάδα Oι πυραμίδες που έχουν εντοπιστεί στην Ελλάδα, αποτελούν μοναδικά δείγματα πυραμιδικής αρχιτεκτονικής στον ευρωπαϊκό χώρο. Η μορφή τους, η αρχιτεκτονική τους, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΗ ΔΥΣΗ ΟΙ ΠΡΩΤΕΣ ΕΝΤΥΠΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΚΕΙΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΚΑΙΝΗΣ ΔΙΑΘΗΚΗΣ (16 Ο αι.)

ΣΤΗ ΔΥΣΗ ΟΙ ΠΡΩΤΕΣ ΕΝΤΥΠΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΚΕΙΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΚΑΙΝΗΣ ΔΙΑΘΗΚΗΣ (16 Ο αι.) ΣΤΗ ΔΥΣΗ ΟΙ ΠΡΩΤΕΣ ΕΝΤΥΠΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΚΕΙΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΚΑΙΝΗΣ ΔΙΑΘΗΚΗΣ (16 Ο αι.) 1. Από τον Έρασμο στο Textus Receptus Πρώτη έκδοση του ελληνικού κειμένου της Αγ. Γραφής η πολύγλωσση Κομπλουτιανή

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 MACROWEB Προβλήματα Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 Παραδείγματα Προβλημάτων. Πως ορίζεται η έννοια πρόβλημα; Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η κατανόηση ενός προβλήματος; Τι εννοούμε λέγοντας χώρο ενός προβλήματος;

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΨΗ ΑΠΟ ΤΟ ΠΟΡΙΣΜΑ ΤΗΣ ΟΜΑ ΑΣ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΜΠΕΙΡΟΓΝΩΜΟΝΩΝ ΤΟΥ ΥΠΠΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΡΜΑΡΑ ΤΟΥ ΠΑΡΘΕΝΩΝΑ ΣΤΟ ΒΡΕΤΑΝΙΚΟ ΜΟΥΣΕΙΟ

ΣΥΝΟΨΗ ΑΠΟ ΤΟ ΠΟΡΙΣΜΑ ΤΗΣ ΟΜΑ ΑΣ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΜΠΕΙΡΟΓΝΩΜΟΝΩΝ ΤΟΥ ΥΠΠΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΡΜΑΡΑ ΤΟΥ ΠΑΡΘΕΝΩΝΑ ΣΤΟ ΒΡΕΤΑΝΙΚΟ ΜΟΥΣΕΙΟ ΣΥΝΟΨΗ ΑΠΟ ΤΟ ΠΟΡΙΣΜΑ ΤΗΣ ΟΜΑ ΑΣ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΜΠΕΙΡΟΓΝΩΜΟΝΩΝ ΤΟΥ ΥΠΠΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΡΜΑΡΑ ΤΟΥ ΠΑΡΘΕΝΩΝΑ ΣΤΟ ΒΡΕΤΑΝΙΚΟ ΜΟΥΣΕΙΟ Καθ. Θ. Σκουλίδης, Χηµικός Μηχανικός ρ. Κ. Κουζέλη, Χηµικός, Ινστιτούτο Λίθου ρ. Α.

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΔΙΟΝΥΣΙΑ ΜΗΧΑΝΟΥ Α 2 ΜΑΘΗΜΑ:ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:Κ.ΤΖΟΥΜΕΡΙΩΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΜΑΤΟΣ

ΙΣΤΟΡΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΔΙΟΝΥΣΙΑ ΜΗΧΑΝΟΥ Α 2 ΜΑΘΗΜΑ:ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:Κ.ΤΖΟΥΜΕΡΙΩΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΜΑΤΟΣ ΔΙΟΝΥΣΙΑ ΜΗΧΑΝΟΥ Α 2 ΜΑΘΗΜΑ:ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:Κ.ΤΖΟΥΜΕΡΙΩΤΗΣ ΙΣΤΟΡΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΤΑ ΑΡΧΑΙΑ ΧΡΟΝΙΑ ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΣΗΜΕΡΑ 2011 Γ Ε Ν Ι Κ Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Λ Ε Χ Α Ι Ν Ω Ν Τι είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω προτάσεις :

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω προτάσεις : ΓΥΜΝΑΣ Ο ΕΞΑΠ ΑΤΑΝΟΥ ΣχολK Έτος: OMNM-OMNN Τάξη: Α Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙ Α Ημερομηνία : 30/0/2011 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN Θέμα 1 ο (ΘΕΩΡ Α) Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΝΕΟ ΛΥΚΕΙΟ. ιάρθρωση Εκπαιδευτικών Προγραµµάτων

ΤΟ ΝΕΟ ΛΥΚΕΙΟ. ιάρθρωση Εκπαιδευτικών Προγραµµάτων ΤΟ ΝΕΟ ΛΥΚΕΙΟ ιάρθρωση Εκπαιδευτικών Προγραµµάτων Α Λυκείου Η Α Τάξη Γενικού Λυκείου αποτελεί τάξη αποκλειστικά γενικής παιδείας, στην οποία εφαρµόζεται πρόγραµµα µαθηµάτων τριάντα πέντε (35) συνολικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Βυζαντινή Λογοτεχνία. Επιλογή Βιβλιογραφίας Μαρίνα Λουκάκη Φιλοσοφική Σχολή Τμήμα Φιλολογίας Τομέας Βυζαντινής Φιλολογίας και Λαογραφίας

Εισαγωγή στη Βυζαντινή Λογοτεχνία. Επιλογή Βιβλιογραφίας Μαρίνα Λουκάκη Φιλοσοφική Σχολή Τμήμα Φιλολογίας Τομέας Βυζαντινής Φιλολογίας και Λαογραφίας Εισαγωγή στη Βυζαντινή Λογοτεχνία Επιλογή Βιβλιογραφίας Μαρίνα Λουκάκη Φιλοσοφική Σχολή Τμήμα Φιλολογίας Τομέας Βυζαντινής Φιλολογίας και Λαογραφίας Ο κόσμος του Βυζαντίου G. Ostrogorsky, Ιστορία του Βυζαντινού

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στρατηγική έρευνας. Στρατηγική έρευνας. Η ερευνητική διαδικασία στη βιβλιοθήκη αρχίζει από τη στιγμή που χρειάζεται

Στρατηγική έρευνας. Στρατηγική έρευνας. Η ερευνητική διαδικασία στη βιβλιοθήκη αρχίζει από τη στιγμή που χρειάζεται Η ερευνητική διαδικασία στη βιβλιοθήκη αρχίζει από τη στιγμή που χρειάζεται Στρατηγική έρευνας κάποιος να λύσει ένα πρόβλημα, να κάνει μια εργασία για την εκπλήρωση κάποιου μαθήματος, να συγγράψει ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσβαση και δήλωση µαθηµάτων στον Εύδοξο

Πρόσβαση και δήλωση µαθηµάτων στον Εύδοξο Πρόσβαση και δήλωση µαθηµάτων στον Εύδοξο Τι πρέπει να γνωρίζω πριν ξεκινήσω την διαδικασία 1. Να έχω κωδικούς από τον Κέντρο Δικτύου του ΤΕΙ Αθήνας (είναι αυτοί µε τους οποίους έχω πρόσβαση στο ασύρµατο

Διαβάστε περισσότερα