POTROŠNJA, ŠTEDNJA I INVESTICIJE

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "POTROŠNJA, ŠTEDNJA I INVESTICIJE"

Transcript

1 SVEUČILIŠTE U RIJECI FAKULTET ZA MENADŽMENT U TURIZMU I UGOSTITELJSTVU OPATIJA 1 POTROŠNJA, ŠTEDNJA I INVESTICIJE

2 POTROŠNJA I ŠTEDNJA Potrošnja i štednja su ključne za razumijevanje ekonomskog rasta i konjunkturnih ciklusa Potrošnja utječe na nacionalni proizvod i dohodak Zemlje koje više troše svog dohotka, manje investiraju i ostvaruju relativno skromne stope rasta Zemlje koje manje troše a više štede i investiraju ostvaruju brzi rast dohotka i produktivnosti Kada izdaci za potrošnju i investicije ubrzano rastu, ukupna proizvodnja također raste POTROŠNJA- ŠTEDNJA- INVESTICIJE- RAZVOJ...

3 POTROŠNJA KUĆANSTAVA je trošenje na finalna dobra i usluge. Štednja kućanstava je dio dohotka koji nije utrošen na potrošnju OSOBNA POTROŠNJA (C) - trajna potrošna dobra - potrošna dobra - usluge

4 BDP i osobna potrošnja (RH i SAD) RH ( mlrd kn) God. BDP C C/BDP , , , ,1 USA (mlrd USD) BDP C C/BDP , , , ,2

5 Udio ukupnog trošenja namijenjen prehrani pada kada dohodak raste Trošenje na odjeću, rekreaciju i automobile raste brže kada dohodak raste Trošenje na luksuzna dobra raste brže od dohotka kada dohodak raste Štednja raste vrlo brzo s rastom dohotka

6 ŠTEDNJA je dio dohotka koji nije potrošen. Ona je jednaka dohotku umanjenom za potrošnju Od svih dobara najvažnije luksuzno dobro je štednja Bogati štede više nego siromašni, a siromašni ne štede DOHODAK JE PRIMARNA ODREDNICA POTROŠNJE I ŠTEDNJE

7 ŠTEDNJA I POTROŠNJA DOMAĆINSTVA Raspoloživi dohodak (u USD) Potrošnja Neto štednja (+)ili smanjenje štednje (-) A B C D E F G

8 FUNKCIJA POTROŠNJE POVEZUJE POTROŠNJU I DOHODAK

9 MODEL JEDNOSTAVNE REPRODUKCIJE Y = C C = f(y) Povećanje dohotka za 100 jedinica rezultiralo je povećanjem potrošnje za 100 jedinica. Omjer prirasta potrošnje i porasta domaćeg proizvoda granična sklonost potrošnji = 1. Povećanje ponude (proizvodnje) izaziva jednako povećanje potrošnje. To je proces jednostavne reprodukcije u kojemu se uvijek reproducira ista proizvodnja i potrošnja..nema RAZVOJA.

10 Krivulja ravnoteže C Y=C C Y Y

11 C tg kuta= c/ y C C Y=C Y Y Y

12 Y=C+I C=α+β*Y C=f(Y) 0<β<1 α = autonomna sklonost potrošnji; odsječak na ordinati tj.dio potrošnje neovisan o dohotku Y β = granična sklonost potrošnji; dio potrošnje ovisan o dohotku Y Primjer: C=50+0.8Y

13 Krivulja potrošnje C C C= 50+0,80Y C/ Y = granična sklonost potrošnji C= Y=100 Y

14 Prosječna sklonost potrošnji = C/Y Pokazuje koji se dio od dohotka prosječno troši. Granična sklonost potrošnji = ΔC/ ΔY Pokazuje kako potrošnja REAGIRA na promjenu dohotka. To je dodatni iznos koji ljudi potroše kada dobiju dodatni dolar (kunu) dohotka.

15 C Y=C C/Y=50+0,8Y C/Y>1 A C/Y=1 C/Y < 1 Y

16 U točki A prosječna sklonost potrošnji jednaka je jedan. Lijevo od točke A prosječna sklonost potrošnji je veća od 1. Desno do točke A prosječna sklonost potrošnji je manja od 1. S porastom dohotka prosječna sklonost potrošnji postaje sve manja i teži graničnoj sklonosti potrošnji kao svojoj graničnoj vrijednosti. Što je veći dohodak to je manja razlika između prosječne i granične sklonosti potrošnji.

17 ELASTIČNOST POTROŠNJE NA DOHODAK = odnos granične i prosječne sklonosti potrošnji ε c,y = β/ (C/Y) Pokazuje za koliko će se postotaka povećati osobna potrošnja C, ako se domaći dohodak Y poveća za 1%.

18 FUNKCIJA ŠTEDNJE POVEZUJE ŠTEDNJU I DOHODAK Y= C+S S=Y-C Prosječna sklonost štednji Granična sklonost štednji Elastičnost štednje na promjenu dohotka pokazuje za koliko će se povećati štednja S, ako se domaći dohodak Y poveća za 1%.

19 GRANIČNA SKLONOST ŠTEDNJI REAGIRANJE ŠTEDNJE NA PROMJENU DOHOTKA DIO DODATNOG DOHOTKA KOJI SE KORISTI ZA DODATNU ŠTEDNJU

20 POTROŠNJA I ŠTEDNJA Varijante Raspoloživi dohodak (poslie poreza) Izdaci za potrošnju Granična sklonost potrošnji Neto štednja Granična sklonost štednji A B /1000= 0 110/1000=0,11 0,89 C /1000= /1000=0,15 0,85 D /1000= /1000=0,25 0,75 E /1000= /100=0,36 0,64 F /1000= /100=0,41 0,59 G /1000= /100=0,47 0,53

21 AUTONOMNA POTROŠNJA Ne ovisi o domaćem proizvodu već o: - očekivanjima u kretanju cijena - imetku (bogatstvu potrošača) - utjecaju propagande i dr.

22 PROSJEČNA SKLONOST POTROŠNJI C/Y To je odnos između potrošnje i dohotka i pokazuje koji se dio dohotka prosječno potroši. Kretanje prosječne sklonosti potrošnji zavisi od razine dohotka. S porastom dohotka Y prosječna sklonost potrošnji postaje sve manja Višak potrošnje iznad dohotka potrošači financiraju smanjenjem svojih prijašnjih ušteda ili zaduživanjem Kad je dohodak veći od ravnotežnog ostvaruje se ŠTEDNJA

23 Primjer: Zadana je funkcija potrošnje C=40+0.6Y Nacrtajte funkciju potrošnje. Koliko iznosi potrošnja za nacionalni proizvod od 1000 jedinica? Koliko iznosi granična sklonost potrošnji i objasnite. Izračunajte funkciju štednje i nacrtajte je. Koliko iznosi štednja za nacionalni proizvod od 1000 jedinica? Koliko iznosi granična sklonost štednji i objasnite. Izračunajte elastičnost štednje na dohodak za prethodni primjer dohotka od 1000 jedinica.

24 I model sumarno MODEL Y = C model jednostavne ekonomije bez investicija i štednje Granična sklonost potrošnji β = 1..sve što se proizvede to se i potroši Prosječna sklonost potrošnji C/Y=1 Elastičnost potrošnje za dohodak = granična sklonost potrošnji / prosječna sklonost potrošnji = 1/1 = 1 Investicije I nema Štednja S nema

25 II model sumarno 2. MODEL makroekonomski model sa osobnom potrošnjom i investicijama Y = C + I C=α+ β*y Y=C+S I=S Granična sklonost potrošnji β Prosječna sklonost potrošnji Y/C Elastičnost potrošnje za dohodak = granična sklonost potrošnji / prosječna sklonost potrošnji Štednja S = Y-C

26 II model sumarno Granična sklonost štednji (1- β) Prosječna sklonost štednji S/Y Elastičnost štednje na dohodak = granična sklonost štednji / prosječna sklonost štednji MULTIPLIKATOR = 1/(1- β) ovaj multiplikator pokazuje kako jedinično povećanje investicija utječe na povećanje (ili smanjenje) domaćeg proizvoda.

27 Model Y=C+I C=α+β*Y Egzogene-zadane varijable su I, α i β Endogena varijable su Y i C

28 INVESTICIJSKI MULTIPLIKATOR

29 INVESTICIJSKI MULTIPLIKATOR Autonomna promjena investicija (I) utjecat će na promjenu domaćeg proizvoda (Y) Svaka jedinica investicija multiplicirati će se 1/1- puta u dohodak β a) β= C/ Y b) 1/(1- C/ Y) c) C/ Y + S/ Y = 1 d) S/ Y = 1- C/ Y Investicijski multiplikator =1/(1- C/ Y) =1/ S/ Y

30 Jedinično povećanje investicija povećat će domaći proizvod za iznos multiplikatora Isto tako jedinično smanjenje investicija smanjit će domaći proizvod za iznos multiplikatora Investicijski multiplikator djeluje u oba pravca

31 Ne samo da se autonomna promjena investicija multiplicira u dohodak nego se u dohodak multiplicira za veličinu investicijskog multiplikatora i svaka promjena bilo koje komponente autonomne potrošnje (izvoz, budžetska potrošnja ili autonomna osobna potrošnja)

32 To znači da se jedinična promjena bilo koje komponente autonomne potrošnje multiplicira u dohodak za veličinu investicijskog multiplikatora 1/1- β.

33 C=50+0,75Y Razdoblje I Y ,25 42,19 31,64 23,73 17,80 Σ346,61 C 75 56,25 42,19 31,64 23,73 17,80 13,35 Σ259,96 n=

34 C+I Y=C+I C+I=150+0,75Y A B C=50+0,75Y Y l

35 C+I Y=C+I A B C+I=150+0,75Y D C F E H G J I K C=50+0,75Y I Y C Y C Y Y l

36 RASPROSTIRANJE MULTIPLIKATIVNIH EFEKATA povećanje autonomnih investicija uvjetuje povećanje dohotka upravo za iznos tih autonomnih investicija I Y Povećanje dohotka sa svoje strane inducira povećanje osobne potrošnje C Y Ovo povećanje potrošnje inducira povećanje dohotka C Y Svako daljnje povećanje dohotka i potrošnje sve je manje i manje

37 Aplikacija multiplikatora na ekonomsku politiku Ako je ravnotežni proizvod manji od potencijalnog proizvoda (Y<Ymax) u privredi je prisutan recesijski jaz i potrebno je povećati neku od komponenta agregatne potražnje (npr.autonomne investicije) za (Ymax-Y)/(1:(1- β)), odnosno (Ymax-Y)/multiplikator. Cilj je da se ravnotežni i potencijalni proizvod izjednače.

38 Aplikacija multiplikatora na ekonomsku politiku Ako je ravnotežni proizvod veći od potencijalnog proizvoda (Y>Ymax), u privredi je prisutan inflacijski jaz i potrebno je smanjiti neku od komponenta agregatne potražnje (npr.autonomne investicije) za (Y- Ymax)/(1:(1- β)), odnosno (Y- Ymax)/multiplikator. Cilj je da se ravnotežni i potencijalni proizvod izjednače.

39 Paradoks štednje Što je veća granična sklonost štednji to je manji multiplikator. Što je manji multiplikator to će isto povećanje autonomne potrošnje u situaciji nepotpune zaposlenosti rezultirati manjim povećanjem domaćeg dohotka pa dakle i štednje i obrnuto. Primjer: ako se poveća sklonost štednji, zbog primjerice neizvjesnosti glede krize iz iste veličine autonomnih investicija rezultirati će manji dohodak a posljedično i štednja.

40 Primjer: Zadan je model: C=0.75Y+150 Y=C+I Izrazite endogenu varijablu Y u ovisnosti o egzogenoj varijabli I. Izrazite endogenu varijablu C u ovisnosti o egzogenoj varijabli I. Koliko iznosi investicijski multiplikator i komentirajte! Definirajte i objasnite funkciju štednje. Koliko iznosi granična sklonost štednji i komentirajte! Koliki bi domaći proizvod rezultirao iz autonomnih investicija od 100 jedinica?

41 Kolika bi osobna potrošnja rezultirala iz autonomnih investicija od 100 jedinica? Ukoliko je potencijalni domaći proizvod 1500 jedinica što je potrebno učiniti da se otkloni BDP jaz izračunajte i objasnite na primjeru. Ukoliko je Ukoliko je potencijalni domaći proizvod 800 jedinica što je potrebno učiniti da se otkloni BDP jaz izračunajte i objasnite na primjeru.

42 NACIONALNO PONAŠANJE POTROŠAČA Ono što nije utrošeno, tj. ono što je ušteđeno raspoloživo je naciji za investicije Investicije su pogonska snaga dugoročnog ekonomskog rasta

43 ODREDNICE POTROŠNJE Glavni faktori koji djeluju na ponašanje potrošača su: Tekući raspoloživi dohodak Permanentni dohodak /dugoročni trend rasta dohotka/ Imetak i ostali utjecaji /VEĆI IMETAK VODI VEĆOJ POTROŠNJI/

44 NACIONALNA FUNKCIJA POTROŠNJE Razina raspoloživog dohotka je osnovna odrednica razine nacionalne potrošnje Jedan od najstabilnijih empirijskih pravilnosti u makroekonomiji je da potrošači uvijek štede 7% svojeg raspoloživog dohotka Veza između ŠTEDNJE- INVESTICIJA- EKONOMSKOG RASTA Kada nacija mnogo štedi povećava se zaliha kapitala i ona ostvaruje brzi rast potencijalne proizvodnje

45 STOPE NACIONALNE ŠTEDNJE ( ) JAPAN 20,7 Z. NJEMAČKA 14,0 FRANCUSKA 13,6 KANADA 9,9 V. BRITANIJA 7,4 SAD 7,2

46 Teorije funkcije potrošnje Teorija apsolutnog dohotka Teorija relativnog dohotka Teorija permanentnog dohotka Teorija životnog ciklusa

47 Zajedničko je svih teorijama da osobnu potrošnju promatraju kao, ceteris paribus, funkciju raspoloživog dohotka. Odnosno kao zbroj svih osobnih primanja umanjen za transferne rashode stanovništva (uglavnom direktne poreze). Osim tekućeg dohotka na potrošnju utječu i tokovi dohotka u prijašnjim razdobljima akumulirani u imetku (bogatstvu) bilo realnom (nekretnine, trajna potrošna dobra) ili financijskom (gotovina, depoziti, vrijednosnice).

48 Teorija apsolutnog dohotka To je Keynesova teorija koja tvrdi da potrošač određuje dio dohotka koji troši i da udio potrošnje u dohotku opada s rastom dohotka. On je definirao pojam prosječne i granične sklonosti potrošnji. U kratkom roku je prosječna sklonost potrošnji veća od granične sklonosti. S porastom dohotka opada udio osobne potrošnje u dohotku, a povećava se udio štednje.

49 Istraživanja Kuznetsa 1946.godine na temelju vremenskih nizova g. pokazala su da je u dugom roku granična sklonost potrošnji jednaka prosječnoj, pa je dugoročna funkcija potrošnje pravac koji prolazi kroz ishodište. U dugom roku C/Y ne opada nego je konstantna. To je suprotno zaključku teorije apsolutnog dohotka. Neslaganje ove teorije s empirijskim nalazima objašnjava se različitim faktorima: migracijom stanovništva sa sela u grad, promjena dobne strukture stanovništva, akumulacija bogatstva u vremenu.

50 Teorija relativnog dohotka Autor James Duesenberry, On tvrdi da dio dohotka koji kućanstvo odvaja za potrošnju ovisi o odnosu njegova dohotka i dohotka njegovih susjeda, a ne o apsolutnoj razini dohotka kućanstva. To je efekt potrošnje koji potječe od imitiranja susjeda zove se demonstracijski efekt. Zato osobe s nižim dohotkom imaju veću prosječnu sklonost potrošnji C/Y.

51 Ako dohodak jednog kućanstva ostane isti, dok se dohoci ostalih obitelji povećaju, njegov će se realni položaj pogoršati. Da bi sačuvao svoj relativni životni standard nepromijenjen obitelj će povećati udio potrošnje u svom dohotku. Dakle, u kratkom roku tekuća potrošnja ne mora ovisiti o tekućem dohotku.

52 U privredi je poznati ratchet effect (zaporac efekt) koji kombinira kratkoročno i dugoročno ponašanje potrošnje. Taj efekt štiti privredu da ne sklizne potpuno natrag i da ne izgubi sav dohodak koji je ostvarila tijekom prethodnog booma. U razdoblju recesije kad dohodak opada potrošnja opada sporijim tempom nego raste u razdoblju booma kad dohodak raste.

53 Teorija permanentnog dohotka Milton Friedman kao egzogenu varijablu uzima permanentni dohodak ili očekivani umjesto tekućeg dohotka. Teorija je aktivna 1980 i tih godina 20.st. PERMANENTNI DOHODAK je prosječni dohodak koji potrošač smatra permanentnim. To je prosječni dohodak koji potrošač očekuje da će primiti u budućem razdoblju. Dohodak kućanstva u nekoj godini po Friedmanu se dijeli na permanentni i tranzitorni.

54 On i potrošnju dijeli na permanentnu i tranzitornu. Ukupna je potrošnja u dugom roku funkcija permanentnog dohotka. Ciklička odstupanja od trenda čitave privredne aktivnosti uvjetuju i ciklička odstupanja ostvarena od permanentnog dohotka i potrošnje. U godinama booma ostvareni je dohodak veći od permanentnog. U recesijskim je godinama obrnuto.

55 Teorija životnog ciklusa Ando i Modigliani potrošnju koju potrošač ostvari za svog života smatraju funkcijom dohotka koji potrošač u svom životu ostvari. I ova je teorija kao i Friedmanova okrenuta prema budućnosti. Potrošnja je funkcija očekivanog dohotka koji potrošač očekuje da će ostvariti iz svih izvora: rada i imetka (realnog ili financijskog) tijekom svog života.

56 Ova se teorija temelji na mikroekonomskoj teoriji ponašanja potrošača. Potrošač nastoji maksimizirati svoju funkciju blagostanja uz uvjet da sadašnja vrijednost njegove potrošnje bude jednaka sadašnjoj vrijednosti dohotka koji će on ostvariti u svom životu. U početku i na kraju života tipični potrošač više troši nego zarađuje.

57 U sredini života on više zarađuje nego što troši i akumulira za starost. Potrošač najviše troši u svojoj aktivnoj dobi. Što god je viši udio mladog i/ili starog stanovništva u ukupnom, to je vjerojatnije da će agregatna štednja biti manja i obratno. Što je produktivnost rada sadašnjeg aktivnog stanovništva veća nego prijašnjeg, to nacionalna štednja raste.

58 INVESTICIJE I INVESTIRANJE INVESTIRATI- transformirati ekonomska dobra u oblik, koji omogućava povećanje dohotka INVESTICIJE- - U NAJŠIREM SMISLU: sva ulaganja materijalnih i novčanih sredstava u privrednim i neprivrednim djelatnostima ili pretvaranje tih sredstava u vrijednosne papira i druge pravne naslove za dobivanje dohotka. - U ŠIREM SMISLU: dio domaćeg proizvoda odnosno nacionalnog dohotka, koji se ulaže u fiksne i opticajne fondove - U UŽEM SMISLU: ulaganja u stalnu i tekuću imovinu - U NAJUŽEM SMISLU: samo ulaganja u stalnu imovinu

59 POTROŠNJA I ŠTEDNJA Funkcija potrošnje vezuje razinu potrošnje s razinom raspoloživog dohotka Funkcija štednje vezuje štednju s raspoloživim dohotkom Ono što nije utrošeno tj. ono što je ušteđeno- raspoloživo je naciji za investicije, a investicije čine pogonsku snagu dugoročnog ekonomskog rasta Potrošnja i štednja su ključne za razumijevanje ekonomskog rasta i konjunkturnih ciklusa

60 IZVORI ZA INVESTICIJE A) AKUMULACIJA -osnovne karakteristike -dobrovoljna i prisilna -naturalna i financijska -namjerna i nenamjerna -radna akumulacija -oblici akumulacije prema nosiocima -osobna štednja i radna akumulacija - -akumulacija individualnih proizvođača -državna /javna/ akumulacija -akumulacija poduzeća -akumulacija iz inozemstva

61 B) AMORTIZACIJA -za zamjenu postojećih stvari i prava (osa) -za nabavku novih stvari i prava (osa) -za druge svrhe kao ; -plaćanje dospjelih otplata po investicijskim kreditima -plaćanje udjela u troškovima investicije -za zajednička ulaganja (osa i tos)

62 C) DOPUNSKI IZVORI INVESTICIJA -inozemna sredstva (uvezena akumulacija) - krediti -inozemne pomoći, donacije i sl.

63 DVOJAKA ULOGA INVESTICIJA U kratkom roku utječu na proizvodnju i zaposlenost preko agregatne potražnje U dugom roku utječu na proizvodnju i zaposlenost putem utjecaja na agregatnu ponudu

64 KADA PODUZEĆA INVESTIRAJU PODUZEĆA KUPUJU KAPITALNA DOBRA KADA OČEKUJU DA BI IZ TOG PODHVATA MOGLI ZARADITI PROFIT TJ. DA PRIHOD BUDE VEĆI OD TROŠKOVA INVESTIRANJA

65 O ČEMU OVISE INVESTICIJSKE ODLUKE? POTRAŽNJI ZA PROIZVODNJOM KOJA PROIZVODI NOVE INVESTICIJE KAMATNJAKU I POREZIMA KOJI ODREĐUJU TROŠKOVE INVESTIRANJA OČEKIVANJIMA PODUZEĆA O STANJU PRIVREDE

66 ODREDNICE INVESTICIJA Promjene u investiranju imaju snažan utjecaj na agregatnu potražnju Agregatna potražnja utječe na proizvodnju i zaposlenost Investicije vode k akumulaciji kapitala Time se povećava potencijalni proizvod i potiče ekonomski rast u dugom roku

67 INVESTICIJE SU FUNKCIJA KAMATNJAKA I = f (r) di/dr < 0 Realni kamatnjak se sagledava kao razlika između nominalnog kamatnjaka i očekivane stope inflacije. Investicije su: - opadajuća funkcija nominalnog kamatnjaka - rastuća funkcija stope očekivane inflacije

68 KAMATNJAK I INVESTICIJE PRINOS PO % INVEST.- KAMATNA 20 STOPA (r) 15 KRIVULJA POTRAŽNJE ZA INVESTICIJAMA mi.$ INVESTICIJSKO TROŠENJE (I)

69 AGREGATNE INVESTICIJE SU OPADAJUĆA FUNKCIJA KAMATNJAKA. TA SE KRIVULJA NAZIVA KRIVULJA GRANIČNE EFIKASNOSTI INVESTICIJA. ONA JE JEDNAKA KRIVULJI GRANIČNE EFIKASNOSTI KAPITALA KADA SU TROŠKOVI NABAVKE KAPITALNIH DOBARA KONSTANTNI.

70 Metode odabira projekata: METODA SADAŠNJE VRIJEDNOSTI METODA GRANIČNE EFIKASNOSTI INVESTICIJA

71 METODA SADAŠNJE VRIJEDNOSTI Oni projekti čija je sadašnja vrijednost budućih dohodaka veća od njihovih troškova ekonomski su opravdani. SV = R 0 +R 1 /(1+r)+R 2 /(1+r) 2 + +R n /(1+r) n -T R i dohodak od investicija u razdoblju i=1,2, n T-troškovi investicijskog projekta SV-sadašnja vrijednost razlike svih očekivanih dohodaka i ukupnih troškova

72 Svi projekti čija je SV>0 ekonomski su opravdani za realizaciju. Ako je više projekata, kriterij je SV sa većom vrijednosti.

73 INTERNA STOPA RENTABILNOSTI INTERNA STOPA RENTABILNOSTI ILI GRANIČNA EFIKASNOST INVESTICIJA = to je kamatnjak uz koji bi sadašnja vrijednost neto-dohotka ili dobiti od investicijskog projekta bila jednaka nuli. 0 = R 1 /(1+j)+R 2 /(1+j) 2 + +R n /(1+j) n -T Samo projekti čija je granična efikasnost investicija veća od tržišnog katnjaka tj. j>r ekonomski su opravdani za izbor.

74 Ukoliko se rezultati ove dvije metode razlikuju, ekonomski je opravdanije rangirati projekte prema kriteriju sadašnje vrijednosti.

75 INVESTICIJSKI PROCES POSLJEDICA INVESTIRANJA (I) PRIKAZUJE SE KAO PROCES IZMEĐU POČETKA I ZAVRŠETKA INVESTICIJE Počinje s prvim rashodom- izdacima za nabavku vezanim za predmet investiranja Slijede prihodi- posljednji prihod iz invest. projekta može biti likvidacijska dobit

76 OBILJEŽJA INVESTIRANJA KOMPONENTE USPJEHA (uspjeh je vezan uz ostvarenje profita) KOMPONENTE LIKVIDNOSTI (investicija mora doprinijeti jačanju likvidnosti poduzeća) KOMPONENTE RIZIKA - rizik uspjeha - rizik likvidnosti

77 CILJEVI INVESTICIJA LIKVIDNOST SIGURNOST RENTABILNOST

78 LIKVIDNOST Likvidnost omogućuje da je poduzeće platežno sposobno. APSOLUTNA LIKVIDNOST- je sposobnost da je imovina u primjeni kao platežno sredstvo ili se u njega može pretvoriti RELATIVNA LIKVIDNOST- - statička likvidnost se mjeri u određenom trenutku - dinamička likvidnost ne odnosi se na jedan trenutak već to znači da likvidnost mora biti dobra u svakom trenutku jer inače prijeti razvoju poduzeća

79 SIGURNOST - /RIZIK/ Dobit se neće ostvariti u očekivanim okvirima Dobit uopće neće biti ostvarena Dogoditi će se gubitak

80 RENTABILNOST POKAZATELJ ODNOSA DOBITI I ULOŽENOG KAPITALA - rentabilnost ukupnog kapitala - rentabilnost vlastitog kapitala - rentabilnost prometa

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

MAKROEKONOMIJA. 13. siječnja 2007.

MAKROEKONOMIJA. 13. siječnja 2007. MAKROEKONOMIJA 13. siječnja 2007. 1 UVOD I OSNOVNI POJMOVI 1 1 UVOD I OSNOVNI POJMOVI Bruto domaći proizvod (BDP) - Mjera ukupnog proizvoda u računima nacionalnog dohotka tijekom danog razdoblja 1. BDP

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

7. Troškovi Proizvodnje

7. Troškovi Proizvodnje MIKROEKONOMIJA./. 7. Troškovi Proizvodnje Autori: Penezić Andrija Miković Ivana Pod vodstvom: Prof.dr. Đurđice Fučkan Prezentacije su napravljene prema : Pindyck, R.S./ Rubinfeld, D.L. () MIKROEKONOMIJA

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Tržište dobara i usluga u otvorenom gospodarstvu

Tržište dobara i usluga u otvorenom gospodarstvu Tržište dobara i usluga u otvorenom gospodarstvu lanchard: Poglavlje 19. Makro-vježbe (O.Vukoja) #1 Outline predavanja: 1. IS relacija (tržište dobara) u otvorenom gospodarstvu 2. Ravnotežni output i vanjskotrgovinska

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju

TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju Sadržaj predavnaja: Trošak kapitala I. Trošak duga II.

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

KAMATNE STOPE: IZRAŽAVANJE, PRINCIPI, KRETANJE

KAMATNE STOPE: IZRAŽAVANJE, PRINCIPI, KRETANJE POGLAVLJE VI Finansijska tržišta ta i institucije KAMATNE STOPE: IZRAŽAVANJE, PRINCIPI, KRETANJE Ciljevi predavanja Objasniti Teoriju raspoloživih fondova (Loanable Funds Theory) određivanja kamatnih stopa

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 4. Proizvodnja i organizacija poslovanja, analiza troškova

VJEŽBE 4. Proizvodnja i organizacija poslovanja, analiza troškova VJEŽBE 4. Proizvodnja i organizacija poslovanja, analiza troškova I SKUPINA ZADATAKA 1. Proizvodna funkcija predstavlja odnos između a) inputa i outputa b) troškova i radnika c) ukupnog proizvoda i graničnog

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Analiza savršene konkurencije u kratkom roku

Analiza savršene konkurencije u kratkom roku Analiza savršene konkurencije u kratkom roku Jedanaesto predavanje, 11. svibnja 2016. godine Pripremljeno iz: Binger i Hoffman, Microeconomics with Calculus Maksimizacija profita poduzeća koje posluje

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

ZADACI 18. Blanchard. 3. Pretpostavite slijedeće IS-LM jednadžbe: M P. E pri čemu je E

ZADACI 18. Blanchard. 3. Pretpostavite slijedeće IS-LM jednadžbe: M P. E pri čemu je E 1 ZDCI 18 Blanchard 1. Nominalni devizni tečaj, realni devizni tečaj, strana i domaća inflacija Koristeći definiciju realnog deviznog tečaja (i matematički dodatak u knjizi) možete, pokazati da vrijedi

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

RAZLIKA U CIJENI RAZLIKE U CIJENI U TRGOVINI UKUPNA RAZLIKA U CIJENI UKUPNA RAZLIKA U CIJENI

RAZLIKA U CIJENI RAZLIKE U CIJENI U TRGOVINI UKUPNA RAZLIKA U CIJENI UKUPNA RAZLIKA U CIJENI RAZLIKA U CIJENI RAZLIKE U CIJENI U TRGOVINI Služi za pokriće troškova poslovanja i ostvarenje dobiti; Troškovi poslovanja: materijalni troškovi; amortizacija; troškovi rada; ostali troškovi; Razlikujemo

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

PITANJA IZ MAKROEKONOMIJE:

PITANJA IZ MAKROEKONOMIJE: PITANJA IZ MAKROEKONOMIJE: 1. GDP a) Na koje sve načine možemo doći do BDP-a (GDP-a). Ukratko iz opišite? Do GDP-a možemo doći na 3 načina: - mjerenje GDP-a preko potrošnje: mjerimo ukupnu potrošnju dobara

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

2 Elastičnost funkcije Elastičnost funkcija u ekonomiji Formula za koeficijent elastičnosti funkcije zadane algebarski

2 Elastičnost funkcije Elastičnost funkcija u ekonomiji Formula za koeficijent elastičnosti funkcije zadane algebarski Sadržaj 1 Diferencijalni račun funkcija više varijabli 2 1.1 Funkcije više varijabli....................... 2 1.1.1 Parcijalni i ukupni prirast funkcije više varijabli.... 3 1.1.2 Parcijalne derivacije...................

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

VELEPRODAJNO I MALOPRODAJNO POSLOVANJE - VJEŽBE 9 - Sveučilišni preddiplomski studij Ekonomika poduzetništva

VELEPRODAJNO I MALOPRODAJNO POSLOVANJE - VJEŽBE 9 - Sveučilišni preddiplomski studij Ekonomika poduzetništva VELEPRODAJNO I MALOPRODAJNO POSLOVANJE - VJEŽBE 9 - Sveučilišni preddiplomski studij Ekonomika poduzetništva 08.01.2013. Sadržaj 1. Cjenovna elastičnost potražnje 2. Izračunavanje marže, prodajne cijene

Διαβάστε περισσότερα

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje EuroCons Group Karika koja povezuje Filtracija vazduha Obrok vazduha 24kg DNEVNO Većina ljudi ima razvijenu svest šta jede i pije, ali jesmo li svesni šta udišemo? Obrok hrane 1kg DNEVNO Obrok tečnosti

Διαβάστε περισσότερα

Varijabilni. troškovi. Ukupni. troškovi. Granični troškovi

Varijabilni. troškovi. Ukupni. troškovi. Granični troškovi Ovisnost troškova o promjenama opsega proizvodnje Stalni troškovi Varijabilni troškovi Ukupni troškovi Granični troškovi Prosječni troškovi troškovi proizvodnje su različiti po: svom porijeklu (prirodnim

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 (D)

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

KURS ZA ENERGETSKI AUDIT 7

KURS ZA ENERGETSKI AUDIT 7 KURS ZA ENERGETSKI AUDIT 7 EKONOMIJA ENERGETSKE EFIKASNOSTI Dr Dečan Ivanović Ekonomija energetske efikasnosti Inženjeri posmatraju energetiku gotovo uvijek sa aspekta tehnologije energetskih transformacija,

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

Ekonometrija 4. Ekonometrija, Osnovne studije. Predavač: Aleksandra Nojković

Ekonometrija 4. Ekonometrija, Osnovne studije. Predavač: Aleksandra Nojković Ekonometrja 4 Ekonometrja, Osnovne studje Predavač: Aleksandra Nojkovć Struktura predavanja Nelnearne zavsnost Prmene u ekonomskoj analz Prmer nelnearne zavsnost Isptujemo zavsnost zmeđu potrošnje dohotka.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

Ekonomski rast. Ekonomski rast kroz povijest

Ekonomski rast. Ekonomski rast kroz povijest Ekonomski rast Ekonomski rast kroz povijest S obzirom da se ekonomska kriza polako približava kraju potrebno je razumjeti kako će svijet izgledati nakon krize. Posebno kako će se ostvariti ekonomski rast

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Funkcije dvije i više promjenljivih

1.1 Funkcije dvije i više promjenljivih 11 Funkcije dvije i više promjenljivih Funkcije dvije i više promjenljivih Zamislimo situaciju u kojoj dva proizvodaa i B i njihove potražnje zavise o cijenamap A i p B Q A je potražnja za proizvodoma,

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Korporativne finansije

Korporativne finansije Ekonomski fakultet u Podgorici Magistarske studije Smjer Finansije i bankarstvo II generacija Korporativne finansije Prof. Saša Popović Blok 2: Vrijednost, cijena i rizik Osnovna pitanja Zašto se akcije

Διαβάστε περισσότερα

MAKROEKONOMIJA Ispiti 1

MAKROEKONOMIJA Ispiti 1 MAKROEKONOMIJA Ispiti 1 Bok, Drago nam je što si odabrao/la upravo Referadu za pronalazak materijala koji će ti pomoći u učenju! Materijali koje si skinuo/la s naše stranice nisu naše autorsko djelo, već

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Opća konkurencijska ravnoteža. Uvod u analizu monopola

Opća konkurencijska ravnoteža. Uvod u analizu monopola Opća konkurencijska ravnoteža. Uvod u analizu monopola Trinaesto predavanje 5. svibnja 06. godine Pripremljeno iz: Binger i Hoffman Microeconomics with Calculus Prisjetimo se...rivulja proizvodnih mogućnosti

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

MJERENJE GNP-a KROZ PRIHODE poslovni troškovi su prihodi koje domaćinstva primaju od poduzeća. Ukupna vrijednost pojavljuje se kao nečiji prihod.

MJERENJE GNP-a KROZ PRIHODE poslovni troškovi su prihodi koje domaćinstva primaju od poduzeća. Ukupna vrijednost pojavljuje se kao nečiji prihod. GNP (društveni bruto proizvod) je trţ vrijednost svih finalnih dobara i usluga proizvedenih u privredi u nekom vremenskom razdoblju. Jednak je sumi novčane vrijednosti cjelokupne potrošnje i investicijskih

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Osnove ekonomije. Poglavlje 0. Kako čitati dijagrame

Osnove ekonomije. Poglavlje 0. Kako čitati dijagrame Poglavlje 0. Kako čitati dijagrame 1) Kada je odnos dviju varijabli inverzan, grafički se taj odnos prikazuje krivuljom koja, a vrijednost nagiba je. a) opada, pozitivna b) raste, pozitivna c) opada, negativna

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Turistička destinacija / Ekonomski uticaj i značaj turizma. (Prvi deo)

Turistička destinacija / Ekonomski uticaj i značaj turizma. (Prvi deo) Turistička destinacija / Ekonomski uticaj i značaj turizma (Prvi deo) Igor Kovačević, asistent predmet: Ekonomika turizma Ekonomski fakultet, Univerzitet u Beogradu Email: igor@ekof.bg.ac.rs 1 Šta je turistička

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Maksimalizacija profita

Maksimalizacija profita Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva Inženjerska ekonomika (41251) Zagreb, 3. travnja 2013. Maksimalizacija profita Bilješke s predavanja Dubravko Sabolić Inzeko 2013; LN-5b 1. Uvod

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα