F = dv dx = kx. V (x) = V (0) + V (0)x V (0)x 2 +.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "F = dv dx = kx. V (x) = V (0) + V (0)x + 1 2 V (0)x 2 +."

Transcript

1 κ ε φ ά λ α ι ο 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Εισαγωγή Θα δείξουµε τώρα ότι ο µαθηµατικός φορµαλισµός που αναπτύξαµε στο προηγού- µενο κεφάλαιο και ο οποίος δίνει έµφαση στην αφηρηµένη αλγεβρική δοµή της κβαντικής θεωρίας µπορεί να χρησιµοποιηθεί και ως πρακτικό εργαλείο επίλυσης προβληµάτων µε αντιπροσωπευτικό παράδειγµα τον αρµονικό ταλαντωτή. Υπενθυµίζουµε σχετικά ότι µε αυτήν την ονοµασία περιγράφουµε την κίνηση (κλασική ή κβαντική) υπό την επίδραση του παραβολικού δυναµικού V = kx / (Σχ. 5.1) που αντιστοιχεί σε µια δύναµη F = dv dx = kx ανάλογη της αποµάκρυνσης από το ελκτικό κέντρο στο x = 0. Η σπουδαιότητα του παραβολικού δυναµικού οφείλεται, βεβαίως, στο γεγονός ότι αποτελεί µια πολύ καλή προσέγγιση ενός τυχόντος δυναµικού στη γειτονιά ενός σηµείου ευσταθούς ισορροπίας του. Πράγµατι, υποθέστε ότι µας δίνεται ένα τυχόν µονοδιάστατο δυναµικό V (x) που έχει ένα ελάχιστο, δηλαδή ένα σηµείο ευσταθούς ισορροπίας, στο x = 0 στο οποίο επιλέξαµε να τοποθετήσουµε και την αρχή του σχετικού άξονα. Αν αναπτύξουµε τώρα τη συνάρτηση V (x) σε δυναµοσειρά Taylor γύρω από το x = 0, θα έχουµε V (x) = V (0) + V (0)x + 1 V (0)x +. Όµως αφού το x = 0 είναι σηµείο ισορροπίας, θα είναι V (0) = 0 ενώ θα είναι επίσης V (0) = k > 0 αφού πρόκειται για ένα τοπικό ελάχιστο της V (x). Επι-

2 34 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Σχηµα 5.1: Το δυναµικό του αρµονικού ταλαντωτή. πλέον, µια και η στάθµη αναφοράς της δυναµικής ενέργειας µπορεί να επιλεγεί κατά βούληση, τη διαλέγουµε έτσι ώστε να είναι V (0) = 0, οπότε το παραπάνω ανάπτυγµα γράφεται τελικά ως V (x) = 1 kx + όπου οι ανώτερες δυνάµεις θεωρήθηκαν αµελητέες για µικρά x δηλαδή για µικρές ταλαντώσεις γύρω από το σηµείο ισορροπίας και έτσι επιζεί τελικά µόνο ο «παραβολικός όρος» και µας παρέχει µια ικανοποιητική προσέγγιση του αρχικού δυναµικού στη γειτονιά του ελαχίστου του (Σχ. 5.). Η παραβολική προσέγγιση όπως είναι εύλογο να αποκληθεί η παραπάνω διαδικασία βρίσκει άµεση αξιοποίηση στη µελέτη της δονητικής κίνησης των διατοµικών ή πολυατοµικών µορίων, αλλά και στην αντίστοιχη κίνηση των ατόµων ενός κρυσταλλικού πλέγµατος. Το κβαντοµηχανικό πρόβληµα για τον αρµονικό ταλαντωτή συνίσταται, βεβαίως, στη λύση της εξίσωσης ιδιοτιµών όπου H ψ = E ψ (5.1) H = p m + 1 kx p m + 1 mω x (5.) ο χαµιλτονιανός τελεστής του προβλήµατος, µε ω = k/m την κλασική συχνότητα ταλάντωσης του σωµατιδίου. Στην αναπαράσταση θέσης θα είναι βεβαίως

3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 35 Σχηµα 5.: Στη γειτονιά του ελαχίστου του κάθε δυναµικού V (x) µπορεί να προσεγγιστεί από το δυναµικό ενός αρµονικού ταλαντωτή. ψ ψ(x) x x, p i d dx H d m dx + 1 mω x, οπότε η (1) θα παίρνει τη µορφή της διαφορικής εξίσωσης ( d m dx + 1 ) mω x ψ = Eψ ψ + m (E 1 ) mω x ψ = 0, που απλοποιείται περαιτέρω ως ψ + (E x )ψ = 0 (5.3) αν χρησιµοποιήσουµε το φυσικό σύστηµα µονάδων του προβλήµατος στο οποίο οι τρεις παράµετροι, m και ω που εµφανίζονται σ αυτό παίρνουν την τιµή µονάδα. ( ) ( ) εδοµένου ότι υπάρχουν τρεις βασικές φυσικές µονάδες µήκος, µάζα και χρόνος οι οποίες µπορούν να οριστούν αυθαίρετα, έχουµε πάντα τη δυνατότητα, µε κατάλληλο επανορισµό αυτών των βασικών µονάδων, να δώσουµε σε µια τυχούσα τριάδα διαστατικά ανεξάρτητων µεγεθών οποιαδήποτε τιµή επιθυµούµε και ειδικότερα να τις κάνουµε και τις τρεις µονάδα. Και βέβαια µπορούµε πάντα να επαναφέρουµε την εξάρτηση από τις παραµέτρους που εξισώσαµε µε µονάδα χρησιµοποιώντας το θεµελιώδες θεώρηµα της διαστατικής ανάλυσης που λέει ότι: Από τρία φυσικά µεγέθη µπορούµε να κατασκευάσουµε ένα οποιοδήποτε άλλο µε απροσδιοριστία µόνο µίας αριθµητικής σταθεράς.

4 36 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Όπως µάλλον γνωρίζει ο αναγνώστης, από ένα εισαγωγικό µάθηµα κβαντικής φυσικής, οι φυσικά παραδεκτές λύσεις της (5.3) δηλαδή εκείνες που µηδενίζονται στο ± υπολογίζονται πολύ εύκολα γράφοντας τη λύση υπό τη µορφή ψ(x) = e x / H(x), (5.4) όπου e x / είναι ο ασυµπτωτικός παράγοντας που αντιπροσωπεύει τη συµπεριφορά των φυσικών λύσεων στο άπειρο ( ) ενώ η συµπληρωµατική συνάρτηση H(x) αναµένεται να έχει τη µορφή ενός πολυωνύµου ώστε να ικανοποιείται και το θεώρηµα των κόµβων: Ότι δηλαδή: ο αριθµός των κόµβων αυξάνει κατά µονάδα καθώς προχωρούµε από την κυµατοσυνάρτηση της θεµελιώδους στάθµης (µηδέν κόµβοι) προς τις ανώτερες. Η εξίσωση που προκύπτει από την (5.3), µε την αντικατάσταση (5.4) γνωστή ως εξίσωση του Hermite H xh + (E 1)H = 0 (5.5) θα διαθέτει όντως πολυωνυµικές λύσεις µόνο αν η µέγιστη δύναµη x n µιας τέτοιας λύσης ικανοποιεί την (5.5) για µεγάλα x αφού σε αυτή την περιοχή µόνο η µέγιστη δύναµη του σχετικού πολυωνύµου θα επιζήσει. Η εφαρµογή αυτής της αναγκαίας συνθήκης δίνει αµέσως n(n 1) x n nx n + (E 1)x n = 0 και δεδοµένου ότι η δύναµη x n µπορεί να αµεληθεί µπροστά στη x n για µεγάλα x, θα έχουµε ( n + (E 1) ) x n = 0 E = E n = n + 1 (n = 0, 1,,...) ενώ για τις αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις θα είναι ψ n (x) = e x / H n (x) (n = 0, 1,,...) όπου H n (x) πολυώνυµα βαθµού n γνωστά ως πολυώνυµα του Hermite. ( ) Και ο οποίος θα έχει πάντα τη µορφή ενός κατάλληλου εκθετικού µε µια απροσδιόριστη παρά- µετρο που υπολογίζεται αντικαθιστώντας το εκθετικό στην εξίσωση και απαιτώντας να ικανοποιείται για µεγάλα x. Στην περίπτωση του ταλαντωτή το κατάλληλο εκθετικό που µηδενίζεται και στο + και στο είναι το exp( λx ) που πράγµατι ικανοποιεί την εξίσωση για µεγάλα x, αν είναι λ = ±1/ µε φυσικά παραδεκτή τιµή την λ = 1/. ( είξτε το.)

5 1. Η ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ 37 Σκοπός τούτου του κεφαλαίου είναι να επαναλάβουµε τη λύση της (5.1) όχι όµως σε µια συγκεκριµένη αναπαράσταση της θέσης ή κάποια άλλη αλλά στην αφηρηµένη της µορφή, όπου ο χαµιλτονιανός τελεστής (5.) δεν υφίσταται περαιτέρω προσδιορισµό πέραν της συνθήκης ότι οι δύο τελεστές x και p που εµφανίζονται σ αυτόν ικανοποιούν τη θεµελιώδη µεταθετική σχέση [x, p] = i. Για ευνόητους λόγους η λύση του αρµονικού ταλαντωτή πάνω σε αυτές τις γραµ- µές είναι γνωστή ως αλγεβρική µέθοδος και η βασική της ιδέα εξηγείται στην παράγραφο που ακολουθεί. 1. Η αλγεβρική λύση του αρµονικού ταλαντωτή. Οι τελεστές δηµιουργίας και καταστροφής Η αφετηριακή σκέψη της µεθόδου είναι πολύ απλή. Αφού ο αρµονικός ταλαντωτής έχει ισαπέχουσες ιδιοτιµές που προκύπτουν η µία από την άλλη πηγαίνοντας προς τα πάνω ή προς τα κάτω µε ένα σταθερό βήµα είναι λογικό να σκεφτού- µε ότι µια ανάλογη διαδικασία παραγωγής των ιδιοκαταστάσεων θα είναι επίσης δυνατή. Ότι δηλαδή µπορεί να υπάρχουν δύο κατάλληλοι τελεστές ας τους συµβολίσουµε µε a και a εκ των οποίων ο πρώτος (ο a ), δρώντας πάνω σε µια ιδιοκατάσταση, θα µας «πηγαίνει» στην ιδιοκατάσταση µε την αµέσως µεγαλύτερη ιδιοτιµή, ενώ ο δεύτερος (ο a) θα κάνει ακριβώς το αντίθετο: θα µας «πηγαίνει» στην ιδιοκατάσταση µε την αµέσως µικρότερη ιδιοτιµή. Αν συµβολίσουµε τις διαδοχικές ιδιοκαταστάσεις του ταλαντωτή ως n όπου για n = 0 θα έχουµε τη θεµελιώδη κατάσταση, για n = 1 την πρώτη διεγερµένη κ.ο.κ. τότε η αναµενόµενη δράση των τελεστών a και a (αν βέβαια υπάρχουν) θα περιγράφεται από τις σχέσεις a n n + 1, a n n 1, (5.6) οπότε για το γινόµενό τους N = a a θα είναι a a n n, (5.7) αφού η συνδυασµένη δράση τους ο ένας να µας «πηγαίνει» ένα βήµα πιο κάτω και ο άλλος ένα βήµα πιο πάνω προφανώς θα µας επαναφέρει στην αρχική ιδιοκατάσταση.

6 38 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Αν όµως όπως λέει η (5.7) οι ενεργειακές ιδιοκαταστάσεις n είναι και ιδιοκαταστάσεις του τελεστή N = a a, τότε µια πολύ εύλογη σκέψη είναι ότι ο χα- µιλτονιανός τελεστής του αρµονικού ταλαντωτή H = p m + 1 mω x = 1 =m=ω=1 (x + p ) (5.8) ή θα ταυτίζεται µε τον N ή θα διαφέρει από αυτόν το πολύ κατά έναν αριθµητικό παράγοντα ή/και µια προσθετική σταθερά. Αναµένεται δηλαδή να είναι H = λa a + µ, (5.9) όπου λ και µ αριθµητικές σταθερές. Αν αγνοήσουµε την προσθετική σταθερά µ, η (5.9) µας λέει αµέσως ότι οι τελεστές a και a είναι εκείνοι που παραγοντοποιούν τον τελεστή H. Τον µετατρέπουν δηλαδή σε ένα γινόµενο δύο τελεστών που θα πρέπει να είναι και αµοιβαία συζυγείς ώστε να µην θίγεται η ερµιτιανότητα του H. ( ) Κοιτάζοντας µε αυτό το πνεύµα την έκφραση (5.8) ως κλασική έκφραση κατ αρχάς βλέπουµε αµέσως ότι επιδέχεται την προφανή παραγοντοποίηση ( ) H = 1 x ip x + ip (x ip)(x + ip) α a, (5.10) όπου α και α οι κλασικές εκφράσεις α = x + ip, α = x ip. Ύστερα από τα παραπάνω δεν πρέπει πλέον να φανεί ως «τέχνασµα εξ επιφοιτήσεως» στον αναγνώστη αν προτείνουµε ως υποψήφιους τελεστές a και a τους a = x + ip, a = x ip (5.11) µε την υπόσχεση να δείξουµε αµέσως ότι όντως έχουν τις ιδιότητες που προαναγγείλαµε. ( ) ( ) Ένας τυχών ερµιτιανός τελεστής H θα µπορούσε βέβαια να παραγοντοποιηθεί και υπό τη µορφή H = AB, όπου A, B µετατιθέµενοι ερµιτιανοί τελεστές. Όµως µια τέτοια δυνατότητα δεν υφίσταται για χαµιλτονιανούς τελεστές, για τους οποίους η µόνη δυνατή παραγοντοποίηση είναι του τύπου H = A A συν κάποια σταθερά χωρίς ιδιαίτερη σηµασία. που είναι κλασικά ισοδύναµη και µε την H = (x + ip)(x ip)/, διαφέρουν όµως κβαντο- µηχανικά κατά έναν σταθερό προσθετέο όπως θα γίνει φανερό σε λίγο.

7 1. Η ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ 39 Ας δούµε κατ αρχάς αν το γινόµενο a a ισούται µε τη χαµιλτονιανή H, όπως µας προϊδεάζει η κλασική σχέση (5.10). Θα είναι a a = 1 (x ip)(x + ip) = 1 ( x + p + i(xp px) ) = 1 (x + p ) + 1 i [x, p] = H 1 } {{ } i H = a a + 1, (5.1) όπου η διαφορά κατά τον σταθερό όρο 1/ µε την κλασική σχέση (5.10) οφείλεται, βέβαια, στο γεγονός ότι τώρα τα x και p δεν είναι κλασικές µεταβλητές (για τις οποίες είναι πάντα xp = px) αλλά µη µετατιθέµενοι τελεστές που υπόκεινται στη σχέση µεταθέσεως xp px = i. Για τα περαιτέρω δηλαδή για την απόδειξη των (5.6) θα χρειαστεί να υπολογίσουµε τους µεταθέτες των τελεστών a και a µε τη χαµιλτονιανή H. Θα δείξουµε συγκεκριµένα ότι είναι [H, a] = a, [H, a ] = a. (5.13) Απόδειξη: Αρκεί να δείξουµε τις (5.13) µε τον τελεστή N = a a αντί του H, αφού ο σταθερός όρος 1/ µετατίθεται µε οποιονδήποτε τελεστή. Γι αυτό τον σκοπό θα χρειαστεί να υπολογίσουµε πρώτα τον µεταθέτη [a, a ] για τον οποίο θα είναι [a, a ] = 1 [x + ip, x ip] = 1 [x, ip] + 1 [ip, x] και εποµένως = 1 ( i) [x, p] + 1 (i) [p, x] = 1 } {{ } } {{ } + 1 = 1 i i [a, a ] = 1 [N, a] = [a a, a] = [a, a] a + a [a, a] = a } {{ } } {{ } 1 0 όπως θέλαµε να αποδείξουµε. [N, a ] = [a a, a ] = [a, a ] a + a [a, a ] = a, } {{ } } {{ } 0 1

8 40 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Για να δούµε τώρα πώς δρουν οι τελεστές a και a πάνω στις ιδιοκαταστάσεις n αφήνουµε τα δύο µέλη των (5.13) έστω της δεύτερης από αυτές να δράσουν πάνω σε µια τέτοια ιδιοκατάσταση και παίρνουµε [H, a ] n = a n (Ha a H) n = a n H ( a n ) a E n n = a n H ( a n ) = (E n + 1)a n (5.14) όπου, βέβαια, πήραµε υπ όψιν ότι οι n είναι ιδιοκαταστάσεις της χαµιλτονιανής H µε άγνωστες ακόµα ιδιοτιµές E n. Το νόηµα της (5.14) είναι φανερό. Μας λέει ότι η κατάσταση a n που προκύπτει από τη δράση του a πάνω στην n είναι πάλι ιδιοκατάσταση της χαµιλτονιανής H µε ιδιοτιµή E n + 1. Και αφήνεται στον αναγνώστη να δείξει ότι κάτι εντελώς ανάλογο αλλά µε αντίθετο πρόσηµο ισχύει και για την κατάσταση a n. Είναι πάλι ιδιοκατάσταση µε ιδιοτιµή E n 1. Το γενικότερο συµπέρασµα είναι προφανές. Αφού για κάθε δεδοµένη ιδιοτιµή E n οι E n ±1 είναι επίσης ιδιοτιµές, έχουµε ήδη αποδείξει ότι το φάσµα του αρµονικού ταλαντωτή έχει σταθερό βήµα ίσο µε ένα. ηλαδή οι ενεργειακές ιδιοτιµές είναι ισαπέχουσες µε σταθερή µεταξύ τους απόσταση ίση µε ένα. Αν λοιπόν E 0 είναι η µικρότερη από αυτές εκείνη που αντιστοιχεί στη θεµελιώδη κατάσταση τότε όλες οι άλλες θα προκύπτουν από αυτήν ανεβαίνοντας προς τα πάνω µε βήµα µονάδα οπότε το σύνολο των ιδιοτιµών θα δίνεται από τον τύπο E n = E 0 + n n = 0, 1,,... και το µόνο που αποµένει είναι ο υπολογισµός του E 0. Ο οποίος γίνεται πολύ απλά αν σκεφτούµε ότι η ιδιοκατάσταση 0 της θεµελιώδους στάθµης θα ικανοποιεί αφ ενός την εξίσωση ιδιοτιµών ( H 0 = E 0 0 a a + 1 ) 0 = E 0 0 (5.15) και αφ ετέρου την a 0 = 0, (5.16) η οποία εκφράζει την αυτονόητη απαίτηση ότι η 0 είναι η χαµηλότερη ιδιοκατάσταση και εποµένως η δράση του τελεστή a θα πρέπει να την εκµηδενίζει, αφού δεν υπάρχει δυνατότητα να πάµε πιο κάτω. (Αν ήταν a 0 0, τότε η a 0 θα ήταν επίσης ιδιοκατάσταση, µε ιδιοτιµή E 0 1, σε προφανή αντίφαση µε την παραδοχή ότι η E 0 είναι η χαµηλότερη ιδιοτιµή.)

9 1. Η ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ 41 Λαµβάνοντας υπ όψιν την (5.16) η δεύτερη από τις (5.15) δίνει αµέσως E 0 = 1/, οπότε το τελικό µας αποτέλεσµα για τις ιδιοτιµές θα γράφεται ως E n = n + 1 n = 0, 1,,... (5.17) και βεβαίως συµπίπτει µε εκείνο που µας είναι ήδη γνωστό από τη στοιχειώδη λύση του προβλήµατος που δώσαµε προηγουµένως. Στις συνήθεις µονάδες το αποτέλεσµα (5.17) γράφεται βεβαίως ως ( E n = n + 1 ) ω, (5.18) αφού ο µοναδικός συνδυασµός των παραµέτρων, m και ω που έχει διαστάσεις ενέργειας είναι ο ɛ = ω. Σύµφωνα µε την (5.18) η απόσταση µεταξύ διαδοχικών ιδιοτιµών είναι ω και βεβαίως αυτό είναι το «κβάντο ενέργειας» που πρέπει να απορροφηθεί ή να εκπεµφθεί προκειµένου να µεταβεί ο ταλαντωτής στην αµέσως ψηλότερη ή την αµέσως χαµηλότερη ιδιοκατάσταση. Σε αυτό το πνεύµα οι τελεστές a και a που πραγµατοποιούν αυτές τις µεταβάσεις είναι λογικό να ονο- µαστούν τελεστές δηµιουργίας και καταστροφής αντίστοιχα. Ο πρώτος ο a «δη- µιουργεί» ένα κβάντο ενέργειας ω και εποµένως ανεβάζει τον ταλαντωτή στην αµέσως ψηλότερη ιδιοκατάσταση ενώ ο a «καταστρέφει» ένα τέτοιο κβάντο και άρα κατεβάζει τον ταλαντωτή στην αµέσως χαµηλότερη ιδιοκατάσταση. Σηµειώστε ακόµα ότι, λόγω της (5.1) και της σχέσης H n = (n + 1/) n, θα είναι επίσης N n = n n (N = a a) απ όπου και η ονοµασία του τελεστή N (= a a) ως τελεστή αρίθµησης, αφού οι ιδιοτιµές του µας δίνουν πράγµατι τον αριθµό των κβάντων ενέργειας που εµπεριέχονται στην κατάσταση n. Σηµειώστε τέλος ότι οι µεταθετικές σχέσεις (5.13) στις οποίες βασίστηκε η απόδειξη όλων των προηγούµενων αποτελεσµάτων είναι της γενικής µορφής [H, A] = ξa, (5.19) µε ξ = 1 για τον a και ξ = 1 για τον a. Και αφήνουµε τώρα τον αναγνώστη να δείξει ότι η (5.19) συνεπάγεται το ακόλουθο γενικό θεώρηµα. ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν για έναν τελεστή H για του οποίου το φάσµα ενδιαφερόµαστε βρούµε ότι υπάρχει ένας τελεστής A του οποίου ο µεταθέτης µε τον H ξαναδίνει τον A πολλαπλασιασµένο µε έναν αριθµό ξ δηλαδή [H, A] = ξa τότε: α) Ο τελεστής H έχει ισαπέχουσες ιδιοτιµές µε µεταξύ τους απόσταση ίση µε ξ. β) Αν ξ < 0, ο

10 4 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ τελεστής A δρα πάνω στις ιδιοκαταστάσεις του H ως τελεστής καταβίβασης και ο συζυγής του ο A ως τελεστής αναβίβασης. Και το αντίθετο: Αν ξ > 0, ο A θα είναι τελεστής καταβίβασης και ο A αναβίβασης. Σηµειώστε ότι στο πλαίσιο τούτης της γενικότερης συζήτησης για τους τελεστές µετατόπισης όπως είναι λογικό να αποκληθούν οι A και A χρησιµοποιήσαµε µια αντίστοιχα γενικότερη ορολογία. ιευκρινίζουµε λοιπόν ρητά ότι οι όροι τελεστές δηµιουργίας και καταστροφής χρησιµοποιούνται µόνο στον αρµονικό ταλαντωτή ενώ σε άλλα προβλήµατα, όπου η ίδια τεχνική είναι εφαρµόσιµη, έχουν υιοθετηθεί οι όροι τελεστές αναβίβασης και καταβίβασης (raising and lowering operators) ή, γενικά, τελεστές µετατόπισης (shift operators), αν θέλουµε να αναφερθούµε και στους δύο ταυτόχρονα χωρίς διάκριση του ιδιαίτερου ρόλου τους.. Αλγεβρική κατασκευή των ιδιοσυναρτήσεων Είναι προφανές από τα προηγούµενα ότι η αλγεβρική µέθοδος µπορεί να χρησιµοποιηθεί όχι µόνο για τον υπολογισµό των ιδιοτιµών αλλά και για την κατασκευή των ιδιοκαταστάσεων π.χ. στην αναπαράσταση θέσης αφού όλες µπορούν να προκύψουν από τη θεµελιώδη µε διαδοχική δράση του τελεστή a. Όσο για την ίδια τη θεµελιώδη κατάσταση, αυτή προσδιορίζεται πολύ εύκολα µε βάση τη συνθήκη (5.16) a 0 = 0 η οποία, στην αναπαράσταση θέσης, γράφεται ως 1 (x + ip) ψ 0 (x) = 0 p= id/dx ( x + d dx ) ψ 0 (x) = 0, δηλαδή σαν µια πρωτοτάξια διαφορική εξίσωση που λύνεται αµέσως µε αποτέλεσµα (σε κανονικοποιηµένη µορφή) ψ 0 (x) = 1 4 π e x /. Για να βρούµε και τις άλλες ιδιοσυναρτήσεις, επίσης σε κανονικοποιηµένη µορφή, θα χρειαστεί να υπολογίσουµε τον αριθµητικό συντελεστή c n που µετατρέπει την αναλογία a n n + 1 σε ισότητα. Έστω λοιπόν ότι a n = c n n + 1 (5.0) οπότε, αν πάρουµε τα µήκη ( ) των δύο µελών της (5.0) λαµβάνοντας επιπλέον υπ όψιν ότι όλα τα διανύσµατα n είναι κανονικοποιηµένα, έχουν δηλαδή µήκος ( ) Υπενθυµίζουµε στον αναγνώστη ότι το µήκος ψ ενός διανύσµατος ψ ορίζεται ως η τετραγωνική ρίζα του εσωτερικού του γινοµένου µε τον εαυτό του. ηλαδή ψ = p ψ ψ.

11 . ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΩΝ Ι ΙΟΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 43 µονάδα θα έχουµε a n = c n c n = a n ( a n ) a n = n aa n (5.1) όπου, βέβαια, χρησιµοποιήσαµε τους γνωστούς από το προηγούµενο κεφάλαιο κανόνες χειρισµού εσωτερικών γινοµένων στο συµβολισµό του Dirac. Ότι δηλαδή τα διανύσµατα ket πρέπει να νοούνται ως διανύσµατα στήλης που πολλαπλασιάζονται εξ αριστερών µε τα συζυγή άλλων τέτοιων διανυσµάτων για να δώσουν τα αντίστοιχα εσωτερικά γινόµενα. ( ) εδοµένου τώρα ότι [a, a ] aa a a = 1, το γινόµενο aa στην (5.1) θα εκφράζεται συναρτήσει του a a (= N) ως aa = a a + 1 = N + 1, οπότε η δράση του πάνω στην ιδιοκατάσταση n στα δεξιά του θα δώσει (n+1) n αφού N n = n n και έτσι θα είναι c n = n (n + 1) n = n + 1 c n = n + 1 και άρα η (5.0) µε επιλογή του θετικού προσήµου για τα c n θα γράφεται τελικά ως a n = n + 1 n + 1, (5.) ενώ µε εντελώς ανάλογο τρόπο καταλήγουµε και στην a n = n n 1. (5.3) Σηµειώστε ότι για n = 0 η (5.3) καταλήγει στην a 0 = 0, όπως θα έπρεπε. Μάλιστα αυτή η απαίτηση προσφέρεται και ως το κατάλληλο κριτήριο για να θυ- µόµαστε σε ποια από τις δύο σχέσεις, (5.) ή (5.3), θα πρέπει να εµφανίζεται ο ( ) Όπως δηλαδή για το εσωτερικό γινόµενο δύο συνήθων διανυσµάτων στήλης γράφουµε (X, Y ) X Y έτσι και για το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ket θα είναι ` ψ, φ ` ψ φ = ψ φ ψ φ οπότε, για την περίπτωση που µας ενδιαφέρει εδώ, θα έχουµε a n = ορ `a n, a n `a n a n = ` n (a ) a n = n aa n.

12 44 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ παράγοντας n + 1 και σε ποια ο n. Εφαρµόζοντας επανειληµµένα την (5.), µε σηµείο εκκίνησης τη θεµελιώδη κατάσταση 0, παίρνουµε n = 1 n! (a ) n 0, που γράφεται στην αναπαράσταση θέσης ως µε ψ n (x) = 1 n! (a ) n ψ 0 (x) (5.4) a = 1 (x ip) = 1 ( x d ). p= id/dx dx Έτσι, παραδείγµατος χάριν, για n = 1 θα έχουµε ψ 1 (x) = 1 ( 1 x d ) 1 1! dx 4 e x / = π π xe x / που είναι πράγµατι η κανονικοποιηµένη µορφή της ιδιοσυνάρτησης ψ 1, όπως µπορεί να ελέγξει µόνος του ο αναγνώστης. Γενικότερα µε βάση την εκπεφρασµένη µορφή των a και ψ 0 (x) η (5.4) γράφεται ως ( 1 ψ n (x) = x d ) n e x / π n n! dx και ύστερα από µερικές µετατροπές δείτε σχετικό πρόβληµα στο τέλος του κεφαλαίου ως 1 ψ n (x) = / π n n! e x H n (x), όπου H n (x) η έκφραση ( ) d n H n (x) = ( 1) n e x e x, (5.5) dx που είναι γνωστή ως τύπος του Rodrigues και δίνει τα γνωστά µας πολυώνυµα Hermite κανονικοποιηµένα µε τον συµφωνηµένο στη βιβλιογραφία τρόπο. Ένας τρόπος να βεβαιωθείτε γι αυτό ότι δηλαδή η (5.5) όντως δίνει τα «επίσηµα» πολυώνυµα Hermite είναι να εισαγάγετε την (5.5) στον συµβολικό σας υπολογιστή και να αντιπαραβάλετε τις εκφράσεις που παίρνετε µε εκείνες που προκύπτουν αν ζητήσετε κατ ευθείαν τα αντίστοιχα πολυώνυµα. Αν το συµβολικό σας

13 3. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ 45 πρόγραµµα είναι η Mathematica, τότε η εντολή για την (5.5) µπορεί να γραφεί ως # "! $ { +* } #%%&')( '",ενώ η κατ ευθείαν «ζήτηση» των πολυωνύµων Hermite γίνεται µέσω της εντολής +./.3 (0'1. Εισάγοντας επίσης στον υπολογιστή σας και την έκφραση των ιδιοσυναρτήσεων µπορείτε να έχετε αµέσως όποια από αυτές επιθυµείτε και βεβαίως τη γραφική της παράσταση µέσω της αντίστοιχης εντολής. Οι τέσσερις πρώτες από αυτές δίνονται στο σχήµα 5.3 πάνω στις αντίστοιχες ενεργειακές στάθµες. Σχηµα 5.3: Οι τέσσερις πρώτες ιδιοσυναρτήσεις του αρµονικού ταλαντωτή. Η πρώτη ιδιοσυνάρτηση είναι άρτια µε µηδέν κόµβους, η δεύτερη περιττή µε έναν κόµβο, η τρίτη πάλι άρτια µε δύο κόµβους, κ.ο.κ. 3. Αλγεβρικές τεχνικές υπολογισµού Είδαµε προηγουµένως ότι η αλγεβρική µέθοδος µας δίνει τη δυνατότητα να κατασκευάσουµε εκπεφρασµένα τις ιδιοσυναρτήσεις του αρµονικού ταλαντωτή και βάσει αυτών να υπολογίσουµε οποιαδήποτε άλλη ποσότητα επιθυµούµε: Μέσες τιµές, αβεβαιότητες ή στοιχεία µήτρας διαφόρων µεγεθών που εµφανίζονται στις

14 46 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ εφαρµογές. Στην πραγµατικότητα η εκπεφρασµένη γνώση των ιδιοσυναρτήσεων δεν είναι καθόλου αναγκαία για τέτοιους υπολογισµούς, οι οποίοι µπορούν να εκτελεστούν µε έναν καθαρά αλγεβρικό τρόπο, που είναι µάλιστα και πολύ απλούστερος. Η γενική ιδέα είναι η εξής: Αφού η δράση των τελεστών a και a πάνω στις ιδιοκαταστάσεις είναι γνωστή σχέσεις (5.) και (5.3) τότε το ίδιο θα ισχύει και για τους τελεστές x και p, αφού αυτοί εκφράζονται µέσω των a και a ως x = a + a, p = a a i όπως προκύπτει αµέσως από τις (5.11), λύνοντας ως προς x και p. Για να υπολογίσουµε λοιπόν µια µέση τιµή της µορφής A = n A(x, p) n ή ένα µη διαγώνιο στοιχείο µήτρας, όπως π.χ. το A nm = n A(x, p) m, δεν έχουµε παρά να εκφράσουµε τον τελεστή A(x, p) συναρτήσει των a και a και να υπολογίσουµε τη δράση του πάνω στην κατάσταση n. ύο σχετικά παραδείγµατα είναι τα εξής: ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1: Υπολογίστε τις αβεβαιότητες x και p για την τυχούσα ιδιοκατάσταση n του αρµονικού ταλαντωτή. Λύση: εδοµένου ότι x = p = 0 (γιατί;) θα είναι ( x) = x και επίσης ( p) = p. Για τη µέση τιµή x θα έχουµε διαδοχικά x = n x n = 1 n (a + a ) n 1 n (a + a )(a + a ) n = 1 n (a + a + aa + a a) n = 1 n aa }{{} + }{{} a a n = 1 n + 1 n (N + 1) n = = n + 1 N+1 N x = n + 1 και εντελώς ανάλογα p = n + 1. Σηµειώστε ότι τα αποτελέσµατα αυτά θα µπορούσαν να έχουν εξαχθεί και χωρίς κανέναν υπολογισµό αν παρατηρούσαµε εξ αρχής ότι τα x και p εµφανίζονται συµµετρικά στη

15 3. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ 47 χαµιλτονιανή H = (x + p )/ και εποµένως αναµένεται να είναι x = p H = E n = 1 ( x + p ) = x = p x = p = E n = n + 1, όπως βρήκαµε προηγουµένως. Σηµειώστε ακόµα ότι στον παραπάνω υπολογισµό αγνοήσαµε αµέσως τις µέσες τιµές n a n και n a n που προφανώς µηδενίζονται, αφού η δράση των a και a στην κατάσταση n στα δεξιά τους, θα δώσει τις καταστάσεις n και n + που είναι ορθογώνιες στην κατάσταση n από αριστερά. Και ο γενικός κανόνας είναι προφανής: Κατά τον υπολογισµό µέσων τιµών της µορφής n αλυσίδα τελεστών δηµιουργίας και καταστροφής n θα κρατάµε µόνο εκείνες τις «αλυσίδες» που περιέχουν ίδιο αριθµό τελεστών δηµιουργίας και καταστροφής. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Υπολογίστε τη µέση τιµή n x 4 n για την τυχούσα ιδιοκατάσταση n του αρµονικού ταλαντωτή. Λύση: Θα είναι διαδοχικά n x 4 n = 1 4 n (a + a ) 4 n = 1 4 n (a + a ) (a + a ) n = 1 4 n (a + a + aa + a a)(a + a + aa + a a) n = 1 4 n (a a + a a + aa aa + aa a a + a aaa + a aa a + ) n (1) όπου σύµφωνα µε τα προαναφερθέντα κρατήσαµε µόνο τους όρους µε ίδιο αριθµό τελεστών δηµιουργίας και καταστροφής. Κάθε όρος αυτού του τύπου δεν µπορεί παρά να είναι τελικά µια συνάρτηση της χαµιλτονιανής H = a a + (1/) = N + (1/) ή που είναι το ίδιο του τελεστή αρίθµησης N = a a. Και ο λόγος βεβαίως είναι ότι οι ιδιοκαταστάσεις n είναι και ιδιοκαταστάσεις κάθε τέτοιου όρου αφού η δράση του που περιλαµβάνει τον ίδιο αριθµό αναβιβάσεων και καταβιβάσεων θα τις αφήνει στη θέση τους. Έτσι ένας τρόπος να υπολογίσουµε την παραπάνω µέση τιµή είναι να εκφράσουµε κάθε όρο της ως συνάρτηση του N, οπότε βέβαια η ζητούµενη τιµή θα προκύπτει µε την αντικατάσταση N n. Για τους τελευταίους τέσσερις όρους στην (1) ο υπολογισµός

16 48 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ γίνεται «διά γυµνού οφθαλµού» αν λάβουµε υπ όψιν ότι a a = N και aa = N +1 λόγω της µεταθετικής σχέσης [a, a ] = 1. Έτσι θα έχουµε aa }{{} N+1 aa }{{} N+1 a a }{{} N aa }{{} N+1 = (N + 1), aa }{{} N+1 = N(N + 1), a a }{{} N }{{} a a = (N + 1)N N }{{} a a = N. N Για τους δύο πρώτους όρους a a και a a χρειάζεται να χρησιµοποιήσουµε επιπλέον και τις µεταθετικές σχέσεις [N, a] = a Na = an a και [N, a ] = a Na = a N + a. Έτσι θα έχουµε a a a }{{} aa a = a(n + 1)a = ana + aa N+1 = a(a N + a ) + aa = (N + 1)N + (N + 1) = (N + 1)(N + ) a a a }{{} a a a = a Na = a (an a) = a an a a = N N. N Αθροίζοντας όλα τα παραπάνω το αποτέλεσµα είναι n x 4 n = 3 4 (n + n + 1). 4. Σύµφωνες καταστάσεις και το κλασικό όριο του ταλαντωτή ( ) Είδαµε νωρίτερα ότι οι εκφράσεις των τελεστών δηµιουργίας και καταστροφής a = (x + ip)/ και a = (x ip)/ αναδύθηκαν αβίαστα από την ιδέα της παραγοντοποίησης της χαµιλτονιανής H = (x + p )/ η οποία, σε κλασικό κατ αρχάς επίπεδο, γράφεται αµέσως ως H = α α, όπου α = (x + ip)/ και α = (x ip)/. Αν όµως θυµηθούµε επίσης ότι η κλασική ενέργεια του ταλαντωτή, συναρτήσει του πλάτους A της ταλάντωσής του, γράφεται ως E cl = 1 ka = 1 mω A = 1 A (για m = ω = 1) ή ακόµα (αν το πλάτος της ταλάντωσης θεωρηθεί µιγαδικό ώστε να συµπεριλαµβάνει και τη φάση της) ως E cl = 1 A A, ( ) Μπορεί να παραλειφθεί από τον «βιαστικό» αναγνώστη.

17 4. ΣΥΜΦΩΝΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΟ ΚΛΑΣΙΚΟ ΟΡΙΟ ΤΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ 49 τότε η αντιπαραβολή µε την έκφραση H = α α οδηγεί αµέσως στη σκέψη ότι οι κβαντικοί τελεστές a και a που αποτελούν το κβαντικό ανάλογο των α και α θα είναι κάποιο είδος κβαντοµηχανικού αντίστοιχου του κλασικού πλάτους ταλάντωσης A. (Με έναν, αναµενόµενο, συντελεστή αναλογίας αφού δεν είναι A = α αλλά A = α.) Αν όµως ο τελεστής a ή ο a αντιπροσωπεύει πράγµατι το κβαντικό ανάλογο του πλάτους ταλάντωσης τότε οι ιδιοκαταστάσεις του, δηλαδή οι λύσεις της εξίσωσης ιδιοτιµών a α = α α, (5.6) θα αντιπροσωπεύουν εκείνο το είδος κβαντικών καταστάσεων που θα βρίσκονται όσο γίνεται πιο κοντά στο κλασικό όριο. Όπου µια κατάσταση καθορισµένης ενέργειας είναι πάντα και µια κατάσταση καθορισµένου πλάτους ταλάντωσης. Οι καταστάσεις α που ορίζονται από την (5.6) µε α έναν τυχόντα µιγαδικό αριθµό ( ) είναι γνωστές ως σύµφωνες καταστάσεις (coherent states) και οι βασικές τους ιδιότητες διατυπώνονται υπό µορφήν θεωρήµατος ως ακολούθως: ΘΕΩΡΗΜΑ: α) Οι σύµφωνες καταστάσεις δεν έχουν καθορισµένη ενέργεια. Η µέση ενέργεια και η αβεβαιότητα ενέργειας του ταλαντωτή σε µια σύµφωνη κατάσταση α είναι ίση µε E = α + 1, E = α. (5.7) β) Μη όντας ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας, οι σύµφωνες καταστάσεις θα γράφονται ως µια επαλληλία τέτοιων ιδιοκαταστάσεων. Θα είναι συγκεκριµένα α = e α / n=0 α n n! n, (5.8) όπου οι καταστάσεις α και n υποτίθενται κανονικοποιηµένες. γ) Στην αναπαράσταση θέσης οι σύµφωνες καταστάσεις, µε Imα = 0, περιγράφονται από τις κυµατοσυναρτήσεις ψ α (x) x α = 1 4 π e (x α ) /. (5.9) ( ) Σηµειώστε ότι ο τελεστής a δεν είναι ερµιτιανός και εποµένως οι ιδιοτιµές του α δεν υποχρεούνται να είναι πραγµατικοί αριθµοί όπως στις περιπτώσεις που εξετάζαµε µέχρι τώρα. Αυτό όµως σηµαίνει µεταξύ άλλων ότι ο τελεστής a δεν αντιπροσωπεύει ένα φυσικό µέγεθος µε την αυστηρή έννοια του όρου.

18 50 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Απόδειξη: Θα είναι διαδοχικά ( α) E = H = α a a + 1 ) α = α a a α + 1 = ( a α ) ( a α ) + 1 = ( α α ) ( α α ) + 1 = α α α α + 1 = α α + 1 (ό.έ.δ.) Για την αβεβαιότητα ενέργειας θα είναι κατ αρχάς ( E) = H H όπου ( H = α a a + ) 1 ( α α a a + 1 ) ( a a + 1 ) α ( = α a aa a + a a + 1 ) α 4 = α a aa a α + α a a α (Α) Μια χρήσιµη γενική παρατήρηση για την εκτέλεση τέτοιων υπολογισµών απορρέει από τη σχέση συζυγίας α a = ( a α ) = ( α α ) = α α, η οποία µας λέει ότι το συζυγές διάνυσµα α είναι ιδιοδιάνυσµα του συζυγούς τελεστή a θεωρουµένου ότι δρα προς τα αριστερά του µε ιδιοτιµή α, δηλαδή τη συζυγή της αρχικής. Σε αυτό το πνεύµα µπορούµε να γράψουµε αµέσως α a a α = α α α α = α α (Β) και α a aa a α = α α aa α α = α α α aa α α α α (a a + 1) α = α α ( α a a α + 1 ) = α α(α α + 1) = α 4 + α. (C)

19 4. ΣΥΜΦΩΝΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΟ ΚΛΑΣΙΚΟ ΟΡΙΟ ΤΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ 51 Θα είναι λοιπόν και εποµένως H = α 4 + α ( E) = H H = α 4 + α + 1 ( 4 α + 1 ) = α β) Έστω E = α α = n (ό.έ.δ.) c n n, (5.30) όπου c n προσδιοριστέοι συντελεστές. Εισάγοντας την (5.30) στην (5.6) παίρνου- µε α ( ) c n n = a c n n = c n a n n n n = (5.31) c n n n 1 c n+1 n + 1 n n n όπου η µετατόπιση του αθροιζόµενου δείκτη (n n + 1) στην προτελευταία σειρά δεν αλλάζει το σηµείο εκκίνησης του n που παραµένει το n = 0 λόγω της παρουσίας του συντελεστή n που µηδενίζεται για n = 0. Εξισώνοντας τώρα τους συντελεστές των καταστάσεων n µεταξύ πρώτης και τελευταίας σειράς στην (5.31), παίρνουµε c n+1 = α n + 1 c n, δηλαδή µια απλούστατη αναδροµική σχέση που δίνει αµέσως c n = αn n! c 0, όπου το c 0 υπολογίζεται από τη συνθήκη κανονικοποίησης ( ) c n α n = c 0 = e α c 0 = 1 n! n=0 n=0 α / c 0 = e c n = αn n! e α /

20 5 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ α = e α / n=0 α n n! n. (ό.έ.δ.) γ) Στην αναπαράσταση θέσης η εξίσωση ιδιοτιµών των σύµφωνων καταστάσεων a α = α α παίρνει τη µορφή ( 1 x + d ) ψ α (x) = αψ α (x) dx που είναι µια απλούστατη πρωτοτάξια εξίσωση µε (µη κανονικοποιηµένη) λύση την ψ α e 1 x +α x και σε κανονικοποιηµένη µορφή αν Im α = 0 (α ) ψ α (x) = e α 4 π e x /+α x 1 4 π e (x α ) /, (ό.έ.δ.) ενώ για τυχόν µιγαδικό α (= α 1 + ia ) θα έχουµε ψ α (x) = 4 1 e (x α 1 ) /+iα x. (5.3) π Από φυσικής πλευράς τα αποτελέσµατα (5.7) έως (5.9) είναι πολύ εύλογα. Με εξαίρεση τον (αναµενόµενο) σταθερό όρο 1/ η πρώτη από τις (5.7) E = α α + (1/) επιβεβαιώνει πλήρως την υπόθεσή µας ότι η ιδιοτιµή α που χαρακτηρίζει τις σύµφωνες καταστάσεις είναι το κβαντικό ανάλογο του κλασικού πλάτους ταλάντωσης µε την επίσης αναµενόµενη διαφορά ενός παράγοντα ίσου µε. (Το κλασικό πλάτος A = x max συνδέεται µε το α µέσω της σχέσης A = α.) Η δεύτερη από τις (5.7) E = α είναι επίσης αξιοµνηµόνευτη. Μας λέει ότι στο όριο των µεγάλων πλατών όπου αναµένεται να ισχύει η κλασική φυσική θα είναι E E = α α + (1/) α 1 α 0, το οποίο σηµαίνει ότι σε αυτό το όριο οι κβαντικές αβεβαιότητες θα είναι συγκριτικά αµελητέες και οι κβαντικές καταστάσεις καθορισµένου πλάτους δηλαδή οι σύµφωνες καταστάσεις θα γίνονται ταυτόχρονα και καταστάσεις καθορισµένης ενέργειας. Θα αποκαθίσταται δηλαδή η κλασική συµπεριφορά.

21 4. ΣΥΜΦΩΝΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΟ ΚΛΑΣΙΚΟ ΟΡΙΟ ΤΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ 53 Όσο για το αποτέλεσµα (5.8) αυτό µας δίνει τη «σύνθεση» της σύµφωνης κατάστασης α από ενεργειακές ιδιοκαταστάσεις n. Συγκεκριµένα, για µια σύµφωνη κατάσταση πλάτους α οι πιθανότητες εµφάνισης των διαφόρων ιδιοκαταστάσεων n θα δίνονται από τον τύπο P n (α) = α n e α n! (5.33) και, όπως µπορείτε να δείτε στον υπολογιστή σας, για κάθε δεδοµένο α η κατανοµή (5.33) ως συνάρτηση του n είναι αρχικά αύξουσα, «πιάνει» το µέγιστό της σε κάποια τιµή n = n max και µετά αποσβένυται στο µηδέν. Και είναι επίσης µια καλή άσκηση να δείξετε αριθµητικά, και µετά να δικαιολογήσετε θεωρητικά, ότι για σχετικά µεγάλα α π.χ. για α 4 η πιθανότερη τιµή του n (n = n max ) συνδέεται µε το α µέσω της σχέσης n max α ( α 4) Πολύ εύγλωττη από φυσικής πλευράς είναι επίσης και η έκφραση (5.9) της κυ- µατοσυνάρτησης που περιγράφει µια σύµφωνη κατάσταση µε Im α = 0, στην αναπαράσταση θέσης. Όπως βλέπετε, η µορφή της είναι ένα γκαουσιανό εκθετικό, όπως εκείνο της θεµελιώδους καταστάσεως, αλλά µε το κέντρο του στη θέση x 0 = α που αντιστοιχεί στο κβαντικό ανάλογο του κλασικού πλάτους A = α. Η µέση θέση του σωµατιδίου σε αυτή την κατάσταση θα είναι, προφανώς, x = α ενώ η µέση ορµή µηδέν p = 0 αφού η σχετική κυµατοσυνάρτηση είναι πραγµατική. Στο ηµικλασικό όριο των σχετικά µεγάλων α µια σύµφωνη κατάσταση θα περιγράφει λοιπόν έναν ταλαντωτή που έχει εκτοπισθεί από τη θέση ισορροπίας του x = 0 και βρίσκεται στη (µέση) θέση x 0 = A = α µε (µέση) αρχική ταχύτητα µηδέν. Και αν αυτή η ηµικλασική εικόνα είναι σωστή, τότε η αναµενόµενη χρονική εξέλιξη της κυµατοσυνάρτησης (5.9) είναι να διατηρήσει τη µετατοπισµένη γκαουσιανή µορφή της αλλά µε το κέντρο της να ταλαντεύεται περιοδικά όπως στο αντίστοιχο κλασικό πρόβληµα. Περιµένουµε δηλαδή τουλάχιστον για µεγάλα α ότι η χρονική εξέλιξη θα διατηρεί το χαρακτήρα µιας σύµφωνης κατάστασης ως σύµφωνης κατάστασης και θα «εξελίσσει» απλώς το πλάτος της α κατά τα προβλεπόµενα από την κλασική ταλάντωση. Το ότι έτσι όντως έχουν τα πράγµατα επιβεβαιώνεται από το ακόλουθο θεώρηµα. ΘΕΩΡΗΜΑ 3: Η χρονικά εξελιγµένη µορφή µιας σύµφωνης κατάστασης α είναι πάλι µια σύµφωνη κατάσταση α(t) µε (µιγαδικό) πλάτος α(t) ίσο µε α(t) = αe it (5.34)

22 54 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ όπως και στο αντίστοιχο κλασικό πρόβληµα µε τις ίδιες παραµέτρους (m= ω = 1). Απόδειξη: Θα είναι, κατά τα γνωστά, α, t = U(t) α = e iht α ( = 1) ( = e iht e ) α / α n n = e α / n n! n α n n! e iht n = e α / n α n n! e i(n+ 1 )t n = e α / e it/ n (αe it ) n n! n (5.35) και αν αγνοήσουµε τη σταθερή (ως προς x) φάση e it/ που δεν έχει φυσική σηµασία όπως γνωρίζουµε τότε το αποτέλεσµα (5.35) θα γράφεται ως α, t = e α(t) / n α(t) n n! n α(t), όπου α(t) = αe it, όπως θέλαµε να αποδείξουµε. Με µιγαδικό πλέον α (= α(t) = α(cos t + i sin t) η χρονικά εξελιγµένη κυ- µατοσυνάρτηση θέσης θα περιγράφεται τώρα σύµφωνα µε την (5.3) από την έκφραση ψ α (x, t) = 1 4 π e (x α cos t) /+iα sin t x, που αντιστοιχεί πράγµατι σε µια ταλαντευόµενη γκαουσιανή καµπάνα µε στιγµιαίο κέντρο στο x 0 (t) = α cos t αλλά και µια στιγµιαία (µέση) ορµή ( ) p t = α sin t, ( = 1) που είναι επίσης σύµφωνη µε το αντίστοιχο κλασικό αποτέλεσµα. Σηµειώστε τέλος ότι η χρονική εξέλιξη (5.34) µιας σύµφωνης κατάστασης θα µπορούσε να προβλεφθεί επίσης και µάλιστα πολύ απλούστερα αν χρησιµοποιούσαµε την αναπαράσταση Heisenberg (Κεφ. 4,.) στο πλαίσιο της οποίας θα έπρεπε να αναζητήσουµε όχι τη χρονικά εξελιγµένη µορφή των καταστάσεων ( ) Υπενθυµίζουµε στον αναγνώστη δείτε και σχετικό πρόβληµα στο τέλος του 1ου κεφαλαίου ότι για µια κυµατοσυνάρτηση Ψ(x) της µορφής Ψ(x) = ψ(x)e ikx, όπου ψ(x) πραγµατική συνάρτηση, η µέση ορµή του σωµατιδίου είναι ίση µε k.

23 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 55 α αλλά του σχετικού τελεστή a a(t) που διέπεται από τη σχετική εξίσωση Heisenberg i da(t) = [ a(t), H ] = [ H, a(t) ] = a(t) (5.36) dt όπου, βέβαια, χρησιµοποιήσαµε τη γνωστή µεταθετική σχέση [H, a] = a η οποία ισχύει και για τον τελεστή a(t) αφού προέρχεται από τον a a(0) µε έναν µοναδιαίο µετασχηµατισµό (Κεφ. 4,.). Η (5.36) ολοκληρώνεται αµέσως µε αποτέλεσµα a(t) = ae it, (5.37) όπου a a(0) ο τελεστής δηµιουργίας στην αναπαράσταση Schrödinger. Η (5.37) είναι, βεβαίως, το αναµενόµενο αποτέλεσµα αφού τώρα δηλαδή στην αναπαράσταση Heisenberg η χρονική εξέλιξη φέρεται από τους κβαντοµηχανικούς τελεστές (και όχι από τις κυµατοσυναρτήσεις) οπότε είναι λογικό η (5.34) να παίρνει τώρα τη µορφή (5.37). Στα προβλήµατα που ακολουθούν θα έχει την ευκαιρία ο αναγνώστης να µελετήσει περισσότερο τις σύµφωνες καταστάσεις αλλά και ορισµένες γενικεύσεις τους όπως τις λεγόµενες συµπιεσµένες καταστάσεις (squezed states) που έχουν αποκτήσει πρόσφατα ένα µεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον στο πλαίσιο της φυσικής των λέιζερ. Προβλήµατα Ανασκόπηση της στοιχειώδους θεωρίας 1. Στο φυσικό σύστηµα µονάδων του αρµονικού ταλαντωτή η κατάσταση του σωµατιδίου, σε µια ορισµένη στιγµή, περιγράφεται από την κυµατοσυνάρτηση ψ(x) = Ne λx /. (1) Υπολογίστε την πιθανότητα να προκύψει από µια µέτρηση η ενέργεια E 0 = 1/ της θεµελιώδους στάθµης. Ποια είναι η πιθανότητα να προκύψει από τη µέτρηση η ενέργεια E 1 = 3/ της πρώτης διεγερµένης στάθµης;. Να βρεθεί η κατάσταση ελάχιστης ενέργειας για το δυναµικό του «µισού αρµονικού ταλαντωτή» V (x) = {, x < 0 kx /, x > 0 Ποιο είναι το πλήρες σύνολο των ιδιοκαταστάσεών του και των αντίστοιχων ιδιοτιµών;

24 56 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 3. Στο φυσικό σύστηµα µονάδων του αρµονικού ταλαντωτή η κατάσταση του σωµατιδίου σε µια ορισµένη στιγµή περιγράφεται από την κυµατοσυνάρτηση ψ(x) = Nx e x /. (1) Όλοι οι ισχυρισµοί που ακολουθούν είναι λαθεµένοι. Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί, χωρίς να κάνετε κανέναν υπολογισµό; (α) Οι µόνες τιµές της ενέργειας που µπορούν να προκύψουν από τις µετρήσεις είναι εκείνες που αντιστοιχούν στις άρτιες ιδιοσυναρτήσεις. ηλαδή οι E 0, E, E 4,.... (β) Η µέση ενέργεια του σωµατιδίου στην κατάσταση (1) είναι: i) E = 3, ii) E = 1/4. (γ) Η µέση κινητική ενέργεια του σωµατιδίου στην κατάσταση (1) είναι K = 5/. (δ) Η µέση ορµή του σωµατιδίου στην κατάσταση (1) είναι p =. 4. Υπολογίστε την πυκνότητα πιθανότητας των ορµών ενός αρµονικού ταλαντωτή στη θεµελιώδη του κατάσταση. Ποια είναι η πιθανότητα να βρεθεί ο ταλαντωτής µε ορµές που είναι κλασικά απαγορευµένες για τη δεδοµένη ενεργειακή κατάσταση; 5. Ένα σωµατίδιο µάζας m εκτελεί τριδιάστατη κίνηση υπό την επίδραση του δυναµικού V = 1 kx + 1 ky + 1 kz = 1 mω (x + y + z ) (1) που είναι γνωστό ως ο τριδιάστατος αρµονικός ταλαντωτής. Βρείτε τις ιδιοτιµές και τις ιδιοσυναρτήσεις του και δώστε το ενεργειακό διάγραµµα για τις τρεις πρώτες στάθµες δείχνοντας και τον εκφυλισµό της καθεµιάς. ουλέψτε στο σύστηµα µονάδων όπου = m = ω = Ένα σωµατίδιο µάζας m κινείται υπό την επίδραση του δυναµικού (ανισότροπος αρ- µονικός ταλαντωτής) V (x, y, z) = 1 kx + 1 ky + kz. Κάντε το ενεργειακό διάγραµµα για τις τέσσερις πρώτες στάθµες του και κατασκευάστε εκπεφρασµένα την ιδιοσυνάρτηση της θεµελιώδους στάθµης. 7. Επανειληµµένες µετρήσεις της ενέργειας στην ίδια φυσική κατάσταση ενός αρµονικού ταλαντωτή έδωσαν µόνο τις δύο τιµές E 0 = 1/ και E 1 = 3/ µε συχνότητες P 0 = 1/3 και P 1 = /3. (α) Γράψτε την πιο γενική κατάσταση του ταλαντωτή που ανταποκρίνεται στα δεδο- µένα αυτών των µετρήσεων. (β) Προσδιορίστε επακριβώς αυτή την κατάσταση αν σας δίνεται επιπλέον ένα από τα ακόλουθα δεδοµένα: i) x = 0 ii) x = 1/3 iii) p = 0 iv) p = /3. 8. Είναι γνωστό εκ των προτέρων ότι η κατάσταση ενός αρµονικού ταλαντωτή είναι µια επαλληλία της θεµελιώδους και της πρώτης διεγερµένης καταστάσεώς του. Προσδιορίστε επακριβώς αυτή την κατάσταση µε καθένα από τα ακόλουθα ζεύγη δεδοµένων: α) E = 1, x = 1/ β) x = 1/, p = 1/ γ) E = 5/4, p = 0.

25 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 57 Αλγεβρική θεωρία 9. Κατασκευάστε τις (απειροδιάστατες) µήτρες που αναπαριστούν τους τελεστές δηµιουργίας και καταστροφής στη βάση των ιδιοκαταστάσεων της ενέργειας. 10. Στην αλγεβρική θεωρία του αρµονικού ταλαντωτή κρίνεται σκόπιµο (όπως τονίσαµε και στο κείµενο) αντί της χαµιλτονιανής H = a a+ 1 να χρησιµοποιούµε τον τελεστή N = a a, µέσω του οποίου η εξίσωση ιδιοτιµών H n = (n + 1 ) n γράφεται στην κοµψότερη µορφή N n = n n, από όπου και ο χαρακτηρισµός του N ως τελεστή αρίθµησης. (Οι ιδιοτιµές του n κατα- µετρούν τον αριθµό των ενεργειακών κβάντων ω που περιέχονται στην εξεταζόµενη ιδιοκατάσταση.) Χρησιµοποιώντας τη βασική µεταθετική σχέση [a, a ]=1, δείξτε ότι ισχύουν και οι ακόλουθες: α) [N, a ] = a δ) [N, (a ) ] = (a ) β) [N, a] = a ε) [N, a aa ] = a aa γ) [N, a ] = a στ) [N, aa a] = aa a. Στην πραγµατικότητα όλες οι παραπάνω µεταθετικές σχέσεις είναι εκ των προτέρων προφανείς. Γιατί; Ποιος είναι ο κοινός γενικός κανόνας; 11. Εξηγήστε, µε έναν απλό συλλογισµό, γιατί κάθε γινόµενο της µορφής aa a a... µε το ίδιο πλήθος τελεστών δηµιουργίας και καταστροφής είναι αναγκαστικά µια συνάρτηση του τελεστή αρίθµησης N = a a. Βρείτε ποια είναι αυτή η συνάρτηση για καθένα από τα ακόλουθα γινόµενα: α) aa a a, β) a aaa, γ) aaa a, δ) aaaa a a. 1. Χωρίς να υποθέσετε τίποτα για τους τελεστές a και a πέραν του ότι είναι ο ένας συζυγής του άλλου δείξτε ότι το γινόµενό τους (aa ή a a) είναι: α) ερµιτιανός τελεστής, β) θετικά ορισµένος και άρα το φάσµα του θα περιέχει µόνο θετικές ιδιοτιµές και ενδεχοµένως το µηδέν. 13. Κατασκευάστε τη διάκριτη µήτρα που αναπαριστά τον τελεστή της ισοτιµίας στη βάση των ιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αρµονικού ταλαντωτή. Περιµένετε η µήτρα αυτή να είναι διαγώνια ή όχι; 14. Η κατάσταση ενός αρµονικού ταλαντωτή σε µια δεδοµένη στιγµή δίνεται από την κυµατοσυνάρτηση ψ(x) = e (x a) / / 4 π. είξτε ότι οι πιθανότητες να βρούµε µια οποιαδήποτε από τις άρτιες ιδιοτιµές ή µια οποιαδήποτε από τις περιττές δίνονται από τους τύπους P ± (a) = 1 ± e a. Αλλάζουν αυτές οι πιθανότητες µε τον χρόνο; 15. Ένας διαφορετικός και µάλλον απλούστερος τρόπος υπολογισµού της µέσης τιµής n x 4 n, από αυτόν που δώσαµε στο κείµενο, συνίσταται στη διαπίστωση ότι είναι n x 4 n = n x x n = x n,

26 58 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ οπότε η ιδέα του υπολογισµού είναι να δράσουµε στην κατάσταση n µε τον τελεστή x = ( ) a + a = 1 ( a + a + aa + a a ) και να υπολογίσουµε το «τετραγωνισµένο µήκος» της κατάστασης επαλληλίας που προκύπτει, ως άθροισµα των τετραγώνων των συντελεστών της. Βεβαιωθείτε ότι η χρήση αυτής της µεθόδου δίνει το ήδη γνωστό µας αποτέλεσµα και εφαρµόστε την µετά και στην οµοειδή περίπτωση της µέσης τιµής n p 4 n. Μπορείτε να µαντέψετε το αποτέλεσµα; 16. Αν καταλάβατε καλά την υπολογιστική τεχνική του προηγούµενου προβλήµατος, τότε δεν θα δυσκολευτείτε να την εφαρµόσετε και για τις µέσες τιµές, στην τυχούσα κατάσταση n, µιας ακόµα µεγαλύτερης δύναµης των x και p. Παραδείγµατος χάριν, της έκτης δύναµης. Κάντε το. 17. εδοµένου ότι ο τελεστής xp δεν είναι ερµιτιανός (γιατί;) η µέση τιµή xp θα είναι µιγαδικός εν γένει αριθµός. είξτε ότι ειδικά για τις ιδιοκαταστάσεις του αρµονικού ταλαντωτή θα είναι 18. Με αφετηρία τη σχέση Re n xp n = 0, Im n xp n = 1 ψ n (x) = 1 n! (a ) n ψ 0 (x) ( = 1). που δίνει τις κανονικοποιηµένες ιδιοσυναρτήσεις του αρµονικού ταλαντωτή µε επανειληµµένη δράση του τελεστή δηµιουργίας a πάνω στη βασική κατάσταση, αποδείξτε τον τύπο 1 ψ n (x) = / H πn n! e x n (x), (1) όπου τα πολυώνυµα Hermite H n (x) κανονικοποιηµένα µε τον συµφωνηµένο στη βιβλιογραφία τρόπο θα δίνονται από τον τύπο του Rodrigues Σύµφωνες καταστάσεις ( ) n d H n (x) = ( 1) n e x e x. () dx 19. Όντας ιδιοκαταστάσεις ενός µη ερµιτιανού τελεστή του τελεστή καταστροφής a οι σύµφωνες καταστάσεις α δεν αναµένεται να έχουν την ιδιότητα της ορθογωνιότητας. Για να το ελέγξετε υπολογίστε το εσωτερικό γινόµενο α β και δείξτε ότι για α, β πραγµατικά θα είναι α β = e 1 (α β). Ποια είναι η αντίστοιχη έκφραση για α, β τυχόντες µιγαδικούς αριθµούς;

27 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Υπολογίστε τις µέσες τιµές x και p στην τυχούσα σύµφωνη κατάσταση α του αρµονικού ταλαντωτή και βεβαιωθείτε ότι έχουν την φυσικά αναµενόµενη µορφή. Χρησιµοποιήστε κατόπιν αυτά τα αποτελέσµατα για να υπολογίσετε και τη µέση τιµή x(t) = α x(t) α του τελεστή θέσης στην αναπαράσταση Heisenberg όπως αυτός υπολογίστηκε στο προηγούµενο κεφάλαιο. Πώς σχολιάζετε φυσικά το αποτέλεσµά σας; 1. είξτε ότι µια τυχούσα σύµφωνη κατάσταση α µπορεί να προκύψει από τη θεµελιώδη µε δράση του τελεστή D(α) = e αa. είξτε δηλαδή ότι θα είναι α = N e αa 0, όπου N συντελεστής κανονικοποίησης. Ποιο είναι το N ;. Για την τυχούσα σύµφωνη κατάσταση µε α = λ + iµ υπολογίστε τις ποσότητες x, p, x, p και κατόπιν τις αντίστοιχες αβεβαιότητες x και p. Υπάρχει κάτι το αξιοσηµείωτο στο αποτέλεσµά σας; 3. είξτε ότι οι σύµφωνες καταστάσεις όπως ορίζονται από τη σχέση a α = α α είναι καταστάσεις ελάχιστης αβεβαιότητας ισχύει δηλαδή ότι x p = 1/ ( = 1) και επιπλέον ότι οι αβεβαιότητες θέσης και ορµής (στο φυσικό σύστηµα µονάδων του ταλαντωτή) είναι ίσες. Είναι δηλαδή x = p = 1/. 4. Το προηγούµενο πρόβληµα ευλόγως θέτει το ερώτηµα του κατά πόσον υπάρχουν καταστάσεις που έχουν την πρώτη από τις παραπάνω ιδιότητες είναι δηλαδή καταστάσεις ελάχιστης αβεβαιότητας αλλά όχι τη δεύτερη. Είναι δηλαδή σε αδιάστατες µονάδες x p. Τέτοιες καταστάσεις προκύπτουν πράγµατι κατά τρόπο τελείως ανάλογο µε τις σύµφωνες καταστάσεις, αν αντί των a και a ορίσουµε τους νέους τελεστές A = 1 (x + iλp), A = 1 (x iλp) (1) όπου λ τυχούσα πραγµατική παράµετρος της οποίας το αναµενόµενο φυσικό περιεχόµενο είναι µάλλον απλό: ηλώνει τον (άνισο πλέον) βαθµό συµµετοχής των x και p στον σχηµατισµό των τελεστών A και A. Είναι λογικό λοιπόν να περιµένουµε ότι αν ως νέες «σύµφωνες καταστάσεις» ορίσουµε εκείνες που ικανοποιούν την εξίσωση ιδιοτιµών A α = α α () τότε µάλλον αυτές θα είναι οι καταστάσεις που αναζητούµε. Με αυτή την προσδοκία κατά νου δείξτε µε έναν καθαρά αλγεβρικό υπολογισµό ότι γι αυτές τις καταστάσεις θα ισχύουν οι σχέσεις λ x =, p = 1 λ οι οποίες έχουν ακριβώς τις ζητούµενες ιδιότητες: Είναι x p = 1/ και x p αν λ 1.

28 60 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Για την απόδειξη θα χρειαστεί να δείξετε πρώτα τη µεταθετική σχέση [A, A ] = λ. Οι καταστάσεις που ορίζονται µε τον παραπάνω τρόπο σχέσεις (1) και () είναι γνωστές στη βιβλιογραφία ως «συµπιεσµένες καταστάσεις» (squeezed states) και ο λόγος γι αυτή την ονοµασία γίνεται εύκολα αντιληπτός αν λύσετε την εξίσωση () στην αναπαράσταση θέσης και δείτε τι ρόλο παίζει το λ στη σχετική κυµατοσυνάρτηση. Κάντε το. 5. Βρείτε τη χρονικά εξελιγµένη µορφή των τελεστών δηµιουργίας και καταστροφής µε δύο διαφορετικούς τρόπους: α) Κατευθείαν µέσω της σχετικής εξίσωσης Heisenberg ia(t) = [H, A(t)] και β) Με άµεση αντικατάσταση στις σχέσεις ορισµού a(t) = 1 ( x(t) + ip(t) ), a (t) = 1 ( x(t) ip(t) ) των ήδη γνωστών εκφράσεων για τους τελεστές Heisenberg x(t) και p(t). Τι συµπεραίνετε από τα αποτελέσµατά σας ως προς τη χρονική εξέλιξη µιας σύµφωνης κατάστασης α ; Θα παραµείνει σύµφωνη κατάσταση; Και αν ναι, µε τι πλάτος α; 6. Χρησιµοποιήστε τη δεύτερη από τις παραπάνω µεθόδους για να βρείτε τη χρονικά εξελιγµένη µορφή των τελεστών A και A για µια τυχούσα τιµή της παραµέτρου λ. είξτε συγκεκριµένα ότι θα είναι A(λ, t) = A(λ, 0) cos t iλa(1/λ, 0) sin t (1) και βεβαίως A (λ, t) = A(λ, t). Τι συµπεραίνετε από την (1) ως προς τη χρονική εξέλιξη µιας «συµπιεσµένης κατάστασης»; Θα παραµείνει µια συµπιεσµένη κατάσταση µε το ίδιο λ και κάποιο χρονικά εξελιγµένο «πλάτος» α ή όχι; Συγκρίνετε µε την περίπτωση λ = 1, οπότε βέβαια οι συµπιεσµένες καταστάσεις α, λ και οι σχετικοί τελεστές A και A συµπίπτουν µε τις συνήθεις σύµφωνες καταστάσεις. 7. είξτε ότι, συναρτήσει των τελεστών A και A η χαµιλτονιανή H = (x + p )/ του αρµονικού ταλαντωτή γράφεται ως H = 1 4λ ( (λ 1)(A + A ) + (λ + 1)A A + λ(λ + 1) ). Συµπίπτει η παραπάνω έκφραση µε εκείνη που µας είναι γνωστή για λ = 1; Γεννήτρια συνάρτηση 8. Στη θεωρία των λεγόµενων ειδικών πολυωνύµων Legendre, Hermite, Laguerre κ.λπ. µια κλασική µέθοδος για τη µελέτη και το χειρισµό τους είναι εκείνη της γεννήτριας συνάρτησης. Η µέθοδος συνίσταται στο να βρούµε µια συνάρτηση δύο µεταβλητών G(x, t) τέτοια ώστε το ανάπτυγµά της σε δυναµοσειρά ως προς t να έχει ως συντελεστές τα πολυώνυµα P n (x) που µας ενδιαφέρουν. Να είναι δηλαδή G(x, t) = c n P n (x)t n, (1) n=0

29 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 61 όπου οι επιπλέον αριθµητικοί συντελεστές c n είναι τέτοιοι ώστε τα έτσι οριζόµενα πολυώνυµα P n (x) να έχουν την κανονικοποίηση που έχει συµφωνηθεί στη βιβλιογραφία. Το πώς προσδιορίζεται η γεννήτρια συνάρτηση G(x, t) για κάθε δεδοµένη οικογένεια πολυωνύµων είναι ένα µη τετριµµένο θέµα για το οποίο µπορεί να βρει ο αναγνώστης κάποιες χρήσιµες σκέψεις στο τελευταίο κεφάλαιο του βιβλίου: Στ. Τραχανά, Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις. Όσον αφορά ειδικά στα πολυώνυµα Hermite, αρκεστείτε στην... εξ επιφοιτήσεως αλήθεια(!) ότι η γεννήτρια συνάρτηση έχει τη µορφή G(x, t) = exp(xt t ) και ότι τα... γεννάει µέσω της σειράς e xt t = n=0 βάσει της οποίας καλείστε να αποδείξετε ότι H n (x) tn n!, () (α) Οι συναρτήσεις H n (x) που ορίζονται µέσω της () είναι πράγµατι πολυώνυµα που ικανοποιούν την εξίσωση Hermite H n xh n + nh n = 0 και εποµένως είναι όντως τα πολυώνυµα Hermite. (β) Ότι θα ικανοποιούν τη συνθήκη ορθογωνιότητας και κανονικοποίησης + καθώς και τις αναδροµικές σχέσεις e x H n (x)h m (x) dx = n n! πδ nm H n+1 = xh n nh n 1, H n = nh n 1, βάσει των οποίων και ειδικότερα της πρώτης µπορούν να κατασκευαστούν όλα τα ανώτερα (κανονικοποιηµένα) πολυώνυµα µε αφετηρία τα δύο πρώτα από αυτά. H 0 = 1 και H 1 = x. Κατασκευάστε µε αυτό τον τρόπο τα πέντε πρώτα και βεβαιωθείτε ότι έχουν τη µορφή που δίνεται στη βιβλιογραφία ή µέσω της Mathematica µε την εντολή HermiteH[n, x]. 9. Πέρα όµως από το να αποτελεί µια συµπαγή εγγραφή όλων των ιδιοτήτων των πολυωνύµων Hermite η γεννήτρια συνάρτησή τους µπορεί να χρησιµοποιηθεί και για τον ακριβή υπολογισµό ποσοτήτων που εµφανίζονται στις εφαρµογές, όπως π.χ. τα πλάτη πιθανότητας c n = (ψ n, ψ) = + + ψ n (x)ψ(x) dx = N n e x / H n (x)ψ(x) dx, (1) όπου N n = ( π n n!) 1/ οι συντελεστές κανονικοποίησης τύπος (1) του προβλή- µατος 18 και ψ(x) µια τυχούσα δεδοµένη κυµατοσυνάρτηση. Το ολοκλήρωµα (1) είναι της γενικής µορφής I n = + H n (x)f (x) dx ()

30 6 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ και µπορεί εύκολα να υπολογιστεί αν είναι γνωστό το ολοκλήρωµα I(t) = + G(x, t)f (x) dx = + e tx x F (x) dx, οπότε τα ολοκληρώµατα I n θα προκύπτουν από το ανάπτυγµα Taylor της συναρτήσεως I(t) σε συνδυασµό µε τη σχέση ορισµό () του προηγούµενου προβλήµατος. Εφαρµόστε τα παραπάνω για να υπολογίσετε τα πλάτη πιθανότητας c n για την γκαουσιανή κυµατοσυνάρτηση ψ(x) = 4 λ π e λx / η οποία για λ = 1 συµπίπτει, βεβαίως, µε την κυµατοσυνάρτηση της θεµελιώδους στάθµης αλλά για κάθε άλλο λ δεν ταυτίζεται µε καµιά ιδιοσυνάρτηση και εποµένως θα αναπτύσσεται σε µια πλήρη, εν γένει, σειρά της µορφής ψ(x) = n c n ψ n (x) µε προσδιοριστέα c n. Μπορείτε να πείτε εκ των προτέρων ποια c n θα µηδενίζονται;

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 1 3 4 Το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή Η παραβολική προσέγγιση βρίσκει άμεση

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Αρμονικός Ταλαντωτής

Αρμονικός Ταλαντωτής Αρμονικός Ταλαντωτής Δομή Διάλεξης Η χρησιμότητα του προβλήματος του αρμονικού ταλαντωτή Η Hamiltonian και οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής Το φάσμα ιδιοτιμών της Hamiltonian Οι ιδιοκαταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

. Να βρεθεί η Ψ(x,t). ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7.

ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7. stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 01. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΕΦ. 2. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΕΦ.

Διαβάστε περισσότερα

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L. Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού

Διαβάστε περισσότερα

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation)

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Δομή Διάλεξης Το παρατηρήσιμο μέγεθος της θεσης και τα αντίστοιχα πλάτη πιθανότητας (συνεχές φάσμα ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων) Οι τελεστές της θέσης

Διαβάστε περισσότερα

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Δομή Διάλεξης Χρονική εξέλιξη Gaussian κυματοσυνάρτησης σε μηδενικό δυναμικό (ελέυθερο σωμάτιο): Μετατόπιση και Διασπορά Πείραμα διπλής οπής: Κροσσοί συμβολής για

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac)

Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Συνεχές ϕάσµα Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Στην κβαντική µηχανική τα ϕυσικά µεγέθη παρίστανται µε αυτοσυζυγείς τελεστές. Για έναν αυτοσυζυγή τελεστή ˆΩ = ˆΩ είναι γνωστό ότι οι ιδιοτιµές του

Διαβάστε περισσότερα

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n 3 Θεωρία διαταραχών 3. ιαταραχή µη εκφυλισµένων καταστάσεων 3.. Τοποθέτηση του προβλήµατος Θέλουµε να λύσουµε µε τη ϑεωρία των διαταραχών το πρόβληµα των ιδιοτιµών και ιδιοσυναρτήσεων ενός συστή- µατος

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Χρονικά Ανεξάρτητη Θεωρία Διαταραχών. Τα περισσότερα φυσικά συστήματα που έχομε προσεγγίσει μέχρι τώρα περιγράφονται από μία κύρια Χαμιλτονιανή η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1. h 2 B = 1 + A = Για τις περιοχές A : x < 0, B : x > 0 η εξίσωση Schroedinger θα έχει τη μορφή της ελεύθερης εξίσωσης, αφού V(x) = 0:

Άσκηση 1. h 2 B = 1 + A = Για τις περιοχές A : x < 0, B : x > 0 η εξίσωση Schroedinger θα έχει τη μορφή της ελεύθερης εξίσωσης, αφού V(x) = 0: Άσκηση 1 Για τις περιοχές A : x < 0, B : x > 0 η εξίσωση Schroediger θα έχει τη μορφή της ελεύθερης εξίσωσης, αφού Vx = 0: Ψ A + κ Ψ A = 0 Ψ B + κ Ψ B = 0 Για το σημείο x = 0 η εξίσωση Schroediger θα είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Τελεστές Δομή Διάλεξης Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Ερμητειανοί τελεστές Στοιχεία πίνακα τελεστών Μεταθέτες

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση Διάλεξη 4η Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Αρµονικός ταλαντωτής, σηµείο ισορροπίας, περιοδική κίνηση, ισόχρονη ταλάντωση. Ο αρµονικός ταλαντωτής είναι από το πλέον σηµαντικά συστήµατα στη Φυσική. Δεν

Διαβάστε περισσότερα

ψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2

ψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2 Σπουδές στις Φυσικές Επιστήµες ΦΥΕ 40 Κβαντική Φυσική 014-015 ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Υπόδειξη λύσεων ΑΣΚΗΣΗ 1 Η άρτια κυµατοσυνάρτηση θα δίνεται από (x) = A 3 e γ x x < a b / A cos(kx) B sin(kx) a b / < x < b / A

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Δομή Διάλεξης Μετασχηματισμοί Καταστάσεων Τελεστής Μετατόπισης Συνεχείς Μετασχηματισμοί και οι Γεννήτορές τους Τελεστής Στροφής Διακριτοί Μετασχηματισμοί: Parity

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 3/2001 Μηχανική ΙI Λαγκρανζιανή συνάρτηση Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι ο δυναµικός νόµος του Νεύτωνα είναι ισοδύναµος µε την απαίτηση η δράση ως το ολοκλήρωµα της

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 5: Κυματομηχανική. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 5: Κυματομηχανική. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 5: Κυματομηχανική Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι η ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης, δηλαδή της λύσης της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 6 Ιανουαρίου 013 1 Ασκήσεις 1.1 Ασκήσεις Επανάληψης 1. είξτε ότι : ηµ x + 3συν y 5.. Να αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο νόμος της χρονικής μεταβολής των μέσων τιμών και το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins, J.

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών Βασικά σημεία της κβαντομηχανικής Διδάσκων : Επίκουρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

3/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΟ ΣΠΙΝ

3/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΟ ΣΠΙΝ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΤΟ ΣΠΙΝ ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Εισαγωγή Η ενδογενής στροφορμή ή αλλιώς σπιν αποτελεί ένα θεμελιώδες χαρακτηριστικό των σωματιδίων διότι

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση vrsy of Io Dr of Mrls Scc & grg Couol Mrls Scc κή Θεωρία της Ύλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 76 ldor@cc.uo.gr csl.rls.uo.gr/ldor σταση Μία ιάσ ανική σε Μ κή Θεωρ ρία της Ύλης: Κβα αντομηχα Κβαντομηχανική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ˆ pˆ. παραγωγίστε ως προς το χρόνο και χρησιμοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυματοσυνάρτησης. Θα βρείτε.

ˆ pˆ. παραγωγίστε ως προς το χρόνο και χρησιμοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυματοσυνάρτησης. Θα βρείτε. Άσκηση. Η Hamiltoia ενός συστήματος έχει τη γενική μορφή ˆ pˆ H V ( xˆ ) m Δείξτε ότι d V ( xˆ ) pˆ F( xˆ) t dt x def. t Υπόδειξη: Ξεκινείστε από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής pˆ dx ( x, t) pˆ( x,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι. Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σπουδών Τµήµατος Φυσικής Πανεπιστήµιο Πατρών Χειµερινό εξάµηνο 2004-2005 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι. Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σπουδών Τµήµατος Φυσικής Πανεπιστήµιο Πατρών Χειµερινό εξάµηνο 2004-2005 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σπουδών Τµήµατος Φυσικής Πανεπιστήµιο Πατρών Χειµερινό εξάµηνο 4-5 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Ανδρέας Φ. Τερζής Πάτρα Γενάρης 5 ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΕΣ [ΠΙΝΑΚΕΣ]

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Τετραγωνικό Πηγάδι Δυναμικού: Δέσμιες καταστάσεις - ιδιοτιμές Οριακές Περιπτώσεις: δ δυναμικό, άπειρο βάθος Σκέδαση σε μια διάσταση: Σκαλοπάτι

Διαβάστε περισσότερα

Το κυματοπακέτο. (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο».

Το κυματοπακέτο. (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο». Το κυματοπακέτο (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο». Ένα ελεύθερο σωμάτιο δεν έχει κατ ανάγκη απολύτως καθορισμένη ορμή. Αν, για παράδειγμα,

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ

ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Για ένα φυσικό σύστηµα που περιγράφεται από τις συντεταγµένες όπου συνεχής συµµετρία είναι ένας συνεχής µετασχηµατισµός των συντεταγµένων που αφήνει αναλλοίωτη

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικές Καταστάσεις

Κβαντικές Καταστάσεις Κβαντικές Καταστάσεις Δομή Διάλεξης Σύντομη ιστορική ανασκόπηση Ανασκόπηση Πιθανότητας Το Πλάτος Πιθανότητας Πείραμα διπλής οπής Κβαντικές καταστάσεις (ket) Ο δυίκός χώρος (bra) Σύνοψη Κβαντική Φυσική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 4// ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ α) Για δεδομένη αρχική ταχύτητα υ, με ποια γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών: Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Απόστολάτου 8 Μαϊου 2001 Εσωτερικά γινόµενα διανυσµάτων µέτρο διανύσµατος- ορθογώνια διανύσµατα Έστω ένας διανυσµατικός χώρος V, στο πεδίο των µιγαδικών αριθµών Τα στοιχεία του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα 4 θέματα με σαφήνεια συντομία. Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα. Καλή

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα