ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ» ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: κ. ΣΤΑΥΡΟΣ ΓΟΥΤΣΟΣ ΚΡΗΤΙΚΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ Α.Μ.: 43 ΠΑΤΡΑ 006

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ... Οι προτιμήσεις του καταναλωτή... Η ύπαρξη της συνάρτησης ωφελείας... 4 Παράδειγμα:Η μη ύπαρξη της συνάρτησης ωφελείας... 6 Συμπεριφορά καταναλωτή... 6 Συγκριτικές στατικές... 0 Παράδειγμα:έμμεσοι φόροι και φόροι εισοδήματος... Η συνάρτηση δαπάνης και έμμεση συνάρτηση ωφελείας... Ιδιότητες της συνάρτησης δαπάνης... 3 Οι συναρτήσεις αποζημίωσης... 3 Μερικές σημαντικές ταυτότητες... 4 Ταυτότητα Ro s... 5 Παράδειγμα: η συνάρτηση ωφελείας Cobb-Dogls... 6 Παράδειγμα: η συνάρτηση ωφελείας CES... 7 Ισότητα Sltsk... 7 Παράδειγμα: η Cobb-Dogls Sltsk εξίσωση... 0 Ιδιότητες των συναρτήσεων ζήτησης... Παραγώγιση των συνθηκών ης τάξης... Το πρόβλημα ολοκληρωσιμότητας... Παράδειγμα: ολοκληρωσιμότητα με μόνο αγαθά... 4 Παράδειγμα: ολοκληρωσιμότητα με περισσότερα αγαθά... 5 Δυϊκότητα στην κατανάλωση... 6 Παράδειγμα: επίλυση για την άμεση συνάρτηση χρησιμότητας... 7 Αθροιστική ζήτηση καταναλωτή... 8 Αναμενόμενη ωφελεία Απέχθεια προς τον κίνδυνο... 3 Παράδειγμα:η ζήτηση για ασφάλεια... 33

3 ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Το απλό υπόδειγμα δύο αγαθών Μεγιστοποίηση της χρησιμότητας Διαγραμματική ανάλυση για τα αποτελέσματα υποκατάστασης και εισοδήματος από μία μεταβολή του w Αρχή της αριστοποίησης Εξίσωση Sltsk και η προσφορά εργασίας Παράδειγμα: προσφορά εργασίας Cobb-Dogls Ατομική καμπύλη προσφοράς εργασίας και καμπύλη προσφοράς εργασίας της αγοράς Άλλες χρήσεις του υποδείγματος κατανομής του χρόνου Η ΖΗΤΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΕΙΣΡΟΕΣ Μεγιστοποίηση των κερδών και εξαγόμενη ζήτηση Εναλλακτικός τρόπος εξαγωγής του εσόδου του οριακού προϊόντος Συγκριτική στατική ανάλυση της ζήτησης εισροών Περίπτωση μίας εισροής Περίπτωση των δύο εισροών ΕΞΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΠΙΔΡΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΗΜΟΣΙΑ ΑΓΑΘΑ... 5 Ωφέλιμες εξωτερικές επιδράσεις... 5 Εξωτερικές επιδράσεις στη χρησιμότητα... 5 Εξωτερικές επιδράσεις και αποτελεσματικότητα κατανομής Τρόποι αντιμετώπισης των εξωτερικών επιδράσεων Δικαιώματα ιδιοκτησίας και κατανομή Παράδειγμα: το δίλημμα των συγκατοίκων Τιμολόγηση κατά Lndhl για τα δημόσια αγαθά Διαγραμματική προσέγγιση Η αποτελεσματικότητα της ισορροπίας Lndhl Αποκάλυψη της ζήτησης για δημόσια αγαθά το πρόβλημα του δωρεάν χρήστη... 6

4 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΜΕΡΟΣ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ Το κεφάλαιο και το ποσοστό απόδοσης Γραφική ανάλυση Ποσοστό απόδοσης και διηνεκές ποσοστό απόδοσης Παράδειγμα Το ποσοστό απόδοσης ισορροπίας Ποσοστό απόδοσης πραγματικά και ονομαστικά επιτόκια Επενδυτικές αποφάσεις με βάση την παρούσα προεξοφλημένη αξία Μια απλή περίπτωση Μία γενική περίπτωση Παράδειγμα εφαρμογή του κριτηρίου της PDV... 7 Άριστη διαχρονική κατανομή των πόρων Μαθηματικό υπόδειγμα του άριστου ελέγχου Μαθηματική παρουσίαση ΜΕΡΟΣ Β Μια μικρή προέκταση όσον αφορά το κεφάλαιο Παρούσα προεξοφλητική αξία Ετήσιο επίδομα ορισμένου χρόνου και αορίστου χρόνου Η ειδική περίπτωση ενός ομολόγου Συνεχής χρόνος ΕΠΙΛΟΓΟΣ... 8

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην εργασία αυτή μελετάμε την παραγωγή συναρτήσεων ζήτησης εξετάζοντας ένα μοντέλο της μεγιστοποίησης της προτίμησης συνδέοντας με μια περιγραφή ουσιαστικότερων οικονομικών σταθερών. Αρχικά εξετάζουμε την έννοια των προτιμήσεων και περιγράφουμε μερικές υποθέσεις τακτικότητας σε σχέση με τις προτιμήσεις. Στη συνέχεια μελετάμε την έννοια της συνάρτησης ωφελείας καθώς και το πρόβλημα μεγιστοποίησης της ωφελείας υπό τον περιορισμό του προϋπολογισμού. Ακόμη περιγράφουμε τις ιδιότητες των συναρτήσεων ζήτησης και αναλύουμε τη συμπεριφορά του καταναλωτή κάτω από αβεβαιότητα. Εν συνεχεία μελετάμε την προσφορά εργασίας τη ζήτηση των επιχειρήσεων για εισροές τις εξωτερικές επιδράσεις και τα δημόσια αγαθά. Τέλος μελετάμε κάποιους ορισμούς όσον αφορά το κεφάλαιο.

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ.: ΟΙ ΠΡΟΤΙΜΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ Υποθέτουμε ότι ένας καταναλωτής είναι αντιμέτωπος με κατάλληλες δέσμες κατανάλωσης ή bndles το σύνολο των οποίων καλείται και σύνολο κατανάλωσης. Συνήθως για αυτό το σύνολο που συμβολίζεται ως Χ ισχύει: X μη αρνητικό Χ R X κλειστό και κυρτό Ο καταναλωτής συνήθως έχει προτιμήσεις σε δέσμες κατανάλωσης στο Χ. Όταν γράφουμε θα εννοούμε ότι το bndle είναι στο ελάχιστο καλύτερο από το bndle. Βέβαια επιθυμούμε οι προτιμήσεις να διατάσσονται στο σύνολο των bndles. Οι υποθέσεις που θα λάβουμε υπ όψιν μας είναι: [7]. Πληρότητα: Για όλα τα Χ θα ισχύει ή ή ή και τα δύο.. Αυτοπαθητικότητα: Για όλα τα X 3. Μεταβατικότητα: Για όλα τα z Χ αν και z τότε z. Η πρώτη υπόθεση μας λέει απλά ότι οποιαδήποτε δύο bndles μπορούν να συγκριθούν. Η δεύτερη υπόθεση είναι σαφώς τετριμμένη περίπτωση. Η τρίτη υπόθεση είναι απαραίτητη για οποιαδήποτε ανάλυση της μεγιστοποίησης της προτίμησης. Δεδομένου μιας διάταξης της «ασθενούς προτίμησης» μπορούμε να καθορίσουμε μια διάταξη > της «δυνατής προτίμησης» απλά καθορίζοντας > να σημαίνει όχι και εννοούμε ότι «αυστηρά προτιμότερη από την». Συνήθως όμως είναι και επιτακτική η ανάγκη για δημιουργία και άλλων υποθέσεων όσον αφορά τις προτιμήσεις του καταναλωτή. Αυτές είναι:

7 4. Συνέχεια: Για όλα τα X τα { : } και { } σύνολα. Αυτό σημαίνει ότι { : < } και { > } : ανοικτά σύνολα. : είναι κλειστά Αυτή η υπόθεση είναι απαραίτητη για να αποκλείσουμε τη «βέβαιη διακεκομμένη συμπεριφορά» αυτό σημαίνει ότι αν είναι μια διαδοχική σειρά από bndles κατανάλωσης τα οποία είναι στο ελάχιστο τόσο καλά όσο το bndle και αν η σειρά αυτή συγκλίνει σε κάποιο bndle * τότε * είναι στο ελάχιστο καλό από το. Μια σημαντική συνέπεια ίσως και η σημαντικότερη της συνέχειας είναι: αν προτιμάται αυστηρά έναντι της z και ένα bndle το οποίο είναι αρκετά κοντά στο τότε το πρέπει να προτιμάται αυστηρά έναντι του z. Αυτό είναι απλά μια επαναδιατύπωση του ότι το σύνολο των αυστηρά προτιμώμενων bndles είναι ένα ανοικτό σύνολο. Μπορεί να δειχθεί όπως θα δούμε παρακάτω ότι αν η διάταξη προτίμησης είναι πλήρης αυτοπαθής μεταβατική και συνεχής τότε μπορεί να παρασταθεί από κάποια συνάρτηση ωφελείας. Μια συνάρτηση ωφελείας συνήθως είναι ένας αρκετά κατάλληλος τρόπος να περιγράψουμε προτιμήσεις αλλά δεν μπορεί να δοθεί καμία διαισθητική ερμηνεία. Το μόνο σχετικό χαρακτηριστικό γνώρισμα της συνάρτησης ωφελείας είναι ο φαινομενικός χαρακτήρας της. Στην κλασική οικονομική θεωρία αυτό που συνοψίζει την συμπεριφορά του καταναλωτή με την έννοια της συνάρτησης ωφελείας είναι η συνεχής συνάρτηση : X R τέτοια ώστε > αν και μόνο αν >. Έτσι αν αντιπροσωπεύει κάποιες προτιμήσεις και f:r R μια μονότονη συνάρτηση τότε f θα αντιπροσωπεύει ακριβώς τις ίδιες προτιμήσεις αφού: f > f > Υπάρχουν όμως και άλλες υποθέσεις που παίζουν το ρόλο της αντικατάστασης ή της συμπλήρωσης σε σχέση με τις προηγούμενες. Αυτές είναι: 5. Ισχυρή μονοτονία: Αν και τότε >. Αυτή μας λέει ότι το περισσότερο είναι καλύτερο. Συνήθως έχει το ρόλο της υπόθεσης. Μια ασθενέστερη υπόθεση που χρησιμοποιείται αντί της 5 είναι: 3

8 6. Locl nonstton: Για κάθε X και e>0 υπάρχει κάποιο bndle X με < e τέτοιο ώστε >. Η υπόθεση αυτή μας δείχνει ότι μπορούμε πάντα να κάνουμε καλύτερο λίγο παραπάνω ακόμη κι αν κάποιος περιοριστεί μόνο σε μικρές αλλαγές σε ένα καταναλωτικό bndle. Μια υπόθεση που χρησιμοποιείται για να εγγυηθεί καλύτερη συμπεριφορά στην καμπύλη ζήτησης είναι: 7. Αυστηρή Κυρτότητα: Για και z X αν z και z τότε t + t > z για κάθε 0<t<. Αυτή η ιδιότητα υποδηλώνει ότι ένας παράγοντας προτιμά μέσους όρους από ότι ακραίες υπερβολικές τιμές αλλά εκτός από αυτό έχει λιγότερη οικονομία σε περιεχόμενο. Η αυστηρή κυρτότητα είναι μια γενίκευση των «μειούμενων περιθωριακών βαθμών αντικατάστασης». Δοθείσης μιας διάταξης προτίμησης μπορούμε συχνά να την αναπαραστήσουμε γραφικά. Το σύνολο όλων των καταναλωτικών δεσμών κατανάλωσης που είναι ανεξάρτητες με κάθε άλλες καλείται «αδιάφορη καμπύλη». Μπορούμε να συσχετίσουμε τις «αδιάφορες καμπύλες» με ένα επίπεδο συνόλων της συνάρτησης ωφελείας και οι οποίες είναι ανάλογες με όσα χρησιμοποιούνται στη θεωρία παραγωγής. Το σύνολο όλων των σημείων πάνω ή κάτω από την «αδιάφορη καμπύλη» { X } «ανώτερο σύνολο περιγράμματος». : X 0 λέγεται Η ύπαρξη της συνάρτησης ωφελείας: Πρόταση: Υποθέτουμε ότι οι προτιμήσεις είναι πλήρεις αυτοπαθείς μεταβατικές συνεχείς και ισχυρά μονότονες. Τότε υπάρχει μια συνεχής συνάρτηση ωφελείας : R R που αντιπροσωπεύει εκείνες τις προτιμήσεις. + * Απόδειξη: Έστω e ένα διάνυσμα στον * R + που αποτελείται από μονάδες. Τότε για κάθε δοσμένο διάνυσμα θεωρούμε το να είναι αριθμός τέτοιος ώστε 4

9 e. Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει τέτοιος αριθμός και ότι είναι μοναδικός. Έστω b{ t R : te } και W{ t R : te } Τότε η ισχυρή μονοτονία υποδηλώνει ότι το B δεν είναι κενό. Το W είναι σίγουρα μη κενό αφού περιέχει το 0. Η συνέχεια δηλώνει ότι και τα σύνολα είναι κλειστά. Αφού το R είναι συνδετικό υπάρχει κάποιο t:te. Η ισχυρή μονοτονία δείχνει ότι το t είναι μοναδικό. Είναι φανερό από αυτή την κατασκευή ότι ο βαθμός του είναι ολόκληρη η μη αρνητική γραμμή αφού tet. Για να δείξουμε ότι το είναι συνεχής αρκεί να δείξουμε ότι οι αντεστραμμένες εικόνες του συνόλου του τύπου [ ] 0 σύνολα. 0 και [ 0 0 ] είναι κλειστά Από τις παρακάτω παρατηρήσεις στο βαθμό του [ { : } { : f 0 [ 0 ] { : } { : } που είναι κλειστή υπόθεση. 0 Τελικά έχουμε να δείξουμε ότι αυτή η συνάρτηση ωφελείας πράγματι αντιπροσωπεύει τις υπογραμμισμένες προτιμήσεις. Έστω: όπου t e t όπου t e t } Τότε αν t < t η μονοτονία δείχνει ότι t e < t e και η μεταβατικότητα δείχνει ότι t e < t e. Ομοίως αν > τότε t e < t e τέτοιο ώστε το t να είναι μεγαλύτερο του t. [7] Αν δεν ικανοποιούνται οι παραπάνω υποθέσεις που αναγράφονται παραπάνω τότε δεν μπορεί να υπάρξει η συνάρτηση ωφελείας. Ας δούμε το παρακάτω παράδειγμα: 5

10 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ : Μη ύπαρξη της συνάρτησης ωφελείας: Η λεξικογραφική διάταξη στον R + ορίζεται από: f αν > l ή και > Αφού η λεξικογραφική διάταξη παραβιάζει την υπόθεση συνέχειας πρέπει να υποπτευθούμε ότι δεν μπορεί να αναπαρασταθεί από μια συνεχή συνάρτηση ωφελείας. Πράγματι έτσι είναι. Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια τέτοια συνεχής συνάρτηση ωφελείας. Τότε σημειώνουμε ότι το σύνολο των αριθμών {: α} πρέπει να είναι μη εκφυλισμένο διάστημα διαμελισμένο από: {: b} για b α. Έτσι με κάθε πραγματικό αριθμό α μπορούμε να συσχετίσουμε ένα ευδιάκριτο μη εκφυλισμένο διάστημα πάνω σε μια πραγματική ευθεία. Όμως μπορεί να υπάρξει μόνο ένας μετρήσιμος αριθμός από τέτοια διαστήματα αφού κάθε ένα περιέχει ένα ευδιάκριτο λογικό αριθμό καθώς υπάρχει ένα μη μετρήσιμο πλήθος από πραγματικούς αριθμούς. [7].: ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ Η βασική μας υπόθεση είναι ότι ένας λογικός καταναλωτής θα διαλέγει πάντα το προτιμότερο bndle από το σύνολο των εφικτών εναλλακτικών. Στο βασικό πρόβλημα της μεγιστοποίησης προτιμήσεων το σύνολο των εφικτών εναλλακτικών λύσεων είναι απλά ένα σύνολο όλων των bndles όπου ο καταναλωτής μπορεί να διαθέσει. Αν θεωρήσουμε να είναι το καθορισμένο ποσό χρημάτων που διατίθεται σε έναν καταναλωτή και έστω P k το διάνυσμα των τιμών των αγαθών k. Το σύνολο των διαθέσιμων bndles καλείται σύνολο προϋπολογισμού του καταναλωτή και είναι το B { X } ως: m :. Το πρόβλημα μεγιστοποίησης μπορεί να γραφεί υπό τους περιορισμούς:. X 6

11 Μερικά βασικά χαρακτηριστικά αυτού του προβλήματος είναι: [7] Α Θα υπάρχει γενικά ένα bndle μεγιστοποίησης ωφελείας στο ελάχιστο καθώς 0 και 0. Κάτω από αυτή την υπόθεση για θετικές τιμές το σύνολο του προϋπολογισμού θα είναι ένα καλό συμπαγές σύνολο. Β Η μεγιστοποιημένη επιλογή * θα είναι ανεξάρτητη της επιλογής της συνάρτησης ωφελείας που χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει τις προτιμήσεις. Αυτό συμβαίνει γιατί το * πρέπει να έχει την ιδιότητα * για κάθε Β και έτσι κάθε συνάρτηση ωφελείας που αντιπροσωπεύει τις προτιμήσεις πρέπει να ξεχωρίζει το * σαν ένα περιοριστικό μέγιστο. Γ Η φαινομενική επιλογή είναι ομοιογενής βαθμού 0 στις τιμές και στο εισόδημα δηλαδή αν πολλαπλασιάσουμε όλες τις τιμές και το εισόδημα με κάποιες θετικές σταθερές δεν θα αλλάξει το σύνολο του προϋπολογισμού και έτσι δεν μπορεί να αλλάξει και η φαινομενική επιλογή. Κάνοντας την υπόθεση ότι οι προτιμήσεις ικανοποιούν την locl nonstton είναι δυνατόν να έχουμε ένα * όπου. *< ; Ας υποθέσουμε ότι μπορούμε. Τότε αφού * κοστίζει αυστηρά λιγότερο από το κάθε bndle στο Χ πλησιάζει στο * και επίσης κοστίζει λιγότερο από το. Σύμφωνα όμως με την υπόθεση της locl nonstton πρέπει να υπάρχει κάποιο bndle το οποίο είναι πολύ κοντά στο * και το οποίο προτιμάται από το *. Αυτό όμως σημαίνει ότι το * δεν μπορεί να μεγιστοποιήσει τις προτιμήσεις στο σύνολο Β του προϋπολογισμού. Έτσι υπό την υπόθεση της locl nonstton ένα μεγιστοποιημένο bndle * ωφελείας πρέπει να συνδέεται με τον περιορισμό του προϋπολογισμού με ισότητα. Επαναδιατυπώνοντας το πρόβλημα του καταναλωτή θα έχουμε: v m υ.τ.π. Η συνάρτηση v που μας δίνει την απάντηση στο πρόβλημα του καταναλωτή η οποία είναι η μέγιστη επίτευξη ωφέλεια στις δοθείσες τιμές και εισόδημα η οποία καλείται έμμεση συνάρτηση ωφελείας. Η τιμή της που λύνει αυτό το πρόβλημα είναι το απαιτούμενο bndle του καταναλωτή. 7

12 Εκφράζει πόσο από κάθε προϊόν ο καταναλωτής επιθυμεί σε ένα δοσμένο επίπεδο τιμών και εισοδήματος. Η συνάρτηση που συνδέει το του με το απαιτούμενο bndle καλείται συνάρτηση ζήτησης του καταναλωτή ή αλλιώς συνάρτηση ζήτησης Mrshll. Συμβολίζουμε τη συνάρτηση ζήτησης με.[7] Η συνάρτηση ζήτησης του καταναλωτή είναι ομογενής βαθμού 0 για το για πολλαπλάσια των τιμών και εισοδήματος με κάποιο θετικό αριθμό δεν αλλάζει καθόλου το σύνολο του προϋπολογισμού και τότε δεν αλλάζει το αποτέλεσμα στο πρόβλημα μεγιστοποίησης ωφελείας. είναι: Οι πρωτοβάθμιες συνθήκες του παραπάνω προβλήματος για *>0 D*λρ λ πολλαπλασιαστής Lgrnge ή Αυτές οι συνθήκες δίνουν: * * * λ για k. για k. Το κλάσμα που αναγράφεται στα αριστερά είναι ο περιθωριακός ρυθμός αντικατάστασης μεταξύ του αγαθού και. Το κλάσμα που αναγράφεται στα δεξιά είναι ο οικονομικός ρυθμός αντικατάστασης μεταξύ και. Η μεγιστοποίηση δηλώνει ότι οι δύο αυτοί ρυθμοί αντικατάστασης είναι ίσοι. Ας υποθέσουμε ότι δεν μπορούν να είναι ίσοι. Πιο συγκεκριμένα υποθέτουμε: *. * Τότε αν ο καταναλωτής εγκαταλείψει μια μονάδα αγαθού και πάρει μια μονάδα αγαθού αυτός θα παραμείνει στην ίδια αδιάφορη καμπύλη και έχει να ξοδέψει επιπλέον δολάριο. Τότε η συνολική ωφέλεια αυξάνεται διαψεύδοντας τη μεγιστοποίηση. 8

13 Η συνθήκη παριστάνεται γραφικά από το παρακάτω σχήμα. Η γραμμή προϋπολογισμού του καταναλωτή έχει εξίσωση: Y P : +. ή P P Τότε η γραμμή προϋπολογισμού έχει κλίση P P. ΣΧΗΜΑ Ο καταναλωτής επιθυμεί να βρει το σημείο στη γραμμή προϋπολογισμού το οποίο κατορθώνει μέγιστη ωφέλεια. Αυτό πρέπει να ικανοποιεί καθαρά τη συνθήκη εφαπτότητας ότι δηλαδή η κλίση της ασήμαντης καμπύλης πρέπει να είναι ίση με την κλίση της γραμμής προϋπολογισμού. Αλγεβρικά τα παραπάνω εκφράζονται με την παρακάτω συνθήκη: P*±d όπου συνεπάγεται ότι d0 [7] Όπου * μια φαινομενική επιλογή και έστω d μια ταραχή του * που ικανοποιεί τον περιορισμό του προϋπολογιστή. Με άλλα λόγια το d πρέπει να είναι ορθογώνιο στο Ρ. για κάθε τέτοια διαταραχή d η ωφέλεια δεν μπορεί να αλλάξει ή αλλιώς το * δεν θα είναι φαινομενικό. Έτσι έχουμε: D*d0 [7] το οποίο δείχνει ότι το D* είναι ορθογώνιο στο d.αφού αυτό αληθεύει για όλες τις διαταραχές για τις οποίες d0 πρέπει να έχουμε D* ανάλογα και στον άλλο συντελεστή. 9

14 Οι συνθήκες ης τάξης γράφονται ως εξής: Αφού η έκφραση Lgrnge είναι Lλ-λ- τότε συνθήκες ης τάξης για τη μεγιστοποίηση της ωφελείας είναι: h. D *h 0 για κάθε h τ.ω. h0. Αλγεβρικά αυτό σημαίνει ότι ο εσσιανός πίνακας της συνάρτησης ωφελείας είναι αρνητικά ημιορισμένος για όλα τα διανύσματα v τα οποία είναι ορθογώνια με το διάνυσμα τιμών. Γεωμετρικά η συνθήκη σημαίνει ότι το ανώτατο σύνολο καμπύλης πρέπει να φτάνει πιο πάνω από την υπερβολή του προϋπολογισμού για το φαινομενικό Χ*..3: ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΕΣ ΣΤΑΤΙΚΕΣ Στην ενότητα αυτή θα εξετάσουμε το πρόβλημα με δύο αγαθά πιο λεπτομερώς. Παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον να δούμε πώς αλλάζουν οι απαιτήσεις του καταναλωτή καθώς οι παράμετροι του προβλήματος αλλάζουν. Ας κρατήσουμε λοιπόν τις τιμές σταθερές και ας μεταβάλλουμε το εισόδημα. Ο τόπος των μεγιστοποιημένων συνόλων ωφελείας που προκύπτει είναι γνωστός ως Income Enson Pth. Απ αυτό μπορούμε να πάρουμε μια συνάρτηση που να συνδέει το εισόδημα με τη ζήτηση για κάθε είδος με σταθερές τιμές. Οι συναρτήσεις αυτές καλούνται καμπύλες Engle. Τα ενδεχόμενα που μπορούν να προκύψουν είναι τα εξής: α Το Income Enson Pth και κατ επέκταση κάθε καμπύλη Engle είναι μια ευθεία γραμμή. Στην περίπτωση αυτή ο καταναλωτής παρουσιάζεται να έχει καμπύλες ζήτησης με ελαχιστότητα εισοδήματος ίση με τη μονάδα. Ένας τέτοιος καταναλωτής θα αναλίσκει τον ίδιο ρυθμό για κάθε προϊόν και για κάθε επίπεδο εισοδήματος όπου οι τιμές διατηρούνται σταθερές. Επίσης θα κλιμακώνει αυτή την καθορισμένη κατανάλωση καθώς το εισόδημα αλλάζει. β Το Income Enson Pth κατευθύνεται προς ένα αγαθό ή προς τα άλλα αγαθά. Για παράδειγμα αν ο καταναλωτής έχει μεγαλύτερο εισόδημα αποβλέπει στη μεγαλύτερη κατανάλωση τουλάχιστον δύο αγαθών αλλά σε μεγαλύτερη αναλογία προς το ένα αγαθό. 0

15 γ Το Income Enson Pth μπορεί να κατευθύνεται προς τα κάτω. Σ αυτή την περίπτωση μια αύξηση στο εισόδημα σημαίνει ότι ο καταναλωτής θέλει πράγματι να καταναλώσει μικρότερη ποσότητα από ένα αγαθό. Τέτοια αγαθά καλούνται Κατώτερα Αγαθά. Τα αγαθά για τα οποία ισχύει η ιδιότητα «περισσότερο εισόδημα μεγαλύτερη ζήτηση» καλούνται Κανονικά Αγαθά. [7] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ : Έμμεσοι φόροι και φόροι εισοδήματος Έστω ότι θέλουμε να φορολογήσουμε την μεγιστοποιημένη ωφέλεια ενός καταναλωτή ο οποίος διαθέτει δύο αγαθά για να απαιτήσουμε ένα σίγουρο ποσό εξόδων. Αρχικά ο περιορισμός στον προϋπολογισμό του καταναλωτή είναι. +. αλλά μετά την επιβολή του φόρου στις πωλήσεις του αγαθού ο περιορισμός αυτός γίνεται: +t +. όπου. όπως ορίστηκαν παραπάνω. Σημειώνοντας το επίπεδο κατανάλωσης μετά τη φορολογία με * * τα έξοδα που συλλέγονται από το φόρο είναι t. *. Έστω ότι αποφασίζουμε να συγκεντρώσουμε το ίδιο ποσό εξόδων επιβάλλοντας φόρο στο εισόδημα. Τότε ο περιορισμός για τον προϋπολογισμό του καταναλωτή γίνεται:. +. -t. *. Αυτή είναι μια ευθεία με κλίση η οποία περνά από το σημείο * * όπως φαίνεται και στο πιο κάτω σχήμα. Αφού η γραμμή προϋπολογισμού τέμνει την καμπύλη αδιαφορίας στο σημείο * * ο καταναλωτής μπορεί να επιτύχει υψηλότερο επίπεδο ωφελείας από ένα φόρο εισοδήματος σε σύγκριση με τη φορολόγηση αγαθών δηλαδή τους έμμεσους φόρους παρότι και οι δύο οδηγούν στα ίδια έσοδα. [7]

16 ΣΧΗΜΑ.4: Η Συνάρτηση Δαπάνης και Έμμεση Συνάρτηση Ωφελείας Η συνάρτηση v που ορίστηκε παραπάνω δίνει τη μέγιστη ωφέλεια ως μια συνάρτηση του και του η οποία καλείται και Έμμεση Συνάρτηση Ωφελείας. Οι ιδιότητες της Έμμεσης Συνάρτησης Ωφελείας είναι: [7] α v συνεχής για όλα τα >0 β v φθίνουσα ως προς δηλ. αν v v Ομοίως είναι φθίνουσα και ως προς γ Η v είναι κυρτή ως προς άρα το {: v k} είναι κυρτό σύνολο για όλους τους πραγματικούς αριθμούς k. δ v είναι ομογενής βαθμού μηδενικού στο Η συνάρτηση που συνδέει εισόδημα και ωφέλεια κατά αντίστροφο τρόπο με την Έμμεση Συνάρτηση Ωφελείας είναι η Συνάρτηση Δαπάνης και συμβολίζεται: e. Ένας αντίστοιχος ορισμός δίνεται από το ακόλουθο πρόβλημα: emn. υ. τ. π Γι αυτό το λόγο η συνάρτηση δαπάνης δίνει το ελάχιστο κόστος για να πετύχουμε ένα δοσμένο επίπεδο ωφέλειας.

17 Οι Ιδιότητες της Συνάρτησης Δαπάνης είναι: [7] α Φθίνουσα ως προς β Είναι ομογενής πρώτου βαθμού στο γ Είναι κοίλη ως προς το δ Είναι συνεχής για κάθε >0 ε Αν h είναι η δαπάνη μειώνοντας το απαραίτητο bndle για να επιτύχουμε επίπεδο ωφελείας για τις τιμές του ρ τότε: e h n πάντα υπό την προϋπόθεση ότι η παράγωγος ορίζεται και >0..5: Οι Συναρτήσεις Αποζημίωσης Αξιοποιώντας τις μέχρι τώρα αναλύσεις μας μπορούμε να θέσουμε εύκολα το ακόλουθο ερώτημα: Πόσα χρήματα θα χρειάζονταν ένας καταναλωτής στις τιμές για να είναι όσο ευκατάστατος μπορεί καταναλώνοντας το σύνολο των αγαθών; Το παρακάτω σχήμα μας καθοδηγεί για το πώς μπορούμε να δώσουμε απάντηση αν γνωρίζουμε τις προτιμήσεις του καταναλωτή. Απλά βλέπουμε πόσα λεφτά θα χρειαστεί ο καταναλωτής για να φτάσει την καμπύλη αδιαφορίας περνώντας από το. ΣΧΗΜΑ 3 3

18 Μαθηματικά απλά θα επιλύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα: mn. z υ. τ. π.. z k ή απλούστερα να χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση δαπάνης και υπολογίζουμε το e. Αυτός ο τύπος συνάρτησης ονομάζεται Ελάχιστη Συνάρτηση Εισοδήματος ή Άμεση Συνάρτηση Αποζημίωσης. Δίνεται από τον τύπο: me Για σταθερό το m συμπεριφέρεται όπως ακριβώς η συνάρτηση δαπάνης. Αλλά και στην περίπτωση όπου το είναι σταθερό το mk είναι μια συνάρτηση ωφελείας. Κι αυτό γιατί για σταθερές τιμές η συνάρτηση δαπάνης αυξάνεται στο επίπεδο ωφελείας:δηλαδή αν ζητείται υψηλότερο επίπεδο ωφελείας πρέπει να ξοδευτούν και περισσότερα χρήματα. Υπάρχει επίσης παρόμοια κατασκευή για έμμεση ωφέλεια γνωστή ως Έμμεση Συνάρτηση Αποζημίωσης η οποία δίνεται από τον τύπο: μ;q evq Μετρά πόσα χρήματα θα χρειαστεί κάποιος σε τιμές για να είναι όσο ευκατάστατος μπορεί αντιμετωπίζοντας τιμές q κατέχοντας εισόδημα. [7].6: Μερικές Σημαντικές Ταυτότητες Υπάρχουν κάποιες ταυτότητες αρκετά σημαντικές που έχουν σχέση με τη Συνάρτηση Δαπάνης την Έμμεση Συνάρτηση Ωφέλειας την Μαρσαλιανή Συνάρτηση Ζήτησης και την Hckσιανή Συνάρτηση Ζήτησης. [7] Έστω το πρόβλημα μεγιστοποίησης: V*m υ. τ. π.. * Έστω * η λύση αυτού του προβλήματος και έστω **. 4

19 Επίσης θεωρούμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης δαπάνης e*mn. υ. τ. π. * Υπό κανονικές συνθήκες οι απαντήσεις και στα δύο αυτά προβλήματα είναι το *. Αυτή η παρατήρηση αν και απλή μας οδηγεί σε τέσσερις σημαντικές ταυτότητες: Α ev Η ελάχιστη δαπάνη για να πάρουμε ωφέλεια v είναι. Β ve Η μέγιστη ωφέλεια που προέρχεται από εισόδημα e είναι. Γ h v Η μαρσαλλιανή ζήτηση για εισόδημα είναι ίδια με την Hckσιανή ζήτηση για ωφέλεια v. Δ h e Η Hckσιανή ζήτηση για ωφέλεια είναι ίδια με την μαρσαλλιανή ζήτηση για εισόδημα e..7: ΠΡΟΤΑΣΗ: ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ROY S Αν η είναι η Μαρσαλλιανή Συνάρτηση Ζήτησης τότε v για n v ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Υποθέτουμε ότι το * μεγιστοποιεί την ωφέλεια σε ** έτσι ***. Έστω ****v**. Τότε ταυτοτικά ισχύει: *ve* δηλαδή όποιες και αν είναι οι τιμές αν δοθεί στον καταναλωτή το ελάχιστο εισόδημα για να έχει ωφέλεια * τότε η μέγιστη ωφέλεια που μπορεί να υπάρξει είναι *. 5

20 Αφού είναι ταυτότητα παραγωγίζουμε και θα έχουμε: v * * v * * e * 0 + ή * e * v * * v * * Αφού αληθεύει για κάθε ** και αφού *** το θεώρημα απεδείχθη. [7] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3: Η Συνάρτηση Ωφελείας Cobb Dogls Η συνάρτηση ωφελείας Cobb Dogls δίνεται από τη σχέση. Επειδή κάθε μονότονος μετασχηματισμός της συνάρτησης αντιπροσωπεύει τις ίδιες προτιμήσεις μπορούμε να ορίσουμε τη συνάρτηση ωφελείας Cobb Dogls ως εξής: [7] + ln ln Οι μαρσαλλιανές συναρτήσεις ζήτησης καθώς και η έμμεση συνάρτηση ωφελείας απορρέουν από τη λύση του ακόλουθου προβλήματος: M { ln } + ln υ.τ.π. + Οι συνθήκες ης τάξης είναι: λ λ 0 ή λ 0 ή ή ή Αντικαθιστώντας παίρνουμε την η μαρσαλλιανή ζήτηση: Αντικαθιστούμε στην αντικειμενική συνάρτηση και εξαλείφουμε τους περιορισμούς και παίρνουμε την έμμεση συνάρτηση ωφελείας: V ln ln ln 6

21 7 Οι συναρτήσεις αποζημίωσης θα είναι: K v και q q q ; μ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4: Συνάρτηση Ωφελείας CES Η συνάρτηση ωφελείας CES δίνεται από τον τύπο +. Αφού οι προτιμήσεις δεν είναι διαφορετικές σε σχέση με το μονότονο μετασχηματισμό της ωφελείας μπορούμε να διαλέξουμε +. Η συνάρτηση κόστους έχει τύπο w w c r r r +. Έτσι η συνάρτηση δαπάνης για της CES συνάρτηση ωφελείας πρέπει να έχει τον τύπο: e r r r + Αντιστρέφοντας την παραπάνω ισότητα παίρνουμε την έμμεση συνάρτηση ωφελείας: v r r r + Οι συναρτήσεις ζήτησης μπορούν να βρεθούν με απλή παραγώγιση: Έτσι: r r r r r r r r r r r r v v [7].8: Η ΙΣΟΤΗΤΑ SLUTSKY Η συνάρτηση δαπάνης εισήχθη για να απλοποιήσει την παραγωγή της ισότητας Sltsk που σχετίζεται με το αποτέλεσμα των αλλαγών της τιμής στη ζήτηση.

22 8 ΠΡΟΤΑΣΗ Ισότητα Sltsk: v h ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Έστω ότι το * μεγιστοποιεί την ωφέλεια κατά ** και έστω **. Ισχύει: * * e h Παραγωγίζοντας ως προς και εκτιμώντας την παράγωγο κατά * θα έχουμε: e h + * * * * * * * * όμως * * * e. Άρα απεδείχθη. [7] Η εξίσωση Sltsk αναλύει την αλλαγή στη ζήτηση που επιφέρει μια αλλαγή της τιμής Δ σε δύο διαφορετικά αποτελέσματα: στο αποτέλεσμα αντικατάστασης και στο αποτέλεσμα εισοδήματος: Και το Δ : Εκφράζει την αλλαγή στο εισόδημα που κρατά την ωφέλεια σταθερή. Μπορούμε επίσης να εξάγουμε τα ίδια αποτελέσματα θεωρώντας τις παραγώγους ως γενικευμένες n-διάστασης. Στη η περίπτωση η εξίσωση Sltsk μοιάζει με: X X D v h D X D [ ] h h h h LL LL LL LL h Δ Δ Δ Δ Αλλαγή στη ζήτηση Αποτέλεσμα αντικατάστασης Αποτέλεσμα εισοδήματος

23 9 όπου v Ο τελευταίος όρος θα δώσει: [ ] LL LL Ας θεωρήσουμε μια αλλαγή στην τιμή ΔΔ Δ και μας ενδιαφέρει να προσεγγίσουμε την αλλαγή στη ζήτηση ΔΔ Δ. Σύμφωνα με την εξίσωση Sltsk μπορούμε να το υπολογίσουμε με: s s h h h h Δ Δ + Δ Δ + Δ Δ Δ Δ Δ Δ LL LL LL LL Το πρώτο διάνυσμα είναι το αποτέλεσμα αντικατάστασης. Αυτό δείχνει πως αλλάζει η ζήτηση Hcksn. Οι αλλαγές στη ζήτηση Hcksn διατηρούν την ωφέλεια σταθερή άρα και το s s Δ Δ θα βρίσκονται κατά μήκος μιας επιφάνειας αδιαφορίας. Το δεύτερο διάνυσμα είναι το αποτέλεσμα εισοδήματος. Το εισόδημα έχει αλλάξει σε Δ + Δ και το διάνυσμα Δ Δ μετρά την επίδραση της αλλαγής αυτής στη ζήτηση με τις τιμές να διατηρούνται σταθερές στο αρχικό επίπεδο. Αυτό το διάνυσμα επίσης απλώνεται κατά μήκος της επέκτασης του μονοπατιού του εισοδήματος. Μια παρόμοια ανάλυση μπορούμε να κάνουμε για περιορισμένες αλλαγές στη ζήτηση. Αυτό απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα. Εδώ οι τιμές αλλάζουν από 0 σε. Για να βρούμε την αλλαγή στη ζήτηση Hcksn μετατοπίζουμε τη νέα γραμμή προϋπολογισμού πίσω στην κανονική καμπύλη αδιαφορίας. Αυτό θα μας δώσει s s Δ Δ. Για να βρούμε το αποτέλεσμα εισοδήματος μετατοπίζουμε την παλιά γραμμή προϋπολογισμού στη νέα ζήτηση. Αυτό μας δίνει Δ Δ. Η συνολική αλλαγή Δ Δ είναι προσεγγιστικά ίση με το άθροισμα αυτών των δύο αλλαγών. Καθώς το Δ Δ γίνεται μικρότερο αυτή η προσεγγιστική σχέση γίνεται ισότητα.

24 0 ΣΧΗΜΑ 4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5: Η Cobb Dogls Sltsk εξίσωση: Ελέγχουμε την εξίσωση Sltsk στην περίπτωση του Cobb Dogls: v e h Έτσι: h v h Τώρα συνδεόμαστε με την εξίσωση Sltsk: h. [7]

25 .9: ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΖΗΤΗΣΗΣ Ο πίνακας των όρων αντικατάστασης [ h ] είναι αρνητικά ημιορισμένος αφού e h αρνητικά ημιορισμένο γιατί η συνάρτηση δαπάνης είναι κοίλη. Ο πίνακας με τους όρους αντικατάστασης είναι συμμετρικός αφού: h e e h 3 0 e h που σημαίνει ότι οι καμπύλες Hcksn κλίνουν προς τα κάτω. Αυτό συμβαίνει γιατί ο πίνακας υποκατάστασης είναι αρνητικά ημιορισμένος και άρα έχει μη θετικούς διαγώνιους όρους. 4 Ο πίνακας + είναι συμμετρικός και αρνητικά ημιορισμένος. [7].0: ΠΑΡΑΓΩΓΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Η εξίσωση Sltsk μπορεί να εξαχθεί διαφορίζοντας τη συνθήκη πρώτης τάξης που έχει δοθεί στην μέχρι τώρα ανάλυσή μας. Επειδή οι υπολογισμοί είναι αρκετά περίπλοκοι θα περιοριστούμε στην περίπτωση με δύο αγαθά. Τότε θα έχουμε: 0 λ 0 λ 0 +

26 Παραγωγίζοντας ως προς και τακτοποιώντας τα αποτελέσματα σε μορφή πίνακα θα έχουμε: 0 0 λ λ Λύνοντας ως προς μέσω της μεθόδου Crmer θα προκύψει: H 0 + λ όπου Η η ορίζουσα της φραγμένης Εσσιανής. Παραγωγίζοντας τις σχέσεις της συνθήκης ης τάξης ως προς αυτή τη φορά θα έχουμε: λ και H Αντικαθιστώντας στην εξίσωση το έχουμε το τμήμα αποτελέσματος εισοδήματος της εξίσωσης Sltsk. Με κατάλληλους υπολογισμούς μπορεί η εξίσωση Sltsk να παραχθεί. [7].: ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σύστημα συναρτήσεων ζήτησης το οποίο έχει συμμετρικό αρνητικά ημιορισμένο πίνακα υποκατάστασης. Άραγε υπάρχει μια συνάρτηση χρησιμότητας από την οποία μπορούν να εξαχθούν

27 αυτές οι συναρτήσεις ζήτησης; Αυτό το πρόβλημα είναι γνωστό και ως «Πρόβλημα Ολοκληρωσιμότητας». Αν λάβουμε υπ όψιν μας κάποιους συγκεκριμένους τεχνικούς προσδιορισμούς η απάντηση είναι ναι. Η βασική ιδέα έχει ως εξής: Εκλέγουμε κάποιο σημείο Χ 0 q και αυθαίρετα του προσδίδουμε ωφέλεια 0. Πως μπορεί να κατασκευαστεί η συνάρτηση δαπάνης e o ; Αν υπάρχει μια τέτοια συνάρτηση δαπάνης πρέπει να ικανοποιεί οπωσδήποτε το σύστημα των μερικών διαφορικών εξισώσεων που δίνεται από: o e o e K με αρχική συνθήκη: o o e o o o o o Αυτές οι εξισώσεις είναι ακριβώς οι συνθήκες που απαιτούνται ώστε οι συναρτήσεις ζήτησης του Hcksn να ταυτίζονται με τις συναρτήσεις ζήτησης του Mrshll σε εισόδημα e. Πληροφοριακά ένα σύστημα μερικών διαφορικών εξισώσεων με τη μορφή: έχει μια λύση αν και μόνο αν: f g g g K K. Η παραπάνω συνθήκη στο πρόβλημα μας ανάγεται στην απαίτηση ο πίνακας: e + να είναι συμμετρικός. Όμως αυτός είναι ο περιορισμός του Sltsk. Άρα οι περιορισμοί του Sltsk υποδηλώνουν ότι οι συναρτήσεις ζήτησης μπορούν να ολοκληρωθούν για να βρεθεί μια συνάρτηση δαπάνης η οποία με τη σειρά της μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να κατασκευαστεί μια σταθερή συνάρτηση χρησιμότητας. Μια άλλη αναγκαία συνθήκη για το σύστημα των μερικών διαφορικών εξισώσεων ώστε να ορίσουμε μια κατάλληλη συνάρτηση δαπάνης είναι ότι η e πρέπει να είναι κοίλη στις τιμές. Δηλαδή ο πίνακας δευτέρων παραγώγων της e είναι απλώς ο πίνακας υποκατάστασης του Sltsk. 3

28 Αν αυτός είναι αρνητικά ημιορισμένος τότε η λύση στο παραπάνω σύστημα μερικών εξισώσεων πρέπει να είναι κυρτή. Υπάρχει βέβαια ένα καλό κόλπο που μας επιτρέπει να ανακτήσουμε την έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας από τις συναρτήσεις ζήτησης καθώς και τη συνάρτηση δαπάνης. Αναφερόμενοι εκ νέου στο σημείο βάσης o q και εκμεταλλευόμενοι τον ορισμό της συνάρτησης ανταγωνιστικότητας γνωρίζουμε ότι: o e e v q μ q Συγκεντρώνοντας τα παραπάνω έχουμε τις εξισώσεις ολοκληρωσιμότητας: μ ; q μ ; q Κ μ ; q Η λύση μ ; q θα είναι μια έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας που θα παράγει το από το νόμο του Ro. [4 7] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6: Ολοκληρωσιμότητα με δυο μόνο αγαθά: Στην περίπτωση των δύο προς κατανάλωση αγαθών οι εξισώσεις ολοκληρωσιμότητας παίρνουν μια πιο απλή μορφή αφού υπάρχει μόνο μια ανεξάρτητη μεταβλητή η σχετική τιμή των δυο αγαθών. Ομοίως υπάρχει μια μόνο ανεξάρτητη εξίσωση γιατί από τη στιγμή που γνωρίζουμε τη ζήτηση για το ένα αγαθό μπορούμε να βρούμε τη ζήτηση για το άλλο με τη βοήθεια των περιορισμών προϋπολογισμού. Ας κανονικοποιήσουμε την τιμή του αγαθού ώστε να είναι ίση με και ας γράψουμε για την τιμή του πρώτου αγαθού και για τη συνάρτηση ζήτησής του. Έτσι οι εξισώσεις ολοκληρωσιμότητας καταλήγουν στην εξής απλή εξίσωση: dμ ; q μ ; q d μ ; q 4

29 5 Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια γραμμική λογαριθμική συνάρτηση ζήτησης: c b l + + ln ln c b e Οι συναρτήσεις ολοκληρωσιμότητας γίνονται: b e c q d μ μ ; ή c b e d q d ; μ μ Ολοκληρώνοντας θα έχουμε: dt t e dt t q c b q μ μ ή q e b c q b μ για b. Η λύση της εξίσωσης θα δώσει: ; q e b q c b b μ ή [ ] b c b q e b q ; μ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7: Ολοκληρωσιμότητα με περισσότερα αγαθά: Έστω ότι τώρα έχουμε τρία αγαθά άρα δυο ανεξάρτητες εξισώσεις ζήτησης. Για τον προσδιορισμό ας θεωρήσουμε το σύστημα Cobb Dogls: Έχουμε να λύσουμε το σύστημα μερικών διαφορικών εξισώσεων: μ μ μ μ q q q q ; μ

30 Η πρώτη εξίσωση δίνει: ln μ ln + C. Για κάποια σταθερά ολοκλήρωσης C κ η η εξίσωση δίνει: ln μ ln + C Έτσι φανερό είναι να αναζητηθεί λύση της μορφής: ln μ + + C ln ln όπου C 3 ανεξάρτητη των. αντικαθιστώντας στη συνοριακή συνθήκη θα έχουμε: ln μ q ; q ln q + q + C ln ln Λύνοντας ως προς C 3 και αντικαθιστώντας στην προτεινόμενη λύση θα έχουμε: ln μ q; q ln + ln ln q + ln q ln που είναι πράγματι η συνάρτηση ανταγωνιστικότητας για τη συνάρτηση χρησιμότητας Cobb Dogls. [4 7].: ΔΥΪΚΟΤΗΤΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ Μέχρι τώρα είδαμε πως μπορούμε να βρούμε την έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας. Η απάντηση παρουσιάζει ξεκάθαρα τη δυϊκότητα μεταξύ των άμεσων και των έμμεσων συναρτήσεων χρησιμότητας. Έτσι: Αν μας δοθεί η έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας v μπορούμε να βρούμε την άμεση συνάρτηση χρησιμότητας επιλύοντας το ακόλουθο πρόβλημα: mn v υ.τ.π.. Η απόδειξη είναι προφανής.[7]. Έστω η ζητούμενη δέσμη σε τιμές. Τότε από τον ορισμό θα έχουμε: v. Έστω οποιοδήποτε άλλο διάνυσμα τιμών που ικανοποιεί τον περιορισμό προϋπολογισμού έτσι ώστε. Τότε επειδή είναι πάντα μια εφικτή επιλογή στις τιμές η επιλογή μεγιστοποίησης χρήσης πρέπει να οδηγεί σε χρησιμότητα τόσο μεγάλη όσο η χρησιμότητα που παράγεται από τη. Αυτό σημαίνει: v v. 6

31 Έτσι το ελάχιστο της έμμεσης συνάρτησης χρησιμότητας για όλα τα ρ που ικανοποιούν τον περιορισμό προϋπολογισμού μας δίνει τη συνάρτηση χρησιμότητας. [7] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8: Επίλυση για την άμεση συνάρτηση χρησιμότητας: Έστω ότι έχουμε μια κανονικοποιημένη έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας που δίνεται από v ln b ln. Ποια είναι η αντίστοιχη άμεση συνάρτηση χρησιμότητας; Διατυπώνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης: mn ln b ln υ.τ.π. + Οι συνθήκες ης τάξης είναι: λ b λ ή λ b λ Προσθέτοντας κατά μέλη και χρησιμοποιώντας τη συνθήκη περιορισμού προϋπολογισμού θα έχουμε: λ - α-b. Αντικαθιστούμε στις συνθήκες ης τάξης και βρίσκουμε: + b + b Αυτές είναι οι επιλογές των που ελαχιστοποιούν την έμμεση χρησιμότητα Αντικαθιστούμε στην έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας: b ln bln ln + bln + C όπου C: σταθερά + b + b Αυτή είναι η γνωστή συνάρτηση ωφελείας Cobb Dogls. [7] 7

32 .3: ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΖΗΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ Ας θεωρήσουμε μια συλλογή n καταναλωτών κάθε ένας από τους οποίους έχει μια συνάρτηση ζήτησης για κάποια κ εμπορεύματα: Χ k για n 3 Τα αγαθά υποδεικνύονται τώρα με εκθέτες ενώ οι καταναλωτές με δείκτες. Η αθροιστική συνάρτηση ζήτησης ορίζεται να είναι: Χ n X Έτσι η αθροιστική ζήτηση για το αγαθό θα δηλώνεται ως όπου το διάνυσμα των εισοδημάτων n. Η αθροιστική συνάρτηση ζήτησης κληρονομεί συγκεκριμένες ιδιότητες των επιμέρων συναρτήσεων ζήτησης όπως τη συνέχεια και την ομοιογένεια. Ορίζουμε ως: *: την reservton rce του -στού καταναλωτή X: τον αριθμό των καταναλωτών που οι reservton rces είναι μεγαλύτερες ή ίσες από το. Αν υπάρχουν αρκετοί καταναλωτές με διασκορπισμένες reservton rces θα είχε νόημα να σκεφτούμε αυτή την περίπτωση σαν μία συνεχή συνάρτηση:εάν η τιμή αυξηθεί ελάχιστα μόνο λίγοι από τους καταναλωτές-οι «περιθώριοι» καταναλωτές- θα αποφασίσουν να πάψουν να αγοράζουν το προϊόν. Ακόμη και αν η ζήτησή τους θα μεταβάλλεται διακεκομμένα η αθροιστική ζήτηση θα αλλάζει μόνο κατά ένα μικρό ποσό. Εντούτοις μερικές φορές μπορεί η αθροιστική συμπεριφορά να μοιάζει σαν να δημιουργήθηκε από έναν απλό αντιπροσωπευτικό καταναλωτή. Υποθέτουμε ότι όλες οι μεμονωμένες έμμεσες συναρτήσεις ωφελείας των καταναλωτών έχουν τη μορφή Gormn: V α +b 5 Ο όρος α μπορεί να διαφέρει από καταναλωτή σε καταναλωτή αλλά ο b είναι ίδιος για όλους. Από το νόμο του Ro η συνάρτηση ζήτησης για το αγαθό από τον καταναλωτή θα παίρνει τη μορφή: X A +B 6 n 4 8

33 9 Όπου b A 7 b b B 8 Η περιθώρια τάση για κατανάλωση του αγαθού είναι ανεξάρτητη από το επίπεδο εισοδήματος οποιουδήποτε καταναλωτή και σταθερή για όλους τους καταναλωτές επειδή ο όρος b είναι σταθερός για όλους τους καταναλωτές. Η αθροιστική ζήτηση για το αγαθό θα πάρει τη μορφή: + n n n b b b X... 9 Η αντιπροσωπευτική έμμεση συνάρτηση ωφελείας δίνεται από: X + X +X 0 Παραγωγίζοντας ως προς αρχικά και εν συνεχεία ως προς παίρνουμε: X X X Έτσι η περιθώρια τάση για κατανάλωση του αγαθού πρέπει να είναι ίδια για όλους τους καταναλωτές. Αν διαφορίσουμε αυτήν την έκφραση μια ακόμη φορά ως προς βρίσκουμε : 0 X X Έτσι η ζήτηση του καταναλωτή για το αγαθό και άρα και του καταναλωτή σχετίζεται με το εισόδημα. Άρα οι συναρτήσεις ζήτησης για το αγαθό παίρνουν τη μορφή: B A X +. Αν αυτό είναι αληθές για όλα τα αγαθά η έμμεση συνάρτηση ωφελείας για κάθε καταναλωτή πρέπει να έχει τη μορφή Gormn. [4 7]

34 .4: ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗ ΩΦΕΛΕΙΑ Έως τώρα ασχοληθήκαμε με τη συμπεριφορά ενός καταναλωτή υπό συνθήκες βεβαιότητας. Πολλές επιλογές όμως που γίνονται από τους καταναλωτές λαμβάνουν χώρα υπό μερική ή ακόμη και ολική άγνοια. Αρχικά θα περιγράψουμε το χώρο των επιλογών που αντιμετωπίζει ο καταναλωτής. Θα φανταστούμε ότι οι επιλογές που αντιμετωπίζει ο καταναλωτής έχουν τη μορφή κληρώσεων. Μια κλήρωση εκφράζεται με τη μορφή +- δηλαδή ο καταναλωτής λαμβάνει βραβείο με πιθανότητα και βραβείο με πιθανότητα - Θα κάνουμε κάποιες αποδοχές για την αντίληψη του καταναλωτή ως προς τις κληρώσεις στις οποίες μπορεί να συμμετέχει: L +- : κερδίζοντας ένα βραβείο με πιθανότητα είναι το ίδιο σαν να κερδίζει σίγουρα το βραβείο. L L3 q +- +-q q +-q : η αντίληψη ενός καταναλωτή για μια κλήρωση εξαρτάται μόνο από τις καθαρές πιθανότητες να κερδίσει τα διάφορα βραβεία. Με βάση τις παραπάνω παραδοχές ορίζουμε ως l το χώρο των κληρώσεων στις οποίες μπορεί να συμμετέχουν οι καταναλωτές. Τρία βασικά επιπλέον αξιώματα για την ύπαρξη της συνάρτησης ωφελείας είναι: C { [0] : +- z} και { [0] :z +- } είναι κλειστά σύνολα για όλα τα z l. C αν ~ τότε +- z +- z C3 Υπάρχει κάποια καλύτερη κλήρωση b και κάποια χειρότερη κλήρωση w. Για κάθε l :b w. C4 μια κλήρωση b+- w είναι προτιμότερη από την q b+-q w αν και μόνο αν >q. 30

35 Με τη βοήθεια των παραπάνω θα διατυπώσουμε το εξής θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν l ικανοποιεί τα παραπάνω αξιώματα υπάρχει μία συνάρτηση ωφελείας ορισμένη στο l τέτοια ώστε : η απόδειξη παραλείπεται [7].5: Η ΑΠΕΧΘΕΙΑ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΚΙΝΔΥΝΟ Ας θεωρήσουμε την απλή περίπτωση όπου ο χώρος κληρώσεων αποτελείται από παίγνια με χρηματικά βραβεία. Τότε το θεώρημα αναμενόμενης ωφελείας λέει ότι μπορούμε να αναπαραστήσουμε τη συμπεριφορά του καταναλωτή για όλα τα παιχνίδια χρημάτων αν γνωρίζουμε την αναμενόμενη συνάρτηση ωφελείας του. Για παράδειγμα για τον υπολογισμό της αναμενόμενης ωφελείας του καταναλωτή σε ένα παιχνίδι +- απλά κοιτάζουμε το +-. Παρατηρούμε ότι σε αυτό το παράδειγμα ο καταναλωτής προτιμά να πάρει την αναμενόμενη αξία του παιγνίου +- παρά να επιδιώξει το μέγιστο κέρδος. Τέτοια συμπεριφορά καλείται απέχθεια προς τον κίνδυνο. Μπορεί ο καταναλωτής να είναι ριψοκίνδυνος. Έτσι σε αυτήν την περίπτωση προτιμά τη μεγιστοποίηση κέρδους από την αναμενόμενη αξία του. Εάν ένας καταναλωτής παρουσιάζει απέχθεια προς τον κίνδυνο σε κάποια περιοχή η χορδή που φέρεται μεταξύ δύο σημείων του γραφήματος της συνάρτησης ωφελείας του σε αυτήν την περιοχή πρέπει να βρίσκεται κάτω από τη συνάρτηση. Αυτό ισοδυναμεί με το μαθηματικό ορισμό της αρνητικής κυρτότητας. Έτσι η αρνητική κυρτότητα της αναμενόμενης συνάρτησης ωφελείας είναι ισοδύναμη με την απέχθεια προς τον κίνδυνο. [3 7] 3

36 ΣΧΗΜΑ 5 Έστω ένα παίγνιο με ένα ζευγάρι αριθμών όπου ο καταναλωτής παίρνει αν συμβεί το ενδεχόμενο Ε και αν δε συμβεί το Ε. Τότε ορίζουμε το σύνολο αποδοχής Aw του καταναλωτή να είναι το σύνολο όλων των παιγνίων όπου θα αποδέχεται ο καταναλωτής ο οποίος βρίσκεται σε ένα αρχικό επίπεδο πλούτου w. Αν ο καταναλωτής απεχθάνεται τον κίνδυνο το Aw θα είναι κυρτό σύνολο. Υποθέτουμε ότι η συμπεριφορά του καταναλωτή μπορεί να περιγραφεί από τη μεγιστοποίηση της αναμενόμενης ωφελείας δεδομένης μιας αντικειμενικής πιθανότητας ότι το ενδεχόμενο Ε συμβαίνει. Τότε η συνάρτηση Χ πρέπει να ικανοποιεί την : w+ +-w+ Χ w Τώρα ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο καταναλωτές με ίδιες αντικειμενικές πιθανότητες για το ενδεχόμενο Ε. Μπορούμε να πούμε ότι ο καταναλωτής απεχθάνεται περισσότερο τον κίνδυνο από τον καταναλωτή αν το σύνολο αποδοχής του καταναλωτή περιλαμβάνεται στο σύνολο αποδοχής του καταναλωτή. Αν περιοριστούμε σε μικρά παιχνίδια παίρνουμε ένα σημαντικό μέτρο αποδοχής Aw: ΟΡΙΣΜΟΣ: Ο καταναλωτής απεχθάνεται τοπικά περισσότερο τον κίνδυνο από τον καταναλωτή αν υπάρχει κάποια γειτονιά Ν του 00 τέτοια ώστε A w N να περιλαμβάνεται στο A w N. Αυτό το μέτρο της απέχθειας κινδύνου προφανώς δίνεται από τη δεύτερη παράγωγο του συνόρου του 3

37 συνόλου αποδοχής. Αποδεχόμενοι πάλι τη μεγιστοποίηση της αναμενόμενης ωφελείας και παραγωγίζοντας τη σχέση: ' ' w + w ' 0 ' 0 παίρνουμε: '' '' ' ' '' w + w + w 0 ' χρησιμοποιώντας το παίρνουμε : '' w '' ' w ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9: Η ζήτηση για ασφάλεια Έστω ότι ένας καταναλωτής έχει αρχικά οικονομικό πλούτο w. Υπάρχει κάποια πιθανότητα ότι θα χάσει ένα ποσό L-για παράδειγμα υπάρχει κάποια πιθανότητα το σπίτι του να καεί. Ο καταναλωτής μπορεί εντούτοις να πληρώσει q δολάρια στην περίπτωση που συμβεί αυτή η απώλεια. Το ασφάλιστρο που πρέπει να πληρώσει για τα q δολάρια κάλυψης δηλώνεται ως πq. Πόση κάλυψη θα αγοράσει ο καταναλωτής; Έχουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης ωφελείας: M {W-L-πq+-W-πq} Παίρνουμε την παράγωγο του και μηδενίζοντας την βρίσκουμε: P W-L+q*-π-π-- W-πq*π0 ' * W L + q π ' π * W πq π Αν το γεγονός συμβεί η ασφαλιστική εταιρεία λαμβάνει πq-q δολάρια. Αν το γεγονός δεν συμβεί η ασφαλιστική εταιρεία λαμβάνει πq δολάρια. Έτσι το αναμενόμενο κέρδος της εταιρείας είναι: --πq+-πq Έστω ότι ο ανταγωνισμός στην ασφαλιστική βιομηχανία εξαναγκάζει αυτά τα κέρδη να μηδενιστούν: --πq+-πq0 ή -π-π 33

38 Εισάγοντας τις παραπάνω εξισώσεις στις συνθήκες ης τάξης για τη μεγιστοποίηση ωφελείας βρίσκουμε: W-L+-πq* w-πq* Εάν ο καταναλωτής παρουσιάζει αυστηρή απέχθεια προς τον κίνδυνο έτσι ώστε w<0 τότε η παραπάνω εξίσωση δηλώνει: W-L+-πq*W-πq* Lq* Έτσι ο καταναλωτής θα έχει ασφαλιστεί εντελώς έναντι της απώλειας L. 34

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Στην ενότητα αυτή θα εξετάσουμε ζητήματα που αφορούν στην τιμολόγηση των εισροών τα οποία συνδέονται άμεσα με την αγορά εργασίας.: Το απλό υπόδειγμα δύο αγαθών: Υποθέτουμε λοιπόν ότι υπάρχουν μόνο δύο χρήσεις στις οποίες ένα άτομο μπορεί να αφιερώσει το χρόνο του είτε να εργαστεί στην αγορά με έναν πραγματικό μισθό έστω w ανά ώρα ή να μην εργαστεί. Ο χρόνος που δε διατίθεται σε αγοραία εργασία μπορεί να αφιερωθεί σε εργασία στο σπίτι σε κατανάλωση π.χ. απαιτείται χρόνος για τη χρήση μίας τηλεόρασης ή μιας μπάλας ποδοσφαίρου ή ενός αυτοκινήτου. Αυτές οι δραστηριότητες συντελούν στην ατομική ευημερία και ο χρόνος κατανέμεται σ αυτές έτσι ώστε να μεγιστοποιείται η χρησιμότητα. Συγκεκριμένα ας υποθέσουμε ότι η χρησιμότητα ενός ατόμου κατά τη διάρκεια μιας τυπικής ημέρας εξαρτάται από την κατανάλωση μέσα σ εκείνη την περίοδο C και από τις ώρες ανάπαυσης H που απολαμβάνει: ΧρησιμότηταUCH 3 Επιδιώκοντας τη μεγιστοποίηση της το κάθε άτομο δεσμεύεται από δύο περιορισμούς: Α Ο πρώτος αφορά το διαθέσιμο χρόνο. Αν θεωρήσουμε ότι το L αντιπροσωπεύει ώρες εργασίας τότε ισχύει: L+H4 4 Δηλαδή ο διαθέσιμος χρόνος μίας ημέρας θα πρέπει να κατανέμεται είτε σε «εργασία» είτε σε «μη εργασία». Β Ο δεύτερος περιορισμός καταγράφει το γεγονός ότι τα άτομα μπορούν να αγοράσουν καταναλωτικά αντικείμενα μόνο αν εργάζονται. Αν το πραγματικό ωρομίσθιο της αγοράς που κερδίζει το άτομο δίνεται από το w ο εισοδηματικός περιορισμός δίνεται από τη σχέση: CwL 5 35

40 Συνδυάζοντας τους περιορισμούς προκύπτει: C W 4 H C + wh 4w * Ερμηνεύεται αυτό ως εξής: το κάθε άτομο έχει ένα «συνολικό εισόδημα» που δίνεται από το 4w. Δηλαδή το άτομο που εργάζεται όλες τις ώρες της ημέρας θα μπορεί να αγοράσει τόσα πραγματικά καταναλωτικά αγαθά κάθε μέρα. Τα άτομα μπορούν να δαπανούν το συνολικό εισόδημα τους είτε δουλεύοντας είτε απολαμβάνοντας τη ξεκούραση. Η εξίσωση * δείχνει ότι το κόστος ευκαιρίας από την «κατανάλωση» ανάπαυσης είναι w ανά ώρα: ισούται με τα διαφυγόντα έσοδα εξαιτίας της μη εργασίας..: Μεγιστοποίηση της χρησιμότητας Το πρόβλημα μας έγκειται στη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας: ΧρησιμότηταUCH υπό τους περιορισμούς. L+H4 C W 4 H C + wh 4w Χρησιμοποιώντας την εξίσωση Lgrnge: LUCH+λ4w-C-wH 6 Οι συνθήκες ης τάξης για το μέγιστο είναι: L U λ 0 C C L U wλ 0 H H Διαιρώντας τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει: U H w MRS τουhστοc 7 U C 36

41 Συνεπώς καταλήγουμε στην ακόλουθη ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ: Απόφαση προσφοράς εργασίας που μεγιστοποιεί τη χρησιμότητα [4 6] Προκειμένου να μεγιστοποιηθεί η χρησιμότητα δοθέντος του πραγματικού μισθού w το άτομο θα πρέπει να επιλέξει να εργαστεί τόσες ώρες ώστε ο οριακός λόγος υποκατάστασης της ανάπαυσης MRS να ισούται με w..3: ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΙΑ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΜΙΑ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΟΥ W Οι δύο ενδεχόμενες αντιδράσεις σε μία μεταβολή του w απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα. Και στα δύο διαγράμματα του ο αρχικός μισθός είναι w 0 και οι αρχικές άριστες επιλογές των C και H δίνονται από τα σημεία C 0 H 0 ΣΧΗΜΑ 6 Στο διάγραμμα το αποτέλεσμα υποκατάστασης εξαιτίας μιας μεταβολής του w υπερνικά το εισοδηματικό αποτέλεσμα και το άτομο ζητά λιγότερη ανάπαυση H <H 0 δηλαδή το άτομο θα εργάζεται περισσότερες ώρες όταν αυξάνεται το w. 37

42 Στο διάγραμμα b αντιστρέφεται η κατάσταση. Το εισοδηματικό αποτέλεσμα εξαιτίας μιας μεταβολής στο w υπερνικά το αποτέλεσμα υποκατάστασης και η ζήτηση για ανάπαυση αυξάνεται H >H 0. Το άτομο εργάζεται λιγότερες ώρες όταν αυξάνεται το w. ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Τα αποτελέσματα εισοδήματος και υποκατάστασης από μία μεταβολή στον πραγματικό μισθό [4 6] Όταν αυξάνεται ο πραγματικός μισθός το άτομο που επιδιώκει τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του μπορεί να αυξήσει ή να μειώσει τις ώρες που εργάζεται. Το αποτέλεσμα υποκατάστασης θα τείνει να αυξήσει τις ώρες εργασίας καθώς το άτομο υποκαθιστά αποδοχές στην ανάπαυση. Αντιθέτως το εισοδηματικό αποτέλεσμα θα τείνει να μειώσει τις ώρες εργασίας καθώς το άτομο χρησιμοποιεί την αγοραστική του δύναμη για να αγοράσει περισσότερες ώρες ανάπαυσης..4: ΕΞΙΣΩΣΗ SLUTSKY ΚΑΙ Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Μια μαθηματική έκφραση της απόφασης για προσφορά εργασίας τροποποιώντας τον εισοδηματικό περιορισμό για να επιτραπεί η παρουσία του εργασιακού εισοδήματος είναι η εξής: CWl+N όπου Ν είναι το πραγματικό μη εργασιακό εισόδημα. Η δυαδική διατύπωση του προβλήματος μας είναι η επιλογή του μεγέθους κατανάλωσηςc και του χρόνου ανάπαυσης H4-Lέτσι ώστε το ποσό της επιπλέον δαπάνης ΕC-wL που απαιτείται για να επιτευχθεί ένα δεδομένο επίπεδο χρησιμότητας να είναι όσο το δυνατόν μικρότερο. Εξ ορισμού στο βέλτιστο σημείο ισχύει: L wulwewulwn 8 38

43 Παραγωγίζοντας ως προς w έχουμε : L ' L L E + w w E w και χρησιμοποιώντας τη σχέση της περιβάλλουσας καμπύλης Ε L παίρνουμε: w L ' L L L L L L 9 w w E w Ν Τελικά θα καταλήξουμε στην τελική συνάρτηση sltsk για την προσφορά εργασίας: ' L L U U w w ή με μία αναδιάταξη όρων: L L L U U 0 + L 0 w w N Δηλαδή η μεταβολή στην προσφερόμενη εργασία ως συνέπεια της μεταβολής του πραγματικού μισθού μπορεί να διαχωριστεί στο άθροισμα ενός αποτελέσματος υποκατάστασης όπου η χρησιμότητα διατηρείται σταθερή και ενός εισοδηματικού αποτελέσματος που είναι αναλυτικά ισοδύναμο με μία επαρκή μεταβολή στο μη εργασιακό εισόδημα. Επειδή το αποτέλεσμα υποκατάστασης είναι θετικό και ο όρος L <0 η παραπάνω έκφραση δείχνει ότι τα αποτελέσματα εισοδήματος και Ν υποκατάστασης δρουν προς αντίθετες κατευθύνσεις. 0 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 0: Προσφορά εργασίας Cobb-Dogls Έστω ότι η ωριαία χρησιμότητα είναι μία συνάρτηση της κατανάλωσης και της ανάπαυσης της μορφής: U CH το άτομο δεσμεύεται από το εισοδηματικό περιορισμό : CwL+N και 39

44 από ένα χρονικό περιορισμό: H-L για λόγους ευκολίας θέτουμε το μέγιστο χρόνο εργασίας ίσο με ώρα. Συνδυάζοντας τις εξισώσεις αυτές προκύπτει η έκφραση της χρησιμότητας ως συνάρτηση μόνο της επιλογής προσφοράς εργασίας U CHwL+N-LwL-wL +N-NL Η συνθήκη ης τάξης για τη μεγιστοποίηση της U είναι: U N w wl N 0 L L w Αυτή είναι η ατομική συνάρτηση προσφοράς εργασίας. Αν Ν0 το άτομο θα εργάζεται το / της ώρας ανεξάρτητα από το ποιος είναι ο μισθός. Δηλαδή αν Ν0 τα αποτελέσματα εισοδήματος και υποκατάστασης εξαιτίας μιας μεταβολής στο w αντισταθμίζεται ακριβώς μεταξύ τους αφήνοντας το L αμετάβλητο. Άλλωστε και ο υπολογισμός του εισοδηματικού αποτελέσματος είναι απλός χρησιμοποιώντας την εξίσωση sltsk και του τύπου που δίνει το L: L N N L + N w 4w 4w L Αν Ν0 αυτό το εισοδηματικό αποτέλεσμα θα είναι : L όπου N 4w το αρνητικό πρόσημο υποδηλώνει ότι το εισοδηματικό αποτέλεσμα εξαιτίας μιας αύξησης στο w θα μειώσει το L καθώς η ανάπαυση είναι ένα κανονικό αγαθό..5: ΑΤΟΜΙΚΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΜΠΥΛΗ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΤΗΣ ΑΓΟΡΑΣ [4 6] Α Στο παρακάτω σχήμα σχεδιάσαμε την καμπύλη προσφοράς εργασίας ενός ατόμου υπολογίζοντας τον αριθμό των ωρών που επιθυμεί να εργαστεί σε κάθε δυνατό επίπεδο πραγματικού μισθού. Μία τέτοια καμπύλη μοιάζει με αυτή του σχήματος που ακολουθεί στο σχεδιάγραμμα. Η ατομική αυτή καμπύλη προσφοράς εργασίας σχεδιάζεται με θετική κλίση: σε υψηλά επίπεδα πραγματικού μισθού το άτομο επιλέγει να εργαστεί περισσότερες 40

45 ώρες. Το αποτέλεσμα υποκατάστασης ενός υψηλότερου μισθού αντισταθμίζει το εισοδηματικό αποτέλεσμα. Ωστόσο αυτό δεν ισχύει πάντοτε όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα στο b σχεδιάγραμμα. Σε αυτήν την περίπτωση η καμπύλη «κλίνει προς τα πίσω»-άπαξ και ο μισθός υπερβεί ένα συγκεκριμένο επίπεδο ακόμη και υψηλότερα επίπεδα μισθού οδηγούν το άτομο να εργαστεί λιγότερες ώρες. Σε σχετικά υψηλά επίπεδα μισθών και ωρών εργασίας μία περαιτέρω αύξηση στο μισθό ίσως οδηγήσει τα άτομα να επιλέξουν να εργαστούν λιγότερες ώρες καθώς το εισοδηματικό αποτέλεσμα μπορεί να αντισταθμίσει το αποτέλεσμα υποκατάστασης. Το άτομο χρησιμοποιεί το υψηλότερο επίπεδο μισθού για να «αγοράσει» περισσότερη ανάπαυση. Ένα σημαντικό εμπειρικό ερώτημα αφορά το ποια από αυτές τις καμπύλες αντανακλά καλύτερα την ατομική απόφαση προσφοράς εργασίας. Παρότι υπάρχουν ουσιώδεις ενδείξεις ότι οι βραχυχρόνιες καμπύλες προσφοράς εργασίας έχουν θετική κλίση π.χ. η θετική επίπτωση που θα έχει στις ώρες απασχόλησης η προσφορά υψηλότερων υπερωριακών αμοιβών φαίνεται ότι στη μακροχρόνια περίοδο η ατομική καμπύλη προσφοράς εργασίας κατά περιόδους μπορεί να «έκλινε προς τα πίσω». ΣΧΗΜΑ 7 4

46 Β Μπορούμε να κατασκευάσουμε μία καμπύλη προσφοράς εργασίας της αγοράς αθροίζοντας τις ατομικές καμπύλες προσφοράς εργασίας. Σε κάθε δυνατό επίπεδο μισθού θα αθροίζουμε την προσφερόμενη από κάθε άτομο ποσότητα εργασίας προκειμένου να φθάσουμε στη συνολική ποσότητα της αγοράς. Ένα ιδιαίτερα ενδιαφέρον στοιχείο αυτής της διαδικασίας είναι ότι καθώς αυξάνεται ο μισθός περισσότερα άτομα θα παρακινηθούν να εισέλθουν στο εργατικό δυναμικό. Το παρακάτω σχήμα απεικονίζει αυτήν τη δυνατότητα για την απλή περίπτωση των δύο ατόμων. Για έναν πραγματικό μισθό κάτω του w κανένας δε θα επιθυμεί να εργαστεί. Συνεπώς η αγοραία καμπύλη προσφοράς εργασίας γ-σχεδιάγραμμα δείχνει ότι δεν προσφέρεται καθόλου εργασία όταν ο πραγματικός μισθός είναι κάτω του w. Αν ο μισθός είναι πάνω από το w το άτομο εισέρχεται στην αγορά εργασίας. Ωστόσο εφόσον ο μισθός είναι κάτω του w το άτομο δεν θα δουλεύει. Θα συμμετέχουν στην αγορά εργασίας και τα δύο άτομα μόνο εάν ο μισθός είναι πάνω από το w. Γενικά η πιθανότητα εισόδου νέων εργαζομένων καθιστά την αγοραία προσφορά εργασίας κάπως πιο ευαίσθητη στις αυξήσεις των μισθών σε σχέση με την περίπτωση που θα υποθέταμε την ύπαρξη ενός σταθερού αριθμού εργαζομένων. ΣΧΗΜΑ 8 4