Ioan ROŞCA CALCUL NUMERIC. Elemente de teoria aproximarii
|
|
- Φωτεινή Κωνσταντίνου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ion ROŞCA CALCUL NUMERIC Elemente de teori proximrii
2 P R E F A T A In ultimul timp, u pǎrut nevoi enorme de modele mtemtice tot mi sofisticte şi simulǎri pe clcultor tot mi vste şi complexe. In cest mod, douǎ ctivitǎţi nedespǎrţite modelre mtemticǎ şi simulre pe clcultor u cîştigt un rol mjor în tote rmurile ştiinţei, tehnologiei şi industriei. Pentru c ceste douǎ ctivitǎţi sǎ fie sttornicite pe un teren cît mi solid, rigore mtemticǎ este indispensbilǎ. Din cest motiv douǎ ştiinţe înrudite nliz numericǎ şi softul ştiinţific pr etpe esenţile în vlidre modelelor mtemtice şi simulǎrile pe clcultor ce sînt bzte pe ceste. Prezentele note se dresez@ studen@tilor de l cursul de Clcul Numeric. Prin conţinut, ceste note reflectǎ nu tît preferinţele utorului, ci mi les opţiunile sle privitore l temtic unui curs de clcul numeric pentru studenţii Fculttii de mtemtic si informtic. Crte pote fi utiliztǎ de un cerc lrg de cititori, fiind cesibilǎ celor cre posedǎ cunoştinţe fundmentle de mtemticǎ ( nlizǎ, lgebrǎ, geometrie, etc. ). In idee de fce ceste note de sine stttore fost introdus in finl un cpitol de nexe. Acestǎ crte fost procestǎ de utor folosind progrmul L A TEX bine dptt pentru prelucrre textelor mtemtice. Bucureşti 2011 Autorul
3 Cuprins 1 Clse de funcţii în teori proximǎrii 9 1 Cls funcţiilor polinomile Polinome lgebrice Polinome ortogonle Polinome trigonometrice Cls funcţiilor spline Funcţii polinomile pe porţiuni Funcţii spline polinomile Funcţii spline generlizte Metode de interpolre 79 3 Probleme de interpolre Exemple simple de interpolre O schem de interpolre bstrctǎ Interpolre prin polinome Interpolre prin polinome lgebrice Interpolre prin polinome trigonometrice Interpolre cu funcţii spline Interpolre funcţiilor continue cu funcţii spline polinomile de ordinul întîi Interpolre cu funcţii polinomile de grdul trei pe porţiuni
4 6 CUPRINS 5.3 Interpolre prin funcţii spline cubice Interpolre in R n P - unisolvenţ Interpolre prin polinome Ce mi bun proximre Ce mi bun proximre in spţii normte Crcterizre elementelor de ce mi bunǎ proximre Existenţ elementelor de ce mi bunǎ proximre Unicitte elementelor de ce mi bunǎ proximre Ce mi bun proximre functiilor continue Ce mi bunǎ proximre prin funcţii spline Integrre şi derivre numericǎ Construcţi formulelor de proximre Scheme bstrcte Metode compozite de integrre numericǎ Construcţi generlǎ formulelor de cudrturǎ compuse Metode de integrre numericǎ de tip Guss Evlure erorii in formulele de proximre Form integrlǎ restului Evlure restului Formule de cudrtură optimle Formule optimle în sensul lui Srd Optimlitte în sens Golomb - Weinberger Formule optimle pe spţii bstrcte Convergenţ formulelor de cudrturǎ Imposibilitte convergenţei tri
5 CUPRINS Convergenţ punctulǎ Convergenţ formulelor de cudrturǎ compuse Formule de cubtură Construcţi formulelor de cubturǎ ANEXE Opertori liniri continui Spţiul opertorilor liniri şi continui Conjugtul unui opertor Puncte extremle Submulţimi extremle le unei mulţimi Puncte extremle le unei mulţimi
6 8 CUPRINS
7 Cpitolul 1 Clse de funcţii In proiectre şi nlizre diferiţilor lgoritmi din nliz numericǎ intervin diferite clse de funcţii. Pentru fi de mximǎ utilitte, o clsǎ B trebuie sǎ posede cel puţin urmǎtorele proprietǎţi de bzǎ. 1) Funcţiile din B trebuie sǎ fie reltiv netede; 2) Funcţiile din B trebuie sǎ fie uşor de memort (stoct) şi mnevrt pe un clcultor. 3) Funcţiile din B trebuie sǎ fie uşor de evlut pe un clcultor împreunǎ cu derivtele şi integrlele lor. 4) Cls B trebuie sǎ fie suficient de lrgǎ stfel c funcţiile netede sǎ potǎ fi bine proximte cu elemente din B. Cerem propriette 1) deorece funcţiile ce pr din procesele fizice sînt în mod obişnuit netede. Proprietǎţile 2) si 3) sînt importnte deorece cele mi multe probleme nu pot fi rezolvte fǎrǎ jutorul clcultorului. In finl, propriette 4) este esenţilǎ dcǎ vrem sǎ obţinem o bunǎ proximre. Vom indic în cele ce urmezǎ semene clse de funcţii. 9
8 10 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii 1 Cls funcţiilor polinomile Vom începe sǎ nlizǎm clsele de funcţii cre intervin în teori proximǎrii prin cls funcţiilor polinomile. Polinomele u juct un rol centrl în teori proximǎrii şi-n nliz numericǎ. Pentru vede de ce polinomele se bucurǎ de ş o trecere în teori proximǎrii le vom d cîtev proprietǎţi de bzǎ. 1.1 Polinome lgebrice In continure vom fi interesţi de spţiul m P m = {p(x) = c i x i, c 0, c 1,..., c m R} i=0 funcţiilor polinomile de ordin m cu coeficienţi reli. Incepem prin rt cǎ P m este un spţiu finit dimensionl cu o bzǎ convenbilǎ. Propoziţi 1.1 Spţiul P m este un subspţiu din C (R). Mi mult, pentru orice numǎr rel, funcţiile 1, x,....(x ) m formezǎ o bzǎ pentru P m. Demonstrţie. Este clr, din definiţie, cǎ orice p P m este infinit derivbil pe R. Deorece αp + βq P m pentru orice p, q P m şi orice α, β R, rezultǎ cǎ P m un subspţiu vectoril din C (R). Deorece, fiecre funcţie, 1, (x ),..., (x ) m este, clr, din P m, rt cǎ formezǎ o bzǎ este nevoie, numi, sǎ rǎtǎm cǎ sînt linir independente. Presupunem p(x) = mi=0 c i (x ) i 0. Atunci pentru orice b, tote derivtele lui p trebuie sǎ se nuleze în b; dicǎ, p(b) p (b). p (m) (b) 1 b (b ) 2 (b ) m 0 1 2(b ) m(b ) m m! c 0 c 1. c m = Acest este un sistem omogen de (m + 1) ecuţii cu (m + 1)- necunoscute cǎrei mtrice socitǎ este nesingulrǎ, şi prin urmre c 0 = c 1 =... = c m =
9 1. Cls funcţiilor polinomile 11 Semnificţi prcticǎ Propozitiei 1.1 constǎ în fptul cǎ vînd lesǎ o bzǎ pentru P m, fiecre polinom v ve un set unic de coeficienţi sociţi. Acest stbileşte forml fptul cǎ polinomele pot fi memorte pe un clcultor. Urmǎtorul, binecunoscut, lgoritm rtǎ cǎ orice polinom pote uşor fi evlut, şi deci cǎ P m stisfce proprietǎţile (3) şi (4) cerute pentru clculbilitte pe un clcultor. Pentru clculul p(x) = m i=0 c i (x ) i se foloseşte urmǎtorul lgoritm. Algoritm (Schem lui Horner ). 1. u x 2. p c m 3. Pentru i m 1 cu psul 1 clculezǎ p u p + c i Fptul cǎ vlore finlǎ lui p v fi p(x) rezultǎ din observţi cǎ p(x) pote fi scris şi în formǎ p(x) = c 0 + u{c 1 + u[c u(c m )]} Este clr cǎ lgoritmul necesitǎ dor m înmulţiri şi (m + 1) dunǎri şi/su scǎderi. Rezultǎ, din definiţie, cǎ derivtele şi primitivele unui polinom sînt din nou un polinom. In prticulr, dcǎ tunci în timp ce Dp(x) = p (x) = m p(x) = c i (x ) i, i=0 m 1 i=0 x m+1 D 1 p(x) = p(x)dt = (i + 1)c i+1 (x ) i c i 1 (x ) i i Coeficienţii lui Dp şi D 1 p sînt uşor de clcult din coeficienţii lui p. Odtǎ ceşti coeficienţi obţinuţi putem evlu Dp şi D 1 p în orice punct dt x prin schem lui Horner.
10 12 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii Putere de proximre polinomelor In ciud simlitǎtii lor, folosind polinomele lgebrice putem obţine o bunǎ proximre funcţiilor continue pe un compct. Teorem 1.1 (Weierstrss). Pentru orice funcţie f continuǎ pe [, b] şi pentru orice ε > 0 existǎ un polinom p stfel c f(x) p(x) < ε x [, b] Cu lte cuvinte mulţime polinomelor cu coeficienţi reli, P, este densǎ în spţiul C([, b]) cu norm uniformǎ. Demonstrţie. Deorece de l intervlul [, b] se pote trece l intervlul [0, 1] prin trnsformre t = x b şi deorece prin cestǎ trnsformre clitte de polinom se pǎstrezǎ, rezultǎ cǎ este suficient sǎ demonstrǎm teorem pentru intervlul [0, 1]. Notǎm cu B n polinomul Bernstein socit funcţiei f prin B n (x) = f(m/n)cn m x m (1 x) n m. m=0 Pentru orice ε > 0, deorece f este uniform continuǎ, existǎ δ > 0 stfel c f(x ) f(x ) < ε/2 cînd x x < δ. Dr, pentru orice n nturl vem evlure B n (x) f(x) f(k/n) f(x) Cnx k k (1 x) n k = S 1 + S 2 k=0 unde în S 1 m les termeni din sum din drept pentru cre x k/n < δ ir în S 2 termenii din ceişi sumǎ pentru cre x k/n δ. Ţinînd sem cǎ 1 = n k=0 C k nx k (1 x) n k, din cele de mi sus, obţinem S 1 ε/2 şi = 2M δ 2 [ x 2 2x n (x k/n) 2 S 2 2M δ 2 Cnx k k (1 x) n k = k=0 kcnx k k (1 x) n k + 1 n n 2 k 2 Cnx k k (1 x) n k] k=0 k=0
11 1. Cls funcţiilor polinomile 13 unde M = sup y [0,1] f(y). Pentru evlu sumele rǎmse considerǎm expresi evidentǎ (x + y) n = Cnx k k y n k (1.1) k=0 pe cre o derivǎm în rport cu x, înmulţim cu x şi obţinem nx(x + y) n 1 = Repetînd operţi în (1.2) rezultǎ kcnx k k y n k (1.2) k=0 n(n 1)x 2 (x + y) n 2 + nx(x + y) n 1 = k 2 Cnx k k y n k (1.3) Luînd y = 1 x în (1.1), (1.2) şi (1.3) şi înlocuind sumele obţinute în evlure lui S 2 rezultǎ k=0 S 2 2M [ δ 2 x 2 2x 2 + n(n 1)x2 + nx] Mx(1 x) n 2 = 2nδ 2 M 2nδ 2 deorece x(1 x) 1/4 cînd x [0, 1]. Pentru n > M εδ 2 obţinem sup f(x) B n (x) ε x [0,1] 2 + M δ 2 2M εδ2 = ε şi cu cest teorem este demonstrtǎ. Comentrii bibliogrfice. Existǎ numerose demonstrţii le teoremei de mi sus. Weierstrss demonstrezǎ teorem în 1885 fǎcînd pel l teori funcţiilor nlitice. Demonstrţiile lui E. Picrd 1891, V. Volterr 1897, M. Lerch, 1903, fc pel l dezvoltǎri în serie Fourier. Alte demonstrţii cu crcter elementr u fost dte de C. Runge 1885, H. Lebesque 1898, G. Mittg-Leffler 1900, H. Kuhn Demonstrţi pe cre u expus-o mi sus este dtǎ de Bernstein In [17] se gǎsesc demonstrţiile lui H. Lebesgue, Lndu, ir în [66] se gǎseşte dtǎ demonstrţi lui Kuhn. Teorem lui Weierstrss revine l spune cǎ sistemul (f n ) n N definit prin f n (x) = x n este fundmentl în C([, b]), în sensul cǎ orice element
12 14 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii f C([, b]) pote fi proximt suficient de bine cu o combinţie linirǎ finitǎ de f n. Teorem urmǎtore dtortǎ lui Muntz [1914] precizezǎ, puţin, cestǎ propriette. Teorem 1.2 O condiţie necesrǎ şi suficientǎ pentru c sistemul f n (x) = x λn, ( unde {λ n } este un şir crescǎtor de numere rele pozitive ), sǎ fie fundmentl în C([0, 1]) este c (i) λ 0 = 0 (ii) seri λ 1 i sǎ fie divergentǎ. O ltǎ generlizre, forte importntǎ, teoremei lui Weierstrss fost obţinutǎ de M. H. Stone [1948]. Teorem 1.3 (Stone-Weierstrss) Dcǎ S este un spţiu topologic compct, A C(S) o sublgebrǎ de funcţii continue cre seprǎ punctele lui S (dicǎ pentru orice cuplu s 1, s 2 S, s 1 s 2 existǎ A stfel c (s 1 ) (s 2 )) tunci A ( derenţ lui A în C((S)) este fie C(S), fie mulţime funcţiilor continue cre se nulezǎ într-un punct determinnt din S. Dcǎ A conţine funcţiile constnte tunci A = C(S). Din teorem Stone - Weierstrss putem deduce diverse rezultte importnte şi în primul rînd teorem Weierstrss su generlizre s în R n. Teorem 1.4 Fie S o mulţime compctǎ din R n şi P mulţime polinomelor în (x 1,, x n ). ( P este formt din mulţime combinţiilor linire finite de form x α (x α = x α 1 1 xα n n ) unde α i sînt întregi nenegtivi ). Atunci P este un subspţiu dens în C(S). Demonstrţie. Mulţime P formezǎ o sublgebrǎ de funcţii continue pe S. Este evident cǎ P seprǎ punctele lui S : dcǎ s 1 = (x 1,1,..., x 1,n ) şi s 2 = (x 2,1,..., x 2,n ), s 1 s 2, vem, pentru cel puţin un indice i 0 : x 1,i0 x 2,i0. Luǎm tunci p P stfel c p(s) = x i0 (pentru s = (x 1,, x n ). Este suficient cum sǎ plicǎm teorem Stone-Weierstrss. Dǎm încǎ un exemplu de plicre teoremei lui Stone.
13 1. Cls funcţiilor polinomile 15 Propoziţi 1.2 Fie ϕ o funcţie continuǎ strict crescǎtore pe [0, 1]. Notǎm cu ϕ i funcţi definitǎ prin ϕ i (x) = (ϕ(x)) i şi cu Φ mulţime polinomelor p de form p(x) = α i ϕ i (x) cu n întreg orecre (ne fixt ). Atunci Φ este densǎ în C([0, 1]). i=0 Demonstrţie. Mulţime Φ formezǎ o sublgebrǎ lui C[0, 1]). Pentru x 1, x 2 [0, 1], x 1 x 2 vem ϕ(x 1 ) ϕ(x 2 ). Cum ϕ 0 1, plicînd teorem Stone-Weirstrss obţinem Φ = C([0, 1]). 1.2 Polinome ortogonle In teori proximǎrii funcţiilor de o vribilă relǎ su complexǎ se folosesc bze de polinome ortogonle. O funcţi w, definitǎ, continuǎ şi strict pozitivǎ pe un intervl (, b) R vînd propriette cǎ x n w L 1 (, b) pentru orice n N se numeşte funcţie pondere pe intervlul (, b). Dcǎ w este o funcţie pondere pe (, b) tunci spţiul E = L 1 w(, b) = {f : (, b) R; f w L 2 (, b)} înzestrt cu produsul sclr (, ) definit prin (f, g) = b w(x)f(x)g(x)dx şi cu norm genertǎ de (, ) este un spţiu hilbertin. Teorem 1.5 Dcǎ w este o funcţie pondere pe (, b) tunci: 1) Existǎ un şir (p n ) n 0 de polinome şi numi unul ş încît pentru orice n N polinomul p n re grdul n, coeficientul lui x n este 1 şi (p n, q) = 0 pentru orice polinom de grd n 1. 2) Polinomele şirului (p n ) verificǎ urmǎtore relţie de recurenţǎ p n (x) = (x λ n )p n 1 (x) µ n p n 2 (x) (1.4) unde µ n = p n 1 2 / p n 2 2 şi λ n = (xp n 1, p n 1 )/ p n 1 2
14 16 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii Demonstrţie. Utilizînd procedeul de ortogonlizre Grm-Schmidt pentru bz cnonicǎ {1, x, x 2,, x n, } de polinome cu o vribilǎ obţinem p 0 (x) = 1, p 1 (x) = x (p 0, x)/(p 0, p 0 ) cu λ i,n = (x n, p i )/(p i, p i ). p n (x) = x n. n 1 i=0 λ i,n p i (x) Polinomele p 0, p 1,, p n formezǎ o bzǎ pentru P n, spţiul polinomelor vînd grdul n, ele sînt ortogonle douǎ cîte douǎ. Este uşor de vǎzut cǎ polinomele definite mi sus verificǎ (p n, q) = 0 q P n 1 şi cǎ şirul de polinome vînd propriette de mi sus este unic. 2) Polinomul p n xp n 1 prţine spţiului P n 1 şi se scrie sub form p n xp n 1 = n 1 i=0 α i p i. Luînd produsul sclr l cestei eglitǎţi cu p i obţinem pentru i = 0, 1,, (n 1) relţiile α i (p i, p i ) = (xp n 1, p i ) = (p n 1, xp i ). Polinomul xp i vînd grdul i + 1 obţinem α i (p i, p i ) = 0 dcǎ i n 3; α n 1 (p n 1, p n 1 ) = (xp n 1, p n 1 ), de unde α n 1 = λ n ; α n 2 (p n 2, p n 2 ) = (p n 1, xp n 2 ) = = ( p n 1, p n 1 ) + (p n 1, p n 1 xp n 2 ) = (p n 1, p n 1 ) deorece xp n 2 p n 1 P n 2, deci α n 2 = µ n Dcǎ p n = p n / p n tunci şirul p 0, p 1, p 2,..., p n,... formezǎ o bzǎ ortonormtǎ spţiului (E, ). Polinomele p n (resp. p n ) se numesc polinome ortogonle (resp. polinome ortonormte ) pe (, b) cu funcţi pondere w.
15 1. Cls funcţiilor polinomile 17 Remrc 1.1 Dcǎ {p n } n 0 este un şir de polinome ortogonle ir { n } n 0 este un şir de numere rele nenule tunci şi { n p n } n 0 este un şir de polinome ortogonle. Dcǎ {q n } n 0 este un şir de polinome ortogonle tunci existǎ un şir de numere rele nenule stfel c { n q n } n 0 este identic cu şirul obţinut în Teorem 1.5 Teorem 1.6 Dcǎ n 1 polinomul p n, din şirul {p 0, p 1,...}, re n rǎdǎcini rele şi distincte în intervlul (, b). Demonstrţie. Notǎm prin x 1, x 2,... x k rǎdǎcinile rele de multiplicitte imprǎ prţinînd intervlului (, b) pentru polinomul p n. Dcǎ k = n teorem este demonstrtǎ. Presupunem în continure k < n şi luǎm q(x) = 1 dcǎ k = 0 şi q(x) = (x x 1 ) (x x k ) ltfel. Din propriette de ortogonlitte lui p n pe P n 1 obţinem b p n (x)q(x)w(x)dx = 0. Dr polinomul p n q vînd rǎdǎcini de multiplicitte prǎ pǎstrez un semn constnt pe (, b). Cum w(x) > 0 pe (, b) deducem p n (x)q(x) = 0 pentru orice x (, b), de unde p n (x) = 0, cee ce este în contrdicţie cu fptul cǎ grdul polinomului p n este n. Teorem 1.7 Dcǎ pondere w verificǎ relţiile: w /w = α/β, (wβ)() = (wβ)(b) = 0 (1.5) unde α şi β sînt polinome cu coeficienţi reli de grd cel mult unu, respectiv doi, dr nu vem simultn grdul lui α mi mic c unu şi grdul lui β mi mic c doi, tunci: existǎ o constntǎ n stfel c p n = n w 1 (wβ n ) (n) (formul lui Rodriques), (1.6) polinomul p n verificǎ ecuţi βy + (α + β )y n (α + n + 1 β ) y = 0 (1.7) 2
16 18 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii Demonstrţie. 1) Printr-o derivre se obţine (wβ n ) (n) = (w β n + nwβ n 1 β ) (n 1) = (wβ n 1 R n,1 ) (n 1) unde R n,1 = α + nβ şi m folosit fptul cǎ w β = αw. Prin inducţie se pote demonstr relţi (wβ n ) (n) = (wβ n k R n,k ) (n k) (1.8) unde R n,k este un polinom vînd grdul k şi în plus R n,k = [α + (n k + 1)β ]R n,k 1 + βr n,k 1 Din relţi (1.8) se obţine (wβ n ) (n) = w R n,n cee ce rtǎ cǎ w 1 (wβ n ) (n) este un polinom vînd grdul n. Pentru rǎt cǎ cest polinom este linir dependent de p n vom rǎt cǎ (x k, w 1 (wβ n ) (n) ) w = 0, k = 0, 1,, n 1 şi vom folosi Teorem 1.5. Dr (x k, w 1 (wβ n ) (n) ) = b = (wβ n ) (n 1) x k b k deci p n = n w 1 (wβ n ) (n). b x k (wβ n ) (n) dx = x k 1 (wβ n ) (n 1) dx = = b = ( 1) k k! (wβ n ) (n k) dx = 0, 2) Notînd u n = wβ n, deorece u n = wβ n 1 (α + nβ ) v rezult eglitte βu n = (α + nβ )u n cre derivtǎ de n + 1 ori conduce l identitte Intr-devǎr, β(u (n) n ) + (β α)(u (n) ) 1 2 (n + 1)(2α nβ )u (n) n = 0. (βu n) (n+1) = βu (n+2) n n + (n + 1)β u (n+1) n + ((α + nβ )u n ) (n+1) = (α + nβ )u (n+1) n şi notînd V = u (n) n, rezultǎ cǎ V verificǎ ecuţi n(n + 1) β u (n) 2 + (n + 1)(α + nβ )u (n) n βv + (β α)v (n + 1)(α + n 2 β )V = 0
17 1. Cls funcţiilor polinomile 19 Impǎrţind relţi de mi sus cu w şi grupînd termenii, obţinem ( β w V ) (n + 1)(α + n 2 β ) V w = 0 Inlocuind w 1 V, prin y ir w 1 βv prin y β + αy obţinem deci Dr y β + (α + β )y + α y nα y α y deci p n verificǎ ecuţi (1.7). n(n + 1) β y = 0 2 βy + (β + α)y n(α + n + 1 β )y = 0 2 y = w 1 V = w 1 u (n) n = w 1 (wβ n ) (n), Teorem 1.8 Dcǎ intervlul (, b) este finit su dcǎ nu este finit dr existǎ M şi β > 0 ş încît w(x) M exp( β x ) pentru orice x (, b) tunci şirul (p n ) n 0 este ortogonl şi complet în (E, ). Demonstrţie. Cum mulţime C([, b]) E este densǎ în (E, ) este suficient sǎ demonstrǎm teorem, de mi sus, pentru funcţii continue din E. 1) Pentru orice f E funcţie continuǎ pe [, b] şi pentru orice ɛ > 0, conform teoremei lui Weierstrss, existǎ un polinom R n de grd n stfel încît deci ( b f(x) R n (x) ɛ ) 1 w(t)dt 2, x (, b), b f R n 2 w = w(x) f(x) R n (x) 2 dx < ɛ 2( b ) 1 b w(t)dt w(x)dx = ɛ 2 de unde f R n w < ɛ. Cum R n este un polinom de grdul n existǎ α 0, α 1,..., α n stfel c R n = α 0 p 0 + α n p n deci α 0 p α n p n f w < ɛ. 2) Funcţi h : R R definitǎ prin { w(x) x (, b) h(x) = 0 x (, b)
18 20 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii este mǎsurbilǎ pe R şi existǎ M > 0 şi β > 0 stfel c h(x) Me β x x R. Cum h este nenulǎ.p.t. în (, b) rezultǎ, folosind un rezultt stndrd de nlizǎ mtemticǎ, cǎ şirul (hx n ) este complet în L 2 (, b), deci şirul ( wx n ) n 0 este complet în L 2 (, b), de unde rezultǎ cǎ şirul ( wx n ) este totl în L 2 (, b). Sǎ demonstrǎm cum cǎ şirul (p n ) este totl în (E, ). Pentru f din E, vem b w(x) f(x) 2 dx < +, deci funcţi g = w f este în L 2 (, b) şi folosind rezulttul ce tocmi fost demonstrt, rezultǎ cǎ existǎ 1, 2,..., n in R stfel c g j wx j 2 < ɛ de unde obţinem j=0 deci b b f j x j 2 w = w(x)(f(x) j x j ) 2 dx = j=0 j=0 ( w(x)f(x) j w(x) x j ) 2 dx = g j wx j 2 2 < ɛ 2 j=0 j=0 f j x j w < ɛ j=0 Cum P = n j=0 j x j este un polinom vînd grdul n, existǎ β 0, β 1,..., β n stfel c P = n i=0 β i p i, deci f β j p j < ɛ j=0 cee ce demonstrezǎ cǎ şirul {p j } j N construit în Teorem 1.5 este complet în (E, ). Teorem 1.9 (propriette de minim polinomelor ortogonle) Dintre tote polinomele vînd grdul n de form p(x) = x n + α n 1 x n α 0
19 1. Cls funcţiilor polinomile 21 cel cre relizezǎ minimul funcţionlei F definitǎ prin F(p) = b p(x) 2 w(x)dx este polinomul p n din şirul ortogonl {p 0, p 1,...} în rport cu pondere w. Demonstrţie. Cum {p 0,..., p n } este o bzǎ pentru P n rezultǎ cǎ pentru orice polinom de form p(x) = x n + α n 1 x n α 0 existǎ constntele c 0,..., c n 1 stfel c p = p n + c n 1 p n c 0 p 0. Ţinînd sem de fptul cǎ F(q) = q 2 şi cǎ (p i, p j ) = 0 dcǎ i j, luînd c n = 1 obţinem = ( F(p) = p 2 n ) = (p, p) = c i p i, c j p j = i=0 j=0 i,j=0 c i c j (p i, p j ) = i=0 n 1 c 2 i (p i, p i ) = F(p n ) + c 2 i F(p i ) de unde rezultǎ cǎ F(p n ) F(p) pentru orice polinom vînd grdul n şi coeficientul lui x n egl cu 1. i=0 Exemple de polinome ortogonle Cîtev clse de polinome ortogonle, mi des utilizte, vor fi listte în cele ce urmezǎ. Polinomele Legendre Pentru (, b) = ( 1, 1) şi w(x) = 1 se obţin polinomele ortogonle {p n } ce sînt de form p n (x) = n! (2n)! [(x2 1) n ] (n). Şirul {P n } cu P n = A n p n unde A n = 1/p n (1) formezǎ şirul polinomelor Legendre. Polinomul P n verificǎ ecuţi diferenţilǎ (1 x 2 )y 2xy + n(n + 1)y = 0.
20 22 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii Şirul polinomelor Legendre (P n ) n 0 este complet în L 2 ( 1, 1). Polinomelor Legendre le tşǎm funcţiile Legendre (P n,m ) definite prin P n,m (x) = (1 x 2 ) m/2 (P n (x)) (m). Observǎm cǎ dcǎ m > n tunci funcţiile Legendre socite sînt identic nule. Funcţiile Legendre socite (P n,m ) verificǎ pe ( 1, 1) ecuţi ( ) (1 x 2 )y 2xy + n(n + 1) m2 1 x 2 y = 0 Pentru orice m Z şirul (P n,m ) n 1 este ortogonl şi complet în L 2 ( 1, 1). Polinomele Cebîşev Dcǎ pe ( 1, 1) considerm pondere w(x) = 1/ 1 x 2 se obţin polinomele Cebîsev de prim speţǎ ir dcǎ w(x) = 1 x 2 se obţin polinomele Cebîsev de speţ dou. Uşor se rtǎ cǎ şi verificǎ ecuţi diferenţilǎ p n (x) = 2 1 n cos(n rccos x) y + ny = 0. Şirul polinomelor Cebîşev este complet în L 2 w( 1, 1). Considerînd funcţionl F (p) = mx 1 x 1 p(x) tunci dintre tote polinomele de grd n cre u coeficientul lui x n egl cu unitte polinomele Cebîşev sînt cele cre relizezǎ minimul funcţionlei F. Polinomele Lguerre Pentru (, b) = (0, ) şi w(x) = e x x λ polinomele ortogonle p n notte (L λ n) n 0 se numesc polinome Lguerre. Polinomele Lguerre intervin în studiul multor probleme le fizicii mtemtice, de exemplu în integrre ecuţiei lui Helmholtz în coordonte prbolice, în teori propgǎrii oscilţiilor electromgnetice în lungul liniilor de trnsmisie, etc... Lunînd α(x) = λ x, β(x) = x, cînd λ > 1 funcţi pondere w verificǎ ecuţi (1.5). Polinomul Lquerre L λ n de grdul n re form L λ n(x) = ( 1) n e x x λ (e x x n+λ ) (n)
21 1. Cls funcţiilor polinomile 23 verificǎ ecuţi diferenţilǎ xy + (λ + 1 x)y + ny = 0. Şirul polinomelor Lguerre este complet in E = L 2 w(0, ). Funcţiile ϕ λ n(x) = x λ 2 e x 2 L λ n (x), n 0, λ 0 sînt funcţiile Lguerre socite polinomelor Lguerre. Aceste funcţii u unele proprietǎţi importnte c de exemplu: sînt finite în origine şi nule l + ; formezǎ un şir ortogonl şi complet în L 2 (0, ). Polinome Hermite Pentru (, b) = (, + ) ir w(x) = e x2 se obţin polinomele Hermite ce u form H n (x) = ( 1) n 2 n e x2 (e x2 ) (n) Funcţi pondere w verificǎ ecuţi (1.5) luînd α(x) = 2x, β(x) = 1. Polinomele Hermite H n verificǎ ecuţi diferenţilǎ y 2xy + 2ny = 0. Şirul (H n ) n 0 este complet în E = L 2 w(r). Funcţiile H n (x) = e x2 2 H n (x) se numesc funcţii Hermite socite polinomelor Hermite ir şirul (H n ) n este ortogonl şi complet in L 2 (R). 1.3 Polinome trigonometrice In proximre funcţiilor periodice un rol centrl îl jocǎ polinomele trigonometrice. Un polinom trigonometric de ordinul n şi de periodǎ 2π re form t n (x) = 0 + ( k cos kx + b k sin kx) k=1 unde 0, 1,, n, b 1,, b n sînt numere rele. In cele ce urmezǎ vom not cu T 2π, mulţime polinomelor trigonometrice. Propoziţi 1.3 Mulţime T 2π polinomelor trigonometrice de periodǎ 2π formezǎ o sublgebrǎ în mulţime funcţiilor rele continue.
22 24 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii Demonstrţie. Evident sum douǎ polinome trigonometrice şi înmulţire unui sclr cu un polinom trigonometric este tot un polinom trigonometric. Trebuie sǎ mi rǎtǎm cǎ produsul douǎ polinome trigonometrice este un polinom trigonometric. Fie t 1 şi t 2 douǎ polinome trigonometrice t 1 (x) = 0 + ( k cos kx + b k sin kx) t 2 (x) = douǎ polinome trigonometrice. urmǎtorerele trei tipuri: k=1 m 0 + ( j=1 j cos jx + b j sin jx) Produsul t 1 (x)t 2 (x) cuprinde termeni de k j cos kx cos jx, kb j coskx sin jx, b kb j sin kx sin jx. Insǎ cos(k + j)x + cos(k j)x cos kx cos jx = 2 sin(k + j)x + sin(k j)x sin kx cos jx = 2 cos(k + j)x cos(j k)x sin kx sin jx = 2 deci t 1 (x)t 2 (x) se reduce l o sumǎ finitǎ de cosinusuri şi sinusuri din multipli întregi i lui x, fiecre cosinus şi sinus putînd fi fectt de un coeficient numeric. Aşdr, produsul t 1 (x)t 2 (x) este un polinom trigonometric. Ţinînd sem de fptul cǎ n k= n α k e ikx este un polinom trigonometric dcǎ şi numi dcǎ α k = α k pentru orice întreg pozitiv n obţinem cǎ pentru orice polinom trigonometric de ordinul n existǎ un polinom lgebric. Propoziţi 1.4 1) Pentru orice polinom trigonometric t de ordin n existǎ un polinom lgebric, q, de grd cel mult 2n stfel c t(x) = e inx q(e ix ) x R 2) Dcǎ q este un polinom de grd 2n de form q(x) = 2n k=0 α k x k cu propriette c n k = n+k pentru k {0,..., n} tunci este un polinom trigonometric. t(x) = e inx q(e ix ), x R
23 1. Cls funcţiilor polinomile 25 Demonstrţie. 1) Dcǎ polinomul trigonometric t re form t(x) = 0 + ( k cos kx + b k sin kx) k=1 utilizînd formulele lui Euler e ix = cos x + i sin x, e ix = cos x i sin x obţinem unde şi t(x) = 0 + k=1 = e inx( n k=1 k ib k 2 k + ib k 2 e ikx + k + ib k e ikx = 2 e i(n k)x + 0 e inx + 2 = e inx α k e ikx = e inx q(e ix ) k=0 α k = n k + ib n k 2 n+k ib n+k 2 q(x) = k=1 pentru k {0,..., n} k ib k e i(n+k)x) = 2 pentru k {n + 1,..., 2n} 2 k=0 α k x k. 2) Dcǎ polinomul q(x) = 2n k=0 α k x k de grd cel mult 2n re propriette cǎ α n+α = α n k pentru k {0,..., n} tunci t(x) = e inx q(e ix ) este un polinom trigonometric de ordin n. Putere de proximre polinomelor trigonometrice Vom demonstr, cum, un rezultt de proximre funcţiilor periodice continue prin polinome trigonometrice. Teorem 1.10 Dcǎ f este o funcţie continuǎ, periodicǎ, de periodǎ 2π pe (, + ) tunci pentru orice ε > 0 existǎ un polinom trigonometric t de periodǎ 2π stfel încît f(x) t(x) < ε x R.
24 26 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii Pentru demonstrre cestei teoreme vom rǎt mi întîi rezulttul urmǎtor. Lem 1.1 Dcǎ f este o funcţie continuǎ şi prǎ, definitǎ pe [ π, π] tunci pentru orice ε > 0 existǎ un polinom lgebric P, stfel încît f(x) P (cos x) < ε x [ π, π]. Demonstrţie. Sǎ punem, pentru 1 t 1 ϕ(t) = f(rccos t) (1.9) lucru posibil deorece vlorile funcţiei t rccos t, sînt situte în intervlul [0, π]. Funcţi ϕ, c suprpunere douǎ funcţii continue, este continuǎ pe [ 1, 1]. Conform teoremei lui Weierstrss, de proximre funcţiilor continue prin polinome, existǎ un polinom P stfel încît ϕ(t) P (t) < ε t [ 1, 1]. (1.10) Punînd x = rccos t şi ţinînd sem de (1.9) şi (1.10), rezultǎ f(x) P (cos x) < ε x [0, π]. (1.11) Insǎ cos este o funcţie prǎ, deci x P (cos x) este o funcţie prǎ. Deorece f este prǎ, prin ipotezǎ, rezultǎ f( x) P (cos( x)) = f(x) P (cos x) pentru orice x [0, π], deci, punînd u = x şi ţinînd sem de (1.11) vem f(u) P (cos u) < ε u [ π, 0] (1.12) deci, ţinînd sem de (1.11) şi (1.12), vem f(x) P (cos x) < ε x [ π, π]. Demonstrre teoremei Sǎ considerǎm funcţiile F şi G definitǎ prin F (x) = f(x) + f( x) G(x) = (f(x) f( x)) sin x. Funcţi F este evident prǎ pe (, ). Funcţi G este şi e prǎ pe (, + ), deorece este un produs de funcţii impre. Din fptul cǎ f este
25 1. Cls funcţiilor polinomile 27 periodicǎ, de periodǎ 2π, rezultǎ cǎ F şi G sînt de semene periodice, de periodǎ 2π pe (, ). Putem deci sǎ plicǎm funcţiilor F şi G lem de mi sus. Fie ε > 0. Existǎ douǎ polinome lgebrice P şi Q, stfel încît F (x) P (cos x) < ε/2, G(x) Q(cos x) < ε/2 x (, + ). Punînd şi observînd cǎ t 1 (x) = P (cos x) sin 2 x + Q(cos x) sin x rezultǎ F (x) sin 2 x + G(x) sin x = 2f(x) sin x 2f(x) sin 2 x t 1 (x) < ε x (, ) (1.13) t 1 fiind un polinom trigonometric. Intr-devǎr, pentru orice x rel 2f(x) sin 2 x t 1 (x) = F (x) sin 2 x + G(x) sin x P (cos x) sin 2 x Q(cos x) sin x F (x) P (cos x) sin 2 x + G(x) Q(cos x) sin x < ε. Funcţi f 1 (x) = f(x + π/2) este continuǎ şi re period 2π pe (, ), deci putem sǎ-i plicǎm celşi rţionment c pentru f şi obţinem cǎ existǎ un polinom trigonometric t 2 stfel încît 2f(x + π/2) sin 2 x t 2 (x) < ε x R. (1.14) Inlocuind, în ultim ineglitte, pe x prin x π/2, obţinem, punînd t 3 (x) = t 2 (x π/2) 2f(x) sin 2 (x π/2) t 3 (x) < ε (1.15) şi deorece ineglitte (1.14) este vlbilǎ pentru orice x rel, rezultǎ cǎ şi ineglitte (1.15) este devǎrtǎ pentru orice x rel. Insǎ (1.15) se mi scrie 2f(x) cos 2 x t 3 (x) < ε (1.16) Din (1.13) şi (1.16) rezultǎ 2f(x) (t 1 (x) + t 3 (x) < 2ε x R,
26 28 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii deci, punînd t(x) = (t 1 (x) + t 3 (x))/2 obţinem f(x) t(x) < ε x R. Cum t 1 şi t 3 sînt polinome trigonometrice, obţinem cǎ t este un polinom trigonometric. Corolrul 1.1 Fie f : R R o funcţie continuǎ, periodicǎ, de periodǎ 2π. Existǎ un şir de polinome trigonometrice (t n ) n N cre converg uniform, pe R, cǎtre f. Demonstrţie. Este suficient sǎ fcem, în Teorem 1.10, pe ε = 1/n şi sǎ notǎm t n polinomul trigonometric pe cre Teorem 1.10 îl socizǎ cestui ε. Obţinem f(x) t n (x) < 1/n x R, n N, de unde convergenţ uniformǎ şirului t n l f. 2 Cls funcţiilor spline O ltǎ clsǎ importntǎ de funcţii cre intervine des în nliz numericǎ o formezǎ cls funcţiilor polinomile pe porţiuni. 2.1 Funcţii polinomile pe porţiuni Fie [, b] un intervl finit închis, şi fie n = {x i } n o diviziune intervlului [, b] cu = x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b. Mulţime n împrte intervlul [, b] în n 1 subintervle I i = [x i, x i+1 ), cînd i = 1,... n 2, şi I n 1 = [x n 1, x n ]. Dcǎ P 1,..., P n 1 este un şir de polinome, fiecre vînd grdul cel mult m, tunci definim o funcţie polinomilǎ pe porţiuni f de grdul cel mult m prin f(x) = P i (x) dcǎ x i < x < x i+1, i = 1,..., n 1. Punctele x i se numesc noduri le funcţiei f. In punctele interiore funcţi f încǎ nu este definitǎ. Intr-un sens, o funcţie polinomilǎ pe porţiuni re douǎ vlori în fiecre nod, şi nume f(x i ) = P i 1 (x i ) şi f(x i +) = P i (x i ).
27 2. Cls funcţiilor spline 29 Pentru obţine o funcţie definitǎ în tote punctele intervlului [, b] vom lege funcţi f c fiind continuǎ l drept, dicǎ f(x i ) = f(x i +) pentru i = 2,..., n 1 şi continuǎ l stîng în b. Putem sǎ considerǎm funcţi f definitǎ pe tot R considerînd f(x) = P 1 (x) pentru x x 1 şi f(x) = P n 1 (x) pentru x x n. Definiţi 2.1 Fiind dtǎ o diviziune n = (x i ) n intervlului [, b] şi m un întreg pozitiv vom not cu PP m ( n ) spţiului funcţiilor polinomile pe porţiuni de grd cel mult m. Din cele de mi sus rezultǎ cǎ f PP m ( n ) dcǎ şi numi dcǎ existǎ P 1,..., P n 1 din P m stfel c f(x) = P i (x) x I i, i = 1,, n 1. Propoziţi 2.1 Spţiul PP m ( n ) este un spţiu vectoril finit dimensionl şi dim(pp m ( n )) = (n 1)(m + 1). Demonstrţie. Dcǎ B 1,..., B m+1 este o bzǎ pentru P m tunci funcţiile (ϕ ij ) m+1,n 1,j=1 definite prin { Bi (x) dcǎ x I ϕ ij (x) = j 0 în rest formezǎ o bzǎ pentru PP m ( n ). Deci dimensiune spţiului PP m ( n ) este (n 1)(m + 1). Vom consider derivt de ordin j unei funcţii din PP m ( n ) c fiind o funcţie polinomilǎ pe porţiuni de ordin m j vînd celeşi noduri c funcţi f. O funcţie polinomilǎ pe porţiuni pote fi reprezenttǎ într-un clcultor într-o vriette de moduri. Dcǎ o semene funcţie f şi derivtele sle trebuie evlute în mi multe puncte din [, b] (de exemplu, pentru reprezentre grficǎ ), tunci urmǎtore reprezentre pre sǎ fie ce mi comodǎ şi mi eficientǎ. Pentru o funcţie f PP m ( n ) se du i) întregii m şi n, ce reprezintǎ, grdul polinomelor şi respectiv numǎrul de puncte le diviziunii n.
28 30 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii ii) o secvenţǎ strict crescǎtore de puncte ce formezǎ diviziune n ( = x 1 < x 2 <... < x n 1 < x n = b). iii) mtrice C = (c ji ) m j=0, n 1 derivtelor l drept în noduri, dicǎ c ji = f (j) (x i +) j = 0,..., m, i = 1,..., n 1 Deci f împreunǎ cu derivtele sle pot fi evlute în orice punct x din [, b] prin m j f (j) (x x i ) k (x) = c k,i k! k=0 unde (prin convenţie ) i este un întreg definit prin: i = 1 şi x < x 1, i {1,..., n 2} dcǎ x i x < x i+1, şi i = n 1 dcǎ x x n Funcţii spline polinomile In cls funcţiilor polinomile pe porţiuni legem subclse de funcţii cre în nodurile diviziunii sǎ ibǎ numite proprietǎţi de regulritte. Definiţi 2.2 O funcţie s : [, b] R se numeşte funcţie spline polinomilǎ de grdul m, reltiv l diviziune n = (x i ) n, dcǎ stisfce urmǎtorele douǎ condiţii: 1) s C m 1 ([, b]) ; 2) s (xi,x i+1 ) P m, i = 1,..., n 1 Vom not cu S m ( n ) mulţime funcţiilor spline polinomile de grdul m su echivlent de ordinul m + 1, reltiv l diviziune n. O funcţie s S m ( n ) dcǎ şi numi dcǎ s C m 1 ([, b]) şi s PP m ( n ), cu lte cuvinte S m ( n ) = PP m ( n ) C m 1 ([, b]). Orice element din S m ( n ) se v numi, în continure, funcţie spline de grd m su echivlent funcţii spline de ordinul m + 1. Teorem 2.1 Orice element s S m ( n ) se reprezintǎ în mod unic sub form m n 1 s(x) = i (x x 1 ) i + c p (x x p ) m + (2.1) i=0 unde (x x p ) m + = (mx{0, x x p }) m. p=2
29 2. Cls funcţiilor spline 31 Demonstrţie. Fie s S m ( n ). Deorece s [x1,x 2 ) P m tunci s(x) = mp=0 p (x x 1 ) p = P m (x) pentru orice x [x 1, x 2 ). Cum s [x2,x 3 ) P m luǎm s(x) = Q m (x), x [x 2, x 3 ). Polinomul Q m se pote reprezent în mod unic sub form m Q m (x) = P m (x) + α 2,r (x x 2 ) r (2.2) Ţinînd cont de condiţiile din definiţi spţiului S m ( n ) cerem c funcţi q definitǎ prin P m (x) dcǎ x [x 1, x 2 ) q(x) = Q m (x) dcǎ x [x 2, x 3 ) r=0 sǎ fie de clsǎ C m 1 (x 1, x 3 ). Pentru cest trebuie c P (j) m (x 2 ) = Q (j) m (x 2 ) pentru orice j = 0,..., m 1 (2.3) Ţinînd cont de (2.2), condiţiile (2.3) conduc l: α 2,r = 0 pentru r = 0,..., m 1. In consecinţǎ funcţi m p (x x 1 ) p, p=0 dcǎ x [x 1, x 2 ) q(x) = m p (x x 1 ) p + α 2,m (x x 2 ) m, dcǎ x [x 2, x 3 ) p=0 este din C m 1 (x 1, x 3 ), ir restricţi l fiecre din intervlele [x 1, x 2 ), [x 2, x 3 ) este un polinom de grdul m. In sfîrşit, sǎ observǎm cǎ funcţi q se pote scrie m q(x) = p (x x 1 ) p + c 2 (x x 2 ) m + p=0 pentru orice x [x 1, x 3 ), unde c 2 = α 2,m. Procedînd nlog pentru restul intervlelor se junge l concluzi cǎ s(x) = m p=0 n 1 p (x x 1 ) p + c p (x x p ) m + stisfce condiţiile din definiţi spţiulul S m ( n ). Unicitte formulei de reprezentre (2.1) rezultǎ, nemijlocit, din fptul cǎ restricţi lui s l [x i, x i+1 ) este un polinom. p=2
30 32 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii Teorem 2.2 Dcǎ n = {x i } n o diviziune intervlului [, b] cu = x 1 < x 2 <... < x n = b şi m un întreg pozitiv, tunci: 1) Spţiul S m ( n ) este finit dimensionl şi dim(s m ( n )) = n + m 1 2) Funcţiile ϕ 1,..., ϕ n+m 1 definite prin ϕ i (x) = (x x 1 ) i 1, 1 i m + 1; ϕ m+p (x) = (x x p ) m +, p = 2,..., n 1 formezǎ o bzǎ pentru S m ( n ). Demonstrţie. Cum S m ( n ) este un subspţiu vectoril pentru PP m ( n ), ir PP m ( n ) este finit dimensionl rezultǎ cǎ S m ( n ) este finit dimensionl. Funcţiile ϕ 1,..., ϕ n+m 1 sînt din S m ( n ) şi sînt linir independente. In devǎr, presupunem cǎ existǎ o combinţie linirǎ g = n+m 1 s=1 s ϕ s eglǎ cu zero pe [, b]. Acest însemnǎ m+1 n 1 g(x) = s (x x 1 ) s 1 + m+s (x x s ) m + = 0 x [, b]. s=1 s=2 In prticulr: g(x) = 0 pentru x [x 1, x 2 ), cee ce implicǎ 1 = = m+1 = 0, g(x) = 0 pe [x 2, x 3 ) implicǎ α m+2 = 0, g(x) = 0 pe [x i, x i+1 ) implicǎ α m+i = 0 Deci ϕ 1,..., ϕ n+m 1 este o mulţime linir independentǎ din S m ( n ) şi cum din Teorem 2.1 rezultǎ cǎ orice element din S m ( n ) se reprezintǎ în mod unic în rport cu ϕ 1,..., ϕ n+m 1, rezultǎ cǎ sistemul {ϕ 1,..., ϕ n+m 1 } formezǎ o bzǎ pentru S m ( n ). Pentru o mi bunǎ înţelegere spţiului S m ( n ) vom prticulriz rezulttele de mi sus pentru czul m = 1 şi m = 3. Funcţii spline de grdul întîi Luînd în Definiţi 2.2, m = 1, obţinem definiţi funcţiilor spline polinomile de grdul întîi. Aşdr, Definiţi 2.3 Fie n = {x i } n cu = x 1 < x 2 < < x n = b o prtiţie intervlului [, b]. Se numeşte funcţie spline polinomilǎ de grdul întîi socitǎ prtiţiei n, funcţi s : [, b] R cre stisfce urmǎtorele condiţii: 1) s C([, b]) ; 2) s [xi,x i+1 ] P 1, i = 1,..., n 1 Vom not, c de obicei, prin S 1 ( n ) mulţime tuturor funcţiilor ce stisfc condiţiile 1) şi 2) din Definiţi 2.3.
31 2. Cls funcţiilor spline 33 Teorem 2.3 1) Orice element s din S 1 ( n ) se reprezintǎ în mod unic sub form: n 1 s(x) = (x x 1 ) + i (x x i ) + x [, b] (2.4) i=2 unde 0 = s(x 1 ), 1 = s (x 1 ), i = s (x i +) s (x i ), i = 2,..., n 1. 2) Funcţiile 1, x x 1, (x x i ) +, i = 2,, n 1 constituie o bzǎ pentru S 1 ( n ) şi dim(s 1 ( n )) = n. Demonstrţie. Rezulttele de mi sus se obţin prin prticulrizre teoremelor 2.1 şi 2.2. O ltǎ bzǎ ( utilǎ în specil în clculele numerice ) este definitǎ în teorem urmǎtore. Teorem 2.4 Funcţiile {H 1,..., H n } definite prin (x 2 x)/(x 2 x 1 ) x [x 1, x 2 ] H 1 (x) = 0 x [, b]\[x 1, x 2 ] (x x i 1 )/(x i x i 1 ) x [x i 1, x i ] H i (x) = (x i+1 x)/(x i+1 x i ) x [x i, x i+1 ] 0 x [, b]\[x i 1, x i+1 ] pentru i = 2,, n 1 şi (x x n 1 )/(x n x n 1 ) x [x n 1, x n ] H n (x) = 0 x [, b]\[x n 1, x n ] formezǎ o bzǎ pentru S 1 ( n ). Demonstrţie. Se verificǎ cu uşurinţǎ cǎ H i S 1 ( n ) şi cǎ H 1,..., H n sînt linir independente (în prticulr, relţi H i (x j ) = δ ij este utilǎ pentru verificre linir independenţei funcţiilor H i ). Dǎm în continure grficele funcţiilor H i pentru i fixt, 1 i n:
32 34 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii H i x 1 = x i 1 x i x i+1 x n = b H 1 H n x 1 = x 2 x n 1 x n = b Figur 2.1: Remrc 2.1 Orice element s din S 1 ( n ), în bz formtǎ de funcţiile H 1,..., H n se reprezintǎ în mod unic sub form: s = s(x i ) H i. (2.5) Intr-devǎr, funcţiile H i formînd o bzǎ pentru S 1 ( n ) existǎ sistemul unic de numere 1,..., n stfel încît s = n i H i. In prticulr, pentru orice j = 1,..., n, vem s(x j ) = n i H i (x j ) = j de unde rezultǎ reprezentre (2.5). Sǎ ilustrǎm, pe un exemplu, fptul cǎ bz formtǎ cu funcţiile H i, i = 1,..., n este o bzǎ utilǎ pentru clcule numerice. Fie f : [1/10, 10] R funcţi definită dupǎ cum urmezǎ: f(x) = 1, 3 x [1/10, 31/10] [61/10, 10] 1, 1 (x 3, 1)/1, 4 + 1, 3 x [31/10, 45/10] 2, 2 (4, 8 x)/0, 3 + 0, 2 x [45/10, 48/10] 1, 1 (x 4, 8)/1, 3 + 0, 2 x [48/10, 61/10] cǎrui grfic este dt în figur 2.2
33 2. Cls funcţiilor spline Figur 2.2: Considerînd pe [1/10, 10] diviziune 11 = {x i } cu x 1 = 0, 1, x 2 = 1, 1, x 3 = 2, 1, x 4 = 3, 1, x 5 = 4, 5, x 6 = 4, 8, x 7 = 6, 1, x 8 = 7, 1, x 9 = 8, 1, x 10 = 9, 1 x 11 = 10. Funcţi f S 1 ( 11 ) deci, conform formulei de reprezentre (2.4) se scrie în orice punct x din [1/10, 10]: stfel : f(x) = 1, (x x 4 ) (x x 5 ) (x x 6 ) (x x 7 ) + unde i = f (x i +) f (x i ), i = 4, 5, 6, 7. Clculînd j, j = 4, 5, 6, 7 cu douǎ cifre semnifictive obţinem 4 = 0, 79, 5 = 8, 1, 6 = 8, 2, 7 = 0, 85. Evluînd vlore lui f în punctul x = 9, 5 ( unde coeficienţii i sînt dţi mi sus ) obţinem f(9, 5) = 2, 1. Pe de ltǎ prte din definiţi lui f vem f(9, 5) = 1, 3. Dcǎ în locul reprezentǎrii lui f conform (2.4) folosim reprezentre dtǎ de (2.5), ţinînd sem de definiţi funcţiilor H i vem f(9, 5) = 11 f(x i)h i (9, 5) = f(x 10 ) H 10 (9, 5) + f(x 11 ) H 11 (9, 5) = 1, 3 0, , 3 0, 56 = 0, , 73 = 1, 3 dicǎ vlore exctǎ lui f în punctul 9, 5. Acest exemplu sugerezǎ necesitte introducerii, în generl, pentru S m ( n ) unei bze formtǎ cu funcţii spline cu suport locl. Asupr cestui lucru vom reveni ulterior.
34 36 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii Funcţii spline cubice Cele mi populre şi mi des utilizte în prcticǎ, dintre funcţiile spline, sînt funcţiile spline cubice. Definiţi 2.4 Fie n = {x i } n o diviziune intervlului [, b] cu = x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b. Se numeşte funcţie spline cubicǎ (funcţi spline polinomilǎ de grdul trei ) socitǎ diviziunii n funcţi s : [, b] R cre stisfce urmǎtorele condiţii: 1) s C 2 ([, b]); 2) s [xi,x i+1 ] P 3, i = 1,, n 1. Din definiţi de mi sus se observǎ cǎ o funcţie spline cubicǎ este o funcţie spline polinomilǎ de grdul trei socitǎ prtiţiei n. Vom not, c de obicei, cu S 3 ( n ) mulţime funcţiilor definite pe intervlul [, b] cre stisfce condiţiile 1) şi 2) din definiţi de mi sus, dicǎ S 3 ( n ) = {s : [, b] R; s C 2 ([, b]), s [xi,x i+1 ] P 3, i = 1,..., n 1}. Prticulrizînd teoremele 2.1 şi 2.2 pentru czul funcţiilor spline cubice obţinem: Teorem 2.5 1) Orice funcţie spline cubicǎ, s, socitǎ diviziunii n se pote reprezent în mod unic sub form s(x) = unde b i = s(i) (x 1 +) i! 3 i=0 n 1 b i (x x 1 ) i + i (x x i ) 3 + (2.6) i=2, ir i = s(3) (x i +) s (3) (x i ). 6 2) Funcţiile (ϕ i ) n+2 unde ϕ i(x) = (x x 1 ) i 1, pentru 1 i 4 şi ϕ i+3 (x) = (x x i ) 3 +, i = 2,..., n 1 constituie o bzǎ pentru S 3 ( n ) şi dimensiune spţiului S 3 ( n ) este n + 2. Demonstrţie. Se prticulrizezǎ rezulttele din teoremele 2.2 şi 2.3 pentru m = 3. Cu jutorul vlorilor funcţiei s şi derivtelor sle în nodurile diviziunii n se obţine o ltǎ reprezentre pentru o funcţie spline cubicǎ.
35 2. Cls funcţiilor spline 37 Propoziţi 2.2 O funcţie spline cubicǎ s S 3 ( n ) pe orice intervl [x i, x i+1 ), i = 1,, n 1 l diviziunii n se reprezintǎ în mod unic sub form: unde s(x) = c 1,i + c 2,i (x x i ) + c 3,i 2 (x x i) 2 + c 4,i 6 (x x i) 3 (2.7) c 1,i = s(x i ), c 2,i = s (x i ) c 3,i = [6 s(x i+1) s(x i ) ] (4s (x i ) + 2s (x i+1 )) : (x i+1 x i ) x i+1 x i (2.8) su c 4,i = 6 [ (x i+1 x i ) 2 s (x i ) + s (x i+1 ) 2 s(x i+1) s(x i )] x i+1 x i c 1,i = s(x i ), c 3,i = s (x i ) c 2,i = s(x i+1) s(x i ) x i+1 x i [ s (x i s (x i )] (x i+1 x i ) 3 (2.9) c 4,i = s (x i+1 ) s (x i ) x i+1 x i Demonstrţie. Funcţi s pe intervlul [x i, x i+1 ], fiind un polinom de grdul trei, se pote scrie sub form: s(x) = c 1,i + c 2,i (x x i ) + c 3,i 2 (x x i) 2 + c 4,i 6 (x x i) 3 ir coeficienţii c j,i j = 1, 2, 3, 4 se determinǎ prin identificre. Teorem 2.6 Fie s S 3 ( n ). 1) Vectorul (s 1,..., s n ) R n, unde s i = s (x i ) verificǎ sistemul lgebric (x i+1 x i )s i 1 + 2(x i+1 x i 1 )s i + (x i x i 1 )s i+1 = d i, i = 2,..., n 1 (2.10) unde [ s(xi ) s(x i 1 ) d i = 3 (x i+1 x i ) + s(x i+1) s(x i ) ] (x i x i 1 ) x i x i 1 x i+1 x i
36 38 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii 2) Vectorul (m 1,..., m n ) R n, unde m i = s (x i ) verificǎ sistemul de ecuţii lgebrice unde (x i x i 1 )m i 1 + 2(x i+1 x i 1 )m i + (x i+1 x i )m i+1 = d i, i = 2,..., n 1 (2.11) [ s(xi+1 ) s(x i ) d i = 6 s(x i) s(x i 1 )] x i+1 x i x i x i 1 Demonstrţie. 1) Ţinînd sem de Propoziţi 2.2, pe orice intervl [x i, x i+1 ) i = 1,, n 1, funcţi s se reprezintǎ în mod unic sub form s(x) = c 1,i + c 2,i (x x i ) + c 3,i 2 (x x i) 2 + c 4,i 6 (x x i) 3 unde c 1,i = s(x i ), c 2,i = s i = s (x i ) c 3,i = c 4,i = [6 s(x i+1) s(x i ) ] (4s i + 2s i+1 ) : (x i+1 x i ) x i+1 x i 6 [ (x i+1 x i ) 2 s i+1 + s i 2 s(x i+1) s(x i )]. x i+1 x i Funcţi s fiind de clsǎ C 2 rezultǎ cǎ s(x i + ) = s(x i ), s (x i ) = s (x i +), s (x i ) = s (x i +) pentru orice i = 2,, n 1. Condiţi s (x i ) = s (x i +) revine l c 3,i 1 + c 4,i 1 (x i x i 1 ) = c 3,i în cre ţinînd sem de expresiile lui c 3,i 1, c 3,i, c 4,i 1 rezultǎ 6 s(x i) s(x i 1 ) (x i x i 1 ) 2 2s i + 4s i 1 x i x i 1 + de unde [ + 6 s i + s i 1 (x i x i 1 ) 12s(x i) s(x i 1 )] (x i x i 1 ) 3 (x i x i 1 ) = = 6 s(x i+1) s(x i ) (x i+1 x i ) 2 2s i+1 + 4s i x i+1 x i, i = 2,..., n 1 s ( i ) + 2s i + + s i+1 = x i x i 1 x i x i 1 x i+1 x i x i+1 x i
37 2. Cls funcţiilor spline 39 su încǎ [ s(xi+1 ) s(x i ) = 3 (x i+1 x i ) 2 + s(x i) s(x i 1 )] (x i x i 1 ) 2, i = 2,..., n 1 (x i+1 x i )s i 1 + 2(x i+1 x i 1 )s i + (x i x i 1 )s i+1 = [ s(xi+1 ) s(x i ) 3 (x i x i 1 ) + s(x i) s(x i 1 ) ] (x i+1 x i ) x i+1 x i x i x i 1 dicǎ m obţinut sistemul (2.10). i = 2,..., n 1 2) Ţinînd sem de Propoziţi 2.2, pe orice intervl [x i, x i+1 ), 1 i n 1, funcţi s se reprezintǎ în mod unic sub form s(x) = c 1,i + c 2,i (x x i ) + c 3,i 2 (x x i) 2 + c 4,i 6 (x x i) 3 unde c 1,i = s(x i ), c 3,i = m i = s (x i ) c 2,i = s(x i+1) s(x i ) x i+1 x i ( s (x i+1 ) 6 + s (x i )) 3 c 4,i = s (x i+1 ) s (x i ) x i+1 x i. Din condiţi s (x i ) = s (x i +) obţinem c 2,i = c 2,i 1 + s (x i 1 ) + s (x i ) (x i x i 1 ) 2 1 x i+1 x i de unde ţinînd sem de form coeficienţilor c 2,i 1, c 2,i obţinem (x i x i 1 )m i 1 + 2(x i+1 x i 1 )m i + (x i+1 x i )m i+1 = [ s(xi+1 ) s(x i ) 6 s(x i) s(x i 1 )] x i+1 x i x i x i 1 dicǎ m obţinut sistemul (2.11). i = 2,..., n 1
38 40 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii B - spline cubic Vom construi, în cele ce urmezǎ, o bzǎ cu suport locl pentru S 3 ( n ). Considerǎm, pentru început, czul în cre diviziune n este formtǎ cu puncte echidistnte (în progresie ritmeticǎ ), dicǎ x i = x 1 + (i 1)h, cu h = (b )/(n 1). Pentru i = 0, 1,..., n, n + 1 construim funcţiile B i (x) = 1 h 3 (x x i 2 ) 3, dcǎ x [x i 2, x i 1 ] h 3 + 3h 2 (x x i 1 ) + 3h(x x i 1 ) 2 3(x x i 1 ) 3, dcǎ x [x i 1, x i ] h 3 + 3h 2 (x i+1 x) + 3h(x i+1 x) 2 3(x i+1 x) 3, dcǎ x [x i, x i+1 ] (x i+2 x) 3, dcǎ x [x i+1, x i+2 ] 0, ltfel. Funcţi B i este reprezenttǎ grfic în Figur 2.3 x i 2 x i 1 x i x i+1 x i+2 Figur 2.3:
39 2. Cls funcţiilor spline 41 Din definiţi lui B i, uşor, se pote constt cǎ 4 dcǎ j = i B i (x j ) = 1 dcǎ j = i 1 su j = i dcǎ j = i 2 su j = i + 2 şi cǎ B i (x) 0 pentru x x i 2 şi x x i+2. De semene uşor se consttǎ 3/h dcǎ j = i 1 B i(x j ) = 0 dcǎ j = i 3/h dcǎ j = i + 1. şi B i (x j ) = 6/h 2 dcǎ j = i 1 12/h 2 dcǎ j = i 6/h 2 dcǎ j = i + 1. Propoziţi 2.3 1) Pentru orice i = 0,..., n + 1 funcţiile B i sînt funcţii spline cubice pe [, b] socite diviziunii n. 2) Funcţiile {B 0, B 1,..., B n, B n+1 } formezǎ o bzǎ pentru S 3 ( n ). Demonstrţie. 1) Cum B i C 2 ([, b]) şi B i [xi,x j+1 ] P 3 pentru orice i = 1,..., (n 1), rezultǎ cǎ B i este o funcţie spline cubicǎ socitǎ diviziunii n. 2) Fie α 0,..., α n+1 rele stfel c n+1 j=0 α jb j = 0 pe [, b]. Eglitte de mi sus este echivlentǎ cu n+1 j=0 α j B j (x) = 0, x [, b] (2.12) Scriind relţiile (2.12) în punctele x = x i, i = 1,..., n obţinem n ecuţii, şi nume n+1 j=0 α j B j (x i ) = 0, i = 1,..., n (2.13)
40 42 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii Derivînd relţi (2.12) în punctele x 1, x n obţinem încǎ douǎ ecuţii şi nume n+1 j=0 α j B j(x i ) = 0, i = 1 şi i = n (2.14) Din (2.13) şi (2.14) rezultǎ cǎ vectorul α = (α 0, α 1,, α n, α n+1 ) T verificǎ sistemul de ecuţii Aα = 0 unde A = 3/h 0 3/h /h 0 3/h (2.15) Cum mtrice A este digonl dominntǎ rezultǎ că α = 0, deci funcţiile {B 0, B 1,, B n, B n+1 } sînt funcţii linir independente pe S 3 ( n ), sînt în numǎr n + 2 şi cum dim(s 3 ( n )) = n + 2 rezultǎ cǎ {B 0, B 1,, B n, B n+1 } formezǎ o bzǎ pentru S 3 ( n ) Corolrul 2.1 Orice funcţie spline cubicǎ, s S 3 ( n ) se reprezintǎ, în mod unic, sub form s = n+1 j=0 α j B j unde α = (α 0,, α n+1 ) T este soluţi sistemului Aα = b, mtrice A fiind ce din (2.15) ir b = (s (x 1 ), s(x 1 ),..., s(x n ), s (x n )) T. Demonstrţie. Cum {B 0,..., B n+1 } este o bzǎ pentru S 3 ( n ), pentru orice s S 3 ( n ) existǎ α = (α 0, α 1,..., α n, α n+1 ) T unic stfel c s(x) = n+1 j=0 α j B j (x) pentru orice x [, b]. Scriind relţi de mi sus în punctele x = x i, i = 1,..., n şi poi derivt s în punctele x 1, x n, obţinem sistemul
41 2. Cls funcţiilor spline 43 Aα = b. Mtrice A fiind digonl dominntǎ rezultǎ cǎ A este nesingulrǎ deci α = A 1 b In czul în cre diviziune n nu este echidistntǎ vom rǎt, ulterior, cǎ funcţiile {B 0, B 1,, B n, B n+1 } definite prin B i (t) = (x i+2 x i 2 )[x i 2, x i 1, x i, x i+1, x i+2 ]F t unde F t (x) = (x t) 3 +, este o bzǎ pentru S 3 ( n ) pe [, b]. Funcţii spline polinomile cu deficienţǎ Funcţiile spline de grdul m, definite în secţiune nteriorǎ, prţin clsei C m 1 pe întreg xǎ relǎ. Deorece pe fiecre subintervl cestǎ funcţie este un polinom, condiţiile de netezime se impun numi în nodurile diviziunii n. Aceste condiţii de rcordre în noduri pot fi slǎbite, cerînd c în fiecre nod sǎ vem o rcordre mi puţin netedǎ şi cre pote diferi de l nod l nod. Acest ne v conduce l definire, ş numitelor, funcţii spline cu deficienţǎ. Fie n = {x i } n o diviziune intervlului închis [, b] cu < x 1 < x 2 < < x n < b. Fie m un intreg pozitiv şi fie K = {k 1,..., k n } un vector de întregi cu 0 k i m numit vector de incidenţǎ. Definiţi 2.5 O funcţie s : [, b] R se numeşte funcţie polinomilǎ de grdul m cu deficienţ K, în rport cu diviziune n, dcǎ stisfce urmǎtorele condiţii: 1) s [xi,x i+1 ) P m, i {0, 1,..., n} 2) s (j) (x i ) = s (j) (x i +), 0 j m k i, i {1,..., n}. Vom not mulţime stfel definitǎ prin S m (K, n ) Dcǎ în definiţi de mi sus luǎm k 1 = = k n = k tunci spţiul S m (K, n ) se numeşte spţiul funcţiilor spline cu deficienţǎ k. Se observǎ uşor cǎ dcǎ K = (k,..., k), 0 k m tunci s S m (K, n ) s C m k ([, b]) PP m ( n ). Dcǎ k 1 = k n = 0 tunci S m (K, n ) = P m, dcǎ k 1 = = k n = 1 tunci S m (K, n ) = S m ( n ) ir dcǎ k 1 = = k n = m tunci S m (K, n ) = PP m ( n ).
42 44 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii Teorem 2.7 Orice element s S m (K, n ) se reprezintǎ în mod unic sub form m m s(x) = i (x x 1 ) i + α p,r (x x p ) r + (2.16) i=0 p=1 r=m k p+1 unde (x x p ) r + = (mx{0, x x p }) r. Demonstrţie. Se fce nlog cu demonstrţi Teoremei 2.1 Se observă că s se mi pote scrie unde l i = k i 1. m s(x) = i (x ) i l i + β ij (x x i ) m j + i=0 j=0 Teorem 2.8 Fie n = {x i } n+1 i=0 cu = x 0 < x 1 < < x n < x n+1 = b o diviziune intervlului [, b], m un întreg pozitiv, K = (k 1,..., k n ) un vector de incidenţǎ. 1) Spţiul S m (K, n ) este finit dimensionl şi dim(s m (K, n )) = m k p = m K p=1 2) Funcţiile ϕ ij cu j = 0,..., k i 1; i = 0,..., n definite prin ϕ ij (x) = (x x i ) m j +, unde k 0 = m + 1, formezǎ o bzǎ în S m (K, n ). Demonstrţie. L fel c în demonstrţi Teoremei 2.2 se rtǎ cǎ ϕ ij S m (K, n ) cînd j = 0,..., k i 1, i = 0,..., n şi în plus cǎ sînt linir independente. Cum orice element din S m (K, n ) se reprezintǎ în mod unic cu jutorul funcţiilor (ϕ ij ), cee ce rezultǎ din Teorem 2.7, obţinem cǎ (ϕ ij ) formezǎ o bzǎ pentru S m (K, n ), fiind un sistem de genertori linir independenţi. Dimensiune spţiului S m (K, n ) rezultǎ imedit, deorece dim(s m (K, n )) = k i = k 0 + k i = m k i = m K. i=0 k=1
Integrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Διαβάστε περισσότεραSeminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii
Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi
Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice
Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl
Διαβάστε περισσότεραMULTIMEA NUMERELOR REALE
www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).
Διαβάστε περισσότεραCURS I II. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1 Integrabilitate Riemann. Criterii de integrabilitate
Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineri Mediului Anliz Mtemtică II, Semestrul II Conf. dr. Lucin MATICIUC CURS I II Cpitolul I: Integrl
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 6 FORME LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE. 6.1 Forme liniare
Algebră liniră CAPITOLUL 6 FORME LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE 6 Forme linire Fie V un spţiu vectoril peste un corp K Definiţi 6 Se numeşte formă liniră su funcţionlă liniră o plicţie f : V K cre stisfce
Διαβάστε περισσότεραTITULARIZARE 2002 Varianta 1
TITULARIZARE 2002 Vrint 1 A. Omotetii plne: definiţie, oricre două triunghiuri omotetice sunt semene, mulţime omotetiilor de celşi centru formeză un grup belin izomorf cu grupul multiplictiv l numerelor
Διαβάστε περισσότεραEcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau
EcuŃii de grdul l doile x + x + c = 0,,,c R, 0 Formule de rezolvre: > 0 + x =, x =, = c; su ' + ' ' ' x =, x =, =, = c Formule utile în studiul ecuńiei de grdul l II-le: x + x = (x + x ) x x = S P 3 x
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc SEMINAR 1 3. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1. Să se arate că. f (x) dx = 0. Rezolvare:
Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineri Mediului Anliz Mtemtică II, Semestrul II Conf. dr. Lucin MATICIUC. Să se rte că Rezolvre: SEMINAR
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραSunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότεραANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.
ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii
Διαβάστε περισσότεραsin d = 8 2π 2 = 32 π
.. Eerciţii reolvte. INTEGRALA E UPRAFAŢĂ E AL OILEA TIP. ÂMPURI OLENOIALE. Eerciţiul... ă se clculee dd dd dd, () fiind fţ eterioră sferei + + 4. oluţie. Avem: sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ, θ[, π],
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL VII EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ DEFINITĂ
CAPITOLUL VII EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ DEFINITĂ În teori Integrlei definite numită şi Integrl Riemnn, s- urmărit c, l numite funcţii rele de o vriilă relă, dte pe mulţimi din R, după o schemă
Διαβάστε περισσότεραME.09 Transformate Fourier prin sinus şi cosinus
ME.9 Trnsformte Fourier prin sinus şi cosinus Cuvinte cheie Trnsformre Fourier prin cosinus, trnsformre Fourier prin sinus, trnsformt Fourier prin sinus, trnsformt Fourier prin cosinus, formule de inversre,
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCursul 4. Matrice. Rangul unei matrice. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare. Metoda eliminării a lui Gauss
Lector univ dr Cristin Nrte Cursul 4 Mtrice Rngul unei mtrice Rezolvre sistemelor de ecuţii linire Metod eliminării lui Guss Definiţie O mtrice m n este o serie de mn intrări, numite elemente, rnjte în
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραTema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Διαβάστε περισσότεραTEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE
TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE 35 TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE Obiective: Deinire principlelor proprietăţi mtemtice le uncţiilor, le itelor de uncţii şi le uncţiilor continue Deinire principlelor
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραSeminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA FINALĂ - 22 mai 2010
ETAPA FINALĂ - mi 00 BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A. Pe o dreptă se consideră 00 puncte, cre formeză 009 segmente, fiecre de cm. Pe primul segment, desupr dreptei, construim un pătrt, pe l doile segment,
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραIntegrale generalizate (improprii)
Integrle generlizte (improprii) Fie f : [, ] R, definită prin =, α > 0. Pentru u, funţi α f este integrilă pe intervlul [, u] şi u ln α+ α+ u u = ( α)u α α, α = ln u, α =. Dă treem l limită pentru u oţinem
Διαβάστε περισσότεραTit Tihon CNRV Roman FISA DE EVALUARE A UNITATII DE INVATARE. Caracteristici vizibile observate PUNCTAJ ACORDAT
Tit Tihon CNRV Romn FISA DE EVALUARE A UNITATII DE INVATARE Nr. crt 5 6 7 8 9 0 Nr. crt Nr. crt Crcteristici vizibile observte PUNCTAJ ACORDAT preciere D+ Nu Observţii privind preciere folosire mnulului
Διαβάστε περισσότερα2 Ecuaţii diferenţiale Ecuaţia diferenţială de ordinul n... 55
Cuprins 1 Integrl definită şi generlizări 3 1.1 Definiţie, proprietăţi, formule de clcul............... 3 1. Integrl curbilinie......................... 17 1.3 Integrl improprie.........................
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραGHEORGHE PROCOPIUC ANALIZĂ MATEMATICĂ
GHEORGHE PROCOPIUC ANALIZĂ MATEMATICĂ IAŞI, 2002 Cuprins 1 ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE 6 1.1 Introducere................................... 6 1.1.1 Elemente de teori teori mulţimilor.................
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότερα2 ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL
1 2 ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL 2.1 Probleme clsice de clcul vriţionl Din punct de vedere istoric, prim problemă de clcul vriţionl este ş numit problemă lui Dido. Legend mitologică spune că Dido, su
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραConvergenţa uniformă a şirurilor de funcţii
Convergenţ uniformă şirurilor de funcţii Considerăm un inervl închis orecre [, b ] R şi noăm cu F [,b ] mulţime uuror funcţiilor definie pe [, b ] cu vlori în R, F [,b ] = {x : [, b ] R ; x funcţie orecre}.
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier
Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI"
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN IAŞI CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEŢEANĂ 8 mrtie 04 Profil rel, specilizre ştiinţele nturii FACULTATEA CONSTRUCŢII DE MAŞINI ŞI MANAGEMENT
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 1. ELEMENTE DE ALGEBRA
CAPITOLUL. ELEMENTE DE ALGEBRA. Mulţimi Definiţi.. (Cntor) Prin mulţime se înţelege un nsmlu de oiecte ine determinte şi distincte, cre formeză o entitte. Oiectele cre formeză o mulţime se numesc elementele
Διαβάστε περισσότεραCalcul diferenţial şi integral (notiţe de curs)
Clcul diferenţil şi integrl (notiţe de curs) Şt. Blint E. Kslik, L. Tǎnsie, A. Tomoiogă, I. Rodilǎ, N. Bonchiş, S. Mriş Cuprins 0 L ce pote fi util un curs de clcul diferenţil şi integrl pentru un student
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραIon CRĂCIUN ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL EDITURA PIM
Ion CRĂCIUN ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL EDITURA PIM IAŞI 27 2 Cuprins 1 Integrle improprii 9 1.1 Introducere............................ 9 1.2 Definiţi integrlei improprii................... 1 1.3
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραREZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita
REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραMETODE ŞI ETAPE NECESARE PENTRU DETERMINAREA
ETOE ŞI ETAPE ECESARE PETRU ETERIAREA UGHIULUI A OUĂ PLAE PROF. IACU ARIA, ŞCOALA ROUL LAEA, ORAVIłA, CARAŞ- SEVERI (). Unghi diedru. Fie α şi β două semiplne vând ceeşi frontieră (muchie)d. Se numeşte
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE ANALITICĂ. Capitolul 5 VECTORI LIBERI. #1. Spaţiul vectorial al vectorilor liberi
GEOMETRIE ANALITICĂ Cpitolul 5 VECTORI LIBERI # Spţiul vectoril l vectorilor liberi Fie E spţiul tridimensionl l geometriei elementre orientt Definiţii Pentru oricre două puncte A B E considerăm segmentul
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραAxiomele geometriei în plan şi în spańiu
xiomele geometriei în pln şi în spńiu 1 xiomele geometriei în pln şi în spńiu unoştinńele de geometrie cumulte în clsele gimnzile pot fi încdrte într-un sistem logic de propozińii mtemtice: xiome, definińii,
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραπ } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1.
Trigonometrie FuncŃii trigonometrice. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic b c b sin B, cos B, tgb c C c ctgb, sin B cosc, tgb ctgc b b. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice. sin:r [-,] A c B sin(-x)
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL (material incomplet, în curs de redactare) Paul GEORGESCU
ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL (mteril incomplet, în curs de redctre) Pul GEORGESCU Cuprins PRIMITIVE. Primitive................................... Operţii cu funcţii cre dmit primitive................ 7.3
Διαβάστε περισσότεραProfesor emerit dr. Octavian STĂNĂŞILĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ EDIŢIA DEFINITIVĂ. Floarea Darurilor
Profesor emerit dr. Octvin STĂNĂŞILĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ EDIŢIA DEFINITIVĂ Colecţi Cărţi mri le Şcolii Româneşti Fundţi Flore Drurilor Bucureşti, 214 Culegere textului şi tehnoredctre: MORARU Cmeli Controlul
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότερα4. Integrale improprii cu parametru real
4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie
Διαβάστε περισσότεραUtilizarea algebrelor Boole în definirea şi funcţionarea. Circuitelor combinaţionale cu porţi; Circuitelor combinaţionale cu contacte.
Prelegere 6 În cestă prelegere vom învăţ despre: Utilizre lgerelor Boole în definire şi funcţionre Circuitelor cominţionle cu porţi; Circuitelor cominţionle cu contcte. 6.1 Circuite cominţionle Vom defini
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραINTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0
INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραI. PROGRAMARE LINIARA. 4. Metoda simplex
38 I. PROGRAMARE LINIARA 4. Metod simplex Deorece ştim că dcă progrmul în formă stndrd (P) re optim finit o soluţie optimă v fi cu necesitte o soluţie de bză şi deci v fi socită unei bze B*, este nturl
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότερα5.6. Funcţii densitate de probabilitate clasice
Elemente de sttistică 5.6. Funcţii densitte de probbilitte clsice 5.6.. Introducere L or ctulă eistă un număr mre de funcţii msă de probbilitte şi funcţii densitte de probbilitte ce crcterizeză diferite
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότεραTEMA 3. Analiză matematică - clasa a XI-a (3h/săpt.), clasa a XII-a (3h/săpt.)
LECłII DE SINTEZĂ în vedere pregătirii sesiunii iulie-ugust emenului de BACALAUREAT - M pentru cndidńii solvenńi i liceelor din filier tehnologică, profil: servicii, resurse nturle şi protecńi mediului,
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραProbleme pentru clasa a XI-a
Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραSoluţiile problemelor propuse în nr. 2/2010
Soluţiile problemelor propuse în nr. /00 Clsele primre P.96. Mior rnjeză ptru mărgele, două lbe şi două glbene, un lângă lt, pe o ţă. În câte feluri pote rnj Mior mărgelele? (Cls I) Inst. Mri Rcu, Işi
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότερα