ODABRANA POGLAVLJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA Master akademske studije, I semestar

Transcript

1 ODABRANA POGLAVLJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA Master akademske studije, I semestar Prof dr stanko@np.ac.rs Departman za Tehni ke nauke Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru 2015/16

2 Sadrºaj 1 Koncepti analize fundiranja na ²ipovima Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova 2 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje 3

3 Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Sadrºaj 1 Koncepti analize fundiranja na ²ipovima Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova 2 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje 3

4 Prora un fundiranja na ²ipovima Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Koncepti analize fundiranja na ²ipovima Kada su lokalni uslovi tla nepovoljni za plitko fundiranje, usvaja se duboko fundiranje Fundiranje na ²ipovima je "glavni" oblik dubokog fundiranja (u smislu rasprostranjenosti) Ima vi²e pristupa analizi fundiranja objekta na ²ipovima Postoje dve osnovne grupe - fundiranje na ²ipovima u uºem smislu (samo ²ipovi prenose optere enje konstrucije na tlo) - hibridno fundiranje u prenosu optere enja ve i deo preuzimaju ²ipovi, ali i temeljna plo a koja povezuje ²ipove u estvuje u prenosu optere enja na tlo

5 Prora un fundiranja na ²ipovima Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Koncepti analize fundiranja na ²ipovima Fundiranje na ²ipovima u uºem smislu moºe da se analizira na slede e na ine 1 ipovi se posmatraju kao ta kasti vertikalno nepomerljivi oslonci. Dobijene reakcije takvih oslonaca pretstavljaju, zatim, normalne sile na vrhu svakog ²ipa sa kojima se vr²i provera nosivosti ²ipova. 2 ipovi se posmatraju kao prosti ²tapovi koji su vezani za konstrukciju i koji mogu da prenose optere enje sa konstrukcije na tlo samo kao normalne sile u ²ipovima. Na dnu, u bazi, ²ipovi su zglobno vezani za nepokretnu podlogu. Za razliku od prethodnog pristupa, ovde se uzima u obzir i odgovaraju a aksijalna deformabilnost samih ²ipova.

6 Prora un fundiranja na ²ipovima Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Koncepti analize fundiranja na ²ipovima Fundiranje na ²ipovima u uºem smislu moºe da se analizira na slede e na ine (nastavak) 3 Tre a mogu nost bi bila da se usvoji kruta, a ne zglobna veza izmežu objekta i ²ipova, ime se omogu ava preno²enje i momenata savijanja i transverzalnih sila na ²ipove. U bazama se ²ipovi opet tretiraju kao zglobno vezani za nepokretnu podlogu. Imaju i u vidu uobi ajenu stvarnu vezu objekta i ²ipova, npr. zbog prisustva naglavnih greda, pro²irenja u temeljnim plo ama, kao i ankerovanja armature ²ipova u temeljnu konstrukciju, kruta veza ²ipova i objekta je realnija aproksimacija nego zglobna veza.

7 Prora un fundiranja na ²ipovima Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Koncepti analize fundiranja na ²ipovima Fundiranje na ²ipovima u uºem smislu moºe da se analizira na slede e na ine (nastavak) 4 Bolja varijanta od prethodne je kada se usvoji ekvivalentna duºina ²ipova, koja je manja od stvarne duºine, pri emu se na kraju te ekvivalentne duºine usvaja uklje²tenje. Ta ekvivalentna duºina odgovara, pribliºno, preseku ²ipa gde se javlja najve i momenat savijanja i moºe da se zato shvati kao presek gde je ekvivalentno uklje²tenje ²ipa u tlo. Tu je problem da se proceni mesto ekvivelentnog uklje²tenja ²ipa, koje, zavisi od osobina tla u kome se ²ip nalazi. Obi no je ta ekvivalentna duºina ²ipa jednaka 2-3 do d s, gde je d s pre nik ²ipa, pri emu je za lo²ije tlo ta ekvivalentna duºina ²ipa ve a.

8 Prora un fundiranja na ²ipovima Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Koncepti analize fundiranja na ²ipovima Fundiranje na ²ipovima u uºem smislu moºe da se analizira na slede e na ine (nastavak) 5 U navedenim pristupima, sem u poslednjem (sa ekvivalentnom duºinom ²ipa), ne uzima se u obzir i odgovaraju a interakcija izmežu ²ipova i tla. Naime, uticaj tla oko ²ipova moºe da se uzme u obzir u vidu odgovaraju ih elasti nih opruga, koje su kontinualno ili diskretno rasporežene po duºini ²ipova. U takvom slu aju potrebna jo² i odgovaraju a diskretizacija duº svakog ²ipa, kao i odgovaraju e elasti ne opruge u dva horizontalna pravca u svakoj vornoj ta ki duº ²ipova

9 Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Ra unski model temelja silosa - program "`Lira"'

10 Prora un fundiranja na ²ipovima Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Koncepti analize fundiranja na ²ipovima Fundiranje na ²ipovima u uºem smislu moºe da se analizira na slede e na ine (nastavak) 6 Najbolji pristup analizi fundiranja na ²ipovima u uºem smislu je kada se ²ipovi tretiraju kao ta kasti elasti ni oslonci koji su vezani za konstrukciju. Zna i, svaki ²ip se u ra unski model unosi kao odgovaraju i sistem od po pet elasti nih opruga koje su koncentrisane na mestima svakog ²ipa. Pri tome tri linearne opruge odgovaraju vertikalnom pravcu kao i dvema ortogonalnim horizontalnim pravcima, dok se dve rotacione opruge odnose na rotacije oko dve ortogonalne horizontalne ose.

11 Prora un fundiranja na ²ipovima Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Koncepti analize fundiranja na ²ipovima Pet elasti nih opruga na mestu svakog ²ipa pretstavljaju elemente matrice krutosti na vrhu svakog ²ipa (na spoju ²ipa i temeljne plo e koja povezuje sve ²ipove) Prema tome, ²ipovi se prikazuju kao elasti ni oslonci sa po pet stepeni slobode (samo je torzija ²ipa isklju ena) Re²avanjem jedna ina ravnoteºe sila koje deluju na konstrukciju dobijaju se sile u elasti nim oprugama, odnosno dobijaju se sile veze izmežu temeljne plo e i ²ipova

12 Prora un fundiranja na ²ipovima Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Koncepti analize fundiranja na ²ipovima Sa dobijenim silama veze, koje pretstavljaju sile na vrhu svakog izdvojenog ²ipa, moºe da se vr²i posebna analiza uticaja duº svakog ²ipa (ili samo najoptere enijih) U analizi izdvojenih ²ipova, ²ipovi se posmatraju kao ²tapovi na Vinklerovoj podlozi, koja je u slu aju ²ipova horizontalna (bo no tlo oko ²ipova) Potrebno je da se odredi horizontalna krutost tla koja se u ra unski model unosi preko horizontalnih opruga u oba horizontalna pravca, po visini ²ipa

13 Prora un fundiranja na ²ipovima Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Koncepti analize fundiranja na ²ipovima Mogu e je da se kao gornja granica umesto elasti ne veze sa pet stepeni slobode, usvoji kruta veza sa pet stepeni slobode na mestu svakog ²ipa ipovi u ovakvom modelu prenose, osim normalne sile, jo² i dve transverzalne sile i momente savijanja oko dve ortogonalne horizontalne ose Model sa krutim osloncima je samo indikacija, dok model sa elasti nim osloncima predstavlja realniju aproksimaciju, jer se odreživanjem odgovaraju ih krutosti elasti nih opruga bolje prikazuje interakcija sa tlom

14 Prora un fundiranja na ²ipovima Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Koncepti analize fundiranja na ²ipovima Zna i, rezultati dobijeni modelima sa elasti nim ta kastim osloncima na mestima ²ipova predstavljaju realniju sliku stvarnog pona²anja objekta fundiranog na ²ipovima Analiza se sastoji iz dve povezane celine: - prve, u kojoj se odrežuju sile veze izmežu objekta i ²ipova (sile u ekvivalentnim elasti nim oprugama), - a zatim iz druge celine u kojoj se analiziraju uticaji u ²ipovima, posmatrani kao nosa i na elasti noj podlozi, usled koncentrisanih sila i momenata na vrhu (sile veze izmežu objekta i ²ipova)

15 Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Sadrºaj 1 Koncepti analize fundiranja na ²ipovima Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova 2 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje 3

16 Analiza pojedina nog ²ipa Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Lokalne karakteristike tla U svakom projektu objekta ina e, a posebno kada se usvaja fundiranje na ²ipovima, mora da postoji geotehni ki elaborat U takvom elaboratu prikazujeu se relevantne geomehani ke karakteristike i struktura tla U zavisnosti od veli ine objekta u osnovi, vr²e se odgovaraju a ispitivanja tla na bazi - podataka iz jedne ili vi²e bu²otina - postoje ih podataka prethodnih ispitivanja u ²to bliºoj okolini predmetne lokacije Na bazi prikaza slojeva tla iz geotehni kog elaborata, projektant usvaja geomehani ki model tla

17 Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Prikaz slojeva tla u geotehni kom elaboratu

18 Usvojeni geomehani ki model tla Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova

19 Analiza pojedina nog ²ipa Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Lokalne karakteristike tla Osrednjeni, odn. ekvivalentni modul elasti nosti tla E s, za slojevito tlo, gde su debljine slojeva ozna ene sa h i, a moduli elasti nosti sa E i, moºe da se odredi prema izrazu: E s = Ei h i hi (1) Za podatke prema usvojenom modelu tla dobija se: E s = 5.15 MPa

20 Analiza pojedina nog ²ipa Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Lokalne karakteristike tla Koecijent horizontalne krutosti tla K s, izraºen u kn /m 3, moºe da se odredi prema slede oj relaciji (Vesi eva formula): K s = 0.65 d 12 Es E d4 I E s (1 νs 2 ) (2) gde su: d... pre nik ²ipa E,I... modul elasti nosti i momenat inercije ²ipa E s, ν s... ekvivalentni modul elasti nosti tla i Poasonov koecijent tla

21 Analiza pojedina nog ²ipa Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Vertikalna krutost ²ipova Npr., za bu²ene betonske ²ipovi pre nika Φ880 mm, od betona MB 30, odn. E = 30 GPa, dobija se slede a vrednost za koecijent K s (za usvojeno ν s = 0.30): K s = kn m 3 Sleganje ²ipa (premp Pulosu) dato je u obliku ρ = P I E s d (3)

22 Analiza pojedina nog ²ipa Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Vertikalna krutost ²ipova Vertikalna krutost ²ipa je normalna sila koja izaziva jedini no sleganje Prema tome, za ρ = 1, sila P je vertikalna krutost ²ipa k v : ρ = 1 k v = E s d I (4) Sa I ozna en je uticajni faktor za sleganje glave ²ipa

23 Analiza pojedina nog ²ipa Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Vertikalna krutost ²ipova Za lebde e ²ipove uticajni faktor za sleganje dat je sa I = I 0 R K R h R ν Za stoje e ²ipove uticajni faktor za sleganje dat je sa I = I 0 R K R b R ν (razlikuju se u faktorima R h i R b )

24 Analiza pojedina nog ²ipa Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Vertikalna krutost ²ipova Kada se uzmu u obzir numeri ki podaci o ²ipovima i o tlu, dobijaja se da je uticajni faktor za sleganje jednak I = , tako da se dobija odgovaraju a vertikalna krutost: k v = E s d I = = kn m

25 Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Sadrºaj 1 Koncepti analize fundiranja na ²ipovima Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova 2 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje 3

26 Analiza pojedina nog ²ipa Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Horizontalna krutost ²ipova Matrica eksibilnosti odn. kao inverzna, matrica krutosti ²ipa za slu aj deformacije ²ipa u jednoj ravni, ima red jednak 3, a za slu aj prostornog pona²anja, red je 5 U slu aju deformacije u ravni, na vrhu ²ipa deluju vertikalana sila V 0, horizontalna sila H 0 i momenat savijanja oko upravne horizontalne ose M 0 Odgovaraju a pomeranja vrha ²ipa su, redom: vertikalno v, horizontalno u i obrtanje ϕ

27 Analiza pojedina nog ²ipa Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Horizontalna krutost ²ipova Matrica eksibilnosti povezuje vektore sila i pomeranja na vrhu ²ipa: u F 11 0 F 13 H 0 v = 0 F 22 0 V 0 (5) ϕ F 31 0 F 33 M 0 pri emu je F 13 = F 31 Koecijent eksibilnosti F 22 predstavlja sleganje ρ, dato izrazom (3) za jedini nu vrednost vertikalne sile P = 1, odnosno, jednak je recipro noj vrednosti vertikalne krutosti k v

28 Analiza pojedina nog ²ipa Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Horizontalna krutost ²ipova Ostali koecijenti matrice eksibilnosti, date sa (5), dobijaju se na osnovu re²enja diferencijalne jedna ine savijanja ²ipa na elasti noj podlozi, u skladu sa hipotezom Vinklera Diferencijalna jedna ina savijanja ²tapa (konstantnog preseka) na Vinklerovoj podlozi glasi: EI d4 v dz 4 = K s d v (6)

29 Analiza pojedina nog ²ipa Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Horizontalna krutost ²ipova U jedn. (6) uvedene su oznake: - v... horizontalno pomeranje ose ²ipa - EI... eksiona krutost ²ipa - K s... horizontalna reakcija tla ("`koecijent posteljice"', ali u horizontalnom pravcu), koja je odrežena sa relacijom Vesi a K s = 0.65 d 12 Es E d4 I E s (1 νs 2 )

30 Analiza pojedina nog ²ipa Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Horizontalna krutost ²ipova Ako se osa z meri od vrha ²ipa na dole i ako je duºina ²ipa obeleºena sa L, onda su grani ni uslovi, koji odgovaraju dif. jed. (6) i razmatranom problemu, dati sa: { z = 0 : M(0) = M 0 H(0) = H 0 (7) z = L : M(L) = 0 T (L) = 0 Drugim re ima, momenat savijanja i transverzalna sila na vrhu ²ipa jednaki su spolja²njim uticajima M 0 i H 0, dok su na donjem kraju ²ipa momenat savijanja i transverzalna sila jednaki nuli

31 Analiza pojedina nog ²ipa Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Horizontalna krutost ²ipova Ako se uvede oznaka: λ = 4 Ks d 4EI (8) i ako se posmatra da na vrhu ²ipa deluje samo horizontalna sila H 0, onda je re²enje diferencijalne jedna ine savijanja dato sa: v(z) = 2H 0λ K s d e λz cos λz (9)

32 Analiza pojedina nog ²ipa Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Horizontalna krutost ²ipova Obrtanja, momenti savijanja i transverzalne sile dobijaju se diferenciranjem kao: ϕ(z) = 2H 0λ 2 K s d e λz (cos λz + sin λz) (10) M(z) = H 0 λ e λz sin λz (11) T (z) = H 0 e λz (cos λz sin λz) (12)

33 Analiza pojedina nog ²ipa Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Horizontalna krutost ²ipova Ako se posmatra da na vrhu ²ipa deluje samo momenat savijanja M 0, onda je re²enje diferencijalne jedna ine savijanja dato sa: v(z) = 2M 0λ 2 K s d e λz (cos λz sin λz) (13)

34 Analiza pojedina nog ²ipa Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Horizontalna krutost ²ipova Obrtanja, momenti savijanja i transverzalne sile dobijaju se diferenciranjem kao: ϕ(z) = 4M 0λ 3 K s d e λz cos λz (14) M(z) = M 0 e λz (cos λz + sin λz) (15) T (z) = 2M 0 λ e λz sin λz (16) Elementi matrice eksibilnosti predstavljaju odgovaraju a pomeranja usled jedini nih sila

35 Analiza pojedina nog ²ipa Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Horizontalna krutost ²ipova Prema tome, za uslove H 0 = 1 i z = 0 dobijaju se elementi F 11 i F 31, a za uslove M 0 = 1 i z = 0 elementi F 31 i F 33 : Za H 0 = 1 i z = 0: v(0) = 2λ K s d = F 11 ϕ(0) = 2λ2 K s d = F 31 (17) Za M 0 = 1 i z = 0: v(0) = 2λ2 K s d = F 13 = F 31 ϕ(0) = 4λ3 K s d = F 33 (18)

36 Analiza pojedina nog ²ipa Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Horizontalna krutost ²ipova Imaju i u vidu numeri ke podatke, dobija se za parametar λ, dat sa (8), vrednost λ = m 1 Sa ovim se dobijaju elementi matrice eksibilnosti: F 11 = F 13 = F 31 = F 33 = dok je element eksibilnosti F 22 jednak F 22 = 1 k v =

37 Analiza pojedina nog ²ipa Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova Horizontalna krutost ²ipova Zna i, za deformaciju ²ipa u ravni, matrica eksibilnosti je jednaka: F = Inverzijom matrice eksibilnosti se dobija matrica krutosti kao: K =

38 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Sadrºaj 1 Koncepti analize fundiranja na ²ipovima Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova 2 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje 3

39 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Horizontalna krutost ²ipova Alternativno, re²enje diferencijalne jedna ine ²tapa na elasti noj (Vinklerovoj) podlozi, dato sa (6): EI d4 v dz 4 + K s d v = 0 (19) moºe da se dobije, primenom Laplasove transformacije, u slede em obliku: v(z) = v 0 S(λz)+v 0 1 2λ T 1 (λz)+v 0 2λ 2 U(λz)+v 0 1 4λ 3 V (λz) (20)

40 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Horizontalna krutost ²ipova U re²enju (20) sa v 0, v 0, v 0, v 0 su ozna ene vrednosti ugiba, prvog, drugog i tre eg izvoda ugiba na vrhu ²ipa (za z = 0), dok su S, T, U, V funkcije date sa: S(λz) = cosh(λz) cos(λz) T (λz) = cosh(λz) sin(λz) + sinh(λz) cos(λz) U(λz) = sinh(λz) sin(λz) (21) V (λz) = cosh(λz) sin(λz) sinh(λz) cos(λz)

41 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Horizontalna krutost ²ipova Sa λ je ozna en parametar dat sa (8): λ = 4 Ks d 4EI Izvodi funkcija S, T, U, V mogu da se dobiju u obliku S (λz) = λ V (λz) T (λz) = 2λ S(λz) U (λz) = λ T (λz) (22) V (λz) = 2λ U(λz)

42 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Horizontalna krutost ²ipova Imaju i u vidu da su momenat savijanja i transverzalna sila dati sa: M(z) = EI v (z) T (z) = EI v (z) (23) re²enje dato sa (20) moºe da se prikaºe i u obliku: v(z) = v 0 S(λz) + ϕ 0 M 0 1 2λ T (λz) 1 2λ 2 EI U(λz) T 0 (24) 1 4λ 3 EI V (λz)

43 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Horizontalna krutost ²ipova U re²enju (24) uvedena je oznaka ϕ 0 = v 0, dok su sa M 0 i T 0 ozna ene vrednosti momenta savijanja i transverzalne sile na vrhu ²ipa (za z = 0) Re²enje prikazano u obliku (24) pogodno je za primenu metode po etnih parametara, ²to posebno odgovara u slu aju slojevitog tla

44 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Horizontalna krutost ²ipova Ako se izraz (24) diferencira po z dobija se izraz za obrtanje u obliku: ϕ(z) = v 0 λv (λz) + ϕ 0S(λz) 1 M 0 2λEI T (λz) T 1 0 2λ 2 EI U(λz) (25) Momenat savijanja i transverzalna sila dati su sa (23): M(z) = EI v (z) T (z) = EI v (z)

45 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Horizontalna krutost ²ipova Prema tome, diferenciranjem i prema relacijama (23), dobijaju se izrazi za momenat savijanja i za transverzalnu silu: M(z) = v 0 2λ 2 EI U(λz) + ϕ 0 λei V (λz) 1 + M 0 S(λz) + T 0 2λ T (λz) T (z) = v 0 2λ 3 EI T (λz) + ϕ 0 2λ 2 EI U(λz) M 0 λv (λz) + T 0 S(λz) (26)

46 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Horizontalna krutost ²ipova Relacije (24), (25) i (26) mogu da se prikaºu u matri nom obliku: v(z) v 0 ϕ(z) ϕ = [A M(z) ij (λz)] 0 (27) M 0 T (z) T 0 gde je [A ij (λz)] odgovaraju a (prenosna) matrica, dok su v 0, ϕ 0, M 0, i T 0 vrednosti horizontalnog pomeranja, obrtanja, momenta savijanja i transverzalne sile na glavi ²ipa (za z = 0) Relacija (27) moºe da se prikaºe skra eno: q(z) = A(λz) q 0 (28)

47 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Vektori q(z) i q 0 su, o igledno, dati sa q(z) = v(z) ϕ(z) M(z) T (z) q 0 = v 0 ϕ 0 M 0 T 0 (29) dok je matrica A = [A ij ] data u obliku 1 S(λz) 2λ T (λz) 1 2λ 2 EI U(λz) 1 4λ 3 EI V (λz) λv (λz) S(λz) 1 2λEI T (λz) 1 U(λz) 2λ2 EI 2λ 2 1 EI U(λz) λei V (λz) S(λz) 2λ T (λz) 2λ 3 EI T (λz) 2λ 2 EI U(λz) λv (λz) S(λz) (30)

48 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Horizontalna krutost ²ipova Relacija (27) je osnov za odreživanje sistema prenosnih matrica za slu aj slojevitog tla Naravno, relacija (27) moºe da se koristi i u slu aju jednog sloja, koji je dovoljno homogene strukture Takože, ako je tlo sastavljeno iz vi²e slojeva, ali je izvr²eno osrednjavanje horizontalne krutosti, odn. odreživanje ekvivalentne horizontalne krutosti, relacija (27) moºe takože da se koristi

49 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Metoda prenosnih matrica Posmatra se tlo koje se sastoji iz n slojeva sa odgovaraju im razli itim karakteristikama h i, E si, γ i, ϕ i, ν i, itd Za svaki sloj i odrede se odgovaraju e matrice A i Relacija (28) moºe da se napi²e za svaki sloj: q i = A i q i 1 (i = 1, 2,..., n) (31) gde su q i 1 i q i vektori (29) na po etku i na kraju svakog sloja i, dok je A i matrica (30) za posmatrani sloj i

50 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Metoda prenosnih matrica Relacije (31) pi²u se, redom, za sve slojeve q 1 = A 1 q 0 q 2 = A 2 q 1 = A 2 A 1 q 0 q 3 = A 3 q 2 = A 3 A 2 A 1 q 0. (32) q n = A n q n 1 = A q 0 gde je A prenosna matrica data sa A = A n A n 1 A 2 A 1 (33)

51 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Metoda prenosnih matrica Dakle, preko ukupne prenosne matrice A uspostavlja se veza izmežu pomeranja, obrtanja, momenta savijanja i transverzalne sila na kraju poslednjeg sloja, odnosno u bazi ²ipa, sa tim veli inama na po etku ²ipa: q n = A q 0 (34) gde je A prenosna matrica data proizvodom matrica za svaki sloj, prema izrazu (33) Naravno, ako je tlo celom duºinom ²ipa homogeno, ili ako je usvojen jedan ekvivalentan homogen sloj, matrica A je jedna matrica

52 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Metoda prenosnih matrica Relacija (34) moºe da se koristi, na primer, za alternativno odreživanje koecijenata matrice eksibilnosti, koji su dati sa (17) i (18) Naime, grani ni uslovi na vrhu ²ipa, za z = 0, dati su sa M(0) = M 0, T (0) = T 0, tako da su dve integracione konstante, odn. dva po etna parametra time odreženi Iz grani nih uslova na donjem kraju ²ipa: M(L) = 0 i T (L) = 0 odrežuju preostala dva po etna parametra v 0 i ϕ 0

53 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Metoda prenosnih matrica Iz grani nih uslova na donjem kraju ²ipa dobija se sistem jedna ina po parametrima v 0 i ϕ 0 : [ 2λ 2 ] { } EI U(λL) λei V (λl) v0 2λ 3 EI T (λl) 2λ 2 = EI U(λL) ϕ 0 { A0 } B 0 (35) Vektor slobodnog lana, za slu aj jedini nog momenta na vrhu M 0 = 1.0, pri emu je T 0 = 0, dat je sa: { } { } A0 S(λL) = (36) B 0 λv (λl)

54 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Metoda prenosnih matrica Za slu aj jedini ne horizontalne sile na vrhu T 0 = 1.0, pri emu je M 0 = 0, vektor slobodnog lana dat je sa: { } { A0 1 = 2λ T (λl) } (37) S(λL) B 0 Re²enje grani nih uslova (35), za slobodni lan dat sa (36) daje koecijente eksibilnosti: v 0 = F 31 i ϕ 0 = F 33 Re²enjem jedna ina (35) za slobodan lan dat sa (37) dobijaju se koecijenti eksibilnosti: v 0 = F 11 i ϕ 0 = F 13 Ako se unesu posmatrane cifre za ekvivalentnu horizontalnu krutost tla K s, kao i podatke za ²ip Φ880, dobija se

55 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Koecijenti matrice esibilnosti (bez vertikalne)

56 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Metoda prenosnih matrica Razlika izmežu dobijenih vrednosti za koecijente eksibilnosti prema (35), kao i prema relacijama (17) i (18) je zanemarljiva Jedna ine (35) predstavljaju re²enje diferencijalne jedna ine grede na elasti noj podlozi, date sa (6), za ²ip kona ne duºine Relacije date sa (17) i (18) odnose se na re²enje iste diferencijalne jedna ine, ali za ²tap beskona ne duºine

57 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Sadrºaj 1 Koncepti analize fundiranja na ²ipovima Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova 2 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje 3

58 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Horizontalna krutost ²ipova - numeri ko re²enje Alternativno numeri ko re²enje Kao numeri ka alternativa u odreživanju matrice eksibilnosti, odnosno krutosti ²ipova, moºe da se formira ra unski model izolovanog ²ipa, gde je horizontalna krutost tla prikazana preko ekvivalentnih prostih ²tapova Ako se usvoje horizontalni prosti ²tapovi po visini ²ipa na mežusobnim, dovoljno malim, razmacima z, onda je ekvivalentna koncentrisana horizontalna krutost na mestima zamenjuju ih prostih ²tapova data sa: K i = K s d z (38)

59 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Horizontalna krutost ²ipova - numeri ko re²enje Alternativno numeri ko re²enje Imaju i u vidu da je aksijalna krutost prostog ²tapa, modula elasti nosti E, povr²ine popre nog preseka A i duºine l data sa: K = EA (39) l onda treba da bude zadovoljena relacija: K i = K s D z = EA i l (40)

60 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Horizontalna krutost ²ipova - numeri ko re²enje Alternativno numeri ko re²enje Uobi ajeno je da se usvoji neka pogodna duºina zamenjuju ih prostih ²tapova l Pogodno je da se usvoji da je l = 1.0 m Takože je pogodno da se usvoji neka pogodna vrednost za modul elasti nosti E Iz relacije (40) dobije se onda odgovaraju a povr²ina popre nog preseka prostog ²tapa: A i = K i l E = K s D z L E (41)

61 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Horizontalna krutost ²ipova - numeri ko re²enje Alternativno numeri ko re²enje Formiran je odgovaraju i ra unski model ²ipa, sa zamenjuju im prostim ²tapovima umesto tla, koji je optere en sa jedini nim momentom savijanja M 0 = 100 knm i sa jedini nom horizontalnom silom na vrhu ²ipa T 0 = 100 kn Za odreživanje koecijenata eksibilnosti koriste se samo horizontalna pomeranja i obrtanja na vrhu ²ipa dobijena za jedini ne vrednosti momenta i transverzalne sile na vrhu ²ipa

62 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Ra unski model ²ipa u odreživanju eksibilnosti

63 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Horizontalna pomeranja i obrtanja za H = 100

64 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Horizontalna pomeranja i obrtanja za M = 100

65 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Horizontalna krutost ²ipova - numeri ko re²enje Alternativno numeri ko re²enje Koecijenti eksibilnosti usled jedini ne sile H = 100 kn: - horizontalno pomeranje vrha ²ipa Xd = mm - obrtanje vrha ²ipa Z r = 2.17 rad/ koecijenti F 11 i F F 11 = = F 13 = =

66 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Horizontalna krutost ²ipova - numeri ko re²enje Alternativno numeri ko re²enje Koecijenti eksibilnosti usled jedini nog momenta M = 100 knm: - horizontalno pomeranje vrha ²ipa Xd = 2.17 mm - obrtanje vrha ²ipa Z r = 0.69 rad/ koecijenti F 33 i F F 33 = F 31 = 100 = =

67 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Horizontalna krutost ²ipova - numeri ko re²enje Alternativno numeri ko re²enje Vidi se da se dobijaju prihvatljivo iste vrednosti za koefcijente eksibilnosti vrha ²ipa koji su dobijeni na razne alternativne na ine: Re²avanjem diferencijalne jedna ine grede na elasti noj podlozi, za ²tap beskona ne duºine (prema relacijama (17) i (18): F 11 = F 13 = F 31 = F 33 =

68 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje Horizontalna krutost ²ipova - numeri ko re²enje Alternativno numeri ko re²enje Re²avanjem diferencijalne jedna ine grede na elasti noj podlozi, za ²tap kona ne duºine (prema (35) - (37)): F 11 = F 13 = F 31 = F 33 = Numeri kim izra unavanjem pomeranja i obrtanja vrha ²ipa na elasti noj podlozi za jedini ne uticaje (program Tower): F 11 = F 13 = F 31 = F 33 =

69 Sadrºaj 1 Koncepti analize fundiranja na ²ipovima Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova 2 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje 3

70 Grupa ²ipova ipovi nikad nisu izolovani elementi, ve su uvek u grupi Posmatra se grupa ²ipova ije su glave proizvoljno rasporežene u jednoj horizontalnoj ravni (u kojoj se nalazi temeljna plo a koja povezuje ²ipove) Na temeljnu plo u se prenosi proizvoljno optere enje za razli ite slu ajeve optere enja kojima je izloºena konstrukcija Kao sile veze izmežu ²ipova i temeljne plo e, na glavu svakog ²ipa prenosi se sistem generalisanih sila koji ine - vertikalna normalna sila - dve horizontalne transverzalne sile - dva momenta savijanja oko dve horizontalne ose Jedino se zanemaruje momenat torzije ²ipa

71 Grupa ²ipova Prema tome, matrica eksibilnosti vrha ²ipa, ili matrica krutosti, u prostornom slu aju je reda pet Uz logi nu predpostavku da su karakteristike tla iste u oba horizontalna pravca, onda su i odgovaraju i elementi matrica isti Za sile u jednoj vertikalnoj ravni, mtrica eksibilnosti, reda 3, data je kao: u v ϕ = pri emu je F 13 = F 31 F 11 0 F 13 0 F 22 0 F 31 0 F 33 H 0 V 0 M 0

72 Grupa ²ipova - matrica eksibilnosti Uz oznake elemenata matrice eksibilnosti kao za slu aj optere enja u jednoj vertikalnoj ravni, u prostornom slu aju matrica eksibilnosti data je sa [F ] = F F 13 0 F F 11 F F 13 F 33 0 F F 33 (42)

73 Grupa ²ipova - matrica krutosti Koecijenti F ij u matrici eksibilnosti (42) dati su sa izrazima (17) i (18) koji su prikazani za slu aj optere enja ²ipa u jednoj ravni, dok je koecijent F 22 dat sa izrazom (3) za s = 1, odn. sa recipro nom vredno² u izraza (4) za k v Matrica krutosti je inverzna u odnosu na matricu eksibilnosti i iste je strukture kao i matrica eksibilnosti, zna i, data je u obliku: K K 13 0 K [K] = 0 0 K 11 K 13 0 (43) 0 0 K 13 K 33 0 K K 33

74 Sadrºaj 1 Koncepti analize fundiranja na ²ipovima Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova 2 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje 3

75 Grupa ²ipova Usvaja se inercijalni (globalni) koordinatni sistem dekartovih osa Axyz: - osa y je vertikalna osa sa smerom na dole - ose x i z su dve mežusobno ortogonalne horizontalne ose - ta ka A je pol (referentna ta ka) temelja U odnosu na ovaj nepokretan koordinatni sistem poloºaj glave svakog ²ipa P k ima koordinate P k (x k, 0, z k ) Na elno, mogu e je da ²ipovi ne budu svi u jednoj horizontalnoj ravni (y = 0), tako da moºe da bude P k (x k, y k, z k ), gde je y k 0

76 Grupa ²ipova Za svaki ²ip se usvaja lokalni koordinatni sitem P k x k y k z k koji je paralelan sa globalnim sistemom Oxyz Generalisana pomeranja glave svakog ²ipa su - u, v, w... pomeranja glave ²ipa u pravcima lokalnih osa P k x k y k z k - ϕ x, ϕ z... obrtanja glave ²ipa oko lokalnih horizontalnih osa ²ipa x k i z k Prema tome, veza ²ipa sa temeljnom plo om prikazuje se sa pet stepeni slobode Jedini stepen slobode koji se zanemaruje je rotacija glave ²ipa oko vertikalne ose (torzija ²ipa)

77 Grupa ²ipova Generalisane sile koje deluju u glavi svakog ²ipa su - T x, N y, T z... transverzalne (horizontalne) sile u pravcima lokalnih osa x k i z k, kao i normalna (vertikalna) sila u pravcu ose y k - M x, M z... momenti savijanja ²ipa oko lokalnih horizontalnih osa x k i z k Dakle, generalisana vorna pomeranja i generalisane vorne sile u glavi svakog ²ipa broj k date su sa q k = u v w ϕ x ϕ y k S k = T x N y T z M x M y k (44)

78 Grupa ²ipova Temeljna konstrukcija se tretira kao kruta celina sa pet stepeni slobode kretanja, dok su ²ipovi spolja²nje veze koje ograni avaju mogu nost kretanja temeljne konstrukcije Generalisane koordinate krutog temelja (pomeranja pola u tri pravca i obrtanja oko dve horizontalne ose) ozna ene su, redom sa u 0, v 0, w 0, ϕ x0, ϕ z0 Ove generalisane koordinate mere se u odnosu na ravnoteºnu konguraciju temeljne konstrukcije, odnosno u odnosu na "`nenapregnuto stanje opruga"' koje predstavljaju spolja²nje veze za temeljnu konstrukciju

79 Globalna i lokalna pomeranja

80 Grupa ²ipova Posmatra se proizvoljna ta ka temeljne plo e P k, u kojoj se nalazi jedan od ²ipova, i neka je poloºaj te ta ke u odnosu na pol A odrežen sa vektorom poloºaja: d k = AP k = {x k, y k, z k } Imaju i u vidu da se sistem posmatra kao kruto telo, dobija se slede a veza izmežu lokalnih i globalnih pomeranja: u k v k w k ϕ xk ϕ zk = y k z k x k y k u 0 v 0 w 0 ϕ x0 ϕ z0 (45)

81 Grupa ²ipova Relacija (45) moºe da se prikaºe skra eno u obliku: gde su q k = T k q 0 (46) - q k... vektor lokalnih pomeranja proizvoljne ta ke (glave ²ipa) P k - q 0... vektor globalnih pomeranja temeljne konstrukcije - T k... odgovaraju a matrica transformacije data sa (45) Relacija (46) prikazuje generalisana pomeranja glave ²ipa broj k, koji je kruto vezan sa krutom temeljnom plo om, preko generalisanh pomeranja referentne ta ke A temeljne plo e

82 Sadrºaj 1 Koncepti analize fundiranja na ²ipovima Prikazivanje ²ipova u ra unskom modelu ipovi kao grede na elasti nom poluprostoru Matrica eksibilnosti i matrica krutosti ²ipova 2 Re²enje primenom Laplasove transformacije Alternativno numeri ko re²enje 3

83 Grupa ²ipova Ako se sile veze u ta ki P k (u glavi ²ipa) ozna e sa vektorom S k, pri emu su sile pozitivne u pozitivnim smerovima lokalnih osa, isto kao i lokalna pomeranja, onda su relacije koje povezuju lokalne sile u ta ki P k i lokalna pomeranja date sa: gde su q k = F k S k S k = K k q k (47) - K k... lokalna matrica krutosti, data sa (43) - F k... lokalna matrica eksibilnosti, data sa (42)

84 Grupa ²ipova Imaju i u vidu matricu transformacije T k, ako se lokalne sile veze u ta ki P k redukuju na pol A, onda se dobija relacija: S 0k = T T k S k (48) gde je sa T ozna ena transponovana matrica Referentna ta ka A temeljne plo e se, po pravilu, usvaja u centru mase Ako je u pitanju temeljna konstrukcija elije silosa, onda je centar mase na osi simetrije Na konstrukciju deluju spolja²nje sile za koje se pretpostavlja da su prihvatljivo simetri no rasporežene u odnosu na osu y u teºi²tu temelja

85 Grupa ²ipova Spolja²nje sile mogu da se redukuju na pol A, koji je usvojen u teºi²tu, odn. u centru mase temeljne konstrukcije Time se dobija vektor spolja²njih sila Q 0 : F x F y Q 0 = F z M x M z (49) Za svaki nezavistan slu aj optere enja konstrukcije moºe da se odredi vektor Q 0

86 Grupa ²ipova U ta ki P k nalazi se jedan od n ²ipova koji ograni avaju mogu nost kretanja temeljne konstrukcije Ako se temeljna konstrukcija usled spolja²njih sila pomeri, onda su globalne generalisane koordinate temelja date sa q 0 Odgovaraju a pomeranja ta aka P k, gde su locirani ²ipovi, odn. spolja²nje veze za temelj, data su sa q k, u skladu sa (46) U ta kama P k javljaju se restitucione sile S k = K k q k (50) koje teºe da vrate sistem u nenapregnuto stanje

87 Grupa ²ipova Ako se sve restitucione sile redukuju na pol A, u skladu sa relacijama (48), uslovi ravnoteºe aktivnih i reaktivnih sila glase: Q 0 n S 0k = 0 (51) k=1 Zamenom relacija (48), (47) i (46) u uslove ravnoteºe (51), dobija se K q 0 = Q 0 (52)

88 Grupa ²ipova U jedna ini (52) sa K ozna ena je globalna matrica krutosti sistema data sa: K = n Tk T K k T k (53) k=1 U relaciji (53) K k su matrice krutosti ²ipova, date sa (43), dok su T k matrice transformacija prikazane sa (45) kojima se uzima u obzir poloºaj svakog ²ipa

89 Re²enje jedna ina ravnoteºe Grupa ²ipova Re²avanjem jedna ina ravnoteºe (52), za date spolja²nje sile, dobijaju se odgovaraju a globalna pomeranja sistema kao celine: q 0 = K 1 Q 0 (54) Prema relacijama (46) dobijaju se lokalna pomeranja na spoju temeljne konstrukcije i ²ipova, odn. pomeranja u glavama ²ipova Sa tim lokalnim pomeranjima odrežuju se, prema relacijama (47), lokalne sile veze izmežu ²ipova i temeljne konstrukcije Zna i, dobija se: S k = K k q k = K k T k q 0 (55)

90 Uticaji u ²ipovima Grupa ²ipova Kada su, za posmatrane spolja²nje sile koje deluju na sistem, odrežene sile veze izmežu temeljne konstrukcije i ²ipova, prema relacijama (55), mogu da se zatim analiziraju ²ipovi svaki za sebe i da se odrežuju uticaji duº ose svakog ²ipa prema prikazanom re²enju diferencijalne jedna ine (6) Za uticaj samo transverzalne (horizontalne) sile na vrhu ²ipa, ugibi (horizontalna pomeranja) ²ipa dati su sa (9): v(z) = 2H 0λ K s d e λz cos λz gde je λ = 4 Ks d 4EI

91 Uticaji u ²ipovima Grupa ²ipova Obrtanja, momenti savijanja i transverzalne sile, za uticaj horizontalne sile na vrhu ²ipa, dobijaju se diferenciranjem kao: ϕ(z) = 2H 0λ 2 K s d e λz (cos λz + sin λz) M(z) = H 0 λ e λz sin λz T (z) = H 0 e λz (cos λz sin λz) Sila H 0 je horizontalna sila T x ili T z

92 Uticaji u ²ipovima Grupa ²ipova Ako se posmatra da na vrhu ²ipa deluje samo momenat savijanja M 0, onda je re²enje diferencijalne jedna ine savijanja dato sa: v(z) = 2M 0λ 2 K s d e λz (cos λz sin λz) Koncentrisani momenat savijanja na vrhu ²ipa M 0 je, redom, momenat M x, odn. M z

93 Uticaji u ²ipovima Grupa ²ipova Obrtanja, momenti savijanja i transverzalne sile dobijaju se diferenciranjem kao: ϕ(z) = 4M 0λ 3 K s d e λz cos λz M(z) = M 0 e λz (cos λz + sin λz) T (z) = 2M 0 λ e λz sin λz Ukoliko je ²ip kruºnog popre nog preseka (simetri an), onda je mogu e da se prema dobijenim silama veze na glavi ²ipa odrede rezultuju a transverzalna sila i rezultuju i momenat savijanja: H 0 = T 2 x + T 2 z M 0 = M 2 x + M 2 z

94 Raspodela momenata savijanja duº ²ipa Bending Moments M (layered soil) M for M-max M for M-min Moments M [knm] Length along pile L [m]

95 Raspodela transverzalnih sila duº ²ipa Shear Forces T (layered soil) T for M-max T for M-min Shear forces T [kn] Length along pile L [m]

96 Raspodela momenata savijanja duº ²ipa Bending Moments M 1500 Program Silo-Analysis Program Winkler Moments M [knm] Length along pile L [m]

97 Raspodela transverzalnih sila duº ²ipa Shear forces T Program Silo-Analysis Program Winkler Moments M [knm] Length along pile L [m]

98 Uporedna raspodela momenata savijanja duº ²ipa Moments M [knm] Bending Moments M M for M-max, equivalent soil M for M-min, equivalent soil M for M-max, layered soil M for M-min, layered soil Length along pile L [m]

99 Uporedna raspodela transverzalnih sila duº ²ipa Shear forces T [kn] Shear Forces T T for M-max, equivalent soil T for M-min, equivalent soil T for M-max, layered soil T for M-min, layered soil Length along pile L [m]

100 Popre ni presek i armiranje ²ipa SIP Φ 880 mm Armiranje sa 16 R Φ 25 Geometric Properties Gross Conc. Trans (n=9.12) Area (mm 2 ) x Inertia (mm 4 ) x y t (mm) y b (mm) M S t (mm 3 ) x S b (mm 3 ) x mm Crack Spacing 2 x dist db /ρ Loading (N,M,V + dn,dm,dv) 2000, 100.0, , 1.0, 0.0 Concrete fc' = 20.5 MPa a = 19 mm ft = 1.51 MPa (auto) ε c ' = 1.86 mm/m Rebar fu = 600 MPa Long, f y = 400 Trans, f y = 240 ε s = mm/m All dimensions in millimetres Clear cover to transverse reinforcement = 40 mm Piles in Novorosiisk S.Brcic 2006/1/2

101 Uticaji u ²ipu i dijagram interakcije Internal Forces 201 mm C: 6998 kn Control : M-N mm 293 mm T: 1144 kn

102 Dijagram M-N interakcije ²ipa M-N Interaction Axial Force (kn) Legend Cracking Crush on bottom Crush on Top Moment (knm)

103 Baterija silosa fundiranih na ²ipovima

104 Baterija silosa fundiranih na ²ipovima ilename Designed Date SB by Scale 4.7 Checked by I 4.6 Approved by - date F P P I SB XX ZC JT1:200 XXX - 00/00/00 X.4 BE s 30 & East 40 - Point level Holdings 0.00 Ltd System N GG N N Edition Sheet SB 4.9 1/1 SB 4.8 SB 4.10 SB E E SB SB L L SB 4.2 RevNo DateRevision note BSignatureCC Checked 4.8 BE C34600 C J J BC etc BE BE 3.5 BC BC CA F F MM BC D D K K Itemref Article Quantity No./Reference Title/Name, designation, material, dimension SB 4.5 B B AA siberi H za Hpraznjenje O O CC

105 elije silosa Φ32m i Φ27.4m, visine 30m

106 Baterija silosa za ºito fundiranih na ²ipovima Uporedne analize fundiranja na ²ipovima Baterija silosa za ºito ima 10 elija: 3 pre nika Φ32m i 7 pre nika Φ27.4m Umesto na jedinstvenoj temeljnoj plo i za celu bateriju, svaka elija ima svoj nezavistan temelj na bu²enim ²ipovima Φ880 mm (duºine oko 20-22m) Napravljeni su ra unski modeli za svaku od dve vrste elija, primenom programa Tower U zavisnosti on na ina prikazivanja ²ipova, formirana su dva ra unska modela za svaku od dve elije (S32 i S27): - Model S32-Rigid - Model S32-Flexi

107 Baterija silosa za ºito fundiranih na ²ipovima Uporedne analize fundiranja na ²ipovima Jedina razlika izmežu dve grupe ra nskih modela elija silosa je u tretiranju ²ipova U modelu S32-Rigid ²ipovi se posmatraju kao kruti ta kasti oslonci U modelu S32-Flexi ²ipovi su prikazani kao elasti ni ta kasti oslonci prikazani preko pet ekvivalentnih elasti nih opruga Za usvojen geomehani ki model tla na lokaciji silosa i ²ipova, odrežene su matrice eksibilnosti i matrice krutosti (reda pet) u glavi ²ipa (na spoju ²ipova i temeljne plo e) Usvojeno je da su karakteristike tla iste na celoj lokaciji silosa, tako da svi ²ipovi imaju istu matricu kutosti

108 Baterija silosa za ºito fundiranih na ²ipovima Uporedne analize fundiranja na ²ipovima Uporedno sa analizom primenom programa Tower, napravljen je i ra unarski program, nazvan Silo-Analysis, za analizu grupe ²ipova koji su mežusobno povezani krutom temeljnom plo om Osnovna pretpostavka je da je temeljna plo a koja povezuje ²ipove kruta plo a koja raspolaºe sa pet stepeni slobode Spolja²nje optere enje, uklju uju i i sopstvenu teºinu konstrukcije i ºita u elijama, unosi se kao glavni vektor sila i glavni vektor momenata koji se dobijaju redukcijom na usvojeni pol (na centar mase temeljne plo e)

109 Baterija silosa za ºito fundiranih na ²ipovima Uporedne analize fundiranja na ²ipovima ipovi su prikazani kao ta kaste spolja²nje veze koje ograni avaju mogu nost kretanja temeljne plo e Svaka veza na mestu pojedinih ²ipova prikazana je kao odgovaraju a matrica krutosti reda pet Ulazni podaci za program Silo-Analysis odreženi su tako da odgovaraju konguraciji reprezentativnih elija silosa pre nika 32m i 27.4m Kod oba modela, primenom programa Tower i programa Silo-Analysis, isklju eno jo² i eventualno dopunsko preno²enje optere enja na tlo preko neposrednog kontakta donje plo e, ime se implicitno uvodi i izvestan koecijent sigurnosti

110 Program za analizu grupe ²ipova

111 Program za analizu grupe ²ipova

112 Program za analizu grupe ²ipova

113 Program za analizu grupe ²ipova

114 Program za analizu grupe ²ipova

115 Program za analizu grupe ²ipova

116 Program za analizu grupe ²ipova

117 Program za analizu grupe ²ipova

118 Program za analizu grupe ²ipova

119 Program za analizu grupe ²ipova

120 SILO D = 32 m - Flexible Pile Support Model Koncepti analize fundiranja na ²ipovima Input data - Structure Ra unski model jedne elije silosa (Tower)

121 Load 7: Grav itational load G + P R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = Lev el: Lower Plate [0.00] Support Reactions R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = R3 = Tower - 3D Model Builder 5.5 Registered to Prof dr Stanko Brcic Radimpex - R3 = 32 R3 = 31 Koncepti analize fundiranja na ²ipovima Vertikalne sile veze izmežu ²ipova i plo e Prof. dr Stanko Brcic Grain Terminal in Novorosysk Port 2/17/2006 SILO D = 32 m - Flexible Pile Support Model

122 Horizontalne sile veze izmežu ²ipova i plo e

123 Uporedni prikaz vertikalnih sila u ²ipovima

124 Fundiranje na ²ipovima baterije silosa Analiza dobijenih rezultata: gravitaciono optere enje Ako se pogledaju dobijene cifre, moºe da se konstatuje da je model sa beskona no krutim ta kastim osloncima nedovoljno realan, ²to se vidi u izraºenijoj neravnomernosti sila u ²ipovima Sile u ²ipovima koje su dobijene programom Tower u modelu sa elasti nim osloncima i sa programom Silo-Analysis su prihvatljivo sli nih mežusobnih vrednosti i pri tome su ²ipovi mežusobno ravnomernije angaºovani Interval najmanjih i najve ih dobijenih vertikalnih sila je slede i: - Program Tower... od do kn - Program Silo-Analysis... od do kn

125 Fundiranje na ²ipovima baterije silosa Analiza dobijenih: gravitaciono optere enje Ako se ima u vidu da je vertikalna krutost elasti nih oslonaca odrežena kao vrednost k v = kn m, onda mogu da se procene i odgovaraju a sleganja prema relaciji S = k v v gde je S sila u ²ipu, a v sleganje. Zna i, odgovaraju e sleganje se dobija kao v = S k v

126 Fundiranje na ²ipovima baterije silosa Analiza dobijenih: gravitaciono optere enje Za grani ne vrednosti vertikalnih sila u ²ipovima, kao i za srednju vrednost te sile, mogu da se dobiju slede e vrednosti procenjenih sleganja: - Za silu S = kn v = m 1.2 cm - Za silu S = kn v = m 1.8 cm - Za prose nu silu S = kn v = m 1.5 cm Upravo tolika vrednost sleganja cele temeljne konstrukcije, v = 1.5 cm, dobija se programom Silo-Analysis To je i prirodno, jer je u tom pristupu usvojeno da je temljna konstrukcija beskona no kruta, za razliku od programa Tower, gde je krutost temeljne konstrukcije realnija

127 Fundiranje na ²ipovima baterije silosa Analiza dobijenih rezultata: seizmi ko optere enje Seizmi ki uticaji odreženi su u skladu sa ruskim propisima, za lokalne uslove, kao ekvivalentno stati ko optere enje Prema tim uslovima, dobija se da je ekvivalentna horizontalna seizmi ka sila jednaka gde je Q k odgovaraju a teºina S k = 0.12 Q k Rezultati seizmi ke analize dobijeni za model sa elasti nim osloncima u okviru programa Tower smatraju se kao najrealniji

128 Fundiranje na ²ipovima baterije silosa Analiza dobijenih rezultata: seizmi ko optere enje Prikazuju se neke dobijene normalne sile, transverzalne sile i momenti savijanja na vrhovima ²ipova (posebno za svaki pravac zemljotresa) Vrednosti rezultuju ih transverzalnih sila i momenata savijanja su odrežene prema relacijama T = R R2 2 M = M M 2 2 item[] gde su R 1,..., M 2 horizontalne sile i momenti savijanja za pravce X i Y, redom

129 Sile u ²ipovima usked seizmi kog optere enja