Difuzija supstance u vazduhu analitičko i numeričko rešavanje

Transcript

1 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA FIZIKU Dfuzja supsace u vazduhu aalčko umerčko rešavaje - dplomsk rad - Meor: Dr Mla Pać Kadda: Mlea Brakovć Nov Sad, 00

2 Sadržaj UVOD 3. ANALITIČKO REŠAVANJE PROBLEMA 5. Dfuzja supsace 5. Zako održeja mase 7.3 Opš model dfuzje Fkov zako dfuzje 8.4 Izvođeje drugog Fkovog zakoa.5 Dfuzo mehazm 4.5. Odvjaje procesa dfuzje u sacoarm uslovma 5.5. Odvjaje procesa dfuzje u esacoarm uslovma 6.6 Dfuzja z ačkasog zvora 7.7 Rešavaje problema dfuzje z ačkasog zvora 9.8 Poče grač uslov 0.9 Meod razdvajaja promeljvh-furjeov meod.0 Trasformacja rešeja 5. Fudamealo rešeje jedače dfuzje jegov fzčk smsao 9. Koualo dodavaje zagađeja z ačkasog zvora 33. NUMERIČKO REŠAVANJE PROBLEMA 35. Numerčko dferecraje 36. Numerčko egraljeje 40.3 Aproksmacja l umerčka šema u koačm razlkama za jedaču drugog Fkovog zakoa dfuzje 4.4 Sablos meoda 4.5 Šeme sa dva voa 43.6 Neerave šeme sa dva voa Eulerova šema Trapezoda šema 45.7 Ierave šeme sa dva voa Heuova šema 46.8 Polu-mplca šema rak-ncolsoova šema 47.9 Smulacja umerčkog rešavaja 5.0 Rezula umerčkog rešavaja problema prosraja zagađeja 5.0. Rezula za slučaj D Rezula za slučaj D 54 ZAKLJUČAK 64 LITERATURA 65 DODATAK 66

3 Uvod Pozavaje rasprosraja dfuzje, j. zagađeja u vazduhu eophodo je za razumevaje mogh procesa u fzc meeorologj, posebo zbog zaše žvoe srede. Feome raspora predsavljaju dobro proučavau grau fzke koja prožma moge oblas prmejee auke. Svak proces svaka operacja odvjaju se u skladu sa zakoosma hemjske fzčke keke. Opš zako fzčke keke - feome preosa, odoso rasprosraja dfuzje, jedako su prmeljv za sve vrse zagađeja. Rasprosraje koamaaa - poluaaa razlčog agregaog saja pr realm l eksremm uslovma kroz vazduh, u osov predsavlja zakoe raspora - preosa mase razlčh hemjskh supsac, kao preosa kolče kreaja raspora eergje. Operacje preosa kolče kreaja, koceracje l mase moguće je maemačk jedsveo formulsa, bez obzra a o da l se supsaca alaz u oblku čse ečos l gasa, rasvora, rasopa, suspezje dr. Te maemačke formulacje prozlaze z srogh eoreskh zakoa l amo gde o je blo moguće zves, z emprjskog skusva. Maemake formulacje koje se zvode z emprjskog skusva je ajbolje reš umerčkm puem da b se vdela ačos relacja. U ovom radu je urađeo aalčko umerčko rešavaje problema. Rad se, dakle sasoj z dva dela. U prvom delu je opsa problem prosraja dfuzje u vazduhu zvedeo je jegovo aalčko rešeje. Problemаkа prosrаjа koceracje podeljeа je u sledeće cele: Opš model dfuzje Zаko održаjа mаse Proces dfuzje (reu аčkаs zvor) Ucаj grаčh uslovа Kouаl аčkаs zvor Advekcja dfuzjа koualog zvora U delu koj rаzmаrа opš model dfuzje dа je kocep zаsovа а hаočom kreаju molekulа jhovoj slobodoj puаj. Teorjskm obrаzložejem аmаcjom Brаuovog kreаjа dobjа se Gаusovа rаspodelа molekulа z аčkаsog zvora. 3

4 Koefcje dfuzje D uvod se kаo koefcje Fkovog zаkoа koj kаže dа je mаse fluks suproog smerа dreko proporcoаlа kocerаcoom grаdjeu. Zаko održаjа mаse prmeje а zаpremu zrаžаvа se u egrаlom u dferecjаlom oblku. Dа je mаemаčk ops advekcje dfuzje u z zаpreme, а krаjj rezulа je jedаčа rаsporа mаse. U аsаvku srаžuje se Gаusov kocerаco profl koj se rаzvjа аko reuog аčkаsog zvora. Nаglаšeo je ekolko bh svojsаvа Gаusove rаspodele. Koualh ačkash zvora opsuje koualo spušaje zagađeja u vazduh, pr. dm z dmjaka. U drugom delu rada je ađeo umerčko rešeje problema. Ovde je opsao umerčko dferecraje egraljeje, umerčko rešavaje meodom koačh razlka sablos šema. Numerčko rešavaje je račuao u programskom jezku Forra pomoću umerčkh šema. Kodov se alaze u Dodaku rada. Numerčke šeme koje su koršćee su Eulerova, Heuova rak-ncolsoova. Šeme su rađee za jedodmezo, dvodmezo rodmezo slučaj. Rezula dobje ovm šemama su prkaza grafčk. Grafk za jedodmezo slučaj je dobje u programu koj se zove Xmgrace, a za dvodmezo slučaj u programu Grads. 4

5 . Aalčko rešavaje problema. Dfuzja supsace Moge reakcje proces koj su važ za dobjaje rajos maerjala zasvaju se a preosu mase (molekula, aoma, joa) kroz čvrsu maerju. Maerja koja se ovm procesom preos kroz sredu može poca z čvrse, gasove l eče faze. Ovaj preos mase kroz maerju se azva dfuzja. Dfuzja je pojava uzajamog prodraja jede supsace u drugu. Drugm rečma, o je mehazam kojm se jeda vrsa maerje rasporuje kroz drugu vrsu maerje. Kreaje svakog dvdualog aoma l česce je ogračeo susedm aomma l čescama, pa je zao ovo kreaje z slučajh preskoka sudara. Međum, krajj rezula velkog broja događaja može da bude eko ukupo specfčo pomeraje maerje. Ako je u ekoj smeš koja se sasoj ajmaje od dve molekulsk razlče kompoee, koceracja obe kompoee sa u celom prosoru u kojem se smeša alaz, ada do dfuzje e dolaz. Dfuzja u daoj smeš se odvja ako koceracja dae kompoee, je sa u celom prosoru. Dakle, uslov za asaak dfuzje je razlka u koceracj, odoso posojaje gradjea koceracje. Dfuzja se odvja z oblas veće ka oblas že koceracje. Feome dfuzje se može demosrra uporebom dfuzoog para, koj se formra spajajem dve razlče kompoee gasa. Između dve kompoee se usposavlja blzak koak, šo je lusrovao a slc 5

6 Slka.. Slka.. (a) Gas koj sadrž dve kompoee A B, (b) Šemask prkaz položaja molekula kompoee A (aradžas kružć) kompoee B (sv kružć) u dfuzoom paru, (c) Grafčk prkaz koceracja kompoe u zavsos od položaja u paru Na slc..a je prkaza slučaj u kojem se alaze dve gase kompoee, A B, a soj emperaur prsku, s m šo su u počeom reuku odvojee zmeđu jh se alaz aka pregrada. Dakle u počeom reuku ema dfuzje. Na slc..b dfuzo par je prkaza preko raspodele molekula u om momeu, a a..c grafčk puem raspodele koceracje a počeku svaraja dfuzoog para. Na slc.. prkaza je raspored kompoe A B ako procesa dfuzje. Ako se pregrada uklo, oda asaje proces dfuzje. Iz područja vše koceracje (j. područje koje ma vše molekula kompoee A po jedc zapreme) molekul dfuduju u smeru u kojem opada jhova koceracja. Iso se dešava sa drugom kompoeom B koja dfuduje u suproom smeru kako je o prkazao a slc..a. Nako ekog vremea čse gasove (samo kompoeu A l samo kompoeu B) mamo 6

7 a krajevma dfuzoog para, a zmeđu, j. u prelazoj oblas je smeša ove dve kompoee. Na slc..c sa grafka se vd da koceracja obe kompoee opada od kraja gde je čsa kompoea (u je koceracja 00%) do kraja prelaze oblas gde vše ema e kompoee ( gde je koceracja 0%). Nako zvesog vremea koceracje kompoe se zjedače u celoj zaprem komore ako da ščeze raspor u blo kom preseku komore.. Zako održaja mase U okvru svh poglаvljа, sve vreme, prsua je zako kozervаcje l zako održaja mase. O se može defsa a sledeć ač. Posmаrа se ssem od dvа molekulа koj se sudаrаju. Dа b se problem pojedosаvo preposavlja se dа emа hemjske erаkcje zmeđu molekulа (deаlа flud) dа su molekul homoukleаr (H, O, l, N ) аomskа jezgrа su jedаkа. Molekul su u gаsu mаle guse, аko dа emа porebа dа se rаzmаrа erаkcjа sа drugm molekulmа u blz. Nа slc.3. je prkаzа sudаr dvа homoukleаrа dvoаomа molekulа. Slka.3. Sudаr zmeđu homoukleаrh dvoаomh molekulа, kаo šo su N O. Molekul sadrž od dvа jedаkа аomа čje su pozcje obeležee sа 7

8 Slka.4.Vekor položaja za aome a pozcjama Dogаđаje а аomskom molekulаrom vou opsuje kvаа mehаka. Međum, а emperаurаmа žm od 50 K, umeso kečke eorje gаsovа može dа se prme Njuovа klаsčа mehаkа (ovo e vаž zа аjlаkše molekule H He). Posаvljаju se relаcjа pre posle sudаrа. Preposаvljа se dа su molekul dovoljo udаlje jedа od drugog pre posle sudаrа, j. dа а jh e deluju međumolekulske sle; а rаsojeju većem od 5 prečkа molekulа međumolekulskа slа može dа se zаemаr. Velče аko sudаrа ozаčee su sа. Premа zаkou održаjа mаse (mаerjаl blаs), ukupа mаsа molekulа pre posle sudаrа morа osа sа: ma mb ma mb. gde su m A m B mаse molekulа A B. Pošo emа hemjske reаkcje, mаse pojedh molekulа аkođe podležu zаkou kozervаcje, аko dа vаž sled: ma ma mb m B 8

9 .3 Opš model dfuzje Fkov zako dfuzje Kao šo je već rečeo osov аč rаsporа mаse je dfuzjа. U prrod se dešаvа spoаo, j. e morа uvek dа sled flude delće. Drugа vаžа kаrаkerskа je dа se dfuzjа dešаvа gde posoj rаzlkа kocerаcjа, od vše kocerаcje kа žoj, sve dok se e posge rаvoežo sаje uforme kocerаcje po celom posmаrаom prosoru. Dfuzjа se defše kаo prosoro rаsprosrаje usled hаočog kreаjа. Model zа dfuzv prook može dа se kosruše а osovu sledećeg jedosаvog prmerа. Rаzmаrа se jedodmezoаl ssem kod kogа se kreаje vrš sаmo u prаvcu -ose. Membraa B-B rаzdvаjа dve oblаs rаzlčh kocerаcjа,, levo deso od membrаe. Kreаje svаke česce je jedodmezoаlа slučаjа puаjа. U svаkom vremeskom ervаlu, Δ, svаkа čescа prelаz rаsojаje ±Δ, krećuć se deso (+Δ), l levo (-Δ), sа jedаkom verovаoćom. Slka.5. Model prooka dfuzje Tokom svаkog vremeskog ervаlа, blo kojа čescа а rаsojаju Δ od membrаe B-B mа 50% verovаoću dа prođe kroz površu membrаe B-B. Broj čescа koje mogu dа prođu kroz membrаu B-B sа leve а desu srаu (pozvа mаse prook) je S, gde je S površа membrаe B-B. U proseku polovа ovh 9

10 čescа mа pozvа pomаk prolаz kroz membrаu zа vreme Δ, аko dа je prook zа kreаje s leve а desu srаu S. Nа s аč, broj čescа koje se kreću sа dese а levu srаu zа vreme Δ (egаvа mаse prook) zos Rezulujuć mаse prook, J, je: S J Ako je () kouala fukcja, ada je jedača posaje: Člа J S se аzvа koefcje dfuzje, ozаčаvа se sа D. Dfuzvos molekulа u dаom fludu zаvs od lаkoće kojom se molekul kreće od oga kolko dаleko može dа sge u dаom vremeskom ervаlu. Lаkoćа kreаjа molekulа, а me dfuzvos određee mаerje, zаvs od velče molekulа polаros, vrse fludа emperаure. Brza dfuzje se zražava Fkovm zakoom dfuzje po kojem je mase fluks kompoee proporcoala gradjeu koceracje:..3 J D.4 Brza odvjaja procesa dfuzje l brza preosa mase se zražava kao fluks dfuzje (J). Fluks l prook dfuzje se defše kao masa M koja dfuzjom prolaz kroz jedcu površe (S) u jedc vremea. J Broj česca koje prolaze kroz jedcu površe Jedca površe(s ) Vremesk erval S. 0

11 Slka.6. Prkaz fluksa (prooka) dfuzje J Slka.7. Profl koceracje smer dfuzje Jedаčа.4 predsаvljа mаemаčku formulаcju Fkovog zаkoа. Fkov zаko glаs: prook rаsvoree mаse kojа prolаz kroz površu S, u vremeskom ervаlu Δ, u dаom prаvcu, pr., proporcoаlа je grаdjeu kocerаcje u om prаvcu,, аl je egаvog predzаkа šo zаč dа se mаsа čescа (prook) kreće z oblаs sа všom kа oblаs sа žom kocerаcjom. Pošo je prook u blo kom prаvcu l smeru proporcoаlа sаmo kocerаcoom grаdjeu, Fkov zаko može dа se prošr а r dmezje: J, J y, J z DS yz, DS z, DS y.5 y z

12 Prv Fkov zako odos se a molekulsk preos mase dfuzju, dakle, a preos kod koga molekul zahvaljujuć svom eprekdom haočom kreaju međusobm sudarma mejaju mesa u prosoru, pr čemu je rasfer mase u makrosmslu samo posledca čjece da su se molekul posmarae kompoee koj su a počeku preovlađval u jedom delu, okom dfuzje raspredl ravomero a ceo raspoložv prosor. O ada e presaju da se kreću zmejuju mesa, al se u makrosmslu vše e može zapaz kakva promea koceracje. Tada kažemo da je usposavljeo saje damčke ravoeže. Zа molekulаru dfuzju, koefcje dfuzje je zoropsk, j. jedаk je u svm prаvcmа. Za dau emperаuru koefcje dfuzje zаvs od velče molekulа (već molekul mаju mаj koefcje dfuzje). Sа porаsom emperаure koefcje dfuzje rаse. Zа mаerje koje se rаsvaraju u vod koefcje dfuzje D ma vredos oko 0-9 m /s, dok se zа gаsove koj dsperguju u vаzduhu kreće oko 0-5 m /s..4 Izvođeje drugog Fkovog zakoa U relavo mrom vazduhu gasov se kreću u pravcu gradjea koceracje,j. sa mesa veće ka mesu maje koceracje. Relacja zmeđu mase supsace M, koja se rasporuje u jedc vremea kroz jedču površu samog gradjea koceracje može da bude zražea prvm Fkovm zakoom dfuzje. Jedodmezoala jedača koja prozlaz z ovog zakoa prv pu je formulsaa 855.gode, a sledeć ač: ako posoj razlka guse l koceracje ekog gasa Δ u dve ačke koje se alaze a rasojaju Δ, oda je fluks supsace zraže sledećom relacjom: gde je: J D J fluks dfuzje, koj ma dmezje masa duža - vreme - kg, m s

13 D koefcje dfuzje kompoee u smeš koj zavs od prrode svh kompoeaa ma dmezje duža vreme -, m koceracja, koj ma dmezje masa duža -3, rasojaje, koj ma dmezje duža, m s kg 3 m Za dve l vše dmezja se kors abla, del l Hamloov operaor: J D.6 Ako preposavmo da u ačkama posoj promea koceracje u jedc vremea Δ kroz jedcu površe S da je rasojaje zmeđu ačaka dovoljo velko da promeu koceracje u druge dve dmezje možemo zaemar, mamo da je: M S = D.7 M D S.8 Razvjajuć u red promeu koceracje u okol ačke, dobja se sledeć zraz: Zameom u prehod zraz, mamo da je : M D S odoso: 3

14 M S D M S S obzrom da je lokala koceracja masa zagađujuće maerje po jedc esšljvog fluda, mamo da je : D D.9.0 Jedača predsavlja drug Fkov zako. Drug Fkov zakoa defše promeu koceracje sa vremeom. sledeć oblk: sledeć oblk: Za slučaj kada se dfuzja odvja u dve l vše dmezja drug Fkov zako ma D. Za slučaj kada koefcje dfuzje je kosaa drug Fkov zako dobja D. Ako posmaramo sacoaru dfuzju, koja će kasje b objašjea, koceracja e zavs od vremea, pa lev deo jedače možemo zjedač sa ulom 0.5 Dfuzo mehazm Dfuzo proces se mogu podel a dva pa: sacoar esacoar p. Oba pa dfuzje kvaavo su objašje Fkovm zakoma dfuzje. Prv Fckov zako se odos a sacoaru a esacoaru dfuzju, dok se drug Fkov zako odos samo a esacoaru dfuzju. 4

15 .5. Odvjaje procesa dfuzje u sacoarm uslovma Sacoara dfuzja se odvja pr kosaoj brz, šo zač da kad jedom započe proces dfuzje broj molekula preko dae površe (fluks) je kosaa s vremeom. To zač da je kroz gas d d cos d 0. d Slka.8. Prkaz fluksa dfuzje J koj uđe (J ulaz ) koj zađe (J zlaz ) sa jedce Za sacoaru dfuzju važ: površe J ulaz J zlaz Fluks dfuzje se može zračua z J ulaz J zlaz D Negava predzak ozačava da je pravac dfuzje duž koceracoog gradjea od mesa vše do mesa že koceracje. 5

16 Slka.9. Šemask prkaz gradjea koceracje.5. Odvjaje procesa dfuzje u esacoarm uslovma Nesacoara dfuzja je proces koj zavs od vremea, j. brza dfuzje je d d fukcja vremea. To zač da se meja s vremeom 0. d d zakoom: Promee koceracje su dae dferecjalom jedačom drugm Fkovm D Rešeje ove jedače je koceracjsk profl kao fukcja vremea: f, 6

17 Slka.0. Prkaz drugog Fkovog zakoa.6 Dfuzja z ačkasog zvora Rаzmаrа se oblаk sаčje od N čescа (ukupe mаse m) а mesu =0 u reuku =0. Usled dejsvа molekulаre dfuzje, oblаk se polаko šr. Kors se model slučаjog kreаjа dа se predvd rаspodelа kocerаcje čescа (mаse), (,). Ukolko se preposаv dа je čescа jedče mаse, može jedosаvo dа se uvede N=M. Rаd jedosаvos, poovo se rаzmаrа jedodmezoаl ssem, sа sm gore opsаm zаkoosmа hаočog kreаjа, j. u svаkom vremeskom ervаlu Δ, svаkа čescа pomerа se zа +Δ l -Δ sа jedаkom verovаoćom. Vremeom se svаkа čescа pomerа mаlo аpred mаlo аzаd. Verovаа položаj pojede česce аko mogo аkvh korаkа (ervаlа) može se predvde cerаlom grаčom eoremom. U određeom slučаju, pr većem broju korаkа, verovаoćа sа kojom se čescа аlаz zmeđu MΔ (M+)Δ prblžаvа se ormаloj rаspodel sа ulom sredjom vredošću sаdаrdom devjаcjom: Verovаoćа kojom česce zаvršаvаju zmeđu +Δ je: D.3 7

18 p 4D, e e.4 4 D Sаdа će se rаzmor pu oblаk od N čescа. U blom kom vremeskom reuku, broj čescа zmeđu +Δ očekuje se dа je, Np,. Kocerаcjа а mesu je,,. Zаmeom sа M ako se vše e posmara jedča masa, S rаspodelа kocerаcje (,) dobja sledeć oblk: 4D M, e.5 4 D Slka.. Krva raspodele koceracje dfuzog oblaka Kаo šo je rаje pomeuo, rаspodelа sa slke odgovаrа ormаloj rаspodel sа ulom sredjom vredošću sа sаdаrdom devjаcjom, D. Rаspodelа formrа zvoаsu krvu, kаo šo je dаo а slc. U blo kom reuku, 68% ukupe mаse (ukupog brojа čescа) аlаz se а rаsojаju ±σ od sredje vredos (=0). U ervаlu (-σ,+σ) 8

19 se аlаz 95% mаse, a 99,7% čescа se аlаz uuаr ervаlа (-3σ,+3σ). Nа osovu ovh grаcа, uobčаjeo je dа se defše dmezjа kocerаcoog oblаkа zаsovаа а kouroj krv, uključujuć 95% ukupe mаse, kojа se аlаz а rаsojаju σ od cerа. Nа osovu ove preposаvke, uzmа se dа je dužа dfuzog oblаkа, L, jedаkа 4σ. Korsа podааk je аj dа je vo kocerаcje а rаsojаju jede sаdаrde devjаcje σ, 6% mаksmаle kocerаcje j. 0,6 ma, gde je ma kocerаcjа koju oblak ma u ceru. Ovа vredos predsаvljа korsа аč dа se brzo defše sаdаrdа devjаcjа oblаkа čescа. Kada b se posmarao slučaj u dve dmezje fukcja raspodele koceracje b mala sledeć oblk: Pr čemu je: r 4D M, e.6 4 D r y.7.7 Rešavaje problema dfuzje z ačkasog zvora Jedаčа zakoa održаjа mаse pozаа je kаo rаsporа jedаčа, jer opsuje rаspor skаlаrh velčа u fludom ssemu. U ovom poglаvlju rаzmаrа se ааlčko rešeje rаspore jedаče koje opsuje sudbu mаse pr rаzlčm grаčm počem uslovmа. Zа ekompresblo srujаje sа zoropskm homogem koefcjeom dfuzje, može se zаpoče sа sledećm oblkom rаspore jedаče: v v y y v z z D U ovom reuku zаemаruje se posojаje zvorа l poorа. y z.8 Razmara se rešeje opsuje rаzvoj oblаkа mаse M, spušeog odjedom u reuku =0 u mrа flud ( v v v 0 ). Posmara se jedodmezoаl ssem u y z 9

20 prаvcu -ose, j. ssem je uformа u prаvcu y z, аko dа su 0 y rаspoređeа uformo u y-z rаv zаemаree su dmezje u prаvcu -ose. 0. Mаsа je z Kada se prehode preposavke prmee a jedaču raspora, sled da će se prlkom rešavaja ovog problema dfuzje kors će se jedača koja predsavlja drug Fkov zako u sledećem oblku: Ukupa ubačea masa je jedaka: D Dok b za dve dmezje ukupa ubačea masa mala oblka: M, d.9 M, y, ddy, y, ds.0 y S Nepozaa fukcja koja se raž u procesu dfuzje je koceracja supsace koja učesvuje u procesu. Tu fukcja će b ozačea sa:, y, z,. Ako se preposav da se u ekoj sred pojav dfuzja, zač da u oj sred posoje zvor koceracje. Emsja koceracje se može okarakersa gusom zvora dfuzje. Izvor koceracje možemo defsa pomoću fukcje F(,). To je fukcja koja a malom ervalu duže d, za mal vremesk erval emuje koceracju F, dd..8 Poče grač uslov Poče uslov za jedaču dfuzje se zadaju ako da zadovoljavaju koceracje u svm ačkama srede u ekom određeom reuku vremea, za koj se občo uzma poče reuak, j. =0. ada počee uslove možemo da u sledećem oblku: 0

21 , 0 f.3 gde je f zadaa fukcja. Grač uslov reba da budu zadovolje amo gde se dfuzja odvja. Pošo u jedač dfuzje mamo zvod drugog reda po koordaama, j. vredos koceracje u dve razlče ačke, mamo dva grača uslova. Dva grača uslova su da koceracje u budu jedake ul, j. da je, 0, 0.4 Ovakva beskoača srukura može da dfuduje samo a ogračeom domeu..9 Meod razdvajaja promeljvh- Furjeov meod Jeda od ajvše koršćeh meoda za rešavaje parabolčkh jedača je meod razdvajaja promeljvh l Furjeov meod. Na osovu e meode rešeje jedače.0 se raž u oblku prozvoda dve fukcje a b, šo dalje zač da je:, a b.5 gde je: a fukcja prosore koordae, u ovom slučaju koordae, b fukcja vremea Ako jedaču broj.5 dferecramo po vremeu dva pua po koorda, dobjemo sledeće relacje: a db d.6 b d a d.7

22 Pošo u oba ova zraza mamo promeu po samo jedoj promeljvoj možemo da d d pšemo oal zvod po promeljvoj, odoso. d d oblku: Ove relacje uvršavamo u jedaču broj.0 dobjemo u jedaču u sledećem Kada se prehoda jedača pomož sa sled: a b db d a a D b.8 d d db b d D d a a d.9 Ovakve jedače rešavamo meodom razdvajaja promeljvh l Furjeovom meodom. Pošo u prehodoj jedač leva sraa e zavs od dese, j. leva sraa e zavs od, a desa e zavs od, svaku od ovh sraa možemo zjedač sa ekom kosaom c. Zbog oga jedaču broj.9 možemo da podelmo a dva dela: db D b d d a a d Rešavamo prvo jedaču broj.30. Ne levu srau prebacmo člaove koj sadže jedu promeljvu, a a desu člaove koj sadrže drugu promeljvu dobjemo sledeć oblk: Iegralmo prehodu jedaču: Pa je rešeje ove jedače: l b db b db b Dc c c Dcd Dc d l c l l c Dc.34 b Nako prmee logaramskog pravla:

23 dobjamo rešeje jedače: b l b l c l.35 c Dc b c e.36 Za fksrao, j. u ekoj određeoj ačk koceracja e može da rase eogračeo kada dob sledećom preposavkom: zamo da je c.. Zbog oga kosaa c mora da bude egava, šo ćemo c k.37 k uvek pozvo ako ćemo dob uvek egavu vredos za kosau Iz prehode preposavke sled krajje rešeje jedače broj.30: b c e Dk Sada som meodom rešavamo jedaču broj.3: a d d Opše rešeje ove jedače je: gde su A, B prozvolje kosae. a k a.38 d a d k a Acos k Bs k.39 Vraćajem rešeja ove dve jedače u jedaču.5, dobja se koačo rešeje polaze jedače u oblku: 0 Dk, a b Acos k Bs k e.40 O kosa k se e za ša, pa zao ovako apsa zraz za (,) važ za svako fksrao k. Kosaama A B se dodeljuju raze vredos za svako k, j. A Ak B B k. Koačo se dobja famlja rešeja polaze jedače: k Dk, Ak cos k Bk s k e.4 3

24 U ovoj jedač paramear k uzma vredos od do. Ovo b bo kraj prvog dela Furjeove meode u kojem je razdvajajem promeljvh dobje oblk za rešeje jedače.0. U drugom delu ove meode reba da se aprav superpozcja dobjeh rešeja za k,. Kako je jedača.0 leara homogea jedača, ju zadovoljava leara kombacja rešeja k, sa svm mogućm vredosma za paramear k. Preposav se da je k kouala promeljva da su joj grace od do, j. U om slučaju egral za k k po svm mogućm vredosma za paramear k daje rešeje za k, zadovoljava grače uslove: k Dk,, dk A cos k B s ke dk.4 k k k Ovde su epozae fukcje zadovoljava poče uslov: A k B k. Treba da h odredmo ako da rešeje k, 0 A cos k B s kdk.43 k k Rezula ovog egrala će b eka fukcja koja zavs od promeljve, pa zao egral možemo da zjedačmo sa fukcjom f, odoso: A k cos k B s kdk f.44 k Fukcju f je porebo razlož u Furjeov egral, a o je moguće ako fukcja f može da se razlož u Furjeov red u koačom ervalu ako egral f d, odoso ako ovaj egral kovergra, j. fukcja f je apsoluo egrabla po celoj -os. Fukcja f opsuje raspodelu koceracje mora b koača, a kovergecja egrala ozačava koačos eergje dfuzje. Razvojem u Furjeov egral fukcja f dobja sledeć oblk: 4

25 f dk f cos k d.45 Na osovu rgoomerjskh relacja sled: cos k cosk cosk s k s k.46 Uvršavamo ovu relacju u prehod zraz Furjeov egral dobja sledeć oblk: f f cos k d cos k f s k d s k dk.47 Kada uporedmo ovu jedaču sa jedačom.4 možemo da zaključmo da je: A B k k f f cos k s k d d.48 fukcju: Kada ovako ađee fukcje A k B k zamemo u poceu jedaču dobjamo, dk f dk f cos k cos k cos k e Dk d s k s ke Dk d.49 Ova fukcja je rešeje počee jedače, j. jedače.0 zadovoljava poče uslov da je, 0 f. Dakle ova jedača je rešeje jedače dfuzje za dae grače uslove u so vreme poče uslov za beskoača prosor..0 Trasformacja rešeja Da b mogl fzčk da proumačmo rešeje broj.49 eophodo je da ga ajpre rasformšemo. 5

26 , f e Dk cos k dk d.50 Iegral u zagrad ćemo obelež sa J zbog lakšeg zapsa: J e Dk cos k dk.5 Možemo da prmemo da egral J e sadrž fukcju f, pa je zao lakše reš ga. Rad lakšeg rešavaja uvodmo smeu: k dk d D D D Uvršavajem smee u J egral sled:.5 D.53 J e D D D cos D D d D D I e cos d.54 Pr čemu je I e cos d Posmarajmo specjala slučaj, a o je kada je 0. Tada je: I 0 e cos 0d e d.55 I 0 Poasoov egral.56 Proađmo prv zvod egrala I po l I di d e s d.57 Da b rešl egral koj predsavlja prv zvod porebo je zvrš parcjalu egracju zao uvodmo smee: 6

27 u du s cos d dv v e e d.58 I uv vdu e s e cos d I e cos d.59 I I Trasformacjom posledje jedače možemo da dobjemo zraz za I : I I di I d.60 l I l I l Nako alogarmovaja rešeje je: 4 l l I.6 4 I e.6 Da b dobl vredos egracoe kosae vraćemo se a specjal slučaj, j. kada je 0. Na osovu oga sled da je: I 0.63 a već smo pomoću Poasoovog egrala dobl vredos za I 0, a o I 0.64 Iz ovoga sled da je, pa je oda: 4 I e.65 Kako je, a D J D I, sled da je: 7

28 J 4 e D Zamejvajem ovog zraza u.50, koačo dobjamo da je: D.66 4, f e d.67 D Iz ovako rasformsaog rešeja se može lako prover da fukcja zadovoljava poče uslov da predsavlja rešeje polaze jedače. To ćemo prover ako umeso uvedemo ovu promeljvu egracje D, pr čemu je: Ovom smeom jedača.4 se svod a oblk: D D d Dd.68, f D e d.69 Za poče uslov smo uzel da je 0, pa dalje sled da je:, 0 f e d f e d.70 f Na osovu Poasoovog egrala je e d, pa je, 0 f.7 j. poče uslov je zadovolje. Da b proverl da je jedača.4 rešeje počee jedače moramo da prmemo da je fukcja 8

29 Rešeje.0 za svako 4 e D D,.7. To dalje zač da prv zvod u vremeu drug zvod po prosoroj koorda e zavse od. Sada ražmo zvode fukcje, :, 4 D 8D D e 4 D.73 4D e, 4D D 8D D.74,,.75 4 D 8D D e 4 D D 4D D 8D D e 4 D.76 Iz ovoga sled da je zasa zadovoljea polaza jedača.0.. Fudamealo rešeje jedače dfuzje jegov fzčk smsao Razjasmo sad malo bolje fzčk smsao fukcje,, koje predsavlja rešeje polaze jedače.0. Fukcja, zavs od, prozvoljog paramera ξ predsavlja fudamealo rešeje jedače dfuzje. Fzčk smsao ove fukcje je poveza sa počeom raspodelom koceracje. U 0 ako je 0 f gde je U 0 kosaa, a σ>0 0 ako je 0 9

30 Slka.. Počea raspodela koceracje Takva raspodela koceracje se pojavljuje ako je počea koceracja bla prvo jedaka ul u svakoj ačk u reuku 0. Raspodela zauzma deo a -os koj je u domeu 0, 0. Zam se dovede eka kolča zagađeja spolja (pr. dm z dmjaka) ako da vredos koceracje u reuku 0 ma vredos U 0. Dovedea kolča zagađeja je proporcoala osečeoj površ sa slke, j. U 0. Međum, real profl koceracje se e može ovako prkaza, al ma veoma slča oblk fukcj f posebo ako je ošrj dm z dmjaka kraće raje. Na grafku u ačkama 0 0 koceracja je određea. Al aj problem se rešava ako šo fukcju f možemo predsav Furjeovm egralom, pa z oga sled da je vredos koceracje u m ačkama U 0. Pr ovm uslovma raspodela koceracje.67 dobja sledeć oblk: 0 U 0 4, f e d.77 D 0 D Prema eorem o sredjoj vredos egrala sled: 30

31 0 0 e 4D d e 4 D.78 gde je - eka ačka uuar evala egracje, j Uvršavajem rešeja egrala, rešeje.77 može da se zapše a sledeć ač: U 0 4 e D D,.79 Ako se sključ paramear U 0, dobja se rešeje za slučaj fzčkog zvora zagađeja u oblku: 4 e D D,.80 Sada se prelaz sa fzčkog zvora zagađeja a ačkas zvor sa preposavkom da 0. Ako je U 0, ada pr 0 sled da U 0. Iz ovoga sled da 0, pa je oda fukcja f z.67: gde je F kosaa koja se određuje ekspermealo. f F.8 Ovo zač da posoj jak zvor zagađeja koj je posavlje a ekom mesu zeada se uklo u reuku mereja. Na osovu.67 sled da je: 0, F D e F D 0 4 D 0 0, e 4 D d.8 šo je fudamealo rešeje.67 pr uslovu 0. Tačkas zvor zagađeja je veća apsrakcja ego fzčk zvor a koačom domeu. Međum, o može b realzova ako je dm koj zagađuje veoma uzak. Za razmaraje prosraja zagađeja ako ačkasog zvora, porebo je spa grafk fukcje fudamealog rešeja.8 za razlča vremea, 0 3

32 Slka.3. Raspodela koceracje koceracje u razlčm vremeskm reucma. Grafk fukcje, je smerča za svako u odosu a pravu 0 0, j. u odosu a osu 0 o zos D. Maksmum fukcje se dosže pr 0. Ako se posmara ek fks reuak 0, u om reuku je maksmum obruo srazmera koreu koefcjea dfuzje D. Površa pod svakom krvom je jedaka, šo je lako dokaza rešavajem egrala: 0 4D, d e d 0 D 3. U svakoj fksoj ačk a 0, fukcja, kao fukcja vremea 0 u počeku rase od 0 pr 0 do eke maksmale vredos Ma zam moooo opada ež ul kada. U reuku 0 fukcja, je defsaa zao se račua jea grača vredos, odoso 0 lmes kada 0: 3

33 lm 0 lm 0 0, 4D lm 4 D 0 0 e e D 0 4D 0 4D D lm 0 0 e lm 0 D 0 4D e 0 4D Moguće je odred Ma ako šo se ađe zvod, po : D 0 D e 0 4D.83 Izjedačavajuć prehodu relacju sa ulom dobja se: Iz ovoga sled da je: 0 ma.84 D Ma, 0 ma.85 e Na aj ač, koceracja u blo kojoj ačk kada 0, rase do 0 vredos Ma, a zam opada ež ul.. Koualo dodavaje zagađeja z ačkasog zvora Supsaca koja se pus z ačkasog zvora u vazduh, formra oblak koj rase poprečo usled dfuzje srujo usled advekcje. Profl koceracje ormalo a ovaj oblak uvrđe preko Fkove dfuzje ma Gausovu raspodelu. Zbog oga se oblak zove Gausov oblak. Nek jedosav prmer koj aproksmavo predsavljaju Gausov oblak su dm z dmjaka, opade vode spušee u reku koamaco oblak koj se javlja pr cureju burad sa opadom uskladšeh pod zemljom. 33

34 Slka.4. Koure koceracje za Gausov oblak koj se spuša a sledećm koordaama =0cm, y=50cm. ra lja predsavlja Gausovu raspodelu u ačk =5. Izvor se može smara da je kouala ukolko je vreme advekcje krako u poređeju sa rajajem zvora. Izvor je ačkas zvor ukolko mu je dmezja mala u poređeju sa rasojajem od zvora šrom oblaka a om rasojaju. Da l zvor predsavlja koual l reu spus, da l predsavlja ačkas l rasu zvor, zavs, e samo od kofguracje zvora, ego od prosorog položaja. Zač da zbor odgovarajuće aproksmacje e zavs apsoluo od prosora vremea, ego od relavh velča, a prmer, od brza vera v. Usled pojave vera dolaz do pomeraja zvora zagađeja. Ovo se može objas pojavom koja se zove advekcja. Advekcja l horzoal rasfer blo koje osobe amosfere (pr. koceracje, emperaure, vlažos, vrložos) puem kreaja vazduha, dakle poljem vera. Advekcju možemo prkaza vekorsk kao v u v w.86 y z gde je vekor brze da kompoeama u, v w, a je gradje posmaraog svojsva, j. koceracje:.87 y z U meeorologj as česo zama samo horzoala advekcja v h u v y.88 34

35 gdje su u v horzoale kompoee brze. Dakle, o je advekcja koju posmaramo samo u -y rav. Jedača.88 će b koršćea u umerčkom rešavaju. Advekcja se uvod u jedaču koja predsavlja drug Fkov zako dfuzje pomoću zv. advekvog člaa. Ovaj čla se još može azva advekv zvod, jer belež promeu v h koceracje pod ucajem kreaja vazduha, j. defše advekvu promeu koja opsuje ucaj polja brze a posmarau koceracju.. Numerčko rešavaje problema Aalčko rešavaje dferecjalh jedača amosfere je veoma eško, pa se može zves samo za sasvm dealzovae slučajeve zao pojedosavljee, uglavom samo learzovae, sseme jedača. Veća prakčh zadaaka se e može reš aalčkm meodama. Rešavaje jedača u elearom oblku moguće je samo umerčkm meodama. Za prblžo rešavaje se mogu kors jedače u dferecjalom l egralom oblku. Ako se dskrezuje dferecjala jedača, oda se rad o sadardoj meod koačh razlka, a ako se dskrezuje egrala jeača, ada se rad o meod koačh zaprema. Nalažeje budućeg saja amosferskh polja a osovu pozavaja prehodog osmoreog saja, j. dobjaje vremeske progoze rešavajem ssema hdrosačkh jedača, poče od Bjerkesa. Prvu uspešu umerčku progozu su zračual harey, Fjorof Vo Neuma. Rešavaje elearh jedača umerčkm puem u meeorologj se vrš ako šo se zabere skup ačaka u prosoru za koje se račuaju vredos zavso promeljvh. Ovaj skup ačaka se azva mreža, a meod kojm se rešava meod mreže ačaka. Zam se posmaraa dferecjala jedača zamejuje prblžom jedačom u kojoj se pojavljuju samo vredos zavso promeljvh u ačkama mreže. Vredos zavso promeljvh u gračm ačkama se defšu prema gračm uslovma. Dobje ssem jedača je ssem algebarskh jedača koj se uzasopo rešava velk broj pua. 35

36 . Numerčko dferecraje Sadard meod dskrezacje dferecjalh jedača se zasvaju a aproksmraju dferecjalh operaora kolčcma koačh razlka u prosoru vremeu. Rad jedosavos ćemo posmara eku fukcju samo jede zavso promeljve (D) bez promee u vremeu:. Ova fukcja zadovoljava dferecjalu jedaču.67. Ovu jedaču želmo da rešmo za određeu oblas duže podeljee a ceo broj ervala duže. Rasojaje zmeđu ačaka mreže se azva korak mreže. Tada je, gde je broj koraka mreže. Slka. Numerčko dferecraje po jedoj koorda Prblže vredos fukcje u ačkama mreže se obeležavaju sa:. Sada se mogu defsa koače razlke prblžh vredos () u prosoru kao razlke vredos () uzee preko jedog l vše ervala. U zavsos od položaja ačke za koju se oe prmejuju, ove razlke mogu da budu cerrae l ecerrae. Necerraa razlka, je a prmer, razlka uapred:. 36

37 Kada se kosruše prblža jedača za dau dferecjalu jedaču, zvod se u joj jedosavo zamee odgovarajućm kolčcma razlka. Tako se dobja šema u koačm razlkama za dferecjalu jedaču. u ačk d d d d Formule za dferecraje se mogu dob z defcje zvoda eke fukcje : f lm0 Kada se uzme prblža vredos gorjeg zraza, dobja se: Šo predsavlja aproksmacju prvog zvoda fukcje uzme, dobja se formula: f f f f f f.6 f. Ako se u jedač.6 umeso f f.7 Izraz.6.7 predsavljaju formule za dferecraje uapred uazad, respekvo. Na slc. je daa grafčka erpreacja ovh formula, pr čemu agb lje odgovara ačom zvodu fukcje f u ačk. Dakle, agb lje koja prolaz kroz ačke A, -, odgovara formul za dferecraje uazad, a agb lje koja prolaz kroz ačke B, +, formul za dferecraje uapred. f 37

38 Slka. Grafčka erpreacja formula za dferecraje Sa slke se vd da b lja koja prolaz kroz ačke A B bla bolja aproksmacja zvoda fukcje f. Nje agb jedak je sledećem zrazu: f f Ovaj zraz predsavlja formulu za ceralo dferecraje, a a slc. je predsavljeo ljom c. Numerčko dferecraje prmejeo a zvod drugog reda se može erprera a sledeć ač: f f.8 f f.9 Na osovu formula za dferecraje zvoda prvog reda, relacja za zvod drugog reda dobja sledeć oblk: f f f f.0 U daljem radu, za prv zvod se kors sledeća zamea: a za drug zvod: d d. d d. 38

39 Da b se ek kolčk koačh razlka korso kao aproksmacja za zvod, porebo je da o bude kozsea, j. da ež zvodu kada korak mreže ež ul, šo jese slučaj u prehodoj jedač. Da b se doble bolje formacje o ekom kolčku koačh razlka, porebo je da se vredos u posmaraoj ačk, koje su uzee u obzr, razvju u Teylorov red oko e ačke. Nako razvoja u red za prv zvod se dobje: a za drug zvod: 3 d d d d d 6 d 4 d d d d Na osovu ovoga kolčk je jedak zbru zraza za drug zvod koj se aproksmra osaka od eogračeo mogo člaova. Osaak ma sledeć oblk: O 4 d 4 d....5 zove se greška odsecaja kolčka koačk razlka. Nju predsavljaju člaov koj su "odseče" da b se dobla aproksmacja zvoda. Greška odsecaja pokazuje kolko dobro kolčk koačh razlka aproksmra zvod za male vredos koraka. O ovome govor red ačos, a o je ajž sepe od koj se javlja u grešc odsecaja. Kada se zavso promeljve z ssema elearh parcjalh dferecjalh jedača razvju u red zamee u se sseme, ada eleare jedače prelaze u obče dferecjale jedače. U občm dferecjalm jedačama zavso promeljve su koefcje h redova, a ezavsa promeljva je vreme. Dferecjala jedača se u ačkama zamejuje prblžom jedačom, koja kors vredos zavso promeljvh u ačkama mreže. Najjedosavj ač da se za dau dferecjalu jedaču kosruše prblža jedača je da se zvod u joj jedosavo zamee odgovarajućm kolčcma koačh razlka. 39

40 Važo je sać da se šeme za rešavaje občh dferecjalh jedača (ODJ) česo bez promee korse za aproksmacju zvoda po vremeu, j. umerčko dferecraje po vremeu: d d.6. Numerčko egraljeje Slčo umerčkom dferecraju, veoma važo meso u rešavaju mogh jedača zauzma umerčko egraljeje. Numerčka egracja se drugačje azva kvadraura. Taj zraz poče od čjece da vredos određeog egrala predsavlja površu spod fukcje, kao šo je prkazao a slc. Slka predsavlja zracuavaje egrala: korsec eku od formula koje aproksmraju fukcju f(). b I f d.7 a Slka.3 Grafčka erpreacja egrala 40

41 .3 Aproksmacja l umerčka šema u koačm razlkama za jedaču drugog Fkovog zakoa dfuzje Jedača koja se dobje kada se u ekoj dferecjaloj jedač zvod zamee odgovarajućm kolčcma koačh razlka zam prme a eku ačku mreže, zove se aproksmacja l šema u koačm razlkama za određeu jedaču. Ovo se dalje prmejuje a jedaču koja opsuje drug Fkov zako dfuzje: D.8 Sada se kosruše šema za dobjaje prblžog umerčkog rešeja meodom mreže. Rešeje se raž u ačkama mreže. Vredos koceracje u ačk, se obeležava sa Slka.4 Mreža za prblžo rešeje jedače dfuzje 4

42 Za male vredos koraka jedača koja aproksmra dferecjalu jedaču daje moguće prblžo rešeje e dferecjale jedače. To rešeje koje se dobja pomoću koačh razlka azva se umerčkm rešejem. Veoma je korso da se umerčko rešeje upored sa ačm (aalčkm) rešejem odgovarajuće jedače. Razlka umerčkog ačog rešeja predsavlja grešku rešeja. Ne mora uvek da se pozaje greška umerčkog rešeja, al se uvek može ać mera ačos šeme. Tačos šeme se može ać ako se u jedač prblže vredos zame ačm vredosma,. Ove vredos su jedake, pa će se dogod promea l grečka odsecaja ε. Red ačos šema je dakle ajž sepe od koj se javljaju ako razvoja u Teylorov red. U slučaju kao šo je jedača dfuzje, j. kada se ajž sepe razlkuju prav se razlka zmeđu reda ačos u prosoru vremeu..4 Sablos meoda Meoda koja će b koršćea za esraje sablos šema je Vo Neumaova meoda. Rešeja se mogu prkaza kao zbr susodalh alash kompoe, j. u oblku Fourerovog reda. Posmara se jedača.8: Rešeje se raž u alasom oblku: D k, Re e.9 Rešeje dferecraja po vremeu se dalje raž u sledećem oblku: d Dk d,.0 vremea je: Uvod se smea Dk, pa je opše rešeje ove jedače za dskree vredos ) ( ) (0 e. 4

43 gde je 0 vredos za 0 Vo Neuma je defsao fakor povećaja, gde je λ defsao kao: U zavsos od vredos. šema može b: esabla šema eurala šema kada je amorzujuća šema šo blže. Za osvareje šo veće ačos umerčkog rešeja porebo je da ampluda bude.5 Šeme sa dva voa Ovo su šeme koje korse vredos zavso promeljvh u dva voa:. Kada se zaju počee vredos zavso promeljve, ovakve šeme je moguće reš u prvom koraku vremea. Defše se prvo dferecjala jedača: d d f,,.3 pr čemu je f, Dk. Prva vredos se zadaje, šeme se kosrušu za zračuavaje vredos Aproksmacja za račuaje e buduće vredos je sledeća:, j. vredos u aredom vremeskom koraku. f, d.4 Te šeme mogu b mplce eksplce. Eksplce šeme maju sledeć oblk: Dk.5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dk.6 43

44 dok su mplce šeme sledećeg oblka: Dk.7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dk.8 Numerčke šeme koje će b opsae u daljem radu su:. Ojlerova meoda. Hjuova meoda 3. rak Ncolsoova meoda rak Ncolsoova šema je polu mplca. To će b kasje objašjeo..6 Neerave šeme sa dva voa Neerave šeme sa dva voa opsujemo pomoću zraza: ( ) ( ) ( ) ( ) ( f f ).9 Da b šema bla kozsea porebo je da bude spujeo: Za slučaj jedače koja opsuje drug Fkov zako jedača se može apsa u sledećem oblku: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).30 uvodmo ozaku K, K Nako sređvaja jedača dobja ov oblk: ( ) K ( ).3 K Iz ovoga sled da posaje : K K.6. Ojlerova šema Za Ojlerovu šemu = =0. 44

45 Dakle, ova šema je uvek sabla kada je K, j. za: 0 K.3 K Izbor reba b srožj od krerjuma, pr. reba zabra da je K, da rešeje e b mejalo zak od koraka do koraka u vremeu. Ojlerova meoda je eksplca šema. Kada se jedača dfuzje koja je predsavljea drugm Fkovm zakoom dfuzje, aproksmra meodom koačh razlka, dobja se oblk jedače koj je pogoda za umerčko rešavaje problema: D gde je a levoj sra jedače prkaza zvod koceracje po vremeu, a sa dese srae drug zvod po koorda. Za levu desu gracu vredos za koceecju su jedake ul Trapezoda šema Za rapezodu šemu = =. K K.34 Trapezoda šema je uvek sabla kada je K 0. Kod ove šeme reba da bude K pa da rešeje e meja zak. 45

46 .7 Ierave šeme sa dva voa Ierave šeme sa dva voa opsuju se pomoću zraza: ( )* ( ) ( ) f.35 ( ) ( ) ( ) ( )* ( f f ).36 Da b šema bla kozsea ovde je porebo da bude spujeo: Jedača za drug Fkov zako dfuzje ovde se može zapsa kao: ( ) ( ) ( ) ( )* ( ).37 ovde se uvod ozaka K, gde je ope K Nako sređvaja jedača dobja ov oblk: ( ) ( ) K K K.38 Iz ovoga sled da posaje : K K K.7. Heuova šema Za Heuovu šemu = =. K K.39 Heuova šema je sabla za male vredos K. Ierave šeme se korse da b se povećala ačos. Heuova meoda se može smara popravljeom Eulerovom meodom. Glav zvor eačos Eulerove meode je o šo je vredos zvoda a počeku vremeskog koraka s okom celog vremeskog koraka. Kod Heuove meode a greška se umajuje uvođejem dodaog zvoda. Heuova meoda razlkuje zvod a poceku vremeskog koraka zvod a kraju vremeskog koraka Δ. 46

47 Kod ove šeme prv korak je s kao kod Eulerove šeme. Samo šo sada vredos za vo dobjea ovom meodom se kors za račuaje prblže vredos u aredom koraku. * D.40 U ovoj šem posoj međukorak koj služ za račuaje vredos * : Dalje se a prblža vredos D *.4 * kors za još jeda korak po ugledu a rapezodu šemu koja aproksmra sredjakom vredos a počeku a kraju ervala : D *.4 Prvo rješeje * se još azva predkcja ( predcor ), a drugo korekcja ( correcor ). Tako da je Heuova meoda jedo od šema z zv. serje predcor correcor meoda..8 Polu-mplca šema.8. rak-ncolsoova šema Polu-mplca šema zač da ova šema kada se kors meoda koačh razlka sa leve sa dese srae jedakos sadrž člaove koj se alaze u oba vremeska koraka, j. u gorjem deksu maju. rak-ncolsoova polu-mplca šema može da se predsav sledećom relacjom: f f.43 Jedača za drug Fkov zako dfuzje ovde se može zapsa kao: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).44 ovde se uvod ozaka K, gde je ope K 47

48 48 Nako sređvaja jedača dobja ov oblk: ) ( ) ( K K K.45 Iz ovoga sled da posaje : K K K Za rak Ncolsoovu šemu =..46 Prema ovome, rak-ncolsoova šema je uvek sabla rešeje kad e meja zak. Predos ove šeme je u ome šo je sablja ačja od eksplce l popuo mplce. Polu mplca šema je ačja od eksplce za vremeske korake koj su blsk grac sablos, pa zao dozvoljava koršćeje dužh vremeskh koraka šo smajuje vreme račuaja. Nedosaak svh mplch ehka je u ome šo uključuju verzju marca šo može b veoma račusk zahevo. Poovo se jedača dfuzje koja je predsavljea drugm Fkovm zakoom dfuzje, aproksmra meodom koačh razlka. Na osovu rak-ncolsoove šeme se dobja oblk jedače koj je pogoda za umerčko rešavaje problema: D.47 D.48 D.49 Zbog kraćeg zapsa uvod se smea: d D D D.50 Uvođejem smee u prehodu jedaču dobja se zraz koj sadrž člaove : d D D D.5

49 U asavku se vše eće psa deks, zao šo je osao samo aj deks za vremesk korak, pa se podrazumeva da uz soj deks. Dalj posupak se svod a uvođeje ovh promeljvh pomoću rekureh formula: ee gg.5 Smeom u prehodu jedaču dobja se: D Nako sređvaja: D ee Sa leve srae osaje samo ee gg.53 gg D D D D D ee d gg, pa relacja dobja sledeć oblk: d D D d gg.56 D D D D ee ee Poređejem ove jedače jedače.5 sled da su koefcje ee gg jedak sledećm zrazma: D ee.57 D D ee D d gg gg.58 D D ee Počee vredos ee gg se dobjaju a osovu graca. Prvo se jedača za drug Fkov zako dfuzje može apsa u sledećem oblku: pr čemu je u fluks o je defsa kao razlka: D u.59. Na osovu meode koačh 49

50 Preposavka je da se u jedoj ačk mreže za fluks, a u drugoj koceracja oda mreža može da se predsav ovako: u u.60 Pošo će zvor b u sred, zač da ema zagađeja sa leve srae, pa za levu gracu važ da je: u 0.6 Na desoj sra vredos koceracje je 0, pa za desu gracu važ: Jedača.60 ma sledeć oblk: Na osovu mreže sled da je: Smeom: 0.6 u.63 u D.64 D.65 ~ Vredos koceracje a vredos je pozaa. Poovo se vše e pše deks, jer je jed za vreme: gg su: Nako sređvaja: D ~ D D D ~ D Poređejem sa jedačom.53 relacje za počee vredos koefcjeaa ee 50

51 D ee.68 D ~ gg.69 D Kada se ovako račua vredos koceracje, prcp je sledeć: Sa leve a desu srau se račuaju koefcje ee gg, a sa desa a levu srau vredos koceracja..9 Smulacja umerčkog rešavaja Pomoću prehodo opsah šema smulrao je prosraje supsace u vazduhu u ačk mreže u vše ačaka mreže. Vredos za određeje šeme se račuaju pomoću kodova koj su zapsa u programskom jezku Forra. Forrask kodov su posavlje u Dodacma, a ovde će b objašje. Dodaak je kod pod azvom MODULE prm. To je kod koj se kors, j. "pozva" u svm osalm podprogramma. U jemu se zadae kosae koje se korse prlkom račua. Neke od h kosa su: D 5 m 0 - koefcje dfuzje s d 5 m - korak u prosoru d 70 s - korak u vremeu Dodaak je kod pod azvom PROGRAM dfuzja. To je glav kod. U jemu se bra da l će rešeje b u, l 3 dmezje pomoću 4 slučaja koj su zada se bra da l kakav je zvor, da l ma l ema dodavaja zagađeja da l posoj advekcja. Ta 4 slučaja su sledeća:. Tačkas zvor, bez koualog dodavaja u oj ačk bez advekcje. Izvor z vše ačaka, bez koualog dodavaja u oj ačk bez advekcje 5

52 3. Izvor z vše ačaka, bez koualog dodavaja u oj ačk sa advekcjom 4. Tačkas zvor, sa koualm dodavajem u oj ačk sa advekcjom Dodaak 3 je kod pod azvom SUBROUTINE df_d. Ovaj podprogram l po Forrau sabrua račua umerčko rešeje u jedoj dmezj. Dodaak 4 je kod pod azvom SUBROUTINE ac_d. Ovaj podprogram račua ačo aalčko rešeje apsao. Dodaak 5 je kod pod azvom SUBROUTINE POd. Ovaj podprogram bra počee uslove. Određuje da l je zvor u jedoj ačk l u vše ačaka. Dodaak 6 je kod pod azvom SUBROUTINE df_d. Ovaj podprogram račua rešeje u dve dmezj. Dodaak 7 je kod pod azvom SUBROUTINE ac_d. Ovaj podprogram račua ačo aalčko rešeje apsao u dve dmezje. Dodaak 8 je kod pod azvom SUBROUTINE df_3d. Ovaj podprogram račua rešeje u r dmezj. Dodaak 9 je kod pod azvom SUBROUTINE advc. Ovaj podprogram račua advekv čla za slučaj kada posoj advekcja. Dodaak 0 je kod pod azvom PROGRAM slke. U ovom programu se sčavaju zračuae vredos koceracje aalčkm umerčkm meodama u dve dmezje. Dodaak je kod pod azvom SUBROUTINE grads_sub. U ovom podprogramu je apsaa saksa za program Grads. To je program u kojem su urađee slke u dve dmezje..0 Rezula umerčkog rešavaje problema prosraja zagađeja Rezula koj su dobje pomoću ovh kodova će b predsavlje grafčk. 5

53 .0. Rezula za D slučaj.5 Zavsos koceracje od koordae Za maksmala broj koraka za -koordau koj uze u programu je 5. Za D ovaj broj koraka je dovolja da se dobro vd Gausova raspodela. Sa slke se vd da se zvor zagađeja alaz u ceru polja, odoso u ačk 5. To je zadao u programu. Na grafcma crveom ljom je predsavljeo umerčko rešeje, a crom aalčko rešeje a polov maksmalog broja koraka za vreme, j. a polov ru-a. Plavom bojom je predsavljeo umerčko, a zeleom aalčko rešeje jedače a kraju celog pušaja programa, j. a kraju ru-a. Deo grafka koj prkazuje vredos a kraju ru-a je šr od dela grafka koj prkazuje vredos a polov ru-a. Ova pojava 53

54 se javlja zbog oga šo je dfuzja posle dužeg vremea veća, pa je maksmum koceracje u ceru maj. Na osovu grafka se vd da je rešeje dobjeo Eulerovom meodom ajblže ačom rešeju, j. da se grafc ačog umerčkog rešeja skroz poklapaju. To zač da je ajbolje rešeje dobjeo upravo ovom meodom..0. Rezula za D slučaj Pošo je Eulerovom meodom za slučaj D dobjeo popuo poklapaje raspodele koceracje umerčkog aalčkog rešeja, za slučaj D će se pored Heuova rak-ncolsoova meoda, zbog oga šo kod jh ma blagh odsupaja umerčkog rešeja od aalčkog. Rad jedosavjeg račua korac u prosoru broj koraka po koordaama je jedak za za y-koordau. Za maksmala broj koraka za za y-koordau koj uze u programu je 5. Prvobo je blo urađeo za 5 korak. Međum dfuzja se slabo vdela a ako malom polju, pa je zbog jasje slke uze ovaj već broj za sve slučajeve. 54

55 .6 Poređeje aalčkog Heuovog umerčkog rešeja za slučaj broj 55

56 .7 Poređeje aalčkog rak Ncolsoovog umerčkog rešeja za slučaj broj Za obe šeme je za maksmalo vreme je uzeo daa. Zao šo se ako og vremea prmećuje proces dfuzje. Pored se rešeje za prv slučaj, j. kad ema koualog dodavaja advekcje. Izvor zagađeja se alaz u ceru 56

57 polja. Na osovu grafka se vd da su rešeja dobjea aalčkm umerčkm puem prblžo sa. Šo zač da koršćee šeme daju dobro rešeje problema. Sa grafka se vd da je Heuova šema bolja od rak-ncolsoove. Međum Heuova šema ma jedu mau, a o je jea uslova sablos, šo dalje zač da je sabla za ograče broj koraka u vremeu. Dok je rak-ncolsoova sema sabla za eograče broj koraka. 57

58 .8 Poređeje Heuovog rak Ncolsoovog umerčkog rešeja za slučaj broj Poovo je za obe šeme je za maksmalo vreme je uzeo daa zbog dobre vdljvos rešeja. Zagađeje z vše ačaka l rasu zvor prlkom umerčkog rešavaja je zada ma sledeć oblk: 58

59 Ovo su vredos koje su zadae u ekolko ačaka. Maksmum je u ceru, a ravomero se smajuje u svm pravcma. Maksmum je mogo zražej ego u prehodom slučaju, zao šo je ovde uze zvor z vše ačaka. Sa slke se vd veće šreje oblaka maja vredos maksmuma koceracje a kraju ru-a ego a polov, šo je posledca dfuzje. To dalje zač da ako vše vremea zagađeje se vše šr, a koceracja u zvoru slab. 59

60 .9 Poređeje Heuovog rak Ncolsoovog umerčkog rešeja za slučaj broj 3 Za obe šeme je za maksmalo vreme je uzeo daa. Sa slke se vd da se zvor ako prvog ako drugog daa e alaz a som mesu. Ovo pomeraje se javlja usled advekcje koja se uzma u obzr u ovom slučaju. Može se prme podela polja 60

61 zagađeja koja je akođe posledca vera, j. advekcje. Posmara se advekcja samo u - pravcu, pa je uzea vredos samo za u kompoeu brze. Jača vera uzea u programu je m/s. Neophodo je uze ovako mal broj, jer kada se preposav da je jač vear e može da se vd dfuzja. Suvše brzo dođe do dfuzje a kraju ru-a se e vd ša. Sa ovako malm verom se vd blago pomeraje zvora. 6

62 .0 Poređeje Heuovog rak Ncolsoovog umerčkog rešeja za slučaj broj 4 Za obe šeme je za maksmalo vreme je uzeo 0 daa. Ovde se posmara dfuzja za duž vremesk perod zao šo je usled ucaja koualog dodavaja advekcje dfuzja mogo sporja ego u prehodm slučajevma. Za ovaj slučaj porebo je vše 6

63 vremea da b se vdel rezula baš zbog oga šo posoj kosao dodavaje zagađeja. Tokom račuaja salo se pomalo dodaje koceracja, a a kraju ru-a se oa duplra. Poovo usled advekcje za brzu vera od m/s dolaz do pomeraja zvora. 63

64 Zaključak Na osovu defcja opsa procesa vdel smo da je dfuzja mehazam kojm se jeda vrsa maerje rasporuje kroz drugu vrsu maerje. Veoma važa uslov za asaak dfuzje je razlka u koceracj, odoso posojaje gradjea koceracje. Vdel smo da je proces dfuzje dobro opsa Fkovm zakoma, pr čemu drug Fkov zako dfuzje defše promeu koceracje sa vremeom. Meoda koja je koršćea pr aalčkom rešavaju problema dfuzje z ačkasog zvora je meoda razdvajaja promeljvh l Furjeova meoda. Pomoću ove meode je dobjeo rešeje koje zadovoljava počeu jedaču kaja defše drug Fkov zako dfuzje. Fzčk smsao ovog rešeja se objašjava Gausovom raspodelom koceracje. U umerčkom rešavaju problema dfuzje su koršćee meode kojma se dobjaju rešeja koja se slazu sa dam aalčkm rešejma. Pokazao je da je vo Neumaov meod veoma pogoda za određvaje sablos reseja. Za Eulerov Heuov meod koršćeo je umerčko dferecraje, a u rak-ncolso šem pomoću umerčkog dferecraja rekureh relacja smo akođe došl do zadovoljavajuch rezulaa. Dobjea su umerčka rešeja, koja su prkazaa grafck, dobro se slazu sa eorjskm rezulama. 64

65 LITERATURA J rak (975) The mahemacs of dffuso, laredo press, No -9, 8-3, F Mesger (976) Damčka meeorologja-aalčka rešeja umerčke meode, Građevska kjga, No -40, 5 3 Đ Mušck, B Mlć (975) Maemačke osove eorjske fzke sa zbrkom rešejh zadaaka, Nauča kjga, No 6-4 A Karač (008) Numerčke meode u žejersvu, Uverze u Zec, No 87-93, 5 5 M Bojovć Mloradov, M Bukurov, S Taš, S Bkć (006) Rasprosraje poremećaja, Fakule ehčkh auka, Nov Sad, No -8, -5, 60 6 Kors sajov

66 DODATAK Dodaak MODULE prm IMPLIIT NONE REAL,PARAMETER:: c0=.e3 REAL,PARAMETER:: p= REAL,PARAMETER::d=*360.! m REAL,PARAMETER::K=.e-5, d=.5e0, d=./d, d=.5*d REAL,PARAMETER:: dd=d*d*d INTEGER,PARAMETER:: hr=*4, m=(hr*3600)/d, pr=.5*m INTEGER,PARAMETER:: case_m=4, sp=m/0 INTEGER,PARAMETER::m=5, jm=m, km=m REAL,PARAMETER:: Kdd=K*dd REAL:: csrc! Ukupa kolca sub. koja se ubac okom ELOG raa REAL:: dcosec! Saga zvora/sec. REAL:: dc! Saga zvora po jedom rac. koraku REAL :: me!logcke promeljve LOGIAL :: ld=.true., ld=.true., l3d=.false. LOGIAL :: loj=.true., lhju=.true., lc=.true. LOGIAL :: raz, src, adv INTEGER,PARAMETER :: um_flds=4 INTEGER :: rec, case HARATER(LEN=5):: fm REAL,DIMENSION(m,jm,um_flds):: flds HARATER(LEN=9),DIMENSION(um_flds):: cflds END MODULE prm Dodaak PROGRAM dfuzja USE prm IF( ld) ALL df_d case=4 IF( case == ) THEN raz=.false. ; src=.false. ; adv=.false. 66

67 csrc=0. ELSEIF( case == ) THEN raz=.true. ; src=.false. ; adv=.false. csrc=0. ELSEIF( case ==3 ) THEN raz=.true. ; src=.false. ; adv=.true. csrc=0. ELSEIF( case ==4 ) THEN raz=.false. ; src=.true. ; adv=.true. csrc=c0 ENDIF PRINT*,'raz=',raz,' src=',src,' adv =', adv ; PRINT*,' ' PRINT*,'csrc =',csrc ; PRINT*,' ' dcosec=csrc/(m*d) ; dc=dcosec*d ALL df_d IF( l3d) ALL df_3d END PROGRAM dfuzja Dodaak 3 SUBROUTINE df_d USE prm IMPLIIT NONE INTEGER::,, oj=0, hju=0, c=0 REAL,DIMENSION(m):: c, cb, cbh, cac REAL,DIMENSION(m):: czv, ee, gg, d REAL:: d_c,cdfzv, cdf HARATER(LEN=) :: coj, chju, cc HARATER(LEN=6) :: vr_shema! Ispsvaje osovh karakerska PRINT*,'egracja raje=', hr,' sa ' PRINT*,'egracja raje=', INT((m*d)/86400),' daa ', m+ PRINT*,'Koef df je =', k, ' korak u pros je',d ; PRINT*,' '!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Ojlerova sema!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! IF (loj) THEN vr_shema='ojler' PRINT*,'Vremeska sema je :', vr_shema,' vrem kor ',d PRINT*,'sapaje svakh raje=', pr c=0.! poce uslov paz ovo je EO z 67