Varianta 1. SUBIECTUL I Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

Transcript

1 Varianta 1 1 a) Rezultatul calculului 3,7 1 6 este egal cu numărul b) Rădăcina pătrată a numărului 11 este egală cu numărul c) Media aritmetică a numerelor şi 3 7 este egală cu a) Soluţia întreagă a ecuaţiei 5 x 4 = 1 este b) Descompusă în factori primi, expresia 11 4x se scrie c) Dacă 75% din x este egal cu 3, atunci x are valoarea 3 a) Desenaţi un triunghi dreptunghic b) Lungimea razei unui cerc este egală cu 8 cm Lungimea diametrului este egală cu cm c) Calculând sin 3 + cos6 se obţine numărul 4 Fie triunghiul isoscel ABC, AC m, AB = 6 cm şi AD BC, D BC AB =, ( A) = 1 a) Lungimea segmentului [AD] este egală cu cm b) Perimetrul triunghiului ABC este egal cu cm c) Aria triunghiului ABC este egală cu cm 1 a) Efectuaţi b) Rezolvaţi în Q ecuaţia 6x =,1( 6) c) Descompuneţi în factori expresia 18ax 1ax + a Suma a două numere naturale este egală cu 54 a) Calculaţi numerele ştiind că împărţind unul din numere la celălalt se obţine câtul şi restul 6 b) Cât la sută din numărul mare reprezintă numărul mai mic? c) Calculaţi media geometrică a celor două numere 3 În triunghiul ABC, m( A) = 9 şi m ( B) = 3, [AM] este mediană, M (BC) şi AM = 18 cm a) Calculaţi perimetrul triunghiului ACM b) Calculaţi aria triunghiului ABC AD BC, D BC, DE AC, E AB Calculaţi lungimea segmentului [DE] c) Fie ( ) ( ) 1

2 Varianta 1 a) Rezultatul calculului 3 5 este numărul b) Soluţia întreagă a ecuaţiei x + 7 = 3 este numărul c) Media geometrică a numerelor 9 şi 5 este egală cu numărul a) Dintre numerele a = şi b = mai mare este b) Pătratul expresiei x + 3 este egal cu c) Fie x + y = 4 5 şi x y = 5, x, y R Calculând x y se obţine numărul 3 a) Desenaţi un trapez dreptunghic b) Fie rombul ABCD cu m ( A) = 6 şi AB = 7 cm Aria sa este egală cu cm c) Perimetrul unui pătrat cu lungimea diagonalei de 8 cm este egal cu cm 4 În triunghiul dreptunghic ABC, ipotenuza BC = 1 cm, AD BC D BC a) Lungimea laturii [AB] este egală cu cm b) Măsura unghiului BAD este egală cu º c) Segmentul [AD] are lungimea egală cu cm 1 a) Efectuaţi x 3 x x 1 b) Rezolvaţi în Q ecuaţia: = x + x + 1 y y + 1 c) Descompuneţi în factori expresia: ( ), şi ( C) = 3 m Un produs s-a scumpit cu 1% din preţul pe care l-a avut iniţial După un timp produsul s-a ieftinit cu 15% din noul preţ, ajungând să coste 561 lei a) Calculaţi preţul iniţial al produsului b) Cu ce procent din preţul iniţial s-a micşorat preţul produsului după cele două modificări? c) Cât ar costa obiectul după o nouă scumpire cu 1%? 3 Dreptunghiul ABCD are lungimea diagonalei = 3 a) Calculaţi dimensiunile dreptunghiului b) Calculaţi distanţa de la punctul A la diagonala [BD] c) Calculaţi aria triunghiului AOD, unde {O}= AC BD AC cm şi ( BAC) = 6 m

3 Varianta 3 1 a) Rezultatul calculului 5 16 este numărul b) Media geometrică a numerelor 8 şi 18 este numărul c) Rezultatul calculului 1 6 : (6 6) este numărul a) Fie expresia x + 1 ( x + 1) Reducând termenii asemenea se obţine b) Soluţia ecuaţiei 3x 1= 7, x Q, este numărul c) Numărul 4 reprezintă 5 din numărul x Valoarea lui x este egală cu 3 Fie triunghiul dreptunghic ABC, m( A) = 9, AD BC, D BC a) Lungimea înălţimii AD este egală cu cm b) Lungimea catetei AC este egală cu cm c) Valoarea tangentei unghiului B este egală cu 4 a) Fie rombul ABCD, BC = 8cm şi b) Rezultatul calculului, BD = 16 cm şi CD = 9 m ( B) = 3 Aria rombului este egală cu cm 3 tg6 este numărul c) Raportul de asemănare a două triunghiuri este egal cu Raportul perimetrelor celor două 3 triunghiuri este egal cu 1 a) În prezent tatăl are 4 de ani, iar fiica 13 ani Peste câţi ani vârsta tatălui va fi de două ori mai mare decât a fiicei sale? b) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( x + ) = 4 c) Rezolvaţi în Z inecuaţia 3 x x a) Descompuneţi în factori expresia x 3 + 4x + 4x, unde x R b) Comparaţi numerele: a = şi b = ( 3 ) c) Fie numărul A = ( a + a) ( a + a + 1) + 5, a Z Demonstraţi că A este pătrat perfect 3 Fie dreptunghiul ABCD, AD = 6 cm, BD = 1 cm, punctul E este simetricul punctului B faţă de punctul C, punctul T este mijlocul segmentului [DE] şi BT DC = {G} a) Calculaţi perimetrul dreptunghiului ABCD b) Calculaţi lungimea segmentului [BT] c) Calculaţi aria triunghiului DGT cm 3

4 Varianta 4 1 a) Rezultatul calculului este b) Descompunerea în factori a expresiei x 3x este c) Soluţia număr întreg negativ a ecuaţiei x = 9 este a) Dintre numerele 3 şi 11 mai mare este numărul b) Rezultatul calculului 7x : ( 7x) este c) Mulţimea soluţiilor naturale a inecuaţiei x 3 < 3 este 3 a) Desenaţi un triunghi dreptunghic isoscel ABC cu m( A) = 9 b) Triunghiul dreptunghic isoscel ABC are înălţimea corespunzătoare ipotenuzei egală cu 6 cm Ipotenuza triunghiului are lungimea egală cu cm c) În triunghiul dreptunghic isoscel, sinusul unui unghi ascuţit este egal cu 4 a) Punctele A, B şi C aparţin unui cerc astfel încât arcele AB, AC şi BC sunt congruente şi AB = 7 cm Perimetrul triunghiului ABC este egal cu cm AB AC b) Triunghiurile ABC şi DEF sunt asemenea şi = Valoarea raportului este DE 3 DF c) Aria rombului cu latura de 4 cm şi un unghi cu măsura de 3 este cm 1 În două depozite erau 786 kg, respectiv 548 kg marfă După ce din primul depozit s-a scos de trei ori mai multă marfă decât din al doilea, în cele două depozite au rămas cantităţi egale a) Ce cantitate de marfă s-a scos din al doilea depozit? b) Ce cantitate de marfă a rămas în primul depozit? a) Calculaţi două numere naturale consecutive care au media geometrică egală cu 14 x 3 x 3 x + 3 b) Calculaţi: ( ) ( )( ) c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor naturale inecuaţia: x x Fie triunghiul ABC, punctele M şi N aparţin segmentelor ( AB ) respectiv ( ) m( AMN) = m( ACB), AB = 6 cm, BC = 1 cm, AC = 8 cm şi AN = 3 cm a) Calculaţi perimetrul triunghiului AMN b) Calculaţi măsura unghiului BAC c) Calculaţi aria patrulaterului MNCB AC, 4

5 Varianta 5 1 a) Rezultatul calculului ( 7x 3x) : 1x, x R*, este egal cu b) În mulţimea R, soluţia ecuaţiei x + = 3 este numărul c) Calculând ( 3) se obţine numărul a) Dintre numerele 1 1 şi mai mare este 3 b) După efectuarea sumei se obţine numărul c) Descompunerea în factori a expresiei x 9x este 3 Fie triunghiul dreptunghic ABC, m( A) = 9, AB = 3 cm şi AC = 1 cm a) Lungimea ipotenuzei (BC) este egală cu cm b) Valoarea tangentei unghiului ABC este egală cu c) Lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei (BC) este egală cu cm 4 Arcul AB al cercului de centru O şi rază 1 cm are măsura de a) Lungimea coardei AB este egală cu cm b) Măsura unghiului AOB este egală cu c) Triunghiul AOB este un triunghi 6 1 a) Calculaţi: ( 5 1)( 5 + 1) b) Calculaţi valoarea numărului real x din egalitatea: x = a) Descompuneţi în factori expresa x 3 3x + x 3, unde x R b) Demonstraţi că x( x ) + 1 este număr raţional, oricare ar fi x număr raţional c) Rezolvaţi în R ecuaţia: ( 3 5) = 9x 5 x 3 Fie trapezul isoscel ABCD, cu bazele AB şi CD, AB = AD = 1cm şi CD = cm a) Calculaţi lungimea diagonalei [AC] b) Calculaţi distanţa de la punctul A la dreapta BC AD BC = M Calculaţi lungimea segmentului [MA] c) Fie { } 5

6 Varianta 6 1 a) Calculând se obţine b) Rezolvând în R ecuaţia x 3 = 1 se obţine soluţia c) Media geometrică a numerelor 7 şi 3 este numărul a) Dintre numerele 3 şi 3 mai mare este b) Efectuând ( x + ), x R, se obţine c) Expresia x + 4x + 4, x R, este pătratul sumei 3 a) Într-un cerc, la arce congruente corespund coarde b) Calculând sin3 se obţine numărul c) În triunghiul ABC, AB = 5 cm, BC = 1 cm, AC = 13cm Atunci, măsura unghiului ABC este egală cu 4 a) Fie triunghiurile asemenea ABC şi DEF în care AB = 6 cm, AC = 8 cm şi DE = 9 cm Atunci lungimea segmentului [DF ] este cm b) Măsura unui unghi înscris într-un cerc este egală cu 35 Atunci măsura arcului de cerc cuprins între laturile unghiului este egală cu c) Fie două puncte distincte A şi B ale cercului C ( O, R), AB = 6 cm şi OM perpendiculară pe AB, M AB Lungimea segmentului [BM] este egală cu cm 1 a) Calculaţi ( 3 + 3) şi ( ) 3 b) Arătaţi că numărul n = este natural c) Arătaţi că ( 3) : ( 3) + 6 ( 3) ( 3) ( 3) = 3( 6 3 1) Într-o clasă, dacă se aşază câte doi elevi într-o bancă, atunci un elev stă singur şi nu rămâne nicio bancă neocupată Dacă se aşază câte trei elevi într-o bancă, atunci rămân patru bănci libere a) Câte bănci sunt în clasă? b) Câţi elevi sunt în clasă? 3 Triunghiul dreptunghic ABC are cateta AB = 14 cm şi ipotenuza BC = 5 cm a) Calculaţi lungimea catetei [AC] b) Fie punctul D proiecţia punctului A pe ipotenuza [BC] Calculaţi perimetrul triunghiului ADC c) Fie punctul P proiecţia punctului C pe bisectoarea unghiului ABC Calculaţi lungimea segmentului [CP] 6

7 Varianta 7 1 a) Cel mai mare număr întreg mai mic decât 3 3 este, ( 3),3 b) Fie proporţia =, x R Valoarea numărului x este egală cu x 9 c) Soluţia reală negativă a ecuaţiei x = 5 este a) Valoarea de adevăr a propoziţiei 3 = 1 este b) Fie numărul x = 5 Calculând c) Rezultatul calculului ( 3 1)( 3 1) 1 x se obţine numărul + este numărul 3 a) Măsura unui unghi înscris într-un cerc are 6 Măsura arcului corespunzător este egală cu b) Calculând 4 sin x cos x pentru x = 45 se obţine c) Fie triunghiurile asemenea ABC şi MNP în care m ( ABC) = 7, m ( BAC) = 6 Atunci m( MPN) este de 4 a) Pe un cerc se consideră punctele R şi P astfel încât arcul PR are măsura de 6 şi RP = 6 cm Lungimea razei cercului este de cm b) Triunghiul isoscel MNP are m ( MNP) = 1, punctul T este piciorul înălţimii din N pe latura [MP], MN = 16 cm Atunci [NT ] are lungimea de cm c) Triunghiul ABC este echilateral, AB = 6 cm Aria triunghiului este egală cu cm 1 1 a) Fie x + = 14, unde x R x + Calculaţi valoarea sumei b) Calculaţi media geometrică a numerelor: = b =,35, ,7 7 a {[ ( ) ] } 9şi ( ) ( ) c) Efectuaţi ( 3 1) 5 ( x + 1) 4 ( 3x ) ( 3x + ) 1 x + x x, unde x R a) Fie numărul a 5b Introduceţi factorii sub radical şi scrieţi condiţiile ce trebuie să îndeplinească numerele reale a şi b 6 b) Ordonaţi descrescător numerele 15, 4 5, Fie triunghiul dreptunghic ABC, raportul lungimilor catetelor ( AB ) şi (AC) este egal cu iar 4 înălţimea ( AD), D BC, are lungimea egală cu 36 cm a) Calculaţi perimetrul triunghiului ABC b) Calculaţi raportul ariilor triunghiurilor ADC şi ABC c) Bisectoarea unghiului ABC intersectează latura (AC) în M şi perpendiculara în M pe BM intersectează AB în N Calculaţi lungimea segmentului (AN) 7

8 Varianta 8 1 a) Fie x, y R, x 3 y = 7 şi x = 8 Valoarea numărului y este egală cu b) Media aritmetică a numerelor 3 şi 8 3 este egală cu numărul c) Partea întreagă a numărului 5 este egală cu a) Descompunerea în factori a expresiei: ( )( ) ( ) b) Ecuaţia ( 3) = 3 x 1 x x 1 este x are ca soluţie numărul întreg c) Media geometrică a numerelor 3 şi x este egală cu 5 3 Valoarea numărului x este 3 a) Segmentul AB cu lungimea de 1 cm, se împarte în două segmente proporţionale cu numerele şi 3 Lungimea segmentului mai mare este de cm b) Dacă triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul ACB, atunci ABC este triunghi c) Valoarea sumei sin 3 + cos 6 este egală cu 4 Fie triunghiul ABC dreptunghic în A, AD BC, D BC, AB = 3 cm şi a) tg 3 este b) Lungimea segmentului (AD) este egală cu cm c) Lungimea catetei (AC) este egală cu cm 1 Numerele a, b, c N, sunt direct proporţionale cu numerele 3, 4 şi 5 a) Demonstraţi că a + b este pătrat perfect b) Fie ab + bc = 18 Calculaţi valorile numerelor a, b şi c m ( B) = 3 a) Fie expresia E = a + a ba + b b, unde a, b R Dacă a b = 1, calculaţi valoarea expresiei E n 4 b) Calculaţi valorile întregi ale numărului n pentru care a = Z n Fie patrulaterul convex ABCD, AB = BC = 5cm, AD = DC = 39 cm şi AC = 3 cm a) Demonstraţi că diagonalele patrulaterului ABCD sunt perpendiculare b) Calculaţi lungimea diagonalei (BD) c) Calculaţi aria patrulaterului ABCD 8

9 Varianta 9 1 a) Rezultatul calculului 18, scris fără radical, este numărul b) Media geometrică a numerelor naturale şi x este 3 Numărul natural x este egal cu c) Valoarea absolută a numărului 1 este egală cu numărul a) Valoarea de adevăr a propoziţiei 9 Z este b) Fie expresia 14x 7x, x R Scoţând 7x factor comun se obţine c) Fie numerele reale a = x 3 şi b = 3 + x Calculând a b se obţine 3 a) Valoarea numărului real x care verifică egalitatea x : = 1 6 este egală cu b) Partea întreagă a numărului,7 este numărul întreg 3 c) Fie expresia ( a ), a R Efectuând ridicarea la putere se obţine expresia 4 a) Fie triunghiul ABC, şi AMN să fie asemenea Ştiind că m ( A) = 4 şi punctele M [ AC], N [ AB] m ( M ) = 53, ( C) astfel încât triunghiurile ABC m este egală cu b) Fie triunghiul ABC, dreptunghic în A, AB = 8 cm şi BC = 1 cm Lungimea catetei (AC) este egală cu cm c) Fie punctele A, B şi C aparţinând unui cerc de centru O, astfel încât măsura arcului mic AB este egală cu 14 o Măsura unghiului ACB este egală cu 1 a) Calculaţi, folosind eventual formulele de calcul prescurtat: b) Descompuneţi în factori: x + 6x + 5 ( x x x + x + 3) ( 1)( + ) 3 Catetele unui triunghi dreptunghic sunt invers proporţionale cu numerele 5 şi 1 iar ipotenuza are lungimea egală cu 13 cm a) Calculaţi lungimile catetelor b) Calculaţi aria triunghiului 3 Fie trapezul ABCD (figura alăturată), AB = 1 cm, CD = cm, BC = 1 cm, AD = 1 cm şi AD BC = { M } a) Calculaţi lungimea segmentului (MC) b) Fie O mijlocul segmentului (CD) Calculaţi lungimea segmentului (OB) c) Calculaţi lungimea segmentului (BD) D A O B C 9

10 Varianta 1 1 a) Numărul raţional a pentru care numărul a 3 este număr raţional este egal cu b) Dintre numerele 7 3şi 4 1, pozitiv este o c) Valoarea tangentei unui unghi cu măsura de 3 este egală cu a) După reducerea termenilor asemenea, expresia 3 ab ab este egală cu b) Transformată în produs, expresia 49 x este egală cu c) Soluţia ecuaţiei x 6 = este numărul întreg 3 În figura alăturată, triunghiul ABC este dreptunghic în A, MN BC, AB = 3 cm, BC = 5 cm şi MC =,5 cm a) Cateta (AC) are lungimea egală cu cm B b) Înălţimea corespunzătoare ipotenuzei are lungimea egală cu cm c) Lungimea segmentului (MN) este egală cu cm 4 Fie paralelogramul ABCD, DD' AB, D' [ AB], AB = 1 cm şi DD'= 5 cm a) Lungimea segmentului [AD] este egală cu cm b) Măsura unghiului ADB este egală cu cm c) Aria paralelogramului ABCD este egală cu cm m( A = 45 o ), A M N C 1 a) Arătaţi că numărul x = ( 5 5) + 1 este număr întreg b) Calculaţi media geometrică a numerelor a şi b ştiind că a = + 4 şi b = 4 a) Efectuaţi: x ) + ( x 1) ( + b) Arătaţi că x 4x + y + y + 7 >, oricare ar fi x şi y numere reale c) Dacă 7 b 4 3 = ( a ), calculaţi numerele reale a şi b 3 În figura alăturată triunghiul ABC este isoscel cu baza BC = 1 3 cm şi aria egală cu 36 3 cm Fie punctul A astfel încât AA BC AA ' BC = D ' şi { } a) Demonstraţi că (AA ) este un diametru al cercului b) Calculaţi lungimea înălţimii (AD) a triunghiului ABC c) Calculaţi lungimea razei cercului B A D C A 1

11 Varianta 11 1 a) Rezultatul calculului este numărul b) Dintre numerele 99şi 98 mai mic este numărul c) Soluţia negativă a ecuaţiei x = 13 este numărul real a) Ecuaţia x +1 = b, cu necunoscuta x, are ca soluţie numărul 4 Valoarea numărului b este b) Rezultatul calculului 5a + 4a 18a este c) Valoarea de adevăr a propoziţiei Oricare ar fi x R, x = x este 3 În figura alăturată este un cerc cu centrul O, raza AO = 4 cm, m( AOB) = 6 şi AC = BC a) Lungimea segmentului (AB) este egală cu cm b) Măsura unghiului ACB este egală cu c) Masura unghiului CAO este egală cu 4 În triunghiul ABC, fie M (AB), N (AC) şi MN BC AM 1 NC a) Dacă =, atunci valoarea raportului este egală cu MB AN MN 1 AM b) Dacă =, atunci valoarea raportului este egală cu BC 3 AB MN 1 AAMN c) Dacă =, atunci valoarea raportului este egală cu BC 3 A 1 a) Fie numărul A = ( 5) 7 1 Demonstraţi că A < b) Fie numărul B + ABC = ( 5 7) + ( 5 7) Demonstraţi că B Z 3 c) Descompuneţi în factori expresia x xy + 3x 3y, unde x, y R Într-o cutie sunt 3 de mere, pere şi nuci Se ştie că că numărul de mere şi pere este egal cu numărul de pere şi nuci, iar numărul de pere este de trei ori mai mare decât numărul de mere a) Arătaţi că în cutie numărul de mere este egal cu numărul de nuci b) Calculaţi numărul de mere din cutie 3 În triunghiul dreptunghic ABC din figura alăturată m ( A) = 9, (BD este bisectoarea unghiului ABC, AB = 5 cm şi AC = 1 cm Fie AP perpendiculară pe BD, unde P BC a) Completaţi desenul cu segmentul (AP) b) Calculaţi lungimea laturii (BC) c) Calculaţi lungimea segmentului (CP) 11

12 Varianta 1 1 a) Restrângând expresia ( x) = 3x + 4x + 7x 3 b) Fie expresia E ( x) = 3x + 6x Calculând E( x) E se obţine se obţine c) Fie numerele reale E = x y 5 şi E F = x y 5 Calculând F se obţine a) Descompunând în factori x 6x + 9 se obţine b) Descompunând în factori x 49 se obţine produsul c) În R, soluţia pozitivă a ecuaţiei x 49 = este numărul 3 Fie triunghiurile asemenea ABC şi MNP a) Dacă m ( A) = 3 şi m ( B) = 7, atunci m ( N) = b) Dacă AB = 4 m, BC = 6 m şi MN = m atunci lungimea segmentului NP este m c) Dacă AB = 4 m, MN = m şi aria triunghiului ABC este egală cu 1 m Atunci aria triunghiului MNP este m 4 Fie cercul C(O, R), cu raza R = 4 cm şi punctele A, B C(O, R) astfel încât măsura arcului AB este egală cu 9 (figura alăturată) a) Diametrul cercului are lungimea egală cu cm b) Măsura unghiului AOB este egală cu c) Perimetrul triunghiului AOB este egal cu cm 1 a) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( 1) 5 x x = b) Un excursionist parcurge o cincime din lungimea traseului său şi constată că pentru a finaliza mai are de parcurs încă km Calculaţi lungimea traseului său c) Fie x N * şi numerele x+3, 3x+ şi 6x+1 care reprezintă lungimile laturilor unui triunghi Calculaţi valorile numărului natural x a) Fie a, b R şi a + b = 4 Calculaţi valoarea expresiei a + ab + b + 3 b) Arătaţi că x + 1x + 4 >, pentru orice număr real x c) Fie x, y R şi x + 4y + 4x + 4y + 5 = Calculaţi valorile numerelor x şi y 3 a) Desenaţi un triunghi dreptunghic Fie triunghiul dreptunghic ABC cu măsura unghiului BAC egală cu 9, [AM] este o înălţime a triunghiului, M (BC), BM = cm şi BC = 5 BM b) Calculaţi lungimea segmentului (AM) c) Fie punctul P mijlocul laturii AC) Calculaţi valoarea sinusului unghiului MPA 1

13 Varianta 13 1 a) Soluţia negativă a ecuaţiei x = 36 este numărul real b) Dintre 5 şi 3 3 mai mare este numărul c) Rezultatul calculului este a) Fie x = 5şi x + a = 3 Valoarea numărului real a este egală cu b) Fie x y = 1 şi x y = 6 Valoarea sumei x + y este egală cu c) Valoarea de adevăr a propoziţiei = 8 este 3 Fie triunghiul dreptunghic ABC, cu măsura unghiului A egală cu 9, BC = 6 m, AC = 4 m şi [AD] este înălţime, D BC a) Lungimea laturii [AB] este egală cu m b) Lungimea înălţimii [AD] este egală cu m c) Valoarea tangentei unghiului ACD este egală cu 4 Fie cercul C de centru O şi raza R = 4 cm, punctele A, B şi C aparţin cercului astfel încât măsura arcului AC este egală cu 18 şi măsura unghiului ACB este egală cu 3 (figura alăturată) a) Lungimea segmentului {AC) este egală cu cm b) Măsura arcului AB este egală cu c) Aria triunghiului AOB este egală cu cm 1 Descompuneţi în factori: a) 5x y 15xy b) x xy + y 3x + 3y c) x y + x + y a) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( 1) 4 5 x = x + b) Calculaţi numerele naturale x astfel încât x 1 < x + c) Calculaţi valoarea minimă a expresiei x + x + 3, unde x R 3 a) Desenaţi un trapez isoscel ABCD, cu AB CD şi AB > CD Fie ABCD un trapez isoscel cu AB b) Calculaţi aria trapezului ABCD c) Fie AD BC = {M} Calculaţi aria triunghiului DCM CD, AB = 5 cm, CD = 1 cm şi BC = AD = 4 cm 13

14 Varianta 14 1 a) Rezultatul calculului este numărul b) Fie numărul a = 15 După scoaterea factorilor de sub radical se obţine a = c) Media geometrică a numerelor 1 şi 49 este numărul a) Descompunerea în factori a numărului real 81 m este produsul b) În R, soluţia negativă a ecuaţiei x = 4 este numărul c) Valoarea de adevăr a propoziţiei,(1) este un număr raţional este 3 În figura alăturată măsurile unghiurilor ABC şi CDE sunt egale cu 9, CD = 3 cm, BC = 9 cm şi AB = 1 cm a) Lungimea segmentului DE este egală cu cm b) Lungimea segmentului CE este egală cu cm c) Lungimea segmentului AE este egală cu cm 4 În figura alăturată este cercul C(O, R), punctele A, B, C şi D aparţin cercului C, măsurile arcelor AB, BC şi CD sunt egale între ele iar AD este un diametru al cercului a) Măsura unghiului BOC este egală cu b) Fie AO = 4 cm Perimetrul patrulaterului ABCD este egal cu cm c) Fie AO = 4 cm Aria triunghiului ABC este egală cu cm 1 Fie a R şi ecuaţia ( x a) = a( x ) cu x R a) Pentru a = 3, rezolvaţi ecuaţia în mulţimea numerelor reale b) Dacă 3 este soluţie a ecuaţiei, calculaţi valoarea numărului a c) Arătaţi că pentru a, mulţimea soluţiilor ecuaţiei este S = {} Fie A = x x şi B = y + y, x, y Q a) Descompuneţi în factori diferenţa A B 1 b) Demonstraţi că A + este un număr raţional 4 1 c) Calculaţi numerele x şi y ştiind că A + B + = 3 a) Desenaţi un triunghi dreptunghic Triunghiul ABC este dreptunghic, cu măsura unghiului A egală cu 9, punctul O este mijlocul laturii (BC), punctul M aparţine laturii (AC) astfel încât dreapta MO este perpendiculară pe latura (BC), AM =1 cm şi MC = cm b) Calculaţi valoarea sinusului unghiului ABM c) Demonstraţi că BM OA = BO AM + MO AB 14

15 Varianta 15 1 a) Dintre numerele 3 si mai mic este b) Rezultatul calculului este egal cu c) Media geometrică a numerelor 6 şi 8 este egală cu numărul real a) Rezultatul calculului este b) Rezultatul calculului ( 7 + ) este c) Descompunerea în factori a expresiei 4x 1este 3 a) În triunghiul ABC dreptunghic în A, (AD) este înălţime, D BC, BD = 4 cm şi CD = 9 cm Lungimea înălţimii (AD) este egală cu cm b) Latura unui pătrat cu aria de 4 cm are lungimea egală cu cm c) Aria unui triunghi isoscel cu AB = AC = 8cm şi măsura unghiului BAC de 3 este cm 4 Un dreptunghi ABCD are lungimea laturii AB = 1cm şi perimetrul egal cu 34 cm a) Lungimea laturii (BC) este egală cu cm b) Lungimea diagonalei (AC) este egală cu cm c) Valoarea tangentei unghiului CAD este egală cu 1 1 a) Efectuaţi : ( ) 3 x 3 x + 5 = x x +, x b) Rezolvaţi ecuaţia ( )( ) ( )( ) R c) Descompuneţi în factori expresia ( x + 4) 9 Media aritmetică a numerelor a şi b este egală cu 14 Dacă numărul a se măreşte cu 5% din el şi numărul b se micşorează cu % din el, media aritmetică este tot 14 a) Calculaţi numărul a b) Calculaţi numărul b c) Calculaţi media geometrică a numerelor a şi b 3 Trapezul isoscel ABCD, cu CD a) Perimetrul trapezului b) Aria trapezului c) Aria triunghiului ACD AB are ( ) m B = 6, AC BCşi BD = 1 3 cm Calculaţi: 15

16 Varianta 16 1 a) Dintre numerele 7şi 3 3 mai mic este b) Rezultatul calculului 5 81 este c) Media geometrică a numerelor 4 şi 8 este egală cu a) Rezultatul calculului 3 este egal cu b) Fie a = 3x + 5xşi b = x 5x, unde x R Calculând suma a + b se obţine c) Descompunerea în factori a expresiei 9 x + x este 3 a) Diagonala unui dreptunghi cu laturile de 6 cm şi 1 cm are lungimea egală cu cm b) Triunghiul ABC are m ( A) = 9, m ( B) = 6 şi AC = 6 cm Atunci AB = cm c) Aria unui triunghi ABC cu AB = 6 cm, BC = 8 cm şi m( ABC ) = 3 este egală cu cm 4 Punctele A, B şi C, în această ordine, aparţin unui cerc de centru O şi rază 1 cm, astfel încât măsura arcului AB este de 6 a) Măsura unghiului AOB este egală cu b) Măsura unghiului ACB este egală cu c) Lungimea segmentului (AB) este egală cu cm 1 Efectuaţi: a) : b) c) ( + 5) ( x 3)( x + 3) x, unde x R Pentru 16 kg de mere şi banane cumpărate s-au plătit la un loc 5 de lei Un kg de mere costă lei şi un kg de banane costă 5 lei a) Câte kilograme de mere s-au cumpărat? b) Câte kilograme de banane s-au cumpărat? c) Cât la sută din cantitatea de fructe cumpărată reprezintă cantitatea de mere? 3 Fie ABCD un pătrat În exteriorul pătratului se construieşte triunghiul echilateral ABE cu lungimea înălţimii egală cu 3 4 cm Calculaţi: a) Lungimea laturii AB b) Aria triunghiului ABE c) Diagonala pătratului 16

17 Varianta 17 1 a) După scoaterea factorilor de sub radical numărul 18 devine b) Modulul numărului 5 este egal cu numărul c) Rezultatul calculului este egal cu numărul 3 a) Rezultatul calculului 7x x este egal cu expresia b) Rezultatul calculului ( x + 5) este egal cu expresia c) Descompunerea în factori a expresiei x 16 este egală cu expresia 3 În triunghiul dreptunghic ABC, m ( A) = 9, [ ] DC = 1 cm a) Lungimea ipotenuzei (BC) este egală cu cm b) Lungimea înălţimii (AD) este egală cu cm c) Valoarea tangentei unghiului ACB este egală cu 4 Triunghiul ABC are ( A) AD este înălţime, D BC, BD = 3 cm şi m = 3 şi este înscris în cercul de centru O şi rază 4 cm a) Măsura arcului de cerc BC este egală cu b) Măsura unghiului BOC este egală cu c) Lungimea coardei BC este egală cu cm 1 Determinaţi numărul real x în fiecare din cazurile: 3 x 5 x 1 x + 14 a) = b) ( x ) = 5 c) = x, unde R + x Fie expresiile A = ( x + 3 )( x + 5) + 1şi = 5 x( x + 4) ( 3x + 1) B, unde x R + a) Demonstraţi că expresia A se poate scrie ca pătratul unei sume de doi termeni b) Descompuneţi în factori expresia B B A = x + 4 mx + n c) Determinaţi numerele reale m şi n pentru care ( )( ) 3 Fie triunghiul isoscel ABC, AB = AC = 6 cm, BC = 4 cm, punctul D este mijlocul laturii (BC) şi punctul E este simetricul punctului D faţă de punctul B a) Calculaţi perimetrul triunghiului b) Calculaţi sinusul unghiului ACB c) Demonstraţi că triunghiul EAC este isoscel 17

18 Varianta 18 1 a) Dintre numerele 9 şi 7 este mai mare numărul b) Partea întreagă a numărului iraţional 15 este egală cu numărul c) Rezultatul calculului 3 5 este egal cu numărul a) Rezultatul calculului ( 4 + 3) ( x + 8) b) Rezultatul calculului ( 7 )( x + 7) x este expresia x este expresia c) Descompunerea în factori a expresiei x 4x este 3 În trapezul ABCD, AB CD, AB = 6 cm, CD = 15 cm, AC = 14 cm şi diagonalele se intersectează în punctul O a) Triunghiul AOB este asemenea cu triunghiul BO b) Valoarea raportului este egală cu OD c) Lungimea segmentului [OC] este egală cu cm 4 Punctele A, B şi C aparţin cercului de centru O astfel încât măsura arcului mic de cerc AB este egală cu 7 şi punctul C este diametral opus punctului A a) Măsura arcului mare de cerc AB este egală cu b) Măsura unghiului ACB este egală cu c) Măsura unghiului ABC egală cu a) Demonstraţi că numărul a = + : este raţional b) Demonstraţi că numărul = ( x 3) 4x( x ) + ( x + 5) b are aceeaşi valoare pentru orice x R c) Fie x + y = 5, x, y R Calculaţi numărul c = x + 3x + y + 3y + xy x + a) Rezolvaţi în R ecuaţia 1 = x + b) Calculaţi valorile numărului real x pentru care ( x + 5) = 9 c) Patru prăjituri şi trei sucuri costă la un loc 14 lei Preţul unui suc este de două ori mai mare decât preţul unei prăjituri Calculaţi preţul unei prăjituri 3 Fie triunghiul ascuţitunghic ABC, m( B) > m( C) 1 5 cos ( B ) = şi cos ( C ) = 5 7 a) Calculaţi lungimea înălţimii (AD) b) Calculaţi perimetrul triunghiului ABC c) Calculaţi aria triunghiului ABC, [AD] este înălţime, D BC, AB = 5 cm, 18

19 Varianta 19 1 a) După raţionalizarea numitorului fracţiei se obţine numărul 3 b) Dintre numerele + 3 şi 3 mai mare este numărul c) Scrierea expresiei 4x 9 ca produs dintre suma şi diferenţa de doi termeni este a) Soluţia naturală a ecuaţiei 4 x + 4( x ) = 7x este b) Calculând media geometrică a numerelor 9 şi 5 se obţine numărul c) Soluţia naturală ale inecuaţiei x 1 < este numărul 3 a) Desenaţi un triunghi ABC şi construiţi dreapta DE BC, unde D (AB) şi E (AC) b) Lungimea unei catete a unui triunghi dreptunghic este de 3 cm şi unghiul opus ei are măsura de 3º Cealaltă catetă are lungimea de cm c) Rezultatul calculului sin 3 cos3 sin6 cos6 este egal cu 4 Patrulaterul ABCD este dreptunghi, AB = 1 cm şi diagonala AC = cm a) Lungimea laturii (BC) este egală cu cm b) Aria triunghiului ACD este egală cu cm c) Calculând sinusul unghiului ACD se obţine raportul 1 a) Fie a + b = 9 şi ab = 3, unde a, b R Calculaţi b) Calculaţi (3 1) + (5 3) c) Calculaţi valoarea numărului x R* din proporţia ( a b) 7 + = 7 x a) Calculaţi valoarea numărului natural n care verifică relaţia n < n + 4 b) Arătaţi că x + 4x + 7 3, pentru orice număr real x 1 1 c) Rezolvaţi în mulţimea R { 1,1} ecuaţia + = x + 1 x 1 x 1 3 Fie trapezul dreptunghic ABCD, AB CD, AB < CD, m ( A) = 9, = 6 AD cm, BD = 4 3 cm şi BD BC a) Calculaţi perimetrul trapezului ABCD b) Calculaţi aria trapezului ABCD c) Determinaţi valoarea raportului dintre aria patrulaterului BCED şi aria tiunghiului ABD, unde punctul E este simetricul punctului B faţă de punctul O, mijlocul laturii (CD) 19

20 Varianta 1 a) Media aritmetică a numerelor 5 şi este b) Soluţia reală a ecuaţiei x + 1 = 3 este c) Scriind în ordine crescătoare numerele 3 şi 3 obţinem a) Expresia x 5 scrisă ca produs dintre sumă şi diferenţă de doi termeni este egală cu b) Calculând 5 16 obţinem numărul natural c) Soluţia naturală ale inecuaţiei 3( x + 3) 9 este 3 a) Lungimea diametrului unui cerc este egală cu 1 cm Lungimea razei este egală cu cm b) Aria triunghiului ABC cu AB = 6 cm, AC = 8 cm, m ( BAC) = 45 este egală cu cm c) Valoarea expresiei 3 + este egală cu sin 6 4 Fie pătratul ABCD, OA = 5cm, unde punctul O este intersecţia diagonalelor a) Lungimea segmentului (AB) este egală cu cm b) Perimetrul pătratului ABCD este egal cu cm c) Aria triunghiului ADM, unde M este mijlocul laturii (AB) este egală cu cm 1 a) Fie a, b R, a + b = 8şi a + b = 4 Calculaţi ab b) Calculaţi c) Calculaţi ( 8 3) + ( 1) 3 + ( 1) ( + x + 5) ( x + 1)( x + 5) + ( x 1) a) Fie punctele A(4; ) şi B(; 3) Reprezentaţi în sistemul de axe perpendiculare xoy punctele A şi B şi calculaţi lungimea segmentului (AB) b) Arătaţi că ( x + 1) + (1 x)(1 + x) + x( x 1) este divizibil cu oricare ar fi x număr natural c) Rezolvaţi în R ecuaţia x 6x + 9 = 16 3 Fie paralelogramul ABCD cu AB = 16 cm, AD = 8 cm, a) Calculaţi perimetrul paralelogramului ABCD b) Calculaţi aria triunghiului AMD c) Fie MP AD, P ( BD) Calculaţi aria triunghiului MBP m ( A) = 3, DM AB, M ( AB)

21 Varianta 1 1 a) Dintre numerele 5 şi 3 3 mai mic este a 1+ 3 b) Fie =, a, b R, b Produsul ab este egal cu 1 3 b c) Descompunerea în factori a expresiei 1x 3 7x este a) Fie a = + 1 Calculând a se obţine b) Soluţia reală negativă a ecuaţiei x = 3 este numărul c) Rezultatul calculului 75 5 este 3 a) Rezultatul calculului este b) Media geometrică a două numere este 1, iar unul dintre ele este 6 Celălalt număr este 14 6 : 7 obţinem c) Calculând ( ) 4 a) Fie triunghiurile asemenea ABC şi A B C cu raportul lor de asemănare egal cu 3 1 şi perimetrul triunghiului ABC egal cu 17 cm Perimetrul triunghiului A B C este cm b) Calculând ctg 6 tg 3 obţinem c) Diametrul unui cerc este de 14 cm Raza are lungimea de cm 1 a) Calculaţi: ( x 5) ( x 3)( x + 1) b) Descompuneţi în factori:, x R y + ay 4 a c) Determinaţi a, b R, astfel încât să aibă loc relaţia: a + 16b a 8b + = a) Rezolvaţi în R ecuaţia: ( x 3) ( x 1)( x + 1) = 6( 1+ x) b) Într-un bloc sunt 6 apartamente cu şi 3 camere Ştiind că în bloc sunt în total 14 de camere, calculaţi numărul apartamentelor cu două camere x 1 x 3 x + c) Rezolvaţi în Z inecuaţia: ( ) ( ) 3 a) Desenaţi un triunghi ABC dreptunghic în A Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A, D proiecţia lui A pe BC, AC = 15 cm şi AD = 1 cm b) Calculaţi perimetrul triunghiului DAC c) Calculaţi raza cercului în care triunghiul ABC este înscris 1

22 Varianta 1 a) Pătratul sumei numerelor şi 3 este b) Media geometrică a numerelor 3 şi 3 + este c) Cel mai mare număr întreg mai mic decât ( 3 + 1) este a) Descompunerea în factori a expresiei 16x + 4x + 9 este 1 x + 1 b) Fie =, x 1 Valoarile numărului real x sunt x x = 5 x 7 este c) Soluţia reală a ecuaţiei ( ) 3 a) Rezolvând în Z inecuaţia: 5 x + 1 <, obţinem S = { } b) Dacă suma a 6 numere întregi consecutive este 3, atunci cel mai mic dintre ele este a 5a 3a, a, obţinem c) Efectuând: ( ) ( ) 4 a) Un triunghi dreptunghic isoscel cu ipotenuza de 1 cm are o catetă de cm b) În triunghiul ABC, m ( A) = 9, M [BC], BM = MC, AM = 8 cm, AC = 8 3 cm Atunci AB = cm c) Triunghiul ABC înscris într-un cerc are m( ABC) = 7 şi ( ACB) = 5 Atunci m ( BAC ) = m 1 a) Fie a = şi b = Calculaţi media geometrică a celor două numere 3 a b a + b a b + 3 b) Efectuaţi: ( ) ( ) ( ) c) Suma a două numere este 5 Ştiind că unul este cu mai mare decât dublul celuilalt, aflaţi numerele a) Calculaţi ( ) 1 3 b) Descompuneţi în factori 5x 1x 8 c) Rezolvaţi în R ecuaţia x 3 = x Fie triunghiul ABC, ( ) m B = 3, BC a) Calculaţi lungimea segmentului (DC) b) Calculaţi sin C AD, ( BC) D, AB = 8 cm, BC = 6 3 cm

23 Varianta 3 1 a) Dintre numerele 3şi 3 mai mare este b) Rezultatul calculului 5 5 este egal cu c) Rezultatul calculului este egal cu a) Valoarea de adevăr a propoziţiei = 1 3 este b) Rezultatul calculului ( + ) ( x )( x + ) x este egal cu c) Soluţia naturală a inecuaţiei x 1 < 1 este 3 a) Ipotenuza unui triunghi dreptunghic ale cărui catete au lungimile de 5 cm şi 1 cm, are lungimea de cm m C = b) Dacă în triunghiul ABC, AB = 1 cm, AC = 6 cm şi BC = 8 cm, atunci ( ) c) Rezultatul calculului 6sin 3 4cos 6 este egal cu 4 a) Aria unui triunghi ABC cu AB = 4 cm, BC = 6 cm şi m ( B) = 6, este egală cu cm b) O coardă situată la distanţa de 3 cm de centrul cercului de rază 5 cm are lungimea de cm c) Un triunghi echilateral cu înălţimea de 4 3 cm are perimetrul de cm 1 Valoarea raportului a două numere naturale este, 64 iar media lor geometrică este 8 a) Calculaţi cele două numere b) Calculaţi media aritmetică a celor două numere a) Demonstraţi că numărul 5n + 1n + 1 este pătrat perfect pentru orice n N b) Demonstraţi că numărul n = ( 3) este număr natural 3 În triunghiul dreptunghic ABC cu ipotenuza BC = 5 cm se construieşte înălţimea AD = 4 cm şi D, M BC mediana (AM), ( ) a) Calculaţi perimetrul şi aria triunghiului ADM b) Calculaţi perimetrul şi aria triunghiului ABC c) Fie AC E AB Calculaţi lungimea segmentului (DE) DE, ( ) 3

24 Varianta 4 1 a) Rezultatul calculului este egal cu b) Media geometrică a numerelor ( + 3) şi ( 3) este egală cu c) Soluţia ecuaţiei x 36 = , x R, este numărul a) Rezultatul calculului 3 ( x 4x + 5) x ( 3x 6) x este egal cu b) Soluţia naturală a ecuaţiei ( x 3) ( 3x 5) + = + este c) Valoarea de adevăr a propoziţiei = este 3 a) Înălţimea unui triunghi dreptunghic cu lungimea ipotenuzei de 5 cm şi lungimea unei catete de cm, are lungimea de cm b) Rezultatul calculului 3 tg3 + tg45 este egal cu c) Aria unui romb cu latura de 6 cm şi măsura unui unghi ascuţit de 6 este egală cu cm 4 a) Valoarea raportului de asemănare a două triunghiuri este 5 Raportul ariilor lor este b) Un cerc cu diametrul de 8 cm are lungimea razei de cm c) Măsura unui unghi înscris în cerc este de 55 Măsura arcului cuprins între laturile sale este egală cu 1 Diferenţa pătratelor a două numere naturale este 616 şi media lor aritmetică este 14 a) Calculaţi cele două numere b) Calculaţi cât la sută din numărul mai mare reprezintă numărul mai mic Descompuneţi în factori: x + y 5 x + y + a x + y a) ( ) ( ) ( ) b) 5x + x + c) x + 9x Fie trapezul dreptunghic ABCD, AB CD, AB = 15 cm, DC = 9 cm, latura oblică BC = 1 cm şi BC AD = {P} a) Calculaţi perimetrul şi aria trapezului ABCD b) Calculaţi perimetrul şi aria triunghiului PAB MN AB, M AD, N BC şi AM = cm Calculaţi lungimea segmentului (MN) c) Fie ( ) ( ) 4

25 Varianta 5 1 a) Rezultatul calculului este numărul natural b) Mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei x = este c) Fie expresia ( x + 5y), x, y R Efectuând ridicarea la putere se obţine a) Media geometrică a numerelor 4 7 şi este egală cu b) Mulţimea soluţiilor naturale ale inecuaţiei 7x 1 este c) Suma a trei numere pare consecutive este 66 Cel mai mare număr dintre acestea este 3 a) Fie triunghiul DEF şi EM DF, M DF Proiecţia laturii (ED) pe dreapta DF este segmentul b) În triunghiul ABC dreptunghic în A, AB = 5 cm şi AC = 5 cm Lungimea laturii BC este c) Măsura unghiului la centru care subîntinde între laturile sale un arc având 1 este egală cu 4 În figura alăturată, punctele A, B şi C aparţin cercului de centru O şi rază R = 6, măsura arcului AB este de 1 şi măsura arcului BC este de 6 a) Măsura unghiului ABC este egală cu AC este egală cu b) Lungimea segmentului [ ] c) Valoarea sinusului unghiului BAC este egală cu 1 a) Calculaţi ( )( ) ( ) b) Determinaţi valoarea de adevăr a propoziţiei: ( 5 3) + ( 5 + 3) = 5 c) Calculaţi valoarea maximă a expresiei E = 11 x + 6x, x R a) Rezolvaţi în N ecuaţia: ( + 3) = 3x 6 x Justificaţi b) Într-o tabără sunt de trei ori mai mulţi băieţi decât fete Dacă în tabără ar mai sosi trei fete şi ar pleca şase băieţi, numărul băieţilor ar fi de două ori mai mare decât cel al fetelor Câţi băieţi şi câte fete erau la început în tabără? 3 În triunghiul ABC din figură MN BC, AB = 1 cm, BC = 1 cm, AC = 18 cm, AN = 6 cm a) Calculaţi lungimea segmentului (MN) b) Calculaţi perimetrul trapezului MNCB MO c) Fie MC BN = {O} Calculaţi valoarea raportului MC 5

26 Varianta 6 1 a) Rezultatul calculului ( 4 ): ( 8 5) este numărul întreg b) Media geometrică a numerelor 5 şi este numărul natural c) Mulţimea soluţiilor naturale ale inecuaţiei x < 17 este { } a) Fie expresia ( ) 3a b, unde a, b R Efectuând ridicarea la putere se obţine b) Numărul 3 este soluţie a ecuaţiei x 3m =, m R Valoarea numărului m este egală cu c) Forma cea mai simplă a expresiei 3 ( x + 5y) 5( 3x y + 1) + 5 este 3 a) Desenaţi un triunghi dreptunghic înscris într-un cerc b) Fie triunghiul ABC, dreptunghic în A cu măsura unghiului ABC de 3 o şi AB = 6cm Lungimea laturii BC este egală cu cm c) Fie pătratul ABCD, AB = 6 cm Lungimea diagonalei (AC) este egală cu cm 4 În figura 1, triunghiul ABC este echilateral şi are perimetrul de 18 cm Punctele M, N respectiv P, Q împart laturile (AB) respectiv (AC) în trei segmente congruente a) Lungimea segmentului (MP) este cm b) Lungimea segmentului (NQ) este egală cu cm c) Perimetrul trapezului MPCB este egal cu cm 1 a) Calculaţi : ( 3 1) ( 3 4)( 3 + 4) + = b) Rezolvaţi în R ecuaţia ( 1) 5 x c) Descompuneţi în factori: x 6 x 4 9x + 9, x R figura 1 Un test are de probleme Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 1 puncte, iar pentru fiecare problemă rezolvată greşit se scad 4 puncte C a) Calculaţi punctajul primit de un elev care a rezolvat corect 1 probleme b) Calculaţi numărul problemelor rezolvate corect de un elev care a obţinut 6 de puncte 3 În figura, triunghiul ABC este dreptunghic, ( ) m A = 9, AB = 4 3 cm, BD = 6 cm şi AD BC a) Calculaţi lungimea segmentului [AD] b) Calculaţi perimetrul triunghiului ABC A c) Prin punctul B construiţi paralela la dreapta AD care intersectează dreapta AC în punctul Q Calculaţi aria patrulaterului ADBQ figura D B 6

27 Varianta 7 1 a) Rezultatul calculului ( ) 3 3 este b) Media geometrică a două numere este 6 şi unul dintre numere este 3 Celălalt număr este c) Fie expresia ( 3x 5y), x, y R Efectuând ridicarea la putere se obţine 4 a) Prin descompunerea în factori a expresiei x 49x, x R, obţinem b) Mulţimea soluţiilor naturale ale inecuaţiei x este egală cu { } c) Valoarea parametrului a R pentru care ecuaţiile x 6 = şi 1 x a =, x R, au aceeaşi soluţie (sunt echivalente) este 3 a) Desenaţi proiecţia unui segment [AB] pe o dreaptă d ştiind că punctele A, B dşi dreapta AB nu este perpendiculară pe dreapta d b) Un pătrat are lungimea laturii de 9 cm Lungimea diagonalei pătratului este egală cu cm c) Aria paralelogramului cu laturile de 6 cm, 4 3 cm şi un unghi de 6 este egală cu cm 4 Fie triunghiul ABC (figura 1), ( ) m BAC = 9, AD BC, DB = 18 cm, CD = 3 cm a) Lungimea înălţimii [AD] este egală cu cm b) Lungimea catetei (AC) este egală cu cm c) Aria triunghiului ABC este egală cu cm 1 a) Calculaţi: b) Rezolvaţi în R ecuaţia: x 1 = c) Calculaţi cea mai mică valoare a expresiei E = x 4x y + 1y + 9, x, y R a) Rezolvaţi în Z inecuaţia: x + 5 < 6 b) Diferenţa a două numere reale este 3 iar diferenţa pătratelor acestor numere este 48 Calculaţi cele două numere 3 În figura, ABCD este trapez isoscel, AB CD, AB = 7 cm, DC = 1 cm şi perimetrul de 9 cm a) Calculaţi măsurile unghiurilor trapezului ABCD b) Calculaţi aria trapezului ABCD c) Fie AE DC, E DC şi BD AE = {Q} Calculaţi lungimea segmentului [QE] D A C A figura figura 1 B D B C 7

28 Varianta 8 1 a) Rezultatul calculului este egal cu b) Rezultatul calculului ( 6) este egal cu c) După raţionalizarea numitorului, fracţia 3 este egală cu a) Valoarea de adevăr a propoziţiei ( 5 ) = 49 4 este b) Soluţia reală a ecuaţiei 3 x + 1 = 3 este egală cu c) Mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei x = 4 este egală cu 3 Fie un cerc cu centrul în O, un diametru AB al acestuia şi C un punct al cercului diferit de A şi B a) Desenaţi o figură corespunzătoare datelor problemei b) Suma măsurilor arcelor AC şi CB este egală cu o c) Măsura unghiului ACB este egală cu o 4 Fie triunghiul ABC dreptunghic în A, cu lungimile catetelor [AB] şi [AC] egale cu 15 cm şi respectiv cm a) Lungimea ipotenuzei [BC] este egală cu cm b) Lungimea proiecţiei catetei [AB] pe ipotenuză este egală cu cm c) Lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei este egală cu cm 1 O bancă acordă o dobândă anuală la depozit de 6% O persoană depune o sumă de bani, iar după împlinirea unui an retrage 59 de lei, rămânând cu 1 de lei a) Cât la sută din suma de bani depusă la bancă, reprezintă suma după un an a persoanei? b) Ce sumă a depus persoana la bancă? a) Efectuaţi produsul numerelor x şi y, unde x = şi y = b) Calculaţi media aritmetică şi media geometrică a numerelor a = 4 + 7şi b = 4 7 c) Rezolvaţi în mulţimea { ; 1;;1;;3 } inecuaţia ( 3 1) ( x 3) > ( 3 + 1) ( x + 3) x 3 Fie trapezul isoscel ABCD cu baza mare (AB) şi diagonalele perpendiculare Lungimea bazei mari este de 1 cm şi a bazei mici de 6 cm a) Calculaţi lungimea înălţimii trapezului b) Dacă înălţimea trapezului este de 8 cm, calculaţi perimetrul trapezului c) Fie {M} = AD BC Calculaţi aria triunghiului MAB 8

29 Varianta 9 SUBIECTUL I Pe foaia de teză se trec numai rezultatele 1 a) Rezultatul calculului este egal cu b) Rezultatul calculului ( 5 3)( 5 + 3) c) Rezultatul calculului este egal cu ( 3) este egal cu a) Soluţia reală a ecuaţiei x + = este egală cu b) Valoarea de adevăr a propoziţiei Perechea ordonată (1, - ) este o soluţie a ecuaţiei x + 3y + 4 = este x 4 c) Valoarea reală a lui x pentru care = este egală cu 3 3 a) Desenaţi un trapez ABCD şi linia mijlocie (MN) a acestuia b) Lungimea diagonalei unui pătrat este 5 cm Perimetrul pătratului este egal cu cm c) Aria triunghiului echilateral cu lungimea laturii egală cu cm este egală cu cm 4 Triunghiul ABC dreptunghic în A şi isoscel are lungimea ipotenuzei de cm a) Lungimea catetei (AC) este egală cu cm b) Perimetrul triunghiului ABC este egal cu cm c) Aria triunghiului ABC este egal cu cm 1 Un călător a parcurs un drum în trei zile, astfel: în prima zi a parcurs o treime din drum şi încă 3 km, a doua zi a parcurs două treimi din rest rămânând pentru a treia zi 11 km a) Calculaţi lungimea totală a drumului b) Calculaţi distanţa parcursă de drumeţ în prima zi c) Calculaţi distanţa parcursă de drumeţ a doua zi a) Efectuaţi: b) Stabiliţi semnul numărului c) Fie a, b R, a + b = 65şi a + b = 11 Calculaţi a b 3 Triunghiul isoscel ABC are lungimile laturilor congruente AB şi AC de 1 cm şi măsura unghiului BAC de 3 o A a) Calculaţi aria triunghiului ABC b) Calculaţi lungimea înălţimii (BD) a triunghiului c) Fie punctul M mijlocul laturii (AC) Calculaţi aria triunghiului BMD M D B C 9

30 Varianta 3 1 a) Rezultatul calculului este egal cu b) Soluţia negativă a ecuaţiei x = 9 este numărul x 3x este egal cu c) Rezultatul calculului ( ) a) După raţionalizarea numitorului, fracţia 4 este egală cu b) În N* soluţia inecuaţiei 3x este numărul c) Probabilitatea ca alegând la întâmplare un număr din mulţimea A = { 1; 1,5; 3} număr iraţional este egală cu 3 Fie un triunghi dreptunghic cu catetele de lungimi 6 cm şi 8 cm a) Lungimea ipotenuzei triunghiului este egală cu cm b) Lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei este egală cu cm c) Lungimea razei cercului circumscris triunghiului este egală cu cm 4 a) Dacă A, B, C sunt puncte situate pe un cerc cu centrul în punctul O, astfel încât ABC = 6 m AOC este egală cu m ( ), atunci ( ) b) Rezultatul calculului ( ) ( ) sin 3 + cos3 este egal cu c) În triunghiul ABC, MN BC ( M AB N AC) Lungimea segmentului ( AC ) este egală cu cm, acesta să fie un,, AM = 1,5 cm, MB = cm, AN = 1,5 cm 1 a) Calculaţi media geometrică a numerelor x = 3 şi y = 7 b) Fie a, b R, astfel încât a b = 3 şi a + b = 3 Calculaţi c) Rezolvaţi în R ecuaţia: ( x x + ) x ( 1 x) = ( x + ) 3( x + 1) a b şi a + b Fie a, b, c N, astfel încât numerele a, b, c sunt direct proporţionale cu 18, 15, 9 şi a b + 5c = 31 a) Calculaţi numerele a, b, şi c b) Calculaţi media aritmetică a numerelor b şi c pentru a = 36 3 a) Desenaţi un dreptunghi ABCD cu AB < BC Într-un dreptunghi ABCD lungimea proiecţiei laturii (AB) pe diagonala (BD) este egală cu 18 cm iar lungimea proiecţiei laturii (AD) pe diagonala (AC) este egală cu 3 cm b) Calculaţi dimensiunile dreptunghiului c) Calculaţi lungimea diagonalei unui pătrat a cărui arie este egală cu aria dreptunghiului ABCD 3

31 Varianta 31 1 a) Rezultatul calculului x ( ) + x este b) Fie numărul 5 1 Efectuând ridicarea la putere se obţine c) Dintre numerele 7 şi 5, mai mare este numărul a) După introducerea factorului sub radical, numărul 6 3 se scrie b) Descompunerea în factori a expresiei x 16 este c) Soluţia pozitivă a ecuaţiei 9x = 1 este numărul real 3 a) În fig1, MP BC, AM = 6 cm, AB = 9 cm, AC =1 cm Lungimea segmentului (PC) este egală cu cm b) Un cerc are aria de 16π cm Raza cercului are lungimea egală cu cm B c) Fie triunghiul ABC, (DE) este linie mijlocie D AB, E AC, perimetrul triunghiului ABC este egal cu 3 cm figura 1 Perimetrul triunghiului ADE este egal cu cm 4 Fie triunghiul dreptunghic ABC, m ( A) ( = 9 ), BC = 13 cm şi AB = 5 cm a) Lungimea catetei (AC) este egală cu cm b) Valoarea tangentei unghiului ACB este c) Fie AC = 1 cm Aria triunghiului dreptunghic ABC este egală cu cm M A P C 1 a) Într-un sistem de axe perpendiculare xoy reprezentaţi punctele A (1, ) şi B (, 4) PB 1 b) Dacă P ( AB) astfel încât =, calculaţi coordonatele punctului P PA 3 a) Calculaţi ( 3 1) b) Demonstraţi că numărul ( ) ( ) a = este natural c) Fie a = şi a 5 3 = b 5 + c Calculaţi numerele întregi b şi c 3 Fie triunghiul dreptunghic ABC, ( A) ( = 9 ) m, AB = x cm, BC = 4x cm, AC = 6 3 cm a) Calculaţi valoarea numărului real x b) Pentru x = 3, calculaţi lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei triunghiului ABC c) Pentru x = 3, calculaţi lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC 31

32 Varianta 3 1 a) Rezultatul calculului 1 3 este numărul natural b) Partea întreagă a numărului 65 este egală cu c) Soluţia ecuaţiei 3 x = 3 este numărul real a) Descompunerea în factori a expresiei x 1 este b) Probabilitatea ca aruncând un zar să apară un număr impar este egală cu c) Fie x + y = 1şi x y = 5 Valoarea numărului real x este egală cu 3 a) Diagonala unui pătrat cu aria de 7 cm are lungimea egală cu cm MA 3 b) Dacă M ( AB) astfel încât = şi AB = 4 cm, atunci MA = cm MB 5 c) Bazele unui trapez au lungimile egale cu 3 cm şi 9 cm Linia mijlocie a trapezului are lungimea egală cu cm 4 a) Ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele de lungimi 5 cm şi 5 3 cm are lungimea egală cu cm b) Lungimea razei cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este de 1 cm Lungimea ipotenuzei triunghiului este egală cu cm m ( A) = 9, cateta (AB) are lungimea egală cu dublul c) Fie triunghiul dreptunghic ABC ( ) lungimii catetei (AC) Valoarea tangentei unghiului ABC este egală cu 1 Fie numerele a = 38 1,69 1 şi b = 4 + 4,8 1 a) Calculaţi numerele a şi b b) Dacă a = 5 şi b = 9, calculaţi raportul dintre media geometrică şi media aritmetică a numerelor a şi b : b) Fie numărul A = x + 4x + 4x, x Z Demonstraţi că A este pătrat perfect c) Rezolvaţi în R ecuaţia 1 ( x 1) = 3( x 1) ( x )( x + 1) a) Calculaţi: ( ) ( ) 3 Triunghiul dreptunghic ABC ( ( A) = 9 ) m este înscris într-un cerc cu centrul în punctul O şi cu raza de 1 cm Măsurile arcelor AB şi AC sunt direct proporţionale cu numerele 1 3 şi 5 3 a) Calculaţi lungimea ipotenuzei b) Calculaţi lungimile catetelor (AB) şi (BC) S BOD c) Fie D punctul diametral opus punctului A Calculaţi valoarea raportului S ACBD 3

33 Varianta 33 1 a) Rezultatul calculului este egal cu b) Descompunerea în factori a expresiei x 4 este x c) Numărul natural x care verifică egalitatea =, este egal cu a) Aproximarea cu două zecimale a numărului 3 este b) Dintre numerele 3 şi 1,7 mai mic este numărul c) Media aritmetică a numerelor a = 3 şi b = 4 3 este egală cu 3 a) Fie triunghiul ABC, BC MN, M ( AB), ( AC) N, AM = cm, AB = 6 cm şi AN = 3cm Lungimea segmentului (AC) este egală cu cm b) Un pătrat are lungimea laturii de cm Lungimea diagonalei este egală cu cm c) Un triunghi echilateral are lungimea laturii egală cu 3 cm Lungimea înălţimii triunghiului este egală cu cm 4 Un triunghi dreptunghic are lungimile catetelor AB = 5 cm şi AC = 1 cm a) Lungimea ipotenuzei (BC) este egală cu cm b) Calculând sin C se obţine c) Înălţimea ( AD) corespunzătoare ipotenuzei, D BC are lungimea cm 1 a) Calculaţi ( ) b) Calculaţi ( ) c) Calculaţi media geometrică a numerelor a = 3 şi b = 7 a) Fie ABCD un dreptunghi având dimensiunile reprezentate prin numere naturale consecutive şi lungimea diagonalei AC = 5 cm Calculaţi dimensiunile dreptunghiului b) Fie triunghiul ABC, dreptunghic în A, AB = 3 cm şi AC = 4 cm Calculaţi lungimile proiecţiilor celor două catete pe ipotenuză c) Arătaţi că x + 6x + 1 > pentru orice x număr real 3 a) Desenaţi un trapez isoscel ABCD este trapez isoscel, AB CD, AB = 6 cm, = m ABC = 6 CD cm şi ( ) b) Calculaţi perimetrul trapezului ABCD c) Fie punctul { P} = AD BC Calculaţi aria triunghiului PCD 33