U n i v e r z i t e t u B e o g r a d u. Matematički fakultet ASIMPTOTSKA SVOJSTVA REŠENJA DIFERENCIJALNIH

Transcript

1 U n i v e r z i e u B e o g r a d u Maemaički fakule ASIMPTOTSKA SVOJSTVA REŠENJA DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA M a s e r r a d Suden: Marija M. Mikić Menor: prof. dr Julka D. Knežević-Miljanović B e o g r a d 2011.

2 S a d r ž a j Predgovor 3 1 Uvodni pojmovi Diferencijalne jednačine drugog reda Sisemi diferencijalnih jednačina Veza izmed u diferencijalnih jednačina i sisema diferencijalnih jednačina 8 2 Kvaliaivna eorija diferencijalnih jednačina Nule rešenja linearnih diferencijalnih jednačina drugog reda Oscilaornos i neoscilaornos rešenja linearnih diferencijalnih jednačina drugog reda Periodičnos rešenja Produživos rešenja Asimposka svojsva nekih ipova diferencijalnih jednačina Linearne diferencijalne jednačine drugog reda Neke korisne ransformacije Teoreme ograničenosi Krierijumi oscilaornosi rešenja Asimposko ponašanje rešenja jednačine u (1 + φ())u = Asimposko ponašanje rešenja jednačine u + (1 + φ())u = Emden-Faulerova jednačina Jednačina u σ u n = Jednačina u + σ u n = Jednačina u ± e λ u n = Zaključak 50 Lieraura 51 2

3 Predgovor U ovom radu opisana su asimposka svojsva rešenja diferencijalnih jednačina. U većem delu rada ispiivana su asimposka svojsva rešenja diferencijalnih jednačina drugog reda. Razlog zbog koga su najviše posmarane jednačine drugog reda je aj šo su mnogi fizički problemi modelirani ovim jednačinama. Rad se sasoji iz ri poglavlja. U prvom poglavlju predsavljeni su uvodni pojmovi, koji će se korisiii u kasnijim poglavljima. U drugom poglavlju je izložena kvaliaivna eorija diferencijalnih jednačina. Ovde su definisane nule rešenja linearne diferencijalne jednačine drugog reda, ispiivan je broj nula na odred enom inervalu i prikazane su veoma značajne eoreme iz ove oblasi. Prikazani su neki od krierijuma oscilaornosi i neoscilaornosi rešenja linearnih jednačina drugog reda, za pojedine jednačine je ispiana oscilaornos rešenja. Takod e, u ovom poglavlju je definisano neproduživo rešenje diferencijalne jednačine drugog reda, kao i periodično rešenje. Treće poglavlje, koje je najobimnije, sasoji se iz dva dela. U prvom delu su posmarane linearne diferencijalne jednačine drugog reda. Ispiivana je ograničenos rešenja, oscilaornos rešenja i asimposko ponašanje rešenja pojedinih ipova ovih jednačina. Ovde su prikazani krierijumi oscilaornosi rešenja koji obuhvaaju uslove koji podrazumevaju inegralno usrednjenje koeficijenaa ih jednačina. U drugom delu ovog poglavlja posmarana je jednačina Emden-Faulera (Emden- Fowler) ( d ρ du ) ± σ u n = 0. d d Ova jednačina modelira mnoge fizičke probleme. Javlja se u eoriji dinamike gasova u asrofizici, mehanici fluida, nuklearnoj fizici id. U ovom radu je ispiivano asimposko ponašanje rešenja ove jednačine u zavisnosi od znaka i parameara σ i n. Posebnu zahvalnos na pruženoj pomoći i konsulacijama okom pisanja rada, dugujem svom menoru, profesoru dr Julki D. Knežević-Miljanović. 3

4 1 Uvodni pojmovi 1.1 Diferencijalne jednačine drugog reda Neka je F funkcija definisana u oblasi V R n+2. Definicija 1. Jednačinu (1) F (, u, u, u,..., u (n) ) = 0 u kojoj figuriše bar jedan od izvoda nepoznae funkcije u = u(), nazivamo obična diferencijalna jednačina. Red diferencijalne jednačine (1) je red najvećeg izvoda koji u njoj figuriše. U ovom radu prikazana su svojsva rešenja nekih ipova diferencijalnih jednačina drugog reda, jer su mnogi fizički problemi modelirani ovim jednačinama. Specijalno, za n = 2 jednačina (1) je oblika (2) F (, u, u, u ) = 0, gde je F funkcija definisana u oblasi V R 4, i ona predsavlja opšu diferencijalnu jednačinu drugog reda. Kako u fizičkim problemima nezavisno promenljiva ima ulogu vremena, preposavićemo od sada pa nadalje da [0, ). Definicija 2. Funkciju u = ϕ(), I, (I je neki inerval) nazivamo rešenjem jednačine (2) ako važi: (1) ϕ C (2) (I) (2) I : (, ϕ(), ϕ (), ϕ ()) V (3) I : F (, ϕ(), ϕ (), ϕ ()) 0. (3) Normalni oblik diferencijalne jednačine drugog reda je u = f(, u, u ), gde je funkcija f definisana u oblasi G R 3. Košijev problem za jednačinu (3) glasi: Naći rešenje u = ϕ() jednačine (3) koje zadovoljava uslove (4) ϕ( 0 ) = u 0, ϕ ( 0 ) = u 0, gde ( 0, u 0, u 0) G. Košijev problem (3), (4) ima jedinsveno rešenje, ako posoji okolina O( 0 ) ačke 0 u kojoj se sva rešenja u = ϕ() jednačine (3) sa počenim uslovom (4) poklapaju. Oblas D G nazivamo oblašću egzisencije i jedinsvenosi rešenja jednačine (3), ako za proizvoljnu ačku ( 0, u 0, u 0) D Košijev zadaak (3), (4) ima jedinsveno rešenje. Rešenje u = ϕ(), I jednačine (3) nazivamo parikularnim (singularnim) ako Košijev zadaak (3), (4) ima (nema) jedinsveno rešenje za svako 0 I. Grafik rešenja u = u(), I jednačine (3) u oblasi G nazivamo inegralnom krivom jednačine (3). 4

5 Teorema 1. (O egzisenciji i jedinsvenosi rešenja) Neka je O(M 0 ) okolina ačke M 0 u kojoj su funkcije F, F, F, F F neprekidne, F (M u u u 0 ) = 0 i (M u 0 ) 0. Tada posoji jedinsveno rešenje u = ϕ() jednačine (2) koje zadovoljava počene uslove ϕ( 0 ) = u 0, ϕ ( 0 ) = u 0. Posmarajmo sada homogenu linearnu diferencijalnu jednačinu drugog reda (5) u + a 1 ()u + a 2 ()u = 0, gde su a 1 i a 2 realne neprekidne funkcije na I. Neka su ϕ 1 () i ϕ 2 (), I rešenja jednačine (5). Deerminanu W () = W (ϕ 1, ϕ 2 ) = ϕ 1 ϕ 2 ϕ 1 ϕ 2 nazivamo deerminanom Vronskog (ili vronskijan) od funkcija ϕ 1 i ϕ 2. Lema 1. Sledeća vrd enja su ekvivalenna: (1) I : W () = 0. (2) 0 I : W ( 0 ) = 0. (1) Rešenja ϕ 1 (), ϕ 2 (), I jednačine (5) su linearno zavisna. Navedene su ri leme koje će bii korišćene kasnije. Lema 2. (Gronwall-Bellman)Neka su funkcije u, v C([a, b]), nenegaivne, i neka je k > 0 proizvoljna konsana. Tada ako važi v() k + a v(s)u(s)ds za svako [a, b] onda je v() ke u(s)ds a za svako [a, b]. Kako je ovo jedna od osnovnih lema u eoriji diferencijalnih jednačina, iz og razloga će ovde bii prikazan njen dokaz. Dokaz. Označimo sa V () = k + v(s)u(s)ds. a Tada je prema preposavci v() V () i V () k > 0 za svako [a, b]. Diferencirajući prehodnu nejednakos dobija se V () = u()v() u()v () 5

6 kako je V poziivna funkcija, ako se obe srane nejednakosi podele sa V () i inegrale u granicama od a do, dobija se Dakle, šo je i rebalo pokazai. ln V () V (a) v() V () V (a)e a a u( 1 )d 1. u( 1 )d 1 = ke u( 1 )d 1 a Napomena 1. U slučaju kada je k = 0 akod e će važii vrd enje leme 2, a dokaz se može naći u knjizi [2]. Lema 3. Neka su u 1 i u 2 dva linearno nezavisna rešenja jednačine (6) u a()u = 0, gde je a C(I), za koje je vronskijan W () = W (u 1, u 2 ) = u 1 u 2 u 1 u 2 = 1 za svako I. Tada opše rešenje nehomogene jednačine u a()u = ω(), gde je ω C(I), je u = c 1 u 1 + c 2 u 2 + [u 1 ()u 2 ( 1 ) u 1 ( 1 )u 2 ()]ω( 1 )d 1, 0 gde su c 1 i c 2 konsane koje zavise od počenih uslova. Lema 4. Ako je u 1 rešenje jednačine (6), onda je u 2 = u 1 d, 0 u 2 1 drugo, linearno nezavisno rešenje jednačine (6). 6

7 1.2 Sisemi diferencijalnih jednačina Neka su funkcije f i (, u 1, u 2,..., u n ), i = 1, 2,..., n definisane u oblasi G R n+1. Normalni sisem diferencijalnih jednačina je sisem oblika (7) u i = f i (, u 1, u 2,..., u n ), i = 1, 2,..., n. Sisem (7) možemo zapisai u vekorskom obliku U = F (, U) gde je U = u 1 u 2. u n, F (, U) = f 1 (, U) f 2 (, U). f n (, U) Posebno značajan, i najviše izučen, je sisem linearnih diferencijalnih jednačina (8) gde je A() = U = A()U + B() a 11 () a 12 ()... a 1n () a 21 () a 22 ()... a 2n (). a n1 () a n2 ()... a nn (), B() = b 1 () b 2 (). b n (). Ukoliko su elemeni marice A neprekidne funkcije na inervalu I ada je A neprekidna marica na inervalu I. Ako je A konsanna marica reda n, pod normom marice A podrazumevaćemo A = n a ij. i,j=1 Ako je A(), I funkcionalna marica reda n, pod normom marice A() podrazumevaćemo n A() = max a ij (). I i,j=1 7

8 1.3 Veza izmed u diferencijalnih jednačina i sisema diferencijalnih jednačina Svaka diferencijalna jednačina n-og reda u normalnom obliku u (n) = f(, u, u,..., u (n 1) ) smenama u 1 = u, u 2 = u,..., u n = u (n 1) svodi se na sisem diferencijalnih jednačina u 1 = u 2 u 2 = u 3. u n = f(, u 1, u 2,..., u n ). Specijalno za n = 2, homogena linearna diferencijalna jednačina drugog reda u + a 1 ()u + a 2 ()u = 0 smenama u 1 = u, u 2 = u svodi se na sisem od dve linearne diferencijalne jednačine u 1 = u 2 u 2 = a 1 ()u 2 a 2 ()u 1. 8

9 2 Kvaliaivna eorija diferencijalnih jednačina Kako su mnogi fizički problemi modelirani diferencijalnim jednačinama drugog reda, o kvaliaivna analiza ovih jednačina privlači veliku pažnju auora koji se bave eorijom običnih diferencijalnih jednačina. Do zaključaka u kvaliaivnoj analizi dolazi se, u opšem slučaju na osnovu analiza funkcija koje figurišu u samoj diferencijalnoj jednačini. Kvaliaivna analiza nam daje informacije o nizu osobina inegralnih krivih kao šo su ograničenos, broj i položaj nula, asimpoe, ponašanje u okolini singularnih ačaka i u beskonačnosi, oscilaornos, monoonos, id. Drugim rečima, u najjednosavinijim slučajevima, ona nam omogućava da nacramo približan grafik rešenja, ne znajući analiički izraz. Ova problemaika je od posebnog ineresa kada jednačinu ne možemo rešii jer je izraz za opši inegral oliko složen da se mora prisupii posebnim meodama kvaliaivne analize. Oblas kvaliaivne analize diferencijalnih jednačina se posebno inenzivno razvija poslednjih rideseak godina. Za o vreme razrad ene su nove meode ispiivanja i dobijeni važni i korisni rezulai. Usanovljeni su krierijumi oscilaornosi rešenja linearnih i nelinearnih diferencijalnih jednačina, dokazane eoreme o klasifikaciji jednačina po oscilaornim svojsvima njihovih rešenja, pronad eni uslovi za posojanje ili odsusvo singularnih, oscilaornih, ograničenih i monoonih rešenja, dae ocene rešenja u okolini beskonačno dalekih ačaka, asimposke formule za rešenja dosa široke klase linearnih i nelinearnih jednačina id. U ovom poglavlju biće prikazana neka svojsva rešenja diferencijalnih jednačina drugog reda. Ispiivaćemo broj nula i oscilaornos rešenja nekih ipova linearnih diferencijalnih jednačina drugog reda, zaim, periodičnos i produživos rešenja. 2.1 Nule rešenja linearnih diferencijalnih jednačina drugog reda U primenama se česo javljaju oscilaorni fizički sisemi kod kojih ampliuda oscilovanja i učesanos promene režima oscilovanja uiču na sabilnos sisema. Linearne diferencijalne jednačine drugog reda su najčešće modeli ovakvih pojava, pa je zao od ineresa ispiai nule i oscilaornos rešenja ovih jednačina. Ova razmaranja se mogu uopšii na linearne diferencijalne jednačine višeg reda. Posmarajmo jednačinu (9) u + p()u + q()u = 0, gde su p() i q() neprekidne funkcije na nekom inervalu I. Navedena jednačina se može ransformisai u jednačinu u kojoj nedosaje srednji član. Sledeća lema o omogućava. 9

10 Lema 5. Neka je p C 1 (I) i q C(I). Smenom u = ve 1 2 ransformiše u jednačinu p( 1 )d 1 0 jednačina (9) se (10) v + [q 1 2 p p2 ]v = 0. 4 Definicija 3. Nulama rešenja v = ϕ() diferencijalne jednačine (10) nazivaju se koreni jednačine ϕ() = 0. Jasno je da je 0 koren jednačine (9) ako i samo ako je koren jednačine (10). Zao je dovoljno posmarai samo nule rešenja jednačine (10). Od ineresa je ispiai njihov broj i rasojanje med u njima. Trivijalno rešenje ima beskonačno mnogo nula, pa ono neće bii razmarano. Posmarajmo jednačinu (11) v + φ()v = 0, φ C(a, b). Jednačina (10) je ovog oblika. Prirodno se javlja pianje koliko nula može imai nerivijalno rešenje jednačine (11) na konačnom inervalu I? Lema 6. Svako nerivijalno rešenje jednačine (11) na proizvoljnom segmenu [α, β] (a, b) može imai samo konačno mnogo nula. Ovde su prikazane dve eoreme iz maemaičke analize, koje će bii korišćene u dokazu sledeće leme. To su Bolcano-Vajeršrasova (Bolzano-Weiersrass) eorema i Rolova (Rolle) eorema. Ovde su izložene samo formulacije eorema, dok se njihovi dokazi mogu naći u [9]. Teorema 2. (Bolzano-Weiersrass) Svaki beskonačan ograničen skup u R ima bar jednu ačku nagomilavanja u R. Teorema 3. (Rolle) Neka je funkcija f : [α, β] R neprekidna na segmenu [α, β], diferencijabilna u inervalu (α, β) i f(α) = f(β). Tada, u inervalu (α, β) posoji ačka γ akva da je f (γ) = 0. Sada će bii prikazan dokaz leme 6. Dokaz. Preposavimo suprono, da proizvoljno nerivijalno rešenje v = ϕ() na segmenu [α, β] ima prebrojivo mnogo nula τ 1, τ 2,... τ n,.... Niz τ n je ograničen jer je inerval [α, β] ograničen. Na osnovu Bolcano-Vajeršrasove eoreme posoji najmanje jedna ačka nagomilavanja niza τ n. Možemo je označii sa τ. Pa posoji podniz τ nk akav da τ nk τ kada k. Kako je ϕ(τ nk ) = 0 za svako k N i ϕ C 2 (a, b) pa je i ϕ(τ ) = 0. Na osnovu Rolove eoreme znamo da posoji ačka η nk (τ nk 1, τ nk ) akva da je ϕ (η nk ) = 0. Kako η nk τ kada k, o ϕ (η nk ) ϕ (τ ) kada k (jer je ϕ C(a, b)). Prema ome, ϕ(τ ) = ϕ (τ ) = 0. Kako ove počene uslove zadovoljava i rivijalno rešenje, na osnovu eoreme o egzisenciji i jedinsvenosi rešenja (eorema 1) može se zaključii da je ϕ() 0 na (a, b). Ovo je u supronosi sa polaznom preposavkom da je ϕ() nerivijalno rešenje. 10

11 Sav 1. Neka je φ C(a, b) i φ() 0 za svako (a, b), ada svako nerivijalno rešenje diferencijalne jednačine v + φ()v = 0 ima najviše jednu nulu na inervalu (a, b). Dokaz. Preposavimo suprono, da proizvoljno rešenje ϕ C 2 (a, b) ima više od jedne nule na (a, b). Neka su τ 0 i τ 1 dve susedne nule i neka važi a < τ 0 < τ 1 < b. Neka je, na primer, ϕ() > 0 za svako (τ 0, τ 1 ) (analogno se razmara slučaj kada je ϕ() < 0 za svako (τ 0, τ 1 )). Tada mora bii ϕ (τ 0 ) > 0 i ϕ (τ 1 ) < 0, jer bi u supronom rešenje bilo rivijalno. Kako je ϕ () = φ()ϕ() 0, za svako [τ 0, τ 1 ] o funkcija ϕ () monoono ne opada na segmenu [τ 0, τ 1 ]. Ovo je u konradikciji sa im da ϕ (τ 0 ) > 0 i ϕ (τ 1 ) < 0. Odavde se može zaključii da polazna preposavka da rešenje ϕ() ima više od jedne nule na inervalu (a, b) nije moguća. Primer 1. Naći rasojanje izmed u dve susedne nule proizvoljnog nerivijalnog rešenja jednačine v + mv = 0, gde je m poziivna realna konsana. Koliko nula se može naći na inervalu [a, b], a koliko na R? Rešenje ove jednačine može se ražii u obliku v = e λ. Karakerisična jednačina je λ 2 + m = 0, pa je opše rešenje oblika v = c 1 cos m + c 2 sin m. Opše rešenje ove jednačine se može izrazii i u obliku v = α sin( m + β) gde su α i β konsane. Nule rešenja su k = kπ β m, k = 0, ±1, ±2,..., pa je rasojanje izmed u dve susedne nule proizvoljnog parikularnog rešenja π m. Prema ome, na segmenu [a, b] može se naći [(b a) m ] ili [(b a) m ] + 1 nula, gde je sa [z] označen ceo deo od z. π π Proizvoljno parikularno rešenje polazne jednačine ima na R beskonačno mnogo nula. Napomena 2. U slučaju kada je m = 0 imamo jednačinu v = 0, pa je opše rešenje ove jednačine v = c 1 + c 2. Odavde se može zaključii da proizvoljno parikularno rešenje ove jednačine može imai najviše jednu nulu. Takod e, za m < 0 proizvoljno parikularno rešenje ove jednačine može imai najviše jednu nulu (o se može zaključii na osnovu sava 1). Prehodno razmarani primer ukazuje na ideju: šo je m veće o je i broj nula rešenja na konačnom inervalu veći. Sledeća eorema o i pokazuje. Teorema 4. Neka su dae jednačine v 1 + φ 1 ()v 1 = 0 v 2 + φ 2 ()v 2 = 0 gde su φ 1 (), φ 2 () C(I), i za svako I : φ 1 () φ 2 (). Tada, izmed u dve susedne nule rešenja v 1 = v 1 () leži najmanje jedna nula rešenja v 2 = v 2 (). 11

12 Dokaz. Neka su τ 1 i τ 2 dve susedne nule rešenja v 1 = v 1 (). Na inervalu (τ 1, τ 2 ) funkcija v 1 () je isog znaka, na primer poziivna. Preposavimo suprono, da funkcija v 2 () na (τ 1, τ 2 ) nema nula. Neka je na primer v 2 () > 0 za svako (τ 1, τ 2 ). Množenjem prve jednačine sa v 2 () i druge jednačine sa v 1 () i oduzimanjem druge jednačine od prve jednačine, dobija se j. (12) v 1v 2 v 1 v 2 + (φ 1 () φ 2 ())v 1 v 2 0, I (v 1v 2 v 2v 1 ) + (φ 1 () φ 2 ())v 1 v 2 0, I. Posle inegraljenja ideniea (12) u granicama od τ 1 do τ 2, dobijamo (v 1v 2 v 2v 1 ) τ 2 τ 2 + τ 1 τ 1 (φ 1 () φ 2 ())v 1 ()v 2 () d = 0 j. (13) v 1(τ 2 )v 2 (τ 2 ) v 2(τ 2 )v 1 (τ 2 ) v 1(τ 1 )v 2 (τ 1 ) + v 2(τ 1 )v 1 (τ 1 ) τ 2 + τ 1 (φ 1 () φ 2 ())v 1 ()v 2 () d = 0. Kako je v 1 (τ 1 ) = 0, v 1 (τ 2 ) = 0 i kako je v 1 () > 0 za svako (τ 1, τ 2 ), o je v (τ 1 ) > 0 i v (τ 2 ) < 0. Takod e, znamo da je v 2 () > 0 i φ 1 () φ 2 () za svako I, pa je leva srana jednakosi (13) negaivna, šo je konradikcija. Posledica 1. Nule dva linearno nezavisna rešenja jednačine v + φ()v = 0, φ C(I) su naizmenično raspored ene j. izmed u dve susedne nule jednog rešenja leži srogo jedna nula drugog rešenja. Dokaz. Neka su v 1 = v 1 () i v 2 = v 2 () dva linearno nezavisna rešenja dae jednačine. Ova dva rešenja ne mogu imai zajedničkih nula, jer ukoliko bi τ 0 bila zajednička nula rešenja v 1 () i v 2 () ada bi W (τ 0 ) = 0 pa bi rešenja v 1 () i v 2 () bila zavisna (na osnovu leme 1), a o je u konradikciji sa polaznom preposavkom. Neka su τ 1 i τ 2 dve uzasopne nule rešenja v 1 (). Na osnovu eoreme 4 (savii da je φ 1 () = φ 2 () = φ()) sledi da izmed u τ 1 i τ 2 leži bar jedna nula rešenja v 2 (). Kad bi ovih nula bilo dve, ada bi na osnovu eoreme 4, izmedju njih ležala bar jedna nula rešenja v 1 (), šo nije moguće. 12

13 Teorema 5. (Surm-ova eorema o upored ivanju) Neka su p(), p (), φ 1 (), φ 2 () C([a, b]), i za svako [a, b] važi da je p() > 0 i φ 2 () φ 1 (). Tada se izmed u dve susedne nule proizvoljnog rešenja v 1 () jednačine (p()v 1) + φ 1 ()v 1 = 0 nalazi se bar jedna nula bilo kog rešenja jednačine (p()v 2) + φ 2 ()v 2 = 0. Dokaz. Neka su τ 1 i τ 2 dve susedne nule rešenja v 1 = v 1 (). Na inervalu (τ 1, τ 2 ) funkcija v 1 () je isog znaka, na primer poziivna. Preposavimo suprono, da funkcija v 2 () na (τ 1, τ 2 ) nema nula. Neka je na primer, v 2 () > 0 za svako (τ 1, τ 2 ). Množenjem prve jednačine sa v 2 (), a druge jednačine sa v 1 (), i oduzimanjem druge jednačine od prve jednačine, dobija se j. (14) v 2 (p()v 1) v 1 (p()v 2) + (φ 1 () φ 2 ())v 1 v 2 = 0 (p()(v 1v 2 v 1 v 2)) + (φ 1 () φ 2 ())v 1 v 2 = 0. Posle inegraljenja ideniea (14) u granicama od τ 1 do τ 2, dobija se j. (15) p()(v 1v 2 v 2v 1 ) τ 2 τ 2 + τ 1 τ 1 (φ 1 () φ 2 ())v 1 ()v 2 () d = 0 p(τ 2 )(v 1(τ 2 )v 2 (τ 2 ) v 2(τ 2 )v 1 (τ 2 )) p(τ 1 )(v 1(τ 1 )v 2 (τ 1 ) v 2(τ 1 )v 1 (τ 1 ))+ τ 2 + τ 1 (φ 1 () φ 2 ())v 1 ()v 2 () d = 0. Kako je v 1 (τ 1 ) = 0, v 1 (τ 2 ) = 0 i kako je v 1 () > 0 za svako (τ 1, τ 2 ), o je v (τ 1 ) > 0 i v (τ 2 ) < 0. Takod e, znamo da je v 2 () > 0 i φ 1 () φ 2 () za svako [a, b], pa je leva srana jednakosi (15) negaivna, šo je konradikcija. Napomena 3. Može se primeii da je eorema 4 specijalan slučaj eoreme 5 za p() 1. Posledica 2. (Surm-ova eorema o razdvajanju nula) Nule dva linearno nezavisna rešenja jednačine (p()v ) + φ()v = 0, gde su p, p, φ C([a, b]) i p() > 0 za svako [a, b], med usobno se razdvajaju. Dokaz se izvodi analogno kao dokaz posledice 1. Jedina razlika je u ome šo se u dokazu posledice 2 primenjuje eorema 5 (dok se u dokazu posledice 1 primenjuje eorema 4). 13

14 2.2 Oscilaornos i neoscilaornos rešenja linearnih diferencijalnih jednačina drugog reda Od posebnog ineresa u oblasi kvaliaivne analize diferencijalnih jednačina je uvrd ivanje krierijuma oscilaornosi i neoscilaornosi rešenja linearnih i nelinearnih jednačina, o čemu svedoči i veliki broj radova iz ove oblasi. Verovano najviše proučavane diferencijalne jednačine drugog reda su linearna diferencijalna jednačina u () + φ()u() = 0 i nelinearna diferencijalna jednačina oblika u () ± σ u n = 0, n 1 koja je u lierauri poznaa kao diferencijalna jednačina Emden-Faulera (Emden- Fowler), koja će bii posmarana u sledećem poglavlju. Nule rešenja uzrokuju oscilaornos rešenja jer u njima rešenje menja znak. Definicija 4. Nerivijalno rešenje diferencijalne jednačine (11) je oscilaorno na inervalu (a, b) ako ima beskonačno mnogo nula na om inervalu. U supronom, rešenje je neoscilaorno. Od velike važnosi je ispiivanje oscilaornosi rešenja jednačine (11), šo se može posići uz pomoć jednačine (16) v + m 2 v = 0. Primer 2. Ispiai oscilaornos proizvoljnog rešenja diferencijalne jednačine (16). Koliko nula se može naći na segmenu [a, b]? Primenjujući posupak korišćen prilikom rešavanja primera 1 može se doći do zaključka da za m 0 na segmenu [a, b] može se naći [(b a) m π ] ili [(b a) m π ] + 1 nula, gde je sa [z] označen ceo deo od z. Za m = 0 proizvoljno rešenje može imai najviše jednu nulu. Proizvoljno parikularno rešenje ima na R beskonačno mnogo nula, pa se može zaključii da je proizvoljno parikularno rešenje oscilaorno na R. Teorema 6. Neka su φ 1 (), φ 2 () C(a, b), i neka za svako (a, b) : φ 1 () φ 2 (). Tada, ako su sva rešenja jednačine v 1 + φ 1 ()v 1 = 0, oscilaorna na inervalu (a, b), onda su sva rešenja jednačine akod e oscilaorna na inervalu (a, b). v 2 + φ 2 ()v 2 = 0 Dokaz eoreme 6 se zasniva na direknoj primeni eoreme 4. Na osnovu eoreme 6 i primera 2 može se doći do vrlo binog zaključka. Ako je (17) φ() m 2 > 0, 14

15 onda su sva rešenja jednačine (11) oscilaorna. Može se pokazai na veoma važan i korisan način da je uslov (17) dovoljan uslov oscilaornosi rešenja jednačine (11). Preposavimo da posoji rešenje u > 0 za 0. Tada je u = φ()u < 0. Odavde se može primeii da je u srogo opadajuća funkcija. Tada je ili u > 0 za 1, ili u < 0 za 1. Razmorimo prvo slučaj kada je u > 0 za 1. Tada je u monoono rasuća funkcija za 1 i važi da je u c 1, c 1 > 0 za 1, pa je Posle inegraljenja dobija se da je u = φ()u m 2 c 1. u m 2 c 1 c 2 kada, šo je u konradikciji sa preposavkom da je u > 0. Razmorimo sada slučaj kada je u < 0 za 1. Kako je u srogo opadajuća funkcija, o je u c 3, c 3 > 0 za 1. Posle inegraljenja dobija se da je u c 3 c 4 kada, šo je u konradikciji sa polaznom preposavkom da je u > 0. Na ovaj način je pokazano da je uslov (17) dovoljan uslov oscilaornosi rešenja jednačine (11). Teorema 7. Neka su p 1 (), p 1(), p 2 (), p 2(), φ 1 (), φ 2 () C(a, b), i neka za svako (a, b) važi da je φ 2 () φ 1 (), p 2 () p 1 () > 0. Tada, ako su sva rešenja jednačine (p 1 ()v ) + φ 1 ()v = 0 oscilaorna na inervalu (a, b), onda su sva rešenja jednačine akod e oscilaorna na inervalu (a, b). (p 2 ()v ) + φ 2 ()v = 0 Dokaz navedene eoreme se nalazi u knjizi [1]. Napomena 4. Teorema 6 je specijalan slučaj eoreme 7. Primer 3. Dokazai da bilo koje rešenje Beselove diferencijalne jednačine (18) 2 u + u + ( 2 n 2 )u = 0, > 0, n R je oscilaorno na inervalu (0, ). 15

16 (19) Jednačina (18) se može zapisai u obliku u + 1 u + (1 n2 )u = 0. 2 Primenom leme 5, jednačina (19) se može ransformisai u jednačinu v + (1 n )v = 0. Kako je za svako n R funkcija φ n () = 1 n2 1 4 poziivna na nekom inervalu (a, ), a > 0, o se na osnovu uslova (17) može zaključii da su sva rešenja 2 jednačine (19) oscilaorna na inervalu (0, ). Navedene su još dve eoreme, koje pod odred enim uslovima obezbed uju oscilaornos (neoscilaornos) rešenja jednačine (11). Teorema 8. Ako je 0 < φ() < 1 4 2, (b, ) ada su sva rešenja diferencijalne jednačine v + φ()v = 0, φ C(b, ), b > 0 neoscilaorna na inervalu (b, ). Teorema 9. (Kneser) Ako posoji broj α > 0 akav da je φ() > 1+α 4 2, (b, ) ada su sva rešenja diferencijalne jednačine oscilaorna na inervalu (b, ). v + φ()v = 0, φ C(b, ), b > 0 Dokazi navedenih eorema mogu se naći u knjizi [5]. U sledećoj glavi biće prikazan drugačiji prisup u ispiivanju oscilaornosi rešenja diferencijalnih jednačina drugog reda. 2.3 Periodičnos rešenja Definicija 5. Za funkciju realne promenljive f : A R kažemo da je periodična ako posoji poziivan broj T, akav da važi ( A)( + T A i f( + T ) = f()). Najmanji poziivan broj T (ako on posoji) za koji važi navedena osobina, naziva se osnovnim periodom funkcije f. Za maricu P () kažemo da je periodična marica sa periodom T ako je P ( + T ) = P (), gde je T realna nenula konsana. Primer 4. Linearna diferencijalna jednačina v = a()v, gde je a() periodična T funkcija perioda T i a()d = 0, ima sva periodična rešenja perioda T. 0 16

17 Opše rešenje jednačine je oblika v(+t ) = v 0 e +T 0 a( 1 )d 1 = v 0 e 0 v() = v 0 e +T a( 1 )d 1 + a( 1 )d 1 0. a( 1 )d 1 = v 0 e 0 T a( 1 )d a()d = v0 e Može se zaključii da je svako rešenje polazne jednačine periodično, perioda T. 0 a( 1 )d 1 = v(). Teorema 10. Neka je P () periodična marica perioda T, neprekidna za svako R, ada rešenje sisema V = P ()V, V (0) = I je oblika V = Q()e B, gde je B konsanna marica, a Q() ima period T. Dokaz navedene eoreme se nalazi u knjizi [1]. U uvodnom poglavlju pokazano je da se svaka homogena linearna diferencijalna jednačina drugog reda smenama može svesi na sisem od dve linearne diferencijalne jednačine. Koriseći se ovom činjenicom i prehodnom eoremom može se doći do sledećeg rezulaa: Teorema 11. Sva rešenja jednačine v + φ()v = 0, gde je φ() neprekidna periodična funkcija perioda π, su oblika v = e ρ p 1 () + e σ p 2 () gde su p 1 () i p 2 () periodične funkcije, osnovnog perioda π, a ρ i σ su konsane. 2.4 Produživos rešenja U ovoj sekciji sva vrd enja koja su navedena odnose se na diferencijalne jednačine drugog reda u normalnom obliku. Naravno, navedena vrd enja uz male korekcije važe za diferencijalne jednačine prvog reda i mogu se uopšii i za diferencijalne jednačine n og reda. U eoriji diferencijalnih jednačina važno je da rešenje bude definisano na šo širem skupu. Navešćemo, kao primer, jednu diferencijalnu jednačinu prvog reda. Jednačina v () = 1 + v 2 () ima opše rešenje v() = g ( c), c R. 17

18 Ovo rešenje se ne može produžii van inervla (c π 2, c + π 2 ). Neka je G R 3 oblas egzisencije i jedinsvenosi rešenja diferencijalne jednačine (20) v = f(, v, v ). Neka su v = ϕ(), I = ( 1, 2 ) i v = ψ(), J = ( 1, 2) rešenja jednačine (20). Definicija 6. Rešenje v = ϕ(), I je produženje rešenja v = ψ(), J ako je: (1) I J (2) J : ϕ() = ψ(). Definicija 7. Rešenje v = ϕ(), I nazivamo neproduživim, ako se svako njegovo produženje poklapa sa njim samim. Ovde će bii izložena neka svojsva neproduživih rešenja. Lema 7. Za svako ( 0, v 0, v 0) G posoji neproduživo rešenje v = ϕ() jednačine (20) koje zadovoljava uslove ϕ( 0 ) = v 0 i ϕ ( 0 ) = v 0. Dokaz. Posmarajmo sva rešenja v = ϕ() jednačine (20) koja zadovoljavaju počene uslove ϕ( 0 ) = v 0, ϕ ( 0 ) = v 0. Svako od ovih rešenja je definisano na nekom ovorenom inervalu. Neka je L skup svih levih krajeva ovih inervala, a D skup svih desnih krajeva ovih inervala. Neka je m = inf L a M = sup D. Prvo je porebno konsruisai rešenje jednačine (20) v = ψ(), (m, M), a zaim pokazai da je ovo rešenje neproduživo. Neka je proizvoljna ačka iz inervala (m, M). Tada, posoji neko rešenje jednačine (20) v = ψ(), ψ(0 ) = v 0, ψ ( 0 ) = v 0, definisano na nekom inervalu ( 0, 1 ), akvo da ( 1, 2 ). Neka je ψ( ) = ψ( ). Vrednos ψ( ) ne zavisi od izbora funkcije ψ(), jer ukoliko bi ψ1 () bilo neko drugo rešenje jednačine (20), definisano na nekom inervalu koji sadrži i zadovoljava počene uslove ψ 1 ( 0 ) = v 0, ψ 1 ( 0 ) = v 0, ada bi se rešenja ψ() i ψ1 () poklapala na zajedničkoj oblasi definisanosi. Ovo važi na osnovu eoreme o egzisenciji i jedinsvenosi rešenja. Odavde se može zaključii da je ψ( ) = ψ 1 ( ), j. vrednos ψ( ) ne zavisi od izbora funkcije v = ψ(). Funkcija v = ψ() je jednoznačno odred ena na (m, M), zadovoljava počene uslove ψ( 0 ) = v 0, ψ ( 0 ) = v 0 i rešenje je jednačine (20), jer se u okolini ačke poklapa sa nekim rešenjem e jednačine. Neka je v = ψ 1 (), ( 1, 2 ), ψ 1 ( 0 ) = v 0, ψ 1( 0 ) = v 0 produženje rešenja v = ψ(), (m, M), ψ( 0 ) = v 0, ψ ( 0 ) = v 0. Kako je ψ 1 () produženje rešenja ψ(), mora bii 1 m i 2 M. Kako je m = inf L i M = sup D imamo da važi m 1 i M 2. Odavde se zaključuje da je m = 0 i M = 1. Kako se produženje rešenja ψ 1 () poklapa sa njim samim, o je v = ψ(), (m, M) neproduživo rešenje. Lema 8. Ako je v = ϕ(), ϕ( 0 ) = v 0, ϕ ( 0 ) = v 0 neproduživo rešenje jednačine (20) i v = ψ(), ψ( 0 ) = v 0, ψ ( 0 ) = v 0 rešenje jednačine (20), ada je v = ϕ() produženje rešenja v = ψ(). 18

19 Dokaz navedene leme može se naći u knjizi [4]. Navedena lema biće korišćena u dokazu sledeće leme. Lema 9. Sva neproduživa rešenja v = ϕ() jednačine (20) koja zadovoljavaju počene uslove ϕ( 0 ) = v 0, ϕ ( 0 ) = v 0 imaju isu oblas definisanosi na kojoj se poklapaju. Dokaz. Neka su v = ϕ(), ( 1, 2 ) i v = ψ(), ( 1, 2) neproduživa rešenja jednačine (20) koja zadovoljavaju počene uslove ϕ( 0 ) = ψ( 0 ) = v 0, ϕ ( 0 ) = ψ ( 0 ) = v 0. Na osnovu leme 8 možemo zaključii da važi da je 1 1 i 2 2, ali važi i da je 1 1 i 2 2. Odavde se može zaključii da je 1 = 1 i 2 = 2. Pa, za svako ( 1, 2 ) : ϕ() ψ(). Izložena je još jedna eorema. Njen dokaz se akod e može naći u knjizi [4]. Teorema 12. Neka je ω proizvoljni zavoreni ograničeni skup koji se nalazi u G. Neka je v = ϕ(), (m, M) neproduživo rešenje jednačine (20). Tada posoje brojevi 1 i 2 : m < 1 < 2 < M akvi da za < 1 i > 2 ačka (, ϕ()) ne pripada ω. 19

20 3 Asimposka svojsva nekih ipova diferencijalnih jednačina 3.1 Linearne diferencijalne jednačine drugog reda Neka je I = [ 0, ), gde je 0 0. Posmaraćemo linearnu diferencijalnu jednačinu drugog reda (21) d d (k()du d ) + l()u = 0 gde je l C(I) i k C 1 (I), k() 0 za svako I. Ovde će bii ispiana neka svojsva rešenja jednačine (21), kao šo su ograničenos, oscilaornos i asimposko ponašanje rešenja. Neki rezulai su specijalni slučajevi eorema koje važe za linearne diferencijalne jednačine višeg reda. Jednačina (21) ima veliki fizički značaj, pa je iz og razloga predme ogromnog israživanja Neke korisne ransformacije Jednačina (21) može ransformisai u jednačinu jednosavnijeg oblika (22) gde je a C(I). d 2 u + a()u = 0, d2 Jednačina (21) može se zapisai u obliku: (23) u + k () k() u + l() k() u = 0. Primenjujući lemu 5 na jednačinu (23), dobija se jednačina oblika [ v l() + k() 1 ( ) d k ( ] k k )2 v = 0. 2 d k 4 Odavde možemo zaključii da je dobijena jednačina oblika (22). U mnogim slučajevima lakše je diskuovai o diferencijalnim jednačinama prvog reda nego drugog reda. Poznao je da linearna diferencijalna jednačina n og reda se može svesi na nelinearnu jednačinu (n 1) og reda, smenom u = v. U slučaju u kada je n = 2 rezula je jednosavan. Smenom u = e 0 vd 1 jednačina (22) svodi se na Rikaijevu (Riccai) jednačinu v + v 2 + a() = 0. 20

21 Nameće se logično pianje, na koju linearnu diferencijalnu jednačinu drugog reda može se svesi Rikaijeva jednačina (24) u = a()u 2 + b()u + c()? Ako su funkcije a C 1 (a, b), b, c C(a, b), a() 0 za svako (a, b), ada se smenom u() = v (), gde je v() nova nepoznaa funkcija, jednačina 24 ransformiše u linearnu diferencijalnu jednačinu drugog reda v()a() oblika (25) a()v [a () + a()b()]v + a 2 ()c()v = 0. Zaisa, ada će u () = v ()v()a() (v ()) 2 a() a ()v()v () v 2 ()a 2 () (24) dobijamo jednačinu (25). i zamenom u jednačinu Teoreme ograničenosi Posmaraćemo jednačinu (26) u + (a 2 + φ())u = 0, gde je φ C(I) i φ() 0 kada. Ne umanjujući opšos, možemo preposavii da je a = 1. Jednačina (26) posaje (27) u + (1 + φ())u = 0, gde φ() 0 kada. Prirodno se javlja pianje veze izmed u rešenja jednačine (27) i rešenja jednačine u + u = 0. Pokazaćemo da veza posoji, ali da uslov φ() 0 kada nije dovoljan da obezbedi ograničenos za sva rešenja jednačine (27). Teorema 13. Sva rešenja jednačine (28) u + (1 + φ() + ψ())u = 0 su ograničena ako važi: (a) φ C(I), φ() d < 0 (b) ψ C 1 (I), ψ () d <, ψ() 0 kada. 0 Za dokaz navedene eoreme biće nam porebna sledeća eorema. 21

22 Teorema 14. Ako su sva rešenja jednačine (29) u + a()u = 0, gde je a C(I), ograničena, ada su sva rešenja jednačine u + (a() + b())u = 0, gde b C(I), akod e ograničena, ako važi b() d <. 0 Dokaz eoreme 14 može se naći u knjizi [1]. Ovde je prikazan dokaz eoreme (13). Dokaz. Prvo će bii pokazano da su sva rešenja jednačine (30) u + (1 + ψ())u = 0 ograničena ako važi uslov (b) iz formulacije eoreme. Množeći obe srane jednakosi (30) sa u, dobija se u u + (1 + ψ())uu = 0. Inegraljenjem jednakosi u granicama od 0 do, dobija se j. 0 (u u + uu + ψ( 1 )uu )d 1 = 0 u u2 2 + Posle parcijalne inegracije dobija se u u2 2 (1 + ψ()) 0 ψ( 1 )uu d 1 = c 1. 0 ψ ( 1 ) u 2 2 d 1 = c 2. Za dovoljno veliko ( 1 > 0 ) važiće da je 1 + ψ() 1. Tada je 2 u 2 2c ψ() + 1 ψ ( 1 )u 2 d 1 4 c 2 +2 ψ ( 1 ) u 2 d 1 = c 3 +2 ψ ( 1 ) u 2 d ψ() za 1 > 0. Za 1 > 0 na osnovu leme 2 u 2 c 3 e 2 ψ ( 1 ) d 1 0 c3 e 2 ψ ( 1 ) d 1. 0 Odavde se može zaključii da su sva rešenja jednačine (30) ograničena. Na osnovu eoreme 14 sledi da su sva rešenja jednačine (28) ograničena. 22

23 Posmarajmo sada jednačinu (31) u + a()u = 0, gde a C(I) i a() kada. Teorema 15. Ako a C 1 (I) i a(), kada, ada sva rešenja jednačine su ograničena kada. u + a()u = 0 Dokaz. Množeći obe srane jednakosi (31) sa u, dobija se u u + a()uu = 0. Inegraljeći jednakos u granicama od 0 do, dobija se j. 0 (u u + a( 1 )uu )d 1 = 0 u Posle parcijalne inegracije dobija se Tada važi a() u2 2 c 2 + u a()u a( 1 )uu d 1 = c 1. 0 u 2 2 da() = c 2. u 2 2 da() c 2 + Na osnovu leme 2, za dovoljno veliko, dobija se 0 a( 1 )u 2 2 da( 1 ) a( 1 ). a() u2 2 c 2 e da( 1 ) a( 1 ) 0 Odavde se može zaključii da je u 2 2 c 2. c 2 a(). 23

24 Jednačina u + φ()u = 0, gde je φ() periodična funkcija, perioda π Posmarajmo sada jednačinu (32) u + φ()u = 0, gde je φ C(I), periodična funkcija, perioda π. Najvažniji primer jednačine ovog ipa je jednačina Mahieu-a u + (a + bcos2)u = 0 koja se javlja u fizici. Takod e, jednačina [ ] u + (a n cos n + b n sin n) u = 0 n=0 je jednačina ovog ipa. Do nje je došao Hil (Hill) prilikom proučavanja kreanja meseca. Na osnovu eoreme 10 je poznao da su sva rešenja jednačine (32) oblika v = e ρ p 1 () + e σ p 2 (), gde su p 1 () i p 2 () periodične funkcije osnovnog perioda π, i ne posoji jednosavan meod za dobijanje konsani ρ i σ, za dao φ(). Za jednačine ovog ipa posoji jednosavan krierijum ograničenosi njihovih rešenja. Teorema 16. Ako je φ C(I), periodična funkcija, perioda π i ako važi π (a) φ()d 0, φ() gde je funkcija koja nije idenički jednaka nuli (b) 0 π φ()d 4 π 0 onda su sva rešenja jednačine (32) ograničena kada ±. Dokaz eoreme 16 može se naći u knjizi [1] Krierijumi oscilaornosi rešenja U prehodnom poglavlju ispiivana je oscilaornos rešenja nekih linearnih diferencijalnih jednačina drugog reda. Takod e su prikazani neki krierijumi oscilaornosi i neoscilaornosi rešenja ovih jednačina. U ovoj sekciji biće prikazani neki krierijumi oscilaornosi rešenja koji obuhvaaju uslove koji podrazumevaju inegralno usrednjenje koeficijenaa ih jednačina. Osnovna ideja je da se ovde prikažu i krierijumi i objasni pojam inegralnog usrednjenja. Iskazane su samo formulacije krierijuma, a ne i način na koji se do njih došlo. Prikazano je ukrako kako se razvijala eorija oscilaornosi rešenja ovih jednačina koji obuhvaaju uslove koji podrazumevaju inegralno usrednjenje koeficijenaa ih jednačina. Treba napomenui 24

25 da je uvrd ivanje krierijuma oscilaornosi rešenja linearnih i nelinearnih jednačina koji podrazumevaju usrednjavanje koficijenaa od posebnog značaja, i da je o vrlo akuelna ema i danas. U proučavanju oscilaornosi rešenja linearnih i nelinearnih diferencijalnih jednačina drugog reda, mnogi krierijumi obuhvaaju uslove koji podrazumevaju inegralno usrednjenje koeficijenaa ih jednačina. Ti krierijumi su moivisani Vinnerovim (Winner) krierijumom oscilaornosi rešenja linearne diferencijalne jednačine iz godine, da je uslov (33) 1 lim 0 s 0 φ(τ)dτ ds = dovoljan uslov za oscilaornos rešenja linearne diferencijalne jednačine (34) u + φ()u = 0. Vinnerov (Winner) rezula je nešo kasnije poboljšao Harman (Harman), pokazavši da se uslov (33) može zamenii sa sledeća dva slabija uslova 1 s lim inf φ(τ)dτ ds > 0 0 lim inf 1 0 s 0 φ(τ)dτ ds < lim sup 1 0 s 0 φ(τ)dτ ds. Da bi pojam inegralnog usrednjenja u eoriji oscilaornosi rešenja diferencijalnih jednačina bio pojašnjen, ovde će bii izložena opša šema meode inegralnog usrednjenja za sisem diferencijalnih jednačina. Taj meod je razvijen počekom šezdeseih godina prošlog veka i našao je široku primenu ne samo u eoriji oscilacija, već i u mnogim granama fizike, a posebno u oblasi nebeske mehanike i auomaske regulacije. Osnovna ideja meode usrednjenja je da rešenje polaznog sisema aproksimiramo rešenjem sisema za koji već imamo poznae meode rešavanja ili rešenjem sisema koje možemo kvaliaivno lakše analizirai. Opša šema meode usrednjenja za sisem diferencijalnih jednačina Posmarajmo sisem (35) U = εf (, U), gde je U n-dimenzionalni vekor, ε > 0 mali paramear i funkcija F (, U) definisana u oblasi Π = {(, U) U Q, Q R n }. Sisemu (35) pridružujemo sisem (36) ξ = εf 0 (ξ) 25

26 gde je 1 T (37) F 0 (U) = lim F (, U)d T T 0 Sisem (36) se naziva odgovarajući usrednjeni sisem polaznog sisema (35). Važi sledeća eorema o bliskosi rešenja sisema (35) i (36) na konačnom inervalu: Teorema 17. (Larionov-Filaov) Ako važi: 1) funkcija F (, U) je neprekidna po u oblasi Π i zadovoljava Lipšicov uslov po promenljivoj U u oj oblasi, 2) u svakoj ački oblasi Q posoji granična vrednos (37), 3) rešenje ξ = ξ(), ξ(0) = U(0) Q sisema (36) je definisano za svako 0 i leži u nekoj okolini K(0, δ) Q, 4) funkcija F 0 (U) zadovoljava Lipšicov uslov na Q, pri čemu na svakom konačnom segmenu [ 1, 2 ] duž inegralne krive ξ() važi nejednakos: 2 F 0 (ξ())d M( 2 1 ), M = cons. 1 Tada za svako ν > 0 i L > 0 posoji ε 0, ako da za ε < ε 0 na segmenu [0, Lε 1 ] važi nejednakos U() ξ() < ν. Očigledno da su ovde nad eni uslovi pod kojima je razlika izmed u ačnog rešenja i njegovog asimposki približnog, pri dovoljno malim vrednosima paramera dovoljno mala, na koliko hoćemo velikom, ali konačnom inervalu. Sada se može primeii da u Vinnerovom (Winner) uslovu (33) izraz na levoj srani jednakosi zapravo podrazumeva inegralno usrednjenje funkcije Q(s) = s 0 φ(τ)dτ. Problem nalaženja krierijuma oscilaornosi rešenja nelinearnih diferencijalnih jednačina koji podrazumevaju inegralno usrednjenje koeficijenaa ih jednačina, je privukao pažnju velikog broja auora. O ome svedoči veliki broj radova sa ovakvom problemaikom. Kamenev (Kamenev) je koriseći po prvi pu ežinsko usrednjenje, uopšio Vinnerov (Winner) krierijum, pokazavši da su rešenja linearne diferencijalne jednačine (34) oscilaorna ako važi lim sup 1 β 0 ( s) β φ(s)ds = za neko β > 1, i aj krierijum je kao i Vinnerov (Winner) poslužio kao emelj u procesu dobijanja krierijuma oscilaornosi rešenja za razne ipove nelinearnih diferencijalnih jednačina. Filos (Philos) je generalizovao aj rezula Kameneva (Kamenev) uvodeći ežinsku funkciju ϱ C 1 ([ 0, )) i pokazavši da je uslov lim sup 1 n 1 0 [ ( s) n 3 ( s) 2 ϱ(s)φ(s) [(n 1)ϱ(s) ( ] s)ϱ (s)] 2 )) ds = 4ϱ(s) 26

27 za neki prirodan broj n 3 dovoljan uslov za oscilaornos rešenja linearne jednačine (34). Poslednjih rideseak godina, od posebnog ineresa je uvrd ivanje krierijuma oscilaornosi rešenja linearnih i nelinearnih diferencijalnih jednačina koji podrazumevaju ežinsko usrednjenje koeficijenaa ih jednačina i koji su moivisani krierijumom Kameneva (Kamenev) za linearnu diferencijalnu jednačinu, da je uslov lim sup 1 β 0 ( s) β φ(s)ds = za neko β > 1, dovoljan uslov za oscilaornos rešenja jednačine u + φ()u = 0, 0. Kao ežinska funkcija najčešće je korišćena poziivna, neprekidno diferencijabilna funkcija ϱ akva da je ϱ nenegaivna i opadajuća funkcija i funkcija ( s) β za β prirodan ili realan broj veći od jedinice ili proizvod ovih funkcija. Na primer svaka od sledećih funkcija ϱ zadovoljava navedene uslove: (1) ϱ() = β, β [0, 1], 0 (2) ϱ() = log β, β > 0, 0, gde je 0 > max{1, e β 1 } (3) ϱ() = β log β, β (0, 1), 0, gde je 0 > max{1, e 1 β 1 1 β }. Nameće se pianje da li se kao ežinska funkcija može korisii funkcija iz šire familije funkcija. Filos (Philos) je prvi pu korisio familiju paramearskih funkcija u meodi inegralnog usrednjenja. Danas akuelni prisup u dobijanju krierijuma oscilaornosi rešenja jese korišćenjem klase paramearskih funkcija kao ežinskih funkcija u meodi usrednjenja Asimposko ponašanje rešenja jednačine u (1 + φ())u = 0 Posmaraćemo jednačinu (38) u (1 + φ())u = 0, gde je φ C(I), čija je eorija jednosavnija i komplenija od eorije jednačine u + (1 + φ())u = 0. Pod preposavkom da φ() 0 kada, biće pokazano da posoje dva linearno nezavisna rešenja jednačine (38) u 1 i u 2 za koja važi u 1 u 1 1, u 2 u 2 1 kada. U dokazu ovog rezulaa biće korišćen veoma ineresanan i korisan meod. Prvo će bii pokazano da posoji rešenje u 1 za koje važi da u 1 u 1 1 kada, a 27

28 zaim će se korišćenjem leme 4 doći do drugog linearno nezavisnog rešenja jednačine (38), i biće pokazano da za njega važi da u 2 u 2 1 kada. Neka je 1 dovoljno veliko, ako da važi da je 1 + φ() 1 ε za 1 > 0. Neka je u rešenje jednačine (38) za koje važi u ( 1 ) = 2 i u( 1 ) = 1. Neka je v = u, u ada v zadovoljava Rikaijevu jednačinu Posmarajmo sliku 1. v + v 2 (1 + φ()) = 0, v( 1 ) = 2. Slika 1: Kako je v = 1 + φ() v 2, može se primeii da je v ( 1 ) < 0 i v opada dok ne preseče krivu ω = 1 + φ(). U presečnoj ački P, v dosiže minimum, i počinje da rase, sve dok ponovo ne preseče ovu krivu. U sledećoj presečnoj ački v dosiže maksimum, i ope počne da opada, i ako se ponavlja. Kako se minimum i maksimum funkcije v nalaze izmed u minimuma i maksimuma funkcije ω = 1 + φ() u može se zaključii da v 1 kada, j. 1 kada. Posmaran je u bio slučaj kada 1 + φ() osciluje kada, slučaj kada 1 + φ() ne osciluje kada je još jednosavniji. u Pokazana je egzisencija rešenja u jednačine (38) za koje važi 1 kada u. Kako je u e (1 ε) za 1 o funkcija d ω = u u 2 posoji, i na osnovu leme 4 sledi da će ω bii drugo linearno nezavisno rešenje jednačine (38). Kako bi bilo pokazano da je ω 1 porebna je sledeća lema. ω f Lema 10. Ako lim () = a, f(), g() 0 kada i neka je g isog g () znaka za 0. Onda f() lim g() = a. 28

29 Dokaz leme 10 može se naći u knjizi [1]. Važi da je ω ω = u u d u 2 1 u = d u 2 Kako su zadovoljeni uslovi leme 10 i kako je može se zaključii da kada. lim 1 u 2 d u 2 = lim 2u u 3 1 u 2 ω ω 1 u 1 u u 2. d u 2 u = 2 lim u = 2 Pokazano je u poglavlju uvodni pojmovi da se linearna diferencijalna jednačina drugog reda može pomoću odred enih smena svesi na sisem od dve linearne diferencijalne jednačine. Jednačina (38) ransformiše se u sisem diferencijalnih jednačina u 1 = u 2 u 2 = (1 + φ())u 1. Korišćenjem ove ransformacije i eorema koje važe za odgovarajuće siseme diferencijalnih jednačina može se doći do nekih asimposkih rezulaa. Dokazi eorema vezani za siseme linearnih diferencijalnih jednačina koje će ovde bii formulisane nalaze se u knjizi [1]. Teorema 18. Ako sisem diferencijalnih jednačina (39) du = (A + B())U d zadovoljava uslove: (a) A je konsanna marica sa različiim sopsvenim vrednosima, (b) B C(I), B 0 kada, onda rešenje u k koje odgovara sopsvenoj vrednosi λ k zadovoljava nejednakosi c 2 e Re(λ k) d 2 B d 0 uk c 1 e Re(λ k)+d 1 B d 0 za 0, gde su c 1, c 2, d 1 i d 2 poziivne konsane. Šaviše, ako su sopsvene vrednosi marice A realne i različie, i ako je B d < 0, ada posoji n rešenja u 1, u 2,... u n akva da kada, gde je c k konsanni vekor. u k = e λ k (c k + o(1)) 29

30 U slučaju jednačine (38) j. sisema na koji se svodi jednačina (38) ( ) ( ) A =, B = 1 0 φ() 0 i ispunjeni su uslovi eoreme 18, jer su sopsvene vrednosi marice A realne i različie (λ 1 = 1, λ 2 = 1) i B = max φ() 0 kada. I Na osnovu eoreme 18 može se doći do važnog asimposkog rezulaa za jednačinu (38) : Posoje dva rešenja u 1 i u 2 jednačine (38) akva da e d 2 e d 2 0 φ( 1 ) d 1 u1 e +d 2 0 φ( 1 ) d 1 u2 e +d 2 0 φ( 1 ) d 1 0 φ( 1 ) d 1. Ako je još ispunjeno da φ() d <, na osnovu eoreme 18 sledi da posoje dva 0 rešenja u 1 i u 2 akva da u 1 e kada. u 2 e Teorema 19. Neka za sisem diferencijalnih jednačina (40) du d = (A + φ() + B())U važi: (a) A je konsanna marica sa različiim sopsvenim vrednosima λ i (b) B C(I), B d < 0 (c) φ C(I), φ 0 kada i dφ 0 d d < (d) sopsvene vrednosi λ i () marice A + φ() imaju različie realne delove ili zadovoljavaju jedan od uslova: (1) lim sup Re(λ i () λ j ())d < 0 (2) lim Re(λ i () λ j ())d =, Re(λ i () λ j ())d > c za (3) lim Re(λ i () λ j ())d =, Re(λ i () λ j ())d < c za Tada posoji n linearno nezavisnih rešenja sisema, akvih da za važi gde je c k konsanni, nenula vekor. λ k ( 1 )d 1(ck u k () = e 0 + o(1)) 30

31 Ako važi da je φ () d <, ada na osnovu eoreme 19 dolazimo do sledećeg 0 asimposkog rezulaa: Posoje dva linearno nezavisna rešenja u 1 i u 2 jednačine (38) za koje važi: u 1 e 0 1+φ()d kada. u 2 e 1+φ()d 0 (41) Posmarajmo jednačinu oblika u (1 + φ())u = 0, gde φ C(I), φ () d = i φ 2 ()d <. 0 0 Posoji čiava klasa linearnih diferencijalnih jednačina drugog reda koje nisu obuhvaćene prehodnom analizom. Jednosavan primer jednačine ovog ipa je jednačina ( u 1 + sin ) u = 0. Kako je d =, nije ispunjen uslov za primenu eoreme 18, a kako je 0 d d sin 0 sin d = nije ispunjen ni uslov za primenu eoreme 19. Pokažimo da je 0 sin d =. Kako važi sin sin 2 o je sin sin2 = Kako 0 d 2 divergira a pokazuje i divergencija inegrala 0 1 cos 2. 2 cos 2d konvergira, sledi da 2 0 d d sin d. Za ovakve ipove jednačina važi sledeći asimposki rezula: 0 sin d =. Slično se Teorema 20. Ako je φ C(I) i ako važi: (a) φ() 0 kada, (b) φ 2 ()d <, 0 onda posoje dva linearno nezavisna rešenja jednačine (41) koja imaju asimposke forme: u 1 = e φ()d+o(1) 31

32 u 2 = e φ()d+o(1). Dokaz ove eoreme zaheva mnoga izvod enja i može se naći u knjizi [1] Asimposko ponašanje rešenja jednačine u + (1 + φ())u = 0 Posmarajmo jednačinu oblika (42) gde je φ C(I) i φ() 0 kada. u + (1 + φ())u = 0, Teorija za ovu jednačinu je dosa komplikovanija od eorije za jednačinu u (1 + φ())u = 0, zbog oscilaornosi rešenja jednačine. Iz og razloga, ovde će bii prikazani samo asimposki rezulai a ne i način na koji se došlo do njih. Ne posoje analogne eoreme zasnovane na ispiivanju asimposkog ponašanja u u. Asimposki rezulai: 1. Ako važi da je φ() d <, ada posoje dva linearno nezavisna rešenja 0 jednačine (42), akva da je u 1 = sin (1 + o(1)) u 2 = cos (1 + o(1)) kada. 2. Ako važi da je φ () d <, ada posoje dva linearno nezavisna rešenja 0 jednačine (42), akva da je u 1 = e i 1+φ(1 )d 1(1 0 + o(1)) u 2 = e i 1+φ(1 )d 1(1 0 + o(1)) kada. 3. Ako važi da je φ 2 ()d <, ada posoje dva linearno nezavisna rešenja 0 jednačine (42), akva da je kada. u 1 = e i+ i φ( 2 1 )d 1(1 0 + o(1)) u 2 = e i i φ( 2 1 )d 1(1 0 + o(1)) 32

33 3.2 Emden-Faulerova jednačina Posmaraćemo jednačinu oblika (43) d d ( ρ du ) ± σ u n = 0. d Jednačina ovog oblika je po prvi pu privukla pažnju Emdena (Emden), krajem XIX veka, u prvim eorijama dinamike gasova u asrofizici, dok se rideseih godina ovog veka pojavljuje u radovima Fermija (Fermi) i Tomasa (Thomas) u proučavanju disribucije elekrona u eškom aomu. Jednačina ipa Emden-Fauler (Emden-Fowler) se akod e pojavljuje u proučavanju mehanike fluida, relaivisičke mehanike, nuklearne fizike, kao i u proučavanju hemijskih reakcija sisema. Posmaraćemo samo proper rešenja jednačine (43). P roper rešenje je ono rešenje koje je realno i neprekidno za 0. Jednačina (43) smenama se može svesi na jednačine jednosavnijeg oblika: Ako je ρ > 1, neka je s = (ρ 1) 1 ρ 1, u = (ρ 1) ρ σ 2 (43) ima oblik d 2 v ds ± 2 sσ 1 v n = 0 gde je σ 1 = σ+ρ (n + 3). ρ 1 (ρ 1)(n 1) v s. Tada jednačina Ako je ρ < 1, neka je s = (1 ρ) 1 1 ρ, u = (1 ρ) (1 ρ)(n 1) v. Tada jednačina (43) ima oblik d 2 v ds ± 2 sσ 2 v n = 0 gde je σ 2 = σ+ρ. 1 ρ Ako je ρ = 1, neka je s = ln. Tada jednačina (43) ima oblik d 2 u ds 2 ± e(σ+1)s u n = 0. Posmarajmo jednačinu d 2 u (44) d ± 2 σ u n = 0. Poražimo rešenje ove jednačine u obliku u = c ω, gde su c i ω konsane. Zamenom u = c ω u jednačinu (44) dobijamo j. cω(ω 1) ω 2 ± c n σ ωn = 0 c(ω(ω 1) ω 2 ± c n 1 σ ωn ) = 0. Da bi u = c ω bilo nerivijalno rešenje jednačine (44) porebno je da važi ω 2 = σ + ωn, ω(ω 1) ± c n 1 = 0 ρ+σ 33

34 j. porebno je da (45) ω = σ + 2 ( ) 1 n 1, c = (σ + 2)(σ + n + 1) n 1. (n 1) 2 Kada je n = 1 jednačina (44) je linearna diferencijalna jednačina drugog reda, a ovakve jednačine su bile posmarane u prehodnoj sekciji. Zao će ovde bii podrazumevano da je n > 1. Primeimo da u opšem slučaju realna rešenja jednačine u σ u n = 0 koja ražimo u obliku u = c ω (gde za c i ω važi (45)), posojaće jedino ukoliko je (σ + 2)(σ + n + 1) > 0. Kako će bii posmarana samo realna neprekidna rešenja, priroda broja n imaće značajan uicaj na moguće ipove rešenja. Jasno je, da u opšem slučaju, zbog pojave člana u n, proper rešenja moraju bii poziivna. Za izvesne vrednosi broja n, u može uzimai i negaivne vrednosi, ukoliko je n = p gde je q neparan broj. q Možemo primeii da za jednačine gde su negaivne vrednosi za u dopusive, važi da je ili u n poziivno ili da je ( u) n = u n. U daljem radu biće podrazumevano da je n neparan ukoliko je n = p q p i q oba neparna, i da je n paran ukoliko je q paran. gde su Jednačina (44) prvo će bii razmarana u zavisnosi od znaka, a zaim i od vrednosi σ i n Jednačina u σ u n = 0. Posmaraćemo jednačinu (46) u σ u n = 0. U zavisnosi od vrednosi parameara σ i n razlikovaćemo slučajeve: 1. Jednačina u σ u n = 0, σ + n + 1 < 0. Teorema 21. Ako je σ + n + 1 < 0, onda sva poziivna proper rešenja jednačine imaju jednu od asimposkih formi: u σ u n = 0 ( ) 1 (σ + 2)(σ + n + 1) n 1 u σ+2 (n 1) 2 n 1 ili a n u a 1 + a 2 + (1 + o(1)) 1 σ+n+2 (σ + n + 1)(σ + n + 2) 34

35 ili kada, gde su a 1 i a 2 konsane. a n u a 2 + (1 + o(1)) 2 σ+2 (σ + 1)(σ + 2) Za dokaz navedene eoreme porebne su sledeća lema i eorema. Njihovi dokazi mogu se naći u knjizi [1]. Teorema 22. Bilo koje rešenje jednačine du d = P (u, ) Q(u, ) neprekidno za 0, koje je monoono, zajedno sa svim svojim izvodima, zadovoljava jednu od sledeće dve relacije u a b e P () u a b (log ) 1 c kada, gde je P () polinom po i c je ceo broj. Lema 11. Ako u, i ako je u 0 kada, ada u u 1+ε za 0, za neko ε > 0, osim možda na odred enim inervalima konačne dužine koji zavise od ε. Sada će bii prikazan dokaz eoreme 21. Dokaz. Kako je u = σ u n > 0 za svako [ 0, ), 0 0, sledi da je u srogo rasuća funkcija na inervalu [ 0, ). Odale, u može imai najviše jednu nulu na [ 0, ), odnosno funkcija u može imai najviše jednu eksremnu vrednos na inervalu [ 0, ) (i a eksremna vrednos mora bii minimum, jer je u > 0). Dakle, posoji 1 0 ako da je u monoona funkcija na inervalu [ 1, ). Mogu nasupii sledeća ri slučaja kada : (1) u 0 (2) u a 0 (3) u. Razmorimo prvi slučaj. Ako u 0 kada i kako je u monoono rasuća funkcija ada sledi da u < 0, pa je u opadajuća funkcija. Kako u opada i u > 0 odavde se može zaključii da je lim u() konačan. Pokazaćemo da lim u() 0. Preposavimo suprono, da lim u() = 0. Tada bi lim u() = lim u () = 0. Iz ovoga se može zaključii da je (47) u () = u d 1 = σ 1u n d 1 35