M E C A N I C A. z y PRINTEH BUCUREŞTI 1999

Transcript

1 NEL IN TED HUIDU E N I F d K K K d ψ G PINTEH UUEŞTI 999

2 d. g. NEL IN d. mt. TED HUIDU E N I Edtu PINTEH UUEŞTI 999

3 Descee IP blotec Nţole omâe IN, oel; HUIDU, Teodo ENI / oel, Teodo Hudu - ucueşt, PINTEH, 999 (ND TIP) 68 p; 5cm blogfe ISN Edtu PINTEH, St. ăculeşt,. Tel Edto: lcă Ecte osle edtol: hel Tom efeeţ : Pof. d. g. NILE ENESU Pof. d. g. IN Ş ISN Edtu cedeă tote deptule utolo

4 UVÂNT ÎNINTE Luce îş popue să fe u mtel utl î pegăte fudmetlă studeţlo d pm îăţămâtulu supeo tehc, u mtel bblogfc de bă petu emeul de lceţă l bsoleţlo uestăţlo tehce, petu pecum ş u mtel utl gelo, pofesolo ş tutuo celo teesţ î pofude cuoştţelo de eccă. Luce este utlă totodtă, petu îţelegee ş pofude lto dscple tehce de pegăte fudmetlă cum sut: ecc fludelo, esteţ mtelelo, ecsme, Vbţ mecce, etc. Petu o îsuşe efcetă cuoştţelo teoetce peette, ecomdăm eole depedetă plcţlo peette l sfâştul fecău cptol; ceste plcţ sut epeette petu fece cptol, fd pelute d pctc geescă ş îmbuătăţte c fomă de peete ş mod de eole, u petă u gd de dfcultte pe dct ş sut ccesble studeţlo ce u pcus dej u cus de lgebă ş lă mtemtcă, temtc specle ş Geomete ltcă ş Dfeeţlă, dscple ce se pedu î pm î fcultăţle tehce. Î cojuctu ctulă efome d îăţămâtul supeo tehc, toducee sstemulu de cedte tsfeble pesupue d pte studeţlo u efot m susţut î tmpul semestulu; s-u todus stfel o see de cttăţ ddule (cum f: teme de csă, poecte, lucă de efce pe pcus, etc.) ce î pemt studetulu o pegăte costtă ş efcetă. Î cest ses, cosdeăm că peet luce ofeă u supot teoetc ş plct loos, tutuo studeţlo ce doesc îsuşe ş pofude cuoştţelo de eccă teoetcă. Luce este o pmă edţe, âd l bă u cus ltogft (efeţ bbogfcă [6] ) pecum ş otele de cus de eccă, pedte de uto studeţlo de l Fcultte de Ştţ ş Ige telelo ş Fcultte de Igee Electcă Uestăţ Vlh Tâgoşte, pecum ş studeţlo de l Fcultte de Foj - Etcţe Uestăţ Petol-Ge Ploeşt. Sutem pofud ecuoscăto d-lo pofeso Ncole ENESU ş Io Ş petu ăbde pcuge muscsulu ş obseţle făcute l ece ştţfcă, pecum ş tutuo celo ce u et cu popue petu îmbuătăţe ceste pme edţ lucă. Tâgoşte, 999 UTII

5 5 INTDUEE. oceptele fudmetle ş coceptele de lucu le ecc ewtoee L b feomeelo studte î meccă stu cele două oţu fudmetle: mte ş mşce. Eoluţ î tmp oţu de mtee fost deosebt de compleă. Î tchtte oţue de mtee fost cofudtă cu oţue de substţă (ce este do u d fomele mtee), cosdeâdu-se că l b dfetelo feomee stu 4 substţe: p, lemul, focul ş metlul. h ş Newto e o cocepţe lmttă despe mtee, pe ce o cosde c fd totltte copulo fce lcătute d tom (ptcule cosdete ble). L oţue ştţfcă de mtee s- jus î um uo cecetă pofudte de m sţ, ce u deft mte c o eflecte obectă îsuşlo eseţle le obectelo ş feomeelo lum eteoe. te este dec o ctegoe floofcă ce desemeă o eltte obectă ş estetă depedet de celellte oţu flosofce. te e o stuctuă dulă: substţ (mte dscotuă, dscetă, cocettă) ş câmpul (mte dfută î spţu ş cotuă). Î mecc ewtoă fost lut î cosdeţe um pmul spect, cel de substţă. dou poblemă fudmetlă fost poblem mşcă, ce d cu completăţ e ăms eelucdtă m de. Tmp de secole domt î ştţă cocepţ lu stotel sup mşcă: u cop ce se flă î mşce se opeşte tuc câd foţ ce cţoeă sup lu îş îceteă cţue. Glleo Glle todus pm dtă î meccă cocepţ ştţfcă de studu mşcă, demostâd etemec ţometelo stotelce. Glle tece de l pm etpă cuoşte, utltă de pedecesoul său ş btă pope eclus pe smple obseţ, l bstctă le feomeulu mşcă ş po efcă epemetle - l pctcă. oclule lu Glle u fost fomulte cu o geeţe m tâu de Newto, î celebul Pcpu l eţe. şce este ptă d cest momet c o fomă de esteţă mtee, c o îsuşe eseţlă e. şce, c ş mte este eşcă, eceblă ş dstuctblă, âd u ccte geel, bsolut, epusul e u ccte elt ş tempo. Dec, p mşce se îţelege oce fel de schmbe, tsfome su deolte de tuă fcă, chmcă, su fologcă. Î coclue mşce fost deftă c o fomă de esteţă mtee, u tbut tsec l mtee, ce îglobeă î se tote schmbăle ş pocesele ce u loc î ues, îcepâd cu smpl deplse uu puct mtel ş temâd cu gâde. bectul ştţe îl

6 6 costtue dec studul geel l fomelo de mşce ş l eflectă cesto mşcă î coştţ omulu. ecc studă u d cele m smple fome de mşce mtee cuoscute sub umele de mşce meccă, deftă c fd modfce eltă poţe uu cop, su ue păţ cestu, î pot cu u lt cop cosdet c epe (sstem de efeţă). Noţue de epus î eccă este eltă (deftă c emodfce poţe uu cop fţă de u epe su sstem de efeţă) ş tebue cosdetă um î pot cu u stfel sstem de efeţă, pesupus c f. P epe su sstem de efeţă se îţelege u cop ce u-ş schmbă fom ş dmesule, l ce se poteă mşce meccă. De obce, î eccă se foloseşte tedul totogol dept (dettos), studul mşcă mecce copulo făcâdu-se î pot cu cest sstem de efeţă pesupus c f. um î tuă u estă c u epe despe ce să putem fm că este f, petu studul mşcă teplete tote epeele o f cosdete î mod eces moble. Dte ceste epee se dstge totuş o clsă de epee fţă de ce legle mşcă se scu sub o fomă m smplă ş î ce pcple de bă le mecc (stblte de Newto) ămâ ble. ceste se umesc epee eţle. U epe eţl este dec u epe î ce u cop puctfom (flt l dstţe sufcet de m fţă lte copu, petu u t sub flueţ cesto) ămâe pemet î epus su î mşce ectle ş ufomă. ce sstem de efeţă flt ît-o mşce de tslţe ectle ş ufomă fţă de u sstem eţl este tot u sstem eţl. Dfeeţ dte ecc clscă ş mecc eltstă costă î modul de p oţule fudmetle le mecc (spţul, tmpul ş ms) c fome cocete de mfeste mtee, m ect popetăţle tbute lo. ecc clscă, ce d puct de edee stoc păut pm, cosdeă cele te oţu fudmetle (spţul, tmpul ş ms) c fd bsolut depedete u fţă de lt ş âd umătoele popetăţ: spţul este ft, tdmesol, cotuu, omoge ş otop. Se utleă spţul eucld î ce sut lble omele geomete eucldee ş pcple clcululu dfeeţl ş tegl. tmpul este ft, cotuu, omoge, ufom cescăto ş eesbl. ms este o măme sclă, potă blă, ce eflectă popetăţle eţle ş de gtţe le mtee. stfel em: - ms etă - o măme fcă sclă potă ce eflectă popette de eţe mtee (măsu de eţe uu cop î mşce de tslţe) ş e tee î lege fudmetlă mecc stbltă de Newto: F m ; - ms gfcă - o măme fcă sclă potă ce eflectă popette mtee de poduce u câmp gtţol (de cţo sup lto copu). cest tee î lege tcţe uesle, umtă ş lege gtţe

7 7 m m uesle: F f, ude F este foţ cu ce se tg ecpoc două ptcule mtele de mse m ş m stute l dstţ îte ele. Î f mămlo fudmetle de m sus, î eccă te fecet o see de măm dete, cum f: foţ, te, cceleţ, mpulsul, lucul mecc, etc. Foţ este deftă c fd o măme ce măsoă tecţue meccă dte copule mtele ş e ccte ectol. U gd îş schmbă ste de mşce su de epus î tecţue cu lt gd, foţ fd măme ce ccteeă cestă tecţue. ecc eltstă peşte oţule de spţu, tmp ş msă c fomâd o utte dsolublă ş tedepedete. Dtotă ceste potee o, se modfcă fudmetl popetăţle oţulo fudmetle, stfel îcât: - spţul u m este omoge ş otop. - tmpul u m este omoge. - ms u m este blă, depâd de te cu ce se mşcă copul. ceste o potee u fost cceptte î mometul î ce u păut pmele eultte epemetle ce cotceu coclule clcululu teoetc l mecc clsce. ceste eultte epemetle se efeeu l mşcăle cu tee fote m le ptculelo tomce petu ce potul dte te ptcule ş t lu c u pote f egljt î pot cu utte ş petu ce tebue plcte pcple ecc eltste. Î cul mşcălo cu tee mc (petu ce potul dte te ptcule ş t lu c pote f egljt î pot cu utte) se pot plc fote be pcple ecc clsce, dfeeţele dte eulttele plcă cesto pcp ş cele le ecc eltste fd fote mc. um me mjotte mşcălo îtâlte î tehcă sut cctete de tee mc î pot cu te lum (stfel îcât potul dte te copulu ş t lu c pote f egljt î pot cu utte), ele se pot stud fote be cu jutoul leglo mecc clsce, de ude eultă ş mpotţ pctcă cesto leg.. Dule ecc clsce Î fucţe de tu copulo studte, ecc clscă e te m mu: ) ecc teoetcă (ewtoă su geelă), ce studă copule gde, legle su pcple uesle ce stu l b echlbulu su mşcă lo, cu plcţ le lo l ssteme de pucte mtele ş copu solde gde. b) ecc soldelo defomble ce studă echlbul copulo defomble sub cţue foţelo, ţâd sem de popetăţle mtelelo d ce sut ele lcătute (mtele elstce, plstce, âsco-elstce etc). cestă muă e c

8 8 subdu: esteţ mtelelo, Teo elstctăţ ş plstctăţ, ecc upe, Teo stbltăţ elstce, etc. c) ecc fludelo, î cdul căe se studă mşcăle fludelo dele su âscose, compesble su compesble ş esteţ l îte pe ce o opu ceste flude copulo solde (eomecc, Hdomecc ). Pm muă ce păut c muă ştţelo tule (pe b pcplo euţte de Isc Newto) fost ecc teoetcă su ewtoă, d ce s-u deoltt celellte mu le ecc. Impotţ ecc teoetce costt î îude e cu celellte mu, ş î fptul că pţ ş deolte e mpulsot deolte tehc su uo cptole le temtc cu ce s- flt ît-o tedepedeţă cotuă. temtc costtut u stumet de estgţe de eîlocut ş efcet petu oce ştţă tu ş î specl petu eccă. ecc teoetcă doptt două modele petu studul copulo mtele. ceste modele sut: puctul mtel se defeşte c fd o ptculă mtelă cu msă ftă, cu dmesu egljble, smlbl dec cu u puct geometc î ce este cocettă îteg s msă; Noţue de sstem dscet de pucte mtele este modelul coespuăto petu o mulţme ftă de ptcule mtele de dmesu egljble, ce tecţoeă mecc îte ele ş ocupă u domeu lmtt î spţu; cestă mulţme de ptcule mtele pote f defomblă su edefomblă; cotuumul mtel se defeşte c fd o mulţme ftă de ptcule mtele ce tecţoeă mecc îte ele ce sut dstbute cotuu îtu domeu su ocupă oce olum ocât de mc l său. gdul este u c ptcul de cotuum mtel edefombl cu dmesu ş msă fte (petu ce dstţ dte oce două pucte le sle u se modfcă, dfeet de cţule sufete d eteo). cest model este o bstcte mtemtcă, fd utlt cu succes î ecc teoetcă, cuoscut fd fptul că tote copule ele sut defomble. Î epuee cusulu de eccă teoetcă, se pefeă dese împăţe î umătoele te du:. Sttc - studă foţele ce cţoeă sup sstemelo mtele, făcâd bstcţe de mşce lo, detemâdu-se cls sstemelo de foţe echlete. Î ptcul, Sttc se ocupă de subcls sstemelo de foţe ce îş fc echlbu.. emtc - studă mşce sstemelo mtele, făcâd bstcţe de foţele ce cţoeă sup lo ş de ms cesto.. Dmc - studă mşcăle sstemelo mtele î tecţue lo ecpocă ş sub cţue foţelo eteoe ş de legătuă.

9 . Scut stoc l mecc 9 Isto deoltă mecc este stâs legtă de sto deoltă socetăţ omeeşt. ecc s- deoltt d eo de eol pobleme pe ce ţ de tote lele le- pus omelo d cele m ech tmpu: costue de clăd, gţ pe pe, tspotul pe usct, etc. L deolte ecc u cotbut sţ de eputţe modlă căo smplă îşue ecest mult spţu. De ce e om lmt l mt do câte ume dte cele m mpotte. Se dstg te etpe î sto deoltă ecc:. Pm etpă studlo de meccă fost legtă de tehc costucţlo mse, specfce tchtăţ ş ce pus bele Sttc. ecetăle cele m mpotte d cestă peodă sut cele le lu stotel (84 - î.e..) ş hmede (87 - î.e..) pd descopee foţelo, echlbulu pâghe ş cetulu de geutte. Eul medu, u duce mc ou î domeul ecc.. dou etpă îcepe odtă cu eştee, cctetă p deolte comeţulu (ş dec călo de comucţe pe pă ş pe usct), câd studul ecc d ou ât. mtm pe Leodo d Vc (45-59) mele pcto, st ş ge tl ce studt fece copulo ş euţt pcpul mposbltăţ mşcă pepetue (pepetuum moble), Ncole opec (47-54), stoom poloe, ce pus bele teoe helocetce, Johes Keple (57-6), stoom gem, ce stblt legle ce- potă umele. Îtemeeto ecc clsce ămâ îsă ce do m sţ, tlul Glleo Glle (564-64) ş egleul Isc Newto (64-77). Glleo Glle studt legle căde copulo. El ăstut cocepţ stotelcă sup eţe ş euţt pcpul eţe ît-o fomă mult m clă. Tot el euţt ş pcpul codţlo ţle. Isc Newto, pelut tot cee ce fost m loos de l pedecesoul să ş pus bele ecc clsce ce- potă umele. El deft cele te pcp fudmetle le ecc ş descopet lege gtţe uesle.. te etpă deoltă ecc î secolul l XX le fost mctă de cotbuţ uo m sţ d ce mtm pe lbet Este ( ) cetoul celebe teo elttăţ ce stă l b fc modee, Este duce o lă ctcă pcplo ce stu l b ecc clsce, lă ce codus l pţ ecc eltste, ecc cutce ş ecc sttstce. Succese emcble s-u obţut î ultm jumătte secolulu l XX -le p: lse de stelţ tfcl î juul pămâtulu ş lto plete îcepâd d 957; debce pmulu om pe luă î 969; lse de e spţle de

10 obseţe tepletă, îcepâd d ul 97; pţ ş deolte metodelo ş tehclo modee de clcul, etc. Dte cecetăto omâ ce u dus cotbuţ î deolte ecc mtm: Spu Het (85-9) ce dus cotbuţ î ecc copulo ceeşt; de Iochmescu (868-94), Io Ioescu (87-946), mb pofeso l Poltehc d ucueşt, ce u elbot lucă loose î domeul ecc teoetce; temtce de eume modl: Dmte Pompe (87-954), T Llescu (88-99), Vcto Vâlcoc (885-97), udolf Voos (9-97), us Icob (9-99) ş lţ, ce u dus cotbuţ loose ş î eccă.

11 PITLUL NŢIUNI DE LGEĂ VETILĂ.. ăm scle ş ectole. lsfce ectolo. u tote că elemetele de lgebă ectolă sut peette î cdul cusulo de temtcă, cosdeăm totuş opotuă, îte de tece l tte popu-să poblemelo de eccă, o peete sumă celo m mpotte oţu ş elemete de lgebă ectolă ecese îţelege ecc teoetce. lculul ectol este o plcţe mtemtcă ce păut pm dtă î eccă. ămle fce petu căo cctee completă este sufcet u scl (dcă u umă pot su egt) se umesc măm scle (de eemplu: lugme, ms, tmpul, testte câmpulu mgetc, tempetu, etc. S- costtt că estă uele măm fce petu căo cctee u este sufcetă măme lo, c ş uo pmet ce defesc decţ ş sesul de cţue, î uele cu coodotele puctulu de plcţe l lo (de eemplu: foţ, te, cceleţ, mpulsul, mometul cetc, etc). ceste măm sut umte ecto. P ume d puct de edee geometc, u ecto este cctet p umătoele ptu elemete (fg..):. Puctul de plcţe su oge.. Supotul său (su decţ), ce este deftă de dept.. Sesul de pcus de l l. 4. ăme ectoulu, modulul su testte s (u umă pot), î cest c, lugme segmetulu. Fg.. ăme ectoulu se epetă p e d puct de edee ue ome. ş mtemtcă, semfcţ D puct de edee l og ectolo (su puctulu de plcţe) deosebm: - ecto lbe, căo oge pote ocup oce poţe î spţu (cu păste măm, decţe ş sesulu), făă c efectul lu să se schmbe (de eemplu: cuplul do ecto, te uu gd î mşce de tslţe, te ughulă uu gd, etc); - ecto luecăto, căo oge pote ocup oce poţe pe supotul popu, cu păste (decţe) măm ş sesulu (de eemplu: foţ ce cţoeă sup uu gd);

12 - ecto legţ, căo oge pote ocup do o sguă poţe î spţu (ît-u umt puct, cum f de eemplu foţ ce cţoeă sup uu puct, mometul ue foţe î pot cu u puct). Noţue de ecto echpolet cu u ecto dt se foloseşte petu ccte mulţme tutuo ectolo lbe âd suptu plele cu supotul lu, celş ses ş ceeş măme cu ectoul... Îsume ectolo ş îmulţe cu u scl Sum do ecto ş b este p defţe u ecto c epeetâd dgol plelogmulu costut cu jutoul ectolo ş b, ecto âd oge comuă (egul plelogmulu, fg...): c b (.) Sum do ecto se obţe ş cu egul polgoulu: dcă se costueşte u ecto echpolet cu ectoul b, âd oge î âful ectoulu, ud oge pmulu ecto cu âful ultmulu ecto, obţâd ectoul c (fg...b.). Se obseă d fg.., că cele două egul, plelogmulu ş polgoulu, coduc l celeş eultt. () c b Fg... b (b) c m Fg.. b, m> due ectolo e umătoele popetăţ: comutttte: b b (.) socttte ( b ) c ( b c ) (.) îmulţe lu cu u scl m, este p defţe u ecto b âd măme b m ş ce e celş supot ş celş ses cu ectoul, dcă m>, espect celş supot ş ses opus lu, dcă m <, ş (fg..). fd dte umeele ele m ş, se efcă umătoele dettăţ: m( ) ( m ) m (.4) ( m ) m (.5) m m b m( b ) (.6)

13 .. Veso su ecto utte Fe u ecto lbe. Se umeşte eso lu, u ecto lbe u ce e supotul plel cu supotul lu, celş ses cu ectoul ş măme eglă cu utte : u U. em edet: u es / (.7.) su: ude: u (.8.) este modulul ectoulu..4. epeete uu ecto lbe ît-o bă otoomtă Se cosdeă u sstem de e de coodote totogol dept ş u ecto lbe epeett p poecţle sle otogole pe ele, ş (fg..4.) pe ce le umm compoetele scle le ectoulu î sstemul de e, otte cu,, (spe deosebe de compoetele ectole le lu ce sut, j ş espect ). Dcă, j, sut eso elo, ş, î cofomtte cu (.8.) epeete ectoulu î b otoomtă fomtă cu ecto, j, (su epes ltcă ectoulu ) se sce: j (.9) j j ) b) Fg..4. Vecto be fd pepedcul do câte do ş âd mămle egle cu utte, b se umeşte otogolă ş omtă su m pe scut otoomtă. ăme (om) ectoulu este u umă pot ş se clculeă cu elţ: (.) cosuş decto decţe ectoulu sut dţ de elţle:

14 4 cosα, cos β, cosγ (.) Vectoul se m sce ş (,, ); dcă tuc em:,,. Dcă costum u ecto echpolet cu ectoul, epeett cu oge î puctul (oge sstemulu de e) ş âful î puctul (,,) (fg..4.b):, ce se umeşte ectoul de poţe l puctulu ş e epes: j (.) p ume:, cosα, cos β, cosγ. (.).5. Plelsmul ş copltte ectolo D cele de m sus eultă codţ ecesă ş sufcetă de plelsm do ecto ş b (dcă ecto să bă supotule plele): este dec să este u umă λ stfel îcât: su: λ b (.4) λ b, λ b, λ b (.5) dec, do ecto, b sut plel dcă ş um dcă îte compoetele lo estă elţ de popoţoltte:. (.6) b b b odţ ecesă ş sufcetă de copltte te ecto, b ş c cest este c îte e să este o elţe de fom: b µb c Fg..5. λ c λ µ b (.7) cu λ ş µ eul î celş tmp (fg..5.). cestă codţe se deduce uşo d defţ sume do ecto. Vecto,b, c se m umesc î cest c ecto l depedeţ..6. Podusul scl do ecto. Defţe. Popetăţ. Epese ltcă. Fd dţ do ecto lbe, b pe ce î putem epeet p ecto echpoleţ plcţ î (fg..6.), se defeşte podusul scl l celo do ecto (ott p b su p b ) sclul: b b cosθ (.8)

15 5 ude: θ (,b ) este ughul dte ce do ecto D fg..6 ş d fomul (.8) se obseă uşo că podusul scl l ectolo b, m pote f epmt î fucţe de poecţle otogole le cesto ecto uul pe decţ celullt, sub fom: b θ Fg..6. b b p b b p (.9) D elţ (.9), eultă medt că poecţ uu ecto pe o ă ( ) de u eso u este u scl ce se pote sce : p u (.) Podusul scl e umătoele popetăţ (elt uşo de demostt): comutttte: b b (.) dstbuttte fţă de sumă: ( b c ) b c (.) oce f scl m ş em: ( m )( b ) m b podusul scl do ecto detc: podusul scl este ul b dcă: b (.) (.4) su b su b. (.5) Plecâd de l epes ltcă ectolo b, : j, b b b j b (.6) ş ţâd sem de elţle ectole edete: j j ; j j (.7) se obţe epes ltcă podusulu scl: b b b b (.8) Î b ceste elţ se pot clcul: ) ughul dte do ecto s b : cos(, b ) cos b b b θ (.9) b b b b b) ughul dte u ecto ş ele de coodote; de eemplu ughul dte ectoul ş : cos(, ) cosα. (.) osusule celo te ughu fomte de cu,, (umte ş cosuş decto decţe ) stsfc elţ cuoscută d geomet ltcă: cos α cos β cos γ (.) b

16 ş dec: 6 Î ptcul, dcă b, em epes măm (ome) ectoulu, dcă:, (.) De c eultă epes esoulu uu ecto : (.) u es j su ţâd sem de (.): u cosα cos β j cosγ (. ) Dec codţ de otogoltte (.5) do ecto b, se epmă ltc stfel: b b b (.4) c.7. Podusul ectol do ecto. Defţe. Popetăţ. Epes ltcă. b θ Fg..7. Fd dţ do ecto lbe, b epeetţ p ecto echpoleţ, cu oge î (fg.7), l se tşeă u ecto c umt podus ectol l lu ş b, ott p: c b (.5) deft c u ecto lbe, âd umătoele cctestc: măme: c b sθ θ,b (.6) se obseă d fg..7, că măme lu c epetă dublul e tughulu fomt de ce do ecto, b plcţ î puctul su plelogmulu; decţ: c este pepedcul pe plul deft de ecto, b ; sesul este stfel les, îcât u obseto şet î lugul supotulu lu c (î celş ses cu sesul lu c ) să dă otţ ectoulu peste ectoul b efectâdu-se cu cel m mc ugh θ (θ m mc decât π) î ses o su es tgoometc, su sesul este dt de egul şuubulu dept (fg..7). Podusul ectol e umătoele popetăţ, elt uşo de demostt:, ude : ( ). ecomutttte: b b (.7). socttte l îmulţe cu scl:( m ) ( b ) m b (.8). dstbuttte fţă de sumă: ( b c ) b c (.9) 4. podusul ectol este ul : b, dcă: su b su este plel cu b (.4) D ultm popette eultă codţ de plelsm do ecto eul.

17 7 Fe ecto, b epmţ ltc î b esolo, j, cu jutoul elţlo (.6). Ţâd sem de popetăţle edete le esolo, j, :, j j,, j, j, j, j j j ş de defţ podusulu ectol, epes ltcă podusulu ectol este: ( b b ) ( b b ) j ( b b ) (.4) b (.4) ce î scee fomlă, m pote f epmt sub fom detemtulu: b j b b b (.4).8. Podusul mt te ecto Fd dţ ecto lbe,b,c, plcţ î puctul, se defeşte podusul mt l celo te ecto sclul: ( b ) c. Ţâd sem de elţle (.4), (.4) ş (.4) eultă că podusul mt se pote sce foml stfel: c c c ( b ) c b b b (.44) Se pote demost uşo umăte popette de pemutttte cculă: ( b ) c ( b c ) ( c ) b (.45) pecum ş codţ c podusul mt să fe ul: b c dcă ş um dcă: b su b c su c (.46) ( ) su λ b µ c dc, b, c, sut copl su l depedeţ..9. Podusul dublu ectol te ecto Fd dţ ecto, b, c se defeşte podusul dublu ectol l celo te ecto, ectoul: d ( b c ) (.47) Folosd fomulele (.8) ş (.4) se obţe fomul de descompuee podusulu dublu ectol: ( b c ) ( c ) b ( b )c (.48) Pctc, petu efectu podusul dublu ectol ( b c ), u se foloseşte fomul (.48) c se pocedeă l efectue podusulu ectol ( b c ) d după ce se efecteă podusul ectol d.

18 8.. oodotele plüceee le ue decţ Dâdu-se o decţe ( ) cctetă p esoul u (fg.8), se defesc coodotele plüceee le decţe, pt-o mtce le căe elemete sut: compoetele esoulu u otte c cu (,b,c); dec cofom elţe (. ) u se sce: u bj c, cosα; b cos β ; c cosγ (.49) compoetele ectoulu: u l mj ; cofom defţe se sce: u ( c b ) ( c ) j ( b ) (.5) j b c ude: este ectoul de poţe l uu puct oece de pe ( ) î pot cu oge sstemlu de e les: j d j D Fg..8 u ( ) α eultă după detfce: lc-b; m-c; b- (.5) Dec coodotele plüceee le decţe ( ) se scu sub fom mtc coloă: [ ] b b c c c b l c m b u (.5) oodotele pluceee le ue decţ u umătoele popetăţ edete :. b c (.54) b. l m u u s α (.55) ude d D, este dstţ de l puctul l dept ( ) (fg..8). Î cul uu sstem de depte î spţu ( ),,... se defeşte mtce coodotelo plüceee coespuătoe sstemulu âd coloele fomte d coodotele plüceee le fecăe decţ ( ): [ U ] b c l m b c l m b c l m b c l m Este edet fptul că gul mm l ceste mtc (6 ) este 6. d (.56)

19 9 PITLUL STTI PUNTULUI TEIL.. Noţu toducte Puctul mtel, deft î cptolul toduct, este o ptculă mtelă le căe dmesu pot f egljte. Î meccă puctul mtel e ms eglă cu ms copulu mtel pe ce îl epetă. Puctul mtel lbe este u puct mtel ce pote ocup oce poţe î spţu. Î geel poţle pe ce le ocupă puctul mtel î spţu sut detemte de foţele ce cţoeă sup lu ş sut defte l u momet dt de te pmet scl depedeţ, de obce coodotele cteee le puctulu (,, ). Spuem că puctul mtel lbe e te gde de lbette. Puctul mtel supus l legătu, este oblgt să ocupe d puct de edee geometc, umte poţ î spţu: stfel dcă este oblgt să ămâă pe o supfţă, spuem că e două gde de lbette, dcă este oblgt să ămâă pe o cubă e u sgu gd de lbette, dcă este oblgt să ămâă f î spţu, u m e c u gd de lbette. D puct de edee l tpulu legătulo puctulu mtel, ele pot f: ) legătu bltele - câd estcţ geometcă u pemte puctulu să păăsescă supfţ î mbele sesu le omle l supfţă (de eemplu, o blă îte două supfeţe ple plele); b) legătu ultele - câd estcţ geometcă u pemte puctulu să păăsescă supfţ ît-u sgu ses l omle l supfţă (de eemplu: o blă pe o supfţă oece, su o blă ît-u semcldu)... educee foţelo plcte puctulu mtel. Pcpul plelogmulu. Fe u puct mtel ş două foţe F, F, cţoâd smult sup cestu puct. (foţele F, F sut cuoscute c măme, decţe ş ses). Epeeţ tă că î ceste codţ, cele două foţe pot f îlocute cu u sguă, umtă F foţ eulttă: F α F (.) β ăme, decţ ş sesul eultte sut dte de dgol plelogmulu costut Fg... cu jutoul ectolo celo F

20 două foţe ş ce sut ecto legţ (fg..). ăme eultte este dtă de: F F F F cosα (.) Poţ eultte î pot cu ce do ecto este dtă de elţle teoeme F F susulo: (.) s α β s β s ( ) α Etâd cestă egulă petu cul câd sup puctulu mtel cţoeă m mult de două foţe, se juge l o costucţe gfcă, cuoscută sub umele de polgoul foţelo. Dcă se cosdeă foţele cocuete F, F, F,..., F cuoscute c măme, decţe ş ses (fg...) ş se costuesc ecto echpoleţ F, F, F...,F (fg...b.) plcâdu-se succes egul plelogmulu, se obţe ectoul âd oge î ş âful î etemtte ultmulu ecto echpolet F, ecto umt eultt sstemulu de foţe. cestă eulttă se sce stfel: F F... F F (.4.) F F F F F F ) bseţ F Fg.. egul polgoulu u toduce estcţ î pţ supotulo foţelo cocuete: ceste pot ocup oce poţe î spţu; dcă foţele cocuete sut cople, polgoul foţelo este pl, dcă foţele cocuete sut spţle, polgoul foţelo este spţl; stfel, î cul te foţe cocuete, eultt este dtă pe dgol plelppedulu âd c much foţele dte. legâd u sstem de e de coodote ş otâd cu ( X,Y, Z ) poecţle foţe F pe cele te e: F X Y j Z ş cu (X, Y, Z) poecţle eultte pe celeş e: X Yj Z, em: F F ( X Y j Z ) ( X ) ( Y ) j ( Z ) Îlocud ceste epes î (.4.) se obţ elţle de clcul compoetelo eultte : X X ; Y Y ; Z Z (.5) b)

21 ceste elţ epmă cuoscut teoemă poecţlo: poecţ eultte pe o ă este eglă cu sum poecţlo tutuo foţelo pe ce ă. ) Î ptcul, dcă, polgoul foţelo se îchde ş sstemul de foţe este î echlbu. b) ăme eultte este dtă de : X Y Z, (.6) cosuş decto de: X Y Z cos α, cos β, cosγ. (.7) c) Dcă foţele cocuete sut cople (î plul ), tuc poecţle pe sut ule (Z) ş elţle teoe de: Y X X, Y Y, X Y, tgα (.8) X ude α este ughul dte eultt ş. d) Petu umte codţ (câd umăul ecuoscutelo este egl cu umăul de ecuţ depedete de ce dspuem) se pote fce descompuee ucă eultte după m multe decţ cocuete... Echlbul foţelo plcte puctulu mtel Petu epme codţe de epus l uu puct mtel lbe, se foloseşte: pcpul eţe: U puct mtel lbe sup cău u cţoeă c o foţă, ămâe tot tmpul î epus su mşce ectle ş ufomă fţă de u epe cosdet f, dcă ţl se găse î cestă ste ; pcpul cţu foţe cu euţul: Vţ cttăţ de mşce uu puct mtel lbe este popoţolă cu foţ motoe mpmtă ş djtă după decţ de cţue foţe. eultă teoem de echlbu puctulu mtel lbe: odţ ecesă ş sufcetă c u puct mtel lbe, flt ţl î epus, să cotue să ămâă î epus sub cţue uu sstem de foţe dt, este c cest sstem să fe î echlbu, dcă eultt s să fe eglă cu eo. Ît-deă, d pcpul eţe ş l cţu foţe, petu c puctul mtel să cotue să ămâă î epus, tuc câd sup s cţoeă u sstem de foţe cocuete, tebue c sstemul să fe echlet cu eo. Î b pcpulu plelogmulu cestă codţe este îdepltă dcă ş um dcă estă elţ: F (.9) Poectâd cestă ecuţe ectolă de echlbu pe ele sstemulu de coodote se obţ codţle scle de echlbu: X X ; Y Y ; Z Z. (.)

22 Dcă sstemul de foţe este copl (î plul ), tuc Z dfeet dcă foţele sut î echlbu su u ş ultm codţe Z dee o dettte, codţle de echlbu î cest c se scu: X X ; Y Y. (.) Î cul ptcul câd foţele sut cole (de eemplu pe ), codţ de echlbu dee: X X. (.) Poblem esteţe soluţlo (dcă ecuţle (.) sut sufcete su u petu eole pobleme echlbulu puctulu mtel lbe) este legtă de comptbltte sstemulu de ecuţ espect. Î geel, poblem echlbulu puctulu mtel lbe e soluţe ucă, dcă umăul de ecuoscute este egl cu umăul de ecuţ depedete. Î poblemele de echlbu l puctulu mtel lbe se îtâlesc umătoele te stuţ: ) se du foţele ce cţoeă sup puctulu ş se cee să se deteme poţ lu; b) se cuoşte poţ puctulu ş se ce foţele ce cţoeă sup cestu; c) se cuosc o pte d foţe ş o pte d pmet ce ccteeă poţ puctulu ş se ce celellte foţe ş cellţ pmet ce detemă poţ lu. p l c ţ e U el este cţot î pl etcl de te foţe (geutăţle G, G, G ) p temedul uo fe, tecute peste do scpeţ ş făă fece (fg....). Se cee să se deteme poţ de echlbu elulu. G G F α β F F F α β F G F ) b) c) Fg..

23 e o l e : Se leg c pmet (ecuoscuţ) ughule α ş β pe ce le fc fele cu decţ ootlă ş u sstem de e oett coebl î plul etcl (fg...b). Se oleă elul, ce se educe l u puct mtel sup cău cţoeă foţele: F, F, F cu: F G, F G, F G. Ecuţ ectolă de echlbu este: F F F Poblem fd plă se scu două ecuţ scle de echlbu (ecuţle de poecţ): ( ( X ) : Y ) : G cosα G G sα G cos β s β G eolâd cest sstem se obţ soluţle: G G G G G G sα, s β. G G G G Petu c soluţle să bă ses tebue să fe îdepltă codţ: π < α, β <, dcă: < s α < ş < s β < ş dec: G G < G ş G G < G () Soluţ geometcă este epeettă î fgu..c ş espectă codţle ()..4. Puctul mtel supus l legătu. om legătulo Se cosdeă umătoe poblemă: fe u puct mtel, flt î echlbu pe o supfţă (S), cţot de foţele cte (su efect plcte) âd eultt ( ) (fg..4.). Î cest c elţ (.9) u m pote epeet o codţe ecesă petu echlbu, d cu legătulo ce eectă umte costâge geometce ş mecce sup puctulu mtel. ( leg ) (S) om Legătulo (S) ( ). b. Fg..4 ( )

24 4 Petu eol cestă poblemă se foloseşte om legătulo ce postuleă că oce legătuă geometcă pote f îtotdeu supmtă ş îlocută cu foţe coespuătoe, umte foţe de legătuă su ecţu Î cotue om ot eultt cesto foţe cu ( leg ). Puctul mtel, elbet de legătu este cţot dec de foţele dte (efect ( ) plcte) ( leg ) ş de foţele de legătuă ş este echlet, d puct de edee geometc cu puctul mtel supus l legătu ş d puct de edee mecc cu puctul mtel lbe. Pe b ceste ome, codţ ecesă ş sufcetă petu c u puct mtel supus l legătu să ămâă î epus, este c sum dte eultt foţelo ( ) dect plcte ( leg ) ş eultt foţelo de legătuă să fe ulă: ( ) ( leg ) (.) Poectâd ecuţ ectolă (.) pe cele te e le sstemulu totogol, codţ ecesă ş sufcetă de eclbu se sce: X Y Z X Y Z leg leg leg (.4) Pe b elţe (.) se pote tge coclu că î cul echlbulu puct mtel supus l legătu cele două eultte ( foţelo efect plcte ş foţelo de legătuă) sut egle ş dect opuse : ( ) - ( leg ) (. ) D puct de edee l tpulu de legătu se deosebesc:. eeme pe o supfţă; b. eeme pe o cubă (ultelă su bltelă); c. pdee cu fe (ce pote f cosdetă o legătuă ultelă pe o sfeă căe ă este eglă cu lugme fulu ). D puct de edee l foţelo de fece legătule puctulu mtel pot f:. legătu făă fece - câd supfţ su cub este pefect lucosă (legătuă delă), stfel îcât u pe foţ de fece; o stfel de legătuă u estă î eltte, deoece o fece fote mcă estă, e putâd f cel mult egljtă;. legătu cu fece - câd supfţ su cub u este pefect lucosă (legătuă elă, spă), âd spetăţ ce se opu mşcă puctulu mtel după o decţe d plul tget l supfţă, espect după tget l cubă, luâd stfel ştee foţ de fece.

25 5.5. Echlbul foţelo plcte puctulu mtel supus l legătu dele (făă fece) Fe u puct mtel, oblgt să ămâă pe o supfţă (S), cţot de o ( ) ( leg ) foţă dect plctă ş de o foţă de legătuă (cofom ome legătulo). Î cul echlbulu, ceste două foţe sut egle, u celş supot, ceeş măme, d sesu opuse. Dcă se duce î puctul plul tget (P) l supfţă ş oml ( ) l ( ) plul tget, tuc foţ se descompue după cele două decţ î două compoete (fg..5.): omlă N, după decţ omle ( ); tgeţlă T, după decţ depte ( ) de tesecţe plulu fomt de ( ) omlă ş supotul foţe cu plul tget. (S) (P) T () N ( ) T N ( leg ) ( ) ( leg ) ( ) ) b) Fg..5 (t) T N N T () (t ) Dec se pote sce elţ ectolă: ( ) N ( leg ) Î mod log ecţue se descompue după celeş două decţ î cele două compoete: ecţue omlă N ; foţ de fece de luece T. ( leg ) Dec se pote sce elţ ectolă: N T. ompoet N tde să îdepătee puctul de pe supfţ (S) după decţ omle ş efectul e este ult de ecţue omlă N, dec î cul echlbulu, ceste două foţe sut egle ş dect opuse : N -. ompoet T tde să deplsee puctul pe supfţ (S) după o decţe d plul tget. Se deosebesc dec două cu:. dcă legătu este făă fece (luce, delă) u pe foţ de fece de luece T ce se opue ceste tedţe. Î cest c, este eces c compoet tgeţlă să fe ulă:. T. T N

26 6 P ume, î cul echlbulu puctulu mtel pe o supfţă făă fece, eultt foţelo eteoe dect plcte tebue să fe djtă după oml l plul tget î (S), ecţue este o foţă N djtă după oml ( ) l plul tget î (S). Ecuţ ectolă de echlbu (.), î cest c se sce: N (.5) su poecttă pe e: X N, Y N, Z N (.6) b. dcă supfţ (S) este spă, pe foţ de fece de luece T ; petu echlbul puctulu mtel, este eces ş sufcet c foţele T ş T să fe egle ş opuse: T - T. Dec ecuţ ectolă de echlbu (.), î cest c se sce: N N ; T T (.5 ) su poecttă pe e coduce l te ecuţ scle: X N T, Y N T, Z N T (.6 ) Poblem echlbulu puctulu mtel stut pe o cubă se pue î mod log: î cest c ecţue omlă N este djtă după o decţe ( ) cupsă î plul oml l cubă î puctul, dcă pe ş foţ de fece T, e este djtă după decţ tgete l cubă (tt ) (fg..5.b). Ecuţle ectole de echlbu păsteă ceeş fomă c ş î cul legătulo puctulu pe o supfţă. p l c ţ e : U puct de geutte G se găseşte î epus pe u pl lucu, îclt cu ughul α. Să se deteme foţ ootlă F ecesă meţe puctulu mtel î epus pe pl (fg..6.). F? α G ) e o l e : om legătulo Fg..6 Se elbeeă puctul de legătu toducâdu-se foţ de legătuă N (fg..6.b). legâd coebl sstemul de e (cu oge î puctul, î decţ plulu îclt pepedculă pe plul îclt), ecuţ ectolă de echlbu : G F N, poecttă pe cele două e, coduce l ecuţle scle : N α G α b) α F

27 7 ( X ) : G sα F cosα ( Y ) : G cosα F sα N eolâd sstemul se obţe: G F G tgα, N. cosα.6. Echlbul puctulu mtel supus l legătu cu fece. Legle fecă uscte. Î cul legătulo puctulu mtel pe cube su supfeţe spe, s- costtt epemetl că u se m pote eglj compoet tgeţlă T ( leg ) ecţu, c î cul legătulo dele. Epeeţele tă că măme compoete tgeţle T foţe de legătuă este lmttă. Petu pue î edeţă foţ fece de luece T, se efectueă umătoe epeeţă smplă cu u pt umt tbometu (fg..7.), fomt dtu u cop (smlt cu puct mtel) de geutte G ce este cţot de o foţă ootlă F, ce pote ceşte cotuu. ( leg ) α N F ( leg ) ϕ N F m G ) F Fg..7. T G b) T m c) G Se costtă că pâă l o umtă loe foţe ootle (F m ) copul ( ) ămâe pe loc. cest tă că ecţue leg este îcltă cu u ugh α fţă de omlă ş p ume, pote f descompusă î două compoete: ecţue omlă N ş foţ T umtă foţ de fece de luece (fg..7.b). Foţ de fece de luece cţoeă î plul tget l supfţ de eem ş se opue tedţe de mşce copulu. Î fg..7.c., este peett cul lmtă câd foţele F ş T u lo mme ş ughul α cpătă, de semee loe mmă ϕ, umt ugh de fece. Foţ de fece T pote dec îte eo ş loe lmtă T. ofom fgu.7.b. se pote sce: T ş l lmtă (fg..7c): N tgα (.7) T m N tgϕ (.8) ş deoece α ϕ se obţe : T N tgϕ (.9) m

28 8 oulomb (76-86) efectut semee epeeţe cu copu de dfete geutăţ, de ceeş tuă su de tu dfete ş jus să fomulee umătoele leg le fecă uscte: ) ăme foţe de fece de luece mmă T m este dect popoţolă cu măme ecţu omle N; ) ăme foţe de fece de luece mmă T m depde de tu ş ste copulo ; ) ăme foţe de fece de luece mmă T m u depde de te eltă de deplse celo două copu ş c de măme supfeţelo flte î cotct Pe b cesto leg, foţ de fece de luece mmă e epes: T m µ N (.) espect codţ petu echlbu se sce: T µ N (.) ude: µ este coefcetul de fece de luece, ce este o măme dmesolă ce depde de tu ş de ste supfeţelo î cotct. Idetfcâd elţle (.8) ş (.) se obţe: µ tgϕ (.) oulomb ts coclu că foţele de fece se dtoeă esteţe pe supfţele î cotct le copulo uo spetăţ ce se îtepătud. âd copule se pu î mşce eltă ceste spetăţ se stesc, foţ de fece de luece fd eulttul foţelo elemete coespuătoe cesto st. Dcă se toduce lubeft îte supfeţele î cotct, foţ de fece scde ş u m espectă legle euţte m sus; poblem u m este î domeul fecă uscte, c d domeul fecă mte su hdulce..7. spectul geometc l fecă de luece Se cosdeă u puct mtel supus l legătu pe o supfţă cu fece (S), sup cău cţoeă u sstem de foţe ce du eultt ; p schmbe decţe foţelo ce cţoeă sup lu, se modfcă decţ eultte fţă de oml l plul tget P ş petu echlbul l lmtă l puctulu, ecţue ( leg ), espect eultt o desce o supfţă cocă, umtă co de fece, âd âful î puctul, cu după decţ omle l plul tget ş ughul l âf ϕ (fg..8.). Î mod log se pue poblem echlbulu puctulu mtel supus l legătu pe o cubă cu fece: petu echlbul l lmtă l puctulu pe o cubă cu ( leg ) fece, ecţue, espect eultt o desce u co de fece cu âful î puctul, âd după decţ tgete l cubă ş ughul l âf (8 o -ϕ) (fg..8.b).

29 9 (S) (P) leg ϕ () t leg ϕ t. b. Fg..8. (P) Itepete geometcă: petu ele codţe de echlbu uu puct pe o supfţă cu fece, tebue c supotul eultte foţelo efect plcte, să se găsescă î teoul coulu de fece, su să fcă cu coulu de fece u ugh m mc decât ughul de fece: α ϕ. petu ele codţe de echlbu uu puct pe o cubă cu fece, tebue c supotul eultte foţelo efect plcte, să se găsescă î eteoul coulu de fece, su să fcă cu coulu u ugh: α 9 o - ϕ. b s e ţ : ) Poblem echlbulu puctulu mtel supus l legătu cu fece, toduce o ecuoscută î plus fţă de poblem legătu dele ş ume, compoet tgeţlă T. Petu deteme ceste ecuoscute dspuem de o elţe suplmetă ş ume, egltte (.). Dtotă ceste egltăţ, poblemele de fece sut î geel edetemte, dcă estă egu îteg (pe o cubă su pe o supfţă) î ce este posbl echlbul. Dcă î eole ue stfel de pobleme, teeseă um poţle echlbulu l lmtă, tuc câd: T Tm µ N, poblem dee detemtă. ) Dcă î cul echlbulu puctulu mtel pe o cubă spă, petu deteme foţe de fece T este sufcetă cuoştee ue sgue ecuoscute scle (decţ lu T fd cuoscută ş ume după decţ tgete), î cul echlbulu puctulu mtel pe o supfţă spă este eces să se cuoscă două ecuoscute scle (îtucât î plul tget decţ lu T este ecuoscută, cofom fg..8.b). ) Î cul echlbulu puctulu mtel pe o cubă, ecţue omlă N e o decţe edetemtă, cupsă î plul oml l cubă.

30 p l c ţ e U puct mtel de geutte G se flă pe u pl îclt cu ughul α, coefcetul de fece de luece fd µ (fg..9.). Se cee să se deteme: ) măme foţe F plelă cu plul îclt, petu c puctul mtel să ămâă leg î epus ; b) ecţue. e o l e : Se studă echlbul puctulu petu cele două cu, ce coespud celo două tedţe l lmt echlbulu: ) de uce (tuc câd F ceşte tgâd loe F m ). b) de coboîe (tuc câd F scde tgâd loe F m ). F? om N leg\tulo G T α α α G ) Fg..9 b) Ted] de deplse F Ted] de deplse N T α α G c) F Se lege u sstem de e coebl, se elbeeă copul de legătu, se plcă om legătulo ş se studă cele două cu de echlbu l lmtă le copulu (fg..9.b ş c.).. Petu tedţ de uce puctulu mtel pe pl, foţele coespuătoe sut epeette î fg..9.b, ecuţle de echlbu se scu poectâd pe cele două e ecuţ ectolă de echlbu: G F T N Se obţ elţle scle: de ude eultă: ( X ) ( Y ) : : F G sα T N G cosα T µ N ( l lmt : T µ N ) N G cosα ; T µ G cosα; F G (sα µ cosα ). m. Petu tedţ de coboâe puctulu mtel pe pl, foţele coespuătoe sut epeette î fg..9.c, ecuţ de echlbu ectolă: G F T N, m m

31 ce poecttă pe e se sce stfel: de ude eultă: ( X ) :F G sα T ( Y ) :N G cosα T µ N ( l lmt : T N ) m µ N G cosα ; µ G cosα Soluţ pobleme este dec: de fece µ tgϕ se obţe: s G cosϕ T ; G ( sα µ cosα ) F m ( α ϕ ) s( α ϕ ) F G cosϕ F m F F ş îlocud î fucţe de ughul. m ecţue leg e măme: leg N T N cos α µ ş decţ e fce cu oml ( ) (î cul lmtă) ughul ϕ dt de: tg ϕ T / N. bseţe: Î cul legătu luc em µ (dcă ϕ ) ş dec o soluţe ucă: F G s α..8. Fece felo plcţe tehcă echlbulu puctulu mtel îl costtue fece felo. Petu eole ceste pobleme se peleă l pcpul egltăţ cţulo ecpoce ce fmă că cţule ecpoce î cul tecţu două copu, sut îtotdeu egle ş djte î sesu cote. Foţele ce cţoeă sup uu sstem de pucte mtele se clsfcă î mod coeţol î foţe eteoe ş foţe teoe sstemulu: Foţele eteoe epetă tecţue meccă dte puctele sstemulu cu lte pucte d f lu. Foţele teoe epetă tecţue meccă dte puctele pţâd sstemulu. ofom pcpulu cţu ş ecţu, foţele teoe sut egle c măme două câte două, u celş supot ş sut djte î sesu opuse. U eemplu de foţe teoe, sut foţele ce u ştee ît-u f tuc câd este supus uo sc eteoe: foţele de îtdee d f (tesule d f) epetă o peeche de foţe teoe ce ţ legte două pucte lătute le fulu î cul ue secţu mge, dec foţe ce se opu îdepătă lo. Î geel, coceptul de f este utlt petu epeet u cop âd u d dmesu (lugme) mult m me decât celellte două, flebltte me ş etesbltte sub cţue foţelo eteoe. Î studul fecă fulu, se doptă pote de flebltte, etesbltte pecum ş eglje geutăţ.

32 Poblemele de fece felo se îtâlesc fecet î tehcă (de eemplu l cuelele de tsmse, fâele cu bdă, codelele lpştlo, etc.). Fece felo se studă tât î cul câd ot pe ce este îfăşut ful este fă ş ful mobl, cât ş î cul oţ moble ş fulu f. Î cotue se cosdeă u f ce e î cotct cu u dsc ccul, pe cul (fg..) cu ughul θ l cetu (măsut î d). Ful este cţot l cpete, î ş, espect de foţele F ş F, ce petu echlbu pot f egle su dfete c măme: câd tedţ de mşce fulu este de l spe tuc F < F ; cest fpt se dtoeă foţelo de fece de luece dte f ş otă (coefcetul de fece de luece µ fd cuoscut). câd tedţ de mşce fulu este de l spe tuc : F > F. eultt l cţu foţelo F ş F, î puctele ş u ştee tesule S, S ce sut egle espect cu foţele F, F. ) Se stud echlbul foţelo ce cţoeă pe cul elemet ' ds, cău î coespude u ugh elemet l cetu dϕ. L cpetele elemetulu de c ds cţoeă tesule S s S ds, l mjloc ecţue omlă N ş foţ de fece T m µ N (fg..). ds S F F S ds S ϕ dϕ θ S dϕ T m µ N Fg.. Fg.. Elemetul de f pote f cosdet dec c u puct mtel pe o supfţă cu fece ecuţle de echlbu petu cul lmtă (câd foţ de fece este mmă) sut: dϕ dϕ ( X ):( S ds ) cos S cos µ N (.) dϕ dϕ ( Y ): ( S ds ) s S s N (.4) Ughule fd mc (elemete) se cosdeă lble pomţle: dϕ dϕ dϕ cos, s (.5) N dϕ dϕ

33 ş tuc ecuţle (.) ş (.4) se scu: ds µ N (.6) N Sdϕ dsdϕ (.7) Negljâd temeul dsdϕ î pot cu cellţ teme d elţ (.7), eultă: ds µ N ; N Sdϕ (.8) ce coduce l ecuţ dfeeţlă cu ble sepble: ds µdϕ S (.9) pe ce tegâd-o î telul coespuăto fecăe ble em: S θ ds µ dϕ S S (.) su: S S µθ l µθ su e S S (.) eultă stfel fomul lu Eule petu fece felo, petu cul lmtă: µθ S e (.) S m su petu echlbu î geel: µθ S Se (.) Dcă F > F tuc se schmbă sesul tedţe de mşce fulu pe dscul f (de l spe ) ş î mod semăăto se obţe: S m S e µθ (.4) µθ su petu echlbu î geel: S Se (.5) Dec, codţ flă de echlbu este: su: µθ Se S S e µθ S S e µθ (.6) µθ e (.7) p l c ţ e Se cosdeă sstemul fomt dt-u f îfăşut pe u cldu f cţot l cpete de geutăţle P ş Q (fg....); se cuosc coefcetul de fece l fulu pe cldu µ ş ughule: α π / 4, θ π / π. Se cee să se deteme tesule d f ş umăul de îfăşuă le fulu pe cldu, petu c sstemul să ămâă î epus î poţ d fguă. e o l e : Se secţoeă ful ootl toducâdu-se tesue (S ). em stfel de eolt două pobleme: ) echlbul fulu pe cldu, cţot de foţele P ş S ; b) echlbul puctulu cţot de sstemulu de foţe S, S ş Q (fg...b.). Î fucţe de tedţ de mşce, se deosebesc două cu:

34 4 S S S π / 4 S α θ π π / Q Q P P Fg... (b) (). Petu tedţ de deplse î jos geutăţ P, codţ de echlbu petu foţele d ful îfăşut pe cldu, se sce: π π µ e S P () Ecuţle de echlbu petu foţele ce cţoeă î sut: ( ) ( ) 4 4 π π s S Q Y ; cos S S X (b) D sstemul (b) se obţ tesule d f : Q S ş. S Q î ce c fomul () coduce l :, Q P l ; e Q P ; Qe P π π µ π π µ π π µ (c) umăul de îfăşuă este: 4 Q P l πµ (d). Petu tedţ de deplse î sus geutăţ P, codţ de echlbu petu foţele d ful îfăşut pe cldu se sce: P e S π π µ (e) î ce c fomul () coduce l : π π µ π π µ π π µ Q P l ; e Q P ; Qe P (f) dec umăul de îfăşuă î cest l dole c este: 4 Q P l πµ (g)

35 5 P I T L U L STUDIUL SISTEEL DE FŢE PLITE SLIDULUI IGID.. cteul foţelo plcte uu sold gd S- ătt î cptolul, că foţele plcte uu puct mtel se epetă p ecto legţ, plcţ celu puct mtel. Vom ăt cum că foţele plcte soldulu gd se epetă p ecto luecăto. Î cest cptol, oţule de foţe su ecto, sut some. ş cum s- ătt î cptolul teo, p cop sold gd (sold edefombl) se îţelege u cotuum mtel edefombl (dstţ dte două pucte oece le sle u se modfcă oce f foţele plcte cestu su oce f mşce s). opul sold gd este o bstcţe mtemtcă. Î eltte, tote copule ele d tuă sut defomble. Î ecc teoetcă copule se cosdeă (cu o buă pomţe) c fd edefomble. Î Sttc gdulu se dmte umătoul pcpu de tuă epemetlă, umt ş pcpul gdtăţ: dcă sup uu cop gd cţoeă două foţe F ş F âd celş supot, mămle egle c d sesule opuse, ele îş fc echlbu ş dec, pot f supmte făă se schmb ste de mşce su de epus copulu (fg..). cest pcpu este ş pm opeţe elemetă de echleţă. cosecţă medtă cestu pcpu este umătoe: foţele ce cţoeă sup uu cop sold gd se epetă p ecto luecăto. Petu u cop defombl pcpul gdtăţ u este deăt. F F F F F F F. Fg... b. Fg... Ît-deă, fe u cop sold sup cău cţoeă foţ F plctă î puctul (fg..). Dcă î puctul, pţâd supotulu foţe F, plcăm două

36 foţe F ş F âd sesu opuse ş dcă ceste foţe u celş supot 6 ceeş măme cu foţ F plctă î, tuc cofom pcpulu euţt teo, ste gdulu u se schmbă. ofom celuş pcpu, foţele F ş F, âd celş supot, fd egle c măme ş de ses opus, pot f supmte. stfel, sup soldul cţoeă um foţ F plctă î, foţă obţută p luece lu F pe supotul său d î (fg...) Î cptolul pd teoemele geele le mecc se ede că cestă teoemă este o cosecţă dectă teoemelo geele ş potee de gdtte copulu sold. ş (P).. Teo mometelo. Popetăţ.... ometul ue foţe î pot cu u puct ( F d ) 9 o Fg.. F α Fe u ecto legt (foţă) F, plct î puctul l uu gd ş u puct î spţu (fg...). Se umeşte momet l ectoulu F fţă de puctul ş se oteă cu smbolul ( F ) su, podusul ectol dte ectoul de poţe (ce ueşte polul cu puctul de plcţe l ectoulu foţă F ) ş ectoul foţă F, dcă: ( F ) F (.) Pe b defţe podusulu ectol do ecto se pote fm că: ( F ) este u ecto legt de, dcă este plct î puctul fţă de ce se clculeă; ( F ) este pepedcul pe plul detemt de supotul ectoulu F ş puctul ; Sesul lu ( F ) cocde cu sesul î ce îteă u şuub dept câd cţoeă î lugul decţe lu ( F ) ş se oteşte î sesul dct de ectoul F (ş umt egulă şuubulu su bughulu dept); ăme ectoulu lu ( F ) este dtă de: ( F ) F F sα F d (.) ude: α (,F ), d este dstţ de l puctul l supotul lu F. Dmesue mometulu ue foţe î pot cu u puct, î Sstemul Iteţol de utăţ este: [ ( F )] N m.

37 7 Dcă este oge elo de coodote, otâd cu (,, ) coodotele puctulu ş cu (X, Y, Z) compoetele foţe F (poecţle e pe ceste e), epes ltcă mometulu este: j ( F ) F, (.) X Y Z ş dcă se oteă : ( F ) L j N, tuc compoetele lu ( F ) sut dte de: L Z Y ; X Z; N Y X (.4) ( F ) ( ) ( F ) ( ) (P) ' F F (P) ' F F' F ( F ' ) Fg..4 Fg..5 ometul ue foţe F fţă de u puct e umătoele popetăţ: ) ( F ) ămâe t dcă ectoul F luecă pe supotul său (dcă F este dec cosdet ecto luecăto). Ît-deă, deplsâd puctul de plcţe l lu F d î (fg..5), em: ( ) F F F F ( F ) ( F ) F deoece ş F fd col: F. ) ( F ) î umătoele două cu: ) dcă F ; b) dcă supotul lu F tece p polul. Ît-deă, dcă polul se flă pe supotul ectoulu F, ecto ş F sut plel ş podusul lo ectol este ul. Su ltfel, măme lu ( F ) este eglă cu F d, ude d este dstţ de l puctul l supotul ( ) l lu F. Dec ( F ) dcă F su dcă d. ) Do ecto stuţ pe celş supot, âd măm egle ş sesu opuse, u î pot cu celş puct, mometele coespuătoe opuse. Ît-deă, cosdeâd F î ş F î, ude F F (fg..5), cofom defţe em: ( F ) F ş ( F ) F ( ) F F F F ; deoece : F F ( F ) ( F ) F ( F ).

38 ... ometul ue foţe î pot cu o ă 8 Fe u ecto foţă F plct î puctul ş o ă ( ) oece căe oete este deftă p esoul e δ (fg..6). Se defeşte mometul ectoulu F î pot cu ( ) (ott cu ( F ) su ), poecţ pe cestă ă mometulu foţe F clcult fţă de u puct oece pţâd e ( ). ( F (P) ) α ( F δ ( ) ) F ' ( F ( F Fg..6 Fg..7 Notâd cu puctul les pe ă (fg..6), cofom defţe, om e: ( ( F ) p ( F ) ( F ) δ δ ( F ) δ F ). (.5) ) ) ' ( F ) α ' ( F Deoece ( F ) epetă podusul mt l ectolo, F ş δ el se m pote sce ş sub fom ( F ) (,F ),δ ş este u scl. δ ( ) Să ătăm că ( F ) u depde de poţ puctulu pe ( ). Petu cest om eclcul ( F ) legâd u lt puct pe ( ) (fg..7) : ( F ) δ δ Deoece ecto δ ş ( F ) δ ( F ) δ [( ) F ] ' ( F F ) δ ( F ) δ ( F ) ( F ) ( F ) ( F ) ( F ). sut col, em: δ ş eultă p ume: δ Fe u sstem cte de e de coodote, puctul de coodote (,, ) ş ecto de poţe: j, foţ F X Yj Z ş ( ) de eso δ bj c. Î ceste codţ loe mometulu ( F ) pote f clcultă cu jutoul detemtulu: b c ( F ) δ ( F ) ( F ) X Y ( Z Y ) b( X Z ) c( Y X ). Z ) F (P) (.6)

39 9 Dcă ( ) cocde cu, δ ş dec, b c, se obţe mometul foţe F fţă de : ( F ) Z Y L log se clculeă mometul foţe F fţă de, espect : ( F ) X Z ; ( F ) Y X N (.7) b s e ţ e : Î plcţle tehce pe fecet oţue de momet l ue foţe î pot cu u puct, d plul detemt de puct ş foţă. cest momet se epmă sub fom uu scl ş epetă de fpt mometul foţe î pot cu o ă pepedculă pe plul detemt de puct ş foţă ce tece p puctul espect. Dcă, de eemplu, foţ F se găseşte î plul tuc mometul foţe î pot cu puctul este de fpt mometul foţe î pot cu : ( F ) ( F ) N Y X (.8) Semul mometulu este pot, dcă foţ e tedţ să otescă copul î pot cu puctul î ses tgoometc ( peste ) ş egt dcă foţ e tedţ să otescă copul î pot cu puctul î ses es tgoometc. Se pot edeţ umătoele popetăţ l mometulu foţe î pot cu o ă : ) ometul ue foţe î pot cu o ă coplă cu supotul foţe, este ul. Ît-deă, dcă supotul ectoulu F ş ( ) sut cople, tuc ecto, F ş δ sut copl ş dec podusul lo mt este ul. De meţot că cestă stuţe e loc î cule î ce supotul lu F ş ( ) sut cocuete, plele su se cofudă. ) ometul ue foţe î pot cu o ă u se schmbă dcă foţ luecă pe supotul e, păstâdu-ş sesul ş măme (testte). cestă popette se pote demost medt folosd pm popette d pgful... Ît-deă, deoece : ( F ) ( F ) em : δ ( F ) δ ( F ), dec ( F ) ( F ). ' ) Două foţe stute pe celş supot, âd măm egle ş sesu opuse, u fţă de ceeş ă, momete egle ş de seme cote. cestă popette se pote demost medt folosd ce de te popette d pgful... Îtdeă, deoece: F F, ( F ) ( F ), eultă: δ ( F ) δ ( F ) su ( F ) ( F ). 4) Vloe bsolută mometulu ue foţe î pot cu o ă este eglă cu podusul dte măme foţe, lugme pepedcule comue dte supotul foţe ş ă ş susul ughulu fomt de ă ş decţ foţe.

40 4 Petu demostţe se clculeă ( F ) p pocedee geometce. Fe plul (π) î ce se flă supotul (D) l ectoulu F ş puctul, dept ( ) ce tece p puctul u pţe cestu pl. Se duce d pepedcul comuă dte ( ) ş supotul (D) l foţe F (fg..8). Luecâd foţ F pe supotul e cu oge d î (opeţe ce u schmbă loe mometulu), tuc ( F ) e umătoe măme: ( F ) F d (.9) ude cu d s- ott lugme pepedcule comue ( D' ) ( F ) ( F ) β α ( D ) d F. Notâd cu β ughul scuţt dte ectoul momet ( F ) ş ( ), tuc cofom defţe: su ( F ) ( F ) cos β F F d cos β (.) Petu pue î edeţă ughul α ( ) F fomt de ( ) cu decţ foţe F, se ( π ) duce p puctul o deptă ( D ) plelă cu supotul (D) l foţe F. Fg..8 D fgu.8 se obseă că dept ( D ) ş ( ) sut pepedcule î pe segmetul (p costucţe), ectoul ( F ) este pepedcul pe î celş puct, deoece cest segmet este cups î plul detemt de puctul ş F. Deoece supotul lu ( F ) ş deptele ( ) ş (D ) sut pepedcule pe dept d, sut cople tote te, p ume ughule α ş β sut cople ş dcete. Deoece, p defţe, ( F ) este pepedcul pe supotul lu F, dec ş pe ( D ), om e: π π α β su β α (.) ş dec cos β sα, elţ (.) cpătă fom: ( F ) F d sα (.) ce epmă tocm popette euţtă m sus. Petu deteme semulu mometulu ( F ) se plcă egul şuubulu dept. stfel, semul lu ( F ) f pot dcă şuubul dept (şet delugul e ( ) ş ott î sesul dct de ectoul foţă) îteă î pot cu sesul e ( ) dt de esoul δ ; semul lu ( F ) f egt dcă şuubul dept (şet delugul e ( ) ş ott î sesul dct de ectoul foţă) îteă î ses es fţă de sesul esoulu δ.

41 p l c ţ e 4 Se cosdeă u plelpped deptughc âd ltule:, ş, cţot de foţele F, F, F âd supotule detemte espect de deptele,, (fg..9). momete: Se cee să se clculee umătoele ( F ( F ), ), ( F e o l e : ( F ), ), ( F ( F Se cosdeă sstemul de e cu oge î ş ele c î fgu.9. ); ). F F F Fg..9 Se scu, m îtâ, epesle ltce le ectolo foţă dţ: F j F es F F F j ( ) ( ) F F es F F F 5 5 ( ) ( ) F j F es F F F j ( ) ( ) ometele foţelo fţă de puctul sut: j F ( F ) F F F j F ( F ) F 5 F F 5 5 ( j ) ( 6 j )

42 4 ( F j F ) F F F Ţâd sem de epes lu ( F ) se deduce : F ( F ) ; ( F ) ; ( F ) bseţe ( j) F celeş lo se obţ ţâd sem că mometul ue foţe î pot cu o ă se sce: ( ) ( ) ( ) ( F ) p ( F ) ( F ) F ( F ) p ( F ) j ( F ) j F ( F ) p ( F ) ( F ) F... Teoemele lu Vgo Fe u sstem de foţe u puct oece î spţu (fg..). Scd mometele tutuo foţelo cu puctul em: ( F ) F ( F ) F F (,,...,) cocuete ît-u puct ş fe (.) F F F F F î pot ( F ) F Fg.. ş duâd ceste elţ membu cu membu, obţem: ( F ) ( F )... ( F ) F F... F. Folosd po popette de dstbuttte podusulu ectol, ectoul se pote scote fcto comu l stâg ş em: ( F ) ( F ) F... F F, F d : F este eultt sstemulu de foţe dt

43 . dec teoemele lu Vgo se pot sce sub umătoele două fome: 4 ( F ) su ( F ) ( ) (.4) cu euţul: sum mometelo foţe cocuete î pot cu u puct, este eglă cu mometul eultte foţelo clcult î pot cu celş puct. Dcă puctul se flă pe o deptă ( ) de eso δ, se obţe: b. ( F ) ( ) (.5) cu euţul: sum mometelo foţe cocuete î pot cu o ă este eglă cu mometul eultte foţelo lut î pot cu ceeş ă... Tosoul uu sstem de foţe... eultt geelă ş mometul eultt Fe F (,,...,) u sstem de foţe epeetâd ecto legţ, plcţ î puctele su u sstem de ecto luecăto pe supotule lo ce tec espect p ceste pucte (fg..). u jutoul opeţlo lgebce cu ecto putem def umătoele elemete: Fg.. F F F F. eultt geelă sstemulu î puctul, epeettă de u ecto, plct î puctul, dt de elţ: F (.6). ometul eultt l sstemulu î puctul, epeett de sum mometelo ectolo F (,,...,) fţă de puctul, dcă: F (.7) Vectoul este u ecto lbe (ş f ott î cotue cu, deoece eulttul opeţe (.6) u depde de puctul ), dec petu oce puct d spţu se obţe u ecto echpolet. este umt pmul t l sstemulu de ecto. Dmpotă, ectoul ş cum eultă d elţ (.7), depde de puctul de educee, dec este u ecto legt de puctul umt pol, l fel c ş ectoul momet l foţe F d pgful teo. Se umeşte toso l sstemulu de ecto foţe F (,,...,) clcult î puctul, sstemul fomt d eultt geelă ş d mometul eultt, detemte î cest puct: τ (, ) :