CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma:

Transcript

1 CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,... (pe fiecare linie avem cu 3 numere mai mult decât pe cea precedentă). Pe ce linie se va găsi numărul 2018? Pe a câta poziție? 2. Dacă se adună cele 99 numere naturale 9, 99, 999,..., }{{}, câte cifre 1 va conține 99 cifre rezultatul? 3. Determinați a, b, c, d, e, f, g, h, i cifre distincte astfel încât: aaa+bbb+ccc = aaa+ddd+eee = fghi. 4. Alin, Bogdan și Cosmin participă la o competiție de tras cu arcul. Fiecare lansează 6 săgeți, și fiecare săgeată nimerește ținta, ca în figura de mai jos. Prima tragere a lui Bogdan valorează 3 puncte, iar Cosmin adună 22 puncte cu primele câteva săgeți. În final, cei trei constată că au toți același număr de puncte. Cine a reușit tragerea de 50 de puncte?

2 Clasa a VI-a 1. Fie mulțimea de numere naturale T = {n N 243 n }. a) Determinați numărul numerelor naturale prime din mulțimea T. b) Arătați că oricum s-ar alege 32 de numere din mulțimea T, există două dintre ele care au un divizor comun prim. Dacă însă se aleg mai puține numere, atunci este posibil ca oricare două dintre ele să fie relativ prime. 2. a) Calculați: b) Arătați că: , , = Fie X, Y, Z trei puncte coliniare cu XY = YZ = 2a, iar U, V, W trei puncte de aceeași parte a dreptei XY, astfel încât triunghiurile XYV și YZW sunt echilaterale, iar U este punctul de intersecție a bisectoarelor unghiurilor XY V și XW V. Determinați măsura unghiului XZU și distanța de la punctul U la dreapta XY. 4. Fie ABC un triunghi, D un punct pe prelungirea laturii AB, cu A (BD) și AD = AC, iar M un punct de pe bisectoarea unghiului CAD. De asemenea, considerăm dreapta δ = AM și mulțimea E = {P PB +PC = AB +AC}. Arătați că: a) MB +MC > AB +AC. b) Mulțimea E este conținută în același semiplan determinat de dreapta δ care conține și punctele B și C. 2

3 Clasa a VII-a 1. Fie a un număr pozitiv și fie A = a+ a. a) Demonstrați că dacă a este întreg pozitiv, atunci A este irațional. b) Dați un exemplu de număr rațional a pentru care A este rațional. c) Demonstrați că există o infinitate de valori raționale ale lui a pentru care A este rațional. 2. Pentru orice număr natural n notăm cu S(n) suma cifrelor sale în baza 10. Spunem că un număr este frumos dacă S(n 2 ) = S(n). Determinați toate valorile posibile ale sumei cifrelor unui număr frumos. 3. Fie U, V și W trei puncte necoliniare, iar O [UV] astfel încât OU = u și OV = v, cu 0 < u < v. Intersecțiile bisectoarelor unghiurilor UOW și V OW cu (UW), respectiv (VW), sunt punctele P, respectiv Q. Punctul R este intersecția dreptelor PQ și UV. Determinați lungimea segmentului [OR]. 4. Fie M punctul de intersecție a diagonalelor trapezului ABCD, cu AD BC și P [BC] astfel încât APM DPM. Arătați că distanța de la C la AP este egală cu distanța de la B la DP. 3

4 Clasa a VIII-a 1. a) Rezolvați ecuația x x = 2. x x b) Determinați numerele naturale nenule n pentru care ecuația x are 2018 soluții pozitive x x x = n n+1 2. Fie VABCD o piramidă în care baza ABCD este dreptunghi. Dacă A și B sunt proiectțiile punctelor A și B pe VC, respectiv VD, ar tați că punctele A, B, C și D sunt conciclice. 3. a) Aflați x R pentru care 2x 3 3x b) Arătați că dacă x, y, z sunt numere reale nenegative care verifică x 2 +y 2 +z 2 3, atunci xy +yz +zx x 3 +y 3 +z 3. c) Arătați că dacă x, y, z sunt numere reale nenegative care verifică x 2 +y 2 +z 2 3, atunci x 3 +y 3 +z 3 x 4 +y 4 +z a) Care este numărul maxim de ture care pot fi așezate pe o tablă de șah astfel ca nicicare două să nu se atace? (O tablă de șah are 8 linii și 8 coloane; spunem că două ture se atacă dacă ele se află pe aceeași linie sau aceeași coloană a tablei și între ele nu mai sunt alte ture.) b) Câte ture se pot plasa pe o tablă de șah astfel încât orice tură să atace exact o altă tură? 4

5 Clasa a IX-a 1. Determinați f : Z Z care verifică 3 f(f(x)) = 7 f(x) 2x, pentru orice x Z. 2. Fie ABCD un trapez (AB CD) și punctele M (BC), N (AD). Arătați că AM CN dacă și numai dacă BN DM. 3. Fie f : R R o funcție care verifică relația: ( ) x+2y f f(x)+2f(y), x, y R. 3 3 Arătați că: ( ) x+y a) f f(x)+f(y), pentru orice x, y R. 2 2 ( ) x+y +z b) f f(x)+f(y)+f(z), pentru orice x, y, z R Trei drepte care trec prin vârfurile A, B, respectiv C ale unui triunghi ABC intersectează a doua oară cercul circumscris acestui triunghi în punctele A 2, B 2, respectiv C 2 și laturile (BC), (CA), (AB) în punctele A 1, B 1, respectiv C 1. Arătați că: AA 2 A 1 A 2 BB 2 B 1 B 2 CC 2 C 1 C

6 Clasa a X-a 1. Calculați sumele: 2017 ( ) 2kπ S 1 = kcos, 2018 k= ( ) 2kπ S 2 = 24+3 k 2 cos k=1 2. Rezolvați ecuația 3 x x = 3 27x+1 log 3 ( 3 x x). 3. a) Arătați că pentru orice n N, n 2, există f : (0, ) (0, ) cu proprietatea că f [n] (x) = x n, x > 0, unde f [1] = f și f [k+1] = f f [k], k N. b) Arătați că pentru orice n N, n 2, există f : R R cu proprietatea că f [n] (x) = x n, x R. c) Studiați dacă există f : C C cu proprietatea că (f f)(z) = z 2, z Z. 4. Fie K = {(α, β, γ) R R R α+β+γ = 1}. Pentru orice triunghi XYZ din plan cu afixele vârfurilor x, y, z C și orice λ = (α, β, γ) K, numim λ-punct al triunghiului XYZ punctul de afix α x+β y +γ z. Fie ABC un triunghi în plan cu centrul de greutate G și λ K fixat. Fie P λ-punctul triunghiului ABC, A 1 AP BC, B 1 BP AC, C 1 CP AB. De asemenea, fie K λ-punctul triunghiului AB 1 C 1, L λ-punctul triunghiului A 1 BC 1 și M λ-punctul triunghiului A 1 B 1 C. Arătați că: a) Dreptele AK, BL și CM sunt concurente într-un punct Q, coliniar cu P și G, cu #» PQ = 3 GQ. #» b) Dacă G 1 este centrul de greutate al triunghiului A 1 B 1 C 1, iar G 2 centrul de greutate al triunghiului KLM, atunci G 1 este mijlocul segmentului [PG 2 ]. 6

7 Clasa a XI-a 1. Fie (x n ) n N un șir de numere reale astfel încât lim (x n+1 x n ) = 1 n e. Studiați convergența șirului ({x n }) n N, unde prin a am notat partea fracționară a numărului real a. 2. Există matrice A, B M 2018 (R) astfel încât A 2 + B 2 = AB și det(ab BA) 0? Justificați răspunsul. 3. Fie A, B M n (R) astfel încât AA T = BB T = I n și Tr(AB T ) = n. Arătați că A n = B n. 4. Determinați toate funcțiile continue f : [0, ) R cu f(0) = 1 și (f(x)) k = f(x k), k N, x 0. 7

8 Clasa a XII-a 1. Fie (G, ) un grup, iar H o mulțime arbitrară cu proprietatea că există o funcție bijectivă f : G H. Demonstrați că există o unică lege de compoziție, notată, pe mulțimea H astfel încât (H, ) să fie un grup și f să fie un izomorfism de grupuri. 2. a) Demonstrați că mulțimile A = {a+b 2 a, b Z} și B = {c+d 3 c, d Z}, împreună cu operațiile de adunare și de înmulțire ale numerelor reale, sunt inele. b) Arătați că inelele A și B nu sunt izomorfe. 3. Se consideră funcția f : [0, 2π] R, f(x) = 1 2+cosx. a) Arătați că f admite primitive și că orice primitivă F a lui f este strict crescătoare. b) Calculați 4. Arătați că x 0 2π 0 f(x)dx. sint dt > 0, pentru orice x [0, 2π]. 1+t 8