Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 Predavanje 9 1 DINAMIKA

Transcript

1 Mašsk fakle, eogad - Mehaka Pedavaje 9 DINAMIKA Damka je deo eojske mehake koj počava mehačka keaja ejalh ojekaa sposavljajć vez zmeđ keaja zoka koj zazvaj o keaje. Najjedosavj model ealog ela jese ejala ačka. Maejalo elo čje se dmezje p počavaj keaja mog zae, odoso geomejska ačka kojoj se ppsje celokpa sa ela koje zaspa, azva se ejala ačka. Međm, ejalom ačkom se e saj vek ela lh dmezja. Maejalom ačkom mog se sa ela pozvolje velče, pod sledećm slov: ako se keć aslaoo, ako se keć aslaoo, a sovemeo se oć, ako da se oo keaje može zae odos a aslaoo, ako posedj dmezje koje s le odos a asojaja od dgh ela sa koj sadejsvj ako posedj dmezje koje s le odos a dmezje dgh ela sa koj sadejsvj. Maejala ačka koja može da zazme lo koj položaj poso može da lo koj z azva se slooda ejala ačka. Deo damke koj se av počavajem keaja ejale ačke azva se damka ejale ačke. Maejal ssem je skp pozvoljog oja ejalh ačaka kome posoj zaja zavsos zmeđ položaja keaja lo koje ačke svh osalh ačaka koje če ssem. Ssem ejalh ačaka može ezmeljv zmeljv. Nezmeljv ssem ejalh ačaka je oaj kod koga se pod dejsvom sla e mejaj asojaja zmeđ lo koje dve ejale ačke, koje če ssem. Izmeljv ssem ejalh ačaka je oaj kod koga je mogće međsoo keaje ačaka sse jedh odos a dge. Posoj podela sse ejalh ačaka a dskee epekde. Za ejal ssem se kaže da je dskea ako s asojaja zmeđ svh jegovh ačaka koača. Maejalo elo je epekda seda koačh dmezja. Maejalo elo kod koga se asojaje zmeđ lo koje dve jegove ačke e meja ok vemea (e defomše se p dejsv dgh ela, azva se ko elo. Deo damke koj se av počavajem keaja meejalog sse kog ela česo se zčava kao zasea deo mehake azva se damka ejalog sse kog ela. sov zako damke Pv Njov zako (Zako ecje) glas: Izolovaa ejala ačka alaz se saj movaja l jedolkog pavoljskog keaja. Za ejal ačk se kaže da je zolovaa ako je slooda ako a j e delj dg mehačk ojek l je dejsvo h ojekaa a ejal ačk ekvvaleo l. Tedecja akve ačke je da zadž saje kome se alaz. va osoa ačke azva se eos, a pv Njov zako zako ecje. Za jedolko pavoljsko keaje ačke kaže se da je o keaje po ecj. Tea apome da je slčaj keaja ačke po ecj, jeo zaje jedako l.

2 Mašsk fakle, eogad - Mehaka Pedavaje 9 Kooda ssem kome važ pv Njov zako (Zako ecje) azva se ecjal kooda ssem. Ako je kooda ssem asolo epokea l se keće aslaoo, jedolko pavoljsk o je akođe ecjal. Plžo akav je heloceč kooda ssem čj je cea Sc, a ose pavc epokeh zvezda. Kooda ssem koj mj, l se keć aslaoo, jedolko pavoljsk odos a ecjal kooda ssem, akođe s ecjal. Tako se kooda ssem veza za Zemlj može sa ecjalm ako se zae devo oaje godšje kvoljsko keaje sedša Zemlje oko Sca. U eecjalm koodam ssem e važe Njov zako mehake. Koseć defcj ecjalh koodah sse, pv Njov zako može se fomlsa a sledeć ač: Izolovaa ejala ačka keće se ecjalm koodam ssem jedolko pavoljsk. Takođe, važ oo vđeje: Maejala ačka koja se ecjalm koodam ssem keće jedolko pavoljsk je zolovaa. Dg Njov zako (sov zako damke) Neka se posa ejala ačka M a koj delje sla F koja se odos a ecjal Dekaov kooda ssem xyz keće zajem a. Tada se dg Njov zako l osov zako damke može zaz kao = F, p čem pozva koefcje popocoalos m govo o ejalm svojsv ačke azva se sa ejale ačke. Dakle, dg Njov zako može se skaza olk: Uzaje ejale ačke popocoalo je sl koja delje a ačk pavac sme e sle. Kada je paj sla kojom Zemlja pvlač ejala ela koja se alaze a jeoj povš, eč je o ež ejalh ela. Ekspemealo je vđeo da sva ela padaj a Zemlj, sa vse koja je la odos a polpečk Zemlje, pod dejsvom eže sm zajem koje se azva zaje Zemlje eže oeležava se sa g. Uzaje Zemlje eže zavs od admoske vse geogafske še, a ašm slov može se ze da je g = 9,8 m / s. Teć Njov zako (Zako o dejsv povdejsv) glas: Sle koj dve ačke delj jeda a dg j s apad lj, jedakog s ezea, a spoh smeova. Čev Njov zako (Zako ezavsog dejsva sla) glas: Ako a ejal ačk sovemeo delje vše sla, ada zaje saopšeo od svake sle poseo e zavs od osalh sla koje delj a ejal ačk. Polazeć od II IV Njovog zakoa može se pokaza da je sla vekoska velča. Neka a ejal ačk se m delje ssem od sla ( F,F,...,F,...,F ). Svaka sla saopšava oj ačk odeđeo zaje a oo e zavs od osalh sla koje delj a

3 Mašsk fakle, eogad - Mehaka Pedavaje 9 3 posa ačk, a saglaso IV Njovom zako. Tada, a osov II Njovog zakoa, za - sl važ F =. Saajem svh jedakos doja se F = m a, = F, gde je a = a - zaje ejale ačke (z keke je pozao da se zaje ačke doja kao vekosk z jeh kompoealh zaja). Dfeecjale jedače keaja osov zadac damke sloode ačke Dfeecjale jedače keaja sloode ačke Posa se slooda ačka M, se m, čj je položaj odeđe vekoom položaja odos a ecjal Dekaov kooda ssem xyz. Neka je sa F ozačea ezlaa svh sla koje delj a posa ačk. Dfeecjala jedača keaja posae ačke, a osov osovog zakoa damke, olk m & = F, gde je & = a - zaje ačke M. U opšem slčaj kada sla koja delje a ačk sovemeo zavs od vemea, jeog položaja poso jee ze, dfeecjala jedača keaja sloode ačke olk m & = f (,,V ). Dfeecjale jedače keaja ačke Dekaovm koodaa Ako je za azaje pole zaa Dekaov pavogl kooda ssem xyz dojaj se skalae dfeecjale jedače keaja ačke M olk mx && = X (, x, y, z, x&, y&, z& my && = Y (, x, y, z, x&, y&, z& mz && = Z(, x, y, z, x&, y&, z& gde s: x, y, z koodae posae ačke; x &, y, & z&, - pojekcje za ačke; & x, && y, & z, - pojekcje zaja ačke, a X, Y Z s pojekcje ezljće sle F a ose zaaog koodaog sse. ve jedače azvaj se dfeecjale jedače keaja ačke Dekaovm koodaa. Dfeecjale jedače keaja ačke av, Dekaovm koodaa s mx && = X (,x,y, 0,x,y, & & 0 ) = X (,x,y,x,y & & my && = Y(,x,y, 0,x,y, & & 0 ) = Y(,x,y,x,y & & ). Dfeecjala jedača pavoljskog keaja ačke je m & x = X (, x, 0, 0,x, & 0, 0 ) = X (,x,x & ). Dfeecjale jedače keaja ačke polao cldaskm polam koodaa = m( && & ϕ ) = F (,, ϕ,z,, & & ϕ,z& p = m( && ϕ + & & ϕ ) = F (,, ϕ,z,, & & ϕ,z& F (,,,z,, & & z = mz && = z ϕ ϕ,z& ). ve jedače pedsavljaj dfeecjale jedače keaja ačke polao cldaskm koodaa. P ome s sa F, F ozačee pojekcje ezlae, F p svh sla koje delj a ačk, a ose posaog koodaog sse. z p

4 Mašsk fakle, eogad - Mehaka Pedavaje 9 4 Dfeecjale jedače keaja ačke polam koodaa glase m( & & ϕ ) = F (,, ϕ,, & & ϕ m( & ϕ + & & ϕ ) = Fp(,, ϕ,, & & ϕ ). jleove (pode) dfeecjale jedače keaja ačke Ako se za azaje pole keaja ačke zaee pod jeda, pojekovajem leve dese sae jedače osove jedače damke a age, ol ol os, koje s odeđee jedč m veko,, espekvo, dojaj se jleove (pode) dfeecjale jedače keaja ačke = ms && = F, = ms && = F ( s,s, & & s = m R k = 0 = F = F., s& = m R k = F ( s,s, & 0 F ( s,s, & ). P ome je sa s ozačea lča koodaa, F, F F s pojekcje ezlae svh sla koje delj a ačk a ose podog jeda, a R k je polpečk kve ajekoje ačke, daoj ačk. sov zadac damke ačke Damčk polem keaja ačke mog se gloalo podel dva osova zadaka. a) Pv (dek) zadaak damke ačke glas: ded sl koja delje a ačk ako je pozao jeo keaje jea sa. Neka je k eaje ačke zadao vekoskom olk = f ( ). Pv zadaak damke ačke svod se a odeđvaje dgog zvoda po veme pozae vekoske fkcje vemea, j. & & = f ( ) = a. Tada, s ozom da je sa a čke pozaa, sled da je sla koja delje a ačk odeđea sa F m & =, čme je eše pv zadaak damke ačke. ) Dg (dek) zadaak damke ačke glas: ded keaje ačke ako je pozaa sa ačke, je poče položaj počea za kao sla koja delje a ačk. Dg zadaak damke ačke svod se a egacj dfeecjalh jedača keaja ačke. Polaz se od vekoske dfeecjale jedače keaja ačke. Iegacjom ove jedače doja se jeo opše ešeje kojm se veko položaja ačke zažava kao fkcja vemea dve egacoe kosae, C C, j. = f (,C,C ). Kosae C C kazj a o da je pod dejsvom dah sla paja ačke jeda od kvh z famlje kvh. Za odeđvaje egacoh kosa C C kose se podac o položaj ačke jeoj z ek kada počje da se posa jeo keaje. v podac azvaj se poče slov keaja ačke, j. ov slov odeđe s počem ekom 0, počem položajem ačke = 0 ( 0 ) jeo m počeom zom = V( ) = ( & ). U clj odeđvaja egacoh kosa, poed V0 0 0

5 Mašsk fakle, eogad - Mehaka Pedavaje 9 5 počeh slova keaja ačke = 0, ( 0 ) = 0, V( 0 ) = V0, opšeg ešeja, poea je pv zvod po veme og opšeg ešeja, j. & & = f (,C,C ). Na aj ač, mog oded dve vek oske egacoe kos ae, j. C = g ( 0, 0,V 0 ), & ( =, ), gde je f ( 0,0,V0 ) 0 f ( 0,0,V0 ) V0. Koseć ovako odeđee egacoe kosae, opšem ešej, doja se vekoska jedača keaja ačke olk = f(,0,0,v0 ). Na ovaj ač eše je dg zadaak damke ačke vekoskom olk. Pavoljsko keaje ačke Tačka će se kea pavoljsk ako s spje odeđe slov. Poe dovolj slov da se ačka keala pavoljsk jes da sla koja delje a ačk kosaa pavac da je počea za ačke jedaka l l pavac e sle. Kvoljsko keaje ačke Keaje ačke poso, opšem slčaj, je kvoljsko. Kvoljsko keaje ačke odvjaće se av samo ako s spje pose slov. Poe dovolj slov da ačka keala kvoljsk av jes da apada lja ezlae svh sla koje delj a ačk sve veme ppada av keaja ačke da počea za ačke de jedaka l, l da ppada av keaja ačke. Ceala sla Pod cealom slom podazmeva se oa sla koja delje a ačk ako da jea apada lja salo polaz koz jed epoke ačk posoa. Ta epokea ačka azva se cea sle. Ceala sla može odoja pvlača, Usvajajć cea sle za počeak polaog koodaog sse, ceala sla F, koja delje a ačk M, se m, može se zaz a sledeć ač F = F 0, F = F. Ceala sla F je odoja ako s sme kao veko položaja ačke ada je F > 0. Ceala sla F je pvlača ako spoa sme od smea vekoa položaja ačke ada je F < 0. Poseo s eesae oe ceale sle čje pojekcje F zavse samo od položaja ačke a posea ač, odoso od asojaja = M ačke od cea, j, F = F ( ). Veze M aejal ssem (ačka, elo) može slooda eslooda. Slooda ejal ssem je oaj koj može da zazme pozvolja položaj poso da pozvolj z, ezavso od sla koje delj a jega. Neslooda ejal ssem je oaj čje je keaje ogačeo posojajem slova koj se azvaj veze. Izmeđ ačke (ela) veze koja delje a j dolaz do međsoog dejsva. Mehačka mea og dejsva je sla, a sla kojom ačka (elo) delje a vez azva se psak a vez. Sla kojom veza delje a ačk (elo) azva se eakcja veze. Neslooda ačka (elo) zložea je p svom keaj dejsv akvh sla eakcja

6 6 veza. Pdodajć eakcje veza akvm sla, osov zako damke esloode ačke zadžava s olk kao slčaj sloode ačke. Iz oga pozlaz da se p aalz keaja esloode ačke može kos pcp osloađaja od veza fomlsa olk: Keaje esloode ačke može se posa kao keaje sloode ačke ako se veze kloe a dejsvo veza a ačk zame eakcja veza. Veze s slov koj ogačavaj pomeaje ačaka, odoso ela ejalog sse. Posoj vše podela veza. Po jedoj od jh veze se dele a - geomejske (koače, holoome - kečke (dfeecjale, eholoome). Veze s geomejske ako ogačavaj samo koodae esloodog sse. Veze s kečke ako osm koodaa ogačavaj kečke kaakeske sse. U opšem slčaj, ovakve veze odos a Dekaov kooda ssem xyz mog se zaz olk f ( x,y,z,x,y,z & & & ) = 0. Pehoda elacja, opšem slčaj, je egala zog čega se ove veze azvaj eegale l eholoome. Veze se mog podel a: - sacoae (skleoome - esacoae (eoome). Veza je sacoaa ako je epomeljva ok vemea, j. ako aalčk olk e veze e zavs eksplco od vemea. Ako aalčk zaz za veze zavse eksplco od vemea, akve veze azvaj se esacoae. Nesacoae holoome veze mog se zaz, odos a Dekaov kooda ssem xyz, olk f ( x,y,z, ) = 0. Veze se još mog podel a: - zadžavajće (dvosae, laeale - ezadžavajće (jedosae, laeale). Zadžavajće veze s oe veze koje pmoavaj ačk (elo) da se sve veme keaja alaz a ekoj povš l lj. vakve veze zažavaj se jedakos. Nezadžavajće veze s oe veze koje ačka (elo) može da aps ok keaja da asav da se keće sloodo ogačeom del posoa. vakve veze zažavaj se ejedakos. Veze se mog podel a još jeda ač, j. a deale (glake eale (hapave). Veza je deala ako je jea eakcja pava a pavac eskoačo log, vezom dopšeog pomeaja posaom ek. Veza je eala ako jea eakcja veze R osm kompoee N pavc ole kompoe F T pavc jedčog vekoa agee a paj, j. R = N + FT. P ome je N N =, gde je N pojekcja ole kompoee eakcje veze a ol os, a FT - sla eja. Ak o se za sve veme keaja ačke (ela) po vez, ekcja veze jedaka l ( R = 0) kaže se da s akve veze eakve, vjale. P keaj ačke (ela) po vez podazmeva se da poče geomejsk kečk slov keaja e mog zaa pozvoljo, već moaj saglas sa jedača veza. Ako je ejal ssem zlože dejsv p- eholoomh q- holoomh veza, keaje ejalog sse je mogće ako je 3>p+q. Tada je položaj ejalog sse odeđe sa s koodaa, j. s = 3-p-q odoso, ejal ssem s sepe sloode keaja.

7 7 Podela sla koje delj a ejal ssem Posoj vše podela sla mehac. Kada s paj sle koje delj a ejal ssem podela se može zvš a vše ača: - spoljašje ašje. Spoljašje sle s oe koj ejale ačke l ela koja e laze sasav ejalog sse delj a ejale ačke l ela koja s sasav ejalog sse. Uašje sle s sle zajamog dejsva zmeđ pojedh ejalh ačaka l ela koja s sasav ejalog sse. Uašje sle ejalog sse j dve osoe: ) glav veko svh ašjh sla ejalog sse jedak je l, = F = 0. R F = ) glav mome svh ašjh sla ejalog sse, odos a pozvoljo zaa pol jedak je l M = M ( F ) = F = 0. Dokaz: Neka s ačke A pozvolje ačke ejalog sse. Po III Njovom zako je F A = F A, pa odale sled da je F R = F = 0, kao = M ( FA ) + M ( FA ) = A FA + FA = = A FA FA = ( A ) FA, A = + A, A A =, M ( F ) + M ( F = A F = 0. Još jeda od mogćos podele sla koje delj a ejal ssem je a: akve pasve. Akve sle s oe koje mog zvš pomeaja, pome položaja ačaka l ela ejalog sse. Pasve sle (eakcje veza) e mog zvš pome položaja ačaka l ela ejalog sse pojavljj se kao posledca dejsva akvh sla, odoso zavse od jh. Maejal ssem je slooda ako je zlože dejsv samo ašjh veza. Maejal ssem je eslooda ako a jega delj spoljašje ašje veze. A = A ) o A =