Izmjenični strujni krugovi
|
|
|
- Αργυρός Αλεξίου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 TEHNIČKI FAKUTET SVEUČII IIŠTA U IJEI Zavod za elektroenergetiku Studij: Preddiplomski stručni studij elektrotehnike Kolegij: Osnove elektrotehnike II Nosioc kolegija: v pred mr sc Branka Dobraš Izmjenični strujni krugovi Izmjenične ne sinusoidalne veličine ine Str: 2 Analiza i sinteza mreža a u izmjeničnim nim strujnim krugovima složenija je od analize istosmjernih strujnih krugova budući i da se na sve poznato iz istosmjernih strujnih krugova: dodaje još i dimenzija vremena, dodaju novi (osnovni) elementi koji se mogu pojaviti u strujnom krugu: kapacitet i induktivitet Navedeni faktori čine analize pojava u izmjeničnim nim strujnim krugovima vrlo kompleksnom i zahtijevaju korištenje relativno složenog matematičkog aparata S druge strane, zbog matematičke kompleksnosti vrlo je teško pratiti fizikalne pojave
2 Izmjenične ne sinusoidalne veličine ine Sinusiodalne veličine ine predstavljaju specijalan slučaj izmjeničnih nih veličina ina Njihovim korištenjem postiže e se: jednostavniji opis strujno-naponskih naponskih prilika baza za sve složenije slučajeve, tj nesinusiodalne veličine ine (može e se pokazati da se nesinusoidalne veličine ine mogu prikazati uz pomoć sinusoidalnih putem Fourierove analize) Također,, električna mreža a kojom se distribuira el energija ima ovakav karakter Str: 3 Izmjenične ne sinusoidalne veličine ine Osnovne karakteristike: sinusiodalni oblik oblik: oblik - sve veličine ine (struja i napon) imaju isti 2 π ai () t = Ai sin t + ϕi T period ponavljanja - veličine ine se periodički ponavljaju, pa je dovoljno analizirati samo pojave u toku jedne periode Također,, period ponavljanja zajednički je za sve veličine ine a i () t = a ( t + k T ) i Str: 4
3 Izmjenične ne sinusoidalne veličine ine Primjer: u, i A A 2 a (t) T t a 2 (t) Str: 5 Izmjenične ne sinusoidalne veličine ine Osnovne karakteristike - AMPITUDA: maksimalna vrijednost koju sinusoidalna veličina ina može poprimiti u, i A A 2 t Str: 6
4 Izmjenične ne sinusoidalne veličine ine Osnovne karakteristike - FEKVENIJA: veličina ina vezana za period ponavljanja i označava ava broj ponavljanja (perioda) u jednoj sekundi Veza V između perioda i frekvencije je: u, i f = T s ili [ Hz] T 2 T >T 2 t Str: 7 T f < f 2 Izmjenične ne sinusoidalne veličine ine Osnovne karakteristike - FAZA: veličina ina koja kazuje koliko je određena sinusoidalna veličina ina pomaknuta u odnosu na drugu veličinu inu (pomak u fazi, Δϕ), odnosno u odnosu na referentnu vrijednost (početni fazni kut, u, i ϕ) Δϕ ϕ >0 ϕ 2 <0 Δϕ = ϕ -ϕ 2 ϕ t Str: 8 ϕ 2
5 Izmjenične ne sinusoidalne veličine ine Osnovne karakteristike i međusobni odnosi: dvije izmjenične ne sinusoidalne veličine ine imaju jednaku jakost ako su im amplitude jednake, dvije izmjenične ne sinusoidalne veličine ine imaju jednaku frekvenciju ako su im periodi ponavljanja jednaki, dvije izmjenične ne sinusoidalne veličine ine se poklapaju u fazi ako imaju jednake početne fazne kuteve i jednaku frekvenciju, dvije izmjenične ne sinusoidalne veličine ine su jednake ako su im jednake amplitude, frekvencija i početni fazni kut Str: 9 Izmjenične ne sinusoidalne veličine ine Primjer izvora izmjeničnog nog sinusoidalnog napona: N e T t 4 r e( t) B l v ( ( B v ) S = sin α r, Str: 0 U M = B l v π α = 2 t T
6 Kompleksni račun i vektorska analiza ačunanje s veličinama inama u vremenskoj domeni vrlo je komplicirano Uzmimo samo primjer zbrajanja dvije sinusoidalne veličine: ine: a a 2 ( t) = A sin( ω t + ϕ) () t = A sin( ω t + ϕ ) a 2 () t = a () t + a () t 2 2 Str: Već i za najjednostavnije primjere (jednake amplitude, različite ite faze) vidljivo je da stvar vrlo brzo postaje presložena ena za jednostavno računanje Kompleksni račun i vektorska analiza Str: 2 Ovo je samo primjer zbrajanja (oduzimanja) Još veći i problem mogu predstavljati množenje i dijeljenje Postavlja se pitanje da li se nekom odgovarajućom om transformacijom ti izračuni mogu pojednostavniti, budući i da je frekvencija zajednička ješenje enje preslikavanje u kompleksno područje i korištenje vektorske analize Osnovna ideja ovog postupka je riješiti iti se varijable vremena t, a to je moguće e budući i da je riječ o periodički promjenljivim veličinama inama
7 Kompleksni račun i vektorska analiza Dodatno, preslikavanjem problema u kompleksno područje, pored izostavljanja dimenzije vremena, izbjegava se i rješavanje sustava dif jednadžbi t u(t)=f(u, t, ϕ) sustav dif jedn u(t)=f(u, t, j) U = U 2 U = 2 U cplx u=f(u, ϕ) cplx u=f(u, ϕ) Str: 3 Kompleksni račun i vektorska analiza Ovo vrijedi SAMO za SINUSODANE VEIČINE INE!!! Postupak preslikavanja temelji se na sljedećem: em: izraz za izmjeničnu nu veličinu inu (npr( npr napon): može e se prikazati i kao: { MAX } j( ω + t ϕ) ( ω ϕ) Im U sin t+ = U e MAX () t = U ( ω t +ϕ ) u MAX sin a to se može e promatrati kao projekcija vektora, koji rotira odgovarajućom om brzinom oko hvatišta ta koje se nalazi u ishodištu kooridnatnog sustava, na y os Str: 4
8 Kompleksni račun i vektorska analiza Pri tome vrijedi: ω je kutna brzina kojom vektor rotira oko hvatišta, ta, U MAX je amplituda vektora Im Kako bi se računalo s efektivnim vrijednostima ta se amplituda dijeli još s faktorom 2 ω t U=U MAX / 2 ϕ e Ovi se vektori još nazivaju i fazorima Str: 5 Obično se označavaju avaju s točkom umjesto strelice (na vrhu): & U, I & Kompleksni račun i vektorska analiza Budući i da su vektori (fazori( fazori) ) dvodimenzionalne veličine ine one se opisuju na odgovarajući i način: uz pomoć kompleksnih brojeva Konačno, no, budući i da su sve veličine ine periodički promjenjive, s istim periodom ponavljanja T moguće e je iz čitavog problema izbaciti dimenziju vremena To se može e tumačiti kao zamrzavanje slike u jednom vremenskom trenutku Nakon završenih proračuna u cplx domeni, problem se može e vrlo lagano prebaciti natrag u vremensku domenu obrnutim postupkom Str: 6
9 Kompleksni račun i vektorska analiza Postupak prebacivanja iz vremenske domene u cplx domenu (polarni oblik): amplituda se dijeli s korijenom broja 2 faza se prepisuje,, a vrijeme se izbacuje u MAX () t = U sin( ω t + ϕ ) U& = ϕ MAX Postupak prebacivanja iz cplx domene (polarni oblik) u vremensku domenu: amplituda se množi i s korijenom broja 2 faza se prepisuje,, a vrijeme se vraća U 2 Str: 7 U& () t = U 2 sin( ω ϕ ) = U ϕ u t + Kompleksni račun i vektorska analiza Veza između polarnog oblika i poznatog (Kartezijev) oblika kompleksnih brojeva A± jb*: Im (j) U& = A+ jb U& = U ϕ A= U cos B = U sin ( ϕ) ( ϕ) Str: 8 U ϕ A jb e odnosno 2 2 U = A + B B ϕ = arctg A * zbog korištenja slova i za označavanje struje, oznaka za kompleksni broj je j
10 Kompleksni račun i vektorska analiza ačunske operacije s kompleksnim brojevima: Im (j) U& = A+ jb U& = U ϕ A= U cos B = U sin ( ϕ) ( ϕ) Str: 9 U ϕ A jb e odnosno 2 2 U = A + B B ϕ = arctg A * zbog korištenja slova i za označavanje struje, oznaka za kompleksni broj je j Kompleksni račun i vektorska analiza Str: 20 Konačno, no, prednosti vektorske analize u izmjeničnom nom strujnom krugu: Budući i da se radi o periodičkim veličinama inama moguće e je izbaciti dimenziju vremena iz proračuna To vodi na puno jednostavniji matematički aparat; izbjegava se rješavanje diferencijalnih jednadžbi (vidjeti kasnije primjere) Proračun je PAKTIČKI KI IDENTIČAN onom u istosmjernom strunom krugu; treba samo paziti da se radi o kompleksnim brojevima te računati s realnim i imaginarnim vrijednostima (umjesto računanja s realnim brojevima kod D krugova) Zadržava ava se preglednost fizikalne slike problema iz D krugova Najjednostavniji problemi mogu se riješiti iti puno brže e uz pomoć vektorskih dijagrama i trigonometrijskih odnosa
11 Elementi u strujnim krugovima Str: 2 Analogno istosmjernim strujnim krugovima, i izmjenični strujni krugovi se sastoje od izvora i potrošača a (aktivnih( i pasivnih elemenata),, međusobno m povezanih vodičima ima Vodovi koji povezuju elemente u pravilu ne utječu u na strujno-naponske naponske prilike U strujnom se krugu također mogu naći i i mjerni elementi: ampermetar, voltmetar, wattmetar,, Ti mjerni elementi prilagođeni su za mjerenje veličina ina izmjeničnog nog karaktera Izvori električne energije Analogno istosmjernim krugovima i ovdje postoje dvije osnovne kategorije izvora: strujni izvori naponski izvori Strujni izvori predstavljaju električne elemente koji daju u strujni krug struju sinusoidalnog karaktera, neovisno o ostalim prilikama u strujnom krugu Simbol za strujni izvor I + Str: 22
12 Izvori električne energije Naponski izvori predstavljaju električne elemente koji daju na svojim stezaljkama sinusoidalni napon, neovis- no o ostalim prilikama u strujnom krugu Simbol za naponski izvor E + Str: 23 Primjer izmjeničnih nih naponskih izvora - razne vrste generatora izmjeničnog nog napona: rotirajuća a petlja u magnetskom polju utičnica u stanu/kući Potrošači i električne energije Str: 24 Potrošači i u izmjeničnim nim strujnim krugovima predstavljaju razne vrste otpora Za razliku od istosmjernih strujnih krugova ti otpori mogu imati čisti otporni karakter (radni otpor), ali i kapacitivni i induktivni karakter Svi ti otpori u izmjeničnim nim strujnim krugovima nazivaju se jednim zajedničkim imenom: EEKTIČNA IMPEDANIJA (skraćeno: impedancija) Jedinica je također Ohm (Ω) Kao i struja i napon, električna impedancija se u kompleksnom računu prikazuje također kao kompleksni broj
13 Potrošači i električne energije Iako se najčešće e koriste simboli za pojedine elemente koji čine impedanciju, simbol za impedanciju je: Ż Analogno vezi otpora i vodljivosti u istosmjernom strujnom krugu, postoji i veza i između impedancije i ADMITANIJE: Y& = Z& Str: 25 Primjer potrošača a u izmjeničnom nom strujnom krugu: grijač (bojler, peć), elektromotor, Potrošači - radni otpor Klasični otpori koji primljenu električnu energiju pretvaraju (najčešće) e) u toplinu Budući i da se trenutna vrijednot u trenutku t može promatrati kao istosmjerna veličina, ina, na temelju Ohmovog zakona za istosmjerni strujni krug može e se napisati izraz: ( ) ( ) u t = i t Str: 26 Budući i da je vrijednost otpora konstanta, iz ovog izraza je vidljivo da će e napon i struja na otporu imati isti oblik (početnu fazu i frekvenciju)
14 Potrošači - radni otpor Valni oblici napona i struje na otporu su stoga sljedeći: u, i u(t)=u sin(ω t) i(t)=i sin(ω t) t Str: 27 Potrošači - radni otpor U kompleksnoj domeni to znači: U & = I & Odgovarajući i vektorski dijagram koji to opisuje: Str: 28 Im = I I & U & ϕu = ϕ I ΔϕUI = 0 e Struja i napon su U FAZI U
15 Potrošači - kapacitivni otpor Str: 29 Kapaciteti (kondenzatori) Primljenu el energiju skladište u obliku električnog polja (i u stanju su je predati natrag krugu) Iz poznavanja odnosa kapaciteta, napona i naboja, te naboja i struje može e se dobiti sljedeći i izraz koji povezuje napon i struju na kapacitetu: () t du i () t = dt Detaljnijom analizom može e se pokazati da će e napon i struja na kapacitetu imati istu frekvenciju, ali da će struja prethoditi naponu za četvrtinu periode Potrošači - kapacitivni otpor Valni oblici napona i struje na kapacitetu (kondenzato( kondenzato- ru) ) su stoga sljedeći: u, i i(t)=i sin(ω t) t Str: 30 u(t)=u sin(ω t-90 )
16 Potrošači - kapacitivni otpor U kompleksnoj domeni to znači: U & = I & ( jx ) Str: 3 Izraz -jx ima dimenziju otpora te vrijedi da je: Z & = jx [ Ω] Izraz za računanje vrijednosti kapacitivnog otpora: X = ω X = 2 π f Potrošači - kapacitivni otpor Odgovarajući i vektorski dijagram koji to opisuje: Im U & I & U I ΔϕUI = 90 e ϕ U = I = ϕ X 90 Struja prethodi naponu za 90 Str: 32 Budući i da kapacitet skladišti el energiju, on spada u kategoriju tzv reaktivnih elemenata
17 Potrošači - induktivni otpor Induktiviteti (zavojnice) Primljenu el energiju skladište u obliku magnetskog polja (i u stanju su je predati natrag krugu) Iz elektromagnetizma poznat je odnos napona i struje na zavojnici (induktivitetu( induktivitetu): u () t = di dt () t Str: 33 Iz ovog se izraza može e pokazati (uz odgovarajuću analizu) da struja i napon na induktivitetu imaju jednaku frekvenciju, ali da struja kasni u fazi za naponom za četvrtinu periode Potrošači - induktivni otpor Valni oblici napona i struje na induktivitetu (zavojnici) su stoga sljedeći: u, i i(t)=i sin(ω t) t Str: 34 u(t)=u sin(ω t+90 )
18 Potrošači - induktivni otpor U kompleksnoj domeni to znači: U & = I & jx Izraz jx ima dimenziju otpora te vrijedi da je: Z & = jx X X = ω [ Ω] Izraz za računanje vrijednosti induktivnog otpora: = 2 π f Str: 35 Potrošači - induktivni otpor Odgovarajući i vektorski dijagram koji to opisuje: Im U & I & Δϕ = 90 ϕ U U = I = ϕ UI I + 90 e Napon prethodi struji za 90 Str: 36 Budući i da induktivitet skladišti el energiju, on također spada u kategoriju reaktivnih elemenata
19 Potrošači - usporedba adni otpor & I& U = Z& = ( 0 ) Im (j) I İ U e Kapacitet & I& U = jx Z = - jx = ( X 90 ) jω U Im (-j) e Str: 37 Induktivitet I& = U& jx Z& = jx = jω ( X 90 ) U Im (j) İ e Potrošači - frekvencijske karakteristike Ovisnost impedancije o frekvenciji: radni otpor: Z=konst kapacitivni otpor: Z pada obrnuto prop porastu frekvencije induktivni otpor: Z raste linearno s frekvencijom Z X X Str: 38 f
20 Osnovni zakoni Str: 39 Osnovni zakoni koji vrijede u istosmjernim strujnim krugovima vrijede i u izmjeničnim nim strujnim krugovima Pri tome treba još dodati i komponentu vremena Korištenjem kompleksnog računa ta je sličnost izrazito velika; samo treba uzeti u obzir dvodimenzionalnost veličina ina i uračunati unati i realnu i imaginarnu komponentu Gledano s tog aspekta može e se reći i da istosmjerni krugovi predstavljaju specijalan slučaj (realni dio) Ti zakoni jesu: Ohmov zakon I Kirchhoffov zakon II Kirchhoffov zakon Ohmov zakon Stoga se Ohmov zakon za izmjenične ne strujne krugove može e pisati kao: U& I& = Z& Z ima dimenziju otpora i predstavlja impedanciju elementa I ponovno pri tome treba obratiti pažnju na polaritet* pada napona: I Z Z Str: 40 + U Z * ovdje se polaritet promatra u kontekstu faznog pomaka
21 Ohmov zakon (2) Za razliku od istosmjernih strujnih krugova, budući i da se barata s kompleksnim vrijednostima, u izmjeničnim nim strujnim krugovima može e doći i do pomaka u fazi između napona i struja (vidi: kapacitet i induktivitet) Uzevši i u obzir sve navedeno, može e se reći i da Ohmov zakon za istosmjerni strujni krug predstavlja specijalan slučaj, gdje su sve veličine ine realne (nalaze se na realnoj osi u vektorskom dijagramu) Pri tome + ili - polaritet zapravo predstavlja pomak u fazi za 80 Str: 4 I Kirchhoffov zakon Ako se izmjenični strujni krug promatra u diskretnm vremenskim trenucima, može e se reći i da će, na temelju poznatog iz istosmjernih krugova, u svakom od tih trenutaka vrijediti I Kirchhoffov zakon Uz uvažavanje avanje navedenog, može e se reći i da će suma svih struja koje ulaze u točku/ ku/čvor strujnog kruga u svakom trenutku biti jednaka nuli n i= () = 0 i i t Str: 42 Međutim,, zbog jednostavnosti proračuna čitava se problematika prebacuje u kompleksnu domenu
22 I Kirchhoffov zakon (2) U kompleksnoj domeni za I Kirchhoffov zakon se može iskazati ta ista tvrdnja: I KZ zakon vrijedi i u izmjeničnom nom strujnom krugu, samo treba uzeti u obzir karakter veličina ina s kojima se barata I Kirchhoffov zakon za izmjenični strujni krug u kom- pleksnom obliku stoga glasi: Vektorska suma svih struja koje ulaze u točku/ ku/čvor strujnog kruga jednaka je nuli n i= I & i = 0 Str: 43 Struje koje ulaze i izlaze iz čvora se međusobno uzima- ju s pomakom u fazi za 80 (suprotni predznak) I Kirchhoffov zakon (3) Primjer: I I 2 I 3 I& I& I& 2 3 = e = e = e { I& } + j Im{ I& } = Ie + jiim { I& 2} + j Im{ I& 2} = I 2e + ji { I& 3} + j Im{ I& 3} = I3e + ji3im 2Im Str: 44 n i= I & i = 0 I & & & I 2 I3 = 0 I I e Im I I 2e 2Im I I 3e 3Im = 0 = 0
23 I Kirchhoffov zakon (4) Primjer (nastavak): I I 2 I 3 n i= I & i = 0 Im Im I & 3 I & 3 Str: 45 I & 2 I & e I & I & 2 e II Kirchhoffov zakon Ponovno se ista priča ponavlja i za II Kirchhoffov zakon II Kirchhoffov zakon za izmjenični strujni krug stoga glasi: Suma padova napona u zatvorenom strujnom krugu (petlji, konturi) u svakom trenutku jednaka je nuli n i= () = 0 u i t Str: 46 Pri tome treba ponovo paziti da se ponovno sve radi s kompleksnim vrijednostima te da treba računati i s realnim i s imaginarnim brojevima: n i= U & i = 0
24 II Kirchhoffov zakon (2) I ovdje treba paziti na međusobne polaritete Primjer: I c I d Str: 47 I a I b U 2 + I U + I + U 3 I 3 + A I e II Kirchhoffov zakon (3) Primjer (nastavak): Ic I d U& U & i = 0 i ( U& ) + ( U& ) + ( U& ) + U& U& U& 2 2 U& + U& 3 + U& + U& 3 + U& = 0 = 0 Str: 48 I a I b U 2 + I U + U 3 I 3 A U & + + I I e & ( jx ) U& I& + U& + I& ( jx ) 0 I =
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Analiza izmjeničnih nih krugova/mreža
Analiza izmjeničnih nih krugova/mreža Str: 49 Postupak analize izmjeničnih nih strujnih krugova i mreža praktički ki je potpuno analogan postupcima koji se koriste kod istosmjernih strujnih krugova Treba
Periodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Snaga izmjenične sinusne struje
1 11 1 13 14 15 16 17 18 r t h Snaga izmjenične sinusne struje n e Izmjenična sinusna struja i napon Djelatna snaga Induktivna jalova snaga Kapacitivna jalova snaga Snaga serijskog RLC spoja Snaga paralelnog
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Pozitivna poluperioda Negativna poluperioda. Period. Osnovni pojmovi o naizmjeničnim veličinama
Osnovni pojmovi o naizmjeničnim veličinama U praktičnoj primjeni, dominantni značaj imaju električne struje i naponi čije se karakteristične veličine periodično mjenjaju po sinusoidalnom zakonu Električni
Snage u kolima naizmjenične struje
Snage u kolima naizmjenične struje U naizmjeničnim kolima struje i naponi su vremenski promjenljive veličine pa će i snaga koja se isporučuje potrošaču biti vremenski promjenljiva Ta snaga naziva se trenutna
Klizni otpornik. Ampermetar. Slika 2.1 Jednostavni strujni krug
1. LMNT STOSMJNOG STJNOG KGA Jednostavan strujni krug (Slika 1.1) sastoji se od sljedećih elemenata: 1 Trošilo Aktivni elementi naponski i strujni izvori Pasivni elementi trošilo (u istosmjernom strujnom
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Trofazni sustav. Uvodni pojmovi. Uvodni pojmovi. Uvodni pojmovi
tranica: X - 1 tranica: X - 2 rofazni sustav inijski i fazni naponi i struje poj zvijezda poj trokut imetrično i nesimetrično opterećenje naga trofaznog sustava Uvodni pojmovi rofazni sustav napajanja
OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić
OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti
FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI
SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Elektrodinamika ( ) ELEKTRODINAMIKA Q t l R = ρ R R R R = W = U I t P = U I
Elektrodinamika ELEKTRODINAMIKA Jakost električnog struje I definiramo kao količinu naboja Q koja u vremenu t prođe kroz presjek vodiča: Q I = t Gustoća struje J je omjer jakosti struje I i površine presjeka
nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
AKTIVNI I REAKTIVNI OTPORI U KOLU NAIZMJENIČNE STRUJE
MJEŠOVITA SREDNJA TEHNIČKA ŠKOLA TRAVNIK AKTIVNI I REAKTIVNI OTPORI U KOLU NAIZMJENIČNE STRUJE Električna kola Profesor: mr. Selmir Gajip, dipl. ing. el. Travnik, februar 2014. Osnovni pojmovi- naizmjenična
Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Kola u ustaljenom prostoperiodičnom režimu
Kola u ustalenom prostoperiodičnom režimu svi naponi i sve strue u kolu su prostoperiodične (sinusoidalne ili kosinusoidalne funkcie vremena sa istom kružnom učestanošću i u opštem slučau različitim fazama
UVOD U VJEŽBE IZ PODRUČJA ELEKTRIČNIH STRUJNIH KRUGOVA
1 Mr. sc. Draga Kpan-Lisica, viši pred. UVOD U VJEŽBE IZ PODRUČJA ELEKTRIČNIH STRUJNIH KRUGOVA Pojmovi i definicije: Električna struja, električni potencijal i električni napon; Električni strujni krug;
Metode rješavanja električnih strujnih krugova
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Metode rješavanja električnih strujnih krugova snovni pojmovi rana električne mreže (g) dio mreže
ELEKTROMOTORNI POGONI - AUDITORNE VJEŽBE
veučilište u ijeci TEHNIČKI FAKULTET veučilišni preddiplomki tudij elektrotehnike ELEKTOOTONI OGONI - AUDITONE VJEŽBE Ainkroni motor Ainkroni motor inkrona obodna brzina inkrona brzina okretanja Odno n
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja
Ovisnost ustaljenih stanja uzlaznog pretvarača 16V/0,16A o sklopnoj frekvenciji
Ovisnost ustaljenih stanja uzlaznog pretvarača 16V/0,16A o sklopnoj frekvenciji Električna shema temeljnog spoja Električna shema fizički realiziranog uzlaznog pretvarača +E L E p V 2 P 2 3 4 6 2 1 1 10
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Vježba 081. ako zavojnicom teče struja jakosti 5 A? A. Rezultat: m
Zadatak 8 (Marija, medicinska škola) Kolika je jakost magnetskog polja u unutrašnjosti zavojnice od 5 zavoja, dugačke 5 cm, ako zavojnicom teče struja jakosti A? ješenje 8 N = 5, l = 5 cm =.5 m, = A, H
MAGNETNO SPREGNUTA KOLA
MAGNETNO SPEGNTA KOA Zadatak broj. Parametri mreže predstavljene na slici su otpornost otpornika, induktivitet zavojnica, te koeficijent manetne spree zavojnica k. Ako je na krajeve mreže -' priključen
Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ
Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
='5$9.2 STRUJNI IZVOR
. STJN KGOV MŽ.. Strujni krug... zvori Skup elektrotehničkih elemenata koji su preko električnih vodiča međusobno spojeni naziva se električna mreža ili elektrotehnički sklop. električnoj mreži, kada su
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Prikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.
Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =
Fazne i linijske veličine Trokut i zvijezda spoj Snaga trofaznog sustava
7 TROFAZNI SUSTA Fazne i linijske veličine Trokut i zvijezda soj Snaga troaznog sustava Fourierova analiza 7.1. Troazni sustav Elektrorivredne tvrtke koriste troazne krugove za generiranje, rijenos i razdiobu
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Priprema za državnu maturu
Priprema za državnu maturu E L E K T R I Č N A S T R U J A 1. Poprečnim presjekom vodiča za 0,1 s proteče 3,125 10¹⁴ elektrona. Kolika je jakost struje koja teče vodičem? A. 0,5 ma B. 5 ma C. 0,5 A D.
Prostorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
![Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.](/thumbs/72/66829778.jpg "Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.")
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
ELEKTROTEHNIKA 6. TROFAZNI SUSTAV IZMJENIČNE STRUJE. Izv.prof. dr.sc. Vitomir Komen, dipl.ing. el.
EEKTROTEHNKA 6. TROAZN SSTAV ZMJENČNE STRJE zv.prof. dr.sc. Vitomir Komen, dipl.ing. el. EEKTROTEHNKA :: 6. Trofazni sustav izmjenične struje 1/4 SADRŽAJ: 6.1 vod u trofazni sustav izmjenične struje 6.
Pitanja iz izmjenične struje i titranja
Pitanja iz izmjenične struje i titranja 1. Objasni inducirani napon na krajevima ravnog vodiča. 2. Kada će se u vodiču koji se nalazi u magnetskom polju inducirati napon? 3. Što je elektromagnetska indukcija?
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Elektronički Elementi i Sklopovi
Sadržaj predavanja: 1. Strujna zrcala pomoću BJT tranzistora 2. Strujni izvori sa BJT tranzistorima 3. Tranzistor kao sklopka 4. Stabilizacija radne točke 5. Praktični sklopovi s tranzistorima Strujno
Trofazno trošilo je simetrično ako su impedanse u sve tri faze međusobno potpuno jednake, tj. ako su istog karaktera i imaju isti modul.
Zadaci uz predavanja iz EK 500 god Zadatak Trofazno trošilo spojeno je u zvijezdu i priključeno na trofaznu simetričnu mrežu napona direktnog redoslijeda faza Pokazivanja sva tri idealna ampermetra priključena
ISTOSMJERNE STRUJE 3 ANALIZA LINEARNIH ELEKTRIČNIH MREŽA
STOSMJN STUJ ANALZA LNANH LKTČNH MŽA Saržaj preavanja. Uvo. zravna primjena Kirchhoffovih zakona. Metoa napona čvorova. Metoa konturnih struja 5. Metoa superpozicije. Theveninov teorem. Nortonov teorem
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Zadatke trebate rjesiti potpuno samostalno. Tek ako nesto "zapne" odnosno za kontrolu rezultata koristite ove upute.
1 OE 11/12 Zadaci za pripremu III. ciklusa laboratorijskih vjezbi PTA ZA RJESAVANJE Zadatke trebate rjesiti potpuno samostalno. Tek ako nesto "zapne" odnosno za kontrolu rezultata koristite ove upute.
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Fakultet prometnih znanosti Sveučilište u Zagrebu IZMJENIČNE STRUJE I ELEKTROTEHNIKA
Fakultet proetnih znanosti Sveučilište u agrebu MJENČNE SRJE ELEKROEHNKA MJENČNE SRJE zjenične struje su vreenski projenljive struje kojia se pored jakosti ijenja i sjer strujanja naboja. renutna vrijednost
Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa
Tranzistori s efektom polja Spoj zajedničkog uvoda U ovoj vježbi ispitujemo pojačanje signala uz pomoć FET-a u spoju zajedničkog uvoda. Shema pokusa Postupak Popis spojeva 1. Spojite pokusni uređaj na