Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a"

Transcript

1 Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a Problema 1. Câte numere naturale de cinci cifre trebuie să scriem pentru a fi siguri că printre ele există unul egal cu răsturnatul său? ViitoriOlimpici.ro Soluţie. Cea mai proastă situaţie ar fi să scriem pentru început toate numerele care nu sunt egale cu răsturnatul său. Următorul număr va fi un număr egal cu răsturnatul său. Pentru a afla câte astfel de numere avem, din numărul total de numere de cinci cifre scădem numărul de numere de cinci cifre egale cu răsturnatul lor p Numărul de numere de cinci cifre este = p Numerele de cinci cifre egale cu răsturnatul lor au forma abcba şi numărul lor este = 900 Numărul numerelor care nu sunt egale cu răsturnatul lor este = p În concluzie, trebuie să scriem numere p Problema 2. Dintr-un pachet de cărţi de joc se scot două cărţi, diferite ca valoare. Dacă suma numerelor scrise pe cărţile rămase este 390, aflaţi ce numere sunt scrise pe cărţile scoase. (Asul se consideră că are scris pe el numărul 11.) Gazeta Matematică Soluţie. Suma tuturor numerelor scrise pe cărţile de joc dintr-un pachet, în condiţiile în care asul înseamnă 11, este egală cu 4 ( ) = p Cum suma numerelor scrise pe cărţile rămase este 390 rezultă că suma numerelor scrise pe cărţile scoase este = p Numerele scrise pe cele două cărţi sunt 14 şi 12.

2 Varianta 13 şi 13 nu ne convine deoarece se scot două cărţi, diferite ca valoare. Dacă pe una dintre cărţi este scris un număr mai mic decât 12, atunci celălalt număr trebuie să fie mai mare decât 14, ceea ce este imposibil....3p Problema 3. În 19 vase sunt 71 de litri de apă. Unele vase au capacitatea de 5 litri, altele de 4 litri şi altele de 1 litru. Câte vase sunt de fiecare fel ştiind că vasele de 4 litri sunt de două ori mai multe decât vasele de 1 litru? Soluţie. În două vase de 4 litri şi un vas de 1 litru, adică în trei vase, sunt 9 litri. Asta înseamnă că putem înlocui cele 3 vase cu 3 vase de câte 3 litri fiecare. În acest fel numărul vaselor rămâne acelaşi; la fel cantitatea de apă, dar problema se formulează astfel: În 19 vase sunt 71 de litri de apă. Unele vase au capacitatea de 5 litri, altele de 3 litri. Câte vase sunt de fiecare fel? p Rezolvăm această problemă prin metoda falsei ipoteze. Dacă toate vasele ar fi de 5 litri, atunci cantitatea de apă ar fi 19 5 = 95 (litri) Dar sunt 71 de litri. Diferenţa de 24 de litri (95 71 = 24) provine de la faptul că există şi vase de 3 litri. Pentru fiecare vas de 3 litri avem în plus 2 litri. Numărul vaselor de 3 litri este iar numărul vaselor de 5 litri este 24 : 2 = 12 (vase) = 7 (vase) p În problema iniţială nu aveam vase de 3 litri, prin urmare cele 12 vase sunt de 4 litri, respectiv 1 litru. Cum numărul vaselor de 4 litri este de două ori mai mare decât al vaselor de 1 litru obţinem imediat că sunt 8 vase de 4 litri şi 4 vase de 1 litru. În concluzie avem 7 vase de 5 litri, 8 vase de 4 litri şi 4 vase de 1 litru p

3 Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a V-a Problema 1. Un număr natural se numeşte perfect dacă toate cifrele sale sunt pătrate perfecte şi suma oricăror două cifre alăturate este pătrat perfect. a) Arătaţi că un număr perfect de 2015 cifre conţine în scrierea sa cel puţin 1007 cifre egale cu 0. b) Stabiliţi câte numere perfecte de 5 cifre există. ViitoriOlimpici.ro Soluţie. a) Cifrele care sunt pătrate perfecte sunt 0, 1, 4 şi 9. Observăm că suma oricăror două cifre nenule, dintre cele de mai sus, nu dau un pătrat perfect. Deducem că suma a două astfel de cifre este un pătrat perfect dacă cel puţin una dintre ele este p Prima cifră a oricărui număr este diferită de 0. Rămân celelalte 2014 cifre, pe care le grupăm câte două; sunt 1007 grupe. În fiecare grupă cel puţin una dintre cifre trebuie să fie 0 (pentru a avea suma a două cifre alăturate un pătrat perfect). În concluzie, un număr perfect de 2015 cifre are cel puţin 1007 cifre egale cu p b) Numerele perfecte de 5 cifre pot avea una dintre formele: a0b0c, a00b0, a0b00, a000b sau a0000, unde a, b, c {1, 4, 9} p Numere de forma a0b0c0 avem = 27 Pentru fiecare dintre formele a00b0, a0b00, a000b avem 3 3 = 9 (numere) Numere de forma a0000 sunt 3. În concluzie avem = 57 de numere p Problema 2. Un teren agricol are formă dreptunghiulară şi aria de 7,2 ha. O parcelă din acest teren are dimensiunile jumătăţi din dimensiunile terenului, iar o altă parcelă are lungimea egală cu două cincimi din lungimea terenului, lăţimea fiind egală cu lăţimea terenului. Dacă perimetrele acestor două parcele sunt egale, determinaţi perimetrul terenului iniţial. Monica Sas, Gazeta Matematică Soluţie. Notăm lungimea terenului iniţial cu 10a (pentru a se putea împărţi uşor la 2 şi la 5) şi lăţimea cu 2b (pentru a se putea împărţi uşor la 2). Cu acestea, una dintre parcele are lungimea 5a şi lăţimea b ( O parcelă din acest teren are dimensiunile jumătăţi din dimensiunile terenului ), iar cealaltă

4 parcelă are dimensiunile 4a şi 2b ( o altă parcelă are lungimea egală cu două cincimi din lungimea terenului, lăţimea fiind egală cu lăţimea terenului ). În aceste condiţii prima parcelă are perimetrul 10a + 2b iar a doua parcelă are perimetrul 8a + 4b p Cum cele două parcele au perimetrele egale avem 10a + 2b = 8a + 4b de unde a = b p Cu aceasta lungimea terenului iniţial este 10a, iar lăţimea 2a. Cum aria terenului este 7, 2 ha = m avem sau de unde 10a 2a = a 2 = a = p Obţinem lungimea terenului iniţial 600 m, iar lăţimea 120 m. Perimetrul terenului iniţial este 1440 m p Problema 3. Fie ab un număr care verifică relaţia Determinaţi numărul ab. a 5 = b + a. Soluţie. Dacă b 0, atunci 4 b este număr par. Pentru a număr par membrul stâng al egalităţii este număr par, iar membrul drept al egalităţi este număr impar, ceea ce înseamnă că egalitatea nu are loc. Pentru a număr impar membrul stâng al egalităţii este număr impar, iar membrul drept al egalităţi este număr par, ceea ce înseamnă că egalitatea nu are loc nici în acest caz. Deducem, din cele de mai sus, că b = 0 şi egalitatea devine a 5 = a p Cum a este cifră avem adică a a Dacă a 3, atunci a < 1020, iar dacă a 5, atunci a > Rezultă că singura valoare posibilă pentru a este p Dacă a = 4, atunci 4 5 = 1024 şi = 1024, adică a 5 = a. Prin urmare, numărul căutat este p

5 Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a VI-a Problema 1. Se consideră triunghiul echilateral ABC. Notăm cu E simetricul lui B faţă de C şi cu F simetricul lui C faţă de B. Considerăm punctele L BC, M AF şi N AE astfel încât AL BC, BM AF şi CN AE. a) Arătaţi că AE = AF. b) Demonstraţi că dreptele BM, CN şi AL sunt concurente. c) Ştiind că BM + MN + NC = 100 cm, calculaţi lungimea segmentului AB. Constantin Niţă Cristi, ViitoriOlimpici.ro Soluţie. a) Triunghiurile ABF şi ACE sunt congruente (L.U.L.), prin urmare AE = AF p b) Fiind înălţimi ale bazelor în triunghiuri isoscele, BM, CN şi AL sunt bisectoare ale unghiurilor ABF, ACE respectiv BAC p Concurenţa dreptelor BM, CN şi AL revine la concurenţa bisectoarelor exterioare din B şi C şi a bisectoarei interioare din A ale triunghiului ABC p c) BM este catetă care se opune unui unghi de 30 în triunghiul dreptunghic ABM, prin urmare BM = 1AB. Analog se arată că CN = 1 AB p 2 2 MN este linie mijlocie în triunghiul AF E, deci MN = 1F E = 3 AB.. 1p 2 2 Astfel, BM + MN + NC = 5 AB = 100 cm, de unde AB = 40cm p 2 Problema 2. Fie a, b, c, d, e, f cifre (în baza 10) cu a f 0. a) Dacă abcde = f, arătaţi că numărul abcdef este divizibil cu 41. Prelucrare, Gazeta Matematică nr /2015 b) Demonstraţi că numărul abcdef este divizibil cu 41 dacă şi numai dacă numărul f abcde este divizibil cu 41. Cristian Mangra şi Mircea Fianu Soluţie. a) abcdef = 10 abcde + f = f = f. 41. Altfel, se determină cele nouă numere care au proprietatea din enunţ şi se verifică faptul că fiecare dintre ele este divizibil cu p b) Deoarece abcdef = 10abcde + f, avem 10fabcde abcdef = 10 6 f + 10abcde 10abcde f = f = p Dacă fabcde. 41, este clar că abcdef. 41. Reciproc, dacă abcdef. 41, deoarece numerele 41 şi 10 sunt relativ prime, rezultă că fabcde p

6 Problema 3. Scriem fiecare număr natural de trei cifre pe câte un cartonaş şi introducem cele 900 de cartonaşe într-o cutie. a) Extragem, la întâmplare, un cartonaş din cutie. Care este probabilitatea ca numărul de pe cartonaşul extras să aibă suma cifrelor 5? b) Care este numărul minim de cartonaşe pe care trebuie să le extragem, fără a ne uita la ele, pentru a fi siguri că vom obţine cel puţin şapte numere cu aceeaşi sumă a cifrelor? Sergiu Prisacariu şi Gabriel Popa Soluţie. a) Există 15 numere de trei cifre care au suma cifrelor 5: 104, 113, 122, 131, 140, 203, 212, 221, 230, 302, 311, 320, 401, 410, 500. Probabilitatea cerută este P = 15 = p b) Sumele posibile ale cifrelor numerelor de pe cartonaşe sunt 1, 2, 3,..., 27. Există un singur cartonaş cu suma cifrelor 1 (anume 100) şi doar unul cu suma cifrelor 27 (anume 999). Avem în cutie câte trei cartonaşe cu sumele cifrelor 2 (101, 110 şi 200) sau 26 (anume 998, 989 şi 899). Există câte şase cartonaşe cu sumele cifrelor 3 (300, 210, 201, 120, 102 şi 111) sau 25 (anume 988, 898, 889, 997, 979, 799). Celelalte 21 posibile sume ale cifrelor (4, 5, 6,..., 24) apar, fiecare, pe mai mult de câte şase cartonaşe p Dacă vom extrage = 146 cartonaşe, este posibil să avem cel mult câte şase numere cu o aceeaşi sumă a cifrelor p Numărul minim de cartonaşe pe care trebuie să le extragem, fără a ne uita la ele, pentru a fi siguri că vom obţine cel puţin şapte numere cu aceeaşi sumă a cifrelor este = p

7 Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a VII-a Problema 1. Arătaţi că pentru orice număr real x au loc inegalităţile: a) x 8 +x 5 +1 > x 4 +x, Gazeta Matematică nr /2015 b) x 8 +x 3 +1 > x 7 +x 4, c) x 8 +x 5 +x 3 +1 > x 7 +x. Soluţie. a) Rescriem inegalitatea succesiv x 8 +x 5 x 4 x+1 > 0, x 8 + x 4 (x 1) (x 1) > 0, x 8 +(x 4 1)(x 1) > 0, x 8 +(x 2 +1)(x+1)(x 1) 2 > 0. Dacă x 1 membrul stâng este o sumă de două numere nenegative care nu sunt simultan 0, deci este pozitiv.... 1p Pedealtăparte, inegalitateadinenunţ sepoaterescrieechivalent 1+x(x 7 + x 4 x 3 1) = 1+x(x 4 1)(x 3 +1). Dacă x < 1 atunci x 3 < 1, iar x 4 > 1, deci x 4 1 > 0, x 3 +1 < 0, deci x(x 4 1)(x 3 +1) > 0, de unde concluzia. 1p b) Se poate proceda ca la a) sau se poate observa că punând x = 1 y în inegalitatea de la a) se obţine că y 8 + y 3 +1 > y 7 + y 4, y 0, inegalitatea fiind evidentă şi pentru y = p c) Dacă x 0, atunci x 8 +x 5 +x 3 +1 x 7 x = x 5 +x 3 +(x 1)(x 7 1) > 0 pentru că numerele x 1 şi x 7 1 au acelaşi semn....1p Dacă x < 0, atunci x 8 +x 5 +x 3 +1 x 7 x = x 8 +1 x(x 2 1)(x 4 1) = (x 8 + 1) x(x 2 1) 2 (x 2 +1) > 0, primul termen fiind pozitiv, în timp ce al doilea este nenegativ.... 1p Problema 2. Care este cel mai mic număr natural nenul care se scrie atât ca suma a 2015 numere naturale care au o aceeaşi sumă a cifrelor, cât şi ca suma a 2016 numere naturale care au o aceeaşi sumă a cifrelor? (Suma cifrelor numerelor din prima sumă şi suma cifrelor numerelor din cea de-a doua sumă nu trebuie să fie neapărat egale.) ViitoriOlimpici.ro Soluţie. Pentru un număr natural N vom nota cu s(n) suma cifrelor sale. Se ştie că s(n) N (mod 9), N N. Fie n numărul căutat. Atunci există a 1,a 2,...,a 2015 cu s(a 1 ) = s(a 2 ) =... = s(a 2015 ) = s şi b 1,b 2,...,b 2016 cu s(b 1 ) = s(b 2 ) =... = s(b 2016 ) = s astfel ca n = a 1 +a a 2015 = b 1 +b b Atunci n s(b 1 )+s(b 2 )+...+s(b 2016 ) = 2016s 0 (mod 9), deci 9 n.... 2p Dar n s(a 1 ) + s(a 2 ) s(a 2015 ) = 2015s (mod 9) şi (2015,9) = 1 implică 9 s. Cum s 0, rezultă s 9, deci a i 9, de unde n = p Vom arăta că numărul căutat este chiar Evident el se scrie a 1 +a a 2015 cu a i = 9, i = 1,2015.

8 Vom arăta în continuare că el se scrie ca b 1 +b b 2016, cu b j {1, 10} (deci cu s(b j ) = 1, j). Alegând b 1 = b 2 =... = b k = 10 şi b k+1 = b k+2 =... = b 2016 = 1, trebuie ca b 1 +b b 2016 = k = Rezultă k = 1791, deci se scrie ca suma a 2016 numere care au suma cifrelor p Observaţie: Există şi alte alegeri ale numerelor b 1,b 2,...,b 2016, nu numai cu s = 1. Problema 3. Fie ABC un triunghi ascuţitunghic şi A,B,C picioarele înălţimilor din A, B, respectiv C. Fie t tangenta în A la cercul circumscris triunghiului ABC. a) Arătaţi că t este paralelă cu B C. b) Dacă B şi C sunt proiecţiile lui B, respectiv C, pe t, demonstraţi că A B este paralelă cu AC, iar A C este paralelă cu AB. c) Fie {X} = A B AB şi {Y} = A C AC, X mijlocul lui [BB ] şi Y mijlocul lui [CC ]. Demonstraţi că dreptele XX şi YY sunt paralele. Soluţie. a) Patrulaterul BCB C este înscris în cercul de diametru [BC], deci m( AC B ) = 180 m( B C B) = m( ACB). Darunghiurile ACB şi B AB subîntind acelaşi arc, AB, deci sunt congruente. Rezultă că B AC AC B, ceea ce implică paralelismul cerut....2p b) Patrulaterul AB BA este înscris în cercul de diametru [AB], deci B A B B AB ACB, de unde rezultă că B A AC. Analog rezultă că C A AB....2p c)dinceledemaisusrezultă căaxa Y esteparalelogram, deci AXA A YA. Pe de altă parte, BXB A XA şi AYA CYC, de unde B XB CYC. Rezultă că B BX CC XC Y şi = YB B B = BX CC C Y, deci triunghiurile XBX şi YC Y sunt asemenea. Obţinem că BX X C Y Y şi, cum BB CC, rezultă concluzia....3p

9 Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a VIII-a Problema 1. a) Este inegalitatea P A+P B < CA+CB adevărată pentru orice triunghi ABC şi orice punct P din interiorul acestuia? b) Este inegalitatea P A + P B + P C < DA + DB + DC adevărată pentru orice tetraedru ABCD şi orice punct P din interiorul acestuia? ViitoriOlimpici.ro Soluţie. a) Inegalitatea este adevărată. Fie {Q} = AP BC. Folosind inegalitatea triunghiului, avem P A + P B < P A + (P Q + QB) = AQ + QB < (AC + CQ) + QB = AC + CB p b) Inegalitatea nu este adevărată în orice tetraedru. Se pot descrie numeroase exemple. 1. De exemplu, alegând ABC un triunghi dreptunghic isoscel, cu m( A) = 90 şi AB = AC = 100, iar D astfel ca DA (ABC), DA = 1, atunci DA + DB + DC = Alegând punctul P foarte aproape de B, vom avea P A + P B + P C BA + BC = > Vom da şi un exemplu riguros: considerăm o piramidă regulată cu baza BCD de latură 3 şi muchie laterală de lungime 100. Atunci DA + DB + DC = 106. Fie O centrul bazei. Atunci BO = 3. Înălţimea piramidei este AO = 9997 > 99. Alegem P (AO) astfel încât P O = 99. Atunci P B = P C = = 9804, deci P A + P B + P C = > = 198 > p Problema 2. a) Aflaţi toate numerele prime p ştiind că ecuaţia x 2 (y + z) + y 2 (z + x) + z 2 (x + y) + 3xyz = p 2 are soluţii numere naturale nenule. Gazeta Matematică nr /2015 b) Aflaţi toate numerele prime p şi numerele naturale nenule n pentru care ecuaţia x 2 (y + z) + y 2 (z + x) + z 2 (x + y) + 2xyz = p n are soluţii numere naturale nenule şi determinaţi numărul acestor soluţii. Andrei Eckstein Soluţie. a) Ecuaţia se scrie echivalent (x + y + z)(xy + yz + zx) = p 2. 1p Cum xy x 1, yz y 1, zx z 1 rezultă că 1 < x + y + z xy + yz + zx, deci singura posibilitate este x + y + z = xy + yz + zx = p. Ori egalitate în inegalitatea x + y + z xy + yz + zx avem numai pentru x = y = z = 1, deci p = 3 (x = y = z = 1 verifică într-adevăr ecuaţia pentru p = 3) p b) Ecuaţia se scrie echivalent (x + y)(y + z)(z + x) = p n p Dintre numerele x, y, z există măcar două de aceeaşi paritate, deci suma lor este pară, prin urmare (x + y)(y + z)(z + x) este par. Rezultă că p este par. Fiind prim, rezultă p = p Membrul stâng find cel puţin (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2 3, pentru n {1, 2} ecuaţia nu are soluţii, iar pentru n = 3 avem soluţia unică x = y = z = 1.

10 Pentru n 4, trebuie ca x + y = 2 a, y + z = 2 b, z + x = 2 c, cu a, b, c N, a + b + c = n. Atunci 2(x + y + z) = (x + y) + (y + z) + (z + x) = 2 a + 2 b + 2 c, de unde x + y + z = 2a + 2 b + 2 c, deci x = (x + y + z) (y + z) = 2a + 2 c 2 b, 2 2 y = 2a + 2 b 2 c, z = 2b + 2 c 2 a p 2 2 Pentru ca x, y, z N trebuie ca 2 a, 2 b, 2 c să fie lungimi de laturi de triunghi, adică cele mai mari două dintre numerele a, b, c să fie egale. Dacă n = 6k, k N, (a, b, c) poate fi (2k, 2k, 2k), (2k 2, 2k + 1, 2k + 1), (2k 4, 2k + 2, 2k + 2),..., (2, 3k 1, 3k 1) sau permutări ale acestora, deci ecuaţia are 1 + 3(k 1) = 3k 2 soluţii. Dacă n = 6k + 1, k N, atunci (a, b, c) poate fi (2k 1, 2k + 1, 2k + 1), (2k 3, 2k + 2, 2k + 2),..., (1, 3k, 3k) sau permutări ale acestora, deci ecuaţia are 3k soluţii. Dacă n = 6k + 2, k N, atunci (a, b, c) poate fi (2k, 2k + 1, 2k + 1), (2k 2, 2k + 2, 2k + 2),..., (2, 3k, 3k) sau permutări ale acestora, deci ecuaţia are 3k soluţii. Dacă n = 6k + 3, k N, atunci (a, b, c) poate fi (2k + 1, 2k + 1, 2k + 1), (2k 1, 2k + 2, 2k + 2),..., (1, 3k + 1, 3k + 1) sau permutări ale acestora, deci ecuaţia are 3k + 1 soluţii. Dacă n = 6k + 4, k N, atunci (a, b, c) poate fi (2k, 2k + 2, 2k + 2), (2k 2, 2k + 3, 2k + 3),..., (2, 3k + 1, 3k + 1) sau permutări ale acestora, deci ecuaţia are 3k soluţii. Dacă n = 6k + 5, k N, atunci (a, b, c) poate fi (2k + 1, 2k + 2, 2k + 2), (2k 1, 2k + 3, 2k + 3),..., (1, 3k + 2, 3k + 2) sau permutări ale acestora, deci ecuaţia are 3k + 3 soluţii. În concluzie, ecuaţia are soluţii naturale nenule dacă şi numai dacă p = 2 şi n N \ {1, 2, 4} p Problema 3. a) Daţi exemplu de o mulţime formată din 10 numere naturale care are proprietatea că, oricum am alege şase elemente distincte ale ei, suma acestora nu este divizibilă cu 6. b) Demonstraţi că orice mulţime formată din 11 numere naturale are cel puţin o submulţime cu şase elemente a căror sumă este divizibilă cu 6. Soluţie. a) De exemplu orice mulţime formată cu cinci numere divizibile cu 6 şi cinci numere care dau restul 1 la împărţirea cu 6, în particular {0, 1, 6, 7, 12, 13, 18, 19, 24, 25} p b) Fie M = {x 1, x 2,..., x 11 } N. Din orice trei numere naturale putem alege două astfel ca suma lor să fie un număr par. Alegem 3 numere din mulţimea M. Vom putea forma o pereche cu suma pară. Rămân 9 numere. Alegem trei. Extragem două cu suma pară. Continuăm procedeul până când obţinem 5 perechi disjuncte de elemente din M cu suma în fiecare pereche un număr par. Din orice cinci numere putem alege trei cu suma divizibilă cu 3. Întradevăr, dacă avem trei numere care dau un acelaşi rest la înmpărţirea la 3, le alegem pe acelea, iar dacă nu, atunci trebuie să avem cel puţin câte un număr care dă rest 0, 1 respectiv 2 la împărţirea cu 3 şi alegem câte unul de fiecare fel. Procedând astfel cu cele 5 sume obţinute anterior, obţinem 3 sume a căror sumă este divizibilă cu 6, adică obţinem 6 elemente cu suma divizibilă cu p

11 Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IX-a Problema 1. Să se demonstreze că un triunghi ABC este isoscel dacă şi numai dacă A B +B C +C A = A C +B A+C B, unde A,B şi C sunt picioarele bisectoarelor interioare ale unghiurilor A,B, respectiv C. Gazeta Matematică nr /2015 Soluţie. Este clar că dacă triunghiul este isoscel relaţia din enunţ este satisfăcută. Demonstrăm implicaţia inversă. Notăm cu a, b şi c lungimile laturilor BC, CA şi AB. Aplicând unghiului BAC teorema bisectoarei, obţinem A B = ac b+c şi A C = ab b+c. Relaţii analoage se obţin şi pentru celelalte segmente. Relaţia din enunţ devine: a(b c) b+c + b(c a) c+a + c(a b) a+b = 0. Deoarece c a = (c b)+(b a), egalitatea devine: echivalentă cu a(b c) b+c + b(c b) c+a + b(b a) c+a + c(a b) a+b = 0, În final se obţine: (b c) (a b)(a+b+c) (a+c)(b+c) +(a b) (c b)(a+b+c) (a+b)(a+c) = 0. (b c)(a b)(a c)(a+b+c) (a+c)(b+c)(a+b) de unde rezultă că triunghiul isoscel. = 0,

12 Problema 2. Să se determine funcţiile f : N N care verifică relaţia pentru orice număr natural nenul n. f(n+1) = f(f(n))+1, ViitoriOlimpici.ro Soluţie. Vom arăta că singura funcţie care verfică relaţia din enunţ este f : N N, f(n) = n. Pentru aceasta va fi suficient să arătăm că f(1) = 1, după care se poate demonstra prin inducţie după n. Notăm cu B N imaginea funcţiei f, care este evident nevidă. Există atunci un cel mai mic element (notat cu β) al lui B. Să observăm mai întâi că f(1) = β. Într-adevăr, dacă f(1) β, va exista un număr natural α > 1 astfel încât f(α) = β. Din relaţia din enunţ, rezultă f(f(α 1)) = f(α) 1 = β 1 B, ceea ce ar contrazice minimalitatea lui β. Este clar că mulţimea B conţine şi alte elemente în afară de β, altfel ar rezulta că β = β +1. Fie γ cel mai mic element al mulţimii B\{β}. Ca mai sus, există un număr natural θ > 1 astfel încât f(θ) = γ. Din nou, din relaţia din enunţ, avem că f(f(θ 1)) = f(θ) 1 = γ 1 B. Cum β este singurul element din B mai mic decât γ, rezultă că γ 1 = β. Am obţinut astfel că f(f(θ 1)) = β = f(1), şi deci f(θ 1) = 1 (singurul număr n N pentru care f(n) = β este n = 1). Obţinem astfel că 1 B şi deci cel mai mic element al lui B este β = 1, de unde rezultă că f(1) = 1. Problema 3. Fie ABC un triunghi scalen ascuţitunghic, având ortocentrul H şi cercul circumscris Γ. Notăm cu M mijlocul segmentului [BC]. Fie F al doilea punct de intersecţie a dreptei AH cu cercul Γ. Fie E punctul de intersecţie a dreptei HM cu cercul Γ astfel încât punctul H se află între punctele M şi E. Notăm cu N punctul de intersecţie a dreptei EF cu dreapta BC. Să se demonstreze că unghiurile BHN şi MHC sunt congruente. Mircea Fianu Soluţie. FieO centrul cercului Γşi T al doilea punct de intersecţieadreptei HM cu cercul Γ. Se ştie că AH = 2OM = BCctgA. Cum AH OM, MO va fi linie mijlocie în triunghiul T HA. Obţinem astfel că HBT C este paralelogram. Nu e greu de văzut că avem următoarele două congruenţe de unghiuri: CHT HTB şi BHN BFE. Cumunghiurile BFE şi BTH subîntindarcul BE, seobţinecongruenţa din enunţ.

13 că Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a X-a Problema 1. Notăm cu F mulţimea funcţiilor f : R R cu proprietatea f(f(x) + y) = f(x) + f(y), oricare ar fi numerele reale x şi y. a) Determinaţi funcţiile injective din F. b) Determinaţi funcţiile surjective din F. Dorel Miheţ şi Mihai Monea, ViitoriOlimpici.ro Soluţie. a) Relaţia din ipoteză conduce la f(f(x)+y) = f(x)+f(y), x, y R şi f(f(y) + x) = f(y) + f(x), x, y R. Obţinem imediat că f(f(x) + y) = f(f(y) + x), x, y R p Deoarece f este injectivă, rezultă că f(x) + y = f(y) + x f(x) x = f(y) y, x, y R p Considerăm funcţia g : R R, g(t) = f(t) t. Funcţia g verifică relaţia g(x) = g(y), x, y R, aşadar există a R pentru care g(x) = a, x R. 1p În concluzie, funcţiile căutate sunt cele de forma f(x) = x + a, x R şi se verifică faptul că aceste funcţii sunt soluţii ale problemei p b) Fie f o funcţie surjectivă din F; vom arăta că f este şi injectivă...1p Pentru aceasta, fie a, b R pentru care f (a) = f (b). Din ipoteză, avem că f (f (x)) = f (x) + f (0), x R. Există c, d R pentru care f (c) = a şi f (d) = b. Înlocuind x = c, apoi x = d în relaţia anterioară, obţinem f (a) = a + f (0), respectiv f (b) = b + f (0). Din f (a) = f (b) rezultă că a + f (0) = b + f (0), deci a = b. Prin urmare, funcţiile surjective sunt injective şi regăsim soluţiile de la punctul anterior p

14 Problema 2. Considerăm două numere complexe u şi v, având acelaşi modul, pentru care există a, b, c şi d numere reale strict pozitive astfel încât max {a, b, c} < d, a + d = b + c şi au + dv bu + cv. Demonstraţi că u = v. Prelucrare de Mihai Monea, Gazeta Matematică nr /2015 Soluţia I. Ultima relaţie din ipoteză se scrie succesiv: au + dv 2 bu + cv 2 (au ( + dv) (au + dv) (bu + cv) (bu + cv) a 2 + d 2) u 2 + ad (uv + uv) ( b 2 + c 2) u 2 + bc (uv + uv)...1p (a + d) 2 u 2 2ad u 2 + ad (uv + uv) (b + c) 2 u 2 2bc u 2 + bc (uv + uv) ad ( uv + uv 2 u 2) bc ( uv + uv 2 u 2)...2p (ad bc) ( uv + uv u 2 v 2) 0 (bc ad) u v p Pe de altă parte, este adevărată inegalitatea bc > ad. Într-adevăr, putem presupune b c şi, cum d c = b a not = r > 0, avem: ad = (c + r) (b r) = bc r (c b) r 2 < bc p Rezultă astfel că u v 2 = 0 şi, de aici, concluzia problemei p Soluţia a II-a. Notăm k = d şi l = c ; relaţia din enunţ se poate scrie a+d b+c sub forma (1) (1 k) u + kv (1 l) u + lv p Presupunem, prin absurd, că u v. În planul complex de origine O (0), considerăm punctele (distincte, conform presupunerii asumate!) A (u), B (v), M ((1 k) u + kv) şi N ((1 l) u + lv). Evident, punctele M şi N sunt interioare segmentului AB p În plus, deoarece k > l şi k > 1 l, punctul N este situat între punctele M şi M, unde M este simetricul lui M faţă de mijlocul segmentului AB. Rezultă că OM > ON, prin urmare (2) (1 k) u + kv > (1 l) u + lv. Relaţiile (1) şi (2) fiind contradictorii, rămâne adevărată concluzia problemei p

15 Problema 3. Demonstraţi că singurul număr natural n 2 cu proprietatea că a + b + c n abc, oricare ar fi numerele reale nenegative a, b şi c, este n = 14. Gabriel Popa şi Paul Georgescu Soluţie. Pentru început, demonstrăm valabilitatea inegalităţii pentru cazul n = 14. Formula de dezvoltare a binomului conduce la (x + y) n = n k=0 C k nx n k y k C n 1 n xy n 1 = nxy n 1, x, y [0, ), n 2. Avem: ( a + b + c) 14 = ( a + b + 7 ( c) 7a b + ) 6 c = 7a ( b + c ) 3 21abc abc, de unde obţinem a + b + c 14 abc, a, b, c [0, ) p Demonstrăm acum că, oricare ar fi n 2,n 14, există valori a, b, c [0, ) pentru care inegalitatea din enunţ este falsă. Considerând a = x 2, b = x 4 şi c = x 8, unde x 0, un număr n care are proprietatea dorită trebuie să verifice inegalitatea ( ) x x 14 n, x [0, ) p Dacă n < 14, relaţia ( ) conduce la ( 1 + ) n 14 n 2 x, x (0, ), ceea ce nu este posibil (valorile mari ale lui x conduc la contradicţii) p Dacă n > 14, relaţia ( ) conduce la x n 14 n 2 1, x (0, ), fapt care, din nou, nu este adevărat (valorile apropiate de 0 ale lui x conduc la contradicţii) p

16 Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a XI-a Problema 1. Fie a ( 1, 1), b R, k N şi c i R, 0 i k 1. Studiaţi convergenţa şirului (x n ) n N definit prin x i = c i, 0 i k 1 şi x n+k = ax n + b pentru n N. Soluţie. Fie x soluţia ecuaţiei x = ax + b. Atunci x n+k x = a(x n x), deci x n = a n/k c r + x, unde n = r (mod k) p Cum a ( 1, 1), rezultă x n x p Problema 2. Fie n N şi A M n (Z), cu det(a) = 0. Demonstraţi că există B, C M n (Z) astfel încât C O n şi A m = B m C m, oricare ar fi m N. Soluţie. Cum det(a) = 0, sistemele omogene AK = O n,1, K M n,1 (R) şi LA = O 1,n, L M 1,n (R) au soluţii nebanale. Deoarece A M n (Z), aceste soluţii pot fi luate cu elemente raţionale; prin înmulţire cu un factor convenabil, ele pot fi făcute să aibă coeficienţi întregi. Fie C = KL M n (Z); avem C O n p Deducem AC = CA = O n, de unde rezultă imediat prin inducţie că (A + C) m = A m + C m, m N, deci putem lua B = A + C p Problema 3. Pentru orice funcţie f : R R definim funcţia g f : R R prin g f (x) = f(x sin x). a) Demonstraţi că dacă g f are limită în 0, egală cu l R, atunci f are limită în 0, iar aceasta este tot l. b) Demonstraţi că este posibil ca g f să fie derivabilă în 0, dar f să nu fie derivabilă în 0. Soluţie. a) Funcţia u : R R dată de u(x) = x sin x este strict crescătoare şi surjectivă, deci are inversa v. Cum u este continuă, rezultă că v este continuă p Din g f = f u rezultă f = g f v, din continuitatea lui v deducem lim v(x) = v(0) = 0, x 0 iar concluzia rezultă din teorema referitoare la limita unei compuneri de funcţii (observând că v(x) 0 dacă x 0) p b) Pentru f(x) = 3 x, f (0) = +, iar (g f ) 3 x sin x 1 (0) = lim = 3 x 0 x p

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

2 Variabile aleatoare

2 Variabile aleatoare Variabile aleatoare În practică, variabilele aleatoare apar ca funcţii ce depind de rezultatul efectuării unui anumit experiment. Spre exemplu, la aruncarea a două zaruri, suma numerelor obţinute este

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

prof. Busuioc Gianina Elena

prof. Busuioc Gianina Elena Şcoala Gimnazială Nr. 6 Vaslui prof. Busuioc Gianina Elena 1 La realizarea acestui proiect au colaborat elevii: Baciu Dragoş, Barbu Călina, Burdujanu Robert, Cobzaru Albert, Epure Mălina, Fuşneică Angel,

Διαβάστε περισσότερα

Tehnici de Optimizare

Tehnici de Optimizare Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache 2 * Prefaţă Textul de faţă este construit pe scheletul subiectelor date la examenul de Analiză Matematică în perioada

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei

Διαβάστε περισσότερα

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M CLASA A XI-A Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile

Διαβάστε περισσότερα

Circuite cu diode în conducţie permanentă

Circuite cu diode în conducţie permanentă Circuite cu diode în conducţie permanentă Curentul prin diodă şi tensiunea pe diodă sunt legate prin ecuaţia de funcţionare a diodei o cădere de tensiune pe diodă determină valoarea curentului prin ea

Διαβάστε περισσότερα

Structura matematicii

Structura matematicii Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 4 2.1 Motivatie............................... 4 2.2

Διαβάστε περισσότερα

11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI 61 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOVEHICULULUI FRÂNAT Se consideră un autovehicul care se deplasează cu viteză variabilă pe un drum cu

Διαβάστε περισσότερα

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element.

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element. 1.Multimi Definitie Multimea este o colectie de obiecte/simboluri. Fiecare obiect dintr-o multime este un element al multimii si este scris/specificat o singura data. Mutimile se noteaza, de obicei cu

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016 APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR Călinici Tudor 2016 OBIECTIVE EDUCAŢIONALE Prezentarea conceptelor fundamentale ale teoriei calculului probabilitaţilor Evenimente independente Probabilități

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB MATEMATICI SPECIALE Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB Mai există erori care vor fi corectate în versiunea finală) Capitolul Introducere

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare..

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare.. I. Modelarea funcţionării diodei semiconductoare prin modele liniare pe porţiuni În modelul liniar al diodei semiconductoare, se ţine cont de comportamentul acesteia atât în regiunea de conducţie inversă,

Διαβάστε περισσότερα

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE 1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR MARCARE DIRECTĂ PRIN

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3 Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a VII-a Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a VII-a» Attempt 1 1 Pentru a deplasa uniform pe orizontala un corp de masa m = 18 kg se actioneaza asupra lui

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ Σύμφωνα με τη Γραμματική της Ρουμανικής Γλώσσας, τα αριθμητικά διακρίνονται σε: 1. Απόλυτα αριθμητικά α. Απλά: unu, doi, trei... (ένα, δύο, τρία) κ.λπ. β. Σύνθετα: doisprezece, treizeci...

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME DE ELECTRICITATE

PROBLEME DE ELECTRICITATE PROBLEME DE ELECTRICITATE 1. Două becuri B 1 şi B 2 au fost construite pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 100 V, iar un al treilea bec B 3 pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 200 V. Puterile

Διαβάστε περισσότερα

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală Laborator 3 Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală 3.1 Tema Înţelegerea conceptului de funcţie de matrice şi însuşirea principalelor metode şi algoritmi de calcul al funcţilor de matrice.

Διαβάστε περισσότερα

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: ( Exemple e probleme rezolvate pentru curs 0 DEEA Recapitulare formule e calcul puteri ale numărului 0 n m n+ m 0 = 0 n n m =0 m 0 0 n m n m ( ) n = 0 =0 0 0 n Problema. Să se calculeze: a. 0 9 0 b. ( 0

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I. ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii

Διαβάστε περισσότερα

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Notaţii si noţiuni preliminare Variabila aleatoare: X,Y,U,V,etc., descrisă de funcţie de repartiţie. Variabila aleatoare este asaociată unei populaţii statistice;

Διαβάστε περισσότερα

Exercitii : Lecţia 1,2,3

Exercitii : Lecţia 1,2,3 Exercitii : Lecţia 1,2,3 1.Notarea câmpurilor Tabla de şah are 64 de pătrăţele numite câmpuri. Fiecare câmp poate fi identificat de coloana şi linia pe care se află, orice câmp se află la intersecţia dintre

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme Capitolul Diode semiconductoare 3. În fig. 3 este preentat un filtru utiliat după un redresor bialternanţă. La bornele condensatorului

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - notiţe de curs

Statisticǎ - notiţe de curs Statisticǎ - notiţe de curs Ştefan Balint, Loredana Tǎnasie Cuprins 1 Ce este statistica? 3 2 Noţiuni de bazǎ 5 3 Colectarea datelor 7 4 Determinarea frecvenţei şi gruparea datelor 11 5 Prezentarea datelor

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea unui amplificator

Proiectarea unui amplificator Proiectarea unui amplificator sl. dr. Radu Damian Notă importantă. În acest document nu există "informaţia magică" ascunsă în două rânduri de la mijlocul documentului. Trebuie parcurs pas cu pas fără a

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN Montajul Experimental În laborator este realizat un amplificator cu tranzistor bipolar în conexiune cu emitorul comun (E.C.) cu o singură

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς

Διαβάστε περισσότερα

Electronică Analogică. Redresoare -2-

Electronică Analogică. Redresoare -2- Electronică Analogică Redresoare -2- 1.2.4. Redresor monoalternanţă comandat. În loc de diodă, se foloseşte un tiristor sau un triac pentru a conduce, tirisorul are nevoie de tensiune anodică pozitivă

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu 1. Ce se întămplă cu numărul de electroni transportaţi pe secundă prin secţiunea unui conductor de cupru, legat la o sursă cu rezistenta internă neglijabilă dacă: a. dublăm tensiunea la capetele lui? b.

Διαβάστε περισσότερα

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg CURSUL AL IV-LEA 1 Reprezentarea grafică a datelor statistice - Consideraţii generale Sunt două metode de bază în statistică: numerică şi grafică. Folosind metoda numerică putem calcula statistici ca media

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU Cuprins CAPITOLUL 4 AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU...38 4. Introducere...38 4.2 Modelul la foarte joasă frecvenţă al amplficatorului operaţional...38 4.3 Amplificatorul neinversor.

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03A DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1.

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1. Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a X-a 1 of 2 4/14/2008 12:27 PM Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1 1 Un termometru cu lichid este gradat intr-o scara de temperatura liniara,

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

Termostat pentru acvarii

Termostat pentru acvarii Termostat pentru acvarii Pentru pastrarea in interiorul acvariilor a unei temperaturi de +26±1 C se poate realiza o schema electronica simpla, sigura in functionare si in acelasi timp ieftina. Alimentata

Διαβάστε περισσότερα

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή - Διεύθυνση Andreea Popescu Str. Reşiţa, nr. 4, bloc M6, sc. A, ap. 12. Turnu Măgurele Jud. Teleorman 06102. România. Ελληνική γραφή διεύθυνσης: Όνομα Παραλήπτη Όνομα και νούμερο οδού Ταχυδρομικός κώδικας,

Διαβάστε περισσότερα

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII Tema lucrării: 1) Determinarea puterii rotatorii specifice a zahărului 2) Determinarea concentraţiei unei soluţii de zahăr 3) Determinarea dispersiei

Διαβάστε περισσότερα

Tema I FORMAREA IMAGINII

Tema I FORMAREA IMAGINII Tema I FORMAREA IMAGINII Nevoia de imagini a omului modern creste de la zi la zi. In general, functiile imaginilor sunt urmatoarele : - functia documentara - prezinta concret, imaginea unor termeni si

Διαβάστε περισσότερα

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii.

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii. FitVisible Aceasta este versiunea electronică a cărţii Metode Numerice publicată de Editura Tehnică. Cartea a fost culeasă folosind sistemul L A TEX a lui Leslie Lamport, o extindere a programului TEX

Διαβάστε περισσότερα

11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.

Διαβάστε περισσότερα

De la problemă la algoritm

De la problemă la algoritm De la problemă la algoritm Procesul dezvoltării unui algoritm, pornind de la specificaţia unei probleme, impune atât verificarea corectitudinii şi analiza detaliată a complexităţii algoritmului, cât şi

Διαβάστε περισσότερα

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE 4 POLAZAA ANZSOALO POLA ircuitul de polarizare are rolul de a poziţiona într-un punct de pe caracteristica statică, numit Punct Static de uncţionare (PS) ezultă că circuitul de polarizare trebuie să asigure

Διαβάστε περισσότερα

ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI

ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI Marius Coman mariuscoman13@gmail.com 1 Copyright 2013 de Marius Coman Education Publishing 1313 Chesapeake Avenue Columbus, Ohio 43212 USA Tel. (614)

Διαβάστε περισσότερα

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2.1. Consideraţii generale Utilizarea automobilului constă în transportul pe drumuri al pasagerilor, încărcăturilor sau al utilajului special montat pe

Διαβάστε περισσότερα

ARHETIPURI 1. de Corrado Malanga. Traducere în limba română de Alexandra Blănaru

ARHETIPURI 1. de Corrado Malanga. Traducere în limba română de Alexandra Blănaru ARHETIPURI 1 de Corrado Malanga Traducere în limba română de Alexandra Blănaru Prefață De obicei nu îmi încep scrierile cu prefețe inutile, dar în acest caz trebuie să-l lămuresc pe cititor cu privire

Διαβάστε περισσότερα

Editura EduSoft Bacău

Editura EduSoft Bacău Bogdan Pătruţ Carmen Violeta Muraru APLICAŢII ÎN C şi C++ Editura EduSoft Bacău - 2006 Copyright 2006 Editura EduSoft Toate drepturile asupra prezentei ediţii sunt rezervate Editurii EduSoft. Reproducerea

Διαβάστε περισσότερα

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE Cuprins CAPITOLL 8 STABILIZATOARE DE TENSINE REALIZATE C CIRCITE INTEGRATE ANALOGICE...220 8.1 Introducere...220 8.2 Stabilizatoare de tensiune realizate cu amplificatoare operaţionale...221 8.3 Stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

EXAMEN DE FIZICĂ 2012 [1h] FIMM

EXAMEN DE FIZICĂ 2012 [1h] FIMM Alocare în medie 4 minute/subiect. Punctaj: 1/4 judecata, 1/4 formula finală, 1/4 rezultatul numeric, 1/4 aspectul. EXAMEN DE FIZICĂ 2012 [1h] IM 1. Un automobil cu dimensiunile H=1.5m, l=2m, L=4m, puterea

Διαβάστε περισσότερα

1. Elemente de bază ale conducţiei termice

1. Elemente de bază ale conducţiei termice 1. 1.1 Ecuaţiile diferenţiale ale conducţiei termice Calculul proceselor de schimb de căldură necesită cunoaşterea distribuţiei temperaturii în spaţiu şi timp. Distribuţia temperaturii se obţine prin rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC. Suport electronic de curs

DESEN TEHNIC. Suport electronic de curs DESEN TEHNIC Suport electronic de curs 2011 CUPRINS 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE. STANDARDE GENERALE UTILIZATE ÎN DESENUL TEHNIC 1.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1.1.Scopul, obiectul şi importanţa desenului tehnic

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

REPARTIŢIA TENSIUNILOR ÎNALTE PE LANŢURI DE IZOLATOARE

REPARTIŢIA TENSIUNILOR ÎNALTE PE LANŢURI DE IZOLATOARE REPARTIŢIA TENSINILOR ÎNALTE PE LANŢRI DE IZOLATOARE 1. NOTINI TEORETICE Principalul criteriu distinctiv al sistemelor şi echipamentelor electrice de înaltă tensiune faţă de cele de joasă tensiune îl constituie

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII CAPITOLL 4 AMPLIFICATOAE DE MĂSAE. APLICAŢII 4.. Noţiuni fundamentale n amplificator este privit ca un cuadripol. Dacă mărimea de ieşire este de A ori mărimea de intrare, unde A este o constantă numită

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mthemtic.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mthemtic.gr. Μετατροπές

Διαβάστε περισσότερα

Maşina sincronă. Probleme

Maşina sincronă. Probleme Probleme de generator sincron 1) Un generator sincron trifazat pentru alimentare de rezervă, antrenat de un motor diesel, are p = 3 perechi de poli, tensiunea nominală (de linie) U n = 380V, puterea nominala

Διαβάστε περισσότερα

Coduri grup - coduri Hamming

Coduri grup - coduri Hamming Capitolul 5 Coduri grup - coduri Hamming 5. Breviar teoretic Dacăîn capitolul precedent s-a pus problema codării surselor pentru eficientiezarea unei transmisiuni ce se presupunea a nu fi perturbată de

Διαβάστε περισσότερα

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP)

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP) Seminar electricitate Structura atomului Particulele elementare sarcini elementare Protonii sarcini elementare pozitive Electronii sarcini elementare negative Atomii neutri dpdv electric nr. protoni =

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - exerciţii

Statisticǎ - exerciţii Statisticǎ - exerciţii Ştefan Balint, Tǎnasie Loredana 1 Noţiuni de bazǎ Exerciţiu 1.1. Presupuneţi cǎ lucraţi pentru o firmǎ de sondare a opiniei publice şi doriţi sǎ estimaţi proporţia cetǎţenilor care,

Διαβάστε περισσότερα

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE. - exemplu de proiectare -

GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE. - exemplu de proiectare - GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE - exemplu de proiectare - Presupunem ca se doreste obtinerea unui oscilator cu urmatoarele date de proiectare: Frecventa de oscilatie reglabila in intervalul 2 5

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ ÑÏÕÌÁÍÉÁ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ Εισαγωγή Η Δημοκρατία της Ρουμανίας έχει έκταση 238.000 χλμ² και πληθυσμό ο οποίος ξεπερνά τα 21 εκατομμύρια κατοίκους. Το επίσημο νόμισμά της

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOEHICULELOR CU ROŢI 5.1 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOEHICULELOR ŞI CONDIŢIA DE ÎNAINTARE A ACESTORA Se consideră cazul general al unui autovehicul care

Διαβάστε περισσότερα

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic.

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. PRELUCRARI DE DATE CU PROGRAMUL MICROSOFT EXCEL LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. Lansati programul

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. 1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα

Διαβάστε περισσότερα

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron À Ô ÐÓ ÖÓÒØ ØÓÙÔ Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ò Ø Ô ØÓÙ Ô Ñ Ð Ø ØÓÙhttp://www.mathematica.grº Å Ø ØÖÓÔ LATEX ÛØ Ò Ã Ð Ò Ø ÃÓØÖôÒ Ä ÙØ Ö ÈÖÛØÓÔ Ô Õ ÐÐ ËÙÒ ÔÓÙÓ ËÕ Ñ Ø Å Õ Ð Æ ÒÒÓ ÉÖ ØÓÌ Ë Ð ¹ ÅÔÓÖ Ò Ò Ô Ö Õ Ò Ò Ñ Ð Ö º ÌÓß

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Ι. ΑΡΒΑΝΙΤΙ ΗΣ jarvan@physcs.auth.gr 2310 99 8213 ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΠΟΛΩΣΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

,, #,#, %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, )

,, #,#, %&'(($#(#)&*& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) !! "#$%&'%( (%)###**#+!"#$ ',##-.#,,, #,#, /01('/01/'#!2#! %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) 6###+! 4! 4! 4,*!47! 4! (! 8!9%,,#!41! 4! (! 4!5),!(8! 4! (! :!;!(7! (! 4! 4!!8! (! 8! 4!!8(!44!

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Capitolul II. Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Acest capitol are drept scop familiarizarea cititorului cu cele mai importante noţiuni

Διαβάστε περισσότερα

UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE

UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE COLEGIUL UCECOM SPIRU HARET BUCURESTI UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE Elev : Popa Maria Clasa :a-xi-a A Indrumator:prof.Chirescu Emil APLICATII PRACTICE CE POT FI REALIZATE

Διαβάστε περισσότερα

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải. Đường tròn cung dây tiếp tuyến BÀI 1 : Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh : 1. AH vuông góc BC (tại F thuộc BC). 2. FA.FH

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar aracteristici statice Determinarea unor parametri de interes A.Scopul lucrării - Determinarea experimentală a plajei mărimilor eletrice de la terminale în care T real

Διαβάστε περισσότερα

! " #$% & '()()*+.,/0.

!  #$% & '()()*+.,/0. ! " #$% & '()()*+,),--+.,/0. 1!!" "!! 21 # " $%!%!! &'($ ) "! % " % *! 3 %,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0 %%4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5

Διαβάστε περισσότερα

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1)

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1) ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE Note de curs (draft v1.1) Prefaţă Când dorim să reprezentăm obiectele din lumea reală într-un program pe calculator, trebuie să avem în vedere: modelarea obiectelor din

Διαβάστε περισσότερα

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Subiectul I Pentru fiecare dintre cerinţele de mai jos scrieţi pe foaia de examen, litera corespunzătoare răspunsului corect. 1.

Διαβάστε περισσότερα

!"! #!"!!$ #$! %!"&' & (%!' #!% #" *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2!

!! #!!!$ #$! %!&' & (%!' #!% # *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2! # $ #$ % (% # )*%%# )# )$ % # * *$ * #,##%#)#% *-. )#/###%. )#/.0 )#/.* $,)# )#/ * % $ % # %# )$ #,# # %# ## )$# 11 #2 #**##%% $#%34 5 # %## * 6 7(%#)%%%, #, # ## # *% #$# 8# )####, 7 9%%# 0 * #,, :;

Διαβάστε περισσότερα

TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789

TALAR ROSA -. / ',)45$%67789 TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2

Διαβάστε περισσότερα