LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA"

Transcript

1 LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA Predrag Tanović February 11, 211 {WARNING: Sadržaj ovog materijala NI U KOM SLUČAJU NE MOŽE ZAMENITI UDŽBENIK: radi se o prepravljanim slajdovima predavanja. Reference nedostajućih dokaza (vidi Problem X.YZ) se odnose na DRUGO IZDANJE Lipshutza (takvog nema u skriptarnici). Contents 1 LINEARNE JEDNAČINE I SISTEMI Osnovni pojmovi Elementarne transformacije sistema jednačina, Gausov postupak VEKTORI U R n Sabiranje vektora i množenje vektora skalarom Linearne kombinacije, linearna zavisnost vektora u R n ; veza sa sistemima linearnih jednačina Norma vektora i skalarni proizvod Nejednakosti Cauchy-Shwartza i Minkowskog Rastojanje, ugao izmedju vektora, projekcija Površina paralelograma Vektori u R 3, vektorski i mešoviti proizvod Prave i hiper-ravni u R n Rastojanje tačke od prave u R n Prava u ravni Položaj ravni u R Medjusobni položaj pravih u R Medjusobni položaj prave i ravni, ugao izmedju prave i ravni MATRICE Sabiranje i množenje matrica skalarom, Množenje matrica Matrični zapis sistema linearnih jednačina, veza izmedju skupa rešenja sistema i skupa rešenja pridruženog homogenog sistema Blok matrice Transponovanje matrice Kvadratne matrice Elementarne transformacije vrsta matrice, elementarne matrice Inverzna matrica Izračunavanje inverzne matrice elementarnim transformacijama vrsta Elementarne transformacije kolona Ekvivalentnost matrica Smena promenljivih (promena koodinatnog sistema), slične matrice Specijalni tipovi kvadratnih matrica VEKTORSKI PROSTORI Primeri vektorskih prostora Potprostori Linearne kombinacije Linearna zavisnost

2 4.5 Baza i dimenzija Prostor vrsta matrice Odredjivanje baze i dimenzije potprostora u R n Rang matrice Drugi algoritam za odredjivanje baze i dimenzije Linearne jednačine i vektorski prostori Suma i direktna suma potprostora Koordinate vektora u odnosu na bazu, promena baze LINEARNI OPERATORI Definicija i primeri Slika i jezgro linearnog operatora Primena na sisteme linearnih jednačina Izomorfizam vektorskih prostora Operacije sa linearnim preslikavanjima, vektorski prostor Hom(U, V ) Algebra A(V ) (ili Hom(V )) Matrično predstavljanje linearnih operatora Algoritam za formiranje matrice operatora u odnosu na bazu M n (F) i A(V ) Promena baze i matrica operatora DETERMINANTE Determinante reda 1, 2 i Permutacije Definicija i osnovna svojstva determinanti Minori i kofaktori, izračunavanje determinante Adjungovana matrica Kramerova teorema Determinante blok matrica Determinanta linearnog operatora UNITARNI PROSTORI Koši-Švarcova nejednakost Ortogonalnost Ortogonalni skupovi i baze Furijeovi koeficijenti Beselova nejednakost Gram-Šmitov postupak ortogonalizacije Ugao izmedju vektora i potprostora Matrično predstavljanje skalarnog proizvoda Promena baze i Gramova matrica Ortogonalne matrice i skalarni proizvod Gramova determinanta NORMIRANI PROSTORI DIJAGONALIZACIJA Karakteristični (sopstveni) polinom matrice Teorema Kejli-Hamiltona Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori Algebarska i geometrijska višestrukost sopstvene vrednosti Dijagonalizabilnost Dijagonalizacija realnih simetričnih matrica Minimalni polinom matrice Dijagonalizacija linearnog operatora

3 9 KANONSKE FORME OPERATORA Invarijantni potprostori linearnog operatora Osnovna dekompozicija linearnog operatora Nilpotentni operatori Žordanova forma linearnog operatora ISPITNA PITANJA 9

4 1 LINEARNE JEDNAČINE I SISTEMI 1.1 Osnovni pojmovi Neka je K polje, ukoliko drugačije nije naglašeno podrazumevamo K = R. Definicija Linearna jednačina nad poljem K po promenljivim x 1,...,x n je ona koja se može svesti na oblik a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b gde su a 1,a 2,...,a n koeficijenti i b slobodni član jednačine elementi polja K. 2. Uredjena n-torka (k 1,k 2,...,k n ) K n je rešenje gornje jednačine ako važi: a 1 k 1 + a 2 k a n k n = b 3. Sva njena rešenja čine skup rešenja jednačine: {(k 1,k 2,...,k n ) K n a 1 k 1 + a 2 k a n k n = b } Degenerisana linearna jednačina je jednačina oblika: x 1 + x x n = b. Ako je b = tada je skup njenih rešhenja je K n ; ako je b onda ona nema rešenja (skup rešenja je ). Sistem linearnih jednačina po promenljivim x 1,x 2,...,x n je a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Uredjena n-torka (k 1,k 2,...,k n ) K n je rešenje sistema ako je rešenje svake od jednačina sistema. Sva rešenja čine skup rešenja sistema. Ako sa S i označimo skup rešenja i-te jednačine gornjeg sistema a sa S skup rešenja sistema tada važi: S = S 1 S 2... S m Rešiti sistem jednačina znači odrediti njegov skup rešenja. Definicija 1.2. Dva sistema su ekvivalentna ako imaju isti skup rešenja. Definicija 1.3. Homogena linearna jednačina je oblika a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =. Neka su r = (r 1,r 2,...,r n ) i r = (r 1,r 2,...,r n) rešenja gornje homogene jednačine i k R. Tada: (1) k r = (kr 1,kr 2,...,kr n ) je takodje rešenje jednačine: a 11 r 1 + a 12 r a 1n r n = k(a 11 r 1 + a 12 r a 1n r n ) = a 11 (k r 1 ) + a 12 (k r 2 ) a 1n (k r n ) = k ; (2) r + r = (r 1 + r 1,r 2 + r 2,...,r n + r n) je rešenje: a 11 r 1 + a 12 r a 1n r n = + a 11 r 1 + a 12 r a 1n r n = a 11 (r 1 + r 1) + a 12 (r 2 + r 2) +... a 1n (r n + r n) = ;

5 Ako su r, r 1,...,r n njena rešenja i k,k 1,...,k n skalari (obični brojevi) tada je i k r +k 1 r k n r n rešenje. Isto važi i za sistem homogenih linearnih jednačina: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = Ako su r, r 1,...,r n rešenja sistema i k,k 1,...,k n skalari tada je i k r + k 1 r k n r n rešenje sistema. Primer 1.1. x + z = y + 3z = t = ima parametarsko rešenje t =, z = a, y = 3a, x = a ili (x,y,z,t) = ( a, 3a,a,) a R. Primer 1.2. x y z t = a 3a a = a x 2y + t = z 3t = ima parametarsko rešenje t = a, z = 3a, y = b, x = 2b a ili (x,y,z,t) = (2b a,b,3a,a) a,b R. x y z t = 2b a b 3a a = 2b b + a 3a a = b a (2,1,,) je rešenje sistema i dobija se za a = b = 1, rešenje ( 1,,3,1) za a = 1 b =. Ova dva rešenja čine bazu skupa rešenja (što znači da se svako rešenje sistema izražava kao njihova linearna kombinacija). U slučaju proizvoljnog homogenog sistema bazu skupa rešenja dobijamo kada uzimamo da je vrednost jedne slobodne promenljive 1 a ostalih ; na taj način dobijemo onoliko rešenja koliko homogeni sistem ima slobodnih promenljivih. Zbir dva rešenja nehomogene linearne jednačine a 1 x a n x n = b (gde je b!) ne daje rešenje: (1, 1) i (, 2) su rešenja jednačine x + y = 2 a (1, 3) nije. smemo ni množiti: k (1,1) nije rešenje jednačine za k 1. Rešenja ne Ako je r rešenje nehomogene jednačine a h rešenje odgovarajuće homogene jednačine, tada je r + h takodje rešenje nehomogene jednačine: Neka je r = (r 1,r 2,...,r n ) rešenje jednačine a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b i neka je h = (h 1,h 2,...,h n ) rešenje odgovarajuće homogene jednačine a 1 x 1 + a 2 x a n x n = Tada je a 1 r 1 + a 2 r a n r n = b a 1 h 1 + a 2 h a n h n =

6 Sabiranjem dobijamo: a 1 (r 1 + h 1 ) + a 2 (r 2 + h 2 ) a n (r n + h n ) = b Ako je r bilo koje rešenje nehomogene jednačine tada se lako proveri da je r r = h rešenje homogene jednačine. Zaključujemo: svako rešenje nehomogene jednačine r možemo napisati kao zbir rešenja r i nekog rešenja homogene jednačine h. r = r + h Ako sa W označimo skup svih rešenja homogene jednačine i ako je r bilo koje rešenje odgovarajuće nehomogene jednačine, tada je r + W = {r + h h W } skup svih rešenja nehomogene jednačine. Isto važi i za sisteme: posmatrajmo sistem i njemu odgovarajući homogeni sistem: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = Ako su r,r rešenja nehomogenog sistema tada je r r = h rešenje pridrženog homogenog sistema. Svako rešenje nehomogenog sistema r možemo napisati kao zbir rešenja r i nekog rešenja homogene jednačine. r = r + h Ako sa W označimo skup svih rešenja homogenog sistema i ako je r bilo koje rešenje odgovarajućeg nehomogenog sistema tada je r + W = {r + h h W } skup svih rešenja nehomogenog sistema. Primer 1.3. x + z = 2 y + 3z = 1 t = 3 ima parametarsko rešenje t = 3, z = a, y = 3a + 1, x = a + 2 ili (x,y,z,t) = ( a + 2, 3a + 1,a,) a R. Primer 1.4. x y z t = a + 2 3a + 1 a 3 = a x 2y + t = 1 z 3t = 2 ima parametarsko rešenje t = a, z = 3a+2, y = b, x = 2b a+1 ili (x,y,z,t) = (2b a+1,b,3a+2,a) a,b R. x y z t = b a

7 (1,,2,) je rešenje nehomogenog sistema; (2,1,,) i ( 1,,3,1) su rešenja homogenog sistema. Skup svih rešenja homogenog sistema je W = {b(2,1,,) + a( 1,,3,1) a,b R} ; skup rešenja nehomogenog sistema je (1,, 2, ) + W. 1.2 Elementarne transformacije sistema jednačina, Gausov postupak Označimo sa (S) sledeći sistem jednačina: Elementarne transformacije sistema su: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 L 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 L a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m L m (E 1 ) Zamena mesta i-te i j-te jednačine: L i L j (E 2 ) Na mesto i-te jednačine staviti nju pomnoženu skalarom k : k L i L i (E 2 ) i-tu jednačinu zameniti sa L i + al j (a K,i j): L i + al j L i Lema 1.1. Ako je sistem (S) dobijen iz sistema (S) primenom neke elementarne transformacije tada su ti sistemi ekvivalentni (t.j. imaju isti skup rešenja). Dokaz. Pretpostavimo da je (S) dobijen iz sistema (S) primenom neke elementarne transformacije. Treba dokazati da su sistemi ekvivalentni što, po definiciji 1.2, znači da ta dva sistema imaju isti skup rešenja. Prema tome, treba dokazati da je svako rešenje sistema (S) ujedno i rešenje sistema (S), kao i da svako rešenje sistema (S) mora biti rešenje sistema (S). Imamo tri slučaja: 1) (S) je dobijen primenom (E 1 ) na (S); tačnije, zamenom mesta i-te i j-te jednačine. (S) je isti kao (S) s tim što je i-ta jednačina na j-tom mestu a j-ta na i-tom. Očigledno da je svako rešenje sistema (S) ujedno i rešenje sistema (S), kao i da je svako rešenje sistema (S) rešenje sistema (S). 2) (S) je dobijen primenom (E 2 ) na (S); tačnije, jednačina L i je zamenjena jednačinom k L i gde je k (bez umanjenja opštosti neka je i = 1). Pretpostavimo da je r 1,...,r n ) rešenje sistema (S): a 11 r 1 + a 12 r a 1n r n = b 1 L 1 a 21 r 1 + a 22 r a 2n r n = b 2 L (S) a m1 r 1 + a m2 r a mn r n = b m L m Ako prvu jednakost pomnožimo sa k, a ostale prepišemo dobijamo: k a 11 r 1 + k a 12 r k a 1n r n = k b 1 k L 1 a 21 r 1 + a 22 r a 2n r n = b 2 L (S) a m1 r 1 + a m2 r a mn r n = b m L m Prema tome (r 1,...,r n ) je rešenje sistema (S). Time smo dokazali da je svako rešenje sistema (S) ujedno i rešenje sistema (S). Neka je sada (r 1,...,r n) rešenje sistema (S) : k a 11 r 1 + k a 12 r k a 1n r n = b 1 k L 1 a 21 r 1 + a 22 r a 2n r n = b 2 L (S) a m1 r 1 + a m2 r a mn r n = b m L m Ako prvu jednakost podelimo sa k (što smemo jer je k ), a ostale prepišemo dobijamo:

8 a 11 r 1 + a 12 r a 1n r n = b 1 L 1 a 21 r 1 + a 22 r a 2n r n = b 2 L (S) a m1 r 1 + a m2 r a mn r n = b m L m Prema tome (r 1,...,r n) je rešenje sistema (S). Time smo dokazali da je svako rešenje sistema (S) ujedno i rešenje sistema (S). 3) (S) je dobijen primenom (E 3 ) na (S); bez umanjenja opštosti, neka je prva jednačina u (S) zamenjena zbirom prve i druge. Pretpostavimo da je r 1,...,r n ) rešenje sistema (S): a 11 r 1 + a 12 r a 1n r n = b 1 L 1 a 21 r 1 + a 22 r a 2n r n = b 2 L (S) a m1 r 1 + a m2 r a mn r n = b m L m Ako prvu jednakost zamenimo zbirom prve i druge a ostale prepišemo dobijamo: (a 11 + a 21 )r 1 + (a 12 + a 22 )r (a 1n + a 2n )r n = b 1 + b 2 L 1 + L 2 a 21 r 1 + a 22 r a 2n r n = b 2 L (S) a m1 r 1 + a m2 r a mn r n = b m L m Prema tome (r 1,...,r n ) je rešenje sistema (S). Time smo dokazali da je svako rešenje sistema (S) ujedno i rešenje sistema (S). Pretpostavimo da je (r 1,...,r n) rešenje sistema (S) : (a 11 + a 21 )r 1 + (a 12 + a 22 )r (a 1n + a 2n )r n = b 1 + b 2 L 1 + L 2 a 21 r 1 + a 22 r a 2n r n = b 2 L (S) a m1 r 1 + a m2 r a mn r n = b m L m Ako od prve jednakosti oduzmemo drugu, a ostale prepishemo dobijamo: a 11 r 1 + a 12 r a 1n r n = b 1 L 1 a 21 r 1 + a 22 r a 2n r n = b 2 L (S) a m1 r 1 + a m2 r a mn r n = b m L m Prema tome (r 1,...,r n) je rešenje sistema (S). Time smo dokazali da je svako rešenje sistema (S) ujedno i rešenje sistema (S). Teorema 1.1. Ako se sistem (S) može dobiti iz sistema (S) primenom konačnog niza elementarnih transformacija tada su ti sistemi ekvivalentni. Dokaz. Pretpostavimo da se sistem (S) može dobiti primenom niza od n elementarnih transformacija iz sistema (S): primenom transformacije E i1 na (S) dobijen je sistem (S 1 ), primenom transformacije E i2 na (S 1 ) dobijen je sistem (S 2 ),..., primenom transformacije E in na (S n 1 ) dobijen je sistem (S). Kako je (S 1 ) dobijen iz (S) primenom samo jedne elementarne transformacijem, prema prethodnoj lemi, sistemi (S) i (S 1 ) su ekvivalentni (imaju iste skupiove rešenja); slično, (S 1 ) i (S 2 ) imaju isti skup rešenja, (S 2 ) i (S 3 ) imaju isti skup rešenja,..., (S n 1 ) i (S) imaju isti skup rešenja. Sledi da i (S) i (S) imaju isti skup rešenja. Trougaona i stepenasta forma sistema. Gausov postupak, svodjenje sistema na stepenastu formu 2 VEKTORI U R n u = (u 1,u 2,...,u n ) R n je vektor (ili tačka) prostora. u 1,u 2,...,u n su njegove koordinate.

9 a R je skalar. Dva vektora u = (u 1,...,u n ) i v = (v 1,...,v n ) su jednaka ako i samo ako je u 1 = v 1, u 2 = v 2,..., u n = v n. Vektor u = (u 1,...,u n ) pišemo i kao vektor-kolonu Ponekad vektor x označavamo i sa x. u 1 u 2... u n 2.1 Sabiranje vektora i množenje vektora skalarom Definicija 2.1. Neka su u = (u 1,u 2,...,u n ) i v = (v 1,v 2,...,v n ) vektori prostora R n. Definišemo: (a) sabiranje vektora: u + v = (u 1 + v 1,u 2 + v 2,...,u n + v n ) ( R n ) (b) množenje vektora skalarom (brojem) k R: k u = (k u 1,k u 2,...,k u n ) ( R n ) Ako je n = 2, 3 množenje vektora položaja skalarom k je izduživanje (ili skraćivanje ) po istom pravcu sa koeficijentom k, ako je k < onda imamo i promenu smera. Sabiranje vektora je sabiranje vektora položaja po pravilu paralelograma. Nula-vektor je = (,,...,). u je ( 1) u. Teorema 2.1. Za sve vektore u,v,w R n i skalare k,k R važi: 1. (u + v) + w = u + (v + w) 2. u + = u 3. u + ( u) = 4. u + v = v + u 5. k (u + v) = k u + k v 6. (k + k )u = k u + k u 7. (k k )u = k (k u) 8. 1u = u Dokaz. Dokazaćemo samo prvi deo, za dokaz ostalih delova videti Problem Neka je u = (u 1,...,u n ), v = (v 1,...,v n ) i w = (w 1,...,w n ). Tada je: (u + v) + w = ((u 1,...,u n ) + (v 1,...,v n )) + (w 1,...,w n ) = (u 1 + v 1,...,u n + v n ) + (w 1,...,w n ) = (u 1 + v 1 + w 1,...,u n + v n + w n )

10 Prema tome (u + v) + w = u + (v + w). u + (v + w) = (u 1,...,u n ) + ((v 1,...,v n ) + (w 1,...,w n )) = (u 1,...,u n ) + (v 1 + w 1,...,v n + w n ) = (u 1 + v 1 + w 1,...,u n + v n + w n ) Prethodna teorema opisuje R n kao vektorski prostor u odnosu na sabiranje vektora i množenje skalarom (videti Definiciju 4.1) Ako su vektori u,v R n (u is a multiple of v). i k skalar takvi da je u = k v onda kažemo da u i v imaju isti pravac u i v imaju isti smer ako je k > ; u i v imaju suprotan smer ako je k <. 2.2 Linearne kombinacije, linearna zavisnost vektora u R n ; veza sa sistemima linearnih jednačina Definicija 2.2. Vektor v je linearna kombinacija vektora u 1,u 2,...,u n ako postoje skalari k 1,k 2,...,k n takvi da važi (k 1,k 2,...,k n su koeficijenti ove linearne kombinacije). v = k 1 u 1 + k 2 u k n u n v je linearna kombinacija vektora u 1,u 2,...,u n ako i samo ako sledeća vektorska jednačina ima rešenje: v = x 1 u 1 + x 2 u x n u n. Primer 2.1. Dati su vektori v = u 1 = Da li je v linearna kombinacija vektora u 1, u 2 i u 3? Ekvivalentno: Da li postoje x,y,z R takvi da: je u 2 = x i u 3 = + y z 1 = x + y + z = 2 Ekvivalentno: Da li sistem x + y = 3 ima rešenje? x = 4 Odgovor je: da. Isti je odgovor i za bilo koji vektor v na mestu v. Šta više: svaki vektor se na jedinstven način izražava kao linearna kombinacija vektora u 1, u 2 i u 3 (u 1,u 2,u 3 je baza vektorskog prostora R 3 ) Sistem linearnih jednačina: je isto što i vektorska jednačina a 11 x 1 a a m1 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m + x 2 a 12 a a m x n a 1n a 2n... a mn = b 1 b 2... b m 2 3 4?

11 koja označava da je vektor sa koeficijentima x 1,..x n. b 1 b 2... b m linearna kombinacija vektora kolona a 11 a a m1, a 12 a a m2,..., Definicija 2.3. Vektori u 1,u 2,...,u n R n su linearno zavisni ako postoje skalari k 1,k 2,...,k n koji nisu svi nule takvi da važi k 1 u 1 + k 2 u k n u n =. U suprotnom (ako ne postoje takvi k i -ovi) oni su linearno nezavisni. a 1n a 2n... a mn Teorema 2.2. (a) Vektori u 1,u 2,...,u n R n su linearno zavisni ako i samo ako je jedan od njih linearna kombinacija preostalih. (b) Vektori u 1,u 2,...,u n R n su linearno zavisni ako je jedan od njih nula-vektor. Dokaz.... Primer 2.2. (1,1) i (1,) su linearno nezavisni. (1,1), (1,) i (3,1) su linearno zavisni. (1, 1, 1), (1, 1, ) i (1,, ) su linearno nezavisni. (1,1,1), (1,1,), (1,,) i (2,3,1) su linearno zavisni. Vektori a 11 a a m1, sistem linearnih jednačina: a 12 a a m2,..., a 1n a 2n... a mn su linearno nezavisni ako i samo ako homogeni a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = ima netrivijalno rešenje. 2.3 Norma vektora i skalarni proizvod Definicija 2.4. Neka je u = (u 1,u 2,...,u n ) vektor u R n. Definišemo normu vektora u (njegov intenzitet ili dužinu): u = ako i samo ako u =. u = u u u2 n ( R + ). k u = k u ( k je apsolutna vrednost broja k). u R n je jedinični vektor ako i samo ako je u = 1. Za svaki u postoji tačno jedan jedinični vektor koji ima isti smer kao i u. To je u u ). 1 u u (ili

12 Definicija 2.5. Neka su u = (u 1,u 2,...,u n ) i v = (v 1,v 2,...,v n ) vektori u R n. Definišemo skalarni proizvod vektora u i v (dot product, inner product or scalar product): u v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n ( R) Naredna teorema opisuje osnovna algebarska svojstva skalarnog proizvoda: Teorema 2.3. Za sve vektore a,b,c R n važi: 1. a b = b a 2. ( a) b = (a b) 3. (k a) b = a (k b) = k (a b) 4. a a = a 2 5. (a + b) c = a c + b c i a (b + c) = a b + a c Dokaz. Dokazaćemo samo deo 5. Ostali delovi se još jednostavnije dokazuju. Neka je a = (a 1,...,a n ), b = (b 1,...,b n ) i c = (c 1,...,c n ). Tada je: (a + b) c = ((a 1,...,a n ) + (b 1,...,b n )) (c 1,...,c n ) = (a 1 + b 1,...,a n + b n ) (c 1,...,c n ) = (a 1 + b 1 )c 1 + (a 2 + b 2 ) c (a n + b n ) c n = a 1 c 1 + b 1 c 1 + a 2 c 2 + b 2 c a n c n + b n c n a c + b c = (a 1,...,a n ) (c 1,...,c n ) + (b 1,...,b n ) (c 1,...,c n ) = (a 1 c 1 + a 2 c a n c n ) + (b 1 c 1 + b 2 c b n c n ) = a 1 c 1 + b 1 c 1 + a 2 c 2 + b 2 c a n c n + b n c n Zaključujemo da je (a + b) c = a c + b c. Slično se dokaže i drugi deo: a (b + c) = a b + a c. Na osnovu prethodne teoreme možemo skalarno množiti dve linearne kombinacije vektora kao da se radi o običnim brojevima ; jedino za a a umesto a 2 pišemo a 2 : Primer 2.3. (1) U narednom računu prvo koristimo distibutivnost (osobina 5.) a zatim osobine i 4. (2) Na sličan način se izvedu i sledeće jednakosti: (a + b) (2a + b) = a (2a + b) + b (2a + b) = a (2a) + a b + b (2a) + b b = 2(a a) + a b + 2(b a) + b b = 2(a a) + a b + 2(a b) + b b = 2 a 2 + 3a b + b 2 (a + b) (a b) = a a a b + b a b b = a 2 b 2 (2a + b) (3a b + 2c) = 6a a 2a b + 4a c + 3b a b b + 2b c = = 6 a 2 + a b + 4a c b 2 + 2b c 2.4 Nejednakosti Cauchy-Shwartza i Minkowskog Teorema 2.4. (Cauchy- Shwartz) Za vektore u,v R n važi u v u v.

13 Dokaz: Za svaki realni broj t imamo Neka je (tu + v) (tu + v) = t 2 (u u) + 2t(u v) + (v v) = u 2 t 2 + 2(u v)t + v 2 a = u 2, b = 2(u v), c = v 2 Tada, za svaku vrednost t, imamo at 2 + bt + c. Ovo znači da kvadratni polinom ne može da ima dva realna korena. Što dalje implicira da diskriminanta D = b 2 4ac, ili ekvivalentno tome, b 2 4ac. Tako 4(u v) 2 4 u 2 v 2 Deljenjem sa 4 dobijamo naš rezultat. Teorema 2.5. (Minkowski) Za vektore u,v R n važi u + v u + v. Dokaz: Po Cauchy- Shwartz-ovoj nejednakosti i drugim svojstvima proizvoda, u + v 2 = (u + v) (u + v) = (u u) + 2(u v) + (v v) u u v + v 2 = ( u + v ) 2 Kada korenujemo obe strane dobijamo željenu nejednakost. 2.5 Rastojanje, ugao izmedju vektora, projekcija Definicija 2.6. Rastojanje (distance) izmedju tačaka (vektora) u = (u 1,u 2,...,u n ) i v = (v 1,v 2,...,v n ) je: d(u,v) = (u 1 v 1 ) 2 + (u 2 v 2 ) (u n v n ) 2. d(u,v) = d(v,u) Ako je n = 2,3 sa d(u,v) je definisano uobičajeno rastojanje (dužina duži uv). Nejednakost Minkowskog za u = a b i v = b c daje: d(a,c) d(a,b) + d(b,c) što je nejednakost trougla za abc: dužina stranice ac je manja od zbira dužina stranica ab i bc Teorema 2.6. (a) Ako su u = (u 1,u 2 ) i v = (v 1,v 2 ) tačke u (ravni) R 2 i θ ugao izmedju njih ( uv) onda je cos θ = u 1 v 1 + u 2 v 2 u u 2 2 v v2 2 = u v u v je (b) Ako su u = (u 1,u 2,u 3 ) i v = (v 1,v 2,v 3 ) tačke u (običnom prostoru) R 3 i θ ugao izmedju njih ( uv) onda Dokaz. y cos θ = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 u u u2 3 v v2 2 + v2 3 v = (v 1,v 2 ) = u v u v v u = (u 1,u 2 ) θ u x Primenimo kosinusnu teoremu na trougao uv...

14 Definicija 2.7. Ugao izmedju ne-nula vektora u = (u 1,u 2,...,u n ) i v = (v 1,v 2,...,v n ) θ definišemo sa: cos θ = u v u v Primetimo da Cauchy-Shwartzova nejednakost povlači: 1 pa postoji ugao θ [,π) takav da je cos θ = u v u v. u v u v 1 Kako je cos π 2 = imamo da su vektori u Rn (n = 2,3) normalni ako i samo ako je njihov skalarni proizvod. Definicija 2.8. Vektori u,v R n su ortogonalni (ili normalni) ako je u v =. Definicija 2.9. Definišemo projekciju vektora v = (v 1,v 2,...,v n ) na pravac vektora u = (u 1,u 2,...,u n ) : proj(v,u) = u v u (= cu) u 2 v v cu O cu u c = u v u 2 je jedinstven skalar takav da je (v cu) u = : Odavde sledi c = u v u 2. (v cu) u = v u cu u = v u c u 2 = 2.6 Površina paralelograma Računamo površinu P paralelograma (u R n!) odredjenog vektorima a i b: b h = b ca Vektor visine je ca a h = b ca = b a b a 2 a h 2 = (b ca) (b ca) = b 2 2ca b + c 2 a 2 = = b 2 2 a b ( ) 2 a b (a b) + a 2 a 2 a 2 =

15 Kako je P 2 = a 2 h 2 = b 2 (a b)2 (a b)2 2 a 2 + a 2 = = b 2 (a b)2 a 2 dobijamo: P 2 = a 2 b 2 (a b) 2 = a a a b b a b b 2.7 Vektori u R 3, vektorski i mešoviti proizvod i = (1,,) je jedinični vektor u smeru x-ose; j = (,1,) je jedinični vektor u smeru y-ose; k = (,,1) je jedinični vektor u smeru z-ose. i, j, k je ortonormirana baza (to su jedinični vektori koji su medjusobno normalni: i i = j j = k k = 1 i j = j k = k i = Svaki vektor u = (a,b,c) se na jedinstven način piše u obliku u = ai + bj + ck. Definicija 2.1. Vektorski proizvod (cross product) vektora a = (a 1,a 2,a 3 ) i b = (b 1,b 2,b 3 ) je vektor a b = (a 2 b 3 a 3 b 2, a 1 b 3 + a 3 b 1,a 1 b 2 a 2 b 1 ). a b = (a 2 b 3 a 3 b 2 )i (a 1 b 3 a 3 b 1 )j + (a 1 b 2 a 2 b 1 )k = = a 2 a 3 b 2 b 3 i a 1 a 3 b 1 b 3 j + a 1 a 2 b 1 b 2 a b = i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 k Neka je a = (a 1,a 2,a 3 ),b = (b 1,b 2,b 3 ),c = (c 1,c 2,c 3 ). Kažemo da je trojka (a,b,c) direktno (ili pozitivno) orijentisana baza ako važi: a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 > Teorema 2.7. a b je jedinstven vektor koji zadovoljava sledeća tri uslova: 1. Ortogonalan je i na a i na b 2. a b je jednak površini paralelograma odredjenog sa a i b 3. (a,b,a b) je direktno orijentisana baza ukoliko su a i b nekolinearni. Dokaz.... Osobine vektorskog proizvoda 1. a b = ako i samo ako su a i b kolinearni. 2. a b = b a

16 3. a (k b) = (k a) b = k (a b) 4. (a + b) c = a c + b c. 5. a (b + c) = a b + a c. 6. (α 1 a + β 1 b) (α 2 a + β 2 b) = α 1 β 1 α 2 β 2 (a b). 7. (a b) c pripada potprostoru (ravni, pravi,...) generisanom sa a i b. Definicija Mešoviti proizvod vektora a,b i c se definiše na sledeći način: [a,b,c] = (a b) c. Teorema 2.8. Neka je a = (a 1,a 2,a 3 ), b = (b 1,b 2,b 3 ), c = (c 1,c 2,c 3 ). Tada a 1 a 2 a 3 [a,b,c] = b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3. Takodje, [a,b,c] je po apsolutnoj vrednosti jednak zapremini paralelepipeda odredjenog vektorima a,b i c. Dokaz.... Osobine mešovitog proizvoda (1) [a,b,c] = [b,c,a] = [c,a,b] (2) [a,b,c] = [a,c,b] = [c,b,a] = [b,a,c]. (3) [αa + α a,b,c] = [αa,b,c] + [α a,b,c]; slično za b i c. (4) Ako je m = α 1 a + α 2 b + α 3 c; n = β 1 a + β 2 b + β 3 c i p = γ 1 a + γ 2 b + γ 3 c tada je: α 1 α 2 α 3 [m,n,p] = β 1 β 2 β 3 γ 1 γ 2 γ 3 [a,b,c] Dvostruki vektorski proizvod je (a b) c. Računa se po formuli: (i pripada potprostoru generisanom sa b i c). (a b) c = (a c)b (a b)c 2.8 Prave i hiper-ravni u R n Neka su A(a 1,a 2,...,a n ) i B(b 1,b 2,...,b n ) tačke (vektori) u R n. AB identifikujemo sa vektorom B A = (b 1 a 1,b 2 a 2,...,b n a n ) Definicija Hiper-ravan je skup svih tačaka prostora R n koje zadovoljavaju nedegenerisanu linearnu jednačinu k 1 x 1 + k 2 x k n x n = b. n = (k 1,k 2,...,k n ) je njen vektor normale. Vektor normale nije jedinstven, ali svaka dva su kolinearna. Geometrijska motivacija za prethodnu definiciju dolazi iz R 3.

17 Primer 2.4. Ravan (u R 3 ) je odredjena jednom svojom tačkom i vektorom normale. Odredićemo jednačinu ravni α koja sadrži tačku A(x,y,z ) i normalna je na vektor n = (k 1,k 2,k 3 ). n X A α Tačka X(x,y,z) pripada ravni α ako i samo ako je AX n = (x x,y y,z z ) (k 1,k 2,k 3 ) = Jednačina ravni koja sadrži tačku A(x,y,z ) i normalna je na vektor n = (k 1,k 2,k 3 ) je: k 1 (x x ) + k 2 (y y ) + k 3 (z z ) = Ako označimo b = k 1 x + k 2 y + k 3 z imamo jednačinu ravni α: k 1 x + k 2 y + k 3 z = b Primer 2.5. Neka je ravan α data jednačinom 2x + 3y 2z = 5. Iz jednačine odmah vidimo jedan vektor normale n α = (2,3, 2), a tačka ravni je bilo koje rešenje ove jednačine; npr. A(2,1,1). Jednačina ravni se transformiše u: 2(x 2) + 3(y 1) 2(z 1) = što označava da tačka X(x,y,z) pripada ravni ako i samo ako AX n =. Definicija Prava u R n koja sadrži tačku A(a 1,a 2,..,a n ) i ima pravac vektora v = (k 1,k 2,...,k n ) je skup svih tačaka X(x 1,x 2,...,x n ) koje zadovoljavaju: gde t R. v je vektor pravca prave. x 1 = a 1 + k 1 t, x 2 = a 2 + k 2 t,...,x n = a n + k n t x 1 = a 1 + k 1 t, x 2 = a 2 + k 2 t,...,x n = a n + k n t, t R je parametarska jednačina prave koja sadrži tačku A(a 1,a 2,..,a n ) i ima pravac (paralelna je) vektora v = (k 1,k 2,...,k n ) ( ). Zapisujemo je i u obliku; x 1 a 1 = x 2 a 2 =... = x n a n (= t) k 1 k 2 k n Vektor pravca prave nije jedinstveno odredjen pravom: ako je v p vektor pravca prave p onda je to i bilo koji vektor kolinearan sa njim, na primer 2v p,3v p, 5v p... Sledeći primer daje geometrijsku motivaciju za prethodnu definiciju. Primer 2.6. Odredimo jednačinu prave p koja sadrži tačku A(x,y,z ) i ima pravac vektora v p = (k 1,k 2,k 3 ) A X p O Tačka X(x,y,z) pripada pravi p ako i samo ako postoji t R takav da je AX = tv p v p (x x,y y,z z ) = t (k 1,k 2,k 3 ) Odavde dobijamo parametarsku jednačinu prave; x = x + k t y = y + k 1 t z = z + k 3 t koju zapisujemo i p : x x k 1 = y y k 2 = z z k 3 (= t)

18 Primer 2.7. Neka je data prava x 3 p : = y 1 = z + 1 (= t) Iz ove jednačine odmah pročitamo njen vektor pravca v p = (2,3, 3) i jednu njenu tačku A(3,1, 1) Dve prave su paralelne ako i samo ako su im vektori pravaca kolinearni. Ugao izmedju dve prave je ugao izmedju njihovih vektora pravaca (definisan je iako se prave možda i ne seku). 2.9 Rastojanje tačke od prave u R n Rastojanje tačke M od prave p (u R n ) odredjene tačkom A p i vektorom pravca v p, računamo kao u delu 2.7 kada smo računali visinu paralelograma: Označimo AM sa m: M m m cv p A cv p MM p = m cv p, gde je c = m v p v p 2 M p pa: MM p 2 = (m cv p ) 2 = m 2 (v p m) 2 v p 2 U R 2 i R 3 postoji alternativni način računanja rastojanja tačke od prave. Rastojanje tačke M od prave p odredjene tačkom A p i vektorom pravca v p možemo izračunati koristeći vektorski proizvod (površinu): Označimo AM sa m: v p p M v p m A M p MM p je dužina visine paralelograma odredjenog vektorima m i v p, pa je brojno jednaka površini paralelograma podeljenoj dužinom njegove stranice v p : MM p = m v p v p p 2.1 Prava u ravni Imamo dve vrste jednačina prave u R 2. Možemo je posmatrati kao: 1. pravu u R n (odredjenu tačkom i vektorom pravca); 2. hiper-ravan u R 2 (odredjenu tačkom i vektorom normale).

19 Primer 2.8. Neka je p : 2x + 3y = 5 Iz jednačine odmah imamo vektor normale prave p: n p = (2,3). Tačka A(1,1) pripada pravi p. Vektor pravca prave p možemo odrediti na dva načina: 1. v p je ma koji vektor normalan na n p ; npr. v p = ( 3,2) 2. Tačka B(7, 3) pripada pravi p pa je njen vektor pravca i AB = (1, 5). Primer 2.9. Odrediti jednačinu prave q koja sadrži tačku M(2,7) i normalna je na pravu p : 3x 2y = 4 Imamo vektor normale prave p: n p = (3, 2). Vektor pravca prave q je baš n p pa je jednačina q : x 2 3 = y 7 2 ili q : 3x + 2y = Položaj ravni u R 3 Jednačine ravni koja sadrži 3 date nekolinearne tačke A, B, C možemo naći na sledeći način: kako ravan odredjuju tačka i vektor normale, treba naći samo vektor normale, a to je AB AC. Primer 2.1. Jednačina ravni koja sadrži tačke A(1,,2), B(3,2,1) i C(2,1,5). Nadjemo vektor normale: n = i j k AB AC = (2,2, 1) (2,1,3) = = (7, 8, 2) Jednačina ravni koja sadrži tačku A(1,,2) i normalna je na vektor n = (7, 8, 2) je: 7(x 1) 8y 2(z 2) = Naći ćemo jednačinu ravni koja sadrži (nekolinearne) tačke A(a 1,a 2,a 3 ), B(b 1,b 2,b 3 ) i C(c 1,c 2,c 3 ). Prvo nadjemo vektor normale na ravan, npr n = i j k AB AC = b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a 3. Primeti da je n kako su tačke nekolinearne. Dalje, tačka X(x,y,z) pripada ravni akko AX n = akko: x a 1 y a 2 z a 3 b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a 3 =. Dve ravni α i β su paralelne ako i samo ako su im vektori normala kolinearni. Ekvivalentno: površina paralelograma odredjenog sa ta dva vektora je (ili n α n β = ). Iz prethodnog sledi da se dve ravni α i β seku akko n α n β. Da odredimo jednačinu presečne prave te dve ravni treba nać jednu tačku preseka i vektor pravca prave. Vektor pravca je normalan na svaki od vektora normala ravni, pa možemo uzeti v p = n α n β Primer Jednačina presečne prave ravni α : 2x + 2y z = 1 i β : 2x + y + 3z = 5. i j k v p = n α n β = = (7, 8, 2) Presečna tačka je bilo koje rešenje sistema 2x + 2y z = 1 2x + y + 3z = 5 npr. A(1,, 1). p : x 1 7 = y 8 = z 1 2 (= t)

20 Neka je ravan α data tačkom A i vektorom normale n. Rastojanje tačke M od ravni α je dužina duži AM 1. Primetimo AM 1 = proj ( AM,n) M 1 M n A α Prema tome, rastojanje računamo po formuli: d(m,α) = AM 1 = proj ( (M A) n AM,n) = n Medjusobni položaj pravih u R 3 Prave p i q su paralelne akko su im vektori pravaca kolinearni; ekvivalentno v p v q =. Kada su p i q mimoilazne? Neka je p data tačkom A i vektorom pravca v p a q tačkom B i vektorom pravca v q. q B v q A v p p Primetimo da su prave mimoilazne ako i samo ako je paralelepiped odredjen sa AB,vp,v q nedegenerisan (zapremina mu nije nula): [ AB,vp,v q ] Slično: prave su u istoj ravni (paralelne su, ili se seku) ako i samo ako [ AB,vp,v q ] = Rastojanje izmedju mimoilaznih pravih p i q (sa gornje slike) je jednako visini paralelepipeda. Primetimo da je površina osnove paralelepipeda paralelogram odredjen sa v p i v q pa imamo: d(p,q) = [ AB,vp,v q ] v p v q 2.13 Medjusobni položaj prave i ravni, ugao izmedju prave i ravni Neka je prava p zadata tačkom A i vektorom pravca v p, i neka je ravan α zadata tačkom B i vektorom normale n α. p pripada ravni α akko A α (ekvivalentno AB nα ) i v p n α : AB n α = i v p n α = p je paralelna ravni (ali joj ne pripada) α akko A / α i v p n α : AB n α i v p n α = Iz prethodna dva sledi da p seče ravan α akko v p n α

21 Ugao izmedju prave p i ravni α je (po definiciji) ugao θ izmedju p i njene ortogonalne projekcije na ravan α (označimo projekciju sa p ). p n φ θ Ako je φ ugao izmedju vektora v p i n tada je: v p p sin θ = v p n n 2 α cos φ = v p n n 2 pa, zbog φ + θ = 9, imamo: 3 MATRICE Definicija 3.1. Matrica tipa m n, ili formata m n, (size, shape) nad poljem K je pravougaona tablica koja se sastoji od m vrsta (horizontalnih redova, rows) i n kolona (vertikalnih redova, columns) čija su polja popunjena elementima skupa K: a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a 31 a 32 a a 3n a m1 a m2 a m3... a mn. Ovu matricu skraćeno obeležavamo sa (a ij ) m,n ili samo sa (a ij ). Koristi se i oznaka [a ij ] ; Matrice (a ij ) m,n i (b ij ) m,n su jednake akko imaju isti tip (m = m i n = n ) i svi parovi odgovarajućih elemenata su jednaki (a ij = b ij za 1 i m, 1 j n)) ; Vektor i-te vrste je v i = (a i1,a i2,...,a in ) ; (a ij ) m,n = Vektor j-te kolone je u j = a 1j a 2j... a mj v 1 v 2... v m ; (a ij) m,n = (u 1 u 2... u n ) 3.1 Sabiranje i množenje matrica skalarom, Skup svih m n matrica nad poljem K se označava sa M m,n (K). Sabiramo samo matrice istog formata (a ij ) m,n + (b ij ) m,n = (a ij + b ij ) m,n ;

22 Matrice množimo skalarom k po pravilu: k (a ij ) m,n = (k a ij ) m,n ; Nula-matrica tipa m n ima sve elemente, označavamo je sa m,n ( ili samo sa ). Teorema 3.1. Za sve matrice A,B,C M m,n (K) i skalare k 1,k 2 K važi: 1. (A + B) + C = A + (B + C) 2. A + = A 3. A + ( A) = 4. A + B = B + A 5. k 1 (A + B) = k 1 A + k 1 B 6. (k 1 + k 2 )A = k 1 A + k 2 A 7. (k 1 k 2 )A = k 1 (k 2 A) 8. 1A = A Dokaz.... Ove osobine značhe da je M m,n (K) vektorski prostor nad poljem K (videti Definiciju 4.1). Aksiome vektorskog prostora dozvoljavaju uobičajeno linearno kombinovanje; na primer: 2(3A 4B) + 3(B + 2A) = 6A 8B + 3B + 6A = 12A 5B 3.2 Množenje matrica Neka je A = (a 1 a 2... a n ) B = b 1 b 2... b n. Definišemo: A B = a 1 b 1 + a 2 b a n b n Ovo je skalarni proizvod vektora vrste (ili 1 n matrice) i vektora kolone (ili n 1 matrice). U rezultatu dobijamo skalar (ili 1 1 matricu). Definicija 3.2. Neka je A matrica tipa m k i B matrica tipa k n (vektori vrsta matrice A i vektori kolona matrice B imaju istu dužinu k). A 1 A = A 2... B = ( B 1 B 2... B n) A m Definišemo proizvod A B (koji je matrica tipa m n) na sledeći način: A 1 B 1 A 1 B 2... A 1 B n AB = A 2 B 1 A 2 B 2... A 2 B n A m B 1 A m B 2... A m B n

23 ili: AB = (c ij ) m,n gde je c ij = k s=1 a isb sj. c ij = a i1 b 1j + a i2 b 3j a ik b kj Primer 3.1. [ ] = [ ] = [ ]. Ukoliko matricu B predstavimo preko vektora vrsta b a 11 a a 1 1k a 21 a a 2k b = a m1 a m2... a mk b k a 11 b 1 + a 12 b a 1k b k a 21 b 1 + a 22 b a 2k b k... a m1 b 1 + a m2 b a mk b k Primer 3.2. Konkretno: b 1 b 2 b 3 = b 1 + 2b 2 + 3b 3 4b 1 + 5b 2 + 6b 3 7b 1 + 8b 2 + 9b 3 = (3,2) + 2( 2,) + 3(1, 1) = (2, 1) 4(3,2) + 5( 2,) + 6(1, 1) = (8,2) 7(3,2) + 8( 2,) + 9(1, 1) = (14,5) Teorema 3.2. Sledeća tvrdjenja važe pretpostavljajući da su formati matrica A,B,C takvi da su izrazi definisani: 1. (AB)C = A(B C) (asocijativnost); 2. A(B + C) = AB + AC (leva distributivnost); 3. (B + C)A = B A + C A (desna distributivnost); 4. k (AB) = (k A)B = A(k B) gde je k skalar. Množenje matrica nije komutativno: ( ( ) ( ) ( ili: ) = ) = ( ( ) )

24 ( ) ( ) = nije definisan!!! Definicija 3.3. Jedinična matrica reda n, u oznaci I n, je n n matrica: Ako je A matrica tipa m n onda je: I m A = AI n = A Ako je red jedinične matrice jasan iz konteksta pishemo samo I. 3.3 Matrični zapis sistema linearnih jednačina, veza izmedju skupa rešenja sistema i skupa rešenja pridruženog homogenog sistema Sistem linearnih jednačina možemo zapisati u matričnoj formi AX = B: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn Matrica A je matrica sistema (coefficient matrx). x 1 x 2.. x n = b 1 b 2... b m Primer 3.3. Sistem možemo zapisati u matričnoj formi AX = B: Primer 3.4. Sistem možemo zapisati u matričnoj formi AX = : 2x + 3y + 5z = 1 x + 2y + 4z = 5 ( ) x y z = ( 1 5 2x + 3y + 5z = x + 2y + 4z = ( ) x y z = ( ) )

25 Teorema 3.3. Pretpostavimo da su u 1,u 2,...,u l rešenja homogenog sistema AX = (u i je vektor-kolona). Tada je svaka linearna kombinacija k 1 u 1 + k 2 u k l u l takodje rešenje sistema. Dokaz: Dato nam je: Au 1 =, Au 2 =,..., Au n =. Otuda: A(k 1 u 1 + k 2 u k n u n ) = k 1 Au 1 + k 2 Au k n Au n = k 1 + k k n = Teorema 3.4. Pretpostavimo da je u jedno rešenje sistema AX = B i neka je W skup svih rešenja (vektor kolona) odgovarajućeg homogenog sistema A X =. Tada je skup svih rešenja nehomogenog sistema. u + W = {u + w w W } Dokaz: Kako je U = u + W dobijeno dodavanjem u svakom elementu W... Primećujemo da teorema ima geometrijsku interpretaciju u R 3. Posebno, predpostavimo da je W linija koja prolazi kroz početak O. Onda je, kao što se vidi sa slike, U = u + W linija koja je paralelna W dobijena dodavanjem v svakom elementu W. Slično, za bilo koje W U narednoj teoremi bitno je da je polje K beskonačno: Teorema 3.5. Svaki sistem linearnih jednačina A X = B ili nema rešenja, ili ima tačno jedno rešenje, ili ima beskonačno mnogo rešenja. Dokaz: Dovoljno je pokazati da ako AX = B ima više od jednog rešenja, da ih onda ima beskonačno mnogo. Predpostavimo da u i v različita rešenja AX = B; onda je i Au = B i Av = b. Onda, za bilo koje k K, A[u + k(u v)] = Au + k(au Av) = B + k(b B) = B Drugim rečima, za bilo koje k K, u + k(u v) je rešenje za AX = B. Kako su za različite k- ove ova rešenja medjusobno različita (videti Problem 3.21), i kako imamo beskonačno mnogo k-ova, zaključujemo da AX = B ima beskonačan broj rešenja. 3.4 Blok matrice Blok matrice dobijamo deljenjem matrice horizontalnim i vertikalnim linijama na matrice manjeg formata (podmatrice). Na primer, ako je A = (a ij ) 6,6 možemo je deliti na blok matrice na više načina: Matrice A i,j su tipa a 11 a 12 a13 a 14 a15 a 16. a 21 a a23 a.. 24 a25 a a A = 31 a a33 a.. 34 a35 a 36 = a 41 a. 42 a43 a. 44 a45 a a 51 a a53 a.. 54 a55 a 56 a 61 a a63 a a65 a 66 A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33

26 A = a 11 a 12.. a13 a 14.. a15 a 16 a 21 a a23 a a25 a 26 a 31 a 32. a33 a 34. a35 a a 41 a a43 a a45 a 46 a 51 a a53 a a55 a 56 = ( A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 ) Matrice A i,j su tipa 3 2 a 61 a a63 a a65 a 66.. a 11 a 12 a13 a 14 a 15 a16. a 21 a a23 a 24 a.. 25 a26.. a 31 a 32 a33 a 34 a 35 a36 A =. a 41 a a43 a 44 a.. 45 a a 51 a a53 a 54 a.. 55 a56 a 61 a 62.. a63 a 64 a 65.. a66 = ( C D E F G H ) C je tipa 4 2, D je 4 3, E je 4 1, F je 2 2, G je 2 3 i H je tipa 2 1. Dijagonalna blok matrica je blok matrica oblika A A A nn gde su svi blokovi A ii kvadratne matrice (moguće različitih formata). Primetimo da blokovi ne moraju biti kvadratni i mogu biti različitih tipova. Na primer: ( ) 2 3. A11 = 1 5. A Trougaona blok matrica je blok matrica oblika gde su svi blokovi A ii kvadratne matrice. Ako su blok-matrice A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn A 11 A A 1n A A 2n A nn i B = B 11 B B 1n B 21 B B 2n B m1 B m2... B mn

27 istog tipa (t.j. A ij i B ij su istog tipa za sve i,j) tada je k A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn Ako su blok-matrice A = A + B = = takve da je svaki (matrični) zbir A 11 + B 11 A 12 + B A 1n + B 1n A 21 + B 21 A 22 + B A 2n + B 2n A m1 + B m1 A m2 + B m2... A mn + B mn k A 11 k A k A 1n k A 21 k A k A 2n k A m1 k A m2... k A mn A 11 A A 1p A 21 A A 2p A q1 A q2... A qp B = C ij = A i1 B 1j + A i2 B 2j A in B nj B 11 B B 1r B 21 B B 2r B p1 B p2... B pr definisan, tada je AB = C 11 C C 1r C 21 C C 2r C q1 C q2... C qr Primer 3.5. Neka je A = ( ) ( Tada je AA = 6 19 ( = A A ) ( A A A ( ) A + A A + AA = = AA + AA + A ) ) Transponovanje matrice Transponovanu matricu matrice A, u oznaci A T, dobijamo tako što vrste matrice A pišemo kao kolone matrice A T : T a a 11 a 12 a a 11 a a m1 1n a 21 a 22 a a 2n a 12 a a m = a 13 a a m a m1 a m2 a m3... a mn a 1n a 2n... a mn Ako je A = (a ij ) m,n matrica tipa m n tada je A T matrica tipa n m i A T = (a ji ) n,m. Ako je A vektor vrsta (1 n matrica) tada je A T vektor kolona (n 1 matrica); važi i obrnuto.

28 Teorema 3.6. Pretpostavljajući da su matrice takvih formata da su izrazi definisani važi: 1. (A + B) T = A T + B T 2. (A T ) T = A 3. (k A) T = k A T 4. (AB) T = B T A T. 3.6 Kvadratne matrice Kvadratne matrice su one koje imaju isti broj vrsta i kolona (t.j. tip im je oblika n n); za matrice tipa n n kažemo i da su matrice reda n. M n (K) (umesto M n,n (K)) označava skup svih kvadratnih matrica reda n nad poljem K. Skup M n (K) je zatvoren za sabiranje, množenje i množenje skalarima: 1. Ako A,B M n (K) tada i A + B, AB M n (K); 2. Ako k K i A M n (K) tada k A M n (K). Važe osobine iz Teoreme 3.1 za M n (K) (čini vektorski prostor nad poljem K). Prema Teoremi 3.2 za sve A,B,C M n (K) i k K važi: 1. (AB)C = A(B C) 2. A(B + C) = AB + AC 3. (B + C)A = B A + C A 4. k (AB) = (k A)B = A(k B) gde je k skalar. Vektorski prostor u kome je definisana i operacija množenja vektora koja zadovoljava ove uslove naziva se algebra. Za skup A M n (R) kažemo da je algebra matrica ukoliko je zatvoren za sabiranje, množenje i množenje skalarima; primetimo da tada on ima sve osobine pobrojane u teoremama 3.1 i 3.2 Primer AB + AC + A 2 = A(A + B + C) (izvlačenje levog A) 2. B A + C A + A 2 = (B + C + A)A (izvlačenje desnog A) 3. (A + B)(C + D) = AC + AD + B C + B D 4. (A + B) 2 = (A + B)(A + B) = A 2 + AB + B A + B 2 5. AB + C A A(B + C) (množenje nije komutativno). Matrice A, B reda n komutiraju ako važi A B = B A. Induktivno definišemo stepen kvadratne matrice: A = I, A 1 = A, A 2 = AA,... A n+1 = A n A Opštije, za svaki polinom p(t) = a n t n + a n 1 t n a 1 t + a definišemo matrični polinom: p(a) = a n A n + a n 1 A n a 1 A + a I

29 Teorema 3.7. Ako su f(t) i g(t) polinomi tada je: 1. (f + g)(a) = f(a) + g(a) 2. (f g)(a) = f(a)g(a) 3. f(a)g(a) = g(a)f(a). Dokaz. Videti Problem 4.11 Glavna dijagonala kvadratne matrice (main diagonal) ide iz gornjeg levog u donji desni ugao; ona sadrži elemente a 11 a a nn tr(a), ili trag kvadratne matrice (trace) A = (a ij ) n,n je skalar definisan kao suma elemenata glavne dijagonale: tr(a) = a 11 + a a nn Teorema 3.8. Ako je k skalar i A,B M n (R) tada važi: 1. tr(a + B) = tr(a) + tr(b) 2. tr(k A) = k tr(a) 3. tr(ab) = tr(b A) Dokaz. Videti Problem Elementarne transformacije vrsta matrice, elementarne matrice Elementarne transformacije vrsta matrice su: (E 1 ) Zamena mesta dve vrste ; v i v j (E 2 ) Množenje jedne vrste skalarom k ; v i k v i (E 3 ) Dodavanje i-toj vrsti k puta j-ta vrsta (i j!); v i v i + k v j Svaka od ovih operacija ima inverznu operaciju istog tipa: (1) v i v j je inverzna sama sebi ; (2) v i 1 k v i je inverzna za v i k v i ; (3) v i v i k v j je inverzna za v i v i + k v j. Matrice istog formata A i B su ekvivalentne (po vrstama), u zapisu A v B, ako B može biti dobijena iz A primenom niza elementarnih transformacija vrsta. v je relacija ekvivalencije (na skupu matrica fiksiranog tipa): (1) A v A (2) A v B povlači B v A (3) A v B i B v C povlači A v C Teorema 3.9. Svaka matrica je ekvivalentna kanonskoj matrici istog formata. Dokaz. Gausov algoritam... Kanonske matrice su stepenaste matrice sa jedinicama na prvom ne-nula mestu u svakoj vrsti, a u koloni svake takve jedinice moraju se nalaziti još samo nule. Kasnije ćemo dokazati jače tvrdjenje od prethodnog : Teorema 3.1. Svaka matrica je ekvivalentna jedinstvenoj kanonskoj matrici istog formata.

30 Neka e označava elementarnu transformaciju matrice (neku od (E 1 ),(E 2 ),(E 3 )) i neka je e(i) matrica dobijena primenom operacije e na jediničnu matricu I. Takve matrice su elementarne matrice koje odgovaraju el.transformacijama vrsta. Svaka elementarna transformacija vrsta matrice je množenje odgovarajućom elementarnom matricom sleva. Primer 3.7. Prethodno tvrdjenje na primeru 3 3 matrica: 1 (1) e je zameni mesta druge i treće vrste : e(i) = 1 : 1 1 a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 a 3 1 b 1 b 2 b 3 = c 1 c 2 c 3 1 c 1 c 2 c 3 b 1 b 2 b 3 (2) e je pomnoži drugu vrstu sa k : e(i) = 1 k 1 1 k 1 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 (3) e je dodati drugoj vrsti k puta treća : e(i) = 1 1 k 1 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 : = 1 1 k 1 = a 1 a 2 a 3 kb 1 kb 2 kb 3 c 1 c 2 c 3 : a 1 a 2 a 3 b 1 + kc 1 b 2 + kc 2 b 3 + kc 3 c 1 c 2 c 3 Teorema Neka je e elementarna transformacija vrsta i neka je e(i m ) njena odgovarajuća elementarna matrica. 1. Primenom operacije e na matricu A (koja ima m vrsta) dobijamo matricu e(i)a. 2. A v B ako i samo ako postoji matrica P koja je proizvod elementarnih matrica takva da je A = P B Dokaz. 3.8 Inverzna matrica Definicija 3.4. Kvadratna matrica A je inverzibilna (invertible or nonsingular) ako postoji matrica B istog tipa takva da je AB = B A = I Lema 3.1. Ako je A inverzibilna tada postoji tačno jedna matrica B koja zadovoljava uslov AB = B A = I Dokaz. Pretpostavimo da je A inverzibilna i da matrice B i C zadovoljavaju: AB = B A = I = AC = C A. Treba dokazati da je B = C. Pomnožimo AB = I sleva sa C: C (AB) = C I Zbog asocijativnosti i osobine jedinične matrice imamo: (C A)B = C Kako je C A = I dobijamo I B = C odakle sledi B = C. Ako je kvadratna matrica A inverzibilna tada jedinstvenu matricu koja zadovoljava gornji uslov zovemo inverzna matrica matrice A (ili inverz od A) i obeležavamo sa A 1. Važi: AA 1 = A 1 A = I

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 23. Reč autora Ovo je verzija teksta koji je pod naslovom Linearna algebra prvobitno bio pripremljen za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet. Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru

Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru (0.01) Simetrije Neka je A = [a ij ] kvadratna matrica (matrica oblika n n). a) Za A kažemo da je simetrična matrica kadgod je A = A, tj. kadgod

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

I Pismeni ispit iz matematike 1 I I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno

Διαβάστε περισσότερα

Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0.

Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0. Aksioma zamene Aksioma zamene opisuje sledeće: ako je P (x, y) neko svojstvo parova skupova (x, y) takvo da za svaki skup x postoji tačno jedan skup y takav da par (x, y) ima svojstvo P, tada za svaki

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

Milan Merkle. (radni naslov) Verzija 0 ( ), novembar 2015

Milan Merkle. (radni naslov) Verzija 0 ( ), novembar 2015 Milan Merkle M A T E M A T I K A (radni naslov) III Verzija (1999-23), novembar 215 Sadržaj: Analitička geometrija Funkcije više promenljivih Integrali (krivolinijski, višetruki, površinski) Kompleksna

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

Elementarna matematika - predavanja -

Elementarna matematika - predavanja - Elementarna matematika - predavanja - February 11, 2013 2 Sadržaj I Zasnivanje brojeva 5 I.1 Peanove aksiome............................. 5 I.2 Celi brojevi................................ 13 I.3 Racionalni

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra

Analitička geometrija i linearna algebra 1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI

SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI VI SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI - 59-6 KARAKTERISTIČNI POLINOM I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI U ovom poglavlju ćemo opisati kako se traži ''najprikladnija'' baza vektorskoga prostora X, baza u

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone.

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone. Matrice Uvod u matrice i vektore Pretpostavite da ste odgovorni za iznajmljivanje automobila zaposlenicima svoje firme Sedmični najmovi za različite veličine automobila su: kompaktni 9KM, srednji 60KM,

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Opera u Sidneju, Australija

VEKTORI. Opera u Sidneju, Australija VEKTORI Ciljevi poglavlja Sabiranje i razlaganje vektora na komponente, množenje i deljenje vektora skalarom Predstavljanje vektora u Dekartovom koordinatnom sistemu i operacije sa vektorima koji su izraženi

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

Matematička logika. novembar 2012

Matematička logika. novembar 2012 Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t) Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

EUKLIDSKA GEOMETRIJA

EUKLIDSKA GEOMETRIJA EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku

Διαβάστε περισσότερα