Μαθηµατικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Πϱοβληµάτων Μεγάλης Κλίµακας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηµατικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Πϱοβληµάτων Μεγάλης Κλίµακας"

Transcript

1 Πανεπιστήµιο Πατρών Σχολή Θετικών Επιστηµών Τµήµα Μαθηµατικών Μαθηµατικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Πϱοβληµάτων Μεγάλης Κλίµακας ιδακτορική ιατριβή Μαριάννα Σ. Αποστολοπούλου Μάρτιος, 2011

2 c 2011 Μαριάννα Σ. Αποστολοπούλου Πανεπιστήµιο Πατρών, Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµιούπολη, Ρίο , Πάτρα

3 Στο σύζυγό µου ηµήτρη, στους γονείς µου Σωτήρη & Γωγώ, µε αγάπη και εκτίµηση

4

5 Ευχαριστίες Ολοκληρώνοντας τη διδακτορική µου διατριβή ϑα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους µε στήριξαν κατά την περίοδο των µεταπτυχιακών µου σπουδών, καθηγητές, συναδέλφους, συγγενείς και ϕίλους. Ιδιαίτερες ευχαριστίες οφείλω στον επιβλέποντα καθηγητή µου, κ. Παναγιώτη Πιντέλα, για την ειλικρινή και ανιδιοτελή υποστήριξή του και για την αµέριστη συµπαράστασή του καθόλη τη διάρκεια των ερευνητικών µου δραστηριοτήτων. Επίσης, ευχαριστώ ϑερµά τον κ. Χαράλαµπο Μπότσαρη, Καθηγητή του Τµήµατος Περιφερειακής Οικονοµικής Ανάπτυξης του Πανεπιστηµίου Στερεάς Ελλάδας και µέλος της Τριµελούς Συµβουλευτικής Επιτροπής, του οποίου η καθοδήγηση και οι συµβουλές υπήρξαν πολύτιµες και ουσιαστικές. Η ενθάρρυνση και η υποστήριξη του κ. Μπότσαρη στα πρώτα µου ϐήµατα µε όπλισαν µε αυτοπεποίθηση και κουράγιο να συνεχίσω. Σηµαντική ϐοήθεια και συµπαράσταση είχα από την κα Θεοδούλα Γράψα, Επίκουρη Καθηγήτρια, την οποία ευχαριστώ ϑερµά. Η κα Γράψα, µέλος της Τριµελούς Συµβουλευτικής Επιτροπής, µε στήριξε ηθικά τόσο κατά τη διάρκεια της έρευνάς µου, όσο και στη διάρκεια συγγραφής της διατριβής µου. Οι συµβουλές της υπήρξαν πολύτιµες για τη λογική ϱοή και τη δοµή της διατριβής και µε ϐοήθησαν τα µέγιστα για την τελική παρουσίαση των ερευνητικών αποτελεσµάτων. Επίσης, ϑα ήθελα να ευχαριστήσω τον συνεργάτη µου κ. Ιωάννη Λι- ϐιέρη, υποψήφιο διδάκτορα του Τµήµατος Μαθηµατικών, για την πραγ- µατικά ευχάριστη και επιτυχή συνεργασία που είχαµε. Τέλος, ϑερµά ευχαριστώ τον σύζυγο και συνεργάτη µου ρ. ηµήτρη Σωτηρόπουλο, ο οποίος µε στήριξε τα µέγιστα στην ερευνητική µου πορεία και στα δύσκολα χρόνια των µεταπτυχιακών µου σπουδών. Μαριάννα Αποστολοπούλου Πάτρα, Μάρτιος 2011

6 ii

7 Περίληψη Στην παρούσα διατριβή µελετάµε το πρόβληµα της ϐελτιστοποίησης µη γραµµικών συναρτήσεων πολλών µεταβλητών, min f(x), x D όπου η αντικειµενική συνάρτηση f : R n R είναι συνεχώς διαφορίσιµη σε ένα ανοιχτό σύνολο D R n. Αναπτύσσουµε µαθηµατικές µεθόδους ϐελτιστοποίησης και αποσκοπούµε στην επίλυση προβληµάτων µεγάλης κλίµακας, δηλαδή προβληµάτων των οποίων οι µεταβλητές είναι πολλές χιλιάδες, ακόµα και εκατοµµύρια. Η ϐελτιστοποίηση προβληµάτων µεγάλης κλίµακας, όπως για παράδειγµα η αποκατάσταση εικόνας, ο διαχωρισµός γραφηµάτων ή η πρόβλεψη ασθενειών, αποτελεί σήµερα περιοχή µε µεγάλη ερευνητική δραστηριότητα, όχι µόνο λόγω των νέων αλγοριθµικών εξελίξεων αλλά και της ενδογενούς πολυπλοκότητας των προβληµάτων της σύγχρονης εποχής. Η ϐασική ιδέα των µεθόδων που αναπτύσσουµε, προκειµένου να επιλύσουµε προβλήµατα µεγάλης κλίµακας, έγκειται στη ϑεωρητική µελέτη των χαρακτηριστικών ιδιοτήτων των Quasi-Newton ενηµερώσεων ελάχιστης και µικρής µνήµης. Τα νέα ϑεωρητικά αποτελέσµατα, οδηγούν σε δραστική µείωση της χωρικής πολυπλοκότητας γνωστών αλγορίθµων του µη γραµµικού προγραµµατισµού. Ως αποτέλεσµα, οι νέοι αλγόριθµοι που µπορούν να προκύψουν, έχουν χωρική πολυπλοκότητα Θ(n), όπου n η διάσταση του προβλήµατος και µπορούν πλέον να εφαρµοστούν και για µεγάλης κλίµακας προβλήµατα. Η διατριβή αποτελείται από οκτώ κεφάλαια. Τα πρώτα δύο είναι εισαγωγικού περιεχοµένου, ενώ τα υπόλοιπα έξι περιλαµβάνουν τα ερευνητικά αποτελέσµατα της παρούσας διατριβής. Πιο συγκεκριµένα, στο Κεφάλαιο 1 παραθέτονται ϐασικές έννοιες των µαθηµατικών και της ϐελτιστοποίησης, οι οποίες είναι απαραίτητες για τη µελέτη και παρουσίαση

8 iv των µεθόδων που διαπραγµατεύεται η διατριβή. Αναφέρονται οι συνθήκες ϐελτιστότητας, τόσο στη ϐελτιστοποίηση χωρίς περιορισµούς, όσο και στη ϐελτιστοποίηση µε περιορισµούς. Το Κεφάλαιο 2 αναφέρεται στη ϐασική ιδέα των αλγορίθµων ϐελτιστοποίησης. Παραθέτονται οι πιο γνωστές µέθοδοι ϐελτιστοποίησης, όπως η µέθοδος Newton, οι περιορισµένης µνήµης Quasi-Newton µέθοδοι, οι µέ- ϑοδοι γραµµικής και καµπυλόγραµµης αναζήτησης. Τέλος αναφέρονται οι µέθοδοι περιοχής εµπιστοσύνης και το υποπρόβληµα περιοχής εµπιστοσύνης. Ιδιαίτερη µνεία γίνεται στις Quasi-Newton ενηµερώσεις περιορισµένης µνήµης, στην καµπυλόγραµµη αναζήτηση και στο υποπρόβληµα περιοχής εµπιστοσύνης, καθώς οι συγκεκριµένες µέθοδοι αποτελούν τα ερευνητικά ενδιαφέροντα της παρούσας διατριβής. Το Κεφάλαιο 3 αποτελεί το πρώτο από τα έξι κεφάλαια στα οποία καταγράφονται τα ερευνητικά αποτελέσµατα. Μελετώνται οι χαρακτηριστικές ιδιότητες των ελάχιστης µνήµης Quasi-Newton ενηµερώσεων, δηλαδή των SR1, BFGS, DFP και PSB. ιατυπώνονται ϑεωρήµατα αναφορικά µε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο, των αριθµό των διακριτών ιδιοτιµών και των αντίστοιχων ιδιοδιανυσµάτων της γενικής PSB ενηµέρωσης ελάχιστης µνήµης. Μελετώνται διεξοδικά καθεµιά από τις τέσσερις προαναφερθείσες ενηµερώσεις και εξάγονται κλειστοί τύποι για τον υπολογισµό των ανωτέ- ϱω ποσοτήτων, αποφεύγοντας πλήρως τόσο την αποθήκευση, όσο και την παραγοντοποίηση πινάκων. Το Κεφάλαιο 4 αναφέρεται στις ελάχιστης και µικρής µνήµης BFGS ενηµερώσεις, λόγω της σπουδαιότητας που παρουσιάζουν στους αλγορίθ- µους ϐελτιστοποίησης. Μελετάται η περίπτωση όπου ο αρχικός πίνακας είναι ο µοναδιαίος, κλιµακούµενος µε µια συγκεκριµένη παράµετρο. Α- ποδεικνύεται ότι η τιµή της συγκεκριµένης αυτής παραµέτρου µας επιτρέπει να ξέρουµε εκ των προτέρων το πρόσηµο όλων των ιδιοτιµών του πίνακα. Επίσης, τεκµηριώνονται ικανές συνθήκες για τον ακριβή αριθµό των διακριτών ιδιοτιµών της BFGS ενηµέρωσης µικρής µνήµης. Από αυτές τις συνθήκες, υπολογίζεται το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα χρησιµοποιώντας είτε κλειστό τύπο ή απλές πράξεις. Το Κεφάλαιο 5 αναφέρεται στην εφαρµογή των χαρακτηριστικών ιδιοτήτων των Quasi-Newton ενηµερώσεων ελάχιστης και µικρής µνήµης, για την επίλυση του υποπροβλήµατος περιοχής εµπιστοσύνης µεγάλης κλί- µακας, το οποίο αποτελεί ένα πρόβληµα ϐελτιστοποίησης µε περιορισµό.

9 v Προτείνεται µια µέθοδος η οποία είναι ανέξοδη υπολογιστικά και µπο- ϱεί να εφαρµοστεί για την επίλυση υποπροβληµάτων πολλών µεταβλητών. Ο προτεινόµενος αλγόριθµος επίλυσης του υποπροβλήµατος, εκµεταλλεύεται πλήρως τις ιδιότητες που µελετήθηκαν στα Κεφάλαια 3 και 4. Ο συγκεκριµένος αλγόριθµος αντιµετωπίζει και τις δύο περιπτώσεις που ανακύπτουν στο υποπρόβληµα, την τυπική και τη δύσκολη περίπτωση, χρησιµοποιώντας µόνο εσωτερικά γινόµενα και διανυσµατικά αθροίσµατα. Τέλος, δίνεται το ϑεώρηµα σύγκλισης του προτεινόµενου αλγορίθµου, όταν αυτός εντάσσεται σε ένα πλαίσιο µεθόδων περιοχής εµπιστοσύνης. Στο Κεφάλαιο 6 παρουσιάζονται τα αριθµητικά αποτελέσµατα του αλγορίθµου που προτάθηκε στο Κεφάλαιο 5. Η προτεινόµενη µέθοδος συγκρίνεται µε άλλες τρεις µεθόδους, οι οποίες ϑεωρούνται οι καλύτερες στη διεθνή ϐιβλιογραφία για την επίλυση του υποπροβλήµατος περιοχής εµπιστοσύνης. Για να αξιολογηθεί η αποδοτικότητα του προτεινόµενου αλγορίθµου, χρησιµοποιούνται στατιστικά µέτρα και προφίλ απόδοσης, από τα οποία γίνεται σαφής η υπεροχή της προτεινόµενης µεθόδου έναντι των υπολοίπων. Το Κεφάλαιο 7 αναφέρεται στην καµπυλόγραµµη αναζήτηση, στην ο- ποία ο εσσιανός πίνακας προσεγγίζεται από την BFGS ενηµέρωση ελάχιστης µνήµης. Οι χαρακτηριστικές ιδιότητες της συγκεκριµένης ενηµέρωσης, όπως αυτές µελετήθηκαν στο Κεφάλαιο 3, χρησιµοποιούνται σε έναν αλγόριθµο καµπυλόγραµµης αναζήτησης. Ο προτεινόµενος αλγόριθµος εκµεταλλεύεται την πληροφορία από την καµπυλότητα του προσεγγιστικού εσσιανού πίνακα της αντικειµενικής συνάρτησης. Τεκµηριώνεται ότι ο συγκεκριµένος αλγόριθµος διατηρεί τις καλές ιδιότητες σύγκλισης τόσο της γραµµικής, όσο και της καµπυλόγραµµης αναζήτησης, ενώ η µνήµη που απαιτείται για τον υπολογισµό της πιο αρνητικής ιδιοτιµής και του αντίστοιχου ιδιοδιανύσµατος είναι αµελητέα λόγω των αναλυτικών εκφράσεων που χρησιµοποιούνται. Στο Κεφάλαιο 8 παρουσιάζονται τα αριθµητικά αποτελέσµατα του προτεινόµενου καµπυλόγραµµου αλγορίθµου, στην επίλυση µεγάλης κλίµακας προβληµάτων ϐελτιστοποίησης χωρίς περιορισµούς. Τα αποτελέσµατα αυτά δείχνουν ότι ο προτεινόµενος αλγόριθµος είναι κατάλληλος για προ- ϐλήµατα µε πολλές µεταβλητές. Για το λόγο αυτό, ο καµπυλόγραµµος αλγόριθµος εφαρµόζεται στην εκπαίδευση νευρωνικών δικτύων και στην κατηγοριοποίηση προβληµάτων ϐιοϊατρικής µεγάλης κλίµακας. Τα α-

10 vi ϱιθµητικά αποτελέσµατα δείχνουν ότι ο προτεινόµενος αλγόριθµος είναι γρήγορος και πολύ αποτελεσµατικός. Τέλος, παρατίθεται ένα ευρετήριο των πιο σηµαντικών όρων που χρησιµοποιούνται στην παρούσα ιατριβή.

11 Περιεχόµενα Περίληψη Περιεχόµενα iii vii 1 Εισαγωγή Το πρόβληµα της ϐελτιστοποίησης Μαθηµατικό υπόβαθρο ιανύσµατα και πίνακες Ακολουθίες και ϱυθµοί σύγκλισης Υπόχωροι Ο τύπος των Sherman-Morrison-Woodbury Η κατά Cholesy παραγοντοποίηση πινάκων Ιδιοτιµές και ιδιοδιανύσµατα Η µέθοδος της αντίστροφης δύναµης Η µέθοδος Lanczos Στοιχεία τοπολογίας Παράγωγοι και η κατά Taylor προσέγγιση Κυρτότητα Συνθήκες ϐελτιστότητας Βελτιστοποίηση χωρίς περιορισµούς Βελτιστοποίηση µε περιορισµούς Συνθήκες ϐελτιστότητας πρώτης τάξης Συνθήκες ϐελτιστότητας δεύτερης τάξης Βασικές µέθοδοι µη γραµµικής ϐελτιστοποίησης Η µέθοδος Newton Οι Quasi-Newton µέθοδοι Η γενική Powell-Symmetric-Broyden (PSB) ενηµέρωση Η SR1 συµµετρική ενηµέρωση πρώτης τάξης

12 viii Η DFP συµµετρική ενηµέρωση δεύτερης τάξης Η BFGS συµµετρική ενηµέρωση δεύτερης τάξης Η PSB ενηµέρωση δεύτερης τάξης Η Broyden κλάση Οι Quasi-Newton ενηµερώσεις περιορισµένης µνήµης Οι Quasi-Newton ενηµερώσεις ελάχιστης µνήµης Οι µέθοδοι γραµµικής αναζήτησης Οι µέθοδοι καµπυλόγραµµης αναζήτησης Συνθήκες ϐήµατος δεύτερης τάξης Η µέθοδος McCormic Η µέθοδος Goldfarb Η µέθοδος των Moré & Sorensen Οι µέθοδοι περιοχής εµπιστοσύνης Το Υποπρόβληµα Περιοχής Εµπιστοσύνης Η τυπική περίπτωση Η µέθοδος Newton στην τυπική περίπτωση Η δύσκολη περίπτωση Ο Αλγόριθµος επίλυσης του ΥΠΕ Οι Quasi-Newton ενηµερώσεις ελάχιστης µνήµης Εισαγωγή Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο Ο αντίστροφος του πίνακα B + µi Τα ιδιοδιανύσµατα των διακριτών ιδιοτιµών Γραµµικώς εξαρτηµένα διανύσµατα ενηµέρωσης Γραµµικώς ανεξάρτητα διανύσµατα ενηµέρωσης Η SR1 ενηµέρωση ελάχιστης µνήµης Η BFGS ενηµέρωση ελάχιστης µνήµης Η DFP ενηµέρωση ελάχιστης µνήµης Η PSB ενηµέρωση ελάχιστης µνήµης Συµπεράσµατα Η BFGS ενηµέρωση µικρής µνήµης Οι 1BFGS και 2BFGS ενηµερώσεις Η 1BFGS ενηµέρωση Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο της 1BFGS ενηµέρωσης

13 4.2.2 Ο πίνακας (B (1) +1 + µi) Τα ιδιοδιανύσµατα των ακραίων ιδιοτιµών Η 2BFGS ενηµέρωση Οι ιδιοτιµές της 2BFGS ενηµέρωσης Ο πίνακας (B (2) +1 + µi) Ιδιοδιανύσµατα διακριτών ιδιοτιµών Συµπεράσµατα Επιλύοντας το Υποπρόβληµα Περιοχής Εµπιστοσύνης Η προτεινόµενη µέθοδος Η τυπική περίπτωση Εφαρµογή της γενικής PSB ενηµέρωσης ελάχιστης µνήµης Η SR1 ενηµέρωση ελάχιστης µνήµης Η BFGS ενηµέρωση ελάχιστης µνήµης Η DFP ενηµέρωση ελάχιστης µνήµης Η PSB ενηµέρωση ελάχιστης µνήµης Η 1BFGS ενηµέρωση στην τυπική περίπτωση Η συνάρτηση ϐήµατος στην 2BFGS ενηµέρωση Η δύσκολη περίπτωση Η γενική PSB ενηµέρωση ελάχιστης µνήµης Η SR1 ενηµέρωση ελάχιστης µνήµης Η BFGS ενηµέρωση ελάχιστης µνήµης Η DFP ενηµέρωση ελάχιστης µνήµης Η PSB ενηµέρωση ελάχιστης µνήµης Η 1BFGS ενηµέρωση στη δύσκολη περίπτωση Η 2BFGS ενηµέρωση στη δύσκολη περίπτωση Ο προτεινόµενος αλγόριθµος επίλυσης του ΥΠΕ Συµπεράσµατα Αριθµητικά αποτελέσµατα του ΥΠΕ Επίλυση τυχαίων στιγµιοτύπων του ΥΠΕ Χρησιµοποιώντας τις Quasi-Newton ενηµερώσεις ε- λάχιστης µνήµης Η τυπική περίπτωση Η δύσκολη περίπτωση ix

14 6.1.2 Συγκριτικά αποτελέσµατα για την BFGS ενηµέρωση ελάχιστης µνήµης Τυχαία στιγµιότυπα στην τυπική περίπτωση Τυχαία στιγµιότυπα στη δύσκολη περίπτωση Συγκριτικά αποτελέσµατα για τις 1BFGS και 2BFGS ενηµερώσεις Ο προτεινόµενος αλγόριθµος ϐελτιστοποίησης Συµπεράσµατα Μια καµπυλόγραµµη αναζήτηση ελάχιστης µνήµης Το Ϲεύγος κατευθύνσεων µείωσης Η περίπτωση του ϑετικά ορισµένου πίνακα Η περίπτωση του αόριστου πίνακα Ο προτεινόµενος αλγόριθµος Συµπεράσµατα Αποτίµηση του αλγορίθµου CMBFGS Βελτιστοποίηση συναρτήσεων της ϐιβλιοθήκης CUTEr Ο CMBFGS στην εκπαίδευση νευρωνικών δικτύων Το πρόβληµα του καρκίνου του µαστού Το πρόβληµα του διαβήτη Σύνολο SPECT δεδοµένων καρδιάς Το πρόβληµα της έγκρισης πίστωσης στην Αυστραλία Το πρόβληµα κολοβακτηριδίων Το πρόβληµα της µαγιάς Εφαρµογή σε ϐιοϊατρικά δεδοµένα Συµπεράσµατα Βιβλιογραφία 289 Ευρετήριο 298 Κατάλογος ηµοσιεύσεων 301

15 Κατάλογος Σχηµάτων 1.1 Παραδείγµατα τοπικού και ολικού ελαχιστοποιητή σε µία διάσταση Συνθήκες ϐήµατος δεύτερης τάξης Λύση του ΥΠΕ για διαφορετικές ακτίνες 1, 2, d(λ) ως συνάρτηση του λ Γράφηµα της d(λ) 2 για ϑετικά ορισµένο πίνακα Γράφηµα της d(λ) 2 για µη ϑετικά ορισµένο πίνακα Η συνάρτηση 1/ d(λ) Η δύσκολη περίπτωση : d(λ) < για λ ( λ 1, ) Γράφηµα της d(λ) 2 στη δύσκολη περίπτωση Τυπική περίπτωση : µέσος αριθµός επαναλήψεων στα επιτυχώς λυµένα στιγµιότυπα Τυπική περίπτωση : µέση ακρίβεια λύσης στα επιτυχώς λυ- µένα στιγµιότυπα Τυπική περίπτωση : µέση σχετική ακρίβεια λύσης στα επιτυχώς λυµένα στιγµιότυπα ύσκολη περίπτωση : µέσος αριθµός επαναλήψεων στα επιτυχώς λυµένα στιγµιότυπα ύσκολη περίπτωση : µέση ακρίβεια λύσης στα επιτυχώς λυµένα στιγµιότυπα ύσκολη περίπτωση : µέση σχετική ακρίβεια λύσης στα επιτυχώς λυµένα στιγµιότυπα Τυπική περίπτωση : Προφίλ απόδοσης για τους MBFGS, GQTPAR και GLTR, σε σύνολο στιγµιοτύπων µεσαίας διάστασης (n = 100, 500 και 1000)

16 6.8 Τυπική περίπτωση : Προφίλ απόδοσης για τους MBFGS και GLTR, σε σύνολο στιγµιοτύπων µεγάλης κλίµακας (n = 10 4, 10 5 και 10 6 ) Τυπική περίπτωση : Προφίλ απόδοσης για τους MBFGS και GLTR, σε σύνολο στιγµιοτύπων πολύ µεγάλης κλίµακας (n = , , ,..., ) ύσκολη περίπτωση : Προφίλ απόδοσης για τους MBFGS και GQTPAR, σε σύνολο 9000 στιγµιοτύπων µεσαίας κλίµακας (n = 100, 500 και 1000) Μέσος όρος επαναλήψεων για µεσαίας διάστασης προβλή- µατα Μέσος όρος επαναλήψεων για µεγάλης διάστασης προβλή- µατα Ολικός CPU χρόνος για µεγάλης διάστασης προβλήµατα Προφίλ απόδοσης των CMBFGS και LBFGS, σε 1000 διαστάσεις Προφίλ απόδοσης των CMBFGS και LBFGS, σε διαστάσεις Προφίλ απόδοσης των CMBFGS και LBFGS, σε διαστάσεις Προφίλ απόδοσης αριθµού συναρτησιακών υπολογισµών και υπολογισµών κλίσεων για το πρόβληµα του καρκίνου του µαστού Προφίλ απόδοσης αριθµού συναρτησιακών υπολογισµών και υπολογισµών κλίσεων για το πρόβληµα του διαβήτη Προφίλ απόδοσης αριθµού συναρτησιακών υπολογισµών και υπολογισµών κλίσεων για το SPECT πρόβληµα καρδιάς Προφίλ απόδοσης αριθµού συναρτησιακών υπολογισµών και υπολογισµών κλίσεων για το πρόβληµα της αυστραλιανής έγκρισης πίστωσης Προφίλ απόδοσης αριθµού συναρτησιακών υπολογισµών και υπολογισµών κλίσεων για το πρόβληµα των κολοβακτηριδίων Προφίλ απόδοσης αριθµού συναρτησιακών υπολογισµών και υπολογισµών κλίσεων για το πρόβληµα της µαγιάς

17 Κατάλογος Αλγορίθµων 1.1 Ο αλγόριθµος της κατά Cholesy παραγοντοποίησης πινάκων Η µέθοδος Newton Μέθοδος γραµµικής αναζήτησης Ο αλγόριθµος καµπυλόγραµµης αναζήτησης του Goldfarb Γενικός Αλγόριθµος περιοχής εµπιστοσύνης Η µέθοδος Newton στην τυπική περίπτωση Ο αλγόριθµος των Moré & Sorensen για την επίλυση του ΥΠΕ Υπολογισµός του δοκιµαστικού ϐήµατος Ο αλγόριθµος CMBFGS

18

19 Κατάλογος Πινάκων 3.1 Απαιτούµενα εσωτερικά γινόµενα Απαιτούµενα διανύσµατα και εσωτερικά γινόµενα για τον υπολογισµό του ιδιοδιανύσµατος στη BFGS ενηµέρωση ε- λάχιστης µνήµης Απαιτούµενα διανύσµατα και εσωτερικά γινόµενα για τον υπολογισµό του ιδιοδιανύσµατος στη DFP ενηµέρωση ελάχιστης µνήµης Απαιτούµενα διανύσµατα και εσωτερικά γινόµενα για τον υπολογισµό του ιδιοδιανύσµατος στην PSB ενηµέρωση ελάχιστης µνήµης Τυπική περίπτωση : επιτυχώς λυµένα στιγµιότυπα Τυπική περίπτωση : λυµένα στιγµιότυπα στην LSTRS Τυπική περίπτωση : λυµένα στιγµιότυπα στην GQTPAR Τυπική περίπτωση : συγκεντρωτικά αποτελέσµατα ως προς τον αριθµό των επαναλήψεων στα επιτυχώς λυµένα στιγµιότυπα Τυπική περίπτωση : αναλυτικά αποτελέσµατα ως προς τον αριθµό των επαναλήψεων στα επιτυχώς λυµένα στιγµιότυπα Τυπική περίπτωση : συγκεντρωτικά αποτελέσµατα ως προς την ακρίβεια λύσης στα επιτυχώς λυµένα στιγµιότυπα Τυπική περίπτωση : αναλυτικά αποτελέσµατα ως προς την ακρίβεια λύσης στα επιτυχώς λυµένα στιγµιότυπα Τυπική περίπτωση : συγκεντρωτικά αποτελέσµατα ως προς τη σχετική ακρίβεια λύσης στα επιτυχώς λυµένα στιγµιότυπα Τυπική περίπτωση : αναλυτικά αποτελέσµατα ως προς τη σχετική ακρίβεια λύσης στα επιτυχώς λυµένα στιγµιότυπα ύσκολη περίπτωση : επιτυχώς λυµένα στιγµιότυπα

20 6.11 ύσκολη περίπτωση : επιτυχώς λυµένα στιγµιότυπα στην LSTRS ύσκολη περίπτωση : συγκεντρωτικά αποτελέσµατα ως προς τον αριθµό των επαναλήψεων στα επιτυχώς λυµένα στιγµιότυπα ύσκολη περίπτωση : αναλυτικά αποτελέσµατα ως προς τον αριθµό των επαναλήψεων στα επιτυχώς λυµένα στιγµιότυπα ύσκολη περίπτωση : συγκεντρωτικά αποτελέσµατα ως προς την ακρίβεια λύσης στα επιτυχώς λυµένα στιγµιότυπα ύσκολη περίπτωση : αναλυτικά αποτελέσµατα ως προς την ακρίβεια λύσης στα επιτυχώς λυµένα στιγµιότυπα ύσκολη περίπτωση : συγκεντρωτικά αποτελέσµατα ως προς τη σχετική ακρίβεια λύσης στα επιτυχώς λυµένα στιγµιότυπα ύσκολη περίπτωση : αναλυτικά αποτελέσµατα ως προς τη σχετική ακρίβεια λύσης στα επιτυχώς λυµένα στιγµιότυπα Τυπική περίπτωση : Συγκριτικά αποτελέσµατα για n = 100 σε 4000 στιγµιότυπα Τυπική περίπτωση : Συγκριτικά αποτελέσµατα για n = 500 σε 4000 στιγµιότυπα Τυπική περίπτωση : Συγκριτικά αποτελέσµατα για n = σε 4000 στιγµιότυπα Τυπική περίπτωση : Συγκριτικά αποτελέσµατα για n = σε 4000 στιγµιότυπα Τυπική περίπτωση : Συγκριτικά αποτελέσµατα για n = σε 4000 στιγµιότυπα Τυπική περίπτωση : Συγκριτικά αποτελέσµατα για n = σε 4000 στιγµιότυπα ύσκολη Περίπτωση : Συγκριτικά αποτελέσµατα για n = 100 σε 3000 στιγµιότυπα ύσκολη Περίπτωση : Συγκριτικά αποτελέσµατα για n = 500 σε 3000 στιγµιότυπα ύσκολη Περίπτωση : Συγκριτικά αποτελέσµατα για n = σε 3000 στιγµιότυπα Συγκριτικά αποτελέσµατα για την τυπική περίπτωση (m = 1), 100 στιγµιότυπα ανά διάσταση

21 6.28 Συγκριτικά αποτελέσµατα για τη δύσκολη περίπτωση (m = 1), 100 στιγµιότυπα ανά διάσταση Συγκριτικά αποτελέσµατα για την τυπική περίπτωση (m = 2), 100 στιγµιότυπα ανά διάσταση Συγκριτικά αποτελέσµατα για τη δύσκολη περίπτωση (m = 2), 100 στιγµιότυπα ανά διάσταση Συγκριτικά αποτελέσµατα για µεγάλης διάστασης ΥΠΕ (m = 1), 100 στιγµιότυπα ανά διάσταση Συγκριτικά αποτελέσµατα για µεγάλης διάστασης ΥΠΕ (m = 2), 100 στιγµιότυπα ανά διάσταση Προβλήµατα ϐελτιστοποίησης Συγκριτικά αποτελέσµατα για µεσαίας διάστασης προβλή- µατα Συγκριτικά αποτελέσµατα για n = Συγκριτικά αποτελέσµατα για n = Συγκριτικά αποτελέσµατα για n = Ποσότητες υπολογισµού της p +1 όταν τα s, y είναι γραµ- µικά ανεξάρτητα Ποσότητες υπολογισµού της p +1 όταν τα s, y είναι γραµ- µικά εξαρτηµένα Σύνολο απαιτούµενων διανυσµάτων και εσωτερικών γινοµένων για τον υπολογισµό της p Ποσότητες υπολογισµού της d +1 όταν τα s, y είναι γραµ- µικά ανεξάρτητα Ποσότητες υπολογισµού της d +1 όταν τα s, y είναι γραµ- µικά εξαρτηµένα Σύνολο απαιτούµενων διανυσµάτων και εσωτερικών γινοµένων για τον υπολογισµό της d όταν y κs Σύνολο απαιτούµενων διανυσµάτων και εσωτερικών γινοµένων για τον υπολογισµό της d +1 όταν y = κs Προβλήµατα Αποτυχίες για n = Αποτυχίες για n = Αποτυχίες για n =

22 8.5 Ολικός CPU χρόνος για τα επιτυχώς λυµένα προβλήµατα και συνολικές αποτυχίες σε όλες τις διαστάσεις Συνολικός αριθµός υπολογιζόµενων κλίσεων αρνητικής καµπυλότητας στα επιτυχώς λυµένα προβλήµατα Αρχιτεκτονικές νευρωνικών δικτύων Απόδοση γενίκευσης (%) νευρωνικών δικτύων χρησιµοποιώντας τη CMBFGS µέθοδο Απόδοση γενίκευσης (%) νευρωνικών δικτύων χρησιµοποιώντας την LBFGS µέθοδο

23 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Εισαγωγή Στο εισαγωγικό αυτό κεφάλαιο δίνουµε ϐασικές έννοιες της ϐελτιστοποίησης µη γραµµικών συναρτήσεων, καθώς και στοιχεία γραµµικής άλγε- ϐρας, τα οποία είναι απαραίτητα για την παρουσίαση των µεθόδων ϐελτιστοποίησης που διαπραγµατεύεται η παρούσα διατριβή. Για περισσότερη ϑεωρητική µελέτη ο αναγνώστης µπορεί να ανατρέξει σε κλασσικά συγγράµµατα [14, 29, 68, 71, 84] που µελετούν ενδελεχώς την εν λόγω περιοχή. 1.1 Το πρόβληµα της ϐελτιστοποίησης Η ϐελτιστοποίηση είναι ένας νέος κλάδος των Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών, των Υπολογιστικών Μαθηµατικών και της Επιχειρησιακής Ερευνας. Προβλήµατα ϐελτιστοποίησης απαντώνται σε πολλά επιστηµονικά πεδία, όπως στις Φυσικές επιστήµες, στην Οικονοµία και τη Μηχανική, καθώς και σε ϑέµατα που αφορούν στρατιωτικές και διαστηµικές τεχνολογίες. Αν και η ϐελτιστοποίηση χρονολογείται από πολύ παλιά, δεν αποτελούσε ανεξάρτητο πεδίο έρευνας µέχρι τα τέλη του 1940, όπου ο G.B. Dantzig [26] παρουσίασε τον γνωστό αλγόριθµο Simplex για προβλήµατα γραµµικού προγραµµατισµού. Στα τέλη της δεκαετίας του 1950, η ϑεµελίωση και εφαρµογή των µεθόδων συζυγών κλίσεων καθώς και των Quasi-Newton µεθόδων, αποτέλεσε εφαλτήριο ανάπτυξης του µη γραµ- µικού προγραµµατισµού, ως ανεξάρτητο πεδίο έρευνας. Στις µέρες µας, υπάρχουν µέθοδοι ϐελτιστοποίησης που µπορούν να λύσουν δύσκολα και µεγάλης κλίµακας προβλήµατα, µε αποτέλεσµα η ϐελτιστοποίηση να α- ποτελεί απαραίτητο εργαλείο σε διάφορους τοµείς της επιστήµης. Η ϑεωρία και οι µέθοδοι ϐελτιστοποίησης ασχολούνται µε την εύρεση της ϐέλτιστης λύσης προβληµάτων που αναπαρίστανται µέσω ενός µαθη- µατικού µοντέλου (αιτιοκρατικό ή στοχαστικό). Η ανάπτυξη του µοντέλου

24 2 Εισαγωγή αποσκοπεί στην µετατροπή όλων των ϐασικών συνιστωσών του προβλήµατος σε µαθηµατικές ή/και λογικές σχέσεις. Οι πιο ϐασικές συνιστώσες είναι η αντικειµενική συνάρτηση και οι άγνωστοι ή µεταβλητές, ενώ πολλές ϕορές υπάρχει κι ένα σύνολο περιορισµών. Οι συµβολισµοί που χρησιµοποιούνται σε ένα µαθηµατικό πρόβληµα είναι οι ακόλουθοι : x είναι το διάνυσµα των µεταβλητών ή αγνώστων. f(x) είναι η αντικειµενική συνάρτηση. c(x) είναι η διανυσµατική συνάρτηση των περιορισµών που πρέπει να ικανοποιούν οι µεταβλητές. εδοµένου ότι ένα πρόβληµα µεγιστοποίησης είναι ισοδύναµο µε ένα πρό- ϐληµα ελαχιστοποίησης (max x f(x) = min x f(x)), στη συνέχεια µε τον όρο ϐελτιστοποίηση ϑα εννοούµε την ελαχιστοποίηση της αντικειµενικής συνάρτησης f. Συνεπώς, ένα πρόβληµα ϐελτιστοποίησης έχει τη γενική µορφή min f(x), (1.1) x D όπου x R n είναι το διάνυσµα των µεταβλητών, f(x) η αντικειµενική συνάρτηση και D R n η εφικτή περιοχή που προκύπτει από το σύνολο περιορισµών του προβλήµατος. Στην περίπτωση όπου η εφικτή περιοχή είναι όλο το R n, δηλαδή D = R n, το πρόβληµα ϐελτιστοποίησης (1.1) ονο- µάζεται πρόβληµα ϐελτιστοποίησης χωρίς περιορισµούς και έχει τη γενική µορφή min f(x). x R n Στην αντίθετη περίπτωση, όπου D R n, η γενική µορφή ενός προβλήµατος ϐελτιστοποίησης µε περιορισµούς, είναι η ακόλουθη : min f(x) x R n υπό τους περιορισµούς { c i (x) = 0, i E; c i (x) 0, i I, όπου E και I είναι τα σύνολα δεικτών των περιορισµών ισότητας (equalities) και ανισότητας (inequalities), αντίστοιχα και όπου c i (x), i E I, είναι οι συναρτήσεις των περιορισµών (constraints). Οταν τόσο η αντικειµενική συνάρτηση f(x), όσο και οι περιορισµοί c i (x) είναι γραµµικές συναρτήσεις, τότε το πρόβληµα ϐελτιστοποίησης ονοµάζεται γραµµικό. Σε αντίθετη

25 1.2 Μαθηµατικό υπόβαθρο 3 περίπτωση, το πρόβληµα καλείται µη γραµµικό. Εν γένει, για την επίλυση του προβλήµατος (1.1) εφαρµόζονται επαναληπτικές διαδικασίες (αλγόριθµοι) οι οποίες ξεκινούν µε µια αρχική εκτίµηση της λύσης και δηµιουργούν µια ακολουθία από συνεχώς ϐελτιω- µένες εκτιµήσεις της, έως ότου ϕτάσουν στη ϐέλτιστη λύση. Κάθε τέτοιος αλγόριθµος ϑα πρέπει να εγγυάται ότι η ακολουθία των επαναλήψεων που δηµιουργούνται από αυτόν, συγκλίνει στη ϐέλτιστη λύση του εκάστοτε προβλήµατος. Αυτή η απαίτηση ικανοποιείται µέσω της ϑεωρίας σύγκλισης της µαθηµατικής µεθόδου που υλοποιεί ο αλγόριθµος. Ο έλεγχος ϐελτιστότητας της παραγόµενης λύσης επιτυγχάνεται εφόσον ικανοποιούνται ικανές και αναγκαίες συνθήκες, γνωστές ως συνθήκες ϐελτιστότητας. Επιπλέον, η µη ικανοποίηση των συνθηκών ϐελτιστότητας στην τρέχουσα επανάληψη, συνάγει χρήσιµες πληροφορίες για τον εκάστοτε αλγόριθµο προκειµένου να ϐελτιώσει την τρέχουσα εκτίµηση της λύσης. Η στρατηγική που χρησιµοποιείται για την αναζήτηση της ϐέλτιστης λύσης ανά επανάληψη, χαρακτηρίζει το είδος του αλγορίθµου (π.χ., γραµ- µική αναζήτηση, καµπυλόγραµµη αναζήτηση, κτλ.). Η πλειονότητα των στρατηγικών αναζήτησης χρησιµοποιούν τις τιµές της αντικειµενικής συνάρτησης, των περιορισµών, αν υπάρχουν, και πιθανώς της πρώτης και δεύτερης τάξης παραγώγου, προκειµένου να ορίσουν το επόµενο σηµείο της ακολουθίας των επαναλήψεων. Επίσης, πρέπει να σηµειωθεί ό- τι µερικοί αλγόριθµοι χρησιµοποιούν πληροφορία καµπυλότητας της α- ντικειµενικής συνάρτησης από προηγούµενες επαναλήψεις (π.χ., Quasi- Newton µέθοδοι), προκειµένου να προσδιορίσουν την κατεύθυνση αναζήτησής τους, εντός του εφικτού χωρίου D. 1.2 Μαθηµατικό υπόβαθρο Στη συνέχεια παρατίθενται οι ϐασικές έννοιες που απαιτούνται για τη µελέτη των µεθόδων ϐελτιστοποίησης που προτείνουµε στην παρούσα διατριβή, δηλαδή στοιχεία γραµµικής άλγεβρας και πραγµατικής ανάλυσης. Οι έννοιες αυτές αποτελούν τα ϑεµελιώδη εργαλεία για την ανάλυση και την υλοποίηση των αλγορίθµων ϐελτιστοποίησης. Επίσης, χρησιµοποιούνται τόσο στον έλεγχο ϐελτιστότητας της λύσης, όσο και στη ϑεωρία σύγκλισης των αλγορίθµων. Οι αποδείξεις των ϑεωρηµάτων που αναφέρονται µπο- ϱούν να ϐρεθούν στις αναφορές που παρατέθηκαν στην αρχή αυτού του

26 4 Εισαγωγή κεφαλαίου ιανύσµατα και πίνακες Στη συνέχεια, το σύµβολο R n ϑα υποδηλώνει τον πραγµατικό Ευκλείδειο n-διάστατο χώρο των διανυσµάτων x = x 1 x 2. x n, όπου κάθε x i, µε i = 1,..., n, είναι η i-συνιστώσα του διανύσµατος x. Για κάθε x R n, ϑα συµβολίζουµε µε x T το ανάστροφο διάνυσµα του x, δηλαδή τον πίνακα γραµµή x T = (x 1, x 2,..., x n ). Ορισµός 1.1. Εστω τα διανύσµατα x, y R n. Το εσωτερικό γινόµενο των x και y, ορίζεται ως n x T y = x i y i. i=1 Αν το εσωτερικό γινόµενο είναι µηδέν, δηλαδή x T y = 0, τότε τα διανύσµατα x και y καλούνται ορθογώνια. Μία ορθογώνια διάταξη µε m γραµµές και n στήλες και πλήθος στοιχείων m n, λέγεται m n πίνακας. Ενας πραγµατικός m n πίνακας A R m n, έχει τη µορφή a 11 a a 1n A = a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn, και δηλώνεται µε A = (a ij ). Ο ανάστροφος πίνακας, A T, είναι ένας n m πίνακας στον οποίον έχουν αντιστραφεί οι στήλες µε τις γραµµές του A. Ο αντίστροφος πίνακας του A (αν υπάρχει) ϑα συµβολίζεται µε A 1. Ο Moore-Penrose ψευδοαντίστροφος ή γενικευµένος αντίστροφος, του πίνακα

27 1.2 Μαθηµατικό υπόβαθρο 5 A, συµβολίζεται µε A και ορίζεται ως A = A T (AA T ) 1. Ο µοναδιαίος πίνακας ορίζεται ως I = Ενας πίνακας n n ονοµάζεται τετραγωνικός. Αν για ένα τετραγωνικό πίνακα ισχύει A T = A, τότε ο A ονοµάζεται συµµετρικός. Ενας συµµετρικός πίνακας έχει µόνο πραγµατικές ιδιοτιµές, ενώ τα ιδιοδιανύσµατά του µπορούν να επιλεγούν ορθοκανονικά. πίνακας A ονοµάζεται ορθογώνιος αν AA T = A T A = I. Ενας τετραγωνικός πραγµατικός Ενας πίνακας A για τον οποίο ισχύει a ij = 0, όταν i j καλείται διαγώνιος και συµβολίζεται ως a a A = diag(a 11,..., a nn ) = a nn Ο πίνακας A λέγεται τριδιαγώνιος αν ισχύει a ij = 0, για i j > 1, άνω τριγωνικός αν ισχύει ότι a ij = 0, για j < i και κάτω τριγωνικός αν a ij = 0, για j > i. Ορισµός 1.2. Εστω συµµετρικός πίνακας A R n n. Ο πίνακας A ονο- µάζεται ϑετικά ορισµένος (A > 0) αν xa T x > 0 για κάθε x R n, µε x 0. Ο πίνακας A λέγεται ϑετικά ηµιορισµένος (A 0) αν ισχύει xa T x 0 για κάθε x R n. Ο πίνακας A είναι αρνητικά ορισµένος (A < 0) ή αρνητικά ηµιορισµένος (A 0), αν ο A είναι ϑετικά ορισµένος ή ϑετικά ηµιορισµένος, αντίστοιχα. Ο πίνακας A ονοµάζεται αόριστος αν δεν είναι ούτε ϑετικά και ούτε αρνητικά ηµιορισµένος (έχει και ϑετικές και αρνητικές ιδιοτιµές). Ορισµός 1.3. Μια µετρική ή νόρµα διανύσµατος x R n είναι µια πραγ- µατική συνάρτηση από τον R n στον R µε τις ακόλουθες ιδιότητες :

28 6 Εισαγωγή 1. x 0 για όλα τα x R n και x = 0 αν και µόνο αν x = 0, 2. ax = a x για όλα τα a R και x R n, 3. x + y x + y για όλα τα x, y R n. Πολύ γνωστές νόρµες είναι οι l p -νόρµες, οι οποίες ορίζονται ως ( n x p = i=1 x i p ) 1/p, 1 p <. Οι συνηθέστερες από αυτές είναι οι ακόλουθες : 1. η l 1 -νόρµα, x 1 = n i=1 x i, 2. η l 2 -νόρµα ή Ευκλείδεια νόρµα, x 2 = ( n i=1 x i 2) 1/2 = x T x, 3. η άπειρη νόρµα, x = max 1 i n x i. Ολες οι µετρικές στον R n είναι ισοδύναµες, µε την έννοια ότι κάθε µία είναι άνω και κάτω ϕραγµένη από ένα πολλαπλάσιο των άλλων. Συγκεκριµένα, για τις τρεις παραπάνω νόρµες, ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις : x x 2 x 1, x 1 n x 2 και x 2 n x. Ακόµα, για τη Ευκλείδεια νόρµα ισχύει η ανισότητα Cauchy-Schwarz: x T y x 2 y 2, για όλα τα x, y R n. Τέλος, για το εσωτερικό γινόµενο δύο µη µηδενικών διανυσµάτων x, y R n, ισχύει ότι x T y = x y cos θ, όπου θ η γωνία που σχηµατίζουν τα διανύσµατα x, y. Ορισµός 1.4. Μια µετρική ή νόρµα πίνακα ενός m n πίνακα A, η οποία συµβολίζεται µε A, είναι µια συνάρτηση από τον R m n στον R µε τις ακόλουθες ιδιότητες : 1. A 0 για όλους τους πίνακες A R m n και A = 0 αν και µόνο αν A = 0,

29 1.2 Μαθηµατικό υπόβαθρο 7 2. aa = a A για όλα τα a R και για όλους τους πίνακες A R m n, 3. A + B A + B για όλους τους πίνακες A, B R m n. Οι γνωστές νόρµες πίνακα είναι η Frobenius νόρµα και οι l p -νόρµες m A F = i=1 j=1 n a ij 2 A p = max Ax Ax p p = max, x p=1 x 0 x p όπου για p = 1, 2 και, έχουµε αντίστοιχα ότι m A 1 = max a ij, 1 j n i=1 A 2 = λ max (A T A), όπου λ max ( ) η µεγαλύτερη ιδιοτιµή του A, n A = max 1 j m a ij. i= Ακολουθίες και ϱυθµοί σύγκλισης. Μια ακολουθία διανυσµάτων {x } στον R n λέγεται ότι συγκλίνει στο σηµείο x R n, αν ισχύει ότι lim x x = 0. Λέµε ότι το x R n είναι σηµείο συσσώρευσης ή οριακό σηµείο µιας ακολουθίας {x } αν υπάρχει µια άπειρη υπακολουθία ακεραίων 1, 2,... τέτοια ώστε lim x i = x. i Μια ακολουθία πινάκων {A } λέµε ότι συγκλίνει στον A, αν ισχύει ότι lim A A = 0.

30 8 Εισαγωγή Η µετρική που χρησιµοποιείται δεν παίζει ϱόλο στη σύγκλιση ακολουθιών, γιατί όλες οι µετρικές που χρησιµοποιούνται σε πεπερασµένης διάστασης χώρους είναι ισοδύναµες. Ο ϱυθµός σύγκλισης αποτελεί ένα µέτρο εκτίµησης της ταχύτητα σύγκλισης µιας ακολουθίας. Το µαθηµατικό αυτό µέτρο υπολογίζει την υ- πολογιστική αποδοτικότητα ενός επαναληπτικού αλγορίθµου. Ενας από τους πιο αποτελεσµατικούς τρόπους αξιολόγησης του ϱυθµού σύγκλισης, είναι να κάνουµε σύγκριση ανάµεσα στην πρόοδο που έχουµε σε κάθε ϐή- µα ενός αλγορίθµου, µε την πρόοδο που είχαµε στο προηγούµενο ϐήµα. Λέµε ότι µια ακολουθία έχει τάξη σύγκλισης r, µε r 1, στο x αν α x +1 x x x r β, µε α, β > 0. Συγκεκριµένα, όταν r = 1 ο ϱυθµός σύγκλισης λέγεται γραµµικός. Οταν r = 2, έχουµε σύγκλιση 2ης τάξεως, η οποία ονοµάζεται τετραγωνική σύγκλιση. Επίσης, αν ισχύει ότι x +1 x lim x x = 0, ο ϱυθµός σύγκλισης ονοµάζεται υπεργραµµικός Υπόχωροι. οθέντος του Ευκλείδειου χώρου R n, το υποσύνολο S R n είναι ένας υπόχωρος του R n όταν αx+βy S, για όλα τα α, β R και για κάθε x, y S. Για κάθε υπόχωρο S R n, τα διανύσµατα s 1, s 2,..., s m που ανήκουν στον S καλούνται γραµµικά ανεξάρτητα αν δεν υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί α 1, α 2,..., α m, τέτοιοι ώστε α 1 s 1 +α 2 s α m s m = 0, εκτός αν α 1 = α 2 =... = 0. Για κάθε υπόχωρο S R n, τα διανύσµατα s 1, s 2,..., s m που ανήκουν στον S ονοµάζονται γραµµικά εξαρτηµένα αν υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί α 1, α 2,..., α m, όχι όλοι µηδέν, τέτοιοι ώστε α 1 s 1 + α 2 s α m s m = 0. Ισοδύναµα, ένα από τα διανύσµατα s i, i = 1,..., m είναι γραµµικός συνδυασµός των άλλων. Η τάξη ενός πίνακα A συµβολίζεται µε rana και είναι ο µεγαλύτερος αριθµός στηλών του πίνακα που συνιστούν ένα γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο Ο τύπος των Sherman-Morrison-Woodbury. Αν ένας αντιστρέ-

31 1.2 Μαθηµατικό υπόβαθρο 9 ψιµος τετραγωνικός πίνακας A R n n επιδέχεται µια ενηµέρωση πρώτης τάξης, της µορφής Ā = A + ab T, όπου a, b R n, τότε αν ο Ā είναι και αυτός αντιστρέψιµος και ισχύει ότι Ā 1 = A 1 A 1 ab T A b T A 1 a. Ο παραπάνω τύπος µπορεί να επεκταθεί και για µεγαλύτερης τάξης ενη- µερώσεις. Πράγµατι, αν U, C και V πίνακες διάστασης n, και n, αντίστοιχα. Τότε, (A + UCV ) 1 = A 1 A 1 U ( C 1 + V A 1 U ) 1 V T A 1. (1.2) Ο τύπος (1.2), είναι γνωστός ως τύπος των Sherman-Morrison-Woodbury Η κατά Cholesy παραγοντοποίηση πινάκων. Η παραγοντοποίηση πινάκων είναι σηµαντική στο σχεδιασµό και την ανάλυση αλγορίθ- µων. Οι αλγόριθµοι ϐελτιστοποίησης µη γραµµικών συναρτήσεων σχεδόν πάντα απαιτούν να λυθεί τουλάχιστον ένα γραµµικό σύστηµα n εξισώσεων µε n αγνώστους, της µορφής Ax = b, όπου A R n n, b R n και x R n το διάνυσµα των αγνώστων. Στην παραγοντοποίηση πινάκων, η ϐασική ιδέα για να λύσουµε αριθµητικά το γραµµικό σύστηµα, είναι η εξής : αναλύουµε τον πίνακα A σε γινόµενο πινάκων, δηλαδή, A = A 1 A 2... A m και στη συνέχεια λύνουµε τα επιµέρους γραµµικά συστήµατα A 1 b 1 = b A 2 b 2 = b 1. A m b m = b m 1,

32 10 Εισαγωγή οπότε το x = b m είναι η λύση του αρχικού γραµµικού συστήµατος Ax = b. Ενας πολύ γνωστός τρόπος παραγοντοποίησης συµµετρικών πινάκων που χρησιµοποιείται για την αριθµητική επίλυση γραµµικών συστηµάτων της µορφής Ax = b, είναι η κατά Cholesy παραγοντοποίηση. Οταν ο πίνακας A R n n είναι συµµετρικός και ϑετικά ορισµένος, τότε µπορεί να αναλυθεί ως A = LL T, όπου L είναι ένας κάτω τριγωνικός πίνακας. Πρέπει να σηµειωθεί ότι στην περίπτωση όπου ο L έχει ϑετικά διαγώνια στοιχεία, ορίζεται µονοσήµαντα. Αφού παραγοντοποιήσουµε τον A = LL T, λύνουµε το σύστηµα Ly = b ως προς y και τέλος λύνουµε το σύστηµαl T x = y, ως προς x. Ο Αλγόριθµος 1.1 αναφέρεται µόνο στα κάτω τριγωνικά στοιχεία του A, αφού λόγω συµµετρίας του πίνακα, αρκεί να αποθηκευτούν µόνο αυτά. Αλγόριθµος 1.1 Ο αλγόριθµος της κατά Cholesy παραγοντοποίησης πινάκων οθέντος συµµετρικού και ϑετικά ορισµένου πίνακα A R n n κάνε : για i = 1, 2,..., n; Θέσε l ii το a ii ; για j = i + 1, i + 2,..., n Θέσε l ji το a ji /l ii ; τέλος για = i + 1, i + 2,..., j Θέσε a j το a j l ji l i ; τέλος τέλος Ιδιοτιµές και ιδιοδιανύσµατα Σε αυτή την ενότητα δίνουµε τις ϐασικές ιδιότητες των ιδιοτιµών και των ιδιοδιανυσµάτων, τις οποίες ϑα χρησιµοποιήσουµε στη συνέχεια. Οι αποδείξεις των ϑεωρηµάτων που αναφέρονται µπορούν να ϐρεθούν στις ανα- ϕορές που παρατέθηκαν στην αρχή αυτού του κεφαλαίου.

33 1.2 Μαθηµατικό υπόβαθρο 11 Ορισµός 1.5. Μια ϐαθµωτή ποσότητα λ ονοµάζεται ιδιοτιµή ενός n n πίνακα A, αν υπάρχει µη µηδενικό n-διάστατο διάνυσµα u, τέτοιο ώστε Au = λu. Το διάνυσµα u ονοµάζεται ιδιοδιάνυσµα του A που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ. Ο αριθµός λ είναι µία ιδιοτιµή του A, αν και µόνο αν p(λ) det (A λi) = 0. Το σύνολο όλων των ιδιοτιµών του A καλείται ϕάσµα του A. Ενας πίνακας είναι µη ιδιάζον (οµαλός) αν όλες οι ιδιοτιµές του είναι διάφορες του µηδενός. Αντίθετα, ιδιάζον λέγεται όταν τουλάχιστον µία ιδιοτιµή του ισούται µε µηδέν. Για τους ιδιάζοντες πίνακες µπορούµε να υπολογίσου- µε µόνο τον γενικευµένο ψευδοαντίστροφο A, γιατί ο A 1 δεν ορίζεται. Με άλλα λόγια, ο ιδιάζον πίνακας δεν αντιστρέφεται. Αν (λ, u) είναι ένα ιδιοζεύγος ενός µη ιδιάζον πίνακα A, τότε το (1/λ, u) είναι το αντίστοιχο ι- διοζεύγος του A 1. Επιπλέον, αν (λ, u) είναι ένα ιδιοζεύγος του πίνακα A, τότε το (λ + µ, u) είναι ένα ιδιοζεύγος του πίνακα A + µi, όπου µ ϐαθµωτό µέγεθος. Στη συνέχεια συνοψίζουµε τις ϐασικές ιδιότητες που ισχύουν για συµµετρικούς πίνακες και τις οποίες ϑα χρειαστούµε στη συνέχεια. Εστω A R n n συµµετρικός πίνακας. Τότε : όλες οι ιδιοτιµές του είναι πραγµατικές, είναι ϑετικά ορισµένος, αν και µόνο αν όλες οι ιδιοτιµές του είναι ϑετικές, είναι ϑετικά ηµιορισµένος, αν και µόνο αν όλες οι ιδιοτιµές του είναι µη αρνητικές, είναι αρνητικά ορισµένος, αν και µόνο αν όλες οι ιδιοτιµές του είναι αρνητικές, είναι αρνητικά ηµιορισµένος, αν και µόνο αν όλες οι ιδιοτιµές του είναι µη ϑετικές, είναι αόριστος, αν και µόνο αν έχει τόσο ϑετικές, όσο και αρνητικές ιδιοτιµές.

34 12 Εισαγωγή Για συµµετρικό πίνακα A, η ϕασµατική του ανάλυση είναι : A = n λ i u i u T i, i=1 όπου λ 1 λ 2... λ n είναι οι n πραγµατικές ιδιοτιµές του και u 1, u 2,..., u n τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα. Αυτή η ανάλυση µπορεί να επαναδιατυπωθεί ορίζοντας τους πίνακες U και Λ, όπου ο U είναι ο πίνακας των ιδιοδιανυσµάτων του A και Λ = diag(λ 1, λ 2,..., λ n ). Τότε, A = UΛU T. Για ϑετικά ορισµένους συµµετρικούς πίνακες έχουµε ότι A 2 = λ n, όπου λ n η µεγαλύτερη ιδιοτιµή του πίνακα A και A 1 2 = 1/λ 1, όπου λ 1 η µικρότερη ιδιοτιµή του A. Εστω A συµµετρικός πίνακας και x R n µια καλή προσέγγιση ενός ιδιοδιανύσµατος του A. Η ακόλουθη ποσότητα R = xt Ax x T x ονοµάζεται ποσότητα Rayleigh και είναι µια καλή προσέγγιση της ιδιοτι- µής που αντιστοιχεί στο x. Εστω A τετραγωνικός πίνακας µε ιδιοτιµές λ 1, λ 2,..., λ n. Τότε, το ίχνος του συµβολίζεται µε tr(a) και ορίζεται ως το άθροισµα των διαγώνιων στοιχείων του, δηλαδή tr(a) = n α ii. Επίσης, το ίχνος ισούται µε το άθροισµα των ιδιοτιµών του A, δηλαδή, i=1 tr(a) = n λ i. i=1 Οι ιδιότητες του ίχνους που ϑα ϕανούν χρήσιµες στην ανάλυσή µας, είναι

35 1.2 Μαθηµατικό υπόβαθρο 13 οι ακόλουθες : tr(a) = tr(a T ) (1.3) tr(aa + bb) = a tr(a) + b tr(b) (1.4) tr(uv T ) = tr(u T v), (1.5) όπου A, B τετραγωνικοί πίνακες, a, b ϐαθµωτά µεγέθη και u, v n-διάστατα διανύσµατα. Η ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα A συµβολίζεται µε det(a) και ισούται µε το γινόµενο των ιδιοτιµών του, δηλαδή n det(a) = λ i. i=1 Οι ιδιότητες των οριζουσών που ϑα χρειαστούµε, είναι οι ακόλουθες : det(a T ) = det(a) (1.6) det(ab) = det(a) det(b) (1.7) det(i + xy T + uv T ) = (1 + y T x)(1 + v T u) (x T v)(y T u), (1.8) όπου A, B τετραγωνικοί πίνακες και x, y, u και v, n-διάστατα διανύσµατα. Τέλος, το πολυώνυµο p(λ) = det (A λi) ονοµάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A, ενώ η εξίσωση p(λ) = 0, ονοµάζεται χαρακτηριστική εξίσωση του A. Μέσω της χαρακτηριστικής εξίσωσης, µπορούµε να υπολογίσουµε τις ιδιοτιµές του A. Το παρακάτω ϑεώρηµα είναι γνωστό ως ϑεώρηµα Cayley-Hamilton και δηλώνει ότι ο πίνακας A ικανοποιεί τη χαρακτηριστική του εξίσωση, δηλαδή ο πίνακας p(a) είναι ο µηδενικός πίνακας. Θεώρηµα 1.1. (Cayley-Hamilton) Ενας τετραγωνικός πίνακας A ικανοποιεί τη χαρακτηριστική του εξίσωση δηλαδή, αν A R n n και p(λ) το χαρακτηριστικό του πολυώνυµο, τότε p(a) = 0. Το µικρότερου ϐαθµού πολυώνυµο q(λ) για το οποίο ισχύει q(a) = 0, ονοµάζεται ελάχιστο πολυώνυµο του A.

36 14 Εισαγωγή Θεώρηµα 1.2. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο p(λ) του A διαιρείται µε το ελάχιστο πολυώνυµο q(λ). Επίσης, αν λ ιδιοτιµή του A, τότε q(λ) = 0 και αντίστροφα. Το επόµενο ϑεώρηµα είναι γνωστό ως ϑεώρηµα του Wilinson [88] ή ϑεώ- ϱηµα συνδιαπλοκής ιδιοτιµών (interlacing theorem). ηλώνει ότι αν ένας πίνακας A ενηµερωθεί από έναν πίνακα πρώτης τάξης, τότε οι ιδιοτιµές του αρχικού και του ενηµερωµένου πίνακα συνδιαπλέκονται µεταξύ τους. Θεώρηµα 1.3. ( ϑεώρηµα συνδιαπλοκής ιδιοτιµών) Εστω A ένας n n συµµετρικός πίνακας µε ιδιοτιµές λ n λ n 1... λ 1. Επίσης, έστω v R n διάνυσµα, σ ϐαθµωτό µέγεθος και A = A+σvv T συµµετρικός πίνακας µε ιδιοτιµές λ n λ n 1... λ 1, ο οποίος διαφέρει κατά ένα πίνακα πρώτης τάξης από τον A. Τότε οι ιδιοτιµές τους λ i και λ i, µε i = 1, 2,..., n, αντίστοιχα, συνδιαπλέκονται µεταξύ τους ως εξής : (1) αν σ > 0, τότε λ n λ n λ n 1 λ n 1... λ 1 λ 1; (2) αν σ < 0, τότε λ n λ n λ n 1 λ n 1... λ 1 λ 1. Σε πολλές µεθόδους ϐελτιστοποίησης που χρησιµοποιούνται για την επίλυση µη γραµµικών προβληµάτων, κατά τη διάρκεια της όλης διαδικασίας, είναι απαραίτητο να ϐρούµε ή έστω να προσεγγίσουµε κάποια ιδιοτιµή ενός πίνακα ή ένα ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί σε αυτή. Μια συνηθισµένη τακτική είναι να χρησιµοποιήσουµε επαναληπτικές µεθόδους, όπως είναι η µέθοδος της αντίστροφης δύναµης και η µέθοδος Lanczos, τις οποίες ϑα περιγράψουµε συνοπτικά στη συνέχεια Η µέθοδος της αντίστροφης δύναµης. Εστω ότι ϑέλουµε να υπολογίσουµε µια οποιαδήποτε διακεκριµένη ιδιοτιµή λ j ενός πίνακα A καθώς και το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα u j, δοθέντος ότι γνωρίζουµε µία καλή εκτίµηση λ της λ j. Τότε µπορούµε να εφαρµόσουµε τη µέθοδο της αντίστροφης δύναµης (inverse power method) ή αλλιώς αντίστροφης επανάληψης (inverse iteration method), η οποία προτάθηκε από τον Wielandt [87] και είναι µια γνωστή επαναληπτική µέθοδος για τον υπολογισµό ιδιοτιµών και ιδιοδιανυσµάτων. οθέντος ενός µη µηδενικού διανύσµατος u 0, η αντίστροφη επανάληψη δηµιουργεί µια ακολουθία διανυσµάτων u i, εφαρµόζοντας επαναληπτικά το σχήµα u i = ( A ˆλI ) 1 ui 1 u i 1, i 1

37 1.2 Μαθηµατικό υπόβαθρο 15 όπου ˆλ = λ + ɛ, ɛ 0 και λ είναι µια διακεκριµένη ιδιοτιµή του A ή µια καλή προσέγγισή της. Η ακολουθία των επαναλήψεων u i συγκλίνει σε ένα ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην λ. Συνήθως, το αρχικό διάνυσµα u 0 επιλέγεται να είναι το κανονικοποιηµένο διάνυσµα (1, 1,..., 1) T. Επιπλέον, η λύση u i κανονικοποιείται και αυτή. Αν λ είναι µια ακριβής ιδιοτιµή του πίνακα A και όχι µια προσέγγισή της, η µέθοδος συγκλίνει σε µία µόνο επανάληψη [52], παρέχοντας ένα κλειστό τύπο για το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα. Πράγµατι, η λύση (A ˆλI)u i = u i 1 / u i 1 είναι πολύ κοντά στην (A ˆλI)u i = 0, λόγω του ότι ο πίνακας A ˆλI είναι ιδιάζον. Ετσι έχουµε ότι Au i = ˆλu i λu i, που είναι ακριβώς αυτό που ϑέλουµε. Εποµένως, στη συγκεκριµένη περίπτωση, ο κλειστός τύπος υπολογισµού του ιδιοδιανύσµατος που αντιστοιχεί στη διακριτή ιδιοτιµή λ ενός πίνακα A R n n, είναι ο ακόλουθος : u = ( A ˆλI ) 1 (1, 1,..., 1) T. n Η µέθοδος Lanczos. Η µέθοδος Lanczos είναι µια επαναληπτική µέθοδος που εισήχθηκε από τον Lanczos, η οποία µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό των ιδιοτιµών και ιδιοδιανυσµάτων ενός πίνακα A. οθέντος ενός τετραγωνικού συµµετρικού πίνακα A και µοναδιαίου διανύσµατος v 1, η µέθοδος αυτή δηµιουργεί ταυτόχρονα έναν τριδιαγώνιο πίνακα T και έναν ορθοκανονικό πίνακα V, τέτοιους ώστε A = V T T V. Ο αλγόριθµος της µεθόδου µπορεί να συναχθεί εύκολα, ως ακολούθως : Εστω οι πίνακες α 1 β β 1 a T = β n β n 1 a n

38 16 Εισαγωγή και V = (v 1, v 2,..., v n ). Τότε από την εξίσωση V T AV = T έχουµε ότι Au j = α j v j + β j 1 v j 1 + β j v j+1, j = 1, 2,..., n 1, όπου β 0 v 0 = 0. Τα διανύσµατα v j ονοµάζονται διανύσµατα Lanczos Στοιχεία τοπολογίας Υποθέτουµε ότι είναι µια µετρική στον R n και έστω σηµείο x R n. Θεωρούµε ένα υποσύνολο S του R n. Ορίζουµε ως ανοιχτή σφαίρα ακτίνας ε και κέντρου x S, το σύνολο O ε (x) = {y y x < ε}. Το σύνολο S ονοµάζεται ανοιχτό στον R n αν για κάθε διάνυσµα x S υπάρχει ϐαθµωτό µέγεθος ε(x) > 0 τέτοιο ώστε O ε(x) (x) S. το κενό σύνολο όσο και ο R n είναι ανοιχτά σύνολα στον R n. Τόσο Επίσης η τοµή πεπερασµένου αριθµού ανοιχτών συνόλων, όπως επίσης και η ένωση αυθαίρετου αριθµού ανοιχτών συνόλων, είναι και αυτές ανοιχτά σύνολα. Ενα σύνολο S ονοµάζεται κλειστό στον R n αν και µόνο αν το συµπλή- ϱωµά του R n \ S, είναι ανοιχτό. Εποµένως, αµφότερα το κενό σύνολο και ο R n είναι κλειστά σύνολα στον R n. Η κλειστή σφαίρα ακτίνας ε γύρω από το x S, B ε (x) = {y y x ε}, είναι κλειστό σύνολο, καθώς είναι τα καρτεσιανά γινόµενα κλειστών διαστηµάτων της µορφής [a i, b i ]. Η ένωση πεπερασµένου πλήθους κλειστών συνόλων, όπως και η τοµή αυθαίρετου αριθµού κλειστών συνόλων, είναι επίσης κλειστά σύνολα. Ενα υποσύνολο S του R n λέγεται ϕραγµένο αν υπάρχει σταθερά > 0 τέτοια ώστε x y για όλα τα x, y S. Τέλος, ένα σύνολο S του R n είναι συµπαγές αν και µόνο αν είναι κλειστό και ϕραγµένο. Το σηµαντικό πλεονέκτηµα των συµπαγών συνόλων είναι ότι ακολουθίες που ανήκουν σε συµπαγή σύνολα έχουν συγκλίνουσες υπακολουθίες και ότι το µεγαλύτερο κάτω ϕράγµα (infimum) και το µικρότερο άνω ϕράγµα (supremum) συνεχών συναρτήσεων ανήκουν σε

39 1.2 Μαθηµατικό υπόβαθρο 17 κλειστά σύνολα Παράγωγοι και η κατά Taylor προσέγγιση Αυτή η υποενότητα αναφέρεται στην ϑεµελιώδη ιδιότητα της διαφορισι- µότητας συναρτήσεων, που τις περισσότερες ϕορές αποτελεί προϋπόθεση για την εφαρµογή των αλγορίθµων του µαθηµατικού προγραµµατισµού. Εστω f : R R µια µονοδιάστατη συνάρτηση. ορίζεται ως f (x) = df dx = lim ɛ 0 f(x + ɛ) f(x). ɛ Η πρώτη παράγωγος Η συνάρτηση f ονοµάζεται παραγωγίσιµη στο x αν υπάρχει το παραπάνω όριο. Εστω τώρα η n-διάστατη συνάρτηση f : R n R. Η µερική παράγωγος της f ως προς x i ορίζεται ως το όριο (αν υπάρχει) f f(x + ɛ e i ) f(x) = lim, x i ɛ 0 ɛ όπου e i είναι το i µοναδιαίο διάνυσµα. Η συνάρτηση f ονοµάζεται διαφο- ϱίσιµη αν όλες οι µερικές παράγωγοι της f υπάρχουν. Το διάνυσµα f(x) = g(x) = f x 1.. f x n, ονοµάζεται κλίση της f. Αν η f είναι διαφορίσιµη στο x, τότε είναι και συνεχής σε αυτό. Αν οι παράγωγοι είναι και αυτές συνεχείς συναρτήσεις, τότε η f ονοµάζεται συνεχώς διαφορίσιµη συνάρτηση. Αν οι δεύτεροι παράγωγοι της f, 2 f(x) x i x j = f(x) x i x j υπάρχουν για όλα τα i, j, µε 1 i, j n και είναι συνεχείς συναρτήσεις του x, τότε η f ονοµάζεται δύο ϕορές συνεχώς διαφορίσιµη συνάρτηση. Αυτές οι n 2 παράγωγοι αναπαρίστανται από έναν n n συµµετρικό πίνακα,

40 18 Εισαγωγή γνωστό ως εσσιανό πίνακα ή απλά εσσιανή της f: 2 f(x) = 2 f(x) 2 x 1 2 f(x) x 2 x 1. 2 f(x) x n x 1 2 f(x) x 1 x f(x) 2 x f(x) x n x f(x) x 1 x n 2 f(x) x 2 x n f(x) 2 x n. Οι συναρτήσεις που έχουν παραγώγους όλων των τάξεων ή µέχρι ενός συγκεκριµένου ϐαθµού σε κάποιο σύνολο που µας ενδιαφέρει, ονοµάζονται οµαλές. Ενα από τα πιο συχνά χρησιµοποιούµενα ϑεωρήµατα της πραγµατικής ανάλυσης στη ϐελτιστοποίηση, είναι το γνωστό Θεώρηµα Μέσης Τι- µής : Θεώρηµα 1.4. (Θεώρηµα Μέσης Τιµής) Εστω ότι η συνάρτηση f : R n R είναι συνεχώς παραγωγίσιµη και έστω p R n. Τότε f(x + p) = f(x) + f(x + αp) T p, για κάποιο α (0, 1). Αν επιπρόσθετα η f είναι δυο ϕορές συνεχώς παραγωγίσιµη, τότε έχουµε ότι και f(x + p) = f(x) f(x + αp)p dα, f(x + p) = f(x) + f(x) T p pt 2 f(x + αp)p, για κάποιο α (0, 1). Το παραπάνω ϑεώρηµα δείχνει ότι αν είναι γνωστές οι πρώτης και δεύτερης τάξης παράγωγοι µιας συνάρτησης σε ένα σηµείο x, µπορούµε να ϕτιάξουµε προσεγγίσεις αυτής της συνάρτησης σε όλα τα σηµεία µιας γειτονιάς του x. Συγκεκριµένα, µπορούµε να προσεγγίσουµε την f(x + p) µε την κατά Taylor πρώτης τάξης προσέγγισή της, f(x + p) f(x) + f(x) T p (1.9)

41 1.2 Μαθηµατικό υπόβαθρο 19 ή µε τη κατά Taylor δεύτερης τάξης προσέγγισή της, f(x + p) f(x) + f(x) T p pt 2 f(x)p. (1.10) Οι εξισώσεις (1.9) και (1.10) ονοµάζονται γραµµικό και τετραγωνικό µοντέλο της συνάρτησης f γύρω από ένα σηµείο x, αντίστοιχα. Τα µοντέλα αυτά χρησιµοποιούνται ευρέως στους αλγορίθµους ϐελτιστοποίησης. Η κατά Lipschitz συνεχής συνάρτηση. Εστω X και Y ανοιχτά σύνολα και συνάρτηση f : X Y. Υποθέτουµε ότι οι X και Y, είναι µετρικές των δύο αυτών συνόλων, αντίστοιχα. Τότε λέµε ότι µια τέτοια συνάρτηση είναι συνεχής κατά Lipschitz στο x X, αν υπάρχει L(x) τέτοιο ώστε f(z) f(x) Y L(x) z x X, για όλα τα z X. Η σταθερά Lipschitz L(x) εξαρτάται τόσο από το x, όσο και από τις µετρικές X και Y. Η συνάρτηση είναι τοπικά συνεχής κατά Lipschitz κοντά στο x, αν το σύνολο X είναι µια ανοιχτή σφαίρα µε κέντρο το x. Είναι συνεχής κατά Lipschitz στο σύνολο X αν η σταθερά είναι ανεξάρτητη του x, δηλαδή αν υπάρχει L τέτοιο ώστε f(z) f(x) Y L z x X, για όλα τα x, z X Κυρτότητα Ενα σύνολο S του R n ονοµάζεται κυρτό αν για οποιαδήποτε σηµεία x, y S και για κάθε λ [0, 1], ισχύει ότι λx + (1 λ)y S. Το σηµείο λx + (1 λ)y ονοµάζεται κυρτός συνδυασµός των x και y. Μια συνάρτηση f, ορισµένη σε ένα κυρτό σύνολο S είναι κυρτή, αν για όλα τα x, y S και για κάθε λ [0, 1], έχουµε ότι f (λx + (1 λ) y) λf(x) + (1 λ)f(y). Λέµε ότι µια συνάρτηση f είναι κοίλη, αν η ( f) είναι κυρτή.

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών: Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Απόστολάτου 8 Μαϊου 2001 Εσωτερικά γινόµενα διανυσµάτων µέτρο διανύσµατος- ορθογώνια διανύσµατα Έστω ένας διανυσµατικός χώρος V, στο πεδίο των µιγαδικών αριθµών Τα στοιχεία του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 Μαθηµατική Οµάδα Οµάδα είναι ένα σύνολο F µαζί µε µία πράξη + : F F F έτσι ώστε (Α1) α + (β + γ) = (α + β) + γ για

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων Κεφ. : Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Επίλυση εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas).. Νόρμες πινάκων,

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Μη Γραµµικές Μέθοδοι Συζυγών Κλίσεων για Βελτιστοποίηση και Εκπαίδευση Νευρωνικών ικτύων

Μη Γραµµικές Μέθοδοι Συζυγών Κλίσεων για Βελτιστοποίηση και Εκπαίδευση Νευρωνικών ικτύων Μη Γραµµικές Μέθοδοι Συζυγών Κλίσεων για Βελτιστοποίηση και Εκπαίδευση Νευρωνικών ικτύων ιδακτορική ιατριβή Ιωάννης Ε. Λιβιέρης Πανεπιστήµιο Πατρών Σχολή Θετικών Επιστηµών Τµήµα Μαθηµατικών Πάτρα, Σεπτέµβριος

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών «Γραµµική Άλγεβρα Ι» (ΕΜ111) Χειµερινό Εξάµηνο 2006-2007, ιδάσκων: Ι. Τσαγράκης 5 Ο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Έστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Ο Ευκλείδειος χώρος R n 1.1 Αλγεβρική δοµή Ο Ευκλείδειος χώρος R n είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) Χρήστος Ι Σχοινάς Αν Καθηγητής ΔΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) ΞΑΝΘΗ, 008 - - - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜATA Ορισμοί και ιδιότητες Συχνά, σε διάφορα προβλήματα στα Μαθηματικά,

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Πίνακες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας και της άλγεβρας των πινάκων. Το ϕυλλάδιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 3 Iανουαρίου 004. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: 8 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 011-01 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία

Βασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Υπερεπίπεδο α R, a R n P = {x R n ax = α} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά Δυναμική Μηχανών I 2 1 Επανάληψη: Μαθηματικά 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Συμβολισμοί Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2010-2011 ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ Ένας πίνακας Α με στοιχεία από το σύνολο F (συνήθως θεωρούμε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά μαθηματικά εργαλεία

Βασικά μαθηματικά εργαλεία Παράρτημα Αʹ Βασικά μαθηματικά εργαλεία Σύνοψη Παρατίθενται μια επανάληψη σε βασικές γνώσεις που αφορούν βασικά μαθηματικά εργαλεία, για την αντιμετώπιση προβλημάτων που παρουσιάζονται στο σύγγραμμα, και

Διαβάστε περισσότερα

Non Linear Equations (2)

Non Linear Equations (2) Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί και πράξεις πινάκων

Ορισμοί και πράξεις πινάκων Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ. & ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Βασικά σημεία Μη γραμμικές εξισώσεις με πραγματικές ρίζες. Μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Ιαν. 009 Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Έστω y, y,, yn παρατηρήσεις µιας m -διάστατης τυχαίας µεταβλητής µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας p( y; θ) η οποία περιγράφεται από ένα

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

2η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές)

2η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές) ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 2η Οµάδα Ασκήσεων 1442008 ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα