Proceduri numerice de analiză sistemică
|
|
- Λευκοθέα Αξιώτης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Laborator 6 Proceduri numerice de analiză sistemică 6.1 Tema Elaborarea, implementarea şi testarea procedurilor de analiză numerică a proprietăţilor sistemice fundamentale (stabilitate, controlabilitate şi observabilitate, etc.). 6.2 Teste numerice de stabilitate a sistemelor liniare Stabilitatea unui sistem liniar S (A, B, C) este o proprietate ce depinde numai de matricea A. Mai precis, sistemul S este stabil dacă matricea de tranziţie Φ(t) asociată lui A satisface condiţia Φ(t) când t. Deoarece matricea de tranziţie are expresii diferite în cazurile continuu şi discret, adică Φ(t) e ta, t R, respectiv Φ(t) A t, t N, proprietatea de stabilitate are şi ea exprimări diferite în cele două cazuri. Definiţia 6.1 Matricea A a unui sistem continuu este stabilă dacă toate valorile proprii ale lui A au partea reală strict negativă, deci sunt plasate în semiplanul stâng deschis C al planului complex C. Pe scurt, criteriul (condiţia necesară şi suficientă) de stabilitate în cazul continuu este λ(a) C sau, mai sugestiv, Reλ(A) <. Definiţia 6.2 Matricea A a unui sistem discret este stabilă dacă toate valorile proprii ale lui A au modul strict subunitar, deci sunt plasate în discul unitate deschis D 1 () din planul complex C. Pe scurt, criteriul de stabilitate în cazul discret este λ(a) < 1. Deoarece în ambele cazuri, continuu şi discret, proprietatea de stabilitate vizează o anumită plasare a valorilor proprii, iar acestea se calculează eficient utilizând algoritmul QR, obţinem următorul test de stabilitate pentru sisteme liniare. Algoritmul 6.1 (Dată o matrice pătrată A şi variabila şir de caractere tip, algoritmul testează stabilitatea matricei A). 1. λ eig(a) % Se calculează valorile proprii λ(a) utilizând algoritmul QR (fără acumularea transformărilor).
2 2 LABORATOR 6. PROCEDURI NUMERICE DE ANALIZĂ SISTEMICĂ 2. Dacă tip continuu atunci 1. Se determină α max Reλ(i). 2. Dacă α < atunci 1. Tipăreşte Sistemul continuu este stabil 2. Tipăreşte Sistemul continuu este stabil 3. Dacă tip discret atunci 1. Se determină ρ max λ(a). 2. Dacă ρ < 1 atunci 1. Tipăreşte Sistemul discret este stabil. 2. Tipăreşte Sistemul discret este instabil. 6.3 Teste numerice de controlabilitate şi observabilitate a sistemelor liniare Un sistem liniar S (A, B, C) este controlabil dacă orice tranziţie de stare dorită poate fi realizată prin alegerea adecvată a funcţiei de intrare. Prin urmare, controlabilitatea sistemului liniar S este o proprietate ce depinde numai de perechea (A, B). Introducând matricea de controlabiltate R, definită de R [ B AB... A n 1 B ], (6.1) avem următoarea definiţie, valabilă atât pentru sistemele continue cât şi pentru cele discrete. Definiţia 6.3 Perechea (A, B) este controlabilă dacă şi numai dacă rangr n. (6.2) Dacă perechea (A, B) are o singură intrare, deci m 1, atunci R este pătrată şi condiţia ca perechea (A, B) să fie controlabilă se reduce la condiţia ca matricea de controlabilitate R să fie nesingulară. Un sistem liniar S (A, B, C) este observabil dacă starea iniţială este unic determinată cunoscând funcţiile de intrare şi ieşire, obţinute e.g. prin măsurători efectuate la terminalele lui S. Deci, observabilitatea sistemului liniar S depinde numai de perechea (C, A). Introducând matricea de observabilitate Q C CA. CA n 1, (6.3) avem următoarea definiţie, valabilă atât pentru sistemele continue cât şi pentru cele discrete. Definiţia 6.4 Perechea (C, A) este observabilă dacă şi numai dacă este satisfăcută condiţia de rang rang Q n. (6.4)
3 6.3. CONTROLABILITATEA ŞI OBSERVABILITATEA 3 Examinând în paralel relaţiile de mai sus, concludem că noţiunile de controlabilitate şi observabilitate sunt duale, în sensul că ele se corespund prin corespondenţa A A T, C B T, în particular avem Q(C, A) R T (A T, C T ). În consecinţă, mai departe vom prezenta procedurile de calcul asociate controlabilităţii, rămânând ca dualele lor să fie formulate prin dualitate. În general procedurile de testare a controlabilităţii unei perechii date (A, B) sunt de două tipuri. a) Proceduri, numite ad-hoc elementare, testează controlabilitatea perechii (A, B) utilizând direct definiţia 6.3. Aceste proceduri sunt, în general, neeficiente şi pot fi aplicate cu succes numai pentru perechi de dimensiuni mici. b) Proceduri care utilizează transformări de asemănare pentru a aduce perechea iniţială (A, B) la o formă simplă, pe care proprietatea de controlabilitate să poată fi testată direct ( prin inspecţie ). Aceste proceduri, numite în continuare de transformare, sunt cele mai utilizate în aplicaţii, cu atât mai mult cu cât ele facilitează şi rezolvarea altor probleme de calcul conexe vizând, de exemplu, descompunerea controlabilă, testarea stabilizabilităţii, alocarea polilor etc. Cea mai eficientă procedură de transformare constă în aducerea perechii (A, B) la forma (superior) Hessenberg prin transformări de asemănare ortogonale Teste elementare de controlabilitate Din clasa procedurilor elementare face parte în primul rând procedura directă, bazată pe construcţia matricei de controlabilitate R şi testarea condiţiei de rang (6.2). Construcţia matricei R se face recurent. Pentru a obţine relaţia de recurenţă fie R k [B AB A k 1 B]. Relaţiile care leagă doi termeni succesivi R k şi R k+1 rezultă din partiţiile avem [ ] [ ] def R k+1 B. AB A 2 B A k B B. ARk, (6.5) respectiv [ def R k+1 B AB A k 1 B... A k B ] [ R k... Bk+1 ], (6.6) unde submatricea B k+1 A k B, formată din ultimele m coloane ale lui R k+1, rezultă în funcţie de submatricea corespunzătoare B k a lui R k prin relaţia evidentă iar B 1 B. B k+1 AB k, k 1 (6.7) Se constată imediat că procedura de construcţie a matricei R bazată pe relaţia (6.5) este relativ neeconomică, întrucât necesită efectuarea produselor AR k, unde matricea R k are mk coloane, k 1, în timp ce procedura bazată pe relaţia (6.6) necesită efectuarea produselor AB k, unde la fiecare pas k 1 matricea B k are numai m coloane. De asemenea, este clar că la fiecare pas matricea B k este disponibilă în R k, mai precis avem B k R k ( :, (k 1)m + 1 : km) (6.8)
4 4 LABORATOR 6. PROCEDURI NUMERICE DE ANALIZĂ SISTEMICĂ astfel încât nu este necesară nici alocarea unui tablou suplimentar de lucru pentru memorarea matrice curente B k, nici calculul pe loc în B, conform schemei B AB, al termenilor şirului B k, ceea ce ar implica distrugerea matricei iniţiale B. În rezumat, procedura de testare a controlabilităţii perechii (A, B) poate fi formulată astfel. Algoritmul 6.2 (Se testează controlabilitatea perechii (A, B) construind matricea de controlabilitate R). 1. R( :, 1 : m) B 1 B 2. Pentru k 2 : n 1. R( :, (k 1)m + 1 : km) B k AB k 1 3. Se calculează r rangr utilizând algoritmul DVS. 4. Dacă r n atunci 1. Tipăreşte Perechea (A, B) este controlabilă. Tipăreşte Perechea (A, B) nu este controlabilă. În general, în ciuda simplităţii sale, algoritmul 6.2 nu este recomandabil întrucât matricea R este de mari dimensiuni iar calculul coloanelor sale la pasul 2.1 implică riscuri la efectuarea testului de rang de la pasul 3. Teste elementare de observabilitate În general, dacă o procedură proc calculează un rezultat R proc(a, B) privind controlabilitatea perechii (A, B) atunci rezultatul dual Q, privind observabilitatea perechii (C, A), se obţine cu secvenţa 1. R d proc(a T, C T ) 2. Q R T d De exemplu, dacă proc(a, B) este algoritmul 6.2, care produce matricea de controlabilitate R a perechii (A, B), atunci secvenţa de mai sus produce matricea de observabilitate Q a perechii (C, A) Forma Hessenberg controlabilă Considerăm sistemul liniar S (A, B, C) şi fie S (Ã, B, C) un sistem asemenea cu S, având matricele à T AT 1, B T B, C CT 1, (6.9) unde T R n n este o matrice nesingulară arbitrară. Între matricele de controlabilitate şi observabilitate ataşate sistemelor S şi S există următoarele relaţiile R T R, Q QT 1. (6.1) Rezultă că matricele R şi R au acelaşi rang, deci perechile (A, B) şi ( Ã, B) sunt simultan controlabile sau necontrolabile. În mod similar, perechile (C, A) şi ( C, Ã) sunt simultan observabile sau neobservabile. Pe scurt, proprietăţile de controlabilitate şi observabilitate sunt invariante în raport cu transformările de asemănare. Dacă în (6.9) presupunem că matricea T U este ortogonală, deci sistemele S şi S sunt ortogonal asemenea à UAU T, B UB, C CU T, (6.11)
5 6.3. CONTROLABILITATEA ŞI OBSERVABILITATEA 5 atunci relaţiile (6.1) devin R UR, Q QU T. (6.12) În cele ce urmează vom descrie procedurile de aducere a perechii (A, B) la o formă simplă utilizând transformările de asemănare ortogonală, cu scopul identificării invarianţilor (ortogonali ai) acestei perechi şi, în particular, al testării controlabilităţii acesteia. În consecinţă, vom considera o pereche (A, B) cu m intrări, nu neapărat controlabilă, şi pentru claritate vom discuta succesiv cazurile m 1 şi m > 1. Peste tot vom presupune B şi vom nota r def rangr, r def n r, (6.13) unde evident r satisface inegalitatea 1 r n. Cazul m 1 În cazul unei perechi (A, b) de ordin n cu o singură intrare, forma simplă, rezultată prin aplicarea transformării (6.11), se numeşte forma superior Hessenberg şi este definită prin à UAU T r r {}}{{}}{ [ AR A R R A R ] }r } r, b Ub [ br ] }r } r (6.14) în care perechea (A R, b R ) de ordin r se află în forma superior Hessenberg ireductibilă x x... x x h 2 x... x x h 1 A R , b R.., (6.15).. x. x unde h r h i, i 1 : r (6.16) iar x denotă elemente a căror valoare numerică nu are importanţă în context. Dacă perechea iniţială (A, b) este controlabilă atunci în (6.14) avem r n, astfel încât blocurile A R şi A R R dispar iar perechea (Ã, b) (A R, b R ) are structura ireductibilă (6.15) cu r n, adică à UAU T x x... x x h 2 x... x x x. x h n, b Ub h 1., (6.17) unde h i, i 1 : n. (6.18) De aceea, structura ireductibilă din (6.17) se numeşte forma superior Hessenberg controlabilă a perechii (A, b). Pe de altă parte, dacă perechea (Ã, b) are forma (6.17), nu neapărat ireductibilă, iar k 2 este primul întreg pentru care h k, atunci această pereche admite evident o descompunere
6 6 LABORATOR 6. PROCEDURI NUMERICE DE ANALIZĂ SISTEMICĂ (deflaţie) de tip (6.14), în care r k 1. În acest sens, mai departe vom spune că structura (6.17), în general reductibilă, constituie forma superior Hessenberg (completă) a perechii (A, b). În consecinţă avem următorul rezultat important. Propoziţia 6.1 O pereche (A, b) este controlabilă dacă şi numai dacă există o matrice ortogonală U astfel încât perechea (Ã, b) are forma (6.17) şi este satisfăcută condiţia (6.18). În rezumat, sunt posibile două cazuri: 1. Perechea (A, b) este controlabilă, deci r def rangr n. În acest caz perechea (A, b) este ortogonal asemenea cu o pereche (Ã, b) în forma superior Hessenberg controlabilă (6.17), (6.18). 2. Perechea (A, b) nu este controlabilă, deci r def rangr < n. În acest caz perechea (A, b) este ortogonal asemenea cu o pereche (Ã, b) în forma bloc superior triunghiulară (6.14), în care perechea (A R, b R ) este controlabilă de ordin r, deci are structura (6.15), (6.16). (În particular, (6.14) poate coincide cu forma superior Hessenberg completă (6.17), în care r este cel mai mic întreg 1 astfel încât h r+1 ). Aducerea unei perechi (A, b) cu o singură intrare la forma superior Hessenberg completă (6.17) se face printr-o procedură directă, a cărei schemă de calcul este următoarea. 1. Se determină un reflector U 1 R n n astfel încât ultimele n 1 componente ale vectorului b U 1 b să fie nule. 2. A U 1 AU [A, U] hess(a, U 1 ) unde funcţia MATLAB hess aduce matricea A la forma superior Hessenberg A Ã ŨA U T, prin transformări ortogonale de asemănare (vezi algoritmul HQ din cursul de Calcul Numeric). Pentru a transforma schema de calcul de mai sus într-un algoritm implementabil vom introduce trei funcţii de calcul cu reflectori, a căror justificare se poate găsi în cursul de Calcul Numeric. 1. Procedura H de calcul a elementelor definitorii ale reflectorului U 1, definit prin U 1 I n u1ut 1 β 1, astfel încât (U 1 b)(2 : n) şi calculul b U 1 b. Procedura U H(b) 1. σ sgn(b 1 )( n i1 b2 i )1/2 2. u 11 b 1 + σ; u i1 b i, i 2 : n 3. β 1 σu b 1 h 1 σ; b i, i 2 : n 2. Procedura H1 de premultiplicare a unei matrice cu un reflector U 1. Procedura A H1(U, A) 1. Pentru j 1 : n 1. τ ( n i1 u i1a ij )/β 1 2. a ij a ij τu i1, i 1 : n. 3. Procedura H2 de postmultiplicare a unei matrice cu un reflector U 1.
7 6.3. CONTROLABILITATEA ŞI OBSERVABILITATEA 7 Procedura A H2(A, U) 1. Pentru i 1 : n 1. τ ( n i1 u i1a ji )/β 1 2. a ij a ij τu j1, j 1 : n. În rezumat, procedura de aducere a perechii (A, b) cu o singură intrare la forma superior Hessenberg completă poate fi formulată astfel. 1. U 1 H(b). 2. A H1(U 1, A); A H2(A, U 1 ). 3. Pentru k 2 : n 1 1. U k H(A(k : n, k 1)). 2. A(k : n, k : n) H1(U k, A(k : n, k : n)); A( :, k : n) H2(A(:, k : n), U k ) Construcţia matricei ortogonale U U n 1 U 2 U 1 din (6.17), i.e. acumularea transformărilor, se face după schema 1. U U 1 2. Pentru k 2 : n 1 1. U(k : n, 1 : n) H1(U k, U(k : n, 1 : n)). În practică, se preferă deseori obţinerea formei superior Hessenberg (6.14),(6.15),(6.16), ceea ce presupune testarea condiţiei b k înainte de parcurgerea etapei k, k 2 : n 1. Se obţine următoarea procedură de calcul. Algoritmul 6.3 (Construieşte forma superior Hessenberg (6.14), (6.15), (6.16) a unei perechi (A, b) de ordin n cu o singură intrare şi acumulează transformările. Se presupune b ). 1. k 1 2. U 1 H(b) 3. A H1(U 1, A), A H2(A, U 1 ) 4. U U 1 5. CONTINUĂ da 6. C^at timp CONTINUĂ da 1. r k 2. Dacă k n atunci 1. CONTINUĂ nu, 2. tipăreşte Perechea (A, b) este controlabilă 1. g A(k + 1 : n, k) 2. Dacă g atunci
8 8 LABORATOR 6. PROCEDURI NUMERICE DE ANALIZĂ SISTEMICĂ 1. CONTINUĂ nu 1. k k + 1 % Etapa k, k 2 2. U k H(g) 3. A(k : n, k : n) H1(U k, A(k : n, k : n)), A(:, k : n) H2(A(:, k : n), U k ) 4. U(k : n, 1 : n) H1(U k, U(k : n, 1 : n)) CONTINUĂ este o variabilă logică ce determină avansarea contorului de etapă k. În final, variabila r furnizează rangul matricei de controlabilitate R a perechii date (A, b). Cazul m > 1 În cazul unei perechi (A, B) de ordin n cu m intrări, m 1, procedura de transformare are la bază următorul rezultat general. Propoziţia 6.2 (Lema de deflaţie controlabilă). Oricare ar fi perechea (A, B) cu rangb r 1 >, există o matrice ortogonală U 1 R n n astfel încât A Ã U 1AU1 T A1 X, B G F B H1 U 1 B (6.19) unde matricea H 1 R r1 m este epică, i.e. rangh 1 r 1. Mai mult, perechea (A, B) este controlabilă dacă şi numai dacă perechea redusă (F, G), de ordin n r 1 < n, este controlabilă. Matricea U 1 se determină e.g. aplicând lui B procedura de descompunere a valorilor singulare (DVS). Avem Σ1 U 1 BV, (6.2) unde U 1 şi V R m m sunt ortogonale iar Σ 1 este diagonală de ordin r 1 > cu elementele diagonale pozitive. Partiţionând V [V 1 V 2 ], unde V 1 are r 1 coloane, obţinem Σ1 V T B U 1 B 1 Σ1 V V2 T 1 T, unde H 1 Σ 1 V1 T este evident epică de rang r 1. După determinarea lui U 1 se aplică U 1 lui A, i.e. se calculează Ã U 1AU1 T (6.19) se evidenţiază perechea redusă (F, G) de ordin n r 1 cu r 1 intrări., şi în acord cu În ipoteza G, perechii (F, G) cu rang G r 2 > i se poate aplica din nou o transformare de tip (6.19). Se obţine F F Ū2F Ū 2 T A2 X, G G Ū2G H2 G nou F nou sau echivalent A Ã U 2AU2 T A 1 X X H 2 A 2 X B B U 2 B G nou H 1, F nou, (6.21)
9 6.3. CONTROLABILITATEA ŞI OBSERVABILITATEA 9 unde matricele Ū2 precum şi Ir1 U 2 Ū 2 sunt ortogonale iar matricea H 2 este epică de rang r 2. (6.22) Forma finală a perechii (A, B), obţinută prin aplicarea repetată a procedurii de deflaţie descrisă în propoziţia 6.2, se numeşte forma bloc-superior Hessenberg şi este definită prin A Ã UAU T AR A R R, B A B BR UB, (6.23) R în care perechea (A R, B R ), de ordin r, se găseşte în forma bloc-superior Hessenberg controlabilă A R A 1 X X X H 2 A 2 X X H k A k, B R H 1.., (6.24) unde toate blocurile H i R ri ri 1 sunt epice, i.e. Evident avem rangh i r i >, i 1 : k, r def m. (6.25) r k r i n (6.26) i1 şi în virtutea condiţiilor (6.25) perechea (A R, B R ) din (6.23) este controlabilă. Mai mult, perechea iniţială (A, B) este controlabilă dacă şi numai dacă r n, i.e. (Ã, B) (A R, B R ), şi în acest caz numărul k de blocuri din (6.24) coincide cu indicele de controlabilitate ν al lui (A, B). Matricea ortogonală U R n n din (6.23) rezultă prin acumularea transformărilor parţiale, i.e. U U k U 2 U 1, (6.27) în care U 1 se determină ca în demonstraţia lemei 6.2, U 2 are forma (6.22) etc. Subliniem că în virtutea structurii lui U 2, premultiplicarea cu U 2 nu modifică primele r 1 linii, iar postmultiplicarea cu U2 T nu modifică primele r 1 coloane ale matricei asupra căreia acţionează transformarea corespunzătoare. De asemenea, proprietăţi asemănătoare au toate matricele U i, i 2 : k din (6.27). În rezumat, aducerea pe loc a perechii iniţiale (A, B) la forma bloc-superior Hessenberg (6.23), (6.24) se face printr-o succesiune de transformări ortogonale de asemănare A U i AU T i, B U i B, i 1 : k. (6.28) La etapa i 1 se operează asupra perechii iniţiale (A, B) ca în propoziţia 6.2, iar la etapele i 2 se operează analog asupra perechii reduse corespunzătoare (F, G), conţinute în tabloul A. În particular, transformările U i, i 2 nu modifică forma lui B obţinută după prima etapă, deci pentru i 2 relaţiile (6.28) se reduc la A U i A, A AU T i. (6.29)
10 1 LABORATOR 6. PROCEDURI NUMERICE DE ANALIZĂ SISTEMICĂ Pentru a descrie precis algoritmul astfel obţinut, introducem, similar cu cazul m 1, următoarele proceduri, a căror scriere explicită revine studenţilor (utilizând, la nevoie, funcţii MATLAB adecvate). 1. Procedura de reducere a lui B decrisă mai sus relativ la propoziţia 6.2, vezi relaţiile (6.19) şi (6.2), având sintaxa [ r 1, U 1, H 1 ] red(b). (Amintim că la etapele i 2 procedura red se aplică unui bloc G, localizat în tabloul A). 2. Procedura de premultiplicare a unei matrice cu matricea de transformare curentă A mul1(u i, A). 3. Procedura de postmultiplicare a unei matrice cu matricea de transformare curentă A mul2(a, U i ). Acumularea transformărilor din (5.69) se face conform schemei cu iniţializarea U U 1. Avem următorul algoritm U U i U, i 2 : k (6.3) Algoritmul 6.4 (Dată perechea (A, B) de ordin n cu m intrări şi B algoritmul construieşte forma bloc-superior Hessenberg (6.23), (6.24), (6.25) şi acumulează transformările. Perechea rezultată suprascrie pe cea iniţială). 1. k 1 2. [r 1, U 1, H 1 ] red(b) 3. A mul1(u 1, A), A mul2(a, U 1 ) 4. U U 1 5. r v, r r 1 6. CONTINUĂ da 7. C^at timp CONTINUĂ da 1. ν k 2. Dacă r n atunci 1. CONTINUĂ nu 2. Tipăreşte Perechea (A, B) este controlabilă 1. G A(r + 1 : n, r v + 1 : r) 2. Dacă G atunci 1. CONTINUĂ nu 1. k k + 1 % (etapa k, k 2) 2. [r k, U k, H k ] red(g) 3. A(r + 1 : n, r + 1 : n) mul1(u k, A(r + 1 : n, r + 1 : n), A(1 : n, r + 1 : n) mul2(a(1 : n, r + 1 : n), U k )
11 6.4. CALCULUL REALIZĂRILOR MINIMALE U(r + 1 : n, 1 : n) mul1(u k, U(r + 1 : n, 1 : n)) 5. r v r, r r + r k Având în vedere că numărul k al etapelor de reducere nu este apriori cunoscut, utilizăm şi aici variabila binară CONTINUĂ cu semnificaţia cunoscută. În final, variabila r furnizează rangul matricei de controlabilitate R a perechii date (A, B). În cazul r n, i.e. dacă perechea (A, B) este controlabilă, algoritmul se opreşte la instrucţiunea 7.2. iar ν este indicele de controlabilitate. Din contră, dacă algoritmul se opreşte datorită faptului că blocul curent G este nul, atunci perechea (A, B) nu este controlabilă, iar perechea transformată (Ã, B), furnizată de algoritmul 6.4, are forma (6.23), în care r < n. Forma Hessenberg observabilă Pentru analiza proprietăţilor de observabilitate a unei perechi (C, A) de ordin n cu l ieşiri, l 1, se procedează prin dualitate. Prin aplicarea schemei de dualizare relativ la algoritmul 6.4, se obţine forma bloc-inferior Hessenberg a perechii (C, A), definită prin A Ã UAU T AQ, A QQ A Q (6.31) C C CU T [ C Q ], în care perechea (C Q, A Q ) de ordin q se află în forma bloc-inferior Hessenberg observabilă A 1 G 2. X A.. 2 A Q , C Q [ G 1 ], (6.32). X X.. Gk X X A k unde toate blocurile G i R qi 1 qi sunt monice, i.e. Evident avem rangg i q i >, i 1 : k, q def l. (6.33) q k q i n (6.34) i1 şi în virtutea condiţiilor (6.33) perechea (C Q, A Q ) din (6.31) este observabilă. În plus, perechea iniţială (C, A) este observabilă dacă şi numai dacă q n, i.e. ( C, Ã) (C Q, A Q ), şi în acest caz numărul k de blocuri din (6.32) coincide cu indicele de observabilitate al lui (C, A). În sfârşit, la fel ca în cazul controlabilităţii, matricea ortogonală U R n n din (6.31) rezultă din acumularea transformărilor parţiale, i.e. U U k U 2 U Calculul realizărilor minimale Principalul rezultat al teoriei realizării sistemelor liniare afirmă că orice sistem S (A, B, C) este echivalent intrare-ieşire, i.e. are aceeaşi matrice de transfer, cu un sistem de ordin minim S m (A m, B m, C m ) care este simultan controlabil şi observabil. Mai mult, sistemul S m este determinat până la o transformare de asemănare şi, în esenţă, coincide cu partea simultan controlabilă şi observabilă a sistemului dat S.
12 12 LABORATOR 6. PROCEDURI NUMERICE DE ANALIZĂ SISTEMICĂ Definiţia 6.5 Un sistem S m (A m, B m, C m ) controlabil şi observabil, echivalent intrare-ieşire cu S se numeşte realizare minimală a lui S. Mai general, orice sistem S m (A m, B m, C m ) controlabil şi observabil se numeşte minimal. În consecinţă, o realizare minimală (i.e. de ordin minim) a unei matrice de transfer date T (s) poate fi construită aplicând următoarea procedură. Algoritmul 6.5 ( Construieşte o realizare minimală a matricei de transfer T (s)). 1. Se construieşte o realizare observabilă S (A, B, C) a lui T (s), utilizând formele standard observabile, expuse în capitolul Se construieşte descompunerea controlabilă Ã UAU T AR A R R BR, B UB, A R utilizând algoritmul 6.4 şi se aplică transformarea U matricei C, i.e. C CU T [ C R C R ]. 3. Se reţine partea controlabilă S m (A R, B R, C R ) a tripletului transformat, unde A R Ã(1 : r, 1 : r), B R B(1 : r, :) este partea controlabilă a perechii (A, B) iar C R C( :, 1 : r). Programe MATLAB disponibile Construcţia matricei de controlabilitate R a perechii (A, B) se face cu funcţia ctrb, care implementează algoritmul 6.2, mai precis versiunea acestuia bazată pe formula (6.5). Pentru construcţia formei bloc-superior Hessenberg a unei perechi (A, B) este disponibilă funcţia ctrbf. Construcţia unei realizări minimale se poate face utilizând funcţia minreal. 6.5 Sarcini de lucru A. În laborator 1. Se va scrie programul MATLAB pentru implementarea algoritmului de testare numerică a stabilităţii unui sistem liniar (i.e. a matricei de stare A a acesteia) şi se va testa pe exemple numerice semnificative (n > 5). 2. Se vor scrie programele MATLAB pentru implementarea algoritmului de construcţie a matricei de controlabilitate şi de testare elementară a controlabilităţii unei perechi (A, B). Se vor compara soluţia calculată cu programul propriu cu cel oferit de funcţia MATLAB disponibilă. 3. Se va scrie programul MATLAB pentru implementarea algoritmului de calcul al formei Hessenberg complete a unei perechi (A, b) a unui sistem cu o singură intrare şi se va completa cu testarea controlabilităţii acestei perechi. Se va compara soluţia calculată cu programul propriu cu cea oferită de funcţia MATLAB disponibilă.
13 6.5. SARCINI DE LUCRU Se va scrie programul MATLAB pentru implementarea algoritmului de calcul al unei realizări minimale a unei perechi (A, b) a unui sistem cu o singură intrare şi o singură ieşire. Se va compara soluţia calculată cu programul propriu cu cea oferită de funcţia MATLAB disponibilă. B. Acasă 1. Se va scrie programul MATLAB pentru implementarea algoritmului de calcul al formei Hessenberg complete a unei perechi (A, B) a unui sistem cu mai multe intrări şi se va completa cu testarea controlabilităţii acestei perechi. 2. Se va scrie programul MATLAB pentru implementarea algoritmului de calcul al unei realizări minimale a unui sistem (A, B, C) cu mai multe intrări şi mai multe ieşiri. Se va compara soluţia calculată cu programul propriu cu cea oferită de funcţia MATLAB disponibilă. 3. Se vor analiza sursele funcţiilor MATLAB ctrb şi ctrbf şi minreal şi se vor identifica metodele folosite. 4. Exerciţii şi teme de casă. E 6.1 Conform teoremei lui Liapunov, matricea A a unui sistem continuu (discret) este stabilă dacă şi numai dacă oricare ar fi matricea Q Q T > ecuaţia matriceală algebrică Liapunov (discretă) A T X + XA Q ( A T XA X Q ) are o soluţie X X T >. Explicaţi de ce enunţul de mai sus (de mare valoare teoretică) nu conduce la un test de stabilitate numeric eficient în raport cu algoritmul 6.1. E 6.2 Un polinom p(s) a s n + a 1 s n a n este stabil (sau hurwitzian ) dacă toate rădăcinile sale au partea reală strict negativă. Scrieţi algoritmul de testare a stabilităţii polinomului p(s) utilizând criteriul Routh-Hurwitz. Indicaţie. Se utilizează algoritmul de eliminare gaussiană fără pivotare relativ la matricea Hurwitz asociată lui p(s), ceea ce corespunde exact formulării propuse de Routh pentru criteriul în discuţie. E 6.3 Scrieţi o realizare de stare S (A, b, c T ) a funcţiei de transfer T (z) N(z)/p(z) astfel încât R(A, b) I. Idem, astfel încât Q(c T, A) I. În ce condiţii putem avea simultan R(A, b) Q(c T, A) I? E 6.4 Obţineţi condiţii suficiente simple de controlabilitate şi observabilitate a conexiunilor serie, paralel şi în circuit închis. Ce puteţi afirma despre stabilitatea acestor conexiuni? Bibliografie [1] Jora B., Popeea C., Barbulea S. Metode de Calcul Numeric în Automaticăa, Ed. Enciclopedică, Bucureşti 1996.
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραCalculul valorilor proprii
Laborator 5 Calculul valorilor proprii 5.1 Valori şi vectori proprii Definiţia 5.1 Fie A C n n. Un vector x C n n este un vector propriu al matricei A, asociat valorii proprii λ C, dacă sunt satisfăcute
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραMETODE NUMERICE: Laborator #7 Calculul valorilor proprii si vectorilor proprii prin metodele puterii. Metoda Householder
METODE NUMERICE: Laborator #7 Calculul valorilor proprii si vectorilor proprii prin metodele puterii. Metoda Householder Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Alexandru
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραMETODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare
METODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Mădălina-Andreea
Διαβάστε περισσότεραCalculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală
Laborator 3 Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală 3.1 Tema Înţelegerea conceptului de funcţie de matrice şi însuşirea principalelor metode şi algoritmi de calcul al funcţilor de matrice.
Διαβάστε περισσότεραSisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότεραLaborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότερα1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραIV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI
V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραLaborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu
INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραLecţia a 4-a. Estimarea stării. Compensarea cu estimator
Lecţia a 4-a. Estimarea stării. Compensarea cu estimator Ideea de estimare a stării Reacţia inversă după stare nu poate fi realizată (implementată) efectiv fără cunoaşterea stării curente. S-a văzut (cazul
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότερα2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER
2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare Copyright Paul GASNER Definiţii Un decodor pe n bits are n intrări şi 2 n ieşiri; cele n intrări reprezintă un număr binar care determină în mod unic care
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi
Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC http://mathettituiasiro/maticiuc/ CURS I II Matrice şi determinanţi Sisteme de ecuaţii
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραMetode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy
Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραOvidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
Διαβάστε περισσότεραDescompunerea valorilor singulare
Laborator 6 Descompunerea valorilor singulare 6.1 Preliminarii 6.1.1 Descompunerea valorilor singulare Vom introduce descompunerea valorilor singulare (DVS) ale unei matrice prin următoarea teoremă. Teorema
Διαβάστε περισσότεραActivitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale
Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραMetode directe pentru sisteme de ecuaţii liniare
Metode directe pentru sisteme de ecuaţii liniare Eliminare gaussiană, descompunere LU, Cholesky Radu T. Trîmbiţaş Universitatea Babeş-Bolyai March 26, 2008 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai
Διαβάστε περισσότεραprin egalizarea histogramei
Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότερα3. Vectori şi valori proprii
Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau
Διαβάστε περισσότεραPuncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.
Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότερα1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραV O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Διαβάστε περισσότεραINTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0
INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότερα10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότεραAlgebră liniară CAPITOLUL 3
Algebră liniară CAPITOLUL 3 TRANSFORĂRI LINIARE 3.. Definiţia transformării liniare Definiţia 3... Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W se numeşte transformare
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale
3 ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR 31 Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale Prin interpolare se înţelege următoarea problemă: se dau n + 1 puncte P 0, P 1,, P n în plan sau în spaţiu
Διαβάστε περισσότερα, m ecuańii, n necunoscute;
Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραMETODE DE CALCUL AUTOMATICĂ
B. Jora C. Popeea S. Barbulea METODE DE CALCUL NUMERIC ÎN AUTOMATICĂ SISTEME LINIARE EDITURA ENCICLOPEDICĂ Bucureşti 1996 Cuprins Cap. 1. Rezolvarea ecuaţiilor matriciale liniare 1.1 Ecuaţii matriciale
Διαβάστε περισσότεραProiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
Διαβάστε περισσότεραFuncţii Ciudate. Beniamin Bogoşel
Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face
Διαβάστε περισσότερα