Συστήµατα και Κυκλώµατα στο πεδίο-s

Transcript

1 Συστήµατα και Κυκλώµατα στο πεδίο-s Περιεχόµενα ΗΡΑΚΛΗ Γ. ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΥ: ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 7. Η γενική έννοια της συνάρτησης κυκλώµατος Αλγεβρα συναρτήσεων µεταφοράς Πόλοι και µηδενικά Οδηγούσες συναρτήσεις κυκλωµάτων Συναρτήσεις µεταφοράς τάσεως και ρεύµατος Απόκριση πλάτους και φάσης κατά συχνότητα Διαγράµµατα Bode Αποκρίσεις από το διάγραµµα πόλων-µηδενικών Παράσταση Οδηγουσών συναρτήσεων Ευστάθεια Οριακή Ευστάθεια (marginal stability) Κριτήρια Routh-Hurwitz Κριτήρια αυστηρότητος Hurwitz Εισαγωγή στους Ταλαντωτές Παράλληλος LC ταλαντωτής Σειριακός LC ταλαντωτής Ταλαντωτές γέφυρας Wien Ταλαντωτές Colpitts και Hartley Ταλαντωτής µετατόπισης φάσης 469 Ασκήσεις και προβλήµατα

2 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 7. Η γενική έννοια της συνάρτησης κυκλώµατος ΣΧΗΜΑ 7. Αναλύοντας το κύκλωµα του σχήµατος 7. στην εφαρµογή 6.0 του προηγουµένου κεφαλαίου (µε v o =0) βρήκαµε ότι η µετασχηµατισµένη απόκριση V(s) συνδέεται µε την µετασχηµατισµένη διέγερση µε την σχέση: R V(s) ' 2 E(s) s 2 LCR 2 % s(cr R 2 %L) % R % R 2 Παρατηρήστε ότι ο λόγος H V (s) της µετασχηµατισµένης απόκρισης προς την µετασχηµατισµένη διέγερση H V (s) ' V(s) E(s) ' R 2 s 2 LCR 2 % s(cr R 2 %L) % R % R 2 ( 7. είναι ανεξάρτητος της διέγερσης και εξαρτάται µόνον από τις παραµέτρους του κυκλώµατος. Θεωρώντας τώρα το εισερχόµενο στο ίδιο κύκλωµα ρεύµα I(s) ως απόκριση του κυκλώµατος έχουµε E(s) & V(s) E(s)&V(s) ' R I(s) % sli(s) Y I(s) ' R % sl Αν στην σχέση αυτή αντικαταστήσουµε την τιµή του V(s) που έχουµε ήδη βρει, το ρεύµα I(s) του κυκλώµατος είναι: % scr I(s) ' 2 E(s) s 2 LCR 2 % s(cr R 2 %L) % R % R 2 Παρατηρήστε ξανά ότι ο λόγος της απόκρισης I(s) προς την διέγερση E(s) είναι ανεξάρτητος της διέγερσης και εξαρτάται µόνον από τις παραµέτρους του κυκλώµατος και συγκεκριµένα: H I (s) ' I(s) E(s) ' scr 2 % ( s 2 LCR 2 % s(cr R 2 %L) % R % R 2 7. (

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Η χρήση εποµένως του µετασχηµατισµού Laplace µας επέτρεψε να διατυπώσουµε αλγεβρικές σχέσεις µεταξύ οποιασδήποτε µετασχηµατισµένης απόκρισης και της µετασχηµατισµένης διέγερσης, κάτι που δεν είναι δυνατόν στο πεδίο του χρόνου. Συγκεκριµένα στην πρώτη περίπτωση όπου θεωρούµε ως απόκριση του κυκλώµατος την V(s), αυτή δηµιουργείται µε έναν απλό πολλαπλασιασµό της διέγερσης E(s) επί H(s): V(s) = H v (s)e(s) Το ίδιο συµβαίνει και στην περίπτωση που θεωρούµε ως απόκριση το ρεύµα I(s). Και πάλι η απόκριση προκύπτει από την διέγερση µε έναν απλό πολλαπλασιασµό επί H I (s): I(s) = H I (s) E(s) Τονίζεται ότι τόσο η H v (s) όσο και η H I (s) είναι χαρακτηριστικές του κυκλώµατος και δεν εξαρτώνται από την διέγερση αλλά µόνον από τις παραµέτρους και την τοπολογία του. Οι συναρτήσεις H v (s) και η H I (s), αλλά και οποιαδήποτε συνάρτηση της µιγαδικής συχνότητος s, η οποία δηµιουργείται ως λόγος µιας µετασχηµατισµένης απόκρισης προς µια µετασχηµατισµένη διέγερση ενός συστήµατος, ονοµάζονται γενικώς συναρτήσεις µεταφοράς (transfer functions) του συστήµατος. Αν µια συνάρτηση ενός κυκλώµατος δηµιουργείται αντίστροφα, δηλ. ως ο λόγος της µετασχηµατισµένης διέγερσης προς µια µετασχηµατισµένη απόκριση, τότε η συνάρτηση ονοµάζεται συνάρτηση µετάδοσης. Σηµειώνεται ότι γιά τον υπολογισµό των συναρτήσεων µεταφοράς, χρησιµοποιείται η εξαναγκασµένη µόνον απόκριση, θεωρώντας µηδενικές αρχικές συνθήκες του συστήµατος. Σε κάθε µεταβλητή ενός συστήµατος για την οποία ενδιαφερόµαστε, αντιστοιχεί µια συνάρτηση µεταφοράς (και µια µετάδοσης), όταν η µεταβλητή αυτή θεωρηθεί ως η απόκριση. Η µετασχηµατισµένη απόκριση για την οποία ενδιαφερόµαστε, προκύπτει από τον πολλαπλασιασµό της αντίστοιχης συνάρτησης µεταφοράς επί την µετασχηµατισµένη διέγερση. Ο απλός αυτός µηχανισµός µας επιτρέπει να παριστάνουµε ένα σύστηµα ως ένα block, το οποίο παίρνει την διέγερση Χ(s) και δηµιουργεί την απόκριση Y(s) µε έναν απλό πολλαπλασιασµό µε την αντίστοιχη συνάρτηση µεταφοράς. Σε αντίθεση µε το πεδίο-t, στο πεδίο-s είναι δυνατή η αφαίρεση, η αποµάκρυνση δηλ. από τις κατασκευαστικές λεπτοµέρειες του κυκλώµατος και η προσήλωση στην λειτουργία που εκτελεί το σύστηµα, όπως αυτή εκφράζεται από την κατάλληλη συνάρτηση µεταφοράς

4 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Η δηµιουργία εποµένως της απόκρισης από την διέγερση περιγράφεται στο πεδίο-s από την απλή σχέση των µετασχηµατισµών τους: Y(s) = H(s)X(s) Παίρνοντας τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace της παραπάνω σχέσης και ενθυµούµενοι ότι ο αντίστροφος µετασχηµατισµός του γινοµένου είναι η συνέλιξη, έχουµε: & Y(s) ' & H(s)X(s) Y y(t) ' h(t)(x(t) ' 4 &4 x(τ)h(t& τ)dτ Η παραπάνω σχέση αποδεικνύει µια από τις σπουδαιότερες σχέσεις στη θεωρία των γραµµικών συστηµάτων, ότι δηλαδή ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Laplace µιας συνάρτησης µεταφοράς είναι η αντίστοιχη χρονική κρουστική απόκριση και αντίστροφα. Κάθε γραµµικό χρονικά αµετάβλητο σύστηµα µπορεί εποµένως να περιγραφεί στο µεν πεδίο του χρόνου µε την κρουστική του απόκριση, στο δε πεδίο συχνοτήτων, µε την συνάρτηση µεταφοράς. Και οι δύο περιγραφές προσδιορίζουν πλήρως την λειτουργία του συστήµατος, η κύρια όµως διαφορά είναι ότι στο πεδίο του χρόνου απαιτείται µια δύσκολη πράξη ολοκλήρωσης, η συνέλιξη, ενώ στο πεδίο-s ένας απλός πολλαπλασιασµός. Μια δεύτερη παρατήρηση είναι ότι προκειµένου να υπολογίσουµε την κρουστική απόκριση στο πεδίο του χρόνου, πράγµα αρκετά επίπονο όπως διαπιστώσαµε στο κεφάλαιο 3, µπορούµε να υπολογίσουµε την αντίστοιχη συνάρτηση µεταφοράς και να πάρουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace, σύµφωνα µε την παρακάτω σχέση: h(t) ' & [H(s)] και H(s) ' [h(t)] -408-

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7. Ως εφαρµογή, θα υπολογίσουµε το ρεύµα του κυκλώµατος του σχ. 7. όταν e(t)=δ(t) µε τιµές των στοιχείων R 'R 2 ' L ' C ' Πρόκειται στην ουσία για τον υπολογισµό της κρουστικής απόκρισης στο κύκλωµα µε διέγερση την e(t) και απόκριση το ρεύµα i(t). Η αντίστοιχη συνάρτηση µεταφοράς έχει ήδη υπολογιστεί παραπάνω, σχέση 7.3: H I (s) ' I(s) E(s) ' scr 2 % s % ' s 2 LCR 2 % s(cr R 2 %L) % R % R 2 s 2 % 2s %2 Το ρεύµα i(t) για κρουστική διέγερση, οπότε E(s)=, θα είναι σύµφωνα µε τα παραπάνω: i(t)' & H I (s)e(s) ' & s % s 2 % 2s %2 ' s % & (s%) 2 % ' e &t συν(t)u(t) ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7.2 Οταν σε ένα γραµµικό χρονικά αµετάβλητο κύκλωµα βάζουµε στην είσοδο κρουστική τάση, δίνει στην έξοδο τάση ίση µε v(t) ' e & 2 t. Σχεδιάστε το κύκλωµα. Είναι προφανές ότι αφού η διέγερση είναι κρουστική, η απόκριση v(t) είναι η κρουστική απόκριση h(t). Αντιστρέφοντάς την λοιπόν θα πάρουµε την αντίστοιχη συνάρτηση µεταφοράς δηλ. H(s) ' V(s) E(s) ' [h(t)] ' [0.5e &0.5t ] ' 0.5 s % 0.5 Στο σχήµα 7.2 δίνονται µερικά κυκλώµατα που υλοποιούν την συνάρτηση µεταφοράς αυτής της µορφής. ΣΧΗΜΑ

6 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Η µετάβαση βέβαια από την συνάρτηση µεταφοράς στο κύκλωµα αποτελεί αντικείµενο της Σύνθεσης κυκλωµάτων, σε τόσο απλά όµως κυκλώµατα, η λύση είναι προφανής. Αξίζει όµως να παρατηρήσει κανείς ότι υπάρχουν πολλά κυκλώµατα που έχουν την ίδια συνάρτηση µεταφοράς και αυτός είναι ο λόγος που δεν είναι απολύτως απαραίτητες οι λεπτοµέρειες του κυκλώµατος. Ο σχεδιαστής ενός σύνθετου συστήµατος σε κάποιο σηµείο του οποίου απαιτείται η λειτουργία του απλού αυτού κυκλώµατος, θα το παρίστανε ως και στην φάση της υλοποίησης, θα επέλεγε από το σχήµα 7.2, το καταλληλότερο από τα κυκλώµατα µε την συγκεκριµένη συνάρτηση µεταφοράς. 7.. Αλγεβρα συναρτήσεων µεταφοράς - Λειτουργικά µπλοκ Η κρουστική απόκριση h(t) και ο µετασχηµατισµός της, που είναι η αντίστοιχη συνάρτηση µεταφοράς H(s), είναι χαρακτηριστικά του συστήµατος και περιγράφουν πλήρως την σχέση απόκρισης-διέγερσης. Η συνέλιξη σε συνεργασία µε την κρουστική απόκριση, παριστάνει στο πεδίο του χρόνου την επεξεργασία που πραγµατοποιεί ένα σύστηµα LTI στην διέγερση x(t), για να δηµιουργήσει την απόκριση y(t). Η ίδια επεξεργασία περιγράφεται στο πεδίο συχνοτήτων από την συνάρτηση µεταφοράς H(s), η οποία απλά πολλαπλασιάζει την µετασχηµατισµένη διέγερση X(s), γιά να δηµιουργήσει την µετασχηµατισµένη απόκριση Y(s). Είναι εποµένως αυτονόητο, αν θέλουµε να παραστήσουµε ένα σύστηµα ως ένα λειτουργικό µπλοκ στο πεδίο-s. να χρησιµοποιούµε την µοναδική για το σύστηµα H(s), υπονοώντας ότι το µπλοκ την πολλαπλασιάζει µε την µετασχηµατισµένη διέγερση για να δηµιουργήσει την µετασχηµατισµένη απόκριση. Οι συνδέσεις συστηµάτων που παρουσιάστηκαν στο πρώτο κεφάλαιο, παρουσιάζονται ξανά εδώ, στο πεδίο-s, υπό το πρίσµα της παραπάνω θεώρησης. Στην αλυσωτή σύνδεση του παρακάτω σχήµατος, είναι προφανές ότι η συνάρτηση µεταφοράς του συνολικού συστήµατος είναι H o (s)= H (s)*h 2 (s) -40-

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Το συνολικό δηλ. σύστηµα που προκύπτει από την σύνδεση, πολλαπλασιάζει την Η o (s) µε την µετασχηµατισµένη διέγερση για να δώσει την µετασχηµατισµένη απόκριση. Στην παράλληλη σύνδεση, δηµιουργείται ένα σύστηµα, η συνάρτηση µεταφοράς H o (s) του οποίου είναι το άθροισµα των επιµέρους συναρτήσεων µεταφοράς των συστηµάτων που συνδέονται. Επαναλαµβάνεται εδώ ότι για να ισχύουν τα παραπάνω, πρέπει τα χαρακτηριστικά των συστηµάτων να επιτρέπουν την σύνδεση, χωρίς αυτή να επηρεάζει τις επιµέρους συναρτήσεις µεταφοράς. Υπενθυµίζουµε το φαινόµενο της φόρτωσης (loading), το οποίο στα ηλεκτρικά κυκλώµατα µεταβάλλει την συνάρτηση µεταφοράς. Θεωρήστε γιά παράδειγµα το κύκλωµα του σχήµατος 7.3α. Μόλις συνδεθεί µε µιά επόµενη βαθµίδα, αυτό ισοδυναµεί µε την σύνδεση ενός φορτίου R L στην έξοδό του (σχήµα 7.3β), το οποίο επειδή τραβάει ρεύµα, µεταβάλλει την συνάρτηση µεταφοράς. Η άλγεβρα των συναρτήσεων µεταφοράς που παρουσιάστηκε γιά τις συνδέσεις των συστηµάτων, ισχύει µόνον όταν η σύνδεση δεν προκαλεί φαινόµενα φόρτωσης, πράγµα που εξασφαλίζεται όταν η συνδεόµενη βαθµίδα έχει µηδενική αντίσταση εξόδου, ή η επόµενη έχει άπειρη αντίσταση εισόδου και δεν τραβάει ρεύµα. Αυτή η κατάσταση εξασφαλίζεται στα ηλεκτρονικά µε την χρήση ενός αποµονωτή, όπως στο σχήµα

8 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΧΗΜΑ 7.3 ΣΧΗΜΑ 7.4 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7.3 ΣΧΗΜΑ 7.5 Γιά να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση του συστήµατος του σχήµατος 7.5, παρατηρούµε ότι πρόκειται για δύο κυκλώµατα σαν αυτό του σχήµατος 7.3α, τα -42-

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ οποία δέχονται κοινή είσοδο και οι έξοδοί τους οδηγούνται σε έναν ηµιαθροιστή, οι είσοδοι του οποίου εξασφαλίζουν την άπειρη αντίσταση εισόδου µε την χρήση των αποµονωτών. Το σύστηµα µπορεί εποµένως να παρασταθεί ως παράλληλη σύνδεση των δύο κυκλωµάτων, των οποίων ήδη γνωρίζουµε τις συναρτήσεις µεταφοράς. Η συνολική συνάρτηση µεταφοράς θα είναι το ηµιάθροισµα των επιµέρους, δηλαδή: H o (t)'0.5 H (s)%h 2 (s) Σηµειώνεται ότι τα παραπάνω δεν ισχύουν χωρίς τους αποµονωτές. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7.4 Για να υπολογίσουµε την κρουστική απόκριση του παρακάτω κυκλώµατος, παρατηρούµε ότι αυτό αποτελείται από δύο γνωστές βαθµίδες RC, αποµονωµένες µε έναν αποµονωτή που εξασφαλίζει ότι η σύνδεση δεν θα επηρεάσει την έξοδο της πρώτης βαθµίδας. ΣΧΗΜΑ 7.6 Το κύκλωµα εποµένως µπορεί να παρασταθεί όπως στο παρακάτω σχήµα. Πρόκειται για µια αλυσωτή σύνδεση δύο βαθµίδων και η συνολική συνάρτηση -43-

10 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ µεταφοράς θα είναι το γινόµενο των συναρτήσεων µεταφοράς των δύο συνδεµένων κυκλωµάτων: H o (s)'h (s)h 2 (s)' R C R 2 C 2 s% R C s% R 2 C 2 ΣΧΗΜΑ Πόλοι και µηδενικά Οι συναρτήσεις, των γραµµικών χρονικά αµετάβλητων συστηµάτων είναι ρητές συναρτήσεις του s. Αυτό σηµαίνει ότι είναι της µορφής F(s) ' N(s) D(s) ' a n s n % a n& s n& % a n&2 s n&2 %... % a s % a 0 b m s m % b m& % b m&2 s m&2 %... % b s % b 0 Τα πολυώνυµα του αριθµητή και του παρονοµαστή έχουν τόσες ρίζες όση είναι η τάξη τους και εποµένως µπορούν να εκφραστούν συναρτήσει των ριζών τους όπως παρακάτω, αφού γνωρίζουµε ότι ο αριθµητής έχει n ρίζες και ο παρονοµαστής m ρίζες. F(s) ' N(s) D(s) ' a n (s & z )(s & z 2 )(s & z 3 )...(s & z n& )(s & z n ) b m (s & p )(s & p 2 )(s & p 3 )...(s & p m& )(s & p m ) Οι ρίζες z i του αριθµητή και p i του παρονοµαστή, όπως όλες οι ρίζες πολυωνύµων, -44-

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ είναι πραγµατικές ή ζεύγη µιγαδικών ριζών και εποµένως µπορούν να παρασταθούν σε ένα µιγαδικό επίπεδο όπως στο σχήµα 7.7, όπου µε ένα µικρό κύκλο παριστάνονται οι ρίζες z i του αριθµητή, που λέγονται µηδενικά της συνάρτησης και µε ένα µικρό x παριστάνονται οι ρίζες p i του παρονοµαστή, που ονοµάζονται πόλοι της συνάρτησης. Τέτοια διαγράµµατα ονοµάζονται διαγράµµατα πόλων-µηδενικών και περιγράφουν πλήρως τις αντίστοιχες συναρτήσεις. Η συνάρτηση µεταφοράς τάσης του κυκλώµατος του σχήµατος 7. γιά R= και L= και C=είναι H(s)' V(s) E(s) ' s 2 % 2s % 2 που δεν έχει µηδενικά, έχει όµως ένα ζεύγος συζυγών µιγαδικών πόλων γιά s=-±j. Αξίζει να σηµειωθεί ότι οι πραγµατικές συχνότητες ω x απεικονίζονται πάνω στον φανταστικό άξονα των διαγραµµάτων πόλων και µηδενικών ως ±jω x, σύµφωνα µε το παρακάτω σχήµα, το οποίο δείχνει το µέτρο G(ω) µιάς συνάρτησης ενός συστήµατος και το διάγραµµα πόλων-µηδενικών της G(s). Παρατηρήστε ότι ο πόλος α±jω ο, που δεν είναι πάνω στον φανταστικό άξονα, δεν δηµιουργεί απειρισµό στην πραγµατική G(ω), ενώ ο πόλος jω 2, απειρίζει την G(ω) γιά ω=ω 2. Το µηδενικό jω που είναι πάνω στον φανταστικό άξονα, δηµιουργεί µηδενισµό της G(ω) γιά ω=ω. Γενικά, όταν κινούµεθα πάνω στον άξονα ω των πραγµατικών συχνοτήτων, αυτό αντιστοιχεί µε κίνηση πάνω στον φανταστικό ηµιάξονα jω του διαγράµµατος πόλων-µηδενικών. -45-

12 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Για την θέση των πόλων και των µηδενικών πάνω στο επίπεδο-s ισχύουν γενικοί κανόνες αλλά και ειδικοί για κάθε κατηγορία συναρτήσεων. Σε όλα όµως τα ευσταθή συστήµατα, οι πόλοι βρίσκονται στο αριστερό ηµιεπίπδο, θέµα µε το οποίο θα ασχοληθούµε αργότερα. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7.5 Οταν γνωστό είναι το διάγραµµα πόλων-µηδενικών, είναι γνωστή και η συνάρτηση του κυκλώµατος. Για παράδειγµα το παρακάτω διάγραµµα πόλων-µηδενικών αντιστοιχεί στη συνάρτηση Ks (s%2)(s % & j)(s % % j) ' 7.3 Οδηγούσες συναρτήσεις κυκλωµάτων Ks (s%2)(s 2 % 2s % 2) Στα γραµµικά χρονικά αµετάβλητα ηλεκτρικά κυκλώµατα, που αποτελούν µια κατηγορία γραµµικών χρονικά αµετάβλητων συστηµάτων, οι συναρτήσεις µεταφοράς, οι οποίες αναφέρονται στην τάση και το ρεύµα του ιδίου ζεύγους ακροδεκτών, ονοµάζονται οδηγούσες συναρτήσεις (driving point functions) και εκφράζουν µετασχηµατισµένη αντίσταση ή αγωγιµότητα. ΣΧΗΜΑ

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Αναφερόµενοι στο µονόθυρο κύκλωµα (κύκλωµα δύο ακροδεκτών) του σχήµατος 7.8, µπορούµε να ορίσουµε την οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Z(s) και την οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος Y(s) στο πεδίο συχνοτήτων ως εξής: Z(s) ' V(s) I(s) και Y(s) ' Z(s) ' I(s) V(s) Η Z(s) είναι στην ουσία η µετασχηµατισµένη αντίσταση που παρουσιάζουν οι δύο ακροδέκτες ή η µετασχηµατισµένη αντίσταση εισόδου του κυκλώµατος. Η Υ(s) είναι η µετασχηµατισµένη αγωγιµότητα που παρουσιάζουν οι δύο ακροδέκτες ή η µετασχηµατισµένη αγωγιµότητα εισόδου του κυκλώµατος. Αντίστοιχες οδηγούσες συναρτήσεις µπορεί να οριστούν και για ένα ζεύγος ακροδεκτών εξόδου, ορίζοντας την οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης και αγωγιµότητας. Οι οδηγούσες συναρτήσεις είναι θεµελειώδους σηµασίας γιά την σύνθεση κυκλωµάτων και παρουσιάζουν συγκεκριµένες ιδιότητες, όπως θα δούµε στη συνέχεια. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7.6 Στο κύκλωµα του εποµένου σχήµατος, από την εξίσωση του βρόχου RI(s) % sli(s) ' E(s) εύκολα µπορούµε να ορίσουµε την οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης του κυκλώ- µατος ως Z(s) ' E(s) ' R % sl I(s) Παρατηρήστε ότι η Z(s) είναι το άθροισµα της R και της µετασχηµατισµένης αντίστασης sl του πηνίου. Αυτό είναι µια γενική παρατήρηση, οτι δηλ. η οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης δύο ακροδεκτών, µπορεί να υπολογιστεί συνθέτοντας τις µετασχηµατισµένες αντιστάσεις των επιµέρους κλάδων ανάλογα µε την συνδεσµολογία τους (σε σειρά ή παράλληλα). Η οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης του κυκλώµατος RLC του σχ. 7.9, υπολογίζεται για παράδειγµα ως η αντίσταση R παράλληλα µε το πηνίο sl και όλο µαζί στη σειρά -47- ΣΧΗΜΑ 7.9

14 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ µε την µετασχηµατισµένη αντίσταση του πυκνωτή δηλ. sc Z(s) ' E(s) I(s) ' sc % slr sl % R ' s 2 LCR % sl % R s 2 LC % src Οι οδηγούσες συναρτήσεις των παθητικών κυκλωµάτων RLCM (δηλ. µε αντιστάσεις, πηνία, πυκνωτές και µετασχηµατιστές), παρουσιάζουν ορισµένες ιδιότητες που αποτελούν ένα σύνολο αναγκαίων συνθηκών. Αυτό σηµαίνει ότι όλες οι οδηγούσες συναρτήσεις κυκλωµάτων RLCM ικανοποιούν τις συνθήκες αυτές, ενώ αν µια συνάρτηση Z(s) τις ικανοποιεί, δεν είναι κατ ανάγκην αλλά µπορεί να είναι οδηγούσα συνάρτηση ενός τέτοιου κυκλώµατος. ΑΝΑΓΚΑΙΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΟΔΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ RLCM. Οι οδηγούσες συναρτήσεις είναι ρητές συναρτήσεις του s, µε πολυώνυµα που έχουν θετικούς πραγµατικούς συντελεστές. 2. Οι µιγαδικοί πόλοι και τα µηδενκά έρχονται κατά συζυγή ζεύγη. 3. Το πραγµατικό µέρος των πόλων και των µηδενικών δεν µπορεί να είναι θετικό. 4. Οι πόλοι και τα µηδενικά γιά s=0 είναι απλά (έχουν πολλαπλότητα ). 5. Το πολυώνυµο N(s) του αριθµητή είναι πλήρες ή πλήρες άρτιο ή πλήρες περιττό, έχει δηλ. όλους τους όρους ή µόνον τους άρτιους ή µόνον τους περιττούς. 6. Το πολυώνυµο D(s) του παρονοµαστή είναι πλήρες ή πλήρες άρτιο ή πλήρες περιττό, έχει δηλ. όλους τους όρους ή µόνον τους άρτιους ή µόνον τους περιττούς. 7. Η διαφορά τάξης των πολυωνύµων αριθµητή και παρονοµασή µπορεί να είναι το πολύ. Τονίζεται ότι για τον υπολογισµό των συναρτήσεων ενός συστήµατος, θεωρούµε ότι βρίσκεται σε µηδενική κατάσταση, δηλ. έχει µηδενικές αρχικές συνθήκες. Οι αρχικές συνθήκες εποµένως εξ ορισµού δεν λαµβάνονται υπόψη στον υπολογισµό των συναρτήσεων των συστηµάτων, αφού ούτως ή άλλως δεν επηρεάζουν ούτε χαρακτηρίζουν την λειτουργία τους. 7.4 Συναρτήσεις µεταφοράς τάσεως και ρεύµατος Ενας άλλος τύπος συναρτήσεων κυκλωµάτων, ίσως πιό χρήσιµος και περιγραφικός από τις οδηγούσες συναρτήσεις, είναι οι συναρτήσεις µεταφοράς (transfer functions) -48-

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ τάσεως και ρεύµατος. Αυτές εκφράζονται από τον λόγο ενός µετασχηµατισµένου µεγέθους εξόδου προς ένα οµοειδές µετασχηµατισµένο µέγεθος εισόδου. Γιά παράδειγµα ο λόγος της τάσεως εξόδου V(s) προς την τάση εισόδου E(s), στο κύκλωµα του σχήµατος 7.0 µε µηδενικές αρχικές συνθήκες, είναι η συνάρτηση µεταφοράς τάσης του κυκλώµατος H v (s) ' V(s) E(s) ' s 2 LCR s 2 LCR % sl % R ΣΧΗΜΑ 7.0 Στο κύκλωµα του σχήµατος 7., η συνάρτηση µεταφοράς ρεύµατος υπολογίζεται ότι είναι H Ι (s) ' I(s) I o (s) ' scr s 2 LC % src % ΣΧΗΜΑ 7. Οπως οι οδηγούσες συναρτήσεις έτσι και οι συναρτήσεις µεταφοράς κυκλωµάτων RLCM έχουν ορισµένες ιδιότητες που αποτελούν και αναγκαίες συνθήκες. Ολες οι συναρτήσεις µεταφοράς κυκλωµάτων RLCM έχουν αυτές τις ιδιότητες, γιά να είναι όµως µια συνάρτηση του s, συνάρτηση µεταφοράς τάσης ή ρεύµατος κυκλώµατος RLCM πρέπει να ικανοποιεί τις αναγκαίες αυτές συνθήκες. Αν παραβιάζει έστω και µια, δεν θα είναι συνάρτηση µεταφοράς κυκλώµατος, ενώ αν τις ικανοποιεί όλες δεν είναι ικανή προϋπόθεση γιά να υπάρχει κύκλωµα RLCM που την έχει ως συνάρτηση µεταφοράς. -49-

16 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΑΝΑΓΚΑΙΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΤΑΣΗΣ ή ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ RLCM. Οι συναρτήσεις µεταφοράς είναι ρητές συναρτήσεις του s, H(s)' N(s), µε D(s) πολυώνυµα N(s) και D(s) µε πραγµατικούς συντελεστές. 2. Οι µιγαδικοί πόλοι και τα µηδενικά έρχονται κατά συζυγή ζεύγη. 3. Το πραγµατικό µέρος των πόλων δεν µπορεί να είναι θετικό. 4. Αν υπάρχει πόλος γιά s=0, αυτός είναι απλός. 5. Το πολυώνυµο D(s) του παρονοµαστή είναι πλήρες ή πλήρες άρτιο ή πλήρες περιττό. Εχει δηλ. όλους τους όρους ή µόνον τους άρτιους ή µόνον τους περιττούς. 6. Το πολυώνυµο Ν(s) του αριθµητή µπορεί να µην είναι πλήρες και ακόµα να έχει και αρνητικούς όρους. Η τάξη του N(s) είναι ανεξάρτητη από την τάξη του παρονοµαστή 7. Στις περιπτώσεις συναρτήσεων µεταφοράς τάσεως ή ρεύµατος ισχύει ότι η τάξη του αριθµητή δεν µπορεί να είναι µεγαλύτερη αυτής του παρονοµαστή. 8. Στις περιπτώσεις µεικτών συναρτήσεων µεταφοράς (ρεύµατος-τάσεως), η τάξη του αριθµητή µπορεί να υπερβαίνει αυτήν του παρονοµαστή το πολύ κατά. Γενικά οι πόλοι των συναρτήσεων των κυκλωµάτων βρίσκονται πάνω στο αριστερό ηµιεπίπεδο, έχουν δηλ. αρνητικό πραγµατικό µέρος. Ο περιορισµός αυτός έχει σχέση µε την ευστάθεια των κυκλωµάτων. Φανταστείτε γιά παράδειγµα ότι η συνάρτηση µεταφοράς ενός κυκλώµατος είναι H(s) ' V OUT (s) V ΙN (s) ' s & 5 δηλ. V OUT (s) ' s & 5 V ΙN (s) Ο πόλος της συνάρτησης µεταφοράς είναι p=5 και βρίσκεται στο δεξί ηµιεπίπεδο. Αν θεωρήσουµε ότι η διέγερση είναι κρουστική, δηλ. V IN (s)=, αντιστρέφοντας την σχέση αυτή, παίρνοντας τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace, βρίσκουµε: v OUT (t) ' e 5t u(t) Ο πόλος στο δεξιό ηµιεπίπεδο, δηµιούργησε εποµένως µιά έξοδο που αυξάνει συνεχώς µε τον χρόνο. Τέτοια κυκλώµατα είναι ανεπιθύµητα και γενικά τα παθητικά κυκλώµατα δεν µπορούν να επιδείξουν µια τέτοια συµπεριφορά. Τα µηδενικά των οδηγουσών συναρτήσεων βρίσκονται πάντοτε στο αριστερό ηµιεπίπεδο ενώ αυτό δεν είναι απαραίτητο να ισχύει γιά τα µηδενικά των συναρτήσεων µεταφοράς

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 7.5 Απόκριση πλάτους και φάσης κατά συχνότητα Με το να θεωρήσουµε ότι η µιγαδική συχνότητα s=σ+jω έχει σ=0, είναι δηλ. φανταστική της µορφής s=jω, περιορίζουµε την γενικότητα της συνάρτησης µεταφοράς σε µια ειδική κατηγορία σηµάτων και µάλιστα στην µόνιµη κατάσταση, µετά τα µεταβατικά φαινόµενα. Με την θεώρηση s=jω, αυτοµάτως θεωρούµε ως διέγερση του κυκλώµατος την µιγαδική Χe jωt, η οποία όπως είδαµε στο κεφάλαιο 3 (εδάφιο 3.8), στα γραµµικά χρονικά αµετάβλητα συστήµατα δίνει απόκριση της ίδιας µορφής Ye j(ωt+φ), µε µοναδική διαφορά στο πλάτος και την φάση. Ετσι η Η(jω) δεν παριστάνει γενικά τον λόγο της απόκρισης προς την διέγερση αλλά τον λόγο της µιγαδικής εκθετικής απόκρισης προς την µιγαδική εκθετική διέγερση. H(jω) ' Y(jω) jωt%φ Ye ' ' Y X(jω) Xe jωt X e jφ ( 7. ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το µιγαδικό εκθετικό σήµα έχει άµεση σχέση µε τα ηµιτονικά σήµατα αφού ισχύει ότι x(t) ' Xe jωt ' Xσυν(ωt) % jxηµ(ωt) Αν το σήµα αυτό τεθεί ως διέγερση σε ένα γραµµικό χρονικά αµετάβλητο σύστηµα, θα δώσει κατά τα γνωστά απόκριση y(t) ' Ye jωt%φ ' Yσυν(ωt%φ) % jυηµ(ωt%φ) και εποµένως η απόκριση του συστήµατος γιά πραγµατική διέγερση Χσυν(ωt) θα είναι η Υσυν(ωt+φ), ενώ η απόκριση γιά διέγερση Χηµ(ωt) είναι η Υηµ(ωt+φ). Η συνάρτηση µεταφοράς τάσης H(s) ενός κυκλώµατος γιά s=jω, δηλ. µε µιγαδική εκθετική διέγερση είναι ένας µιγαδικός αριθµός που έχει ένα µέτρο και µια γωνία (όρισµα) και µπορεί να γραφτεί ως. H(jω) ' H(jω) e jëh(jω) ' H(ω)e jφ(ω) από την οποία, σε συνδυασµό µε την σχέση 7.2 προκύπτουν οι παρακάτω ορισµοί: H(ω) ' H(jω) ' Y X φ(ω) ' ËH(jω) ' φάση απόκρισης & φάση διέγερσης -42-

18 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Η πιο πάνω σχέση επιτρέπει τις εξής διατυπώσεις: Οταν στην συνάρτηση µεταφοράς H(s) βάλλουµε s=jω º το µέτρο Η(ω) της Η(jω) είναι ίσο µε τον λόγο του πλάτους Υ της ηµιτονικής απόκρισης προς το πλάτος Χ της ηµιτονικής διέγερσης που την προκαλεί. º η γωνία (όρισµα) φ(ω) της Η(jω) είναι ίση µε την διαφορά φάσης της ηµιτονικής εξόδου και της ηµιτονικής εισόδου. Τόσο το Η(ω) όσο και το φ(ω) είναι συναρτήσεις της κυκλικής συχνότητος ω=2πf, πράγµα που επιτρέπει την παράστασή τους συναρτήσει της συχνότητος και την µελέτη της συµπεριφοράς των κυκλωµάτων στις διάφορες συχνότητες. Ας θεωρήσουµε για παράδειγµα το κύκλωµα του σχήµατος 7.2. Το κύκλωµα αυτό για R= και L= έχει συνάρτηση µεταφοράς τάσης H(s) ' V(s) E(s) ' sl sl % R ' s s % Γιά s=jω έχουµε: H(jω) ' jω jω % ' ΣΧΗΜΑ 7.2 ω2 ω 2 % % j ω ω 2 % και εποµένως Η(ω) ' H(jω) ' ω ω 2 % και φ(ω) ' Ë H(jω) ' τοξεφ ω Για το συγκεκριµένο κύκλωµα µε τα παραπάνω Η(ω) και φ(ω), αν στην είσοδο βάλλουµε e(t)=eηµ(ω ο t), η απόκριση θα είναι v(t) ' Η(ω o )Eηµ ω ο t %φ(ω o ) ' ω o Ε ηµ ω ο t % τοξεφ ω 2 o % ω o Το µέτρο της συνάρτησης µεταφοράς γιά s=jω, το Η(ω), ονοµάζεται απόκριση πλάτους κατά συχνότητα, ενώ η γωνία φ(ω) ονοµάζεται απόκριση φάσης κατά συχνότητα. Η Η(ω) εκφράζει το κέρδος του κυκλώµατος, τον λόγο δηλ. του πλάτους -422-

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ της εξόδου προς το πλάτος µιας ηµιτονικής εισόδου. Η φ(ω) παριστάνει την διαφορά φάσης εξόδου-εισόδου συναρτήσει της συχνότητος. Η γραφική παράσταση του Η(ω) συναρτήσει της συχνότητος ω ή f (θετικές τιµές) είναι η καµπύλη απόκρισης πλάτους. Η γραφική παράσταση της φ(ω) συναρτήσει της συχνότητος ω ή f είναι η καµπύλη απόκρισης φάσης. Οι δύο καµπύλες απόκρισης περιγράφουν πλήρως την συµπεριφορά του κυκλώµατος στο πεδίο των συχνοτήτων, αφού στην ουσία περιγράφουν πλήρως την συνάρτηση µεταφοράς γιά s=jω. ΣΧΗΜΑ 7.3 Στο σχήµα 7.3 δίνουµε τις καµπύλες απόκρισης πλάτους και φάσης του κυκλώµατος του παραδείγµατος, Αξίζει να σηµειωθεί ότι η πραγµατική συνάρτηση Η(ω) είναι πάντοτε µια άρτια συνάρτηση ενώ η φ(ω) είναι περιττή συνάρτηση του ω. Οι γραφικές παραστάσεις των Η(ω) και φ(ω) γίνονται µε όλους τους κανόνες των γραφικών παραστάσεων υπολογίζοντας συνήθως και τις χαρακτηριστικές τιµές γιά ω=0 και ω64. Μετά εντοπίζονται τυχόν µέγιστα ή ελάχιστα ή εξακριβώνεται η µονοτονικότητα της συνάρτησης που παριστάνεται γραφικά. Πολλές φορές ο κατακόρυφος άξονας στις καµπύλες απόκρισης, δεν παριστάνει την Η(ω) αλλά το 20logH(ω), που µετριέται σε db. Ταυτόχρονα ο άξονας των συχνοτήτων µπορεί να είναι λογαριθµικός

20 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Μια τέτοια παράσταση καµπύλης απόκρισης µε γραµµικό σε db κατακόρυφο άξονα και λογαριθµικό άξονα συχνοτήτων ω ή f, ονοµάζεται διάγραµµα Bode και είναι η πλέον κοινή παράσταση στις καµπύλες απόκρισης των κυκλωµάτων. Η κλίµακα db µεταφράζει λόγους µεγεθών στην αντίστοιχη τιµή τους σε db κατά την σχέση G db ' 20log X db. X 2 ΣΧΗΜΑ 7.4 Ο παρακάτω πίνακας δίνει την αντιστοιχία λόγων και db για µερικές ενδεικτικές και χαρακτηριστικές τιµές. ΛΟΓΟΣ ΤΙΜΗ db

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΜΙΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το κέρδος όπως ορίστηκε από την συνάρτηση µεταφοράς, ως ο λόγος του πλάτους εξόδου προς το πλάτος εισόδου, µπορεί και παίρνει τιµές µεγαλύτερες ή µικρότερες της µονάδας και εποµένως το αντίστοιχο κέρδος σε db, µπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό. Οταν µιλάµε γιά εξασθένηση, αναφερόµαστε στην συνάρτηση µετάδοσης που είναι ο λόγος εισόδου προς έξοδο (αντίστροφα από την συνάρτηση µεταφοράς), που και αυτή µπορεί και παίρνει τιµές µικρότερες ή µεγαλύτερες της µονάδας µε αποτέλεσµα η τιµή της εξασθένησης σε db να είναι και πάλι θετική ή αρνητική. Ενα διάγραµµα µε αρνητικές µόνον τιµές σε db, δεν είναι κατ' ανάγκην διάγραµµα εξασθένησης. Μπορεί να είναι και διάγραµµα κέρδους. Αντίστοιχα, ένα διάγραµµα σε db µε θετικές τιµές, δεν είναι κατ' ανάγκην διάγραµµα κέρδους αλλά µπορεί να είναι διάγραµµα εξασθένησης. Γίνεται σαφές ότι όταν κάνουµε τέτοια διαγράµµατα πρέπει να δηλώνουµε τι έχουµε στον κατακόρυφο άξονα ώστε να είναι δυνατή η ορθή ερµηνεία των προσήµων. Αν στο παραπάνω διάγραµµα, το οποίο δεν δηλώνει τι έχει στον κατακόρυφο άξονα, θεωρήσουµε ότι δείχνει το κέρδος ενός κυκλώµατος, τότε στις χαµηλές συχνότητες, η έξοδος είναι µισή από την είσοδο (κέρδος -6dB). Αν όµως το διάγραµµα παριστάνει εξασθένηση, στις χαµηλές συχνότητες, η έξοδος θα είναι διπλάσια της εισόδου (εξασθένηση -6dB=κέρδος 6dB). 7.6 Διαγράµµατα Bode Η γραφική παράσταση µιας απόκρισης πλάτους Η(ω) µε λογαριθµική κλίµακα συχνοτήτων ονοµάζεται διάγραµµα Bode προς τιµήν του Γερµανού µηχανικού -425-

22 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Hendrick Bode ( ), ο οποίος εργαζόµενος στα Bell Labs στις ΗΠΑ (και διαρκώς παραπονούµενος για την παραποίηση του ονόµατός του σε Μποντ ή Μπόουντ αντί Μπόντε), πρότεινε έναν πρακτικό τρόπο για την απλή και σχετικά ακριβή παράσταση του κέρδους Η(ω) των κυκλωµάτων συναρτήσει της συχνότητος, δηλ. της καµπύλης απόκρισης πλάτους. Εστω ότι έχουµε την συνάρτηση µεταφοράς H(s) σε µορφή παραγόντων µε τους πόλους και τα µηδενικά της. H(s) ' N(s D(s) ' a n (s&z )(s&z 2 )(s&z 3 )...(s&z n& )(s&z n ) b m (s&p )(s&p 2 )(s&p 3 )...(s&p m& )(s&p m ) Οι m πόλοι και τα n µηδενικά µπορεί να είναι πραγµατικά ή συζυγή ζεύγη µιγαδικά Κάθε µιγαδικό συζυγές ζεύγος µηδενικών καθώς και κάθε µιγαδικό συζυγές ζεύγος πόλων της µορφής ρ=a±jb, εµφανίζεται στον αριθµητή ή τον παρονοµαστή µε έναν όρο της µορφής: (s&ρ i )(s&ρ ( i ) ' (s&a&jb)(s&a%jb) ' s 2 & 2as % a 2 %b 2 Ορίζοντας την φυσική συχνότητα ω ο του πόλου ή του µηδενικού ως ω ο ' a 2 %b 2 και τον συντελεστή ποιότητας Q του πόλου ή του µηδενικού ως ζεύγη εµφανίζονται συνδυασµένα µε όρους της µορφής: (s&ρ i )(s&ρ ( i ) ' s 2 % ω ο Q s % ω2 ο Q '& ω o 2a τα συζυγή Οσο πιο µεγάλος είναι ο συντελεστής ποιότητας, τόσο πιο κοντά στον άξονα jω είναι το συζυγές ζεύγος. Για Q64, το ζεύγος τείνει στον άξονα jω. Σε περισσότερο

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ µαθηµατικά κείµενα και στην θεωρία αυτοµάτου ελέγχου, αντί για τον συντελεστή ποιότητας ορίζεται ο παράγοντας απόσβεσης (damping factor) ζ'& a, βάσει του ω ο οποίου η παραπάνω µορφή γίνεται (s&ρ i )(s&ρ ( i ) ' s 2 % 2ζω ο s % ω 2 ο Ο παράγοντας απόσβεσης συνδέεται µε τον συντελεστή ποιότητος Q µε την απλή σχέση ζ' και δεν είναι σηµαντικό το αν θα χρησιµοποιήσει κανείς τον 2Q παράγοντα απόσβεσης ή τον συντελεστή ποιότητας. Προτιµούµε τον συντελεστή ποιότητας γιατί είναι περισσότερο χρήσιµος στα ηλεκτρικά συστήµατα και θα τον συναντήσουµε ξανά στα επόµενα κεφάλαια. Μια συνάρτηση µεταφοράς, στην οποία έχουµε συνδυάσει τα συζυγή ζεύγη πόλων και µηδενικών σε δευτεροβάθµιους όρους της παραπάνω µορφής, λέµε ότι είναι σε πρότυπη µορφή (standard form). Σε πρότυπη µορφή µια συνάρτηση µεταφοράς έχει την µορφή H(s) ' K N (s)n 2 (s)...n ν (s) D (s)d 2 (s)...d µ (s) όπου οι παράγοντες Ν(s) και D(s) είναι της µορφής (s % c) r ή (s 2 % ω ο Q s % ω2 ο )r όπου r η πολλαπλότητα του πόλου ή του µηδενικού. Για να βρούµε την απόκριση πλάτους, αντικαθιστούµε στην H(s) το s µε jω και παίρνουµε το µέτρο της: H(jω) ' K N (jω) N 2 (jω)... N ν (jω) D (jω) D 2 (jω)... D µ (jω) Για να παραστήσουµε γραφικά την απόκριση αυτή πλάτους εκφράζοντας το κέρδος σε db, παίρνουµε τον δεκαδικό λογάριθµο και πολλαπλασιάζουµε επί 20, δηλ. G db (ω) ' 20log H(jω) ' 20log K N (jω) N 2 (jω)... N ν (jω) (db) D (jω) D 2 (jω)... D µ (jω) Αναπτύσσοντας τον λογάριθµο βρίσκουµε για το λογαριθµικό κέρδος -427-

24 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ G db (ω) ' 20log K %20log N (jω) %20log N 2 (jω) %...20log N ν (jω) & 20log D (jω) &20log D 2 (jω) &...&20log D µ (jω) (db) Αν εποµένως γνωρίζουµε πως να παριστάνουµε γραφικά τις δύο µορφές όρων που εµπλέκονται (δηλ. όρους που οφείλονται σε πραγµατικές ρίζες και όρους που οφείλονται σε συζυγή µιγαδικά ζεύγη), σχεδιάζουµε την απόκριση για τον καθένα και µετά συνδυάζουµε τις παραστάσεις γραφικά. Σταθερός όρος Κ Ο σταθερός όρος Κ δίνει ένα σταθερό κέρδος σε db ίσο µε 20log*K* για όλες τις συχνότητες. Το σταθερό αυτό κέρδος παριστάνεται µε µια παράλληλη προς τον άξονα της συχνότητος ευθεία. Πραγµατικό µηδενικό - όρος (s+c) r στον αριθµητή Ενας τέτοιος όρος στον αριθµητή, δηλ. ένα πραγµατικό µηδενικό πολλαπλότητος r, συνεισφέρει στο συνολικό κέρδος σε db κατά 20log jω%c r ' 20rlog jω%c ' 20rlog ω 2 %c 2 ' 0rlog(ω 2 %c 2 ) (db) Γιά ω<<*c*, το κέρδος είναι µια ευθεία γραµµή στα 20rlog*c* db. Στην ευθεία αυτή τείνει η καµπύλη όσο το ω µικραίνει και τείνει στο µηδέν. Γιά ω>>*c*, το κέρδος είναι 20rlog*ω*. Η παράσταση της ποσότητος αυτής όχι ως προς ω αλλά ως προς logω, δηλ. σε ηµιλογαριθµικό χαρτί, είναι µια ευθεία γραµµή της µορφής y(x)=20rx, µε κλίση 20r db ανά µονάδα της ανεξάρτητης µεταβλητής logω. Αύξηση κατά µια µονάδα της logω αντιστοιχεί σε δεκαπλασιασµό του ω και για τον λόγο αυτό λέµε ότι η ευθεία θα έχει κλίση 20r db/δεκάδα (decade). Τα δύο ευθύγραµµα τµήµατα, το οριζόντιο για ω<<*c* και το κεκλιµένο για ω>>*c* τέµνονται για ω=*c*, όπως φαίνεται και στο σχήµα 7.5. Η συχνότητα ω=*c* ονοµάζεται συχνότητα θλάσης. Με την µέθοδο αυτή καθορίζουµε τις ασύµπτωτες της καµπύλης απόκρισης (µη διορθωµένο διάγραµµα Bode), πράγµα που διευκολύνει την σχεδίαση του ακριβούς διαγράµµατος, όπως φαίνεται στο προηγούµενο σχήµα. Στην συχνότητα θλάσης ω=*c* η ακριβής απόκριση είναι 20rlog 2c 2 ' 20rlog c % 20rlog( 2) ' 20rlog c % 3r πράγµα που σηµαίνει ότι η απόκλιση στην συχνότητα αυτή είναι 3dB. (db) -428-

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΧΗΜΑ 7.5 Τα παραπάνω δίνουν αρκετά δεδοµένα για την παράσταση της απόκρισης σε db του όρου (s+c) r σε ηµιλογαριθµικό χαρτί ακολουθώντας τα παρακάτω βήµατα: (α) Βρίσκουµε πρώτα το σηµείο θλάσης µε συντεταγµένες *c* και 20rlog*c* (β) Από το σηµείο θλάσης φέρουµε µια οριζόντια ευθεία προς τα αριστερά και µια ευθεία από το σηµείο αυτό προς τα επάνω µε κλιση 20r db/decade. Οι δύο αυτές γραµµές ορίζουν τις ασύµτωτες της καµπύλης. (γ) Σηµειώνουµε το ακριβές σηµείο της καµπύλης για ω=*c*, που είναι 3r db πάνω από το σηµείο θλάσης. (δ) Σχεδιάζουµε την καµπύλη να περνάει από το ακριβές σηµείο και να τείνει ασυµπτωτικά προς τα δύο ευθύγραµµα τµήµατα. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7.7 Σχεδιάστε την καµπύλη απόκρισης συστήµατος µε H(s)=(s+4) 2 Η συχνότητα θλάσης είναι 4 και το κέρδος στις πολύ χαµηλές συχνότητες είναι 40log(4)=24.08 db. Στο σχήµα 7.6 έχουµε σχεδιάσει τις δύο ασύµπτωτες και την απόκριση

26 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΧΗΜΑ 7.6 Ειδική περίπτωση µηδενικού για s=0 Στην ειδική περίπτωση που c=0, δηλ. ο όρος είναι της µορφής s r, δεν υπάρχει σηµείο θλάσης και οριζόντιο ευθύγραµµο τµήµα. Η καµπύλη είναι πλέον το κεκλιµένο ευθύγραµµο τµήµα µε κλίση 20r db/decade που περνάει από το σηµείο (ω=, G db (ω)=0). Πραγµατικός πόλος - όρος (s+c) r στον παρονοµαστή Οταν ο όρος (s+c) r είναι στον παρονοµαστή, η συνάρτηση δηλ. έχει πραγµατικό πόλο s=-c πολλαπλότητος r, δεν αλλάζει τίποτα από την προηγούµενη συζήτηση, αφού απλά αλλάζει το πρόσηµο του λογαριθµικού κέρδους, το οποίο είναι τώρα 20log jω%c r '&20rlog jω%c '&20rlog ω2 %c 2 '&0rlog(ω 2 %c 2 ) (db) Αυτό σηµαίνει ότι το σηµείο θλάσης για ω=*c* έχει κέρδος -20r log*c* db και η κεκλιµένη ευθεία έχει κλίση -20r db/decade και εποµένως πάει προς τα κάτω. Το ακριβές κέρδος για ω=c είναι πλέον 3r db λιγότερο από αυτό του σηµείου θλάσης. Ο όρος για παράδειγµα (s+4) 2 στον παρονοµαστή έχει απόκριση που φαίνεται στο σχήµα

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΧΗΜΑ 7.7 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7.8 Σχεδιάστε το διάγραµµα Bode της H(s) ' (s%0.2)(s%2) 2 Το σηµείο θλάσης της παράστασης του πόλου (s+0.2) είναι το σηµείο στο σχήµα 7.8 µε συχνότητα ω=0.2 και κέρδος -20log(0.20)=3.98 db. Από το σηµείο αυτό σχεδιάζουµε το οριζόντιο ευθύγραµµο τµήµα προς τα αριστερά και το ευθύγραµµο τµήµα µε κλίση 20 db/decade προς τα κάτω.το ακριβές κέρδος στην συχνότητα θλάσης θα είναι 3 db κάτω από το κέρδος του σηµείου θλάσης. Το σηµείο θλάσης της παράστασης του διπλού πόλου (s+2) 2 είναι το σηµείο 2 του σχήµατος µε ω=2 και κέρδος -40log(2)=-2.04 db (40 και όχι 20 λόγω της πολλαπλότητος 2). Από το σηµείο αυτόσχεδιάζουµε το οριζόντιο ευθύγραµµο τµήµα προς τα αριστερά και αυτό προς τα κάτω µε κλίση 40 db/decade, λόγω της πολλαπλότητος 2 του πόλου. Το ακριβές κέρδος στην συχνότητα θλάσης θα είναι 6 db κάτω από το κέρδος του σηµείου θλάσης (20r log(c) db). Προσθέτοντας για κάθε συχνότητα το κέρδος που ορίζουν οι ασύµπτωτες για τους δύο πόλους δηµιουργούµε γραφικά µια πολύ καλή προσέγγιση της απόκρισης του συστήµατος. -43-

28 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΧΗΜΑ 7.8 Ειδική περίπτωση πόλου για s=0 Στην ειδική περίπτωση που c=0, δηλ. ο όρος στον παρονοµαστή είναι της µορφής s r, δεν υπάρχει σηµείο θλάσης και οριζόντιο ευθύγραµµο τµήµα. Η καµπύλη είναι πλέον το κεκλιµένο ευθύγραµµο τµήµα µε κλίση -20r db/decade που περνάει από το σηµείο (ω=, G db (ω)=0). Μιγαδικό ζεύγος µηδενικών-όρος (s 2 % ω ο στον αριθµητή Q s % ω2 o )r Ενας τέτοιος όρος στον αριθµητή, δηλ. ένα ζεύγος συζυγών µηδενικών πολλαπλότητος r, συνεισφέρει στο κέρδος σε db κατά G db (ω) ' &ω 20log/0 2 %j ω ο Q ω%ω2 ο ' ω /0 20rlog/0 2 ο & ω2 % j ω ο Q ω /0 ' r ' 20rlog (ω 2 ο &ω2 ) 2 % ω2 o ' 0rlog (ω 2 Q 2ω2 ο &ω2 ) 2 % ω 2 o Q 2ω2 (db) Το σχετικό διάγραµµα εξαρτάται κυρίως από την τιµή του Q, όπως φαίνεται στο σχήµα 7.9 µε r= και για διάφορες τιµές Q

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΧΗΜΑ 7.9 Στη συνέχεια δίνονται οι σχετικές λεπτοµέρειες για την σχεδίαση του διαγράµµατος Bode στην περίπτωση αυτή. ΣΧΗΜΑ 7.20 Γιά ω<<ω ο, κέρδος G db (ω) προσεγγίζεται µε την οριζόντια ευθεία στο ύψος 40rlogω o db. 20rlogω 2 o, που παρίσταται µε µια Για ω>>ω ο, η G db (ω)µπορεί και προσεγγίζεται µε την 20rlogω 2 ' 40rlogω, που -433-

30 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ παρίσταται από µια ευθεία µε κλίση 40r db/decade που περνάει από το σηµείο (ω ο,40rlogω ο ). Η συχνότητα θλάσης είναι εποµένως ω ο. Τα δύο αυτά ευθύγραµµα τµήµατα δείχνουν την γενική κατεύθυνση της απόκρισης, η οποία για µικρές και µεγάλες συχνότητες, τείνει ασυµπτωτικά προς τα ευθύγραµµα αυτά τµήµατα. Στο σχήµα 7.20 φαίνονται τα ευθύγραµµα τµήµατα (ασύµπτωτες) που οριοθετούν την καµπύλη (µε r=). Για την φυσική συχνότητα ω ο, η ακριβής τιµή του λογαριθµικού κέρδους είναι: G db (ω ο ) ' 0rlog ω4 o Q ' 20rlog ω 2 Q 2 ο ' ' 20rlogω 2 o & 20rlogQ ' 40rlogω o & 20rlogQ (db) Ο πρώτος όρος είναι η στάθµη που ορίζει το οριζόντιο ευθύγραµµο τµήµα ενώ ο όρος &20rlogQ είναι η απόκλιση από την τιµή αυτή για την συχνότητα θλάσης, την συχνότητα δηλ. του πόλου.είναι προφανές ότι η απόκλιση αυτή είναι αρνητική όταν Q> και θετική όταν Q< ενώ για Q= δεν υπάρχει απόκλιση. Για Q> εποµένως η απόκλιση είναι προς τα κάτω ενώ για Q<, η απόκλιση είναι προς τα πάνω. Εχουµε ήδη βρεί ότι το λογαριθµικό κέρδος του όρου είναι G db (ω) ' 0rlog (ω 2 ο &ω2 ) 2 % ω2 o Q 2ω2 (db) Για να βρούµε την συχνότητα του ελαχίστου, βρίσκουµε την παράγωγο της παράστασης που λογαριθµίζεται και υπολογίζουµε την ρίζα της: d dω (ω2 ο &ω2 ) 2 % ω 2 o ' 4ω ω 2 &ω 2 Q 2ω2 o & 2Q 2 η οποία µηδενίζεται για ω 2 min ' ω2 o & (για µεγάλα Q Y ω 2Q 2 min. ω o ) Η συχνότητα αυτή ελαχίστου και το ελάχιστο, υπάρχουν µόνον όταν ω min >0 δηλ. όταν Q> 2 2 ' Η απόλυτη τιµή του ελαχίστου υπολογίζεται βάζοντας την υπολογισθείσα συχνότητα ελαχίστου στην έκφραση που δίνει το λογαριθµικό κέρδος σε db, οπότε βρίσκουµε -434-

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ G db (ω min ) ' 0rlog ω4 ο Q ( & 2 4Q 2) (db) τιµή που για µεγάλες τιµές του Q τείνει στο G db (ω min ) ' 0rlog ω4 ο Q 2 µόνο για µεγάλα Q ' 40rlogω o & 20rlogQ (db) Για µεγάλα εποµένως Q, το ελάχιστο συµβαίνει πολύ κοντά στην συχνότητα του πόλου, έχει την παραπάνω τιµή, και τοποθετείται κάτω από το σηµείο θλάσης σε απόσταση 20rlogQ db. Η ακριβής θέση του ελαχίστου όµως είναι για την συχνότητα ω min ' ω o ( & 2Q 2) 2 και κάτω από το σηµείο θλάσης κατά 20rlog Q ( & 4Q 2) db Η ακριβής µορφή της απόκρισης εξαρτάται πολύ από τον συντελεστή ποιότητας του ζεύγους των πόλων αλλά οι δύο ασύµπτωτες εξακολουθούν να αποτελούν καλόν οδηγό. Το επόµενο σχήµα δείχνει όλα τα χαρακτηριστικά σηµεία για την χάραξη της καµπύλης. Τελικά για να παραστήσει κανείς την απόκριση που οφείλεται σε ένα µιγαδικό ζεύγος µηδενικών πολλαπλότητος r, (s 2 % ω ο Q s % ω2 o ) r (α) Σηµειώνει στο ηµιλογαριθµικό χαρτί το σηµείο θλάσης (ω ο, 40rlogω ο ) και σχεδιάζει την οριζόντια γραµµή προς τα αριστερά και την γραµµή µε κλίση 40r db/decade προς τα επάνω. (β) Υπολογίζει την απόκλιση 20r logq (db) στη συχνότητα ω ο. Αν αυτή είναι αρνητική (Q<) η καµπύλη θα περάσει πάνω από το σηµείο θλάσης σε απόσταση *20rlogQ* (db). Αν είναι θετική (Q>), η καµπύλη θα περάσει κάτω από το σηµείο θλάσης σε απόσταση *20r logq* (db). (γ) Χαράζει την καµπύλη που προς τα αριστερά τείνει στο οριζόντιο ευθύγραµµο τµήµα, προς τα δεξιά τείνει στο κεκλιµένο ευθύγραµµο τµήµα, ενώ παρουσιάζει το ελάχιστο στο σηµείο που ορίσαµε στο βήµα (β)

32 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ακριβέστερη χάραξη απαιτεί περισσότερα σηµεία της ακριβούς καµπύλης και αυτά είναι κατ αρχάς το ακριβές ελάχιστο (όταν φυσικά Q>0.707) στην ακριβή συχνότητα του ελαχίστου: ω min 'ω o (& 2Q 2) 2 G db (ω min ) ' 0rlog ω4 ο Q (& 2 4Q 2) (db) Για την περίπτωση Q>0.707, υπάρχουν ακόµα δύο σηµεία που µπορούν εύκολα να υπολογιστούν. Είναι το σηµείο στο οποίο τέµνουν την καµπύλη οι ασύµπτωτες. ΣΧΗΜΑ 7.2 Υπολογίζεται εύκολα ότι η ασύµπτωτη των υψηλών συχνοτήτων (η κεκλιµένη) τέµνει την καµπύλη στο σηµείο µε ω ' ω o G (ω db 2& )'40rlogω o &20rlog 2& Q 2 Q 2 (db) -436-

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Παρατηρήστε ότι όταν το Q είναι µεγάλο, το παραπάνω σηµείο τείνει στο. Αντίστοιχα, η οριζόντια ασύµπτωτη των χαµηλών 0.707ω o,40rlogω o & 6 db συχνοτήτων, τέµνει την καµπύλη στο σηµείο µε ω 2 ' ω o 2 & Q 2 G db (ω 2 ) ' 40rlogω o (db) Για µεγάλα Q, το παραπάνω ακριβές σηµείο της καµπύλης τείνει στο 2ω,40rlogω o db. Τα δύο αυτά ακριβή αυτά χαρακτηριστικά σηµεία της καµπύλης φαίνονται στο σχήµα 7.2. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7.9 Το σχήµα 7.22 που ακολουθεί δείχνει το διάγραµµα Bode του όρου s 2 % 0.5 Q s % 0.52 για διάφορες τιµές του Q. ΣΧΗΜΑ

34 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Μιγαδικό ζεύγος πόλων - όρος (s 2 % ω ο στον παρονοµαστή Q s % ω2 o )r Το διάγραµµα Bode για ένα ζεύγος πόλων είναι ακριβώς το ίδιο µε αυτό των αντίστοιχων µηδενικών, µε αλλαγµένο πρόσηµο: G db (ω) ' 20log '&20rlog/ ω 2 &ω /0 2 %j ω r ο & ω2 % j ω ο 0 Q ω /0 ' ο Q ω%ω2 ο/0 '&20rlog (ω 2 ο &ω2 ) 2 % ω2 o '&0rlog (ω 2 Q 2ω2 ο &ω2 ) 2 % ω 2 o (db) Q 2ω2 Το σηµείο θλάσης έχει τώρα κέρδος -20r log(ω o ) db και η κλίση της ασυµπτώτου είναι -40r db/decade, πηγαίνει δηλ. προς τα κάτω. Το σχήµα 7.23 δείχνει ένα τυπικό διάγραµµα µε όλα τα σηµεία ενδιαφέροντος, που διευκολύνουν την ακριβή χάραξη του διαγράµµατος Bode. ΣΧΗΜΑ

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7.0 Υποθέστε ότι ένα κύκλωµα έχει συνάρτηση µεταφοράς H(s) ' s 2 % 0.5 Q s % 0.52 Tο σχήµα 7.24 δείχνει το διάγραµµα Bode του όρου για διάφορες s 2 % 0.5 Q s % 0.52 τιµές του Q. ΣΧΗΜΑ Καµπύλες απόκρισης πλάτους από το διάγραµµα πόλων- µηδενικών Το διάγραµµα πόλων-µηδενικών και οι καµπύλες απόκρισης πλάτους και φάσης είναι δύο διαφορετικοί τρόποι περιγραφής και απεικόνισης των συναρτήσεων των συστηµάτων. Και οι δύο τρόποι περιγράφουν την συνάρτηση µεταφοράς και την συµπεριφορά του συστήµατος στο πεδίο των συχνοτήτων. Από το διάγραµµα πόλων και µηδενικών είναι δυνατός ο προσδιορισµός της συνάρτησης µεταφοράς, η οποία µπορεί επίσης να προσδιοριστεί και από τις καµπύλες απόκρισης πλάτους και φάσης. Δεν είναι εποµένως περίεργο να είναι δυνατή η σχεδίαση της καµπύλης απόκρισης -439-

36 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ πλάτους και φάσης από το διάγραµµα πόλων και µηδενικών, όπως θα δούµε παρακάτω. Είδαµε ότι γενικά οι συναρτήσεις των συστηµάτων LTI είναι ρητές συναρτήσεις της µιγαδικής συχνότητας s H(s) ' N(s D(s) ' a n (s&z )(s&z 2 )(s&z 3 )...(s&z n& )(s&z n ) b m (s&p )(s&p 2 )(s&p 3 )...(s&p m& )(s&p m ) Γιά τον υπολογισµό της καµπύλης απόκρισης (και γενικά του µέτρου µιάς συνάρτησης συστήµατος), αντικαθιστούµε το s µε jω οπότε: H(jω) ' K (jω!z )(jω!z 2 )...(jω!z n ) (jω!p )(jω!p 2 )...(jω!p m ) και γιά την απόκριση πλάτους έχουµε: H(jω) ' /0 K (jω!z )(jω!z 2 )...(jω!z n ) (jω!p )(jω!z p )...(jω!p m ) /0 H(jω) ' K jω!z jω!z 2... jω!z n jω!p ) jω!p 2... jω!p m Η απόκριση φάσης θα είναι ËH(jω)'Ë(jω!z )%Ë(jω!z 2 )%...%Ë(jω!z n )&!Ë(jω!p )!Ë(jω!p 2 )!...!Ë(jω!p m ) Οι όροι (jω-z) και (jω-p), ως διαφορές µιγαδικών αριθµών, είναι µιγαδικοί αριθµοί. Το σχήµα 7.25 δείχνει τον όρο jω -z, το µέτρο και την γωνία του. Η απόκριση πλάτους εποµένως γιά µια συχνότητα ω, είναι ο λόγος των γινοµένων των αποστάσεων του σηµείου jω του jω-άξονα από τα µηδενικά της συνάρτησης µεταφοράς, προς το γινόµενο των αποστάσεων του jω από τους πόλους. Αν γιά κάθε σηµείο του jω-άξονα µετρήσουµε τις αποστάσεις από τα µηδενικά και τους πόλους και δηµιουργήσουµε τον παραπάνω λόγο των γινοµένων τους, µπορούµε να σχεδιάσουµε την καµπύλη απόκρισης πλάτους κατά συχνότητα. Η σχεδίαση της καµπύλης απόκρισης από το διάγραµµα πόλων-µηδενικών βοηθάει στην κατανόηση της επίδρασης των πόλων και των µηδενικών στην συµπεριφο

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ρά του κυκλώµατος. Δεδοµένου ότι οι πραγµατικές συχνότητες είναι αυτές του φανταστικού άξονα jω, είναι προφανές ότι όταν υπάρχουν µηδενικά στον φανταστικό άξονα, η συνάρτηση µεταφοράς θα µηδενίζεται γιά την αντίστοιχη πραγµατική συχνότητα. ΣΧΗΜΑ 7.25 Οταν υπάρχει πόλος φανταστικός jω στον jω άξονα, η συνάρτηση µεταφοράς θα απειρίζεται στη συχνότητα ω. Αλλά ακόµα και αν ο πόλος είναι µιγαδικός πολύ κοντά στον άξονα jω (όταν δηλ. έχει πολύ µικρό πραγµατικό µέρος), γιά τις συχνότητες που είναι στην περιοχή του φανταστικού του µέρους, η απόσταση από τον πόλο θα γίνεται πολύ µικρή. Αυτό θα έχει σαν συνέπεια να µικραίνει το γινόµενο των αποστάσεων από τους πόλους, που βρίσκεται στον παρονοµαστή, µε αποτέλεσµα να µεγαλώνει η απόκριση πλάτους. Αντίθετα αποµεµακρυσµένοι από τον άξονα jω πόλοι, δεν δηµιουργούν θεαµατικές επιδράσεις στην καµπύλη απόκρισης. 7.8 Παράσταση Οδηγουσών συναρτήσεων Οι οδηγούσες συναρτήσεις αντίστασης και αγωγιµότητος ενός µονόθυρου κυκλώµατος σαν αυτό του σχήµατος 7.26 είδαµε ότι είναι: Z(s) ' V(s) I(s) και Y(s) ' Z(s) ' I(s) V(s) Με την αντικατάσταση s=jω, είδαµε επίσης ότι περιορίζουµε την γενικότητα σε µια -44-

38 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ειδική κατηγορία σηµάτων και µάλιστα στην µόνιµη κατάσταση, µετά τα µεταβατικά φαινόµενα. Με την θεώρηση s=jω, αυτοµάτως θεωρούµε το ρεύµα στο µονόθυρο κύκλωµα ως Ιe jωt, που προκαλεί τάση της ίδιας µορφής Ve j(ωt+φ). Ετσι η Ζ(jω) δεν παριστάνει πια γενικώς τον λόγο της τάσης προς το ρεύµα, αλλά τον λόγο της µιγαδικής εκθετικής τάσης προς το µιγαδικό εκθετικό ρεύµα: Z(jω) ' V(jω) I(jω) ' Ve jωt%φ Ie jωt ' V I e jφ ( 7. ΣΧΗΜΑ 7.26 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το µιγαδικό εκθετικό σήµα είδαµε ότι έχει άµεση σχέση µε τα ηµιτονικά σήµατα αφού ισχύει ότι i(t) ' Ie jωt ' Iσυν(ωt) % jiηµ(ωt) Αν το παραπάνω είναι το ρεύµα σε ένα γραµµικό χρονικά αµετάβλητο µονόθυρο, θα δώσει κατά τα γνωστά τάση v(t) ' Ve jωt%φ ' Vσυν(ωt%φ) % jvηµ(ωt%φ) και εποµένως η τάση του κυκλώµατος για πραγµατικό ρεύµα Ισυν(ωt) θα είναι η Vσυν(ωt+φ), ενώ η τάση για ρεύµα Ιηµ(ωt) είναι η Vηµ(ωt+φ). Η οδηγούσα συνάρτηση Ζ(s) ενός µονόθυρου κυκλώµατος γιά s=jω, δηλ. µε µιγαδική εκθετική διέγερση, είναι ένας µιγαδικός αριθµός που έχει ένα µέτρο και µια γωνία (όρισµα) και µπορεί να παρασταθεί ως: Z(jω) ' Z(jω) e jëz(jω) ' Z(ω)e jφ(ω) Η σχέση αυτή συνδυαζόµενη µε την παραπάνω σχέση 7.3, οδηγεί στους προφανείς ορισµούς: -442-

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Z(ω) ' Z(jω) ' V I φ(ω) ' ËZ(jω) ' φάση τάσης & φάση ρεύµατος Η πιο πάνω σχέση επιτρέπει τις εξής διατυπώσεις: Οταν στην οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Ζ(s) βάλλουµε s=jω º το µέτρο Ζ(ω) της Ζ(jω) είναι ίσο µε τον λόγο του πλάτους V της ηµιτονικής τάσης προς το πλάτος Ι του ηµιτονικού ρεύµατος. º το όρισµα φ(ω) της Ζ(jω) είναι ίσο µε την διαφορά φάσης της ηµιτονικής τάσης και του ηµιτονικού ρεύµατος. Τόσο το Ζ(ω) όσο και το φ(ω) είναι συναρτήσεις της κυκλικής συχνότητος ω=2πf, πράγµα που επιτρέπει την παράστασή τους συναρτήσει της συχνότητος και την µελέτη της συµπεριφοράς της αντίστασης των µονοθύρων κυκλωµάτων στις διάφορες συχνότητες. Ας θεωρήσουµε για παράδειγµα το κύκλωµα του σχήµατος ΣΧΗΜΑ 7.27 Το κύκλωµα αυτό για R= και L=έχει οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Z(s) ' V(s) I(s) ' sl % R ' s % Γιά s=jω έχουµε Z(jω) ' jω % και εποµένως Z(ω) ' Z(jω) ' ω 2 % και φ(ω) ' Ë Z(jω) ' τοξεφ ω Για το συγκεκριµένο κύκλωµα τα παραπάνω Z(ω) και φ(ω) σηµαίνουν ότι αν στην είσοδο βάλλουµε e(t)=eηµ(ω ο t), το ρεύµα θα είναι i(t) ' Z(ω)Eηµ ωt %φ(ω) ' E ω 2 %ηµ ωt % τοξεφ ω Το µέτρο της οδηγούσας συνάρτησης αντίστασης γιά s=jω, το Ζ(ω), ονοµάζεται φαινόµενη αντίσταση, ενώ η γωνία φ(ω) ονοµάζεται φάση της Ζ(jω). Η Ζ(ω) εκφράζει το το µέτρο της αντίστασης το οποίο πολλαπλασιάζει το πλάτος της ηµιτονικής τάσης για να δώσει το πλάτος του ηµιτονικού ρεύµατος. Η φ(ω) παριστάνει την διαφορά φάσης τάσης-ρεύµατος συναρτήσει της συχνότητος. Η γραφική παράσταση του Ζ(ω) συναρτήσει της συχνότητος ω ή f είναι η καµπύλη φαινόµενης -443-

40 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ αντίστασης της Z(jω). Η γραφική παράσταση της φ(ω) συναρτήσει της συχνότητος ω ή f είναι η καµπύλη φάσης της Z(jω). Για την καµπύλη φαινόµενης αντίστασης µπορούµε να κάνουµε διάγραµµα Bode σύµφωνα µε τα γνωστά. Στον κατακόρυφο άξονα παρίσταται αρχικά το καθόλου χρήσιµο και πρακτικό µέγεθος 20logΖ(ω) και µετά µεταφράζεται σε απόλυτο νούµερο (π.χ. τα 2 db σε Ζ(ω)=4), πράγµα που έχει µεγαλύτερο νόηµα στην περίπτωση αυτή. ΣΧΗΜΑ 7.28 Στο σχήµα 7.29 δίνεται το διάγραµµα Bode της φαινόµενης αντίστασης Ζ(ω) του κυκλώµατος του σχήµατος 7.28, η οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης του οποίου είναι Z(s) ' 0.25 % s % 4s ' s 2 % 0.25s % 0.25 s Ο αριθµητής είναι ένας δευτεροβάθµιος όρος µε ω ο =0.5 και Q=2. ΣΧΗΜΑ

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7. Στο κύκλωµα του σχήµατος 7.30 µε R s =R L =, L =L 3 =L=2.89, L 2 = και C 2 =0.937 να υπολογίσετε: α) Την συνάρτηση µεταφοράς H(s) ' V 2 (s) E(s) β) Τους πόλους και τα µηδενικά της H(s) γ) Την απόκριση πλάτους H(ω) ' H(s) s'jω και να την σχεδιάσετε σε ηµιλογαριθµικό χαρτί 4 κύκλων από ω=0.0 έως ω=0. Την απόκριση πλάτους να την σχεδιάσετε και µε κατακόρυφο άξονα 20logΗ(ω) αντί γιά σκέτο Η(ω) και να κάνετε τις σχετικές παρατηρήσεις. Γιά την διευκόλυνση της επίλυσης της τριτοβάθµιας εξίσωσης που θα σας εµφανιστεί, δίνεται ότι έχει µία πραγµατική ρίζα γιά s= Επιβεβαιώστε την ρίζα αυτή και βρείτε τις δύο άλλες. δ) Επαναλάβετε τα παραπάνω ερωτήµατα γιά L 2 =0 και σχολιάστε τις µεταβολές στην απόκριση του κυκλώµατος. Η ακρίβεια των υπολογισµών να φτάνει µέχρι 5 δεκαδικά ψηφία. ΣΧΗΜΑ 7.30 ΛΥΣΗ Στην εφαρµογή 6. του προηγουµένου κεφαλαίου βρήκαµε ότι µε L =L 3 =L R V 2 (s) ' L (s 2 L 2 C 2 %)E(s) s 3 (2LL 2 %L 2 )C 2 % s 2 (R s %R L )(L%L 2 )C 2 % s(2l%r s R L C 2 ) %R s %R L και εποµένως -445-

42 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ H(s) ' R L (s 2 L 2 C 2 %) s 3 (2LL 2 %L 2 )C 2 % s 2 (R s %R L )(L%L 2 )C 2 % s(2l%r s R L C 2 ) %R s %R L (β) Γιά τις δεδοµένες τιµές R s =R L =, L =L 3 =L=2.89, L 2 = και C 2 =0.937 η συνάρτηση µεταφοράς γίνεται: H(s) ' s 2 % s 3 % s 2 % s % 2 Γιά την συνάρτηση αυτή δίνεται ότι έχει πόλο γιά s p = , πράγµα που σηµαίνει ότι ο παρονοµαστής διαιρείται ακριβώς µε το (s ) και αφήνει δευτεροβάθµιο πηλίκο, που υπολογίζεται από την διαίρεση. Συγκεκριµένα µε την διαίρεση βρίσκουµε s 3 % s 2 % s % 2 ' s 2 % s % s% Οι ρίζες του δευτεροβαθµίου αυτού όρου θα είναι οι άλλοι δύο πόλοι της συνάρτησης µεταφοράς πλην του πραγµατικού s p = : s p2 = j s p3 = j Εναλλακτικά οι ρίζες του παρονοµαστή, δηλ. οι πόλοι της συνάρτησης µεταφοράς, µπορούν να υπολογιστούν και µε κάποιο πρόγραµµα υπολογιστή ( MathCad, Mathematica, PC-MATH, MatLAB κ.λπ.). Τα µηδενικά της συνάρτησης µεταφοράς είναι οι ρίζες του αριθµητή, δηλ. s z =j6.042 και s z2 =-j6.042 Με τα παραπάνω στοιχεία κατασκευάζεται εύκολα το διάγραµµα πόλων-µηδενικών της H(s). (γ) Η καµπύλη απόκρισης πλάτους είναι η γραφική παράσταση του µέτρου της H(s) γιά s=jω. Εποµένως αντικαθιστούµε στην H(s) το s µε jω και παίρνουµε το µέτρο. H(ω) ' H(jω) ' &0.2739ω 2 2&4.2054ω 2 %jω(5.2955&4.555ω 2 ) & ω ' 2 (2& ω 2 ) 2 % ω 2 (5.2955& 4.555ω 2 ) 2 Είναι προφανές ότι Η(0)=0.5 ενώ όταν το ω τείνει στο άπειρο η Η(ω) τείνει στο µηδέν. Είναι επίσης προφανές ότι γιά ω=6.042 (δηλ. γιά το φανταστικό µηδενικό) ' -446-

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ η Η(ω) µηδενίζεται αφού µηδενίζεται ο αριθµητής. Η γραφική παράσταση θα γίνει σε ηµιλογαριθµικό χαρτί τεσσάρων κύκλων από ω=0.0 έως ω=0 και βάσει του παρακάτω πίνακα τιµών: H(0.0) =0.5 H(0.8) =0.489 H(0.) =0.493 H(0.86)= H(0.2) =0.470 H(0.9) =0.497 H(0.3) =0.445 H(.0) =0.433 H(0.4) =0.422 H(2.0) =0.03 H(0.5) =0.433 H(6.042)=0.0 H(0.7) =0.46 H(7.0) = ΣΧΗΜΑ 7.3 Παρατηρήστε ότι στο σχήµα 7.3 δεν έγινε δυνατή η απεικόνιση της απόκρισης όταν η συνάρτηση παίρνει πολύ µικρές τιµές. Για τον λόγο αυτό χρησιµοποιούµε το διάγραµµα Bode, αντί δηλ. να παριστάνουµε το Η(ω), παριστάνουµε το λογαριθµικό κέρδος 20logΗ(ω), σε db, όπως στο σχήµα 7.32, το οποίο αποκαλύπτει περισσότερες λεπτοµέρειες της καµπύλης απόκρισης, αφού µπορέσαµε και δείξαµε και τα σηµεία µε πολύ µικρό κέρδος

44 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΧΗΜΑ 7.32 (δ) Με L 2 =0 η συνάρτηση µεταφοράς γίνεται: H(s) ' R L s 3 L 2 C 2 % s 2 (R s %R L )LC 2 % s(2l%r s R L C 2 ) % R s %R L η οποία γιά τις δεδοµένες τιµές R s =R L =, L =L 3 =2.89 και C 2 =0.937 είναι: H(s) ' s 3 % s 2 % s % 2 Αφού ο παρονοµαστής δεν είναι πλέον ο ίδιος, δεν ισχύει κατ'ανάγκην ότι υπάρχει πόλος γιά s= Οι ρίζες του παρονοµαστή πρέπει να υπολογιστούν όλες. Με την χρήση υπολογιστή βρίσκουµε ότι οι πόλοι της νέας συνάρτησης µεταφοράς, οι ρίζες δηλ. του παρονοµαστή, είναι s p = s p2,3 = ± j Παρατηρούµε ότι ο πραγµατικός πόλος δεν µετακινήθηκε ενώ το ζεύγος των µιγαδικών αποµακρύνθηκε ελάχιστα από τους άξονες σε σχέση µε αυτούς του προηγουµένου κυκλώµατος. Το νέο κύκλωµα στερείται επιπροσθέτως µηδενικών, τα οποία προφανώς δηµιουργούντο από τον συντονισµό του πυκνωτή µετο πηνίο L 2. Η απόκριση πλάτους του κυκλώµατος είναι: H(jω) ' ' 2& ω 2 %jω(5.2955& ω 2 ) ' (2& ω 2 ) 2 % ω 2 (5.2955& ω 2 )

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Η παραπάνω απόκριση πλάτους του νέου κυκλώµατος έχει παρασταθεί στο σχήµα ΣΧΗΜΑ 7.33 ΣΧΗΜΑ 7.34 Είναι προφανές ότι οι καµπύλες απόκρισης των δύο κυκλωµάτων οµοιάζουν πολύ αφού το πηνίο L 2 επηρεάζει σηµαντικά µόνον τα µηδενικά της συνάρτησης µεταφοράς και πολύ λιγότερο τους πόλους, όπως µπορεί κανείς να δεί από τα -449-

46 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ σχετικά διαγράµµατα. Η διαφοροποίηση γίνεται πιό εµφανής αν η απόκριση σχεδιαστεί µε κατακόρυφο άξονα το λογαριθµικό κέρδος σε db µαζί µε την απόκριση του αρχικού κυκλώµατος, όπως στο σχήµα Ευστάθεια Μια από τις σηµαντικότερες έννοιες στην θεωρία συστηµάτων είναι αυτή της ευστάθειας µε την οποία ασχολείται κυρίως ο κλάδος του αυτοµάτου ελέγχου. Στο εδάφιο αυτό δεν φιλοδοξούµε να εξαντλήσουµε το θέµα αλλά να δώσουµε µια µικρή εισαγωγή. Ας θεωρήσουµε ένα σύστηµα το οποίο βρίσκεται σε µια κατάση λειτουργίας. Αν του διαταράξουµε λίγο την κατάσταση που βρίσκεται µπορούν να συµβούν τα εξής: - Να επανέλθει σε πεπερασµένο χρονικό διάστηµα στην αρχική κατάσταση - Να µην µπορέσει ποτέ να επανέλθει στην αρχική κατάσταση - Να παραµείνει στην κατάσταση που το τοποθέτησε η µικρή διαταραχή. Τα παραπάνω µπορούν να συνδυαστούν µε τα απλά µηχανικά σύστήµατα του σχήµατος, όπου ως διέγερση µπορεί να θεωρηθεί µια οριζόντια δύναµη µικρής διάρκειας και ως απόκριση η κατακόρυφη θέση του σφαιριδίου. Στο σύστηµα (α), το σφαιρίδιο ισορροπεί και αν εφαρµοστεί µιά µικρή οριζόντια δύναµη γιά µικρό χρόνο θα µετακινηθεί λίγο και θα επανέλθει στην αρχική του θέση µετά από κάποιες ταλαντώσεις (το σύστηµα θεωρείται πραγµατικό και έχει τριβές). Πρόκειται γιά ένα ευσταθές σύστηµα. Στο σύστηµα (β) το σφαιρίδιο ισορροπεί αλλά αν µετακινηθεί λίγο λόγω µιας µικρής και περιορισµένης διάρκειας οριζόντιας δύναµης, θα κυλήσει προς τα κάτω και δεν πρόκειται ποτέ να επανέλθει στην αρχική του θέση, κατάσταση που εκφράζει ότι το σύστηµα είναι ασταθές. Παρατηρήστε ότι η απόκριση, η κατακόρυφη θέση, θα αυξάνει µε τον χρόνο χωρίς περιορισµό. Στο σύστηµα (γ) µια µικρή και περιορισµένης διάρκειας οριζόντια δύναµη θα µετακινήσει λίγο το σφαιρίδιο, το οποίο θα παραµείνει εκεί που θα πάει, όπου έχει την ίδια -450-

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ απόκριση (κατακόρυφη θέση). Η κατάσταση αυτή αδιάφορης ισορροπίας, εκφράζει την οριακή ευστάθεια. Υπό ορισµένες προϋποθέσεις (ελέγξιµότητος και παρατηρησιµότητος), στα συστήµατα LTI µε συγκεντρωµένες παραµέτρους, η ευστάθεια συνδέεται µε το αν η απόκριση είναι περιορισµένη ή όχι. Συγκεκριµένα, ένα σύστηµα είναι ευσταθές αν δίνει περιορισµένη απόκριση (bounded response) για περιορισµένη διέγερση (ευστάθεια BIBO =bounded-input bounded-output, που ορίστηκε στο εδάφιο..3 του ου κεφαλαίου). Ενα σήµα f(t) είναι περιορισµένο αν το µέτρο του δεν αυξάνει απεριόριστα µε τον χρόνο δηλ. f(t) <B < 4 γιά κάθε t Ενα σύστηµα ή κύκλωµα είναι ΒΙΒΟ ευσταθές αν για κάθε περιορισµένη διέγερση f(t) δίνει περιορισµένη απόκριση g(t), δηλ. αν για f(t) <B < 4 δίνει απόκριση g(t) <B 2 < 4 γιά κάθε t Η παραπάνω σχέση µπορεί να δώσει το κριτήριο ευστάθειας ΒΙΒΟ σε σχέση µε την κρουστική απόκριση του συστήµατος: g(t) ' h(τ)f(t & τ)dτ # h(τ) f(t & τ) dτ # B h(τ) dτ m m m /0 &4 /0 &4 &4 Εποµένως το σύστηµα είναι ΒΙΒΟ ευσταθές αν 4 m &4 h(τ) dτ < 4 δηλ. µια ικανή συνθήκη για να είναι ένα γραµµικό χρονικά αµετάβλητο σύστηµα ΒΙΒΟ ευσταθές είναι η κρουστική του απόκριση να είναι απόλυτα ολοκληρώσιµη. Υπό τον ορισµό αυτό, ένα σύστηµα µε κρουστική απόκριση h(t)=e -2t u(t) είναι ευσταθές ενώ µε h(t)=u(t) είναι ασταθές. Η µετάφραση της παραπάνω συνθήκης ευστάθειας στο πεδίο συχνοτήτων αφορά συνθήκες που σχετίζονται µε τους πόλους της συνάρτησης µεταφοράς H(s)= - [h(t)]. Συγκεκριµένα, για να είναι ένα γραµµικό χρονικά αµετάβλητο κύκλωµα ευσταθές πρέπει οι πόλοι της συνάρτησης µεταφοράς του να βρίσκονται στο αριστερό ηµιεπίπεδο, να έχουν δηλ. αρνητικό πραγµατικό µέρος. Είδαµε στα προηγούµενα ότι -45-

48 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ η συµβολή ενός πραγµατικού πόλου s =a στην χρονική απόκριση είναι ένα εκθετικό σήµα e at u(t) H συµβολή ενός συζυγούς µιγαδικού ζεύγους πόλων s,2 =a±jb στην χρονική απόκριση είναι 2K e at συν(bt%θ) Το σχήµα 7.35α δείχνει τις χρονικές συµβολές και στις δύο περιπτώσεις µε a>0, ενώ το 7.35β µε a<0. ΣΧΗΜΑ 7.35 Εύκολα παρατηρεί κανείς ότι όταν ο πραγµατικός πόλος είναι θετικός, δηλ. βρίσκεται στο δεξί ηµιεπίπεδο-s, προκαλεί µια αύξουσα εκθετική απόκριση. Στην περίπτωση του συζυγούς µιγαδικού ζεύγους πόλων, η αντίστοιχη απόκριση µε πραγµατικό µέρος των πόλων a>0 είναι αύξουσα συνηµιτονική. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7.2 Εστω ότι ένα γραµµικό σύστηµα έχει συνάρτηση µεταφοράς H(s) ' s 2 & 2s % 2 µε πόλους s,2 =±j. Αν στο σύστηµα αυτό βάλλουµε ως διέγερση την κρουστική δ(t), τότε η κρουστική απόκριση h(t) θα είναι h(t) ' e t συν(t % π 2 ) πράγµα που σηµαίνει ότι σε ελάχιστο χρόνο, η έξοδος θα είναι, λόγω της αύξουσας εκθετικής, εξαιρετικά µεγάλη και συνεχώς αυξανόµενη (µη περιορισµένη), κάτι που δεν είναι δυνατόν να υπάρχει σε φυσικά συστήµατα. Αν το ίδιο σύστηµα διεγερθεί µε -452-

49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ βηµατικό σήµα e(t)=u(t), οπότε E(s)=/s, τότε η βηµατική του απόκριση θα είναι: & ' & s& & ' s(s 2 & 2s % 2) s s 2 & 2s % 2 ' 0.5u(t) & 2 2 e t συν(t% π 4 ) u(t) ' 0.5u(t) & 2e t συν(t% π 4 ) Είναι προφανές ότι και πάλι σε ελάχιστο χρόνο, η έξοδος παίρνει πολύ υψηλές τιµές µε διαρκώς αυξανόµενη διάθεση λόγω του θετικού t στην εκθετική. Τι θα είχε όµως συµβεί αν οι πόλοι δεν είχαν πραγµατικό µέρος και εποµένως ήταν πάνω στον φανταστικό άξονα; 7.9. Οριακή Ευστάθεια (marginal stability) Ας θεωρήσουµε τώρα το σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς H(s) ' µε πόλους s s 2 % ω 2,2 ' ± jω 0 0 και ας υπολογίσουµε την κρουστική και την βηµατική απόκριση. ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ h(t) ' & H(s) ' & s 2 % ω 2 0 ' ω 0 ηµ(ω 0 t)u(t) ΒΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ v u (t) ' & H(s) s ' & ' & s(s 2 % ω 2 0 ) ω 2 s & 0 s s 2 % ω 2 0 ' ω 2 0 u(t) & συν(ω 0 t)u(t) ' ω 2 0 & συν(ω 0 t) u(t) Και οι δύο αποκρίσεις, που φαίνονται στο σχήµα 7.36, είναι περιορισµένες, ικανοποιούν δηλ. την f(t) <B<4γιά κάθε t

50 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΧΗΜΑ 7.36 Φαίνεται εκ πρώτης όψεως ότι αφού οι δύο αποκρίσεις είναι περιορισµένες το σύστηµα εναι ευσταθές. Αν όµως βάλλουµε διέγερση f(t)=συν(ω 0 t)u(t), της οποίας ο µετασχηµατισµός είναι s/(s 2 +ω 2 0 ), τότε η µετασχηµατισµένη απόκριση θα είναι G(s) ' H(s) s s 2 % ω 2 0 ' s (s 2 % ω 2 0 )2 και η χρονική απόκριση, σύµφωνα µε τον πίνακα ζευγών του µετασχηµατισµού Laplace είναι: 2 ω 0 t ηµ(ω 0 t) u(t) που είναι σαφώς µη περιορισµένη λόγω του παράγοντα t. Αυτό σηµαίνει ότι το σύστηµα για µια ειδική διέγερση είναι ΒΙΒΟ ασταθές. Η ειδική -454-

51 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ αυτή διέγερση είναι ένα συνηµιτονικό σήµα µε συχνότητα ω 0 που είναι η φυσική συχνότητα του συστήµατος. Επειδή όµως η αστάθεια συµβαίνει κάτω από ειδικές συνθήκες τα συστήµατα µε ένα απλό συζυγές φανταστικό ζεύγος πόλων πάνω στον φαντασικό άξονα ονοµάζονται οριακά ευσταθή (marginal stable). Περισσότερα φανταστικά ζεύγη πόλων κάνουν το σύστηµα ασταθές Κριτήρια Routh-Hurwitz Η συνάρτηση ενός συστήµατος LTI είναι όπως είδαµε ρητή συνάρτηση του s, είναι δηλ. λόγος δύο πολυωνύµων Ν(s)/D(s). Γιά να είναι το σύστηµα ευσταθές πρέπει όλοι οι πόλοι, οι ρίζες δηλ. του D(s) να βρίσκονται στο κλειστό αριστερό s- ηµιεπίπεδο. Τέτοια πολυώνυµα ονοµάζονται πολυώνυµα Hurwitz, πρός τιµήν του Ελβετού µαθηµατικού Adolph Ηurwitz (859-99), ο οποίος τα µελέτησε πρώτος από το 895. Αυστηρά Hurwitz πολυώνυµα ονοµάζονται όταν δεν υπάρχουν ρίζες πάνω στον jω-άξονα, παρά µόνο στο ανοιχτό αριστερό s-ηµιεπίπεδο. Για να διαπιστώσουµε όµως την θέση των πόλων, θα πρέπει να παραγοντοποιήσουµε το πολυώνυµο του παρονοµαστή, να βρούµε δηλ. τις ρίζες του, πράγµα που τις περισσότερες φορές είναι δύσκολο ή και άχρηστο, αφού η ευστάθεια δεν απαιτεί την ακριβή θέση των πόλων. Χρειαζόµαστε εποµένως κάποια πιό πρακτικά κριτήρια για την θέση των πόλων, χωρίς να απαιτείται εύρεση των ριζών του πολυωνύµου. Αν µια πολυωνυµική συνάρτηση, όπως τα πολυώνυµα Hurwitz, µε πραγµατικούς συντελεστές έχει µια ρίζα ρ τότε και το συζυγές της ρ * είναι ρίζα της συναρτήσεως. Οι ρίζες δηλαδή των πολυωνύµων Hurwitz, όπως και όλων των πολυωνύµων, έρχονται κατά συζυγή ζεύγη, ενώ οι πραγµατικές ρίζες µπορεί να είναι µόνες τους. Γενικά λοιπόν ένα πολυώνυµο έχει ρίζες δύο κατηγοριών: (α) k πραγµατικές της µορφής s i =-γ i µε γ i $0 (β) λ συζυγή ζεύγη ριζών της µορφής s i =σ i ±jω i Ετσι, στην παραγοντική µορφή του ένα πολυώνυµο Hurwitz αποτελείται απο γινόµενο όρων της µορφής k k i' λ k i' (s % γ i ) και (s & s i )(s & s ( i ) ' k λ i' (s 2 & 2σ i s % σ 2 i % ω 2 i ) όπου σ i είναι για τις επί του jω-άξονα ρίζες. Η πρότυπη παραγοντοποιηµένη µορφή -455-

52 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ λοιπόν ενός πολυώνυµου Hurwitz είναι H(s)'(s%γ )...(σ%γ k )(s 2 &2σ s%σ 2 %ω2 )...(s 2 &2σ λ s%σ 2 λ %ω2 λ ) αν υπάρχουν k πραγµατικά µηδενικά και λ συζυγή ζεύγη. Χρησιµοποιώντας την µορφή των πολυωνύµων Hurwitz µπορούν εύκολα να αποδειχτούν οι παρακάτω ιδιότητες τους που είναι συγχρόνως αναγκαίες συνθήκες για να είναι ένα πολυώνυµο, πολυώνyµο Hurwitz. ΑΝΑΓΚΑΙΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΓΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ HURWITZ. Οι συντελεστές πολυωνύµου Hurwitz είναι οµόσηµοι. 2. Αν ο όρος µε την χαµηλότερη δύναµη του s είναι ο a µ s µ τότε υπάρχει µηδενικό πολλαπλότητος µ για s=0 3. Δεν µπορεί να λείπει ένας µεµονωµένος όρος απο πολυώνυµο Hurwitz. Μπορεί όµως να λείπουν όλοι οι περιττής ή άρτιας τάξεως όροι, αν το πολυώνυµο έχει ρίζες µόνο στον jω-άξονα. Για την τρίτη αυτή ιδιότητα θα µιλήσουµε λίγο αναλυτικότερα. Ας υποθέσουµε ότι ένα πολυώνυµο έχει ένα µηδενικό πολλαπλότητος µ στο s=0 και λ συζυγή ζεύγη φανταστικών µηδενικών πάνω στον jω-άξονα. Το πολυώνυµο αυτό θα είναι της µορφής H(s) ' s µ (s 2 % ω 2 )(s 2 % ω 2 2 )... (s 2 % ω 2 λ ) Ο όρος µε την χαµηλότερη δύναµη θα είναι ο a µ s µ και οι όροι a µ+ s µ+, a µ+3 s µ+3... a µ+5 s µ+5... θα λείπουν. Για µ άρτιο εποµένως θα λείπουν όλοι οι περιττής τάξεως όροι ενώ για µ περιττό θα λείπουν όλοι οι άρτιας τάξεως όροι. Οι παραπάνω αναγκαίες συνθήκες δεν επαρκούν για να διαπιστωθεί η ευστάθεια, αλλά µόνον η αστάθεια σε περίπτωση που δεν πληρούνται. Αν δηλ. δεν ισχύει κάποια από αυτές, το πολυώνυµο έχει ρίζες στο δεξιό ηµιεπίπεδο. Οταν όµως ισχύουν όλες οι παραπάνω αναγκαίες συνθήκες, δεν σηµαίνει ότι οι ρίζες βρίσκονται στο αριστερό ηµιεπίπεδο και χρειαζόµαστε κριτήρια που θα παρέχουν την αναγκαία και ικανή συνθήκη ευστάθειας, δηλ. θα εξασφαλίζουν ότι οι ρίζες είναι στο αριστερό ηµιεπίπεδο Κριτήρια αυστηρότητος Hurwitz Τόσο σε προβλήµατα ευστάθειας, όσο και σε προβλήµατα σύνθεσης κυκλωµάτων, -456-

53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ είναι πολλές φορές απαραίτητο να ελέγχεται αν ένα πολυώνυµο είναι αυστηρά Hurwitz, δεν έχει δηλ. ρίζες στο δεξιό ηµιεπίπεδο ούτε στον άξονα jω. Στην περίπτωση αυτή χρησιµποιούνται συνήθως δύο κριτήρια, το κριτήριο Routh και το κριτήριο Hurwitz. Φυσικά για να εφαρµόσει κανείς τα κριτήρια αυτά, θα πρέπει πρώτα να εξετάσει αν ισχύουν οι αναγκαίες συνθήκες γιά να είναι το πολυώνυµο, πολυώνυµο Hurwitz. Κριτήριο Routh γιά έλεγχο αυστηρότητος Hurwitz Το ελεγχόµενο πολυώνυµο D(s) χωρίζεται σε άρτιο και περιττό µέρος D e (s) και D o (s) αντίστοιχα και σχηµατίζεται η R(s) ως ο λόγος των δύο αυτών µερών όπου στον αριθµητή µπαίνει το πολυώνυµο µε την µεγαλύτερη τάξη ώστε να µπορεί να αρχίσει η συνεχής διαίρεση του Ευκλείδη, γνωστή και ως ανάλυση σε συνεχές κλάσµα ή και ως ανάλυση σε συνεχές κλάσµα Stieljes. Χρησιµοποιώντας την συνεχή διαίρεση του Ευκλείδη, όπου κάθε µερικό υπόλοιπο διαιρεί τον προηγούµενο διαιρέτη, είναι δυνατή η παρακάτω έκφραση γιά την R(s): R(s) ' γ s % γ 2 s %... %... % γ n& % γ n s Το κριτήριο Routh (Edward John Routh , γεννήθηκε στον Καναδά αλλά έζησε στην Αγγλία) εκφράζει την αναγκαία και ικανή συνθήκη γιά να είναι το D(s) από το οποίο δηµιουργήθηκε η R(s), αυστηρά Hurwitz πολυώνυµο ως εξής: Το πολυώνυµο D(s) είναι αυστηρά Hurwitz τότε και µόνο τότε άν όλοι οι συντελεστές γ i στο συνεχές κλάσµα είναι θετικοί και µη µηδενικοί. Κατά την διαδικασία των συνεχών διαιρέσεων γιά την ανάλυση του R(s) σε συνεχές κλάσµα, αρχίζουµε διαιρώντας τον αριθµητή µε τον παρονοµαστή αφού από την κατασκευή του ο αριθµητής θα είναι τάξης, έστω n και ο παρονοµαστής τάξης n-. Η πρώτη διαίρεση θα µας δώσει ένα πηλίκον γ s και ένα υπόλοιπο Π (s) βαθµού φυσικά n-2 αφού ο διαιρέτης έχει ελλιπείς όρους (είναι το άρτιο ή το περιττό µέρος του D(s)). R(s)'γ s% Π (s) D x (s) 'γ s% D x (s) Π (s) -457-

54 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Στη συνέχεια διαιρούµε τον παρονοµαστή (τον εκάστοτε προηγούµενο διαιρέτη) µε το πιό πρόσφατο υπόλοιπο έως ότου φτάσουµε σε µηδενικό υπόλοιπο. Αυτό παρουσιάζεται όταν το Π n- έχει γίνει µηδενικού βαθµού (σταθερά) µε το οποίο διαιρούµε το Π n-2 και παίρνουµε το γ n s και το µηδενικό υπόλοιπο εφόσον δεν υπάρχει κοινός παράγοντας στον αριθµητή και τον παρονοµαστή του R(s). Στην περίπτωση όµως που υπάρχει κοινός παράγοντας στον αριθµητή και παρονοµαστή του R(s), η διαίρεση σταµατάει πρόωρα, εµφανίζεται δηλ. ένα µηδενικό υπόλοιπο Π k =0 µε k<n. Αυτό σηµαίνει ότι το Π k- είναι κοινός παράγοντας του Π k-2 και όλων των υπολοίπων ως επίσης και του αριθµητή και παρονοµαστή του R(s) και εποµένως και του D(s) που είναι το άθροισµα του αριθµητή και του παρονοµαστή του R(s). Ο κοινός αυτός παράγοντας είναι ένα άρτιο πολυώνυµο K(s) γιατί αν ήταν περιττό θα εισήγαγε περιττούς όρους στο άρτιο µέρος της D(s) και άρτιους όρους στο περιττό της µέρος. Το άρτιο αυτό K(s) θα έχει συζυγή ζεύγη ριζών στον jω-άξονα ή τετράδες µιγαδικών ριζών δύο από τις οποίες θα βρίσκονται στο απαγορευµένο δεξιό s-ηµιεπίπεδο, κάνοντας και στις δύο περιπτώσεις το D(s) µη αυστηρά Hurwitz. Εποµένως, όταν η συνεχής διαίρεση του Ευκλείδη σταµατάει πρόωρα, χωρίς να έχει δώσει τόσα µερικά πηλίκα όσος ο βαθµός του πολυωνύµου, το D(s) δεν είναι αυστηρά Hurwitz. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ελέγξτε αν το D(s)=s 4 +6s 3 +s 2 +36s+k είναι αυστηρά Hurwitz. Κατά τα προηγούµενα, σχηµατίζουµε το R(s) ως τον λόγο του άρτιου µέρους του D(s) που είναι µεγαλύτερης τάξης, προς το περιττό του µέρος. Αναλύοντας το R(s) σε συνεχές κλάσµα, περιµένουµε να πάρουµε 4 µερικά πηλίκα και ισάριθµους συντελεστές γ, αφού το D(s) είναι 4ης τάξης. Πράγµατι, η ανάλυση δίνει τα παρακάτω σύµφωνα µε όσα εκτέθηκαν µέχρι τώρα: R(s)' D e (s) D o (s) ' s 4 %s 2 %k 6s 3 %36s ' 6 s % 5s 2 % k 6s 3 % 36s ' 6 s % 6s 3 % 36s 5s 2 % k ' 6 s % 6 5 s % & 6k s % 80 & 6k s 5k ' -458-

55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Πήραµε πράγµατι 4 συντελεστές γ, που είναι οι δύο είναι θετικοί ενώ γιά να είναι και οι άλλοι δύο θετικοί πρέπει το k να είναι θετικό και µικρότερο από 30. Στην περίπτωση αυτή του k, το D(s) σύµφωνα µε το κριτήριο Routh, είναι αυστηρά Hurwitz. Γιά k µικρότερο από µηδέν ή µεγαλύτερο από το 30, το D(s) δεν θα είναι αυστηρά Hurwitz. Κατά την συστηµατοποίηση της διαδικασίας της συνεχούς διαίρεσης του Ευκλείδη δηµιουργείται ένας πίνακας µε n+ σειρές, (πίνακας ευστάθειας ή πίνακας Routh) από τον οποίο προκύπτει το κριτήριο Routh. Συγκεκριµένα, αν το υπό έλεγχο πολυώνυµο είναι το D(s)'a n s n %a n& s n& %a n&2 s n&2 %...%a 2 s 2 %a s%a 0 ο πίνακας Routh δηµιουργείται ως εξής: Η πρώτη σειρά του πίνακα Routh είναι οι συντελεστές a n a n&2 a n&4.... Η δεύτερη σειρά είναι a n& a n&3 a n&5.... Η τρίτη σειρά δηµιουργείται ως διαφορά της πρώτης σειράς και της δεύτερης πολλαπλασιασµένης επί τον λόγο των πρώτων στοιχείων των σειρών a n a n&. Από την σειρά που προκύπτει ως αποτέλεσµα, αγνοούµε το πρώτο στοιχείο. Με τον ίδιο τρόπο δηµιουργούνται οι επόµενες, µέχρι την n+ σειρές από τις δύο προηγούµενές τους. Οι δύο τελευταίες σειρές έχουν µόνον ένα στοιχείο.η γενική µορφή του πίνακα θα είναι η παρακάτω. a n a n&2 a n& s n s n&.... s s 0 a n& a n&3 a n& c c 2 c x όπου η κάθε σειρά αντιστοιχείται σε έναν όρο του πολυωνύµου κατά φθίνουσα σειρά. Εχοντας δηµιουργήσει την µήτρα, το κριτήριο Routh εκφράζεται ως εξής: Αν ένα στοιχείο της µήτρας είναι αρνητικό ή µηδέν, το ελεγχόµενο πολυώνυµο -459-

56 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ δεν είναι αυστηρά Hurwitz, έχει δηλ. ρίζες στο δεξιό ηµιεπίπεδο ή στον άξονα jω ή ισοδύναµα Αν ένα στοιχείο της πρώτης στήλης της µήτρας είναι αρνητικό ή µηδέν, το ελεγχόµενο πολυώνυµο δεν είναι αυστηρά Hurwitz, έχει δηλ. ρίζες στο δεξιό ηµιεπίπεδο ή στον άξονα jω Αποδεικνύεται επίσης ότι ο αριθµός των αλλαγών προσήµου στην πρώτη στήλη της µήτρας αυτής είναι ίσος µε τον αριθµό των ριζών του πολυωνύµου που δεν βρίσκονται στο αριστερό ηµιεπίπεδο. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ας ελέγξουµε αν το πολυώνυµο D(s)'s 4 %5s 3 %s 2 %0s% είναι πολυώνυµο Hurwitz. Παρατηρήστε ότι ικανοποιεί τις αναγκαίες συνθήκες, άρα ίσως να είναι Hurwitz. Σχηµατίζουµε τον πίνακα του κριτηρίου: s 4 s Η επόµενη σειρά θα είναι & ' 0 & από την οποία αγνοούµε το πρώτο στοιχείο και έχουµε s 4 s & s 2 Αν κάναµε απλώς έλεγχο για το αν το D(s) είναι αυστηρά Hurwitz, στο σηµείο αυτό θα µπορούσαµε να σταµατήσουµε αφού εµφανίστηκε ένα αρνητικό στοιχείο και το D(s) δεν είναι αυστηρά Hurwitz. Συνεχίζουµε όµως µε τον ίδιο τρόπο για να δούµε και πόσες ρίζες δεν είναι στο αριστερό ηµιεπίπεδο και βρίσκουµε τελικά s 4 s 3 s 2 s 5 & 5 0 s

57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Εποµένως, αφού υπάρχουν δύο αλλαγές προσήµου στα στοιχεία της ης στήλης (από 5 σε - και από - σε 5), θα υπάρχουν και δύο ρίζες στο δεξιό ηµιεπίπεδο. (Πράγµατι, οι ρίζες του πολυωνύµου είναι -5.75, -0.0 και 0.37±j.38). Ας ελέγξουµε και το πολυώνυµο D(s)'s 4 %s 3 %s 2 %s%2 αν είναι πολυώνυµο Hurwitz. Παρατηρήστε ότι ικανοποιεί τις αναγκαίες συνθήκες, άρα ίσως να είναι Hurwitz. Σχηµατίζουµε τον πίνακα του κριτηρίου και όπου µας βγαίνει 0, γράφουµε ε: s 4 2 s 3 ε 2 s 2 s s 0 ε&2 ε 2 Ηδη από το πρώτο µηδενικό που εµφανίστηκε και αντικαταστήσαµε µε ε, ξέρουµε ότι το πολυώνυµο δεν είναι αυτηρά Hurwitz. Γιά να βρούµε όµως και πόσες ρίζες παραβιάζουν τις συνθήκες, θεωρούµε ότι το ε τείνειστο µηδέν. Το ε είναι ακόµα θετικό αλλά ο όρος της σειράς s γίνεται ένας πολύ µεγάλος αρνητικός αριθµός και εποµένως το πολυώνυµο δεν είναι Hurwitz αφού η πρώτη στήλη έχει δύο αλλαγές προσήµου. (Πράγµατι, οι ρίζες του πολυωνύµου είναι ±j0.787 και 0.473±j.026.). Ας ελέγξουµε τέλος αν το πολυώνυµο D(s)'2s 5 %s 4 %7s 3 %3s 2 %4s% 3 2 είναι πολυώνυµο αυστηρά Hurwitz. Παρατηρήστε ότι ικανοποιεί τις αναγκαίες συνθήκες, γιά να είναι Hurwitz. Σχηµατίζουµε τον πίνακα του κριτηρίου: s 5 s 4 s 3 s 2 s s 0-46-

58 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Το πολυώνυµο σύµφωνα µε το κριτήριο Routh είναι αυστηρά Hurwitz. Πράγµατι, αν υπολογίσουµε τις ρίζες του µε τον υπολογιστή, βρίσκουµε ότι είναι ±j ±j0.839 Κριτήριο Hurwitz Με το κριτήριο αυτό ελέγχεται η αυστηρότητα Hurwitz ενός πολυωνύµου. Αν το προς έλεγχο πολυώνυµο είναι το D(s) ' a n s n % a n& s n& % a n&2 s n&2 %... % a s % a 0 σχηµατίζουµε µιά ορίζουσα Δ n, που ονοµάζεται ορίζουσα Hurwitz, τάξεως n ως εξής: Η πρώτη σειρά έχει το a n- στην πρώτη στήλη, το a n-3 στην δεύτερη και ούτω καθ' εξής ώσπου να εξαντληθούν οι όροι. Στην δεύτερη σειρά στην στήλη έχουµε το a n, στην στήλη 2 το a n-2 και ούτω καθ' εξής ώσπου να τελειώσουν οι όροι. Στις κενές θέσεις βάζουµε µηδενικά. Το επόµενο ζεύγος σειρών (3 και 4) είναι ίδιο µε το πρώτο αλλά µετατοπισµένο δεξιά κατά µια θέση. Στις θέσεις που πηδάµε βάζουµε µηδενικά. Συνεχίζουµε έτσι µέχρι που να δηµιουργηθούν n σειρές οπότε το στοιχείο a 0 θα είναι στη θέση nn. a n& a n&3 a n& a n a n&2 a n& a n& a n&3 a n& a n a n&2 a n& Δ ' 0 0 a n& a n& /0 0 0 a n a n& a 2 a 0 Δηµιουργούµε την ορίζουσα Δ n- αφαιρώντας την σειρά n και την στήλη n. Από την Δ n- δηµιουργούµε την Δ n-2 αφαιρώντας την τελευταία της σειρά και στήλη. Με τον τρόπο αυτό δηµιουργούµε συνολικά n ορίζουσες. Το κριτήριο Hurwitz εκφράζεται ως εξής: /0-462-

59 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Το πολυώνυµο D(s) είναι αυστηρά Hurwitz, αν όλες οι ορίζουσες είναι θετικές µη µηδενικές. Οι Lienard-Chipard απέδειξαν ότι αρκεί οι Δn, Δn-2, Δn-4,... ή οι Δn-, Δn-3, Δn-3,... να είναι θετικές γιά να είναι το D(s) αυστηρά Hurwitz. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ελέγξτε το D(s)=s 4 +3s 3 +4s 2 +3s+ αν είναι αυστηρά Hurwitz. Θα δηµιουργήσουµε τις ορίζουσες Δ, Δ 3, Δ 2, και Δ σύµφωνα µε τα προηγούµενα: Δ ' / /0 Δ 3 ' / /0 Δ 2 ' / /0 Δ ' 3 Γιά να είναι το D(s) αυστηρά Hurwitz, πρέπει όλες οι παραπάνω ορίζουσες να είναι θετικές. Εναλλακτικά και πιό εύκολα, σύµφωνα µε τους Lienard-Chipard, πρέπει οι Δ 3 και Δ να είναι θετικές, που είναι αφού Δ 3 υπολογίζεται να είναι 8 και η Δ = Εισαγωγή στους Ταλαντωτές Σκοπός του εδαφίου αυτού είναι να παρουσιάσει τις βασικές αρχές λειτουργίας και όχι τις κατασκευαστικές λεπτοµέρειες των ταλαντωτών, οι οποίες µπορούν να βρεθούν σε εξειδικευµένα βιβλία Ηλεκτρονικής. Είδαµε στο προηγούµενο εδάφιο ότι σε ένα κύκλωµα µε φανταστικό ζεύγος πόλων, οριακά ευσταθές, αν εφαρ- µόσουµε µια µεταβατική διέγερση (κρουστική ή βηµατική), αυτό θα δώσει στην έξοδο ηµιτονική απόκριση. Το γεγονός αυτό χρησιµοποιούµε για την δηµιουργία ηµιτονικών ταλαντωτών. Το κύκλωµα του σχήµατος 7.37, είναι ένας διαφορικός ενισχυτής και έχει έξοδο V o (s)'&kv %(k%)v 2 ΣΧΗΜΑ

60 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Αν ανατροφοδοτήσουµε την έξοδο σε µια από τις εισόδους του διαφορικού ενισχυτή, µέσω ενός κυκλώµατος µε συνάρτηση µεταφοράς H(s), προκύπτουν οι δύο διατάξεις του σχήµατος Η διάταξη στο 7.38α, έχει συνάρτηση µεταφοράς H o (s) ' V o (s) V (s) ' k (k % )H(s) & και είναι η κλασική διάταξη θετικής ανάδρασης. Η διάταξη αρνητικής ανάδρασης στο 7.38β, έχει συνάρτηση µεταφοράς H o (s) ' V o (s) V 2 (s) ' k % kh(s) % ΣΧΗΜΑ 7.38 Και στις δύο περιπτώσεις,, η προσθήκη της ανάδρασης στον διαφορικό ενισχυτή, δηµιουργεί µια συνάρτηση µεταφοράς που βασίζεται στην συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµατος της ανάδρασης. Αν ως κύκλωµα ανάδρασης χρησιµοποιηθεί ένα κύκλωµα µε ζεύγος συζυγών πόλων, το συνολικό κύκλωµα, µπορεί µε κατάλληλες επιλογές, να αποκτήσει φανταστικούς πόλους και να είναι οριακά ευσταθές, οπότε θά δίνει ηµιτονική έξοδο µε την παραµικρή µεταβατική διέγερση. Στην αρχή αυτή στηρίζονται οι παρακάτω ηµιτονικοί ταλαντωτές. Το κύκλωµα του διαφορικού ενισχυτή που φαίνεται εδώ να υλοποιείται µε τελεστικό ενισχυτή, µπορεί να υλοποιηθεί και µε ένα FET, πράγµα που είναι πιο σύνηθες στην πράξη

61 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 7.0. Παράλληλος LC ταλαντωτής Αν στο κύκλωµα ανάδρασης χρησιµοποιηθεί ένα παράλληλο συντονιζόµενο κύκλωµα, όπως στο σχήµα 7.39, µε συνάρτηση µεταφοράς τάσης H(s) ' V 2 (s) V o (s) ' s CR s 2 % s R % R 2 R R 2 C % LC τότε η συνολική συνάρτηση µεταφοράς της διάταξης θα είναι H o (s) ' V o (s) V (s) ' k (k % )H(s) & ' & k s 2 % s R % R 2 R R 2 C % LC s 2 % s R & kr 2 R R 2 C % LC ΣΧΗΜΑ 7.39 Είναι προφανές ότι για k=r /R 2, το κύκλωµα γίνεται οριακά ευσταθές ενώ γιά µεγαλύτερες τιµές του k γίνεται ασταθές και ταλαντώνει στην συχνότητα των πόλων ω o ', ακόµα και µε γειωµένη την είσοδο. LC Σειριακός LC ταλαντωτής Αν στο κύκλωµα θετικής ανάδρασης χρησιµοποιηθεί ένα συντονιζόµενο κύκλωµα σειράς, όπως στο σχήµα 7.40, µε συνάρτηση µεταφοράς τάσης -465-

62 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ H(s) ' V 2 (s) V o (s) ' s R 2 L s 2 % s R % R 2 L % LC τότε η συνολική συνάρτηση µεταφοράς της διάταξης θα είναι H o (s)' V o (s) V (s) ' k (k%)h(s)& ' &k s 2 %s R %R 2 % L LC s 2 %s R &kr 2 % L LC Είναι προφανές ότι για k=r /R 2, το κύκλωµα γίνεται οριακά ευσταθές ενώ γιά µεγαλύτερες τιµές του k γίνεται ασταθές και ταλαντώνει στην συχνότητα τοων πόλων ω o ', ακόµα και µε γειωµένη την είσοδο. LC ΣΧΗΜΑ Ταλαντωτές γέφυρας Wien Στο κύκλωµα θετικής ανάδρασης συνδέουµε τώρα ένα κύκλωµα RC σαν αυτά του σχήµατος 7.4, τα οποία έχουν και τα δύο συνάρτηση µεταφοράς τάσης H(s) ' V 2 (s) s V o (s) ' RC s 2 3 % s RC % R 2 C 2 Η συνολική συνάρτηση µεταφοράς της διάταξης θα είναι -466-

63 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ H o (s) ' V o (s) V (s) ' k (k % )H(s) & ' & k s 2 3 % s RC % R 2 C 2 s 2 % s 2 & k RC % R 2 C 2 ΣΧΗΜΑ 7.4 Είναι προφανές ότι για k=2, το κύκλωµα γίνεται οριακά ευσταθές ενώ γιά µεγαλύτερες τιµές του k γίνεται ασταθές και ταλαντώνει στην συχνότητα τοων πόλων ω o ', ακόµα και µε γειωµένη την είσοδο. RC ΣΧΗΜΑ Ταλαντωτές Colpitts και Hartley Μια σειρά ταλαντωτών βασίζεται στην διάταξη του σχήµατος 7.42, στο οποίο το κύκλωµα της ανάδρασης έχει συνάρτηση µεταφοράς -467-

64 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ H o (s) ' V o (s) V (s) ' H(s) ' V 2 (s) V o (s) ' Z Z 3 (R o % Z )(Z % Z 2 % Z 3 ) & Z 2 Η συνάρτηση µεταφοράς της διάταξης θα είναι k (k % )H(s) & '&k (R o % Z )(Z % Z 2 % Z 3 ) & Z R o (Z % Z 2 % Z 3 ) % Z (Z 2 & kz 3 ) Με την επιλογή του εποµένου σχήµατος, δηλ. Z =sl, Z 2 =/sc 2 και Z 3 =/sc 3, προκύπτει ο ταλαντωτής Colpitts του σχήµατος 7.43 µε συνάρτηση µεταφοράς: H o (s)' V o (s) s 2 %s V (s) ' k (k%)h(s)& '&k 2 % % % R oc2 R oc3 L C 2 L C 3 s 2 %s C 3 &kc 2 C 2 C 3 R o % L C 2 % L C 3 ΣΧΗΜΑ 7.43 Η διάταξη καθίσταται οριακά ευσταθής για k=c 3 /C 2, ενώ γιά µεγαλύτερες τιµές του k γίνεται ασταθής και ταλαντώνει στην συχνότητα των πόλων ω o ' C 2 % C 3 L C 2 C 3 ακόµα και µε γειωµένη την είσοδο. Με την επιλογή των αντιστάσεων του σχήµατος, Z =/sc, Z 2 =sl 2 και Z 3 =sl 3, προκύπτει ο ταλαντωτής Hartley του σχήµατος 7.44, ο οποίος ταλαντώνει για -468-

65 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ k$ L 2 L 3 στην ω o ' C (L 2 %L 3 ) ΣΧΗΜΑ Ταλαντωτής µετατόπισης φάσης ΣΧΗΜΑ 7.45 Ο ταλαντωτής µετατόπισης φάσης (σχήµα 7.45) στηρίζεται στην διάταξη αρνητικής ανάδρασης και χρησιµοποιεί ένα κλιµακωτό κύκλωµα 3ης τάξης µε συνάρτηση µεταφοράς H(s) ' V (s) V o (s) ' s 3 s 3 % s 2 6 RC % s 5 R 2 C 2 % R 3 C 3 Η συνάρτηση µεταφοράς της διάταξης είναι -469-

66 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ H o (s) ' V o (s) V 2 (s) ' (k % )(s 3 % s 2 6 RC % s 5 R 2 C % 2 R 3 C 3) (k % )s 3 % s 2 6 RC % s 5 R 2 C % 2 R 3 C 3 Η παραπάνω συνάρτηση έχει έναν πραγµατικό πόλο και ένα ζεύγος µιγαδικών πόλων, το πραγµατικό µέρος των οποίων µηδενίζεται όταν k=29 οπότε το ζεύγος των φανταστικών πλέον πόλων είναι ±j RC 6. Για τιµές του k>29, το κύκλωµα γίνεται ασταθές και ταλαντώνει για ω ο ' RC 6 Οι παραπάνω συνθήκες ταλάντωσης, είναι δυνατόν να παραχθούν και από την ταυτότητα kh(jω)&' Ταλαντωτές κρυστάλλου Ως κύκλωµα 2ης τάξης της ανάδρασης, µπορεί να χρησιµοποιηθεί ένας πιεζοηλεκτρικός κρύσταλλος. συνήθως χαλαζία, ο οποίος διεγειρόµενος κατάλληλα, αποτελεί ένα ταλαντούµενο ηλεκτροµηχανικό σύστηµα. Το σύµβολο του κρυστάλλου καθώς και το ηλεκτρικό του ισοδύναµο φαίνονται στο σχήµα ΣΧΗΜΑ 7.46 Η C Ο παριστάνει την βασική χωρητικότητα µεταξύ των ηλεκτροδίων του κρυστάλλου και είναι της τάξεως των 3.5 pf για ένα κρύσταλλο 00 khz. Για τον κρύσταλλο αυτό, οι υπόλοιπες τιµές είναι L.40 H, C.0.02 pf και R.5 kω. Με αυτές τις τιµές ο συντελεστής ποιότητος Q του κρυστάλλου φτάνει την τιµή Q=5000 περίπου

67 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Η αντίσταση του ισοδύναµου κυκλώµατος είναι Z(s) ' s 2 % s R L % LC sc o s 2 % s R L % L CC o C % C o Η συχνότητα του συζυγούς µιγαδικού ζεύγους πόλων είναι ω ο ' C o % C LC o C ' % C C o LC. LC αφού C o» C Ο συντελεστής ποιότητος του µιγαδικού ζεύγους πόλων είναι Q ' L R C Με τις τιµές που ήδη αναφέρθηκαν, επιβεβαιώνεται ότι η συχνότητα των πόλων είναι περίπου 00 khz και το Q της τάξης του Ασκήσεις και προβλήµατα 7. α) Υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς τάσης του κυκλώµατος του σχήµατος Α

68 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ β) Υπολογίστε την σχέση των δύο αντιστάσεων, ώστε η συνάρτηση µεταφοράς να γίνεται 2ης τάξης µε απλοποίηση πόλου-µηδενικού 7.2 α) Υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς τάσης του κυκλώµατος του σχήµατος Α7.2α και αποδείξτε ότι έχει πραγµατικό πόλο για s=-/rc. β) Υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς τάσης του κυκλώµατος του σχήµατος Α7.2β γ) Υπολογίστε το L στο κύκλωµα (β), ώστε τα δύο κυκλώµατα να έχουν τους ίδιους ακριβώς πόλους. ΣΧΗΜΑ Α Το κύκλωµα του σχήµατος Α7.3 απότελείται από την σύνδεση ενός κυκλώµατος (block I) µε κρουστική απόκριση2e!0.5t συν(0.5t) και ενός κυκλώµατος (block II) που έχει βηµατική απόκριση e!t ΣΧΗΜΑ Α7.3 α) Υπολογίστε την συνολική συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµατος και σχεδιάστε το διάγραµµα πόλων-µηδενικών. β) Υπολογίστε και σχεδιάστε την καµπύλη απόκρισης πλάτους του συνολικού κυκλώµατος από το διάγραµµα πόλων-µηδενικών. 7.4 Η κρουστική απόκριση ενός βαθυπερατού κυκλώµατος RLC 2ης τάξης είναι h(t) ' 2e &t συν(t % π 4 ) -472-

69 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ α) Υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς β) Υπολογίστε την έξοδο του κυκλώµατος αν η είσοδος είναι 0ηµt. 7.5 α) Αποδείξτε ότι το εικονιζόµενο στο σχήµα Α7.4 κύκλωµα υλοποιεί συνάρτηση µεταφοράς 2ης τάξης της µορφής H(s)' V OUT ' V ΙΝ As s 2 % ω o Q s%ω2 ΣΧΗΜΑ Α7.4 και υπολογίστε τις ποσότητες ω ο και Q συναρτήσει των στοιχείων του κυκλώµατος. β) Σχεδιάστε µε ακρίβεια το διάγραµµα πόλων-µηδενικών δείχνοντας τις χαρακτηριστικές τιµές συναρτήσει των ω ο και Q. γ) Σχεδιάστε την καµπύλη απόκρισης πλάτους και υπολογίστε την µέγιστη τιµή συναρτήσει των ω ο και Q. ΣΧΗΜΑ Α α) Αποδείξτε ότι το εικονιζόµενο στο σχήµα Α7.5 κύκλωµα είναι βαθυπερατό φίλτρο και υπολογίστε την σχέση που δίνει την συχνότητα αποκοπής (-3db) συναρτήσει των στοιχείων του. β) Με C=C2=0nF και R=R2=0kΩ: β Σχεδιάστε µε ακρίβεια την καµπύλη απόκρισης πλάτους του κυκλώµατος β 2 Υπολογίστε και σχεδιάστε την κρουστική απόκριση του κυκλώµατος 7.7 α) Υπολογίστε και σχεδιάστε την καµπύλη απόκρισης πλάτους των δύο κυκλωµάτων του σχήµατος Α7.6 µε R =R L = kω, L 2 =00mH και -473-

70 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ C =C 3 =00nF. β) Υπολογίστε και σχεδιάστε την κρουστική απόκριση του κυκλώµατος. (β) ΣΧΗΜΑ Α α) Υπολογίστε την καµπύλη απόκρισης πλάτους του κυκλώµατος του σχήµατος Α7.7. β) Με R =R 2 =R και C =C 2 =C Προσδιορίστε τα στοιχεία του κυκλώµατος ώστε στην συχνότητα f=5 khz, το κέρδος να είναι 3dB χαµηλότερο από το κέρδος για f=0 ΣΧΗΜΑ Α Στο κύκλωµα του σχήµατος Α7.8 α) Υπολογίστε τις συναρτήσεις µεταφοράς H (s)' V a (s) H V ιn (s) 2 (s)' V out (s) V a (s) και H(s)' V out (s) V ιn (s) β) Με όλες τις αντιστάσεις 000Ω, L=00mH και C=C 0 =00nF, σχεδιάστε µε προσοχή και λεπτοµέρεια και τις τρεις αποκρίσεις πλάτους κατά συχνότητα στο ίδιο διάγραµµα

71 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΧΗΜΑ Α Το κύκλωµα του σχήµατος Α7.9 µε R =R 2 =kω και C o =C =C 2 =µf διεγείρεται από την ιδανική πηγή τάσης e(t) και ως απόκριση θεωρούµε την v 2 (t) ΣΧΗΜΑ Α7.9 α) να υπολογιστεί η συνάρτηση µεταφοράς τάσης V 2 (s)/e(s) και να παρασταθεί γραφικά η καµπύλη απόκρισης πλάτους σε γραµµικό άξονα ς rad/sec, δίνοντας µε ακρίβεια τα χαρακτηριστικά σηµεία β) να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση h(t) 7. Στο κύκλωµα του σχήµατος Α7.0 α) Υπολογίστε την τάξη του µε απλή επισκόπηση. V β) Υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς 2 (s) I s (s) γ) Για R =, R 2 = 3 και L =L 2 =L 3 =, σχεδιάστε την καµπύλη απόκρισης 3 πλάτους δείχνοντας µε ακρίβεια τα χαρακτηριστικά της σηµεία. ΣΧΗΜΑ Α

72 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 7.2 Αναφερόµενοι στο κύκλωµα του σχήµατος Α7. α) Αν R = kω, υπολογίστε τα υπόλοιπα στοιχεία του κυκλώµατος ώστε η συνάρτηση µεταφοράς V 2 (s)/e(s) της µορφής H(s)' V OUT ' V ΙΝ A s 2 % ω o Q s%ω2 µε Q=5 και ω ο =0 5. β) Σχεδιάστε µε ακρίβεια την καµπύλη απόκρισης πλάτους, δείχνοντας όλα τα χαρακτηριστικά της σηµεία. 7.3 Αναφερόµενοι στο σχήµα Α7.2 ΣΧΗΜΑ Α7. ΣΧΗΜΑ Α7.2 α) Υπολογίστε την τάξη του κυκλώµατος µε επισκόπηση. β) Υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµατος και επιβεβαιώστε ότι η τάξη του είναι αυτή που υπολογίσατε στο ερώτηµα (α) γ) Για L=, C=, R =R 2 =, υπολογίστε την τιµή της R ώστε το κύκλωµα να υλοποιεί βαθυπερατή συνάρτηση µεταφοράς 2ης τάξης. 7.4 Αναφερόµενοι στο σχήµα Α7.3 α) Υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς τάσης του κυκλώµατος επιβεβαιώνοντας ότι είναι 2ης τάξης β) Υπολογίστε την συχνότητα ω 0 και τον συντελεστή ποιότητος Q των πόλων γ) Με C =nf και C 2 =00nF υπολογίστε τα L και R ώστε ω 0 =2π000 rad/sec και Q=2-476-

73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ δ) Με τις παραπάνω τιµές. Σχεδιάστε µε ακρίβεια το διάγραµµα πόλων-µηδενικών 2. Υπολογίστε και σχεδιάστε την καµπύλη απόκρισης από 0 έως 20 KHz ΣΧΗΜΑ Α α) Σχεδιάστε την καµπύλη απόκρισης πλάτους που αντιστοιχεί στο εικονιζόµενο διάγραµ- µα πόλων-µηδενικών χωρίς να υπολογίσετε την συνάρτηση µεταφοράς. β) Υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς και υπολογίστε και παραστήστε γραφικά συναρτήσει του χρόνου την κρουστική απόκριση. γ) Υπολογίστε την κρουστική απόκριση. 7.6 Αναφερόµενοι στο σχήµα Α7.4 α) Υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς τάσης του εικονιζόµενου κυκλώµατος β) Υπολογίστε και σχεδιάστε την καµπύλη απόκρισης πλάτους ΣΧΗΜΑ Α Ενα κύκλωµα απότελείται από την σύνδεση ενός διαφοριστή (block I) µε σχέση εξόδου-εισόδου g(t)'2 d και ενός κυκλώµατος (block II) που dt f(t) έχει το εικονιζόµενο διάγραµµα πόλων-µηδενικών

74 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ α) Υπολογίστε την συνολική συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµατος. β) Ταξινοµήστε το συνολικό κύκλωµα και υπολογίστε τα χαρακτηριστικά του µεγέθη. γ) Υπολογίστε και σχεδιάστε την καµπύλη απόκρισης του συνολικού κυκλώµατος. 7.8 Τα δύο διαγράµµατα πόλων-µηδενικών, περιγράφουν το καθένα ένα κύκλωµα. α) Υπολογίστε την καµπύλη απόκρισης µε την γραφική µέθοδο και για τα δύο κυκλώµατα χωρίς τον υπολογισµό της συνάρτησης µεταφοράς. β) Υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς και για τα δύο κυκλώµατα γ) Υπολογίστε και σχεδιάστε την βηµατική απόκριση και για τα δύο κυκλώµατα και σχολιάστε τις δύο αποκρίσεις. 7.9 Το εικονιζόµενο στο σχήµα Α7.5 κύκλωµα αποτελείται από την σύνδεση δύο επι µέρους κυκλωµάτων µε την παρεµβολή ενός αποµονωτή

75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΧΗΜΑ A7.5 α) Υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς τάσης του συνολικού κυκλώµατος β) Προσδιορίστε την τάξη, τον τύπο και τα χαρακτηριστικά µεγέθη ω ο και Q του κυκλώµατος γ) Υπολογίστε και σχεδιάστε την καµπύλη απόκρισης πλάτους του κυκλώµατος Στο εικονιζόµενο στο σχήµα Α7.6 κύκλωµα (α) Υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς τάσης H(s) ' V 2 (s) E(s) (β) Υπολογίστε και σχεδιάστε την καµπύλη απόκρισης πλάτους (γ) Υπολογίστε και σχεδιάστε την κρουστική απόκριση H(s) ' ΣΧΗΜΑ Α Δεδοµένου ότι η συνάρτηση µεταφοράς ενός παθητικού κυκλώµατος RLCM s 3 s 3 % 3s 2 % 4s % 2 έχει πόλο για s=- (α) Υπολογίστε και σχεδιάστε την καµπύλη απόκρισης πλάτους (β) Υπολογίστε και σχεδιάστε συναρτήσει του χρόνου την κρουστική απόκριση κυκλώµατος το οποίο την έχει για συνάρτηση µεταφοράς 7.22 Στο εικονιζόµενο στο σχήµα Α7.7 κύκλωµα -479-

76 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΧΗΜΑ Α7.7 α) Υπολογίστε την τάξη του κυκλώµατος µε επισκόπηση β) Υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς τάσης του κυκλώµατος µε είσοδο στους ακροδέκτες -' και έξοδο στους 2-2' γ) Σχεδιάστε µε ακρίβεια την απόκριση πλάτους µε R= και L= δ) Υπολογίστε και σχεδιάστε προσεκτικά την βηµατική απόκριση του κυκλώµατος µε R= και L=. ε) Υπολογίστε την απόκριση στην Η.Μ.Κ αν το κύκλωµα διεγερθεί µε ηµιτονική πηγή τάσης 0 ηµ (3 t) 7.23 Αναφερόµενοι στο σχήµα Α7.8, αν το πρώτο κύκλωµα έχει συνάρτηση µεταφοράς H (s)' s 3 και το δεύτερο H και άπειρη αντίσταση s% 2 (s)' s(s%2) εισόδου υπολογίστε α) την κρουστική και την βηµατική απόκριση του συνολικού κυκλώµατος β) την απόκριση αν η διέγερση είναι ηµιτονική πλάτους 2. ΣΧΗΜΑ Α Αναφερόµενοι στο σχήµα Α7.9 α) Υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµατος και τους τύπους που δίνουν το Q και το ω ο. β) Υπολογίστε τα R και C ώστε το κύκλωµα να έχει ω ο =500π και Q=2 γ) Αν C=, υπολογίστε την µέγιστη τιµή του συντελεστή ποιότητος ΣΧΗΜΑ Α