Trao đổi trực tuyến tại:

Transcript

1 Trao đổi trực tuyến tại:

2 DongPhD Problems Book Series Tuyển tập Đề thi Cao học môn Toán ( ) Cuốn sách bao gồm các đề thi tuyển sinh sau đại học của các trường ĐHQG Hà Nội, Đại học Sư phạm TPHCM, Đại học Huế, Đại học Vinh, Đại học Quy Nhơn, Viện Toán, Đại học Kinh tế Quốc dân. Contributors: Ngô Quốc Anh Đặng Xuân Cương DongPhD RobinHood Nguyễn Đình Hoàng Nhân Trần Mậu Quý Bản điện tử chính thức có tại

3 Trường Đại học Sư phạm TP.HCM Hội đồng Tuyển sinh Sau đại học 2004 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2004 ĐỀ THI MÔN : GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) (Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề) Câu I: Cho không gian mêtric X với E, F là hai tập con của X sao cho E là tập conpact và F là tập đóng. Đặt d(e, F ) = d(x, y) inf x E,y F a) Chứng minh tồn tại x 0 E sao cho d(x 0, F ) = d(e, F ). b) Cho E F = Ø. Chứng minh tồn tại số t > 0 sao cho d(e, F ) t. Câu II: Cho (X, µ) là không gian có độ đo và hàm số f : X R + là hàm khả tích. Cho dãy (A n ) các tập đo được trong không gian X sao cho: Chứng minh rằng: A n A n+1 với mọi n N và lim fdµ = A n X n fdµ A n = X Câu III: Cho (X, µ) là không gian có độ đo và B X với B là tâp đo được. Cho hàm số đo được f : X N. Với n N, ta đặt: n=1 B n = {x B : f(x) n} Chứng minh rằng với mọi n thì B n là tập đo được và Câu IV: Tính tích phân sau đây: lim µ(b n) = µ(b) n lim 1 n 1 x + x 2 e nx dx 1 + enx Câu V: Cho X là không gian Hilbert với tích vô hướng, và e n là một hệ trực chuẩn đầy đủ trong không gian X. Cho a n là một dãy số. Đặt T (x) = a n < x, e n > e n n=1, với x X a) Cho dãy a n bị chặn. Chứng minh T là ánh xạ tuyến tính liên tục và tính T. b) Cho lim n a n = 0. Chứng minh T là ánh xạ compact. HẾT Ghi chú - Thí sinh không được sử dụng tài liệu - Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm

4 Trường Đại học Sư phạm TP.HCM Hội đồng Tuyển sinh Sau đại học 2004 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2004 MÔN THI : ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) (Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề) Bài I: Cho A là vành giao hoán có đơn vị. a) Định nghĩa iđêan tối đại của vành A. b) Cho M là một iđêan của A. Chứng minh M là iđêan tối đại khi và chỉ khi A /M là trường. c) Cho M là một iđêan của A. Chứng minh: Nếu x M 1 + x khả nghịch trong A thì M là iđêan tối đại duy nhất của A. Bài II: a) Cho (G, ) là một nhóm có 2n phần tử và H là một nhóm con của G có n phần tử. Chứng minh x G x 2 H b) Trong nhóm đối xứng S 4 (nhóm các phép thế bậc 4) hãy xét tính chuẩn tắc của các nhóm con xiclic sinh bởi một vòng xích độ dài 3. Bài III: Trong trường các số hữu tỷ Q ta xét tập con: A = { m n } Q/n là số lẻ a) Chứng minh A là vành con của Q. b) Tìm các phần tử khả nghịch trong vành A. c) Chứng minh vành con A là một vành chính. Bài IV: Xét đa thức f(x) = x 3 + x + 1 Q[x] 1) Chứng minh f(x) = x 3 + x + 1 bất khả vi trong Q[x] 2) Gọi α là nghiệm thực của f(x) = x 3 + x + 1 (nghiệm thực này là duy nhất). Đặt K = {aα 2 + bα + c/a, b, c Q} a) Chứng minh ánh xạ là đồng cấu vành. b) Tìm Kerϕ. c) Chứng minh K là một trường. α : Q[x] R g(x) g(α) HẾT Ghi chú - Thí sinh không được sử dụng tài liệu 1

5 Trường Đại học Sư phạm TP.HCM Hội đồng Tuyển sinh Sau đại học 2004 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2004 MÔN THI : ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH (Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề) Câu 1: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa ( ) n(n+1) n + 2 x n n + 1 Câu 2: Cho hàm số f : R 2 R xác định bởi: 2xy, khi (x, y) (0, 0) f(x, y) = x 2 + y 2 0, khi (x, y) = (0, 0) n=1 a) Xét sự liên tục của f trên R 2 ; b) Tính các đạo hàm riêng của f trên R 2. Câu 3: Tính tích phân (2x y)dxdy, D trong đó D là nửa trên của hình tròn có tâm tại điểm (1,0) bán kính 1 Câu 4: Cho tập hợp các số tự nhiên N. Với mọi m, n, đặt { 0, nếu m = n d(m, n) = m + n, nếu m n Hãy chứng minh: a) d là một metric trên N. b) (N, d) là một không gian metric đầy đủ. Câu 5: Tính định thức: Câu 6: Cho ánh xạ tuyến tính f : R 4 R 3 có ma trận trong cặp cơ sở chính tắc là Hãy xác định nhân và ảnh của f. Hỏi f có là đơn cấu, toàn cấu hay không? Vì sao? Câu 7: Cho ma trận a) Tìm giá trị riêng, vectơ riêng của A. b) Tính A 2004 HẾT Ghi chú - Thí sinh không được sử dụng tài liệu 1

6 TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP.HCM HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH 2005 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2005 MÔN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ (dành cho PPGD Toán) (Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề) Câu 1 : Cho ma trận vuông A = a a a a Câu 2 : Câu 3 : Câu 4 : Câu 5 : a) Tính det A b) Tính rank A. Cho B là ma trận vuông cấp n, (B) ij = 1 hoặc (B) ij = 1 với mọi i, j. Chứng minh det B chia hết cho 2 n 1. Cho n là một số tự nhiên (n 1), R n [x] là tập các đa thức với hệ số thực bậc bé hơn hoặc bằng n. Biết rằng R n [x] với phép cộng các đa thức và phép nhân một số với một đa thức là một không gian vectơ trên R và 1, x,..., x n ( ) là một cơ sở của R n [x]. Cho ánh xạ f : R n [x] f : R n [x] p(x) p(x) xp (x) p (x) : đạo hàm của đa thức p(x) a. Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính. Tìm ma trận của f trong cơ sở (*) ở trên. b. Tìm một cơ sở và số chiều của các không gian con Ker f = f 1 (0) và imf = f (R n [x]) Trong không gian vectơ Euclide R 4 (với tích vô hướng thông thưng), cho L là không gian con sinh bởi các vectơ α 1 = (0, 1, 0, 1), α 2 = (0, 1, 1, 0), α 3 = (1, 1, 1, 1), α 4 = (1, 2, 1, 2), (L =< α 1, α 2, α 3, α 4 >) a. Tìm điều kiện cần và đủ để vectơ (x 1, x 2, x 3, x 4 ) L. b. Tìm một cơ sở và số chiều của L. c. Tìm một cơ sở trực chuẩn của L. Cho E là không gian vec tơ Euclide, tích vô hướng của hai vectơ x, y E, kí hiệu là < x, y > và cho ϕ : E E là ánh xạ thoả mãn < ϕ(x), ϕ(y) > = < x, y > x, y E. Chứng minh ϕ là ánh xạ tuyến tính. Ghi chú : HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 1

7 TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP.HCM HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH 2005 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2005 MÔN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ (Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề) Kí hiệu : n Q là trường số hữu tỉ, R là trường số thực, C là trường số phức, Z là vành số nguyên. Z p là vành thương Z/pZ. Câu 1 : (2đ + 1đ) 1. Cho (G, ) là một nhóm giao hoán hữu hạn có mn phần tử, với m, n nguyên tố cùng nhau. Đặt A = {x G : x m = e} và B = {x G : x n = e} (e là phần tử đơn vị của nhóm). Chứng minh A và B là 2 nhóm con của G thoả A B = {e} và AB = G. 2. Cho (G, ) là một nhóm có 2n phần tử. Chứng minh trong G có phần tử cấp 2. Câu 2 : (0,5đ + 1,5đ) Xét vành tích Z 2 = Z Z với phép toán cộng và phép nhân theo thành phần. a. Cho I là một iđêan của Z 2. Đặt : I 1 = {x Z/(x, 0) I}, I 2 = {y Z/(0, y) I} Chứng minh I 1, I 2 là 2 iđêan của Z. b. Chứng minh vành Z 2 không phải là vành chính mặc dù mọi iđêan của nó đều là iđêan chính. Câu 3 : (1đ + 1đ + 1đ) Cho đa thức f(x) = 1x K[x], với K là một trường có đơn vị là 1. Hãy xét tính bất khả qui của f(x) trong K[x] đối với từng trường hợp sau : a. K = Q b. K = Z 5 Câu 4 : c. K = Z 3 (2đ) Cho số phức α = 1 + i 2 và đồng cấu vành ϕ : R[x] C xác định bởi ϕf = f(α). Chứng minh ϕ là toàn ánh và suy ra C = R[x]/ x 2 2x + 3 Ghi chú : HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 1

8 TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP.HCM HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH 2005 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2005 MÔN CƠ BẢN : ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH ĐẠI CƯƠNG (Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề) Câu 1 : Cho hàm số (x 2 + y 2 1 ) sin nếu x 2 + y 2 > 0 f(x, y) = x 2 + y 2 0 nếu x = y = 0 Câu 2 : Chứng minh rằng hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng f x, f y O(0, 0) nhưng f(x, y) khả vi tại O(0, 0). Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa + ( ) n n + 1 (x 2) n. 3n + 2 n=1 không liên tục tại Câu 3 : Gọi M = {x C([0, 1]) x(1) = 1, 0 x(t) 1, t [0, 1]} a. Chứng minh rằng M là tập đóng không rỗng và bị chặn trọng không gian mêtric C([0, 1]) với mêtric d(x, y) = max x(t) y(t), với x(t), y(t) C([0, 1]). 0 t 1 b. Xét f : C([0, 1]) R xác định bởi f(x) = 1 0 x 2 (t) dt. Chứng minh rằng f liên tục trên M nhưng f không đạt được giá trị nhỏ nhất trên M. Từ đó suy ra M không phải là tập compact trong C([0, 1]). Câu 4 : Cho f : R 3 R 3 là một phép biến đổi tuyến tính xác định bởi : f(u 1 ) = v 1, f(u 2 ) = v 2, f(u 3 ) = v 3. Với u 1 = (1, 1, 1), u 2 = (0, 1, 1), u 3 = (0, 0, 1) ; v 1 = (a + 3, a + 3, a + 3), v 2 = (2, a + 2, a + 2), v 3 = (1, 1, a + 1) với a R a. Tìm ma trận của f với cơ sở chính tắc e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1). b. Tìm giá trị của a để f là một đẳng cấu. c. Khi f không là một đẳng cấu hãy tìm cơ sở và số chiều của Imf và Kerf. d. Với a = 3, f có chéo hóa được không? Trong trường hợp f chéo hóa được, hãy tìm một cơ sở để ma trận của f với cơ sở đó có dạng chéo. Câu 5 : Cho dạng toàn phương q(x 1, x 2, x 3 ) = x x x x 1 x 2 + 2ax 1 x 3 + 2x 2 x 3. a. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc. b. Với giá trị nào của a thì q là xác định dương, nửa xác định dương. Ghi chú : HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 1

9 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2000 M«nthic b n: ¹isè Thêigianlµmbµi: 180phót C ui. M lµtëphîpc cmatrëncêp n(n 1),thùc,kh nghþch. 1. Chøngminhr»ng M lµnhãm èivíiphðpnh nmatrën. 2. C M cè Þnh. Chøngminhr»ng nhx¹ f : M M, f(a) = C 1 AC lµ mét ångcêunhãm. T m Im f, Ker f (haychøngminhr»ng f lµ ¼ngcÊu). 3. Chøngminhrµng nhx¹ f 1 : M R, f 1 (A) = A lµ ångcêunhãm. T m Im f 1, Kerf 1. C uii.chøngminhr»ng C lµnhãm èivíiphðpnh nth«ngth êng. XÐtc c nhx¹ f : C C, f(α) = α, g : C C, g(α) = α lµ ångcêunhãm, ncêu,toµn cêuhaykh«ng? T m Im f, Ker f. C u III. Chøng minhr»ng c cphðp biõn æi trùc giaotrªn kh«ng gianeuclid E lµm thµnhmétnhãm èivíiphðpnh n(phðphîpthµnh),kýhiöu G. Gi sö g G. Æt nhx¹ ϕ : G G, ϕ(f) = g 1 fg. Chøngminhr»ng ϕlµ ¼ngcÊunhãm. C uiv. C[x]lµvµnh. Æt nhx¹ ( îchióulµ a 0 + a 1 x a n x n ). ϕ : C [x] C[x], 1. Chøngminhr»ng ϕlµ ångcêunhãm. f (x) f (x) 2. Chøngminhr»ng R[x]lµvµnhconmµkh«ngidean. C uv. 1. Chøngminhr»ngc cmatrën èixøngcêp nlëpthµnhnhãmaben èivíiphðp céng,kýhiöunhãmnµylµ M. 2. Chøngminhr»ng nhx¹ f : M M, f(a) = A (chuyónvþ cña A)lµ ång cêunhãm. T m Im f, Ker f. 3. Chøngminhr»ngtËp M c cmatrën èixøngthùccêp nlëpthµnh R-kh«nggian vðct (hay R-kh«nggianvÐct concñakh«nggianc cmatrënvu«ngcêp n). 4. T lµmatrën kh nghþch(kh«ngnhêt thiõt èixøng). Chøngminhr»ng nhx¹ f : M M, f(a) = T 1 AT lµ ångcêu(tøclµ nhx¹tuyõntýnh).

10 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2000 M«nthic b n: ¹isè Thêigianlµmbµi: 180phót C ui.t mh¹ngcñahövðct a 1, a 2, a 3 R 3 theothamsè a a 1 = (1, a,1), a 2 = (1, 1, a), a 3 = (a,1, 1). T mphçnbïtrùctiõpcña L = {a 1, a 2, a 3 }khi a = 2hoÆc a = 1. C uii.biõt R 5 [x]lµkh«nggianc c athøccãbëcnháh n 5. Cho f (x) = 1 + x 2 + x 3 + x 4. Chøngminhr»ng(1)vµ(2)lµc cc sëcñanã 1. 1, x, x 2, x 3, x f (4) (x), f (3) (x), f (x), f (x), f (x). T mmatrënchuyónc së(1)sang(2). T mto¹ écña f(x) = 34+33x+16x 2 +5x 3 +x 4 trongc së(2). C uiii.phðpbiõn æituyõntýnh f trªnkh«nggianphøccãmatrënlµ A = cãchðoho îckh«ng? Cãtånt¹iphÐpbiÕn æituyõntýnhnghþch o f 1? T mvðc t riªngvµgi trþriªngcña f 1. C uiv.chøngminhr»ngtëphîpc cmatrënthùccãd¹ng ( ) a b A =. 2b a víi a, b RlËpthµnhvµnhconcñavµnh Mat(2, R),háinãcãlµideankh«ng?

11 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2001 M«nthic b n: ¹isè Thêigianlµmbµi: 180phót C ui.chøngminhr»ng 1. TËp S 1 c csèphøccãm«unb»ng 1lµmétnhãmconcñanhãmnh nc csèphøc kh c nhx¹ f : R S 1 cho bëi f(x) = cos(πx) + i sin(πx)lµ mét ång cêu tõ nhãmcéngc csèthùc Rvµo S 1. C u II. 1. Chøngminhr»ng mçikh«nggiancon Lcñakh«nggianvÐct h uh¹nchiòu V ÒucãbïtuyÕntÝnh. PhÇnbïtuyÕntÝnhcña LcãduynhÊtkh«ng? 2. T m sè chiòu, mét c së vµ phçn bï tuyõn týnh cña kh«ng gian con cña kh«ng gian R 4 sinh bëi hö vðc t {u 1 = (1, 2, 1,1), u 2 = ( 1,3,0, 2), u 3 = (2, 5, 1, 1), u 4 = (2, 4, 2, 2)}. C uiii.xðtmatrënthùc A = a d 0 d b d 0 d c. 1. NÕu ϕlµmétphðpbiõn æituyõntýnhtrongkh«nggian R 3 cãmatrën èivíic sëchýnht¾clµ Ath ϕcãchðoho îckh«ng? V sao? 2. Víi a = 3, b = 4, c = 5 vµ d = 2 h y t m ma trën trùc giao Q sao cho B = Q T AQlµmatrËn êngchðo. C uiv.phðpbiõn æituyõntýnh ϕgäilµluülinhbëc pnõu plµmétsènguyªnd ng saocho ϕ p 1 0vµ ϕ p = 0. Gi sö ϕlµmétphðpbiõn æituyõntýnhluülinhbëc p trongkh«nggianvðct n-chiòu V. Chøngminhr»ng 1. NÕu xlµmétvðct saocho ϕ p 1 (x) 0th hövðct { x, ϕ (x), ϕ 2 (x),..., ϕ p 1 (x) } éc lëp tuyõn týnh. 2. p n. 3. ϕchøcãmétgi trþriªng λ = NÕu E A lµmatrën cñaphðp biõn æi ϕ èivíi c së nµo ãth matrën A kh nghþch(elµmatrën nvþ).

12 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2001 M«nthic b n: ¹isè Thêigianlµmbµi: 180phót C ui. 1. Chøngminhr»ngtËp O(n)c cmatrëntrùcgiaocêp nlµmétnhãm èivíiphðp nh n ma trën. 2. Cho Q O(n),xÐt nhx¹ f : O(n) O(n)chobëi f(a) = Q T AQtrong ã Q T lµchuyónvþcña Q. Chøngminhr»ng f lµmét ¼ngcÊunhãm. C uii.xðtphðpbiõn æituyõntýnh ϕ : R 3 R 3 chobëi ϕ (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 3x 2 + 4x 3, 4x 1 7x 2 + 8x 3,6x 1 7x 2 + 7x 3 ). 1. T mgi trþriªng,vðct riªngcña ϕ. 2. Trongkh«nggianvÐct R 3 cãtånt¹ihaykh«ngmétc sësaocho èivíic së ãmatrëncña ϕcãd¹ng êngchðo. C uiii.trongkh«nggianeuclid R 4 xðtkh«nggiancon LsinhbëihÖvÐct {(1, 1,1, 1), (1, 2,2, 1),(1,0, 0,3)}. 1. T mc sëtrùcchuèncñakh«nggiancon Lvµc sëtrùcchuèncñaphçnbïtrùc giao L. 2. Gi sö x = (4, 1, 3,4). T mvðct y LvµvÐct z L saocho x = y+z. C u IV. 1. Chøngminhr»nghä { 1, x a,(x a) 2,...,(x a) n 1} víi a Rlµmétc sëcñakh«nggian R n [x]c c athøchösèthùccãbëcnháh n n. 2. T mto¹ écña f(x) R n [x] èivíic së ã. C uv. 1. Gi sö f 1, f 2 lµ c c d¹ng tuyõn týnhtrªn K-kh«ng gian vðc t V. Chøng minh r»ng nh x¹ ϕ : V V K cho bëi ϕ(x, y) = f 1 (x) + f 2 (y) lµ mét d¹ng songtuyõntýnhtrªn V. T m iòukiöncçnvµ ñ Ó ϕlµd¹ngsongtuyõntýnh èi xøng. 2. Gi sö V lµ K-kh«ng gian vðc t h u h¹n chiòu. Chøng minh r»ng d¹ng song tuyõntýnh ϕcãh¹ngb»ng 1khivµchØkhi ϕ 0vµcãhaid¹ngtuyÕntÝnh f 1, f 2 saocho ϕ(x, y) = f 1 (x) + f 2 (y)víimäi x, y V.

13 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2002 M«nthic b n: ¹isè Thêigianlµmbµi: 180phót C ui. 1. Gi sö h lµ mét ång cêu vµnh tõ vµnh K vµo vµnh K, vµ A lµ vµnh concña vµnh G. Chøngminhr»ng h(a)lµmétvµnhconcñavµnh K. 2. TrªntËpc csènguyªn ZxÐthaiphÐpto nx c Þnhbëi a b = a + b 1 a b = a + b ab. Chøngminhr»ng (Z,, )lµmétvµnhgiaoho ncã nvþ. C uii.trongkh«nggianvðct R 3 xðtphðpbiõn æituyõntýnh g x c Þnhbëi g(u) = (8x y 5z, 2x + 3y + z,4x y z)víi u = (x, y, z). 1. T mc cgi trþriªngvµvðct riªngcña g. 2. T mmétc sëc kh«nggian R 3 saocho èivíic së ãmatrën BcñaphÐpbiÕn æi gcãc cphçntöëphýatrªn êngchðochýnhb»ng 0. ViÕtmatrËn B. C uiii.trongkh«nggianvðct Euclide E xðthövðct {u 1,..., u n },vµmatrën G = ((u i, u j )) n n. Chøngminhr»nghÖvÐct {u 1,..., u n } éclëptuyõntýnhkhivµchøkhi det G 0. C u IV. Gi sö f lµ mét d¹ng song tuyõn týnh h¹ng r trªn K-kh«ng gian vðc t V n-chiòu. XÐtc ctëpcon V r = { ythuéc V : f (x, y) = 0 èivíimäi xthuéc V }, V l = { ythuéc V : f (y, x) = 0 èivíimäi xthuéc V }. Chøngminhr»ng V r, V l lµc ckh«nggianconvµ dim V r = dim V l = n r.

14 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2002 M«nthic b n: ¹isè Thêigianlµmbµi: 180phót C ui. 1. Gi sö hlµmét ångcêutõnhãm Gvµonhãm G,vµ H lµnhãmconcñanhãm G. Chøngminhr»ng h(h)lµmétnhãmconcñanhãm G. 2. XÐt nhx¹ f tõnhãmtuyõntýnhtængqu t GL(n, R)vµonhãmnh n R c csè thùc kh c0 x c Þnh bëi f(a) = det A. Chøng minhr»ng f lµ mét toµn cêu. X c Þnhnhãmcon f(o(n)),víi O(n)lµnhãmc cmatrëntrùcgiao. C u II. 1. Gi sö Llµmétkh«nggiancon p-chiòucñakh«nggianvðct Euclide E n-chiòu. Chøng minh r»ng tëp L = {x E : (x, y) = 0, y L}, lµmétkh«nggiancon (n p)-chiòuvµ E = L L. 2. XÐtkh«nggiancon Lcñakh«nggianvÐct Euclide R 4 sinhbëihövðc t u 1 = (1,0,2, 1), u 2 = (2,1, 2,3), u 3 = (0, 1, 2,1). X c Þnhmétc sëtrùcchuèn cñakh«nggiancon L. C uiii. VÕtcñamatrËn AcÊp ntrªntr êng K lµtængc cphçntötrªn êngchðo chýnh, îckýhiöulµ Tr(A). Chøngminhr»ng 1. Tr(AB) = Tr(BA). 2. VÕtcñamatrËncñamétphÐpbiÕn æituyõntýnhkh«ngphôthuécvµoviöcchän c sëcñakh«nggian. C u IV. 1. H¹ngcñamatrËn A = (a ij ) m n îckýhiöulµ r(a). Chøngminhr»ng r(a + B) r(a) + r(b). 2. TÝnh r(a)víi A = (min{i, j}) m n.

15 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2003 M«nthic b n: ¹isè Thêigianlµmbµi: 180phót C ui. 1. Chøngminhr»ngtÝchc c ångcêuvµnhlµmét ångcêuvµnh. 2. XÐt ångcêunhãm f : G G. Chøngtár»ng nõu Glµmétnhãmgiaoho n th Im(f)cònglµmétnhãmgiaoho n.. ChométvÝ dôchøngtá iòung îcl¹i nãi chung kh«ng óng. C u II. 1. Gi sö Llµkh«nggianconcñakh«nggianvÐct R 3 sinhbëihövðct {u 1 = (2,3, 5), u 2 = (3,7, 8), u 3 = (1, 6,1)}. Víigi trþnµocñathamsè ath vðct u = (7, 1, a)thuéckh«nggiancon L. 2. Chøng minh r»ng trong kh«ng gian c c hµm sè thùc liªn tôc C (a, b) hö vðc t {1, cos x, cos 2 x,...,cos n x} éclëptuyõntýnh. C uiii.xðtmatrënthùc èixøng A = T mmatrën trùcgiao Q saocho Q T AQlµmatrËn êngchðo. ViÕtmatrËn êng chðo ã.. C uiv.gi sö ulµmétvðct cñakh«nggianeuclid E. 1. Chøngminhr»ngvíimçivÐct xthuéc E cãthóbióudiônduynhêtd íid¹ng x = au + v trong ãvðct v trùcgiaovíivðct u. 2. Cho E = R 4, u = (2, 1,0,2), x = (1,1,1, 1). TÝnh avµ v.

16 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2003 M«nthic b n: ¹isè Thêigianlµmbµi: 180phót C u I. Trong nhãm G xðt nh x¹ h : G G x c Þnh bëi h(a) = a 1, a G. Chøngminhr»ng nhx¹ hlµméttù ¼ngcÊukhivµchØkhi GlµmétnhãmAben. C u II. Trongkh«ng gianvðc t Euclide R 4 xðt kh«nggiancon LchobëihÖ ph ng tr nh 2x 1 + x 2 + x 3 + 3x 4 = 0 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + 2x 3 9x 4 = 0 1. T msèchiòuvµmétc sëcñaphçnbïtrùcgiao L cñakh«nggiancon L. 2. ChovÐct x = (7, 4, 1,2). T mvðct y L, z L saocho x = y + z. C uiii.xðt nhx¹tuyõntýnh g : R 4 R 3 îcchobëi g((x 1, x 2, x 3, x 4 )) = (x 1 2x 2 + x 4, x 1 + x 3 x 4,2x 2 + x 3 2x 4 ). 1. T m dimker g, dimim g. 2. Víi gi trþ nµo cña tham sè a th vðc t y = ( 1,2, a) thuéc kh«ng gian con Im g. C u IV. Gi sö f lµ mét phðp biõn æi tuyõn týnh luü linh bëc n (tøc lµ f n 1 0, f n = 0)trong K-kh«nggianvÐct V. Chøngminhr»ng 1. NÕu x V : f k (x) 0th hövðct {x, f(x),..., f k (x)} éclëptuyõntýnh. 2. n dim V. 3. NÕu n = dim V th a thøc Æc tr ng cña phðp bión æi f cã d¹ng p(λ) = ( 1) n λ n.

17 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2004 M«nthic b n: ¹isè Thêigianlµmbµi: 180phót C ui.gi sö (G, )lµmétnhãmcãh uh¹nphçntö, nvþ e. Chøngminhr»ng 1. èivíimçiphçntö a Gtånt¹isènguyªn k 1saocho a k = e(sènguyªn d ngnhánhêtcãtýnhchêt ãgäilµcêpcñaphçntö a). 2. NÕu a lµ phçn tö cêp n th A = {a, a 2,..., a n } lµ mét nhãm con cña nhãm (G, ). C uii.xðtmatrënthùc A = 1 a b + c 1 b a + c 1 c a + b. 1. ChøngtámatrËn Akh«ngkh nghþch. 2. TÝnhh¹ngcñamatrËn Atheogi trþcñac cthamsè a, b, c. C uiii.phðpbiõn æituyõntýnh f trongkh«nggianvðct R 3 îcchobëi f(x, y, z) = (4x 5y + 2z,5x 7y + 3z,6x 9y + 4z). 1. T mc cgi trþriªng,vðct riªngcña f. 2. PhÐpbiÕn æi f cãchðoho îckh«ng? V sao? T mmétc sëcñakh«nggian R 3 saochomatrëncña f èivíic së ãlµmatrëntamgi c. C uiv.chøngminhr»ngtëpconkh crçng Lcñakh«nggianvÐct R n lµmétkh«n gianconkhivµchøkhi LlµtËpnghiÖmcñaméthÖph ngtr nhtuyõntýnhthuçnnhêt trªn R.

18 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2004 M«nthic b n: ¹isè Thêigianlµmbµi: 180phót C ui.gi sö X lµmétvµnh. Chøngminhr»ng 1. èivíimçisènguyªn n 0,tËp { } nx = a = nx = x + x x : x X }{{} nlçn lµmétideancñavµnh X (víiquy íc 0x = 0). 2. C ctëpd¹ng nzvíi n = 0,1, 2,...lµtÊtc c cideancñavµnhsènguyªn Z. C u II. 1. Trongkh«nggian R 4 xðtkh«nggiancon LsinhbëihÖvÐct {u 1 = (1, a, 1, 2), u 2 = (2, 1, a,5), u 3 = (1, 10, 6,1)}. TÝnh dim Ltheothamsè a. 2. Gi söhö vðct {u 1, u 2,..., u n }lµmétc sëcña K-kh«ng gianvðc t V. Æt v k = u k u n víi k = 1,2,..., n. Chøngminhr»nghÖ {v 1, v 2,..., v n }lµ métc sëcñakh«nggian V. C uiii.phðpbiõn æituyõntýnh gtrongkh«nggianeuclid R 3 îcchobëi g((x 1, x 2, x 3 )) = (x 1 3x 2 x 3, 3x 1 + x 2 + x 3, x 1 + x 2 + 5x 3 ). 1. Chøngtár»ng g lµmétphðpbiõn æi èixøng. 2. T mmétc sëtrùcchuèncñakh«nggianvðct Euclid R 3 lµc cvðct riªngcña g. C u IV. Gi sö f lµmét d¹ng songtuyõn týnh h¹ng k trªn K-kh«ng gianvðc t K n. XÐtc ctëpcon V r = { y K n : f (x, y) = 0 èivíimäi x K n}, V l = { y K n : f (y, x) = 0 èivíimäi x K n}. Chøngminhr»ng V r, V l lµc ckh«nggianconvµ dim V r = dim V l = n k.

19 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2005 M«nthic b n: ¹isè Thêigianlµmbµi: 180phót C ui.trongnhãm GxÐt nhx¹ f : G Gchobëi f(x) = x 2 víimäi x G. 1. Chøngminhr»ng f lµ mét tù ång cêu cña nhãm G khi vµ chø khi G lµ nhãm aben. 2. Chomét vý dôsaocho f lµ tù ¼ng cêu vµ mét vý dôsaocho f lµ mét tõ ång cêunh ngkh«ngph ilµtù ¼ngcÊu. C uii.xðt nhx¹tuyõntýnh h : R 4 R 3 x c Þnhbëi: víi u = (x 1, x 2, x 3, x 4 )th h (u) = (x 1 + ax 2 x 3 + 2x 4, 2x 1 x 2 + ax 3 + 5x 4, x x 2 6x 3 + x 4 ) 1. X c Þnh dimim h, dimker htheothamsè a. 2. Víi a = 3,víigi trþnµocña bth vðct u = (1, 2, b)thuéc Im h. C uiii.xðtmatrënthùc A = T mc cgi trþriªng,vðct riªngcña A. 2. T mmatrën trùc giao Q saocho B = Q T AQ lµmatrën êngchðo. ViÕtma trën B. C u IV. 1. Gi sö F lµmétkh«nggianconcña K-kh«nggianvÐct n-chiòu V. Chøngminh r»ng nõu dim F < n th trong kh«ng gian V cã c së {u 1, u 2,.., u n } sao cho u i F, i = 1,2,.., n. 2. Chøngminhr»ng èivíimçid¹ngtuyõntýnh ϕtrªnkh«nggianvðct Euclidh u h¹nchiòu E tånt¹iduynhêtmétvðct u E saocho ϕ (x) = (u.x) víimäi x E.

20 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2005 M«nthic b n: ¹isè Thêigianlµmbµi: 180phót C ui.xðt ångcêuvµnh f : K K. Chøngminhr»ng 1. NÕu Alµmétvµnhconcñavµnh K th f(a)lµmétvµnhconcña K. 2. NÕu B lµmétideancñavµnh K th f 1 (B)lµmétideancñavµnh K. C u II. 1. X c ÞnhsèchiÒucñakh«nggiannghiÖm N cñahöph ngtr nhtuyõntýnhthuçn nhêtsau ytheothamsè a x 1 + ax 2 x 3 + 2x 4 = 0, 2x 1 x 2 + ax 3 + 5x 4 = 0, x x 2 6x 3 + x 4 = Víi a = 3,t mc sëtrùcgiaocñaphçnbïtrùcgiao N cña N trongkh«nggain vðct Euclid R 4. C uiii.xðtmatrënthùc A = T mc cgi trþriªng,vðct riªngcña A. 2. T mmétmétmatrëntamgi c ångd¹ngvíimatrën A. C uiv.xðtd¹ngtoµnph ng ω trªnkh«nggianvðct Euclid R n chobëi Chøng minh r»ng ω (x) = n i,j=1 a ij x i x j, x = (x 1, x 2,.., x n ). 1. NÕud¹ng ωx c Þnhd ngth a ii > 0víimäi i = 1, 2,.., n. 2. D¹ng ω x c Þnh d ng khi vµ chø khi tån t¹i ma trën kh nghþch S sao cho (a ij ) n n = S T S.

21 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2006 ît1 M«nthic b n: ¹isè Thêigianlµmbµi: 180phót C ui. 1. Chøngminhr»nggiaoc cideancñamétvµnhlµmétidean. 2. Gi sö SlµtËpconkh crçngcñavµnh K giaoho ncã nvþ.chøngminhr»ng tëp { } n (S) = x = a i s i : s i S, a i K, i = 1,2,.., n i=1 lµideannhánhêtchøatëp S. C uii.xðtphðpbiõn æituyõntýnh f : R 3 R 3 chobëi f ((x 1, x 2, x 3 )) = (x 1 + ax 2 + x 3,2x 1 + ax 2 + bx 3, x 1 + (b 1) x 3 ) 1. Víigi trþnµocñac cthamsè a, bth f lµméttù ¼ngcÊu. 2. T m dimim f, dimker f víi a = b = 1. C uiii.xðtmatrën èixøngthùc A = T mc cgi trþriªng,vðct riªngcña A. 2. D¹ngtoµnph ng ωtrªnkh«nggianvðct Euclid R 3 chobëi ω (x) = ( x 1 x 2 x 3 ) A ( x1 x 2 x 3 ) T, x = ( x 1 x 2 x 3 ). T mmétc sëtrùcchuèncñakh«nggian R 3 lµc sëchýnht¾ccña ω. ViÕtd¹ng chýnht¾ccña ωt ngøngvíic së ã.. C uiv.gi sö Elµkh«nggianvÐct Euclid n-chiòu. 1. Chøngminhr»ngnÕu {u 1, u 2,.., u n }lµmétc sëtrùcchuèncña E th mçivðc t xthuéc E ÒucãthÓbiÓudiÔnd íid¹ng x = n (x.u i ) u i. i=1 2. Gi sö L, M lµc ckh«nggianconcña Evµ dim L < dim M. Ch ngminhr»ng tånt¹ivðct u M, u 0saocho (u.y) = 0víimäi y L.

22 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2006 ît2 M«nthic b n: ¹isè Thêigianlµmbµi: 180phót C ui.xðtvµnh athøc R[x]Èn xhösèthùc. Chøngminhr»ng 1. èivíimçi athøc f(x)thuéc R[x]tËp lµmétideancñavµnh R[x]. f (x) R[x] = {g (x) = f (x) h (x) : h (x) R[x]} 2. èivíimçiidean I {0}cñavµnh R[x]tånt¹i duynhêt athøcd¹ngchuèn p(x)saocho I = p (x) R[x]. C uii.trongkh«nggianeuclid R 4 xðthövðct u 1 = (1, a,2,1), u 2 = (1, 1, b, 0), u 3 = (1, b, 2,1). 1. Víinh nggi trþnµocñac cthamsè a, bth hö {u 1, u 2, u 3 } éclëptuyõntýnh, phô thuéc tuyõn týnh. 2. T m mét c së cña phçn bï trùc giao L cña kh«ng gian con L sinh bëi hö {u 1, u 2, u 3 }víi a = b = 1. C uiii.xðtphðpbiõn æituyõntýnh f trongkh«nggianvðct R 3 x c Þnhbëi f ((x, y, z)) = (8x y 5z, 2x + 3y + z,4x y z). 1. T mc cgi trþriªng,vðct riªngcña f,cña f n, n > T mmétc sëcñakh«nggian R 3 saochomatrën Bcña f èivíic së ãlµma trëntamgi c. ViÕtmatrËn B. C uiv.xðtd¹ngsongtuyõntýnh gtrªn K-kh«nggianvÐct n-chiòu V tho m n iòu kiön g(x, x) =víimäi xthuéc V. Chøngminhr»ng 1. g(x, y) = g(y, x)víimäi x, ythuéc V. 2. NÕu gkh«ngsuybiõnth mçivðct uthuéc V, v {0},lu«nlu«ntånt¹ivÐct vthuéc V saocho g(u, v) = 1.

23 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2007 ît1 M«nthic b n: ¹isè Thêigianlµmbµi: 180phót C u I. PhÇn tö a thuéc nhãm (G,, e) gäi lµ cã cêp h u h¹n p nõu p lµ sè nguyªn d ngnhánhêtsaocho a p = e. Gi sö GlµméttËphîph uh¹ncã nphçntö. Chøng minh r»ng 1. MçiphÇntö athuécnhãm (G,, e) ÒucãcÊph uh¹n. 2. Víimäi a, bthuécnhãm (G,, e)c cphçntö a bvµ b acãcêpb»ngnhau. C u II. 1. X c ÞnhsèchiÒucñakh«nggiannghiÖm N 0 cñahöph ngtr nhtuyõntýnhthuçn nhêtsau ytheothamsèthùc a x 1 + ax 2 x 3 + 2x 4 = 0, 2x 1 x 2 + ax 3 + 5x 4 = 0, x x 2 6x 3 + x 4 = Cho a = 3,t mphçnbïtrùctiõpcña N 0 trongkh«nggianvðct R 4. C uiii.trongkh«nggianvðct Euclid R 3 xðtphðpbiõn æituyõntýnh f chobëi f ((x 1, x 2, x 3 )) = (3x 1 + 2x 2,2x 1 + 4x 2 2x 3, 2x 2 + 5x 3 ). 1. Chøngminhr»ng f lµphðpbiõn æi èixøng. 2. T mc sëtrùcchuèncñakh«nggianvðct Eucild R 3 lµc cvðct riªngcña f vµ chobiõtmatrëncña f èivíic së ã. C uiv.xðtd¹ngsongtuyõntýnhkh«ngsuybiõn g trªn K-kh«nggianvÐct n-chiòu V. Gi sör»ngd¹ngsongtuyõn týnh g 1 trªnkh«nggianvðct con r-chiòu F chobëi g 1 (x, y) = g(x,)víimäi x, ythuéc F lµmétd¹ngkh«ngsuybiõn. XÐttËp Chøng minh r»ng F = {x V : g (x, y) = 0víimäi y F}. 1. F lµmétkh«nggianconvµ F F = {0}. 2. V = F F.

24 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi C ui. ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2000 M«nthic cë: Gi itých Thêigianlµmbµi: 180phót 1. Chøngminhr»nghµmsèmétbiÕnsèliªntôctrªn o¹n [a, b]th liªntôc Òutrªn ã. 1 cos x 2. Chohµmsè f(x) =. H yxðtsùliªntôc Òucñanãtrªnc ctëpd íi x y: C u II. (a) Trªn (0,1). (b) Trªn ( 1,0). (c) Trªn ( 1,0) (0, 1). 1. Chøngminhr»ngnÕumétd ysè n iöucãmétd ysèconhéitôth nãcònglµ métd yhéitô. 2. Chøngtár»ngd ysè {x n }víi C u III. lµmétd yhéitô. x n = n ln(n), n 1 1. TÝnhdiÖntÝchcñamiÒnn»mtrongmÆtph¼ngto¹ é xoy îcgiíih¹nbëitrôc hoµnh vµ mét nhþp cycloid { x = a(t sin t) (0 t < 2π, a > 0). y = a(1 cos t) 2. XÐtsùhéitôcñatÝchph nsuyréng C u IV. trong ã α, βlµc cthamsè. 1. Chochuçihµm + n=1 e nx 1 + n 2. + (a) T mmiònhéitôcñachuçihµm. 0 (x + 1) α sin x (x 1) β dx, (b) XÐttÝnhkh vicñatængchuçihµmtrongmiònhéitô. 2. Cho f(x)lµhµmliªntôctrªn (,+ ). Víi nnguyªnd ng Æt f n (x) = 1 [f(x + 1n n ) + f(x + 2n ) + + f(x + nn ] ). Chøngminhr»ngd yhµm {f n (x)}héitô Òutrªnmäi o¹nh uh¹nbêtkú.

25 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi C ui. ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2000 M«nthic cë: Gi itých Thêigianlµmbµi: 180phót 1. Ph tbióuvµchøngminhnguyªnlýcauchyvòsùhéitôcñad ysè(cßngäilµtiªu chuèn Cauchy). 2. XÐtsùhéitôcñad ysè {x n }trong ã x n = sin 1 + sin sin 1 n 2. C u II. 1. Ph tbióuvµchøngminh ÞnhlývÒtÝnhliªntôc Òucñaméthµmsèliªntôctrªn mét o¹n. 2. Cho f(x)liªntôctrªn [0,+ ). BiÕtr»ngtånt¹igiíih¹nh uh¹ncña f(x)khi x +. Chøngminhr»ng f(x)liªntôc Òutrªn [0,+ ). C u III. 1. XÐtsùhéitô Òucñachuçihµm + n=1 nx trªnkho ng (, + ). 1 + n 3 x2 2. XÐttÝnhkh vicñahµmsè S (x) = + n=0 e n2x. C u IV. 1. TÝnhtÝchph n D (x 2 + y 2 ) dxdyvíi D = {(x, y) R 2 : x 4 + y 4 1}. 2. Cho f(x)x c Þnhvµcã ¹ohµmh uh¹n f (x)trªnkho ng (a, b). Chøngminh r»ngnõu f (x) 0víi x (a, b)th f(x) n iöutrªnkho ng (a, b). C uv. 1. XÐtsùhéitôcñatÝchph n + 0 sin 2 2x dx. x 2. BiÕtr»ng f(x)kh viliªntôctrªn o¹n [a,b]vµ f(a) f(b) = 0. Chøngminh r»ng max f (x) a x b 4 (b a) 2 b a f (x) dx.

26 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2002 M«nthic cë: Gi itých Thêigianlµmbµi: 180phót C ui. 1. Ph tbióuvµchøngminhnguyªnlýbolzano-weirestrassvògiíih¹ncñad ysè. 2. Gi sö a 0 lµsèthùctho m n 0 a 0 1vµ {a n }lµd ysèthùcx c Þnhtheo quy t¾c a 1 = a 0, a 2n = 1 2 a 2n 1, a 2n+1 = 1 2 (1 + a 2n), n 1 Chøngminhr»ngd y {a n }chøcã2giíih¹nriªnglµ 1 3 vµ 2 3. C u II. 1. Ph tbióu ÞnhlýCauchyvÒgi trþtrungb nhcñath nghaihµmkh vi. 2. Cho f (x) = x 2 + x, g (x) = x 3. HáicãthÓ pdông îc ÞnhlýCauchytrªn [ 1,1]choth nghaihµmnµykh«ng? T msè c Ó f (1) f ( 1) g (1) g ( 1) = f (c) g (c). C uiii.chohµm2biõn xy nõu (x, y) = (0, 0), f(x, y) = x 2 +y 2 0 nõu (x, y) = (0, 0). Chøngminhr»ngtrongmétl ncëncña ióm (0,0)hµm f liªntôcvµcãc c ¹ohµm riªnggiíinéinh ng f kh«ngkh vit¹i ióm (0, 0). C u IV. 1. XÐtsùhéitôcñatÝchph nsuyréng + 0 sin 2 2x dx. x 2. XÐtsùhéitô Òucñachuçihµm + n=0 x 2 e nx, 0 x < +. C uv.chøngminhr»ng édµi lcña êngelip x2 a 2 + y2 b 2 = 1tho m nbêt ¼ngthøc π (a + b) l π 2 (a 2 + b 2 ).

27 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2002 M«nthic cë: Gi itých Thêigianlµmbµi: 180phót C ui. 1. Ph tbióuvµchøngminhnguyªnlýcauchyvòsùhéitôcñad ysè. 2. Chøngminhr»ngmétd y n iöucãmétd yconhéitôth d y ãcònghéitô. C u II. Cho f(x) lµ hµm sè x c Þnh vµ cã c c ¹o hµm h u h¹n f (x), f (x) trªn kho ng (,0). H yx c Þnhc ch»ngsè a, b, c Óhµmsè { f(x) víi x 0, F(x) = ax 2 + bx + c víi x > 0, cã ¹ohµm F (x), F (x)trªnkho ng (,+ ). C u III. Chøng minh r»ng nõu hµm sè f(x, y) liªn tôc theo tõng biõn x vµ y trong miòn D, n iöutheométtronghaibiõn ãth nãliªntôctheohaibiõn (x, y)trong D. C u IV. 1. T mmiònhéitôcñachuçiluüthõa + n=1 4 n + ( 3) n (x 1) n. n 2. XÐtsùhéitô Òucñad yhµm f n (x) = n ( n x 1 ) trªn o¹n [1, 2]. C uv.cho f(x)lµhµmsèkh vitrªn o¹n [0,1]vµtho m n iòukiön f (0)f (1) < 0. Chøng minh r»ng f(x) ¹t cën trªn óng hoæc cën d íi óng t¹i mét ióm trong kho ng (0, 1).

28 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2003 M«nthic cë: Gi itých Thêigianlµmbµi: 180phót C ui. 1. Ph tbióuvµchøngminh ÞnhlývÒtÝnhliªntôc Òucñaméthµmsèliªntôctrªn mét o¹n. 2. Chøngminhr»ngméthµmsèliªntôc Òutrªnkho ngh uh¹n (a,b)th cãthó bæsunggi trþhµmt¹ihai Çumót Ótrëthµnhhµmliªntôctrªn [a,b]. C uii.ph tbióuvµchøngminh ÞnhlývÒtÝnhkh týchcñahµmgiíih¹ncñamétd y hµmvµ iòukiönchuyónquagiíih¹nd íidêutýchph n. C u III. 1. TÝnh 1 (cos x) sin x lim x x T m cùc trþ cña hµm sè u = xyz víi iòu kiön x 2 + y 2 + z 2 = 3 trong miòn x > 0, y > 0, z > 0. C u IV. 1. T mmiònhéitôvµxðtsùhéitô Òucñachuçihµm 1 ( 1) n n + 1 sin2x n=1 2. XÐtsùhéitôcñatÝchph nsuyréng trong ã αlµmétthamsè. 0 x α sin2x 1 + x 2 dx C uv.chod ysè {a n }. BiÕt lim a 2k = α, lim a 2k+1 = β; α, βlµhaisèh uh¹n. k k T m lima n, lima n.

29 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi C ui. ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2003 M«nthic cë: Gi itých Thêigianlµmbµi: 180phót 1. Ph tbióuvµ chøngminh ÞnhlývÒ iòukiönchuyónquagiíih¹n tõng sèh¹ng cñamétchuçihµm. 2. Chochuçihµm C u II. + n=1 n 2 x 2 + n 2 ( x 2 n + ( 1)n 2 n T mmiònhéi tô cña chuçi hµm vµ xðt týnh liªn tôc cña tæng chuçi hµm ã trªn miònhéitôcñanã. 1. Ph tbióuvµchøngminh ÞnhlýLagrangevÒhµmkh vi. 2. Chøngminhr»ng méthµmkh vitrªnkho ngh uh¹n (a, b)vµ kh«nggiíinéi trªnkho ng ãth ¹ohµmcñanãcòngkh«nggiíinéitrªnkho ng ã. ). 3. TÝnh lim x 0 cos x 3 cos x x 2. C uiii.chohµmsè 1 (x 2 + y 2 ) sin nõu x 2 + y 2 0, f(x, y) = x 2 + y 2 0 nõu x 2 + y 2 = Chøngminhr»nghµmsècã ¹ohµmriªngt¹imäi iómnh ngc c ¹ohµmriªng nµykh«ngliªntôct¹i ióm (0,0). 2. XÐttÝnhkh vicñahµmsèt¹i (0, 0). C uiv.xðtsùhéitôcñatýchph nsuyréng trong ã αlµmétthamsè. + 0 xln 2 x 1 + x α dx C uv.cho f lµhµmliªntôctrªn (, ). Víi nnguyªnd ng Æt f n (x) = 1 [f(x + 1n n ) + f(x + 2n ) + + f(x + nn ] ). Chøngminhr»ngd yhµm {f n (x)}héitô Òutrªnmäi o¹nh uh¹nbêtkú.

30 ¹ihäcQuècgiaHµNéi C ui. ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2004 M«nthic cë: Gi itých Thêigianlµmbµi: 180phót 1. Ph tbióuvµchøngminh ÞnhlýCantorvÒd y o¹nlångnhauth¾tl¹itrªn R. 2. XÐtsùhéitôcñad ysè {a n }víi a n = sin1 sin2 1 + sin2 sin sin n sin(n + 1). n C u II. 1. TÝnh (1 + x) x 1 lim x 0 x 2 2. XÐttÝnhkh vicñahµmsè x 4 y 2 nõu x 2 + y 2 > 0, f(x, y) = x4 + y 4 0 nõu x = y = 0. C u III. 1. Ph tbióuvµchøngminh ÞnhlývÒ iòukiönchuyónquagiíih¹ncñamétchuçi hµm. + + lim U n (x) = lim U n (x). x x 0 x x 0 n=1 n=1 2. Chochuçihµm C u IV. S(x) = + n=1 1 (n x) 2. T mmiòntånt¹icña S(x)vµxÐttÝnhliªntôccña S(x)trªnmiÒn ã. 1. XÐtsùhéitôcñatÝchph nsuyréng trong ã αlµmétthamsè. + 1 ln 2 x x α dx 2. Chøngminhr»ngnÕu f(x)lµhµmkh vitrªn (a,+ )vµ lim x + f (x) = 0th f(x) lim x + x = 0.

31 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2004 ît2 M«nthic cë: Gi itých Thêigianlµmbµi: 180phót C ui. 1. Ph tbióuvµchøngminh ÞnhlýRollevÒhµmkh vi. 2. Chøngminhr»ngtånt¹iduynhÊtméthµmliªntôc y = y(x), x (,+ ) tho m nph ngtr nh y = x + ε sin y, 0 ε < 1. C u II. 1. Ph tbióuvµchøngminhnguyªnlýbolzano-weierstrassvògiíih¹nd ysè. 2. T m ( ) 1 lim n n + n n n 2 + n 2 C uiii.chochuçihµm + n=1 x n (1 + nx 2 ). 1. X c ÞnhmiÒnhéitôcñachuçihµm. 2. XÐttÝnhliªntôccñachuçihµmtrongmiÒnhéitôcñanã. C u IV. 1. p dông tých ph n hai líp týnh diön tých cña h nh giíi h¹n bëi c c êng cong xy = a 2, xy = 2a 2, y = αx, y = βxtrong ã 0 < α < β. 2. TÝnh tých ph n ( x 2 + y 2) dxdydz V trong ã V lµ miòngiíih¹n bëi c cmæt z 2 = x 2 + y 2, x 2 + y 2 + z 2 = 2az, a > 0. C uv.chohµm g(x)x c Þnhtrªnkho ng [0,+ ) n iöudçnvò 0khi x +. Chøngminhr»ngc ctýchph n + 0 g (x) sin 2 xdxvµ + 0 g (x) dx cïnghéitôhoæccïngph nkú.

32 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi C ui. ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2004 ît2 M«nthic cë: Gi itých Thêigianlµmbµi: 180phót 1. Ph tbióuvµchøngminh ÞnhlývÒhµmliªntôctrªnmét o¹ncãgi trþhai Çu mót o¹n ãtr idêunhauth åthþcñanãsïc¾ttrôchoµnh. 2. T mthamsè a Óhµmsè sin πx 2 [ ) 1 nõu x f(x) = sin πx 3 2,1, a nõu x = 1, C u II. liªntôctrªn [ 1 2,1]. 1. Ph t bióu vµ chøng minh Þnh lý vò týnh kh vi cña hµm giíi h¹n cña mét d y hµm. 2. Chochuçihµm C u III. f (x) = + n=1 x n 2 + x 2. T mmiònhéitôcñahµm f vµxðttýnhkh vicñanãtrªnmiòn ã. 1. XÐttÝnhkh vicñahµmsè f(x,y) = {e 1 x 2 +y 2 nõu x 2 + y 2 > 0, 0 nõu x 2 + y 2 = TÝnh lim x + x 0 arctg 2 xdx x C u IV. 1. T mc cgiíih¹nriªngcñad ysè {a n }víi ( a n = ) n ( ) 1 n 2 + ( 1)n sin nπ Gi sö f lµ hµm kh vi hai lçn trªn [1,+ ) vµ f(1) > 0, f (1) < 0 cßn f (x) 0, x > 1. Chøng minh r»ng ph ng tr nh f(x) = 0 cã duy nhêt nghiöm thuéc [1, + ).

33 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2005 ît1 M«nthic cë: Gi itých Thêigianlµmbµi: 180phót C ui. 1. ÞnhnghÜatængDarbouxtheométph nho¹chtrªn o¹n [a, b]cñaméthµmx c Þnhtrªn ã. Tõ ã ph t bióuvµ chøngminh ÞnhlývÒ iòukiöncçnvµ ñ Ó méthµmkh týchtrªn [a, b]. 2. Cho f lµméthµmkh týchtrªn o¹n [a,b]vµ b a f (x) dx > 0. Chøngminhr»ng tånt¹imét o¹n [α, β] [a, b]saocho f (x) > 0, x [α, β]. C u II. 1. Ph tbióuvµchøngminh ÞnhlývÒméthµmsèliªntôctrªnmét o¹nvµgi trþ cñahµmsèt¹ihai Çumótcña o¹n ãtr idêunhauth åthþhµmsèlu«nc¾t trôc hoµnh. 2. T mcùctrþcñahµmsè u = xy 2 z 3 víi iòukiön x+2y +3z = 6, x > 0, y > 0, z > 0. C u III. 1. Chochuçihµm + n=2 x n 1 (1 x n )(1 x n+1 ). (a) T mmiònhéitôcñachuçihµm. (b) XÐtsùhéitô Òucñachuçihµmtrªn o¹n [ a,a]trong ã alµthamsètho m n 0 < a < XÐtsùhéitôtuyÖt èivµb nhéitôcñatýchph nsuyréng + a sin x (x a)(x b) dxvíi b > a > 0. C uiv.chøngminhr»ngnõuchuçisè + a n héitôtuyöt èith chuçisè + a 3 n còng héitôtuyöt èi. NÕu + n=1 n=1 a n chøb nhéitôth cãthónãi + haykh«ng? NÕukh«ng óngth h ychométvýdô. n=1 n=1 a 3 n héitôtuyöt èi îc

34 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi C ui. ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2005 ît2 M«nthic cë: Gi itých Thêigianlµmbµi: 180phót 1. Ph tbióuvµchøngminh ÞnhlýCantorvÒtÝnhliªntôc Òucñahµmsètrªn o¹n [a,b]. 2. Chohµmsè f(x) = y: 1 cos x. H yxðtsùliªntôc Òucñanãtrªnc ctëpd íi x C u II. (a) Trªn (0,1). (b) Trªn ( 1,0). (c) Trªn ( 1,0) (0, 1). 1. XÐtsùhéitôtuyÖt èicñatýchph nsuyréng + 0 xcos x 3 x + 10 dx. 2. TÝnh tých ph n xydxdy D trong ã DlµmiÒn îcgiíih¹nbëic c êngcong y = ax 2, y = bx 2, xy = p, xy = q (0 < a < b, 0 < p < q). C u III. 1. Ph tbióuvµchøngminh ÞnhlývÒtÝnhliªntôccñatængchuçihµm. 2. Chochuçihµm + xe nx. XÐttÝnhhéitô Òucñachuçihµmtrongc ckho ng (a) [0,+ ). (b) [δ,+ ), δ > 0. C uiv.chohµmsè f(x)liªntôctrªn o¹n [a, b]vµtho m n iòukiön b a n=1 x n f (x) dx = 0víimäi n = 1, 2,.., N. Chøngminhr»nghµm f cãýtnhêt N + 1kh«ng iómtrongkho ng (a,b).

35 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi C ui. ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2006 ît1 M«nthic cë: Gi itých Thêigianlµmbµi: 180phót 1. Ph tbióuvµchøngminhnguyªnlýcauchyvòtiªuchuènhéitôcñad ysè. 2. pdôngnguyªnlýcauchyxðttýnhhéitôcñad ysè C u II. a n = + k=2 1. XÐtsùhéitôcñatÝchph nsuyréng k ln k, n 2. x α sin x dxvíi αlµthamsè. 1 + x 2. TÝnhtÝchph nbalíp V z ( x 2 + y 2) dxdydz trong ã V = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 1, 0 z 1}. C u III. 1. Ph t bióu vµ chøng minh Þnh lý Rolle vò gi trþ trung b nh cña hµm sè kh vi trong mét kho ng. 2. Cho f(x) liªn tôc trong [0, 1], kh vi trong (0,1) vµ f(0) = e, f(1) = 1. B»ngc chxðt hµm g (x) = e x f (x)chøngminhr»ng tånt¹i c (0,1)saocho f (c) = f(c). C u IV. 1. Cho {r n }lµmétd yc csèh utûthuéc o¹n [0,1]. XÐtchuçi + n=1 x r n 3 n, 0 x 1. Chøng minh r»ng (a) Chuçihéitôvíimäi x [0,1]vµtæng S(x)lµméthµmliªntôctrong o¹n [0,1]. (b) S(x)kh vit¹imäi iómv«tûnh ngkh«ngkh vit¹ic c iómh utûthuéc [0,1]. 2. Chod yhµm f n (x) = n α xe nx, n 1. Víigi trþnµocña αth d yhµm (a) Héitôtrªn o¹n [0,1]. (b) Héitô Òutrªn o¹n [0,1].

36 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi C ui. ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2006 ît2 M«nthic cë: Gi itých Thêigianlµmbµi: 180phót 1. Ph tbióuvµchøngminh ÞnhlýCantorvÒtÝnhliªntôc Òucñahµmsètrªn o¹n [a,b]. 2. Chohµmsè f(x)x c Þnhvµliªntôctrongkho ng (a,+ ),( < a < + ). Gi thiõttånt¹ic cgiíih¹nh uh¹n lim f (x) = L, x a+0 lim f (x) = K. x + C u II. Chøngminhr»nghµm f(x)liªntôc Òutrong (a,+ ). 1. Ph tbióuvµchøngminh ÞnhlývÒtÝnhkh vicñatængcñachuçihµm. 2. Cho u n (x), n = 1, 2,.. lµ c c hµm x c Þnh vµ n iöu trªn o¹n [a, b]. Gi thiõt r»ng chuçi hµm + u n (x) héi tô tþyöt èi t¹i x = a vµ x = b. Chøng C u III. n=1 minhr»ngchuçihµm + n=1 1. XÐttÝnhhéitôcñatÝchph nsuyréng 2. Chøngminhr»ngtÝchph n C u IV. u n (x)héitô Òutrªn o¹n [a,b]. + 0 (e 1 x 2 e 4 x 2 ) dx. + 0 sin (f (x)) dx héitônõu f (x) n iöut ngvµdçnra + khi x TÝnhtÝchph n I = ( x 2 + y 2 + z 2) dxdydz V trong ã V lµmiòn îcgiíih¹nbëimæt 3(x 2 + y 2 ) + z 2 = 3a T mmiònhéitôcñachuçihµm + n=0 a n x n trong ã a n = n k=0 1 k!.

37 ¹i häc Quèc gia Hµ Néi C ui. ÒthituyÓnsinhsau ¹ihäcn m2007 ît1 M«nthic cë: Gi itých Thêigianlµmbµi: 180phót 1. Ph tbióuvµ chøngminhc c ÞnhlýBolzano-CauchythønhÊtvµthøhaivÒgi trþtrunggiancñahµmliªntôctrªnmét o¹n. 2. Cho X lµ mét kho ng sè thùc: X R, f : X R lµ mét hµm liªn tôc, Y = {f (x) : x X}lµtËpgi trþcñahµm f trªn X. Chøngminhr»ng Y còng lµ mét kho ng. C u II. 1. TÝnhtÝchph nsau D (ln x + ln y) dxdy trong ã D lµmiòn îcgiíih¹nbëi c c êngcongsau: x 2 = y, x 2 = 2y, y 2 = x, y 2 = 2x. 2. XÐttÝnhhéitôcñatÝchph nsuyréngsau C u III. 1. Chochuçihµm + n=1 + 0 sin 2x x α + xβdx, α > 0, β > 0. u n (x), x X R Ph tbióu ÞnhnghÜatÝnhhéitô ÒucñachuçihµmtrªntËphîp X. Ph tbióuvµchøngminh ÞnhlýWeierstrassvÒsùhéitô Òucñachuçihµm trªntëphîp X. 2. Cho {u n (x)} + n=1 lµd yhµmx c Þnhtrªn o¹n [a,b]saocho (a) C cchuçi + n=1 u n (a) 2, + n=1 u n (b) 2 héitô. (b) u n (x) lµ c c hµm kh vi liªn tôc trªn o¹n [a, b] vµ u n (x) 0 víi mäi x [a, b], n = 1,2,... Chøngminhr»ngchuçi + n=1 u n (x) sin x n héitô Òutrªn o¹n [a, b]. C uiv.chohµmsè 1 (x 2 + y 2 ) sin nõu x 2 + y 2 0, f(x, y) = x 2 + y 2 0 t¹i ióm (0,0). 1. H ytýnhc c ¹ohµmriªng f x o¹nt¹i ióm (0, 0). 2. Chøngminhr»nghµm f(x, y)kh vit¹i ióm (0,0). f f vµ. Chøngminhc c ¹ohµmriªng, f gi n y x y

38 Thi Tuy n Sinh Sau fi i h c n m 1998 M«n i SŁ ThŒi gian 180 C'u 1. Cho (G, ) l møt nhªm h u h n. nh ngh a quan h tr n G bºi: x y ( g G, g 1 xg = y). V i m i x G, fi t H x = {g G g 1 xg = x} v O x = {g 1 xg g G}. a) Chłng tæ l møt quan h t ng fi ng tr n G. b) V i m i t p con A cæa G, k hi u A l sł ph n t cæa A. Chłng tæ r»ng O 1G = {1 G }, H x l møt nhªm con cæa G v G = H x. O x, v i m i x G. c) Chłng tæ n u G = p n, v i p l møt sł nguy n tł v n l sł tø nhi n kh c 0, th t n t i møt ph n t g G sao cho gx = xg, x G. C'u 2. Gi s M n (R) l v nh c c ma tr n vu«ng thøc c p n. a) Chłng minh r»ng, ma tr n A l c b n ph i cæa 0 trong M n (R) khi v ch khi det(a) = 0. b) Cho t p h p N g m t t c c c ma tr n cæa M n (R) m m i ph n t tı d ng thł hai trº fii fi u b»ng 0. Chłng minh r»ng, N l møt v nh con cæa M n (R) v m i ph n t kh c 0 cæa N fi u l c b n ph i cæa kh«ng trong N. c) Chłng minh r»ng, trong N t n t i v«sł fi n v tr i. C'u 3. Cho A l møt ma tr n m h ng v n cøt v i c c ph n t thuøc tr Œng K. H ng cæa A k hi u l r A, fi c fi nh ngh a l c p cao nh t cæa c c fi nh thłc con kh c 0 cæa A. a) Chłng minh r»ng, r A b»ng sł cøc fi i c c vector cøt fiøc l p tuy n t nh cæa A. b) Cho h ph ng tr nh tuy n t nh x 1 A. = b 1., b i K ( ). x n b n

39 Cho B l b 1. b n ma tr n m h ng n + 1 cøt nh n fi c tı A b»ng c ch gh p th m cøt v o th nh cøt cułi. Chłng minh r»ng, ( ) cª nghi m khi v r A = r B. ch khi B i 4. Gi s V l møt kh«ng gian vector phłc g m t t c c c fia thłc cæa x v i h sł phłc, f(x) l møt fia thłc fi cho cª b c r h u h n, V n+1 l kh«ng gian con cæa V g m c c fia thłc cª b c kh«ng v t qu n. X t nh x : ϕ : V V g fg gf trong fiª f, g l c c fi o h m cæa f, g t ng łng. a) Chłng minh r»ng, ϕ l ph p bi n fi i tuy n t nh cæa V. T m ker ϕ v chłng tæ r»ng ϕ(v r+1 ) = ϕ(v r ). b) T m dim(ϕ(v r+1 )). 2

40 Thi Tuy n Sinh Sau fi i h c n m 1998 M«n Gi i T ch ThŒi gian 180 C'u 1. a) Kh o s t sø høi t fi u cæa chu i h m n=1 1 n 2 2 n(xn + x n ) 1 tr n mi n høi t fi fi c ch ra l x 2. 2 b) T m mi n høi t cæa chu i h m n 2 ( n + 1 )n x n. n=1 C'u 2. Cho C [a,b] l t p c c h m li n t c tr n fio n [a, b]. a) t d(x, y) = max x(t) y(t), x, y C [a,b]. a t b Chłng minh r»ng, d l møt metric tr n C [a,b] v v i metric d, C [a,b] l møt kh«ng gian fi y fiæ. b) t ρ(x, y) = b a x(t) y(t) dt, x, y C [a,b]. Chłng minh r»ng, ρ l møt metric tr n C [a,b] v v i metric fiª C [a,b] l møt kh«ng gian kh«ng fi y fiæ. C'u 3. a) t C 0 [0, 1] = {x C [0,1] : x(0) = 0}, trong fiª C [0,1] l kh«ng gian fi nh chu n c c h m li n t c tr n [0, 1] v i chu n "max". Chłng minh r»ng, C 0 [0, 1] l kh«ng gian con fiªng cæa C [0,1] v A : C 0 [0, 1] C 0 [0, 1] x Ax 3

41 cho bºi (Ax)(t) = 1 2 [x(t2 ) + tx(1)], t [0, 1] l møt nh x tuy n t nh li n t c. T nh A. b) Gi s X, Y l hai kh«ng gian Banach v A : X Y l møt to n t tuy n t nh. Bi t r»ng v i m i y Y, ta cª y A X. Chłng minh r»ng, A L(X, Y ). C'u 4. Cho H l møt kh«ng gian Hilbert. a) Gi s A L(H) l møt to n t tø li n h p. Chłng minh r»ng, A 2 = A 2, v i A = A A. b) Cho (A n ) n N L(H) thæa m n fii u ki n sup A n x, y < + n N v i m i x, y H. Chłng minh r»ng, sup A < +. n N 4

42 Thi Tuy n Sinh Sau fi i h c n m 1999 M«n i SŁ ThŒi gian 180 C'u 1. Cho n l møt sł nguy n d ng v i n = p r p r h h trong fiª p i l c c sł nguy n tł v r i > 1. Cho G l møt nhªm giao ho n (v i ph n t fi n v e) cª n ph n t. Gi s t nh ch t ( ) sau fi'y fi c thæa m n: "V i m i c sł d cæa n, t p h p {x G x d = e} cª nhi u nh t d ph n t." Chłng tæ r»ng, v i m i 1 i h, t n t i a i G thæa m n a pr i i i = e v a pr i 1 i i e. Suy ra a i cª b c l p r i i. C'u 2. Cho A l v nh giao ho n, cª fi n v. t R = {I I l N = I R I. idean cøc fi i cæa A}, Chłng tæ: a) V i m i idean I cæa A, I R khi v ch khi A/I l møt tr Œng. b) N = {x A y A, z A, (1 xy)z = 1}. c) Gi s A cª t nh ch t: x A, n > 1 thuøc N sao cho x n = x. Chłng tæ r»ng idean nguy n tł cæa A c ng cøc fi i. C'u 3. Cho A, B l c c ma tr n vu«ng c p n cª c c ph n t thuøc v o tr Œng K. Chłng tæ: rank(a) + rank(b) n rank(ab) min{rank(a), rank(b)}. C'u 4. Cho E l møt kh«ng gian vector h u h n chi u tr n tr Œng K cª fi c sł kh c 2 v f l møt d ng song tuy n t nh fiłi xłng tr n E. V i m i kh«ng gian con U cæa E, fi t U = {x E f(x, y) = 0, y U}; U fi c g i l ho n to n fi ng h ng n u f(x, x) = 0, x U. Kh«ng gian con ho n to n fi ng h ng fi c g i l cøc fi i n u nª kh«ng chła trong møt kh«ng gian ho n to n fi ng h ng kh c. 5

43 a) Chłng tæ r»ng U l møt kh«ng gian con ho n to n fi ng h ng khi v ch khi U U. b) Cho U, V l c c kh«ng gian ho n to n fi ng h ng. Chłng tæ r»ng v i m i x U V, kh«ng gian con V + Kx l ho n to n fi ng h ng. c) Chłng tæ r»ng m i kh«ng gian con ho n to n fi ng h ng fi c chła trong møt kh«ng gian con ho n to n fi ng h ng cøc fi i. Suy ra c c kh«ng gian con ho n to n fi ng h ng cøc fi i cª c ng møt sł chi u. 6

44 Thi Tuy n Sinh Sau fi i h c n m 2000 M«n i SŁ ThŒi gian 180 C'u 1. K hi u GL(n, R n ) l nhªm nh'n c c ma tr n thøc kh«ng suy bi n c p n. Chłng tæ: a) T p h p SL(n, R n ) c c ma tr n thøc c p n cª fi nh thłc b»ng 1 l møt nhªm con chu n t c cæa GL(n, R n ). b) nh x f : GL(n, R n ) R A det(a) tı nhªm GL(n, R n ) v o nhªm nh'n c c sł thøc kh c 0 l møt to n c u. Suy ra nhªm th ng GL(n, R n )/SL(n, R n ) fi ng c u v i nhªm R. C'u 2. Cho R = Z p [x] l t p h p m i fia thłc møt bi n x cª h sł trong tr Œng Z p c c sł nguy n modulo p, v i p l møt sł nguy n tł. X t f R v i: f = 1 + [x p 1 + (x + 1) p (x + p 1) p 1 ]. a) Chłng tæ r»ng m i ph n t cæa Z p l nghi m cæa ph ng tr nh f(x) = 0. Do fiª f = 0. b) Suy ra c«ng thłc sau: { 0 mod(p) n u k 0 mod(p 1), 1 k + + (p 2) k + (p 1) k 1 mod(p) n u k 0 mod(p 1). C'u 3. Cho A, B l c c ma tr n vu«ng c p n cª sł h ng trong tr Œng K. Chłng tæ: rank(a) rank(b) rank(a + B) rank(a) + rank(b). C'u 4. Cho V l møt kh«ng gian vector thøc. T p D fi c g i l møt fia t p tuy n t nh cæa V n u D = W + x 0, v i W l møt kh«ng gian vector con cæa V v x 0 V, sł chi u cæa W fi c g i l sł chi u cæa D. Chłng tæ r»ng a) V i x 0, x 1,..., x n l møt h vector cho tr c trong V th t p h p D = {x = a 0 x 0 + a 1 x a n x n a 0 + a a n = 1} 7

45 l møt fia t p tuy n t nh cæa V chła c c vector x 0, x 1,..., x n. b) T p h p c c nghi m cæa møt h ph ng tr nh tuy n t nh t ng th ch n n h ng r v i h t thuøc tr Œng sł thøc R l p th nh møt fia t p tuy n t nh cª sł chi u l n r trong kh«ng gian vector R n. 8

46 C'u 1. Cho (X, d) l Thi Tuy n Sinh Sau fi i h c n m 2000 M«n Gi i T ch ThŒi gian 180 møt kh«ng gian metric. Ta fi t ρ(x, y) = d(x, y), x, y X. 1 + d(x.y) H y chłng minh: a) (X, ρ) l møt kh«ng gian metric. b) Kh«ng gian (X, ρ) fi y fiæ khi v ch khi (X, d) fi y fiæ. c) Cho A l møt t p compact trong (X, d). Chłng minh r»ng, A c ng l møt t p compact trong (X, ρ). C'u 2. Cho f 0 l h m fio fi c tr n t p A. V i m i n N ta fi t { f(x) n u f(x) < n f n (x) = n n u f(x) n. Chłng minh lim f n A ndµ = fdµ. A C'u 3. K hi u X = C [0,1] l kh«ng gian fi nh chu n v i chu n max. a) Gi s x X, v i m i n N ta fi t x n (t) = x(t 1+ 1 n ), t [0, 1]. Chłng minh r»ng, d y (x n ) n høi t v h m x trong X. b) t A : X X cho bºi c«ng thłc x Ax, (Ax)(t) = x(0) tx(t), v i m i t [0, 1]. Chłng minh A tuy n t nh li n t c v t nh A. C'u 4. Cho X l møt kh«ng gian fi nh chu n v f X, f 0. K hi u α = inf{ x : x X, f(x) = 1}. Chłng minh r»ng, f = 1 α. C'u 5. Cho H l møt kh«ng gian Hilbert v i {e n, n N} l møt c sº trøc chu n cæa H. t A : H H x c fi nh bºi x H, Ax = x, e n+1 e n. Chłng minh r»ng, A tuy n t nh, li n t c. T m A v x c fi nh to n t li n h p A. 9 n=1

47 C'u 1 1) Kh o s t sø høi t Thi Tuy n Sinh Sau fi i h c n m 2001 M«n Gi i T ch ThŒi gian 180 cæa chu i sł sau fi'y: n=1 ln(1+n) n α, α > 1. 2) Cho f : R R l h m sł x c fi nh bºi: 0, n u x / (0, 1], f = 1 n, n u x ( n + 1, 1 ], v i n N. n T nh fdµ v suy ra f kh t ch tr n R, trong fiª µ l fiø fio Lebesgue tr n R R. C'u 2. Cho X l møt kh«ng gian metric compact v f : X X l møt nh x li n t c. Gi s (K n ) l møt d y gi m c c t p fiªng kh«ng r ng cæa X. Chłng minh r»ng, f( K n ) = f(k n ). n=1 n=1 C'u 3. K hi u C [0,1] l kh«ng gian fi nh chu n c c h m sł li n t c tr n [0, 1] v i chu n max. t M = {x C [0,1] : x(0) = 0, 0 x(t) 1, t [0, 1]}. 1) Chłng minh r»ng M l møt t p fiªng v b ch n trong C [0,1]. 2) X t h m sł f : C [0,1] R x c fi nh bºi c«ng thłc f(x) = 1 0 x2 (t)dt. Chłng minh r»ng, f li n t c tr n t p M nh ng f kh«ng fi t fi c gi tr b nh t tr n M. C'u 4. Gi s X l kh«ng gian fi nh chu n thøc v f : X R l møt phi m h m tuy n t nh. Chłng minh r»ng, f X khi v ch khi t p M = {x X : f(x) 1} l møt t p fiªng trong X. C'u 5. Cho H l møt kh«ng gian Hilbert v i c sº trøc chu n {e n, : n N} v X l møt kh«ng gian Banach. Gi s A L(H, X) sao cho Ae n 2 < +. V i m i n N, ta fi t A n : H X x c fi nh bºi A n x = n x, e k Ae k, x H. Chłng tæ r»ng a) V i m i n N, A n l møt to n t tuy n t nh li n t c. b) A n A trong kh«ng gian L(H, X) v tı fi'y suy ra A l møt to n t compact. 10 n=1 k=1

48 Thi Tuy n Sinh Sau fi i h c n m 2001 M«n i SŁ ThŒi gian 180 C'u 1. Cho G l t p t t c c c bø sł nguy n d ng (k 1, k 2, k 3 ). Chłng minh r»ng, a) G l møt nhªm v i ph p to n (k 1, k 2, k 3 ).(l 1, l 2, l 3 ) = (k 1 +( 1) k 3 l 1, k 2 +l 2, k 3 +l 3 ), k 1, k 2, k 3, l 1, l 2, l 3 Z. b) Nhªm con cyclic H sinh bºi ph n t (1, 0, 0) l c chu n t c trong G. c) Nhªm th ng G/H fi ng c u v i nhªm cøng c c sł nguy n Gauss Z[i] = { a + bi a, b Z, i 2 = 1 }. C'u 2. Cho R l v nh h u h n ph n t. X c fi nh c c fi ng c u v nh tı R v o v nh c c sł nguy n Z. C'u 3. Cho n N (n 2) v K l møt tr Œng. G i M n (K) l kh«ng gian vector c c ma tr n vu«ng c p n tr n K. Ta fi nh ngh a v t cæa ma tr n vu«ng A M n (K) (k hi u Tr(A)) l t ng c c ph n t n»m tr n fi Œng ch o ch nh cæa A. Chłng minh r»ng, a) V i m i A M n (K), nh x θ A : M n (K) K x c fi nh bºi θ A (X) = Tr(AX), X M n (K) l møt ph n t cæa kh«ng gian fiłi ng u (M n (K)). b) nh x θ : M n (K) (M n (K)) A θ A l møt fi ng c u gi a c c kh«ng gian vector. C'u 4. Cho ϕ : V W l møt nh x tuy n t nh tı kh«ng gian vector n-chi u V v o kh«ng gian vector m-chi u W. Chłng minh r»ng, a) N u U l møt kh«ng gian vector con k-chi u cæa V sao cho U ker ϕ l kh«ng gian con p-chi u th dim ϕ(u) = k p. b) N u T l møt kh«ng gian vector con cæa W sao cho T Im(ϕ) l kh«ng gian con r-chi u th dim ϕ 1 (T ) = n + r rank(a). 11

49 Thi Tuy n Sinh Sau fi i h c n m 2002 M«n i SŁ ThŒi gian 180 C'u 1. a) T n t i hay kh«ng møt th (K, +, ) cª fi t sł kh c 2 sao cho c c nhªm con (K, +) v (K, ), v i K = K \ {0}, fi ng c u v i nhau? b) Cho A = Z[i] l v nh c c sł phłc d ng a + bi, v i a, b l c c sł nguy n, v I l t p con cæa A g m c c sł phłc c + di, v i c, d l bøi cæa 3. Chłng minh r»ng, I l møt idean cæa A v v nh th ng A/I l møt tr Œng g m 9 ph n t. C'u 2. Cho G = R R v l ph p to n trong G x c fi nh bºi (x, y) (x, y ) = (xx, xy + y x ), v i R = R \ {0}. 1. Chłng minh r»ng, (G, ) l møt nhªm. Ch ra nhªm t'm cæa G. 2. Chłng minh r»ng, v i b t kœ k R, t p h p H k = {(x, k(x 1x } )) : x R l møt nhªm con giao ho n cæa G. C'u Cho A, B l c c ma tr n vu«ng c p n v i h t trong tr Œng K. Chłng tæ rank(a) + rank(b) n rank(ab) min {rank(a), rank(b)}. 2. Chłng minh r»ng, c«ng thłc tr n v n c n fi ng khi A, B l c c ma tr n ch nh t v i n l sł cøt cæa A v c ng l sł h ng cæa B. C'u 4. Cho f l møt d ng song tuy n t nh tr n kh«ng gian vector thøc n-chi u V v U = {a 1, a 2,..., a n } l møt c sº cæa V. G i L l kh«ng gian con cæa V sinh bºi a 1, a 2,..., a k (v i 1 k < n) v fi t L = {y V f(x, y) = 0, x L}. 12