TEORIA SISTEMELOR ŞI REGLARE AUTOMATĂ Cap. 8-12

Transcript

1 Constntin MARIN Dn POPESCU TEORIA SISTEMELOR ŞI REGLARE AUTOMATĂ Cp. 8- LECTII CURS CRAIOVA 7

2 8. STRUCTURI ŞI LEGI 8.. Structur generlă unui sistem e conucere DE REGLARE AUTOMATĂ 8. STRUCTURI ŞI LEGI DE REGLARE AUTOMATĂ 8.. Structur generlă unui sistem e conucere În orice sistem e conucere, în prticulr, e conucere utomtă, se eosebesc urmtorele ptru elemente interconectte c în Fig.8..:. Obiectul conus (instlţi utomtiztă) b. Obiectul conucător (ispozitivul e conucere) c. Sistemul e trnsmitere şi plicre comenzilor (eciziilor). Sistemul informtic (e culegere si trnsmitere informţiilor privin obiectul conus). Progrm Criterii e clitte; Restricþii Obiect conucátor (Dispozitiv e conucere) ( Regultor ) Sistem e Decizii trnsmitere ßi plicre (Comenzi) comenzilor (Element e execuþie) Mrimi comnte (Mrimi e execuþie) Circuitul ínchis l informþiilor Obiect conus Perturbþii (Instlþie utomtiztá) Perturbþii másurte Márimi e proces másurte Márimi e clitte Márimi e recþie Sistem informtic (Tructore) Figur nr.8... Márimi másurte Obiectul conucător (ispozitivul e conucere) elboreză ecizii (comenzi) cre se plică obiectului conus, prin intermeiul elementelor e execuţie, pe bz informţiilor obţinute espre stre obiectului conus prin intermeiul mărimilor măsurte. Deciziile e conucere u c scop îneplinire e către mrime conusă unui progrm în coniţiile îneplinirii (extremizării) unor criterii e clitte, stisfcerii unor restricţii, cân supr obiectului conus cţioneză o serie e perturbţii. Structur e mi sus este o structură e conucere (su în circuit închis) eorece eciziile (comenzile) plicte l un moment t sunt epenente şi e efectul eciziilor nteriore. Acest exprimă circuitul închis l informţiilor prin mărimile e recţie: fenomenul e recţie su feebc. Dcă lipseşte legătur e recţie sistemul este în circuit eschis şi se numeşte sistem e comnă (în prticulr, e comnă utomtă). O stfel e structură se întâlneşte în cele mi iverse omenii e ctivitte: 96

3 8. STRUCTURI ŞI LEGI 8.. Structur generlă unui sistem e conucere DE REGLARE AUTOMATĂ tehnic, biologic, socil, militr etc., în cele ce urmeză referinu-ne însă numi l cele tehnice. Un sistem e conucere în structur e mi sus se pote numi sistem e conucere utomtă eorece este cpbil să elboreze ecizii e conucere folosin mijloce proprii e informre. Un cz prticulr e sisteme e conucere utomtă îl constituie sistemele e reglre utomtă (SRA). Prin sistem e reglre utomtă se înţelege un sistem e conucere utomtă l cre scopul conucerii este exprimt prin nulre iferenţei intre mărime conusă (regltă) şi mărime impusă (progrmul impus), iferenţă cre se mi numeşte btere su erore sistemului. L cele mi multe sisteme e reglre utomtă mărime regltă este chir mărime măsurtă. Pentru clculul unui sistem e reglre utomtă sunt necesre informţii referitore l cele ptru componente e bză e mi sus: comportre (intrreieşire su intrre-stre-ieşire), structură, tehnologie e relizre, coniţii e funcţionre precum şi informţii supr sistemului în nsmblu:criterii e clitte şi performnţe, restricţii, progrme e relizt etc. Procesul e nulre erorii într-un SRA se efectueză folosin ouă principii:. Principiul cţiunii prin iscornţă (PAD). Principiul compensţiei (PC) În czul PAD, cţiune e reglre pre numi upă ce btere sistemului s- moifict torită vriţiei mărimii impuse su vriţiei mărimii e ieşire provoctă e vriţi unei perturbţii. Deci, întâi sistemul se bte e l progrm ("greşeşte") şi poi se corecteză. Este relizt prin circuitul e recţie inversă. Are vntjul compensării efectului oricăror perturbţii. În czul PC, un su mi multe mărimi perturbtore sunt măsurte şi se plică l elementele e execuţie, comenzi cre să compenseze pe cestă cle efectul cestor perturbţii supr mărimii e ieşire trnsmis pe cle nturlă. Are vntjul că pote reliz, în czul iel, compensre perfectă numitor perturbţii fără c mrime e ieşire să se btă e l progrmul impus. Are ezvntjul compensării numi numitor perturbţii, nu oricăror perturbţii. Un sistem e reglre cre îmbină cele ou principii se numeşte sistem e reglre combintă. 97

4 8. STRUCTURI ŞI LEGI 8.. Sisteme e reglre convenţionlă DE REGLARE AUTOMATĂ 8.. Sisteme e reglre convenţionlă (SRC) 8... Structur SRC Prin sistem e reglre convenţionlă (SRC) se înţelege un sistem e reglre utomtă cu o singură intrre, o singur ieşire l cre informţi espre relizre progrmului e reglre este exprimtă numi prin erore (btere) sistemului c iferenţ între mărime impusă si mărime e recţie. Structur generlă unui sistem e reglre convenţionlă este prezenttă în Fig.8... une se evienţiză enumire elementelor şi mărimilor componente. Figur nr.8... Prin iferite exemple concrete se v ilustr moul e funcţionre unui stfel e sistem precum şi moul e eucere schemei bloc pornin e l schem funcţionlă sistemului. Pentru clrificre unor specte referitore l imensiune unor mărimi şi l interpretre unor trnsformte Lplce se recomnă observţiile in prgrful Elementele componente le unui SRC. Instlţi tehnologică (IT): Reprezintă obiectul supus utomtizării în cre mărime e ieşire y IT este mărime cre trebuie regltă ir mărime e execuţie este un in mărimile e intrre lesă c mărime e comnă ieşirii. Restul mărimilor e intrre, cre nu pot fi controlte în cestă structură cpătă sttutul e perturbţii. Alegere mărimii e execuţie se fce pe bz urmtorelor criterii principle: - posibilitte moificării ieşirii în omeniul cerut cân perturbţiile cţioneză în limite cunoscute; - posibilitte moificării ei printr-un element e execuţie convenbil; - respectre unor consierente tehnologice. 98

5 8. STRUCTURI ŞI LEGI 8.. Sisteme e reglre convenţionlă DE REGLARE AUTOMATĂ une Depenenţ intrre-ieşire prin moel linir este exprimtă e relţi ( ) ( ) ( ) K IT IT IT ITP = Y IT (s) IT (s) = P K (s) =,con.init. nule UIT(s) q Y s = H s U s + H (s)p (s) (8..) H este funcţi e trnsfer instlţiei tehnologice în rport cu mărime e comnă, ir H IT P Y IT (s) (s) = P(s) U (s) P (s),j, c on..init..nule IT j este funcţi e trnsfer instlţiei tehnologice în rport cu perturbţi. b. Elementul e execuţie (EE): Relizeză legătur între regultor şi instlţi tehnologică vân mărime e intrre U EE ientică cu mărime e ieşire in regultor Y R şi mărime e ieşire Y EE ientică cu mărime e intrre în instlţi tehnologică. Mjoritte elementelor e execuţie se pot consier lcătuite in conexiune serie ouă obiecte: elementul e comnă cre relizeză e obicei mplificre în putere şi orgnul e reglre cuprinzân nsmblul e elemente ce relizeză moificre mărimii e intrre în instlţi tehnologică. În czul linir relizeză relţi Y EE(s) = H EE(s).U EE(s), cu funcţi e trnsfer H (s). EE c. Tructorul (Tr). Converteşte mărime fizică regltă într-o mărime r, enumită mărime e recţie, vân ceeşi ntură cu mărimile in blocul regultor. În czul linir relizeză relţi R(s) = H (s).y (s), Tr cu funcţi e trnsfer IT H Tr(s).. Regultorul (R): C şi componentă SRA reprezintă elementul cre prelucreză erore ε şi relizeză mărime e comnă Y R în conformitte cu o ş numită lege e reglre prestbilită în scopul îneplinirii srcinii funmentle reglării: nulre erorii sistemului. Iel, cestă srcină presupune reproucere fielă mărimii impuse şi rejecţi totlă tuturor perturbţiilor. C prt, e cele mi multe ori, blocul regultor înglobeză şi elementul e comprţie. 99

6 8. STRUCTURI ŞI LEGI 8.. Sisteme e reglre convenţionlă DE REGLARE AUTOMATĂ e. Dispozitivul e prescriere (DP): Relizeză mărime impusă v comptibilă cu mărime e recţie r. Acest bloc pote fi relizt într-un ispozitiv seprt su inclus în blocul regultor. Elementele cu structur in Fig.8... constituie o ş numită buclă e reglre. În prctică, o buclă e reglre este prevăzută şi cu o serie e elemente uxilire: prte inictore su înregistrtore, elemente e comnă e l istnţă, elemente e cuplre l un clcultor e proces. Trebuie remrct fptul că structur SRA e mi sus şi problemele e nliză şi sinteză cre vor fi ezvoltte ulterior sunt celeşi iniferent e tehnologi e relizre echipmentelor e utomtizre (electronice, pneumtice, numerice prin clcultor e proces). Referitor l un SRC se efinesc următorele noţiuni:. Circuitul irect: Circuitul irect este constituit in nsmblul elementelor cuprinse între btere ε şi mrime regltă Y IT.Pentru sisteme linire este crcterizt prin ş numit funcţie e trnsfer în circuit irect, D H (s) = H (s)h (s)h (s) (8..) R EE IT. Circuitul eschis: Circuitul eschis este constituit in elementele cuprinse între erore şi mărime e recţie, pentru sistemele linire fiin crcterizt prin ş numit funcţie e trnsfer în circuit eschis D R EE IT Tr Tr H (s) = H (s) H (s) H (s) H (s) = H (s) H (s) (8..3) Întoteun se consieră că un sistem "se eschie" întrerupân circuitul invers e l mărime e recţie r. 3. Prte fixă (fixtă) sistemului: Prte fixă (fixtă) sistemului este constituită in elementele cre în procesul e sintez SRA se u c te iniţile. Prte fixă este constituită in: instlţi tehnologică, elementul e execuţie şi tructor. Otă precizte mărime regltă şi mărime e execuţie, tructorul şi elementul e execuţie se leg in consierente tehnico-economice stfel c proiectre SRC se reuce l clculul legii e reglre şi proiectre imensionl-vlorică regultorului. Pentru sisteme linire, este utiliztă funcţi e trnsfer părţii fixe H F(s) = H EE(s) H IT(s) H TR(s) (8..4) stfel că funcţi e trnsfer în circuit eschis este H (s) = H (s) H (s) (8..5) R F

7 8. STRUCTURI ŞI LEGI 8.. Sisteme e reglre convenţionlă DE REGLARE AUTOMATĂ 4. Structur echivlentă unui SRC cu recţie irectă Pentru unific proiectre pentru o iversitte e instlţii, se consieră că mărime e ieşire in sistem este mărime e recţie stfel că circuitul e recţie este irect ir în circuitul eschis pr numi ouă elemente: regultorul şi prte fixă sistemului c in Fig.8... Figur nr.8... Într-o stfel e structură scopul este reglre mărimii e recţie r cât mi prope e v, prent fără legătură cu mărime fizică y IT cre însă pote fi reobţinută, în schem e clcul, consierân un element cu funcţi e trnsfer /H Tr(s) ir în prctică pote fi observtă pe grţi unui prt înregistrtor su inictor conectt l ieşire in tructor ică l mărime e recţie. Performnţele impuse supr mărimii y IT su erorii fizice e f = v f yit, pot fi trnspuse supr mărimii y=r su erorii e=v-y ţinân cont e epenenţ în regim stţionr f r= KTry IT,e= KTre. Dcă tructorul re o comportre inmică mult iferită e cee unui element neinmic cestă trnspunere performnţelor nu se mi pote fce lgebric (cu excepţi celor în regim stţionr). În cest cz se pote utiliz schem echivlentă cu recţie irectă vân c mrime e ieşire chir mărime regltă y IT c în Fig Figur nr Chir că nu există fizic o mărime v f, în schem e mi sus f V (s) = / H Tr(s)V(s) exprimă ce mărime cre prin intermeiul tructorului etermină mărime v.

8 8. STRUCTURI ŞI LEGI 8.. Sisteme e reglre convenţionlă DE REGLARE AUTOMATĂ 8... Relţii în SRC Consierân perturbţiile eplste l ieşire, structur in Fig.8... este echivlentă cu structur in Fig Răspunsul părţii fixe sistemului, Figur nr F F Fp = q Y(s) = H (s)u (s) + H (s) P (s) (8..6) în cre H F (s) este funcţi e trnsfer părţii fixe şi exprimă epenenţ intre mărime e execuţie u F şi mărime e ieşire y ir H (s) este Funcţi e trnsfer părţii fixe în rport cu perturbţi p. Y(s) H Fp (s) = U F(s) ; P j(s), j, con..init..nule (8..7) P(s) Deorece în circuit închis U (s) = H (s) E(s); E(s) = V(s) Y(s), F R se obţine Expresi ieşirii sistemului în circuit închis, une s-u efinit: v p = q Y(s) = H (s) V(s) + H (s) P (s) (8..8) Funcţi e trnsfer în circuit închis în rport cu mărime impusă, H (s) H R(s) H F(s) Y(s) H (s) = = ; H (s) + H (s) + H (s) H (s) V(s) v v P (s), = :q R F F P (8..9)

9 8. STRUCTURI ŞI LEGI 8.. Sisteme e reglre convenţionlă DE REGLARE AUTOMATĂ Funcţi e trnsfer în circuit închis în rport cu perturbţi p, H Fp (s) Y(s) H (s) = ; H (s) (8..) + p p V(s) H (s) P(s) j = Expresi erorii sistemului în circuit închis, q ε EC p = P(s),j E(s) = H (s) V(s) + H P (s) (8..) une s-u efinit: Funcţi e trnsfer elementului e comprţie în circuit închis. E(s) H EC(s) = = H v (s); H EC(s) P (s) (8..) + H V(s) Acest exprimă epenenţ intre eroreε şi mărime impusă v, în circuit închis. Funcţi e trnsfer elementului e comprţie în rport cu perturbţi H (s) E(s) H (s) = H (s) = ; H (s) (8..3) + ε Fp ε p p p P(s) =,j H P (s) V(s) j Expresi mărimii e comnă în circuit închis, Y (s) = H (s) E(s) = H (s) V(s) + H (s) P (s) (8..4) R R C Cp = une s-u efinit: Funcţi e trnsfer e comnă în circuit închis în rport cu mărime impusă H R(s) Y R(s) H C(s) = H R(s) H EC(s) = ; H C(s) P (s) (8..5) + H (s) E(s) Funcţi e trnsfer e comnă în circuit închis în rport cu perturbţi p H R(s) H p (s) ε Y R (s) H Cp (s) = H R (s) H p (s) =, H Cp (s) = V(s) + H (s) P(s) P(s) j =,j (8..6) Cunoştere expresiei su limitelor e vriţie mărimii e comnă y R este importntă pentru evienţi menţinere vlbilităţii moelului mtemtic linir, cunoscut fiin fptul că l mărime e comnă (l ieşire in regultor su l intrre în elementul e execuţie) pr limitări e tip sturţie. q 3

10 8. STRUCTURI ŞI LEGI 8.. Sisteme e reglre convenţionlă DE REGLARE AUTOMATĂ Observţii şi precizări privin reprezentre vribilelor. Mărime e ieşire y IT in Fig.8... este o mărime fizică imensionlă: C ; Br; Volt, upă cum cest este o tempertură, presiune, tensiune electrică ir mărime e recţie r re imensiune mărimii e ieşire in tructor. Prin urmre şi mărimile v şi ε u o ceeşi imensiune c şi r eorece pr în relţie itivă. Dcă sistemul re un ispozitiv e prescriere, cest este prevăzut cu un buton e comnă cărui sclă este grtă în unităţi le mărimii fizice reglte y IT. Vlore inictă e poziţi butonului e prescriere reprezintă mărime f fizică impusă v. f Evient, epenenţ intre v şi v este ceeşi c şi cee între y IT şi r, f fiin în regim stţionr V= KTrV, une KTr = H Tr() este fctorul e mplificre e poziţie l tructorului şi re imensiune [r]/[ y IT ]. De exemplu, că mărime e ieşire in tructor r este o intensitte e curent între [4,]mA cre corespune vriţiei mărimii fizice regltă y IT, e exemplu o tempertură în omeniul [,8] C, tunci, în ipotez e liniritte, K Tr =(-4)/(8-)=/ ma/ C. f În cest cz mărime impusă v exprimă o tempertură (mrctă l ispozitivul e prescriere su l un prt inictor) (V 4)(mA) θ ( C) = ( C) + ma.( ) C ir erore ε reprezintă un număr e ma cre corespune unei iferenţe e tempertură f δ(ma) θ = v yit =. ma.( ) C Se pote efini şi erore (btere) în unităţi fizice, f f ε = v yit = ε KTr r cestă mărime este o mărime e clcul, şi nu întoteun pote fi reprezenttă printr-o mărime fizică purtătore e informţie (tensiune, intensitte e curent, etc.).. Dcă numite elemente sunt linire invribile în timp su în numite coniţii pot fi escrise prin elemente linire, comportre intrre-ieşire este escrisă prin opertorul funcţie e trnsfer, cre reă numi răspunsul forţt. 4

11 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.3. Sistem e reglre poziţiei unghiulre DE REGLARE AUTOMATĂ 8.3. Sistem e reglre poziţiei unghiulre Prezentre schemei funcţionle Se consieră sistemul e reglre poziţiei unui x in Fig.8.3.., cţiont cu un motor e curent continuu. Figur nr Prin cest sistem e reglre utomtă se relizeză eglitte intre vlore unghiului xului (l unui orgn e lucru) α e şi vlore orită α i cestui unghi exprimtă prin poziţi cursorului unui potenţiometru, în coniţiile în cre un cuplu rezistent C r pote moific vlore unghiului α e prin mbreijul prevăzut. Se presupune că reuctorul mecnic re un fctor e reucţie mre ş fel încât Cr nu fecteză vitez e rotţie ω motorului e c.c. Dtorită mbreijului relţi intre unghiul xului e lucru αeşi unghiul xului e ieşire in reuctorul mecnic α este m α e(t) =α m(t) +α p(t) (8.3.) su în omeniul complex A (s) = A (s) + A (s) A (s) = L{ α (t)},etc., (8.3.) une prin [ ] s m p e e α p s- nott eviţi unghiulră provoctă e C r în mbreij Descriere comportării sistemului Comportre unui stfel e sistem pote fi exprimtă clittiv, în cuvinte stfel: În regim stţionr, că există un stfel e regim, unghiul α e este constnt cee ce implică vitez e rotţie ω = cre implică o vlore tensiunii l bornele rotorului motorului U m = şi o tensiune l intrre mplifictorului e putere U = cre implică l rânul ei eglitte intre tensiune prescrisă v şi tensiune e recţie r ică eglitte intre unghiurile α e şi α i că potenţiometrele prin cre se genereză mărime prescrisă şi ce e recţie sunt ientice şi limentte l ceeşi tensiune. 5

12 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.3. Sistem e reglre poziţiei unghiulre DE REGLARE AUTOMATĂ Se re în veere că mplifictorul operţionl este conectt "în montj iferenţil" şi relizeză relţi R u (s) = [v(t) r(t)], (8.3.3) R în omeniul timp, su în omeniul complex, R U (s) = [V(s) R(s)] (8.3.4) R Evoluţi în timp sistemului se crcterizeză prin urmtorele trei tipuri e regimuri e funcţionre: *. Regimul stţionr, există (este efinit) cân tote mărimile in sistem sunt constnte în timp. **. Regimul permnent, este etermint e vriţi în timp mărimilor e intrre: mărime prescrisă şi perturbţiile. Regimul permnent se evientiză istinct upă nulre ("stingere") regimului trnzitoriu că cest lucru este posibil (sistem stbil). În czul sistemelor nelinire, regimul permnent pote fi reprezentt şi e ş numitele "oscilţii intreţinute". ***. Regimul trnzitoriu, este etermint e ezechilibrele in sistemele inmice. Regimul trnzitoriu este etermint tât e vriţi mărimilor e intrre cât şi e coniţiile iniţile nenule. Aceste in urmă pot pre echivlent şi torită moificării vlorilor unor prmetri i sistemului. Se vor prezent trei tipuri e regimuri trnzitorii în funcţie e cuzele cre le-u etermint: I. Regimuri trnzitorii cre pr în urm vriţiei treptă mărimii impuse. Aceste pot fi urmărite in Fig II. Regimuri trnzitorii cre pr în urm vriţiei treptă unei perturbţii. Aceste pot fi urmărite în Fig III. Regimuri trnzitorii cre pr în urm moificării vlorii unui prmetru l sistemului. Aceste sunt e celşi tip c cele in Fig Să notăm vlorile mărimilor crcteristice în regimul stţionr iniţil cu inicele "" superior, ică, e i m e m p i e α =α ; ω = ;u = şiα =α +α ;v = K α = r = K α (8.3.5) Tipul I. (Fig.8.3..). Dcă mărime impusă (prescrisă) αi se moifică l o vlore α i >αi tunci rezultă u > cre etermină um > şi rotire motorului cu o viteză ω> stfel că unghiul α e creşte spre vlore α i cân pre eventul un nou regim stţionr. 6

13 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.3. Sistem e reglre poziţiei unghiulre DE REGLARE AUTOMATĂ În prctică pot pre urmtorele situţii: Czul. Dcă rportul KR = R /R este mic, l o btere i e R ε =α α = K (v r) (8.3.6) rezultă tensiunile u si u m e vlori mici; motorul se v roti forte încet şi unghiul α e se propie încet e vlore α i fără să epăşescă nou vlore impusăα i ; Czul b. Dcă rportul KR = R /R este mi mre ecât o vlore K R şi mi mică lim ecât o vlore limită K R, motorul se v roti cu o viteză mi mre şi unghiul α e tinge repee vloreα i, însă, torită inerţiei mecnice reuctorului şi motorului su inerţiei electrice mplifictorului şi motorului, unghiul α e v epăşi vlore α i rezultân o epăşire mximă mx e mx i mx mx σ =α α ; ε = σ <, (8.3.7) stfel că se obţine o tensiune u < ce etermină rotire motorului în sens invers stfel că unghiul α e v sce însă nu se v opri l vlore α i ci o v epăşi în jos l o vlore α <α rezultân o epăşire mximă emx σ mx =αe mx α i şi Cân i ε mx = σ mx > ; 7 mx mx σ < σ. (8.3.8) α e <α i tensiune u > şi motorul se v roti ir în sensul creşterii 3 3 unghiului α e rezultân α e, mx cu σ mx < σ mx. Un stfel e regim e funcţionre se numeşte "regim oscilnt mortizt"; Czul c. Dcă rportul KR = R /R KRlim, epăşeşte o numită vlore limită K, comportre sistemului este c in czul "b" r, Rlim 3 σ mx < σ mx < σ mx <... Vlorile extreme le tensiunii u (pozitive su negtive) sunt in ce în ce mi mri, teoretic cresc în moul până l infinit însă prctic până l vlorile mxim posibile (vlori e sturţie) le mplifictorului operţionl. Un stfel e regim e funcţionre este enumit instbil eorece nu se pote obţine o nouă vlore e regim stţionr, mărime e ieşire vân oscilţii permnente în jurul vlorii orite, regim necceptt în prctică.

14 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.3. Sistem e reglre poziţiei unghiulre DE REGLARE AUTOMATĂ Figur nr Tipul II. (Fig ) Dcă mărime α i se menţine constntă însă, torită cuplului rezistent C r pre o lunecre în mbreij, tunci, în loc e vlore stţionră α e =α m +α p pre o nouă vlore α e =α m +α p (eci unghiul perturbtor s- moifict e l vlore α p l α p rezultân un regim trnzitoriu cre "fenomenologic" se pote explic l fel c în czul I: ) că KR < KR v reveni l vlore stţionr fără să ibă loc oscilţii (regim perioic); b) că K R KR < KRlim, αev reveni l vlore α e upă un regim oscilnt (regim oscilnt mortizt); c) KR KRlimunghiul α e nu v mi tinge vlore stţionră, in sistem părân oscilţii permnente (regim instbil). Figur nr

15 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.3. Sistem e reglre poziţiei unghiulre DE REGLARE AUTOMATĂ Tipul III. Dcă sistemul se găseşte într-un regim stţionr, evient α e =α i şi v = r eci u. Dcă în cestă situţie se moifică rportul K R tunci u =K R[v -r ]=K R.= şi sistemul rămâne în cest "regim e echilibru", oricre r fi vlore lui K R. K < K, l ce mi mică perturbţie e scurtă urtă plictă Dcă R Rlim 9 sistemului, pre un regim trnzitoriu e tipul "" că KR < KR su e tipul "b" că KR KR < KRlim. Dcă KR KRlim l ce mi mică perturbţie sistemul oscileză nerevenin l un nou regim stţionr. În czurile "" şi "b" regimul trnzitoriu v ispre (teoretic cân t prctic upă un intervl finit e timp) sistemul revenin l stre e echilibru. Un stfel e sistem se spune că este stbil ică re cpcitte e reveni "singur" într-un regim e echilibru. (Exct, se spune că stre e echilibru respectivă este simptotic stbilă). Dcă KR KRlim,l ce mi mică perturbţie pre un regim trnzitoriu c în czul "c" sistemul nefiin cpbil să-şi regăsescă stre e echilibru. Un stfel e sistem este instbil (exct, se spune că stre e echilibru respectivă este instbilă). O stfel e escriere nu permite obţinere unor concluzii prctice in cre să rezulte ce trebuie făcut pentru c sistemul să ibă o numită comportre în regim stţionr şi trnzitoriu (în prticulr pentru fi stbil), în ce ctegorie e sisteme se încreză pentru nliz o numită clsă e proprietăţi, cum trebuie moifictă structur sistemului pentru stisfce numite cerinţe e comportre. Singur soluţie l o stfel e situţie o constituie moelre mtemtică structurii fizice, încrre moelului în numite clse şi plicre metoelor e nliză şi sinteză specifice clsei respective Moelul mtemtic linir l sistemului e reglre În ipotezele menţionte nterior rezultă că că mărimile crcteristice nu u vriţii mri, fiecre element pote fi escris printr-un moel mtemtic linir obţinânu-se e ici o structură liniră e reglre utomtă. O nliză mi exctă trebuie să ţină cont şi e efectul e sturţie în mplifictorul operţionl şi mplifictorul e putere, e efectul cuplului rezistent supr vitezei e rotţie, e priţi frecărilor în elementele mecnice, e efectul jocului în ngrenjele reuctorului mecnic. Tote ceste specte pot fi stuite folosin tehnicile şi metoele sistemelor inmice nelinire. În ipotez e liniritte se obţine schem bloc sistemului e reglre în omeniul complex s, schemă cre reă nu structur e interconectre elementelor fizice componente ci relţiile intre mărimile crcteristice cre escriu comportre elementelor componente. Se u în veere următorele epenenţe intrre-ieşire le elementelor componente:

16 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.3. Sistem e reglre poziţiei unghiulre DE REGLARE AUTOMATĂ -Genertorul e mărime prescrisă E v(t) = α i(t) = K α i; V(s) = K A i(s) (8.3.9) αmx E 5 V V Dcă α mx = ( S) si E = 5V K = = =. α S 4 S Cân α [ ] [ ] i, S v,5 V ( S insemn gre sexgesimle). -Tructorul e poziţie E V r(t) = α e(t);r(s) = KA e(s);k = ;r [,5]V (8.3.) α 4 s mx -Amplifictorul operţionl Avân în veere structur e montj iferenţil R u (t) = [v(t) r(t)]; U (s) = K R[V(s) R(s)]; (8.3.) R R K R = ; v r =ε [ 5,5]V [,]V R Presupunân că mplifictorul operţionl este limentt cu ± V, evient nici tensiune e ieşire u nu pote epăşi ceste vlori. Pentru mplifictorul operţionl în montj iferenţil, cre relizeză "blocul regultor" şi "elementul e comprţie" l sistemului e reglre este importntă prezentre "crcteristicii sttice intrre-ieşire" în cre se evienţiză efectul e sturţie. În Fig se prezintă fmili e crcteristici sttice mplifictorului operţionl în montj iferenţil. Se observă că că ε comportre în regim stţionr (pentru cest KR element şi în regim inmic) este liniră, şi moelul mtemtic linir l întregului sistem este corect, rezulttele teoretice coincizân cu cele prctice obţinute experimentl. mx Figur nr

17 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.3. Sistem e reglre poziţiei unghiulre DE REGLARE AUTOMATĂ Dcă ε>, escriere linir nu mi este vlbilă,rezultte teoretice KR corecte se obţin numi folosin moele şi tehnici pentru sisteme nelinire. -Amplifictorul e putere Converteşte semnlul e tensiune u [,]V într-o tensiune u m [, ]V cre se plică l bornele motorului şi pote gener un curent mre, comptibil cu putere motorului. De exemplu, că curentul mxim solicitt e motor este e A tunci mplifictorul e putere trebuie să ibă o mx mx putere PA Um Im = W Dcă putere mplifictorului este mre tensiune l bornele sle este epenentă numi e tensiune u şi nu epine e vlore curentului (se comportă c o sursă ielă e tensiune). Crcteristic s sttică intrre-ieşire (cre se pote euce experimentl) este prezenttă în Fig şi relevă crcterul linir l epenenţei în limitele normle e funcţionre. Figur nr Figur nr Comportre în regim inmic se euce efectuân, e exemplu, o testre l semnl treptă c în Fig in cre se trge concluzi că mplifictorul e putere pote fi escris printr-o funcţie e trnsfer e orinul I, K um V H (s) =, K = = = (8.3.) Ts + u V T =.sec. şi U m(s) = H R(s) U (s) Vlore K eusă în felul cest exprimă fctorul e proporţionlitte în jurul punctului e funcţionre (u = 5V;um = 5V) Deorece crcteristic sttică este liniră (în omeniul e lucru) el este constnt şi se pote clcul şi prin rportul V ( )V K = = V ( )V

18 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.3. Sistem e reglre poziţiei unghiulre DE REGLARE AUTOMATĂ -Motorul e curent continuu Privit c obiect orientt, converteşte tensiune u m [,]V într-o vitez e rotţie ω [ 5, 5]rot / sec. Efectuân o testre l intrre treptă c în czul mplifictorului e putere se obţine o funcţie e trnsfer e orinul I e form K3 ω S/sec S/sec Ts 3 + um V V H (s) =,K = =.5 36 = 8 ; T = sec.5 Ω(s) = H 3(s) U m(s), H 3(s) = s + (8.3.3) -Reuctorul mecnic Presupunân că prin prescripţii tehnologice se cere c l vitez mximă e rotţie motorului, ω mx = 5rot /sec., xul e poziţiont trebuie să relizeze o rotţie completă în sec (ică o viteză e rotţieω m, mx = rot /sec ), este necesr un fctor e reucţie mecnică ωm, mx. K 4 = = = ωmx 5 5 ; ω m(t) = K 4 ω(t), α m(t) = K 4 α(t) Avân în veere că α =ω sa(s) α () =Ω (s), A m(s) = K4 A(s) t rezultă epenenţ intrre-ieşire în complex şi coniţii iniţile nule, A m(s) = K 4 Ω (s) s (8.3 4) Relţiile (8.3.)-(8.3.4) exprimă în omeniul complex s epenenţele intrre-ieşire le elementelor componente le sistemului e reglre şi relţiile e interconexiune, formân un sistem e ecuţii lgebrice: A e(s) = A m(s) + A p(s) (8.3.5) V V(s) = K A i(s); K = 4 S (8.3.6) R(s) = K A e(s) (8.3.7) R U (s) = K R [V(s) R(s)] ; KR = R (8.3.8) R U (s) = H (s) U (s); H (s) = ; K =, T =.sec. (8.3.9) m Ts +

19 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.3. Sistem e reglre poziţiei unghiulre DE REGLARE AUTOMATĂ K3 S 3 m Ts 3 + V Ω (s) = H (s) U (s); H (s) = ;K = 8, T = sec. (8.3.) K 4 A S m(s) = Ω (s);k4 = (8.3.) s 5 rot/sec Relţiile e mi sus constituie moelul mtemtic intrre-ieşire l sistemului e reglre şi escriu comportre cestui în ipotezele menţionte. De cum îninte, stuiul comportării se v efectu pe cest moel mtemtic şi nu pe sistemul fizic, concluziile fiin în finl plicte şi rezulttele comprte cu cele experimentle. Relţiile (8.3.5)-(8.3.) se exprimă şi prin schem bloc in Fig în cre s- echivlt U (s) = K R [V(s) R(s)] = KRK [A i(s) A e(s)] (8.3.) Figur nr Aş cum se pote observ în Fig în structur sistemului escris, pr tote elementele unui sistem e reglre convenţionlă. Se clculeză elementeleh (s),h (s),h (s). Dcă în locul rezistenţelor R F F P R,R se monteză în AO ouă impenţe Z (s), Z (s) tunci Z(s) H R (s) = (8.3.3) Z(s) KK KK H F(s) = = s (T s+ ) (T s+ ) s (.s+ ) (s+ ) 3 V H F (s) = K P = 4 S (8.3.4) (8.3.5) 3

20 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.4. Legi tipizte e reglre continule linire DE REGLARE AUTOMATĂ 8.4. Legi tipizte e reglre continule linire Prezentre generlă În prctic inustrilă reglării utomte s-u impus ş numitele legi e reglre e tip PID (Proporţionl-Integrtor-Derivtor) su elemente e tip PID, cu o funcţie e trnsfer H R (s), cre stisfc în mjoritte situţiilor cerinţele tehnice impuse sistemelor e reglre convenţionlă. Se pot utiliz iversele combinţii le celor trei componente funmentle: P=Proporţionl; I=Integrtor; D=Derivtor, in cre se obţin iverse combinţii, în iferite vrinte şi structuri e relizre c e exemplu: PI=Proporţionl-Integrtor; PD=Proporţionl-Derivtor, PID=Proporţionl-Integrtor-Derivtor. Prin utilizre cestor legi tipizte în crul unor regultore tipizte, proiectre imensionl-vlorică legii e reglre se reuce l legere tipului e lege şi poziţionre unor butone su setre soft, prin cre se prescriu vlorile prmetrilor cestor legi rezultte în urm proiectării nlitice sistemului. Nu se pote stbili precis efectul fiecărei componente unei legi e tip PID supr clităţii unui SRA, eorece ceste epin e structur sistemului, e inmic instlţiei utomtizte. Totuşi se pot fce următorele precizări: Component proporţionlă, reliztă prin fctorul e proporţionlitte K R, etermină o comnă proporţionlă cu erore sistemului. Cu cât fctorul e proporţionlitte este mi mre cu tât precizi sistemului în regim stţionr este mi bună r se reuce rezerv e stbilitte putân conuce în numite czuri l pierere stbilităţii sistemului. Component integrlă, reliztă prin constnt e timp e integrre T i su constnt e integrre echivlent, T * = T /vl(k ) etermină o comnă i i R proporţionlă cu integrl erorii sistemului in cre cuză, un regim stţionr este posibil numi că cestă erore este nulă. Existenţ unei componente I într-o lege e reglre este un iniciu clr că precizi sistemului în regim stţionr (că se pote obţine un stfel e regim) este infinită. În regim stţionr, e cele mi multe ori component I etermină creştere oscilbilităţii răspunsului ică reucere rezervei e stbilitte. Component erivtivă, reliztă prin constnt e timp e erivre T etermină o comnă proporţionlă cu erivt erorii sistemului. Din cestă cuză, component D relizeză o nticipre evoluţiei erorii permiţân relizre unor corecţii cre reuc oscilbilitte răspunsului. Nu re nici-un efect în regim stţionr. Deorece ceste tipuri e comportări se întâlnesc şi l lte sisteme nu numi în czul regultorelor, în cele ce urmeză se vor consier intrre ur = u ieşire yr = y ir funcţi e trnsfer H R (s) = H(s). 4

21 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.4. Legi tipizte e reglre continule linire DE REGLARE AUTOMATĂ Element proporţionl (Lege e tip P) Printr-o lege e tip proporţionl, se escrie comportre intrre-ieşire unui element neinmic (e tip sclor) su comportre în regim stţionr unui element inmic, eventul escris printr-o funcţie e trnsfer H(s), consierân cestă comportre liniră într-un omeniu. Pentru o crcteristică sttică Y=F(U), c în Fig.8.4.., se pote proxim o comportre linir pentru u [Umin, U mx ] şi y [Ymin, Y mx ] cu Ymin = F(U min ), putân ve Ymx F(U mx ). Y% Y=y( ) % F( Umx) Y mx u(t) H(s) y(t) % Y Y Y min U min U U U mx % % Figur nr U=u( ) U% În fr limitelor min şi mx pentru intrre su ieşire, comportre fie nu este posibilă tehnologic fie nu este e orit. De exemplu, în czul elementelor e utomtizre o numită comportre eclrtă e constructor este grnttă numi în omeniul e vriţie l semnlului unifict: [, ]V, [4, ] ma, [., ] br etc. Pentru un sistem inmic, epenenţ intrre-ieşire în regim stţionr este proximtă în ceste omenii printr-o relţie liniră e form Y= Ymin + K p(u U min ), U= u( ), Y= y( ), (8.4.) une K p reprezintă fctorul e proporţionlitte su fctorul e mplificre e poziţie. El se pote etermin experimentl prin rportul intre vriţi mărimii e ieşire în regim stţionr şi vriţi mărimii e intrre în regim stţionr cre prous ce ieşire Y Y y ( ) y ( ) p = = min, mx min, mx U U u ( ) u ( ) K, Y,Y [Y Y ], U,U [U U ] (8.4.) 5

22 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.4. Legi tipizte e reglre continule linire DE REGLARE AUTOMATĂ Dcă o numită vlore stţionră este precită (proximtă l un moment finit e timp t ) tunci se utilizeză relţi u st (t ) = u( ) = U, y st (t ) = y( ) = Y, înţelegân că l momentul t = t este tins un regim stţionr. Dcă în omeniul e liniritte, obiectul este escris printr-o funcţie e trnsfer H(s) tunci, K p = limh(s) (8.4.3) s Dcă H(s) nu re crcter integrtor, Kp = H(). Fctorul e proporţionlitte este o mărime imensionlă, [K p] = [Y]/[U]. Remintim că tunci cân se utilizeză funcţi e trnsfer pentru escriere comportării intrre-ieşire (evient vlbilă numi în omeniul e liniritte) cest escrie vriţi fţă e un regim stţionr remrct l un moment t, consiert. Un element e tip P propriu-zis, este un element neinmic, crcterizt prin funcţi e trnsfer H(s) = K R, eci Kp = KR şi y(t) = Ymin + K R [u(t) U min ] (8.4.4) De forte multe ori în prctică, informţi trnsmisă su prelucrtă este exprimtă prin vriţi procentulă semnlului purtător e informţie fţă e omeniul său e vriţie, stfel că vlore minimă semnlului exprimă mi clr informţi zero (%) ir vlore mximă exprimă informţi totlă (%). O vlore procentulă în fr omeniului [,]% însemnă un semnl în fr omeniului [min, mx]. Notân prin D u omeniul e vriţie l intrării, e fpt lungime intervlului e vriţie, ir prin D omeniul e vriţie l ieşirii, Du = Umx U min Dy = Ymx Ymin se utilizeză următorele relţii e reprezentre procentulă: u(t) Umin u%(t) u%(t) = u(t) = Umin + Du D u y 6

23 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.4. Legi tipizte e reglre continule linire DE REGLARE AUTOMATĂ U Umin U% U% = U= Umin + Du D u u(t) u%(t) u%(t) = u(t) = Du D u y(t) Ymin y%(t) = y(t) = Y y%(t) min + Dy D y y Y Ymin Y% = Y= Y Y% min + Dy D y(t) y%(t) y%(t) = y(t) = Dy D y (8.4.5) În omeniul complex, că Y(s)=H(s)U(s), se efineşte funcţi e rel trnsfer reltivă H (s) c fiin rportul intre trnsformt Lplce ieşirii exprimtă procentul Y%(s)=L{ y%(t)}, şi trnsformt Lplce intrării exprimtă procentul U%(s)=L{ u%(t)}. rel rel Du Y%(s) = H (s) U%(s), H (s)= H(s) (8.4.6) D Se pote efini fctorul e proporţionlitte reltiv su procentul c fiin rportul intre vriţi procentulă ieşirii în regim stţionr şi vriţi procentulă în regim stţionr intrării cre prous ce ieşire. rel y%( ) rel Du K p = ; K p = K p (8.4.7) u%( ) D Evient, K p%este o mărime imensionlă. rel rel În czul unei legi e reglre e tip P, evient Kp = KR. Noţiune e bnă e proporţionlitte. Fctorul e mplificre e poziţie (fctorul e proporţionlitte) nu ă informţii privin rezerv e liniritte în rport cu mărime e intrre. Prin bnă e proporţionlitte, nottă BP%, se înţelege o măsură mplificării unui sistem, exprimtă prin procentul in omeniul mărimii e intrre cre etermină l ieşire o vlore e % in omeniul cestei. În generl se pote spune că că intrre re o vriţie procentulă, între ouă regimuri stţionre consecutive, eglă cu BP%, ieşire suferă o vriţie procentulă, între ceste regimuri stţionre, eglă cu %. În cestă situţie mplificre e poziţie este exprimtă prin numărul BP%. y y 7

24 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.4. Legi tipizte e reglre continule linire DE REGLARE AUTOMATĂ Depenenţ intrre-ieşire, în regim stţionr, mărimilor reltive este reprezenttă în Fig Y% K p rel = K p rel < K p rel > BP%< BP%= Figur nr U% BP%> Pnt cestor crcteristici este fctorul e proporţionlitte rel rel reltiv K (K ), stfel că, p R rel p Y% = K U% U% [,] D Y% = U% = BP% BP% = K = K D Dy BP% = K = K D (8.4.8) rel R R u Bn e proporţionlitte este un număr imensionl. Fctor e proporţionlitte mre însemnă bnă e proporţionlitte mică şi invers. Exemplul: 4... Se consieră o instlţie e încălzire vân c ieşire o tempertură, y =θ [4, ] C ir intrre un curent u [4, ]ma. Rezultă Dy = 6 C, Du = 6 ma. Presupunem că, testân cestă instlţie, se obţine, l o vriţie în regim stţionr curentului U= ma,o vriţie temperturii Y= 4 C. 4 C Acest însemn Kp = = C/mA. ma Este mre su mică cestă mplificre e poziţie? Clitte mre su mică se nlizeză în rport cu limitele e vriţie mise l intrări şi ieşiri. Amplificre Kp = C/mA inică fptul că l o vriţie e ma rezultă o vriţie e C l ieşire. Clculân bn e proporţionlitte se obţine, rel p p y u 8

25 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.4. Legi tipizte e reglre continule linire DE REGLARE AUTOMATĂ 6 C BP% = = 5% C/ ma 6mA Acest însemnă că, că intrre epăşeşte 5% in omeniul ei, ieşire v epăşi vlore ei mximă misă, ică: su o stfel e epăşire nu este permisă tehnologic su nu se mi grnteză vlbilitte moelului mtemtic linir. Cu o stfel e mplificre numi 5% in intrre pote fi utiliztă în zon e liniritte (e proporţionlitte). Deci, in cest punct e veere mplificre e poziţie Kp = C/mAeste mre. De ici pre şi enumire e "Bnă e Proporţionlitte". Exemplul: 4... Să consierăm tot o instlţie e încălzire e celşi tip vân însă u [4, ]ma, si Y [6, 7] C. Rezultă Du = 6 = 4mA, Dy = 7 6 = 64 C. Dcă l o vriţie U= ma se obţine în regim stţionr o 4 C vriţie Y= 4 C, însemnă că Kp = = C/mA, ică o ceeşi ma vlore fctorului e proporţionlitte. Clculân bn e proporţionlitte, 64 C BP% = = % C/ ma 6mA cest însemnân că pentru obţine vlore mximă ieşirii se pote plic l intrre ublul vlorii mxime. Acelşi fctor e proporţionlitte = C/mA este mre pentru prim instlţie şi mic pentru ce e ou. Kp Element integrtor ( Lege e tip I ) Relţi intrre-ieşire în omeniul timp este tă e ecuţi iferenţilă y(t) Ti = KRu(t) (8.4.9) t su prin soluţi t KR Ti t y(t) = y(t ) + u( τ) τ t t (8.4.) Funcţi e trnsfer este 9

26 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.4. Legi tipizte e reglre continule linire DE REGLARE AUTOMATĂ KR H(s) = T i s (8.4.) une: K R = fctorul e proporţionlitte, K R = [Y]/[U], T i = constnt e timp e integrre [T i ] = sec. Funcţi e trnsfer (8.4.) se pote exprim printr-un singur prmetru, constnt e timp echivlentă T, * i Y(s) * Ti H(s) =, T * i Ts = i U(s) = vl{k R} (8.4.) În cestă expresie numărul e l numărător este un fctor imensionl, înţelegân că r fi un fctor e proporţionlitte KR = l [Y]/[U]. [Y] Deorece KR = vl{k R} [K R] = vl{k R}, une vl{k R} insemnă [U] vlore mărimii fizice K R [Y] [Y] vl{k R} KR [U] [U] H(s) = = = = * Ts i Ts i Ti Ts i vl{k R} Răspunsul l intrre treptă u(t) = U (t t ), reprezentt în Fig este, K y(t) = y(t ) + (t t )U, t t (8.4.3) R Ti Se observă că pnt l intrre constntă este KR y(t) = U (8.4.4) T u(t) i y(t) t U Pnt: K --- T Ṟ U i t vl( y ) = vl( U) y( t ) t y( t ) y( t ) t t T i K R T i * = vl( ) t Figur nr

27 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.4. Legi tipizte e reglre continule linire DE REGLARE AUTOMATĂ KR Rportul T se clculeză cunoscân ouă puncte (t,y(t )),(t, y(t )) i le rspunsului l intrre constntă U cu relţi KR y(t ) y(t ) y = = (8.4.5) T i (t t ) U (t t ) U De nott că pnt unui element integrtor epine e vlore totlă intrrii, nu e vriţi cestei. In relţi (8.4.5) exprimân [Y] KR = vl{k R} ; y=vl{ y} [y] ; U=vl{U} [U] [U] se obţine, Ti vl{u} [U] = (t t ). (8.4.6) [Y] vl{k vl{ y} [Y] R} [U] * Dcă vl{ y} = vl{u} t t= Ti. * Constnt e timp e integrre echivlentă T i reprezintă intervlul e timp în cre mărime e ieşire creşte cu o vlore (un număr e unităţi le ieşirii) eglă cu vlore intrării constntă plictă (numărul e unităţi le intrării plicte). T pe grficul răspunsului l intrre treptă eus experimentl (eventul prelungin pe ceeşi irecţie răspunsul experimentl). Acestă efiniţie permite eterminre rpiă constntei * i Element proporţionl integrtor (Lege e tip PI) Relţi intrre-ieşire în omeniul timp este exprimtă prin ecuţi iferenţilă y(t) u(t) Ti = KRTi + KRu(t) (8.4.7) t t su prin soluţi t KR R Ti t y(t) = y(t ) + K [u(t) u(t )] + u( τ) τ, t t (8.4.8) Funcţi e trnsfer este

28 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.4. Legi tipizte e reglre continule linire DE REGLARE AUTOMATĂ [Ts+ ] K (s+ z) H(s) = K R[ + ] = K =, z= (8.4.9) Ts Ts s T i R R i i i [Y] une: K R = fctorul e proporţionlitte, [K R ] = [U] T i = constnt e timp e integrre, [Ti ] = sec. Se observă că un element PI re un pol în origine plnului complex s= şi un zerou s =, ş cum se pote vee în Fig Ti Crcteristicile Boe: Crcteristicile mplituine-pulsţie A(ω ) şi fză-pulsţie ϕ (ω ), i K R ( ω T) i + A( ω ) =, ϕ( ω)=rctg( ωt i) - π/ T ω sunt reprezentte l scră logritmică în Fig L( ω) B -B/ec jω K B/ec plnul s log( R ) T i log( K R ) ω σ -z = -.. T i - π/4 ϕ(ω).. π/4. T i T i T i 5 T i ω π/ Figur nr Structur în cre se evienţiză cele ouă componente P şi I este tă în Fig U(s) K R --- Ti s x + + Y(s) Figur nr

29 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.4. Legi tipizte e reglre continule linire DE REGLARE AUTOMATĂ Ecuţi e stre este KR x(t) = u(t) (8.4.) Ti y(t)=x(t)+kru(t) În expresi (8.4.8) stre iniţilă este exprimtă prin x(t) = y(t) Ku(t) R. Răspunsul l intrre treptu(t) = U (t t ), reprezentt în Fig , este K y(t) = y(t ) + K [U ] + U (t t ), t t. (8.4.) R R Ti u(t) u =U y(t) t Pnt: K --- T Ṟ U i t vl( y ) = vl( U) KR u T i K R T i * = vl( ) y( t) T i t Figur nr t Rportul K R / T i se pote clcul cunoscân ouă puncte le unei porţiuni răspunsului, y(t ),y(t ), şi vlore constntă U intrării cre etermint cel răspuns linir KR y(t ) y(t ) = T U [t t ] i (8.4.) 3

30 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.4. Legi tipizte e reglre continule linire DE REGLARE AUTOMATĂ Element erivtor iel (Lege e tip D-iel) Relţi intrre-ieşire este u(t) y(t) = T, (8.4.3) t une T reprezintă constnt e timp e erivre. Element erivtor iel este un element nticiptiv, fizic nerelizbil. El constituie o ielizre comportării erivtivei. Opereză supr funcţiilor erivbile su răspunsul este efinit numi în momentele t pentru cre intrre u(t) este erivbilă. Funcţi e trnsfer este H(s) = T s (8.4.4) Crcteristicile Boe sunt efinite prin, A( ω ) = T ω, L( ω )= lg T + lg ω, ϕ( ω)= π/ vân L(ω ) c în Fig L( ω) B u(t) Pnt U. - - lgt +lgω lgt. ω ( T ) Figur nr ω y(t) U Figur nr t t Rspunsul l intrre rmpă, reprezentt în Fig este,, t< u(t) = U t (t), y(t)= U, t > neefinit, t= 4

31 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.4. Legi tipizte e reglre continule linire DE REGLARE AUTOMATĂ Element proporţionl erivtor iel (Lege e tip PD-iel) Relţi intrre-ieşire: u y(t) = KRT + KRu(t) (8.4.5) t Este e semene un element nticiptiv, fizic nerelizbil. Funcţi e trnsfer: H(s) = K (T s + ) (8.4.6) R este crcteriztă prin: K R = fctor e proporţionlitte T = constnt e timp e erivre Crcteristicile Boe: efinite prin, R A( ω ) = K (T ω ) +, ϕ( ω)=rctg ω T (8.4.7) sunt reprezentte în Fig Se observă crcterul e filtru trece-sus. Rspunsul l intrre rmpă este prezentt în Fig t< u(t) = Ut (t) y(t) = KRTU + KRUt, t> neefinit t= (8.4.8) 4 L( ω) B B/ec.. - π/ lgk R ϕ(ω) T B/ec ω u(t) y(t) Pnt U Pnt K U R t π/4 π/4... T T 5 T ω ( K T U R ) t Figur nr Figur nr

32 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.4. Legi tipizte e reglre continule linire DE REGLARE AUTOMATĂ Element erivtor rel (Lege e tip D-rel) Relţi intrre-ieşire: y(t) u(t) T γ y(t) KRT t + = t (8.4.9) Funcţi e trnsfer: Ts H(s) = KR (8.4.3) Ts + γ K R = fctor e proporţionlitte T = constnt e timp e erivre Tγ = constnt e timp przită Ecuţi e stre: se obţine exprimân funcţi e trnsfer proprie într-o sumă intre un element sclor şi un element strict propriu c în Fig KRT KRT H(s) = (8.4.3) T T T s+ U(s) K R T T γ K R T T γ T γ s+ γ γ γ K R T + Y(s) u T γ X(s) - t R γ 6 u (t) y (t) t = u A= T γ t y(t) t t K R T = u A Figur nr Figur nr Se obţine: K T x(t) = x(t) + T T u(t) (8.4.3) γ KRT y(t) = x(t) + u(t) Tγ Răspunsul l intrre treptă u(t) = u (t) este t T T T γ y(t) = KR u K R ( e ) u, t (8.4.33) T T γ γ şi se prezintă c în Fig Se observă că ieşire în regim stţionr unui element D este nulă. Elementul D cţioneză numi în regim trnzitoriu. El se mi numeşte şi "element forţtor". t

33 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.4. Legi tipizte e reglre continule linire DE REGLARE AUTOMATĂ Element proporţionl erivtor rel (Lege e tip PD-rel) Relţi intrre-ieşire: y(t) U(t) T γ y(t) KRT KRu(t) t + = t + (8.4.34) Funcţi e trnsfer, Ts + H(s) = KR (8.4.35) Ts + γ K R = fctor e proporţionlitte; T = constnt e timp e erivre; T γ = constnt e timp przită. Ecuţi e stre se obţine exprimân H(s) c în (8.4.36) şi Fig T T H(s) = KR + K ( ) T T T s+ R γ γ γ (8.4.36) U(s) K R T Tγ + Y(s) T K R( T ) γ T γ s+ X(s) + Figur nr K R T x(t) = x(t) + ( )u(t) (8.4.37) Tγ Tγ Tγ T y(t) = x(t) + K u(t) R T γ Răspunsul l intrre treptă în coniţii iniţile nule şi crcteristicile Boe se prezintă pentru trei situţii: 7

34 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.4. Legi tipizte e reglre continule linire DE REGLARE AUTOMATĂ ) T > T γ. Este preominnt crcterul erivtor. Se comportă c un filtru trece-sus cu vns e fză, c în Fig şi Fig L (ω) B B/ec b) T u (t) y (t) K RTγ T u t = u T γ K R u t 4 π/4 B/ec B/ec log T K RTγ lgk R t.. T T - γ T > T γ ϕ(ω) π/ Figur nr ω.. T T π/4 γ Figur nr < T γ. Este preominnt crcterul integrtor. Se comportă c un filtru trece-jos cu întârziere e fză, c în Fig şi Fig u (t) y (t) K R T u T γ t = u T γ K R u t t 4 π/4 L (ω) B ϕ(ω) B/ec lgk R.. - T γ.. T γ T <T γ - B/ec T T log B/ec K R T T γ ω ω ω Figur nr π/ Figur nr c) T = T γ. Comportre intrre-ieşire este e tip sclor, însă răspunsul liber este e orinul întâi eorece sistemul este necontrolbil, ş cum se pote vee şi în schem in Fig Evoluţiile stării şi ieşirii sunt, t T γ γ x(t) = e x() ; y(t)=k u(t) + e x() (8.4.38) R 8 t T

35 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.4. Legi tipizte e reglre continule linire DE REGLARE AUTOMATĂ Element proporţionl integrtor erivtor iel (Lege e tip PID-iel) Relţi intrre-ieşire: U(s) K R T i s T s Comp. P Comp. I Comp. D + y(t) u(t) u(t) Ti KRTT i K RTi KRu(t) t = t + t + (8.4.39) t KR R R Ti t u(t) y(t) = y(t ) + K (u(t) u(t )) + u( τ)τ+ K T (8.4.4) t Funcţi e trnsfer: H(s) = K + + T s R Ts i R i i R R + + Y(s) K R u u =U ) ( y(t)=h(t) u t Pnt t K R T i U (8.4.4) K (T T s + T s + ) K T (s + z )(s + z ) K ( θ s + ξθ s+ ) H(s) = = = Ts i s Ts i (8.4.4) K R = fctorul e proporţionlitte T i = constnt e timp e integrre T = constnt e timp e erivre Funcţi e trnsfer este fizic nerelizbilă, reprezintă o ielizre, cu ouă zerouri z, z şi un pol în origine plnului complex: ± 4(T /T) i ξ± ξ z, = = ; T θ (8.4.43) T < T i/4 ξ> : zerouri rele, T = T i/4 ξ= : zerouri egle-rele, T > T i/4 ξ (,): zerouri complex conjugte θ= TT i ; ξ = T i/t. (8.4.44) Structur pe componente elementului PID-rel este reprezenttă în Fig u(t) Figur nr Figur nr

36 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.4. Legi tipizte e reglre continule linire DE REGLARE AUTOMATĂ Funcţi inicilă, torită componentei D, nu este efinită c funcţie în momentul t=,însă forml se pote reprezent printr-un impuls Dirc c în Fig Crcteristicile Boe sunt prezentte în Fig pentruξ, şi în Fig pentru <ξ<. 4 - π/ π/ L( ω) B log K R ω ω ϕ(ω) ξ -B/ec +B/ec B/ec z z.. z z ω ω 4 - L( ω) B log K R π/ π/ ω < ξ< ( T < T i ) 4 -B/ec +B/ec lg(ξ)+log( K R θ). ω ϕ(ω) Pnt ln ξ θ θ θ= T i T T ξ= i T lg(ξ). ω ω Figur nr Figur nr Element proporţionl integrtor erivtor rel În funcţie e moul e relizre fizică se eosebesc mi multe structuri: Conexiune prlel intre un element I şi un element PD rel Structur este ilustrtă în Fig.8.4. [ PID-rel = I + PD-rel = (Aperioic) (PID-iel) ] U(s) K R ( I ) T is T s+ T s+ γ (PD-rel) y (t) I y (t) PD-r + + y(t) Y(s) U(s) T γ s+ Element perioic (or. I ) * K T * R ( + s T i * + ) s PID - iel Y(s) Funcţi e trnsfer reliztă: Figur nr

37 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.4. Legi tipizte e reglre continule linire DE REGLARE AUTOMATĂ Ts+ H(s) = KR + Ts Ts γ + (8.4.45) pote fi echivltă printr-o conexiune serie intre un element perioic e orinul I şi un element PID-iel. une, i + i + γ + * * R R * i γ Ts i TT s (T T )s H(s) = K = K ( + + T s) Ts(T s+ ) T s+ K * R Ti + Tγ = KR; T i * Ti Ti T γ = + ; T TT * i = Ti + T γ γ (8.4.46). (8.4.47) Răspunsul l intrre treptă pe cre se ilustrez moul e eterminre prmetrilor funcţiei e trnsfer este reprezentt în Fig pentru T < T γ şi Fig pentrut > T γ. u(t) y(t) u =U t Pnt K R U Ti t u(t) y(t) u =U t y(t) PID-r B Pnt K R U T i t K R u K R T u T γ y( t ) st C B T γ A t D t y(t) PD-r = y( t ) I y(t) PID-r y(t) I K R u K R u K R T u T γ t K R u y( t ) st C T γ A t D = y( t ) I t y(t) PD-r y(t) I K R u K R u t Figur nr Figur nr Pentru eterminre vlorilor prmetrilor K R, T, i T, T γ pe răspunsul l o vriţie treptă u plictă l un moment t, pornin intr-un regim stţionr, u(t) =, y(t)=y st (t ) pentru t< t, se evienţiză fptul că răspunsul este sum intre component I şi component PD-rel y = y (t) + Y (t) (8.4.48) proceân stfel: PID r I PD r 3

38 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.4. Legi tipizte e reglre continule linire DE REGLARE AUTOMATĂ ) În punctul iniţil (A) l evoluţiei se uce o prlelă l porţiune rectilinie răspunsului. Acest reprezintă component y(t); I b) Se prelungeşte porţiune rectilinie răspunsului până tie în punctul C bscis momentului iniţil; c) Se etermină component ypd r răspunsului efectuân punct cu punct scăere y (t) = y (t) y (t) (8.4.49) PD r PID r I ) Din vârful B l răspunsului se uce o tngentă l component y PD r(t) rezultân pe oront punctului C segmentul CD; e) Se etermină pnt răspunsului eterminân în zon rectilinie vlorile răspunsului în ouă momente t,t, y = y PID r (t), y = y PID r (t ); f) Cunoscân vlorile în unităţi le mărimii y corespunztore segmentelor AB, AC, şi în timp pentru CD se clculeză prmetrii cu relţiile: T KR y y KR u = AC; KR u = AC; Tγ = CD; = (ici U = u) T T (t t ) U γ i (8.4.5) Ecuţiile e stre le cestui element se obţin prin conctenre ecuţiilor elementului I şi PD-rel: KR x (t) = u(t) Ti KR T x (t) = x (t) ( )u(t) T + T (8.4.5) T γ γ γ T y(t) = x (t) + x (t) + K u(t) R T γ Sub form mtricel-vectorilă ceste se rescriu, x = Ax+ bu T y= c x+ u une, K A = ; b= ; c= ; =K R Ti T R KR T T T ( ) γ γ Tγ Tγ (8.4.5) 3

39 8. STRUCTURI Şi LEGI 8.4. Legi tipizte e reglre continule linire DE REGLARE AUTOMATĂ Conexiune prlel intre un element PI şi un element D-rel [PIDrel P + I + D rel (PID iel (Elem.perioic)) I + PDrel Structur cestei conexiuni prlel şi formele ei echivlente sunt inicte în Fig U(s) K R T i s T s T γ s+ Comp. P y (t) P Comp. I y (t) I + Comp.Dr y (t) Dr + + Y(s) y (t) PIDr U(s) U(s) Figur nr T γ s+ s Ti * K T * Y(s) R ( + s T i * + ) s ( T T )s+ γ T γ s+ K R ( + + ) Funcţi e trnsfer reliztă este, Ts T(T i + T γ)s + (Ti + T γ)s+ H(s) = KR + + = KR (8.4.53) Ts i Tγs + Ts(T i γs+ ) une H(s) = K ( + + T s) Ts + K * R * * R * Ts i i γ Y(s) (8.4.54) Ti + Tγ = KR (8.4.55) T * Ti Ti T γ = +, (8.4.56) * T(T i + T γ ) T =. (8.4.57) Ti + Tγ Structurile şi sunt echivlente, Ts ' + Ts (T + T γ)s + H(s) = KR + + = KR + Ts i Tγs + Ts i Tγs + (8.4.56) stfel că tote tehnicile e eterminre prmetrilor funcţiei e trnsfer e l czul (8.4..) rmân vlbile, însă în urm plicării cestor tehnici se obţin mărimile: K R, T, i T γ şit = T + T γ. ' 33