1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ"

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι το: Ν { 0,,,,,... } Επίσης, το σύνολο των φυσικών αριθμών και των αρνητικών που προκύπτουν από τους φυσικούς, όταν βάλουμε μπροστά το πρόσημο, λέγεται σύνολο των ακεραίων αριθμών. Δηλαδή, το σύνολο των ακεραίων αριθμών είναι: Ζ {...,,,, 0,,,,... }. Όλοι οι φυσικοί, τα κλάσματα και οι δεκαδικοί, μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς, σχηματίζουν το σύνολο των ρητών αριθμών. Δηλαδή, έχουμε ότι: Q { y x, όπου x είναι ακέραιος, y είναι ακέραιος εκτός από το 0} Κάθε αριθμό που δεν είναι ρητός τον ονομάζουμε άρρητο αριθμό. Το σύνολο που αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς ονομάζεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών το παριστάνουμε με τα σημεία ενός άξονα, όπως φαίνεται παρακάτω: Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με α και είναι ίση με την απόσταση του σημείου, που παριστάνει τον αριθμό α, από την αρχή του άξονα. Για παράδειγμα, -,, 0 0, -

2 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Πρόσθεση Ομόσημοι: Προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές και πρόσημο βάζουμε το ίδιο. Έτσι έχουμε π. χ.: (+) + (+) +0 και ( ) + ( ) 9 Ετερόσημοι: Αφαιρούμε από τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή τη μικρότερη και πρόσημο βάζουμε το πρόσημο του αριθμού που έχει τη μεγαλύτερη α- πόλυτη τιμή. Έτσι έχουμε π.χ.: ( 9) + (+) και (+8) + ( ) +. Ιδιότητες Αν α, β, γ πραγματικοί αριθμοί, τότε: α + β β + α αντιμεταθετική α + (β + γ) (α + β) + γ προσεταιριστική α + 0 α ουδέτερο στοιχείο το 0 Σχόλια: α + (-α) 0 το άθροισμα αντιθέτων είναι 0 Η αντιμεταθετική ιδιότητα ουσιαστικά μας λέει ότι μπορούμε σ ένα ά- θροισμα να εναλλάσσουμε τη θέση των προσθετέων, ενώ η προσεταιριστική μας λέει ότι μπορούμε να τους προσθέσουμε με όποια σειρά θέλουμε. Όταν στη διάρκεια των πράξεων συναντάμε άρρητους, τους αντικαθιστούμε με τις ρητές προσεγγίσεις τους. Πολλαπλασιασμός Ομόσημοι: Πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές και βάζουμε θετικό πρόσημο. Έτσι έχουμε π.χ.: (+) (+7) + και ( 7) ( ) + Ετερόσημοι: Πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές και βάζουμε αρνητικό πρόσημο. Έτσι έχουμε π.χ.: Ιδιότητες (+) ( ) 0 και ( 7) (+) 8. Αν α, β, γ πραγματικοί αριθμοί, τότε:

3 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ α.β β. α αντιμεταθετική α.(β.γ) (α.β).γ προσεταιριστική α. α ουδέτερο στοιχείο το α. 0 0 το 0 απορροφητικό στοιχείο α., α 0 γινόμενο αντιστρόφων ίσον α α (β ± γ) αβ ± αγ επιμεριστική (α + β).(γ + δ) α. γ + α.δ + β.γ + β.δ επιμεριστική Αφαίρεση Η πράξη της αφαίρεσης γίνεται με την βοήθεια της πρόσθεσης. Δηλαδή αν θέλουμε να αφαιρέσουμε έναν πραγματικό αριθμό από έναν άλλο, τότε προσθέτουμε στον μειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου. Δηλαδή: α - β α + (-β) Για παράδειγμα είναι: ( 7) ( ) ( 7) + (+) και (+8) (+) (+8) + ( ) + Διαίρεση Η πράξη της διαίρεσης γίνεται με την βοήθεια του πολλαπλασιασμού. Δηλαδή αν θέλουμε να διαιρέσουμε έναν πραγματικό αριθμό με έναν άλλο, τότε πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. Δηλαδή: α α :β α., β 0 β β Για παράδειγμα είναι: ( ) : (- ) (- ). - και (- 7).( - ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Όταν έχουμε αθροίσματα με περισσότερους από δύο όρους τότε: Πρόσθεση: Προσθέτουμε τους όρους ανά δύο αρχίζοντας από αριστερά. Για παράδειγμα είναι: ( 7) + (+) ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + (+) + ( ) (+) + ( ) Προσθέτουμε πρώτα όλους τους θετικούς όρους και μετά τους αρνητικούς οπότε στο τέλος προκύπτει μια πρόσθεση δύο ετεροσήμων όρων. Για παράδειγμα είναι: ( 7) + (+) ( ) + ( ) ( 7) + (+) + (+) + ( )

4 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ (+) + (+) + ( ) ( ) (+0) + (-) - θετικοι αρνητικοι ( 7) + (+) ( ) + ( ) ( 7) + (+) + (+) + ( ) ( 7) + (+) - Πολλαπλασιασμός: Μετράμε το πλήθος των αρνητικών παραγόντων. Αν το πλήθος είναι άρτιος αριθμός, τότε βάζουμε πρόσημο θετικό. Αν το πλήθος είναι περιττός αριθμός, τότε βάζουμε πρόσημο αρνητικό. Ως αριθμητική τιμή του αποτελέσματος τοποθετούμε τον αριθμό που προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τις απόλυτες τιμές όλων των παραγόντων. Για παράδειγμα είναι: (+,) ( ) (,) (,) 7,7. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα σημειώνοντας Χ στην κατάλληλη θέση. - 0, - 0,8, π 7 Ακέραιος Χ Χ Χ Ρητός Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Άρρητος Χ Χ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Το 0, είναι ρητός γιατί x 0, 0x, αν από την δεύτερη αφαιρέσουμε την πρώτη ισότητα έχουμε 0x - x 9x οπότε είναι 8 x. To -0, 8 είναι ρητός γιατί - 0,8 -. Το 9 0 επομένως είναι ακέραιος. Το, είναι ρητός γιατί,. 00. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) β) + 0 γ) 9. δ ) (- ). - ε) 0.( - ) 0 7 α) Αφαιρούμε την μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και στη διαφορά τους βάζουμε πρόσημο, το πρόσημο του αριθμού που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. β) Άθροισμα αντιθέτων. γ) Προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά τους βάζουμε πρόσημο, το κοινό τους πρόσημο. δ) Πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και βάζουμε πρόσημο. ε) Είναι α 0 0.

5 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 7 στ ). ζ) ( ) ( ). 8 η) : ( + ) 8. θ) : Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) ( ) x x β ) ( x) + x γ) ( ) x + 9x δ) (x ) x + ε ) ( + x) ( +y) + y+x+x.y στ) ( x + ) x + 8 στ) Πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και βάζουμε πρόσημο +. ζ) Πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. η) Πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. θ) Πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. α) Κάνουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση β) Επιμεριστική ιδιότητα γ) Πράξεις στην παρένθεση και πολ/σμός με - δ) Επιμεριστική ιδιότητα. ε) Είναι α 0 0. στ) Επιμεριστική ιδιότητα. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. i) Αν δύο αριθμοί είναι αντίθετοι, τότε: α) είναι ομόσημοι β) έχουν ίσες απόλυτες τιμές γ) έχουν γινόμενο μηδέν δ) έχουν γινόμενο τη μονάδα. ii) Αν δύο αριθμοί είναι αντίστροφοι, τότε: α) είναι ετερόσημοι β) έχουν άθροισμα μηδέν γ) έχουν ίσες απόλυτες τιμές δ) έχουν γινόμενο τη μονάδα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ i) Η σωστή απάντηση είναι η β. Για παράδειγμα. ii) Η σωστή απάντηση είναι η δ. Για παράδειγμα.. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες : α) Οι αντίστροφοι αριθμοί είναι ομόσημοι.

6 8 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ β) Το άθροισμα δύο ομόσημων αριθμών είναι θετικός αριθμός. γ) Η απόλυτη τιμή κάθε πραγματικού αριθμού είναι θετικός αριθμός. δ) Δύο αριθμοί με γινόμενο θετικό και άθροισμα αρνητικό είναι αρνητικοί. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Είναι σωστή (Σ) γιατί, για να προκύψει το γινόμενο τους, δηλαδή θετικός πρέπει να είναι ομόσημοι. β) Είναι λάθος (Λ) γιατί,αν είναι αρνητικοί θα έχουμε για παράδειγμα (-)+(-)-7 γ) Είναι λάθος (Λ γιατί,μπορεί να είναι και μηδέν. δ) Είναι σωστή (Σ) γιατί,επειδή το γινόμενο των δύο αριθμών είναι θετικό συμπεραίνουμε ότι είναι ομόσημοι. Επίσης, επειδή το άθροισμά τους είναι αρνητικό, οι ομόσημοι αυτοί αριθμοί είναι αρνητικοί. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ Nα κάνετε τις πράξεις: α) + :( ) + β) + ( ) : ( + ) γ) ( ) + :( ) δ) 8 : ( + ) ( + ) α) + :( ) β) + ( ) : ( + ) +.(-8):(-)+(-):(-) +80. γ) ( ) + :( ) + 7 δ) 8 : ( + ) ( + ) 8 : ( + ) ( + ) 0 α) Κάνουμε πρώτα τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις και κατόπιν τις προσθέσεις. β) Κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις, κατόπιν τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις και τελειώνουμε με τις προσθέσεις. γ) Κάνουμε πρώτα τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις και κατόπιν τις προσθέσεις και αφαιρέσεις. δ) Κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις, κατόπιν τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις και τελειώνουμε με τις προσθέσεις. ΑΣΚΗΣΗ Τα αποτελέσματα των παρακάτω πράξεων σχηματίζουν το έτος που έγινε ένα γεγονός στη χώρα μας με παγκόσμιο ενδιαφέρον. ( ) ( +) + ( +) ( 7)

7 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 9 ( + ) + ( 9 + ) + ( + ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) + (+) ( ) : ( ) ( ) ( +) + ( +) ( 7) ( + ) + ( 9 + ) ( + ) ( ) ( ) --(-).(-)0-(+0)0. ( ) ( ) + (+) ( ) : ( ) +--(+)+--. Κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις και κατόπιν τις προσθέσεις και αφαιρέσεις. Ομοίως Κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις κατόπιν τους πολλαπλασιασμούς και τέλος τις προσθέσεις και αφαιρέσεις. Κάνουμε πρώτα τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις και τέλος τις προσθέσεις και αφαιρέσεις. ΑΣΚΗΣΗ Ένα αυτοκίνητο ξεκίνησε από τη θέση Ο, κινήθηκε πάνω στον άξονα x x προς τα αριστερά στη θέση B και στη συνέχεια προς τα δεξιά στη θέση Γ. Αν είναι ΟΑ Κm, τότε να βρείτε πόσο διάστημα διήνυσε το αυτοκίνητο και πόσο μετακινήθηκε από την αρχική του θέση. Το αυτοκίνητο διήνυσε ++.OA km και μετακινήθηκε από την αρχική του θέση κατά.οα. km km. ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) + + β) γ) δ) : + α) + + α) Βγάζουμε τις παρενθέσεις. Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα,

8 0 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ β) γ) δ) : : : ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογίσετε τις παραστάσεις + α) β) + προσθέτουμε χωριστά τα θετικά και τα αρνητικά κλάσματα Προσθέτουμε τους ετερόσημους που προκύπτουν. β) Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα Βγάζουμε τις παρενθέσεις. Προσθέτουμε τους ετερόσημους που προκύπτουν. γ) 7 + γ) Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα στην παρένθεση. Προσθέτουμε τα κλάσματα στην παρένθεση. Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς. Προσθέτουμε τους ετερόσημους που προκύπτουν. δ) Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα στις παρενθέσεις. Προσθέτουμε τα κλάσματα στις παρενθέσεις. Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις. Προσθέτουμε τους ετερόσημους που προκύπτουν. +

9 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ + + α) : 0 0 β) : α)κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα Προσθέτουμε τα κλάσματα Μετατρέπουμε το κλάσμα σε διαίρεση. Μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό με τον αντίστροφο. β) Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς στον αριθμητή και ομώνυμα τα κλάσματα στον παρονομαστή. Προσθέτουμε τα κλάσματα Μετατρέπουμε το κλάσμα σε διαίρεση. Μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό με τον αντίστροφο. 9 0 γ) : Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα Προσθέτουμε τα κλάσματα Μετατρέπουμε το κλάσμα σε διαίρεση. Μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό με τον αντίστροφο. Απλοποιούμε το κλάσμα που προκύπτει και προσθέτουμε τους ακεραίους. ΑΣΚΗΣΗ Οι ελάχιστες θερμοκρασίες μιας πόλης το πρώτο δεκαήμερο του έτους ή- ταν:, -, 0,,, -, -, 0, -, - Να βρείτε τη μέση ελάχιστη θερμοκρασία της πόλης το δεκαήμερο αυτό. Η μέση τιμή της θερμοκρασίας είναι:

10 ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ + Η μέση τιμή βρίσκεται αν προσθέσουμε τις τιμές των θερμοκρασιών και διαιρέσουμε με το πλήθος τους. Βγάζουμε τις παρενθέσεις και προσθέτουμε ξεχωριστά θετικούς και αρνητικούς. Τέλος προσθέτουμε τους ετερόσημους που προκύπτουν και η μέση θερμοκρασία θα είναι - ΑΣΚΗΣΗ 7 Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά χρησιμοποιώντας το κατάλληλο σύμβολο (+ ή -). α) 0 - β) γ ) δ) -0,, 8,0 α) β) γ ) + δ) -0,-,+8,0 α) Στο προσθέτουμε το και αφαιρούμε το 0 β) Στο -8 προσθέτουμε το 9 και αφαιρούμε το γ) Από ΑΣΚΗΣΗ 8 Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες α) 8 (α β)+(α β) β) (α+ β γ) (+γ β) ( α)0 γ) (α )+α ( 7+9) (+)0 α)8 (α β)+(α β) 8 α+β+α β8+( α+α)+(β β) )β) (α + β γ) (+γ β) ( α) -α-β + γ--γ+β++α-+0 γ) ( α ) + α ( 7+9 ) (+ ) -.α+-7.α+9.α-(--7+9)α0.α0 αφαιρούμε το 0. δ) Από -0, μειον, συν 8, και προσθέτουμε το α) Βγάζουμε τις παρενθέσεις. Προσεταιριστική ιδιότητα και άθροισμα αντιθέτων. β) Βγάζουμε τις παρενθέσεις. Προσεταιριστική ιδιότητα και άθροισμα αντιθέτων. γ) Επιμεριστική ιδιότητα και 0.α0

11 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΑΣΚΗΣΗ 9 Αν x+y και ω+φ 7,να υπολογίσετε τις παραστάσεις A (x ω) (y φ) Β ( x+φ) + ( 8+y) (ω ) A (x ω) (y φ) x+ω y+φ -(x+y)+(ω+φ) ( )+( 7)+ 7 Β ( x+φ)+( 8+y) (ω ) ++x-φ-8+y-ω+x+y-(ω+φ) (-7) ΑΣΚΗΣΗ 0 Βγάζουμε τις παρενθέσεις. Προσεταιριστική ιδιότητα και ιδιότητα (α + β)-α -β Βγάζουμε τις παρενθέσεις. Προσεταιριστική ιδιότητα αντικατάσταση των παραστάσεων που δίνονται. Προσθέσεις και αφαιρέσεις. Αν α, β είναι οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου, που έχει περίμετρο και γ, δ οι διαστάσεις ενός άλλου ορθογωνίου, που έχει περίμετρο, να υπολογίσετε την παράσταση Α α-(9-γ)-(-β-δ). ( 9 γ) ( β δ) A α Το πρώτο ορθογώνιο με διαστάσεις α, β έχει περίμε- α 9 + γ + β + δ α + β + γ + δ 9 α + β + ( γ + δ) 8 + τρο, δηλαδή α+β οπότε (α+β) και α+β. Το δεύτερο ορθογώνιο με διαστάσεις γ, δ έχει περίμετρο, δηλαδή γ+δ. Βγάζουμε τις παρενθέσεις. Προσεταιριστική, επιμεριστική ιδιότητα και αντικατάσταση των παραστάσεων όπως φαίνονται παραπάνω. Προσθέσεις και αφαιρέσεις. ΑΣΚΗΣΗ Να τοποθετήσετε καθέναν από τους παρακάτω αριθμούς -7, -, -, -,,,,, 9 Σε ένα τετράγωνο, ώστε τα τρία αθροίσματα να είναι ίσα μεταξύ τους

12 B Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Ορισμοί ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Ονομάζουμε δύναμη α ν με βάση τον αριθμό α και εκθέτη το φυσικό ν > το γινόμενο από ν παράγοντες ίσους με το α. Άρα: ν α α.α.α...α ν παραγοντες Για ν έχουμε α α, ενώ για ν 0 και α 0 έχουμε α 0 -ν και α για α 0 και ν,,,... ν α Για τις δυνάμεις με εκθέτες ακέραιους αριθμούς και εφόσον αυτές ορίζονται, ισχύουν οι ιδιότητες Ιδιότητες Παραδείγματα α μ α ν α μ+ν + α μ : α ν α μ-ν : - (αβ) ν α ν β ν ( x) x x α β ν ν α β ν (α μ ) ν α μν ( ) ν α ν β β α ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Τους πολύ μεγάλους ή τους πολύ μικρούς αριθμούς κατ απόλυτη τιμή τους γράφουμε στη «τυποποιημένη» ή εκθετική μορφή, δηλαδή στη μορφή: α 0 ν με α < 0, με ν ακέραιο. Για παράδειγμα γράφουμε : 00000, 0, 0,

13 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες : α) Για κάθε αριθμό α ισχύει α + α + α + α α. β) Για κάθε αριθμό α ισχύει α α α α α. γ) Οι αριθμοί ( ) και είναι αντίθετοι. 8 δ) Οι αριθμοί και είναι αντίστροφοι. α 9α. ε) Για κάθε αριθμό α ισχύει ( ) στ) Ο αριθμός ( ) είναι θετικός. 8 ζ) Ο αριθμός είναι θετικός. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Είναι λάθος (Λ) γιατί α + α + α + α α. β) Είναι σωστό (Σ) γιατί α.α.α.αα +++ α. γ) Είναι σωστό (Σ) γιατί ( ) και είναι αντίθετοι δ) Είναι σωστό (Σ) γιατί και οπότε ε) Είναι σωστό (Σ) γιατί ( α) α 9α. στ) Είναι λάθος (Λ) γιατί ( ) < 0. ζ) Είναι λάθος (Λ) γιατί < Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά χρησιμοποιώντας το κατάλληλοσύμβολο( ή ) α) ( ) β) - 9 γ) δ) ε)......στ) ζ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) (-) γιατί ο εκθέτης είναι άρτιος, οπότε ( ) β) 9 9 γ) δ) η) ( )

14 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ε) στ) ζ),γιατί ο εκθέτης είναι περιττός. η) ( 7 + ) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. i. Η τιμή της παράστασης 9 9 α) β) γ) δ) [ ] ii. Η τιμή της παράστασης ( ) είναι: είναι: α) - β) - γ) δ) iii. Η τιμή της παράστασης + είναι: α) β) 7 γ) δ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ i. Η τιμή της παράστασης [ ] είναι: 0 ii. Η τιμή της παράστασης ( ) είναι: ( ) 0 [ ] 9 το δ. το γ. iii. Η τιμή της παράστασης + είναι: το β.. Να συμπληρώσετε τον πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση της στήλης Α, το αποτέλεσμα της από τη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β α β γ δ α. ( ). 0 β. ( ).. γ. ( ). :.. δ. ( )..

15 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 7 ΑΠΑΝΤΗΣΗ. ( ) α) ( ) άρα είναι το (χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα (α μ ) ν α μν ) 0 ( ) β) ( ) άρα είναι το. γ) ( ) άρα είναι το. (χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα ( ) -ν α ) ν α δ) ( : )... άρα είναι το. (χρησιμοποιήσαμε τις ιδιότητες α μ : α ν α μ-ν, α μ α ν α μ+ν ). ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ Να γράψετε καθεμιά από τις παρακάτω παραστάσεις ως μία δύναμη: α). β) : γ). δ) ε) γ) δ) - ( ). - 8 α). - β) : ε) στ) ζ). - (.) στ) (-) (- ) - ( )( ) 8 ( ) + ζ) : ( ) η) α) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των ( ).(-). (- ) (-). (.) : η) ( ) : ( ) ( : ) δυνάμεων α μ α ν α μ+ν β) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α μ : α ν α μ-ν γ) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων (αβ) ν α ν β ν δ) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων(α μ ) ν α μν -+ ε) Τροποποιούμε το γινόμενο έτσι ώστε να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α μ α ν α μ+ν στ) Τροποποιούμε το πηλίκο έτσι ώστε να το απλοποιήσουμε. ζ) Τροποποιούμε το πηλίκο έτσι ώστε να έχουμε μόνο μία δύναμη. η) Τροποποιούμε το γινόμενο έτσι ώστε να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α μ : α ν α μ-ν

16 8 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης: α) ε) α) β) γ) ε) η) ( ). β) (- ).(- ) γ) ( 0,7). δ) : (-) 0 (,).( ) στ) : ζ) -. η) ( 0,0).0-8 (-) ( ). - (- ).(- ) ( ) ( ) ( 0,7) : (-) [ : (-)] ( ) (,).( ) [(, )(. - ) ] ( 0) δ) στ) ζ) - ( ) 0 :... ( ) ( 0,0).0 ( 0 ) ΑΣΚΗΣΗ , : ( ) :. 0 ( ) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α) x.x β) xy.x α) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (α μ ) ν α μν και α μ α ν α μ+ν. β) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες α μ α ν α μ+ν και 9 -ν α. ν α γ) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες α μ α ν α μ+ν και α 0. δ) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα (αβ) ν α ν β ν. ε) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα (αβ) ν α ν β ν. στ) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (α μ ) ν α μν και α μ : α ν α μ-ν ζ) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες α μ α ν α μ+ν και ν α ν β β α η) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (α μ ) ν α μν και α μ α ν α μ+ν. ( ) ( ) y γ) (- x).(- x ) - x : x ε) (- x ).(- x ) x : - δ) στ) - x

17 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 9 α) β) γ) ( x ).x x.x ( xy ).x y x ( y ) x.x.y.y x (- x).(- x ) (- ) x.(- ) δ) - (- ) 8-7 ε) x x x -.x : x -8x x.y + x +.x.y x -8x y.x x : x x (- x ).(- x ) ( ) ( x ).( ) ( x ) ( 7) στ) - x x - : - x.x.x - 08x α) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (α μ ) ν α μν 7 x x 08x x : - και α μ α ν α μ+ν και την προσεταιριστική(για το ) β) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (αβ) ν α ν β ν και α μ α ν α μ+ν και την προσεταιριστική. γ) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (αβ) ν α ν β ν και α μ α ν α μ+ν και την προσεταιριστική. δ) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (αβ) ν α ν β ν και α μ : α ν α μ-ν. x ε) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (αβ) ν α ν β ν και α μ α ν α μ+ν και την προσεταιριστική. στ) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (αβ) ν α ν β ν και α μ : α ν α μ-ν. ν α ν β και β α

18 0 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης: 0 Α ,Β Γ Α. Β : Γ ( ) ( ) ( ) (- ) : - - (- ). ( ) 7 7 (,).(,).( ).( 8), Δ (.8 ): (.0 ) 0 ( ) + ( 7). 8. ( ) 0. ( ) + ( 7) ( ) + ( 7) (- ) : - - (- ). ( ) ( ). 8 ( ) 8 + (,).(,).( ).( 8) (,).( ) (,).( 8) [,. ( ) ] [,. ( 8) ] + ( 0).( 0) ( 0) ( 0) Δ 7 7 (.8 ): (.0 ) Στην παράσταση Α κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στην παρένθεση και κατόπιν υπολογίζουμε τις δυνάμεις. Μετά κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τέλος τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα α 0 Στην παράσταση Β υπολογίζουμε πρώτα τις δυνάμεις κατόπιν κάνουμε τις διαιρέσεις και τους πολλαπλασιασμούς και τέλος τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις. Στην παράσταση Γ εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού για να φέρουμε κοντά τις δυνάμεις και να εφαρμόσουμε την ιδιότητα (αβ) ν α ν β ν και μετά την ιδιότητα α μ α ν α μ+ν Στην παράσταση Δ εφαρμόζουμε την ιδιότητα ν ν α α ν β β ΑΣΚΗΣΗ Αν τριπλασιάσουμε την πλευρά ενός τετραγώνου, κατά πόσες φορές μεγαλώνει το εμβαδόν του; Ε α Ε ( α) Ε 9.Ε.α 9α Αν Ε και Ε τα εμβαδά του τετραγώνου στην πρώτη και στην δεύτερη περίπτωση εφαρμόζοντας την ιδιότητα των δυνάμεων (αβ) ν α ν β ν και τον τύπο του εμβαδού του τετραγώνου Εα παρατηρούμε ότι το εμβαδόν του εννιαπλασιάζεται.

19 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Γ Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α τον θετικό αριθμό x (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: α ) που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, μας δίνει τον αριθμό α. Άρα: Αν είναι x α, τότε x α ή ( α ) α π.χ., γιατί ΑΜΕΣΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό α, ισχύει α α. Όταν ο αριθμός α είναι θετικός μπορούμε να γράψουμε α α. Αν x 0, τότε ( x ) x Έχουμε (-), οπότε έχουμε ( ) ( ) δηλαδή ( ) Επειδή είναι 0 0,ορίζουμε ότι 0 0. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΤΙΣ ΡΙΖΕΣ Για μη αρνητικούς αριθμούς α, β η πρώτη και για α 0 και β > 0 η δεύτερη ισχύουν: α α β β α β αβ Η απόδειξη της πρώτης ισότητας γίνεται παρακάτω

20 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ( α β ) ( α ) ( β ) αβ. ( α β ) α β. Υπολογίζουμε το τετράγωνο κάθε μέλους της ξεχωριστά. Άρα α β α β Παρατηρούμε ότι οι δύο μη αρνητικοί αριθμοί α β και α β έχουν το ίδιο τετράγωνο α β, οπότε είναι ίσοι. Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται και η δεύτερη ισότητα. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Για μη αρνητικούς αριθμούς α, β,έχουμε α ± β α ± β ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Να συμπληρώσετε τις ισότητες α) + β) γ) + δ) ε) 8 : στ) 8 ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) + ( + ) β) ( ) γ) + ( + ) δ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των ριζών 0. 0 α. β α.β και επίσης αφού α 0 είναι δ). α α.ε) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα ε) 8 : 8 : 9 α α των ριζών. στ) Χρησιμοποιούμε στ) 8.. β β.. την ιδιότητα των ριζών α. β α.β α) Επιμεριστική ιδιότητα-πράξεις στην παρένθεση β) Επιμεριστική ιδιότητα-πράξεις στην παρένθεση. γ) Επιμεριστική ιδιότητα- Πράξεις στην παρένθεση και 0.α0. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε στοιχείο της στήλης Α ένα στοιχείο από τη στήλη Β.

21 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Το α αντιστοιχίζεται στο γιατί Το β αντιστοιχίζεται στο γιατί -<0 Το γ αντιστοιχίζεται στο γιατί Το δ αντιστοιχίζεται στο γιατί Το ε αντιστοιχίζεται στο γιατί ( ) Το στ αντιστοιχίζεται στο γιατί στο. Να συμπληρώσετε τους πίνακες. α ΣΤΗΛΗ Α α. β. γ. δ. β ε. ( ) στ. α β α + β ΣΤΗΛΗ Β.. δεν ορίζεται. το - <0 Άθροισμα Γινόμενο Πηλίκο α + β αβ α β γ δ ε στ α β α β α β ΑΠΑΝΤΗΣΗ,, α + β +, α + β + +

22 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ α α β., α β.,, β α, 9,, α + β 9 + β α + β , α β 9., α β 9., α β 9, 8,, α + β , α + β α 9, β, α β. 0 8, α β 8. 8, α α, β β. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες. α) β) + γ) 9 δ) ( ) ε) στ) Το διπλάσιο του είναι το 0 ζ) Το μισό του είναι το ΑΠΑΝΤΗΣΗ α). (Σ) β) + + (Λ) γ) 9 9 γιατί δ) ( ) (Σ) (Σ)

23 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ε) στ) Το διπλάσιο του είναι το 0,.. 0 (Λ) (Λ) ζ) Το μισό του είναι το είναι το, (Σ). Ένα τετράγωνο έχει εμβαδόν 0 m. Είναι σωστό να ισχυριστούμε ότι η πλευρά του είναι m ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ E α 0 α α 0.. είναι σωστό ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) 7 + β) 7 8 γ) δ) α) γ) ( ) β) 7 8 ( ) 7 + ( 8 + ) δ) α) Επιμεριστική ιδιότητα-πράξεις στην παρένθεση. β) Επιμεριστική ιδιότητα- Πράξεις στις παρενθέσεις. γ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των ριζών α. β α.β και επίσης αφού α 0 και β 0 είναι α α και β β. δ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των ριζών α. β α.β απλοποιούμε και επίσης αφού α 0 και β 0 είναι α α και β β.

24 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΑΣΚΗΣΗ Να αποδείξετε τις ισότητες: α) γ) α) ( + ) 0 β) ( + ) + ( ) γ).9. ( ) β) δ) ( + ) 7,. 0 +,9 0,8. 0,,8 α) Αναλύουμε τις υπόριζες ποσότητες σε γινόμενα που ο ένας όρος να είναι το και εφαρμόζουμε την ιδιότητα α. β α.β Κατόπιν εφαρμόζουμε και την επιμεριστική ιδιότητα. β) Αναλύουμε τις υπόριζες ποσότητες σε γινόμενα που ο ένας όρος να είναι το ή το και εφαρμόζουμε την ιδιότητα α. β α.β Κατόπιν εφαρμόζουμε και την επιμεριστική ιδιότητα. γ) Αναλύουμε τις υπόριζες ποσότητες σε γινόμενα που ο ένας όρος να είναι το και εφαρμόζουμε την ιδιότητα α. β α.β Κατόπιν εφαρμόζουμε και την επιμεριστική ιδιότητα.

25 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 7 δ). 0,. 9 0, ,8. 0 0, , ΑΣΚΗΣΗ 00 δ) Αναλύουμε τις υπόριζες ποσότητες σε πηλίκα και εφαρμόζουμε την ιδιότητα α α και την ιδιότητα α. β α.β β β Κατόπιν εφαρμόζουμε και την επιμεριστική ιδιότητα. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α ) + β) γ) 9 α) β) α) Υπολογίζουμε τις ρίζες από «μέσα» προς τα «έξω». β) ομοίως γ) 9. γ) Υπολογίζουμε τις ρίζες από «μέσα» προς τα «έξω». 9.. ΑΣΚΗΣΗ Να συμπληρώσετε το διπλανό πίνακα με τις περιμέτρους και τα εμβαδά των ορθογωνίων ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ και ΚΛΜΝ.Ποιο από τα ορθογώνια έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν μήκος πλάτος περίμετρος εμβαδόν ΑΒΓΔ 0 ΕΖΗΘ ΚΛΜΝ 8

26 8 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Για το ΑΒΓΔ η περίμετρος είναι: ( ) Και το εμβαδόν: E. ( ). 0 Για το ΕΖΗΘ η περίμετρος είναι: ( ) Το εμβαδόν: E. 8( ) 8. Για το ΚΛΜΝ η περίμετρος είναι: ( ) Η περίμετρος ενός ορθογωνίου με διαστάσεις α και β είναι Πα+β Το εμβαδόν του ορθογωνίου με τις ίδιες διαστάσεις είναι Ε α. β Και το εμβαδόν: ( ) E ΑΣΚΗΣΗ Να κάνετε τις πράξεις : 8 8 α) β) α) ( + ) β) ( 7 ) γ) ( ) : δ) ( 7 )( 7 + ) ( 8 + 8) ( ) ( ) α) Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα και κατόπιν την ιδιότητα α. β α.β. β) Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα και κατόπιν την ιδιότητα α. β α.β αφού «σπάσουμε» το 7 σε γινόμενο με έναν όρο το.

27 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 9 γ) ( 7 00) : ( ) ( + 0) + + γ) «Σπάμε» όλες τις υπόριζες ποσότητες σε γινόμενα με έναν : όρο το και εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα + 0 κάνουμε απλοποίηση στο κλάσμα. Κατόπιν μετατρέπουμε τις ρίζες που απομένουν σε α-. +. πλούστερες για να γίνει αναγωγή ομοίων όρων. ΑΣΚΗΣΗ Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα που έχουν άρρητους παρονομαστές σε ισοδύναμα κλάσματα με ρητούς παρονομαστές. + α) β) γ) δ) α) β).. + δ) ΑΣΚΗΣΗ 7 ( ) ( ) γ) + ( + ) + ( ).. + Να λύσετε τις εξισώσεις: α) + x x β) x x γ) δ) x 7 α) Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με την ρίζα του και εφαρμόζουμε την ιδιότητα των ριζών «Αν x > 0, τότε x». ( ) x β) Ομοίως γ) Ομοίως δ) «Σπάμε» την ρίζα του σε γινόμενο με έναν όρο το και χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα κάνουμε απλοποίηση στο κλάσμα

28 0 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ α) x + x x x + x x x β ) x x x γ) x. δ) x 8 x x 7.9 x x 9 7 x 0 x 0 α) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων με την επιμεριστική ιδιότητα και διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου β) Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου. «Σπάμε» την ρίζα του αριθμητή σε γινόμενο έτσι ώστε με την χρήση της ιδιότητας α. β α.β να γίνει απλοποίηση με τον παρονομαστή. γ) Κάνουμε «χιαστί» και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα α. β α.β βρίσκουμε την λύση. δ) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους. «Σπάμε» την ρίζα του 7 για να κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων με την επιμεριστική ιδιότητα και διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου ΑΣΚΗΣΗ 8 Να αποδείξετε ότι ( )( + ) ισότητα να μετατρέψετε το κλάσμα σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή.. Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη, που έχει άρρητο παρονομαστή, ( )( + ) + ( ) ( + ) ( )( + ) + Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα και την ιδιότητα των ριζών «Αν x>0, τότε ( x ) x».πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με την παράσταση + και εφαρμόζουμε την ισότητα που αποδείξαμε ΑΣΚΗΣΗ 9 Αν τα τετράγωνα ΑΒΓΔ, ΓΕΖΗ έχουν εμβαδόν 0 m και 8 m αντιστοίχως,να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου ΒΘΙΕ είναι 98 m.

29 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Για να βρούμε το εμβαδόν του ΒΘΙΕ χρειαζόμαστε την πλευρά του. Η πλευρά του είναι το άθροισμα των πλευρών των τετραγώνων ΑΒΓΔ και ΗΓΕΖ. Είναι ΒΕΒΓ+ΓΕ. ΒΓ 0 ΒΓ 0. Αλλά και ΒΓ ΓΕ 8 ΓΕ 8. οπότε ΓΕ ΒΕΒΓ+ΓΕ + 7 και επομένως το εμβαδόν του ΒΘΙΕ είναι ( ΒΘΙΕ ) ΒΕ ( 7 ) 7.( ) m ΑΣΚΗΣΗ 0 Στις κάθετες πλευρές ΑΒ cm και ΑΓ cm ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ να πάρετε αντιστοίχως τα σημεία Δ, Ε, έτσι ώστε ΑΔ cm και ΑΕ cm. Να αποδείξετε ότι ΒΓ ΔΕ. Γ Εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ΒΓ ΒΓ ΑΓ + ΑΒ ΒΓ ΒΓ () Ε Α Δ Β Εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΕΔ ΔΕ ΔΕ ΑΕ + ΑΔ ΔΕ ΔΕ ( ) + A Από τις σχέσεις () και () προκύπτει ότι ΒΓ ΔΕ. cm ΑΣΚΗΣΗ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ ΑΓ), το ύψος ΑΔ cm και η πλευρά ΒΓ cm α) Να υπολογίσετε την πλευρά ΑΓ και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ είναι +. β) Οι αριθμοί + 0, + 0, 8, ( + 0 ) είναι οι απαντήσεις που έδωσαν στην προηγούμενη ερώτηση μαθητές. Ποιες από αυτές είναι σωστές ; B Δ cm Γ

30 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ α) ΑΓ ΑΓ ΑΔ + ΔΓ 0 ΑΓ ΑΓ 0 ΑΓ cm Π ΑΒ + ΑΓ + ΒΓ Π β) 8 τριγώνου τριγώνου (ΛΑΘΟΣ) (ΣΩΣΤΗ) + +. (ΛΑΘΟΣ) + ( + 0) (ΣΩΣΤΗ).. α) Εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ και βρίσκουμε την πλευρά ΑΓ Κατόπιν βρίσκουμε την περίμετρο του τριγώνου λαμβάνοντας υπόψη ότι ΑΒΑΓ και εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα. β) «Σπάμε» την ρίζα του 0 σε γινόμενο με παράγοντα το και εφαρμόζοντας την ιδιότητα α. β α.β βρίσκουμε κάποιες απαντήσεις σωστές και κάποιες λάθος όπως φαίνεται δίπλα. ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννηση σας (-)-... -(-)+7.. Αν π.χ γεννήθηκα το 9 θα έχω: (-)-+ -(-)+7-. Να συμπληρωθεί ο πίνακας αν το άκρο κάθε βέλους δείχνει το άθροισμα της αντίστοιχης στήλης ή γραμμής. Το αποτέλεσμα της ης γραμμής είναι Στη δεύτερη γραμμή λείπει το -9 Στη τρίτη γραμμή λείπουν τα, -9, - Στην τέταρτη γραμμή λείπει το -8 και στην πέμπτη οι,8,-7

31 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Να συμπληρωθεί το τετράγωνο, ώστε κάθε στήλη, γραμμή και διαγώνιος του, να έχει το ίδιο γινόμενο. Βρίσκουμε το γινόμενο της διαγωνίου: 0.. επομένως όλα τα γινόμενα θα πρέπει να είναι x -+ x x.. ή ή άρα στην τρίτη στήλη το δεύτερο θα είναι 0 x + x. Ομοίως.. ή ή x + - ή x - άρα στην πρώτη γραμμή το δεύτερο θα είναι. Η άλλη διαγώνιος θα είναι x -+ x x+.. ή ή ή x + - ή x - άρα το πρώτο στοιχείο της τρίτης γραμμής θα είναι.ομοίως και τα υπόλοιπα επομένως ο πίνακας συμπληρώνεται όπως φαίνεται παρακάτω. 0. Να γράψετε καθεμιά από τις παρακάτω παραστάσεις ως μια δύναμη Α Β Γ 9 9 Δ Α Β ( ) ( ).. Γ Δ (. ) (. ). (.) 7.. Να λυθεί η εξίσωση (-) ν x ν+ Διακρίνουμε περιπτώσεις: ν+ ν ν+ ν+ ν Αν ν άρτιος τότε: ( ) ν.x ή 7.x ν+ ν ν+ ν+ ν Αν ν περιττός τότε: ( ) ν.x. 7 ή -.x ή x ή x ν + ν ν+ ν

32 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι διαφορετικός από τους άλλους; α),,,,, β) 8, 7, α),. 8,,,., Επομένως αυτός που είναι διαφορετικός είναι ο β) 7 8 8, Επομένως αυτός που είναι διαφορετικός είναι ο. 7. Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι ίσοι; i) α ii) α i) α γ 8,β + 8,δ, γ,β....,δ, γ,,ε,δ,στ +,ε ε,στ Επομένως ίσοι είναι οι α γ δ και β ε στ.,β,, 7

33 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ii) α +,β.., γ.,δ +, ε Επομένως ίσοι είναι οι α γ ε. 8. Να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων Α , Β Α Β Να υπολογιστούν οι ρίζες

34 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ν+ μονάδες 0. Αν το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ είναι 80 cm και του ΑΕΖΗ, cm, να αποδείξετε ότι η περίμετρος Γ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΔΕ είναι Είναι ΑΔ 80 ή ΑΔ 80.. Επίσης είναι ΑΕ ή ΑΕ.9. 9 Με το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΕ έχουμε ότι: ΔΕ ΑΔ + ΑΕ 80 + ή ΔΕ.. Οπότε η περίμετρος του ορθογωνίου τριγώνου ΑΔΕ είναι ΠΑΔ+ΑΕ+ΔΕ Να συμπληρώσετε το διπλανό τετράγωνο ώστε να 8 8 γίνει μαγικό. 0.., Πρέπει να είναι Άρα στην πρώτη γραμμή λείπει το 8 8. Άρα στην πρώτη στήλη λείπει το 9. Άρα στην δεύτερη στήλη λείπει το Άρα στην δεύτερη γραμμή λείπει το 9. Άρα στην τρίτη γραμμή λείπει το 8.. Να βρεθεί η πλευρά τετραγώνου που έχει εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν κύκλου ακτίνας r 0 cm. Με αφορμή το τελευταίο πρόβλημα είναι δυνατόν να συζητηθεί το «πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου». x πr ή x πr r π 0 π

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού

Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα του θετικού αριθμού α, ονομάζεται ο θετικός αριθμός χ, όταν χ = α. Ορίζουμε επίσης ότι: 0 0. Δηλαδή αν α, x > 0 και x, τότε x. Συνέπειες του ορισμού Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε

Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε Κανόνες των προσήμων Στην πρόσθεση Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε (+) και (+) κάνει (+) + + 3 = +5 (-) και (-) κάνει (-) - - 3 = -5 Όταν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

Δοκιμασίες πολλαπλών επιλογών

Δοκιμασίες πολλαπλών επιλογών Δοκιμασίες πολλαπλών επιλογών ) Η απόλυτη τιμή θετικού αριθμού είναι: Α. Ο αντίθετός του Β. Ο ίδιος ο αριθμός Γ. Ο αντίστροφός του 2) Αν x =3, τότε Α. x=3 Β. x 0 Γ. x=-3 Δ. x=3 ή x=-3 3) Με το -x συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός } o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R.

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι ριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς. Τα σύμβολα «+» και «-» που γράφονται μπροστά από τους αριθμούς λέγονται πρόσημα.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α 1.4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 59 1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο Ο πολλαπλασιασμός μονώνυμου με πολυώνυμο γίνεται ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή,

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή, ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Οι αριθμοί 0,1,,,4, είναι οι Φυσικοί αριθμοί. Οι Φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους αποτελούν τους Ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή ακέραιοι είναι οι αριθμοί,-,-,-1,0,1,,,

Διαβάστε περισσότερα

Όταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0,τότε λέμε ότι

Όταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0,τότε λέμε ότι ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 9. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ Χρήσιμες ιδιότητες πράξεων Αν αβ τότε α+γβ+γ Αν αβ τότε α-γβ-γ Αν αβ τότε α γ α β γ β Αν αβ τότε γ γ με γ 0 Η έννοια της εξίσωσης Μια ισότητα, που αληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ . A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Τα σύνολα των αριθµών Το σύνολο των φυσικών αριθµών. Το σύνολο των ακεραίων αριθµών. N {0,,, 3 } Z { 3,,, 0,,, 3 } Το σύνολο των ρητών αριθµών. Q

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα

Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ Β Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα Πολλές φορές στην προσπάθειά μας να λύσουμε ένα πρόβλημα, καταλήγουμε σε εκφράσεις που περιέχουν μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; Οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητής = Παρονομαστής

Αριθμητής = Παρονομαστής Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ To κλάσμα κ εκφράζει τα κ μέρη από τα ν ίσα μέρη στα οποία έχει χωριστεί μία ποσότητα ν Αριθμητής = Παρονομαστής Το ν α = 0 = α κ ν = κ ν ονομάζεται κλασματική μονάδα 8 = α α = Άρα

Διαβάστε περισσότερα

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι;

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι; Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί, Άρρητοι, Πραγματικοί, Απόλυτη Τιμή, Ομόσημοι, Ετερόσημοι, Αντίθετοι, Αντίστροφοι. Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ακέραιοι;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii) ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε οµόσηµους και ποιους ετερόσηµους; Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε ακέραιους; Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε ρητούς; Τι ονοµάζουµε απόλυτη τιµή ενός ρητού αριθµού; Τι παριστάνει η απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η ΑΛΓΕΒΡΑ Τα ςημαντικότερα ςημεία τησ θεωρίασ Ερωτήςεισ εμπζδωςησ- απαντήςεισ Μεθοδολογία αςκήςεων Προτεινόμενεσ αςκήςεισ του βιβλίου - διεξοδική ανάλυςη των λφςεων (ςκζψη-βήματα-επεξήγηςη

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού.

Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού. Ενότητα 3 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής Ρ x x ν α. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού. Τις ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός.

Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. ΜΕΡΟΣ Α. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 69. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. Για παράδειγμα ο αριθμός που στην προηγούμενη

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μαθηματικά B Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Φυσικοί & Δεκαδικοί Αριθμοί Η θεωρία με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΕΙΣ ( 1 ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α = 3 + 23 + 19 Β = 8 +13 +45-7 Γ = 3 + 0 Α = 3+23 +19 =

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΟΡΙΣΜΟΙ Θετικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο το + (πολλές φορές το + παραλείπεται) π.χ. +3, +105, +, + 0,7, 326. Αρνητικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 51 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολυώνυμα Όπως είδαμε στην προηγούμενη ενότητα Το άθροισμα όμοιων μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο όμοιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ημήτριος Αργυράκης Παναγιώτης Βουργάνας Κωνσταντίνος Μεντής Σταματούλα Τσικοπούλου Μιχαήλ Χρυσοβέργης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΕΡΟΣ Α Τόμος

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Α σ κήσεις για τ ι ς μέρες των Χριστ ουγεννι άτ ι κ ων διακ οπών

Α σ κήσεις για τ ι ς μέρες των Χριστ ουγεννι άτ ι κ ων διακ οπών Μαθηματικά Β Γυμνασίου Α σ κήσεις για τ ι ς μέρες των Χριστ ουγεννι άτ ι κ ων διακ οπών 1. Να χρησιμοποιήσετε μεταβλητές για να εκφράσετε με μια αλγεβρική παράσταση τις παρακάτω φράσεις: a. Η διαφορά δυο

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß ÊåöÜëáéï 1 ï Ïé ñçôïß áñéèìïß ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÅðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþí Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôýùí ÁðáëïéöÞ ðáñåíèýóåùí ÂéâëéïìÜèçìá ï Ðïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþí Ãéíüìåíï ðïëëþí

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

απλοποιείται, γιατί οι όροι της είναι γινόμενα και έχουν κοινό παράγοντα το xy. Αν διαιρέσουμε και τους δύο όρους με τον κοινό παράγοντα,

απλοποιείται, γιατί οι όροι της είναι γινόμενα και έχουν κοινό παράγοντα το xy. Αν διαιρέσουμε και τους δύο όρους με τον κοινό παράγοντα, ΜΕΡΟΣ Α 9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις Μια αλγεβρική παράσταση με την μορφή κλάσματος που οι όροι του είναι πολυώνυμα λέγεται ρητή αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ Εν. 1: Διανύσματα

Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ Εν. 1: Διανύσματα Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ 016-017 Εν. 1: Διανύσματα 1. Να ονομάσετε τα στοιχεία ενός διανύσματος.. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ)

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Το βιβλίο αυτό έχει διπλό σκοπό: Να σε βοηθήσει στη γρήγορη, άρτια και αποτελεσματική προετοιμασία του καθημερινού σχολικού μαθήματος. Να σου δώσει όλα τα απαραίτητα εφόδια,

Διαβάστε περισσότερα

7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ

7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ 1 7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Κανόνας πολλαπλασιασµού : Το γινόµενο δύο οµοσήµων αριθµών είναι θετικός ενώ το γινόµενο δύο ετεροσήµων είναι αρνητικός ηλαδή (+) (+) = + και ( ) ( ) = + Ενώ (+) (

Διαβάστε περισσότερα

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης.

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. Τα κόκκινα κομμάτια αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα