Vrz osnova na ~len 55 stav 1 od Zakonot za organizacija i rabota na organite na dr`avnata uprava ( Sl. vesnik na RM br. 58/00, 44/02 i 82/08) i ~len
|
|
- Λυσιμάχη Ζυγομαλάς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Vrz osnova na ~len 55 stav 1 od Zakonot za organizacija i rabota na organite na dr`avnata uprava ( Sl. vesnik na RM br. 58/00, 44/02 i 82/08) i ~len 25 od Zakonot za osnovno obrazovanie ( Sl. vesnik na RM br. 103/08), ministerot za obrazovanie i nauka donese nastavna programa po predmetot matematika za VII oddelenie na osnovnoto osumgodi{no obrazovanie, odnosno za VIII oddelenie za devetgodi{noto osnovno obrazovanie. 1
2 NASTAVNA PROGRAMA MATEMATIKA Skopje, noemvri 2008 OSNOVNO OBRAZOVANIE 2 MINISTERSTVO ZA OBRAZOVANIE I NAUKA BIRO ZA RAZVOJ NA OBRAZOVANIETO
3 ZABELE[KA: Soglasno dinamikata za voveduvawe na devetgodi{noto osnovno vospitanie i obrazovanie, nastavnata programa za u~enicite vo VII oddelenie na osumgodi{noto osnovno u~ili{te od u~ebnata 2009/10 godina e ekvivalentna na nastavnata programa za VIII oddelenie na devetgodi{noto osnovno u~ili{te. 3
4 1. CELI NA NASTAVATA VO VIII ODDELENIE U~enikot / u~eni~kata se osposobuva: da go razbira poimot vektor i da gi izvr{uva operaciite so vektori; da preslikuva ramninski figuri pri translacija; da odreduva vrednost na stepen so pokazatel priroden broj, da gi izvr{uva operaciite so stepeni; da go razbere {to e iracionalen broj i {to zna~i pro{iruvaweto na brojnoto podra~je na racionalnite broevi so realni broevi; da gi osoznae celite racionalni izrazi, da gi izvr{uva aritmeti~kite operacii so niv i da razlo`uva celi racionalni izrazi na prosti mno`iteli; da gi razbira poimite centralen i periferen agol i nivnot odnos da go koristi pri re{avawe na soodvetni zada~i; da ja razbira i primenuva Talesovata teorema za praviot agol nad dijametarot na konkretni zada~i; da gi razbira svojstvata na tetiven i tangenten ~etiriagolnik i da gi primenuva pri re{avaweto zada~i; da odreduva zbir na agli i perimetar na konveksen mnoguagolnik; da go objasnuva poimot pravilen mnoguagolnik, da gi iska`uva svojstvata i da gi primenuva vo nekoi konstrukcii na pravilni mnoguagolnici; da ja primenuva Pitagorovata teorema vo zada~i; da presmetuva plo{tina na triagolnik, ~etiriagolnik i na pravilen mnoguagolnik; da odreduva: perimetar na krug, dol`ina na kru`en lak, plo{tina na krug i plo{tina na delovi od krugot; da go razbira poimot funkcija (preslikuvawe), vidovite preslikuvawa i na~inite na zadavawe; da go razbira poimot proporcija i da objasnuva prava proporcionalnost i obratna proporcionalnost; grafi~ki da pretstavuva pravoproporcionalni i obratnoproporcionalni veli~ini vo koordinaten sistem; da izgotvuva soodvetni instrumenti za sobirawe podatoci, da probora, analizira i interpretira podatoci; da donesuva zaklu~oci vrz osnova na analiza na podatoci i da re{ava problemi preku rabota so podatoci. NASTAVNI TEMI 1. VEKTORI. TRANSLACIJA 16 ~asa 2. STEPENI. KVADRATEN KOREN 18 ~asa 3. POLINOMI 45 ~asa 4. PLO[TINA NA KRUG I MNOGUAGOLNIK 40 ~asa 5. FUNKCIJA. PROPORCIONALNOST 15 ~asa 6. RABOTA SO PODATOCI 10 ~asa 4
5 2. OBRAZOVNI BARAWA, POIMI, AKTIVNOSTI Tema 1. VEKTORI, TRANSLACIJA I ROTACIJA (16 ~asa) Celi - obrazovni barawa Sodr`ini Poimi Aktivnosti i metodi VEKTORI. OPERACII SO VEKTORI U~enikot: da gi objasnuva poimite: isto naso~eni i sprotivno naso~eni polupravi; da prepoznava, ozna~uva i definira vektor; da razlikuva isto naso~eni od sprotivno naso~eni vektori; da definira nasoka na vektor i dol`ina na vektor; da prepoznava i definira kolinearni vektori i nulti vektor; da razlikuva i definira ednakvi i sprotivni vektori; da prenesuva daden vektor vo dadena to~ka; na daden vektor da nadovrzuva drug daden vektor; da odreduva zbir na dva vektori (po pravilo na triagolnik i po pravilo na paralelogram); da odreduva zbir na nadovrzani vektori; da gi objasnuva i primenuva svojstvata na operacijata sobirawe na vektori; da odreduva razlika na dva vektori so zaedni~ki po~etok i razlika na proizvolno zadadeni vektori; da odreduva razlika na dva vektori so koristewe na sprotiven vektor; da razlikuva i objasnuva skalarni i vektorski veli~ini; da re{ava primeri so primena na vektori. Naso~enost na polupravite Vektori (nasoka, dol`ina, kolinearni vektori, nulti vektor) Ednakvost na vektori Sobirawe na vektori Odzemawe na vektori Skalarni i vektorski veli~ini - Pravec - Dol`ina (intenzitet) na vektor - Nulti vektor - Kolinearni vektori - Ednakvi i sprotivni vektori - Prenesuvawe na vektor - Nadovrzani vektori - Skalarni veli~ini (skalari) - Vektorski veli~ini Da razlikuvaat ista nasoka i sprotivna nasoka na polupravi koi se zadadeni na konkreten crte` i da gi koristat znacite i. Primer: Nacrtaj pravoagolnik ABCD vo koj to~kata O e prese- ~nata to~ka na negovite dijagonali. Odredi gi polupravite {to se a) istonaso~eni; b) sprotivnonaso~eni. Primer: Nacrtaj dva kolinearni vektori a i b i na vektorot a nadovrzi go vektorot b. Primer: Dadeni se vektorite: a,b i c. Da se konstruiraat vektorite a) a + b b) a + b + c v) b c g) ( a + b) c d) a + a = 2a ) 3 a = a + a + a 5
6 Da go objasnuva i definira poimot translacija i da identifikuva vektor na translacija; da preslikuva to~ka, otse~ka, triagolnik i drugi figuri pri translacija za daden vektor; da razlikuva original od slika pri translacija; da prepoznava identi~na i inverzna translacija; da gi iska`uva i primenuva svojstvata na translacija vo ednostavni zada~i. TRANSLACIJA Poim za translacija Svojstva na translacijata Primena na translacijata - Translacija - Identi~na translacija - Inverzna translacija Primer: Dadeni se vektorite a i b i to~kata M vo ramninata. Odredi gi to~kite M 1 i M 2 dobieni so translacija za vektor a i vektor b soodvetno. Re{avawe zada~i so primena na svojstvata na translacija, t.e. translacija na otse~ka, prava, triagolnik i kru`nica za daden vektor a. Tema 2: STEPENI. KVADRATEN KOREN (18 ~asa) Celi Sodr`ini Poimi Aktivnosti i metodi U~enikot: da prepoznava stepen so pokazatel priroden broj i da voo~uva (i razlikuva) osnova, stepenov pokazatel i vrednost na STEPEN SO POKAZATEL PRIRODEN BROJ - Stepen - Osnova - Eksponent Primer: Presmetaj ja vrednosta na stepenite: 2 4 ; (-2) 5 ; (-5) 2 ; (- 0,6) 3 ; (-1) 5 ; (-1) 8. stepen; Poim za stepen (stepenov da go objasnuva i definira poimot stepen Pretstavuvawe broj vo pokazatel) Primer: Zapi{i go kako so pokazatel priroden broj; vid na stepen stepen so osnova 0,1 brojot da prika`uva proizvod na ednakvi Presmetuvawe broen 0, mno`iteli so pomo{ na stepen i obratno; da pretstavuva golemi broevi i mali broevi kako stepen so osnova 10, odnosno kako stepen so osnova 0,1; izraz Primer: Odredi ja brojnata vrednost na izrazot :(-7) 2. da gi iska`uva, objasnuva i primenuva svojstvata na operaciite mno`ewe i delewe na stepeni so ednakvi osnovi; da gi iska`uva objasnuva i primenuva OPERACII SO STEPENI Mno`ewe i delewe na Primer: Pretstavi go vo vid x na stepen izrazot 6 x x x
7 svojstvata na operaciite stepenuvawe na stepen i stepenuvawe na proizvod i koli~nik; da procenuva i presmetuva vrednost na stepen vo ednostavni primeri; da go primenuva vo zada~i redot na operacijata stepenuvawe. Da presmetuva vrednost na kvadrat na nekoi broevi; da objasnuva i procenuva vrednost na kvadraten koren od priroden broj; da odreduva kvadraten koren od priroden broj so digitron. Da prepoznava i objasnuva iracionalni broevi; da go objasnuva poimot raealen broj i da go pretstavuva na brojna prava; da ja razbira vrskata pome u N, Z, Q i R. stepeni so ednakvi osnovi Stepenuvawe na stepen, proizvod i koli~nik KVADRAT I KVADRATEN KOREN NA RACIONALEN BROJ Kvadrat na broj Kvadraten koren REALNI BROEVI Iracionalni broevi Mno`estvo na realnite broevi - Kvadraten koren - Osnova na korenot (potkorenova veli~ina) Primer: Presmetaj ja vrednosta na izrazot 5 2 x x x za x = x Algoritomot za presmetuvawe na kvadraten koren da go ima vo u~ebnikot bez obvrska da se obrabotuva na ~as. Primer: Proceni ja vrednosta na 150. (Del od procenkata: 150 > 10 2 ; 150 < 13 2 ). N=Z + Z Q I R 7
8 Tema 3: POLINOMI (45 ~asa) Celi Sodr`ini Poimi Aktivnosti i metodi MONOMI I Primer: POLINOMI 3 a) Monomot 3xyz e od petti - Promenliva Izrazi - Izraz stepen Monomi - Domen na b) Sprotiven polinom na Sobirawe i odzemawe na promenliva polinomot 7a x 3a x + ax e monomi - Izraz na polinomot 7 a x 3a x + ax Polinomi promenliva 7a x + 3a x ax Mno`ewe i stepenuvawe - Identitet Primer: Doka`i deka va`i na monomi - Monom ( 2x 3x + 4) ( x 3) = x 3x + 7 Sobirawe i odzemawe na - Monom vo Primer: Odredi polinom R polinomi normalen vid takov {to: Mno`ewe na polinom so - Koeficient P + ( x + 2x 5x + 1) = 2x 4x + x monom - Glavna vrednost Mno`ewe na polinom so - Sli~ni monomi polinom - Sprotivni Primer: Da se odredi Proizvod od zbir i monomi proizvodot A(x) B(x) na razlika na dva izraza - Stepen na monom polinomite A ( x) = x i Kvadrat na binom - Binom i trinom B ( x) = 2x 1. Delewe na monomi. - Polinom vo Delewe na polinom so normalen vid Primer: Da se presmeta a) monom - Sprotivni b) 52 2 so primena na formulite za skrateno mno`ewe. Delewe na polinom so polinomi polinom - Stepen na polinom Racionalni izrazi - Racionalen izraz (cel i drоben) Primer: Da se presmeta U~enikot: da naveduva primeri na brojni izrazi; da definira i presmetuva brojna vrednost na izraz; da razlikuva i objasnuva konstanta i promenliva; da razlikuva i odreduva domen na promenliva; da poka`uva na primeri monom, binom i polinom; da razlikuva i definira koeficient i glavna vrednost na monom; da definira i poka`uva na primeri sli~ni i sporotivni monomi; da odreduva stepen na monom i stepen na polinom; da odreduva zbir, odnosno razlika na sli~ni monomi; da mno`i i deli monomi; da odreduva zbir, odnosno razlika na polinomi i da gi sveduva vo normalen vid; da odreduva stepen na monom so pokazatel priroden broj; da deli polinom so monom i polinom so polinom; da odreduva proizvod od zbir i razlika na dva monomi; da odreduva kvadrat od zbir i kvadrat od razlika na dva monomi; RAZLO@UVAWE NA POLINOMI (3x 3 2 5x + 9x 15) : (3x 5) = Primer: Doka`i deka 2 (6 x 13x + 6 ) : ( 2x 3 ) 3x + 6 = 4 8 +
9 da naveduva primeri na celi racionalni izrazi; da razlikuva cel od droben racionalen izraz i da gi definira; da gi nabrojuva vidovite celi racionalni izrazi; da odreduva vrednost na algebarski izraz za dadena vrednost na promenlivata; da go objasnuva razlo`uvaweto na priroden broj; da razlo`uva prirodni broevi na prosti mno`iteli; da razlo`uva polinom na prosti mno- `iteli so izvlekuvawe na zaedni~ki mno`itel pred zagrada; da razlo`uva polinom na prosti mno`iteli so grupirawe; da razlo`uva polinom od vidot a 2 -b 2 i postapkata da ja primenuva vo zada~i; da razlo`uva polinomi od vidot a 2 ±2ab+b 2 na prosti mno`iteli i postapkata da ja primenuva vo re{avawe zada~i; Razlo`uvawe polinom na prosti mno`iteli so izvlekuvawe zaedni~ki mno`itel pred zagradi Razlo`uvawe na polinom so grupirawe Razlo`uvawe na polinom od vidot a 2 -b 2 na prosti mno`iteli Razlo`uvawe na polinom od vidot a 2 ±2ab+b 2 na prosti mno`iteli na prosti mno`iteli Primer: Razlo`i gi na prosti mno`iteli polinomite: a) 5ax ax + 20a 2 3 b) 18x y 8 y 2 2 v) 4a ( x 2 ) b ( x 2 ). Tema 4: PLO[TINA NA KRUG I MNOGUAGOLNIK (40 ~asa) Celi Sodr`ini Poimi Aktivnosti i metodi U~enikot: da prepoznava i definira centralen agol; da ja koristi vrskata pome u centralniot agol i soodvetniot kru`en lak (tetiva) vo ednostavni primeri; AGLI VO KRU@NICATA Centralen agol Periferen agol - Centralen agol - Periferen agol - Agol vpi{an vo polukru`nica Da prepoznava, definira i koristi centralen i periferen agol. Da go koristi odnosot pome u niv (α = 2β). 9
10 da prepoznava i definira periferen agol; da ja iska`uva, doka`uva i koristi vo zada~i zavisnosta na goleminata na periferniot i centralniot agol nad ist kru`en lak; da ja iska`uva i doka`uva Talesovata teorema; da ja primenuva Talesovata teorema i nejzinata obratna teorema vo ednostavni zada~i. Da go objasnuva i definira poimot tetiven mnoguagolnik (~etiriagolnik); da go iska`uva svojstvoto na tetiven ~etiriagolnik (sprotivnite agli se suplementni); da go koristi svojstvoto kako priznak so koj mo`e da utvrdi dali eden ~etiriagolnik e tetiven; da go objasnuva poimot tangenten ~etiriagolnik; da ja zapi{uva i primenuva vo ednostavni primeri vrskata pome u zbirovite na sprotivnite strani kaj tangenten ~etiriagolnik; da konstruira kru`nici vpi{ana vo kvadrat, romb i deltoid. Talesova teorema - Tangentna otse~ka Primer: Eden periferen agol ima Odredi go centralniot agol nad istiot kru`en lak, vo istata kru`nica. TETIVEN I TANGENTEN ^ETIRIAGOLNIK Tetiven ~etiriagolnik Tangenten ~etiriagolnik - Tetiven mnoguagolnik - Tetiven ~etiriagolnik - Tangenten ~etiriagolnik Primer: Nacrtaj pravoagolen triagolnik so kateta 3 cm i hipotenuza 5 cm so primena na Talesova teorema. Da gi koristi definiciite i svojstvata na tetiven i tengeten ~etiriagolnik na konkretni zada~i. 10
11 Da definira pravilen mnoguagolnik i da odreduva zbir na vnatre{ni i zbir na nadvore{ni agli kaj pravilen mnoguagolnik; da nabrojuva karakteristi~ni svojstva na ramnostran triagolnik i kvadrat; da obrazlo`uva kako se presmetuva perimetar na pravilen n agolnik; da voo~uva i odreduva radius na vpi{ana i radius na opi{ana kru`nica so pomo{ na stranata na pravilen mnoguagolnik i toa go primenuva vo zada~i; da identifikuva i definira karakteristi~en triagolnik, apotema i centralen agol i niv da gi koristi vo zada~i. Da ja iska`uva Pitagorovata teorema i istata ja primenuva kaj pravoagolnik, kvadrat, ramnokrak triagolnik i ramnostran triagolnik; da ja izrazuva sekoja od trite strani na pravoagolen triagolnik so pomo{ na drugite dve strani. PRAVILNI MNOGUAGOLNICI Pravilni mnoguagolnici Svojstva na pravilen mnoguagolnik Konstrukcija na pravilen: triagolnik, ~etiriagolnik, {estagolnik i osumagolnik PITAGOROVA TEOREMA Pitagorova teorema Primena na teoremata kaj: - pravoagolnik i kvadrat - ramnostran i ramnokrak triagolnik - ramnokrak trapez - pravoagolen trapez Zada~i so primena na Pitagorova teorema - Pravilen mnoguagolnik - Karakteristi~en triagolnik - Apotema Se koristat formulite za presmetuvawe zbir na vnatre{ni agli i nadvore{ni agli na n-agolnik, perimetar i vnatre{en agol na pravilen n- agolnik vo re{avawe na konkretni zada~i i konstrukcii. Primer: Plo{tinata na pravoagolen triagolnik e 96 cm 2, a edna od katetite e 12 cm. Presmetaj ja visinata h kon hipotenuzata. 11
12 Da go objasnuva poimot plo{tina na mnoguagolnik i da gi iska`uva osnovnite svojstva za plo{tina; da prepoznava ednakovoplo{ni mnoguagolnici i razlo`uva figuri na skladni delovi; da gi koristi mernite edinici za plo{tina; da gi iska`uva formulite i da odreduva plo{tina na pravoagolnik, kvadrat, romboid i romb; da ги користи svojstvata na romboid i romb pri re{avawe zada~и; da gi iska`uva formulite za plo{tna na triagolnik i odreduva plo{tina na triagolnik vo ednostavni primeri; da gi koristi svojstvata i formulite za plo{tina na trapez i deltoid vo re{avaweto na konkretni zada~i; da ja izrazuva plo{tinata na pravilen mnoguagolnik so pomo{ na stranata i apotemata i obratno; da re{ava ednostavni zada~i za plo{tina na pravilen mnoguagolnik. Da gi zapi{uva formulite za perimetar na krug i dol`ina na kru`en lak; da go odreduva radiusot ako se poznati dol`inata na kru`niot lak i goleminata na centralniot agol; da go odreduva centralniot agol ako se poznati radiusot i dol`inata na kru`niot lak; da gi primenuva formulite za plo{tina na PLO[TINA NA MNOGUAGOLNIK Poim za plo{tina Plo{tina na pravoagolnik i kvadrat Plo{tina na paralеlelogram Plo{tina na triagolnik Plo{tina na trapez i deltoid Plo{tina na pravilen mnoguagolnik PERIMETAR I PLO[TINA NA KRUG Perimetar na krug Dol`ina na kru`en lak Plo{tina na krug Plo{tina kru`en ise~ok Plo{tina na kru`en - Plo{tina - Heronova formula - Kru`en lak - Kru`en ise~ok - Kru`en prsten Primer: Da se resmeta plo{- tinata na trapezot na crte- `ot, spored podatocite 8 cm 10 cm 6 cm 3 cm Primer: Da se presmeta plo{tinata na kru`en prsten so radiusi na koncentri~nite kru`nici 2 cm i 3 cm. Primer: Kru`en ise~ok so radius 6 cm ima plo{tina P=14,286 cm 2. Presmetaj ja dol`inata na kru`niot lak 12
13 krug, kru`en ise~ok i kru`en prsten vo ednostavni zada~i. Prsten {to mu pripa a. Tema 5: FUNKCIJA. PROPORCIONALNOST (15 ~asa) Celi Sodr`ini Poimi Aktivnosti i metodi U~enikot: da definira podreden par i odreduva dekartov proizvod na dve mno`estva; da definira pravoagolen koordinaten PRAVOAGOLEN KOORDINATEN SISTEM VO RAMNINA - Apscisa (apscisna oska) - Ordinata Da koristi grafi~ki prikaz na podreden par Da pretstavuva dekartov proizvod so graf i koordinatna {ema sistem i koordinatna ramnina; Dekartov proizvod (ordinatna oska) Da pretstavuva to~ki vo koordinatna ramnina. da ja objasnuva opredelenosta na to~ka na Koordinatna ramnina - Koordinaten brojna prava i vo koordinatna ramnina; po~etok da pretstavuva to~ka vo pravoagolen - Koordinaten koordinaten sistem i da gi opredeluva sistem nejzinite koordinati. - Kvadranti Da definira relacija i da ja pretstavuva so graf i grafik; da voo~uva, definira i pretstavuva preslikuvawe so graf i grafik; da razlikuva i definira domen, kodomen i mno`estvo vrednosti na funkcija; na primeri da odreduva domen, kodomen i mno`estvo vrednosti na funkcija; simboli~ki da zapi{uva funkcija i da gi razlikuva na~inite na zadavawe funkcija. Da prepoznava, zapi{uva i odreduva vrednost na razmer na dva broja; da razlikuva i definira ednakvi od PRESLIKUVAWE (FUNKCIJA) Relacija Preslikuvawe (funkcija) Na~ini na zadavawe na preslikuvawata PROPORCIJA. PROPORCIONALNI VELI^INI - Domen - Kodomen - Mno`estvo vrednosti na funkcija - Razmer - Proporcija Primer: Vo koj kvadrant se nao aat to~kite P (-2, 3) P 1 (1,-3)? Primer: Odredi simetri~na to~ka na to~kata M(1, 2) vo odnos na: a) x - oskata, b) y - oskata v) koord. po~etok. Primer: Kako se vika ~lenot x vo proporcijata 2 : x = x : 5? 13
14 obratni razmeri; da prepoznava i definira proporcija i ~lenovi (vnatre{ni i nadvore{ni) na proporcija; da gi iska`uva, doka`uva i primenuva osnovnoto i obratnoto svojstvo na proporcija; da definira i primenuva prodol`ena proporcija pri re{avawe na zada~i; da objasnuva i odreduva geometriska sredina na dva broja; da razlikuva i definira pravo proporcionalni i obratno proporcionalni veli~ini; da odreduva koeficient na proporcionalnost na dve proporcionalni veli~ini; da pretstavuva grafi~ki prava proporcionalnost i obratna proporcionalnost; da ja odreduva zavisnosta na ~lenovite kaj prosto trojno pravilo; da re{ava prakti~ni zada~i so primena na prosto trojno pravilo. Razmer Proporcija Geometriska sredina Prodol`ena proporcija Pravoproporcionalni veli~ini Obratnoproporcionaln veli~ini Prosto trojno pravilo - Geometriska sredina - Prodol`ena proporcija - Pravoproporciona lni veli~ini - Obratnoproporci onalni veli~ini - Usloven stav - Pra{alen stav Primer: Stranite na eden triagolnik se odnesuvaat kako a : b : c = 5 : 7 : 11, a negoviot perimeter e 115 cm. Odredi gi stranite na triagolnikot. Na zadadena prava i obratna proporcionalnost da popolni tabela i nacrta grafik Tema 6: RABOTA SO PODATOCI (10 ~asa) Celi Sodr`ini Poimi Aktivnosti i metodi U~enikot: da pribira podatoci na razli~ni na~ini; da selektira podatoci (izdvojuva bitni od nebitni, celosni od delumni); da ~ita i interpretira podatoci dadeni na razli~ni na~ini; PRIBIRAWE, SREDUVA- WE I PRETSTAVUVA- WE NA PODATOCI Pribirawe podatoci Pretstavuvawe Pribirawe podatoci na razli~ni na~ini. Vo zavisnost od vidot na zada~ata da go procenuva na~inot na koj }e gi pretstavi tie podatoci. da procenuva soodvetnost na na~inot na koj podatoci na razli~ni se pretstaveni podatocite; na~ini 14
15 da pretstavuva podatoci na razli~ni na~ini (tabelaren, slikovit dijagram, stolbest dijagram, liniski dijagram,sektorski dijagram). Da presmetuva mod, medijana, rang, aritmeti~ka sredina i procent; da ja obrazlo`uva postapkata za odreduvawe: mod, medijana, rang, aritmeti~ka sredina i procent; da gi koristi dobienite vrednosti (mod, medijana, rang, aritmeti~ka sredina i procent) za izvlekuvawe zaklu~oci; da izvlekuva zaklu~oci i pravi voop{tuvawa. ANALIZA NA PODATOCI Rang, moda, medijana, aritmeti~ka sredina - Rang - Moda - Medijana - Aritmeti~ka sredina Primer: Presmetaj aritmeti~ka sredina i odredi medijana, moda i rang za nizata broevi 3, -14, 0, 2, -9, 6, 10, DIDAKTI^KI PREPORAKI Pri realizacijata na programata neposrednite realizatori da poa aat od razvojnite mo`nosti i interesi na decata od 13 - godi{na vozrast. Osobeno da se imaat predvid zakonitostite na razvojot na misleweto vo ovoj razvoen period. Vo realizacijata na sodr`inite neposrednite realizatori treba da go motiviraat u~enikot zemaj}i primeri od neposrednata okolina ili realiziraj}i gi sodr`inite vo uslovi koi se adekvatni na problematikata {to se obrabotuva. Treba da se organiziraat prakti~ni aktivnosti kako: istra`uvawa, analiza na slu~ai, procenki, konstruirawe, iznao awe na re{enija so kombinirawe na idei i sl., a preku niv da se pottiknat mislovnite aktivnosti na u~enicite, so {to se ovozmo`uva izgraduvawe na sistem na matemati~ki pretstavi i poimi. Zna~i, vo didakti~ko metodskoto oblikuvawe na nastavniot ~as ~esto da bidat zastapeni mali istra`uvawa, proekti, odnosno u~ewe preku sopstveni iskustva na u~enikot. Vaka oblikuvaniot ~as bara i soodvetni formi na rabota (grupna - timska rabota, rabota vo parovi kako i individualna rabota na u~enikot). Tradicionalnite formi na rabota (pred s# zaedni~ka (frontalnata) rabota) }e se praktikuvaat pri prezentacii, diskusii, demonstracii na postapki i sli~no, no s# poretko kako formi za prenesuvawe na znaewa na u~enicite. Za realizacija na nastavata po matematika vo VIII oddelenie }e se koristat u~ebni pomagala koi se usoglaseni so nastavnata programa po matematika za VIII oddelenie i so koncepcijata za u~ebnik. Za merewe na postigawata na u~enikot }e se koristat rabotni listovi, tematski testovi i drugi instrumenti, soodvetno didakti~ko-metodski oblikuvani i usoglaseni so nastavnata programa. a za 15
16 pro{iruvawe i prodlabo~uvawe na znaewata }e se koristat zbirki zada~i usoglaseni so nastavnata programa po matematika za VIII oddelenie. Zbirkite zada~i treba da sodr`at pra{awa i zada~i koi }e im pomognat na talentiranite u~enici da gi razvivaat svoite sklonosti kon matematikata. Vo rabotata so u~enicite, neophodna e korelacija so drugite nastavni predmeti vo VIII oddelenie, a toa podrazbira usoglasenost na realizacijata na onie sodr`ini od matematika koi se vo tesna vrska so srodni sodr`ini od drugi nastavni predmeti i obratno. Integracija na sodr`ini od matematika so sodr`ini od drugite nastavni predmeti }e se ostvaruva vo site situacii vo koi e prisutna pogolema povrzanost na sodr`inite. Pritoa }e bide zna~ajno i da bide pogolem intenzitetot na sorabotkata me u srodnite stru~ni aktivi vo u~ili{tata, taka {to e mo`na integracija so sodr`ini od prirodnite nauki i tehnikata. Temata Rabota so podatoci se realizira vo ramkite na prethodnite temi. Spored prirodata na nastavnite sodr`ini, nastavata po matematika }e se realizira na razli~ni mesta, no naj~esto vo specijalizirana u~ilnica ili vo kabinet za matematika kade u~enikot }e istra`uva so razli~ni materijali i sredstva i }e raboti na kompjuter so primena na licenciran obrazoven softver. Isto taka u~enikot }e u~estvuva vo aktivnosti na: rasporeduvawe, klasifikacija, sporeduvawe, procenuvawe, pogoduvawe, broewe, merewe, demonstrirawe na postapki, prezentirawe na izrabotki itn. Zatoa, bi bilo dobro vo specijaliziranata u~ilnica za matematika da ima materijali i drugi sredstva predvideni so Normativot za nastavni i nagledni sredstva. 4. OCENUVAWE NA POSTIGAWATA NA U^ENICITE Za da se ocenat postigawata na u~enikot neophodno e: - da se sogleda inicijalnata sostojba na u~enikot (sogleduvawe na negovite prethodni iskustva, znaewa i ve{tini) pri vlezot vo VIII oddelenie; - da se razgovara so u~enikot za da se dobijat soznanija za negovoto logi~ko razmisluvawe, razbiraweto na poimi i stepenot na razbirawe pri nivna primena, osposobenosta za re{avawe zada~i; - kontinuirano sledewe na odnosot na u~enikot kon rabotata, sorabotkata so vrsnicite, poka`anata inicijativnost, qubopitnost, samostojnost, to~nost vo iska`uvaweto, istrajnost vo izvr{uvaweto na obvrskite; - kontinuirana proverka i utvrduvawe na steknatite znaewa, sposobnosti i ve{tini na tematskite celini; - koristewe na rabotni listovi so tri te`inski nivoa, testovi na znaewa. Na krajot na u~ebnata godina u~enikot se ocenuva broj~ano (po site nastavni predmeti). Na krajot na ciklusot se vr{i proverka na postignatosta na celite na nastavata vo VII, VIII i IX oddelenie, preku objektivni testovi na znaewa. 16
17 5. PROSTORNI USLOVI ZA REALIZIRAWE NA NASTAVNATA PROGRAMA Programata vo odnos na prostornite uslovi se temeli na Normativot za prostor, oprema i nastavni sredstva za devetgodi{noto osnovno u~ili{te donesen od strana na ministerot za obrazovanie i nauka so Re{enie br /1 od godina. 6. NORMATIV ZA NASTAVEN KADAR Nastavnik vo predmetna nastava po predmetot matematika mo`e da bide lice koe ima: - zavr{eni studii na dvopredmetna grupa Matematika fizika; - zavr{eni studii po matematika, nastavna nasoka. Na nastavnicite koi zavr{ile pedago{ka akademija ili vi{a pedago{ka {kola - soodvetna grupa i se steknale so zvaweto nastavnik po predmetot {to go predavaat, ne im prestanuva rabotniot odnos na rabotnoto mesto na koe se anga`irani. 7. KOMISIJA ZA PODGOTOVKA NA NASTAVNATA PROGRAMA - Goce [opkoski, sovetnik vo BRO - Skopje, koordinator - D-r Naum Celakoski, profesor na Ma{inskiot fakultet - vo penzija - Biqana ^e{larova, profesor vo OU,,J. H. Pestaloci " Skopje - Liljana Polenakovi}, profesor vo OU,,Ko~o Racin " Skopje - Borivoje Miladinovi}, profesor vo SU,,Mihajlo Pupin" - Skopje 17
18 8. RE[ENIE I DATUM NA DONESUVAWE NA NASTAVNATA PROGRAMA Nastavnata programa po matematika za sedmo oddelenie na osnovnoto osumgodi{no obrazovanie, odnosno za osmo oddelenie na osnovnoto devetgodi{no obrazovanie ja donese Minister Pero Stojanovski na den 18
Vrz osnova na ~len 55 stav 1 od Zakonot za organizacija i rabota na organite na dr`avnata uprava ( Sl. vesnik na RM br. 58/00 i 44/02) i ~len 24 i 26
Vrz osnova na ~len 55 stav 1 od Zakonot za organizacija i rabota na organite na dr`avnata uprava ( Sl. vesnik na RM br. 58/00 i 44/02) i ~len 24 i 26 od Zakonot za osnovno obrazovanie ( Sl. vesnik na RM
Διαβάστε περισσότεραVrz osnova na ~len 55 stav 1 od Zakonot za organizacija i rabota na organite na dr`avnata uprava (,,Slu`ben vesnik na Republika Makedonija br.
Vrz osnova na ~len 55 stav 1 od Zakonot za organizacija i rabota na organite na dr`avnata uprava (,,Slu`ben vesnik na Republika Makedonija br. 58/00, 44/02 i 82/08) i ~len 25 stav 2 od Zakonot za osnovno
Διαβάστε περισσότεραRabotna tetratka po MATEMATIKA za VII oddelenie
Rabotna tetratka po MATEMATIKA za VII oddelenie PREDGOVOR Pri izu~uvaweto na matematikata vo VII oddelenie ti pomaga u~ebnikot po matematika od koj mo`e{ da razbere{ i nau~i{ mnogu novi poimi, kako i
Διαβάστε περισσότεραDrag u~eniku! Ovaa kniga }e ti pomogne da gi izu~i{ predvidenite sodr`ini za VIII oddelenie. ]e u~i{ novi interesni sodr`ini za sli~nost na figuri. ]e
JOVO STEANOVSKI NAUM CELAKOSKI 00 Skopje Drag u~eniku! Ovaa kniga }e ti pomogne da gi izu~i{ predvidenite sodr`ini za VIII oddelenie. ]e u~i{ novi interesni sodr`ini za sli~nost na figuri. ]e nau~i{ tehniki
Διαβάστε περισσότεραDoma{na rabota broj 1 po Sistemi i upravuvawe
Doma{na rabota broj po Sistemi i upravuvawe. Da se nacrta blok dijagram na sistem za avtomatska regulacija na temperaturata vo zatvorena prostorija i pritoa da se identifikuvaat elementite na sistemot,
Διαβάστε περισσότεραMINISTERSTVO ZA OBRAZOVANIE I NAUKA BIRO ZA RAZVOJ NA OBRAZOVANIETO PROGRAMA ZA REFORMIRANO GIMNAZISKO OBRAZOVANIE NASTAVNA PROGRAMA PO F I Z I K A
MINISTERSTVO ZA OBRAZOVANIE I NAUKA BIRO ZA RAZVOJ NA OBRAZOVANIETO PROGRAMA ZA REFORMIRANO GIMNAZISKO OBRAZOVANIE NASTAVNA PROGRAMA PO F I Z I K A ZA III GODINA Skopje, 2003 godina 1 1. IDENTIFIKACIONI
Διαβάστε περισσότεραEGZISTENCIJA I KONSTRUKCIJA NA POLINOMNO RE[ENIE NA EDNA PODKLASA LINEARNI HOMOGENI DIFERENCIJALNI RAVENKI OD VTOR RED
8 MSDR 004, (33-38) Zbonik na tudovi ISBN 9989 630 49 6 30.09.- 03.0.004 god. COBISS.MK ID 6903 Ohid, Makedonija EGZISTENCIJA I KONSTRUKCIJA NA POLINOMNO RE[ENIE NA EDNA PODKLASA LINEARNI HOMOGENI DIFERENCIJALNI
Διαβάστε περισσότεραKATALOG NA EDUKATIVNI IZDANIJA I DIDAKTI»KI POMAGALA
KATALOG NA EDUKATIVNI IZDANIJA I DIDAKTI»KI POMAGALA MATEMATIKA Rabotna tetratka: Matematika 1 (prv del) Rabotna tetratka: Matematika 1 (vtor del) Rabotna tetratka: Matematika 1 (tret del) Rabotna tetratka:
Διαβάστε περισσότεραМЕХАНИКА НА ФЛУИДИ (AFI, TI, EE)
Zada~i za program 2 po predmetot МЕХАНИКА НА ФЛУИДИ (AFI, TI, EE) Предметен наставник: Проф. д-р Методија Мирчевски Асистент: Виктор Илиев (rok za predavawe na programot - 07. i 08. maj 2010) (во термини
Διαβάστε περισσότεραVoved vo matematika za inжeneri
Univerzitet,,Sv. Kiril i Metodij, Skopje Fakultet za elektrotehnika i informaciski tehnologii Sonja Gegovska-Zajkova, Katerina Ha i-velkova Saneva, Elena Ha ieva, Marija Kujum ieva-nikoloska, Aneta Buqkovska,
Διαβάστε περισσότεραРешенија на задачите за основно училиште. REGIONALEN NATPREVAR PO FIZIKA ZA U^ENICITE OD OSNOVNITE U^ILI[TA VO REPUBLIKA MAKEDONIJA 25 april 2009
EGIONALEN NATPEVA PO FIZIKA ZA U^ENICITE OD OSNOVNITE U^ILI[TA VO EPUBLIKA MAKEDONIJA 5 april 9 Zada~a Na slikata e prika`an grafikot na proena na brzinata na dvi`eweto na eden avtoobil so tekot na vreeto
Διαβάστε περισσότερα5. Vrski so navoj navojni parovi
65 5. Vrski so navoj navojni parovi 5.1 Vrski kaj ma{inskite delovi op{to Za da mo`e edna ma{ina pravilno da funkcionira i uspe{no da ja izvr{uva rabotata i funkcijata {to ja zamislil nejziniot konstruktor,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA PROEKTNA ZADAЧA IZVE[TAJ OD EMPIRISKO
MATEMATIKA PROEKTNA ZADAЧA IZVE[TAJ OD EMPIRISKO ISTRA@UVAWE Mentorot prof. Nata{a Popovski ja slede{e rabotata na kandidatot Ana Pepequgoska vo tekot na nejzinata podgotovka vodej}i smetka za: - samostojnosta
Διαβάστε περισσότεραJOVO STEFANOVSKI NAUM CELAKOSKI
JOVO STEFNOVSKI NUM CELKOSKI DEVETGODI[NO OSNOVNO ORZOVNIE Skopje, 011 Drag u~eniku! Ti si ve}e vo {esto oddelenie i si navlezen vo tajnite na matematikata. So matematikata se sre}ava{ sekojdnevno: na
Διαβάστε περισσότεραVOLUMEN I PLO[TINA KAKO BROJNI KARAKTERISTIKI NA n - DIMENZIONALNA TOPKA
VOLUMEN I PLO[TINA KAKO BROJNI KARAKTERISTIKI NA - DIMENZIONALNA TOPKA Vo ovaa tema geealo }e bidat obabotei sledite poimi: - vekto, adius vekto, dimezija - dol`ia, astojaie, dimezioala topka - volume
Διαβάστε περισσότεραa) diamminsrebro hlorid b) srebrodimmin hlorid v) monohlorodiammin srebrid g) diamminohloro argentit
PRIRDN-MATEMATI^KI FAKULTET PRIEMEN ISPIT P HEMIJA studii po biologija-hemija juli 2000 godina I grupa 1. Formulata na amonium hidrogenfosfat e: a) NH 4 H 2 P 3 b) (NH 4 ) 2 HP 4 v) (NH 4 ) 2 HP 3 g) NH
Διαβάστε περισσότεραPRIRODNO-MATEMATI^KI FAKULTET PRIEMEN ISPIT PO HEMIJA studii po biologija I grupa
juli 2000 godina PRIRDN-MATEMATI^KI FAKULTET PRIEMEN ISPIT P EMIJA studii po biologija I grupa 1. Formulata na amonium hidrogenfosfat e: a) N 4 2 P 4 b) (N 4 ) 2 P 4 v) (N 4 ) 2 P 3 g) N 4 P 4 2. Soedinenieto
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET SV. KIRIL I METODIJ - SKOPJE Prirodno-matematiqki fakultet. Dragan Dimitrovski, Vesna Manova-Erakoviḱ, Ǵorǵi Markoski
UNIVERZITET SV. KIRIL I METODIJ - SKOPJE Prirodno-matematiqki fakultet Dragan Dimitrovski, Vesna Manova-Erakoviḱ, Ǵorǵi Markoski MATEMATIKA I (ZA STUDENTITE PO BIOLOGIJA) Skopje, 2015 PREDGOVOR Ovaa kniga,
Διαβάστε περισσότεραTeoretski osnovi i matemati~ka metodologija za globalna analiza na prostorni liniski sistemi
Teoretski osnovi i matemati~ka metodologija za globalna analiza na... UDK 6.879 Elizabeta HRISTOVSKA Teoretski osnovi i matemati~ka metodologija za globalna analiza na prostorni liniski sistemi APSTRAKT
Διαβάστε περισσότερα9. STATIKA NA RAMNINSKI NOSA^I
9. STATIKA NA RAMNINSKI NOSA^I Vo ovoj del prezentirani se osnovite na grafostatikata. Grafostatikata ja izu~uva ramnote`ata na nosa~ite. Vo ovaa oblast po grafi~ki pat, preku dijagrami, se pretstavuva
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραV. GEROV HIDRAULI^NI TURBINI
V. GEROV HIDRAULI^NI TURBINI SODR@INA GLAVA KLASIFIKACIJA I NORMALIZACIJA NA TIPOVITE NA HIDRAULI^NI TURBINI GLAVA KONSTRUKTIVNA FORMA NA LOPATKITE NA FRANCIS TURBINA 0 GLAVA 3 REAKCISKI RABOTNI KOLA 3..
Διαβάστε περισσότεραPRAKTIKUM. za laboratoriski ve`bi po fizika 1
TEHNOLO[KO-METALUR[KI FAKULTET SKOPJE PRAKTIKUM za laboratoriski ve`bi po fizika -za interna upotreba- Skopje, 0 PREDGOVOR Laboratoriskata fizika e nerazdelen del od kursot po fizika koj go izu~uvaat studentite
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET "SV. KIRIL I METODIJ" PRIRODNO-MATEMATI^KI FAKULTET INSTITUT ZA INFORMATIKA S K O P J E
UNIVERZITET "SV. KIRIL I METODIJ" PRIRODNO-MATEMATI^KI FAKULTET INSTITUT ZA INFORMATIKA S K O P J E D-r Biqana Janeva VOVED VO TEORIJATA NA MNO@ESTVATA I MATEMATI^KATA LOGIKA Skopje 2001 PREDGOVOR U~ebnikot
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραDragoslav A. Raji~i}
Dragoslav A. Raji~i} ELEKTRI^NO OSVETLENIE ELEKTROTEHNI^KI FAKULTET - SKOPJE Dragoslav A. Raji~i} ELEKTRI^NO OSVETLENIE ELEKTROTEHNI^KI FAKULTET - SKOPJE SKOPJE, 1993 Recenzenti: Prof. Dimitar Gr~ev Prof.
Διαβάστε περισσότερα---- Osnovi na MatLab ---- O S N O V I N A. MatLab. so P R I M E R I. Qup~o Jordanovski
O S N O V I N A MatLab so P R I M E R I Qup~o Jordanovski VOVED...4. Zapo~nuvawe...5. MatLab kako ednostaven kalkulator...5 2. Broevi I Formati...6 3. Promenlivi...7 4. Vgradeni Funkcii...8 5. Nizi ( Vektori
Διαβάστε περισσότεραV E R O J A T N O S T
VERICA D. BAKEVA V E R O J A T N O S T Skopje, 2016 godina Republika Makedonija Recenzenti: d-r Magdalena Georgieva redoven profesor(vo penzija) Prirodno-matematiqki fakultet Univerzitet Sv.Kiril i Metodij
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET SV. KIRIL I METODIJ SKOPJE Prirodno-matematiqki Fakultet Institut za matematika
UNIVERZITET SV. KIRIL I METODIJ SKOPJE Prirodno-matematiqki Fakultet Institut za matematika OSNOVI NA STATISTIKA PredavaƬa Skopje, 2013 Sodrжina 1 Elementi od teorija na verojatnost 3 1.1 Sluqajni promenlivi............................
Διαβάστε περισσότεραMA[INSKI FAKULTET E L A B O R A T ZA STUDISKA PROGRAMA NA VTOR CIKLUS NA STUDII PO UPRAVUVAWE SO SISTEMI ZA BEZBEDNOST I ZDRAVJE PRI RABOTA
Univerzitet Sv.Kiril i Metodij vo Skopje MA[INSKI FAKULTET E L A B O R A T ZA STUDISKA PROGRAMA NA VTOR CIKLUS NA STUDII PO UPRAVUVAWE SO SISTEMI ZA BEZBEDNOST I ZDRAVJE PRI RABOTA INSTITUCIJA PREDLAGA^
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραSTRUJNOTEHNI^KI MEREWA I INSTRUMENTI
UNIVERZITET "Sv. KIRIL I METODIJ" MA[INSKI FAKULTET Prof. D-r Aleksandar Tode No{pal STRUJNOTEHNI^KI MEREWA I INSTRUMENTI dopolneto izdanie na knigata od 1995 SKOPJE 004 Recenzenti: Prof d-r Tomislav Bundalevski
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI NA TEHNIKA 1
Univerzitet,,Sv. Kiril i Metodij Tehnolo{ko-metalur{ki fakultet, Skopje OSNOVI NA IN@ENERSKA TEHNIKA 1 D-r Irena Mickova Izdava~: Univerzitet,,Sv. Kiril i Metodij vo Skopje Avtor: Prof. D-r Irena Mickova
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότερα12.6 Veri`ni prenosnici 363
12.6 Veri`ni renosnici 363 12.6 Veri`ni renosnici Veri`nite renosnici sa aat vo gruata osredni a~esti renosnici, {to vrte`niot moment od ednoto na drugoto vratilo go renesuvaat osredno so omo{ na veriga.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραPI, TML, TI, AFI, MZKI, IIM, MV, EE, MHT
РЕПУБЛИКА МAКЕДОНИЈА UNIVERZITET SV. KIRIL I METODIJ ВО СКОПЈЕ МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТ - СКОПЈЕ MFS KREDIT TRANSFER SISTEM ZA AKADEMSKITE STUDII NA STUDISKITE PROGRAMI PI, TML, TI, AFI, MZKI, IIM, MV, EE, MHT
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραТеоретски основи на. оксидо-редукциони процеси. Доц. д-р Јасмина Тониќ-Рибарска
Теоретски основи на оксидо-редукциони процеси Доц. д-р Јасмина Тониќ-Рибарска Reakcija za doka`uvawe na Fe 2+ jonite reakcijata so KMnO 4 vo kisela sredina Fe 2+ Fe 3+ Mn 7+ Mn 2+ Примена во фармација?
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F
ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραJAVNO ZDRAVSTVO TOLKOVNIK
JAVNO ZDRAVSTVO TOLKOVNIK JAVNO ZDRAVSTVO TOLKOVNIK Izdava~i: Medicinski Fakultet Skopje FIOO - Makedonija Za izdava~ite: Prof. d-r Magdalena @anteva-naumoska, Dekan Vladimir Mil~in, Izvr{en direktor Recenzenti:
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραOsnovi na ma{inskata obrabotka
Osnovi na ma{inska obrabotka Poim za proizvodni i Osnovi na ma{inskata obrabotka Metodi na obrabotka: Obrabotka so simuvawe na materijal (obrabotka so re`ewe) Obrabotka so plasti~na deformacija Nekonvencionalni
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραZa poveêe informacii kontaktirajte so:
Jugo IstoËnata Evropska Kontrola na Mali Oruæja (SEESAC) ima mandat od Programata za Razvoj na Obedinetite Nacii (UNDP) i od Paktot za Stabilnost na Jugo IstoËna Evropa (SPSEE) da pruæi operativna pomoê,
Διαβάστε περισσότεραСкопје д-р Nevenka Andonovska, редовен професор на ПМФ- УКИМ, Скопје Valentina Popovska \or i Ilievski. Natalija Glinska-Ristova.
Avtori: Recenzenti: Lektura д-р Mimoza Ristova, редовен професор на ПМФ-УКИМ, Скопје Mirjana Jonoska, редовен професор на ПМФ-УКИМ, Скопје д-р Nevenka Andonovska, редовен професор на ПМФ- УКИМ, Скопје
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραANGLISKO-MAKEDONSKI RE^NIK NA MATEMATI^KI TERMINI
MAKEDONSKA AKADEMIJA NA NAUKITE I UMETNOSTITE NAUM CELAKOSKI VESNA CELAKOSKA-JORDANOVA EMILIJA CELAKOSKA ANGLISKO-MAKEDONSKI RE^NIK NA MATEMATI^KI TERMINI POVE]E OD 13000 TERMINI, IZRAZI, FRAZI I SINONIMI
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραMIKROPROCESORSKA INSTRUMENTACIJA
MIKROPROCESORSKA INSTRUMENTACIJA M-r. Petre Risteski dipl.el.in`. S O D R @ I N A 1. Voved... 3 1.1. Zada~a na elektri~nite merewa... 3 1.2. Klasifikacija na mernite metodi... 3 1.3. Gre[ki pri mereweto...
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραТРЕТО СОВЕТУВАЊЕ Охрид 3 6 октомври 2001
ТРЕТО СОВЕТУВАЊЕ Охрид 3 6 октомври 2001 Gordana Trajkovska,dipl.ma{.ing.AD FK Negotino,Negotino Julijana Lazarova,dipl.met.ing.AD FK Negotino,Negotino ANALIZA NA NOSE^KO JA@E VO NN SKS OD TIP X00/0 0.6/1
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραPRIMENA NA HIERARHISKATA KLASTER-ANALIZA ZA TERMI^KA KLASIFIKACIJA I REGIONALIZACIJA VO REPUBLIKA MAKEDONIJA
Bilten na Zavodot za fizi~ka geografija (02) 67-77 (2005) Skopje 67 UDK 551.524 (497.7) PRIMENA NA HIERARHISKATA KLASTER-ANALIZA ZA TERMI^KA KLASIFIKACIJA I REGIONALIZACIJA VO REPUBLIKA MAKEDONIJA Mihailo
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότεραI Z V E S T A J. od izvrsena revizija na Osnoven proekt pod naslov:
I Z V E S T A J od izvrsena revizija na Osnoven proekt pod naslov: OSNOVEN PROEKT ZA HIDROJALOVISTETO NA RUDNIKOT SASA - M. KAMENICA ZA II FAZA DO KOTA 960 mnv Izgotvuvac na osnoven proekt: Gradezen fakultet
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραPDF Created with deskpdf PDF Writer - Trial ::
ВО СТОЧАРСТВОТО 0 Проф. д-р Сретен Андонов 011 SODR@INA 1. DEFINICII: 3. POPULACIJA 4 1.1 Varijacii i nejzina modulirawe 5 1. Sledewe na varijacijata 5. KVANTITATIVNI SVOJSTVA 6.1 Kvantitativna varijacija
Διαβάστε περισσότεραMODULACIONI TEHNIKI ZA NAPONSKI INVERTER VO INDUSTRISKI APLIKACII
ПЕТТО СОВЕТУВАЊЕ Охрид, 7 9 октомври 2007 Goran Rafajlovski Fakultet za Elektrotehnika i informaciski tehnologii - Skopje MODLACIONI EHNIKI ZA NAPONSKI INVERER VO INDSRISKI APLIKACII КУСА СОДРЖИНА Vo ovoj
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 2 DIODA I TRANZISTOR
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE ODSEK ZA SOFTVERSKO INŽENJERSTVO LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 2 DIODA I TRANZISTOR 1. 2. IME I PREZIME BR. INDEKSA GRUPA
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραArmiran bетон i konstrukcii
Armiran bетон i konstrukcii (V термин) *Ispituvawe na sve` beton *Ispituvawe na stvrdnat beton Opredeluvawe na konzistencija na betonot Konzistencijata e edna od osobinite na sve`ata betonska masa koja
Διαβάστε περισσότερα