RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
|
|
|
- Βαρ-ιησούς Αποστολίδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS Páin 03 REFLEXION E RESOLVE Prolem Pr lulr ltur dun árore, podemos seguir o proedemento que utilizou Tles de Mileto pr lulr ltur dun pirámide de Eipto: omprr sú somr o dun vr vertil u lonitude é oñeid. Fino ti seguindo este método e sendo que: vr mide m, somr d vr mide 37 m, somr d árore mide 5 m. Pr soluionr este prolem utilizrís semellnz de dous triángulos ,65 m m 5 m L ltur del árol es de 6,65 m. 37 m Prolem ernrdo oñee distni á que está d árore e os ángulos e, e quere lulr distni á que está de rme. ì ì Dtos: 63 m; o ; 3 o Pr resolver o prolem, primeiro reliz un deuo esl : 000 ( m mm). Despois, mide lonitude do segmento e, desfendo esl, oterás distni á que ernrdo está de rme. mm Desiendo l esl: m 63 m 3 ì ì
2 Prolem 3 nlogmente podes resolver estoutro: ernrdo ve desde sú s o stelo e dí. oñee s distnis os dous lugres, pois fio o mino pé moits vees; e quere ser distni ì do stelo á dí. Pr iso dee, previmente, medir o ángulo. Dtos: 00 m; ì 700 m; 0 o. Utiliz gor esl :0 000 (00 m m). 00 m m 00 m m 700 m 7 m,7 m ò 70 m 700 m 7 m 0 00 m m NOT: El triángulo está onstruido l 50% de su tmño. Prolem lul, plindo o teorem de Pitágors: ) Os ldos iguis dun triángulo retángulo isósele u ipotenus mide. ) ltur dun triángulo equilátero de ldo. Fi todos os álulos mntendo os rdiis. Dees egr ás seguintes soluións: y 3 y
3 UNIDDE ) + ) y + ( ) y y 3 3 Páin 0. lul tg se ses que sen 0,39. Fino, tmén, on luldor. os (sen ) 0,39 0,9 sen tg 0, os on luldor: sß0,39 t { Ÿ ««}. lul os se ses que tg,. Fino, tmén, on luldor. s + s/, Resolviendo el sistem se otiene s 0,79 y 0,6. on luldor: s t, { Ÿ\ \ } Páin 05. Sendo que o ángulo está no.º udrnte (90 <<0) e sen 0,6, lul os e tg. 0,6 t os 0,6 0,7 0,6 tg 0,79 0,7. Sendo que o ángulo está no 3.º udrnte (0 < < 70) e os 0,3, lul sen e tg. s 0,3 t sen (0,3) 0,56 0,56 tg 0,67 0,3 3
4 3. Sendo que o ángulo está no.º udrnte (70 <<360) e tg 0,9, lul sen e os. s t 0,9 s/ 0,9 El sistem tiene dos soluiones: s + s 0,6; 0,7 s 0,6; 0,7 Teniendo en uent dónde está el ángulo, l soluión es l primer: sen 0,6, os 0,7. omplet no derno seguinte táo e mplí pr os ángulos 0, 5, 0, 70, 300, 35, 330 e sen 0 / / 3/ os 3/ 0 tg 0 3/3 údte d representión dos ángulos nun irunfereni goniométri sen 0 / / 3/ 3/ / / 0 os 3/ / / 0 / / 3/ tg 0 3/ / sen / / 3/ 3/ / / 0 os 3/ / / 0 / / 3/ tg 3/ /3 0 Páin 06. Indi s rzóns trigonométris do ángulo 397: ) Otendo epresión do ángulo no intervlo [0, 360). ) Otendo epresión do ángulo no intervlo ( 0, 0]. ) Diretmente o luldor. ) ) sen 397 sen 37 0, sen 397 sen ( 3) 0, os 397 os 37 0,5 os 397 os ( 3) 0,5 tg 397 tg 37,5 tg 397 tg ( 3),5
5 UNIDDE. Ps d un dos seguintes ángulos o intervlo [0, 360) e o intervlo ( 0, 0]: ) 396 ) 9 ) 65 d) 3 95 e) 7 6 f ) 90 Se trt de epresr el ángulo de l siguiente form: k o k, donde k Ì 0 ) ) ) d) e) f) undo emos, por ejemplo, , por qué tommos? Porque, previmente, emos relizdo l división 7 6 / 360 { }. Es el oiente entero. Páin 07 LINGUXE MTEMÁTI. Di o vlor ds seguintes rzóns trigonométris sen preguntrllo á luldor. Despois, ompróo o sú ud: ) sen(37 Ò ) ) os( 5 Ò ) ) tg( Ò ) d) os(7 Ò ) ) sen ( ) sen ( 30) sen 30 ) os ( ) os (0) ) tg ( ) tg ( 35) tg 35 d) os ( ) os ( ) os ( 360 5) os ( 5) os 5. Repite o luldor estes álulos: st P 0 { } st P 0 { } Epli os resultdos. omo é posile que dig que o ángulo u tnente vle 0 0 é 90 se 90 non ten tnente? Es un ángulo que difiere de 90 un ntidd tn pequeñ que, pesr de ls mus ifrs que l luldor mnej, l redonderlo d 90. 5
6 Páin 09. lul s rzóns trigonométris de 55, 5, 5, 5, 35, 305 e 35 prtir ds rzóns trigonométris de 35: sen 35 0,57; os 35 0,; tg 35 0, ò 55 y 35 son omplementrios. sen 55 os 35 0, os 55 sen 55 0,57 ( Tmién tg 55,3 tg 35 0,70 sen 55 0, tg 55,3 os 55 0,57 ) sen 5 os 35 0, os 5 sen 35 0,57 tg 5,3 tg 35 0, ò 5 y 35 son suplementrios. sen 5 sen 35 0,57 os 5 os 35 0, tg 5 tg 35 0, sen 5 sen 35 0,57 os 5 os 35 0, tg 5 tg 35 0, sen 35 os 35 0, os 35 sen 35 0,57 sen 35 os 35 tg 35,3 os 35 sen 35 tg 35 0,
7 UNIDDE sen 305 os 35 0, os 305 sen 35 0,57 sen 305 os 35 tg 305,3 os 305 sen 35 tg ( 35) sen 35 sen 35 0,57 os 35 os 35 0, sen 35 sen 35 tg 35 tg 35 0,70 os 35 os Determin s rzóns trigonométris de 35, 56 e 3, utilizndo luldor só pr lulr rzóns trigonométris de ángulos omprendidos entre 0 e sen 35 sen 0,039 os 35 os 0,999 tg 35 (*) tg 0,039 (*) sen 35 sen tg 35 tg os 35 os 56 0 sen 56 sen 0,067 os 56 os 0,935 tg 0,5 OTR FORM DE RESOLVERLO: sen 56 os 66 0,067 os 56 sen 66 0,935 tg 56 0,5 tg 66, sen 3 sen 0,3090 os 3 os 0,95 tg 3 tg 0,39 7
8 3. Deu, sore irunfereni goniométri, ángulos que umprn s seguintes ondiións e estim, en d so, o vlor ds restntes rzóns trigonométris: ) sen, 3 tg > 0 ) os, > 90 ) tg, os < 0 d) tg, os < 0 ) sen / < 0 tg > 0 sen / os 0,6 os < 0 é3. er udrnte tg 0,5 ) os 3/ > 90º sen 0,66 os 3/ é. udrnte tg 0, ) tg < 0 os < 0 sen 0,7 os 0,7 sen > 0 é. udrnte tg d) tg > 0 os < 0 sen 0,9 os 0,5 sen < 0 é3. er udrnte tg Páin. s seguintes proposts están referids triángulos retángulos que, en todos os sos, se designn por, e onde é o ángulo reto. ) Dtos: 3 m, 57. lul. ) Dtos: 3 m, 57. lul. ) Dtos: 50 m, 30 m. lul y. d) Dtos: 35 m, 3. lul. e) Dtos: 35 m, 3. lul. ) os os 7,3 m ) sen sen 6, m
9 UNIDDE ) + 396,69 m tg 0, 39 3' 57'' d) tg 56,0 m tg e) sen 66,05 m sen. Pr determinr ltur dun poste fstámonos 7 m d sú se e despois medimos o ángulo que form visul o punto máis lto o orizontl, o que otemos un vlor de 0. nto mide o poste? tg tg 0 5,7 m 0 7 m 3. lul áre deste udrilátero. Suestión: Párteo en dous triángulos. 6 m 3 m 0 7 m 9 m 9 3 sen ,3 m 7 6 sen 0,67 m 3 m 0 9 m 6 m El áre es l sum de y :,0 m 7 m 9
10 Páin 3. Nun triángulo oñeemos 6, 7 m e 3 m. lul lonitude do ldo. H 7 os 6 6,3 m H 7 sen 6 59, m H H 9,75 m H + H 6,3 m + 9,75 m 5, m 7 m 6 H 3 m. Nun triángulo MNP oñeemos M 3, N 3 e NP 7 m. lul MP. PH sen 3 PH 7 sen 3 3,05 m 7 PH PH 3,05 sen 3 MP 60,9 m MP sen 3 sen 3 M P 7 m 3 3 H N 3. Nun triángulo oñeemos 0 m, 33 m e 53. lul lonitude do ldo. H os 53,0 m 0 m? 53 H 33 m H sen 53 5,97 m H H 0,96 m H + H 6,35 m. Estmos en, medimos o ángulo io o que se ve o edifiio (), despois fstámonos 0 m e volvemos medir o ángulo (35). l oids que é ltur do edifiio e que distni nos topmos del? Oserv ilustrión: 35 0 m 0
11 UNIDDE tg d tg d tg 35 (d + 0)tg 35 d tg 35 d tg (d + 0) tg 35 d 39,90 m tg tg 35 d tg 5,97 m L ltur es 5,97 m. L primer distni es 39,90 m, y or, después de lejrnos 0 m, estmos 79,90 m. Páin. Repite demostrión nterior no so de que otuso. Ten en ont que: se sen (0 ) sen H (0 ) H sen sen sen sen (0 ) sen sen sen sen sen. Demostr detlldmente, seándote n demostrión nterior, seguinte relión: sen sen Lo demostrmos pr ángulo gudo. (Si fuese un ángulo otuso rzonrímos omo en el ejeriio nterior). Trzmos l ltur desde el vértie. sí, los triángulos otenidos H y H son retángulos.
12 H Por tnto, tenemos: sen sen sen sen sen sen sen sen Páin 5 3. Resolve o mesmo prolem nterior ( m, 30) tomndo pr os seguintes vlores:,5 m, m, 3 m, m. Xustifi grfimente por que se oteñen, segundo os sos, ningun soluión, un soluión ou dús soluións.,5 m,5 0,5 sen, ) 3 sen sen sen sen 30,5 30 m,5 m Imposile, pues sen é [, ] siempre! No tiene soluión. on est medid,,5 m, el ldo nun podrí tor l ldo.
13 UNIDDE m sen 0,5 sen 90 sen sen sen 30 m 30 m Se otiene un úni soluión. 3 m 3 0,5 sen 0, 6 ) sen sen 30 3 ' 37," 3 ',9" 3 m 30 m 3 m Ls dos soluiones son válids, pues en ningún so ourre que + > 0. m sen 0,5 sen 0,5 sen Un soluión válid. 50 m 30 m L soluión 50 no es válid, pues, en tl so, serí + 0. Imposile! 3
14 Páin 7. Resolve os seguintes triángulos: ) m; 6 m; 0 m ) m; 7 m; 0 ) m; 6 m; 5 m d) m; 3 m; 05 e) m; 5 y 60 f) 5 m; 35 ) + os os os os 0, ' 33" m 6 m 0 m + os os os 0, ' 57,5" ' 9,5" ) + os os ,9 97,06 7, m 7 sen sen sen 7 sen 0 sen 0,6 7, 7, sen 0 m 5 7',3" 6 5' 5,7" No válid 0 7 m (L soluión no es válid, pues + > 0). 0 ( + ) 5' 5,7"
15 UNIDDE ) + os os os 0, ' 57,5" + os os os 0, ' 33" 0 ( + ) 3 37' 9,5" (NOT: ompárese on el prtdo ). Son triángulos semejntes). 6 m 5 m m d) + os os 05 3, 5,59 m sen sen 5,59 sen 05 sen sen 05 sen 0,69 5,59 3 m 05 m (L soluión no es válid, pues + > 0). 0 ( + ) 3 6' 3,7" e) 0 ( + ) 75 sen sen sen ' 5,3" 36 6' 3,7" sen 5 sen 5,93 m sen 75 sen sen sen 75 No válid sen 60 sen 60 sen 75 3,59 m 5
16 f) 0 ( + ) 0 5 sen sen sen 0 sen 35 5 sen 35 3,05 m sen 0 omo 3,05 m 5. s ses dun trpeio miden 7 m e 0 m, e un dos seus ldos, 7 m. O ángulo que formn s rets sore s que se enontrn os ldos non prlelos é de 3. lul o que mide o outro ldo e áre do trpeio. Los triángulos P y DP son semejntes, luego: P ( + 7) plindo el teorem del oseno en el triángulo P tenemos: + y y os y 0y os 3 0 y 6,96y y 0 m 7 m y 0 No válido y 6,96 m z 7 m De nuevo, por semejnz de triángulos, tenemos: D D 0 7 DP 0 (z + 6,96) 7 6,96 P 6,96 z + 6,96 0z,7 z,7 m mide el otro ldo, D, del trpeio. omo PD es un triángulo isóseles donde sí: z D P 7 m, entones: D 3 sen 3 ò z sen 3,7 sen 3 6, Áre D 6,9,93 m 6
17 UNIDDE 6. Un ro pide soorro e reíense os seus sinis en dús estións de rdio, e, que distn entre si 50 km. Desde s estións mídense os seguintes ángulos: 6 e 53. que distni de d estión onsiders que ì ì se enontr o ro? km 53 sen 50 sen 6 sen sen sen sen 36, km 50 sen 53 sen sen sen sen sen 0, km 7. Pr lulr ltur dun gloo, relizmos s mediións indids n figur. nto dist o gloo do punto? nto do punto? que ltur está o gloo? 63 G 90 H m H m ì G sen 63 5, m dist el gloo del punto. sen 63 sen 5 sen sen 7 6,9 m dist el gloo del punto. sen 7 sen 5 sen 5 sen 75 5, sen 75,3 m es l ltur del gloo. 5, 7
18 Páin EXERIIOS E PROLEMS PROPOSTOS PR PRTIR Relión entre rzóns trigonométris lul s demis rzóns trigonométris do ángulo (0 < < 90) utilizndo s relións fundmentis: 3 3 ) sen ) os ) tg 3 d) sen e) os 0,7 f) tg 3 ) sen + os 3 + os os 3 ( ) os sen 3/ tg os / 3 ) sen + sen ( ) sen / tg / ) + tg 3 ) 7 + ( os os os sen d) os ( ( 7 7 ) 3 ) os os os sen os 55 os / 3 55 tg 55/ 55 e) sen (0,7) sen 0,6 sen 0,69 0,69 tg 0,96 0,7 7 7
19 UNIDDE f) + 3 os os os 0 0 sen 9 3 sen Sendo que o ángulo é otuso, omplet seguinte táo: sen os tg 0,9 0,5 0, 0, 0,75 sen os tg 0,9 0,6 0,99 0,6 0,5 0,96 0,39 0, 0, 0, 0,7 0,,36 0,75,5 0,75 0,57 ) ) ) d) e) f) ) sen + os 0,9 + os os 0,9 os 0,536 os 0,39 7 otuso os < 0 tg sen,36 os (Se podrín lulr diretmente on l luldor sen 0,9, teniendo en uent que el ángulo está en el segundo udrnte). ) + tg + 0,565 os 0,6 os 0, os os tg sen sen tg os ( 0,75) ( 0,) 0,6 os ) sen os 0,0 0,956 sen 0,99 tg sen 0,99,5 os 0, d) sen os 0,6 0,36 sen 0,6 tg sen 0,6 0,75 os 0, (NOT: es el mismo ángulo que el del prtdo )). e) os sen 0,5 0,75 os 0,7 tg sen 0,5 0,57 os 0,7 9
20 f) + tg + 6 os 0,059 os 0, os sen tg os ( ) ( 0,) 0,96 3 Indi s restntes rzóns trigonométris de : ) sen /5 < 70 ) os /3 tg < 0 ) tg 3 < 0 sen < 0 ) sen < 0 é 3. er udrnte os < 0 < 70 tg > 0 os sen os /5 tg sen os 3/5 3 ) os > 0 tg < 0 sen < 0 é. udrnte sen os 5 5 sen tg sen os ) tg < 0 < 0 é. udrnte sen > 0 os < 0 tg os os os sen os 0 0 tg sen tg os ( 3) ( ) Epres un ángulo do primeiro udrnte: ) sen 50 ) os 35 ) tg 0 d) os 5 e) sen 35 f ) tg 0 g) tg 30 )os 00 i) sen 90 ) sen 50 sen 30 ) os 35 os 5 ) sen 0 sen 30 tg 0 os 0 os 30 tg 30 d) os 55 sen 5 0
21 UNIDDE e) sen 35 sen 5 f ) sen 0 sen 60 tg 0 os 0 os 60 tg 60 ( sen 0 os 30 Tmién tg 0 os 0 sen 30 tg 30 ) g) sen 30 sen 0 tg 30 os 30 os 0 tg 0 ) os 00 os 0 i) sen 90 os 0 (Tmién sen 90 sen 70) 5 Se sen 0,35 e < 90, determin: ) sen (0 ) )sen ( + 90) ) sen (0 + ) d) sen (360 ) e) sen (90 ) f) sen (360 + ) ) sen (0 ) sen 0,35 ) sen ( + 90) os sen + os os 0,35 0,775 ò os 0,9 sen ( + 90) os 0,9 ) sen (0 + ) sen 0,35 d) sen (360 ) sen 0,35 e) sen (90 ) os 0,9 (luldo en el prtdo ) f) sen (360 + ) sen 0,35 6 Se tg /3 e 0 < < 90, determin: ) sen ) os ) tg (90 ) d) sen (0 ) e) os (0 + ) f) tg (360 ) ) tg sen sen tg os os os tg os os sen tg os
22 ) luldo en el prtdo nterior: os ) tg (90 ) sen (90 ) os os (90 ) sen d) sen (0 ) sen e) os (0 + ) os f) tg (360 ) sen (360 ) sen tg os (360 ) os 3 7 lul o luldor o ángulo : ) sen 0,75 < 70 ) os 0,37 > 0 ) tg,3 sen < 0 d) os 0,3 sen < 0 ) on l luldor 35' 5" é. udrnte sen < 0 omo dee ser é 3. er udrnte < 70 Luego ' 5" 35' 5" ) on l luldor: ' 56,3" os < 0 > 0 é 3. er udrnte 360 ' 56,3" 7' 3,7" ) tg,3 > 0 sen < 0 os < 0 é 3. er udrnte on l luldor: tg,3 5 ' 7,39" ' 7,39" 3 ' 7,"
23 UNIDDE d) os 0,3 > 0 sen < 0 é. udrnte on l luldor: os 0,3 76 ' 0,5" 76 ' 0,5" 3 7' 9,6" Resoluión de triángulos retángulos Resolve os seguintes triángulos retángulos ( 90) lulndo medid de todos os elementos desoñeidos: ) 5 m, m. Hll,,. ) 3 m, 37. Hll,,. ) 7 m, 5. Hll,,. d) 5, km, 7. Hll,,. ) m 5 tg 0,6 37', ',5" m 5 m ) sen 7,5 m sen tg 57,06 m tg m ) os 3, m os 5 tg 7 tg 5, m m 3
24 d) sen 5, sen 7 5, km 5, os 5, os 7,9 km 5, 5, km 7 9 Se queremos que un int trnsportdor de 5 metros eleve rg t un ltur de 5 metros, que ángulo se deerá inlinr int? 5 sen 0,6 36 5',6" 5 5 m 5 m 0 Un esd de m está poid nun prede formndo un ángulo de 50 o n. lul ltur á que eg e distni que sepr sú se d prede. m 50 d sen 50,53 m d os 50 d,9 m O ldo dun romo mide m e o ángulo menor deste é de 3. nto miden s digonis do romo? m 9 y 3 sen 9 os 3 y y sen 9,6 m d 5, m os 9 7,6 m D 5, m
25 UNIDDE lul proeión do segmento 5 m sore ret r nos seguintes sos: ) 7 ) 50 r ' ' ) 5 d) 90 '' ) os '' 5 os 7,6 m ) '' 5 os 5 9,6 m ) '' 5 os 5,9 m d) '' 5 os 90 0 m 3 ) lul ltur orrespondente o ldo en d un dos seguintes triángulos: I II III m 7 m 5 m 3 3 m 5 m m ) lul áre de d triángulo. ) I) sen 7 7,9 m II) sen 3 5 3,5 m III) sen 3, m 7,9 ) I) 7,7 m 5 3,5 II) 99,3 m, III),5 m No triángulo, D é ltur reltiv o ldo. os dtos d figur, indi os ángulos do triángulo. 3 m m D, m En En ì D: sen ' 37''; D 90 ' 3'' 3 ì D : tg 5 7' ''; D 6 3' '', Ángulos: 3' 35''; ' 37''; 5 7' '' 5
26 5 Desde un punto P eterior un irunfereni de 0 m de rio, tráznse s tnentes es irunfereni que formn estre si un ángulo de 0. lul distni de P d un dos puntos de tneni. 0 m O 0 P En OP 0 : tg 0 P P 7,7 m Distni de P d uno de los puntos de tngeni: 7,7 m Páin 3 Teorem dos senos 6 lul e no triángulo no que: 55, 0, 5 m m 0 (55 + 0) 5 5,33 m sen sen sen 55 sen 5 sen 5 9,6 m sen sen 0 sen 5 7 lul o ángulo e o ldo no triángulo no que: 50, 3 m, m. 3 sen sen sen 50 sen 3 m sen 50 sen 3 50 m 0 ( + ) 93 9' 5'' 3 sen 93 9' 5'' sen sen sen 50 9,9 m 36 50' 6 '' (Tiene que ser < ) 6
27 UNIDDE Resolve os seguintes triángulos: ) 35 7 m ) m m ) 7 sen 35 0 (35 + ) 03; 0 m sen sen sen 03 sen 7 sen,67 m sen sen 03 sen 05 ) sen 35 5' 9''; 39 3' 5'' sen sen 30 sen 30 sen 39 3' 5'' 9,79 m sen sen 05 9 Dous migos situdos en dous puntos, e, que distn 500 m, ven torre ì ì dun igre,, io os ángulos 0 e 55. Que distni i entre d un deles e igre? 0 (0 + 55) m sen 0 sen sen 5 3,6 m 500 sen 5, m L distni de l iglesi es de, m, y l de l iglesi, 3,6 m. Teorem do oseno 0 lul no triángulo, no que:, 7, m, 5,3 m. 5,3 m 7, m + os 7, + 5,3 7, 5,3 os 0, m Determin os ángulos do triángulo no que m, m, 35 m. m m 35 m os + 35 os 5 3' '' os os 3 7' '' 35 0 ( + ) 7' 5'' 7
28 Resolve os seguintes triángulos: ) 3 m 7 m 0 ) 5 m 57 m 65 ) 3 m m 3 m ) os 0,9 m 7 3 +,9 3,9 os 9 56' '' 0 ( + ) 0 3' 5'' ) os 65 79,7 m ,7 5 79,7 os 0 ' 5'' 0 ( + ) 7 ' 55'' ) os os 0 ( + ) 33 0' 35'' 30 0' 9'' 7 ' 56'' 3 Desde port d miñ s,, veo o ine,, que está 0 m, e o quioso, K, que está 5 m, io un ángulo K 0. Que distni i en- ì tre o ine e o quioso? 0 m 0 5 m K os 0 77, m es l distni entre el ine y el kiosko. Resoluión de triángulos lquer Resolve os seguintes triángulos: ) 00 m 7 63 ) 7 m ) 70 m 55 m 73 d) m 00 m 0 e) 5 m 30 m 0 m f) 00 m 5 m 50 m g) 5 m 9 m 30 ) 6 m m 57
29 UNIDDE ) 0 ( + ) 70 sen sen 00 sen 70 sen 7 00 sen 7 77,3 m sen sen 63 9, m sen 70 sen 63 sen 70 ) 0 ( + ) sen 70 6,5 m sen 75 sen 70 sen sen 35 0,09 m sen 75 sen 35 sen 75 ) os ,7 75,3 m , ,3 os os ,3 70 0,5 6 3' 9," 55 75,3 0 ( + ) 6' 0,6" d) os 0 79,6 m + os os + os,6 + 00,6 00 0,969 ' 5,5" 0 ( + ) 37 5' 55,5" e) + os os ,7 3 37' 9," 30 0 os ,665 30' 33" ( + ) 9 5' 57,6" f) os ,9 3 39' 3," 5 50 os , ' 6,7" ( + ) 5 ' 3,9" 9
30 5 g) 9 9 sen 30 sen 0,596 sen 30 sen 5 7 ' 6," 5 3' 3," L soluión no es válid, pues + > 0. 0 ( + ) 3' 3," 5 5 sen 7,5 m sen 30 sen sen 30 ) 6 6 sen 57 sen 0,690 sen 57 sen 3 5' 35,7" ',3" L soluión no es válid, pues + > 0. 0 ( + ) ',3" sen 9,5 m sen 57 sen sen 57 PR RESOLVER 5 Un esttu de,5 m de lto está olod sore un pedestl. Desde un punto do n vese o pedestl io un ángulo de 5 e esttu, io un ángulo de 0. lul ltur do pedestl. tg 5 y y,5 + tg 55 y y tg 5,5 + tg 55,5 + tg 5 tg 55,5 tg 5 tg 55,5 tg 5 + tg 5 0,5 m (el pedestl) tg 55 tg 5,5 m 0 5 y 30
31 UNIDDE 6 Un vión vo entre dús iddes, e, que distn 0 km. s visuis desde o vión e formn ángulos de 9 e 3 o orizontl, respetivmente. que ltur está o vión? V (vión) 9 0 km 3 tg 9 tg 9 tg tg 3 tg 3 tg 9 0 tg 3 tg 3 0 tg 3 tg 9 tg 9 tg 3 0 tg 3 tg 9 7, km tg 3 + tg 9 7 Determin o ldo do otógono insrito e do otógono irunsrito nun irunfereni de rio 5 m m l 30' 5 sen 30',9 m 5 Ldo del otógono insrito: l 3, m 5 30' y tg 30' y,07 m 5 Ldo del otógono irunsrito: l', m 5 m y l' 3
32 lul os ldos e mis os ángulos do triángulo. 7 m 50 3 m D e D. Pr l- No triángulo retángulo D, indi e D. En D, indi ulr, ses que En D: 3 3 os 50,7 m os 50 D tg 50 D 3 tg 50 3,6 m 3 En D : D 3,6 sen 0, ' 59" 7 7 D os D 7 os 6 m 7 sí, y tenemos: 50 7 m 0 ( + ) 99 3' " 30 56' 59" D + D 9 m,7 m 9 Nun irunfereni de rio 6 m trzmos un ord 3 m do entro. ì Indi o ángulo O. P O triángulo O é isósele. O P 3 m 6 m O OP 3 m O 6 m ì OP 90 ì 3 ì os PO PO 60 6 ì ì O PO
33 UNIDDE 30 Pr lolizr un emisor lndestin, dous reeptores, e, que distn entre eles 0 km, orientn s sús ntens r o punto onde está emisor. Ests direións formn on ángulos de 0 e 65. que distni de e se enontr emisor? E 0 0 km 65 E 0 ( + ) 75 plindo el teorem de los senos: sen 0 sen sen 0 sen 75 sen 75 6,65 km dist de. 0 0 sen 65 sen 75 sen 75 9,3 km dist de. 3 Nun destrmento de fútol olóse o lón nun punto situdo 5 m e m de d un dos postes d porterí, uo no é de 7 m. io que ángulo luls que se ve porterí desde ese punto? (porterí) 7 m 5 m m (lón) plindo el teorem del oseno: + os os ,
34 Páin 3 lul áre e s lonitudes dos ldos e d outr digonl: ì D ì 50. lul os ldos do triángulo D e sú áre. Pr lulr outr digonl, onsider o triángulo D m D Los dos triángulos en que l digonl divide l prlelogrmo son igules. Luego strá resolver uno de ellos pr lulr los ldos: 50 m 0 0 ( + ) 0 sen 50 sen 50 sen 0 sen 0,7 m sen 0 sen 0 sen 0 sen 0 6,6 m sí: D 6,6 m D,7 m Pr lulr el áre del triángulo : sen 50 sen 50 sen 50 6,6 sen 50 Áre 5,5 m El áre del prlelogrmo será: Áre D Áre 5,5 9 m Pr lulr l otr digonl, onsideremos el triángulo D: plindo el teorem del oseno: D 6,6 +,7 6,6,7 os 70 93, D 3,9 m ,6 m 70,7 m D 3
35 UNIDDE 33 Dous ros prten dun porto on rumos distintos que formn un ángulo de 7. O primeiro se ás 0 d mñá un veloidde de 7 nós, e o segundo se ás 30 min, un veloidde de 6 nós. Se o lne dos seus equipos de rdio é de 50 km, poderán poñerse en ontto ás 3 d trde? (Nó mill / or; mill 50 m). P 7 L distni que reorre d uno en ese tiempo es: ro ro P 7 50 m/ m P 6 50 m/ 3, m Neesrimente, > P y > P, luego: > m omo el lne de sus equipos de rdio es m, no podrán ponerse en ontto. (NOT: Puede lulrse on el teorem del oseno 9 3,7 m). 3 Nun retángulo D de ldos m e m, trázse desde un perpendiulr á digonl, e desde D, outr perpendiulr á mesm digonl. Sen M e N os puntos onde ess perpendiulres ortn á digonl. lul lonitude do segmento MN. D N m M m No triángulo, indi. No triángulo M, indi M. Ten en ont que: MN M Los triángulos ND y M son igules, luego N M omo MN N M, entones: MN M Por tnto, st on lulr en el triángulo y M en el triángulo M. 35
36 En : + 0 (por el teorem de Pitágors) lulmos En M : tg,5 56 ' 35," (en ): M os M os (56 ' 35,"), m Por último: MN M,, 5,6 m, m 35 lul ltur d árore QR de pé inesile e máis io ó punto de oservión, os dtos d figur. Q 30 0 R P 50 m P' Llmemos e y ls medids de l ltur de ls dos prtes en que qued dividid l torre según l figur dd; y llmemos z l distni de P l torre. Q y R z 30 0 P 50 m P' tg z tg z tg 30 (z + 50) tg 30 z + 50 z tg (z + 50) tg tg 30 z tg z tg tg 30 z 5,3 m tg tg 30 Sustituyendo en z tg 5,3 tg 60, m y Pr lulr y: tg 0 y z tg 0 5,3 tg 0 9,7 m z Luego: QR + y 79, m mide l ltur de l torre. 36
37 UNIDDE 36 lul ltur de QR, uo pé é inesile e máis lto ó punto onde se enontr o oservdor, os dtos d figur. Q R P 3 P' 50 m Llmemos l distni del punto más lto l líne orizontl del oservdor; y, l distni de l se de l torre l mism líne; y z, l distni R'P, omo se indi en l figur. tg ( + ) tg 0 z tg 0 z tg 3 (z + 50) tg 3 z tg 3 z tg 0 (z + 50) tg 3 z 5, tg 0 tg 3 Sustituyendo en z tg 0 5, tg 0,37 m Pr lulr y: y tg y z tg z Q 5, tg 7, m Por tnto: QR y 7,97 m mide l ltur de l torre. y R R' z P 3 50 m P' UESTIÓNS TEÓRIS 37 Epli se s seguintes igulddes referids o triángulo son verddeirs ou flss: ) ) os sen 3) ) sen 5) tg tg 6) tg 7) sen os 0 ) os 9) 0) sen ) sen tg tg sen os ) os 37
38 ) Verdder, pues sen ) Verdder, pues os os 3) Fls, pues tg tg ) Fls, pues sen sen 5) Verdder, pues tg tg 6) Verdder, pues tg tg 7) Verdder, pues sen os 0 ) Verdder, pues os 9) Fls, pues tg tg sen sen 0) Verdder, pues sen + os omo os sen os sen ) Fls, pues sen os (porque? ) sen / ) Verdder, pues os / 3 Pro que nun triángulo lquer se verifi: R sen sen sen R é o rio d irunfereni irunsrit. Trz o diámetro desde un dos vérties do triángulo. pli o teorem dos senos nos triángulos e '. ' O plimos el teorem de los senos en los triángulos y ': En sen sen sen ' En ' sen ' sen ' 3
39 UNIDDE Suede que: ' (ángulos insritos en un irunfereni que rn el mismo ro) ' R ' 90 (medid de ángulos insritos en un irunfereni) R R L iguldd qued: R sen sen 90 sen Por último, sustituyendo en l primer epresión, se otiene el resultdo: R sen sen sen 39 Pro que só eiste un triángulo on estes dtos: 3 m,,5 m, 60 Eiste lgún triángulo on estes dtos?: 35, 3 m, 3 m + os,5 ( ) + os 60 3, ,75 0 3,5 m 3 ± m 60 3 m L euión de segundo grdo solo tiene un ríz. Solo y un soluión. (NOT: Tmién se pueden estudir ls dos soluiones que slen pr on el teorem del seno y ver que un de ells no es válid, pues quedrí + > 0). Podemos resolverlo on el teorem del oseno, omo ntes, o on el teorem del seno. Resolvemos este prtdo on el segundo método meniondo: 3 3 sen sen sen sen 35 3 sen 35 sen 3 sen Pero: > 0 Imposile! Luego l soluión no es válid y, por tnto, onluimos que no y ningún triángulo on esos dtos. 39
40 Páin 5 PR FONDR 0 Dús vís de tren de, m de no rúznse formndo un romo. Se un ángulo de orte é de 0, nto vlerá o ldo do romo?,, sen 0 l, m l sen 0, m 0 l 0 Pr lulr distni entre dous puntos inesiles e, fimos dous puntos e D tles que D 300 m, e medimos os seguintes ángulos: ì ì D 5 D 0 lul. ì D ì 6 3 D m 6 Si onoiésemos y, podrímos llr. lulemos, pues, y : on el teorem del oseno en En el triángulo D: Por el teorem del seno: 300 sen 69 D 300 sen 65 9, m sen 65 sen m En el triángulo D: D m Por el teorem del seno: 300 sen 6 sen sen 0,0 m sen 6 0
41 UNIDDE Podemos entrrnos y en el triángulo y plir el teorem del oseno: 9, +,0 9,,0 os 3 636,09 56,96 m 9, m 3,0 m Nun írulo de 5 m de rio, lul áre omprendid entre un ord de 0 m de lonitude e o diámetro prlelo el. I 0 m II III 5 m Podemos dividir l zon somred en tres, de form que: I III setores irulres de ángulo desonoido. II triángulo isóseles de ldos igules 5 m y de ldo desigul 0 m. En II: lulemos l ltur desde : , m sí: Áre II se Ò ltur 0,, m lulemos el ángulo (el ángulo desigul) plindo el teorem del oseno: os os , ) 3 37',3" 5 5 En I: onoido podemos lulr fáilmente: 0 ',9" Y, on esto, el áre: Áre I π r π 5 9,6 m Por último, el áre pedid será: T Áre II + Áre I, + 9,6 T 30,0 m
42 3 Dús irunferenis son tnentes eteriormente e os seus rios miden 9 m e m. lul o ángulo,, que formn s tnentes omúns. O' 9 O P Os rios formn os tnentes dous triángulos retángulos. omo OP +, tense: sen y sen + lul e despois OP + sen + O'P sen (7 + ) 9 ( + ) , m Sustituyendo por su vlor: sen + + 6, 0, 0,36 37',5" sí: 5 ' 3" UTOVLIIÓN. Dun triángulo retángulo oñeemos ipotenus m e o teto 7 m. Determin os seus ángulos gudos. m 7 sen 35 ' 7 '' 90 5 ' 53'' 7 m
43 UNIDDE. Epres un ángulo do primeiro udrnte s rzóns trigonométris dos seguintes ángulos: 5, 07, 3, 56 sen 5 sen (0 6) sen 6 os 5 os 6 tg 5 tg 6 sen 07 sen (0 + 7) sen 7 os 07 os 7 tg 07 tg 7 sen 3 sen (360 ) sen os 3 os tg 3 tg sen 56 sen ( ) sen 96 sen (360 6) sen 6 os 56 os 6 tg 56 tg 6 3. Se sen /5 e > 90, lul sen determinr o ángulo : ) os ) tg ) sen (0 + ) d) os (90 + ) e)tg (0 ) f) sen (90 + ) ) os sen os 6 os 9 3 os ± os 5 /5 ) tg 3/5 3 ) sen (0 + ) sen 5 d) os (90 + ) sen e) tg (0 ) tg 3 f) sen (90 + ) os. Se tg 3,5, indi on ud d luldor, epréso omo un ángulo do intervlo [0, 360) e otén o seu seno e o seu oseno. st3.5 ± { \ } Hy dos soluiones: sen 0,96; os 0,7 sen 0,96; os 0,7 5 56' 3'' 05 56' 3''
44 5. lul áre do triángulo. 0 m 3 m 3 m 0 m ltur: sen 0 sen 9,39 m 0 3 9,39 Áre 50, m 6. No lto dun edifiio en onstruión i un guindstre de m. Desde un punto do n vese o punto máis lto do guindstre io un ángulo de 50 on respeto á orizontl e o punto máis lto do edifiio io un ángulo de 0 o orizontl. lul ltur do edifiio. m 0 50 tg 0 + tg 50 tg 50 tg 0,3 m tg 50 tg 0,3 tg 0 9,5 m L ltur del edifiio es 9,5 m. tg0 tg 50 + tg 0 7. Resolve o triángulo nestes sos: ) 9 m, 33 m, ) 5 m, m, 30 ) on el teorem del oseno, llmos : os 60,9 9 m 33 m,7 m Del mismo modo, llmos : ,7 9,7 os os 0,5 97 9' 0 ( + ) 3 5'
45 UNIDDE ) Hllmos on el teorem de los senos: m sen sen sen sen 30 sen m 0,6 Hy dos soluiones: 59' 9'' 37 0' 5'' 07 0' 5'' 59' 9'' sen 30 sen 07 0' 5'',0 m,9 m sen 30 sen 59' 9''. Dous migos están nun pri 50 m de distni e no mesmo plno vertil un ppventos que se enontr vondo entre os dous. Nun momento ddo, un veo un ángulo de elevión de 50 e o outro un ángulo de 3. Que distni i de d un eles o ppventos? 0 (50 + 3) m 3 Hllmos y on el teorem de los senos: sen 50 sen sen 50 sen 9,9 m 50 9, m sen sen sen 3 sen 9 Ls distnis de d uno l omet son,9 m y 9, m, respetivmente. 9. Os ldos dun prlelogrmo miden m e 3 m e formn un ángulo de 5. lul lonitude d digonl mior. 0 5 d lulmos d plindo el teorem del oseno: 5 m d os 057, 3 m d 5,36 m es l medid de l digonl. 5
5.1. Relaciones elementales. Dado el triángulo ABC, que se muestra en la figura
Cpítulo 5 Triángulos Hemos trbjdo on el triángulo retángulo en generl hor estudiremos un triángulo ulquier y sus reliones más importntes. 5.1. Reliones elementles Ddo el triángulo ABC, que se muestr en
EXERCICIOS DE REFORZO: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS
EXERCICIOS DE REFORZO: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS. ) Clul os posiles vlores de,, pr que triz A verifique relión (A I), sendo I triz identidde de orde e triz nul de orde. ) Cl é soluión dun siste hooéneo
EXERCICIOS DE REFORZO: DETERMINANTES., calcula a matriz X que verifica A X = A 1 B, sendo B =
EXERCICIOS DE REORZO: DETERMINANTES Pr A, lul riz X que verifi AX A B, sendo B ) Define enor opleenrio e duno dun eleeno nunh riz drd ) Dd riz A : i Clul o rngo, segundo os vlores de λ, de A λi, sendo
Semellanza e trigonometría
7 Semellnz e trigonometrí Obxectivos Nest quincen prenderás : Recoñecer triángulos semellntes. Clculr distncis inccesibles, plicndo semellnz de triángulos. Nocións básics de trigonometrí. Clculr medid
PÁGINA 106 PÁGINA a) sen 30 = 1/2 b) cos 120 = 1/2. c) tg 135 = 1 d) cos 45 = PÁGINA 109
PÁGINA 0. La altura del árbol es de 8,5 cm.. BC m. CA 70 m. a) x b) y PÁGINA 0. tg a 0, Con calculadora: sß 0,9 t{ ««}. cos a 0, Con calculadora: st,8 { \ \ } PÁGINA 05. cos a 0,78 tg a 0,79. sen a 0,5
EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS. 2. Dada a ecuación lineal 2x 3y + 4z = 2, comproba que as ternas (3, 2, 2
EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS Dds s ecucións seguintes indic s que son lineis: ) + + b) + u c) + d) + Dd ecución linel + comprob que s terns ( ) e ( ) son lgunhs ds sús solucións
TRIGONOMETRIA. hipotenusa L 2. hipotenusa
TRIGONOMETRIA. Calcular las razones trigonométricas de 0º, º y 60º. Para calcular las razones trigonométricas de º, nos ayudamos de un triángulo rectángulo isósceles como el de la figura. cateto opuesto
Introdución ao cálculo vectorial
Intoducón o cálculo ectol 1 Intoducón o cálculo ectol 1. MAGNITUDES ESCALARES E VECTORIAIS. Mgntude físc é todo qulo que se pode med. Mgntudes escles son quels que están detemnds po un lo numéco epesdo
SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 101 a 119
Página 0. a) b) π 4 π x 0 4 π π / 0 π / x 0º 0 x π π. 0 rad 0 π π rad 0 4 π 0 π rad 0 π 0 π / 4. rad 4º 4 π π 0 π / rad 0º π π 0 π / rad 0º π 4. De izquierda a derecha: 4 80 π rad π / rad 0 Página 0. tg
Problemas resueltos del teorema de Bolzano
Problemas resueltos del teorema de Bolzano 1 S e a la fun ción: S e puede af irm a r que f (x) está acotada en el interva lo [1, 4 ]? P or no se r c ont i nua f (x ) e n x = 1, la f unció n no e s c ont
f) cotg 300 ctg 60 2 d) cos 5 cos 6 Al ser un ángulo del primer cuadrante, todas las razones son positivas. Así, tenemos: tg α 3
.9. Calcula el valor de las siguientes razones trigonométricas reduciéndolas al primer cuadrante. a) sen 0 c) tg 0 e) sec 0 b) cos d) cosec f) cotg 00 Solucionario a) sen 0 sen 0 d) cosec sen sen b) cos
EXERCICIOS DE REFORZO: RECTAS E PLANOS
EXERCICIOS DE REFORZO RECTAS E PLANOS Dada a recta r z a) Determna a ecuacón mplícta do plano π que pasa polo punto P(,, ) e é perpendcular a r Calcula o punto de nterseccón de r a π b) Calcula o punto
EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: RECTAS E PLANOS. 3. Cal é o vector de posición da orixe de coordenadas O? Cales son as coordenadas do punto O?
EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: RECTAS E PLANOS Representa en R os puntos S(2, 2, 2) e T(,, ) 2 Debuxa os puntos M (, 0, 0), M 2 (0,, 0) e M (0, 0, ) e logo traza o vector OM sendo M(,, ) Cal é o vector de
Tema 3. Espazos métricos. Topoloxía Xeral,
Tema 3. Espazos métricos Topoloxía Xeral, 2017-18 Índice Métricas en R n Métricas no espazo de funcións Bólas e relacións métricas Definición Unha métrica nun conxunto M é unha aplicación d con valores
MATEMÁTICAS I. Exercicio nº 1.- a) Clasifica os seguintes números segundo sexan naturais, enteiros, racionais ou reais: 3
MATEMÁTICAS I Eercicio nº.- ) Clsific os seguintes números segundo sen nturis, enteiros, rcionis ou reis: 5, 7,5 8 8 7 Indic se s seguintes firmcións son verddeirs ou flss, rzondo respost: Todos os números
ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s
P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t
P r s r r t. tr t. r P
P r s r r t tr t r P r t s rés t t rs s r s r r t é ér s r q s t r r r r t str t q q s r s P rs t s r st r q r P P r s r r t t s rés t t r t s rés t t é ér s r q s t r r r r t r st r q rs s r s r r t str
rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â
rs r r â t át r st tíst P Ó P ã t r r r â ã t r r P Ó P r sã rs r s t à r çã rs r st tíst r q s t r r t çã r r st tíst r t r ú r s r ú r â rs r r â t át r çã rs r st tíst 1 r r 1 ss rt q çã st tr sã
Procedementos operatorios de unións non soldadas
Procedementos operatorios de unións non soldadas Técnicas de montaxe de instalacións Ciclo medio de montaxe e mantemento de instalacións frigoríficas 1 de 28 Técnicas de roscado Unha rosca é unha hélice
Matrices. Chámase matriz de orde m x n a unha disposición en táboa rectangular de m x n números reais dispostos en m filas e n columnas
. Introdución. Mtrices: definición. Tipos de Mtrices. Opercións cos mtrices. Sum de mtrices. Diferenz de mtrices Mtrices. Produto dun número por unh mtriz. Produto de mtrices. Produto de mtrices cdrds.
την..., επειδή... Se usa cuando se cree que el punto de vista del otro es válido, pero no se concuerda completamente
- Concordar En términos generales, coincido con X por Se usa cuando se concuerda con el punto de vista de otro Uno tiende a concordar con X ya Se usa cuando se concuerda con el punto de vista de otro Comprendo
Métodos Matemáticos en Física L4F. CONDICIONES de CONTORNO+Fuerzas Externas (Cap. 3, libro APL)
L4F. CONDICIONES de CONTORNO+Fuerzas Externas (Cap. 3, libro Condiciones de contorno. Fuerzas externas aplicadas sobre una cuerda. condición que nos describe un extremo libre en una cuerda tensa. Ecuación
Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté
Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Alexis Nuttin To cite this version: Alexis Nuttin. Physique des réacteurs
Annulations de la dette extérieure et croissance. Une application au cas des pays pauvres très endettés (PPTE)
Annulations de la dette extérieure et croissance. Une application au cas des pays pauvres très endettés (PPTE) Khadija Idlemouden To cite this version: Khadija Idlemouden. Annulations de la dette extérieure
Couplage dans les applications interactives de grande taille
Couplage dans les applications interactives de grande taille Jean-Denis Lesage To cite this version: Jean-Denis Lesage. Couplage dans les applications interactives de grande taille. Réseaux et télécommunications
Tema: Enerxía 01/02/06 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA
Tema: Enerxía 01/0/06 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Nome: 1. Unha caixa de 150 kg descende dende o repouso por un plano inclinado por acción do seu peso. Se a compoñente tanxencial do peso é de 735
Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis
Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Daniel García-Lorenzo To cite this version: Daniel García-Lorenzo. Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence
Émergence des représentations perceptives de la parole : Des transformations verbales sensorielles à des éléments de modélisation computationnelle
Émergence des représentations perceptives de la parole : Des transformations verbales sensorielles à des éléments de modélisation computationnelle Anahita Basirat To cite this version: Anahita Basirat.
Lógica Proposicional. Justificación de la validez del razonamiento?
Proposicional educción Natural Proposicional - 1 Justificación de la validez del razonamiento? os maneras diferentes de justificar Justificar que la veracidad de las hipótesis implica la veracidad de la
Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation
Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation Florent Jousse To cite this version: Florent Jousse. Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation.
Profr. Efraín Soto Apolinar.
1 Identidades Trigonométrias No te preoupes por tus difiultades en matemátias. todavía mayores. Alert Einstein. Te puedo asegurar que las mías son Funiones trigonométrias Las funiones trigonométrias son
Problemas xeométricos
Problemas xeométricos Contidos 1. Figuras planas Triángulos Paralelogramos Trapecios Trapezoides Polígonos regulares Círculos, sectores e segmentos 2. Corpos xeométricos Prismas Pirámides Troncos de pirámides
r t t r t t à ré ér t é r t st é é t r s s2stè s t rs ts t s
r t r r é té tr q tr t q t t q t r t t rrêté stér ût Prés té r ré ér ès r é r r st P t ré r t érô t 2r ré ré s r t r tr q t s s r t t s t r tr q tr t q t t q t r t t r t t r t t à ré ér t é r t st é é
FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
5 FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS Página PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE. Aunque el método para resolver las siguientes preguntas se sistematiza en la página siguiente, puedes resolverlas ahora:
Jeux d inondation dans les graphes
Jeux d inondation dans les graphes Aurélie Lagoutte To cite this version: Aurélie Lagoutte. Jeux d inondation dans les graphes. 2010. HAL Id: hal-00509488 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00509488
Lógica Proposicional
Proposicional educción Natural Proposicional - 1 Justificación de la validez del razonamiento os maneras diferentes de justificar Justificar que la veracidad de las hipótesis implica la veracidad de la
Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes.
Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes. Diego Torres Machado To cite this version: Diego Torres Machado. Radio
Académico Introducción
- Σε αυτήν την εργασία/διατριβή θα αναλύσω/εξετάσω/διερευνήσω/αξιολογήσω... general para un ensayo/tesis Για να απαντήσουμε αυτή την ερώτηση, θα επικεντρωθούμε πρώτα... Para introducir un área específica
P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ
P P Ó P r r t r r r s 1 r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s Pr s t P r s rr r t r s s s é 3 ñ í sé 3 ñ 3 é1 r P P Ó P str r r r t é t r r r s 1 t r P r s rr 1 1 s t r r ó s r s st rr t s r t s rr s r q s
Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage
Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage José Marconi Rodrigues To cite this version: José Marconi Rodrigues. Transfert sécurisé d Images par combinaison
NÚMEROS COMPLEXOS. Páxina 147 REFLEXIONA E RESOLVE. Extraer fóra da raíz. Potencias de. Como se manexa k 1? Saca fóra da raíz:
NÚMEROS COMPLEXOS Páxina 7 REFLEXIONA E RESOLVE Extraer fóra da raíz Saca fóra da raíz: a) b) 00 a) b) 00 0 Potencias de Calcula as sucesivas potencias de : a) ( ) ( ) ( ) b) ( ) c) ( ) 5 a) ( ) ( ) (
Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications
Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications Robin Genuer To cite this version: Robin Genuer. Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications.
Filipenses 2:5-11. Filipenses
Filipenses 2:5-11 Filipenses La ciudad de Filipos fue nombrada en honor de Felipe II de Macedonia, padre de Alejandro. Con una pequeña colonia judía aparentemente no tenía una sinagoga. El apóstol fundó
MATRICES. 1º- Dadas as matrices: Calcula: 2º- Sexan as matrices: . Existe unha matriz A que verifique. 3º- Atopa unha matriz X tal que C.
Eriios d ris rlos dl Río Váqu Rfl Vidl Mijón MTRIES º- Dds s ris: 8 9, lul:,,,,, º- Sn s ris: Eis unh ri qu vrifiqu? º- op unh ri X l qu X, sndo: ) ) º- Rsolv o sis riil: Y X Y X sndo: º- opro o vlor dos
Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1
Sarò signor io sol Canzon, ottava stanza Domenico Micheli Soprano Soprano 2 Alto Alto 2 Α Α Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io sol Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io µ Tenor Α Tenor 2 Α Sa rò
ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient)
ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient) Samuel Galice, Veronique Legrand, Frédéric Le Mouël, Marine Minier, Stéphane Ubéda, Michel Morvan, Sylvain Sené, Laurent Guihéry, Agnès Rabagny,
Eletromagnetismo. Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística. ...:: Solução ::...
Eletromagnetismo Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística Lista -.1 - Mostrar que a seguinte medida é invariante d 3 p p 0 onde: p 0 p + m (1)
Semellanza e trigonometría
7 Semellanza e trigonometría Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Recoñecer triángulos semellantes. Calcular distancias inaccesibles, aplicando a semellanza de triángulos. Nocións básicas de trigonometría.
Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada ( )
Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada (1969-2008) Julien Boelaert, François Gardes To cite this version: Julien Boelaert, François Gardes. Consommation marchande et contraintes
Tema 1. Espazos topolóxicos. Topoloxía Xeral, 2016
Tema 1. Espazos topolóxicos Topoloxía Xeral, 2016 Topoloxía e Espazo topolóxico Índice Topoloxía e Espazo topolóxico Exemplos de topoloxías Conxuntos pechados Topoloxías definidas por conxuntos pechados:
VII. RECTAS E PLANOS NO ESPAZO
VII. RETS E PLNOS NO ESPZO.- Ecuacións da recta Unha recta r no espao queda determinada por un punto, punto base, e un vector v non nulo que se chama vector director ou direccional da recta; r, v é a determinación
TEMA 6.- BIOMOLÉCULAS ORGÁNICAS IV: ÁCIDOS NUCLEICOS
TEMA 6.- BIMLÉCULAS RGÁNICAS IV: ÁCIDS NUCLEICS A.- Características generales de los Ácidos Nucleicos B.- Nucleótidos y derivados nucleotídicos El esqueleto covalente de los ácidos nucleicos: el enlace
PAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II
PAU XUÑO 010 MATEMÁTICAS II Código: 6 (O alumno/a deber responder só aos eercicios dunha das opcións. Punuación máima dos eercicios de cada opción: eercicio 1= 3 punos, eercicio = 3 punos, eercicio 3 =
Ventiladores helicoidales murales o tubulares, versión PL equipados con hélice de plástico y versión AL equipados con hélice de aluminio.
HCH HCT HCH HCT Ventiladores helicoidales murales o tubulares, de gran robustez Ventiladores helicoidales murales o tubulares, versión PL equipados con hélice de plástico y versión AL equipados con hélice
ο ο 3 α. 3"* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο
18 ρ * -sf. NO 1 D... 1: - ( ΰ ΐ - ι- *- 2 - UN _ ί=. r t ' \0 y «. _,2. "* co Ι». =; F S " 5 D 0 g H ', ( co* 5. «ΰ ' δ". o θ * * "ΰ 2 Ι o * "- 1 W co o -o1= to»g ι. *ΰ * Ε fc ΰ Ι.. L j to. Ι Q_ " 'T
Caderno de traballo. Proxecto EDA 2009 Descartes na aula. Departamento de Matemáticas CPI A Xunqueira Fene
Departamento de Matemáticas CPI A Xunqueira Fene Nome: 4º ESO Nº Páx. 1 de 36 FIGURAS SEMELLANTES 1. CONCEPTO DE SEMELLANZA Intuitivamente: Dúas figuras son SEMELLANTES se teñen a mesma forma pero distinto
PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II
PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II Código: 26 (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2= 3 puntos, exercicio
Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale
POLITECNICO DI TORINO Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale Relatore Ing. Stefania Scarsoglio Studente Marco Enea Anno accademico 2015 2016
TEMA 1: FUNCIÓNS. LÍMITES E CONTINUIDADE
TEMA 1: FUNCIÓNS. LÍMITES E CONTINUIDADE Conceptos preliminres Unh función é unh relción entre dús mgnitudes, de tl mneir que cd vlor d primeir lle sign un único vlor d segund. Se A e B son dous conuntos,
ln x, d) y = (3x 5 5x 2 + 7) 8 x
EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: CÁLCULO DIFERENCIAL. Deriva: a) y 7 6 + 5, b) y e, c) y e) y 7 ( 5 ), f) y ln, d) y ( 5 5 + 7) 8 n e ln, g) y, h) y n. Usando a derivada da función inversa, demostra que: a)
Z L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / / + 3 / / / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " #
Z L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / 0 1 2 / + 3 / / 1 2 3 / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " # $ % $ ' $ % ) * % @ + * 1 A B C D E D F 9 O O D H
TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO
TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO 1. CORPOS XEOMÉTRICOS No noso entorno observamos continuamente obxectos de diversas formas: pelotas, botes, caixas, pirámides, etc. Todos estes obxectos son corpos xeométricos.
Determinantes. 1. Introdución. 2. Determinantes de orde dúas. 1. Introdución 2. Determinantes de orde dúas. 3.3 Determinantes de orde tres
Determnntes. Introducón. Determnntes de orde dús. Determnntes de orde tres. Menor complementro dun elemento. dxunto dun elemento. Determnntes de orde tres. Propeddes dos determnntes de orde tres. Rngo
Trigonometría. Obxectivos. Antes de empezar.
7 Trigonometría Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Calcular as razóns trigonométricas dun ángulo. Calcular todas as razóns trigonométricas dun ángulo a partir dunha delas. Resolver triángulos rectángulos
A circunferencia e o círculo
10 A circunferencia e o círculo Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Identificar os diferentes elementos presentes na circunferencia e o círculo. Coñecer as posicións relativas de puntos, rectas e circunferencias.
Vers un assistant à la preuve en langue naturelle
Vers un assistant à la preuve en langue naturelle Thévenon Patrick To cite this version: Thévenon Patrick. Vers un assistant à la preuve en langue naturelle. Autre [cs.oh]. Université de Savoie, 2006.
Ευρύτερη περιοχή χαράδρας ποταμού Αράχθου
Ruta por Epiro: Ioannina y sus alrededores Día 1 Kostitsi La población de Kostitsi se ubica en la región Epiro de Grecia. Ευρύτερη περιοχή χαράδρας ποταμού Αράχθου Ευρύτερη περιοχή χαράδρας ποταμού Αράχθου
Números reais. Obxectivos. Antes de empezar. 1. Os números reais... páx. 4 Números irracionais. Números reais
Números reis Oectivos Nest quincen prenderás : Clsificr os números reis en rcionis e irrcionis. Aproimr números reis por truncmento e redondeo. Representr grficmente números reis. Comprr números reis.
www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont
w. ww lua so ab me lar m.co t me la sit po dis ion du c, bli pu via lar ca do w. ww me.co m, de la ion nta t do cu me on t ed hn iqu tec les en ce s, rι fιr ma rq ue se t lo go s, so nt la pr op riι tι
A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N
I N F O T E K N I K V o l u m e 1 5 N o. 1 J u l i 2 0 1 4 ( 61-70) A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N N o v i
A proba constará de vinte cuestións tipo test. As cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta.
Páxina 1 de 9 1. Formato da proba Formato proba constará de vinte cuestións tipo test. s cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta. Puntuación Puntuación: 0.5
Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes
Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes Jérôme Baril To cite this version: Jérôme Baril. Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu
ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t
ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t FichaCatalografica :: Fichacatalografica https://www3.dti.ufv.br/bbt/ficha/cadastrarficha/visua... Ficha catalográfica preparada
LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS
LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS Páxina REFLEXIONA E RESOLVE Cónicas abertas: parábolas e hipérboles Completa a seguinte táboa, na que a é o ángulo que forman as xeratrices co eixe, e, da cónica e b o ángulo
M14/1/AYMGR/HP1/GRE/TZ0/XX
M14/1/AYMGR/HP1/GRE/TZ0/XX 22142045 MODERN GREEK A: LANGUAGE AND LITERATURE HIGHER LEVEL PAPER 1 GREC MODERNE A : LANGUE ET LITTÉRATURE NIVEAU SUPÉRIEUR ÉPREUVE 1 GRIEGO MODERNO A: LENGUA Y LITERATURA
XEOMETRÍA NO ESPAZO. - Se dun vector se coñecen a orixe, o módulo, a dirección e o sentido, este está perfectamente determinado no espazo.
XEOMETRÍA NO ESPAZO Vectores fixos Dos puntos do espazo, A e B, determinan o vector fixo AB, sendo o punto A a orixe e o punto B o extremo, é dicir, un vector no espazo é calquera segmento orientado que
1 La teoría de Jeans. t + (n v) = 0 (1) b) Navier-Stokes (conservación del impulso) c) Poisson
1 La teoría de Jeans El caso ás siple de evolución de fluctuaciones es el de un fluído no relativista. las ecuaciones básicas son: a conservación del núero de partículas n t + (n v = 0 (1 b Navier-Stokes
! " # $ % & $ % & $ & # " ' $ ( $ ) * ) * +, -. / # $ $ ( $ " $ $ $ % $ $ ' ƒ " " ' %. " 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; ; < = : ; > : 0? @ 8? 4 A 1 4 B 3 C 8? D C B? E F 4 5 8 3 G @ H I@ A 1 4 D G 8 5 1 @ J C
) * +, -. + / - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 : ; < 8 = 8 9 >? @ A 4 5 6 7 8 9 6 ; = B? @ : C B B D 9 E : F 9 C 6 < G 8 B A F A > < C 6 < B H 8 9 I 8 9 E ) * +, -. + / J - 0 1 2 3 J K 3 L M N L O / 1 L 3 O 2,
Escenas de episodios anteriores
Clase 09/10/2013 Tomado y editado de los apuntes de Pedro Sánchez Terraf Escenas de episodios anteriores objetivo: estudiar formalmente el concepto de demostración matemática. caso de estudio: lenguaje
ACTIVIDADES INICIALES
Solucionario Trigonometría ACTIVIDADES INICIALES.I. En una recta r hay tres puntos: A, B y C, que distan, sucesivamente, y cm. Por esos puntos se trazan rectas paralelas que cortan otra, s, en M, N y P.
Hygromécanique des panneaux en bois et conservation du patrimoine culturel. Des pathologies... aux outils pour la conservation
Hygromécanique des panneaux en bois et conservation du patrimoine culturel. Des pathologies... aux outils pour la conservation Bertrand Marcon To cite this version: Bertrand Marcon. Hygromécanique des
Solving an Air Conditioning System Problem in an Embodiment Design Context Using Constraint Satisfaction Techniques
Solving an Air Conditioning System Problem in an Embodiment Design Context Using Constraint Satisfaction Techniques Raphael Chenouard, Patrick Sébastian, Laurent Granvilliers To cite this version: Raphael
E fficient computational tools for the statistical analysis of shape and asymmetryof 3D point sets
E fficient computational tools for the statistical analysis of shape and asymmetryof 3D point sets Benoît Combès To cite this version: Benoît Combès. E fficient computational tools for the statistical
Langages dédiés au développement de services de communications
Langages dédiés au développement de services de communications Nicolas Palix To cite this version: Nicolas Palix. Langages dédiés au développement de services de communications. Réseaux et télécommunications
Contribution à l évolution des méthodologies de caractérisation et d amélioration des voies ferrées
Contribution à l évolution des méthodologies de caractérisation et d amélioration des voies ferrées Noureddine Rhayma To cite this version: Noureddine Rhayma. Contribution à l évolution des méthodologies
P P Ô. ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t
P P Ô P ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t FELIPE ANDRADE APOLÔNIO UM MODELO PARA DEFEITOS ESTRUTURAIS EM NANOMAGNETOS Dissertação apresentada à Universidade Federal
I.E.S. CADERNO Nº 6 NOME: DATA: / / Semellanza
Semellanza Contidos 1. Semellanza Figuras semellantes Teorema de Tales Triángulos semellantes 2. Triángulos rectángulos. Teoremas Teorema do cateto Teorema da altura Teorema de Pitágoras xeneralizado 3.
La experiencia de la Mesa contra el Racismo
La experiencia de la Mesa contra el Racismo Informe Di icultad para identi icarse como discriminado Subsistencia de mecanismos individuales para enfrentar el racismo Las propuestas de las organizaciones
INICIACIÓN AO CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIÓNS
INICIACIÓN AO CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIÓNS Páina 0 REFLEXIONA E RESOLVE Coller un autobús en marca Na gráfica seguinte, a liña vermella representa o movemento dun autobús que arranca da parada e vai,
Inmigración Estudiar. Estudiar - Universidad. Indicar que quieres matricularte. Indicar que quieres matricularte en una asignatura.
- Universidad Me gustaría matricularme en la universidad. Indicar que quieres matricularte Me quiero matricular. Indicar que quieres matricularte en una asignatura en un grado en un posgrado en un doctorado
Tipologie installative - Installation types Type d installation - Installationstypen Tipos de instalación - Τυπολογίες εγκατάστασης
AMPADE MOOCROMATICHE VIMAR DIMMERABII A 0 V~ - VIMAR 0 V~ DIMMABE MOOCHROME AMP AMPE MOOCHROME VIMAR VARIATEUR 0 V~ - DIMMERFÄHIGE MOOCHROMATICHE AMPE VO VIMAR MIT 0 V~ ÁMPARA MOOCROMÁTICA VIMAR REGUABE
Tema 1 : TENSIONES. Problemas resueltos F 1 S. n S. O τ F 4 F 2. Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana E.P.S.-Zamora (U.SAL.
Tea : TENSIONES S S u n S 4 O Probleas resuelos Prof: Jae Sano Dongo Sanllana EPS-Zaora (USL) - 8 -Las coponenes del esado de ensones en un puno son: N/ -5 N/ 8 N/ 4 N/ - N/ N/ Se pde deernar: ) Las ensones
IX. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións ao cálculo de distancias, áreas e volumes
IX. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións ao cálculo de distancias, áreas e volumes 1.- Distancia entre dous puntos Se A e B son dous puntos do espazo, defínese a distancia entre A e B como o módulo
EXERCICIOS DE ÁLXEBRA. PAU GALICIA
Maemáicas II EXERCICIOS DE ÁLXEBRA PAU GALICIA a) (Xuño ) Propiedades do produo de marices (só enuncialas) b) (Xuño ) Sexan M e N M + I, onde I denoa a mariz idenidade de orde n, calcule N e M 3 Son M
Profiterole : un protocole de partage équitable de la bande passante dans les réseaux ad hoc
Profiterole : un protocole de partage équitable de la bande passante dans les réseaux ad hoc Rémi Vannier To cite this version: Rémi Vannier. Profiterole : un protocole de partage équitable de la bande
def def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a
Cetrul de reutte rl-mhl Zhr CENTE E GEUTTE Î prtă este evoe să se luleze r plălor ple de ee vom det plăle ple u mulńm Ştm ă ms este o măsură ttăń de mtere dtr-u orp e ms repreztă o uńe m re soză eăre plă
Experimentación con Descartes na Aula
Experimentción con Descrtes n Aul 008 Anxo Leir Ambrós I.E.S. Cnido ( Ferrol- L Coruñ º ESO-Opción B Dtos d experimentción Profesor: Angel Leir Ámbrós Angelleirmbro@edu.xunt.es Centro: Grupo: I.E.S. Cnido
Áreas de corpos xeométricos
9 Áreas de corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Antes de empezar 1.Área dos prismas....... páx.164 Área dos prismas Calcular a área de prismas rectos de calquera número de caras.
Για να ρωτήσετε αν κάποιος μπορεί να σας βοηθήσει να γεμίσετε μια φόρμα
- Γενικά Dónde tengo que pedir el formulario/impreso para? Για να ρωτήσετε που μπορείτε να βρείτε μια φόρμα Dónde tengo que pedir el formulario/impreso para? Cuál es la fecha de expedición de su (documento)?