ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Τρίτη και 13. Τεχνικές Απαρίθµησης Σχεδιασµοί Γραφήµατα. Θέσατε Κυριακή=1, ευτέρα=2,...

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Τρίτη και 13. Τεχνικές Απαρίθµησης Σχεδιασµοί Γραφήµατα. Θέσατε Κυριακή=1, ευτέρα=2,..."

Κλείτος Οικονόμου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Τεχνικές Απαρίθµησης Σχεδιασµοί Γραφήµατα Μωυσιάδης Χρόνης Η Εξάµηνο Μαθηµατικών Τρίτη και 13-2- -2-1.

1 ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Τεχνικές Απαρίθµησης Σχεδιασµοί Γραφήµατα Μωυσιάδης Χρόνης Η Εξάµηνο Μαθηµατικών Τρίτη και Πόσες µέρες «Τρίτη και 13» υπάρχουν κατά µέγιστον σ ένα ηµερολογιακό έτος; Θέσατε Κυριακή=1, ευτέρα=2,..., Σάββατο=7 Για έτος µε 365 µέρες: Έστω 13 Ιανουαρίου είναι Κυριακή, δηλ. τύπου 1 τότε 13 Φεβρουαρίου είναι τύπου 4 (διότι απέχει 31=28+3), κλπ Τελικά 1, 4, 4, 7, 2, 5, 7, 3, 6, 1, 4, 6 και md7 2, 5, 5, 1, 3, 6, 1, 4, 7, 2, 5, 7 κλπ Αναζητούµε πλήθος των 3 Παρατηρούµε ότι κάθε σειρά έχει τρεις τύπους ίδιους Άρα η απάντηση είναι «3» Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών - Εισαγωγικά Προβλήµατα 1

2 Τρίτη και 13 (συνέχεια) Ποια η πιθανότητα η 13 η κάποιου µήνα που διαλέγεται τυχαία να είναι Τρίτη; Εξετάστηκαν ηµέρες των 1000 ετών από το 1501 µέχρι το 2500 Όπως αναµένονταν η πιθανότητα µια µέρα µε ηµεροµηνία 13 να είναι Τρίτη, είναι κατά προσέγγιση ίση µε το να είναι οποιαδήποτε άλλη µέρα, δηλαδή περίπου 1/7 Μια παραλλαγή του προβλήµατος αυτού είχε τεθεί στο περιοδικό American Mathematical Mnthly το Νοέµβριο του 1962 Χρωµατισµοί Ένα σύνολο ξύλινων κύβων βάφονται µε δύο χρώµατα (µπλε και κόκκινο). Πόσα διαφορετικά είδη υπάρχουν; ( ύο κύβοι είναι διαφορετικοί αν δεν υπάρχει τρόπος να τοποθετηθούν ώστε οι αντίστοιχες έδρες να έχουν ίδια χρώµατα). Βρίσκουµε ότι υπάρχει 1 είδος µε έξι µπλε έδρες,..., 2 είδη µε 4 µπλε έδρες (διότι οι 2 κόκκινες είναι ή γειτονικές ή σε απέναντι πλευρές), κλπ. 0 ή 6 µπλε 1 κύβος 1 ή 5 µπλε 1 κύβος 2 ή 4 µπλε 2 κύβοι 3 µπλε 2 κύβοι ( ή θα έχουν οι τρεις µπλε κοινή κορυφή, ή οι δύο είναι απέναντι και µία τις συνδέει) Απάντηση Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών - Εισαγωγικά Προβλήµατα 2

3 ιαµέριση χωρίων 3. ίνονται n σηµεία σε έναν κύκλο και υποτίθεται ότι όλες οι ανά δύο συνδέσεις ορίζουν ευθείες που τέµνονται σε διαφορετικά σηµεία. Ποιο είναι το πλήθος των χωρίων στα οποία κατά µέγιστον υποδιαιρείται ο κύκλος; Απάντηση Παρατηρείστε ότι για n=2 είναι 2 για n=3 είναι 4 για n=4 είναι 8. Σκεφτείτε ότι οι γραµµές είναι όσοι και οι συνδυασµοί n, ενώ 2 τα σηµεία που ορίζονται από δύο γραµµές αν υποτεθεί ότι όλες τέµνονται µεταξύ τους ανά δύο είναι n. 4 Απάντηση n n Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών - Εισαγωγικά Προβλήµατα 3

4 Αλλαγή σε ψιλά (λύση µε απαρίθµηση) Με πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορούµε να χαλάσουµε ένα 100-ρικο σε ψιλά των 5, 10, 20 ή και 50 δραχµών; Λύση µε καταγραφή: (π.χ. µε δενδροδιάγραµµα) 50-ρικα 20-ρικα 10 -ρικα 5-δραχµα κλπ 100-ρικο Απάντηση 49 Αλλαγή σε ψιλά (λύση µε πολυώνυµα) Αρκεί να λυθεί η διοφαντική εξίσωση 5 x + 10 x + 20 x + 50 x = Λύση µε πολυώνυµα: Το γινόµενο των πολυωνύµων P 1 (x)=1+x 5 +x x 100, P 2 (x)=1+x 10 +x x 100, P 3 (x)=1+x 20 +x x 100 και P 4 (x)=1+x 50 +x 100, ισούται µε: Απάντηση Συντ/στής του x 100 είναι το 49 Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών - Εισαγωγικά Προβλήµατα 4

5 Αλλαγή σε ψιλά (λύση µε πρόγραµµα) πρόγραµµα σε Pascal εκτέλεση δίνει 49 για e:=1000 δίνει prgram prgr01 (input, utput); var a,b,c,d,e, diaf :integer; a1,b1,c1,d1, cunt :integer; i, j, k, l :integer; begin a:=5; b:=10; c:=20; d:=50; e:=100; a1:=e div a; b1:=e div b; c1:=e div c; d1:=e div d; cunt:=0; fr i:=0 t a1 d fr j:=0 t b1 d fr k:=0 t c1 d fr l:=0 t d1 d begin diaf:=e-a*i-b*j-c*k-d*l; if diaf=0 then begin writeln('x1=',i,' x2=',j,' x3=',k,' x4=',l); cunt:=cunt+1; end; end; writeln('cunt=',cunt); end. Ένα εκτελέσιµο πρόγραµµα σε Frtran µε την ονοµασία difant.exe δίνει το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης a 1 x 1 +a 2 x 2 + +a k x k =n, για δοσµένα n, k<10 και a 1, a 2, a k, καθώς και τις ίδιες τις λύσεις. Το πρόγραµµα είναι διαθέσιµο στη διεύθυνση users.auth.gr/cmi. Αρχή περιστερώνα Αν είναι γνωστό ότι κανείς άνθρωπος δεν έχει περισσότερες από τρίχες στο κεφάλι του και ότι η Θεσσαλονίκη έχει περισσότερους από κατοίκους, παρατηρείστε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 2 άτοµα µε ακριβώς ίδιο πλήθος τριχών στο κεφάλι τους. Μήπως υπάρχουν τουλάχιστον 3; Απάντηση ΝΑΙ λόγω της γενικευµένης αρχής του περιστερώνα Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών - Εισαγωγικά Προβλήµατα 5

6 ιαταράξεις 6. ίνονται n γράµµατα που θα αποσταλούν σε διαφορετικούς παραλήπτες και n φάκελλοι µε τις διευθύνσεις των παραληπτών. Αν γίνει τυχαία τοποθέτηση, σε πόσες από τις n! δυνατές τοποθετήσεις κανένα γράµµα δεν τοποθετείται στο σωστό φάκελλο; Αριθµούµε τα φάκελλα 1,2,...,n και οµοίως τα γράµµατα. Μια τοποθέτηση αντιστοιχεί σε µια µετάθεση, ενώ οι ζητούµενες αντιστοιχούν σε εκείνες που κανένα στοιχείο δεν µένει στη θέση του. Απάντηση: n=3 n=4 n=n Μεγάλο n 2 ; ; (n!)/e= n! Οι αξιωµατικοί του Euler αξιωµατικοί που ανήκουν σε έξι χώρες και σε έξι βαθµούς (ώστε σε κάθε συνδυασµό να έχουµε ακριβώς από έναν αξιωµατικό) πρόκειται να τοποθετηθούν σε τιµητική παράταξη σε 6-δες. Είναι δυνατό να τοποθετηθούν µε τρόπο ώστε σε κάθε γραµµή, και σε κάθε στήλη να µην υπάρχουν αξιωµατικοί από την ίδια χώρα ή από τον ίδιο βαθµό; Ετέθη το 1782 από τον Euler. Πίστευε ότι η απάντηση είναι ΟΧΙ. Αποδείχθηκε το 1900 από τον Tarry. O Euler είχε διατυπώσει την εικασία ότι στο γενικότερο πρόβληµα για n 2 αξιωµατικούς η απάντηση είναι ΟΧΙ για n 2md4. Όµως το 1960 οι Bse, Shrikhande και Parker έδειξαν ότι η απάντηση είναι ΝΑΙ για όλα τα n εκτός n=2 και n= Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών - Εισαγωγικά Προβλήµατα 6

7 BIB σχεδιασµοί 8. Πέντε τύποι ελαστικών (1, 2, 3, 4, 5) πρόκειται να ελεγχθούν ως προς την αντοχή τους. Τοποθετούνται σε 5 αυτοκίνητα (Α, Β, Γ,, Ε) στις 4 θέσεις ΕΑ (εµπρός αριστερά), Ε (εµπρός δεξιά), ΠΑ (πίσω αριστερά), Π (πίσω δεξιά) µε διαφορετικούς τρόπους και κάποιοι οδηγοί αναλαµβάνουν να τα οδηγήσουν και να παρατηρήσουν τα αποτελέσµατα. Ανάλογα µε την τοποθέτηση τα αποτελέσµατα είναι περισσότερο ή λιγότερο ικανοποιητικά. Πως µπορούµε να τοποθετήσουµε τα ελαστικά στα αυτοκίνητα, ώστε να είµαστε βέβαιοι ότι τα αποτελέσµατα θα είναι όσο περισσότερο γίνεται ικανοποιητικά; Το πρόβληµα του Kirkman µαθήτριες κάνουν περίπατο κάθε µέρα σε τριάδες. Είναι δυνατό να οργανωθεί ο περίπατος µε τρόπο ώστε κάθε µέρα να έχει κάθε µαθήτρια διαφορετική παρέα; Κάθε µαθήτρια κάνει παρέα µε 2 άλλες κάθε µέρα, άρα χρειάζονται 7 µέρες για να κάνει παρέα µε τις 14 συµµαθήτριές της. Στις 7 µέρες σχηµατίζονται 7 5=35 τριάδες. Το πρόβληµα τέθηκε και λύθηκε το 1847 από τον επίσκοπο Kirkman. Το 1967 οι Ray-Chaudhuri και Wilsn έδειξαν ότι υπάρχουν λύσεις για αριθµό κοριτσιών n 3md Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών - Εισαγωγικά Προβλήµατα 7

8 Μία γραφική λύση -15- Για το πρόβληµα µε n=15 βοηθά το διπλανό σχήµα. Αριθµοί που βρίσκονται στο ίδιο τρίγωνο σχηµατίζουν την α γραµµή του παρακάτω σχηµατισµού. Οι άλλες παίρνονται µε µετατόπιση κατά δύο md14 (Το 15 παραµένει αµετάβλητο) Το παιχνίδι του Ramsey ύο παίκτες έχουν διαφορετικού χρώµατος µολύβια (έστω κόκκινο και µπλε)καιένα φύλλο χαρτί µε σηµειωµένα n σηµεία. Οι παίκτες ενώνουν διαδοχικά δύο σηµεία µε µία γραµµή του χρώµατος που διάλεξαν. Ο πρώτος που συµπληρώνει τρίγωνο κερδίζει. Κερδίζει πάντοτε κάποιος παίκτης; Ποιο είναι το ελάχιστο n ώστε να συµβαίνει αυτό; b c a f d g e Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών - Εισαγωγικά Προβλήµατα 8

9 Οι γέφυρες του Königsberg 11. Το 1735 επτά γέφυρες συνέδεαν τις δύο νησίδες που σχηµατίζει το ποτάµι της πόλης K nigsberg (Kalliningrand) στη σηµερινή Λιθουανία. Υπάρχει τρόπος να κάνει κάποιος βόλτα ξεκινώντας από ένα σηµείο και επιστρέφοντας σ αυτό περνώντας από κάθε γέφυρα ακριβώς µία φορά; A B C D Απόδειξη Euler Κάθε τέτοια διαδροµή αποτελείται από διαδοχή γραµµάτων που σηµαίνουν τις στεριές π.χ. ACADBAB... κλπ. είξτε ότι το ζητούµενο θα έπρεπε να έχει 8 µόνο γράµµατα, τα οποία όµως πρέπει να συµπεριλαµβάνουν τουλάχιστον 3 Α και από 2 τουλάχιστον B, C και D, πράγµα άτοπο. Το ίδιο πρόβληµα ισοδυναµεί µε τη δυνατότητα κατασκευής του διπλανού σχήµατος µε µονοκονδυλιά. Θεωρείται ως το γενέθλιο πρόβληµα της θεωρίας Γραφηµάτων (Graph Thery) 7 6 A C B D Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών - Εισαγωγικά Προβλήµατα 9

10 Γραφήµατα 12. Το γράφηµα δίπλα παριστάνει τις µεταξύ 22 πόλεων άµεσες δυνατές συνδέσεις µέσω αεροπορικών γραµµών. Εξετάστε αν είναι δυνατόν να περάσει κανείς από όλες τις πόλεις χωρίς όµως να χρειαστεί να περάσει δεύτερη φορά από την ίδια πόλη. Είναι ειδική περίπτωση του γνωστού προβλήµατος του περιοδεύοντος πωλητή. Στη γενική περίπτωση είναι άλυτο πρόβληµα, ακόµη και µε υπολογιστή (NP-cmplete prblem) Λύση µε χρωµατισµό Κάτι τέτοιο δεν είναι δυνατό, παρά µόνο αν ο χρωµατικός αριθµός του γραφήµατος είναι 2. Χρωµατίσαµε µε δύο διαφορετικά χρώµατα π.χ. άσπρο (Α) κάποιες από τις πόλεις και µε κόκκινο (Κ) τις υπόλοιπες. Τα 10 (Α) και 12 (Κ) εναλλάσσονται. Επιπλέον, πρέπει µια διαδροµή να αρχίζει από το ένα γράµµα και να τελειώνει στο άλλο (ώστε να είναι δυνατή η επιστροφή). Άρα υπάρχουν δύο δυνατότητες, που οδηγούν και οι δύο σε ΑΤΟΠΟ. Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ ή Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών - Εισαγωγικά Προβλήµατα 10

Σχετικά έγγραφα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

8 Παραβολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Παραβολή είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από µια σταθερή ευθεία (δ) που λέγεται διευθετούσα της παραβολής και από