Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης."

Transcript

1 Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Ενιαίου Λυκείου

2 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Διανύσματα Η θεωρία με Ερωτήσεις 1 Ασκήσεις & Προβλήματα 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η Ευθεία στο Επίπεδο Η θεωρία με Ερωτήσεις 11 Ασκήσεις & Προβλήματα 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Κωνικές Τομές Η θεωρία με Ερωτήσεις 1 Ασκήσεις & Προβλήματα 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Θεωρία Αριθμών Η θεωρία με Ερωτήσεις 33 Ασκήσεις & Προβλήματα 35 «Σκέφτομαι άρα υπάρχω» Καρτέσιος

3

4 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο 1: Διανύσματα 1 Κεφάλαιο 1 Διανύσματα ΕΝΟΤΗΤΑ 1: Η Έννοια του Διανύσματος Ερωτήσεις Θεωρίας Ορισμοί Παρατηρήσεις 1 Να ορίσετε το διάνυσμα; Ποιο διάνυσμα ονομάζεται μηδενικό; Τι ονομάζουμε μέτρο ή μήκος ενός διανύσματος α ; Πότε ένα διάνυσμα ονομάζεται μοναδιαίο; 3 Τι ονομάζουμε φορέα ενός μη μηδενικού διανύσματος α ; Πότε το α είναι παράλληλο με μια ευθεία ζ (συμβολισμός); Πότε δυο μη μηδενικά διανύσματα α, β ονομάζονται παράλληλα ή συγγραμμικά (συμβολισμός); 4 Πότε δυο μη μηδενικά διανύσματα α, β ονομάζονται ομόρροπα και πότε αντίρροπα (συμβολισμός); 5 Πότε δυο μη μηδενικά διανύσματα α, β λέμε ότι έχουν: α) ίδια διεύθυνση β) ίδια κατεύθυνση γ) αντίθετη κατεύθυνση 6 Πότε δυο μη μηδενικά διανύσματα α, β λέγονται ίσα και πότε αντίθετα; 7 Τι ονομάζουμε γωνία των μη μηδενικών διανυσμάτων α, β (συμβολισμός); Πότε λέμε ότι τα μη μηδενικά διανύσματα α, β είναι κάθετα;

5 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο 1: Διανύσματα ΕΝΟΤΗΤΑ : Πρόσθεση & Αφαίρεση Διανυσμάτων Ερωτήσεις Θεωρίας Ορισμοί Παρατηρήσεις 1 Να ορίσετε το άθροισμα ή τη συνισταμένη των διανυσμάτων α, β ; Να αποδείξετε τις ιδιότητες της πρόσθεσης διανυσμάτων; 3 Να ορίσετε τη διαφορά α β του διανύσματος β από το διάνυσμα α ; 4 Τι ονομάζεται διάνυσμα θέσης ή διανυσματική ακτίνα του σημείου Μ με σημείο αναφοράς το σημείο Ο του χώρου; Πως μπορεί να γραφεί ένα διάνυσμα AB με την βοήθεια διανυσμάτων θέσεως; 5 Έστω τα διανύσματα α, β και α β Ποια ανισότητα ισχύει μεταξύ των μέτρων α, β, α β ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Πολλαπλασιασμός Αριθμού με Διάνυσμα Ερωτήσεις Θεωρίας Ορισμοί Παρατηρήσεις 1 Τι ονομάζεται γινόμενο ενός πραγματικού αριθμού λ με το διάνυσμα α ; Τι ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός δυο διανυσμάτων α, β ; 3 Να αποδείξετε για τα διανύσματα α, βμε 0 β την ισοδυναμία: α //β α λβ, λ 4 Να αποδείξετε για το μέσο Μ του τμήματος ΑΒ ότι: OA OB OM ΕΝΟΤΗΤΑ 4: Συντεταγμένες στο Επίπεδο Ερωτήσεις Θεωρίας Ορισμοί Παρατηρήσεις 1 Να αποδείξετε ότι κάθε διάνυσμα α γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός των μοναδιαίων διανυσμάτων i, j δηλαδή α xi yj Αν, α xi yj τότε τι λέγονται συνιστώσες του α κατά την διεύθυνση των i, j και τι λέγονται συντεταγμένες του α στο σύστημα Οxy; 3 Να αποδείξετε ότι αν α (x1, y1) και β (x, y ): i) α β (x1 x, y1 y ) ii) λα (λx1, λy1) iii) α μβ (λx μx, λy μy ) λ Αν (x, y ) A 1 1 και B( x, y ), να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ 5 Να αποδείξετε ότι αν x, y ) A( 1 1 και B( x, y ) AB (x x1, y y1)

6 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο 1: Διανύσματα 6 Να αποδείξετε ότι αν α (x, y) : α x y 3 7 Να αποδείξετε ότι αν x, y ) A 1 1 B 1 1) ( και ( x, y ): ( AB) (x x ) (y y 8 Να γράψετε τη συνθήκη παραλληλίας α // β με τη βοήθεια της ορίζουσας των διανυσμάτων α, β 9 Τι ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει το μη μηδενικό διάνυσμα α με τον άξονα x x, και τι τιμές μπορεί να πάρει αυτή; 10 Τι ονομάζουμε συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος α (x, y) με x 0; 11 Να αποδείξετε ότι αν τα α, β έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ 1, λ αντίστοιχα τότε: α // β λ 1 λ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Ερωτήσεις Θεωρίας Ορισμοί Παρατηρήσεις 1 Να ορίσετε το εσωτερικό γινόμενο δυο μη μηδενικών διανυσμάτων, β ορισμό να ορίσετε το α Να αποδείξετε ότι αν (x, y ) α Να αποδείξετε ότι αν (x, y ) και β (x, y ) τότε: α β x1x y1y α 1 1 και β (x, y ): i) (λα) β α (λβ) λ(α β) ii) α (β γ) α β α γ iii) α β λ1 λ 1 με α, β y y και λ1 λ α, λ λ β α ; Με βάση τον προηγούμενο 4 Να αποδείξετε ότι αν θ η γωνία που σχηματίζουν τα μη μηδενικά διανύσματα (x, y ) β ( x, y ) τότε: συνθ x 1 x x 1 y 1 y y 1 x y 5 Τι λέγεται προβολή του διανύσματος v στο α (α 0) 6 Να αποδείξετε ότι: α v α προβ v α για α 0 ; α 1 1 και

7 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο 1: Διανύσματα 4 Ασκήσεις & Προβλήματα Η Έννοια του Διανύσματος 1 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε ώστε ΒΔ ΓΑ και ΓΕ ΒΑ Να αποδείξετε ότι το Α είναι μέσο του ΔΕ Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του Νρείτε τις γωνίες: AB ^ΑΓ AΟ ^ ΔΒ AB ^ΟΔ AΟ ^ ΑΓ i), ii), iii), iv), 3 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος i) Για κάθε διάνυσμα ισχύει: α α vi) Αν AB AΓ, τότε τα Β, Γ συμπίπτουν ii) Είναι : α α vii) α, β α,β iii) Αν α β τότε: α β viii) Αν α,β π τότε α β iv) Αν α β, τότε: α β ix) Αν α β 0 τότε: α β 0 v) Αν α β και β γ, τότε: α γ x) 0 α,β π 4 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ, το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ και τα σημεία Δ, Ε ώστε MΔ ΓΑ και Να αποδείξετε ότι το Α είναι μέσο του ΔΕ ME BΑ Πρόσθεση & Αφαίρεση Διανυσμάτων 5 Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι: ΑΒ = α και ΑΔ = β Νρεθούν τα διανύσματα ΑΓ και ΒΔ 6 Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ το Μ είναι μέσο της ΑΒ Αν ΑΔ = α και ΔΓ = β, τότε νρεθούν τα διανύσματα: i) ΔΜ ii) ΜΓ iii) ΑΓ iv) ΒΔ 7 Στο διπλανό σχήμα νρεθεί το διάνυσμα x 8 Έστω τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε Να αποδείξετε ότι: ΑE BA ΒΓ ΕΔ ΔΓ 9 Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α, Β, Γ, Δ ισχύει: ΑΔ BΓ ΑΓ ΒΔ 10 Δίνονται τα διανύσματα ΑΒ και Α Β Αν Μ και Μ' είναι μέσα των ΑΒ και ΑΒ να αποδείξετε ότι: ΑA BB MM 11 Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ μέσον του ΑΒ Να αποδείξετε ότι: ΜΓ ΜΔ ΑΓ ΔΒ 1 Αν για τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Κ, Λ ισχύει ότι ΑΒ ΓΑ ΚΒ ΓΛ να δείξετε ότι το Κ ταυτίζεται με το Λ 13 Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με σημείο αναφοράς το Ο Ισχύει ότι OA ΟΓ ΟΒ ΟΔ Να δείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο 14 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Ρ τυχαίο σημείο της ΒΓ Ορίζουμε σημείο Μ τέτοιο,ώστε: ΡΜ ΑΡ ΡΒ ΡΓ Να δείξετε ότι το ΑΒΜΓ είναι παραλληλόγραμμο

8 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο 1: Διανύσματα Πολλαπλασιασμός Αριθμού με Διάνυσμα 1 15 Να δείξετε ότι τα διανύσματα v α β γ 8 και u α β 4γ είναι συγγραμμικά Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα μέσα Κ, Λ των ΑΒ, ΓΔ αντιστοίχως Να αποδείξετε ότι: ΑΔ ΒΓ ΚΛ 17 Δίνονται τα διανύσματα α και β και ένα σημείο Ο του χώρου Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ που ορίζονται από τις σχέσεις OA α 3β, ΟΒ 3α 5β και ΟΓ 5α 9β είναι συνευθειακά 18 Αν ισχύει PA 3PB 5PΓ 0 να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά 19 Δίνονται τέσσερα σημεία Ο, Α, Β, Γ τέτοια ώστε τα Ο, Α, Β δεν είναι συνευθειακά Να δείξετε ότι, αν και ΟΓ 1 λοα λοβ, λr τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά 0 Αν κ ΡΑ 3ΡΒ κ 5ΡΓ να δείξετε ότι τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά σημεία 1 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία Μ, Ν τέτοια ώστε να είναι: ΔΜ ΑΔ και ΒΝ ΑΒ Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ, Γ και Ν είναι συνευθειακά Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Αν Κ, Λ, Μ είναι μέσα αντιστοίχως των πλευρών ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ και Σ σημείο του επιπέδου του τριγώνου να αποδειχθεί ότι: ΣΚ ΣΛ ΣΜ ΣΑ ΣΒ ΣΓ 3 Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, Κ το κέντρο του, Μ το μέσον του ΚΓ Δείξτε ότι: AB ΑΔ 4ΑΜ ΑΓ 4 Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ Αν Μ και Ν είναι αντιστοίχως τα μέσα των διαγωνίων του ΑΓ και ΒΔ να 1 1 αποδείξετε ότι: i) ΜΝ ΑΔ ΒΓ ΑΒ ΓΔ ii) 4ΜΝ ΑΔ ΑΒ ΓΔ ΓΒ 5 Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ Να δείξετε ότι το διάνυσμα u MA 3MB MΓ 4ΜΔ είναι σταθερό 6 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και σημείο Ρ τέτοιο ώστε ΡΓ ΡΒ Να αποδειχτεί ότι: ΡΑ ΡΒ ΡΔ ΑΒ 0 7 Εάν ΑΛ 3ΒΛ ΜΒ ΑΚ ΑΜ ΒΚ να αποδείξετε ότι τα διανύσματα ΚΛ και ΜΛ είναι αντίρροπα 1 8 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε και Ζ ώστε να ισχύει ΑΒ 1 3 ΑΔ, ΓΕ ΒΓ και ΑΖ ΑΓ 3 5 i) Αν ΑΒ = α και ΑΓ = β να εκφράσετε τα διανύσματα ΔΕ και ΔΖ συναρτήσει των ΑΒ και ΑΓ ii) Να εξετάσετε αν τα σημεία Δ, Ε και Ζ είναι συνευθειακά 9 Αν τα σημεία Γ, Δ είναι διαφορετικά και ισχύουν AB 3ΓΔ και ΑΓ ΔΒ xγδ νρείτε το x 30 Έστω τα σημεία Α, Β, Γ του επιπέδου, τέτοια ώστε: OA 3α 5β, OB λα β και OΓ 4α κβ όπου Ο σημείο αναφοράς, α, β μη- συγγραμμικά και κ, λ R, με λ κ 3 Αν τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά, νρείτε τις τιμές των κ, λ 31 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΜ διάμεσος του Αν ισχύει καβ λαγ 3ΒΓ ΑΜ νρείτε τα κ, λ 3 Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ Να το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει: ΜA MΒ ΜΓ ΜΔ

9 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο 1: Διανύσματα 6 33 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσος του ΓΔ με ΓΔ 3 Νρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ ώστε: 3 ΜΒ ΑΒ ΜΑ ΜΒ ΜΓ 34 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Να το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει: λμγ ΑΒ λ 1ΜΒ Συντεταγμένες στο Επίπεδο 35 Να εξετασθεί αν τα σημεία Μ 1 (α + β, α β), Μ (α, β) και Μ 3 (α + β, α β) είναι συνευθειακά 36 Αν α = (, 3), β = ( 1, 1) και γ = (, 3) να υπολογιστούν τα: i) α β γ ii) α β β γ γ α 37 Δίνονται τα διανύσματα α κ 1, λ και β i) το α να είναι το μηδενικό διάνυσμα ii) τα α,β να είναι ίσα iii) τα α,β να είναι αντίθετα 38 Έστω τα διανύσματα α λ λ, λ και β κ 1,μ 1 i) τα α,β να είναι αντίθετα ii) το α να είναι το μηδενικό διάνυσμα iii) α 0 και α //yy 39 Δίνονται τα σημεία 1, βρείτε το Δ A, B 1,3 και Γ 0, 40 Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με 1, λ,κ 1 Νρείτε τα κ, λ ώστε: Νρείτε τα κ, λ, μ ώστε: Αν το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, να A και Δ, Αν το Β ανήκει στο άξονα xx και το κέντρο Κ του ΑΒΓΔ ανήκει στον άξονα yy, νρείτε τις συντεταγμένες των Β, Κ και Γ 41 Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxy θεωρούμε τα σημεία Α, Β του xx, τα οποία έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης x (λ 5λ + 0)x 1998 = 0 Να προσδιοριστεί ο λr ώστε το μέσο του ΑΒ να έχει τετμημένη 7 4 Αν α, λ 1 λ νρείτε τις τιμές του λ ώστε 3α Νρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος α, για το οποίο ισχύει: α α 4,8 44 Δίνονται τα διανύσματα, α 1, β,5 και γ 0, 1 i) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα α,β δεν είναι παράλληλα ii) Να αναλύσετε το γ σε δυο συνιστώσες παράλληλες στα α και β 45 Νρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα AB με τον άξονα xx σε κάθε περίπτωση αν: 1,5,5 0,3,3 3,0 B 0, 3 i) A και B ii) A και B iii) 46 Αν,1 A, 3, A και B και ισχύει AΜ 3BM 0 νρείτε τις συντεταγμένες του Μ 47 Δίνονται τα διανύσματα α 3, 1 συνδυασμό των α και β, β 1, και γ 1, 7 Να εκφράσετε το γ ως γραμμικό

10 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο 1: Διανύσματα 48 Έστω το σύστημα Οxy και τα σημεία 1,3 A, 5,1 i) νρείτε τις συντεταγμένες των O Γ και O Μ ii) να αποδείξετε ότι τα σημεία Ο, Γ και Μ είναι συνευθειακά iii) νρείτε το λ, όταν OΓ λγμ 49 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με 1, A, B 7,0 και Γ 1,4 σημείο Ε ισχύει AE ΕΓ, τότε: i) νρείτε τα σημεία Δ και Ε ii) να αποδείξετε ότι τα σημεία Β, Δ και Ε είναι συνευθειακά 50 Δίνονται τα σημεία 1, A, B κ,0 και 0, κ 51 Νρείτε διάνυσμα αντίρροπο του α 1,4 5 Αν v 1, B Αν 4ΟΓ ΟA AB και Μ το μέσον του ΑΒ: Αν Δ το μέσο της διαμέσου ΑΜ και για το Γ Νρείτε τις τιμές του κ ώστε ΑΒ BΓ ΑΓ με μέτρο 17, νρείτε διάνυσμα που να έχει μέτρο διπλάσιο του v και να είναι ομόρροπο του v 53 Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα α x 1, 3 54 Δίνονται τα διανύσματα α λ,1 i) Νρείτε το λ ώστε α //β και β, x και β 8,4 λ είναι μη συγγραμμικά για κάθε xr ii) Για λ = 5 νρείτε διάνυσμα που να είναι ομόρροπο του α και να έχει μέτρο διπλάσιο του β α 1, και β 3 j, νρείτε τα διανύσματα v και u v u α για τα οποία ισχύει: v u α β 55 Αν 56 Αν α 1, και β, 3 57 Δίνονται τα σημεία 1,, να υπολογίσετε το μέτρο του v για το οποίο ισχύει: v α ν β A, B1, και Γ,3 παράσταση d MA MB ΜΓ να παίρνει την ελάχιστη τιμή 58 Δίνονται τα σημεία 3, με τον άξονα xx γωνία π 4 Νρείτε σημείο Μ στον άξονα yy ώστε η A μ και B3μ,μ 3 Νρείτε το μ, ώστε το διάνυσμα ΑΒ να σχηματίζει 7 59 Δίνονται τα σημεία 3x, y A και B4x 3y,y Νρείτε τα x, y, έτσι ώστε το διάνυσμα ΑΒ να σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία 135 και να έχει μέτρο 7 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 60 Αν το διάνυσμα α είναι μοναδιαίο, β και α, ^ β π 3 i) α β ii) α β α β iii) α 3β 61 Δίνονται τα διανύσματα α και β με α, ^ β π 6 i) α β ii) iii) να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: Αν α και β νρεθούν: α β iv) α 3β v) 4α 5β

11 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο 1: Διανύσματα 8 6 Νρεθεί η τιμή του λ R έτσι ώστε τα διανύσματα u α i α 1 j και v α i α j να είναι κάθετα 63 Αν το διάνυσμ α και α, ^ β π να υπολογίσετε τo μέτρο του διανύσματος v α ββ α 3β 64 Δίνονται τα σημεία Α (3, ), Β (7, 4) Νρεθεί σημείο Μ του xx, ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι: i) ισοσκελές με κορυφή το Μ ii) ορθογώνιο στο Μ α,^ β π νρείτε τη γωνία των διανυσμάτων β α και α 65 Αν α =, β = και 4, β γ 1 και α β 4γ 0 τότε: i) νρείτε το ii) να υπολογίσετε τη γωνία των α, β iii) να δείξετε ότι α 3β 66 Αν α 3 67 Νρείτε τις τιμές του x ώστε τα διανύσματα α x,1 και β 4x, 1 να είναι κάθετα 68 Αν α 3 και β 6, νρείτε το λ ώστε τα διανύσματα v 3α λβ και u 3α λβ να είναι κάθετα 69 Νρεθεί η γωνία των διανυσμάτων α 3, 3 και β 3, 1 70 Δίνονται τα διανύσματα α 1,-7 και β - 3, λ 71 Νρείτε το διάνυσμα που είναι κάθετο στο v 1, 7 Δίνονται τα διανύσματα α 1,3 α ^ Αν, β135, β 1, και γ 4, 3 κ, λ R που είναι κάθετα στο γ και έχουν μέτρο 5 και έχει μέτρο 5, νρείτε το λ Νρείτε τα διανύσματα v κα λβ με 73 Να αποδείξετε ότι για τα διανύσματα α, β ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: i) α β α β α β ii) α β α β iii) α β α β 4α β iv) Αν α β 0, τότε α β α β 74 Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα (α γ)β (α β) γ είναι κάθετο στο διάνυσμα α (α β)α 75 Να αποδείξετε ότι το διάνυσμ είναι κάθετο στο α α u, διανύσματα με u v 1Αν τα διανύσματα 3u v, 7u 8v είναι κάθετα, να 76 Έστω v βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων u και v 77 Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα α και β, με α, ^ β π 3 x// α β και β α x 78 Αν α 5, 79 Αν α, 3 και β 7, 3 Νρείτε διάνυσμα x, τέτοιο ώστε, νρείτε το διάνυσμα x ώστε: α x 38 και β x 30 β α,^ β νρεθούν τα, α β και π 6

12 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο 1: Διανύσματα 80 Αν α 3, β 1 και α β, να υπολογιστεί το μέτρο του διανύσματος v α β 9 81 Νρεθεί το μέτρο του διανύσματος γ 8 Έστω α 83 Αν 84 Αν α 1,, β 5 και α, ^ β π 3 και α - β, α 3β και β 3,4 85 Δίνονται τα διανύσματα α,7 α, ^ β β, αν π 4 ^ γ και α Αν γ 5α 4β, να υπολογιστεί το μέτρο του γ, δείξτε ότι α 3 και β 1, β 3 και γ α p q νρεθούν τα διανύσματα p και q ώστε να ισχύουν συγχρόνως: p//α q β και β 1, 3 τ ους συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη προς το β 86 i) Δείξτε ότι α β α β 87 Να αναλύσετε το διάνυσμα α σε δύο κάθετες μεταξύ ii) Aν x y 36 νρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης A 6x 8y α γ x με 1 α β 0 να αποδείξετε ότι x α 1+ α β Αν x γ 88 Αν β 0 και α = p + q με p // β και q β να αποδειχθε ί ότι ισχύουν οι σχέσεις: α i) p β β β α ii) q α β β β 89 Έστω α, β διανύσματα του επιπέδου ()β i) Να αποδείξετε ότι προβ α β β ii) Νρείτε το διάνυ του διανύ ματος α 90 Αν α 1, σμα προβολής σ,3 β και α, ^ β π 3 π νω στο β 1,4 ά, νρείτε τη προβολή του διανύσματος v α β πάνω στο α 91 Αν, ^ α 1, β και π 3, νρείτε το λ ώστε: λα β α 9 Αν α 4,-3 και β 1,3 νρεθεί η προβ προβ α και να δείξετε ότι 4 προβ α 93 Αν τα μοναδιαία διανύσματα α και β είναι κάθετα, νρείτε τη προβολή το υ διανύσματος v α β πάνω στο u α β 94 Αν α 5βα 5β, να αποδείξετε ότι α β 95 Δίνο νται τα διανύσματα α και β τέτοια ώστε να είναι i) Να αποδείξετε ότι α β ii) Νρεθεί το β, στη περίπτ ωση που είναι α : λα κβ κα λβ για κάθε κ, λr

13 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο 1: Διανύσματα Έστω τα διανύσματα α, β, γ με α β γ 0 Αν α, β 3 97 Αν α β α β δείξτε ότι α β α 3 98 Δίνονται τα διανύσματα α, β, γ με α 1, β τη παράσταση: A α β β γ 3γ α 100 Αν και 5 γ υπολογίστε το: α β β γ γ α και γ 3 Αν ισχύει α β γ 0 να υπολογίστε γ 99 Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα α, β, γ ισχύουν: και α β γ 0, να αποδείξετε ότι: i) α β ii) α // β 3 α ^, β 1 και α, β π 3 : i) να αποδείξετε ότι α β 0 ii) νρείτε διάνυσμα x ώστε: x // α β και β α x iii) νρείτε την προβ α x 101 Δίνονται τα σταθερά σημεία Α, Β με AB 4 Νρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει ΜΑ ΜB 5 10 Θεωρούμε το τρίγωνο ΑΒΓ Νρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου του για τα οποία ισχύει: ΑΒ AM ΑΓ AM Δίνεται τρίγω νο ΑΒΓ με ΑΒ = 6 Νρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου του για τα οποία ισχύει: MΑ MΓ 7 ΜΑ ΒΓ 0

14 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο : Η Ευθεία στο Επίπεδο 11 Κεφάλαιο Η Ευθεία στο Επίπεδο ΕΝΟΤΗΤΑ 1: Η Εξίσωση της Ευθείας Ερωτήσεις Θεωρίας Ορισμοί Παρατηρήσεις 1 Πότε μια εξίσωση με δυο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C Τι ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει η ευθεία ε με τον άξονα x x; Πως ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης ή η κλίση μιας ευθείας ε που δεν είναι παράλληλη με τον άξονα y y; 3 Να αποδείξετε ότι μια ευθεία και ένα διάνυσμα που είναι παράλληλα, έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης 4 Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης λ μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία y y1 A(x1, y1) και B(x, y ) με x 1 x είναι: λ x x 5 Να αποδείξετε ότι αν λ 1, λ οι συντελεστές διεύθυνσης των ευθειών ε 1, ε αντίστοιχα, i) ε1 // ε λ1 λ ii) ε1 ε λ1 λ 1 6 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το σημείο y ) συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: y y0 λ(x x 0 ) 1 A(x 0, 0 και έχει 7 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία y ) y y1 B(x, y ) είναι: y y1 (x x1) x x 1 A(x1, 1 και 8 Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας στις παρακάτω περιπτώσεις i) Η ευθεία τέμνει τον άξονα y y στο σημείο A(0, β) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ii) Η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ iii) Η ευθεία είναι φορέας της διχοτόμου των γωνιών xô y, xôy iv) Η ευθεία διέρχεται από το σημείο A(x 0, y 0 ) και είναι παράλληλη με τον άξονα x x

15 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο : Η Ευθεία στο Επίπεδο 1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας Ερωτήσεις Θεωρίας Ορισμοί Παρατηρήσεις 1 Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής Ax By Γ 0 με Α 0 ή Β 0 και αντιστρόφως κάθε εξίσωση με την προηγούμενη μορφή παριστάνει ευθεία Να αποδείξετε ότι η ευθεία Ax By Γ 0 είναι: i) παράλληλη στο διάνυσμα δ (Β, Α) ii) κάθετη στο διάνυσμα n (A, B) ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Εμβαδόν Τριγώνου Ερωτήσεις Θεωρίας Ορισμοί Παρατηρήσεις 1 Έστω μια ευθεία Ax By Γ 0 και ένα σημείο Μ(x 0, y 0 ) εκτός αυτής Ποια σχέση δίνει την απόσταση του σημείου Μ από την ευθεία; Ποια σχέση δίνει το εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ με Α(x 1, y 1 ), B(x, y ), Γ(x 3, y 3 )

16 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο : Η Ευθεία στο Επίπεδο Ασκήσεις & Προβλήματα 13 Εξίσωση Ευθείας 1 Νρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με τον άξονα x'x μια ευθεία ε, η οποία διέρχεται από τα σημεία: i) Α ( 6, ) και Β(3, 7) ii) Α (1, 3) και Β(, 4) iii) Α ( 3, 3) και Β(0, 4) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α(, 3), Β( 6, 1) και Γ( 10, 1) είναι συνευθειακά 3 Δίνονται τα σημεία Α(7, 5), Β(6, 7) και Γ(, 3) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο 4 Δίνονται οι ευθείες ε 1 : 3x y και ε : y x i) Νρείτε τις γωνίες που σχηματίζουν οι ευθείες με τον άξονα x'x ii) Νρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες ε 1, ε 5 Δίνονται τα διακεκριμένα σημεία Α(, 3), Β(1, λ ), Γ(μ 1, 4) i) Νρείτε το λ ώστε η ευθεία ΑΒ να σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία 150 ii) Νρείτε τα λ, μ ώστε η ευθεία ΒΓ να είναι κατακόρυφη iii) Νρείτε τα λ, μ ώστε η ευθεία ΒΓ να είναι παράλληλη στον άξονα x'x 6 Νρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο A( 1, ) και: i) είναι παράλληλη στην ευθεία ε 1 : y 3x 1 ii) είναι κάθετη στην ευθεία ε : y x 3 iii) σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία ω = 10 iv) είναι παράλληλη στον άξονα xx v) είναι κάθετη στον άξονα xx 7 Νρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία είναι κάθετη στην ε: ε τον άξονα y'y 1 y x στο σημείο που τέμνει η Νρείτε την εξίσωση της ευθείας που τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο Α(, 0) και είναι παράλληλη στη διχοτόμο της γωνίας x'oy 9 Νρείτε την εξίσωση της ευθείας που τέμνει τον άξονα y'y στο Β(0, 3) και είναι κάθετη στη διχοτόμο της γωνίας xοy 10 Νρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ευθεία ε: y = 3x 1 11 Νρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ευθεία που ορίζεται από τα σημεία Α( 1, ) και Β(3, ) 1 Νρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το σημείο Α( 1, ) και από το σημείο τομής της ευθείας y = x 1 με τον άξονα x'x Μετά νρείτε το λ ώστε το σημείο Β(λ 3, 1) να ανήκει στην ε 13 Νρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών ε 1 : y x 4 ε : 3 7 y x και από το σημείο Α(1, 4) 8 8 και 14 Νρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(1, κ 1) και Β(3, κ) Για ποια τιμή του κ η ευθεία αυτή διέρχεται από την αρχή των αξόνων;

17 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο : Η Ευθεία στο Επίπεδο Αν για τις συντεταγμένες των x, A και, 1 y 1 νρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ 16 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α ( 1, ), Β (3, ) και Γ (1, 4) i) Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ii) Νρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του iii) Νρεθούν οι εξισώσεις των υψών του iv) Νρεθούν οι εξισώσεις των διαμέσων του B y y1 x1 x ισχύουν: 3 και x 3, 17 Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1, ), Β(3, ), Γ(1, 1) Νρείτε την εξίσωση: i) του ύψους ΑΔ ii) του ύψους BE iii) της μεσοκαθέτου της πλευράς ΑΒ 1 18 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1, ) και η εξίσωση της μιας πλευράς του είναι: y x 3 ύψος του, νρείτε τις συντεταγμένες του Δ 19 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α( 1, ) Αν η εξίσωση της μιας πλευράς του είναι: ΒΔ έχει εξίσωση 1 3 y x, νρείτε τις κορυφές Β και Γ y Αν ΑΔ το 1 1 y x και το ύψος 1 0 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α{ 1, ) Αν η εξίσωση της μιας πλευράς του είναι: y x διάμεσος ΒΔ έχει εξίσωση: y x 1, νρείτε τις κορυφές του Β και Γ και η 1 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α( 1, ) και τα δύο ύψη του έχουν εξισώσεις: y 3 και y x 1 Νρείτε τις κορυφές Β και Γ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ: y x και ΑΓ: y 3x 1 Αν το σημείο Μ(1, 0) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ, νρείτε την εξίσωση της πλευράς ΒΓ 3 Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β(1,) οι εξισώσεις του ύψους ΑΔ και της διαμέσου ΑΜ είναι αντίστοιχα 1 3 y x 16 και y x Nρεθούν οι συντεταγμένες των άλλων δύο κορυφών του Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με κέντρο Κ( 1, ) Αν οι εξισώσεις των δύο πλευρών του είναι 1 1 y x 1 και y x, νρείτε τις εξισώσεις των δύο άλλων πλευρών του Δίνονται οι εξισώσεις y x, y x 1 δύο πλευρών ενός παραλληλογράμμου και η εξίσωση y x μιας διαγωνίου του Νρείτε τις κορυφές του 6 Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ με Α( 1, 4) και Γ(3, ) i) Νρείτε την εξίσωση της διαγωνίου του ΒΔ ii) Αν η πλευρά του ΑΒ έχει εξίσωση y x 3, νρείτε τις κορυφές του Β και Δ 7 Νρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ(, 1) και τέμνει τις ευθείες y 3 x και y x στα σημεία Α και Β αντιστοίχως, έτσι ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ 8 Δίνονται τα σημεία Α (4, ), Β (3, 1) και η ευθεία ε: y = 3x Νρεθεί σημείο Γ της ευθείας ε, ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με κορυφή το Β

18 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο : Η Ευθεία στο Επίπεδο 1 9 Νρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην ευθεία ε: y x και τέμνει τους άξονες xx και yy στα σημεία Α και Β, ώστε το άθροισμα της τετμημένης του Α και της τεταγμένης του Β να είναι ίσο με 3 30 Νρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Α(1, ) και σχηματίζουν με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο 31 Δίνεται η ευθεία ε: y x 1 και το σημείο A, 1 i) Νρείτε το ίχνος της καθέτου από το Α στην ε ii) Νρείτε το συμμετρικό του σημείου Α ως προς την ε 3 Νρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων: i) Mλ 1,λ 3 με λr ii) λ 1, 33 Να αποδείξετε ότι το σημείο M3 συν θ,1 ημ θ 34 Οι συντεταγμένες δύο πλοίων Π 1, Π είναι t 1, t με θr κινείται σε σταθερή ευθεία Π 1 και 3t,3t 1 με (t > 0) i) Νρεθούν οι γραμμές πάνω στις οποίες κινούνται τα δύο πλοία ii) Να εξεταστεί αν υπάρχουν τιμές του t που τα δύο πλοία θα συναντηθούν iii) Νρεθεί η απόσταση των δύο πλοίων τη χρονική στιγμή t = 3 M με λr Π για κάθε χρονική στιγμή t 35 Αν το σημείο Ν κινείται πάνω σε σταθερή ευθεία ε: y x 1, νρείτε που κινείται το συμμετρικό Μ 1 του σημείου Ν ως προς την ευθεία ζ: y x 1 15 Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας 36 Νρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α (3, ) και: i) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα δ, 5 ii) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα δ 0,3 iii) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα δ,0 iv) είναι κάθετη στο διάνυσμα δ,1 v) είναι κάθετη στο διάνυσμα δ 0, vi) σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία ω = Νρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών: 3x + 4y 11 = 0 και x 3y + 1 = 0 και είναι: i) παράλληλη προς την ευθεία x + y + 1 = 0 ii) κάθετη προς την ευθεία 3x y + 5 = 0 iii) διέρχεται από την αρχή των αξόνων iv) παράλληλη στον άξονα x'x v) παράλληλη στον άξονα y'y vi) παράλληλη στη διχοτόμο της πρώτης γωνίας των αξόνων vii) παράλληλη στη διχοτόμο της δεύτερης γωνίας των αξόνων viii) σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού 3 τμ 38 Μια κορυφή ενός τετραγώνου είναι το σημείο τομής των ευθειών x 3y + 0 = 0 και 3x + 5y 7 = 0 και η μια διαγώνιός του βρίσκεται επί της ευθείας x + 7y 16 = 0 Νρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του τετραγώνου καθώς και η εξίσωση της άλλης διαγωνίου του

19 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο : Η Ευθεία στο Επίπεδο Τριγώνου ΑΒΓ δίνονται η κορυφή Α (1, ) και οι εξισώσεις x 3y + 1 = 0 και y 1 = 0 δύο διαμέσων του Νρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ 40 Το σημείο A (3, 1) είναι κορυφή του τετραγώνου ΑΒΓΔ, του οποίου μία πλευρά έχει εξίσωση 3x y 5 = 0 Νρεθούν οι εξισώσεις των άλλων πλευρών του 41 Νρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το σημείο τομής Α των ευθειών ε 1 : x y + 3 = 0, ε : χ + y 6 = 0 και είναι κάθετη στην ευθεία ε: 3x + y 5 = 0 και μετά το πλησιέστερο σημείο της ε από το Ο 4 Δίνονται οι ευθείες ε 1 : (λ + )x + λy + 3λ 1 = 0 και ε : (λ 1)x + λy + 5 = 0 Νρείτε τον λ, ώστε να είναι ε 1 // ε 43 Δίνονται οι ευθείες ε 1 : (μ + 1)x + (μ + )y = 0 και ε : μx (3μ + )y + 7 = 0 Νρείτε τον μ, ώστε η γωνία των ε 1 και ε να είναι Δίνονται οι ευθείες ε 1 : (μ 1)x (μ )y μ= 0 και ε : (μ )x (μ + 1)y 3 = 0 Νρείτε τον μ, ώστε: i) οι ε 1 και ε να τέμνονται ii) ε 1 // ε iii) ε 1 ε 45 Τα σημεία Α (1, 0) και Β (3, 6) ισαπέχουν από το σημείο Γ ( 4, λ) Να υπολογιστεί η τιμή του λ 46 Έστω τα διανύσματα α,3 και β 4 j Νρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από 1 το σημείο Α( 1, 3) και είναι κάθετη στο διάνυσμα 3α β και μετά το πλησιέστερο σημείο της ε από το Ο v 47 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1, ) και Β( 1, 0) Αν η εξίσωση της διχοτόμου ΑΔ είναι y = x, νρείτε: i) το συμμετρικό σημείο του Β ως προς την ευθεία ΑΔ ii) την εξίσωση της πλευράς ΑΓ 48 Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε 1 : x y l = 0, ε : x + 3y 6 = 0ε 3 : x y 5 = 0 διέρχονται από το ίδιο σημείο 49 Νρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι μεσοπαράλληλη των ευθειών: 3x y 1 0 και 3x y Αν η ευθεία ε: x y +1 = 0 είναι μεσσπαράλληλος των ευθειών ε 1 : x y + α = 0 και ε : x 4y + α + = 0, νρείτε το α 51 Δίνονται τα σημεία Α(λ, 0), Β(λ, 3λ), λ 0 Αν η κάθετη στην ΑΒ στο σημείο Α τέμνει την ευθεία x = λ στο Γ, να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές 5 Νρείτε τις τιμές του λ ώστε η ευθεία (λ 1)x + (λ 3)y + λ = 0, λr i) Να είναι παράλληλη στον άξονα xx ii) Να είναι παράλληλη στον άξονα y'y iii) Να διέρχεται από την αρχή των αξόνων 53 Νρεθεί η ευθεία (ε): (λ + 3)x + ( λ)y + λ = 0, λr που τέμνει τους άξονες στα σημεία Α, Β 1 1 τέτοια ώστε : (O : αρχή των αξόνων) ΟΑ ΟΒ 54 Νρείτε τις γραμμές που παριστάνουν οι εξισώσεις: i) x y 6y 9 0 ii) x 4xy 3y 0 55 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x y xy x y 3 0παριστάνει δυο παράλληλες ευθείες Να προσδιοριστεί η μεσοπαράλληλη των δυο ευθειών

20 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο : Η Ευθεία στο Επίπεδο Δίνεται η εξίσωση: λ κx λ 1y λ 0 να παριστάνει ευθεία, λ, κr Νρείτε τις τιμές των λ, κ ώστε η εξίσωση 57 Να εξετάσετε αν η ευθεία λx λy 5λ 3y x 7διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε λ R 58 Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση : λ 1x λ 1y λ 0 όπου λr διέρχονται από το ίδιο σημείο Α Νρείτε εκείνη την ευθεία ε που ορίζεται από την οικογένεια ε λ και είναι κάθετη στην ευθεία y = x 59 Δίνονται τα σημεία Α(1, 5) και Β(, 1) Νρείτε σημείο Μ της ευθείας ε: x y 0 τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΑΜΒ να είναι ορθογώνιο στο Μ 60 Νρείτε την οξεία γωνία των ευθειών: ε 1 : y 3x ε λ και ε : y x 61 Δίνεται η ευθεία ε: 3x y + l = 0 Νρείτε τη συμμετρική της ε ως προς: i) τον άξονα xx ii) τον άξονα yy iii) την αρχή των αξόνων iv) το φορέα της διχοτόμου της γωνίας xοy 6 Δίνονται οι ευθείες ε 1 : (λ 1)x (λ + 5)y 1 = 0 και ε : x + (λ + 1)y + λ + 3 = 0 i) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε 1, ε τέμνονται για οποιαδήποτε τιμή του λr ii) Νρείτε τις τιμές του λ ώστε οι ευθείες ε 1, ε να τέμνονται κάθετα 63 Δίνεται η εξίσωση x y +1 + λ(x + y 1) = 0 (1) όπου λ R i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία ii) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση (1) διέρχονται από σταθερό σημείο iii) Νρείτε την ευθεία που ορίζεται από την (1) και: α) διέρχεται από το σημείο Α( 1, ) β) διέρχεται από την αρχή των αξόνων γ) είναι παράλληλη στον άξονα xx δ) είναι παράλληλη στον άξονα y'y ε) σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία ω =135 v 1,3 ζ) είναι κάθετη στο διάνυσμα 64 Νρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, τα οποία ισαπέχουν από τις ευθείες 3x y + 4 = 0 και 3x y + 6 = 0 65 Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση x y 4λy λx 3λ = 0 παριστάνει δύο ευθείες κάθετες μεταξύ τους Νρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής των δύο αυτών ευθειών 66 Έστω οι ευθείες ε 1 : λx + (λ l)y = 0 και ε : (λ + 1)x + λy 3 = 0 i) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε 1, ε τέμνονται για οποιαδήποτε τιμή του λ ii) Νρείτε το σημείο τομής Μ των ευθειών ε 1, ε iii) Να αποδείξετε ότι το παραπάνω σημείο Μ βρίσκεται σε σταθερή ευθεία 67 Δίνεται η εξίσωση: x y 4λx λy 3 λ 0 (1) όπου λ R i) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει δύο ευθείες ει, ε που είναι κάθετες ii) Νρείτε το σημείο τομής Μ των ευθειών ε 1, ε iii) Νρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ 68 Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων τα τετράγωνα των αποστάσεων από τα σημεία Α (3, ) και Β ( 1, ) έχουν σταθερή διαφορά c είναι ευθεία κάθετη στην ΑΒ

21 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο : Η Ευθεία στο Επίπεδο Έστω ότι το σημείο Ν κινείται πάνω στην ευθεία ε: x y + = 0 Αν Α, Β οι προβολές του Ν πάνω στους άξονες xx, yy αντιστοίχως, νρείτε πού κινείται το σημείο Μ για το οποίο ισχύει: AM MB Εμβαδόν Τριγώνου 70 Δίνονται τα σημεία Α( 1, ) και Β( 5, 4) i) Νρείτε τη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ ii) Νρείτε σημείο της ευθείας: x y + 1 = 0 που ισαπέχει από τα σημεία Α και Β 71 Δίνονται οι ευθείας ε 1 : 4x y +1 = 0 και ε : y = x 3 i) Να δείξετε ότι: ε 1 // ε ii) Να υπολογίσετε την απόσταση των ε 1 και ε 7 Έστω το τετράγωνο ΑΒΓΔ με Α( 1, ) και η εξίσωση της μιας πλευράς του είναι x y +1 = 0 Να βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ 73 Να αποδείξετε ότι η απόσταση δυο παράλληλων ευθειών ε1 : y λx β1 και ε : y λx β δίνεται β1 β από τον τύπο dε1,ε 1 λ 74 Νρείτε τα σημεία της ευθείας ε: x + y 1 = 0, τα οποία απέχουν από την ευθεία η: y = x l απόσταση ίση με 5 75 Δίνεται η ευθεία ε με εξίσωση x + y = 1 Νρείτε το συμμετρικό του σημείου Ρ (, 3) ως προς άξονα συμμετρίας την (ε) 76 Νρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(3, 4) και απέχει από το σημείο Μ(0, ) απόσταση ίση με 3 μονάδες 77 Η ευθεία ε: x + y 3 = 0 είναι μεσοπαράλληλη δύο παραλλήλων ευθειών ε 1 και ε που απέχουν 5 Νρείτε τις εξισώσεις των ευθειών αυτών 78 Νρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο Μ( 1, ) και ισαπέχει από τα σημεία Α( 3, 0) και Β(1, 3) 79 Νρείτε σημείο του άξονα yy που ισαπέχει από την αρχή των αξόνων και από την ευθεία ε: 4x 3y l = 0 80 Νρείτε την ευθεία της οικογένειας ευθειών που ορίζονται από την εξίσωση: ε 1 : y l + λ(x + y) = 0, που απέχει από το σημείο Α(0, 1) απόσταση ίση με 1 81 Δίνονται οι ευθείες ε 1 :μx + y + 1 = 0 και ε : x + μy + 3λ = 0 Νρείτε τις τιμές των λ, μ ώστε οι ευθείες ε 1, ε να είναι παράλληλες και η απόσταση τους να είναι ίση με 8 Νρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες ε 1 : y = x 1 και ε : x 4y 1 = 0 83 Τα σημεία Μ 1 (1, 1), Μ (, ) και Μ 3 (3, 1) είναι τρεις διαδοχικές κορυφές ενός παραλληλογράμμου Νρεθούν: i) οι συντεταγμένες της τέταρτης κορυφής του ii) οι συντεταγμένες του κέντρου του iii) το εμβαδόν του

22 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο : Η Ευθεία στο Επίπεδο Οι εξισώσεις των δύο πλευρών ενός τετραγώνου ΑΒΓΔ είναι ε 1 : 3x y + l = 0 και ε : y = 3x + 5 Να βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ 85 Αν οι ευθείες ε 1 : x y + 1 = 0 και ε : x + y + 3 = 0 είναι οι φορείς των δύο πλευρών ορθογωνίου παραλληλογράμμου και Α(, 1) μια κορυφή του, νρεθούν οι άλλες κορυφές και το εμβαδόν του 86 Νρεθεί το εμβαδόν του τετραπλεύρου που έχει κορυφές τα σημεία A(1, ), Β(, 3), Γ ( 1, 4), Δ(5, 0) 87 Έστω τα σημεία Α( 3, 1) και Β(, 1) Νρείτε σημείο Μ στον άξονα yy ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ να είναι ίσο με 3 88 Έστω τα σημεία Α( 1, ) και Β(0, 1) και η ευθεία ε: x + y + l = 0 Νρείτε σημείο Μ της ευθείας ε, ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ να είναι ίσο με 1 89 Νρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην ευθεία x + y l = 0 και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν ίσο με 1 90 Νρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(4, 3) και σχηματίζει με τους θετικούς ημιάξονες τρίγωνο με εμβαδόν ίσο με 4 91 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ μέσον του ΒΓ Αν,3 του τριγώνου ΑΒΓ AM και ΒΓ 1,, νρείτε το εμβαδόν 9 Έστω οι ευθείες ε 1 : y = x και ε : y = 3x και η ευθεία ε που τέμνει αυτές στα σημεία Α και Β Αν το σημείο Μ(1, 1) είναι μέσο του τμήματος ΑΒ, νρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ 93 Δίνονται τα σημεία Α(, 1), Β(1, 3) και η ευθεία ε: x y + 1 = 0 Νρείτε σημείο Μ της ευθείας ε ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ να είναι ίσο με 94 Έστω τα σημεία Α( 1, ), Β(1, λ 1), Γ(λ 1, λ 1) i) Νρείτε τις τιμές του λ ώστε τα σημεία Α, Β, Γ να αποτελούν κορυφές τριγώνου ii) Νρείτε το λ, ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ να είναι 3 95 Δίνονται οι ευθείες ε 1 : x y + l = 0 και ε : y = x Νρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για dm,ε1 τα οποία ισχύει: d M,ε 96 Δίνονται τα σημεία Α(, 1) και Β(1, 3) Νρείτε το σύνολο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει: (ΜΑΒ) = 3 97 Έστω τα σημεία Α(0, 1), Β( 1, ) και Γ(1, ) Νρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει: (ΜΑΒ) = 3(ΑΒΓ)

23 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο : Η Ευθεία στο Επίπεδο 0

24 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο 3: Κωνικές Τομές 1 Κεφάλαιο 3 Κωνικές Τομές ΕΝΟΤΗΤΑ 1: Ο Κύκλος Ερωτήσεις Θεωρίας Ορισμοί Παρατηρήσεις 1 Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το σημείο Ο(0,0) και ακτίνα ρ; Ποιος κύκλος λέγεται μοναδιαίος; Να αποδείξετε ότι εφαπτομένη ε του κύκλου C: x y xx1 yy 1 ρ ρ σε ένα σημείο του Α(x 1, y 1 ), έχει εξίσωση: 3 Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το σημείο K(x 0, y 0 ) και ακτίνα ρ; 4 Να αποδείξετε ότι κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής: x y Ax By Γ 0 με Α Β 4Γ 0 B και K A, και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της μορφής ( Ι ) παριστάνει κύκλο ( Ι ) 5 Παρατήρηση 1: Γενικά Αν έχουμε δύο σημεία Α, Β του κύκλου, τότε το κέντρο Κ του ανήκει στη μεσοκάθετο του ΑΒ και ρ = (ΚΑ) Αν έχουμε τρία σημεία Α, Β, Γ του κύκλου, τότε το κέντρο του Κ είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων, των ΑΒ και ΒΓ και ρ = (ΚΑ) Αν ο κύκλος εφάπτεται στην ευθεία ε τότε ρ = d(k, ε) Έστω ο κύκλος C: με κέντρο K(x o,y o ) και ακτίνα ρ Τότε: ο C εφάπτεται στον x'x ρ = y 0 ο C εφάπτεται στον y'y ρ = x 0 Αν Α σημείο του κύκλου, τότε: (ΜΑ: εφαπτομένη) AM AK AM AK AM AK 0 Αν Μ, Α, Β σημεία του κύκλου, τότε: (ΑΒ: διάμετρος) MA MB MA MB MA MB 0

25 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο 3: Κωνικές Τομές 6 Παρατήρηση : Σχετικές θέσεις κύκλου C:(K, ρ) και σημείου Μ MC (MK) = ρ σχ (1) Μ: εξωτερικό του C (ΜΚ) > ρ σχ () Μ: εσωτερικό του C (ΜΚ) < ρ σχ (3) 7 Παρατήρηση 3: Σχετικές θέσεις κύκλου C:(K, ρ) και ευθείας ε (ε: εφαπτόμενη C) d(κ, ε) = ρ (ε: τέμνουσα C) d(k, ε) < ρ (ε: εξωτερική C) d(k, ε) > ρ 8 Παρατήρηση 4: Σχετικές θέσεις των κύκλων C 1 : (K 1, ρ 1 ), C : (Κ, ρ ) C 1, C : εφάπτονται εξωτερικά (Κ 1 Κ ) = ρ 1 + ρ σχ (1) C 1, C : εφάπτονται εσωτερικά (Κ 1 Κ ) = ρ 1 ρ σχ () Ο C εφάπτεται εσωτερικά του C 1 (Κ 1 Κ ) = ρ 1 ρ σχ () C 1, C : τέμνονται ρ 1 ρ < (Κ 1 Κ ) < ρ 1 + ρ σχ (3) Ο C εκτός του C 1 (Κ 1 Κ ) > ρ 1 + ρ σχ (4) Ο C εντός του C 1 (Κ 1 Κ ) < ρ 1 ρ σχ (5) ΕΝΟΤΗΤΑ : Η Παραβολή Ερωτήσεις Θεωρίας Ορισμοί Παρατηρήσεις 1 Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Τι ονομάζουμε παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ; Ποιο σημείο λέγεται κορυφή της παραβολής C με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ; 3 Να γράψετε τη εξίσωση της παραβολής C: p p p p Ι με εστία Ε(, 0) και διευθετούσα δ: x = ΙΙ με εστία Ε(0, ) και διευθετούσα δ: y = 4 Να αναφέρετε τις ιδιότητες της παραβολής C: y px 5 Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής y px στο σημείο Μ 1 (x 1, y 1 ) 6 Να εξηγήσετε την ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής κάνοντας κατάλληλο σχήμα ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η Έλλειψη Ερωτήσεις Θεωρίας Ορισμοί Παρατηρήσεις 1 Έστω Ε και Ε δυο σημεία ενός επιπέδου Τι ονομάζουμε έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε και Ε; Τι ονομάζουμε εστιακή απόσταση της έλλειψης; Να γράψετε τη εξίσωση της έλλειψης με σταθερό άθροισμα α και: I εστίες Ε ( γ, 0) και Ε(γ, 0) II εστίες Ε (0, γ) και Ε(0, γ)

26 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο 3: Κωνικές Τομές 3 3 Να γράψετε τις ιδιότητες της έλλειψης C: 1 4 Έστω η έλλειψη C: 1 α όπου β β α όπου β β α γ α) Τι λέγεται κέντρο της έλλειψης; β) Τι λέγονται κορυφές της έλλειψης; γ) Τι λέγεται μεγάλος και τι μικρός αξονας της έλλειψης; δ) Τι λέγεται διάμετρος της έλλειψης; 5 Τι ονομάζουμε εκκεντρότητα της έλλειψης C: 1 και τι σχέση έχει με τη μονάδα; Πότε οι ελλείψεις λέγονται όμοιες; 6 Έστω οι ελλείψεις C 1 : 1 και C y x : των ελλείψεων C 1 και C στο σημείο Μ 1 (x 1, y 1 ) 7 Να εξηγήσετε την ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης κάνοντας κατάλληλο σχήμα 8 Παρατήρηση: Στην εξίσωση της έλλειψης 1 α γ 1 Να γράψετε τις εξισώσεις των εφαπτομένων ο αριθμός α, είναι πάντα ο μεγαλύτερος από τους κ, λ Αν κ > λ κ λ τότε η έλλειψη έχει τις εστίες τις στον xx ενώ αν κ < λ στον yy ΕΝΟΤΗΤΑ 4: Η Υπερβολή Ερωτήσεις Θεωρίας Ορισμοί Παρατηρήσεις 1 Έστω Ε και Ε δυο σημεία ενός επιπέδου Τι ονομάζουμε υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε και Ε; Τι ονομάζουμε εστιακή απόσταση της έλλειψης; Να γράψετε τη εξίσωση της υπερβολής με σταθερή διαφορά α και: I εστίες Ε ( γ, 0) και Ε(γ, 0) II εστίες Ε (0, γ) και Ε(0, γ) 3 Ποια υπερβολή ονομάζεται ισοσκελής; Να γράψετε την εξίσωση της ισοσκελούς υπερβολής 4 Να γράψετε τις ιδιότητες της υπερβολής C: 1 όπου β γ α 5 Να γράψετε τις κορυφές και τις εξισώσεις των ασυμπτώτων της υπερβολής: y x I 1 II 1 6 Τι λέγεται ορθογώνιο βάσης της υπερβολής 1; 7 Τι ονομάζουμε εκκεντρότητα της υπερβολής: C: 1 και τι σχέση έχει με τη μονάδα; 8 Έστω οι υπερβολές C 1 : 1 y x και C : 1 Να γράψετε τις εξισώσεις των εφαπτομένων β α των υπερβολών C 1 και C στο σημείο Μ 1 (x 1, y 1 ) 9 Να εξηγήσετε την ανακλαστική ιδιότητα της υπερβολής κάνοντας κατάλληλο σχήμα

27 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο 3: Κωνικές Τομές 4 Ασκήσεις & Προβλήματα Ο Κύκλος 1 Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: i) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ii) έχει κέντρο το σημείο (3, 1) και ακτίνα 5 iii) έχει κέντρο το σημείο (, 1) και διέρχεται από το σημείο (, 3) iv) έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ µε Α (1, 3) και Β ( 3, 5) v) διέρχεται από τα σημεία (, 1), (1, ) και (, 1) vi) διέρχεται από τα σημεία (3, 1), ( 1, 3) και έχει κέντρο πάνω στην ευθεία y = 3x vii) έχει κέντρο το σημείο (8, 6) και διέρχεται από την αρχή των αξόνων Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: i) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και εφάπτεται της ευθείας 3x + y = 10 ii) έχει ακτίνα 4, εφάπτεται στον άξονα xx και διέρχεται από το σημείο (5, 4) iii) έχει κέντρο το σημείο ( 3, ), εφάπτεται στον άξονα y y και διέρχεται από το σημείο ( 6, ) iv) έχει κέντρο το σημείο (3, 3) και εφάπτεται των αξόνων x x και y y v) έχει κέντρο το σημείο ( 3, 1) και εφάπτεται στην ευθεία 4x 3y + 5 = 0 3 Νρείτε την εξίσωση του κύκλου C που είναι ομόκεντρος του κύκλου C: x y 3x 1 0 και διέρχεται από την αρχή των αξόνων 4 Δίνεται η ευθεία y = λx και ο κύκλος x + y 4x + 1 = 0 Νρεθεί η τιμή του λ ώστε η ευθεία: i) να τέμνει τον κύκλο ii) να εφάπτεται του κύκλου iii) να µην έχει κοινά σημεία µε τον κύκλο 5 Νρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το κέντρο του κύκλου x x + y 6x = 0 και είναι κάθετη στην ευθεία x + y 7 = 0 6 Νρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x + y = 4 που είναι i) παράλληλη στην ευθεία x + y = 0 ii) κατακόρυφη 7 Νρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου x + y = 9 που διέρχονται από το σημείο (0, 6) 8 Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες που φέρνουμε στον κύκλο C: x y 5 από το σημείο Α(-1, 7) είναι κάθετες 9 Νρείτε την εξίσωση της διαμέτρου του κύκλου C: x y 6x y 10 0,της οποίας το ένα άκρο είναι το σημείο Α(1, 3) Ποιο είναι το άλλο άκρο της διαμέτρου; 10 Νρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στην ευθεία y = x και είναι ομόκεντρος του κύκλου x + y x + 4y + 1 = 0 11 Νρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σημείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y 1 = 0 1 Δίνεται ο κύκλος x + y x 1 = 0 και η ευθεία y = x 3 Να αποδείξετε ότι η ευθεία εφάπτεται του κύκλου και στη συνέχεια νρείτε το σημείο επαφής 13 Νρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης του κύκλου C: x 1 y ευθεία y = x + 1 που είναι παράλληλη στην

28 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο 3: Κωνικές Τομές 5 14 Νρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου C: x + y = 8, που σχηματίζει με τους θετικούς ημιάξονες τρίγωνο με εμβαδόν ίσον με 8 15 Δίνεται ο κύκλος C: x y 4x 4y 10 0 Νρείτε τα σημεία του κύκλου που απέχουν τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη απόσταση από το σημείο Ο 16 Έστω ότι ο κύκλος C διέρχεται από το Ο και η ευθεία ε: x y 1 0 τέμνει τον κύκλο C στα σημεία Α και Β ώστε να ισχύει: ΟΑ ΟΒ 0 Αν ο κύκλος έχει ακτίνα ρ = 5, νρείτε την εξίσωση του 17 Δίνονται τα σημεία Α (1, ), Β (, 4) και Γ (3, 1) i) Να αποδειχθεί ότι: γωνία ΒΑˆ Γ 90 ii) Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α, Β και Γ 18 Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α (3α, 0), Β (0, 3α) και Γ (0, 3α), α > 0 19 Δίνεται ο κύκλος C 1 : x 3 y 5 i) Νρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε του κύκλου στο σημείο του A( 1, 5) ii) Να δείξετε ότι η ευθεία ε εφάπτεται του κύκλου C : x y x Δίνεται ο κύκλος C: x y λx λ 5 0 i) Νρείτε το λ, ώστε ο κύκλος C να εφάπτεται στην ευθεία ii) Για λ = 1, νρείτε την άλλη εφαπτομένη του κύκλου C που διέρχεται από το σημείο τομής της ε με τον άξονα xx 1 Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του στην ευθεία (ε): x + y + 1 = 0 και διέρχεται από τα σημεία Α ( 1, ) και Β (3, 1) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι C 1 : (x ) + y = 4 και C : x x + y = 0 εφάπτονται εσωτερικά 3 Νρεθεί η αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι ομόκεντροι οι κύκλοι C 1 : x + y + Α 1 x + B 1 y + Γ 1 = 0 και C : x + y + Α x + B y + Γ = 0 4 Έστω οι ευθείες ε 1 : λx y μ 0, ε : 4x λy 0 και ο κύκλος C: x y x 4 y 0 Να βρείτε τα λ και μ ώστε οι ευθείες ε 1 και ε να είναι παράλληλες και να εφάπτονται του κύκλου C 5 Νρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση λx y y xy x 3 0 να παριστάνει κύκλο 6 Έστω ο κύκλος C: x y 4y 3 0 και το σημείο Α(-1, 3) i) Να δείξετε ότι το σημείο Α είναι εξωτερικό του κύκλου C ii) Νρείτε τις εφαπτομένες του κύκλου C που διέρχονται από το σημείο Α 7 Δίνονται τα σημεία Α (, 0), Β (, 0) και Μ 1 (1, 3 ) i) Να δείξετε ότι Μ 1 Α Μ 1 Β ii) Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου που περνά από τα σημεία Α, Β, Μ 1 iii) Να δείξετε ότι το σημείο Μ ( 1, 3) ανήκει στον κύκλο και Μ Α Μ Β iv) Να δείξετε ότι κάθε σημείο Μ (x 0, y 0 ) για το οποίο ισχύει ΜΑ ΜΒ, ανήκει στον κύκλο του ερωτήματος (ii) 8 Να δειχθεί ότι η εξίσωση x + y + λx = 0 παριστάνει κύκλο για κάθε λ R* Νρεθεί η γραμμή πάνω στην οποίρίσκονται τα κέντρα αυτών των κύκλων 9 Θεωρούμε τον κύκλο C: x + y + 4y = 0 και το σημείο Α ( 1, 1) Νρεθεί η εξίσωση ευθείας που ορίζει στον κύκλο χορδή, µε µέσο το σημείο Α

29 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο 3: Κωνικές Τομές 6 30 Δίνονται οι κύκλοι C 1 : x + y = 1 και C : (x 3) + (y ) = 4 i) Να δείξετε ότι δεν έχουν κοινό σημείο ii) Νρείτε την εξίσωση της διακέντρου iii) Από όλα τα ζεύγη σημείων (Α, Β), όπου το Α ανήκει στον C 1 και το Β στον C, νρεθεί αυτό για το οποίο τα Α, Β απέχουν τη μικρότερη απόσταση iv) Νρεθεί το ζεύγος σημείων (Γ, Δ) (το Γ στον C 1, το Δ στον C ) µε τη μεγαλύτερη απόσταση 31 Να δείξετε ότι το σημείο Μ(1 συνθ, + ημθ), θr κινείται σε κύκλο C 3 Να αποδειχθεί ότι το σύνολο των σημείων Μ (x, y) του επιπέδου που ικανοποιούν τις εξισώσεις xσυνθ yηµθ = συνθ και xηµθ + yσυνθ = ηµθ, θr, βρίσκονται σε κύκλο 33 Να αποδειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ (x, y) του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από τα Α, Β, Γ µε Α (1, 1), Β ( 1, ), Γ (0, ) είναι σταθερό c, είναι κύκλος 34 Δίνεται η εξίσωση: x y 4λx λy 5 0 με λr i) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο για κάθε τιμή του λr ii) Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την (1) διέρχονται από δυο σταθερά σημεία iii) Νρείτε την κοινή χορδή όλων των κύκλων που ορίζονται από την (1) 35 Δίνεται ο κύκλος C: x y x 3 0 Νρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, από τα οποία οι εφαπτομένες στο κύκλο C είναι κάθετες 36 Έστω τα σημεία Α( 1, ) και Β(0, 1) Νρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από τα σημεία Α( 1, ) και Β(0, 1) είναι ίσος με 3 37 Νρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, των οποίων το τετράγωνο της απόστασης από το σημείο Α(1, 0) είναι ίσο με το εξαπλάσιο της απόστασης από την ευθεία y = 1 38 Δίνεται ο κύκλος C: x 1 y 4 με κέντρο Κ και Α είναι ένα οποιοδήποτε σημείο του Νρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ ώστε MA 3KA 39 Δίνονται τα σημεία Α(, 4) και Β(1, 0) Νρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου ώστε να ισχύει: MA MB 3 Η Παραβολή 40 Νρεθεί η εξίσωση της παραβολής µε κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: i) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 ii) είναι συμμετρική ως προς τον άξονα Οx και διέρχεται από το σημείο ( 1, 4) iii) είναι συμμετρική ως προς τον άξονα Οy και διέρχεται από το σημείο (, ) iv) έχει άξονα συμμετρίας τον Οy και εστία Ε (0, 4) v) έχει εστία Ε (, 0) και διευθετούσα δ: x = 0 vi) έχει άξονα συμμετρίας τον Οx και εφάπτεται της ευθείας y = 4x Νρεθεί η σχετική θέση της ευθείας x + y + 1 = 0 ως προς την παραβολή y = x 4 Νρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων της παραβολής y = 3x στα σημεία (0, 0) και (1, 6) 43 Νρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής y = 3x που είναι παράλληλη στην ευθεία x y = 0

30 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο 3: Κωνικές Τομές 7 44 Νρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε της παραβολής C: y = 6x που απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με 3 45 Από το σημείο (, 3) προς την παραβολή y = 8x γράφονται δύο εφαπτόμενες ευθείες i) Νρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων αυτών ευθειών ii) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες αυτές ευθείες είναι κάθετες 46 Δίνεται η παραβολή C: y =4x i) Νρείτε την εφαπτομένη ε της παραβολής C στο σημείο της Α(1, λ), λ>0 ii) Αν η εφαπτομένη ε τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο Μ, νρείτε την άλλη εφαπτομένη της παραβολής C που διέρχεται από το Μ 47 Νρείτε την εφαπτομένη της παραβολής C: y = 4x που σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν ½ τμ 48 Νρείτε την εφαπτομένη της παραβολής C: y = 4x η οποία τέμνει τους άξονες στα σημεία Α, Β και είναι: (ΑΒ) = 49 Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες της παραβολής y =4x στα σημεία της Α(4, 4) και Β(1/4, l) τέμνονται κάθετα και πάνω στη διευθετούσα της 50 Έστω η παραβολή y = 4px, p > 0 Μια χορδή της ΑΒ είναι κάθετη στον άξονα και έχει μήκος 8p Να αποδειχθεί ότι OA OB 0 51 Αν ΒΓ είναι η χορδή της παραβολής C: y 4px που διέρχεται από την εστία της, να δείξετε ότι ο κύκλος διαμέτρου ΒΓ εφάπτεται της διευθετούσας της παραβολής 5 Δίνεται η παραβολή C: y = x και η ευθεία ε που τέμνει την παραβολή στα σημεία Α και Β και διέρχεται από το σημείο Γ (, 0) Να δείξετε ότι A ÔB = Νρείτε το κέντρο του κύκλου C 1 που διέρχεται από τα σημεία Α(0, 1), Β(, μ) και η εφαπτομένη της παραβολής C : y = x στο σημείο της Β είναι και εφαπτομένη του κύκλου C 1 54 Έστω η παραβολή C: y = px και μια χορδή της ΑΒ παράλληλη µε τον άξονα y y, η οποία περνάει από την εστία Να αποδειχθεί ότι: i) (ΑΒ) = (ΕΚ), όπου Κ το σημείο που τέμνει ο άξονας x x τη διευθετούσα ii) οι εφαπτόμενες στα Α και Β διέρχονται από το Κ 55 Δίνεται η παραβολή C: y = px και δύο χορδές ΟΒ, ΟΓ, ώστε γωνία BÔ Γ 90 ΒΓ διέρχεται από σταθερό σημείο Να αποδειχθεί ότι η 56 Δίνεται η παραβολή y = x i) Νρεθούν η εστία και η διευθετούσα της ii) Νρεθεί η απόσταση του σημείου της Α (, 1) από την εστία Ε και να συγκριθεί µε την απόσταση (ΟΕ) iii) Να αποδείξετε ότι σε κάθε παραβολή το σημείο της µε τη μικρότερη απόσταση από την εστία είναι η κορυφή της Ο iv) Νρεθεί σημείο στην παραβολή y = px που να απέχει από την εστία Ε απόσταση διπλάσια της ΟΕ 57 Δίνεται η παραβολή y = 4x και η ευθεία (ε): y = x 1 i) Να δείξετε ότι η (ε) περνά από την εστία της παραβολής ii) Νρείτε τα κοινά σημεία Α, Β της (ε) και της παραβολής iii) Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες της παραβολής στα σημεία Α, Β είναι κάθετες iv) Να δείξετε ότι κάθε ευθεία που περνά από την εστία και τέμνει την παραβολή σε δύο σημεία έχει την ιδιότητα (γ)

31 Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Κεφάλαιο 3: Κωνικές Τομές 8 58 Δίνονται τα σημεία του επιπέδου (x, y) = (pκ, pκ) µε κr i) Να αποδειχθεί ότι τα σημεία αυτά ανήκουν σε μια παραβολή ii) Αν A(pκ 1,pκ1), Β(pκ, pκ ) είναι δύο σημεία της παραβολής αυτής, να αποδειχθεί ότι αν η ΑΒ διέρχεται από την εστία, είναι 4κ 1 κ = 1 59 Έστω η παραβολή C: y = px και μια ευθεία ε που διέρχεται από την εστία της και τέμνει την παραβολή στα σημεία Μ 1 και Μ Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες της παραβολής C στα σημεία Μ 1, και Μ είναι κάθετες 60 Δίνεται ο κύκλος x + y = και η παραβολή y = 8x i) Νρεθούν οι κοινές εφαπτόμενες του κύκλου και της παραβολής ii) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες αυτές είναι κάθετες 61 Ο κύκλος του διπλανού σχήματος διέρχεται από την εστία της παραβολής Νρεθούν οι εξισώσεις του κύκλου και της παραβολής 6 Δίνεται η παραβολή y = px Θέτουµε x = αx και y = αy, α 0 Να αποδειχθεί ότι το σημείο (x, y ) κινείται πάλι σε παραβολή 63 Μια ευθεία y = λx, λ 0 τέμνει τη παραβολή C: y = x σε δύο σημεία Α και Β Νρείτε την εξίσωση της γραμμής πάνω στην οποίρίσκεται το μέσο Μ του ΑΒ 64 Νρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ που ισαπέχουν από το σημείο Α(, 0) και από την ευθεία ε: x + = 0 65 Δίνεται σταθερό σημείο Α και ευθεία (ε) που δεν διέρχεται από το Α Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων που διέρχονται από το Α και εφάπτονται στην (ε), είναι παραβολή 66 Αν το σημείο Α κινείται στη παραβολή C: y = x, νρείτε πού κινείται το σημείο Μ για το οποίο ισχύει: OM MA Η Έλλειψη 67 Νρείτε την εξίσωση της έλλειψης σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: i)όταν έχει εστίες τα σημεία Ε'( 3, 0) και Ε(3, 0) και μήκος μεγάλου άξονα 10 ii) Όταν έχει μεγάλο και μικρό άξονα µε μήκος 6 και 4 μονάδες αντιστοίχως και έχει εστίες πάνω στον άξονα x x συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων iii) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε'(0, 4) και Ε(0, 4) και μήκος μικρού άξονα 6 iv) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε'(0, ) και Ε(0, ) και εκκεντρότητα Νρείτε την εξίσωση της έλλειψης σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: i) Έχει κέντρο την αρχή των αξόνων, εστίες Ε(0, 3 ) και Ε(0, 3) και διέρχεται από το σημείο Μ( ½, 3 ) ii) Έχει κέντρο την αρχή των αξόνων, εστίες στον άξονα xx και κορυφές τα σημεία Α( 4, 0), Α(4, 0), Β(0, 3) και Β(0, 3) iii) Έχει κέντρο την αρχή των αξόνων, εστίες στον άξονα xx και διέρχεται από τα σημεία Μ 1 (4, 3 ) και M (, 3) 69 Νρείτε την εξίσωση της έλλειψης C που έχει κέντρο το σημείο Ο, εστίες στον άξονα yy, εκκεντρότητα ε = A 1 3, 3 και διέρχεται από το σημείο

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β 1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 00-018α φάση Διανύσματα 1 Σε σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε τρία σημεία Α, Β, Γ του μοναδιαίου κύκλου, για τα οποία υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (1,1), Γ (4,3) και Δ (,3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β O A M B ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ο ΘΕΜΑ ον : α α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β. Μονάδες 5 β. Αν α, ν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα-Ευθεία-Κύκλος Αναλυτική Θεωρία 500 Ασκήσεις Επιμέλεια : ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 2 1. Η Έννοια του Διανύσματος Ορισμός Διανύσματος Το διάνυσμα ορίζεται ως

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Ευθεία ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε, αν αυτή έχει εξίσωση: 5x 6 i) y = x- 1 ii) y = 3 5x iii) y iv) x = y + 3 10 v) 18x-6y

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.. Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ένα οποιοδήποτε σημείο Ρ του χώρου. Να αποδειχτεί ότι: P A P 0. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι:

1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: α) ΑΜ = 1 2 ( ΑΒ + ΑΓ ) β) ΜΝ = 1 2 ΒΑ 2. ** ίνονται τα διανύσµατα ΑΒ και Α Β. Αν Μ και Μ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε = 5 + 2 α) Να γράψετε το διάνυσμα β) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9 ΓΕΛ ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β 331 Α. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των μη μηδενικών διανυσμάτων α, β. Μονάδες 5 β. Εάν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντιστοίχως να δείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο (Πανελλήνιες θετικής κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999) Α. Έστω a ( x1,) y1 και ( x,) y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. α) Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Αν α = ( 1, ) i α β iii και β = ( 1, ), να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: ii ( α )( β ) α β α + β α iv Αν α =, β = 1 και ( αβ, ) = 15 ο, να υπολογίσετε το α β Με βάση το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κύκλος. 6. Για ποια τιμή του λ το σημείο Μ(2λ + 1, λ) ανήκει στον κύκλο με εξίσωση (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 100

Ασκήσεις Κύκλος. 6. Για ποια τιμή του λ το σημείο Μ(2λ + 1, λ) ανήκει στον κύκλο με εξίσωση (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 100 Ασκήσεις Κύκλος 1. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου (x + 5) + (y 5) =. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου x + y 8x + 4y + 11 = 0 3. Ποια πρέπει να είναι η ακτίνα του κύκλου (x 1)

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Έστω Α, Β, Κ, Λ και Μ τυχαία σημεία του χώρου Α ισχύει η σχέση ΑΚ + ΜΑ = ΚΒ 2ΑΒ + ΒΛ, να αποδείξετε ότι: α) τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά, β) ΚΛ ΚΜ, γ) ΚΛ = ΚΜ 2 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ EΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης όταν: α) Έχει εστία Ε (-8,0) και μεγάλο άξονα 0 β) Έχει εστία Ε(0,3) και μεγάλο άξονα 8 γ) Έχει εστία Ε(4,0) και

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων

Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων ) α β α β α//β ) α β α β α β ) α β α β α β 4)

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ 1), AΓ = ( 3 λ, λ 1) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ3 ΚΥΚΛΟΣ y Μ(x,y) A(x,y) ε Ο C x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ 0-0 ΘΕΩΡΙΑ. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο το σημείο K( x0,

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού)

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) ΣΧΟΛΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ 2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ

2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ 2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 013-014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω Ε και Ε δύο σημεία του

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1)

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1) 7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Απόσταση Σημείου από Ευθεία Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση M ( x, y ) ένα σημείο εκτός αυτής Θέλουμε y να υπολογίσουμε την απόσταση d( M, ε) του ε σημείου M από

Διαβάστε περισσότερα

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει :

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει : Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για τα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Β Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει χρήσιμες γνώσεις για

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός ΕΥΘΕΙΑ Να προσέχεις ότι: Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός Ax+By+Γ=0, με κάποιο Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο Α(x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΣΕΛΙΔΕΣ 3-36 ΜΕΡΟΣ ο ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a=

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= 32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= ( xy, ). Να ορίσετε τις έννοιες α)μέτρο του διανύσματος και β) συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος Α2) Να γράψετε τους τύπους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0)

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0) . Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του, και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της ευθείας θα πρέπει να είναι σε θέση: Να βρίσκει τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας Να διατυπώνει τις συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών, και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 1. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο a δύο διανυσμάτων a και αν: ι) a a 5, 7,(, ) 5, ιι) a 5,,( a, ). 6 6. Το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 / Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / / 0 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 / Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / / 0 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 1) Δίνονται διανύσματα α και β, με α π = 4 και (α, β ) = 3 Αν ισχύει ότι το α (α + 2β ) = 28, να βρείτε: α) το εσωτερικό γινόμενο α β, β) το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxψ θεωρούμε τα σημεία Α, Β, τα οποία έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης x - (4λ+6μ)x - 005 = 0 και τεταγμένες τις ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Να δίνει τον ορισμό του διανύσματος και των εννοιών που είναι κλειδιά όπως: κατεύθυνση φορά ή διεύθυνση, μηδενικό διάνυσμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0 ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΟ Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ), y + y = r χ +ψ =ρ Κ(0,0) ρ x x y (χ-χ 0 ) +(ψ-ψ 0 ) =ρ Κ(χ 0,ψ 0 ) ρ (χ-χ 0 ) (χ -χ 0 )+(ψ-ψ 0 ) (ψ-ψ )=ρ Παρατήρηση : Η εξίσωση : χ +ψ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα