- CUPRINS - PREFAŢĂ...4 CAPITOLUL PROPRIETĂŢILE FLUIDELOR...5 Noţiuni teoretice...5 Aplicaţii...8

Transcript

1 - CUPRINS - PREFAŢĂ... CAPITOLUL...5 PROPRIETĂŢILE FLUIDELOR...5 Noţun teoetce...5 Aplcţ...8 CAPITOLUL... STATICA FLUIDELOR... Noţun teoetce... Aplcţ... CAPITOLUL... CINEMATICA FLUIDELOR... Noţun teoetce... Aplcţ... CAPITOLUL...8 DINAMICA FLUIDELOR IDEALE...8 Noţun teoetce...8 Aplcţ...9 CAPITOLUL DINAMICA FLUIDELOR REALE ÎN MIªCARE LAMINARĂ...5 Noţun teoetce...5 Aplcţ...6 CAPITOLUL 6... DINAMICA FLUIDELOR REALE ÎN MIªCARE TURBULENTĂ... Noţun teoetce... Aplcţ... CAPITOLUL MIªCAREA PERMANENTĂ ÎN CONDUCTE SUB PRESIUNE...8 Noţun teoetce...8 Aplcţ...9 CAPITOLUL MIªCĂRI EFLUENTE PERMENENTE...5 Noţun teoetce...5 Aplcţ...55 CAPITOLUL TEORIA TURBOMAªINILOR...59 Noţun teoetce...59 Aplcţ...6 CAPITOLUL...6 TURBOPOMPE SI VENTILATOARE...6 Noţun teoetce...6 Aplcţ...6 CAPITOLUL...69

2 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME TURBINE HIDRAULICE...69 Noţun teoetce...69 Aplcţ...7 CAPITOLUL...7 POMPE VOLUMICE...7 Noţun teoetce...7 Aplcţ...75 CAPITOLUL...78 ACŢIONĂRI HIDRAULICE...78 Noţun teoetce...78 Aplcţ...79 BIBLIOGRAFIE...86

3 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME PREFAŢĂ Luce de fţă se deseză în specl studenţlo dn n II ş III secţe de Centle Temoelectce d ş studenţlo dn nul II secţe de Electoenegetcă ce studză dscplnele de Mecnc fludelo ş Mşn s cţonă dulce. Stuctu căţ constă în cptole, ce potă numele cptolelo dn cusule de specltte ş cupnde 8 de pobleme ezolte, lese stfel încât să eemplfce cât m bne noţunle pedte l cus ş pobleme popuse studenţlo spe ezole. Astfel, în luce sunt cupnse plcţ pnd popetăţle fzce le fludelo, sttc fludelo, cnemtc fludelo, dnmc fludelo dele, dnmc fludelo ele în mşce lmnă, dnmc fludelo ele în mşce tubulentă, mşce pemnentă în conducte sub pesune, mşcă efluente pemnente, teo tubomşnlo, pompe ş entltoe, tubne dulce, pompe olumce ş cţonă dulce. În cdul fecău cptol s- făcut o pezente de noţun teoetce ş elţ de clcul, necese înţelege ş ezolă poblemelo. Poblemele u fost lcătute pe bz consultă uno mtele documente modene. Ponnd de l ceste consdeente, speăm c pn pezent luce să fcltăm munc de pegăte studenţlo, ceând o legătuă m stânsă înte cunoştnţele pedte l cus ş plcţle pctce. Autoele

4 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 5 CAPITOLUL PROPRIETĂŢILE FLUIDELOR Noţun teoetce Pn flud se înţelege un medu mtel contnuu, ce fom ecpentulu ce îl conţne. Pn ume, fludele se cctezeză pnt-o slbă coezune înte molecule. În ctego fludelo ntă lcdele ş gzele. Dnte cele m mpotnte popetăţ le fludelo fc pte: Denstte, ce se defneşte cu elţ: Δm dm ρ lm (.) ΔV ΔV dv unde Δm este o msă elementă de flud, ΔV este olumul ceste. Se m utlzeză ş noţune de denstte eltă, dcă potul dnte denstte bsolută unu flud, dtă de elţ (.) ş denstte bsolută unu flud de efenţă, flt în celeş condţ de pesune ş tempetuă, su în condţ stndd. C flud de efenţă se lege de obce p pentu lcde ş eul pentu gze. Geutte specfcă, defntă cu elţ: γ ρ g (.) unde g este cceleţ gtţonlă. Pentu lcde, geutte specfcă eltă se clculeză pn pote l geutte specfcă pe fltă l C. (De obce, în clculele tence se consdeă pentu pă γ98 N/m ). În genel, pentu flud, lole denstăţ ş geutăţ specfce depnd de pesune, tempetuă ş punct. Pesune, căe elţe de defnţe este: ΔF df p lm (.) ΔA ΔA da unde ΔF epezntă foţ ce cţoneză sup elementulu de e ΔA. Defombltte, epezntă popette fludulu de se defom sub cţune uno foţe eteoe su tempetu. Apecee defombltăţ se fce, de obce, cu coefcentul de compesbltte β, defnt cu elţ: ΔV β Δp (.) V su cu coefcentul de dltţe α, defnt cu elţ: ΔV α ΔT (.5) V unde ΔV epezntă ţ olumulu V, Δp este ţ pesun, ΔT este ţ tempetu bsolute. Inesul coefcentulu de compesbltte se numeşte modul de elstctte: ε/β (.6)

5 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 6 Vâscoztte, ce epezntă popette fludelo de se opune deplsă ptculelo ce îl compun. Dcă se consdeă mşce două sttu de flud flte l dstnţ nfnt mcă dy ş ce lunecă unul fţă de ltul cu tez eltă d, loe tensun tngenţle ce nştee înte cele două sttu este: d τ η (.7) dy unde η potă numele de coefcent de âscoztte dnmcă. Se m defneşte coefcentul de âscoztte cnemtcă: νη/ρ (.8) Coefcenţ de âscoztte ză cu tempetu în mod dfet l lcde ş l gze. Vţ lu ν este lusttă în fgu., pentu pă ş e usct. L lcde, ν scde odtă cu ceştee tempetu, l gze ceşte cu tempetu. De cestă compote tebue să se ţnă sem în poblemele de lubfcţe, c ş în lte plcţ pctce. Fg.. Vţ coefcentulu cnemtc de âscoztte, în funcţe de tempetuă În pctcă, este uneo posblă neglje âscoztăţ pn ntoducee modelulu de flud pefect. Adopte ceste poteze smplfctoe depnde, însă, de îndeplne uno condţ specle. În tbelul. se pezntă untăţle de măsuă pentu mămle defnte nteo. N. ct. Măme Tbelul. Untăţ de măsuă le mămlo cctestce popetăţlo fludelo Untte de măsuă Relţ de tnsfome Fundmentlă Suplmentă Denstte, ρ Kg/m Pesune, p PN/m B b -5 P Geutte specfcă, γ N/m Atmosfeă tencă t9,8 P Atmosfeă fzcă At5 P mm colonă de pă mmh O9,8665 P mm colonă de mecu mm Hg, P Pounds sque nc p.s.6,89 P Coefcentul de m /N compesbltte, β 5 Coefcentul de dlte, α K - 6 Vâscoztte dnmcă, η Ns/m Pose P, Ns/m 7 Vâscoztte cnemtcă, ν m /s Stokes St - m /s 8 Modulul de elstctte, ε N/m

6 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 7 În mod cuent, o elţe de fom: f(p,v,t) (.9) unde p, V, T epezntă pesune, olumul ş espect tempetu mse m de flud studt, potă numele de ecuţe de ste. Acestă elţe îmbcă fome dfete pentu lcde ş pentu gze. Astfel, ecuţ de ste lcdelo este: ρ ρ [ β(p - p ) - α(t - T )] (.) unde ρ, p, T epezntă denstte, pesune ş tempetu fludulu, în ste nţlă. În czul gzelo, ecuţ de ste este: p RT (.) ρ su m pv RT (.) M unde R este constnt specfcă gzulu, R este constnt uneslă gzelo (R 8 J/kmol K) ş M este ms klomolă gzulu. Acestă ecuţe, în fom (.) su (.), potă numele de ecuţ Clpeyon-Mendelee. În contnue, în tbelele..6 se pezntă lole denstăţ, coefcentulu de compesbltte, modululu de elstctte, coefcentulu de dlte, constnt specfcă gzulu ş coefcentulu cnemtc de âscoztte, pentu câte flude uzule. Tbelul.. Denstte uno flude l pesune nomlă (76 mm Hg) Lcd Denstte, ρ [kg/m ] l C Gz Denstte, ρ [kg/m ] l C Acetonă 79 Acetlenă,79 Acd cetlc 9 Ae,9 Acd sulfuc 8 Amonc,77 Alcool etlc 789,5 Agon,789 Alcool metlc 79 Azot,55 Anlnă Bod de cbon,978 Apă 998, Bod de sulf,96 Benzen 879 Clo, Cloofom 89 Clouă de metl,7 Ete etlc 7 Etn,56 Glcenă 6 Helu,785 Lpte 5 Hdogen,9887 Mecu 56 Metn,768 Ntoglcenă 6 Neon,8999 Toluen 866 Od de cbon,5 Ule de ungee 87 Ogen,895 Ule de tnsfomto 866 Popn,9 Tbelul.. Coefcentul de compesbltte ş modulul de elstctte pentu lcde uzule Lcd Coefcent de compesbltte β [m /N] Modul de elstctte ε [N/m ] Apă 5,,95 Glcenă,55,9 Mecu,96,78 Petol 8,66,5

7 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 8 Tbelul.. Coefcentul de dlte olumcă (zobă) pentu câte lcde l pesune nomlă (76 mm Hg) ş l tempetu 8 C Lcd Coefcent de dlte olumcă α [K - ] Lcd Coefcent de dlte olumcă α [K - ] Acetonă, Benzen,6 Alcool etlc, Cloofom,8 Alcool metlc,9 Glcenă,5 Anlnă,85 Mecu,8 Apă, Petol,9, Tbelul.5. Constnt specfcă gzulu, R Gz Constnt gzulu R [J/kgK] Gz Constnt gzulu R [J/kgK] Acetlenă 9,7 Helu 79,7 Ae usct 9,7 Hdogen, Amonc 9,78 Hdogen sulfut, Agon, Kpton, Azot,6 Metn 58,9 Bod de cbon 9,5 Neon,8 Bod de sulf, Od de cbon 77, Clo,96 Ogen 59,9 Clouă de metl 6,8 Ozon 7, Etn 8, Popn 88,8 Etlenă,5 Poplenă 98, Fluo, Xenon 6,9 Tbelul.6. Coefcentul de âscoztte cnemtcă l pesune nomlă (76 mm Hg) Lcd Coefcent cnemtc de âscoztte l C ν 6 [m /s] Gz Coefcent cnemtc de âscoztte l C ν 6 [m /s] Acetonă,8 Acetlenă 8,7 Acd sulfuc,85 Ae usct, Apă puă, Amonc,56 Alcool etlc,5 Agon,88 Alcool metlc,77 Azot,75 Anlnă,5 Bod de cbon 6,998 Benzen,79 Bod de sulf,957 Cloofom,9 Etn 6,5 Ete etlc, Helu, Glcenă,75 Hdogen 9,58 Mecu,5 Metn,9 Toluen,677 Neon,6 Ule de ungee,986 Ogen,6 Ule de tnsfomto 6,86 Popn,77 Aplcţ Pobleme ezolte

8 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 9.. Să se clculeze denstte bodulu de cbon (CO ), l tempetu θ 5 C ş pesune p9 mmhg. Soluţe Denstte se obţne dn ecuţ de ste (.): m pm ρ V RT unde: p 9 mmhg 9,, 5 P M CO 6 kg/kmol R 8 J/KmolK T 7,5 θ 7,5 5,5 K Rezultă: 5, ρ, Kg/m 8,5.. Pesune pţlă polo de pă în tmosfeă este pesune pe ce ceşt eect-o dcă nu est e, în tmp ce pesune bometcă coespunde sume pesunlo pţle le polo ş eulu. Dcă pesune pţlă polo este p,5 t, l tempetu θ C, să se detemne geutte lo specfcă. Soluţe Se detemnă denstte, dn elţ (.): m pm ρ V RT po geutte specfcă cu elţ (.): gpm γ ρ g RT unde: g 9,8 m/s p,5 9,8 95 P M H 6 8 O kg/kmol R 8 J/KmolK T 7,5 θ 7,5,5 K Rezultă: 9, γ, N/m 8,5.. Să se clculeze ceştee pesun dnt-o utoclă plnă cu pă, încsă emetc, dcă se măeşte tempetu cu ΔT 55 K. Coefcentul de dlte olumcă zobă l pe este α,8 - K -, coefcentul de compesbltte zotemcă β,9 - m /N. Se negljeză defomţ elstcă utocle. Soluţe Se utlzeză, pentu ezole, elţ (.): [ β ( p p ) ( T )] ρ ρ α T

9 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME m V m V ş se sce sub fom: [ β ( p p ) α( T T )] Dcă se împte ultm elţe cu m (ms pe dn utoclă), ezultă: [ β ( p p ) ( T T )] α V V D, deoece utocl se consdeă nedefomblă, V V ş, în um înmulţ cu cestă cnttte, elţ dene: / / β ( p p ) ( ) α T T su β Δp αδt de unde: αδt, Δp,6 P β,9.. Dstbuţ tezelo l mşce unu flud înt-o conductă deptă este dtă de lege (- / ) m, c în fgu., unde este z conducte, este o ză oece, [, ], m este tez în conducte. Fgu.. Dstbuţ pbolcă teze l mşce lmnă unu flud înt-o conductă cculă Cunoscând cm, m, m/s ş coefcentul de âscoztte dnmcă l fludulu η,5 Ns/m, să se detemne dstbuţ tensunlo tngenţle τ ş loe mmă cesto. Soluţe Tensunle tngenţle sunt dte de lege lu Newton, epmtă pn elţ (.7) d d τ η η dy d semnul - tă fptul că tez scde, când z ceşte (confom fgu.) Rezultă: d m τ η η m η d Dcă, tunc τ η,5,, m Dcă, tunc τ τ 5 P m m Pn ume, dstbuţ tensunlo în nteoul conducte este:

10 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME τ η m τ m η m Repezente gfcă ceste elţ s- făcut în fgu.. Fgu.. Dstbuţ lnă tensunlo tngenţle în nteoul fludulu l mşce în conduct cculă Pobleme popuse.5. Să se detemne olumul ΔV ocupt, l pesune p t, de eul ecut dnt-un ecpent de cpctte V5 l, dcă pesune în ecpent scde de l p 5 t l p t, tempetu T ămâne nescmbtă..6. Un mestec cu compozţ mscă de % dogen ş 7% zot e geutte G5 N ş pesune p,5 t. Să se detemne msele gzelo componente ş pesunle lo pţle..7. O butele cu cpctte de 5 dm conţne dogen l pesune p 5,9 MN/m ş tempetu T 95 K. Ms klomolă dogenulu este M, constnt uneslă gzelo R8 J/Kmol K. Să se detemne: ) pesune ndctă de mnometul montt pe butele, l tempetu T 6 K; b) ms dogenulu dn butele; c) tempetu l ce estă pecol de eploze, dcă butele ezstă până l cel mult p 7,5MN/m.

11 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME Noţun teoetce CAPITOLUL STATICA FLUIDELOR Sttc fludelo este pte mecnc fludelo ce studză eclbul cesto, pecum ş ntecţune lo cu lte flude su copu solde cu ce ceste n în contct. Fludul îş păsteză ste de epus tunc când sup s cţoneză foţe de tp msc su foţe de supfţă. Foţele de tp msc p dtotă estenţe uno câmpu eteoe fludulu, cum f de eemplu, câmpul gtţonl, ş ntenstte lo este popoţonlă cu ms fludulu sup cău cţoneză (de eemplu foţ de geutte ş foţ de neţe). Foţele de supfţă sunt epezentte de foţele de pesune ş ntenstte lo este popoţonlă cu supfţ fludulu sup cău cţoneză. Ecuţle genele le sttc fludelo, numte ş ecuţle lu Eule, se scu, în fom ectolă: p f m (.) ρ unde ρ este denstte fludulu, p pesune f m epezntă foţ mscă untă (ezultnt foţelo msce pe untte de msă). Ponnd de l sstemul ecuţlo genele ş consdeând foţele msce consete se obţne ecuţ fundmentlă sttc fludelo: dp du (.) ρ unde U epezntă potenţlul foţelo msce. În câmpul gtţonl, unde două dn componentele foţelo msce unte sunt nule, te este eglă cu loe cceleţe gtţonle, ecuţ fundmentlă (.) cpătă fom: dp gz const (.) ρ unde z este cot punctulu consdet, fţă de nelul de efenţă. Acestă elţe epmă de fpt, pncpul conseă enege, ce spune că în oce punct l unu flud flt în epus bsolut, sum dnte eneg de pesune ş eneg de pozţe este constntă. Relţ (.) îmbcă fome dfete pentu lcde ş pentu gze. În czul fludelo ncompesble (lcde), deoece denstte ρ pote f consdetă constntă ş ese de sub nteglă, elţ (.) cpătă fom: P γz const. (.) Acestă elţ detemnă lege de dstbuţe pesunlo, în nteoul unu lcd în epus ş se m pote sce c: p p γ (.5) Adcă, pesune înt-un punct dn nteoul unu lcd flt în epus bsolut este eglă cu sum dnte pesune tmosfecă, p ş pesune eecttă de colon de lcd de înălţme, fltă desup punctulu consdet. În czul gzelo, denstte nu m pote f consdetă constntă. Se pote eentul luc cu lo med pe ntele de pesune. În czul eclbulu elt l fludelo, dcă tunc când fludul se flă în epus înt-un ezeo ce este în mşce, ecuţ fundmentlă cpătă fom:

12 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME ω p p z γ (.6) g dcă sul este clndc, de ză R ş se flă în mşce de otţe cu tez ungulă ω ( este z punctulu în ce se clculeză pesune), su: b p p ( ρ y g z) (.7) dcă sul este psmtc, de lăţme b ş se flă în mşce de tnslţe cu cceleţ ( este nelul nţl l lcdulu dn ezeo, y ş z sunt coodontele punctulu în ce se clculeză pesune). Ce m mpotntă consecnţă elţe (.) este cee că înt-un lcd în epus, plnele ozontle sunt plne zobe ş ecpoc, cest consttund lem fundmentlă sttc, ce stă l bz ezolă numeose plcţ pctce. Aplcţ Pobleme ezolte. Să se detemne denelăle Δ ş Δ le pstonelo ezeoulu pln cu pă dn fgu., dcă secţunle tnsesle le cesto sunt: S,5 m, S, m ş S,5 m, foţele plcte sunt P N, P 5 N, P N. Fgu.. Soluţe Confom leme fundmentle sttc, plnul ozontl A A este un pln zob, dcă în oce punct l său pesune este ceeş. Pn ume, ţnând cont de elţ (.) putem sce şul de egltăţ: p p p γ Δ γδ S S S Consdeând ceste egltăţ două câte două, ezultă:

13 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME p p Δ S S γ p p Δ S S γ,5,5,5 5, 98 98,7m,765m.. Până l ce înălţme se pote dc benzn, pn mşce lentă pstonulu dn fgu., dcă pesune polo de benznă este p, t, denstte benzne este ρ b 7 kg/m, pesune tmosfecă este p 75 mmhg. Soluţe Fgu.. Pn dce pstonulu, în sptele său se ceeză o depesune (o pesune m mcă decât pesune tmosfecă) ce conduce l nte benzne în clndu. Teoetc, benzn tebu să uce în clndu până când pesune eecttă de colon de lcd, dcă ρ b g dene eglă cu pesune tmosfecă. În eltte însă, în zon de contct benznă-pston se fomeză un ntestţu fn de po de benznă, cu pesune p. Pn ume, benzn ucă în clndu până când este îndeplntă elţ: p p ρ b g dcă: (p - p )/ρ b g unde: p 75 mmhg 75, 9999,5 P p, t, 9,8 77 P Rezultă: (9999,5-77)/7 9,8, m.. Unu ezeo cu lcool se tşeză două tubu pezometce încse, unul cu lcool, celăllt cu mecu, c în fgu.. Cunoscând denele mecuulu Δ, m ş pesune polo stuţ de lcool p l, t, să se detemne denelăle ş y, dcă pesune ndctă de mnometul M este p M,5 t, denstăţle elte le lcoolulu ş mecuulu sunt,9 ş,596. Se negljeză pesune polo de mecu.

14 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 5 Soluţe Fgu.. Plnul ozontl A A fnd zob, putem sce confom elţe (.) p M p l γ l Rezultă: (p M - p l )/γ l (5-77)/889,55 m unde: p M,5 t,5 9,8 5 P p l, t, 9,8 77 P γ l ρ l g 9 9,8 889 N/m ρ l /ρ HO,9; ρ l,9 9 kg/m Plnul ozontl B B fnd zob, putem sce, confom elţe (.): p M γ l (y Δ) γ Hg Δ Rezultă: γ HgΔ pm 76,76, 5 y Δ,,75m γ 889 unde: l γ Hg ρ Hg g 596 9,8 76,76 N/m ρ Hg /ρ HO,596; ρ Hg, kg/m.. Rezeoul tonconc dn fgu., cu dmensunle Dm, H,5m ş α5 este umplut cu pă până l înălţme,m, po este ott unfom, în juul e sle etcle. Să se detemne tuţ mmă n, pentu ce lcdul nu cuge dn ezeo, pecum ş tuţ mmă n pentu ce lcdul păăseşte în întegme ezeoul.

15 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 6 Soluţe Fgu.. În tmpul mşcă de otţe ecpentulu, supfţ lcdulu cpătă fom unu pbolod de otţe, de ecuţe: z - (ω )/g C Pentu detemne constnte de ntege, C, se pun condţle l lmtă în punctele A ş B ş nume: - în punctul A, ş z, dcă C ; - în punctul B, R ş z H, dcă C H - (ω R R )/g unde: R D/ y D/ Hctgα /,5ctg5,6 m Rezultă: C,5 - (,6 ω )/ 9,8,5 -,56ω Pentu detemn tuţ mmă n, pentu ce lcdul nu cuge dn ezeo, se obseă că olumul gol BAB, măgnt de pbolod, este egl cu olumul gol nţl (olumul lcdulu ămâne celş) dcă: π π R ( ) ( )( ) H H R R R R unde: D D R y ctgα,ctg5,7 m Rezultă: ( H )( R RR R ) H R (,5,)(,6,6,7,7 ),5,55m,6 Se obţne dec: C,5 -,56ω,55 m

16 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 7 de unde,5,95 ω,6 d/s,56 Tuţ n, l ce lcdul nu cuge dn ezeo este: n ω /π,6/π 5,59 ot/mn Pentu detemn tuţ n, pentu ce lcdul păăseşte complet ezeoul, se fce obseţ că, tunc când sul se goleşte complet, pbolodul supfeţe lbee tece pn C ş C` ş este tngent l supfţ ltelă ezeoulu tonconc, dcă: dz d Pn ume C ω g R tgα g tgα 9,8 tg5 ω,7 d/sec R,5 Rezultă: n ω /π,7/π 5,9 ot/mn.5. Un ezeo psmtc, de lăţme b, conţne până l cot, un lcd cu denstte ρ c în fgu.5. Consdeând că ezeoul e o mşce de tnslţe, cu cceleţ, să se detemne ecuţ supfeţe lbee. Soluţe Fgu.5. Se consdeă sstemul de e mobl Qyz, legt de ezeo. Componentele foţe msce ş foţe de neţe unte sunt: X ; Y ; Z -g; X ; Y -; Z. Dfeenţl funcţe potenţl este, în cest cz: du -[(X X )d (Y Y )dy (Z Z )dz -[-dy - gdz] Pn ntege se obţne:

17 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 8 ( U dy gdz) y gz C Deoece supfţ lbeă este supfţă ecpotenţlă, dcă Uconst. în oce punct l e (o ltă consecnţă ecuţe fundmentle sttc), ezultă y gz C Constnt C se detemnă obseând că punctul A (yb/, z ) ămâne în ceeş pozţe tât în tmpul epusulu, cât ş în tmpul mşcă ectln ezeoulu, dcă: C b/ g Rezultă ecuţ supfeţe lbee lcdulu, în tmpul deplsă ezeoulu, de fom: y gz b/ g su y g(z ) b/ Acest este ecuţ une depte cu pnt: tgα dz dy b g d g dy y g Pobleme popuse.6. Două se descse, conţnând lcde nemscble cu geutăţ specfce dfete (γ 7 N/m ş γ b N/m ), sunt puse în legătuă c în fgu.6. Să se detemne înăţmle ş b, dcă denele dnte supfeţele lbee le celo două se este Δ cm. Fgu Un clopot clndc de dmetu D m ş înălţme H5 m, c în fg..7, se scufundă în pă. Să se detemne cot l ce se dcă p în nteoul clopotulu ş dâncme y, dcă ms cestu este m7 t. Pesune tmosfecă se dmte p t.

18 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 9 Fgu Un ezeo clndc, ând ms m kg, conţne o cnttte de pă de msă m 5 kg, în ce pluteşte un cop de msă m m (Fg..8). Să se detemne dâncme l ce se fundă ezeoul, când cest este scufundt în pă, dcă nelul pe în ezeo este m. Fgu.8.

19 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME Noţun teoetce CAPITOLUL CINEMATICA FLUIDELOR Pentu descee mşcă fludelo sunt necese unele noţun utlzte tât în concepee modelelo mtemtce, cât ş pentu înţelegee sensulu lo fzc. Pezente cesto noţun începe, în mod neces, cu elemente de cnemtcă deoece l flude, m mult decât în czul lto copu, cctestc genelă este defomţ, c fomă mşcă, epme teze ş cceleţe în dfete puncte cctestce dn flud epezntă un ntees cu totul specl. Mşce ptculelo flude se epmă cu jutoul uno ssteme de epezente. În dulcă se folosesc sstemul Lgnge ş sstemul Eule. L sstemul Lgnge, blele sunt tşte ptculelo flude, în tmp ce l sstemul Eule blele sunt tşte punctelo dn domenul de mşce. ªI în czul mşcă fludelo ămâne lblă, în ptcul, teoem Cucy Helmoltz dn mecnc clscă, ce se enunţă stfel: Fe un punct A(,, ), pţnând unu domenu de flud D(t) ş un punct M, dnt-o ecnătte mcă lu A, de coodonte: M( X, X, X ). Vtez punctulu M este: VM VA ω A AM φ (.) unde: VA este tez de tnslţe punctulu A; ω AM este tez de otţe lu M în juul lu A; φ este tez de defomţe; ω A epezntă ectoul âtej în A, Φ este o funcţe sclă su ectolă ce epezntă popetăţle mşcă ş se clculeză cu elţ: Φ j X X j X X X ( XX X X XX ) (.) j Funcţ Φ se tşeză tensoulu teză de defomţe, le cău componente, în ctezn, epezntă tezele de defomţe ungulă: j j,j,, (.) j D V Tensoul este smetc, dcă: ; ; Vectoul âtej ω, epezntă tez ungulă mede de otţe une ptcule în juul centulu e de geutte ş este: ω ot (.) unde este tez de tnslţe centulu de geutte l ptcule. Tensoul âtej Ω, e componentele, în ctezn: j ω j,j,, (.5) j D V

20 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME ş este smetc, dcă: ω - ω ; ω - ω ; ω - ω Clsfce mşcă fludelo se pote fce după m multe cte ş nume: ) după desfăşue în spţu mşcă, pot f mşcă spţle (tdmensonle), mşcă plne (bdmensonle) su mşcă lne (undmensonle); b) după ţ în tmp pmetlo mşcă, pot f mşcă pemnente (stţone), în ce tez nu ză în tmp su mşcă nepemnente (nestţone), cu czul ptcul l mşcă cspemnente (csstţone), în ce tez ză în tmp num c măme, nu ş c decţe; c) după tpul câmpulu tezelo, pot f mşcă potenţle, pentu ce estă o funcţe sclă φ, numtă potenţlul tezelo, stfel încât gd φ, su mşcă nepotenţle. În mecnc fludelo, epes mtemtcă pncpulu conseă mse, potă numele de ecuţe de contnutte, căe fomă ectolă este: ρ d( ρ) (.6) t Aplcţ Pobleme ezolte.. În pot cu un epe ctezn, tez unu flud este: În punctul A(,,) c âf, se consdeă un cub cu muc α, c în fgu.. Se cee să se detemne tez în âful opus M l cubulu, în două nte: ) folosnd elţ: ; b) folosnd elţ: M A ω A AM φ Soluţe Fgu.. ) Se dentfcă componentele,, le teze, în elţ dtă. Rezultă:

21 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME ; ;. Se clculeză tez punctulu M(α, α, α) cu elţ dn enunţ: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) M α α α α α α α α α b) Se elueză fece temen l elţe Cucy-Helmoltz A ( ) [ ] ( ) ot A A ω AM α α α ( ) AM α α α α α α ω Φ A se clculeză cu elţle (.) ş (.), unde: ( ) ( ) ( ) ( ) A A A A A A A A A A A A A A X X X α ( ) ( ) ( ) ( ),5,5 8 X X X X X X X X X X X X X X X X X X A A A A A A A A A A A A A A α α α φ φ φ φ α α α α α α φ Rezultă: ( ) ( ) ( ) ( ),5,5 AM A A M α α α α α α α φ ω

22 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME.. Se dă câmpul stţon de teze, dn mşce unu flud, pn elţ: ( ) unde,, sunt coodontele ctezene. Se cee: ) Detemne tensoulu teză de defomţe, ; D V b) Detemne ectoulu âtej,ω ş tensoulu âtej, Ω ; c) Vefce elţe: ot ω ; d) Vtez ş cceleţ fludulu în punctul A(,,). Soluţe ) Dn elţ câmpulu tezelo, ezultă: ; ( ). Componentele tensoulu se clculeză cu elţ (.) D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dec, tensoul teză de defomţe este: D b) Componentele tensoulu Ω se clculeză cu elţ (.5)

23 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ω ω ω ω ω ω ω - ω ; ω - ω - ; ω - ω -. Dec, tensoul âtej este: Ω c) Vectoul âtej este: ω ω ω ω unde: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ω ω ω Rezultă ω D, confom defnţe, ( ) ( ) ot ω d) Vtez în punctul A(,,) este: ( ) A În nomă, se obţne:

24 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 5,95 A m/s Acceleţ în punctul A(,,) este: unde: 8 8 A A A A A Dec, cceleţ în punctul A este: 8 8 În nomă, ezultă: 87, 8 8 m/s.. Se dă câmpul de teze, în mşce unu flud: ( ),,, fnd coodontele ctezene. Se cee să se detemne tubul de cuent ce tece pn cecul: ( ) 9 : C Soluţe Fe F(,,,t), ecuţ cteznă tubulu de cuent căutt. Deoece ; ; ( ), ecuţ dfeenţlă tubulu dene: F F F Adcă: ( ) F F F Acest este o ecuţe dfeenţlă lnă, omogenă, cu dete pţle de odnul I. Soluţone e cu poblem Cucy dtă în enunţ se fce stfel: Se fomeză sstemul cctestc soct ecuţe: ( ) ( ) ( ) t d t d t d,,,,,,,,, Adcă ( ) d d d

25 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 6 Se obseă că cest este c sstemul de ecuţ soct lnlo de cuent ce fomeză tubul. Se cută ntegle pme ndependente le sstemulu cctestc ş nume: d d ) Rezultă d d, de unde pn ntege: C d d d b) ( ) Rezultă: ( )( ) ( d d ) d su, m smplu: d(, ) d Pn ntege, obţnem ln C ln, dcă C. Se ezolă sstemul fomt dn cele două ntegle pme ş poblem Cucy dtă în enunţ, dcă: 9 C C Rezultă: 6 C 8 C Se înlocuesc epesle pentu C ş C etse dn nteglele pme, dcă C - C / Rezultă, ecuţ cteznă tubulu de cuent: 6 F (,, ) ( ) 8 Pobleme popuse.. Câmpul de teze l une mşcă plne pemnente este dt de epesle: ; Să se detemne tez ş cceleţ în punctul A (, 5) ş să se sce ecuţ lne de cuent ce tece pn cest punct..5. Admţând ceeş teză mede în tote cele te mfcţ dn Fg... să se detemne A ş debtele Q ş Q cunoscându-se A,8 m ; A,5 m ; Q 8 l/s.

26 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 7 Fgu...6. O conductă cu dmetul D mm e o zonă de stngule de dmetu d mm (fgu.). Pn conductă cuge un debt Q l/s de petol (ρ p 8 kg/m ). Să se detemne debtul msc Q M, tez mede în conductă ş tez S în secţune stngultă. Fgu..

27 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 8 CAPITOLUL DINAMICA FLUIDELOR IDEALE Noţun teoetce Dnmc fludelo este pte mecnc fludelo ce studză mşce cesto, pecum ş ntecţune mecncă fludelo în mşce, cu copule solde cu ce ceste n în contct. În cest cptol se consdeă num flude dele, dcă flude căo âscoztte este negljblă. În eltte, nu estă flude dele, însă fludele cu âscoztte edusă pot f încdte în cestă ctegoe, modelul mtemtc fnd m smplu. Rezulttele obţnute în studul fludulu del (pefect) pot f foloste, cu jutoul uno coefcenţ de coecţe, în ezole uno mpotnte plcţ pctce. Ecuţle de mşce le fludulu del, numte ş ecuţle lu Eule, sunt, în fomă ectolă: f p (.) t ρ Dezoltând temenul stâng l elţe, cest epezentând de fpt cceleţ centulu de msă l elementulu de flud, elţ (.) se m pote sce sub fom ectolă cunoscută sub numele de ecuţle Gomek-Lmb: Ω f p t (.) ρ În ctezn, ecuţle de mşce, tât în fom (.) cât ş în fom (.) fomeză un sstem de te ecuţ cu cnc necunoscute:, y, z, p ş ρ. Pn ume, pentu ezole m sunt necese două ecuţ. O pmă ecuţe se consdeă ecuţ de contnutte scsă sub fom (.6). O dou elţe se obţne dmţând că mşce este botopă, dcă ρρ(p). Intege sstemulu fomt stfel este însă dfclă, dtotă nelntăţ ecuţlo. Pesupunând că foţele msce sunt consete ş mşce fludulu este botopă ş pemnentă se obţne soluţ: dp d du (.) ρ Integând pentu lcde, unde ρconst. ş funcţ potenţl e fom Ugzconst, ezultă: p gz const (.) ρ Acestă elţe potă numele de elţ lu Benoull pentu lcde flte în mşce pemnentă ş epmă, dn punct de edee enegetc, pncpul conseă enege untăţ de msă fludă. Dcă elţ (.) se împte pn g, ezultă: p z const (.5) g γ unde /g epezntă eneg cnetcă pottă l untte de geutte; p/γ epezntă eneg potenţlă foţelo de pesune, pottă l untte de geutte, z este eneg potenţlă foţelo eteoe (su eneg de pozţe) pottă l untte de geutte. În genel, ecuţ lu Benoull se plcă înte două puncte flte pe o lne de cuent:

28 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 9 p p z z (.6) g γ g γ În czul gzelo, funcţ potenţl U este constntă, det e este nulă, ecuţ lu Benoull pentu gze este: p const (.7) ρ În multe czu pctce, domenul ocupt de un flud în mşce pote f smlt cu un tub de cuent. În semene czu se utlzeză elţ lu Benoull genelztă, dcă: α p α p z z (.8) g γ g γ unde α, α sunt coefcenţ Cools ntoduş pentu ţne sem de neunfomtte tezelo med ş în secţunle ş le tubulu de cuent. Relţ (.8) se utlzeză num pentu lcde, deoece în czul gzelo mămle ce cctezeză mşce sunt unfom dstbute pe secţune. Aplcţ Pobleme ezolte.. O conductă tonconcă, cu dmetul secţun nţle d5 mm, lungme L, m ş ungul conulu α5, c în fgu., tnspotă debtul de pă Q l/s. Cunoscând înălţme colone de pă dn tubul pezometc conectt l secţune nţlă, mm, să se detemne înălţme colone de pă dn tubul pezometc plst în secţune fnlă conducte. Se negljeză pedele de scnă. Fgu.. Soluţe Se plcă elţ lu Benoull, în fom (.6), înte punctele ş pe ln de cuent ce concde cu conducte. În cest cz, z z Rezultă:

29 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME p p g γ g γ Ţnând cont de elţ (.5), se pote sce: p γ p γ g γ g γ Rezultă g Vtezele ş se detemnă ţnând cont de elţ de defnţe debtulu olumc ş ecuţ de contnutte: πd πd Q Rezultă: Q,7 m/s πd π ( 5 ) unde: Q l/s dm /s - m /s d5 mm5 - m Q, m/s πd π ( ) unde: d α d α D L tg L Lα d,87 5 mm m α tg α 5π α 5,87 d 8 Rezultă:,7,,,7m 7mm 9,8.. Să se detemne debtul Q ş pesune p în secţune A, necese pentu c p ce ese dn jutjul conc dn fgu., cu d8 mm, D mm,,5 m să tngă înălţme H7, m. Fgu..

30 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME Soluţe Pentu detemne debtulu, se sce elţ lu Benoull, înte punctele B ş C pe ln de cuent ce concde cu conducte. B pb C pc g γ g γ Ţnând cont că: B ; C (dcă f dfetă de zeo, p uc m sus); p B p (pesune tmosfecă); p C p γh, ezultă: p p γh g γ γ de unde gh 9,8 7,,5 m/s Rezultă debtul: πd π,8 Q,5 6,5 m /s Pentu detemne pesun p se sce elţ lu Benoull înte punctele A ş B pe ln de cuent ce concde cu conducte: p p γ A g γ g γ Rezultă:,5,8 p A γ p γ ,5 78,5 N/m g 9,8 unde se detemnă dn ecuţ de contnutte: πd πd Q, dcă d 8,5,8 m/s D.. L ce pesune p, în conduct ozontlă de dmetu D5 mm, dn fgu., pn ce cuge debtul Q l/s, de lcd cu denstte ρ9 kg/m, pe pecolul de ctţe în zon îngusttă de dmetu d mm, dcă pesune de poze este p /γ, m? Se negljeză pedele de scnă. Fgu.. Soluţe Se dmte că în zon stngultă pe pesune de poze p ş se sce elţ lu Benoull înte secţunle A ş B, consdeând c nel de efenţă, conducte.

31 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME p p g γ g γ Rezultă: p 8,9, p γ 98, 66,6 9,8 N/m g γ unde ş se detemnă dn ecuţ de contnutte: πd πd Q, dcă: Q,m/s πd π,5 Q 8,9 m/s πd π, Q l/s dm /s - m /s.. Să se detemne debtul ce cuge pn sfonul dn fgu.. ş pesune dn punctul B, în potez negljă pedelo de scnă. Fgu.. Soluţe Se sce elţ lu Benoull înte un punct de pe supfţ lbeă lcdulu dn ezeo ( cău teză de coboâe este pctc nulă, dtotă dmensunlo m le ezeoulu în compţe cu dmetul sfonulu) ş un punct l eşe dn sfon, unde pesune este eglă cu pesune tmosfecă p. p p γ g γ Rezultă, tez pe în tubul sfon: g 9,8 5 9,9 m/s Debtul sfont este: πd π,5 Q 9,9,75m /s Pentu detemne pesun în punctul B, se sce elţ lu Benoull înte cest punct ş eşe sfonulu: pb γ ( ) p g γ g γ Rezultă:

32 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME p B p -γ( )5-98(5)65 N/m.5. Să se stblescă tez mmă pe ce o e p l eşe pn secţune tubulu dn fgu.5, detemnându-se în pelbl înălţme H cestu, stfel încât în secţune pesune să nu scdă sub pesune de poze pe. Se cunosc dmetele D,5 m, d,5 m, pesune de poze pe l C, p /γ, mh O, pesune tmosfecă, p /γ mh O ş înălţme ezeoulu, m. Fgu.5 Soluţe Se sce elţ lu Benoull înte punctele ş, pe ln de cuent ce concde cu conducte: p γ ( H ) p g γ g γ Dn ecuţ de contnutte: πd πd Q ezultă: d, ce se înlocueşte în elţ lu Benoull scsă nteo. Obţnem: D d H g D de unde: g( H ) g( H ) d D deoece d /D -, dcă negljbl. Se obseă că tez m se obţne pentu înălţme H m tubulu. Pentu detemne ceste se plcă elţ lu Benoull înte punctele ş : p γh p g γ g γ

33 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME ş se obseă, dn ecuţ de contnutte că. Rezultă: H(p -p )/γ Vloe mmă lu H se obţne în czul lmtă în ce p / γp / γ. Dec: p p H m, 9,76m γ Cu cestă loe, tez mmă este: g H 9,8 9,76, m/s. ( ) ( ) 5 m m Pobleme popuse.6. Înt-un tub ozontl de secţune blă (fgu.6), cuge un lcd del ând geutte specfcă γ,98γ HO ş debtul Q l/s. Ce sunt înălţmle pezometce p /γ, p /γ, p /γ ş p /γ, dcă se cunosc dmetele secţunlo especte: d d 5 mm, d 88 mm, d 5 mm ş pesune p t? Fgu Să se detemne foţ de solcte lă flnşe dn fgu.7, consdeând geutte pe ş pedele de scnă c fnd negljble. Se cunosc: H m; d 5 mm; d mm; d mm; γ ule 8 N/m. Fgu.7.

34 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 5 CAPITOLUL 5 DINAMICA FLUIDELOR REALE ÎN MIŞCARE LAMINARĂ Noţun teoetce Cugee fludelo ele se pote poduce în două egmu de mşce, dfete dn punct de edee l stuctu cesto ş nume egmul lmn ş egmul tubulent. Fcto ce detemnă pţ unu dn cele două egmu, l cugee unu flud pnt-o conductă, sunt tez mede de cugee fludulu,, dmetul conducte, d ş âscoztte cnemtcă fludulu, ν. Pentu ccteze egmulu de cugee l fludulu se ntoduce măme dmensonlă Re, numtă număul lu Reynolds ş defntă c: Red/ν (5.) Dcă mşce fludulu se elzeză pentu o loe număulu lu Reynolds m mcă decât o loe ctcă, Re<Re c, egmul de mşce este totdeun lmn. Dcă mşce fludulu e loc în condţle în ce Re>Re c, egmul de cugee este tubulent. L cugee în conducte, Re c. Ecuţle de mşce ş metodele de studu pentu cele două egmu sunt esenţl dfete. În czul cel m genel, mşce fludelo ele, în egm lmn, este descsă de ecuţle Ne-Stokes: f p νδ (5.) t ρ Acestă elţe epezntă, în ctezn, un sstem de te ecuţ cu necunoscute: componentele, y, z le teze ş pesune p. Pentu ezole lu, se tşeză ecuţ de contnutte, scsă sub fom: y z (5.) y z Rezole ectă sstemulu este, în cele m multe czu, mposblă dtotă nelntăţ ecuţlo, de cee se folosesc metode pomte cum f metod sttulu lmtă, metod dfeenţelo fnte su metod smltudn. Soluţ ecte se pot obţne num în czul mşcălo undmensonle le fludelo newtonene ş ncompesble, în mşce lmnă, cum f mşce înte două plăc plne plele, stute l dstnţ un fţă de lt ş înclnte cu uncul α fţă de un pln ozontl, când se obţne soluţ de fom: Δp ( y) ρpsnα ( y ) (5.) η l ce potă numele de mşce Hgen ş Posseulle, su mşce înt-o conductă clndcă cculă, căe secţune deptă este un cec de ză R ş căe ă este înclntă cu un ung α fţă de un pln ozontl, când se obţne soluţ de fom: Δp (, y) ρpsnα ( R R ) (5.5) η l

35 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 6 Aplcţ Pobleme ezolte 5.. Pentu motze şoculu pooct de foţ de ecul, un tun este peăzut cu fână ctct, ce constă dnt-un clndu cu ule ş un pston peăzut cu ofc ccule, de dmetu d, c în fgu 5.. Cunoscând âscoztte uleulu, η, dmetul pstonulu, D, foţ de ecul, F ş tez p cu ce se deplseză pstonul, să se detemne număul N l ofclo ccule dn pstonul ctctulu, dcă pe fţ supeoă pstonulu pesune este ce tmosfecă. Fgu 5.. Soluţe Foţ F ceeză pe fţ nfeoă pstonulu pesune: F p p π D Pn ume, ţ pesun pe cele două feţe le pstonulu este: F Δ p p p πd Acestă ţe de pesune poduce o cugee lmnă uleulu, pn ofcle ccule, cu tez dtă de elţ (5.5), în ce α, dcă: Δp ( R R ) η l Pentu R, se obţne tez mmă: Δp m R η l pentu RRR, se obţne tez mnmă mn. Rezultă tez mede Δp F d Fd R 8η l 8η πd l 8πD ηl Dtotă fptulu că p >p, pn ofc ucă o numtă cnttte de ule ce fce c pstonul să coboe cu tez p, ce este legtă de pn ecuţ de contnutte:

36 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 7 Q D d N p π π Rezultă număul N l ofclo: 8 Fd l D D d d D d D N p p p η π π π dec p d D F l N 8πη 5.. Pstonul dn fgu 5.. împnge cu o foţă utlă F uleul în clndul de ză R ş m depte, pnt-o conductă de lungme l ş ză uleul este golt înt-un ezeo. Pesupunând că mşce în clndu ş în conductă este lmnă, să se detemne tmpul în ce pstonul pcuge cus L. Fgu 5.. Soluţe Dn elţ teze med l mşce lmnă înt-o conductă cculă detemntă l poblem pecedentă: 8 R l med Δp η ezultă debtul medu: 8 8 R l p R R l p R Q Δ Δ η π π η π De c ezultă ţ de pesune: În clndu: Q R L p p p 8 π η Δ În conductă: Q l p p p 8 π η Δ Adunând cele două ţ de pesune, se obţne: Δ 8 l R L Q p p p π η Acestă ţe de pesune este podusă pn cţune foţe F pe supfţ secţun clndulu, dcă:

37 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 8 Δpp -p F/πRR Eglând cele două elţ pentu Δp, se obţne debtul: l R R L F Q 8η Volumul de lcd scus în tmpul dt este: dqdt, de unde: dl F l R R L R l R R L F dl R Q d dt 8 8 ηπ η π Tmpul în ce pstonul pcuge înteg cusă L se obţne pn ntege: R l L R F ll lr L R F ll ll R R L F R L l R L R F R dl l R R L F R dt T L L L ηπ ηπ ηπ ηπ ηπ 5.. Un flud ncompesbl, de denstte ρ ş âscoztte η cunoscute, se flă în mşce plnă lmnă înt-un dfuzo pln cu un ung de eze fote mc, c în fgu 5.. Debtul de flud pe untte de neguă este q. Cunoscând, ş l să se detemne ţ de pesune Δpp -p, înte cpetele dfuzoulu. Ce condţ tebue să stsfcă ungul β pentu c ezulttul obţnut să fe coect? Fgu 5.. Soluţe Debtul q înte ce do peeţ plel este: dz q unde se înlocueşte dn elţ (5.), în ce Δp/ldp/d ş α. Rezultă:

38 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 9 ( ) d dp d dp z z d dp dz z d dp q η η η η Etnzând plcbltte ceste elţ l dfuzoul pln, mămle ş dp/d sunt dependente de deoece: ( ) l Dn elţ debtulu, ţ pesun este: ( ) d l q d q dp η η Pn ntege se obţne: l l d q p p η Pentu ezole ntegle, notăm ( - )/lk ş ţnem cont că ( ) ( ) ( ) c n b d b n n. Obţnem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ql ql ql l l ql kl k q k k q d k q k d q p p l l l η η η η η η η η Dcă fludul f del, ceştee secţun duce l mcşoe teze, dec l ceştee pesun. Scnd elţ lu Benoull pentu cest cz ş înlocund tezele, dn elţ de contnutte cu q/ ş q/, obţnem:,, q p q p del del ρ ρ De c: ( ) ( ) q q p p del ρ ρ Se obseă stfel, compote dfetă fludulu del de cel el. Scădee pesun l mşce lmnă fludulu âscos, obţnută cu pm fomulă este coectă dcă cest este cu mult m me decât ceştee pesun obţnută cu dou fomulă, c ume ceşte secţun. Pentu efc cest lucu, fcem potul memblo dn dept celo două elţ: ( ) ( ) ( ) l q q l q ql ν ρ η ρ η

39 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME β β D tg l α Pn ume, β tg << l Aşd, elţ găstă este coectă. ν q 5.. Ce este putee dsptă pentu înngee foţelo de âscoztte în flmul de ule l lgăulu l dn fgu 5.? Cu cât ceşte putee dsptă, în czul în ce descdee este unfomă? Se dmte un egm lmn de cugee. Fgu 5.. Soluţe Pentu o fâşe elementă cculă, de ză ş lăţme d, ţ de teză înte plc nfeoă fă ( ) ş ce supeoă moblă () este: Δ- ω Confom leg lu Newton, înte plăc se dezoltă tensune de fece Δ ηω τ η Pn ume, cuplul element de fece este: ηω πηω dm Ff τ da π d d Putee elementă dsptă este: d dθ dp Fd F F Fω ωdm dt dt Pn ntege, ezultă: R R πηω πηω πηω R PAB ω d 6 Pe poţune degentă BC lgăulu, tensune de fece este τηδ/y, unde y este de fom yαβ. Constntele α ş β ezultă dn condţle l lmtă, dcă pentu R/, y/αr/β ş pentu R, yαrβ. Rezolând sstemul dt de cele două elţ pentu y se obţn: α/r ş β. Pn ume, y/r ş τηωr/. Rezultă cuplul element:

40 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME ηωr dm BC τda π d Consdeând, c ş nteo, putee elementă dp BC ωdm BC ş ntegând, obţnem: R RηωR ηω R πω R R R PBC ω R π d π R πηω R 7πηω R Putee dsptă totlă este: πηω R 7πηω R πηω R P PAB PBC 6 8 Pentu fnt unfomă, putee dsptă este: πηω R πηω R P Dec: P 8,55 P Pn ume, constucţ unu lgă unfom conduce l o spoe cu 55% pute dspte, cee ce justfcă geomet nţlă lgăulu. Pobleme popuse 5.5. În ccutul de ăce dn fgu 5.5 se ntoduce uleul de lucu în moto l tempetu t 55 C, pnt-o conductă de dmetu d 5 mm, ecuându-se după cee, căte dto, l tempetu t C, pnt-o conductă de dmetu d 5 mm. Dcă debtul de cculţe este Q, l/s, să se detemne egmul dulc de cugee l nte ş eşe dn moto. Pentu detemne âscoztăţ cnemtce uleulu, funcţe de tempetuă, se utlzeză dgm dn fgu După eşe dn conduct de ză unu scmbăto de călduă, debtul Q de lcd de denstte ρ junge înt-un colecto de secţune A, în ce eptţ tezelo se unfomzeză.

41 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME Să se detemne ceştee de pesun p -p ş putee dsptă înte secţunle ş (fgu 5.7) în potez că mşce lcdulu în conductă este lmnă. Fgu 5.7.

42 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME CAPITOLUL 6 DINAMICA FLUIDELOR REALE ÎN MIŞCARE TURBULENTĂ Noţun teoetce În czul mşcă tubulente, înte sttule de flud dcente estă un putenc scmb de substnţă, dcă, pe lângă mşce pncplă estă ş componente tnsesle le teze. Pn ume, tez se clculeză cu elţ:, unde este tez nstntnee, este tez mede este pulsţ (fluctuţ) teze. Acestă elţ tă că mşce tubulentă este o mşce mede în tmp, peste ce se suppune o mşce fluctuntă. Anlog teze, pentu oce măme ce cctezeză mşce tubulentă se pot defn o loe nstntnee ş o loe mede înt-un ntel de tmp. C ume ecuţle mşcă tubulente folosesc măm medte în tmp ş sunt, în fom ectolă, dte de ecuţ lu Reynolds: ( ) f p νδ (6.) t ρ L mşce tubulentă înt-o conductă clndcă cculă, dstbuţ de teze este dfetă de ce pbolcă, găstă l mşce lmnă, în cest cz estând, fţă de conducte, două zone dfete ş nume un substt âscos ş un nucleu tubulent, cctezte pn poflu de teze dfete. L cugee în conducte pot pe două tpu de pede dulce ş nume pede lne ş pede locle. Pedele dulce lne sunt cele ce se poduc în oce conductă de secţune constntă ş sunt dte de elţ: l λ ln d (6.) g unde λ este coefcentul de pede lne (coefcentul lu Dcy), l ş d epezntă lungme ş espect dmetul conducte, este tez mede de cugee în conductă g este cceleţ gtţonlă. Pedele dulce locle sunt cele dtote estenţe ezstenţelo dulce locle, pe ce u loc dspă buşte le enege dulce cuentulu de flud, epezentte pn cotu, educţ, confuzoe, dfuzoe, obneţ, entle, ne, teu, etc. În czul ezstenţelo locle, pedee dulcă se sce sub fom popusă de Wesbc: ζ loc ζ g (6.) g unde ζ, ζ sunt coefcenţ de pede locle (coefcenţ Wesbc), sunt tezele med în secţunle especte. Poblem fundmentlă clcululu conductelo este detemne coefcentulu lu Dcy, λ. Dn epeenţele efectute de Nkudse, cest demonstt că λ depnde de număul lu Reynolds ş de ugoztte eltă peetelu conducte, k/d, dcă λλ(re, k/d). De semene, în um cesto epeenţe, Nkudse ntodus noţunle de conductă dulc netedă, pentu ce ndfeent de ugoztte conducte, λ depnde num de număul lu Reynolds, λ λ (Re) ş conductă dulc ugosă, pentu ce de l o numtă loe număulu Reynolds, λ ămâne constnt ş depnde num de ugoztte eltă conducte, λ λ (k/d).

43 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME Dcă se pesupun cunoscute: dmetul nteo l conducte,d; ugoztte eclentă peetelu conducte, k; tez mede de cugee în secţune conducte, ş âscoztte cnemtcă fludulu, ν, metodolog de clcul lu λ este umătoe: ) Se clculeză număul lu Reynolds cu elţ (5.). b) Se compă loe obţnută cu loe ctcă. Dcă Re<, mşce este lmnă ş λ se clculeză cu elţ: 6 λ (6.) Re Dcă Re>, mşce este tubulentă. c) Se clculeză cteul Re λ k / d, legând pentu λ o loe nţlă cupnsă în ntelul (,...,). Dcă Re λ k / d <9, conduct este dulc ugosă ş λ se clculeză cu fomul lu Kmn: lg( Re λ ), 8 (6.5) λ Dcă 9,< Re λ k / d <, conduct este semugosă ş λ se clculeză cu fomul Colebook ş Wte:,5 k lg (6.6) λ Re λ,7d Dcă Re λ k / d >, conduct este dulc ugosă ş λ se clculeză cu fomul Kmn ş Nkudse: d lg, (6.7) λ k d) Cu loe obţnută pentu λ se eclculeză cteul Re λ k / d ş, dcă este czul, se eclculeză λ. Aplcţ Pobleme ezolte 6. Să se detemne pedee de scnă pe un tonson de conductă cu dmetul d mm ş lungme l5 m, dcă cest tnspotă debtul de pă Q5 l/s, l tempetu de C, l ce âscoztte cnemtcă pe este ν, -6 m /s. Rugoztte eclentă conducte este k,5 mm. Soluţe Pedee de scnă pe tonsonul de conductă consdet este o pedee lnă (nu estă ezstenţe locle), ce se clculeză cu elţ (6.), unde tez se detemnă dn elţ de defnţe debtulu Q Q 5,796 m/s, A πd π, λ se clculeză după metodolog pezenttă nteo. d,796, ) Se clculeză număul lu Reynolds: Re 57 6 ν, b) Rezultă Re>, pn ume mşce este tubulentă;

44 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 5 c) Se clculeză cteul Re λ k / d, doptând loe nţlă λ,. Rezultă:,5 Re λ k / d 57, 5,6 Dec 9,< Re λ k / d <, dcă conduct este semugosă ş λ se clculeză cu elţ (6.6), folosnd un pocedeu tet, în ce se c loe nţlă pentu λ, loe clcultă cu elţ (6.7), dcă: λ,86 d lg, lg, k,5 Intoducând cestă loe în elţ (6.), obţnem: λ,6,5,5,5 lg lg k Re,7 57,86,7 λ d Rezulttul fnd mult dfet de loe nţlă, λ λ, se plcă dn nou fomul (6.), λ deennd λ, dcă: λ,68,5,5,5 lg lg k Re,7 57,6,7 λ d După încă un cclu de pomţe, se obţne: λ,68,5,5,5 lg lg k Re,7 57,68,7 λ d Deoece λ λ, se opeşte clculul l cest ps ş se consdeă λ,68. d) Se eclculeză cteul Re λ k / d cu loe obţnută: Re λ k / d 57, 68,5/9 Deoece 9,<9<, ezultă că domenul dms nţl, dcă cel l utlză elţe (6.6) este coect. Rezultă pedee de scnă: l 5,796 ln λ,68,5m d g, 9,8 6.. Pnt-o conductă cu lungme l m ş dmetul d5 mm, cuge un debt de petol Q5, l/s, ând denstte ρ,9 - kg/m ş âscoztte cnemtcă ν,8 - m /s. Să se clculeze pedee de scnă în conductă. Soluţe Clculul pedelo de scnă se fce cu elţ (6.) unde tez se detemnă dn elţ debtulu

45 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 6 Q 5,, m/s πd π,5 λ, după metodolog dej cunoscută. ) Se clculeză număul lu Reynolds: d,,5 Re 68,8 ν b) Se compă loe obţnută cu loe ctcă Re68<, pn ume cugee este lmnă ş λ se clculeză cu elţ (6.) 6 6 λ,98 Re 68 Pedee de scnă este, pn ume: l, ln λ,98,88 m d g,5 Cădee de pesune coespunzătoe este: Δpγ ln 9,889, N/m unde:,9 γ ρg 9 N/m Pnt-o conductă cu ţe buscă de secţune, de l dmetul d 8 mm l dmetul d 5 m, c în fgu 6., cuge debtul de pă Q5 m /. Cunoscând coefcentul lu Wesbc ζ,5, să se detemne denelăle mnometulu dfeenţl cu mecu, pentu cele două sensu de cugee. Geutăţle specfce pentu cele două flude sunt: γ HO 98 N/m ş γ Hg 6 N/m. Fgu 6.. Soluţe ) Când sensul de cugee este de l stâng l dept, pedee loclă de scnă l lăge buscă conducte se clculeză cu elţ (6.), ptculztă în fom denumtă fomul Bod ş Cnot: ( ) g g Vtezele ş se clculeză dn ecuţ de contnutte:

46 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 7 πd πd Q de unde: Q πd π,8 Rezultă: d d, ,86 m/s,95m/s,86,95,6m 9,8,86 Dn ecuţ lu Benoull înte secţunle ş : p α p α γ g γ g cu α α, în czul cuge tubulente, ezultă: p p,86,95,6,m g 9,8 γ H O denele mnometulu, în cest cz, este: p p p p, H,9m,mm γ Hg γ γ H O Hg γ H O (,6 ) γ H O γ H O b) Când cugee este de l dept l stâng, pedele locle se clculeză cu elţ (6.):,86 ζ,5, m g 9,8 Rezultă: p p,86,95,,9 m γ g 9,8 Denele mnometulu este, în cest cz:,9 H,868m 87 mm,6 ( ) Pobleme popuse 6.. Gzele se înt-un czn es pn coşul de fum cu dmetul D m ş înălţme H6 m l tempetu de 5 C. Debtul de gz este Q8 m /, cădee de pesune dtotă fecă este Δp9,8 N/m. Cunoscând denstte ρ,5 kg/m ş âscoztte ν,6 - m /s, coespunzătoe tempetu dte, să se detemne tez gzelo l dstnţ y mm de peete ş tez gzelo în coşulu (tez mmă). Să se ezole poblem 5.6 în potez că mşce lcdulu în conductă este tubulentă, eptţ teze în pot cu z fnd u() U / 7 cu loe mmă U în ă.

47 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 8 CAPITOLUL 7 MIŞCAREA PERMANENTĂ ÎN CONDUCTE SUB PRESIUNE Noţun teoetce Conductele sub pesune sunt elemente cu pondee mpotntă în nstlţle de tnspot ş dstbuţe fludelo căte consumto. După confguţe, eţelele de conducte pot f monofle, mfcte su buclte ş compuse dn conducte scute (cu numeose ezstenţe locle) ş dn conducte lung (l/d>), l ce pedele locle sunt negljble. L clculul conductelo sub pesune, destnte tnspotulu lcdelo se plcă umătoele poteze de clcul: mşce se consdeă pemnentă, tempetu, denstte, âscoztte ş pocentul de gz dzolt în lcd se consdeă constnte. Estă două pobleme tpce de clcul l conductelo ş nume: ) pobleme de poecte, în ce se cee dmetul conducte; b) pobleme de eplote, în ce dmetul conducte este cunoscut. Blnţul enegetc l une conducte sub pesune se obţne plcând elţ genelztă lu Benoull, înte secţunle nţlă ş fnlă le conducte studte, dcă: α p α p z z (7.) g γ g γ unde: α, α epezntă coefcenţ Cools, ând loe pentu mşce tubulentă ş pentu mşce lmnă; Σ - - sum pedelo lne ş locle înte cele două secţun. Scn H sstemulu sub pesune se clculeză c dfeenţ înălţmlo pezometce dnte nte ş eşe: p p H z z α α (7.) γ γ g g În clculul scn H, un dnte teze se substtue pn celltă, dn ecuţ de contnutte. De obce, c teză de efenţă se consdeă tez. Pentu o conductă scută, cupnzând n tonsone însete, de lungme l ş dmetu d ş m ezstenţe locle, pedele totle de scnă, Σ - se clculeză cu elţ: n n n n l l n Q j j MQ λ d ζ j g λ d ζ j ga (7.) unde: M n n l λ ζ j potă numele de modul de ezstenţă l tonsonulu. ga d j L conductele lung smple se negljeză tât temen cnetc cât ş pedele locle de scnă. În cest cz, scn sstemulu este: p p l l Q H z z MQ l λ λ (7.) γ γ d g d ga unde M l epezntă modulul de ezstenţă ln.

48 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 9 Reţelele de conducte mfcte se cctezeză pn fptul că fece consumto este lmentt dnt-o snguă decţe ş ofeă ntjul unu consum edus de mtel, dezntjul pncpl fnd cel l une fbltăţ mc. Clculul cestu tp de eţe se fce legând un tseu pncpl l eţele, înte punctul de lmente ş consumtoul cel m îndepătt s dmensonând cest tseu, tonson cu tonson, începând de l consumto, cu elţ (7.), po clculând mfcţle, cu înălţmle pezometce l cpete mpuse tât de consumto, cât ş de tseul pncpl. Reţelele de conducte nele (buclte) sguă fecău consumto o lmente dn cel puţn două decţ, ofend stfel o fbltte ş o stbltte dulcă m me. Clculul cestu tp de eţe se fce dmţând nţl o dstbuţe de debte (c măme ş sens) pe fece nel ş clculând po eoe de încdee pedelo de scnă Δ, pe fece nel, ce tebue să fe cupnsă în ntelul,...,5 m H O. În cz cont, se eu clculele pentu o nouă dstbuţe debtelo, opeţe ce potă numele de compense eţele. Aplcţ Pobleme ezolte 7.. În eţeu de conducte dn fgu 7., cugee pe e loc de l ezeoul de pesune A, pn mgstl ABCDE ş mule BF, CM ş CN. Să se legă dmetele (stnddzte), pentu tonsonele de conducte ş să se epeznte ln pezometcă, dmţând debtele l consumto ş lungmle tonsonelo confom fgu. În punctele temnle, pesune nu tebue să scdă sub 8 mh O. Cotele z le nodulo sunt încdte în cene. Fgu 7.. Soluţe Se lege c tseu pncpl (mgstlă), tseul ABCDE. Debtele pe tonsonele cestu tseu se clculeză ponnd de l nodul temnl E, spe nodul de lmente, A. Q ED Q E 9,6l/s; Q DC Q E Q D 69,65,6l/s; Q CB Q DC Q CN Q CM 5,65,,8 l/s; Q BA Q CB Q BF 5,8 l/s. Dmetele stndd le tonsonelo se leg dn tbelul 7., în funcţe de debtele clculte nteo. Înte două lo stnddzte se lege, de egulă, dmetul cel m me.

49 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 5 Tbelul 7.. Vlole stnddzte le dmetulu, funcţe de tez lmtă su debtul ecomndt dmetele stndd [mm] tez lmtă,75,75,76,8,85,95,,5,,5 ecomndtă [m/s] debtul lmtă ecomndt [l/s],5, Dn tbel, ezultă: d ED 5 mm; d DC mm; d CB 5 mm; d BA 5 mm. Cu ceste dmete se detemnă tezele ele de cugee pe tonsone, folosnd elţ de defnţe debtulu, dcă Q/πd. Se obţne ED 96, 78, m/s; DC 56, 8, m/s; π, 5 π, CB 8, 9, m/s; BA 58,, m/s. π 5, π 5, Cu ceste teze se clculeză pedele de scnă pe tonsone, utlzând elţ Q l/m, unde m este modulul de debt ce se lege dn tbelul 7.. Tbelul 7. Modulul de debt ş tez mnmă păttcă, funcţe de dmetul conducte d [mm] m [l/s] Vtez mnmă păttcă conducte nomle conducte no conducte nomle conducte no 5 8,,,8,8 5,6 6,7,9,,8 98,,5 999, 57,,7 6,,8 Consdeând conductele nomle (ec), pn ntepole, ezultă: m ED 97,9 l/s; m DC,8 l/s; m cb 66, l/s; m b 66, l/s. Deoece, pe tonsonele ED, DC ş CB, tez elă de cugee, clcultă nteo, este m mcă decât tez mnmă păttcă specfctă în tbelul 7., pe ceste tonsone modulul de debt se coecteză cu elţ m p θ m, unde fctoul de coecţe θ se lege dn tbelul 7.. Tbelul 7.. Fctoul de coecţe θ, funcţe de tez elă de cugee tez θ [m/s] conducte nomle conducte no,,8,86,,9,9,6,95,9,8,97,95,,99,96 Rezultă: θ ED,97; θ DC,97; θ CB,97 ş m ped,9797,99,6l/s; m pdc,97,8,5l/s; m pcb,97597,9 l/s. Pn ume, pedele de scnă pe tonsone sunt:

50 Mecnc fludelo ş mşn dulce PROBLEME 5 9, 6 9 ED 9, 6, m; DC 5, 6 5, 5, m;, 8 5 5, 8 5 CB 7, m; BA 88, m. 597, 9 66, Nodule lne pezometce se obţn obseând că în punctul E, cot pezometcă este Z E p E 6,58,5 m. Se obseă că s- lut p E 8 m, deoece în enunţul pobleme s- mpus că pesune să nu scdă sub 8 m H O. Se dugă, în contnue, pedele de scnă pe tonsone: Z D p D Z E p E DE,5,8,5 m Z C p C Z D p D DC 8,5,,6 m Z B p B Z C p C CB,6,7,7 m Z A p A Z B p B BA,7,886,5 m Rezultă, cot supfeţe lbee, fţă de fundul ezeoulu, în nodul A: 6,5-7,88,5 m În contnue, se efectueză clculul mulo BF, CM ş CN. În nodule B ş C se cunoşte cot pezometcă, ezultând pedele. Dn: Z F p F Z B p B - BF, ezultă: BF Z B -Z F p B -p F,6-5,7-8,7 m Dn: Z M p M Z C p C - CM, ezultă: CM Z C -Z M p C -p M 8,5-5,6,-88, m Pn ume: Z F p F,7-,7 m Z M p M,6-8,,6 m Modulul de debt, pentu tonsonele BF ş CM se clculeză cu elţ mq/j / unde j este pnt dulcă, clcultă cu elţ j/l. Rezultă: BF, 7 QBF 6 jbf, 6; mbf, 9 l/s; l 6 j, 6 BF CM 8, QCM 5, jcm, ; mcm, 6 l/s. lcm 8 jcm, Dn tbelul 7.. pentu ceste lo le modulelo se leg dmetele d BF 75 mm ş d CM 75 mm. Vtezele ele de cugee sunt: BF 6 6, m/s; CM 5, 8, m/s. π, 75 π, 75 Se consttă că mbele teze sunt m m decât tez mnmă păttcă specfctă în tbelul 7., dec nu m este necesă plce coecţe θ. Pe tonsonul CN, cu debt unfom dstbut, pedee de scnă se clculeză dn elţ: Z N p N Z C p C - CN, de unde: CN Z C -Z N p C -p N,6-(7,88)5,8 m Rezultă: Z N p N,6-5,85,8 m. În czul debtulu dstbut, modulul de debt se clculeză cu elţ: mq T j /, unde Q T este debtul de consum eclent, detemnt cu elţ Q T Q/ /, dcă: Q T Q CN / / / / 8, l/s. Rezultă pnt ş modulul de debt: BF