Θέματα Εξετάσεων Σεπτεμβρίου 2011:

Transcript

1 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ Θέματα Εξετάσεων Σεπτεμβρίου : ΘΕΜΑ μονάδες.5 Η ωριαία μεταβολή της ηλιακής ακτινοβολίας q που προσπίπτει στην επιφάνεια ηλιακού συλλέκτη με συντελεστή απορρόφησης 8% δίνεται στον παρακάτω πίνακα σε μονάδες Watt/. ώρα q Να υπολογίσετε την επιφάνεια του συλλέκτη ώστε να καλύπτει τις άγκες θέρμσης νερού μιας κατοικίας οι οποίες εκτιμώνται σε kwh το ωρο χρησιμοποιώντας τις μεθόδους Τραπεζίου και Spson /. ΘΕΜΑ μονάδες.5 Να εφαρμόσετε τη μέθοδο Newton με το σχήμα του Hone για να υπολογίσετε με ακρίβεια τριών σημτικών ψηφίων όλες τις ρίζες του πολυωνύμου: ΘΕΜΑ μονάδες 5 α και β όχι ισοδύναμα Έστω Ν A σημεία στο επίπεδο που περιγράφονται με τις Χ Υ συντεταγμένες τους. Η σειρά με την οποία δίνονται έχει σημασία. Από αυτά τα σημεία γνωρίζετε τις συντεταγμένες 8 διαδοχικών συγκεκριμένα αυτές του ου μέχρι και το 7 ο σημείο. Αυτές κατά σειρά είναι οι: Τα υπόλοιπα σημεία δεν δίνονται αλλά γνωρίζετε ότι η αλληλουχία όλων των Ν A τετμημένων X είναι γνησίως αύξουσα. α Αν τα Ν A σημεία χρησιμοποιηθούν ως σημεία ελέγχου μιας καμπύλης Beze αποφθείτε στο διάστημα -<<8 η προκύπτουσα καμπύλη διπλώνει και ναι βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής. Δικαιολογήστε κάθε απάντησή σας. β Αν τα Ν A σημεία αποτελούν τα παραμετρικά κομβικά σημεία μιας παρεμβολής με κυβικές - splnes κάποιων άλλων N A - σημείων δηλαδή το αποτέλεσμα της επίλυσης εκείνων των δύο συστημάτων της σχετικής θεωρίας βρείτε το σημείο της προκύπτουσας καμπύλης με το μεγαλύτερο y σε οποιοδήποτε υποδιάστημα του [-8] τα παραπάνω δεδομένα επαρκούν για να απτήσετε. Να δικαιολογήσετε την επιλογή του υποδιαστήματος. ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Στις εξετάσεις του μαθήματος επιτρέπεται να έχετε μαζί σας το βιβλίο του μαθήματος χωρίς πρόσθετες ασκήσεις κλπ γραμμένες σε αυτό. Τα βιβλία ελέγχονται. Άλλα βοηθήματα ή σημειώσεις συμπεριλαμβομένων αυτών των λυμένων ασκήσεων δεν επιτρέπονται. Μην ξεχνάτε τον υπολογιστή τσέπης σας. Δεν επιτρέπεται η χρήση κινητού τηλεφώνου για την εκτέλεση πράξεων! Και προφώς μην παραλείπετε την εκτέλεση των πράξεων όπου ζητείται απτώντας περιγραφικά!

2 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ Λύση Θέματος : Η θερμική ενέργεια της προσπίπτουσας ηλιακής ακτινοβολίας σε ένα ωρο θα προκύψει με αριθμητική ολοκλήρωση της συνάρτησης qt. Μη-μηδενική ακτινοβολία έχουμε από τις π.μ. έως τις μ.μ. επομένως ο αριθμός των ωριαίων υποδιαστημάτων είναι n άρτιος και ο αριθμός των σημείων είναι n5 με αρίθμηση:... τις τίστοιχες ώρες Μέθοδος Τραπεζίου: q q q 7 q 8... q Wh / I T Μέθοδος Spson /: q q q 7 q 9... q 9 q 8 q... q 8 I S Wh / Η επιφάνεια του συλλέκτη πρέπει να είναι: Α Συνολικά απαιτούμενη ενέργεια / προσπίπτουσα ενέργεια ά / συντελεστής απορρόφησης. Επομένως: Με τη μέθοδο Τραπεζίου: A I.8 T T 5.7 και με τη μέθοδο Spson /: A I.8 S S 5.7 Παρατηρούμε ότι οι δύο μέθοδοι δίνουν παρόμοια αποτελέσματα επειδή ο αριθμός των σημείων είναι σχετικά μεγάλος. Λύση Θέματος : Οι συντελεστές του πολυωνύμου p είναι: α α α και α. a Βρίσκουμε την πρώτη ρίζα με τη μέθοδο Newton-aphson και αρχική εκτίμηση:. a Η παράγωγος της πολυωνυμικής συνάρτησης είναι: p ' 8

3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ Και η αδρομική σχέση της μεθόδου γράφεται: 8 Για ακρίβεια τριών σημτικών ψηφίων το κριτήριο τερματισμού είναι: Με διαδοχικές επαλήψεις λαμβάνουμε:..77 ε α.. ε α.. ε α.57.8 ε α. 5. ε α.78. ε α.7 7. ε α.78e-5 ε a.5 Άρα η πρώτη ρίζα είναι η. Το πολυώνυμο κατώτερου βαθμού θα είναι: g a. a t t a t t t t t με: Επομένως θέτοντας όπου t την ρίζα. προκύπτει: g 5 Και g ' 5 Βρίσκουμε μία ρίζα της. Η αδρομική σχέση της μεθόδου γίνεται τώρα: Με διαδοχικές επαλήψεις λαμβάνουμε:..75 ε α..959 ε α ε α.9. ε α.7e- 5. ε α.e-5 Άρα η δεύτερη ρίζα είναι η. g με τη μέθοδο Newton-aphson και αρχική εκτίμηση: Το πολυώνυμο κατώτερου βαθμού θα είναι: q c c με: 5 5

4 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ c. c t c 5 t Θέτοντας όπου t την ρίζα. προκύπτει: q Άρα η τρίτη ρίζα της πολυωνυμικής εξίσωσης p είναι η.. Λύση Θέματος : α Δύο απτήσεις οι: α αφού η αλληλουχία όλων των Ν A τετμημένων X είναι γνησίως αύξουσα και α δεν γνωρίζω γιατί σε μια καμπύλης Beze όλα τα σημεία ελέγχου ελέγχουν κάθε σημείο της προκύπτουσας καμπύλης είναι εξίσου ορθές. Αναμένοντ μάλλον η απάντηση α γιατί η μαθηματικά σωστή απάντηση α δεν ήτ γνωστή στους σπουδαστές και εξάλλου έπρεπε να δικαιολογηθεί η απάντηση δηλαδή να δοθεί μαθηματική απόδειξη κάτι που ασφαλώς ξέφευγε από τα όρια των εξετάσεων. Τονίζεται ότι παραπάνω αφέρθηκε και η απάντηση α για λόγους πληρότητας και μόνο! β Σύμφωνα με το συμβολισμό της θεωρίας του μαθήματος τα 8 δεδομένα σημεία είναι κάποια από τα υπάρχουν N A παραμετρικά κομβικά σημεία με συντεταγμένες X Y... N. Άρα Ν N A. Με τη «νέα» αυτή αρίθμηση το πρώτο δοσμένο σημείο το - τιστοιχεί στο 8 και το όγδοο το 8- στο 5. Κάνοντας χρήση μόνο των οκτώ δοσμένων παραμετρικών κομβικών σημείων το πρώτο σημείο της καμπύλης των κυβικών -splnes που μπορεί να υπολογισθεί είναι το ενώ τίστοιχα το τελευταίο σημείο της καμπύλης των κυβικών -splnes που μπορεί να υπολογισθεί είναι το Συνεπώς μπορούμε να αποφθούμε για το σημείο της προκύπτουσας καμπύλης με το μεγαλύτερο y μόνο στο υποδιάστημα [-.8.]. Αν με χρήση της τοπικής παραμέτρου χρησιμοποιήσω τις συναρτήσεις βάσης

5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ B δ γ β α τότε σε κάθε επιμέρους διάστημα ] [ με 9 τα σημεία της καμπύλης παρεμβολής θα δίνονται από τη σχέση α β γ δ με το να μεταβάλλεται στο κλειστό διάστημα τιμών [] πρώτη τιμή για το τελευταία τιμή για το. Με τικατάσταση ή τελικά Για να βρεθεί το σημείο της καμπύλης με το μεγαλύτερο y πρέπει η τελευταία σχέση να εφαρμοστεί πέντε φορές μια φορά για καθένα από τα επιμέρους διαστήματα ] [ 9 ] [ ] [ ] [ και ] [. Η παράμετρος μεταβάλλεται όπως ήδη λέχθηκε στο διάστημα τιμών [:] για καθένα από αυτά. Στα πέντε αυτά διαστήματα με αριθμητική τικατάσταση των συντεταγμένων και παραγώγιση της εκάστοτε συνάρτησης y υπολογίζεται το μέγιστο σημείο. Οι πράξεις παραλείπονται υποδείχθηκε προφορικά να γίνει το ίδιο και στις εξετάσεις.